[Архив!] Чистая математика, физика, химия и т.п.: задачки для тренировки мозгов, никак не связанные с торговлей - страница 284
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
Нету такой функции. Ну кроме y=0. Это моё заднее слово. :)
y=0 не переходит в себя при повороте
Во-первых, в олимпиадной угла 90 градусов нет. О задаче из "Кванта" не знал.
Во-вторых, судя по последовательности вопросов, вопрос а) проще следующего. Так что доказать что-то можно.
В-третьих, такая функция есть - иначе не было бы олимпиадной задачи :) Просто инертность мышления мешает.
Ну давайте попробуем решить для 90 градусов, может и мысли появятся.
y=0 не переходит в себя при повороте
Тогда совсем нету.
доказательство а)
нетрудно проверить, что точка (a,b) при повороте на 90 градусов всегда переходит в точку (-b,a). Тогда при повороте графика нашей функции произвольная его точка (x,f(x)) перейдет в (-f(x),x). Но по условию задачи новый график совпадает со старым, значит мы должны потребовать
f(-f(x))=x (1)
для любого x на числовой оси. Теперь, если для некой точки x0 выполняется f(x0)=x0, то согласно (1) должно выполняться и f(-x0)=x0 (2)
Заметим, что график мы можем спокойно вращать его еще раз на тот же угол, и он снова перейдет в себя, но при этом уже точка (-f(x),x) переходит в (-x,-f(x)). Значит мы обязаны принять, что f(-x)=-f(x), с чем (2) согласуется только в случае, если x0=0, что и требовалось доказать.
а вот с примером у меня тоже туговато:))))
P.S. Кстати, если вращнуть еще разок, то доказательство еще более очевидно, но это уже лирика
Во-первых, в олимпиадной угла 90 градусов нет.
бывают ведь и опечатки... фраза "при повороте на угол" выглядит подозрительно, обычно в формулировках задач если хотят указать на неопределенность, употребляют фразы вида "при повороте на некоторый угол" ну или типа того... так что я все таки голосую за опечатку.
Так, пункт а) решен для частного случая. Неподвижная точка - х=0.
ОК, заглянем в решение? Я буду смотреть только пункт а).
Да, в решении а) неявно предполагается, что угол 90:
Ну что, сохраним интригу для пункта б)?
а) перекрестясь...:)
б) только удостоверившись, что перекрестился
доказательство а)
нетрудно проверить, что точка (a,b) при повороте на 90 градусов всегда переходит в точку (-b,a). Тогда при повороте графика нашей функции произвольная его точка (x,f(x)) перейдет в (-f(x),x). Но по условию задачи новый график совпадает со старым, значит мы должны потребовать
f(-f(x))=x (1)
для любого x на числовой оси. Теперь, если для некой точки x0 выполняется f(x0)=x0, то согласно (1) должно выполняться и f(-x0)=x0 (2)
Заметим, что график мы можем спокойно вращать его еще раз на тот же угол, и он снова перейдет в себя, но при этом уже точка (-f(x),x) переходит в (-x,-f(x)). Значит мы обязаны принять, что f(-x)=-f(x), с чем (2) согласуется только в случае, если x0=0, что и требовалось доказать.
а вот с примером у меня тоже туговато:))))
Что-то в этом есть А я кажись пример придумал. Точнее способ конструирования примера. Попробую описать (рисовать напряжно, я ужо спать собрался).
Функция, конечно, разрывная. Итак:
Проводим через начало координат линию y=x*1/2 (под углом Pi/6). И ещё одну: y=-x*2 (под углом -Pi/3).
Это заготовки. Из них нужно повырезать куски. Причём с условием, что при повороте куски совместятся с их "двойниками".
Далее. Проводим вертикальную линию справа от ординаты (например x=1).
Берём циркуль, ставим одну ногу в начало координат, вторую на точку пересечения нарисованной вертикальки с первой заготовкой (x=1, y=0.5) и крутим вокруг О до пересечения со второй заготовкой. // Впрочем, лучше крутить на все 360 - пригодиться в будущем, для построения отрицательного направления
(В точке x=0.5, y=-1)
Из этой точки пересечения строим вертикаль до пересечения опять с первой заготовкой (x=0.5, y=0.25).. и повторяем процедуру заново. До удовлетворения, точнее бесконечно.
То же самое делаем в направлении увеличения масштаба (в обратном порядке, разумеется).
А теперь всё построение дублируем в отрицательном направлении.
Всё. График готов. Осталось только написать функцию которую он изображает.
пять баллов
Сам такой! :)