[Archiv!] Reine Mathematik, Physik, Chemie usw.: Gehirntrainingsprobleme, die in keiner Weise mit dem Handel zusammenhängen - Seite 305
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Не факт.
Тут надо за что-то зацепиться. Одна зацепка есть, но что с ней делать, не знаю пока.
Die Führung:
S=S1+S2;S=S3+S4;
S=S5+S6;
S=T1+T2+T3+T4+K1+K2+K3;
S1=K1+K3+T1+T4;
S2=K2+T2+T3;
S3=K1+K2+T2+T4;
S4=K3+T1+T3;
S5=K2+K3+T3+T4;
S6=K1+T1+T2; wobei
S - Gesamtfläche
S1-S6 - aus dem Abschnitt S gebildete Gebiete in zwei Teilen
T1-T4 - Flächen von Dreiecken
K1-K3 - Flächen von Vierecken,
Es fehlen geometrische Gleichungen.
2 Richie:
Wenn wir beweisen, dass V der Mittelpunkt von CC' ist, dann haben wir alles bewiesen: Das Dreieck AC'C wird dann durch das Segment AV in gleiche Teile geteilt. Da die schraffierten Dreiecke in AC'C gleich sind, sind beide Vierecke gleich. Die anderen Teildreiecke ABA' und BCB' können auf ähnliche Weise betrachtet werden.
Es gibt Anhaltspunkte. Zum Beispiel, dass AUVB' ein Trapez ist. Die Parallelität seiner Seiten AU und VB' lässt sich leicht aus der Homothetie der entsprechenden Dreiecke - AUW und B'WV - beweisen. Aber ich weiß nicht, wo diese Tatsache Anwendung finden soll.
Und die Homothetie von AUW und B'WV ergibt sich aus der Gleichachsigkeit der schraffierten Dreiecke und der Anwendung der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks durch die Seiten und den Sinus des Winkels zwischen ihnen.
P.S. Die Lösung besticht durch ihre Kürze (wahrscheinlich kann fast jeder Achtklässler das Problem in seinem Kopf lösen):
Aber es gibt einen Hinweis auf den Goldenen Schnitt. Ich vermutete...
AUW und B'WV. Aber ich weiß nicht, wo ich diese Tatsache anwenden soll.
Ich habe versucht, damit die Längen von VB und UA zu berechnen, da wir die Flächen der Dreiecke kennen - 1 cm². Die Seite WV ist leicht zu finden. Wenn das Dreieck UWV gleichseitig ist, d.h. seine Winkel sind 60g, kennen wir alle Winkel und es ist einfach, das Trapez zu berechnen. Wenn wir VB und UA kennen, die 4 Winkel in Dreiecke zerlegen, dann erhalten wir den Flächeninhalt des großen Dreiecks ABC und können mit diesem Flächeninhalt die Flächeninhalte der 4 Winkel berechnen.
Ja, die Antwort ist wunderschön :))
Warum eine gleichseitige?
>> Warum ist sie gleichseitig?
Ja, das ist keine Tatsache. So ist es einfach einfacher. Dies ist, was ich oben geschrieben habe: Wenn ABC und UWV gleichseitig sind und die seitlichen Dreiecke gleich sind (die Problembedingung), dann werden diese seitlichen Dreiecke ähnlich sein, obwohl ich vielleicht falsch liege.
Im Allgemeinen finde ich es viel einfacher, dieses Problem am Computer zu lösen, indem man ein System erstellt :))
Woher kommt (Root(5)+1)?
1. Es genügt zum Beispiel zu beweisen, dass die Dreiecke AC'C und B'BC gleich sind. Gut und tun für ähnliche.
2. Wie kann man das tun? Ihre Höhen werden als AC'/AB und ihre Basen als AC/B'C in Beziehung gesetzt. Mit anderen Worten: Beide Beziehungen zeigen, wie die Punkte C' und B' die Seiten des ursprünglichen Dreiecks teilen. Wenn wir beweisen, dass diese Beziehungen zueinander invers sind, dann ergibt sich das Erstere.
P.S. Ich habe im Internet eine Lösung gefunden, aber ich habe sie mir nicht angesehen. Es muss nur sichergestellt werden, dass keine Eigenschaften des ursprünglichen Dreiecks verwendet werden. Es ist nicht gleichseitig, nicht gleichschenklig usw. Aber das Problem ist ganz richtig gelöst. Legen wir das erst einmal beiseite.
Nächste:
Finde vier gleichseitige rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten natürliche Zahlen sind.
Ich hoffe, jeder erinnert sich an die Formeln für ganzzahlige pythagoreische Dreiergruppen (2pq, pp-qq, pp+qq)?
Еще одна зацепочка:
1. Достаточно, например, доказать, что треуги AC'C и B'BC равновелики. Ну и сделать для аналогичных.
2. Как это сделать? Высоты их соотносятся как AC'/AB, а основания - как AC/B'C. Другими словами, оба отношения показывают, как точками C' и B' делятся стороны исходного треуга. Если мы докажем, что эти отношения обратны друг другу, то отсюда будет вытекать первое.
P.S. Нашел в сети решение, но не смотрел. Просто убедился, что никакие свойства первоначального треуга не используются. Он не равносторонний, не равнобедренный и т.п. Но задачка решается вполне корректно. Отложим пока.
Ich habe zwei Stunden lang gesessen, alle Seitenverhältnisse gefunden, den Flächeninhalt des erforderlichen Vierecks durch die Seiten kleiner Dreiecke ausgedrückt (er ist gleich 1 qcm*2*WB'/UB'), aber ich habe immer noch keine endgültige Lösung gefunden. Los, raus mit der Lösung, sonst geht mein Gehirn kaputt:(
Finde vier gleichseitige rechtwinklige Dreiecke, deren Seiten natürliche Zahlen sind.
Ich hoffe, jeder erinnert sich an die Formeln für ganzzahlige pythagoreische Dreiergruppen (2pq, pp-qq, pp+qq)?
d.h. das Problem reduziert sich darauf, vier Zahlenpaare p,q zu finden, für die pppq-pqqq invariant ist.
Сидел два часа, нашел все отношения сторон, выразил площадь требуемого четырехугольника через стороны маленьких треугов (она равна 1кв.см*2*WB'/UB'), но окончательно нихрена так и не получилось. Давай, выкладывай решение, а то моск сломается:(
Wow, ich habe überhaupt nichts mitbekommen, abgesehen von den Bemerkungen, die ich hier gepostet habe. Es könnte eine schöne trapezförmige Eigenschaft dabei sein. Hier ist der Link: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
Es scheint ein Problem mit den Links zu geben. OK, los geht's: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137
d.h. das Problem reduziert sich darauf, vier Zahlenpaare p,q zu finden, für die pppq-pqqq invariant ist.
Nun, es scheint so. pq(p-q)(p+q) = inv.
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=55137.
In der Lösung sind die Indizes etwas durcheinander geraten.
Ich hätte noch eine Stunde sitzen bleiben sollen, ich war kurz davor:) Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ist jedoch eindeutig für Achtklässler, aber nicht unter dem Niveau der regionalen Olympiade.