Negociação quantitativa - página 35
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Opções de pagamentos e lucros e perdas (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Opções de pagamentos e lucros e perdas (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Olá a todos, hoje vamos nos aprofundar no conceito de cápsulas de opções e explorar as diferenças entre pagamento de opções e P&L de opções. Examinaremos os perfis distintos de retornos de opções e entenderemos as fórmulas associadas a eles.
Vamos começar com os quatro perfis de pagamento de opções fundamentais. Temos dois tipos de opções: opções de compra e opções de venda. Dentro das opções de compra, podemos assumir uma posição longa ou uma posição curta. Da mesma forma, nas opções de venda, podemos operar comprados ou vendidos.
Para compreender o que significa operar comprado ou vendido, vamos primeiro esclarecer o conceito de opções de compra e venda. Nesse contexto, devemos sempre abordar as opções pela perspectiva comprada e simplesmente multiplicar as fórmulas para posições vendidas por -1. Essa convenção é útil porque as opções são derivativos em que um lado tem direito e o outro lado tem uma obrigação. Ao contrário dos contratos futuros ou a termo, em que ambos os lados têm obrigações, a vantagem real das opções está na parte que detém o direito, que é o lado comprado.
Para as fórmulas relacionadas a posições ou obrigações, também consideramos a perspectiva comprada e adotamos a abordagem oposta. Ao fazer isso, evitamos confusão e garantimos uma compreensão clara do assunto.
Agora, vamos explorar as quatro estratégias básicas de opções. Quando temos uma posição de compra comprada, significa que compramos o direito de comprar o ativo subjacente. Da mesma forma, uma posição de venda comprada indica a compra do direito de vender o ativo subjacente. Por outro lado, uma posição de compra curta significa que vendemos o direito a outra pessoa, incorrendo assim na obrigação de vender o ativo subjacente. Da mesma forma, uma posição de venda vendida significa a obrigação de comprar o ativo subjacente.
Lembre-se sempre de pensar pela perspectiva do longa. As posições longas detêm os direitos, enquanto as posições curtas carregam as obrigações. Essa abordagem nos ajuda a entender as quatro exposições básicas de opções.
Seguindo em frente, vamos discutir o prêmio da opção. O prêmio da opção, também conhecido como preço da opção, refere-se ao valor inicial necessário para adquirir o direito de comprar ou vender o ativo subjacente.
Agora, vamos diferenciar entre pagamento de opção e P&L de opção, pois as pessoas costumam confundir os dois termos devido ao uso semelhante em contratos futuros e a termo. Payoff refere-se à receita ou entrada de uma opção, desconsiderando o custo associado. Por outro lado, o P&L contabiliza tanto a receita quanto o custo, pois calcula o lucro ou prejuízo subtraindo o custo da receita.
Agora, vamos nos concentrar nos pagamentos de opções e nas várias fórmulas associadas a eles. Em primeiro lugar, vamos examinar o retorno da chamada longa. Visualmente, você pode identificar o gráfico de payoff observando que a maior parte dele está no eixo x, indicando que não há perda para a posição comprada. No entanto, existe uma pequena perda no início devido ao prêmio da opção pago. A fórmula para o retorno da opção comprada é max(ST - X, 0), onde ST representa o preço do ativo no vencimento e X é o preço de exercício.
Para o retorno da chamada curta, podemos aplicar uma regra simples: o lucro de uma parte é a perda da outra. Portanto, para calcular o retorno da call curta, multiplique a fórmula do payoff da call longa por -1.
Passando para o pagamento de put longo, a fórmula se torna max(X - ST, 0). Uma opção de venda torna-se valiosa quando o preço do ativo subjacente diminui. Da mesma forma, para o retorno da venda vendida, multiplique a fórmula do pagamento da venda comprada por -1.
Lembre-se, focamos apenas no aspecto da receita nos cálculos acima, desconsiderando os custos associados. Para contabilizar os custos, estendemos as fórmulas para calcular a opção P&L. As fórmulas de P&L da opção incluem um ajuste para o prêmio da opção.
Para P&L de chamadas longas e curtas, subtraia o prêmio da opção de compra (CT) das respectivas fórmulas de pagamento.
Por outro lado, para P&L comprado e vendido, adicione o prêmio da opção de venda (PT) às respectivas fórmulas de pagamento. As fórmulas para a opção P&L são as seguintes:
P&L de chamada longa: max(ST - X, 0) - CT P&L de chamada curta: -max(ST - X, 0) + CT
Long Put P&L: max(X - ST, 0) - PT Short Put P&L: -max(X - ST, 0) + PT
Ao incorporar o prêmio da opção, podemos determinar o lucro ou prejuízo de uma posição de opção, levando em consideração tanto a receita quanto o custo associado.
É importante observar que os pagamentos de opções e os cálculos de P&L pressupõem a expiração do contrato de opção. No vencimento, o pagamento e o P&L são realizados com base no preço final do ativo subjacente.
Adicionalmente, as fórmulas fornecidas assumem opções de estilo europeu, onde o exercício só pode ocorrer no vencimento. Para opções de estilo americano, que permitem exercício antecipado, os cálculos podem ser mais complexos e envolver fatores adicionais, como o valor do tempo da opção e potenciais oportunidades de exercício antecipado.
Compreender os retornos das opções e o P&L é crucial para avaliar os possíveis resultados e riscos associados a diferentes estratégias de opções. Esses cálculos ajudam os traders e investidores a avaliar a lucratividade e a eficácia de suas posições de opções.
Avaliação de títulos (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Avaliação de títulos (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Cumprimentos a todos! Vamos começar nossa discussão investigando o conceito de avaliação de títulos. Hoje, vamos nos concentrar na importância de diferenciar entre cupom e rendimento e como eles se inter-relacionam, impactando, em última instância, a dinâmica de precificação.
Para começar, é crucial entender a distinção entre valor e preço. Frequentemente, encontramos textos que mencionam a necessidade de precificar um título. Porém, na realidade, o que estamos fazendo é valorizar o vínculo. Tecnicamente, preço refere-se ao preço de mercado, que depende da opinião consensual dos participantes do mercado. É influenciado por fatores de oferta e demanda e permanece o mesmo para todos os indivíduos em um ponto específico no tempo. Por exemplo, os preços das ações podem ser observados no mercado de ações, enquanto os preços dos títulos podem ser obtidos na bolsa de valores. Portanto, quando empreendemos avaliação, é mais apropriado nos referirmos a ela como o processo de avaliação em vez de precificação.
A avaliação, não apenas de títulos, mas também de qualquer ativo, é um processo um tanto subjetivo, pois exige várias suposições. Essas suposições podem variar entre os indivíduos, levando a diferentes avaliações. Por exemplo, um analista pode considerar uma ação ou título supervalorizado, enquanto outro analista pode ver o mesmo título como subvalorizado. É essencial reconhecer que essas disparidades surgem devido ao uso de diferentes pressupostos em suas análises. De fato, a existência de diferentes opiniões e perspectivas é o que facilita o funcionamento de um mercado.
Consequentemente, o valor refere-se ao valor percebido de um ativo específico e pode diferir de pessoa para pessoa com base em suas suposições individuais. Portanto, quando calculamos o valor de algo, estamos entrando no processo de avaliação. É crucial ter em mente que esse processo envolve a aplicação de suposições subjetivas, em vez de determinar um preço de mercado.
Agora, vamos nos aprofundar no método comumente empregado para avaliar ativos financeiros, incluindo títulos: a abordagem de fluxo de caixa descontado (DCF), que incorpora o conceito de valor do dinheiro no tempo. Para refrescar a memória, vamos considerar uma linha do tempo que vai do zero ao infinito. Os valores futuros (FV) em diferentes momentos, como FV1, FV2 e FV3, precisam ser descontados para o período de tempo zero para calcular o valor presente (PV). Ao somar esses valores presentes, podemos determinar o valor atual do ativo. Este princípio também se aplica à avaliação de obrigações.
Na avaliação de títulos, descontamos os fluxos de caixa futuros, que consistem em pagamentos regulares de cupom (C1, C2 e C3 no caso de um título de três anos) e o pagamento final, que é o valor nominal. Todos os pagamentos de cupom são descontados para o período zero usando o rendimento (Y), que pode ser o rendimento até o vencimento ou qualquer outra medida de rendimento. Finalmente, o valor nominal é adicionado à soma desses valores presentes para determinar o valor atual do título.
Uma armadilha comum na análise de títulos é a confusão entre cupom (C) e rendimento (Y). Para entender a diferença intuitivamente, vamos considerar um exemplo onde o cupom é de 12% e o yield é de 8%. Nesse cenário, o emissor está oferecendo uma taxa de retorno maior (12%) do que o investidor exige (8%) para o nível de risco envolvido. Como resultado, o título será negociado a um prêmio, o que significa que seu preço excederá o valor nominal. Por outro lado, se o cupom for menor que o rendimento, como 6% em nosso exemplo, o emissor não está oferecendo compensação suficiente pelo risco e os investidores exigirão um desconto no preço do título. Consequentemente, o título será negociado com desconto. Quando o cupom for igual ao rendimento, o título será negociado ao par, pois a taxa de retorno do emissor corresponde à taxa de retorno exigida pelo investidor.
A taxa de cupom é a taxa de juros fixa que o emissor do título concorda em pagar aos detentores de títulos periodicamente (geralmente anualmente ou semestralmente) com base no valor de face ou valor nominal do título. Essa taxa de cupom é predeterminada no momento da emissão e permanece constante durante toda a vida do título.Por outro lado, o rendimento representa a taxa efetiva de retorno que um investidor obterá ao manter o título até o vencimento. O rendimento leva em consideração o preço de mercado atual do título, os pagamentos de cupom recebidos e o tempo restante até o vencimento. Ele reflete as expectativas e fatores do mercado em várias variáveis, incluindo taxas de juros vigentes, risco de crédito e outras condições de mercado.
A relação entre a taxa de cupom e o rendimento é inversamente relacionada. Quando a taxa de cupom do título é maior do que o rendimento vigente, diz-se que o título tem um cupom maior do que o rendimento. Nesse caso, o título é considerado mais atraente para os investidores porque eles recebem um pagamento de juros mais alto em relação ao preço de mercado do título. Como resultado, o preço do título tende a ser negociado a um prêmio, o que significa que o preço é superior ao seu valor nominal.
Por outro lado, quando a taxa de cupom do título é menor do que o rendimento vigente, diz-se que o título tem um cupom menor do que o rendimento. Nessa situação, os investidores não estão recebendo tantos juros em relação ao preço de mercado do título, tornando-o menos atraente. Consequentemente, o preço do título tende a ser negociado com desconto, ou seja, seu preço é inferior ao seu valor nominal.
Quando a taxa de cupom do título é igual ao rendimento vigente, diz-se que o título está sendo negociado ao par. Isso significa que o preço do título é igual ao seu valor nominal. Nesse caso, a taxa de cupom se alinha com a taxa de retorno exigida pelo mercado e o título é considerado justo.
É importante observar que a relação entre cupom e rendimento é um fator crucial na determinação do preço de um título no mercado secundário. Quando as taxas de juros do mercado mudam, isso afeta o rendimento vigente, o que, por sua vez, afeta o preço do título. Se o rendimento prevalecente aumentar acima da taxa de cupom do título, o preço do título diminuirá e vice-versa.
A taxa de cupom representa o pagamento de juros fixos de um título, enquanto o rendimento representa a taxa efetiva de retorno que um investidor obterá. A relação entre a taxa de cupom e o rendimento influencia a dinâmica de precificação de um título, com taxas de cupom mais altas em relação ao rendimento levando a prêmios e taxas de cupom mais baixas em relação ao rendimento resultando em descontos.
Desmistificando os contratos de taxa futura (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Desmistificando os contratos de taxa futura (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Olá, hoje vamos nos aprofundar no conceito de contratos de taxa a termo, também conhecidos como FRAs ou contratos sapo. Esses acordos são uma variação dos contratos a termo tradicionais. Embora as pessoas geralmente estejam familiarizadas com os contratos a termo tradicionais envolvendo ativos físicos ou financeiros, como commodities, ações ou títulos, os FRAs apresentam um elemento único: o ativo subjacente é uma taxa de juros. No entanto, a compreensão dos FRAs pode ser um pouco confusa devido à sua notação e fórmula distintas, que diferem daquelas usadas nos contratos a termo tradicionais.
