Calcular a probabilidade de inversão

 

Quem é bom em matemática, por favor, me ajude a resolver este problema, não consigo descobrir como fazê-lo.

Temos um gráfico de densidade de probabilidade para uma distribuição normal, em uma distribuição normal não há memória e a probabilidade de direção de cada passo seguinte =50%.

Suponhamos que temos uma pessoa que dá 10 passos, ele pode dar um passo para a direita ou para a esquerda, cada passo seguinte é independente do anterior e a probabilidade de ir para a esquerda ou para a direita é de 50%. Então podemos construir uma tabela de densidades de probabilidade e estimar com que probabilidade ele se afastará do ponto de partida em 10 etapas. A 6ª coluna mostra a probabilidade em %. A tabela mostra que com probabilidade 0,0977% ele se moverá para a direita do ponto de partida por 10 passos ou com probabilidade 4,39% ele se moverá 6 passos por 10 passos.

É simples, a probabilidade de reversão é sempre de 50%, mas se a probabilidade de reversão for diferente de 50%, o gráfico de densidade de probabilidade será diferente.

Portanto, a questão é como calcular a probabilidade de reversão em cada etapa, tendo apenas o gráfico de densidade de probabilidade.

Digamos que temos este gráfico de densidade de probabilidade


Aqui no eixo x você pode ver quantos passos a pessoa foi do ponto de partida, de -10 (para a esquerda) a +10 (para a direita) e assinou com que probabilidade ele o fez em %. Como encontro a probabilidade de que cada passo seja revertido?

 
Use o triângulo de Pascal. Somar todos os valores em cada linha. Isto é 100%. Em seguida, tomar qualquer ponto com seu valor e dividir pelo valor resultante. Essa é a probabilidade.
 
Ihor Herasko:
Use o triângulo de Pascal. Você soma todos os valores em cada linha. Isso é 100%. Depois, pegue qualquer ponto com seu valor e divida por seu valor. Essa é a probabilidade.

Curiosamente, eu descobri o triângulo Pascal por conta própria, eu nem sabia que ele existia ou como era chamado). Mas fazê-lo manualmente não é realista, porque se você der apenas 10 passos, obtém 252 combinações em zero, o que é uma fórmula dos diabos. É claro que posso fazer o computador calcular tudo, mas talvez haja uma maneira mais elegante?

Talvez eu tenha entendido errado, vou tentar como você escreveu.
 
Ihor Herasko:
Use o triângulo de Pascal. Você precisa somar todos os valores em cada linha. Isto é 100%. Em seguida, tomar qualquer ponto com seu valor e dividir pelo valor resultante. Essa é a probabilidade.

Não, eu já tenho a probabilidade em porcentagem, preciso calcular qual deve ser a probabilidade de inversão em cada etapa para obter esta distribuição

 
Maxim Romanov:

Não, eu já tenho a probabilidade em porcentagem, preciso calcular qual deve ser a probabilidade de reversão em cada etapa para obter esta distribuição

O ponto de partida é 17,9% (parte superior da distribuição normal) ou não? E eu provavelmente saltei o triângulo, porque não há movimento dentro do triângulo, ele está ao longo das bordas.

 
Ihor Herasko:

O ponto de partida é 17,9% (parte superior da distribuição normal) ou não? E sobre o triângulo, eu provavelmente saltei a arma, pois não há movimento dentro do triângulo, ao longo das bordas.

Sim, no exemplo, a probabilidade de chegar ao ponto de partida (do qual você saiu) é de 17,9%, ou seja, o topo da distribuição. Acontece que com uma probabilidade de 17,9%, em 10 etapas voltará ao lugar de onde veio.
 
Maxim Romanov:
Sim, no exemplo, a probabilidade de chegar ao ponto de partida (do qual você saiu) é de 17,9%, ou seja, o topo da distribuição. Acontece que com uma probabilidade de 17,9%, em 10 etapas voltará ao lugar de onde veio.

Bem, então eu estava certo sobre o triângulo. Porque você só precisa de cálculos para os rostos, para cada ponto do rosto você tira seu coeficiente. Por exemplo, para os pontos 16,06% e 16,01%, o coeficiente é de 0,5, pois a segunda linha é composta de duas unidades. Então, para 16,01%, a probabilidade é (17,9 + 0,5 * 16,01) / 2 = 12,9525%, e para 16,06%: (17,9 + 0,5 * 16,06) / 2 = 12,965%

Para os pontos 11,89% e 11,9%, aplica-se um fator de 0,25, como são os números da terceira fileira: 1, 2, 1. Então para 11,89%: (12,9525 + 0,25 * 11,89) / 2 = 7,9625%, e para 11,9%: (12,965 + 0,25 * 11,9) / 2 = 7,97%.

