Quantitativer Handel - Seite 15
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Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 3/14, Teil 1/2, (Das HJM-Framework)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 3/14, Teil 1/2, (Das HJM-Framework)
Der Redner befasst sich mit dem Thema der Arbitrage-freien Bedingungen in Zinsmodellen und konzentriert sich dabei insbesondere auf das Heat-, Jarrow- und Morton-Framework (HJM). Sie legen die Agenda der Vorlesung fest und verdeutlichen die Unterscheidung zwischen Gleichgewichtsmodellen und Termstrukturmodellen. Während der Referent die Leistungsfähigkeit und Bedeutung von Laufzeitstrukturmodellen betont, die Zinskurven generieren, ohne dass eine Kalibrierung erforderlich ist, erläutert der Referent die Ableitung von Arbitrage-freien Bedingungen im Rahmen des HJM. Der kommende Block umfasst Monte-Carlo-Simulationen für zwei Modelle, Julie und Hull-White, sowie eine bereitgestellte Hausaufgabe. Es ist erwähnenswert, dass das HJM-Framework als generisches und Arbitrage-freies Framework für alle Zinsmodelle dient.
In Zukunft wird das Konzept der kurzen Zinssätze und Zinssätze eingeführt, wobei betont wird, dass kurze Zinssätze mit verschwindend kleinen Zeiträumen verbunden sind. Das erste Short-Rate-Modell, der Ornstein-Uhlenbeck (OU)-Prozess, wird als Beispiel für ein endogenes Modell diskutiert, das eine Kalibrierung auf die Zinskurve erfordert, was möglicherweise zu eingeschränkten Freiheitsgraden und einer schlechten Kalibrierung führt. Andererseits verwenden exogene Modelle die Zinsstrukturkurve als Eingabe und vermeiden so das Kalibrierungsproblem. Die Vorlesung bietet außerdem Einblicke in die Entwicklung von Modellierungskompetenzen und Programmierkenntnissen für die Zinsmodellierung.
Das HJM-Framework wird untersucht, wobei der Schwerpunkt auf der Umwandlung endogener Modelle in exogene Modelle liegt. Diese Transformation stellt sicher, dass die Zinsstrukturkurve unabhängig von den gewählten Modellparametern gleich bleibt. Der Dozent hebt die außergewöhnliche Leistungsfähigkeit des AJM-Frameworks hervor, das einen klaren Weg von Gleichgewichtsmodellen zu Termstrukturmodellen bietet. In der Vorlesung wird erwähnt, dass in der Literatur zahlreiche Modelle existieren, wobei zwei beliebte Modelle diskutiert werden. Ein solches Modell ist das Short-Rate-Modell von Vasicek, das wegen seiner begrenzten Anpassungsfähigkeit an Negativzinsen in die Kritik geraten ist.
Das Problem der Negativzinsen wird angesprochen, und der Redner erklärt, wie Finanzingenieure dieses Problem angehen, indem sie das Cox-Ingersoll-Ross-Verfahren (CIR) anwenden, das Negativzinsen nicht zulässt, aber zulässt, dass die Zinssätze Null erreichen. Um diesen Prozess zu verschieben, wird ein Parameter eingeführt, der es der Verteilung ermöglicht, von Null auf negative Werte zu wechseln, typischerweise um zwei oder drei Prozent. Die Bedeutung der Anpassung an die Zinsstrukturkurve und die Herausforderungen der Kalibrierung werden ebenfalls diskutiert. Der Dozent betont, dass es keinen Sinn macht, zu versuchen, andere Aspekte des Modells anzupassen, wenn die Zinsstrukturkurve nicht angepasst werden kann. Simulationsbeispiele werden bereitgestellt, um die Auswirkungen unterschiedlicher Parameter zu veranschaulichen, wie z. B. die Geschwindigkeit der Mittelwertumkehr und den Volatilitätskoeffizienten.
Der Einfluss des Volatilitätskoeffizienten auf die Pfade verschiedener Modelle, einschließlich der HJM- und CIR-Modelle, wird diskutiert. Größere Volatilitätskoeffizienten führen zu größeren Pfadspitzen und erhöhter Unsicherheit, während kleinere Koeffizienten zu engeren Verteilungen führen. Der Dozent erläutert außerdem, wie sich Mean-Reversion und Zinssätze auf das Verhalten dieser Modelle auswirken. Python-Code wird verwendet, um Pfade mithilfe der Euler-Diskretisierung und -Standardisierung zu simulieren und gleichzeitig Bedingungen festzulegen, um zu verhindern, dass Pfade negativ werden.
Der Referent bietet eine ausführliche Diskussion des HJM-Frameworks (Heath-Jarrow-Morton), das als globaler Rahmen für alle Zinssatzmodelle dient. Die Dynamik der momentanen Terminzinssätze, die Zinssätze über zukünftige Zeiträume aus heutiger Sicht darstellen, wird im HJM-Rahmen modelliert. Das AJM-Framework wird aufgrund seiner expliziten Beziehung zwischen der Volatilität der momentanen Terminzinssätze und der Arbitrage-freien Drift als grundlegende Grundlage für Zinsmodelle dargestellt und stellt so sicher, dass das Modell stets frei von Arbitrage ist. Das Rahmenwerk wird im Zusammenhang mit Short-Rate- und LIBOR-Marktmodellen untersucht, bei denen es sich um Sonderfälle des AJM-Rahmenwerks handelt.
Der Zusammenhang zwischen Arbitragefreiheit und Drift wird diskutiert, insbesondere in Bezug auf die Volatilität der momentanen Terminzinssätze. Die Anpassung der Volatilität ermöglicht den Wechsel zwischen verschiedenen Modellen. Während das HJM-Framework unterschiedliche Volatilitätsstrukturen berücksichtigt, ist es eine Herausforderung, analytische Ausdrücke für Kurzzins- oder LIBOR-Marktmodelle zu erhalten. In bestimmten Fällen stellt das HJM-Framework jedoch analytische Ausdrücke für Nullkuponanleihen bereit, die auf der angegebenen Volatilität basieren. Dieser Rahmen spielt eine entscheidende Rolle beim Übergang von Gleichgewichtsmodellen zu Laufzeitstrukturmodellen, da er die Verwendung beobachtbarer Renditen als Input für das Modell ermöglicht. Es erfolgt ein Vergleich mit anderen Modellen, beispielsweise Short-Rate-Modellen im Rahmen des HJM-Rahmens, die hinsichtlich der schnellen Kalibrierung mit Ferraris verglichen werden, denen es jedoch an Flexibilität bei der Kalibrierung und Implementierung für mehrere Marktinstrumente mangelt. Das Hauptziel eines Short-Rate-Modells für Zinssätze besteht darin, die Genauigkeit der Zinsstrukturkurve und von Nullkuponanleihen sicherzustellen.
Der Dozent erörtert die Grenzen verschiedener im Financial Engineering eingesetzter Laufzeitstrukturmodelle. Während das HJM-Framework mehr Flexibilität bei der Kalibrierung auf die Zinsstrukturkurve bietet, macht es seine Einfachheit mit nur zwei Parametern zu einer Herausforderung bei der Kalibrierung für komplexe exotische Optionen, die über längere Zeiträume bewertet werden. Das Marktmodell mit stochastischer Volatilität gilt trotz seiner hohen Wartungskosten und Kalibrierungsherausforderungen als ideal für die Preisgestaltung von Exoten und Volatilität. Anschließend definiert der Dozent die momentanen Terminzinssätze unter Verwendung von Nullkuponanleihen und veranschaulicht, wie man mithilfe einer Refinanzierungsstrategie einen Terminzins über einen bestimmten Zeitraum konstruieren und so einen effektiven Zinssatz ermitteln kann.
Der Referent geht auf das Konzept einer Arbitrage-freien Refinanzierungsstrategie ein und erklärt, wie man Zinssätze aus Nullkomponenten impliziert. Sie führen eine funktionale Form für den Terminkurs ein und legen eine Struktur fest, die sicherstellt, dass er eine exponentielle Form mit einem periodengerechten Zinssatz annimmt. Indem sie den Logarithmus des Ausdrucks nehmen und ihn mit einem negativen Vorzeichen multiplizieren, ermitteln sie den Zinssatz, der die Gleichung sowohl für den kurzfristigen Zinssatz als auch für den Terminzinssatz erfüllt. Der momentane Terminkurs wird als f dt definiert, und der Redner betont, dass er sich immer auf die Laufzeit bezieht.
Als Nächstes führt die Vorlesung in den Begriff des momentanen Terminzinssatzes ein, der als Ableitung des Logarithmus der Nullkuponanleihe nach der Laufzeit definiert ist. Dies dient als grundlegender Baustein innerhalb des HJM-Rahmens, da alle Größen in Form von momentanen Terminkursen ausgedrückt werden. Es wird hervorgehoben, wie wichtig es ist, zwischen Nullkuponanleihen und Geldsparkonten zu unterscheiden, wobei es sich bei Ersterem um einen deterministischen Wert und bei Letzterem um eine stochastische Größe handelt. Die Dynamik des momentanen Terminzinssatzes ist ein Schwerpunkt des HJM-Rahmens, der darauf abzielt, die Dynamik der Zinssätze zu verstehen und zu modellieren.
Anschließend beschreibt der Professor die Dynamik der momentanen Vorwärtsrate unter dem p-Maß und das Ziel, die Dynamik beim Umschalten des Maßes von p auf q zu bestimmen. Das HJM-Framework umfasst die Dynamik des momentanen Terminzinssatzes, des Geldsparkontos (Integral des kurzfristigen Zinssatzes) und das Verhältnis von Nullkuponanleihen. Um die Dynamik der momentanen Vorwärtsrate unter dem q-Maß zu definieren, müssen bestimmte Größen als Martingale fungieren. Der Zusammenhang zwischen dem Short-Tarif und dem momentanen Forward-Tarif wird erläutert, wobei die gegenseitige Abhängigkeit zwischen verschiedenen Momentan-Tarifen und die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Parametern hervorgehoben werden.
Im weiteren Verlauf des Vortrags betont der Redner, wie wichtig es ist, den Zusammenhang zwischen Arbitragefreiheit und der Drift von Zinsmodellen zu verstehen, insbesondere im Hinblick auf die Volatilität des momentanen Terminzinssatzes. Durch Anpassen der Volatilität kann innerhalb des HJM-Frameworks zwischen verschiedenen Modellen gewechselt werden. Dieser Rahmen ermöglicht verschiedene Volatilitätsstrukturen, obwohl es schwierig sein kann, analytische Ausdrücke für kurze Zinssätze oder ein LIBOR-Marktmodell zu erhalten. In einigen Fällen bietet das HJM-Framework jedoch analytische Ausdrücke für Nullkuponanleihen basierend auf der angegebenen Volatilität.
Der Dozent betont, dass es sich beim HJM-Framework um ein generisches und Arbitrage-freies Framework für alle Zinsmodelle handelt. Es bietet einen klaren Weg von Gleichgewichtsmodellen zu Termstrukturmodellen und ist damit ein leistungsstarkes Werkzeug auf diesem Gebiet. In der Literatur sind zahlreiche Modelle verfügbar, zwei beliebte Modelle werden jedoch ausführlich besprochen.
Zunächst wird das Short-Rate-Modell von Vasicek untersucht. Der Dozent räumt ein, dass dieses Modell auf Kritik stößt, weil es keine Negativzinsen zulässt. Um dieses Problem anzugehen, wenden einige Finanzingenieure das Cox-Ingersoll-Ross-Verfahren (CIR) an, das keine negativen Zinssätze zulässt, sondern zulässt, dass die Zinssätze ein Niveau von Null erreichen. Der Dozent erwähnt jedoch, dass es möglich ist, einen Verschiebungsparameter in den CIR-Prozess einzuführen, der die Verteilung effektiv von Null auf einen negativen Wert verschiebt, beispielsweise minus zwei oder drei Prozent. Als kritischer Aspekt wird die Anpassung des Modells an die Zinsstrukturkurve hervorgehoben und die Frage der Kalibrierung diskutiert. Der Dozent erklärt, dass es keinen Sinn macht, andere Parameter anzupassen, wenn die Zinsstrukturkurve nicht genau angepasst werden kann.
Als nächstes stellt der Redner Monte-Carlo-Simulationen für zwei Modelle vor: Julie und Hull-White. Ziel der Simulationen ist es, praktische Beispiele zu liefern und den Einfluss unterschiedlicher Parameter wie der Geschwindigkeit der Mittelwertumkehr und des Volatilitätskoeffizienten auf die Pfade des Modells zu veranschaulichen. Zur Simulation dieser Pfade wird Python-Code verwendet, der Euler-Diskretisierung und -Standardisierung nutzt. Es werden Bedingungen auferlegt, um zu verhindern, dass Pfade negativ werden.
Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird der Einfluss des Volatilitätskoeffizienten auf die Pfade verschiedener Modelle, einschließlich der HJM- und CIR-Modelle, diskutiert. Größere Volatilitätskoeffizienten führen zu stärkeren Spitzen in den Pfaden und erhöhter Unsicherheit, während kleinere Koeffizienten zu engeren Verteilungen führen. Der Einfluss von Mean Reversion und Zinssätzen auf das Verhalten dieser Modelle wird ebenfalls erläutert.
Abschließend fasst der Dozent die wichtigsten behandelten Punkte zusammen und bekräftigt die Leistungsfähigkeit und Bedeutung von Laufzeitstrukturmodellen im HJM-Rahmen. Hervorgehoben wird die Fähigkeit, Zinskurven selbst zu erstellen, ohne dass eine Kalibrierung der Zinskurve erforderlich ist. Abschließend wird eine Hausaufgabe gestellt, die die Studierenden dazu anregt, die in der Vorlesung besprochenen Konzepte und Techniken weiter zu erforschen und anzuwenden.
