Estimando o índice de funcionalidade, o expoente de Hurst e a possibilidade de prever séries temporais financeiras

Introdução

Atualmente o mercado financeiro é um exemplo de sistema natural de equilíbrio complexo. Por um lado, é bastante caótico, porque suas mudanças são determinadas pela influência de muitos participantes e, por outro lado, nele operam processos estáveis determinados por eles. Como entre as tarefas dos econofísicos está a descrição dos processos de interações sociais que moldam a dinâmica de preços observada na bolsa de valores, a definição e apresentação de propriedades especiais de séries temporais financeiras é algo muito desejável, pois ajuda a diferenciar esse tipo de dados em relação a outros processos naturais. Nos tempos modernos é sabido que as séries temporais são fractais de diferentes dimensões (de minutos a décadas).

Seu comportamento é muito mais complicado do que o de muitos processos naturais e de modelo [3]. Para compreender em detalhes esse comportamento, é desejável usar uma ferramenta de análise numérica de séries para estudar sua dinâmica. Os algoritmos típicos para obter estimativas confiáveis de dimensionalidade fractal exigem conjuntos volumosos de dados (da ordem de 10 000-100 000 amostras) que caracterizam a série durante um longo intervalo de tempo, durante o qual pode variar o comportamento, às vezes até muitas vezes. Para resolver tarefas reais de negociação, são necessários métodos para determinar as características fractais locais da série. Esse artigo discute e mostra como, usando um método numérico, determinar a dimensão fractal de séries para as sequências de preços descritas nos trabalhos [1, 2].

Conceito de dimensão fractal e propriedades estatísticas de séries temporais

A dimensão fractal estima como o conjunto de dados ocupa um espaço. Existem muitos métodos para estimá-la. A maneira mais comum consiste em calcular o volume ou área no espaço onde está localizado esse conjunto. Tomemos como exemplo a série temporal de um instrumento financeiro que consiste em preços de fechamento {Close(t)}. Se os níveis da série {Close(t)} forem independentes, seu gráfico não terá tendências claramente definidas, seu comportamento será semelhante ao do ruído branco. O valor da dimensão fractal D se aproximará do tamanho da dimensão topológica do plano, ou seja, D->2. Se os valores da série {Close(t)} não forem independentes, o tamanho D será substancialmente menor que 2, o que indica a presença de uma “memória” na série temporal, ou seja, em alguns intervalos de tempo serão observadas tendências de alta e de baixa que se alternam com períodos de incerteza (Figura 1).

Fig. 1. Exemplo de uma série aleatória e uma série com uma tendência e a dimensão fractal correspondente

Formas de estimar a dimensão fractal, suas características

Existem diferentes maneiras de calcular a dimensão fractal de uma série temporal. Discutamos o método de avaliação usando o exponente de Hurst.

O exponente de Hurst é determinado a partir da suposição

                                (1a)

onde os colchetes angulares indicam a média do tempo. A ligação entre o índice de Hurst e a dimensão fractal é obtida pelo método de amplitude normalizada ou análise R/S com base nas expressões

DH = 2-H

H = log(R/ S) / log(N / 2) (1b)

onde R é max {Close(t)} - min {Close(t)},  i = 1..N amplitude dos desvios da série Close(t),  S é o desvio padrão dos valores Close(t). Esse método é discutido com mais detalhes no artigo de Dmitry Piskarev Cálculo do Coeficiente de Hurst. 

Se, para a série temporal, o exponente de Hurst estiver na faixa de 0,5-1, essa série é considerada persistente ou resistente à tendência, isso significa que a série {Close (t)} não é aleatória, contém uma tendência e seu comportamento pode ser previsto com precisão suficiente. Quanto mais próximo o valor H da unidade, mais correlacionados os valores da série {Close(t)}.

A desvantagem desse método é que, para obter uma avaliação confiável do exponente de Hurst, é necessária uma quantidade de dados bastante grande (milhares de valores de séries de dados), do contrário, as estimativas obtidas podem estar incorretas. Além disso, os valores da série devem ter uma lei de distribuição normal, o que nem sempre é o caso. Como, para um cálculo confiável (tanto de DH como do exponente H), é necessária uma enorme escala representativa com grande quantidade de dados, não seria uma surpresa que, durante o processo de negociação com uma duração respectiva, a série pudesse mudar repetidas vezes seu comportamento. Para a ligação entre a dinâmica local do processo estudado e a dimensão fractal da série observada, é necessário definir localmente a dimensão D.

