Statistische Arbitrage durch kointegrierte Aktien (Teil 8): Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleich für Portfolio-Rebalancing

Einführung

Im letzten Artikel dieser Serie berichteten wir über eine deutliche Verbesserung unserer statistischen Arbitragestrategie. Die Einbeziehung der Umkehrung von Halbzeit zu Mittelwert in unser Bewertungssystem war entscheidend, um die extrem hohe durchschnittliche Haltedauer der Positionen zu berücksichtigen. Dies war der größte Fehler in unserem Modell, bevor wir die Halbzeitberechnung in unser Punktesystem aufgenommen haben. Seine Aufnahme in die Korbauswahl ist wohl einer der Faktoren, die zu den vielversprechenden Backtest-Ergebnissen beigetragen haben, die wir erzielt haben.

Der andere Faktor war die Einbeziehung der Stabilität der Portfoliogewichte als Kriterium in das Bewertungssystem. Sie half uns, Körbe mit potenziell starken Oszillationen im Kointegrations-Eigenvektor herauszufiltern. Da dieser Eigenvektor die Grundlage für die Berechnung des zu handelnden Spreads bildet, hat seine Stabilität im Zeitverlauf unmittelbare Auswirkungen auf die Rentabilität der Strategie.

  Wir berechneten die Portfoliogewichte mithilfe der In-Sample/Out-of-Sample ADF-Validierung über den Spread (IS/OOS ADF).

Es handelt sich um eine bekannte Methode zur Bewertung der Stabilität des Kointegrationsvektors, die sicherlich zu den guten Ergebnissen des Backtests beigetragen hat. Trotz ihrer offensichtlichen Robustheit für die Forschung und der anfänglichen Validierung des Bewertungssystems weist diese Methode jedoch einige Einschränkungen auf.

1. Um genau zu sein, sind relativ lange Zeiträume außerhalb der Stichprobe erforderlich. Sie hat eine geringe Leistung bei kurzen Out-of-Sample-Perioden, was der Fall sein wird, wenn wir den Live-Handel überwachen müssen.
2. Sie reagiert sehr empfindlich auf den Trennungspunkt zwischen In-Sample und Out-of-Sample, d. h., wenn wir den Trennungspunkt verschieben, können wir andere Ergebnisse erhalten.
3. Sie gibt keinen Aufschluss darüber, wann oder warum die Kointegration zerbricht.

Infolge dieser Einschränkungen kann die IS/OOS-ADF-Validierung über den Spread in Backtests außergewöhnlich gut abschneiden, im Live-Handel jedoch irreführend sein oder sogar versagen.

In diesem Artikel werden wir sehen, wie wir die Grenzen der IS/OOS-ADF-Validierung überwinden und gleichzeitig den maximalen Nutzen aus ihren Stärken ziehen können. Wir führen den Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleich (RWEC) zur Messung der Stabilität der Portfoliogewichte ein. Die RWEC kann bei kurzen Zeiträumen außerhalb der Stichprobe gute Ergebnisse erzielen, ist weniger abhängig vom Trennungspunkt innerhalb/außerhalb der Stichprobe und kann uns Informationen darüber liefern, wann die Kointegration bricht. Zu wissen, wann die Kointegration bricht, ist für die Überwachung des Live-Handels von größter Bedeutung. Die RWEC in Kombination mit der IS/OOS-ADF-Methode sollte uns eine robustere Bewertung der Stabilität der Portfoliogewichte ermöglichen, nicht nur für schöne Backtests, sondern auch für die Systemüberwachung und das Portfolio-Rebalancing im Live-Handel.

Wir werden sehen, wie wir uns die Kombination von Methoden zunutze machen können, die in erster Linie zur Bewertung der Stabilität der Portfoliogewichte verwendet werden, indem wir sie zur Schätzung der Stabilität des Handelssignals einsetzen. Wir werden sehen, wie wir das Portfolio neu ausbalancieren können, wenn die Veränderung der Gewichte über den erwarteten Wert hinausgeht, und schließlich den Handel mit dem Korb einstellen, wenn die Kointegration bricht. Wir gehen vom Scoring-System zur Überwachung von Live-Handelssignalen über. 

Stabilität der Gewichte versus Stabilität des Signals

In einer idealen Händlerwelt würden die Dinge, sobald wir ein kointegriertes Aktienpaar oder eine Gruppe von Aktien und deren Portfoliogewichtung gefunden haben, für eine unbestimmte Zeit, vielleicht für immer, gleichbleiben. Aber vom Standpunkt der statistischen Arbitrage-Strategie aus gesehen 

„Der Markt befindet sich in einem ständigen Wandel. Das heißt, es gibt keine steigenden oder fallenden Märkte, keine Kerzen-/Balkenmuster oder ‚korrelierte Aktien, die gut zusammenspielen‘. Alles verändert sich jetzt und für immer.“

Es ändert sich nicht nur der absolute Aktienpreis, sondern auch der relative Preis zwischen den Aktien. Wenn wir den Kointegrationsvektor erhalten, der die Portfoliogewichte unseres Aktienkorbs definiert, machen wir eine Momentaufnahme des Marktes. Sie ist zwar gültig und wir können uns auf sie verlassen, um die Kointegration zu bewerten, die Richtung zu bestimmen und die Größe unserer Positionen festzulegen, aber sie wird immer eine Momentaufnahme sein. Mehr als das: Es wird immer eine Momentaufnahme aus der Rückschau sein. Der Kointegrationsvektor spiegelt die relativen Preise der Aktien in der Vergangenheit wider (wie jeder andere Indikator auch).

Wie lange wird diese Kointegration nun andauern? Wir wissen bereits, dass die Portfoliogewichte bei den Backtests gut abschneiden, aber wie lange werden diese Portfoliogewichte ihre relativen Werte in der Zukunft beibehalten? Durch die Berechnung des Kointegrationsvektors des Korbs haben wir eine bestimmte Spanne der Rückkehr zum Mittelwert quantifiziert, die als handelbares Signal verwendet werden kann, aber wird dieses Signal auch morgen oder nächste Woche noch wirksam sein?