Para simplificar a compreensão e a memorização dos FRAs, vamos nos concentrar na linha do tempo em vez de depender apenas de fórmulas. Ao compreender o conceito de linha do tempo, você pode resolver problemas relacionados ao FRA sem a necessidade de memorizar fórmulas complexas. Então, vamos explorar essa abordagem.
Antes de prosseguirmos, vamos recapitular rapidamente o que é um contrato de taxa futura. Semelhante aos contratos a termo tradicionais, os FRAs são derivativos de balcão (OTC), o que significa que são contratos negociados de forma privada, em vez de instrumentos negociados em bolsa. Consequentemente, os FRAs envolvem risco de crédito.
O objetivo principal de um FRA é bloquear o valor futuro de uma transação. Ao contrário dos contratos a termo tradicionais envolvendo ativos físicos ou financeiros, os FRAs envolvem o estabelecimento de uma taxa de juros fixa para um empréstimo a ser executado no futuro. O mutuário e o credor celebram um acordo para estabelecer antecipadamente a taxa de juros do empréstimo. O mutuário antecipa necessidades futuras de empréstimo e deseja garantir uma taxa de juros favorável, temendo que as taxas possam aumentar. Por outro lado, o credor quer emprestar dinheiro no futuro e está preocupado com possíveis reduções nas taxas de juros.
Em um FRA, a taxa de juros fixa é trocada por uma taxa flutuante. O mutuário, ou a parte comprada, paga a taxa fixa e recebe a taxa flutuante. Por outro lado, o credor, ou a parte vendida, paga a taxa flutuante e recebe a taxa fixa. É importante observar que o foco está principalmente na taxa fixa, enquanto a taxa flutuante é usada para calcular o retorno ou lucro e perda da posição.
Na terminologia dos FRAs, há uma distinção dos contratos a termo regulares. Nos contratos a termo tradicionais, temos uma parte longa (comprador) e uma parte curta (vendedor) com base no ativo subjacente que está sendo comprado ou vendido. No entanto, em FRAs, não há nenhum ativo físico ou financeiro sendo comprado ou vendido, tornando confusa a interpretação de compra e venda. Para superar essa confusão, precisamos associar comprado a comprar dinheiro e vendido a vender dinheiro.
Considerando essa associação, o tomador toma o empréstimo, representando a posição comprada, e paga a taxa fixa enquanto recebe a taxa flutuante. Por outro lado, o credor concede o empréstimo, representando a posição vendida, e recebe a taxa fixa enquanto paga a taxa flutuante. É fundamental entender que as posições são sempre opostas – quando uma parte paga à vista, a outra recebe à vista e vice-versa.
Agora, vamos abordar a convenção de nomenclatura dos FRAs, que é exclusiva dessa derivada. FRAs são indicados como "X por Y", onde X e Y são meses. Por exemplo, um FRA "1 por 4" significa um acordo para um empréstimo de um mês começando hoje e terminando em quatro meses. No entanto, é necessário converter esses meses em dias para cálculos. Para conseguir isso, anote X e Y lado a lado, adicione um 0 na frente e coloque-os dentro de uma linha do tempo. Essa linha do tempo representa visualmente a duração do FRA.
Por exemplo, para um FRA "1 por 4", a linha do tempo apareceria como "0-1-4". Nesta representação, 0 denota a data de início do FRA, 1 representa a data de término do FRA e 4 significa o período teórico do empréstimo. No entanto, é importante observar que o empréstimo
Agora, em um contrato de taxa a termo (FRA), temos duas datas-chave a considerar: a data de liquidação e a data de vencimento. A data de liquidação é a data de início do FRA e a data de vencimento é a data de início do empréstimo teórico.
No exemplo de um FRA 2 por 3, a data de liquidação é no período 0, o que significa que ele é iniciado imediatamente. A data de vencimento é no período 2, indicando que o empréstimo teórico começará daqui a dois meses.
Agora, vamos nos concentrar nos termos "long" e "short" no contexto de FRAs. Nos contratos a termo tradicionais, a posição longa representa o comprador ou detentor do ativo subjacente, enquanto a posição curta representa o vendedor. No entanto, no caso dos FRAs, como não há nenhum ativo físico ou financeiro sendo comprado ou vendido, a interpretação é um pouco diferente.
Em um FRA, a posição longa refere-se à parte que deseja emprestar dinheiro e a posição curta refere-se à parte que deseja emprestar dinheiro. A posição longa é o mutuário, enquanto a posição curta é o credor. É importante entender essa distinção para determinar quem paga e recebe taxas fixas e flutuantes.
No exemplo de um FRA 2 por 3, o mutuário é a posição longa e o credor é a posição curta. O mutuário concorda em pagar uma taxa fixa, enquanto o credor concorda em receber a taxa fixa. Por outro lado, o mutuário receberá a taxa flutuante, enquanto o credor pagará a taxa flutuante.
A taxa fixa é predeterminada e acordada no início do FRA, enquanto a taxa flutuante é baseada em uma taxa de referência, como a LIBOR, e será determinada no vencimento do FRA.
Para resumir, em um FRA 2 por 3, a data de liquidação é no período 0, a data de vencimento é no período 2 e o mutuário (longo) paga a taxa fixa e recebe a taxa flutuante, enquanto o credor (curto) recebe a taxa fixa e paga a taxa flutuante.
Compreender a linha do tempo e as funções das posições longas e curtas ajudará você a navegar pelas complexidades dos FRAs sem depender apenas da memorização de fórmulas. Ao visualizar a linha do tempo e interpretar a convenção de nomenclatura corretamente, você pode compreender os principais aspectos e conceitos dos contratos de taxas a prazo.
Beta e CAPM (Cálculos para exames CFA® e FRM®)
Beta e CAPM (Cálculos para exames CFA® e FRM®)
Olá, hoje vamos discutir o conceito de beta e o Capital Asset Pricing Model (CAPM). Beta, também conhecido como coeficiente beta ou coeficiente beta, é uma medida de risco sistemático. O risco sistemático é a parcela do risco total que não pode ser eliminada por meio da diversificação. Ou seja, é o risco inerente a todo o mercado e que não pode ser evitado adicionando mais títulos a uma carteira.