Estimativa da dimensão fractal baseada na área mínima de cobertura

Ao prever séries econométricas, o maneira mas efetiva é o método baseado no cálculo da dimensão de cobertura mínima [1, 2]. Em 1919, Hausdorff sugeriu a seguinte fórmula para determinar um fractal:

.

onde  é o menor número de bolas de raio  , que cobrem este conjunto.   Observe que, se o conjunto original estiver no espaço Euclideano, para aproximá-lo de um fator geométrico, podem ser utilizadas quaisquer outras figuras simples (por exemplo, células), em vez de cobrir o conjunto usando bolas .

Por exemplo, a função f(t) é definida no intervalo [a, b]. Dividimos o intervalo wm = [a=t0<t1<t2...tm=b], enquanto definimos a dimensão da divisão como   Se cobrirmos esses conjuntos usando, por exemplo, células dimensionadas , então se for diminuído o fator , o número de células N aumentará de acordo com a lei de potência:

 

onde D é a dimensão fractal.

Ao determinar a dimensão D usando o método de células, a superfície na qual está localizado o gráfico de série temporal é dividida em células de tamanho , em seguida, é realizado um cálculo para contar o número de células  N( ), ao qual pertence pelo menos um ponto desse gráfico. Em seguida,   é alterado, e é plotado o gráfico da função N( ) na dimensão logarítmica dupla. Além disso, o conjunto resultante de pontos é aproximado usando o método dos mínimos quadrados (MMQ). D é determinado com base na inclinação da linha. 

A área de cobertura mínima do gráfico da função nessa dimensão, no intervalo [a, b], será igual à soma das áreas dos retângulos com a base  e a altura igual à variação   —  a diferença entre o máximo e o mínimo da função f(t) em cada intervalo [ti-1, ti]. A área de cobertura mínima  pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

                    (2)

onde é a soma das variações de amplitude da função f(t) no intervalo [a, b]. A estimativa depende da magnitude selecionada. Quanto menor , mais preciso o cálculo de . Nesse caso, quando muda, o valor é alterado de acordo com a potência colocada:

                                          (3)

onde  . A magnitude  é chamada de "dimensão da cobertura mínima", enquanto o índice  é referido como índice fractal. 

A dependência da área de cobertura mínima de diferentes  para uma série temporal consistindo em 32 observações é mostrada na Fig. 2.

Fig. 2. Cálculo da área de cobertura para vários valores  

A referência [2] afirma que a dimensão fractal que é calculada usando a cobertura celular e cobrindo com o retângulo, com base na variação da função, coincide. Uma propriedade importante do algoritmo que usa variações de função é sua convergência muito mais rápida, permitindo determinar o valor da dimensão fractal da série temporal localmente, usando um pequeno conjunto de valores.

Aplicando um logaritmo para (3), obtemos o seguinte:

                                                            (4)

Para determinar  , em coordenadas logarítmicas duplas, é plotado o gráfico de dependência (3) usando o método dos mínimos quadrados (MMQ), em seguida, é determinada a tangente do ângulo da reta. Com base na expressão (4), é calculado , o índice fractal, que é a característica local da série temporal. Em [1], mostra-se que a precisão da estimativa é muito maior do que a precisão para outras caraterísticas fractais, como a dimensão celular ou a dimensão calculada com base no expoente de Hurst. Além disso, o método não tem limitações na distribuição de séries  . A referência [1] também mostra que uma estimativa confiável pode ser obtida se a série temporal inclui pelo menos 32 observações. Na realidade, as séries financeiras têm uma história muito mais longa. Essa abordagem permite o uso do índice fractal em função do tempo  , em que cada valor é determinado com base nos 32 valores anteriores da série temporal  .

Na Fig. 3 mostra o exemplo de cálculo do índice fractal   baseado no ângulo de uma linha reta aproximada. De acordo com a figura, o coeficiente de determinação da equação de regressão R ², que aproxima a dependência, é igual a 0.96, indicando que o índice fractal de 0.4544 é calculado com bastante precisão para um fragmento de uma série de 32 pontos.

Fig. 3. Aproximação da dependência  em coordenadas logarítmicas duplas e determinação do índice fractal

A avaliação da dimensão fractal pode ser realizada usando o método de dimensão de célula ou o exponente de Hurst. Como exemplo, vamos considerar as cotações de ações da Lukoil (MICEX) antes da crise que aconteceu no início do século. Esse tempo pode ser interpretado como uma tendência estável com um aumento gradual (série persistente). Fig. 4 mostra os resultados da avaliação da dimensão fractal em 1999.

