Универсальная регрессионная модель для прогнозирования рыночной цены

к. т. н., доцент кафедры Экономики и предпринимательства  Института Экономики и Торговли Таджикского государственного университета коммерции ( ИЭиТ ТГУК )  УДК 330.115

Введение

Рыночная цена складывается в результате устойчивого равновесия между спросом и предложением, которые, в свою очередь, зависят от множества экономических, политических и психологических факторов, непосредственный учет которых осложнен как различием природы, так и причиной воздействия этих факторов.

Тем не менее, чтобы иметь способность принимать правильные решения о покупке или продаже товаров, включая валюту или акции, в текущий момент времени необходимо уметь предвидеть и прогнозировать с достаточной степенью точности поведение рыночной цены в будущем. Для решения этой задачи используется значительное количество информации различного характера, добытой из всевозможных источников, обрабатываемой тем или иным способом.

Для разработки эффективной стратегии и тактики поведения на рынке используются 4 вида анализа /1/ в зависимости от целей, квалификации или предрасположенности исследователя:

1. Технический анализ, основанный на утверждении, что рыночная цена учитывает в себе всё, что может на него повлиять. Использует развитый математический аппарат /2/;
2. Фундаментальный анализ, изучающий влияние на рыночную цену различных экономических факторов. В основном использует макроэкономические модели /3-5/;
3. Интуитивный анализ, подкрепленный знанием основных рыночных показателей и индикаторов, способ прогнозирования их дальнейшего поведения, результаты которого не могут быть доказаны непосредственным путем применением правил логики и математических соотношений к исходным посылкам, и которые, тем не менее, необъяснимым образом очень часто оказываются верны;
4. Психоанализ, основанный на собственном психологическом анализе состояния рынка каждым покупателем в отдельности и их совокупности в целом, приводящий к переменному успеху.

Состояние изученности проблемы

Любой, в том числе новый, вновь предлагаемый способ прогнозирования рыночной цены, на наш взгляд, должен учесть, а при удачном стечении обстоятельств и объяснить, объективно существующие закономерности, базирующие на трех аксиомах, известные как теория Доу /6,7/, которые кратко можно сформулировать так:

1. Рыночная цена учитывает все факторы, влияющие на него в соответствии с законом спроса и предложения, и для ее прогнозирования необходимо и достаточно располагать данными об ее изменении во времени;
2. Зависимость рыночной цены от времени подвержена тенденциям (трендам), имеющим, чаще всего, S-образные формы, соединенными на восходящих или нисходящих участках горизонтальными («флэт») линиями, называемыми боковым трендом или без таковых;
3. Объективно существуют закономерности изменения рыночной цены, остающиеся неизменными во времени, известные как принципы: «история повторяется» или «они работали в прошлом, работают в настоящем и будут работать в будущем».

Однако, стадии динамического покоя временных рядов рыночных цен, например валютных курсов, сменяются стадиями настолько сложными, что производит впечатление полного и непредсказуемого хаоса, а из беспорядка, в процессе самоорганизации, снова рождается порядок.

Но в определенный момент ослабленная стабильностью динамическая система вновь рождает хаос, что дает основание считать смешанной природу временных рядов экономических показателей, заключающейся в том, что на одних участках временной ряд рыночных цен является детерминированным и поддающимся анализу, на других – не поддается достоверным прогнозам, а на третьих – подчиняется нормальному закону распределения /8/ и ведет себя как случайная величина.

Следовательно, пока в научном мире нет единого мнения на счёт природы изменения рыночных цен, что не позволяет выйти на зависимости, адекватно их описывающих и пригодных для практического применения.

Функции переходных процессов для одноячеечной модели "черного ящика" 

В связи с неопределенностью процесса предлагаю рассмотреть сначала одноячеечную модель «черного ящика», к которой иногда относят рассматриваемую проблему /1/, и применить к ней уравнения материального баланса.

Развивая описанные выше аксиомы, предположим, что находящаяся в равновесии рыночная цена может изменяться только под действием некоторой внешней силы D(t), величину и значение которой будем измерять в той же размерности, что и цену.

Также предположим, что изменение рыночной цены P(t) с течением времени t от начала воздействия указанной силы, непрерывно увеличиваясь от нулевого значения по некоторой, неизвестной пока нам закономерностью, стремится достичь значения P(∞) = D0 в бесконечности. То есть под D0 будем подразумевать конечное приращение или снижение рыночной цены, в зависимости от природы и знака этой воздействующей силы.

Причем, подразумевается, что D(t=0) = D0. Предположим далее, что в течении бесконечно малого отрезка времени dt воздействующая сила уменьшится на величину dD(t) пропорционально оставшейся к моменту времени t силе D(t):

откуда получим экспоненциальную зависимость D(t) от времени t в виде:

                                                                                                             (1)

где:                                                                                                                                        

t – время от начала воздействия дестабилизирующей силы в единицах временного ряда, сек.(мин, часы, дни, недели, декады, месяцы, годы);

τ (тау) – коэффициент пропорциональности, численно равный постоянной времени процесса, сек.(мин, часы, дни, недели, декады, месяцы, годы).