So frustrierend es auch sein mag, wir haben auf keine dieser Fragen eine Antwort, denn wir können uns der Tatsache nicht entziehen, dass wir nur die Rückschau als Datenquelle haben. Soweit wir wissen, kann zum Zeitpunkt der Erstellung dieses Berichts niemand mit Sicherheit sagen, wie der Aktienkurs in der nächsten Sekunde aussehen wird, geschweige denn, wie sich drei, vier oder zehn Aktienkurse gleichzeitig in den nächsten Tagen oder Wochen verändern werden. Wir können uns nur auf Wahrscheinlichkeiten verlassen.

Das ist es, was statistische Arbitrage im Kern ausmacht: die Verwendung einer Reihe von statistischen Werkzeugen, die uns helfen, die Wahrscheinlichkeiten zu unseren Gunsten zu erhöhen. In diesem speziellen Fall kann sie dazu beitragen, die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, einen Aktienkorb zusammenzustellen, dessen Kointegrationsvektor mit größerer Wahrscheinlichkeit im Zeitablauf stabil bleibt. Wenn sie richtig kombiniert werden, können die Methoden, die wir seit Beginn dieser Reihe zum Testen auf Kointegration und Stationarität verwenden, dazu beitragen, die Wahrscheinlichkeit der Auswahl von Aktien zu erhöhen, deren Portfoliogewichtung länger Bestand hat. Wenn uns diese Aufgabe gelingt, können wir mit einer gewissen Sicherheit (90 %, 95 % ...) sagen, dass unser Signal auch morgen oder nächste Woche noch wirksam sein wird.

Die Kenntnis des Stabilitätsniveaus des Kointegrationsvektors, der Portfoliogewichte und des Spreads reicht nicht aus, um vom Scoring-System zum Live-Handel überzugehen. Wir müssen auch die Signalstabilität abschätzen. Wir werden sehen, wie wir dies machen können, indem wir die IS/OOS-ADF-Validierung besser verstehen, die wir zur Schätzung der Stabilität des Kointegrationsvektors verwendet haben. Als Nächstes werden wir sehen, wie wir sie in Verbindung mit dem RWEC verwenden können, um die Signalstabilität zu schätzen.

IS/OOS ADF-Validierung

Indem wir die Stabilität der Portfoliogewichte gemessen und als Kriterium für die Aktienauswahl in unser Scoring-System aufgenommen haben, konnten wir die Qualität des bestplatzierten Korbs, den wir in unseren letzten Backtests verwendet haben, verbessern. Den vollständigen Bericht finden Sie in Teil 6 dieser Serie, in dem wir den bestplatzierten Korb ohne den Test zur Stabilität der Portfoliogewichte ausgewählt haben, und vergleichen Sie ihn mit Teil 7, nachdem er in das Scoring-System aufgenommen wurde. Für einen schnellen Vergleich sehen Sie hier die Entwicklung der Kapitalkurve (Salden-/Kapitalkurve) vor und nach ihrer Verwendung als Kriterium.

Abb. 1. Kapitalkurven des Backtests ohne Eigenvektor-Stabilitätstest in der Basket-Auswahl

Abb. 2. Kapitalkurven des Backtests mit Einbeziehung des Eigenvektor-Stabilitätstests in die Korbauswahl (früherer Artikel)

Die IS/OOS-ADF-Validierung ist ein vierstufiges Verfahren. Zunächst werden die Preisdaten für In-Sample- (IS) und Out-of-Sample-Tests (OOS) in zwei Teile aufgeteilt, und der Kointegrationsvektor wird anhand der IS-Daten berechnet. Anhand dieses Kointegrationsvektors wird dann die Streuung der OOS-Daten berechnet und die ADF-Statistik darauf ausgewertet. Um die Portfoliogewichte des Kandidatenkorbs als stabil zu betrachten, müssen sowohl die IS- als auch die OOS-ADF-Statistiken Stationarität anzeigen.

Split -> Schätzung mit IS -> Spread auf OOS abbilden -> ADF mit OOS-Spread ermittel

Als Händler brauchen wir uns nicht um die Mathematik zu kümmern, denn all diese Magie ist für uns in der professionellen Python-Bibliothek statsmodels gekapselt. Aber wir müssen den Prozess verstehen.

       n = len(prices)
        if n < 50:
            return np.nan
        split = int(n * split_ratio)
        if n - split < 30:
            return np.nan
        train = prices.iloc[:split]
        test = prices.iloc[split:]
        try:
            vec_is = self.get_coint_vector(train, method, det_order, k_ar_diff)
            spread_oos = pd.Series(np.dot(test.values, vec_is), index=test.index)
            if spread_oos.std() < 1e-10 or spread_oos.isnull().any():
                self.logger.debug("Out-of-sample spread is effectively constant or contains NaNs")
                raise ValueError("Out-of-sample spread is effectively constant or contains NaNs")
            adf_stat = adfuller(spread_oos)[0]
            return float(adf_stat)
        except Exception as e:
            self.logger.warning(f"Stability computation error: {e}")
            return np.nan

Den vollständigen Code finden Sie im Skript coint_ranker_auto.py, das dem vorherigen Artikel beigefügt ist.

Durch eine Validierung außerhalb der Stichprobe vermeidet der IS/OOS-ADF-Test eine Überanpassung und eine Verzerrung innerhalb der Stichprobe. Da wir alle nur Daten aus der Vergangenheit zur Verfügung haben – die oben erwähnte Rückschau –, ist dies eine bekannte Technik, um den Live-Handel beim Testen zu simulieren. Es ist das Äquivalent zur Durchführung eines Vorwärtstests während des Backtests im Metatrader 5 Tester.

„Vorwärtstest

Mit dieser Option können Sie die Ergebnisse von Tests überprüfen, um eine Anpassung an bestimmte Zeitintervalle zu vermeiden. Bei dem Vorwärtstest wird der im Feld Date festgelegte Zeitraum entsprechend dem gewählten Vorwärtszeitraum (ein halber, ein dritter, ein vierter oder ein nutzerdefinierter Zeitraum, wenn Sie das Datum für den Beginn des Vorwärtstests angeben) in zwei Teile geteilt: Der erste Teil ist der Zeitraum des Backtests. Dies ist der Zeitraum, in dem die Parameter angepasst werden. Der zweite Teil ist der Vorwärtstest, bei der die ausgewählten Parameter überprüft werden.

