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LibMatrix:矩阵代数库(第一部分)

11 四月 2016, 15:29
Evgeniy Logunov
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简介

在编写复杂的自动交易系统的过程中,应用数学的各个分支是必不可少的。其中一种分支为线性代数。

在 MQL4 中,目前没有广泛公开的能够实现各种线性代数方法(尤其是矩阵和行列式)的库。

本文介绍了 MQL4 中的 LibMatrix 库,此库包含最常见的矩阵运算的实现。

矩阵是一个填充有一些数学对象(例如数字)的有限矩形数字。

在用 C++ 编写的四个月后,在 MQL4 中重新编写了整个代码,并进行了一些修改。



1.库结构

我们先来考虑在建议的库中处理矩阵的一些独特特性。

首先,所有矩阵都存储在一维数组中。这与以下事实有关:尽管 MQL4 提供创建多维数组的功能,但只能更改第一维度的大小。要存储一个由 N 行和 M 列组成的矩阵,我们需要一个 N*M 的一维数组。将此矩阵逐行装入数组中,即数据数组中的第二行元素跟在第一行元素的后面,以此类推。

其次,在创建库时,决定不在数据数组中存储有关矩阵大小的附加信息,因为大小为整数值,而元素为实数(将大小存储为实数会严重影响此库的运算)。

因此,采用已由建议库进行处理的格式的矩阵包含三个变量:double 类型的一维数组,以及两个用于存储矩阵行数和列数信息的整数变量(例如 int 类型)。

此库包含两个文件:LibMatrix.mqh 和 LibMatrix.mq4。根据需要,纳入第一个文件。它包含可从此库导入的函数原型。第二个文件包含函数实现(程序代码)。这就是我们下面要进一步讨论的内容。

此库中实现的函数可分成以下几组:

  • 一般数学函数(MathLerpMathInRangeRandomMathDoublesEqual
  • 用于处理矩阵的辅助函数(MatrIndiciesToOffsetMatrCopy, MatrSetSizeMatrResize
  • 用于处理行和列的函数(MatrSwapRowsMatrSwapColsMatrCopyRowMatrCopyCol, MatrRowIsZeroMatrColIsZero
  • 用于常规检查条件的函数(MatrIsSquareMatrIsElemOnMainDiagonalMatrCompatiblityCheckAddMatrCompatiblityCheckMul
  • 内容初始化函数(MatrLoadZeroMatrLoadIdentityMatrLoadInRangeRandom
  • 用于按内容类型检查条件的函数(MatrIsZeroMatrIsDiagonalMatrIsIdentityMatrIsSymmetricMatrIsAntisymmetricMatrEqual
  • 用于元素级标量运算的函数(MatrAddScalarMatrSubScalarMatrMulByScalarMatrDivByScalar
  • 用于基本矩阵运算的函数(MatrAddMatrMatrSubMatrMatrMulMatrMatrTraceMatrTranspose
  • 其他函数(MatrGaussianEliminationMatrGJBatchSolveMatrMinorMatrAlgebraicComplementMatrInvertUsingMinorsMatrInvertUsingGJMatrDetMatrDetTriangMatrRankMatrRankTriangMatrComputeConnectedMatrMatrLerpMatr
  • 输入/输出函数(MatrPrintFileWriteMatrFileReadMatr

我们来近距离了解各个组。



2.函数说明

2.1.一般数学函数

我们首先来考虑一般数学函数组:它包括并不与矩阵直接相关但却在此库中使用的函数。

double MathLerp(double rangeLowLimit, double rangeHighLimit, double balance);

此函数使用以下公式在两个值之间执行线性插值:rangeLowLimit + balance * (rangeHighLimit - rangeLowLimit)Balance 参数值应在范围 [0;1] 内。

double MathInRangeRandom(double rangeLowLimit, double rangeHighLimit);

