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统计学基础

19 五月 2014, 09:27
QSer29
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简介

什么是统计学?以下是在维基百科中找到的定义:“统计学是对数据的采集、组织、分析、解释和表达进行的研究。”(统计学)。此定义提出了统计学的三个主要部分:数据采集衡量分析数据分析对交易者而言尤其有用,因为收到的信息是经纪人提供的,或通过交易客户端得到的,已经经过衡量。

现代交易者(最)常用技术分析来决定是买还是卖。当使用某个指标或试图预测将来的价格水平时,他们几乎在一切事情中都应用统计学。事实上,价格波动图本身代表了股票或货币在时间上的某种统计。因此,理解促进交易者决策过程的主要机制下统计学的基本原则非常重要。


概率论和统计学

任何统计都是生成统计的对象的状态改变的结果。让我们讨论以小时为单位的时间框架中欧元兑美元 (EURUSD) 的价格图:

EURUSD 图
 

在这个例子中,对象是两种货币之间的关系,而统计是这两种货币在每一时间点的价格。两种货币之间的相关性如何影响它们的价格?为什么我们在给定的时间区间得到此价格图而不是另外的价格图?为什么价格当前是下跌的而不是上涨的?这些问题的答案是“概率”这一词。视概率而定,每一个对象能够取这个值,也能够取另一个值。

让我们进行一个简单的实验:拿一枚硬币,并且掷硬币若干次,每次都记录其正反面结果。假定我们有一枚公平的硬币。则结果可能如下表所示:

结果 概率
正面 0.5
反面 0.5

该表显示硬币出现正反面的可能性相同。在这里不可能出现其他结果(首先排除硬币直立的情况),因为所有可能的结果的概率之和应等于 1。

掷硬币 10 次。现在,让我们看一看掷硬币的结果:

结果 次数
正面 8
反面 2

为什么硬币出现正反面的可能性相同?硬币出现正反面的可能性确实相同,然而这并不意味着在掷过几次硬币之后,硬币出现正面的次数与出现反面的次数相同。概率仅说明在此具体尝试(掷硬币)中,硬币有可能出现正面,也有可能出现反面,并且正反面的机会相等。

让我们掷硬币 100 次。我们得到新的结果表:

结果 次数
正面 53
反面 47

如您所见,正反面的次数并不相等。然而,53 比 47 的结果证明了初始的概率假设。硬币出现正面的次数与出现反面的次数几乎相等。

现在,让我们以相反的顺序进行同样的实验。假定我们有一枚硬币,但是不知道其出现正面和反面的概率。我们需要确定它是否是一枚公平的硬币,即硬币出现正面的可能性与出现反面的可能性相同。

让我们采用首个实验中的数据。将每面的次数除以总次数。我们得到以下概率:

结果 概率
正面 0.8
反面 0.2

我们可以看到,从第一个实验得出硬币是公平的这一结论很难。现在,让我们对第二个实验进行相同的操作:

结果 次数
正面 0.53
反面 0.47


得到这些结果之后,我们可以非常准确地说硬币是一枚公平硬币。

这个简单的例子让我们能够得出一个重要的结论:实验次数越多,对象生成的统计所反映的对象特性就越准确

因此,统计学和概率不可避免地交缠在一起。统计是对象的实验结果,并且直接取决于对象状态的概率。反过来说,可以使用统计估计对象状态的概率。交易者面临的主要挑战在于:拥有某个时间段内的交易数据(统计)、预测后续时间段的价格行为(概率)以及基于此信息做出买入或卖出的决定

因此,回到在简介中指出的重点,知道并理解统计学和概率之间的关系,以及具有风险评估和风险状况的相关知识也非常重要。但是,后两者不在本文的讨论范围之内。


基本统计参数 

现在,让我们回顾一下基本的统计参数。假定我们拥有一组中 10 个人的身高数据,以厘米为单位:


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 173 162 194 181 186 159 173 178 168 171

 