Fig. 4. a) aproximação de MMQ da medida fractal usando a cobertura celular (D=1.1894), b) Gráfico log-log da estimativa numérica do parâmetro Hurst (D=1.6)

Dimensão fractal da série D = 1.18 aponta para a sua natureza persistente resistente à tendência Um valor próximo a um indica o fim próximo da tendência, que aconteceu em 2000-2001. Valor do expoente de Hurst H=0.40. Preste atenção ao coeficiente de determinação relativamente baixo R ²= 0.56 com o intervalo de confiança de 0.95. De acordo com as fórmulas (1),a dimensão fractal calculada pelo expoente de Hurst é igual a D = 1.6, o que indica o comportamento aleatório de uma série com um aumento do nível de estocasticidade. No entanto, isto não diz respeito às ações da Lukoil no período de 1999. 

Na referência [2] é fornecido outro exemplo interessante e ilustrativo do índice fractal e da precisão da estimativa do expoente de Hurst a partir de indicadores locais de séries temporais. Essa avaliação de parâmetros é mais apropriada para as tarefas de negociação relacionadas à análise de mercado do comportamento operacional qualitativo e quantitativo de séries temporais. A série de preços de origem da Alcoa Inc., que inclui 8145 pontos, foi dividida em 8 113 intervalos sobrepostos de 32 dias cada, deslocados um dia um em relação ao outro. Como parâmetros de precisão de cálculo foram utilizados os seguintes parâmetros: largura do intervalo de confiança 95% para   Н e  , avaliação da precisão dos pontos reais que atingem a linha teórica K = 1- R ² , onde R ² é o coeficiente de determinação (se os pontos caírem exatamente na reta, então R ²=1 и К=0).

Em cada um dos 8113 segmentos foram calculados:

• H — exponente de Hurst;
• — índice fractal;
• — largura 95% do intervalo de confiança para H;
• — largura 95% do intervalo de confiança para  ;
• — exatidão da correspondência dos pontos experimentais obtidos por uma linha recta para H;
• — exatidão da correspondência dos pontos experimentais obtidos por uma linha recta para  .

Fragmentos típicos de gráficos de funções ,   e  , , construídos para os intervalos, cujo valor correto coincide com o tempo t, são mostrados na Fig. 5a e 5b. Como pode ser visto nessas imagens, na maioria dos casos, o exponente de   se determina muito mais exatamente do que H.

Fig. 5a. Fragmento típico da série temporal de intervalos de confiança criados com base na série de preços Close para a Alcoa Inc.

Fig. 5b. O fragmento de série correspondente para os valores que mostram a precisão da coincidência de pontos experimentais e a linha teórica, construído para a mesma série 

Essas imagens permitem concluir que, na maioria dos casos, o índice fractal    é determinado com muito mais precisão do que H.

A principal vantagem do índice   em relação a outros indicadores fractais (em particular, o expoente de Hurst) é que o correspondente o valor  entra rapidamente no modo assintótico. Isso permite o uso de   como característica local, determinando a dinâmica do processo inicial, uma vez que a escala para sua determinação confiável corresponde àquela da escala principal de estados de processo determinantes. Esses estados incluem os períodos de calma relativa (fla) e os períodos de movimento de alta ou baixa a longo prazo (tendência). Uma solução eficiente para vincular o valor   com o comportamento da série, é adicionar a função  como um valor   que é determinado no intervalo mínimo anterior t, em que   ainda pode ser calculado com precisão aceitável.

Correlação da natureza das séries temporais e do índice fractal

Qualquer pessoa que queira usar um indicador baseado no índice fractal deve conhecer algumas de suas características específicas [2].

O comportamento da série define o valor   , particularmente:

1.  = 0.5 indica desvio aleatório do preço (processo de Wiener). Os investidores se comportam de forma independente e não há uma tendência óbvia no comportamento do preço. Nesse caso, podemos dizer que o preço tem uma estabilidade "normal", porque o preço é fracamente dependente de influências externas, não há "feedback" e, portanto, não há oportunidades de arbitragem.
2.  < 0.5 sugere que o preço tem maior estabilidade contra influências externas, o que pode estar ligado à confiança dos investidores na estabilidade relevante da empresa e à ausência de novas informações no mercado. Nesse caso, os preços das ações flutuam dentro de uma faixa de preço bastante estreita. Ainda há um número suficiente de vendedores quando os preços crescem, assim como há compradores suficientes quando os preços caem, e com seu agir recuperam os preços para o intervalo inicial. "Correlação" nesse caso é negativa e mitiga as mudanças nos preços das ações, preservando o comportamento estável dos preços.
3.  > 0.5 corresponde à redução da estabilidade de preços. Isso pode indicar o surgimento de novas informações e a reação que elas causam. Pode-se supor que todos os participantes do mercado estimam as informações recebidas de forma aproximadamente igual e, portanto, uma tendência aparece no movimento do preço correspondente à informação recebida. Sob algumas condições, essa situação leva a mudanças bruscas no preço das ações.

