Théorème sur la présence de mémoire dans les séquences aléatoires

 

L'essence du théorème est que si l'analyse de la préhistoire de séquences aléatoires à une profondeur donnée donne une espérance mathématique nulle, cela ne signifie pas que l'analyse de la préhistoire à une autre profondeur donne la même espérance.

Pour simplifier, afin de prouver la présence de mémoire dans une séquence aléatoire, il faut l'analyser dans toute sa profondeur.

Parfois, la présence d'un souvenir est confondue avec un effet secondaire. Un effet secondaire est la présence d'une opportunité pour une probabilité conditionnelle qui ne sera pas égale à une probabilité inconditionnelle. Cependant, la présence d'un effet secondaire n'implique pas du tout un changement dans l'attente du jeu.

Pour mieux comprendre comment cela peut nous être utile en pratique, même si nos connaissances en mathématiques ne sont pas très bonnes, il serait préférable de donner un exemple concret. Nous ne prendrons pas la roulette d'un casino comme exemple (d'autant plus que la roulette a deux variétés : européenne et américaine), mais considérons un cas plus simple pour être plus clair. Prenons un cube à jouer. Supposons que nous parions 1 $ chacun sur un nombre compris entre 1 et 6 (le nombre d'arêtes du cube).

Il est très facile de calculer les gains ou les pertes, car si nous parions chacun un dollar sur différents numéros, si, après avoir lancé le dé, au moins un des numéros correspond à notre pari, le croupier rendra 6 $, ce qui correspond à un gain de 6 $ - n, où n est le nombre de numéros sur lesquels on a parié 1 $. Si aucun des numéros correspondant au pari ne correspond au pari après avoir lancé le dé, le croupier prendra tout l'argent que nous avons parié.

Nous sautons les deux premiers jets de dé qui ont donné x1 et x2. Et parier sur le troisième jet - x3, mais selon les règles des probabilités conditionnelles :

  • Si x1 > x2, alors pariez 1 $ sur tous les numéros inférieurs à x2.
  • Si x1 < x2, alors pariez 1 $ sur tous les nombres supérieurs à x2.

Supposons que nous ayons trois numéros dans trois tirages : 2, 3 et 5 (en fait, le théorème prouve que les chiffres tombés ne font aucune différence). Dans quel ordre ces trois nombres sont également tombés, il n'y a pas de différence particulière, car il n'y a que six possibilités, et elles ont toutes la même probabilité.

Regardez maintenant les résultats (la couleur rouge indique les paris sur les nombres inférieurs à x2) :


x1
x2x3
Taille du gain
2
3
5
-$2
2
5
3
+$2
3
2
5
+$2
3
5
2
+$2
5
2
3
+$2
5
3
2
-$2
Total :+4


Il s'avère que nous avons obtenu une espérance de +4 $, malgré le fait que toutes les combinaisons des nombres 2, 3 et 5 ont une probabilité égale.

Certains diront probablement que c'est impossible ? Faites confiance mais vérifiez. Car pour la démonstration, on a choisi le cube à jouer, qui n'a que 6 chiffres sur ses bords et il est difficile de confondre même un écolier.

Par exemple, la première combinaison. On mise sur les nombres inférieurs à x2 = 3, et il n'y en a que deux : 1 et 2. Par conséquent, la taille de notre pari était de 2 $. Mais x3, était égal à 5, c'est-à-dire qu'aucun des nombres que nous avons parié n'était égal à 5 et nous avons perdu tous nos paris, c'est-à-dire 2 $.

La deuxième combinaison : un pari sur des nombres inférieurs à x2 = 5. Il y en a quatre : 1, 2, 3, 4, c'est-à-dire que nous avons donné 4 $ au croupier. x3 = 3 est sorti. Le pari est gagné. Le concessionnaire nous a rendu 6 dollars. En conséquence, notre dépôt a été reconstitué avec un gain de +2$.

Et ainsi de suite.

Le théorème prouve que si nous parions toujours selon les probabilités conditionnelles ci-dessus lorsque x1 <> x2, alors quelles que soient les valeurs de x1, x2 et x3 et dans quel ordre, l'espérance mathématique sera toujours positive.