É importante observar que beta não é o mesmo que correlação, embora dependa da correlação. Beta representa a relação entre os retornos de um ativo e os retornos do mercado como um todo. Agora vamos dar uma olhada mais de perto em como o beta é calculado.
A fórmula para beta é a seguinte: Beta = Covariância(ativo, mercado) / Variância(mercado). Nesta fórmula, "ativo" refere-se à ação ou ativo para o qual estamos calculando o beta, e "mercado" representa um índice de mercado popular, como o S&P 500, que costuma ser usado como proxy para o mercado.
Para simplificar a fórmula, podemos substituir o termo de covariância por correlação. A covariância é igual à correlação multiplicada pelos desvios padrão do ativo e do mercado. Substituindo a covariância pela correlação, a fórmula do beta fica: Beta = Correlação(ativo, mercado) * (Desvio padrão(ativo) / Desvio padrão(mercado)).
Agora vamos discutir como interpretar beta. Beta deve ser entendido como um multiplicador e não como uma correlação. Se o beta de um ativo for 2, isso significa que se o índice de ações subjacente aumentar em 10%, o valor do ativo aumentará em duas vezes esse valor, ou 20%. Da mesma forma, se o beta for 1,5, o valor do ativo aumentará 50% a mais do que o índice subjacente. Um beta negativo, como -2, indica que o valor do ativo se moverá na direção oposta do mercado, mas com o dobro da magnitude.
Um beta de zero implica que não há relação entre o ativo e o mercado. O valor do ativo não será afetado por mudanças no mercado. Um beta de um sugere que o ativo se move em sincronia com o mercado. Isso é frequentemente observado em ETFs que acompanham índices de mercado específicos, como o S&P 500.
Agora vamos considerar o Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM), que fornece uma relação simples entre o retorno esperado de um ativo e seu beta. No entanto, o CAPM é baseado em certas suposições que podem não ser verdadeiras na realidade. Essas suposições incluem a ausência de custos de transação e impostos, ativos infinitamente divisíveis, vendas a descoberto ilimitadas, ativos negociáveis e investidores sendo tomadores de preços.
Além disso, o CAPM assume que as funções de utilidade dos investidores são baseadas exclusivamente no retorno esperado e no risco, e considera um único período para análise de retornos e riscos. Embora essas suposições não sejam realistas, o CAPM serve como ponto de partida para modelos multifatoriais mais avançados que se baseiam em seus fundamentos.
A fórmula CAPM é um componente-chave dos exames de finanças e é muitas vezes referida como uma das "fórmulas das 4 da manhã" devido ao seu significado. A fórmula do retorno esperado pelo CAPM é: Retorno Esperado = Taxa Livre de Risco + Beta* (Retorno de Mercado - Taxa Livre de Risco). Esta fórmula calcula o retorno esperado de um ativo adicionando a taxa livre de risco ao produto do beta e o prêmio de risco de mercado (a diferença entre o retorno de mercado e a taxa livre de risco).
Em resumo, o beta mede o risco sistemático e o CAPM fornece uma estrutura para determinar o retorno esperado de um ativo com base em seu beta. Embora o CAPM dependa de certas suposições, ele serve como base para modelos mais complexos. Compreender o beta e o CAPM é essencial para analisar as características de risco e retorno dos ativos na área de finanças.
Retorno e variação do portfólio (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Retorno e variação do portfólio (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Vamos nos aprofundar no tema de retorno e variância do portfólio, com foco particular no conceito de cápsulas de portfólio. Compreender o retorno do portfólio é relativamente simples, enquanto a variação do portfólio pode ser mais desafiadora devido à sua fórmula complexa. Para simplificar o cálculo e ajudar na memorização, exploraremos um truque útil. Ao compreender o funcionamento do retorno e da variância da carteira, podemos entender a fórmula com mais facilidade.
Primeiro, vamos começar com o conceito de retorno esperado do portfólio, que é essencialmente uma média ponderada. Isso significa que quando temos vários ativos ou ações combinados em uma carteira, calculamos o retorno esperado multiplicando o peso de cada ação pelo seu respectivo retorno. O peso de uma ação representa a proporção do valor dessa ação em todo o portfólio. Por exemplo, se sua carteira vale $ 100.000 e você detém $ 40.000 em ações A, o peso da ação A seria de 40%. A fórmula para o retorno esperado da carteira é:
Retorno Esperado da Carteira (ERp) = Σ (wi * ri)
Aqui, wi representa o peso de cada ação e ri representa o retorno de cada ação. Somando os produtos dos pesos e retornos de cada ação, obtemos o retorno esperado da carteira.
Agora, vamos passar para o aspecto mais intrincado da variância e desvio padrão do portfólio. O desvio padrão da carteira não pode ser calculado simplesmente adicionando os desvios padrão individuais dos títulos subjacentes ou tomando uma média ponderada de seus desvios padrão. O cálculo envolve considerar a correlação entre os ativos, o que adiciona complexidade à fórmula. Quanto mais ativos em um portfólio, mais correlações de pares existem, tornando a fórmula cada vez mais complexa. No entanto, em exames como o CFO ou FRM, as questões normalmente se concentram em dois ou três casos de ativos, pois se torna excessivamente complicado ir além disso.
O desvio padrão da carteira consiste em dois componentes principais: a variância dos ativos subjacentes e a covariância de cada par de ativos subjacentes. Se considerarmos uma carteira com dois ativos (Ativo A e Ativo B), precisamos calcular a covariância par a par ou correlação entre esses ativos. Para três ativos, exigiríamos a covariância par a par ou correlação para todos os três ativos. A fórmula para a variância da carteira é a seguinte:
Variação do portfólio = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * σx * wy * σy * ρxy)
Aqui, wx e wy representam os pesos do Ativo A e do Ativo B, respectivamente. σx e σy representam os desvios padrão do Ativo A e do Ativo B, respectivamente. Por fim, ρxy representa a correlação entre o Ativo A e o Ativo B. O desvio padrão da carteira é obtido pela raiz quadrada da variância da carteira.