Abb. 3. Metatrader 5 Tester-Einstellungen mit hervorgehobener Vorwärtsoption

Diese OOS-Validierung gibt uns eine gute Vorhersagekraft der Kointegration, da sie die Stationarität des Handelssignals (des Spreads) „in der Zukunft“, in „unbekannten“ Daten testet. Diese Vorhersagekraft spiegelt sich in den guten Backtest-Ergebnissen wider, die wir gesehen haben. Es besagt, dass wir den berechneten Spread im Live-Handel handeln können, weil die OOS-Validierung ihn bereits mit „unbekannten“ Daten getestet hat. Wie jedoch alle, die Backtests durchführen, wissen, liegt die eigentliche Frage hier in den Anführungszeichen um das Wort unbekannt. Inwieweit ist die Stabilität unserer Portfoliogewichte garantiert, wenn wir die Komfortzone des Backtests mit „unbekannten“ Daten verlassen und uns in den wilden Dschungel des Live-Handels mit wirklich unbekannten Daten begeben? Hier zeigt IS/OOS ADF einige seiner Schwächen.

Im Live-Handel können wir nicht relativ lange Zeiträume abwarten, in denen die Portfoliogewichte ihre stabile Beziehung verlieren; wir können keine langen Zeiträume mit einer verlorenen Kointegration ertragen. Wir müssen so früh wie möglich informiert werden, um eine Entscheidung treffen und danach handeln zu können. Die IS/OOS-ADF erfordert jedoch lange Zeiträume außerhalb der Stichprobe, um genau zu sein. Bei den Backtests ist dies kein wirkliches Problem, aber beim Live-Handel kann es wirklich schaden. Es ist nun so, dass diese „Out-of-Sample-Zeiträume“ mit potenziell gebrochener Kointegration die Zeit sind, in der unser Geld auf dem Markt ausgesetzt ist, was schließlich zu unhaltbaren Drawdowns führt.

Außerdem reagiert IS/OOS ADF empfindlich auf den Punkt der Teilung, also den Zeitpunkt, an dem wir die Stichprobendaten in bekannte und „unbekannte“ Daten aufteilen, um eine Überanpassung zu vermeiden. Im Live-Handel bewegt sich dieser Splitpunkt kontinuierlich vorwärts, sodass wir davon ausgehen können, dass er unter diesen Bedingungen weniger vertrauenswürdig ist.

Eine mögliche Lösung, um diese Einschränkungen von IS/OOS ADF für den Live-Handel zu minimieren, ist die Verwendung des Rolling-Window-Eigenvektorvergleichs.

Rolling-Window-Eigenvektor-Vergleich

Der Rolling-Window-Eigenvektor-Vergleich (RWEC) berechnet die Stabilität der Portfoliogewichte, indem er den Kosinusabstand der Winkel der aufeinanderfolgenden Eigenvektoren mit einem festgelegten Schwellenwert vergleicht. Obwohl wir uns nicht mit der Mathematik hinter der Berechnung der Eigenvektoren befassen, kann es nützlich sein, sich daran zu erinnern, was ein Eigenvektor ist, um besser zu verstehen, wie diese Methode funktioniert.

„Geometrisch gesehen sind Vektoren mehrdimensionale Größen mit Betrag und Richtung, die oft als Pfeile dargestellt werden. Bei einer linearen Transformation werden die Vektoren, auf die sie wirkt, gedreht, gestreckt oder geschert. Die Eigenvektoren einer linearen Transformation sind die Vektoren, die nur gestreckt oder geschrumpft werden, ohne dass eine Drehung oder Scherung stattfindet. Der entsprechende Eigenwert ist der Faktor, um den ein Eigenvektor gestreckt oder geschrumpft wird. Wenn der Eigenwert negativ ist, kehrt sich die Richtung des Eigenvektors um (Wikipedia-Seite über Eigenwerte und Eigenvektoren).

Für Händler, die diese Art von Daten und die entsprechenden Diagramme analysieren müssen, werden die relevanten Informationen oben hervorgehoben: Nach der linearen Matrixtransformation werden die Eigenvektoren nicht gedreht oder geschert. Das heißt, der relative Winkel zwischen den Eigenvektoren bleibt gleich, unabhängig von der angewandten linearen Transformation. Dies ist die Grundlage, auf der die RWEC-Methode aufbaut.

Auf der gleichen Wikipedia-Seite ist diese Animation zu sehen. Es ist das intuitivste Beispiel, das ich finden konnte, um die Eigenschaft dieses Eigenvektors zu veranschaulichen.

Abb. 4. Animierte Illustration, die zeigt, dass Eigenvektoren nach einer linearen Transformation weder scheren noch rotieren

Die magentafarbenen Pfeile sind eine Darstellung der Eigenvektoren. Während die anderen Vektoren, die in Blau und Rot dargestellt sind, durch die lineare Matrixtransformation in ihrer Richtung oder Größe verändert werden, behalten die magentafarbenen Pfeile, die Eigenvektoren, ihre Richtung und Form bei. Der relative Winkel zwischen ihnen, ihre relative Neigung zueinander, bleibt gleich. 

Neben dem Vergleich der Kosinuswinkel der aufeinanderfolgenden Eigenvektoren gibt es noch andere RWEC-Metriken, die zur Bewertung der Stabilität der Kointegrationsvektoren verwendet werden können, wie z. B. die Korrelation der Hedge-Ratios, die jedoch auf der gleichen grundlegenden Eigenschaft beruhen, dass die Eigenvektoren ihre relative Neigung nach einer linearen Transformation nicht ändern. (Übrigens ist dies ein faszinierendes Studiengebiet für alle, die ihr Verständnis für dieses Thema vertiefen möchten.)

Die Abbildungen 5 und 6 zeigen zwei Beispielplots der RWEC-Methode, die auf zwei verschiedene ETF-Paare im gleichen Zeitraum angewandt wurde. In den folgenden Beispielen verwenden wir für beide Methoden ETF-Paare anstelle der Aktienkörbe, die wir in unseren Experimenten verwendet haben. Der Grund dafür ist, dass wir diese Einführung in die statistische Arbitrage abschließen wollen. Wir haben die Serie mit der Pearson-Korrelation für den Handel mit Devisenpaaren begonnen und sind dann zu Aktien übergegangen, weil diese besser geeignet sind, um den Prozess der Eingrenzung des Marktes zur Erstellung eines Musterbewertungssystems zu verstehen. Jetzt, da wir von den Backtests zum Live-Handel übergehen, haben wir die Gelegenheit, zum Paarhandel zurückzukehren und das zu nutzen, was wir mit dem Aktienmarkt gelernt haben: die Testmethoden, den Aufbau des Scoring-Systems und die Entwicklung der Datenbank. Es ist auch der richtige Zeitpunkt, um andere Märkte und ihre Besonderheiten zu erkunden. Um Ihnen die Replikation dieser Experimente zu erleichtern, verwenden wir nur die Symbole, die im Meta Quotes-Demokonto für Metatrader 5 enthalten sind.

Diese Diagramme sollen zeigen, wie deutlich diese Methode den genauen Zeitpunkt angibt, an dem die Stabilität der Portfoliogewichte (oder die Kointegration überhaupt) gebrochen wurde. Diese Eigenschaft, die als hohe zeitliche Auflösung bezeichnet wird, ist einer der Hauptgründe, die sie für die Live-Überwachung des Handels so nützlich machen.

Abb. 5. Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleich Beispieldarstellung

In der ersten Grafik stellt die blaue Linie das Gewicht des ersten Vermögenswerts des Paares dar, in diesem Fall GLD. Die orangefarbene Linie stellt die Gewichtung des GDX im Zeitverlauf dar. GLD ist der Vermögenswert, den wir kaufen wollen; sein Wert im Portfolio-Vektor ist positiv und liegt über der Nulllinie. GDX ist der Wert, der verkauft werden sollte. Die Werte auf der y-Achse sind nicht die „echten“ Werte des Vermögenswerts. Sie wurden auf 1 normalisiert, um das relative Gewicht der beiden Vermögenswerte zu ermitteln. Es ist deutlich zu erkennen, dass zu Beginn der Jahre 2021, 2022 und 2023 der zu veräußernde Vermögenswert über Null hinausgeht und seine ursprüngliche Beziehung zu dem Paar wiederherstellt. Mehr noch: Ende 2023 und in den ersten Monaten des Jahres 2024 haben sie die Seiten gewechselt, und was gekauft werden sollte, muss nun verkauft werden, und umgekehrt. Diese strukturellen Marktveränderungen spiegeln sich in den Winkeln der Kointegrationsvektoren wider, die in der zweiten Abbildung dargestellt sind.

Die roten Punkte zeigen die Ähnlichkeit zwischen aufeinanderfolgenden Kointegrationsvektoren als Maß für den Kosinusabstand zwischen ihren jeweiligen Winkeln, der Differenz zwischen den Neigungen der Vektoren. Ist diese Differenz gleich Null, bedeutet dies, dass es keinen Unterschied gibt, dass die Kointegrationsvektoren die gleiche Steigung haben. Wenn aufeinanderfolgende Vektoren die gleiche Steigung haben, ist ihre Ähnlichkeit gleich der Identität, und wir haben perfekte Stabilität. In diesem Beispiel haben wir nur für kurze Zeit perfekte Stabilität. Indes haben wir extreme Spitzen des Ungleichgewichts, in der Regel in der ersten Jahreshälfte, und zwar genau zu Beginn der Jahre 2021, 2022 und 2023, mit einer extremen Spitze zu Beginn des Jahres 2024, als sich das Verhältnis zwischen den Vermögenswerten umkehrte.

Der springende Punkt bei der RWEC-Methode ist, dass sie die strukturelle Stabilität der linearen Beziehung misst. Während die IS/OOS-ADF keinen Hinweis auf den Zeitpunkt gibt, an dem die Kointegration verloren ging, zeigt die RWEC dies genau an. Dieses Merkmal kann genutzt werden, um über die Ursachen des Kointegrationsbruchs zu spekulieren: War er das Ergebnis einer Unternehmensfusion? Vielleicht hat eines der in dem Paar enthaltenen Unternehmen eine Bilanz mit außergewöhnlich niedrigen oder außergewöhnlich hohen Ergebnissen veröffentlicht? Vielleicht gab es in dieser Zeit ein systemisches Erdbeben auf den Märkten? Dieses RWEC-Merkmal kann uns dabei helfen, die Ursachen für den Bruch der strukturellen Stabilität zu finden. Wenn wir die Ursachen kennen, können wir zukünftige Veränderungen ähnlicher Art vorhersehen.

Abb. 6. Diagramme eines Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleichs für das ETF-Paar EEM/VWO

Die gelbe gepunktete Linie stellt die gewählte Stabilitätsschwelle dar. In den beiden obigen Tests war er auf 30 Grad eingestellt. In Abbildung 5 war die Spitze des Kointegrationsbruchs weit von diesem Schwellenwert entfernt, aber in Abbildung 6 können wir sehen, dass wir Anfang 2020 eine Spitze von fast 80 Grad haben. Wir haben auch zwei frühere Abweichungen, die nahe an der 30-Grad-Schwelle lagen. 

Die RWEC-Stabilitätsschwelle kann und sollte als Instrument des Risikomanagements eingesetzt werden. Hätten wir 50 Grad gewählt, würden die beiden vorangegangenen Messungen von unserem automatischen System als innerhalb der stabilen Grenze liegend eingestuft werden, und das ETF-Paar würde weiterhin Teil unseres hypothetischen Vorgangs sein. Hätten wir dagegen 15 Grad gewählt, hätte das System empfohlen, am zweiten Punkt anzuhalten. Da wir diese Methode für die Überwachung des Live-Handels verwenden werden, macht diese Parameterwahl unsere Strategie konservativer, wenn sie herabgesetzt wird, oder aggressiver, wenn der Stabilitätsschwellenparameter erhöht wird.

Beachten Sie, dass wir in diesen Beispielen wieder unsere Rückansicht verwenden. Wir wissen, dass es sich um Spitzenwerte handelt, da wir wissen, dass beide Paare zu ihrer stabilen Kointegration zurückgekehrt sind. Beim Live-Handel werden wir nur wissen, dass sich der Kointegrationsvektor geändert hat. Wir können nicht wissen, ob sie wieder auf ihr früheres Niveau zurückkehren wird. An diesem Punkt müssen wir eine Entscheidung treffen: Sollen wir aufhören, eventuelle offene Positionen schließen und das Paar beiseitelegen, bis es in unserem Scoring-System wieder zugelassen wird, oder sollen wir die Portfoliogewichte auf die neuen Werte ändern?

Als Händler wissen Sie wahrscheinlich, dass es keine hundertprozentig sichere Antwort auf diese Frage gibt. Es gibt viele Faktoren, die bei der Ausführung einer adaptiven Strategie im vollautomatischen Modus eine Rolle spielen. Die Risikotoleranz ist das erste, was zu berücksichtigen ist. Die Fundamentaldaten der einzelnen Unternehmen, die an dem Paar/Korb beteiligt sind, die allgemeine Marktdynamik und die Verfügbarkeit anderer, besser positionierter Körbe in der Reihe sind alles Faktoren, die wir, wenn nicht systematisch, so doch zumindest intuitiv, in Betracht ziehen werden.

Warum sollten IS/OOS ADF und RWEC zusammen in der Live-Handelsüberwachung eingesetzt werden?

Die kurze Antwort lautet: Weil RWEC uns frühzeitig vor den Marktbeben warnen wird, die IS/OOS ADF erst später wahrnehmen wird. Selbst wenn die Kointegrationsvektoren (und damit die Portfoliogewichte) vollkommen stabil bleiben, kann sich im Untergrund eine radikale Veränderung auf dem Markt vollziehen. Der IS/OOS ADF wird die Portfoliogewichte noch eine Zeit lang als gleich ansehen, aber RWEC kann uns darauf aufmerksam machen, dass sich etwas geändert hat. Die nachstehenden kommentierten Tests sollen diese RWEC-Eigenschaft so deutlich wie möglich machen.

Um die IS/OOS ADF für die Überwachung des Live-Handels nutzbar zu machen, müssen wir die Analyse des Vorwärtstests verwenden. Auf diese Weise werden wir über einen hybriden Rahmen für die Bewertung und Überwachung verfügen. Statt einer Aufteilung von IS/OOS verwenden wir eine OOS-Validierung mit rollendem Fenster, bei der der Teilungspunkt bei jedem Testlauf um einen gewählten Schritt nach vorn verschoben wird. Es handelt sich hierbei um dieselbe Technik, die auch von der RWEC verwendet wird. Der Unterschied besteht darin, dass wir IS/OOS ADF verwenden können, wie wir es hier tun, oder ohne den Walk-Forward, wie wir es in unserem Punktesystem getan haben.

IS/OOS ADF-Ergebnisse

Dies sind die Ergebnisse für die IS/OOS ADF für das ETF-Paar XLK/AAA. Der Zeithorizont beträgt 2000 Balken, also fast acht Jahre, sodass wir eine genaue Bewertung der Stationarität des Spreads und der Stabilität des Kointegrationsvektors vornehmen können.

def fetch_data(self, symbols, timeframe=mt5.TIMEFRAME_D1, n_bars=2000):

Für den Vorwärtstest werden 70 % der Daten als Trainingsanteil und 100 Tage als Länge jedes OOS-Fensters (Out-of-Sample) festgelegt. Wir haben auch ein Vorwärtstestfenster von 22 Handelstagen zwischen den Tests benötigt (der Schritt in unserer range()-Funktion).

   def walk_forward_test(self, data, train_frac=0.7, oos_length=100):
        """Walk-forward OOS validation"""
        results = []
        
        n_train = int(len(data) * train_frac)
        for start in range(n_train, len(data) - oos_length, 22):  # Step = 22 trading days
            end = start + oos_length
            
            # IS: estimate cointegration
            train_data = data.iloc[:start]

Das vollständige Skript finden Sie hier als isoos_adf_wf.py.

Wenn Sie diesen Test durchführen, sollten Sie eine ähnliche Ausgabe wie die folgende sehen. 

IS/OOS ADF Ergebnisse:

OOS-Erfolgsquote: 55.6%

Mittelwert ADF p-Wert: 0.203

Median ADF p-Wert: 0.002

Denken Sie daran, dass ein p-Wert unter 0,05 für uns das Minimum ist, um die Streuung als stationär zu betrachten. Der Mittelwert des p-Wertes liegt bei diesem Ergebnis weit über diesem Minimum, was auf eine nicht-stationäre Streuung hinweist, während der Median des p-Wertes weit darunter, nahe Null, liegt, was auf eine starke Stationarität der Streuung hinweist. Dies ist kein Widerspruch. Es handelt sich vielmehr um Informationen. Die Differenz zeigt uns, dass dieser Mittelwert stark durch Ausreißerwerte beeinflusst wurde. In unserem Fall sind Ausreißerwerte Spitzen, bei denen die Stationarität verloren ging, aber der Median stellt sicher, dass die Streuung die meiste Zeit stationär war.

Die letzten 5 Fenster:

adf_pvalue  stationär

4  3.111851e-01       False

5  1.517744e-01       False

6  1.718277e-03        True

7  4.409114e-07        True

8  3.135563e-05        True

Die Ergebnisse für die letzten fünf Fenster zeigen, dass die Stationarität um oder kurz vor dem vierten OOS-Fenster verloren ging.

Abb. 7. Diagramme einer In-Sample/Out-of-Sample ADF-Validierung für das ETF-Paar XLK/AAA

Die vier obigen Diagramme zeigen das Ergebnis des OOS Walk-Forward-Ergebnisses in einer solchen Anordnung, dass man die wichtigsten Informationen auf einen Blick erfassen kann. Es ist wichtig zu verstehen, wie diese Diagramme richtig zu lesen sind, da wir sie zur Überwachung des Live-Handels verwenden werden und die sich überlappenden Fenster etwas umständlich sein können, wenn Sie mit ihrer typischen Darstellung nicht vertraut sind. Lassen Sie es uns Schritt für Schritt erklären.

Rechts oben befinden sich 9 Datenpunkte auf der x-Achse mit den OOS p-Werten. Dies sind die gleichen Datenpunkte auf der x-Achse des OOS-Coint-Vector-Evolution-Plots unten rechts.

Erinnern Sie sich daran, dass wir einen Horizont von 2000 Balken haben? Das Training unseres Tests beträgt 1400 Balken (70 % von 2000). Der erste Stichprobenlauf reicht also von Tag 1 bis Tag 1400. Da die Länge des Fensters außerhalb der Stichprobe 100 beträgt, erstreckt sich der erste Lauf außerhalb der Stichprobe von Tag 1401 bis Tag 1500. Der daraus resultierende p-Wert außerhalb der Stichprobe ist unser Datenpunkt 0 in diesem Diagramm.

Wir haben ein Vorwärtstestfenster von 22 Tagen, sodass der zweite stichprobeninterne Test von Tag 1 bis Tag 1422 und der zweite stichprobenexterne Lauf von Tag 1423 bis Tag 1522 reicht. Der daraus resultierende p-Wert außerhalb der Stichprobe ist unser Datenpunkt 1 in diesem Diagramm. Und so weiter. Der allerletzte Lauf außerhalb der Stichprobe ist oben links eingezeichnet.

Wie Sie sehen können, überschneiden sich die Testfenster. Es handelt sich also um einen Walk-Forward mit sich überschneidenden Fenstern. Die ersten paar p-Werte (0-3) stammen aus Zeiträumen außerhalb der Stichprobe, die Jahre zurückliegen (2023 bis Anfang 2025), und das letzte Fenster außerhalb der Stichprobe schloss am 31. Oktober 2025. Wir hätten auch einen Vorwärtstest ohne überlappende Fenster wählen können. Wie auch immer Sie sich entscheiden, es ist von entscheidender Bedeutung, dass Sie verstehen, wie dieser Vorwärtstest funktioniert, denn, Sie müssen ihn verstehen, damit Sie seine Parameter anpassen können, um Ihre Strategie zu verfeinern, oder den Handel zu beenden, um Verluste zu vermeiden.

Eine Tabelle kann helfen, dieses Verständnis zu erleichtern.

Vorwärtstest # (x-Achse im ADF-Diagramm)	Für Beta verwendeter Zeitraum innerhalb der Stichprobe	OOS-Zeitraum getestet	gezeichneter p-Wert	Beta, unten rechts eingezeichnet
0	Tag 1 -> Tag ~1400	Tag 1401 -> Tag 1500	Punkt 0	Punkt 0
1	Tag 1 -> Tag ~1422	Tag 1423 -> Tag 1522	Punkt 1	Punkt 1
...	...	...	...	...
8	Tag 1 -> Tag ~1576	Tag 1577 -> Tag 1677 (letzte 100 Tage)	Punkt 8	Punkt 8

Tabelle 1. Überlappende Fenster bei der In-Sample/Out-of-Sample ADF-Validierung mit Analyse des Vorwärtstests

Das OOS-Diagramm der Spanne oben links zeigt nur den allerletzten OOS-Lauf, das letzte 100-Tage-Fenster. Deshalb hat sie 100 Punkte, während die ADF-Darstellung nur 9 Punkte hat. Der ADF p-Wert bei x = 8 und das letzte Beta im Vektorentwicklungsdiagramm stammen beide aus demselben Schätz- und Testfenster, das in diesem Diagramm dargestellt ist. Wir können also ablesen, dass diese Grafik einen p-Wert von ~0,02 (deutlich unter 0,05) hat. Die Spanne ist in dieser letzten Periode stationär. Es ist ein Teil des grünen Stücks im Kuchen.

Und dieses selbsterklärende Kuchendiagramm mit der Erfolgsquote ist eine Art OOS-Stationaritäts-Schnellzusammenfassung. Darin heißt es, dass von unseren 9 Vorwärtstest bei 55,6 % die Stationarität bestätigt wurde.

RWEC-Ergebnisse

Dies sind die RWEC-Ergebnisse für das gleiche ETF-Paar, XLK/AAA. Der Horizont ist derselbe 2000er-Balken wie bei der IS/OOS-ADF, sodass wir ihre Ergebnisse nach Datum abgleichen können. Die Vorwärtstest-Überschneidungsfenster haben ebenfalls die gleiche Anzahl von Handelstagen (Schritt=22), aber die Fensterlänge ist unterschiedlich. Während wir in der IS/OOS-ADF oos_length=100 verwendet haben, ist das Fenster für die RWEC=252.

   def rolling_cointegration(self, data, window=252, step=22):
        """Compute rolling cointegration vectors"""

Es gibt zwei gute Gründe dafür, dass wir nicht die gleichen 100 Fenster in RWEC verwenden. Der erste Grund ist technischer Natur und in gewissem Sinne zwingend: Der Autor des Johansen-Tests selbst empfiehlt ein größeres Fenster.

„Bei endlichen Stichproben hängt die Genauigkeit der Schätzungen jedoch stark von der Stichprobengröße ab. Simulationen zeigen, dass Stichproben von 100-200 Beobachtungen (etwa 1-2 Jahre täglicher Daten für Finanzreihen) oft erforderlich sind, um eine angemessene Genauigkeit des Kointegrationsraums zu erhalten (...). In der Praxis, wenn die Parameter im Laufe der Zeit nicht konstant sind, wendet man das Verfahren häufig auf rollierende Stichproben von z. B. 200-400 Beobachtungen an, um die Stabilität der Kointegrationsbeziehungen zu überprüfen.“ (Johansen, 1995).

Der andere Grund ist, dass es besser ist, die empfohlenen akademischen Standards zu verwenden, wenn wir unsere Tests zu irgendeinem Zeitpunkt mit akademischen Arbeiten oder Benchmarks vergleichen wollen. Durch die Verwendung von 252 für RWEC und 100 für IS/OOS ADF sind unsere Tests direkt mit veröffentlichten Untersuchungen vergleichbar.