Mais quelqu'un objectera encore qu'un croupier ne voudra guère nous rendre en cas de mise réussie de 6 $, mais qu'il essaiera plutôt de diminuer notre attente, par exemple en nous donnant seulement 5 $ en cas de gain. Alors, il est facile de calculer que nous aurons une espérance nulle. C'est-à-dire que le jeu sera équitable, malgré le fait que le croupier pense qu'il va gagner dessus.

OK. Certains pourraient commencer à faire valoir que les casinos sont illégaux dans la RF, mais que la spéculation boursière est autorisée. Cependant, si les cotations boursières sont représentées comme un schéma de Bernoulli à probabilité égale avec quelques données manquantes (trous dans l'histoire), le théorème prouve à nouveau que l'espérance aux mêmes probabilités conditionnelles sera positive.

Si vous n'êtes pas convaincu, le texte du théorème n'est pas secret et peut être trouvé dans l'archive ci-jointe. Essayez d'y trouver des erreurs.

Dossiers :
 
 
Integer:
C'est simple.
Les myopes condamnent généralement tout ce qui dépasse leur entendement © F. Larochefoucauld
 
Integer:
C'est simple.
Envoyer est le plus facile, mais prouver mathématiquement que la personne a raison ou tort...
 

Pour tester l'hypothèse, vous pouvez utiliser un générateur de nombres aléatoires dans Excel (Roundbetween(1;6)) et vérifier la règle ci-dessus pour disons 1000 cas. Je n'ai pas d'avantage mathématique. Bien qu'il soit nécessaire de vérifier avec l'auteur, ce qu'il propose de faire sous la condition X1=X2.

 
over2u:

Pour tester l'hypothèse, vous pouvez utiliser un générateur de nombres aléatoires dans Excel (Roundbetween(1;6)) et vérifier la règle ci-dessus pour disons 1000 cas. Je n'ai pas d'avantage mathématique. Bien qu'il soit nécessaire de vérifier avec l'auteur, ce qu'il propose de faire sous la condition X1=X2.

Il est plus facile de vérifier le casino en ligne, qui a probablement déjà fait l'auteur :)
 
over2u:

Pour tester l'hypothèse, vous pouvez utiliser un générateur de nombres aléatoires dans Excel (Roundbetween(1;6)) et vérifier la règle ci-dessus pour disons 1000 cas. Je n'ai pas d'avantage mathématique. Cependant, je dois vérifier ce que l'auteur suggère de faire avec X1=X2.

Pour quoi faire ? Parce que cela peut être plus simple et plus exact.

Soit sur un tambour de roulette n numéros, de 0 à n - 1 inclus.

Supposons que si la bille touche le numéro avec le pari, alors le croupier renvoie le numéro ret.

Pour faciliter la compréhension, créons un tableau. Nous avons trois spins consécutifs x1, x2, x3 peuvent tomber un maximum (max), un minimum (min) et une moyenne (mid).

  1. Si le numéro du dernier tour coïncide avec le numéro de l'avant-dernier tour, on saute un coup.
  2. Si x1 > x2, alors pariez sur tous les nombres supérieurs à x2. Nous avons de tels nombres : n - 1 - x2
  3. Si x1 < x2, alors pariez sur tous les numéros inférieurs à x2. Nous avons de tels nombres : x2

Alors nous avons ce résultat :

Combinaison
Avant-dernier tour - x1
Dernier tour - x2
Spin d'avenir - x3
Taille de la miseTaille de la victoire
1min
milieu du site
max
milieu du site-moyen
2min
max
milieu du site
maxret - max
3milieu du site
min
max
n - 1 - minret - n + 1 + min
4milieu du site
max
min
maxret - max
5max
min
milieu du site
n - 1 - minret - n + 1 + min
6max
milieu du site
min
n - 1 - milieun - 1 - milieu
Total :3 * n + 2 * max - 2 * min - 34 * ret - 3 * n - 2 * max + 2 * min + 3

C'est tout. Il ne nous reste plus qu'à écrire un programme et à vérifier toutes les variantes dans la boucle imbriquée.

