您应当知道的 MQL5 向导技术（第 26 部分）：移动平均和赫斯特（Hurst）指数
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概述
我们继续本系列讲解 MQL5 向导技术的文章，重点放在金融时间序列分析中的可替代方法，从而造福交易者。至于本文，我们研究赫斯特（Hurst）指数。这是一个计量度，其会告诉我们，时间序列从长远来看，是具有较高正自相关、亦或负自相关。这种衡量的应用可能非常广泛。我们如何运用它？好的，首先，我们将计算赫斯特指数，以便判定行情是处于趋势（通常会给我们一个大于 0.5 的值），亦或行情是均值回归/反复拉扯（这将给我们一个小于 0.5 的值）。至于本文，鉴于我们处在前两篇文章给出的“观察移动均线的季节性”，故我们把赫斯特指数信息、与当前价格相对移动平均线的位置结伴。价格与移动平均线的相对位置可以指明价格接下来的方向，隐含一个主要警告。
您需要知道行情是否处于趋势，亦或范围振荡（均值回归）。鉴于我们可用赫斯特指数来回答这个问题，令我们只需查看价格相对于均值所处的位置，随之进行交易。然而，即便如此也许仍就有点草率，在短线区间内更倾向研究范围振荡行情更佳，而趋势行情在长线区间更多出现。正是出于这个原因，在评估确立条件之前，我们需要两条单独的移动平均线来权衡价格的相对位置。其一是针对范围振荡或均值回归行情的快速移动平均线，以及针对趋势行情的慢速移动平均线，由赫斯特指数判定。故此，按指数设置的每种行情类型，都有自己的移动平均线。因此，本文计划视察重伸缩范围分析法，作为评估赫斯特指数的一种手段。我们将一次一步遍历评估过程，并实现该指数的智能信号类。
拆分时间序列
根据维基百科，赫斯特指数的公式表示为：
其中
- n 是所分析样品的大小
- R() 是样本的重伸缩范围
- S() 是样本的标准差
- C 是常数
- H 是赫斯特指数
这个公式内在为我们带来 2 个未知数，而找到常数 C、及我们所寻求的指数 H 的变通方法，则是回归样本集的多个分段。从算术中来看，H 是一个幂，这意味着我们在方程的两边都取对数来求解 H，这是我们的最后一步，我们将在下面看到。故此，第一步是在样本数据中识别、或定义分段。
我们可以从任何样本中获得的最小分段数量为 2。我们可以从样本中获得的最大值取决于样本规模，基本公式是样本规模除以 2。现在我们正在寻找两个未知数，这意味着我们需要不止一个配对点，如此即可按惯例获得最少 2 个方程。我们可从样本中生成的方程、或点配对的数量是样本规模的一半减 1 。故此，4 个数据点的样本规模仅生成一个配对回归点，这显然不足以找到赫斯特指数、及 C 常数。
一个具有 6 个数据点的样本可生成至少 2 个配对点，可用于估算指数和常数。在实践中，我们希望样本规模尽可能大，因为如定义中所述，赫斯特指数是一个“长期”属性。此外，上面分享的维基百科公式适用于样本，而 n 趋向于无穷大。故此，重点是样本规模必须尽可能大，以便估算更具代表性的赫斯特指数。
将样本切分为多个分段，其中每次切分/分段集生成的单一的配对点是“第一步”。我使用“第一步”是因为本文中我们所用的方式中，如下面的源代码所示，我们不会在转到下一步之前，单方面切分数据，并一次性定义所有分段，但我们会依据每次切分，计算该样本映射的点配对。下面给出执行该操作的源代码部分：
//+------------------------------------------------------------------+ // Function to Estimate Hurst Exponent & Constant C //+------------------------------------------------------------------+ void CSignalHurst::Hurst(vector &Data, double &H, double &C) { matrix _points; double _std = Data.Std(); if(_std == 0.0) { printf(__FUNCSIG__ + " uniform sample with no standard deviation! "); return; } int _t = Fraction(Data.Size(), 2); if(_t < 3) { printf(__FUNCSIG__ + " too small sample size, cannot generate minimum 2 regression points! "); return; } _points.Init(_t - 1, 2); _points.Fill(0.0); for (int t = 2; t <= _t; t++) { matrix _segments; int _rows = Fraction(Data.Size(), t); _segments.Init(_rows, t); int _r = 0, _c = 0; for(int s = 0; s < int(Data.Size()); s++) { _segments[_r][_c] = Data[s]; _c++; if(_c >= t) { _c = 0; _r++; if(_r >= _rows) { break; } } } ... } ... }
故此，我们在每个步骤都用一个矩阵来记录数据样本中非重叠的分段。在整个迭代中，我们按最小的分段大小 2 开始，然后逐步增加到数据样本大小的一半。这就是为什么我们要有一个步骤，验证数据样本大小，其中我们检查并查看其大小的一半是否至少为 3。如果它小于 3，那么计算赫斯特指数就没有意义，因为我们无法在最后一步中获得回归所需的至少两个点配对。
我们对数据样本执行的另一个验证步骤，是确保数据之间存在可变性，这是因为零标准差会导致数字无效、或除零。
均值调整