Теперь допустим, что скорость V(t) изменения рыночной цены P(t) пропорциональна как величине D(t), так и времени t:

где:                                                                                                                                     (2)

k -  коэффициент пропорциональности, имеющий размерность 1/(время)^2;

β = k*τ*D0 - коэффициент пропорциональности, имеющая размерность скорости изменения рыночной цены.

Абсолютное приращение или снижение цены за единицу времени к данному моменту времени t, которое выразим как H(t), численно равна V(t):

H(t) = V(t) = β*m

Несомненно, интегрируя H(t) во всем диапазоне изменения времени t, мы должны получить общую величину изменения рыночной цены P(t) к моменту времени t от начала ее дестабилизации:   

где:                                                                                                                       (3)

Поскольку из (3) следует, что при t = ∞  s = 1, то заключаем:

P(∞) = β*τ = D0;

или: β = D0/τ;

Сравнивая предыдущее обозначение  β с полученным результатом, заключаем, что:

   k = 1/τ^2;

Теперь справедливы соотношения: 

         H(t) = D0*m;

         P(t) = D0*s.

Следовательно, если определить коэффициенты τ и β , то можно оценить и прогнозировать предельное значение изменения цены D0 на любой, в том числе на ранней, стадии изменения цены. Тем не менее, указанные утверждения будут справедливы только тогда, когда будет выполняться условие материального баланса:

D(t) + H(t) + P(t) = D0                                                                                                                                     (4)

или:  

   Следовательно, должно выполняться условие нормировки:

      ℓ + m + s = 1;                                                                                                                                           (5)

   Проверим это обстоятельство, используя соотношения (1-3):

Однозначное выполнение условия материального баланса (4) и условия нормировки (5) указывают на справедливость принятых допущений и предлагаемых соотношений.

Функции переходных процессов для многоячеечной модели 

Рассуждая аналогичным образом, получим следующие соотношения для функций D(t), H(t) и P(t) в случае многоячеечной модели черного ящика, состоящей из n ячеек:

D(t) = D0 * L;

H(t) = D0 * M;

P(t) = D0 * S;

где:

 - названная мною пока "двухпараметрическая интегральная экспоненциальная функция  распределения"                (6)

 - разновидность плотности функции Гамма-распределения, или плотность функции распределения Эрланга;     (7)

 - разновидность интегральной функции Гамма-распределения, или интегральная функция распределения Эрланга, (8)

 t/τ, n – параметры распределений;

1 – логическое выражение, имеющее значение – «истина»;

0 - логическое выражение, имеющее значение – «ложь»;

Интегрированием (8) можно убедиться, что:

или:         

Следовательно, и в этом случае, согласно (6-8), условие нормировки выполняется однозначно:

                                    L+M+S = 1;                                                                                                                                             (9)

Функцию L я назвал  «функцией будущих периодов», поскольку от ее величины зависит значения рыночной цены в будущем, функцию M - «функцией настоящего времени», поскольку она определяет изменение рыночной цены за единицу рассматриваемого периода времени, а функцию S – «функцией прошлого», поскольку от ее значения зависит достигнутая уровень рыночной цены за весь период времени, прошедшей с момента ее дестабилизации, что не противоречит понятию переходного процесса и значительно расширяет наше прдставление о происходящем в смысле философии проблемы.

Подстановкой n = 1 в (6-8) можно убедиться, что при этом функции L, M и S превращаются соответственно, в функции ℓ, m и s, поэтому в дальнейшем для целей прогнозирования будем рассматривать именно функции L, M и S, как наиболее общие случаи функций этого класса.

Разработка универсальной регрессионной модели для прогнозирования рыночной цены на основе выявленных функций переходных процессов

Уровень рыночной цены P(h) от времени t от начала наблюдений выразим следующим образом:

Для одноячеечной модели:

Для многоячеечной модели: 

       (10b)

где:     P0 - уровень рыночной цены непосредственно перед ее дестабилизацией, т.е., к моменту времени t = 0.

Параметры n, τ и коэффициент β определяются по фактическим значениям рыночной цены от начала ее дестабилизации на рынке, причем при этом анализируется изменение рыночной цены f за единицу времени t, которое можно принять как величину производной от (10b). Можно убедиться, что ошибка от принятия данного допущения ничтожно мала и составляет сотые доли процента от величины изменения цены. Принятие этого допущения значительно упрощает процесс нахождения вышеуказанных параметров и коэффициента β.