Pour la roulette européenne : n = 37, ret = 35

En Java, un tel programme ressemblerait à ceci

public class Main {

        public static void main(String[] args) {
                // Количество чисел на барабане
                int n = 37;
                double dn = n;
                // Возврат денег дилером в случае если ставка выиграет
                int ret = 35;
                double total = 0 d;
                // Счётчик спинов
                int score = 0;
                for (int i = 0; i < n; i++) {
                        for (int j = 0; j < n; j++) {
                                if (i != j) {
                                        int max = Math.max(i, j);
                                        int min = Math.min(i, j);
                                        double dmax = max;
                                        double dmin = min;
                                        double result = 4 d * ret - 3 d * dn - 2 d * dmax + 2 d * dmin
                                                        + 3 d;
                                        System.out.println("Max = " + max + ", Min = " + min
                                                        + ", Result = " + result);
                                        total = total + result;
                                }
                                score++;
                        }
                }
                double dscore = score * 6;
                total = total / dscore;
                // Математическое ожидание выигрыша с одного спина
                System.out.println("Total = " + total);
        }
}

On va l'exécuter et le vérifier :

...
Max = 36, Min = 28, Result = 16.0
Max = 36, Min = 29, Result = 18.0
Max = 36, Min = 30, Result = 20.0
Max = 36, Min = 31, Result = 22.0
Max = 36, Min = 32, Result = 24.0
Max = 36, Min = 33, Result = 26.0
Max = 36, Min = 34, Result = 28.0
Max = 36, Min = 35, Result = 30.0
Total = 1.0810810810810811
Il s'avère que le bénéfice est d'un peu plus d'une livre par tour.
 
sandex:
C'est facile à envoyer, mais il est facile de prouver mathématiquement que la personne a raison ou tort...
Dois-je lancer les dés pour vous ?
 
over2u:

Pour tester l'hypothèse, vous pouvez utiliser un générateur de nombres aléatoires dans Excel (Roundbetween(1;6)) et vérifier la règle ci-dessus pour disons 1000 cas. Je n'ai pas d'avantage mathématique. Bien qu'il soit nécessaire de vérifier avec l'auteur, ce qu'il propose de faire sous la condition X1=X2.

Maintenant, ils vont commencer à vous parler de l'imperfection du générateur de nombres aléatoires du logiciel.
 
server:
Il est plus facile de vérifier sur le casino en ligne ...

Je ne vous conseille pas de "tester" de telles stratégies dans les casinos en ligne. Car dans les casinos virtuels, contrairement aux casinos réels, la théorie de la probabilité ne règne pas. L'algorithme est configuré de manière à ce que le casino ne soit jamais dans le négatif, c'est-à-dire que si le tour actuel ne génère pas de profit, ce qui est spécifié dans les paramètres, l'algorithme prendra automatiquement un numéro "tombant" qui n'a pas été parié - une perte artificielle.

serveur:
... ce qui est probablement déjà fait par l'auteur :)

L'auteur préfère le commerce des actions (et non des cuisines). La stratégie de négociation ci-dessus est également valable. Les vrais casinos sont interdits ici.

 
Reshetov:

Je ne vous conseille pas de "tester" de telles stratégies dans les casinos en ligne. Car dans les casinos virtuels, contrairement aux casinos réels, la théorie de la probabilité ne règne pas. Là, l'algorithme est configuré de telle sorte que le casino ne se retrouve jamais dans le négatif, c'est-à-dire que si le tour actuel ne génère pas de profit, ce qui est spécifié dans les paramètres, l'algorithme prendra automatiquement un numéro "tombant" qui n'a pas été parié - une perte artificielle.

L'auteur préfère le commerce des actions (et non des cuisines). La stratégie de négociation ci-dessus est également valable. Les vrais casinos sont interdits ici.

Oui, je sais que les vrais casinos sont interdits dans l'ancienne Union soviétique.

Vegas était une mêlée générale :)

Raison: