[Архив!] Чистая математика, физика, химия и т.п.: задачки для тренировки мозгов, никак не связанные с торговлей - страница 305
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
Не факт.
Тут надо за что-то зацепиться. Одна зацепка есть, но что с ней делать, не знаю пока.
Зацепка:
S=S1+S2;S=S3+S4;
S=S5+S6;
S=T1+T2+T3+T4+K1+K2+K3;
S1=K1+K3+T1+T4;
S2=K2+T2+T3;
S3=K1+K2+T2+T4;
S4=K3+T1+T3;
S5=K2+K3+T3+T4;
S6=K1+T1+T2; где
S - общая площадь
S1-S6 - площади, образованные от сечения S на две части
Т1-Т4 - площади треугольничков
К1-К3 - площади четырехугольничков,
геометрических уравнений не хватает.
2 Richie:
Если мы докажем, что точка V - середина CC', то мы докажем всё: треуг АС'C тогда будет делиться отрезком AV на равновеликие части. Так как заштрихованные треуги внутри AC'C равновелики, то тогда равновелики и оба четырехугольника. Аналогично можно рассмотреть и остальные частные треуги - ABA' и BCB'.
Зацепки есть. Например, что AUVB' - трапеция. Параллельность ее сторон AU и VB' легко доказывается из гомотетичности соответствующих треугов - AUW и B'WV. Но куда этот факт применить - не вижу.
А гомотетичность AUW и B'WV вытекает из равновеликости заштрихованных треугов и применения формулы для площади треуга через стороны и синус угла между ними.
P.S. Решение поражает своей лаконичностью (вероятно, задачку почти каждый восьмиклашка способен решить в уме):
Но есть некий намек на золотую пропорцию. Я подозревал...
AUW и B'WV. Но куда этот факт применить - не вижу.
Я пытался применить для вычисления длин VB и UA, т.к. площади треугов мы знаем - 1 кв.см. Сторону WV найти легко. Если треугольник UWV равносторонний, т.е. его углы 60 гр. то все углы мы знаем и обсчитать трапецию легко. Зная VB и UA, которые разбивают незаштрихованные 4х угольники на треугольники мы расчитываем всё остальное и добираемся до площади большого треугольника ABC, используя которую и вычисляем площади 4х угольников.
Да, ответ красивый :))
Почему равносторонний?
Почему равносторонний?
Да, это не факт. Просто так проще. Это то, о чём писал выше: Если АВС и UWV равносторонние и боковые треугольники равновелики (условие задачи), то эти боковые треугольники будут подобны, хотя могу ошибаться.
Вообще, мне такую задачу гораздо проще решить на компьютере, составив систему :))
Откуда всётаки взялось (Корень(5)+1) ?
1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.
Следующая:
Найти четыре равновеликих прямоугольных треугольника, стороны которых являются натуральными числами.
Надеюсь, все помнят формулы для целочисленных пифагоровых троек (2pq, pp-qq, pp+qq)?
Еще одна зацепочка:
1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.
Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(
Найти четыре равновеликих прямоугольных треугольника, стороны которых являются натуральными числами.
Надеюсь, все помнят формулы для целочисленных пифагоровых троек (2pq, pp-qq, pp+qq)?
т.е. задача сводится к нахождению четырех пар чисел p,q, для которых pppq-pqqq инвариант.
Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(
Ого, я вообще ни хрена не добился, не считая замечаний, которые тут выложил. Там, возможно, замечательное свойство трапеции юзается. Вот ссылка: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
Похоже, проблема со ссылками. ОК, вот так: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137
т.е. задача сводится к нахождению четырех пар чисел p,q, для которых pppq-pqqq инвариант.
Ну, похоже, да. pq(p-q)(p+q) = inv.
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
В решении чуть с индексами напутано.
Надо было посидеть еще часик, я был близок:) Но задачка по сложности явно если и для восьмиклашек, то уровнем не ниже областной олимпиады.