Действительно, теперь можно от анализа функции S перейти к анализу функции M:

                                                               (11)

Разделив обе части (11) на t^n и логарифмируя найденное соотношение, получим уравнение прямой линии в полулогарифмических координатах:

Теперь, если известны значения функции f к соответствующим моментам времени t, то из этого уравнения параметры n, τ и коэффициент β определяются следующим образом:

                                                          (12)

                                                                                                           (13)

                                                                                                                             (14)

где:

Значения функции f к соответствующим моментам времени t и время t определяются по фактическим значениям рыночной цены Р0, Р1,…, Рк к моментам времени һ0, һ1,…, һк от начала ее дестабилизации путем численного дифференцирования, отнесенным к середине интервала:

f1 = (P1 - P0)/(һ1 – һ0); f2 = (P2 – P1)/( һ2– һ1); f3 = (P3 – P2)/( һ3– һ2); и так далее;

t1 = (һ0 + һ1)/2; t2 = (һ1 + һ2)/2; t3 = (һ3 + һ2)/2; и так далее.

Корректировка и приспособление модели 

Практическая апробация уравнений (10a) и (10b) в качестве регрессионной модели на фактических данных показала, что необходимо произвести коррекцию значений Р(0) и D0, которая была осуществлена следующим образом:

                                                          (15)

                                                                                                     (16)

где: Sf и Sr – площади, соответственно, фактических и расчетных кривых;

∑Pf = P0+ P1 + P2 + …+ Pk – сумма фактических значений  цены;

                                                                                                      (17)

i = 0, 1,2,......k; 

k>2 – количество временных интервалов, для которых определены разность цен;

b – коэффициент линейного уравнения регрессии  , определяющий направление тренда фактических данных.

Теперь регрессионное уравнение (10b), для прогнозирования рыночной цены P(t), принимает следующий окончательный вид:

                                                                                            (18) 

Опробация модели

Обнаружилось, что рассчитанные таким образом значения рыночной цены P(t) и фактические ее значения Pf, осуществленные на примере рынка Форекс, всегда  полностью и однозначно удовлетворяют условию материального баланса:

∑ P(t) = ∑ Pf.                                                                                                                                                                    (19)

Абсолютно точное совпадение сумм фактических и расчетных значений исследуемого параметра, в частности рыночной цены, при всех значениях аргумента, в частности, времени, свидететельствует о справедливости принятых, при выводе функций, выкладок, преобразований, допущений и об универсальности предлагаемой регрессионной модели. 

На рисунке  показаны результаты обработки фактических данных рынка Форекс (минутные таймфреймы)  предложенным способом по уравнению (18), откуда видно удовлетворительное соответствие фактических (Pf) - (желтая линия с красными точками),  расчетных  и прогнозных (P1) - (синяя линия) и будущих фактических, но не участвовавших в расчетах (Pff ) - (синяя линия с красными точками), значений курса валюты EUR/USD.

Выводы

Выявлены и предложены три функции описывающих, соответственно, три стадии динамических переходных процессов, которые определены в виде различных модификаций функции Гамма-распределения, определяющих поведение изучаемого параметра, в частности рыночной цены, в зависимости от времени в будущем, настоящем и прошедшем периодах времени от начала ее дестабилизации.   

В результате анализа  указанных процессов предложена универсальная регрессионная модель для прогнозирования рыночной цены, на основе которой могут быть разработаны, в частности, различные по назначению индикаторы рынка, торговые советники для оптимизации деятельности трейдеров, автоматических торговых систем (АТС) и, возможно, создана реальная основа для разработки торгового робота - РОБОТРЕЙДЕРА, осуществляющего выгодные торговые операции без участия и во благо человека.

P.S. -  Все пронумерованные соотношения и формулы, а также основные положения и выводы настоящей статьи  разработаны,  выявлены, предложены и выставлены мною на обозрение в открытой печати впервые.

Литература

1. Котенко А. Е., О методах технического и фундаментального анализа при исследовании рынка Forex, Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ», http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/151.pdf
2. Якимкин В. Н., Рынок Форекс – Ваш путь к успеху, М., «Акмос- Медиа», 2001.
3. Лиховидов В. Н., Фундаментальный анализ валютных рынков: методы прогнозирования и принятия решений, Владивосток, 1999.
4. Бункина М.К., Семенов А. М., Основы валютных отношений, М., Юрайт, 2000.
5. Сакс Джеффри Д., Ларрен Б. Филипс, Макроэкономика: глобальный подход., М., Дело, 1996.
6. Rhea, Robert. Dow Theory,- New York; Barrons, 1932.
7. Greiner, P. and H. C. Whitcomb: Dow Theory, New York: Investor’s Intelligence, 1969.
8. Гуляева О. С., Управление валютными рисками на основе предпрогнозного анализа валютных курсов фрактальными методами, Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук, Москва-Тверь, ТвГУ, 2008.