在给定迭代中我们得到一组分段（其中迭代总数的上限为样本规模的一半）之后，我们需要找到每个分段的均值。由于我们的分段都在矩阵当中，每行都能作为向量提取。一旦配备了每行的向量，我们就能轻松获得均值，这要归功于向量内置的均值函数，这节省了不必要的编码需求。然后，从其各自分段中的每个数据点中减去每个分段的均值。这就是所谓的均值调整。出于多种原因，它在范围-重伸缩分析过程中很重要。
首先，它对每个分段中的所有数据进行归一化，这确保分析会专注于有关其平均值的波动，而不会被分段中每个数据点的绝对值所左右。其次，这种归一化的意图在于降低朝向扭曲和异常值的乖离，而这可能会妨碍获得更具代表性的范围-重伸缩。
此外，还确保跨越所有分段的一致性，如此这般，参考无此归一化的绝对值，它们更具可比性。我们在 MQL5 中执行以下源代码进行调整：
//+------------------------------------------------------------------+ // Function to Estimate Hurst Exponent & Constant C //+------------------------------------------------------------------+ void CSignalHurst::Hurst(vector &Data, double &H, double &C) { matrix _points; ... _points.Init(_t - 1, 2); _points.Fill(0.0); for (int t = 2; t <= _t; t++) { ... vector _means; _means.Init(_rows); _means.Fill(0.0); for(int r = 0; r < _rows; r++) { vector _row = _segments.Row(r); _means[r] = _row.Mean(); } ... } ... }
矩阵和向量数据类型不仅在查找平均值时不可或缺，且能加速归一化。
累积偏差
一旦我们得到均值调整后的分段，我们就需要将这些偏差与来自每个分段的平均值相加，从而获得每个分段的累积偏差。这可当作一种降维的形式，作为范围-重伸缩分析的基础。在源代码中我们如下执行该操作：
//+------------------------------------------------------------------+ // Function to Estimate Hurst Exponent & Constant C //+------------------------------------------------------------------+ void CSignalHurst::Hurst(vector &Data, double &H, double &C) { matrix _points; ... _points.Init(_t - 1, 2); _points.Fill(0.0); for (int t = 2; t <= _t; t++) { matrix _segments; ... matrix _deviations; _deviations.Init(_rows, t); for(int r = 0; r < _rows; r++) { for(int c = 0; c < t; c++) { _deviations[r][c] = _segments[r][c] - _means[r]; } } vector _cumulations; _cumulations.Init(_rows); _cumulations.Fill(0.0); for(int r = 0; r < _rows; r++) { for(int c = 0; c < t; c++) { _cumulations[r] += _deviations[r][c]; } } ... } ... }
故此，简要回顾，对于每个 't' 值，我们得出一组分段，可对数据样本进行分区。从每个样本中，我们得到其均值，并分别从分段内的数据点中减去平均值。这种减法作为一种归一化的形式，一旦完成，我们实质上得到一个数据点矩阵，其中每行都是来自原始数据样本的一个分段。作为降低分段维度的一种方法，我们将这些偏差与各自平均值相加，如此这般一个多维分段就可为我们提供单个值。这意味着在我们在矩阵上执行偏差累积之后，我们只留下一个合计向量，该向量在上面的源代码中被标记为 '_cumulations'。
重新伸缩范围 & 对数-对数图
一旦我们得到向量中跨所有分段的偏差累积，下一步跟着就是简单地找到范围，即最大总偏差和最小总偏差之间的差值。记住，当我们记录上述分段中每个数据点的偏差时，我们没有记录绝对值。我们只是记录了分区值减去分段的均值。这意味着我们的累积值很容易为零。事实上，在以赫斯特指数进行处理之前，应该对其进行底层验证检查，因为它很容易导致无效结果。该验证未在随附的源代码中执行，读者可以随意进行调整。我们在以下代码中执行倒数第二步：
//+------------------------------------------------------------------+ // Function to Estimate Hurst Exponent & Constant C //+------------------------------------------------------------------+ void CSignalHurst::Hurst(vector &Data, double &H, double &C) { matrix _points; ... _points.Init(_t - 1, 2); _points.Fill(0.0); for (int t = 2; t <= _t; t++) { ... ... _points[t - 2][0] = log((_cumulations.Max() - _cumulations.Min()) / _std); _points[t - 2][1] = log(t); } LinearRegression(_points, H, C); }
