概率论和统计学

任何统计都是生成统计的对象的状态改变的结果。让我们讨论以小时为单位的时间框架中欧元兑美元 (EURUSD) 的价格图：

 

在这个例子中，对象是两种货币之间的关系，而统计是这两种货币在每一时间点的价格。两种货币之间的相关性如何影响它们的价格？为什么我们在给定的时间区间得到此价格图而不是另外的价格图？为什么价格当前是下跌的而不是上涨的？这些问题的答案是“概率”这一词。视概率而定，每一个对象能够取这个值，也能够取另一个值。

让我们进行一个简单的实验：拿一枚硬币，并且掷硬币若干次，每次都记录其正反面结果。假定我们有一枚公平的硬币。则结果可能如下表所示：

结果	概率
正面	0.5
反面	0.5

该表显示硬币出现正反面的可能性相同。在这里不可能出现其他结果（首先排除硬币直立的情况），因为所有可能的结果的概率之和应等于 1。

掷硬币 10 次。现在，让我们看一看掷硬币的结果：

结果	次数
正面	8
反面	2

为什么硬币出现正反面的可能性相同？硬币出现正反面的可能性确实相同，然而这并不意味着在掷过几次硬币之后，硬币出现正面的次数与出现反面的次数相同。概率仅说明在此具体尝试（掷硬币）中，硬币有可能出现正面，也有可能出现反面，并且正反面的机会相等。

让我们掷硬币 100 次。我们得到新的结果表：

结果	次数
正面	53
反面	47

如您所见，正反面的次数并不相等。然而，53 比 47 的结果证明了初始的概率假设。硬币出现正面的次数与出现反面的次数几乎相等。

现在，让我们以相反的顺序进行同样的实验。假定我们有一枚硬币，但是不知道其出现正面和反面的概率。我们需要确定它是否是一枚公平的硬币，即硬币出现正面的可能性与出现反面的可能性相同。

让我们采用首个实验中的数据。将每面的次数除以总次数。我们得到以下概率：

结果	概率
正面	0.8
反面	0.2

我们可以看到，从第一个实验得出硬币是公平的这一结论很难。现在，让我们对第二个实验进行相同的操作：

结果	次数
正面	0.53
反面	0.47

得到这些结果之后，我们可以非常准确地说硬币是一枚公平硬币。

这个简单的例子让我们能够得出一个重要的结论：实验次数越多，对象生成的统计所反映的对象特性就越准确。

因此，统计学和概率不可避免地交缠在一起。统计是对象的实验结果，并且直接取决于对象状态的概率。反过来说，可以使用统计估计对象状态的概率。交易者面临的主要挑战在于：拥有某个时间段内的交易数据（统计）、预测后续时间段的价格行为（概率）以及基于此信息做出买入或卖出的决定。

因此，回到在简介中指出的重点，知道并理解统计学和概率之间的关系，以及具有风险评估和风险状况的相关知识也非常重要。但是，后两者不在本文的讨论范围之内。

现在，让我们回顾一下基本的统计参数。假定我们拥有一组中 10 个人的身高数据，以厘米为单位：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高	173	162	194	181	186	159	173	178	168	171

 

此表列出的数据称为样本，而数据数量称为样本大小。我们将看一看给定样本的某些参数。所有参数都是样本参数，因为它们是从样本数据得出的结果，而不是从随机变量数据。

1. 样本平均值

样本平均值指样本中的平均值。在我们的例子中，它是该组中人的平均身高。

要计算平均值，我们应：

1. 求所有样本值之和。
2. 将得到的值除以样本数量。 

公式： 

 其中：

• M 是样本平均值，
• a[i] 是样本元素，
• n 是样本数量。

在计算之后，我们得到平均值 174.5 cm

 

 

2. 样本方差

样本方差描述样本值与样本平均值的偏离情况。值越大，则数据分布越广。

要计算方差，我们应：

1. 计算样本平均值。
2. 从每个样本元素减去平均值，并对差进行平方运算。
3. 求上述结果之和。
4. 将得到的值除以样本大小减 1 后的值。

公式：  

 

其中： 

• D 是样本方差，
• M 是样本平均值，
• a[i] 是样本元素，
• n 是样本数量。

在我们的例子中，样本方差为 113.611。

 

数字指出，3 个值离平均值较远，从而导致方差值较大。

3. 样本偏度

样本偏度用于描述样本值围绕其平均值的不对称度。偏度值越接近 0，则样本值越对称。

要计算偏度，我们应：

1. 计算样本平均值。
2. 计算样本方差。
3. 求每个样本元素与平均值之差的立方和。
4. 将得到的值除以方差值的 2/3 次幂。
5. 将得到的值乘以样本数量，再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值之积。

公式：  

其中： 

• A 是样本偏度， 
• D 是样本方差，
• M 是样本平均值，
• a[i] 是样本元素，
• n 是样本数量。

对于这个例子，我们得到一个非常小的偏度值：0.372981. 这是发散的值相互补偿的结果。

 

对于不对称的例子，这个值会较大，例如以下数据的偏度值为 1.384651。

 

4. 样本峰度

样本峰度描述样本的峭度。

要计算峰度，我们应：

1. 计算样本平均值。
2. 计算样本方差。
3. 求每个样本元素与平均值之差的四次方之和。
4. 将得到的值除以方差的平方。
5. 将得到的值乘以样本数量与样本数量加 1 后的值之积，再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值及样本数量减 3 后的值之积。
6. 求 3 与样本大小与 1 之差的平方之积，再除以样本数量减 1 后的值与样本数量减 2 后的值之差，再从上一步得到的值减去这个值。

公式：  

其中： 

• E 是样本峰度，
• D 是样本方差，
• M 是样本平均值，
• a[i] 是样本元素，
• n 是样本数量。

对于给定身高数据，我们得到的值为 -0.1442285。

峰值数据越尖锐，我们得到的值越大： 10.

