Анализ модели ценового ряда

Торговый алгоритм и суммарная доходность

 Далее будем использовать приведенный в [2] ТА, задаваемый в виде последовательности случайных величин, принимающих два значения: 1 и −1,где   уровень исполнения сделки. При ТА находится в длинной позиции (покупка), прив короткой (продажа). Смена позиций ТА, т. е. сделка купли/продажи, происходит на шаге в случае(при смене 1 на −1 это сделка продажи, −1 на 1  сделка купли). Присмены позиций не происходит и ТА не меняет своего состояния. С использованием индикаторных функций ТА (2.1) может быть представлен в видеСлучайная величина суммарной доходности за N шагов работы ТА (2.1) определяется какгде      случайная величина числа сделок ТА за N шагов, случайная величина числа сделок ТА за  индикатор сделки, Com  задаваемые неслучайные комиссионные брокеру за каждую сделку купли/продажи. Вероятность совершения сделки нашаге определяется какТаким образом, чтобы сделать вывод о распределении случайной величины DN, необходимо определить распределения суммДля этого нам потребуется рассмотренный в [4] подход, в котором для исследования асимптотических распределений сумм зависимых случайных величин используются последовательности с -перемешиванием.

 Случайные последовательности с -перемешиванием:

 Пустьесть стационарная в узком смысле последовательность случайных величин, определенных на некотором вероятностном пространстве. Обозначим черезполе, порожденное случайными величинами

 Определение 1. Последовательностьявляется последовательностью сперемешиванием, если при любых целыхгде   неотрицательная функция натурального аргумента такая, что

 Определение 2. Последовательность (3.1) называется m-зависимой, если случайные векторынезависимы при

 Очевидно, что m-зависимая последовательность является и последовательностью сперемешиванием сДля последовательностей сперемешиванием имеет место следующая предельная теорема [4].

Теорема 2. Пустьявляется последовательностью сперемешиванием, для которойимеет нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию. Тогда рядабсолютно сходится. Если S > 0, то последовательность распределений случайных величинслабо сходится к нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией S.Для упрощения использования теоремы 2 при анализе асимптотического распределения суммарной доходности ТА примем ряд допущений относительно свойств случайных последовательностейИз модели ценового ряда (1.1) получаем Будем считать, что при k > M для некоторого  корреляция случайных величиндостаточно слаба, так что ею можно пренебречь (обычно для реальных биржевых цен акций и фьючерсов оценкане превышает значения 0.2). Тогда вместо (1.1) получаем последовательностькоторая является стационарной в узком смысле при не обязательно нормальном распределении случайных величинДля удобства дальнейшего анализа будем полагать, что случайные последовательностив (3.4) формально начинаются с отрицательных индексов −L − M и −L соответственно, гдеПри малых значениях уровня исполнения сделкиобеспечивающих достаточное число сделок ТА за год, вероятность нахождения значениянесколько шагов работы ТА подряд весьма мала. Поэтому аппроксимируем ТА (2.2),ограничивая количество таких шагов значением M. Выражая в (2.2)рекуррентно M раз, в итоге получаемКак следует из (3.5),является функцией отТак как она одна ита же при всех n, то случайная последовательностьобладает свойством стационарности в узком смысле [4]. Данная последовательность является m-зависимой с m=2M. Для приближенной модели (3.5) будем по-прежнему полагатьТаким образом, случайные величинысогласно (3.4), (3.5) являются функциями отне зависящими от n, и в силу этого случайные последовательностистационарны в узком смысле. Поскольку эти последовательности m-зависимы (m = 2M +1), то они являются последовательностями с

Продолжение следует........ 

Случайные последовательности с перемешиванием:

Пусть есть стационарная в узком смысле последовательность случайных величин, определенных на некотором вероятностном пространстве. Обозначим черезполе, порожденное случайными величинами

 Определение 1. Последовательность является последовательностью сперемешиванием, если при любых целых             (3.2)  где-неотрицательная функция натурального аргумента такая, что

 Определение 2. Последовательность (3.1) называется m-зависимой, если случайные векторынезависимы приОчевидно, что m-зависимая последовательность является и последовательностью сперемешиванием с Для последовательностей сперемешиванием имеет место следующая предельная теорема [4].

 Теорема 2. Пустьявляется последовательностью сперемешиванием, для которойимеет нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию. Тогда рядабсолютно сходится.Еслито последовательность распределений случайных величинслабо сходится к нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и дисперсией S.

 Для упрощения использования теоремы 2 при анализе асимптотического распределения суммарной доходности ТА примем ряд допущений относительно свойств случайных последовательностейИз модели ценового ряда (1.1) получаемБудем считать, что придля некоторогокорреляция случайных величиндостаточно слаба, так что ею можно пренебречь (обычно для реальных биржевых цен акций и фьючерсов оценкане превышает значения 0.2). Тогда вместо (1.1)получаем последовательность (3.4)      которая является стационарной в узком смысле при не обязательно нормальном распределении случайных величинпричемДля удобства дальнейшего анализа будем полагать, что случайные последовательностиформально начинаются с отрицательных индексовсоответственно, гдеПри малых значениях уровня исполнения сделкиобеспечивающих достаточное число сделок ТА за год, вероятность нахождения значенияв интервалеза несколько шагов работы ТА подряд весьма мала. Поэтому аппроксимируем ТА (2.2),ограничивая количество таких шагов значением M. Выражая в (2.2)черезрекуррентно M раз, в итоге получаемКак следует из (3.5),является функцией отТак как она одна итаже при всех n, то случайная последовательностьобладает свойством стационарности в узком смысле [4]. Данная последовательность является m-зависимой с m=2M. Для приближенной модели (3.5) будем по-прежнему полагатьТаким образом, случайные величиныявляются функциями отне зависящими от n, и в силу этого случайные последовательностистационарны в узком смысле. Поскольку эти последовательности m-зависимы (m = 2M +1), то они являются последовательностями с -перемешиванием.

Продолжение следует......... 

Асимптотическая нормальность числа сделок ТА:

 В приводимых ниже теоремах подразумевается, что случайные последовательностизаданы согласно моделям (3.4), (3.5). Предполагается, что параметрыэтих моделей таковы, что для рассматриваемых в теоремах последовательностей величина S в (3.3) не равна 0.

 Теорема 3.     Распределение случайной величиныслабо сходится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

 Доказательство.    Сформируем последовательность случайных величин с нулевым математическим ожиданиемПоследовательностьобладает свойством перемешивания. Проверим для нее выполнение условий теоремы 2, используя вместослучайную величинуКонечность рядаочевидна, поскольку всегда можно задатьприКонечность дисперсии случайной величинытакже очевидна. Для ряда (3.3) имееми сумма S не может быть отрицательной,поскольку является пределом придля дисперсииТаким образом, согласно теореме 2 распределение случайной величиныслабо сходится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией согласно (3.3). Остается определить эту дисперсию и вероятность совершения сделки p.

Имеем  Полагая в (4.3) случайные величинынезависимыми сполучаемТакое приближение будет использоваться далее и при выводе других формул. Поскольку

 Привследствие слабой зависимости между случайными величинамиполагаем, чтоТаким образом,Из теоремы 3 следует, что случайная величина числа сделок ТАасимптотически ведет себя как нормальная с математическим ожиданием Np и дисперсиейопределяемыми по приближенным формулам (4.1), (4.2). В случае нормального распределения приращений цены в формулы (4.1), (4.2) следует подставить

 Результаты проведенных по формулам (4.1), (4.4) вычислений вероятности совершения сделки подтверждены в [2] путем сравнения их с результатами, полученными методом статистического моделирования.