Рассчитать вероятность разворота

Авторизуйтесь или зарегистрируйтесь, чтобы добавить комментарий
Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  

Кто соображает в математике, помогите пожалуйста решить задачку, не могу догадаться как это сделать.

Имеем график плотность вероятности для нормального распределения, в нормальном распределении нет памяти и вероятность направления каждого следующего шага =50%.

Пусть у нас есть человек, который делает 10 шагов, шагать он может вправо или влево, каждый следующий шаг не зависит от предыдущего и вероятность пойти вправо или влево 50%. Тогда можно построить таблицу плотностей вероятности и оценить с какой вероятностью он удалится от начальной точки за 10 шагов. В 6 столбце вероятность в %. Из таблицы получается, что с вероятностью 0,0977% он отойдет от начальной точки вправо на 10 шагов, за 10 шагов или с вероятностью 4,39% за 10 шагов он отойдет на 6 шагов.

тут все просто, вероятность разворота всегда 50%, но если вероятность разворота будет отлична от 50%, то график плотности вероятности будет другой.

И отсюда вопрос, как имея только график плотности вероятности, рассчитать вероятность разворота на каждом шаге.

Вот допустим имеем такой график плотности вероятностей


Тут по оси х, отмечено, насколько шагов человек ушел от начальной точки, от -10 (влево) до +10 (вправо) и подписано с какой вероятностью он это делал в %. Как найти какая вероятность разворота была на каждом шаге?

Ihor Herasko
21125
Ihor Herasko  
Используйте треугольник Паскаля. В каждом ряду нужно сложить все значения. Это 100%. Затем берете любую точку с ее значением и делите на полученное значение. Вот и вероятность.
Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  
Ihor Herasko:
Используйте треугольник Паскаля. В каждом ряду нужно сложить все значения. Это 100%. Затем берете любую точку с ее значением и делите на полученное значение. Вот и вероятность.

Что интересно, до треугольника паскаля я догадался сам, даже не знал, что он существует и как называется). Но делать это вручную нереально, по тому что если брать всего 10 шагов, то в нуле получается уже 252 комбинации, получается адская формула. Можно конечно заставить комп это все считать, но может есть способ по элегантнее?

А может я не так понял ,сейчас попробую ,как вы написали
Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  
Ihor Herasko:
Используйте треугольник Паскаля. В каждом ряду нужно сложить все значения. Это 100%. Затем берете любую точку с ее значением и делите на полученное значение. Вот и вероятность.

нееет, вероятность у меня уже есть в процентах выпадения, мне нужно посчитать какая вероятность разворота на каждом шаге должна быть, чтобы получилось такое распределение

Ihor Herasko
21125
Ihor Herasko  
Maxim Romanov:

нееет, вероятность у меня уже есть в процентах выпадения, мне нужно посчитать какая вероятность разворота на каждом шаге должна быть, чтобы получилось такое распределение

Начальная точка - 17.9% (вершина нормального распределения) или нет? И насчет треугольника я, скорее всего, поторопился, т. к. здесь нет движения внутрь треугольника, все по граням.

Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  
Ihor Herasko:

Начальная точка - 17.9% (вершина нормального распределения) или нет? И насчет треугольника я, скорее всего, поторопился, т. к. здесь нет движения внутрь треугольника, все по граням.

Да, на примере вероятность попасть в начальную точку (из которой вышел) 17,9%, то есть вершина распределения. Получается, что с вероятностью 17,9%, за 10 шагов он вернется туда, откуда вышел.
Ihor Herasko
21125
Ihor Herasko  
Maxim Romanov:
Да, на примере вероятность попасть в начальную точку (из которой вышел) 17,9%, то есть вершина распределения. Получается, что с вероятностью 17,9%, за 10 шагов он вернется туда, откуда вышел.

Ну тогда я правильно подсказал насчет треугольника. Из-за того, что нужны расчеты только для граней, для каждой точки на грани берете ее коэффициент. Например, для точек 16.06% и 16.01% коэффициент 0.5, т. к. вторая строка состоит из двух единиц. Тогда для 16.01% вероятность получается такой: (17.9 + 0.5 * 16.01) / 2 = 12.9525%, а для 16.06%: (17.9 + 0.5 * 16.06) / 2 = 12.965%

Для точек 11.89% и 11.9% применяется коэффициент 0.25, т. к. в третьем ряду находятся числа: 1, 2, 1. Тогда для 11.89%: (12.9525 + 0.25 * 11.89) / 2 = 7.9625%, я для 11.9%: (12.965 + 0.25 * 11.9) / 2 = 7.97%.

То есть для каждой новой точки берется вероятность предыдущего шага, добавляется свое значение точки, умноженное на коэффициент для заданного ряда, и делится на 2. Решается обычным циклом по индексам рядов треугольника, не нужно пытаться запихнуть все в одну формулу.

Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  
Ihor Herasko:

Ну тогда я правильно подсказал насчет треугольника. Из-за того, что нужны расчеты только для граней, для каждой точки на грани берете ее коэффициент. Например, для точек 16.06% и 16.01% коэффициент 0.5, т. к. вторая строка состоит из двух единиц. Тогда для 16.01% вероятность получается такой: (17.9 + 0.5 * 16.01) / 2 = 12.9525%, а для 16.06%: (17.9 + 0.5 * 16.06) / 2 = 12.965%

Для точек 11.89% и 11.9% применяется коэффициент 0.25, т. к. в третьем ряду находятся числа: 1, 2, 1. Тогда для 11.89%: (12.9525 + 0.25 * 11.89) / 2 = 7.9625%, я для 11.9%: (12.965 + 0.25 * 11.9) / 2 = 7.97%.

То есть для каждой новой точки берется вероятность предыдущего шага, добавляется свое значение точки, умноженное на коэффициент для заданного ряда, и делится на 2. Решается обычным циклом по индексам рядов треугольника, не нужно пытаться запихнуть все в одну формулу.

вот пример на рисунке. Тут 2 случая. В верхнем вероятность разворота на каждом шаге равна 50%, то есть у процесса нет памяти, тогда получается распределение плотности вероятности как нарисовано. Тут очень легко вычислить вероятность разворота только для крайних значений (12,5/100)^(1/3)=0.5.  То есть легко вычислили вероятность разворота для крайнего значения, но вот для 37,5 уже непонятно как вычислить вероятность разворота.

Сложнее становится на рисунке ниже, там уже у процесса есть память, вероятность, что следующий шаг будет в ту-же сторону, что и предыдущий уже 0,6, а вероятность разворота 0,4.  И соответственно плотность распределения вероятностей уже отличается от предыдущего случая. Вот отсюда и вопрос, как имея только плотность распределения вероятности, посчитать, какая была вероятность разворота?

Тут тоже можно взять крайнее значение (18/100)^(1/3)=0.56 - такая средняя вероятность разворота получилась, по тому что на первом шаге была вероятность 0,5.

Но как найти вероятность разворота для значений 32?

Может я как-то не так мыслю и есть способ значительно отличающийся от того, что я показал? То есть мне по форме распределения нужно вычислить, какая в среднем вероятность разворота (или продолжения) привела к тому, что появилась именно такая форма распределения.

Maxim Romanov
7419
Maxim Romanov  
может кто-то из людей разбирающихся в математике, еще что-то мне посоветует? Задачка-то не сложная и у нее определенно есть изящное решение. По тому что сам я додумался только до решения "в лоб". Поступить как всегда, создать таблицу со всеми возможными вариантами и заставить комп ее решать. Но хочется чего-то более изящного. Уверен в математике не у одного меня стояла задача, получить вероятность разворота на каждом шаге, имея только плотность распределения вероятностей и определенно механизм есть.
Aleksey Nikolayev
2930
Aleksey Nikolayev  

На первый взгляд, обычная задача из области марковских цепей - эволюция начального распределения со временем. Некоторое усложнение связано с тем, что цепь - второго порядка (вероятность цены в момент n зависит не только от цены в момент n-1, но и в момент n-2)

Считать придётся численно. Изящно (аналитически) можно было бы разве что посчитать стационарное распределение, но здесь оно очевидно не определено.

secret
1043
secret  
Maxim Romanov:

в нормальном распределении нет памяти и вероятность направления каждого следующего шага =50%.

Ни в каком распределении нет памяти. Вероятность продолжения/разворота определяется не видом распределения, а корреляцией приращений (в самом общем случае).

По виду распределения приращений можно определить другое - вероятность дойти до определенного уровня за определенное время (если правильно понимаю, я не математик).

Такие задачи встречаются в опционных расчетах, погуглите.

Но вы кажется хотите использовать распределение значений - здесь ничего сказать не могу.

Авторизуйтесь или зарегистрируйтесь, чтобы добавить комментарий