Para ajudar a lembrar esta fórmula, podemos traçar um paralelo com uma fórmula algébrica familiar: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Se igualarmos os termos dessa fórmula algébrica aos termos da fórmula de variância do portfólio, poderemos ver algumas semelhanças. Por exemplo, wx e σx podem ser igualados a a, e wy e σy podem ser igualados a b. O termo de correlação, ρxy, é um termo adicional que não deve ser negligenciado, pois é crucial para determinar o nível de diversificação da carteira.
É essencial observar que a correlação varia de -1 a +1. Uma correlação positiva mais alta implica em maior variância do portfólio, conforme indicado pelo termo positivo na fórmula. Por outro lado, uma correlação mais negativa significa maiores benefícios da diversificação, pois reduz a variância do portfólio. Além disso, o termo envolvendo a covariância pairwise (σxy) combina os últimos três termos da fórmula. Se você receber a covariância diretamente em vez desses três.
Se você receber a covariância diretamente em vez da correlação, poderá usar a covariância na fórmula. A fórmula então ficaria assim:
Variação do portfólio = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * wy * σxy)
Aqui, σxy representa a covariância entre o Ativo A e o Ativo B.
Para simplificar ainda mais o cálculo, você pode criar uma "cápsula de portfólio" que contém todas as informações necessárias para o cálculo da variação do portfólio. Essa cápsula inclui os pesos, desvios padrão e correlações (ou covariâncias) dos ativos no portfólio. Ao organizar essas informações de maneira estruturada, você pode inserir facilmente os valores na fórmula e calcular a variação do portfólio.
Aqui está um exemplo de como você pode criar uma cápsula de portfólio para um portfólio de dois ativos:
Ativo A:
Ativo B:
Usando esta cápsula, você pode substituir os valores na fórmula de variância do portfólio e calcular o resultado. Lembre-se de tirar a raiz quadrada da variância do portfólio para obter o desvio padrão do portfólio.
Ao usar essa abordagem, você pode agilizar o processo de cálculo e organizar as informações necessárias de forma eficaz. É importante observar que essa abordagem simplificada é aplicável para carteiras com dois ou três ativos. Para carteiras com maior número de ativos, a fórmula torna-se mais complexa, podendo ser necessário o uso de álgebra matricial ou software especializado para fins de cálculo.
Cronogramas – Seus melhores amigos (cálculos para os exames CFA® e FRM®)
Cronogramas – Seus melhores amigos (cálculos para os exames CFA® e FRM®)
Olá! Vamos nos aprofundar no conceito de cronograma e suas aplicações em diversas áreas de finanças. A linha do tempo é um conceito fundamental que está presente em muitas disciplinas de finanças, incluindo os currículos de CFA e FRM. É essencial porque a maioria das avaliações em finanças depende da linha do tempo e do conceito de fluxos de caixa descontados. Compreender a linha do tempo corretamente permite aplicá-la em diferentes assuntos e cálculos financeiros.
Uma vantagem de usar a linha do tempo é que, embora a terminologia possa variar entre os assuntos, o conceito matemático subjacente permanece o mesmo. Esteja você lidando com valor presente e valor futuro no valor do dinheiro no tempo ou preço a termo e preço à vista em derivativos, o conceito de composição e desconto permanece consistente. Essa consistência no conceito matemático permite que você aplique a linha do tempo universalmente.
A linha do tempo costuma ser chamada de melhor amiga em finanças devido à sua versatilidade e uso generalizado. Ele serve como uma ilustração dos valores e prazos dos fluxos de caixa em qualquer projeto de investimento. Ao construir a linha do tempo, é crucial dividir os intervalos de tempo de maneira equidistante. Por exemplo, se você estiver usando anos, os intervalos devem ser um ano, dois anos, três anos e assim por diante. Se estiver usando períodos semestrais, os intervalos devem ser de seis meses, doze meses, dezoito meses e assim por diante. Os períodos de tempo equidistantes permitem cálculos e análises consistentes.
Existem inúmeras aplicações da linha do tempo em finanças, e algumas das principais incluem métodos quantitativos, orçamento de capital, avaliação de ações, avaliação de renda fixa e precificação e avaliação de derivativos. Esses aplicativos abrangem uma variedade de conceitos e cálculos financeiros, e a linha do tempo desempenha um papel vital em cada um deles.
Em métodos quantitativos, a linha do tempo é usada para cálculos do valor do dinheiro no tempo. Isso envolve determinar valores futuros, valores presentes, anuidades, perpetuidades e resolver problemas relacionados ao planejamento de aposentadoria ou pagamentos de hipotecas. A linha do tempo permite que você componha e desconte os fluxos de caixa com precisão e resolva vários problemas financeiros.
No orçamento de capital, o cronograma é utilizado para avaliar projetos de investimento usando conceitos como valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR). O VPL ajuda a determinar o valor de um projeto comparando o valor presente das entradas de caixa com a saída inicial de caixa. Se o VPL for positivo, o projeto é considerado viável. A TIR é a taxa de desconto que torna o VPL igual a zero e ajuda na seleção e sequenciamento de projetos.
A avaliação de patrimônio envolve o uso da linha do tempo para descontar os fluxos de caixa esperados, como dividendos, usando diferentes modelos, como o modelo de desconto de dividendos, modelo de fluxo de caixa livre (FCFE ou FCFF) ou modelo de renda residual. Ao colocar esses fluxos de caixa na linha do tempo e descontá-los de volta ao presente, o valor fundamental ou valor intrínseco do estoque pode ser estimado. Essa abordagem de avaliação ajuda a determinar se uma ação está supervalorizada ou subvalorizada no mercado.
A avaliação de títulos, aplicável a vários tipos de títulos, também depende da linha do tempo. Independentemente do tipo de título específico, o processo de avaliação envolve o desconto dos fluxos de caixa futuros do título, normalmente na forma de cupons e pagamentos de principal, de volta ao presente usando uma taxa de desconto apropriada. O cronograma ajuda a determinar o valor justo do título e a avaliar sua atratividade no mercado.
Estes são apenas alguns exemplos das aplicações da linha do tempo em finanças. É importante observar que o cronograma é difundido em tarefas relacionadas à avaliação em diferentes domínios financeiros. Compreendendo e utilizando efetivamente a linha do tempo, os profissionais financeiros podem tomar decisões informadas e realizar cálculos precisos.
