Algoritmo de recompra: un modelo matemático para aumentar la eficiencia

Contenido

• Introducción
• Métodos para precisar las características comerciales basadas en el algoritmo de promediación
• Ayúdeme a salir de la reducción
• Consideraciones generales sobre el algoritmo de promediación
• Sutilezas de una evaluación más precisa de los sistemas con recompra
• Una comprensión profunda y universal de la rentabilidad.
• Valoración universal
• Ejemplos de métodos de afinación
• Aumentando la eficiencia de los sistemas con diversificación
• Límites útiles
• La utilidad en el contexto del uso de herramientas paralelas
• Ley normal de distribución de una magnitud aleatoria
• La belleza de la curva de beneficio en el marco de la ley de distribución de una variable aleatoria
• Conclusión

Introducción

Esta técnica comercial es muy utilizada en una gran variedad de asesores expertos y, además, tiene muchas variedades e híbridos. Además, a juzgar por la cantidad de referencias a dichos sistemas, resulta obvio que este tema es muy popular no solo en este sitio web, sino también en cualquier otro portal. En todas estas variedades existe un concepto común en el que la negociación se lleva a cabo contra el movimiento del mercado. En otras palabras, podemos decir que el asesor usa la recompra para poder comprar lo más bajo posible y vender lo más alto posible.

Este es un esquema comercial clásico tan antiguo como el mundo, y en uno de los artículos anteriores tocamos parcialmente este tema, aunque intentando resaltar posibles formas de hibridar tales métodos. En este artículo, sin embargo, mi intención es analizar este concepto con el mayor detalle posible y, usando mis habilidades analíticas, profundizar más que los compañeros del foro. No obstante, el artículo será bastante general y mucho más amplio: el algoritmo de recompra resulta muy adecuado para resaltar algunas características muy interesantes y útiles que serán más fáciles de entender usando el ejemplo del algoritmo de recompra.

Métodos para precisar las características comerciales basadas en el algoritmo de promediación

Ayúdeme a salir de la reducción, de los creadores de: "mi asesor gana bastante dinero, pero a veces lo pierde todo"

Muchos tráders algorítmicos o manuales principiantes plantean preguntas así de cómicas. Por ejemplo, mientras escribía este artículo, tuve una conversación con una persona así, que no llegó a entender la esencia de mis argumentos, y, por desafortunado que parezca, creo que no tiene casi ninguna posibilidad de comprender toda la comicidad de tal situación. Después de todo, yo mismo, siendo mayor y más experimentado, podría alguna vez hacerme una pregunta similar, puramente teórica, y probablemente tampoco entendería lo que me quieren transmitir. Incluso sé cómo me harían sentir las respuestas correctas: pensaría que quieren humillarme o disuadirme de seguir participando en el trading algorítmico.

En realidad, todo resulta mucho más simple. Simplemente tuve la paciencia para seguir un camino determinado y acumular algo de sabiduría, por así decirlo. Esto no es en absoluto ninguna idealización, ni tampoco un halago hacia mí mismo, es más bien un mínimo necesario que debemos tener. Claro que es una pena que se requieran años, y no semanas o meses.

Aquí nos vemos ante todo un mundo de sueños y autoengaños: siendo honestos, me empieza a cansar la simpleza de algunas personas y puedo leer entre líneas que "la felicidad está en la ignorancia". Estimado lector, deje de hacer tonterías y de pensar que es el rey del mercado: escriba mejor a alguien que sepa de la materia y pídale que elija un robot según el presupuesto de que disponga. Confíe en mí, así se ahorrará mucho tiempo y dinero, además de conservar el pelo de su cabeza. Bien, como podrá comprobar a continuación, una de esas personas ha escrito el presente artículo.

Consideraciones generales sobre el algoritmo de promediación

Si analizamos el algoritmo de recompra o "promediación", a primera vista nos puede parecer (sobre todo a los desarrolladores novatos, entre los que un día me encontré) que este sistema que nos garantiza beneficios. Además, hubo momentos en los que aún no sabía nada acerca de estos trucos, cuando me sorprendieron las enormes esperanzas matemáticas que superaban cualquier margen. Ahora ha quedado claro que esto es solo una ilusión, sin embargo, hay un punto racional en este enfoque del que hablaremos más adelante. Para empezar, si queremos evaluar objetivamente dichos sistemas, necesitaremos conocer algunos indicadores indirectos que nos puedan ofrecer algo más que una imagen de ganancias crecientes.

Los indicadores más actualizados en el informe del simulador de estrategias pueden incluso ayudarnos a comprender si el sistema está perdiendo de forma obvia, a pesar de que la curva de equilibrio se vea muy bien. Como muchos lectores ya habrán entendido, en realidad todo se trata de la curva de rentabilidad.. De hecho, todos los indicadores importantes del sistema comercial son secundarios ante las primeras y más básicas características matemáticas, que, por supuesto, son la esperanza matemática y sus características principales. Sin embargo, vale la pena señalar que la esperanza matemática es un valor tan flexible que puede conducirnos a falsas ilusiones. 

De hecho, para usar correctamente un concepto como esperanza matemática, primero deberemos comprender que estamos hablando de terminología de la teoría de la probabilidad, y cualquier cálculo de esta cantidad deberá realizarse según las reglas de la teoría de la probabilidad, a saber:

• Los cálculos resultarán más precisos cuanto mayor sea la muestra analizada: de forma ideal, el valor exacto se calculará partiendo de una muestra infinita.
• Si descomponemos el infinito en varias partes, obtenemos varios infinitos

Algunos pensarán: ¿cómo calcular la esperanza matemática exacta de una estrategia en particular, si solo tenemos una muestra limitada de cotizaciones reales a nuestra disposición? Mientras que otros pensarán: ¿por qué necesitamos estos infinitos? Lo que ocurre es que todas las estimaciones de ciertos valores promediados, como la esperanza matemática, tienen peso solo en el área donde se han realizado estos cálculos, pero no tienen nada que ver con otra área. Cualquier característica matemática tiene peso solo allí donde se calcula. No obstante, podemos distinguir algunas técnicas para afinar las características de la rentabilidad de una determinada estrategia que nos permitirán obtener los valores más próximos al valor real de los indicadores necesarios para el cálculo.

¿Por qué hacemos esto? Porque esto está directamente relacionado con nuestra tarea. Después de darnos cuenta de que no podemos ver el futuro de una estrategia infinita, lo que en sí mismo ya suena como una completa tontería. No obstante, este es un hecho matemático, además de una condición necesaria y suficiente para calcular las verdaderas características matemáticas. Así, nos planteamos la siguiente cuestión: ¿cómo hacer que el número calculado en una muestra limitada se acerque más al número que podría calcularse en una muestra infinita? Quienes están familiarizados con las matemáticas saben que hay dos conceptos matemáticos que se puede aplicar para calcular sumas infinitas:

• Las integrales
• La suma de una serie infinita.

Creo que todos sabemos que para calcular una integral, así como la suma de una serie, debemos obtener todos los puntos de la función cuya integral debe calcularse dentro del área de integración considerada, o bien todos los elementos de la secuencia numérica de la serie analizada. Todavía queda la opción más hermosa: obtener las expresiones matemáticas correspondientes para la función que vamos a integrar y la expresión para generar los elementos de la serie. En muchos casos, si tenemos las expresiones matemáticas correspondientes, podemos obtener las fórmulas exactas para la integral completa o la suma de la serie, pero en el caso del comercio real, no podremos aplicar el cálculo diferencial, y en general esto no nos ayudará mucho, pero es importante entenderlo.

La conclusión de todo esto es que para la evaluación directa de cualquier sistema solo disponemos de una muestra limitada y ciertos indicadores que obtenemos en el simulador de estrategias, en realidad, su significado se ha exagerado demasiado. Nos surgen entonces varias preguntas: ¿es posible juzgar la rentabilidad (o no rentabilidad) de una estrategia particular usando los indicadores del simulador de estrategias? ¿Estos indicadores resultan suficientes para obtener una respuesta inequívoca? Y lo que es más importante, ¿cómo podemos usar dichos indicadores correctamente y saber si los estamos usando realmente de forma correcta?

Además, deberemos comprender que para cada estrategia, los indicadores encargados de evaluar correctamente la rentabilidad real y la seguridad de la estrategia pueden resultar completamente distintos. Esto está directamente relacionado con la evaluación de la curva de beneficios. Para entender esto, primero crearemos una vista general aproximada de la curva comercial que obtendremos al usar el algoritmo de recompra:

Fig. 1

Comenzaremos con la implementación de la recompra para un instrumento. Si implementamos correctamente este algoritmo, nuestro trading en cualquier caso constará de ciclos. De forma ideal, todos los ciclos deberían ser positivos. Si algunos ciclos se cierran en la zona negativa, entonces estaremos implementando este algoritmo incorrectamente o ya no será un algoritmo puro y ya habrá modificaciones en él. Sin embargo, analizaremos la recompra clásica. Vamos a definir algunos parámetros característicos de la curva comercial para denotar una recompra clásica:

• La curva de equilibrio debe ser creciente y constar de N ciclos.
• Todos los ciclos deben tener un beneficio positivo.
• Cuando el comercio se rompa, es probable que nos encontremos en el último ciclo incompleto
• Un ciclo incompleto tiene rentabilidad negativa
• Los ciclos tienen reducciones características en cuanto a los fondos.

Parece que el aspecto general de la curva debería dejar claro a primera vista que un sistema así resulta rentable, pero no todo es tan sencillo. Al observar el último ciclo comercial inacabado cuyo cierre he implementado específicamente por debajo del punto de partida, verá que en algunos casos tendrá suerte y esperará a que se complete con éxito el ciclo, mientras que en otros puede que no espere en absoluto y obtenga grandes pérdidas, o bien pierda totalmente el depósito. ¿Por qué sucede esto? Lo que ocurre es que la imagen puede dar la falsa impresión de que la cantidad de la reducción de los fondos está limitada en su valor absoluto y, en consecuencia, el tiempo empleado en esta reducción también debería estarlo.

En realidad, cuanto mayor sea el área de prueba, mayor será el área de reducción media, y aquí no hay absolutamente ningún límite. El depósito y su maestría al gestionar el dinero serán el único límite. Sin embargo, un enfoque competente en la configuración de su sistema usando como base este principio, solo puede provocar un aumento de la vida útil de su depósito antes de perderlo o, en el mejor de los casos, obtener un beneficio muy pequeño.

Al probar sistemas basados ​​en el algoritmo de recompra o, como también se le llama de "promediación", para evaluar correctamente su capacidad de supervivencia, fiabilidad y rentabilidad real, debemos ceñirnos a un esquema de prueba especial. Por qué vale la pena hacer esto, ahora lo diremos. La cuestión es que el valor de una sola prueba en este enfoque se reduce al mínimo por una simple razón: al probar cualquier estrategia "normal", su beneficio para toda la prueba en el simulador de estrategias está muy cerca del valor distribuido "normalmente". Esto significa que al probar cualquier estrategia promedio sin mantener una posición durante mucho tiempo, obtendremos un número aproximadamente igual de áreas de prueba rentables y no rentables, lo cual nos permitirá saber rápidamente si la estrategia es inestable o si la estrategia tiene un correcta comprensión del mercado y funciona con toda la historia.

Cuando estamos ante una estrategia de recompra, esta distribución puede deformarse mucho, ya que para probar correctamente este sistema, deberemos establecer el máximo depósito posible. Además, el resultado de la prueba dependerá en gran medida de la longitud de la sección de prueba. De hecho, en este enfoque, todas las transacciones se basan en ciclos comerciales, y cada configuración única de este sistema puede tener tanto un indicador completamente diferente de la reducción promedio como un indicador de la duración promedio de la reducción asociada. Según estas métricas, los segmentos de prueba demasiado cortos pueden mostrar un resultado de la prueba sobreestimado o subestimado. Por regla general, se realizan pocas pruebas de este tipo y, en la mayoría de los casos, esto puede ser una causa de la confianza excesiva en el funcionamiento de estos sistemas.

Sutilezas de una evaluación más precisa de los sistemas con recompra

Ahora aprenderemos cómo evaluar correctamente el rendimiento de los sistemas con la ayuda del algoritmo de recompra utilizando indicadores conocidos de los sistemas comerciales. En primer lugar, al realizar dicha evaluación, recomendaría usar una sola característica: el factor de recuperación. Veamos cómo calcularlo:

• Recovery Factor = Total Profit / Max Equity Drawdown
• Total Profit - beneficio total por segmento comercial
  
• Max Equity Drawdown - reducción máxima de la equidad en relación con el punto conjunto anterior para el balance y los fondos (pico del balance)
  

Como podemos ver, esto es el beneficio final dividido por la reducción máxima de los fondos. El significado matemático de este indicador en el sentido clásico es tal que, según la idea en su base, debería mostrar la capacidad del sistema para recuperar nuestra reducción en cuanto a los fondos. La condición límite para la rentabilidad de un sistema comercial al usar tal característica es la siguiente:

• Recovery Factor > 1
  

Traduciendo a un lenguaje humano comprensible: para obtener beneficios, no podremos arriesgar más que la misma cantidad del depósito. Este indicador, en muchos casos bastante cercano a la verdad, nos dice cuál es la realidad en relación al trading de un sistema en particular: úselo, pero mucho cuidado, porque este es un valor bastante controvertido en cuanto a su significado matemático.

No obstante lo dicho, me veo en la obligación de descubrirles todas sus desventajas, para que entiendan que este indicador también es muy arbitrario y el nivel de su significado matemático también es muy bajo. Obviamente, usted tendrá razón si dice: si criticas, entonces ofrece una alternativa. Así que lo haré, pero solo después de analizar este indicador. El caso es que este indicador está ligado a la reducción máxima, que, a su vez, puede estar vinculada a cualquier punto de la curva comercial, lo cual significa que si recalculamos esta reducción en relación con el balance inicial y la sustituimos por la reducción máxima, obtendremos casi siempre un factor de recuperación sobreestimado. Vamos a darle a todo la forma correcta:

• Recovery Factor Variation 1 =  Total Profit / Max Equity Drawdown From Start
• Max Equity Drawdown From Start - reducción máxima del balance inicial (no del máximo anterior)
  

Obviamente, este no es un factor de recuperación clásico, pero en esencia determina la rentabilidad de una forma mucho más correcta en relación con la condición límite generalmente aceptada. Primero representaremos visualmente ambas opciones para calcular este indicador: la clásico y la mía: 

Fig. 2

Podemos ver que en el primer caso, este indicador tomará valores más altos, lo cual, por supuesto, es muy agradable para nosotros. No obstante, desde el punto de vista de la evaluación de la rentabilidad, podemos seguir los dos enfoques, solo que el indicador clásico se adaptará más al enfoque en el que es mejor tomar la duración de un tramo de prueba en la mayor medida posible. En este caso, el valor más alto de "Max Equity Drawdown" parece compensar el hecho de que esta reducción no comienza desde el inicio de la curva comercial y, por lo tanto, este indicador está en la mayoría de los casos cerca de la estimación real. Mi indicador es más efectivo para evaluar múltiples backtests.

En otras palabras, este indicador será más preciso, cuantas más pruebas de nuestra estrategia hayamos realizado. Las pruebas de nuestra estrategia deberán realizarse en tantas áreas diferentes como sea posible. Esto significa que los puntos inicial y final deberán elegirse con la máxima variabilidad. Para una evaluación correcta, deberemos seleccionar "N" de las áreas más diferentes y probarlas, y luego calcular el promedio aritmético de este indicador para todas las áreas de prueba. Esta regla nos permitirá afinar ambas versiones del factor de recuperación, tanto la mía como la clásica, con una única modificación: deberemos realizar menos backtests independientes para afinar la clásica.

No obstante, decir que estas manipulaciones clarificadoras son pocas para aclarar estos parámetros sería quedarse corto. He demostrado mi propia versión del factor de recuperación para enseñar que cualquiera puede crear un indicador propio similar, e incluso puede añadirse como una de las características calculadas para el backtesting en MetaTrader. Pero ninguno de estos indicadores tiene ninguna prueba matemática y, además, cualquiera de ellos tendrá sus propios errores y límites de aplicabilidad. De todo esto se infiere que en este momento no existe un indicador matemático exacto para evaluar de forma absolutamente precisa uno u otro algoritmo usando la recompra, sin embargo, mi indicador tenderá poco a poco a una precisión absoluta conforme vaya aumentando el número de pruebas. El siguiente apartado le explicará muchas cosas.

Una comprensión profunda y universal de la rentabilidad.

Valoración universal

Creo que todos sabemos que indicadores como la esperanza matemática del beneficio y el factor de beneficio existen en cualquier informe del simulador de estrategias o en las características de una señal comercial, pero creo que nadie les ha dicho que estas características también se pueden usar para calcular la rentabilidad de dichos sistemas comerciales cuando no existe suficiente análisis de las transacciones. Por lo tanto, podemos usar estos indicadores reemplazando la unidad "posición" con la unidad "prueba en el segmento". Al calcular este indicador, deberemos realizar muchas pruebas independientes, pero olvidando al mismo tiempo que existe una estructura en el interior. Este enfoque le servirá de ayuda (utilizando solo los dos indicadores más populares) a la hora de evaluar las perspectivas reales del sistema comercial. Además, puede inculcarle un hábito extremadamente útil: la realización de múltiples pruebas.  Para usar este enfoque, solo necesitaremos conocer la siguiente fórmula:

Donde:

• M - esperanza matemática del beneficio
• Wp - beneficio deseado
• Investments - cuánto está dispuesto a invertir para lograr el beneficio requerido
• P - probabilidad de que tengamos suficientes inversiones hasta que se logre beneficios
• (1-P) - probabilidad de que no tengamos suficientes inversiones para lograr beneficios (pérdida del depósito)

Voy a ofrecer de inmediato una fórmula similar para el factor de beneficio:

Todo lo que necesitamos saber es que con el comercio aleatorio y la ausencia de obstáculos como el spread, la comisión y el swap, así como el deslizamiento, estos valores absolutamente siempre y absolutamente para cualquier sistema comercial tomarán los siguientes valores:

M=0

Pf=1

Estas características pueden cambiar en nuestro favor solo si existe un momento predictivo. Por consiguiente, la probabilidad de que obtengamos beneficios sin perder el depósito tomará el siguiente valor:

Si sustituimos esta expresión por la probabilidad en nuestras fórmulas, obtendremos las identidades que he ofrecido al lector. Y si consideramos la comisión de spread y el swap, obtendremos lo siguiente:

Creo que todo el mundo entiende que el sentido consiste en que el spread, la comisión y el swap reducen la probabilidad final, lo cual finalmente lleva a que nuestras identidades pierdan validez, y en su lugar aparezcan las siguientes desigualdades:

• M < 0
• Pf < 1

Este será el caso con absolutamente cualquier sistema comercial, y el algoritmo de recompra aquí no resulta mejor que cualquier otro sistema. Justo al probar o explotar un sistema de este tipo, es capaz de deformar fuertemente la función de distribución de la variable aleatoria del backtest final o el beneficio de la señal, pero, como regla general, tal escenario ocurre con mayor frecuencia durante las pruebas o explotación a corto plazo.

Esto se debe a que la probabilidad de encontrarnos con una gran reducción es mucho menor si realizamos la prueba en una sección corta, pero una vez que comencemos a hacer estas pruebas durante periodos más largos, generalmente veremos cosas que no habíamos visto antes. Sin embargo estoy seguro de que la mayoría podrá asegurarse de que esto es solo un accidente y que solo necesitamos evitar estas áreas peligrosas de alguna forma. Lo mismo sucederá generalmente al realizar múltiples pruebas en secciones cortas. En principio, como se suele decir: es lo mismo, solo que visto desde otra perspectiva.

Solo tenemos una forma de superar la falta de rentabilidad de cualquier sistema. Para lograrlo, añadiremos un término adicional a la fórmula para calcular las probabilidades:

Como podemos ver, el nuevo componente "dP(Prediction)" ha aparecido en la ecuación. Tiene un signo más, lo cual he hecho a propósito para mostrar que solo este componente es capaz de compensar el efecto de los spreads, las comisiones y los swaps. Entonces resulta que, para empezar, para superar los efectos negativos y obtener beneficios, definitivamente necesitaremos una calidad de predicción suficiente:

Si posibilitamos dicha desigualdad, solo entonces obtendremos las desigualdades deseadas:

• M > 0
• Pf > 1

Como podemos ver, estas expresiones son muy simples y comprensibles, por lo que estoy seguro de que nadie dudará de su corrección. El siguiente inciso también será más fácil de entender usando estas fórmulas, y de hecho, le recomiendo que las recuerde, o al menos que recuerde su lógica, para que siempre pueda restaurarlas si así lo desea. Lo principal aquí es comprenderlas, y no solo aprenderlas de memoria. En general, podemos prescindir de una de estas fórmulas, pero me pareció que sería mejor mostrar dos como ejemplo. En cuanto a otros indicadores, si los consideramos en el marco de esta sección, resultarán redundantes.

Ejemplos de métodos de afinación

En esta subsección, queremos proponerle algunas manipulaciones de afinación adicionales que le permitirán obtener un valor más correcto del factor de recuperación. Le sugerimos regresar a la "Figura 1" y mirar los segmentos numerados. Para afinar el factor de recuperación, deberá imaginar que estos segmentos son pruebas independientes. De esta forma, podremos prescindir de múltiples pruebas, asumiendo que ya las hemos realizado. Podemos hacer esto porque dichos segmentos son ciclos que tienen tanto un punto de inicio como un punto final, que es lo que ofrece la equivalencia con el backtest. 

En el marco de este apartado, creo que también merece la pena complementar la primera figura con su equivalente, solo que teniendo en cuenta que estamos probando o operando en varios instrumentos a la vez. Este será el aspecto de la curva comercial usando el algoritmo de recompra para operaciones paralelas en múltiples instrumentos:

Fig. 3

Podemos ver que esta curva difiere en su estructura de la curva de recompra en un instrumento; he añadido aquí puntos intermedios azules, lo cual significa que antes de la reducción puede haber segmentos que tengan una "reducción inversa". No sé cómo nombrar estos segmentos, usted puede llamarlos como quiera: esta no es la cuestión, sino el hecho de que no podamos considerar esto una reducción. Sin embargo, no tenemos derecho a considerar estos segmentos fuera del análisis, porque deben formar parte de un ciclo.

Creo que sería más correcto trazar cada nuevo ciclo desde el final del anterior. En este caso, deberíamos considerar el final del ciclo anterior como el punto de recuperación de la última reducción de fondos propios. En la figura, estos ciclos están separados por puntos rojos, pero de hecho, esta definición del ciclo no basta: también es importante determinar que no resulta suficiente fijar la reducción según los fondos, sino también que sea menor que el inicio del ciclo actual, de lo contrario, ¿qué tipo de reducción sería?

Después de separar estos ciclos, podemos considerarlos como pruebas independientes aparte y calcular el factor de recuperación para cada uno de ellas. Esto se puede hacer de la siguiente manera:

En esta fórmula, los puntos correspondientes en la curva de balance (el valor final del balance en la sección y el inicial) se utilizan como "B", mientras que delta representa nuestra reducción. También me gustaría que el lector volviera a la última figura. En ella, hemos propuesto el delta desde el punto rojo de inicio de cada ciclo, y no desde el azul, como se considera según los clásicos, por las razones que he mencionado anteriormente; sin embargo, si necesitamos aclarar el factor de recuperación original, entonces el delta deberá partir desde el punto azul. En este caso, el método de afinación de los indicadores es importante, no los indicadores en sí mismos. La media aritmética simple se tomará como la acción de promediación.

Sin embargo, incluso después de afinar uno u otro indicador personalizado o clásico, no deberemos tomar el hecho de que el valor de este indicador sea más de uno, o incluso dos o tres, como signos de un sistema comercial rentable.

Debemos aplicar exactamente la misma fórmula con múltiples backtests. Lo que ocurre es que cualquier backtest en este caso equivale a un ciclo. Incluso podemos calcular primero los indicadores medios de los ciclos, y después de todo esto, calcular la media de la media relativa a los backtests. O incluso podemos hacerlo mucho más fácil, maximizando la duración de la sección de prueba. Este enfoque nos ahorrará al menos múltiples pruebas, debido al hecho de que la cantidad de ciclos será máxima, lo que significa que el factor de recuperación promedio se calculará con la mayor precisión posible.

Aumentando la eficiencia de los sistemas con diversificación

Límites útiles

Después de barajar las diferentes posibilidades para afinar ciertas características de los backtests, sin duda estaremos mejor armados, pero aún desconoceremos lo principal. La base se encuentra en la respuesta a la pregunta: ¿por qué debemos realizar todas estas pruebas múltiples o dividirlas en ciclos? La pregunta es realmente compleja, así que resulta difícil para el profano y no la entenderá hasta que ponga tanto esfuerzo como yo he puesto durante mucho tiempo. Lamentablemente, esto es algo necesario, pero con mi ayuda, podrá reducir en gran medida el tiempo necesario para hacerlo.

Esta sección le permitirá evaluar la objetividad de un indicador en particular: el motivo lo veremos más adelante. Intentaré explicarlo tanto de forma simple como con las fórmulas. Comenzaremos con la fórmula general:

E inmediatamente veremos una fórmula similar, solo que en una forma ligeramente diferente:

La esencia de estas fórmulas es la misma. Estas fórmulas indican que en cualquier sistema comercial rentable, cuando la duración de la sección de prueba tiende al infinito, obtendremos una fusión completa de las líneas de balance y beneficio actual, con una cierta línea que representará nuestro beneficio promedio. En la mayoría de los casos, la naturaleza de esta línea vendrá determinada por la estrategia que hayamos elegido. Veamos la siguiente figura para obtener una comprensión más profunda:

Fig. 4

Si observamos detenidamente esta imagen, veremos en ella todas las cantidades que están presentes en nuestras fórmulas. En ella se revela el significado geométrico de nuestros límites matemáticos. Lo único que falta en nuestras fórmulas es el intervalo de tiempo "dT". Con ayuda de este lapso, discretizaremos nuestros pasos de balance y daremos lugar a todos los puntos de nuestra serie numérica para el balance y beneficio de estos segmentos, y también calcularemos los valores de nuestra línea media en los mismos puntos. Estas fórmulas son el equivalente matemático de la siguiente declaración:

• Al combinar varias pruebas o curvas comerciales, se ven más como una línea ascendente suave (solo si el sistema es realmente rentable)

En otras palabras, cualquier sistema comercial rentable se ve más hermoso en la parte gráfica del simulador de estrategias o en la señal cuanto más larga sea el área de prueba que elijamos. Entiendo que haya gente más conservadora que diga que ningún sistema puede alcanzar tales indicadores, sin embargo, hay muchos ejemplos similares en el Mercado, y negar esto es una estupidez, como mínimo. Si hablamos en serio, todo dependerá de la universalidad del algoritmo y de lo bien que entendamos la física del mercado. Si conocemos bien las matemáticas que siempre son inherentes al mercado en el que estamos operando, entonces, en la práctica, conseguiremos una curva de beneficio infinitamente creciente en este caso, y no necesitaremos esperar un infinito completo para confirmar la efectividad del sistema. Obviamente, está claro que esta es una tarea extremadamente difícil, pero, no obstante, en el marco de muchos algoritmos, se puede lograr.

Terminemos esta introducción teórica aprendiendo a usar correctamente las técnicas logradas. "¿Cómo usar estas técnicas con sumas infinitas, cuando solo tenemos muestras limitadas y, en consecuencia, también inevitablemente sumas incompletas?", me preguntará, y le responderé:

1. Dividimos toda la historia en segmentos.
2. Luego seleccionamos varios segmentos con una longitud en crecimiento constante durante la duración de la prueba hasta un segmento en toda la historia.
3. Elegimos una metodología de prueba
4. Realizamos la prueba
5. Buscamos una mejora en el factor de recuperación o/y reducción relativa

La esencia de este engañoso esquema de prueba consiste en determinar los signos indirectos de que nuestros límites realmente tienden a al infinito y a cero, respectivamente. Para aumentar la eficiencia de nuestro esquema de prueba, deberemos entender que la sección de prueba más larga deberá al menos verse más hermosa que la más corta, y, de forma ideal, cada sección subsiguiente deberá ser mayor y tener mejor aspecto. No obstante, el concepto de "más hermosa" lo uso solo para dejar claro a todos que esto es en realidad equivalente a nuestros límites.

Sin embargo, nuestros límites solo son buenos cuando se consideran o preparan teóricamente (lo que prefiramos). En este sentido, nos surge la pregunta: ¿cómo descubrir estos hechos sin recurrir al análisis "a ojo"? Necesitamos adaptar de alguna manera nuestros límites a los indicadores que tenemos en el informe del simulador de estrategias. En otras palabras, necesitaremos límites alternativos para algunos indicadores del informe del simulador de estrategias o indicadores de señales para que se pueda usar nuestro esquema de prueba. Permítanme mostrarles el conjunto necesario y suficiente de límites alternativos:

Qué debemos entender aquí:

1. Con una prueba infinita, el factor de recuperación (de cualquier estrategia rentable) tiende al infinito
2. Con una prueba infinita, la reducción relativa de los fondos (de cualquier estrategia rentable) tiende a cero
3. Con una prueba infinita, el factor de beneficio de las transacciones (de cualquier estrategia rentable) tiende a su valor promedio y tiene un límite real finito.
4. Con una prueba infinita, la esperanza matemática (de cualquier estrategia rentable) sin el lote automático habilitado (con un lote fijo) tiende a su valor promedio y tiene un límite real finito

Todo esto para pruebas infinitas, sin embargo resulta útil entender el significado matemático de estos límites antes de proceder a adaptarlos a una muestra finita. La adaptación de estas expresiones a nuestra metodología debe comenzar con la selección de varios segmentos de prueba, cada uno de los cuales deberá ser significativamente mayor al anterior, preferiblemente al menos el doble. Esto es necesario para poder percibir la diferencia en las lecturas entre las pruebas más cortas y más largas. Si enumeramos nuestras pruebas de tal forma que, a medida que aumente el índice, su longitud aumente en el tiempo, obtendremos la siguiente adaptación para el caso de las muestras finitas:

En otras palabras, un aumento en el factor de recuperación y una disminución en la reducción relativa en cuanto a los fondos serán evidencia indirecta de que, muy probablemente, con un mayor aumento en el intervalo de prueba o la vida útil de la señal, nuestra curva se volverá visualmente más hermosa. Y esto significará que hemos confirmado el cumplimiento de nuestros límites infinitos. De lo contrario, si la curva de beneficio no se vuelve más recta, podremos afirmar que el resultado obtenido es muy cercano al azar y la probabilidad de pérdida completa en el futuro será extremadamente alta.

Obviamente, muchos dirán que simplemente podemos optimizar el sistema con más frecuencia y todo estará en orden, en algunos casos extremadamente raros es posible, pero este enfoque requerirá una metodología de prueba completamente diferente. No le recomiendo a nadie que recurra a este enfoque, pues este caso no tiene nada de matemáticas, mientras que el lector lo tendrá todo perfectamente claro.

Todos estos matices deberían convencernos de que probar el algoritmo de recompra requiere aún más el uso de este enfoque. En particular, podemos incluso simplificar la tarea y probar el sistema con recompra inmediatamente en el segmento de la longitud máxima. Podemos adoptar el enfoque inverso, si no nos gusta el rendimiento comercial en el segmento más largo; incluso un rendimiento más alto en los segmentos cortos indicará que nuestras desigualdades ya no se cumplen y que el sistema no está listo para comerciar en esta etapa.

Utilidad en el contexto del uso paralelo de múltiples herramientas

Al realizar pruebas con una historia limitada, sin duda surgirá la pregunta: ¿tenemos la historia suficiente para usar correctamente la metodología de prueba? Lo que ocurre es que en muchos casos la estrategia tiene peso, pero su calidad no resulta lo suficientemente alta para usarla con comodidad. Para empezar, al menos deberíamos comprender si realmente tiene un comienzo predictivo y si podemos empezar a involucrarnos en su modernización. En algunos casos, literalmente carecemos de una historia comercial disponible suficiente. ¿Cómo proceder entonces? Como muchos ya habrán adivinado al leer el título de la subsección, deberíamos usar múltiples herramientas para este propósito. 

Parece un hecho obvio, pero (mala suerte la nuestra), como siempre, no vemos matemáticas por ninguna parte, y como siempre, podemos sentir algo en cualquier lugar menos en la cabeza. La esencia de la prueba con múltiples instrumentos equivale a la misma esencia, solo para aumentar la duración de la prueba, con la única modificación de que su sistema debe ser multidivisa. El sistema puede tener diferentes configuraciones para diferentes instrumentos comerciales, pero resulta deseable que todas las configuraciones sean similares. La similitud de las configuraciones encarnará el hecho de que el sistema usa principios físicos que funcionan en el máximo número posible de instrumentos comerciales.

Con este enfoque y la correcta implementación de dichas pruebas, el índice "i" ya debería entenderse como el número de instrumentos probados de forma simultánea, pero en un segmento fijo para la prueba. Entonces dichas expresiones significarán lo siguiente:

1. Con un aumento en el número de instrumentos comerciados, cuantos más instrumentos haya, mayor será el factor de recuperación
2. Con un aumento en el número de instrumentos comerciados, cuantos más instrumentos haya, menor será la reducción relativa de los fondos

De hecho, un aumento en el número de pruebas puede, por simplicidad, interpretarse como un aumento en la duración total de las pruebas, como si consideráramos cada prueba para cada herramienta como parte de una gran prueba global. Esta abstracción solo lo ayudará a comenzar por algún lugar para comprender por qué este enfoque también tiene el mismo poder. Sin embargo, si consideramos este tema con mayor precisión y entendemos más profundamente por qué una línea que consta de varias resultará mucho más hermosa, entonces deberíamos usar los siguientes conceptos de la teoría de la probabilidad:

• El valor aleatorio
• La varianza de una variable aleatoria
• La esperanza matemática de una variable aleatoria
• La ley de la distribución normal de una variable aleatoria

Para explicar al completo por qué necesitamos todo esto, primero necesitaremos una imagen que nos ayude a ver un backtest o una señal comercial de manera un poco diferente:

Fig. 5

No estoy trazando la línea de balance porque aquí no decide nada: solo necesitaremos la línea de beneficio. Esta figura indica que, para cada línea de beneficio, podemos seleccionar un número infinito de secciones independientes de una longitud fija en las que es posible construir la ley de distribución de la variable aleatoria del incremento de la línea de beneficio. La presencia de una variable aleatoria implica que en el futuro el incremento del beneficio en el área seleccionada podría tener valores completamente diferentes en el rango más amplio.

Suena aterrador, pero en realidad no lo es tanto. En general, creo que mucha gente ha oído hablar de la ley de distribución normal y supuestamente describe casi todos los procesos aleatorios en la naturaleza. Así nos lo cuentan, para que, Dios no lo quiera, nos pongamos a "pensar". Bromas aparte, en la práctica, los motivos de la popularidad de esta ley de distribución residen en que supone una fórmula compilada artificialmente, muy cómoda para describir distribuciones simétricas con respecto a la esperanza matemática de una variable aleatoria: nos será útil para futuras transformaciones y experimentos matemáticos.

No obstante lo dicho, antes de comenzar a trabajar con esta ley, deberemos definir la propiedad principal para cualquier ley de distribución de una variable aleatoria:

Cualquier ley de distribución de una variable aleatoria no es más que un análogo del grupo completo de eventos incompatibles. La única diferencia es que no tenemos un número fijo de dichos eventos y en cualquier momento podemos seleccionar cualquier evento que nos interese de la forma que vemos:

Hablando con rigor, esta integral considera la probabilidad de encontrar una variable aleatoria en el rango indicado de una variable aleatoria y, naturalmente, no puede ser superior a la unidad, dado que ningún evento total de un espacio de eventos dado puede tener una probabilidad mayor que uno, pero esto no es lo más importante. Lo único importante aquí es que el lector comprenda que el evento en este caso está determinado solo por un conjunto de dos números. Estos son ejemplos de variables aleatorias de dimensionalidad mínima.

Existen análogos de estas fórmulas para la dimensión "N" cuando un evento puede determinarse mediante los números "N * 2", e incluso construcciones más complejas (en el marco de integrales sobre regiones multidimensionales). Estas son secciones de matemáticas bastante complejas, pero aquí resultan redundantes, así que no les preste atención. Todas las leyes que obtengamos serán autosuficientes para la variante unidimensional.

Antes de pasar a construcciones más complejas, recordaremos algunos indicadores-características populares de las leyes de distribución de una variable aleatoria:

Para definir cualquiera de estas ecuaciones, deberemos determinar lo más importante, a saber, la esperanza matemática de una variable aleatoria, en nuestro caso es:

Lo que debe saber es que la esperanza matemática es solo la media aritmética, lo único es que a los matemáticos les gusta dar nombres muy ingeniosos a las cosas simples para que nadie entienda nada. Ofrecemos dos fórmulas: su única diferencia es que la primera fórmula funciona en un número finito de variables aleatorias (cuando tenemos una cantidad limitada de datos), y en el segundo caso, se usa la integral sobre la "densidad de la probabilidad".

Una integral equivale a una suma, con la única diferencia de que suma un número infinito de variables aleatorias. La ley de una distribución de variables aleatorias, que se sitúa bajo la integral y contiene toda la infinidad de variables aleatorias. Existen algunas diferencias, pero en general la esencia es la misma.

Ahora regresemos a las fórmulas anteriores. Estas son solo algunas manipulaciones con las leyes de distribución de variables aleatorias que resultan cómodas para la mayoría de los matemáticos. Como en el último ejemplo, existen dos implementaciones, una para un conjunto finito de variables aleatorias, y otra para uno infinito (ley de distribución de una variable aleatoria). Ahí se dice que "D" es el cuadrado medio de la diferencia entre todas las variables aleatorias y la variable aleatoria promedio (esperanza matemática de la variable aleatoria). Esta magnitud se llama "dispersión". La raíz de este valor se conoce como "desviación estándar".

Ley normal de distribución de una magnitud aleatoria

Estas son las magnitudes generalmente aceptadas en las matemáticas de las variables aleatorias; además se consideran las más cómodas para describir las características más importantes de las leyes de la distribución aleatoria. Yo no estoy de acuerdo, pero me veo obligado a mostrarles cómo se calculan, y es que al final estas cantidades serán necesarias para entender la ley de distribución normal. Resulta poco probable que encuentre esta información tan simple, pero le diré que la ley de distribución normal se inventó artificialmente, con solo algunos objetivos:

• Una forma sencilla de determinar la ley de distribución simétrica respecto a la esperanza matemática
• La capacidad para establecer la dispersión y la desviación estándar
• La capacidad para establecer esperanzas matemáticas.

Todas estas opciones nos permiten obtener una fórmula preparada para la ley de distribución de una variable aleatoria, llamada ley de distribución normal:

Existen otras variaciones de las leyes de distribución de variables aleatorias; cada implementación se inventa para una cierta gama de problemas, pero dado que la ley normal es la más popular y conocida, la usaremos como ejemplo para probar y compilar el equivalente matemático de las siguientes afirmaciones:

• Cuantos más instrumentos se comercien en paralelo para un sistema rentable, más hermoso y directo será nuestro gráfico de beneficio (un caso especial de diversificación)
• Cuanto más largo sea el segmento seleccionado para realizar las pruebas o comerciar, más hermoso y directo será nuestro gráfico de beneficio
• Cuantos más sistemas comerciados en paralelo con rentabilidad comprobada haya, más recto y hermoso será nuestro gráfico de rentabilidad general.
• La combinación de todo lo anterior da como resultado una diversificación ideal y un gráfico más hermoso.

Todo lo dicho se aplica solo a los sistemas comerciales rentables cuya rentabilidad se ha demostrado matemáticamente y en la práctica (pero no a aquellos sobre los que alguien dijo una vez algo que todos aceptaron como verdad). Comenzaremos definiendo qué es un gráfico "más hermoso" en términos matemáticos. En esto nos puede ayudar la "desviación estándar", cuya fórmula ya hemos visto más arriba.

Si tenemos una familia de curvas de densidad de la distribución para una variable aleatoria de incremento del beneficio con la misma esperanza matemática que simbolizan dos segmentos de la misma duración en el tiempo para dos gráficos prácticamente idénticos, entonces preferiríamos la de menor desviación estándar. La curva ideal en esta familia podría ser una con desviación estándar igual a cero. Esta curva se puede lograr solo si conocemos el futuro al cien por cien, pero está claro que esto nunca sucederá; no obstante, este punto debe entenderse para poder comparar las curvas de esta familia.

La belleza de la curva de beneficio en el marco de la ley de distribución de una variable aleatoria

Este hecho resulta comprensible cuando tratamos con una familia de curvas donde las esperanzas matemáticas del incremento del beneficio en el periodo de tiempo seleccionado son las mismas, pero ¿qué podemos hacer cuando hablamos de curvas de distribución completamente aleatorias? No está claro cómo compararlas. En este sentido, la desviación estándar ya no supone un ideal, por lo que necesitaremos otro valor de comparación más universal que tenga en cuenta el escalado, o bien deberemos idear algún algoritmo para reducir estas leyes de distribución a un cierto valor relativo donde todas las distribuciones tengan la misma esperanza matemática, de forma que podamos aplicar a todas las curvas los criterios clásicos. Yo he desarrollado tal algoritmo. Uno de los trucos en él reside en la siguiente transformación:

La familia de estas curvas tendrá el aspecto siguiente:

Fig. 6

Un dato muy interesante es que si sometemos la ley de distribución normal a esta transformación, entonces será invariante respecto a esta transformación y se verá así:

La invariancia consiste en las siguientes sustituciones:

Si reemplazamos estas sustituciones en la fórmula anterior, obtendremos la misma ley de distribución, solo que operando ya con los valores correspondientes con asteriscos:

Esta transformación resulta necesaria no solo para asegurar la invariancia de la ley de transformación, sino también para asegurar la invariancia del siguiente indicador:

He tenido que inventar este indicador, porque sin cumplir con este, resulta imposible escalar adecuadamente la ley de distribución normal, como cualquier otra ley. Este indicador será invariante para cualquier otra ley de distribución: la clave aquí no está solo en la ley normal, lo único es que como ejemplo resulta más fácil de percibir y comprender. Su sentido es tal que puede usarse para cualquier distribución con diferentes esperanzas matemáticas, y su significado será similar a la desviación estándar, solo que sin el requisito de que todas las distribuciones comparadas deban tener la misma esperanza matemática. Y resulta que nuestra transformación está diseñada para obtener una familia de distribuciones donde el indicador dado tiene el mismo valor; muy cómodo, ¿verdad?

Esta es una forma de definir la llamada "belleza" de un gráfico. El sistema cuyo indicador dado sea más pequeño, será "el más hermoso". Claro que todo esto está bien, pero necesitamos dicho indicador para un propósito diferente: nos hemos propuesto la tarea de comparar la belleza de los dos sistemas. Imaginemos ahora que tenemos dos sistemas que comercian de forma independiente. Entonces, nuestro objetivo será fusionar estos sistemas y comprender si obtendremos algún efecto de esta fusión, o más bien, esperaremos lo siguiente:

 

Puedo decirles que estas proporciones se observarán al utilizar cualquier ley de distribución, y esto automáticamente significa que tendrá sentido diversificar si nuestros instrumentos o sistemas comerciados en paralelo tienen una rentabilidad similar. Pero probaremos este hecho de forma un poco diferente: ya he mencionado que se me ha ocurrido un algoritmo para reducir todas las distribuciones a una variable aleatoria relativa. Precisamente este algoritmo utilizaremos, pero primero analizaremos el proceso general de fusión de varias líneas en el marco de la ley de distribución de una variable aleatoria de la suma de dos deltas. Nosotros realizaremos la fusión por parejas utilizando la lógica recurrente. Para hacer esto, asumiremos que tenemos "n + 1" curvas, cada una de las cuales tiene una esperanza matemática definida. No obstante, para llegar a la variable aleatoria que simboliza la fusión, deberemos entender que:

De hecho, esta es una expresión recursiva que no tiene significado matemático, pero muestra la lógica de fusionar todas las variables aleatorias de la lista, cada una de las cuales se encuentra en ella. En pocas palabras, tenemos "n+1" curvas que debemos combinar usando "n" transformaciones sucesivas. En la práctica, esto significa que deberemos obtener la ley de distribución de la variable aleatoria total en cada paso, utilizando para ello algún tipo de operador de transformación.

No sobrecargaré al lector hablando de "qué, por qué y para qué", sino que simplemente mostraremos estos operadores de conversión, y usted solo tendrá que mirarlos y pensar un poco. Estas fórmulas implementan la fusión de dos curvas de beneficio dentro del periodo de tiempo seleccionado y calculan la probabilidad de que el beneficio total de los dos segmentos de las curvas "dE1 + dE2" sea menor (Pl) y mayor (Pm) del valor "r" seleccionado, respectivamente:

Existen dos opciones para implementar estas magnitudes, y ambas son absolutamente equivalentes. Tras calcular estos valores, podemos utilizarlos para obtener la ley de distribución de la variable aleatoria "r", que es lo que se requiere de nosotros para resolver la cadena completa de combinación recurrente. Según la definición de una variable aleatoria, a partir de estas fórmulas, podemos obtener las leyes de distribución correspondientes de la siguiente manera:

Como habrá adivinado, tras obtener la ley de distribución, podrá proceder al siguiente paso dentro de la cadena recurrente de transformaciones. Después de trabajar en toda la cadena, obtendremos la distribución final, que ya podremos comparar con una de las distribuciones que usamos para la cadena de fusión recurrente. Vamos a crear un par de distribuciones basadas en las leyes que tenemos y ejecutar un paso de combinación como ejemplo para demostrar el hecho de que cada combinación es "más hermosa que la anterior":

Fig. 7

En la figura tenemos la fusión matemática con la ayuda de nuestras fórmulas de fusión, con la única salvedad de que no presenta diferenciación para transformar integrales en leyes de distribución de la variable aleatoria de fusión. Veremos el resultado de la diferenciación un poco más adelante, en el marco de una idea más general, pero por ahora trabajaremos con lo que hay en esta figura.

Preste atención a los rectángulos rojos, son la base aquí. La integral más baja indica que estamos tomando la integral según la ley de distribución original de tal forma que calculemos la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor inferior a la esperanza matemática dividida por "Kx". Y si miramos arriba, veremos integrales similares para las fusiones de dos distribuciones ligeramente diferentes. En todos los casos, resulta esencial mantener esta relación (Kx) entre la esperanza matemática y el valor límite elegido para la integral, que se expresa en el "Kx" correspondiente. 

Tenga en cuenta que ambas opciones de fusión se presentan ahí de acuerdo con las fórmulas que le di anteriormente; además existe una fusión de la distribución básica consigo misma, como imaginando que fusionamos dos curvas de beneficio idénticas. Idéntico no significa idéntico en la imagen, sino que tiene leyes de distribución idénticas para la variable aleatoria de incremento de la curva de beneficio en el periodo temporal seleccionado. La prueba es que encontramos una probabilidad menor de que suceda una desviación relativa de la variable aleatoria de fusión respecto a la original, lo cual significa que tenemos una ley de incremento de la variable aleatoria de beneficio más "hermosa" en cualquier fusión. Obviamente, existen excepciones y la posibilidad de explorar el tema más a fondo, pero creo que este enfoque bastará para este artículo, y lo más probable es que no encuentre nada mejor en ningún lado, porque este es un material muy específico.

Una forma alternativa de comparar la belleza es transformar todo, tanto las leyes de distribución originales como el resultado de la cadena recurrente que hemos analizado antes. Para hacer esto, solo tendremos que usar nuestra transformación, que nos ha permitido obtener una familia de curvas de distribución escalables y hacer exactamente esto:

El truco de esta transformación es que con este enfoque, todas las leyes de distribución sujetas a la transformación correspondiente tendrán la misma esperanza matemática y, en consecuencia, podremos usar solo la desviación estándar para evaluar su "belleza", sin necesidad de inventar ningún criterio exótico. No obstante, hoy hemos visto dos métodos: cuál de los dos es mejor le corresponderá decidirlo a usted. Como habrá adivinado, las leyes de distribución de todas esas curvas relativas se verán así:

Quiero decirles que un enfoque similar se aplica exactamente de la misma manera a las pruebas extendidas. Por pruebas extendidas aquí entendemos las pruebas con una sección más larga. Esta aplicación solo será adecuada para confirmar el hecho de que cuanto más larga sea la prueba, más hermoso será el gráfico. El único truco para esta prueba que tendrá que aplicar es aceptar que si alargamos la duración de la prueba, entonces lo haremos en múltiplos de un número entero, y en múltiplos de este número ya estaremos considerando no 1 paso sino "n " y aplicando las fórmulas de fusión. Esta combinación será aún más simple, ya que la cadena de fusión recurrente contendrá solo un elemento que se duplica, y será posible comparar el resultado solo con este elemento, simplificando todo enormemente.

Conclusión

Podríamos decir que, en el presente artículo, hemos analizado no el propio algoritmo de recompra, sino un tema mucho más importante que ofrece las fórmulas y métodos matemáticos necesarios para una evaluación más precisa y eficiente de los sistemas comerciales. Y lo que es más importante, hemos obtenido la prueba matemática de lo que vale la diversificación y lo que la hace efectiva, y también de cómo aumentarla de forma natural y saludable, sabiendo que lo estamos haciendo todo bien.

De hecho, también hemos demostrado que, cuanto más larga sea la zona comercial que usemos, más hermoso será el gráfico de cualquier sistema rentable, y más beneficios reportará el comercio de los sistemas que operan en paralelo en una cuenta. Hasta ahora, todo se ha visto en forma de teoría, pero en el próximo artículo consideraremos sus aspectos aplicados. En pocas palabras, construiremos un modelo matemático funcional para simular precios e imitar transacciones en múltiples divisas, además de confirmar todas nuestras conclusiones teóricas. Además, lo más probable es que el lector no encuentre esta teoría por ningún lado, así que intente profundizar más en esta parcela matemática, o al menos entender su esencia.