Matemática pura, física, lógica (braingames.ru): jogos cerebrais não relacionados com o comércio - página 32
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Se a relação combustível-comprimento for inferior a 1,0, então é uma secção deficiente em combustível.
Se a relação entre a quantidade de combustível numa secção e o comprimento da secção for superior a 1,0, então é uma secção excedentária de combustível.
Isto não é uma prova, apenas um raciocínio plausível.
Mesmo partindo de um local com excesso de combustível, pode deparar-se com uma escassez mais tarde - se escolher o ponto de partida errado.
Dê uma prova normal rigorosa - se achar que é possível. (Tenho-o como um algoritmo para escolher o único possível de entre vários pontos de partida possíveis).
(5 pontos)
Dois mega-cérebros estão a jogar um jogo. Cada um reveza-se, tirando 1, 2 ou 3 bolos de uma pilha de bolos e comendo-os. Não podem levar tantos como o seu adversário levou na vez anterior. O vencedor é aquele que come a última tarte ou após cuja jogada o adversário não consegue fazer a sua jogada. Qual deles ganhará se jogar correctamente, se houver 2000 tartes na pilha primeiro?
Vemo-nos logo à noite. Espero que haja problemas suficientes (7 acumularam-se, ver um pouco antes) para o manter entretido.(3 pontos)
Com probabilidade 1/2 uma carta foi colocada numa das oito gavetas da mesa (escolhida ao acaso). Depois foram abertas 7 gavetas uma a uma - todas vazias. Qual é a probabilidade de haver uma carta na última gaveta?
Eh)) Solução estrita para universidades técnicas do 1º ano:
O evento A é "carta na secretária", a priori P(A) = 1/2
evento B - "as primeiras 7 gavetas da tabela estão vazias", probabilidade total P(B) = P(B/A)*P(A) + P(B/~A)*P(~A) = 1/8*1/2 + 1*1/2 = 9/16
(Explicação 1: P(Q/A) é a probabilidade de as primeiras 7 caixas estarem vazias, se a letra estiver exactamente na caixa. Como existem exactamente 8 maneiras de escolher a caixa onde a carta é colocada, esta probabilidade é de 1/8)
(Explicação 2: P(B/~A) é a probabilidade de as primeiras 7 gavetas estarem vazias se não houver nenhuma letra na gaveta. Trata-se obviamente de um acontecimento credível)
Pelo teorema de Bayes P(A/B) = P(B/A)*P(A)/P(B) = 1/8*1/2:9/16 = 1/9 - esta é a resposta.
Há outra forma, mais ilustrativa:
Temos uma série possível:
00000000 - 1/2
10000000 - 1/16
01000000 - 1/16
00100000 - 1/16
00010000 - 1/16
00001000 - 1/16
00000100 - 1/16
00000010 - 1/16
00000001 - 1/16
Estas séries, que permanecem após 7 caixas serem abertas, são mostradas em negrito. Como vemos, o seu rácio de probabilidade a priori é 1:8; uma vez que não há razão para alterar este rácio, a probabilidade do último resultado é 1/(1+8) = 1/9.
5 pontos é um pouco demais para uma tal tarefa))
Estratégia para o segundo jogador: se o primeiro jogador leva 1 tarte, leva 3, se 3, leva 1. Assim, o segundo jogador certifica-se que após a sua vez o número de tartes é divisível por 4. Se o 1º jogador levou 2 tartes, então o 2º jogador deve levar 1 tarte, na jogada seguinte o 1º jogador tem de levar 2 ou 3, então o 2º jogador com a sua jogada (3 ou 2 tartes respectivamente) atinge o múltiplo de 4. Na última jogada (quando só restam 4 tartes) as mesmas regras: 3>1 (comido), 1>3 (comido), 2>1 (jogador 1 não tem movimentos).
Tudo se encaixa. Muito bem feito.
Tudo se soma. Muito bem feito.
O jogo e o princípio da vitória são semelhantes, por isso a solução veio-me à mente quase imediatamente.
É mais complicado do que isso. Um múltiplo de quatro é conseguido em um ou dois ciclos. É bonito.
Em rigor, o último passo começa com quatro ou oito, mas ainda assim o segundo ganha da mesma forma.