O índice fractal e o expoente de Hurst estão relacionados como   = 1-H, o que permite a herança de variantes de classificação de séries temporais caóticas:

1. Quando    = 0.5, H = 0.5 a série temporal é o processo Wiener (ruído “marrom”). A principal propriedade do processo é a ausência de memória: a evolução da série não está relacionada com os valores anteriores.
2. Quando 0.5 <   <= 1, 0 <= H < 0.5, o processo é considerado como o ruído "rosa". Ele é caracterizado pela memória "negativa": se o incremento positivo foi registrado no passado, provavelmente será seguido por um incremento negativo, e vice-versa. 
3. Quando 0 <=   < 0.5 , 0.5 < H <=1 , a série temporal é um ruído "preto" com a memória positiva: se no passado ocorreu uma tendência positiva, é provável que permaneça no futuro e vice-versa.

Indicador para avaliar o índice fractal e o expoente de Hurst

Negociações bem-sucedidas em uma escala de dias, de semanas e de meses estão associadas a uma compreensão do estado caótico das séries temporais financeiras. Com base na avaliação estável de índices fractais em fragmentos de dados curtos, podemos desenvolver um indicador para ações (cuja evolução é determinada pela vontade de um grande número de pessoas), o que ajudará o trader a identificar e prever séries temporais financeiras.

O indicador avalia o índice fractal, o intervalo de confiança para ele, os valores do coeficiente de determinação e o expoente de Hurst. Os gráficos apresentados mostram os gráficos de função , e o acima mencionado .

No código, é possível definir a duração do segmento de séries temporais, para o qual será executado o cálculo e será fornecida a janela de avaliação de parâmetros. Quando o código é executado, a série é calculada ao longo dos preços de fechamento, enquanto a janela é deslocada uma contagem. Como a duração da janela de avaliação (intervalo) é igual à potência de dois, podemos obter um conjunto de valores e avaliar o índice fractal realizando a aproximação linear do conjunto.

double CFractalIndexLine::CalculateFractalIndex(const double &series[],const int N0,const int N1,
                                                const double hourSampling,int CountFragmentScale=0)
  {
//- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
// series[] - série temporal
// N0, N1 - pontos de fronteira esquerda e direita do fragmento na matriz series[] pela qual será estimado o índice de fractalidade
// hourSampling - discretização entre pontos EM HORAS
// CountFragmentScale - número de escalas solicitadas para formar um conjunto de pontos para os quais é calculado o índice fractal
//
// RESULTADO
// índice fractal (Mu), exponente de Hurst (Hurst), intervalo de confiança de 95% (ConfInterval[2], 
// coeficiente de determinação (R2det) - quanto mais próximo de 1, mais precisamente caem os pontos de cálculo na linha reta aproximada
// estabilidade da determinação do coeficiente KR2 = 1-R2det. Quanto mais próximo de zero, mais preciso é o valor Mu calculado
//- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
// 1. Carregamos o fragmento interno com valores da série temporal     
   LoadFragment(series,N0,N1,hourSampling);

// 2. Determinamos o número de ciclos para determinar os pontos da linha aproximada
   int   nn2 = (int)floor(Nfrgm/2);  // Limite de partição - não menos que dois pontos
   int npow2 = (int)ipow2(nn2);      // Número de potências de dois no limite de particionamento;

   if(CountFragmentScale==0) CountFragmentScale=npow2; // por padrão

   int Count=fmin(CountFragmentScale,npow2);           // limite do número de variantes da divisão de fragmentos de série
   int NumPartDivide;

   for(int i=0; i<=Count; i++)
     {
      NumPartDivide = (int)pow (2,i);      // Número de partes na divisão de fragmentos da série
      CalcAmplVariation(NumPartDivide, i); // Cálculo do ponto para o modelo de linha aproximada      
      i=i;
     }
// 4. Avaliação do Índice Fractal e dos limites de confiança do Índice
   Mu=fCalculateConfidenceIntervalMU(LogDeltaScales,LogAmplVariations,Count,ConfInterval,R2det);
   Hurst=1-Mu;		// Expoente de Hurst
   KR2=1-R2det;

   return Mu;
  }
//----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


double CFractalIndexLine::CalcAmplVariation(const int NumPartDivide,int idxAmplVar=-1)
  {
// Se idxAmplVar=-1,  o índice na matriz é determinado automaticamente (com base na contribuição da potência de dois em NumPartDivide)
// JÁ FEITO ANTERIORMENTE: copiado o fragmento, definido o tempo de discretização da série EM DIAS
// - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