Ou seja, para cada novo ponto, a probabilidade do passo anterior é tomada, seu valor de ponto é adicionado, multiplicado pelo coeficiente para a série dada, e dividido por 2. Resolve-se pelo laço habitual nos índices da série triangular, sem necessidade de tentar enfiar tudo em uma única fórmula.

 
Ihor Herasko:

Bem, então eu estava certo sobre o triângulo. Porque você só precisa de cálculos para os rostos, para cada ponto do rosto você tira seu coeficiente. Por exemplo, para os pontos 16,06% e 16,01%, o coeficiente é de 0,5, pois a segunda linha é composta de duas unidades. Então, para 16,01%, a probabilidade é (17,9 + 0,5 * 16,01) / 2 = 12,9525%, e para 16,06%: (17,9 + 0,5 * 16,06) / 2 = 12,965%

Para os pontos 11,89% e 11,9%, aplica-se um fator de 0,25, como são os números da terceira fileira: 1, 2, 1. Então para 11,89%: (12,9525 + 0,25 * 11,89) / 2 = 7,9625%, e para 11,9%: (12,965 + 0,25 * 11,9) / 2 = 7,97%.

Ou seja, para cada novo ponto, a probabilidade do passo anterior é tomada, seu valor de ponto é adicionado, multiplicado pelo coeficiente para a série dada, e dividido por 2. Resolvido pelo laço habitual nos índices das fileiras do triângulo, não há necessidade de tentar enfiar tudo em uma única fórmula.

Aqui está um exemplo na foto. Há 2 casos. No topo, a probabilidade de reversão em cada etapa é de 50%, ou seja, o processo não tem memória, então você obtém a distribuição da densidade de probabilidade conforme desenhada. É muito fácil calcular a probabilidade de reversão apenas para os valores extremos (12,5/100)^(1/3)=0,5. Ou seja, a probabilidade de reversão para o valor extremo é facilmente calculada, mas para 37,5 não sabemos como calcular a probabilidade de reversão.

A figura abaixo é mais complicada, pois o processo já tem memória onde a probabilidade de o próximo passo estar na mesma direção que o anterior é 0,6 e a probabilidade de reversão é 0,4. A densidade de probabilidade da distribuição difere do caso anterior. Daí a questão de como calcular a probabilidade de reversão usando apenas a função de densidade de probabilidade.

Aqui também podemos tomar o valor extremo (18/100)^(1/3)=0,56 que é a probabilidade média de reversão como foi 0,5 no primeiro passo.

Mas como podemos encontrar probabilidade de reversão para valores de 32?

Talvez eu esteja pensando de maneira errada e há uma maneira que é significativamente diferente do que eu mostrei? Ou seja, preciso calcular a partir da forma da distribuição qual a probabilidade média de reversão (ou continuação) resultou nessa forma particular da distribuição.

 
Talvez alguém conhecedor de matemática possa me dar mais alguns conselhos? O problema não é difícil e definitivamente tem uma boa solução. Porque eu mesmo só encontrei uma solução "direta". Como sempre, criar uma mesa com todas as soluções possíveis e fazer com que o computador a resolva. Mas eu gostaria de algo mais elegante. Tenho certeza de que não sou o único em matemática que tinha a tarefa de obter a probabilidade de reversão em cada passo, tendo apenas a densidade de distribuição de probabilidade e existe definitivamente um mecanismo.
 

À primeira vista, o problema usual do campo das cadeias Markov é a evolução da distribuição inicial ao longo do tempo. Algumas complicações se devem ao fato de que a cadeia é de segunda ordem (a probabilidade de preço no momento n depende não só do preço no momento n-1, mas também no momento n-2)

O cálculo tem que ser feito numericamente. Elegantemente (analiticamente) só se poderia calcular a distribuição estacionária, mas aqui, obviamente, ela não está definida.

 
Maxim Romanov:

em uma distribuição normal não há memória e a probabilidade de cada passo seguinte ser dirigido =50%.

Não há memória em nenhuma distribuição. A probabilidade de continuação/reversão não é determinada pelo tipo de distribuição, mas pela correlação dos incrementos (no caso mais geral).

A partir do tipo de distribuição dos incrementos você pode determinar o outro - a probabilidade de atingir um certo nível em um certo tempo (se eu entendi corretamente, não sou matemático).

Tais problemas são encontrados nos cálculos de opções, google it.

Mas você parece querer usar uma distribuição de valores - não posso dizer nada aqui.

Razão: