Statistische Arbitrage durch kointegrierte Aktien (Teil 10): Erkennen von Strukturbrüchen

Einführung

Bei der Erforschung des Themas Kointegration stößt man immer wieder auf eine Analogie: ein betrunkener Mann, der seinen Hund an der Leine führt. Sie können sich manchmal voneinander entfernen, der Mann kann einen gewundenen Weg gehen, der Hund kann schneller springen und zum Mann zurückkommen, aber sie bleiben verbunden, gebunden durch die Leine. Schließlich kommen sie gemeinsam zu Hause an. Was aber, wenn die Leine aus irgendeinem Grund gerissen ist? 

Die Kointegration ist eine langfristige Beziehung. Der Spread schwankt ständig, aber da wir die Gewichtung des Portfolios anpassen, können wir relativ lange mit demselben Paar oder Korb im Geschäft bleiben. Sogar ein durch einfache Korrelation verbundenes Paar kann die Korrelation für eine relativ lange Zeit aufrechterhalten, solange wir die Spanne zwischen ihnen korrigieren. Egal, ob es sich um eine Korrelations- oder eine Kointegrationsbeziehung handelt, keine Beziehung ist von Dauer. Wir wissen, dass er irgendwann an Kraft verliert, die Paare oder Vermögenswerte im Korb beginnen abzudriften, die Absicherungen beginnen, keinen wirtschaftlichen Sinn mehr für den Handel zu machen, was schließlich zur Entfernung des Paares oder des Korbes aus unserem Portfolio führt. 

In der Regel handelt es sich um einen schrittweisen Prozess. Sie kann mit den bisher verwendeten Instrumenten, wie dem „Rolling-Window-Eigenvektor-Comparison“ (RWEC) und der „In-Sample/Out-of-Sample-ADF“ (IS/OOS-ADF), überwacht und erkannt werden. Im letzten Artikel dieser Reihe haben wir gesehen, wie wir die Aktualisierungen der Portfoliogewichte auf der Grundlage der Live-Handelsüberwachung dieser progressiven Abweichungen vom Modell backtesten können.

Manchmal wird die Verbindung zwischen den Vermögenswerten jedoch auf unerwartete Weise unterbrochen. Die Leine, die den Mann und den Hund einst verband, riss. Nicht schrittweise, sondern plötzlich. Nicht Schritt für Schritt in ein paar Tagen oder Wochen, sondern als ein einziges Ereignis in der Zeit, ein Haltepunkt.

Wenn dies geschieht, möchten wir so früh wie möglich informiert werden. Andernfalls können wir unsere Portfoliogewichte für ein Paar oder einen Korb, dessen Kointegrations- oder Korrelationsbeziehung umgedreht wurde oder nicht mehr besteht, weiter aktualisieren. Aber wie kann man die üblichen Schwankungen von einem Bruch der Beziehung unterscheiden? Wie können wir den permanenten Wandel vom Marktrauschen unterscheiden?

Nehmen wir zum Beispiel die Ankündigung des Präsidenten der Vereinigten Staaten vom 2. April 2025 zu den Außenhandelszöllen. Das war eine Nachricht mit hohem Wiedererkennungswert auf Steroiden. Sie hat mehrere Märkte in der ganzen Welt verändert. Der sogenannte „Tag der Befreiung“ löste einen der bedeutendsten Regimewechsel in unserem Leben aus. Es ist anzunehmen, dass viele kointegrierte Portfolios am nächsten Tag „abgebaut“ wurden. Es war ein unerwarteter Schock, der die Korrelationen und Absicherungsverhältnisse zwischen globalen Vermögenswerten veränderte. Es handelte sich um eine Durchführungsverordnung, zu der vor ihrer Bekanntgabe nur der innere Kreis der Regierung der Vereinigten Staaten Zugang hatte. In praktischer Hinsicht war das vollkommen unerwartet. Die Auswirkungen waren horizontal und veränderten die Verhältnisse bei Devisenpaaren (USD/CNH), Rohstoffen (Eisen, Öl) und auch Aktien. Infolgedessen wurden die Beziehungen zwischen den Indizes drastisch verändert, wie beim S&P500 und dem JPN225 (Nikkei).

Ein ähnliches Beispiel wäre die jüngste Partnerschaft zwischen Nvidia und Intel. Dies führte zu einem sofortigen Anstieg der Intel-Aktien und kehrte die übliche Korrelation zwischen den Aktienkursen um. Doch während die Ankündigung des „Liberation Day“ zumindest theoretisch vollkommen unerwartet kam, ist eine Investitionsentscheidung eines großen Akteurs der Halbleiterindustrie niemals „vollkommen unerwartet“. Diese Art von Entscheidung folgt auf Entscheidungen des Verwaltungsrats, Sitzungen mit Interessenvertretern und Interviews in der Fachpresse. Sie wird immer vom Markt verfolgt und von den großen Akteuren eingepreist, bis die Ankündigung der Partnerschaft ordnungsgemäß veröffentlicht wird.

Doch trotz der Unterschiede zwischen den „vollkommen unerwarteten“ Nachrichten der US-Regierung und den eingepreisten Unternehmensnachrichten verursachten beide einen sogenannten Strukturbruch an den jeweiligen Märkten. Beide Ereignisse führten zu Veränderungen, die über die üblichen Marktschwankungen hinausgingen.

Im Folgenden werden wir sehen, was ein Strukturbruch ist, wie die statistischen Tests, die wir bisher verwendet haben, uns auf mögliche Strukturbrüche aufmerksam machen können, wie wir Chow-Tests verwenden können, um sie zu bestätigen, und wie wir sie durch rekursive Berechnung der kumulativen Summe der Quadrate frühzeitig erkennen können.

Was ist ein Strukturbruch?

Der Begriff Strukturbruch hat eine intuitive Bedeutung. Jeder kann die Worte verstehen und erkennen, dass eine Struktur gebrochen wurde. Doch trotz dieser intuitiven Bedeutung gibt es in der Ökonometrie und Statistik eine formale Definition des Strukturbruchs.

„Eine unerwartete Veränderung der Parameter von Regressionsmodellen im Laufe der Zeit“.

Obwohl wir die formale Mathematik oder Statistik vermieden und uns stattdessen auf die Anwendung der statistischen Werkzeuge und Methoden konzentriert haben, ist es wichtig, dass wir die formale Definition des Strukturbruchs verstehen, um unsere Wahrnehmung von dem mit diesem Ausdruck verbundenen gesunden Menschenverstand zu unterscheiden. Denn einer der „Parameter“, auf den eine unerwartete Änderung abzielt, ist der Spread, mit dem wir handeln werden. Die Definition besagt also, dass ein Strukturbruch neben anderen möglichen Parametern dann auftritt, wenn sich unser korrelierter oder kointegrierter Spread in unerwarteter Weise verändert.

Zwei Dinge sind zu beachten: Obwohl unerwartete Nachrichten und Marktbewegungen in der Regel die Ursache für die Veränderung sind, hat der Begriff „unerwartet“ in der Definition des Strukturbruchs nichts mit unerwarteten Nachrichten oder unerwarteten Marktbewegungen zu tun. Dies ist aus Sicht des Regressionsmodells unerwartet. Die Regression ging in eine Richtung und schlug plötzlich eine andere Richtung ein; die Steigung änderte sich auf unerwartete Weise.

Außerdem hat der Begriff „Parameter“ eine andere Bedeutung als den, den wir in der allgemeinen Mathematik oder Softwareentwicklung verwenden. In diesem Zusammenhang ist ein Mittelwert oder eine Standardabweichung ein Parameter, ebenso wie unsere Streuung.

Nehmen wir als Beispiel die in gewisser Weise erwartete Ankündigung einer Partnerschaft zwischen Nvidia Co. (NVDA) und Intel Co. (INTC). Diese Partnerschaft führte zu einer unerwarteten Veränderung der Regressionsparameter des Pearson-Korrelationstests für diese Aktien.

Nvidia Co. (NVDA) Partnerschaft mit Intel Co. (INTC)

Am 18. September 2025 hat Nvidia eine umfassende Partnerschaft mit Intel Co. angekündigt, um Chips für PCs und Rechenzentren zu entwickeln. Die Fünf-Milliarden-Dollar-Investition führte zu einem Anstieg der Intel-Aktien, veränderte die Beziehung zwischen den beiden Unternehmen und damit auch deren Korrelationsbeziehung. Zu diesem Zeitpunkt sollte jedes Portfolio, das sich auf ein stabiles Beta zwischen NVDA und INTC verlässt, so schnell wie möglich auf einen Strukturbruch prüfen.

Bis eine Woche vor der Ankündigung gab es eine negative Korrelation zwischen NVDA und INTC, was bedeutet, dass sie in entgegengesetzte Richtungen schwankten. Obwohl die Korrelation in diesem Zeitraum im täglichen Zeitrahmen nicht hoch genug war, wäre es denkbar, dass sie in einem Portfolio der Halbleiterindustrie gehandelt werden, wobei die eine Aktie gekauft und die andere verkauft wird. Zu diesem Zeitpunkt wurden die Unternehmen als Konkurrenten in einem Nullsummenspiel betrachtet. Wenn einer von ihnen gewinnt, wird der andere verlieren und umgekehrt. Sie wurden von den Anlegern als zwei große Unternehmen angesehen, die um denselben Marktanteil kämpfen.

Die Grafik unten zeigt eine visuelle Karte der Pearson-Korrelation zwischen Nvidia und Intel von Anfang 2024 bis zur Woche vor der Ankündigung der Partnerschaft. Sie zeigt eine negative Korrelation von -0,71.

Abb. 1: Darstellung der Pearson-Korrelationsmatrix von NVDA und INTC im Zeitraum vom 01. Januar 2024 bis zum 13. September 2025

Nach der Bekanntgabe der Partnerschaft kehrte sich das Verhältnis um. Die nachstehende Grafik zeigt das Diagramm der Pearson-Korrelation zwischen Nvidia und Intel von der Woche, in der die Partnerschaft bekannt gegeben wurde, bis drei Monate später. Sie zeigt eine positive Korrelation von 0,75.

Abb. 2: Grafik der Pearson-Korrelationsmatrix von NVDA und INTC vom 15. September 2025 bis zum 17. Dezember 2025

Obwohl der absolute Wert fast gleich blieb, wurde die Korrelation ab diesem Zeitpunkt positiv, was bedeutet, dass beide Aktien in dieselbe Richtung schwankten. Die Unternehmen, die vom Markt insgesamt als Konkurrenten angesehen wurden, werden nun als strategische Partner wahrgenommen; wenn der eine Erfolg hat, hat auch der andere Erfolg. Plötzlich kämpfen sie nicht mehr um denselben Marktanteil, sondern schließen sich zusammen, um stärker zu werden. Das ist eine radikale und aus rein mathematischer Sicht gänzlich unerwartete Veränderung in ihrer Korrelationsbeziehung. Jedes Portfolio, das dieses Paar enthält, muss neu kalibriert oder gestoppt werden.

Und hier stehen wir vor dem wichtigsten Problem für unsere statistische Arbitragestrategie. Beachten Sie, dass die Ankündigung von Außenhandelszöllen durch die US-Regierung zwar in ihrer Reichweite und ihrem Ausmaß für den durchschnittlichen Einzelhändler vollkommen unerwartet kam, die Partnerschaft zwischen Nvidia und Intel jedoch nicht. Dies könnte unter anderem aus Pressemitteilungen der Führungsebene, Interviews und Expertenanalysen hervorgehen. Der gesunde Menschenverstand besagt, dass sie bereits Wochen vor der tatsächlichen Ankündigung verfolgt und eingepreist wurde. Die Umkehrung der Korrelation mag aus streng mathematischer Sicht unerwartet sein oder über die Erwartungen hinausgehen, aber die radikale Veränderung der Beziehung zwischen den Vermögenswerten war keineswegs unerwartet.

Der Markt hat nicht geschlafen, während die beiden Unternehmen über eine Einigung verhandelten. Stattdessen wurde die Partnerschaft in dem Maße, in dem sich die Nachricht von anfänglichen Gerüchten bis zur tatsächlichen Ankündigung am 18. September 2025 entwickelte, zunehmend in die Korrelationsbeziehung eingebettet. Es war keine sofortige Veränderung. Stattdessen war es das Ergebnis einer Akkumulation von Signalen bis zum Spitzenereignis.

Die wichtigste Frage für unsere statistische Arbitragestrategie ist, wie wir die geringfügigen Veränderungen in der Korrelationsbeziehung erkennen können, die zu einem Strukturbruch geführt haben.

RWEC-Warnungen

Nehmen wir an, wir haben dieses Paar mit einem „Rolling-Window-Eigenvektor-Comparison“ (kurz: RWEC) überwacht. Eine ausführliche Beschreibung seiner Merkmale und seiner Auslegung haben wir in Teil 8 dieser Serie gesehen, sodass wir uns hier nicht wiederholen werden. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass dieses Tool die Stabilität der Portfoliogewichte berechnet, indem es den Kosinusabstand der Winkel der aufeinanderfolgenden Eigenvektoren mit einem festgelegten Schwellenwert vergleicht. Es berechnet den Kointegrationsvektor über rollierende Fenster und vergleicht die Eigenvektoren über diese Fenster hinweg. Wenn wir also RWEC zur Überwachung dieses Paares verwenden würden, würden wir auf eine ungewöhnliche Veränderung in der Paarbeziehung aufmerksam gemacht.

Die folgende Grafik zeigt die Entwicklung des Kointegrationsvektors und die Stabilität des Vektors für das Paar NVDA/INTC von Anfang 2025 bis Anfang 2026, dem Zeitpunkt der Erstellung dieses Berichts. Wir sehen, dass der radikale Wandel, der im September, dem Monat der Ankündigung der Partnerschaft, seinen Höhepunkt erreichen wird, fast zwei Wochen vorher, um den 20. August herum, beginnt. Zu diesem Zeitpunkt konnten wir nicht wissen, ob es sich bei den Veränderungen um Marktrauschen, normale Fluktuationen oder die ersten Anzeichen eines Strukturbruchs handelt. Wie wir diese Veränderungen interpretieren würden, hängt ganz davon ab, wie viele Informationen wir zu diesem Zeitpunkt über die mögliche Partnerschaft haben. Die Daten allein würden nicht ausreichen, um unser Handeln zu bestimmen.

Abb. 3: Darstellung von „Rolling Windows Eigenvector Comparison“ für das Paar NVDA/INTC im H4-Zeitrahmen und 504 Rückblickstagen

Diese Diagramme wurden mit 504 Rückblickstagen im H4-Zeitrahmen erstellt, NICHT im täglichen Zeitrahmen, da ich davon ausgehe, dass wir die Software zur Überwachung eines Echtzeit-Handelsportfolios verwenden. Man beachte, dass die Umkehrung der Beziehung im September 2025 festgestellt wird. Der Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Vektoren geht von einem stabilen Wert nahe Null vor dem Datum der Partnerschaft auf mehr als 150 Grad nach der Ankündigung. Einen Monat später war sie wieder stabil.

Die Frage ist, dass RWEC zwar die seltsame Bewegung in der Ausbreitung feststellen und uns darüber informieren kann, aber nicht, ob es sich um eine strukturelle Veränderung handelt. Denn sie wurde nicht zu diesem Zweck entwickelt. Stattdessen ist der RWEC in gewissem Sinne kurzsichtig: Er sucht nach Schwankungen im Zeitverlauf und vergleicht die nächsten Schwankungen mit dem gewählten Schwellenwert. Aber sie sagt nichts über die Geschichte der Spanne und wie sie mit den nächsten Schwankungen zusammenhängt. Hier kommt der Chow-Test ins Spiel.

Chow-Test

Der Chow-Test wurde mit dem ausdrücklichen Ziel entwickelt, zu prüfen, ob ein bestimmter Bruch eine strukturelle Veränderung verursacht hat. Dies geschieht auf sehr intuitive Weise, indem drei lineare Regressionen über die Daten durchgeführt werden: eine, die direkt vor dem Bruch stoppt, eine, die direkt nach dem Bruch beginnt, und eine dritte Regression über den gesamten Zeitraum, als ob es keinen Bruchpunkt gäbe. Der Test vergleicht dann die beiden ersten linearen Regressionen mit der zweiten und liefert eine F-Statistik und einen p-Wert. Je höher die F-Statistik und je niedriger der p-Wert, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit eines Strukturbruchs in den analysierten Daten.

Für den Chow-Test ist es erforderlich, ein Datum für den Haltepunkt (einen Punkt in der Zeitreihe) anzugeben. Dies ist das Datum, an dem wir den Strukturbruch vermuten. Er benötigt dieses Datum, um die ersten beiden linearen Regressionen durchzuführen, die um den Haltepunkt herum enden und beginnen.

Am Ende dieses Artikels finden Sie die Python-Skripte für die Durchführung der vorherigen Pearson-Korrelation und RWEC-Tests. Diese Tests wurden in den vorangegangenen Teilen dieser Artikelserie ausführlich behandelt. Bitte beachten Sie diese, wenn Sie hier anfangen.

In den Anhängen unten finden Sie auch das Python-Skript zur Durchführung eines Chow-Tests. Dies ist die Hauptfunktion des Chow-Tests. Beachten Sie, dass der einzige erforderliche Parameter neben den Preisdaten der Datumsstichtag ist. 

    def run_chow_test(self, data: pd.DataFrame, break_point_date: str):
        """
        Performs the Chow test on the asset pair Y and X.
        
        Parameters:
        - data: DataFrame with columns [Y, X] (first column is Y, second is X)
        - break_point_date: String date (e.g., 'YYYY-MM-DD') for the structural break.
        """
        if data.shape[1] != 2:
            raise ValueError("Input data must have exactly two columns (Y and X).")
        
        # Assign Y and X based on column order
        symbol_y = data.columns[0]
        symbol_x = data.columns[1]
        
        Y_full = data[symbol_y]
        X_full = sm.add_constant(data[symbol_x])
        N = len(data)
        k = 2 # Number of parameters (intercept + slope)

        # 1. Split data at suspected break point
        break_date = pd.to_datetime(break_point_date)
        
        # Check if the break date is valid
        if break_date <= data.index.min() or break_date >= data.index.max():
             raise ValueError("Breakpoint date is outside the data range.")

        # Data split
        df_pre = data[data.index < break_date]
        df_post = data[data.index >= break_date]

        N1 = len(df_pre)
        N2 = len(df_post)
        
        if N1 < k or N2 < k:
            raise ValueError("Insufficient data points in one or both sub-periods to estimate the model.")

        # 2. Full sample regression (restricted model)
        full_model = sm.OLS(Y_full, X_full).fit()
        ssr_full = full_model.ssr
        
        # 3. Separate regressions (unrestricted models)
        Y_pre = df_pre[symbol_y]
        X_pre = sm.add_constant(df_pre[symbol_x])
        pre_model = sm.OLS(Y_pre, X_pre).fit()
        ssr_pre = pre_model.ssr

        Y_post = df_post[symbol_y]
        X_post = sm.add_constant(df_post[symbol_x])
        post_model = sm.OLS(Y_post, X_post).fit()
        ssr_post = post_model.ssr
        
        # 4. Compute Chow test statistic
        numerator = (ssr_full - (ssr_pre + ssr_post)) / k
        denominator = (ssr_pre + ssr_post) / (N - 2 * k)
        F_stat = numerator / denominator
        
        # p-value
        p_value = f.sf(F_stat, k, N - 2 * k)
        
        results = {
            'symbol_y': symbol_y,
            'symbol_x': symbol_x,
            'break_date': break_point_date,
            'F_stat': F_stat,
            'p_value': p_value,
            'pre_beta': pre_model.params[1],
            'post_beta': post_model.params[1],
            'full_beta': full_model.params[1],
            'N1': N1,
            'N2': N2,
            'ssr_full': ssr_full,
            'ssr_pre': ssr_pre,
            'ssr_post': ssr_post
        }
        results['full_intercept'] = full_model.params[0]
        results['pre_intercept'] = pre_model.params[0]
        results['post_intercept'] = post_model.params[0]

        # Determine the conclusion
        if p_value < 0.05:
            results['conclusion'] = "Reject H0 (Structural break detected)"
        else:
            results['conclusion'] = "Fail to reject H0 (No structural break evidence)"

        return results

 Wenn Sie dieses Skript für das Paar NVDA/INTC am 18. September 2025 als Datumsgrenze ausführen, erhalten Sie eine Ausgabe und ein Diagramm wie dieses.

--- Chow Test Analysis ---
Pair: NVDA vs INTC
Breakpoint: 2025-09-18
F-statistic: 568.7312
p-value: 0.000000
Conclusion: Reject H0 (Structural break detected)
Pre-break Beta: -2.5947
Post-break Beta: 0.9506
Inserted Chow test result for NVDA/INTC into 'chow_results' table.

Abb. 4: Diagramm des Chow-Tests für das Paar NVDA/INTC mit dem 18. September 2025 als Haltepunktdatum

Das Diagramm ist glasklar: zwei sehr unterschiedliche Regime entstehen, wenn wir das Datum der Ankündigung der Partnerschaft zwischen Nvidia und Intel als Bruchpunkt festlegen. Von negativer zu positiver Korrelation, von inverser zu synchroner Korrelation. Versuchen wir zu verstehen, wie diese Geschichte erzählt wird.

Die Pre-Break-Linie (blau) hat eine Steigung von -2,59. Dies ist das Beta, das wir vor der Partnerschaft handeln würden. Zu diesem Zeitpunkt gilt, dass ein Kursanstieg von Intel von einer Abwärtsbewegung von Nvidia begleitet wird. Unter dieser Regelung wurden sie vom Markt als Konkurrenten eingestuft. Das ist es, was wir handeln würden, wenn wir die Änderung ignorieren würden.

Nach der Nachricht über die Fünf-Milliarden-Dollar-Investition kehrte sich das Verhältnis um. Die Post-Break-Linie (rot) hat sich gedreht, und die Steigung beträgt nun 0,95. Jetzt bewegen sich ihre Preise in die gleiche Richtung, und der Markt bewertet sie als Partner oder zumindest als Nutznießer des Erfolgs des jeweils anderen. Das ist es, was wir handeln sollten, nachdem wir von der Änderung erfahren haben.

Die gestrichelte schwarze Linie stellt das sogenannte „eingeschränkte Modell“ dar, wie es in der Sprache des Chow-Tests heißt. Sie zeigt, wie die Regression aussehen würde, wenn sich die Beziehung nicht ändern würde. Man kann es sich als den Durchschnitt der beiden Regime vorstellen, den Durchschnitt der Fehler, der die Verluste progressiv erhöht, denn er beruht auf einem Verhältnis, das nicht mehr existiert.

Wenn wir diese Analyse für die Überwachung des Live-Handels verwenden würden, sollte die F-Statistik mit einem Wert von 568 wie ein „Ausstiegssignal“ klingen. Sie informiert uns darüber, dass es sich nicht nur um ein Rauschen des Marktes handelt. Es handelt sich um einen permanenten Regimewechsel. Außerdem gibt der p-Wert an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine F-Statistik mit diesem Wert auftritt, wenn kein Strukturbruch vorliegt. Sie ist gleich null.

Wenn wir also eine Mean-Reversion-Strategie (Rückkehr zum Mittelwert) mit diesem Paar in unserem Portfolio durchführen würden, zeigt diese Grafik den Zeitpunkt, an dem wir das alte Modell, dargestellt durch die blaue Linie, beenden und ein neues Modell, dargestellt durch die rote Linie, starten sollten. Andernfalls würde sich der Fehler, wie durch die schwarze gestrichelte Linie dargestellt, immer weiter vergrößern.

Wir können ihn als mathematischen Beweis dafür ansehen, dass eine grundlegende Verschiebung in der Beziehung stattgefunden hat, und wir können den Chow-Test immer dann anwenden, wenn wir vermuten, dass ein dauerhafter Regimewechsel stattgefunden hat. Einige Beispiele für Ereignisse, die zu Regimewechseln führen können, sind Unternehmensfusionen und -übernahmen, Änderungen in der Geldpolitik (insbesondere für Devisenhändler), unerwartet hohe oder niedrige Gewinnmeldungen und regulatorische Änderungen.

So leistungsfähig der Chow-Test bei der Aufdeckung von Strukturbrüchen auch sein mag, er hat auch einige Einschränkungen. Eine davon haben wir bereits gesehen, nämlich dass wir ein Datum für den Haltepunkt im Voraus festlegen müssen. Außerdem kann er nur auf zwei Vermögenswerte gleichzeitig angewendet werden, d. h., wir können ihn nicht verwenden, um einen Korb von drei, vier oder mehr Aktien zu testen. Neben diesen absoluten Einschränkungen gibt es eine, die relativ zum Zeitrahmen ist, nämlich dass wir eine „vernünftige“ Menge an Daten nach dem gewählten Haltepunkt benötigen, um einen Chow-Test mit minimaler Genauigkeit durchzuführen.

Wie früh kann der Chow-Test einen Strukturbruch erkennen?

Der Chow-Test ist technisch gesehen ein Bestätigungsinstrument und kein Frühwarninstrument. Aufgrund seiner Berechnungsweise kann er einen Strukturbruch nicht sofort erkennen. Es wird ein „Puffer“ von Daten nach dem vermuteten Ereignis benötigt, um zu beweisen, dass eine Verschiebung in der Beziehung tatsächlich stattgefunden hat. Es gibt ein mathematisches und ein praktisches Minimum für die erforderliche Datenmenge nach dem Bruch. Das mathematische Minimum der Datenpunkte nach dem Bruch ist gleich der Anzahl der Parameter in unserem Modell. Für einen einfachen Paarhandel sind dies zwei Parameter.

Theoretisch könnten wir den Test mit nur zwei Tagen an Daten nach dem „Tag der Befreiung“ durchführen. Bei nur zwei Tagen würde das eingeschränkte Modell, die Regression, die die Daten von Anfang bis Ende durchgeht, als ob der Haltepunkt nie existiert hätte, bereits zwei Tage nach dem Ereignis aufhören, sodass es keine statistische Aussagekraft hätte und unsere Ergebnisse bedeutungslos wären. Das mathematische Minimum hat keine praktische Anwendung für unseren Anwendungsfall.

Um Vertrauen in das Ergebnis zu haben, d. h., um einen p-Wert unter 0,05 zu erhalten, benötigen wir genügend Daten nach dem Bruch, um ein neues Regime von vorübergehendem Rauschen zu unterscheiden. Beim täglichen Handel kann man innerhalb von 5 bis 10 Balken eine hohe F-Statistik sehen. Außerdem, wenn der Bruch gewaltsam ist, wie beim „Tag der Befreiung“ (Zölle von 145 %). Die von uns recherchierte Literatur und die meisten unserer Tests deuten jedoch darauf hin, dass 20 bis 30 Balken nach dem Haltepunkt erforderlich sind, um sicherzustellen, dass die OLS-Schätzungen für die zweite Periode stabil genug sind, um mit der ersten Periode verglichen zu werden.

Zurück zum „Tag der Befreiung“: Der vom Präsidenten der Vereinigten Staaten am 2. April 2025 angekündigten massiven Erhöhung der Außenhandelszölle, würden wir am nächsten Tag oder sogar bis zum Ende der Woche am 4. April keinen aussagekräftigen Chow-Test haben. Wir müssten etwa zehn bis fünfzehn Handelstage warten, bis ein Chow-Test eine signifikante F-Statistik liefern könnte.

Führen wir beispielsweise einen Chow-Test für den S&P500 (US500) und den Nikkei225 (JPN225) durch. Erinnern wir uns, als Basiszölle auf japanische Produkte von 25 % angedroht wurden? Später einigte man sich auf Basiszölle von 15 %, mit mehreren sektoralen Ausnahmen und spezifischen Vereinbarungen. Dadurch wurde die normalerweise stabile Korrelation zwischen dem amerikanischen und dem japanischen Index gestört. Wir können also davon ausgehen, dass sich ihre Korrelation seit dem 3. April 2025 strukturell verändert hat.

--- Chow Test Analysis ---
Pair: US500 vs JPN225
Breakpoint: 2025-04-02
F-statistic: 57.5019
p-value: 0.000000
Conclusion: Reject H0 (Structural break detected)
Pre-break Beta: 0.0656
Post-break Beta: 0.0822
Inserted Chow test result for US500/JPN225 into 'chow_results' table.

Abb. 5: Diagramm eines Chow-Tests für den S&P500/Nikkei225 mit dem 03. April 2025 als Breakpoint-Datum

Steigungsinversion, X-Achsenverschiebung

Der Test bestätigt, dass es einen Strukturbruch in der Korrelation zwischen dem S&P 500 und dem Nikkei 225 gab. Hier liegt jedoch eine andere Art von Strukturbruch vor als bei Nvidia/Intel nach der Ankündigung der Partnerschaft, wie in Abbildung 4 dargestellt. Es ist zu beachten, dass es weder eine Umkehrung der Beziehung noch eine signifikante Veränderung der Betas gibt. Stattdessen bleibt die Korrelation zwischen beiden Vermögenswerten auch nach dem Breakpoint positiv, und die Betas vor dem Break (0,07) und nach dem Break (0,08) sind praktisch identisch.

Während die Partnerschaft zwischen Nvidia und Intel zu einer Umkehrung der Steigung führte, verursachte die Änderung der US-Außenhandelspolitik eine Achsenverschiebung in den linearen Regressionen für diese Indizes. Sie bewegen sich immer noch mit fast der gleichen Empfindlichkeit zueinander (der Steigung), aber der Abstand hat sich vergrößert. Die blaue und die rote Linie sind physisch so weit voneinander entfernt, dass die schwarze gestrichelte Linie sie nicht ohne erhebliche Fehler durchqueren kann. 

Wir können all diese Informationen durch einfaches Betrachten des Diagramms bewerten, da es den Bruch ziemlich intuitiv anzeigt, aber es sind die F-Statistik von 56 und der p-Wert mit einem Wert von Null, die mit mathematischer Sicherheit anzeigen, dass ein Strukturbruch stattgefunden hat.

Da wir mindestens zwei Wochen benötigen, um einen strukturellen Bruch in dem von uns verwendeten Frequenz-/Zeitrahmen (täglich bis H4) zu bestätigen, wie könnten wir frühzeitig über die Veränderungen informiert werden, die zu einem strukturellen Bruch führen könnten? Wie könnten wir so früh wie möglich eine Warnung herausgeben, wie es die RWEC für die Ankündigung der Partnerschaft zwischen NVDA und INTC getan hat?

Mit rekursiver Erkennung einen Bruch so früh wie möglich finden

Durch die Überwachung der kumulativen Summe der Residuen können wir vom System gewarnt werden, sobald sich die Fehler in den verschiedenen Regressionen (vor dem Bruch, nach dem Bruch und eingeschränktes/vollständiges Modell) konsistent in eine Richtung zu stapeln beginnen, d. h., der Test kann einen Alarm auslösen. Diese Technik ist als CUSUM bekannt, was für „kumulative Summe“ steht.

Während der Chow-Test statisch ist und prüft, ob es einen Strukturbruch an einem bestimmten Bruchpunkt/Datum gibt, ist der CUSUM-Test rekursiv. Er prüft kontinuierlich, ob das Modell zu versagen beginnt.

Sie finden es in dem unten angehängten Skript cusum_monitor.py. Die Hauptfunktion ist aus Sicht des Händlers sehr einfach, da die Schwerstarbeit von der Funktion RecursiveLS() aus der Bibliothek der Statistikmodelle erledigt wird.

   def run_early_warning(self, data: pd.DataFrame):
        # Regression: Y = a + bX
        y = data.iloc[:, 0]
        x = sm.add_constant(data.iloc[:, 1])

        # We use simple OLS residuals for the CUSUM calculation
        res = RecursiveLS(y, x).fit()
        
        cusum_values = res.cusum
        nobs = len(cusum_values)
        
        # Manually calculate the 5% significance bound
        # The threshold for the CUSUM test at index 't'
        critical_val = 0.948
        limit = critical_val * (np.sqrt(nobs) + (2 * nobs / np.sqrt(nobs)))
        
        current_val = cusum_values[-1]
        is_breaking = np.abs(current_val) > limit
        
        return is_breaking, res

Wir haben NVDA und INTC im täglichen Zeitrahmen mit dem CUSUM-Monitor überprüft, als ob wir einen Live-Handel, beginnend am 1. Juni 2025, bis zum 30. Dezember 2025 beobachten würden. Ziel war es natürlich zu prüfen, ob die rekursive Überwachung bei der frühzeitigen Erkennung des Strukturbruchs, der am 18. September 2025, dem Tag der Bekanntgabe der Partnerschaft, eintreten würde, von Nutzen sein könnte.

MT5 ConnectedStarting simulation for ['NVDA', 'INTC']...
Initial training window: 70 bars.
CRITICAL SIGNAL on 2025-09-19
The model has deviated beyond the 95% confidence interval.

Abb. 6: Die Darstellung der kumulativen Summe der Quadrate (CUSUM) für das Paar NVDA/INTC zeigt, dass der Alarm am 19. September 2025 ausgelöst wurde

Dieses Diagramm zeigt deutlich die Leistungsfähigkeit dieser Technik zur Überwachung von Modellabweichungen. Beachten Sie, dass der Alarm am 19. September 2025 ausgelöst wurde, einen Tag nach der Ankündigung der Partnerschaft zwischen NVDA und INTC. Wenn wir etwas über den Alarm sagen können, dann, dass er so früh wie möglich erfolgte. Aber lassen Sie uns besser verstehen, wie es möglich war, dass es mit dieser Genauigkeit und so schnell funktionierte.

Die gestrichelten Linien stellen das 95%-Konfidenzintervall für die Stabilität dar. Solange unser Modell innerhalb dieses Tunnels bleibt, ist die Beziehung zwischen den Vermögenswerten statistisch konsistent.

Die blaue Linie ist die kumulative Summe der Fehler unseres Modells. Wenn sie außerhalb des gestrichelten Tunnels verläuft, bedeutet dies, dass das Modell die Beziehung nicht mehr genau vorhersagt. Dies ist unser Auslösedatum.

Erinnern Sie sich an das, was wir oben über den Unterschied zwischen der Ankündigung der US-Zölle und der Ankündigung der NVDA/INTC-Partnerschaft in Bezug auf den erwarteten/unerwarteten Charakter gesagt haben? Die Ankündigung von Zöllen durch die US-Regierung kam, zumindest theoretisch, unerwartet. Auch wenn es in gewisser Weise erwartet wurde, war es in seinem Ausmaß unerwartet. Andererseits konnte die Partnerschaft zwischen Nvidia und Intel, eine Vereinbarung zwischen zwei privaten Unternehmen, vom Markt vorweggenommen werden und wurde es wahrscheinlich auch. Obwohl es einen Tag der Ankündigung gab, wurden die Signale der damals wahrscheinlichen Partnerschaft vom Markt eingepreist. Diese fortschreitende Vorwegnahme spiegelt sich in der Handlung wider, da sich die Beziehung bis zum Termin der Verkündigung am 18. September 2025 schrittweise verändert hat.

Am nächsten Tag dann die Explosion, die die Anhäufung von „Fehlern“ im Modell bestätigt. Das kumulative Gesamtergebnis ist der Auslöser. Da wir die Lage überwachen würden, würden wir früher gewarnt werden. Aus diesem Grund kann die CUSUM-Technik innerhalb weniger Stunden mit großer Genauigkeit arbeiten: weil sie die Anhäufung von Fehlern verfolgt hat. Wenn wir dieses Tool zur Überwachung des Live-Handels einsetzen würden, könnten wir bereits vor der Ankündigung handeln. Dies ist zweifelsohne ein Handelsvorteil.

