O que é Martingale? É sensato utilizá-lo?

O que é Martingale?

Se você escrever "martingale" na busca, aparecerá um grande número de páginas com a descrição deste sistema. É interessante notar que, entre outros, você conhecerá web-sites de casinos on-line que garantem que este sistema funciona, tudo que você precisa é digitar seu número de cartão de crédito para começar a recolher dinheiro. O que é estranho - os casinos estão prontos para dar dinheiro tão facilmente? Se o Martingale realmente funciona tão bem, então por que todos os cassinos não faliram?

Então, o que é Martingale? Aqui está a definição da Wikipédia:

O Martingale é um sistema de apostas em jogos de azar. O significado é o seguinte:

• Um jogo começa com uma certa aposta mínima;
• Depois de perda, a aposta deve ser aumentada de modo que o vencedor recupere todas as perdas anteriores e lucre um pouco;
• Caso vença, o apostador retorna para a aposta mínima.

(Traduzido da Wikipédia Russa por MetaQuotes Software Corp.)

Maiores informações aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_system

Onde o Martingale é utilizado?

A aposta mais simples para a análise do Martingale é o jogo chuck-farthing. As chances de ganhar e de perder são iguais, o apostador ganha se der cara e perde se der coroa. O sistema Martingale para este jogo funciona da seguinte maneira:

• Comece o jogo com uma aposta pequena;
• Após cada perda, dobre a aposta;
• Caso vença, retorne para a aposta mínima.

O Martingale também pode ser usado no jogo da roleta, apostando no vermelho ou no preto. As chances são inferiores a 50/50,mas são próximas a este valor, pois há também o número Zero.

A seguinte variante do jogo pode ser utilizada para trading. Análogo com o cara ou coroa, abrimos uma posição em qualquer direção (curto ou longo) com stop-loss e take-profit igualmente distante do preço de negociação. Ao abrirmos a posição em uma direção aleatória, a probabilidade de ganhos e perdas é análoga - 50/50. Sendo assim, neste artigo vou descrever apenas o problema clássico de jogar cara ou coroa dobrando a aposta em uma perda.

Parte matemática

Vamos realizar um cálculo matemático da dependência da probabilidade de perda do lucro possível no jogo com uma moeda usando o sistema Martingale. Vamos apresentar os seguintes símbolos:

• Set – um conjunto de lançamentos, terminado por um vencedor. Isto é, todos os lançamentos exceto o último que perder. No primeiro lançamento a aposta é mínima, em cada próximo lançamento no conjunto a aposta é duplicada;
• Q – depósito inicial;
• q – preço da aposta inicial;
• k – número máximo de lançamentos (perda) no conjunto, levando a falência (suponha que depois do lançamento k o depósito é igual a zero).

À medida que dobramos a aposta após cada lançamento podemos derivar a seguinte equação:

Cada conjunto com a quantidade de lançamentos menores que k-1 retorna o lucro q. Como a probabilidade de ganhar em um lançamento é = ½, a duração média do conjunto é 2 *. Vamos rotular por P(N) - a probabilidade de que nós não iremos falir com N lançamentos. Como N lançamentos constituem cerca de conjuntos N/2(a duração média do conjunto é 2), e a probabilidade de ganhar no conjunto é (1/2)^k-1, então

Ficamos com a função da dependência da vitória sobre N. Mas o número total de lançamentos(N) não é informativo o suficiente, por isso vamos tentar vincular N com um lucro esperado. Suponha que, no resultado queremos duplicar o seu capital. Como no conjunto, cada vez que ganharmos q=Q/(2^k-1), o lucro total será calculado de acordo com a regra do juro composto (mais informações sobre juros compostos aqui):

Depois de transformações simples obtemos a seguinte fórmula para N:

Depois de calcular a probabilidade de o lucro P (N) usando as ações (1)-(2) obtemos os seguintes resultados:
Se considerarmos N um valor não inteiro(não arredondar os resultados da equivalência(2) para um número inteiro, então P(N) não depende de k e é igual a 1/2 (você pode facilmente verificar isto, inserindo (2) em (1) e utilizando as propriedades mais simples dos logaritmos). Isto é, o uso do Martingale não fornece quaisquer vantagens; poderíamos também apostar todo o nosso capital Q e a probabilidade de vencer seria a mesma (1/2).

Conclusões da parte matemática

Falando francamente, no início da preparação dos cálculos para este artigo, eu esperava que o Martingale fosse aumentar a probabilidade de perda. Parecia ser errado e o risco de perda não é aumentado. Ainda assim, este artigo descreve muito bem a falta de sentido de usar o Martingale.

Expert Advisor

Depois de obter as fórmulas anteriores, a primeira coisa que fiz foi escrever um pequeno programa, simulando o processo de jogar chuck-farthing e compondo as estatísticas da probabilidade de derrotas (P) dependentes do coeficiente k. Após a verificação, descobri que os resultados do programa (pode ser chamado de "um experimento") coincide com cálculos matemáticos.
Claro, a variante ideal seria escrever um Expert Advisor, realizar trading pelas mesmas regras do jogo chuck-farthing, certificando-se que os dados teóricos e experimentais são idênticos. Mas isto não é possível pois a aposta inicial é calculada utilizando a fórmula:

E no Forex podemos "aposta" apenas uma soma de múltiplos de 1/10 de um montante. É por isso que é impossível escrever um Expert Advisor que prove muito bem as fórmulas acima. No entanto, para completar a análise, ainda podemos escrever um Expert Advisor utilizando o Martingale. Mas aqui a aposta inicial será fixada - 0,1 de um lote. Analogamente, a aposta será dobrada em uma perda e voltará ao início quando obtivermos lucro. Conforme descrito no início do artigo, um trade vai ser aberto da seguinte forma: um trade é aberto em uma direção aleatória com a probabilidade de 50%, stoploss e takeprofit são fixos e igualmente distantes.

A imagem acima mostra os resultados do teste deste Expert Advisor. Note que embora a direção geral da curva seja para cima, de vez em quando, ela sofre grandes mergulhos. Como resultado do último mergulho o Expert Advisor pára o trading pois o equilíbrio não é suficiente para a próxima aposta com um montante dobrado. E no momento da paragem o balanço é positivo - aqui está a diferença do cálculo teórico "na parte matemática".

Observação. Os arquivos anexados possuem a imagem de todos os cálculos matemáticos necessários e o Expert Advisor.