Evolução da teoria do portfólio - da fronteira eficiente para CAL para SML (para exames CFA® e FRM®)
Evolução da teoria do portfólio - da fronteira eficiente para CAL para SML (para exames CFA® e FRM®)
Hoje, exploraremos o conceito de cápsulas e nos aprofundaremos na evolução da teoria do portfólio. Nosso foco será entender as diferentes fases, como a fronteira de variância mínima, fronteira eficiente, linha de alocação de capital, linha de mercado de capitais e linha de mercado de títulos. Em vez de focar apenas em fórmulas, enfatizaremos as distinções entre essas fases e como elas progridem, levando à formulação do Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM) e da linha de mercado de títulos.
Vamos começar com a fronteira de variância mínima. Imagine que você tenha informações sobre 20 ativos diferentes, incluindo seus perfis de risco e retorno. Você pode criar vários portfólios usando esses dados, manualmente ou em uma planilha do Excel. Ao combinar esses portfólios, você pode formar a fronteira de variância mínima. Essa fronteira representa o intervalo de carteiras com o mínimo de variância, indicando o ponto de menor risco. Este ponto é conhecido como carteira de variância mínima global.
Passando para a fronteira eficiente, plotamos todas as carteiras em um gráfico com o retorno esperado da carteira no eixo y e o risco (medido pelo desvio padrão da carteira) no eixo x. A fronteira eficiente consiste em carteiras que fornecem o máximo retorno para um determinado nível de risco ou minimizam o risco para um determinado nível de retorno. Qualquer carteira abaixo da fronteira eficiente é considerada ineficiente, pois sempre é possível selecionar uma carteira acima da fronteira com maior retorno para o mesmo nível de risco. A fronteira eficiente é a parte superior da fronteira de variância mínima.
Em seguida, apresentamos a Linha de Alocação de Capital (CAL), que combina um ativo sem risco com ativos com risco. O ativo sem risco oferece um retorno garantido sem nenhum risco, representado por sua posição no eixo y. O CAL representa o retorno esperado e o desvio padrão de carteiras compostas tanto por ativos sem risco quanto por ativos com risco. Para determinar o portfólio ótimo no CAL, usamos curvas de indiferença. Essas curvas refletem as preferências de um investidor em termos de risco e retorno. A carteira ótima encontra-se no ponto onde a curva de indiferença é tangente ao CAL.
Indo além, transformamos o CAL na Linha de Mercado de Capitais (CML), assumindo que todos os investidores têm as mesmas preferências. O CML é uma linha que conecta a taxa de retorno livre de risco à carteira de mercado. No entanto, encontrar um proxy verdadeiro para a carteira de mercado é um desafio, uma vez que os investidores possuem diversos investimentos além de ações ou títulos. Portanto, índices de ações populares como o S&P 500 são frequentemente usados como proxy, mesmo que não sejam uma representação perfeita.
No contexto do risco, diferenciamos entre risco sistemático e risco não sistemático. O risco sistemático é a parcela do risco total que não pode ser eliminada, como fatores macroeconômicos como inflação, taxas de juros e taxas de câmbio. O risco não sistemático é específico de empresas individuais e pode ser mitigado por meio da diversificação. A teoria sugere que os investidores só devem ser compensados pelo risco sistemático, uma vez que o risco não sistemático pode ser evitado por meio da diversificação.
Para ilustrar isso, à medida que o número de títulos em uma carteira aumenta, o risco sistemático permanece constante, enquanto o risco não sistemático diminui devido aos benefícios da diversificação. O mercado só deve recompensar os investidores por assumirem o risco sistemático.
Concluindo, entender a evolução da teoria do portfólio envolve compreender as várias fases, incluindo a fronteira de variância mínima, fronteira eficiente, linha de alocação de capital, linha de mercado de capitais e linha de mercado de títulos. Esses conceitos ajudam os investidores a determinar os portfólios ideais com base nas preferências de risco e retorno, ao mesmo tempo em que contabilizam os riscos sistemáticos e não sistemáticos.
Teste de hipótese (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Teste de hipótese (cálculos para exames CFA® e FRM®)
Hoje, vamos nos aprofundar no tópico de teste de hipóteses, focando especificamente no conceito de cápsulas conceituais. O teste de hipóteses é uma parte fundamental do currículo CFA Nível 1 Quants, bem como o currículo CFA Nível 2 Quants e o currículo FRM. Muitos alunos consideram o teste de hipóteses desafiador, especialmente no nível 1 do CFA, portanto, exploraremos maneiras de torná-lo mais gerenciável.
Primeiro, vamos entender a essência do teste de hipótese. Uma hipótese é essencialmente uma opinião ou afirmação que ainda não foi substanciada. É uma declaração que requer testes para determinar sua validade. Por exemplo, considere a afirmação de que a média de vida dos homens é menor que a das mulheres. Esta é uma afirmação que carece de provas e precisa ser comprovada. O teste de hipóteses entra em jogo para investigar e avaliar tais afirmações.
Uma hipótese é uma declaração assuntiva sobre um problema, ideia ou característica de uma população. Para testar uma hipótese, os dados precisam ser coletados e examinados. Uma vez que estudar uma população inteira é muitas vezes impraticável, demorado e caro, uma amostra representativa é normalmente retirada para exame. Com base nos resultados da amostra, conclusões podem ser tiradas sobre toda a população. Este é o cerne do teste de hipótese.
Agora, vamos explorar as etapas cruciais envolvidas no teste de hipóteses. Embora alguns alunos possam achar o teste de hipóteses assustador devido à multiplicidade de fórmulas e à complexidade das hipóteses nula e alternativa, é essencial seguir estas seis etapas em sequência. Independentemente da hipótese específica que está sendo testada ou da distribuição que está sendo usada, essas etapas permanecem consistentes. Portanto, independentemente do teste ou pergunta, basta implementar essas etapas na mesma ordem para chegar a uma conclusão.
No entanto, é importante observar que apenas memorizar fórmulas não é suficiente. Embora seja necessário lembrar as fórmulas e as distribuições aplicáveis a cada teste, entender e implementar essas etapas é crucial para tirar conclusões significativas. Muitos alunos focam apenas na memorização, esquecendo-se da importância de seguir esses seis passos, o que muitas vezes atrapalha a sua capacidade de chegar a um resultado conclusivo. Portanto, é crucial compreender o processo completamente e praticar a resolução de questões de teste de hipóteses na sequência prescrita.