Man beachte, dass der RWEC in Abbildung 3 auch diese warnende Entwicklung in den Wochen vor der Ankündigung der Partnerschaft erfasst hat. Wie wir in Teil 8 dieser Serie gesehen haben, können wir RWEC zusammen mit IS/OOS ADF zur Überwachung und zum Rebalancing von Live-Handelsportfolios verwenden. Wenn wir sie zusammen verwenden, können wir die Modelldrift ähnlich wie bei der rekursiven CUSUM verfolgen. Der RWEC kann uns die Entwicklung des Absicherungsverhältnisses in Echtzeit liefern. Mithilfe der Technik von rollenden Fenstern betrachtet der RWEC kleine, sich überschneidende Fenster und berechnet die Eigenvektoren für diesen spezifischen Zeitabschnitt.

Bei einem perfekten Paarhandel sollte dieser Eigenvektor (unsere Gewichte) stabil bleiben. Wenn der RWEC anfängt, konsistente Verschiebungen in diesen aufeinanderfolgenden Eigenvektoren zu zeigen, deutet dies auf eine Vektordrift hin. Dies ist oft das Frühwarnsystem, das uns signalisiert, dass unsere Absicherung an Wirksamkeit verliert. Vor dem massiven Strukturbruch, den wir beim NVDA/INTC Chow-Test sahen, hatte die RWEC-Analyse gezeigt, dass die Eigenvektoren drifteten, als der Markt begann, über die Partnerschaft zu spekulieren.

Warum also nicht einfach RWEC anstelle von Chow und rekursivem CUSUM verwenden?

Das ist keine Frage der Wahl. In der Tat sollten wir am Ende beide verwenden, aus unterschiedlichen Gründen und unter unterschiedlichen Umständen. Der Chow-Test ist ein statisches Instrument, das uns sagt, dass das Modell tot ist. Er hat eine bestätigende Funktion. Andererseits ist der RWEC ein dynamisches Instrument, das uns sagt, dass das Modell aktualisiert oder neu ausgerichtet werden muss. Er ist bereits in unserem Handwerkszeug für die Überwachung enthalten. Schließlich ist der CUSUM das schnellste dynamische Instrument, um uns vor einem Strukturbruch zu warnen. Sie kommt besonders gut zur Geltung, wenn sie Teil der Hauptpipeline für die Überwachung des Live-Handels ist, die Gegenstand unserer nächsten Folge ist: die Automatisierung der Überwachung des Live-Handels.

Schlussfolgerung

In diesem Artikel haben wir die rekursive CUSUM-Auswertung als eine Technik zur frühzeitigen Erkennung von Strukturbrüchen in den Hedge-Ratios oder Spreads von Vermögenspaaren vorgestellt. Wir haben es mit dem „Rolling-Windows-Eigenvektor-Vergleich“ (RWEC) verglichen, einem Tool mit einer ähnlichen Anwendung, und seine Genauigkeit bei der Erkennung in nahezu Echtzeit überprüft.

Wir haben die Partnerschaft zwischen Nvidia Co. (NVDA) und Intel Co. (INTC) als Beispiel für ein nicht ganz unerwartetes Ereignis, das zu einem Strukturbruch führen kann, genommen, und wir haben gesehen, wie diese bereits eingepreiste angekündigte Partnerschaft mit großer Genauigkeit durch die CUSUM-Technik erkannt werden konnte.

Mit dieser Methode zur Erkennung von Strukturbrüchen verfügen wir über das Grundwissen, das ein durchschnittlicher Einzelhändler benötigt, um mit statistischen Arbitragestrategien zu experimentieren. Wir können diese Serie jedoch nicht abschließen, ohne auf die Verwendung einer speziellen Datenbank für die Datenanalyse einzugehen. Dies ist ein notwendiges Werkzeug, wenn wir von lokalen Prototypen zum realen Handel übergehen wollen. Die Aufnahme einer spezialisierten Datenbank in unsere Pipeline wird das Thema unseres letzten Artikels in dieser Reihe sein.

Bleiben Sie dran, denn im letzten Teil werden wir sehen, wie wir eine vollautomatische Pipeline für das Screening, Scoring und die Live-Überwachung eines praktisch unbegrenzten Portfolios von Symbolen haben können, das durch Daten aus verschiedenen Datenquellen über den regulären Preis-Feed hinaus unterstützt wird.

Dateiname	Beschreibung
chow.py	Python-Skript zur Durchführung eines Chow-Tests über ein Asset-Paar
cusum_monitor.py	Python-Skript zur Durchführung eines Chow-Tests mit CUSUM rekursiv (Frühwarnung) über ein Asset-Paar
pearson.py	Python-Skript zur Durchführung eines Pearson-Korrelationstests für ein Asset-Paar
rwec_plot.py	Python-Skript zur Durchführung eines „Rolling Windows Eigenvector Comparison“ (RWEC) über ein Asset-Paar oder einen Korb