正如我们从上面的源代码部分所见，我们得到了累积范围，以及它们的自然对数，因为我们正在搜寻指数（幂）、和对数来帮助求解指数。上面的方程式中，样本规模位于方程的一侧，因此我们也得到了它的自然对数，这当作我们的 y 图，其中 x 图是伸缩范围的自然对数除以数据样本的标准差。这些点配对，x & y，对于每个分段大小都是唯一的。数据样本中不同的分段大小，代表另一个 x-y 点对，我们拥有越多的 x-y 点对，我们的赫斯特指数就越具有代表性。如上所述，我们可得到的 x-y 点对的总数量，上限为数据样本大小的一半。
故此，我们的 '_points' 矩阵代表重新缩放范围分析中发现的对数-对数图。这张图，可当作线性回归计算的输入。
线性回归
线性回归从 'Hurst' 方法里由单独的函数执行。其简单代码分享如下：
//+------------------------------------------------------------------+ // Function to perform linear regression //+------------------------------------------------------------------+ void CSignalHurst::LinearRegression(matrix &Points, double &Slope, double &Intercept) { double _sum_x = 0.0, _sum_y = 0.0, _sum_xy = 0.0, _sum_xx = 0.0; for (int r = 0; r < int(Points.Rows()); r++) { _sum_x += Points[r][0]; _sum_y += Points[r][1]; _sum_xy += (Points[r][0] * Points[r][1]); _sum_xx += (Points[r][0] * Points[r][0]); } Slope = ((Points.Rows() * _sum_xy) - (_sum_x * _sum_y)) / ((Points.Rows() * _sum_xx) - (_sum_x * _sum_x)); Intercept = (_sum_y - (Slope * _sum_x)) / Points.Rows(); }
线性回归是我们求解一组给定点的 y = mx + c 方程中关键系数的过程。所提供系数定义的方程，是这些输入 x-y 点的最佳拟合线。这个方程对我们很重要，因为这条最佳拟合线的斜率是赫斯特指数，而 y-截距是常数 C。最后，'LinearRegression' 函数取两个双精度值作为参考输入，即当作赫斯特指数、及 C 常数的占位符，就像 'Hurst' 函数一样，它返回类型是 void。
至于本文，我们的主要目标是计算赫斯特指数，不过如上所述，我们从该过程中得到的输出部分是 C 常数。那么这个 C 常数做什么用途呢？它是数据样本可变性的计量值。参考一个场景：2 只股票的价格序列具有相同的赫斯特指数，但 C 常数不同，其中一只股票的 C 为 7，另一个 C 为 21。
相似的指数值表明两只股票具有相似的“持久”特征，即如果两者的赫斯特指数都低于 0.5，那么两只股票都更倾向于回归，而如果该指数大于 0.5，那么它们更倾向于在长期呈现趋势性。然而，尽管价格走势相似，但它们不同的 C 常数显然代表不同的风险配置。这是因为 C 常数可以理解为波动性的代理。股票的 C 常数较高，在跨平均线的价格摆动会更宽，这与较小的 C 常数不同。这可能意味着，若所有其它因素保持不变，2 只股票的持仓规模机制不同。
编译成信号类
我们用自己生成的赫斯特指数值，来判定自定义信号类中交易品种的做多和做空条件。赫斯特指数旨在捕捉非常长期的趋势，这就是为什么根据定义，当样本规模趋于无限时，它趋于更准确。不过，出于实际目的，我们需要依据历史证券价格的确切规模来衡量它。在评估我们的做多/做空条件时，我们将参考两条不同移动平均线之一，并在计算赫斯特指数时采用确切的历史规模，在计算这两个平均值时采用两个周期的合计。
这也许还不够，因为如前所述，数据采样周期越长，根据定义，赫斯特指数就越可靠，因此读者可以根据需要对此进行修改，以便获得更能代表其前景的历史规模。如常，完整的源代码附于文后。故此，对于每个条件函数（做多和做空），我们由复制收盘价到一个向量中开始，最大到我们的数据样本大小。我们的数据样本规模是长期和短期之和。
完成该操作之后，我们调用 'Hurst' 函数计算出赫斯特指数，然后我们估算返回值，来判定它与 0.5 的比较结果。该实现的变体，能把阈值添加到高于和低于 0.5 的值，以便收窄入场、或决策点。如果我们的赫斯特高于 0.5，那么存在持久性，因此对于做多条件，我们会查看我们是否高于慢速周期（长期）移动平均线。如果是，那么这可能示意一个看涨开仓。同样，对于做空条件，我们会查看我们是否低于慢速移动平均线，如果是，这标记着做空开仓。
如果赫斯特指数低于 0.5，则意味着我们处于范围振荡、或均值回归行情。在这种情况下，我们会将当前出价、与快速周期移动平均线进行比较。若是做多条件，如果价格低于快速移动平均线，则表明看涨开仓。相反，若是做空条件，如果价格高于快速周期移动平均线，则表明做空开仓。这两个条件的实现如下：