5. 样本协方差

样本协方差是两个数据样本之间的线性依存度的衡量。线性独立数据之间的协方差为 0。

为了说明这一参数，我们将添加 10 个人的体重数据：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
体重	65	70	83	60	105	58	69	90	78	65

 

要计算两个样本的协方差，我们应：

1. 计算第一个样本的平均值。
2. 计算第二个样本的平均值。
3. 求所有两个差值之积的和：第一个差值 - 第一个样本的元素减去第一个样本的平均值；第二个差值 - 第二个样本的元素（对应于第一个样本的元素）减去第二个样本的平均值。
4. 将得到的和除以样本数量减 1 后的值。

公式：  

其中： 

• Cov 是样本协方差，
• a[i] 是第一个样本的元素，
• b[i] 是第二个样本的元素， 
• M1 是第一个样本的样本平均值， 
• M2 是第二个样本的样本平均值， 
• n 是样本数量。 

让我们计算两个样本的协方差值：91.2778. 现有依存关系可显示在以下组合图中：

如图所示，身高的增加（通常）对应于体重的下降（反之亦然）。

6. 样本相关系数

样本相关系数也用于描述两个数据样本之间的线性依存度，但其值始终在 -1 至 1 的范围内。

要计算两个样本的相关系数，我们应：

1. 计算第一个样本的方差。
2. 计算第二个样本的方差。
3. 计算这些样本的协方差。
4. 将协方差除以两个方差之积的平方根。

公式： 

其中： 

• Corr 是样本相关系数，
• Cov 是样本协方差，
• D1 是第一个样本的样本方差， 
• D2 是第二个样本的样本方差， 

对于给定的身高和体重数据，相关系数等于 0.579098。

如何在交易中应用统计学

说明在交易中使用统计参数的最简单的例子是移动平均线 (MovingAverage) 指标。其计算需要某个时间段内的数据并给出价格的算术平均值：

 

其中： 

• MA 是指标值，
• P[i] 是价格，
• n 是 MA 衡量区间

我们将讨论上述基本统计参数的 MQL5 实施。在统计函数库 statistics.mqh 中实施了上文讨论的统计方法（以及其他方法）。让我们回顾一下它们的代码。

1. 样本平均值

计算样本平均值的库函数称为 Average：

输入数据：数据样本。输出数据：平均值。

2. 样本方差

计算样本方差的库函数称为 Variance：

 输入数据：数据样本及其平均值。输出数据：方差。

3. 样本偏度

计算样本偏度的库函数称为 Asymmetry：

 

 输入数据：数据样本、及平均值和方差。输出数据：偏度。

4. 样本峰度

计算样本峰度的库函数称为 Excess (Excess2)：

输入数据：数据样本、及平均值和方差。输出数据：峰度。

5. 样本协方差

计算样本协方差的库函数称为 Cov: 

输入数据：两个数据样本及它们的相应平均值。输出数据：协方差。

6. 样本相关系数

计算样本相关系数的库函数称为 Corr: 

 

输入数据：两个样本的协方差、第一个样本的方差和第二个样本的方差。输出数据：相关系数。

现在，让我们输入身高和体重样本数据并使用库函数进行处理。

#include <Statistics.mqh>
//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
  {
//--- specify two data samples.
   double arrX[10]={173,162,194,181,186,159,173,178,168,171};
   double arrY[10]={65,70,83,60,105,58,69,90,78,65};
//--- calculate the mean
   double mx=Average(arrX);
   double my=Average(arrY);
//--- to calculate the variance, use the mean value
   double dx=Variance(arrX,mx);
   double dy=Variance(arrY,my);
//--- skewness and kurtosis values
   double as=Asymmetry(arrX,mx,dx);
   double exc=Excess(arrX,mx,dx);
//--- covariance and correlation values
   double cov=Cov(arrX,arrY,mx,my);
   double corr=Corr(cov,dx,dy);
//--- print results in the log file
   PrintFormat("mx=%.6e",mx);
   PrintFormat("dx=%.6e",dx);
   PrintFormat("as=%.6e",as);
   PrintFormat("exc=%.6e",exc);
   PrintFormat("cov=%.6e",cov);
   PrintFormat("corr=%.6e",corr);
  }

在执行脚本之后，客户端将生成以下结果：

函数库包含很多函数，可以在代码库 - https://www.mql5.com/zh/code/866 中找到这些函数的说明。

在“概率论和统计学”一节最后已经得出了某些结论。除了以上结论以外，值得指出，应如其他科学分支一样，从其基础开始研究统计学。即使其基础要素也有助于对大量复杂事物、机制和模式的理解，最终成为交易者的工作中必不可少的内容。