Agora, vamos nos aprofundar em cada etapa em detalhes. A primeira etapa envolve a declaração das hipóteses nula e alternativa. Esta etapa é crítica, pois uma formulação incorreta das hipóteses pode levar a uma conclusão errônea. Embora não cubramos essa etapa extensivamente aqui, é importante lembrar que a hipótese nula geralmente inclui um sinal de igualdade (por exemplo, igual a, maior ou igual a, ou menor ou igual a), enquanto a hipótese alternativa se concentra em a parte complementar da distribuição. Em caso de dúvida, consulte recursos adicionais ou assista a vídeos separados sobre hipóteses nulas e alternativas.
A segunda etapa envolve a identificação da estatística de teste apropriada e sua distribuição de probabilidade. Esta etapa varia dependendo do teste específico que está sendo realizado. Por exemplo, se estiver testando uma média, a distribuição t ou a distribuição z é usada. Se estiver testando a variância, a distribuição qui-quadrado é empregada. Cada teste requer uma estatística e distribuição de teste específicas, por isso é crucial saber quais fórmulas aplicar.
Em seguida, especifique o nível de significância, que normalmente é fornecido na própria pergunta. O nível de significância mais comum é de 5%, mas pode ser de 1% ou 10%, dependendo do contexto. O nível de significância determina o valor crítico usado para a regra de decisão na etapa subsequente.
A quarta etapa envolve enunciar a regra de decisão, orientando se rejeitar ou não rejeitar a hipótese nula. Nesta etapa, as condições sob as quais a hipótese nula é rejeitada ou não rejeitada são claramente definidas. A regra de decisão deve estar alinhada com a hipótese alternativa e o teste que está sendo conduzido.
Agora passamos para a etapa final, onde tomamos uma decisão com base nos resultados da amostra. Nesta etapa, comparamos nossa estatística de teste (7,96) com o valor crítico de 1,83.
Como nossa estatística de teste (7,96) é maior que o valor crítico (1,83), rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que temos evidências suficientes para concluir que a taxa média de precipitação aumentou de seu valor anterior de 23 centímetros.
É importante observar que nossa decisão é baseada no nível de significância específico escolhido (5%). Se o nível de significância fosse diferente, o valor crítico também mudaria e nossa decisão poderia ser diferente.
Para resumir, seguimos as seis etapas do teste de hipóteses para avaliar se a taxa média de precipitação aumentou de 23 centímetros. Formulamos as hipóteses nula e alternativa, identificamos a estatística de teste apropriada (teste t), especificamos o nível de significância (5%), declaramos a regra de decisão, calculamos a estatística de teste (7,96) e tomamos uma decisão com base nos resultados da amostra , rejeitando a hipótese nula.
Lembre-se de que este é apenas um exemplo de teste de hipótese, especificamente para testar uma única média. As etapas podem variar dependendo do tipo de hipótese que está sendo testada (por exemplo, testar variações, proporções, etc.), mas o processo geral permanece o mesmo.
Ao entender e praticar essas etapas, você pode abordar com confiança qualquer problema de teste de hipóteses e tirar conclusões significativas com base nos dados disponíveis.
Hipóteses Nula e Alternativa (Cálculos para Exames CFA® e FRM®)
Hipóteses Nula e Alternativa (Cálculos para Exames CFA® e FRM®)
Hoje, discutiremos o conceito de cápsulas conceituais, focando especificamente no tópico de hipóteses nulas e alternativas. Este é um aspecto importante do teste de hipóteses, que você encontrará em seu CFA Nível 1 e Nível 2, bem como em seu currículo FRM. Formular as hipóteses nula e alternativa é o primeiro passo no processo de teste de hipóteses e é crucial acertar, pois estabelece as bases para todo o teste.
Vamos nos aprofundar no que você precisa fazer nesta etapa inicial. A primeira coisa a considerar são as categorias de hipóteses. Temos dois tipos de hipóteses para lidar: a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa (Ha). A hipótese nula representa a hipótese que está sendo testada, com base no conhecimento atual sobre o parâmetro da população. Por outro lado, a hipótese alternativa apresenta uma visão ou crença alternativa sobre o parâmetro populacional. Em alguns textos, a hipótese alternativa pode ser denotada como H1b, mas é comumente representada como Ha ou simplesmente H1.
Para formular essas hipóteses, é essencial seguir três princípios básicos. Esses princípios se aplicam a qualquer teste de hipótese que você conduzir, seja um teste t, teste z ou até mesmo o teste Durbin-Watson em seu currículo de nível 2. Ao entender e aplicar esses princípios, você pode criar as hipóteses nula e alternativa com precisão e consistência.
O primeiro princípio é que as hipóteses nula e alternativa devem ser mutuamente exclusivas. Isso significa que não deve haver sobreposição ou resultados comuns entre as duas hipóteses. Se um resultado estiver presente na hipótese nula, ele não pode estar presente na hipótese alternativa e vice-versa.
O segundo princípio é que as hipóteses devem ser coletivamente exaustivas. Isso implica que não há outros resultados possíveis além daqueles representados nas hipóteses nula e alternativa. Por exemplo, se você está testando se a média é igual a 5, a hipótese alternativa afirmaria que a média não é igual a 5. Nesse caso, a média só pode ser igual a 5 ou não igual a 5, não deixando outras possibilidades.
O terceiro e crucial princípio é que a hipótese nula deve incluir um sinal de igual. Essa regra é de extrema importância no teste de hipóteses, pois ajuda a evitar erros na hora de criar as hipóteses nula e alternativa. O sinal de igual pode abranger não apenas igualdade estrita, mas também desigualdades como maior ou igual e menor ou igual.
Agora, vamos explorar os dois tipos de testes que você pode encontrar: testes bicaudais e testes unilaterais. Em um teste bicaudal, ambos os lados da distribuição são considerados. Por exemplo, se você está testando se a média é igual a 10 ou não igual a 10, você está examinando as possibilidades de a média ser maior que 10 e menor que 10. Nesse caso, o teste é chamado de teste de dois teste de cauda.