此表列出的数据称为样本,而数据数量称为样本大小。我们将看一看给定样本的某些参数。所有参数都是样本参数,因为它们是从样本数据得出的结果,而不是从随机变量数据。

1. 样本平均值

样本平均值指样本中的平均值。在我们的例子中,它是该组中人的平均身高。

要计算平均值我们应:

  1. 求所有样本值之和。
  2. 将得到的值除以样本数量。 

公式: 


 其中:

  • M 是样本平均值,
  • a[i] 是样本元素,
  • n 是样本数量。

在计算之后,我们得到平均值 174.5 cm

 

 

2. 样本方差

样本方差描述样本值与样本平均值的偏离情况。值越大,则数据分布越广。

要计算方差,我们应:

  1. 计算样本平均值。
  2. 从每个样本元素减去平均值,并对差进行平方运算。
  3. 求上述结果之和。
  4. 将得到的值除以样本大小减 1 后的值。

公式:  

 

其中: 

  • D 是样本方差,
  • M 是样本平均值,
  • a[i] 是样本元素,
  • n 是样本数量。

在我们的例子中,样本方差为 113.611。

 


数字指出,3 个值离平均值较远,从而导致方差值较大。

3. 样本偏度

样本偏度用于描述样本值围绕其平均值的不对称度。偏度值越接近 0,则样本值越对称。

要计算偏度,我们应:

  1. 计算样本平均值。
  2. 计算样本方差。
  3. 求每个样本元素与平均值之差的立方和。
  4. 将得到的值除以方差值的 2/3 次幂。
  5. 将得到的值乘以样本数量,再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值之积。

公式:  

其中: 

  • A 是样本偏度, 
  • D 是样本方差,
  • M 是样本平均值,
  • a[i] 是样本元素,
  • n 是样本数量。

对于这个例子,我们得到一个非常小的偏度值:0.372981. 这是发散的值相互补偿的结果。


 

对于不对称的例子,这个值会较大,例如以下数据的偏度值为 1.384651。

 

4. 样本峰度

样本峰度描述样本的峭度。

要计算峰度,我们应:

  1. 计算样本平均值。
  2. 计算样本方差。
  3. 求每个样本元素与平均值之差的四次方之和。
  4. 将得到的值除以方差的平方。
  5. 将得到的值乘以样本数量与样本数量加 1 后的值之积,再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值及样本数量减 3 后的值之积。
  6. 求 3 与样本大小与 1 之差的平方之积,再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值之差,再从上一步得到的值减去这个值。

公式:  

其中: 

  • E 是样本峰度,
  • D 是样本方差,
  • M 是样本平均值,
  • a[i] 是样本元素,
  • n 是样本数量。

对于给定身高数据,我们得到的值为 -0.1442285。


峰值数据越尖锐,我们得到的值越大: 10.

5. 样本协方差

样本协方差是两个数据样本之间的线性依存度的衡量。线性独立数据之间的协方差为 0。

为了说明这一参数,我们将添加 10 个人的体重数据:


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 65 70 83 60 105 58 69 90 78 65

 

要计算两个样本的协方差,我们应:

  1. 计算第一个样本的平均值。
  2. 计算第二个样本的平均值。
  3. 求所有两个差值之积的和:第一个差值 - 第一个样本的元素减去第一个样本的平均值;第二个差值 - 第二个样本的元素(对应于第一个样本的元素)减去第二个样本的平均值。
  4. 将得到的和除以样本数量减 1 后的值。

公式:  


其中: 

  • Cov 是样本协方差,
  • a[i] 是第一个样本的元素,
  • b[i] 是第二个样本的元素, 
  • M1 是第一个样本的样本平均值, 
  • M2 是第二个样本的样本平均值, 
  • n 是样本数量。 

让我们计算两个样本的协方差值:91.2778. 现有依存关系可显示在以下组合图中:


如图所示,身高的增加(通常)对应于体重的下降(反之亦然)。

6. 样本相关系数

样本相关系数也用于描述两个数据样本之间的线性依存度,但其值始终在 -1 至 1 的范围内。

要计算两个样本的相关系数,我们应:

  1. 计算第一个样本的方差。
  2. 计算第二个样本的方差。
  3. 计算这些样本的协方差。
  4. 将协方差除以两个方差之积的平方根。

公式: 

其中: 

  • Corr 是样本相关系数,
  • Cov 是样本协方差,
  • D1 是第一个样本的样本方差, 
  • D2 是第二个样本的样本方差, 

对于给定的身高和体重数据,相关系数等于 0.579098。


如何在交易中应用统计学

说明在交易中使用统计参数的最简单的例子是移动平均线 (MovingAverage) 指标。其计算需要某个时间段内的数据并给出价格的算术平均值:

 

其中: 

  • MA 是指标值,
  • P[i] 是价格,
  • n 是 MA 衡量区间

我们可以看到指标与样本平均值完全类似。尽管它很简单,这个指标在计算指数移动平均(EMA)时使用,并且是 MACD 指标需要的基本元素 - MACD 指标是一个用于确定趋势强度和方向的经典工具。

移动平均线和 MACD 

MQL5 中的统计

我们将讨论上述基本统计参数的 MQL5 实施。在统计函数库 statistics.mqh 中实施了上文讨论的统计方法(以及其他方法)。让我们回顾一下它们的代码。

1. 样本平均值

计算样本平均值的库函数称为 Average:

样本平均值

输入数据:数据样本。输出数据:平均值。

2. 样本方差

计算样本方差的库函数称为 Variance:

样本方差

 输入数据:数据样本及其平均值。输出数据:方差。

3. 样本偏度

计算样本偏度的库函数称为 Asymmetry:

样本偏度
 

 输入数据:数据样本、及平均值和方差。输出数据:偏度。

4. 样本峰度

计算样本峰度的库函数称为 Excess (Excess2):

样本峰度

输入数据:数据样本、及平均值和方差。输出数据:峰度。

5. 样本协方差

计算样本协方差的库函数称为 Cov: 

样本协方差

输入数据:两个数据样本及它们的相应平均值。输出数据:协方差。

6. 样本相关系数

计算样本相关系数的库函数称为 Corr: 

样本相关系数
 

输入数据:两个样本的协方差、第一个样本的方差和第二个样本的方差。输出数据:相关系数。

现在,让我们输入身高和体重样本数据并使用库函数进行处理。
#include <Statistics.mqh>
//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
  {
//--- specify two data samples.
   double arrX[10]={173,162,194,181,186,159,173,178,168,171};
   double arrY[10]={65,70,83,60,105,58,69,90,78,65};
//--- calculate the mean
   double mx=Average(arrX);
   double my=Average(arrY);
//--- to calculate the variance, use the mean value
   double dx=Variance(arrX,mx);
   double dy=Variance(arrY,my);
//--- skewness and kurtosis values
   double as=Asymmetry(arrX,mx,dx);
   double exc=Excess(arrX,mx,dx);
//--- covariance and correlation values
   double cov=Cov(arrX,arrY,mx,my);
   double corr=Corr(cov,dx,dy);
//--- print results in the log file
   PrintFormat("mx=%.6e",mx);
   PrintFormat("dx=%.6e",dx);
   PrintFormat("as=%.6e",as);
   PrintFormat("exc=%.6e",exc);
   PrintFormat("cov=%.6e",cov);
   PrintFormat("corr=%.6e",corr);
  }

在执行脚本之后,客户端将生成以下结果:


函数库包含很多函数,可以在代码库 - https://www.mql5.com/zh/code/866 中找到这些函数的说明。


总结

在“概率论和统计学”一节最后已经得出了某些结论。除了以上结论以外,值得指出,应如其他科学分支一样,从其基础开始研究统计学。即使其基础要素也有助于对大量复杂事物、机制和模式的理解,最终成为交易者的工作中必不可少的内容。 

本文译自 MetaQuotes Software Corp. 撰写的俄文原文
原文地址: https://www.mql5.com/ru/articles/387

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