In der Praxis ist dieser Unterschied in der Fensterlänge eine direkte Folge der Ziele der einzelnen Methoden. Der RWEC misst die strukturelle Stabilität der Kointegrationsvektoren. Um zuverlässig zu sein, sind viele Beobachtungen zu den Stichprobendaten erforderlich. Andererseits misst die IS/OOS-ADF die Stationarität des Spreads in den OOS-Daten, weshalb sie kurz genug sein muss, um den realen Handel zu simulieren. Sobald die technischen Anforderungen erfüllt sind, ergeben sich aus diesen praktischen Überlegungen die besten akademischen Praktiken.

Wie bereits erwähnt, wird hier der Kosinusabstand der Vektorwinkel als Metrik für die Vektorähnlichkeit gewählt. Wir haben den Schwellenwert für die Stabilität auf 30 Grad festgelegt.

   def vector_similarity(self, vectors_df):
        """Compute cosine similarity between consecutive vectors"""
        similarities = []
        for i in range(1, len(vectors_df)):
            vec1 = vectors_df.iloc[i-1].values
            vec2 = vectors_df.iloc[i].values
            cos_sim = np.dot(vec1, vec2) / (np.linalg.norm(vec1) * np.linalg.norm(vec2))
            angle_deg = np.degrees(np.arccos(np.clip(cos_sim, -1, 1)))
            similarities.append({
                'date': vectors_df.index[i],
                'cosine_similarity': cos_sim,
                'angle_degrees': angle_deg,
                'stable': angle_deg < 30  # Threshold
            })
        return pd.DataFrame(similarities).set_index('date')

Das vollständige Skript finden Sie hier als rwec.py angehängt.

Wenn Sie diesen Test durchführen, sollten Sie eine ähnliche Ausgabe wie die folgende sehen. 

RWEC-Ergebnisse:

stabil

Wahr 29

Falsch 4

Name: count, dtype: int64

Mittlerer Winkel: 22.3°

Medianwinkel: 0.1°

Die gleichen Beobachtungen über den Unterschied zwischen dem mittleren und dem mittleren Winkel, die wir oben zu den IS/OOS-ADF-Ergebnissen gemacht haben, gelten auch hier. Während der mittlere Winkel relativ nahe an dem von uns gewählten Schwellenwert liegt, ist der mittlere Winkel nahe Null, was eine perfekte Stabilität bedeuten würde. Die Ursache dieses Unterschieds ist in den nachstehenden Diagrammen leicht zu erkennen, mit extremen Ausreißern auf der Verkaufsseite des Portfolios (die orangefarbene Linie – AAA).

Abb. 8. Diagramme eines Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleichs für das ETF-Paar XLK/AAA

Die Bilder schreien: Seid auf der Hut! Dieses Paar ist die meiste Zeit über stabil, kann aber manchmal ein völliges Ungleichgewicht aufweisen. Beachten Sie, dass jedes Diagramm 33 Datenpunkte enthält, 29 wahre/stabile und 4 falsche/unstabile (die vier Spitzen, die wir im zweiten Diagramm sehen). Bei jeder Instabilitätsspitze vergingen mehr als zwei Monate zwischen dem Überschreiten und dem Unterschreiten unserer Schwelle. Es scheint Zeit genug zu sein, um frühere Gewinne abzuschöpfen oder sogar einen Margin Call auszulösen, je nach Größe unseres Kontos. Mit einem Wort: RWEC deckt die strukturelle Instabilität auf, die IS/OOS ADF in seinem letzten OOS-Fenster ignoriert hat (obwohl die 55,6%ige OOS-Erfolgsrate als Warnung verstanden werden kann).

Wie zuvor gesagt, wähle ich dieses ETF-Paar aus, um den fraglichen Punkt besser zu veranschaulichen. Soweit ich weiß, sind solche isolierten Spitzen des Ungleichgewichts bei den hochliquiden Nasdaq-Werten, die wir in dieser Serie als Beispiel verwendet haben, nicht so häufig zu finden. Aber es kann passieren, und außerdem wollen wir, dass unser statistisches Arbitrage-System uns zumindest dabei hilft, ein stabiles Paar oder einen Korb aus einem beliebigen Markt oder einer Anlageklasse zu bilden. Wir wollen nicht, dass er auf Nasdaq-Aktien mit hoher Liquidität beschränkt wird.

Intervall für die Neugewichtung

Wenn wir einmal verstanden haben, wie jeder dieser Tests funktioniert und wie sie zusammen eingesetzt werden können, um uns bei der Identifizierung instabiler Portfolios zu helfen, stellt sich die folgende Frage: In welcher Häufigkeit sollten wir die oben beschriebene Analyse während der Überwachung des Live-Handels durchführen? Einmal pro Woche? Zweimal im Monat? Vielleicht hängt alles von dem Zeitrahmen ab, in dem wir arbeiten, und wir können nur einmal am Tag einen Blick auf ihre Grundstücke werfen?

Ich bitte um Ihre Erlaubnis, diese Frage mit der Wiedergabe der von Ed Thorp selbst beschriebenen statistischen Arbitrage-Handelsroutine zu beantworten, wie sie um das Jahr 2000 herum bestand. Edward Thorp ist ein Mathematiker, Spieler und Hedgefonds-Manager, der in den späten 1980er Jahren zu den Pionieren der Quant-Revolution gehörte. Seine Handelsroutine beschreibt er in seinem autobiografischen Buch „A Man for All Markets“ (Random House, NY, 2017).

„Das statistische Arbitragegeschäft, das Steve und ich 1992 wieder aufgenommen haben, läuft nun schon seit acht Jahren erfolgreich. Unsere Computer haben in der ersten Stunde mehr als eine Million Aktien gehandelt, und wir liegen 400.000 Dollar im Plus. Wir verwalten derzeit 340 Mio. USD und haben Aktien im Wert von 540 Mio. USD gekauft und in gleichem Umfang verkauft. Unsere Computersimulationen und Erfahrungen zeigen, dass dieses Portfolio nahezu marktneutral ist, was bedeutet, dass die Wertschwankungen des Portfolios nur wenig mit den durchschnittlichen Kursveränderungen des Marktes korrelieren. Unser Grad an Marktneutralität, gemessen an dem, was Finanztheoretiker als Beta bezeichnen, lag im Durchschnitt bei 0,06. 

(...)