Em um teste bicaudal, o nível de significância, geralmente definido em 5%, é dividido igualmente entre os dois lados da distribuição. Isso significa que cada lado recebe 2,5% do nível de significância, deixando 95% no meio, pois a área total sob a curva deve somar 100%.
Por outro lado, um teste unilateral concentra-se em um lado específico da distribuição, seja o lado esquerdo ou o lado direito. Este teste é usado quando você deseja testar a possibilidade de uma mudança em apenas uma direção, desconsiderando a outra direção. Por exemplo, se você está testando se a média é menor que 10, está interessado no lado esquerdo da distribuição. Por outro lado, se você estiver testando se a média é maior que 10, estará focando no lado direito da distribuição.
Depois de formular as hipóteses nula e alternativa, você pode prosseguir com as próximas etapas do teste de hipótese. Essas etapas geralmente envolvem a coleta de dados, a realização de análises estatísticas e a obtenção de conclusões com base nos resultados.
Para resumir, aqui estão os principais pontos discutidos até agora:
O teste de hipóteses é uma parte importante da análise estatística e é usado para fazer inferências sobre os parâmetros populacionais com base nos dados da amostra.
Os dois tipos de hipóteses envolvidos no teste de hipóteses são a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa (Ha ou H1).
A hipótese nula representa o conhecimento ou suposição atual sobre o parâmetro populacional que está sendo testado, enquanto a hipótese alternativa representa uma crença diferente ou oposta.
Os três princípios básicos para a formulação de hipóteses são:
a. Mutuamente exclusivos: as hipóteses nula e alternativa devem ser separadas e não podem ter resultados comuns. Eles representam diferentes possibilidades.
b. Coletivamente exaustiva: as hipóteses nula e alternativa devem cobrir todos os resultados possíveis. Não deve haver outras opções além das indicadas nas hipóteses.
c. Sinal de igual na hipótese nula: A hipótese nula deve sempre incluir um sinal de igual (por exemplo, igual, menor ou igual, ou maior ou igual). Isso garante que a hipótese nula represente um valor ou condição específica.
Os testes de hipóteses podem ser categorizados como testes bicaudais ou testes unilaterais:
a. Os testes bicaudais consideram ambos os lados da distribuição e testam se um parâmetro não é igual a um valor específico.
b. Os testes unilaterais concentram-se em um lado específico da distribuição e testam se um parâmetro é maior ou menor que um valor específico.
É crucial escolher o tipo apropriado de teste com base na questão de pesquisa e na direcionalidade do efeito que está sendo investigado.
Uma vez que as hipóteses são formuladas, as próximas etapas envolvem coleta de dados, análise estatística (por exemplo, cálculo de estatísticas de teste e valores-p) e interpretação dos resultados para aceitar ou rejeitar a hipótese nula.
Lembre-se de que o teste de hipóteses é um processo estruturado que o ajuda a tirar conclusões significativas com base em evidências. Ao seguir os princípios e diretrizes discutidos, você pode garantir a validade e precisão de seus procedimentos de teste de hipóteses.
NPV vs. IRR (Cálculos para exames CFA®)
NPV vs. IRR (Cálculos para exames CFA®)
Olá, seja bem-vindo à Concept Capsules! Hoje, vamos explorar os tópicos de Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). Essas técnicas são cruciais no orçamento de capital e são amplamente abordadas nos currículos do CFA e do FRM.
O VPL e a TIR são usados para comparar os fluxos de caixa que ocorrem em diferentes pontos no tempo e ajudam a determinar o melhor projeto a ser realizado. Eles também auxiliam no sequenciamento de projetos com base no capital disponível. O NPV avalia a lucratividade de um projeto considerando os fluxos de caixa após impostos. Envolve o desconto dos fluxos de caixa para um período de tempo comum, geralmente o período de tempo zero, onde é tomada a decisão de executar o projeto.
Para calcular o VPL, subtraímos a saída de caixa inicial (investimento) do valor presente das entradas de caixa. As entradas e saídas de caixa são trazidas para o período zero para comparação. Se o VPL resultante for positivo, o projeto é considerado lucrativo e deve ser aceito. Se for negativo, o projeto destrói valor e deve ser rejeitado. Um NPV de zero significa que o projeto não agrega nem destrói valor da empresa, tornando-o indiferente. No entanto, na prática, projetos com VPL igual a zero geralmente não são executados.
A TIR, por outro lado, elimina a necessidade de uma taxa de desconto pré-determinada. É a taxa de desconto que torna o VPL igual a zero. Em outras palavras, a TIR iguala o valor presente das entradas de caixa ao valor presente das saídas de caixa. A regra de decisão para TIR é baseada em uma taxa de retorno exigida ou taxa mínima de retorno. Se a TIR exceder a taxa mínima, o projeto é aceito; caso contrário, é rejeitado.
Vamos explorar um exemplo para entender como calcular NPV e IRR usando a calculadora BA2 Plus. Considere a Empresa A, que planeja investir $ 100 milhões em um projeto de expansão de capital. Espera-se que o projeto gere fluxos de caixa após impostos de $ 20 milhões por ano nos primeiros três anos e $ 33 milhões no último ano. A taxa de retorno exigida é de 8%. Precisamos calcular o VPL e a TIR e decidir se o projeto deve ser realizado.
Para começar, criamos uma linha do tempo com a saída de caixa de $ 100 milhões no período zero e as entradas de caixa de $ 20 milhões para cada um dos primeiros três anos e $ 33 milhões para o quarto ano. Em seguida, descontamos cada entrada de caixa no período de tempo zero usando a taxa de desconto de 8%. Somando os valores presentes das entradas de caixa e subtraindo a saída de caixa inicial, obtém-se o VPL. Nesse caso, o VPL é calculado como -$ 24,2 milhões.
Para calcular a TIR, montamos a equação que iguala o VPL a zero, usando uma taxa de desconto desconhecida (TIR). No entanto, resolver manualmente essa equação pode ser demorado. Felizmente, podemos usar a calculadora BA2 Plus para calcular a TIR diretamente inserindo os fluxos de caixa e encontrando a função TIR.
Em conclusão, o VPL de -$24,2 milhões e a TIR devem ser determinados usando a calculadora BA2 Plus. A comparação da TIR com a taxa de retorno exigida orientará a decisão de empreender o projeto.