此函数返回均匀分布的随机数字,范围为 [rangeLowLimit;rangeHighLimit]。标准 MathRand 函数用于生成。

bool MathDoublesEqual(double value1, double value2, double tolerance);

此函数用于比较 double 类型的具有指定精确度的 (tolerance) 的两个值:value1value2。由于准确性可能会降低,需要使用近似比较。tolerance 参数值不应为负数(您可以使用库中定义的 DEFAULT_TOLERANCE 常量作为默认值)。

2.2.用于处理矩阵的辅助函数

我们来继续讨论用于处理矩阵的辅助函数组。此组包括用于简化有关在一维数组中打包矩阵的操作的函数。

int MatrIndiciesToOffset(int row, int col, int numRows, int numCols)

此函数计算元素相对于已打包矩阵的数组的开头部分的偏移量。在这些参数中,它接收元素所处的交叉点处的行号 (row) 和列号 (col),以及最大大小(numRows - 矩阵行数,numCols - 矩阵列数)。rowcol 值应分别位于范围 [0;numRows-1] 和 [0;numCols-1] 以内。

void MatrCopy(double& src[], double& dst[]);

此函数将 src 矩阵的所有元素复制到 dst 矩阵中。矩阵数据数组是唯一传递的参数。完成 dst 矩阵复制后,矩阵大小将等于 src 矩阵大小。

void MatrSetSize(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数更改 matr 数据数组的大小,以便它能够存储由 numRows 行和 numCols 列组成的矩阵。不保证矩阵数据完整性。numRowsnumCols 参数值应严格为正数。

void MatrResize(double& matr[], int numRowsOld, int numColsOld, int numRowsNew, int numColsNew);

此函数更改现有矩阵的 matr 数据数组的大小。numRowsOldnumColsOld 参数必须等于初始矩阵大小。新的大小由 numRowsNewnumColsNew 参数设置。对于新的大小,保证矩阵数据完整性,除非当一个或两个矩阵尺寸减小时。新的元素将被初始化为零。


2.3.用于处理行和列的函数

我们来看看用于处理行和列的函数。

void MatrSwapRows(double& matr[], int numRows, int numCols, int row1, int row2);

此函数互换由 numRows 行和 numCols 列组成的 matr 矩阵中的 row1 行和 row2 行的内容。Row1row2 参数值应位于范围 [0;numRows-1] 以内。

void MatrSwapCols(double& matr[], int numRows, int numCols, int col1, int col2);

此函数互换 col1col2 列的内容。Col1col2 参数值应位于范围 [0;numCols-1] 以内。

void MatrCopyRow(double& matr[], int numRows, int numCols, int rowToCopy, int rowToReplace);

此函数应将 rowToCopy 行的内容复制到 rowToReplace 行中。rowToCopyrowToReplace 参数值应在范围 [0;numRows-1] 内。

void MatrCopyCol(double& matr[], int numRows, int numCols, int colToCopy, int colToReplace);

此函数应将 colToCopy 列的内容复制到 colToReplace 列中。colToCopycolToReplace 参数值应位于范围 [0;numCols-1] 以内。

bool MatrRowIsZero(double& matr[], int numRows, int numCols, int row, double tolerance);

此函数检查 row 行是否没有准确性的 tolerance 度。如果此行没有,则返回的值将为 true

bool MatrColIsZero(double& matr[], int numRows, int numCols, int col, double tolerance);

此函数检查 col 列是否没有准确性的 tolerance 度。如果此列没有,则返回的值将为 true


2.4.用于常规检查条件的函数

用于常规检查条件的函数组旨在提高代码可读性。

bool MatrIsSquare(int numRows, int numCols);

此函数检查由 numRows 行和 numCols 列组成的矩阵是否为正方形(即它检查是否 numRows=numCols)。如果是正方形矩阵,它将返回 true

bool MatrIsElemOnMainDiagonal(int row, int col);

此函数检查带 [row][col] 指数的元素是否位于矩阵的主对角线上。如果元素位于主对角线上,此函数将返回 true

bool MatrCompatiblityCheckAdd(int numRows1, int numCols1, int numRows2, int numCols2);

此函数检查两个用于类似加法运算的矩阵的兼容性。成对地检查尺寸是否相等(numRows1=numRows2numCols1=numCols2);如果相等,将返回 true

bool MatrCompatiblityCheckMul(int numRows1, int numCols1, int numRows2, int numCols2);

此函数检查两个用于乘法运算的矩阵的兼容性。它检查第一个矩阵(numRows1 x numCols1 的矩阵)中的列数是否等于第二个矩阵(numRows2 x numCols2 的矩阵)中的行数。如果返回了 true,可执行乘法运算。

2.5.矩阵内容初始化函数

矩阵内容初始化函数组用于加载常用矩阵(例如空矩阵和单位矩阵)。由于未分配内存,MatrSetSizeMatrResize 函数应在调用组函数之前进行调用。

void MatrLoadZero(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数将 matr 数据数组初始化为零,应创建一个由 numRows 行和 numCols 列组成的空矩阵。

void MatrLoadIdentity(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数将 matr 数据数组的所有元素初始化为零,矩阵主对角线上的元素除外。由 numRows 行和 numCols 列组成的已初始化矩阵应为正方形。

void MatrLoadInRangeRandom(double& matr[], int numRows, int numCols, double rangeLowLimit, double rangeHighLimit);

此函数将 matr 矩阵的数据数组初始化为 [rangeLowLimit;rangeHighLimit] 范围以内的随机数字(随机数字使用 MathInRangeRandom 函数生成)。


2.6.用于按内容类型检查条件的函数

现在,我们来考虑按内容类型检查条件的函数组。此组函数执行精确性 tolerance 度的比较(此参数不能为负数),如果考虑的条件是真的,将返回 true

bool MatrIsZero(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数检查矩阵是否为空。

bool MatrIsDiagonal(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数检查矩阵是否是对角的。如果矩阵为正方形且主对角线以外的所有元素都为零,则认为此矩阵是对角的。

bool MatrIsIdentity(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数检查矩阵是否为单位矩阵。

bool MatrIsSymmetric(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数检查矩阵是否对称(即,对于任何 i 和 j,a[i][j]=a[j][i] 为真)。

bool MatrIsAntisymmetric(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数检查矩阵是否斜对称/反对称(即,对于任何 i 和 j,a[i][j]=a[j][i] 为真;对于任何 k,a[k][k]=0 为真)。

bool MatrEqual(double& matr1[], double& matr2[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数在相同尺寸的矩阵之间检查在元素级上是否相等。

2.7.用于元素级标量运算的函数

我们来继续讨论用于元素级标量原酸的函数组。此组的独特特性是,函数结果不是放置在matr 矩阵的初始数组中,而是放置在新的 result 矩阵中。然而,如果同一数组同时作为 resultmatr 参数传递,则结果将放置在初始矩阵中。

void MatrAddScalar(double& matr[], int numRows, int numCols, double scalar, double& result[]);

此函数将 scalar 值加到每个矩阵元素上。

void MatrSubScalar(double& matr[], int numRows, int numCols, double scalar, double& result[]);

此函数从每个矩阵函数中减去 scalar 值。

void MatrMulByScalar(double& matr[], int numRows, int numCols, double scalar, double& result[]);

此函数将每个矩阵元素与 scalar 值相乘。

void MatrDivByScalar(double& matr[], int numRows, int numCols, double scalar, double& result[]);

此函数将每个矩阵元素除以 scalar 值。

2.8.用于基本矩阵运算的函数

用于基本矩阵运算的函数组包含用于执行基本运算 - 计算总和、乘积和轨迹,以及调换运算的函数。函数运算的结果(MatrTrace 除外)将返回到 result 数组中。

void MatrAddMatr(double& matr1[], double& matr2[], int numRows, int numCols, double& result[]);

此函数将两个具有相同尺寸的矩阵加起来。

void MatrSubMatr(double& matr1[], double& matr2[], int numRows, int numCols, double& result[]);

此函数从 matr1 矩阵中减去 matr2 矩阵。两个矩阵的大小应相等。

void MatrMulMatr(
      double& matr1[], int numRows1, int numCols1,
      double& matr2[], int numRows2, int numCols2,
      double& result[], int& numRowsRes, int& numColsRes);

此函数将 matr1 矩阵与 matr2 矩阵相乘。两个矩阵应相互兼容进行乘法运算,即,第一个矩阵中的列数 (numCols1) 应等于第二个矩阵中的行数 (numRows2)。产生矩阵的大小将返回在将在 numRowsRes numColsRes 参数中传递其引用的变量中。

double MatrTrace(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数计算矩阵轨迹(对角元素的总和)。矩阵必须是正方形的。

void MatrTranspose(double& matr[], int numRows, int numCols, double& result[], int& numRowsRes, int& numColsRes);

此函数调换矩阵(互换列与行)。新矩阵的大小将返回在将在 numRowsResnumColsRes 参数中传递其引用的变量中。

2.9.其他函数

其他函数组提供矩阵求逆、计算等级和行列式等的可能性。

int MatrGaussianElimination(double& matr[], int numRows, int numCols, double& result[], double tolerance);

此函数表示包含换轴的高斯消去法的实现。由 numRows 行和 numCols 列组成的初始 matr 矩阵被缩减为一个梯形(三角形)形态,同时结果放置在 result 数组中。

返回的值为矩阵的线性独立行的数量(即等级)。由于计算会导致函数四舍五入误差,因此,需要传递用于定义比较的精确度的非负 tolerance 值。

bool MatrGJBatchSolve(
      double& matr[], int numRows, int numCols,
      double& rhs[], int numRowsRHS, int numColsRHS,
      double& roots[], int& numRowsRoots, int& numColsRoots,
      double tolerance
      );

此函数表示高斯-约当消去法的实现,此法用于求解多个具有同一个系统矩阵的方程组的集合。

普通系统矩阵将在 matr(数据数组)、numRows numCols(尺寸)函数中进行传递。右侧一组向量也将作为矩阵(rhs)进行传递,其中每列表示右侧正在考虑的系统。

换言之,numRowsRHS 参数包含系统中的方程数量(系统矩阵中的行数),numColsRHS 参数包含右侧向量的数量(要求解的方程组数量)。

结果将以由 numRowsRoots 行和 numColsRoots 列组成的 roots 矩阵的形式返回。每个方程组的解将放置在矩阵列中,并对应于给定系统矩阵的方程组的解,此矩阵列包含 rhs 矩阵中的相关数字。如果找到了方程组的解,此函数将返回 true

void MatrMinor(
      double& matr[], int numRows, int numCols,
      int rowToExclude, int colToExclude,
      double& result[], int& numRowsRes, int& numColsRes);

此函数查找位于 rowToExclude 行和 colToExclude 列的相交处的矩阵的子式。产生矩阵的元素将返回在 result 数组中,而尺寸将返回在将在 numRowsResnumColsRes 参数中传递其引用的变量中。

double MatrAlgebraicComplement(double& matr[], int numRows, int numCols, int elemRow, int elemCol, double tolerance);

此函数计算位于 elemRow 行和 elemCol 列的相交处的元素的代数余子式(带位置符号的子式)。为了计算行列式,我们使用了高斯消去法(以 MatrGaussianElimination 函数形式)以及 tolerance 参数设置的精确度。

bool MatrInvertUsingMinors(double& matr[], int numRows, int numCols, double& result[], double tolerance);

此函数使用联合矩阵计算正方形 matr 矩阵的逆(从相应矩阵元素的代数余子式生成)。使用算法的渐近复杂性:O(N^5)。使用 MatrAlgebraicComplement 函数(进而使用高斯消去法)计算联合矩阵,因此,此函数需要传递一个定义精确度的非负 tolerance 参数值。产生矩阵的元素将被放置在 result 数组中。如果成功地计算了矩阵的逆(行列式不为零),此函数将返回 true

bool MatrInvertUsingGJ(double& matr[], int numRows, int numCols, double& result[], double tolerance);

此函数通过以下方式计算给定的正方形 matr 矩阵的逆:邻接单位矩阵,即通过使用 MatrGJBatchSolve 函数对 N (N=numRows=numCols) 线性方程组求解(右侧矩阵为单位矩阵;精确度由非负 tolerance 参数值设置)。使用算法的渐近复杂性:O(N^3)。产生矩阵的元素将被放置在 result 数组中。如果成功地计算了矩阵的逆(行列式不为零),此函数将返回 true

double MatrDet(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数通过将正方形 matr 矩阵缩减为梯形(三角形)形态来计算此矩阵的行列式。为此,我们使用了高斯消去法以及精确性的 tolerance 度(此参数必须为非负数)。算法的渐近复杂性:O(N^3)。

double MatrDetTriang(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数计算三角形 matr 矩阵的行列式。

double MatrRank(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数通过将 matr 矩阵缩减为梯形(三角形)形态来计算此矩阵的等级。为此,我们使用了高斯消去法以及精确性的 tolerance 度(此参数必须为非负数)。算法的渐近复杂性:O(N^3)。

double MatrRankTriang(double& matr[], int numRows, int numCols, double tolerance);

此函数计算 matr 矩阵的等级。应以逐行的形式将此矩阵缩减为梯形(三角形)形态(例如,通过调用 MatrGaussianElimination 函数)。非负 tolerance 值设置第一个空行计算的精确度。

void MatrComputeConnectedMatr(double& matr[], int numRows, int numCols, double& result[], double tolerance);

此函数计算正方形 matr 矩阵的联合矩阵。产生矩阵的元素将被放置在 result 数组中。非负 tolerance 值定义在计算代数余子式过程中的准确度。

void MatrLerpMatr(double& matr1[], double& matr2[], int numRows, int numCols, double balance, double& result[]);

此函数在相同大小的 matr1matr2 矩阵中执行元素级的线性插值。Balance 参数表示线性插值系数,应在范围 [0;1] 以内。产生矩阵的元素将被返回在 result 数组中。

2.10.输入/输出函数

输入-输出函数组用于保存/加载矩阵以及将矩阵的调试输出写入日志中。

void MatrPrint(double& matr[], int numRows, int numCols);

此函数用于将调试输出写入到日志中(终端面板中的 Expert Advisor 选项卡)。考虑到日志在终端中以相反的顺序显示,此函数将逐行输出矩阵(即,新的条目显示在顶部,函数从结尾处开始打印矩阵行,以便在日志中对矩阵进行直观分析)。

void FileWriteMatr(double& matr[], int numRows, int numCols, int handle);

此函数将矩阵(包括其尺寸)保存到将在 handle 参数中传递其手柄的文件中。此文件应在 FILE_BIN|FILE_WRITE 模式下打开。

void FileReadMatr(double& matr[], int& numRows, int& numCols, int handle);

此函数从文件加载矩阵。首先,矩阵尺寸将读取到将在 numRowsnumCols 参数中传递其引用的变量中。然后,根据矩阵大小调整 matr 数组大小,然后从文件加载 matr 数组的内容。从中读取数据的文件的句柄在 handle 参数进行传递;此文件应在 FILE_BIN|FILE_READ 模式下打开。

既然读者熟悉函数说明,我们继续使用库来解决实际问题。



3.使用用例

我们来看看使用建议的库针对一系列价格值创建多项式回归的示例。

创建多项式回归的过程包括找到 degree 次数的多项式系数 f(x)=a[0]+a[1]*x+...+a[degree]*x^degree。此操作通过对线性代数方程组求解执行,在此方程组中,方程组矩阵 A[degree+1][degree+1] 的元素定义如下:A[i][j]=(x[0]^(i+j)+x[1]^(i+j)+...+x[numPoints]^(i+j))/numPoints,而右侧向量 B[degree+1][1] 的元素使用以下公式定义:B[i]=(y[0]*x[0]^i+y[1]*x[1]^i+...+y[numPoints]*x[numPoints]^i)/numPoints

要解决手头的任务,我们有一个脚本(随附档案中的 LibMatrixEx.mq4 文件),此脚本用于创建一个多项式并在初始时间间隔上偏右显示此多项式(即外推)。有关外推时间间隔的多项式值可用于预测价格变动的方向。

此脚本使用三条垂直线进行控制:两条垂直线用于选择要分析的时间间隔,第三条线用于设置显示多项式的最右侧点。

要使此脚本运行,您需要将其拖到图表上并设置所需参数:delay - 图表刷新率(单位:ms),degree - 多项式次数,linesMargin - 控制线之间的初始距离,linesWidth - 多项式图表的线宽。您还可以为垂直控制线(colVLineInt colVLineExt 参数)和图表线条(colIntcolExt 参数)选择颜色。

脚本操作示例

我们来查看用于处理矩阵的脚本的关键函数。

// creating polynomial regression bool Regression(double& x[], double& y[], int numPoints, int polyDegree, double& poly[]) {
   // create system matrix    double A[];
   int numRowsA = polyDegree + 1;
   int numColsA = polyDegree + 1;
   MatrSetSize(A, numRowsA, numColsA);
   // fill the matrix    for (int row = 0; row < numRowsA; row++) {
      for (int col = 0; col < numColsA; col++) {
         int offset = MatrIndiciesToOffset(row, col, numRowsA, numColsA);
         A[offset] = SXY(x, y, numPoints, row + col, 0);
      }
   }
   // create a right hand side vector    double B[];
   int numRowsB = polyDegree + 1;
   int numColsB = 1;
   MatrSetSize(B, numRowsB, numColsB);
   // fill the right hand side vector    for (row = 0; row < numRowsB; row++) {
      offset = MatrIndiciesToOffset(row, 0, numRowsB, numColsB);
      B[offset] = SXY(x, y, numPoints, row, 1);
   }
   // solve a system of linear algebraic equations    int numRowsX, numColsX;
   bool status =
      MatrGJBatchSolve(
         A, numRowsA, numColsA,
         B, numRowsB, numColsB,
         poly, numRowsX, numColsX,
         DEFAULT_TOLERANCE
      );
   if (!status) {
      Print("Error solving the system");
   }
   return (status); }

函数使用 5 个参数。前两个参数是 xy 数组,用于存储绘制多项式所用的点的坐标。点数将在 numPoints 参数中进行传递。第四个参数设置正在考虑的多项式的次数(它必须至少比点数小于 1)。第五个参数是对用于接收多项式系数的数组的引用。

在此参数初期,将使用上述公式创建 A 矩阵、调节此矩阵大小并填充此矩阵。为了通过二维索引引用矩阵元素,我们使用了 MatrIndiciesToOffset 函数,此函数用于计算相对于数组的开头部分的一维偏移量。

然后,以类似方式填充向量列 B。接着,调用 MatrGJBatchSolve 函数,对创建的方程组进行求解,从而找到多项式系数。

代码的剩余部分用于检查行位置和输出多项式,对于读者而言,应该没有任何困难之处。



总结

本文介绍了用于处理矩阵的库,并讨论实施的函数以及它们的独特特点。

通过针对一系列的烛台收盘价值创建多项式回归的示例,展示了库的使用。

虽已认真检查代码,但可能仍有错误。如果您发现错误,请告知我。

本文译自 MetaQuotes Software Corp. 撰写的俄文原文
原文地址: https://www.mql5.com/ru/articles/1365

附加的文件 |
LibMatrix.zip (14.03 KB)
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