利用灰色模型进行交易预测

引言

现代金融市场波动剧烈且变化迅速，因此，精准及时的预测对交易决策至关重要。每一位交易者都希望研发并使用预测方法，以此预判未来价格走势，并实现收益最大化。

技术分析提供了种类繁多的预测手段，但很多预测方法都存在自身的局限性。例如，统计类预测方法需要大量历史数据，还有部分方法仅对平稳时间序列效果良好，诸如此类。

在此背景下，能够处理有限和残缺信息的预测方法越来越受到关注。GM就是其中之一，当数据有限、可靠性差或者噪声干扰严重时，GM能够发挥很大作用，此类情况在金融市场中十分常见。本文将讲解GM的基础原理，以及如何将其用于金融时间序列预测。

经典GM(1,1)模型

GM可解决多种问题。借助GM，我们可以对时间序列进行分析、平滑处理，或识别价格走势的主要趋势；同时，该模型也可用于预测。GM最主要的优势是不强制要求时间序列具有平稳性。举例来说，简单移动平均线（SMA）只有在时间序列平稳、数值服从正态分布的条件下，才能发挥最佳效果。如果时间序列是非平稳的（也就是存在趋势），那么SMA会出现严重滞后。而GM不受上述条件约束，可以处理任意时间序列，至少理论上如此。灰色模型的使用条件简单，容易满足：

• 时间序列样本长度至少为4；
• 序列数值必须全部为正数，采样时间间隔相等，不存在数据缺失。

任意灰色模型的构建，第一步都要执行累加生成算子（AGO）。该运算的核心逻辑十分简单：将时间序列当前值与前面所有数值依次累加。后文我们把经过累加得到的新序列称为灰色序列（GS）。以5个价格数据为例，对其执行AGO运算的效果如下：

累加生成主要有两个作用：第一，降低噪声带来的影响；第二，生成的新序列可预测性显著提升，序列呈严格递增形态，形态如下图所示：

获得新序列数据之后，我们就可以构建GM(1,1)模型。该命名格式中，第一个数字代表微分方程阶数，第二个数字代表所处理灰色序列的数量。GM(1,1)模型由一个线性微分方程描述。

要解此方程，需要一套符号数学系统。我使用的是Maple。首先，写出初始方程，然后指定初始条件，进而求得解析解。在Maple中，完整操作流程如下：

de:=diff(x(t),t)+a*x(t)=b; #original equation
cond:=x(1)=X[1];           #initial condition
dsolve({de,cond},x(t));    #solving the equation

由此，我们得到了GS随时间变化的关系式。需要注意的是，下标t代表时间，从过去到未来递增，起始值为1。通过该方程，我们可以推导出价格变化的对应关系式：

在Maple中，该方程的求解方式如下：

eq:=price[t]=(b+(a*X[1]-b)*exp(-a*t))/a-(b+(a*X[1]-b)*exp(-a*(t-1)))/a;#difference between 2 consecutive GS values
simplify(eq);#simplify the result

我们对结果再做一步手工化简，公式就会呈现最终形式。

由该公式清晰可见：只要已知参数a和b，就可以估算价格数值。换句话说，可以对原始时间序列进行平滑处理。为了估算这两个参数，我们需要对微分方程进行离散化。为此，我们采用如下变换：

经过这一变换，即可得到离散形式的方程：

这类方程的系数可以很方便地通过最小二乘法（OLS）进行估计。接下来到了有趣的部分。我们可以得到GS的平滑估计值，但这种平滑更多只是学术上的演示意义，在实践中几乎没有用途。

或者可以直接对原始时间序列进行平滑。

现在，我们可以进入下一步。您应该还记得，价格计算公式对时间的增长没有任何限制。换句话说，我们可以按需继续向后构造新的时间序列。这样就能得到价格走势预测。当然，这一预测建立在一个前提之上：原始时间序列的特征保持不变。下面我对未来5个周期进行预测。

由此可见，该模型对线性趋势的拟合效果很好，但也正因如此，它可能会忽略其他重要的价格波动。下面我们尝试使用更复杂的GM，看一下表现如何。

GM(1,1)改进版

经典GM(1,1)最简单的扩展形式称为滚动灰色模型（RGM）。其核心思想非常简单：选取多个不同周期的GM模型计算结果，然后取平均值。采用这种方式，可以得到更平滑的价格估计值，预测曲线也会更加平滑。我们用周期4至24的多个GM(1,1)组合构建一个RGM，显示在图表上的效果如下：

RGM模型还可以做进一步优化。其核心思路是为每个GM分配不同权重。权重可以是固定值，也可以根据预测误差动态调整。第一种情况很简单，我们可以按某种规则人为指定权重，然后对多个模型结果进行加权求和。

如果权重随预测误差自适应变化，就得到了自适应RGM，此处，每个GM的权重可按如下方式确定。首先，分别计算每个GM的预测误差：

模型的权重与误差相关 —— 误差越大，权重越低：

这样一来，RGM会更侧重那些与实际价格走势最吻合的趋势，预测质量也会相应地提升。

另一种进一步扩展的方法，是先对原始时间序列进行预处理。例如，不直接使用价格，而是先用SMA平滑后，再输入GM(1,1)，结果会更加平缓。在实际应用中，该方法可用于确定趋势边界。

趋势通道也可以用另一种方式构建，首先计算GM(1,1)的参数，这里，我们只需要增长参数a。之后对每一个真实价格，计算其对应的b参数：

我们只关注该参数的最大值与最小值，利用它们就可以构建趋势通道的上轨与下轨。

该通道在图表上的效果如下：

GM有非常多的改进版本。一部分仅适用于特定类型的时间序列，另一部分如GM(1,1)则通用性较强。所有这些改进的目标都是一致的 —— 提高预测精度，更好地捕捉时间序列特征。

离散型GM

求解微分方程的形式固然优雅，但模型只要稍加复杂，解析解就会变得极其繁琐。此外，参数估计过程还可能出现数值不稳定的问题，小数点后某一位的微小误差，就可能导致整个图表失效。

离散型GM则不存在这些问题。下面我们为GM (1,1)构建一个离散版本，该模型可以用如下线性递推方程表示：

简单来说，就是建立GS当前值与前一期值的线性关系。该方程的参数估计并不复杂。接下来，我们需要求解方程参数：

re:=x(n+1)=a*x(n)+b;              #original equation

cond:=x(1)=X[1];                  #initial condition
simplify(rsolve({re,cond},x(t))); #solving the equation

最终，我们会得到一个直接给出GS值的显式方程。

通过该方程，我们就可以得到价格的估计值。

基于该模型的指标效果如下：

实验结果是成功的。现在，我们尝试构建GM(0,2)模型。从命名格式可以看出，该模型不再使用微分，同时纳入的影响因子数量有所增加。顺带一提，该模型仅存在离散形式。

该模型会用到两组GS。假设模型周期为N。第一组GS按常规方式构建，从下标为N‑1的价格开始计算。构建第二组灰色序列（记为Y）时，价格序列整体向后偏移一根K线，从下标为N的价格开始。该模型的方程如下：

当然，我们可以写出递推方程并求解。但如果只做单步预测，该模型的运算会大幅简化。首先，使用OLS估计模型参数。X序列无法向后递推，因为未来价格尚未可知；但Y序列的下一期价格是已知的，因此，我们可以算出Y的新序列值。

得到Y序列的新值之后，就可以进一步估算X序列的未来取值。

在此基础上，完成价格预测就不再困难。基于该模型实现的指标效果如下：

GM(0,2)模型与线性回归十分相似。增加纳入计算的GS数量，可以提升模型灵活度，改善预测效果。当指标周期较短时，这种提升会尤为明显。

接下来，我们构建离散GM(1,2)模型。它融合了前面两种模型的思路，公式表达如下：

换句话说，就是针对两组GS做线性回归。利用回归得到的参数，即可估算未来价格。基于该模型的指标效果如下：

采用离散的方式，可以很方便地构建高阶模型。这里以GM(2,1)为例。如果采用传统方式求解、估计参数，难度很高。但转为离散形式之后，方程将变为：

求解该模型的参数并不复杂，为简化处理，我们同样只做单步预测。图表上该指标的表现如下：

该指标并不适合当作平滑指标使用，但它对市场状态的变化响应速度很快，因此值得关注。如果想要曲线更加平滑，可以考虑使用滚动灰色模型（RGM）。

综上所述，离散型GM的计算逻辑更加简单，这是它们毋庸置疑的优势。但这种简便也带来限制：预测范围不能太长。离散模型大多只在单步预测时表现良好，强行拉长预测周期会带来大量额外复杂度，在实际交易中实用性很低。

结论

GM在金融时间序列建模与分析方面是具有潜力的工具。GM可以用于序列平滑、趋势识别、价格预测，也可以用来绘制趋势通道。

GM的突出优势是可以根据几乎任何外部条件进行调整和改造，其显著缺点是部分方案数学运算复杂。无论如何，GM仍值得深入研究，交易者需要筛选出最适配自身场景的模型变体。

本文附带以下程序文件：

名称	类型	描述
sGM	脚本	该脚本演示了GS的构建以及使用GM(1,1)模型进行平滑的过程。如果启用ScreenShot（截图）功能，将图片保存至Files文件夹中。
GM11	指标	该指标演示经典版GM(1,1)的运行效果。 iPeriod：指标周期； Forecast：预测范围； Shift：指标偏移量。
RGM11	指标	该指标显示多个GM(1,1)模型结果的平均值。
GM11sma	指标	以SMA值替代原始价格作为模型输入。
GM11Ch	指标	该指标基于GM(1,1)构建趋势通道。
DGM11	指标	离散版GM(1,1)模型。
DGM02	指标	二元线性回归的等效实现。
DGM12	指标	包含两个输入因子的离散型GM(1,1)模型。
DGM21	指标	二阶GM的离散等效实现。