// 1. Determinando as fronteiras dos intervalos correspondentes aos números específicos
   int nCheckPoint=0,nIntervalPoints=0; // número de pontos a serem verificados em um intervalo de divisão 
   double dayDeltaScales=BoundaryArray(NumPartDivide,fragment,0,Nfrgm-1,hSampling,Boundaries,nIntervalPoints);

// 2. EXECUÇÃO ATRAVÉS DE INTERVALOS PARA DETERMINAR VALORES LIMITADOS DAS FUNÇÕES E DA VARIAÇÃO DA AMPLITUDE
   int countInterval=Boundaries.CountNonEmty();
   int  maxFuncIdx=0,minFuncIdx=0;
   double A,V=0.;

   nCheckPoint=(int)(Boundaries.y[0]-Boundaries.x[0])+1;
   for(int i=0; i<countInterval; i++)
     {
      maxFuncIdx = ArrayMaximum(fragment,(int)Boundaries.x[i],nCheckPoint); // ÍNDICE COM VALOR MAX. 
      minFuncIdx = ArrayMinimum(fragment,(int)Boundaries.x[i],nCheckPoint);
      A = fragment[maxFuncIdx] - fragment[minFuncIdx];
      V = V+A;
      i=i;
     }

// 3. ACUMULAÇÃO DE RESULTADOS NO ARMAZENAMENTO    
   if(idxAmplVar==-1) idxAmplVar=ipow2(NumPartDivide); // índice na matriz de armazenamento

   LogDeltaScales   [idxAmplVar] = log(dayDeltaScales); // scala de log da partição atual
   LogAmplVariations[idxAmplVar] = log(V);              // log-Amplitude Variation na escala de divisão atual

   return V;
  }
//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Os fragmentos de arquivo CFragmentIndexLine.mqh executam loops para o cálculo da área de cobertura, como é mostrado na Fig.2. A sequência de ações no programa é explicada através de comentários detalhados.

Demonstração da operação do indicador em dados reais

Chamamos o indicador, solicitando a avaliação de 600 dias com a janela de avaliação de 64 pontos. O resultado contém 536 valores do índice fractal (Fig.6).

Fig.6 Preços de fechamento da OAO Gazprom e resultados da avaliação do índice fractal

A figura mostra a correlação dos valores do índice e o comportamento dos preços. A cor azul do gráfico de índice corresponde ao estado de tendência do sistema, indica a estabilidade da tendência e a capacidade de prever o comportamento futuro. A cor violeta indica anti-persistência do tipo "ruído rosa", que corresponde à memória "negativa" e a flat. Amarelo corresponde ao movimento browniano, ou seja, o movimento é aleatório e não pode ser previsto.

Fim do artigo

A análise fractal local pode ser interessante na negociação para os seguintes propósitos:

1. Determinação do desordem, ou seja, definição do momento em que mudam as características estatísticas de uma série temporal;
2. Previsão de uma série temporal.

Deve-se levar em conta que a escala para determinação do índice com uma precisão adequada é de duas ordens de grandeza menor do que uma escala semelhante para o cálculo do expoente de Hurst H. Essa diferença permite usar o índice como o índice fractal local. É por isso que pode ser considerado esse índice descreve a estabilidade de uma série temporal. Caso   <0.5 pode ser interpretado como uma tendência e caso   >0.5 - pode ser tratado como flat.  ~ 0.5 é considerado o movimento browniano. Assim, usando a função   podemos classificar as séries de preços iniciais e fornecer base para as previsões. 

Lista de referência

1. Dubovikov MM, Starchenko NV. Econophysics and fractal analysis of financial time series
2. Econophysics and analysis of financial time series // Collected. "ECONOPHYSICS. Modern physics in search of economic theory"
3. Peters, J. Chaos and Order in the Capital Markets. A New View of Cycles, Prices, and Market Volatility.
4. Krivonosova EK, Pervadchuk VP, Krivonosova EA. Comparison of the fractal characteristics of time series of economic indicators.
5. Starchenko NV. Local fractal analysis in physical applications.