//+------------------------------------------------------------------+ //| "Voting" that price will grow. | //+------------------------------------------------------------------+ int CSignalHurst::LongCondition(void) { int result = 0; vector _data; if(_data.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period + m_slow_period)) { double _hurst = 0.0, _c = 0.0; Hurst(_data, _hurst, _c); vector _ma; if(_hurst > 0.5) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period)) { if(m_symbol.Bid() > _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((m_symbol.Bid() - _ma.Mean())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } else if(_hurst < 0.5) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period)) { if(m_symbol.Bid() < _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((_ma.Mean() - m_symbol.Bid())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } } return(result); } //+------------------------------------------------------------------+ //| "Voting" that price will fall. | //+------------------------------------------------------------------+ int CSignalHurst::ShortCondition(void) { int result = 0; vector _data; if(_data.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period + m_slow_period)) { double _hurst = 0.0, _c = 0.0; Hurst(_data, _hurst, _c); vector _ma; if(_hurst > 0.5) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period)) { if(m_symbol.Bid() < _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((_ma.Mean() - m_symbol.Bid())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } else if(_hurst < 0.5) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period)) { if(m_symbol.Bid() > _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((m_symbol.Bid() - _ma.Mean())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } } return(result); }
策略测试和报告
我们依据 GBPCHF 货币对，2023 年的 H4 时间帧数据进行了 测试，并得到以下结果：
从我们上面的测试运行来看，在 H4 时间帧内，没有放置很多交易，这可能是一个好兆头，因为它所指是一个有辨别力的智能系统。然而，如常，在对智能系统的绩效做出任何决定之前，必须进行覆盖较长时间的测试，尤其要搭配前向漫游。
原生自相关作为对照
赫斯特指数声称能够充当自相关指标，来评估序列是否具有持久性状（值高于 0.5）、或抗拒持久性状（值低于 0.5）。但假设我们简单地衡量数据序列的相关性，而不费力地计算这个指数，并采用我们真实的相关性衡量结果来评估行情条件，那么我们的智能系统表现会有多大不同？
我们开发了这样一个自定义信号类，正如人们所期望的那样，它具有较少的函数，且简单地首先评估较长（较慢）平均周期内的任何正相关性。如果存在任何此类正相关，则据较慢周期的移动平均线来评估趋势跟踪设置，其中价格高于该平均值则看涨，低于该平均值则看跌。不过，如果在较长周期内不存在正相关，则在较短（较快）的平均周期处寻求负相关。在这种情况下，我们将寻找均值回归设置，其中价格低于快速移动平均线是看涨，而高于它则是看跌。我们的做多和做空条件的代码如下：
//+------------------------------------------------------------------+ //| "Voting" that price will grow. | //+------------------------------------------------------------------+ int CSignalAC::LongCondition(void) { int result = 0; vector _new,_old; if(_new.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period) && _old.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, m_slow_period, m_slow_period)) { vector _ma; if(_new.CorrCoef(_old) >= m_threshold) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period)) { if(m_symbol.Bid() > _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((m_symbol.Bid() - _ma.Mean())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } else if(_new.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period) && _old.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, m_fast_period, m_fast_period)) { if(_new.CorrCoef(_old) <= -m_threshold) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period)) { if(m_symbol.Bid() < _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((_ma.Mean() - m_symbol.Bid())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } } } return(result); } //+------------------------------------------------------------------+ //| "Voting" that price will fall. | //+------------------------------------------------------------------+ int CSignalAC::ShortCondition(void) { int result = 0; vector _new,_old; if(_new.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period) && _old.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, m_slow_period, m_slow_period)) { vector _ma; if(_new.CorrCoef(_old) >= m_threshold) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_slow_period)) { if(m_symbol.Bid() < _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((_ma.Mean() - m_symbol.Bid())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } else if(_new.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period) && _old.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, m_fast_period, m_fast_period)) { if(_new.CorrCoef(_old) <= -m_threshold) { if(_ma.CopyRates(m_symbol.Name(), m_period, 8, 0, m_fast_period)) { if(m_symbol.Bid() > _ma.Mean()) { result = int(round(100.0 * ((m_symbol.Bid() - _ma.Mean())/(fabs(m_symbol.Bid() - _ma.Mean()) + fabs(_ma.Max()-_ma.Min()))))); } } } } } return(result); }
我们针对同一 GBPCHF 货币对、2023 年的 H4 时间帧数据进行了几乎相似的测试运行，我们最佳运行的结果如下所示：
很清楚，这与赫斯特指数信号在性能上存在飞跃或差异。
结束语
赫斯特指数开发于上世纪初，主要作为一款有潜力预测尼罗河潮起潮落的工具，曾经拥有大量水文点数据集。自此，它已被更广泛的应用所采用，其中包括金融时间序列分析。至于本文，我们将其时间序列指数与移动平均线结伴，以便更好地区分趋势行情、和均值回归行情，以便创建自定义信号类。
尽管从我们上面进行的第一次测试运行中，它清晰表现出一些潜力，但考虑到其相对性能相较于原生自相关信号，显然仍有工作要做。它是计算密集型的，过度抑制其交易，且其最佳运行的回撤过大，考虑到这些运行给定的测试窗口相对较小，故这是一个要操心的问题。如常，独立测试运行可能会产生不同、甚至更有前景的结果，欢迎读者尝试一下。附带的源代码，遵循此处和此处的指南，可组装并编译成智能系统。建议深入的测试应该取用经纪商真实报价数据，并横贯数年保持健康。
本文由MetaQuotes Ltd译自英文
原文地址： https://www.mql5.com/en/articles/15222
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