Anhand unseres Modells berechnen unsere Computer täglich einen „fairen“ Preis für jedes der rund tausend größten und meistgehandelten Unternehmen an den New Yorker und amerikanischen Börsen. Börsenexperten bezeichnen Aktien mit hohem Handelsvolumen als „liquide“; sie haben den Vorteil, dass sie leichter gehandelt werden können, ohne dass sich der Kurs dabei stark nach oben oder unten bewegt. Die aktuellen Börsenkurse fließen in unsere Rechner ein und werden sofort mit dem aktuellen Marktwert nach unserem Modell verglichen. Wenn der tatsächliche Preis weit genug vom fairen Preis abweicht, kaufen wir den unterbewerteten Wert und verkaufen den überbewerteten. 

(...)

Beim Blick auf den Computerbildschirm sehe ich die interessanten Positionen des Tages, darunter die größten Gewinner und die größten Verlierer. Ich kann schnell erkennen, ob Gewinner oder Verlierer ungewöhnlich groß erscheinen. Alles sieht normal aus. Ich gehe den Flur hinunter zu Steve Mizusawas Büro, wo er an seinem Bloomberg-Terminal nach Nachrichten sucht, die große Auswirkungen auf eine der Aktien haben könnten, mit denen wir handeln. Wenn er Ereignisse wie die unerwartete Ankündigung einer Fusion, Übernahme, Abspaltung oder Umstrukturierung feststellt, weist er den Computer an, die Aktie auf die Sperrliste zu setzen: Eröffnen Sie keine neue Position und schließen Sie, was wir haben.

(...)

Unser Portfolio hat die risikomindernden Eigenschaften der Arbitrage, aber mit einer großen Anzahl von Aktien auf der Kauf- und Verkaufsseite des Portfolios erwarten wir, dass das statistische Verhalten einer großen Anzahl von günstigen Wetten unseren Gewinn liefert. Das ist wie Kartenzählen beim Blackjack, nur in einem viel größeren Maßstab. Unsere durchschnittliche Handelsgröße liegt bei 54 000 Dollar, und wir platzieren eine Million solcher Wetten pro Jahr oder eine Wette alle sechs Sekunden, wenn der Markt geöffnet ist.“

Ich vermute, dass nur sehr wenige von uns jemals ein Handelsgeschäft in dieser Größenordnung haben werden, aber die grundlegende Lehre ist dieselbe: nicht blinzeln! Dies beschreibt den Tagesablauf von Thorp, jeden einzelnen Tag. Die Modelle wurden täglich auf den „richtigen fairen Preis“ von Tausenden Aktien überprüft. Während viele Leute denken, dass statistische Arbitrage eine Art leicht verdientes Geld ist, sagt einer der erfolgreichsten Hedgefonds-Manager aller Zeiten, dass ständige Überwachung der richtige Weg ist.

Aus diesem Grund habe ich mich bei der Überwachung des Live-Handels für die verbindliche Antwort eines echten Hedgefonds-Managers entschieden, der in dieser Größenordnung tätig ist. Seine Botschaft ist klar und pragmatisch und beruht auf realen Erfahrungen. Die Durchführung statistischer Arbitrage erfordert eine kontinuierliche Überwachung. Das Intervall für die Neugewichtung wird von Fall zu Fall vom Markt bestimmt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass wir diese Tests in unser Scoring-System einbeziehen müssen, und um das Risiko bei einem vollautomatischen Betrieb zu minimieren, müssen wir sie mindestens einmal pro Tag für das aktive Portfolio überprüfen. Idealerweise müssen wir sie mit der Frequenz des gewählten Zeitrahmens überprüfen, mit dem kürzest möglichen OOS-Fenster für die IS/OOS-ADF und mit sinnvollen Warnungen für die Zeiträume, in denen der RWEC-Kosinusabstand von seinem Median abweicht.

Schlussfolgerung

Auf der Grundlage der guten Backtest-Ergebnisse, über die wir im vorigen Artikel berichtet haben, beginnen wir hier damit, die Entwicklung unseres statistischen Arbitrage-Rahmens vom Screening/Scoring auf den Live-Handel zu übertragen. Um die grundlegenden Anforderungen für die Überwachung des Live-Handels zu erfüllen, schlagen wir die Einbeziehung der Analyse des Vorwärtstests in die In-Sample/Out-of-Sample-ADF-Validierungsmethode (IS/OOS ADF) und die Einführung der Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleichsmethode (RWEC) vor, sowohl für das Scoring-System als auch für die Überwachung der Stabilität der Portfoliogewichte während des Live-Handels.

Am Beispiel eines einfachen ETF-Paares zeigen wir, dass sich die ADF-Validierung auf die Bewertung der Stationarität eines kontinuierlichen Spreads konzentriert, während die RWEC in der Lage ist, eine frühzeitige Instabilität der Portfoliogewichte zu erkennen, und damit zu unserem primären Risikokontrollinstrument für die Live-Überwachung und das adaptive Rebalancing wird.

Wir erklären die Mechanik der überlappenden Fenster in der Technik des Vorwärtstest und erläutern die Messwerte und eine mögliche Interpretation eines Beispielplots dieser Technik auf IS/OOS ADF, wenn sie im Tandem mit RWEC verwendet wird. Wir zeigen, dass wir durch die Kombination von RWEC und IS/OOS ADF mit der Analyse des Vorwärtstest einen soliden Backtest durchführen und ein dynamisches Risikomanagement für den Live-Handel erreichen können.

Schließlich stellen wir den Lesern, die mit den Testparametern für das gleiche ETF-Paar oder sogar für andere Anlageklassen experimentieren möchten, Beispielcode für die im Artikel verwendeten Python-Skripte zur Verfügung.

Dateiname	Beschreibung
rwec.py	Python-Skript zur Durchführung des Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleichstests (RWEC) in Asset-Paaren mit grafischer Darstellung.
isoos_adf_wf.py	Python-Skript zur Durchführung der In-Sample/Out-of-Sample ADF-Validierung (IS/OOS ADF) mit Vorwärtstest-Analyse in Asset-Paaren mit Darstellungen.
bench_runner.py	Python-Skript, um beide Tests für mehrere Asset-Paare gleichzeitig auszuführen und ihre Ergebnisse zu vergleichen.