Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio
A pedido de vários membros respeitados dos nossos fóruns, estou a mover aqui este tópico do fórum "quádruplo". As regras permanecem as mesmas: se já conhece a solução para um problema, não o afixe aqui e deixe que os outros sofram. Se quer realmente provar-me que tem a solução certa, então contacte-me pessoalmente.
O primeiro problema (sem complicações, peso de 3 pontos):
Como pode uma moeda de arremesso ser usada para fazer um arremesso justo se se sabe que esta moeda tem cabeças um pouco mais vezes do que caudas? Um lance justo é definido como uma probabilidade igual dos resultados.
Explicação: A probabilidade exacta da águia é desconhecida.
E se ambas as águias?
Interessante. Eu tenho uma opção ligeiramente diferente, mas equivalente: fazer dois lançamentos, mas atribuí-los à mesma pessoa. O sucesso é O-R, o fracasso é R-O, todas as outras opções são ignoradas.
OK, mais um, um pouco mais complicado:
N equipas de futebol jogam no sistema olímpico. Quantos jogos TOTAL devem ser organizados entre as equipas para determinar um vencedor?
Comentário: o sistema olímpico é quando eles jogam uma disputa de penaltis (se houver um empate, uma disputa de penaltis). Os vencedores avançam para a ronda seguinte. Se qualquer ronda tiver um número ímpar de equipas, uma equipa vai para a ronda seguinte "de graça", as outras são divididas em pares e jogam uma contra a outra. O jogo pára quando resta 1 vencedor.
A resposta é óbvia, mas tem de ser justificada. E escusado será dizer que o verdadeiro sistema olímpico é diferente. Eu sei. Mas é exactamente isso que está neste problema.
E mais uma de uma vez, sobre o seguimento:
Há 13 camaleões amarelos, 15 azuis e 17 vermelhos a viver na ilha. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, mudam para uma terceira cor. Noutros casos, nada acontece. Pode acontecer que todos os camaleões acabem por ser da mesma cor?
E mais uma de uma vez, sobre o seguimento:
Há 13 camaleões amarelos, 15 azuis e 17 vermelhos a viver na ilha. Quando dois camaleões de cores diferentes se encontram, mudam para uma terceira cor. Noutros casos, nada acontece. Pode acontecer que todos os camaleões acabem por ser da mesma cor?
Claro, vermelho.
É suficiente ter duas famílias de cores diferentes com o mesmo número de cabeças
Com uma diferença inicial de duas cabeças entre as famílias, não parece resolver nada.
Interessante. Eu tenho uma opção ligeiramente diferente, mas equivalente: fazer dois lançamentos, mas atribuí-los à mesma pessoa. O sucesso é O-R, o fracasso é R-O, todas as outras opções são ignoradas.
OK, mais um, um pouco mais complicado:
N equipas de futebol jogam no sistema olímpico. Quantos jogos TOTAL devem ser organizados entre as equipas para determinar um vencedor?
Comentário: o sistema olímpico é quando eles jogam uma disputa de penaltis (se houver um empate, uma disputa de penaltis). Os vencedores avançam para a ronda seguinte. Se qualquer ronda tiver um número ímpar de equipas, uma equipa vai para a ronda seguinte "de graça", as outras são divididas em pares e jogam uma contra a outra. O jogo pára quando resta 1 vencedor.
A resposta é óbvia, mas tem de ser justificada. E escusado será dizer que o verdadeiro sistema olímpico é diferente. Eu sei. Mas, nesta tarefa, é exactamente isso.
adicionar uma equipa adiciona um jogo:
se houver um número par de equipas (N), então os jogos da primeira ronda seriam N/2, e as equipas da ronda seguinte seriam N/2. Se as equipas fossem menos uma (N-1), então os jogos da primeira volta seriam (N-2)/2=N/2 - 1, e as equipas da volta seguinte seriam (N-2)/2 + 1=N/2
Ou seja, a próxima ronda já terá o mesmo número de equipas e de jogos restantes. Da mesma forma, se N for estranho. Assim, a adição de uma equipa acrescenta apenas um jogo. E como com 2 equipas há 1 jogo, a fórmula é N-1
adicionando uma equipa adiciona um jogo cada:
se houver um número par de equipas (N), então os jogos da primeira ronda seriam N/2, e as equipas da ronda seguinte seriam N/2. Se tiver menos uma equipa (N-1), terá (N-2)/2=N/2 - 1, e as equipas na ronda seguinte serão (N-2)/2 + 1=N/2
Ou seja, a próxima ronda já terá o mesmo número de equipas e de jogos restantes. Da mesma forma, se N for estranho. Assim, a adição de uma equipa acrescenta apenas um jogo. E como com 2 equipas há 1 jogo, a fórmula é N-1
Eu próprio fiz uma prova indutiva, mas depois vi uma solução muito simples - em poucas palavras. Envergonhei-me :)
Mostre-me como funciona. A sequência completa.
Cometi um erro, pensei que dois se transformavam em um :(
e não pode fazer isso. é um número ímpar.
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A pedido de vários membros respeitados dos nossos fóruns, estou a mover aqui este tópico do fórum "quádruplo". As regras permanecem as mesmas: se já conhece a solução para o problema, não a coloque aqui, e deixe os outros torturarem-se a si próprios. Se quer realmente provar-me que tem realmente a solução certa, então contacte-me pessoalmente.
O endereço do website do qual retirei o problema é braingames.ru. O ramo é para aqueles que ainda não perderam o gosto por apenas resolver problemas matemáticos e ver a beleza neles.
O primeiro problema (não é difícil, pesa 3 pontos):
Como desenhar uma moeda atirada com justiça se sabe que esta moeda tem cabeças um pouco mais vezes do que caudas? Um lance justo é definido como probabilidades iguais dos resultados.
Explicação: a probabilidade exacta da águia é desconhecida.