Die Vorlesung bietet eine detaillierte Untersuchung der Arbitrage-freien Bedingungen in Zinsmodellen, insbesondere im Rahmen des HJM. Es behandelt die Unterschiede zwischen Gleichgewichtsmodellen und Laufzeitstrukturmodellen, die Ableitung von Arbitrage-freien Bedingungen und praktische Beispiele durch Monte-Carlo-Simulationen. Die Bedeutung der Anpassung an die Zinsstrukturkurve, Kalibrierungsherausforderungen und die Auswirkungen unterschiedlicher Parameter werden ausführlich besprochen und bieten den Studierenden wertvolle Einblicke in die Zinsmodellierung und Programmierkenntnisse.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 3/14, Teil 2/2, (Das HJM-Framework)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 3/14, Teil 2/2, (Das HJM-Framework)
In der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf dem HJM-Framework und seinen Annahmen zur Zinsmodellierung. Der Dozent bespricht zunächst die Arbitragefreiheitsbedingungen im HJM-Rahmenwerk, die für jedes Zinsmodell innerhalb dieses Rahmenwerks von entscheidender Bedeutung sind. Diese Bedingungen stellen sicher, dass sich jeder mit dem Geldsparkonto diskontierte Vermögenswert wie ein Martingal verhält. Durch die Anwendung der Itō-Formel auf Nullkuponanleihen und das Geldsparkonto erhält man die Dynamik des Vermögenswerts dividiert durch das Geldsparkonto, was zum berühmten HJM-Lemma bezüglich der Arbitrage-freien Bedingungen für momentane Terminzinssätze führt.
Als nächstes untersucht der Dozent, wie die Drift der momentanen Terminraten im HJM-Rahmen bestimmt wird. Die Volatilität des momentanen Terminkurses spielt eine Schlüsselrolle bei der Definition der Drift, wenn man in einer risikoneutralen und Arbitrage-freien Welt leben möchte. Der Dozent erklärt, dass es für die Modellierung von Short Rates oder Instantaneous Forward Rates unerlässlich ist, die Volatilität für den Instantaneous Forward Rate anzugeben. Sobald dies definiert ist, ist die Dynamik für die momentane Forward-Rate bekannt, was eine Arbitrage-freie Umgebung gewährleistet. Die Vorlesung behandelt auch die Berechnung der Dynamik des kurzfristigen Zinssatzes, die die Laufzeitkurve, eine konstante deterministische Funktion und ein Integral in Bezug auf die partielle Ableitung der Volatilität umfasst.
Die Vorlesung befasst sich weiter mit den praktischen Aspekten des HJM-Frameworks. Der Dozent diskutiert, wie durch die Angabe der Volatilität innerhalb des Rahmenwerks unterschiedliche Short-Rate-Modelle generiert werden können. Als einfachste Form wird eine konstante Volatilität dargestellt, die die Berechnung der Alpha-Funktion unter der HJM-Bedingung ermöglicht. Die Dynamik des kurzfristigen Zinssatzes kann dann abgeleitet werden, indem die angegebenen Sigma- und Alpha-Werte in das Rahmenwerk eingesetzt werden und die Kurve der Nullkuponanleihe als Eingabe verwendet wird. Die Bedeutung der Zinsstrukturkurve, die anhand von Marktinstrumenten geschätzt wird, wird als Schlüsselkomponente bei der Preisgestaltung von Zinsderivaten hervorgehoben.
Besonderes Augenmerk wird auf das Uli-Modell gelegt, das zur Klasse der affinen Prozesse gehört und zeitabhängige Drift- und Sigma-Parameter bietet. Der Dozent erklärt, wie dieses Modell die Berechnung von Nullkuponanleihen in exponentieller Form ohne die Notwendigkeit verschachtelter Monte-Carlo-Simulationen ermöglicht und so Rechenleistung spart. Die Beziehung zwischen kurzen Raten und den bekannten deterministischen Funktionen in b wird explizit ausgedrückt und die mögliche Verwendung des Longstaff-Schwarz-Algorithmus zur Schätzung von Erwartungen wird erwähnt.
Die Vorlesung unterstreicht auch die Bedeutung einer komplikationslosen und eleganten Darstellung von Modellen. Das HJM-Framework gilt als leistungsstarkes Werkzeug zur Erreichung dieses Ziels. Ein Python-Experiment wird durchgeführt, um zu demonstrieren, wie simulierte Pfade zur Berechnung von Nullkuponanleihen verwendet werden können, indem sie mit den Input-Renditen verglichen werden. Es wird betont, dass das HJM-Framework sicherstellt, dass die simulierten Pfade immer die gleichen Nullkuponanleihen abwerfen wie diejenigen, die in die Renditeeingabe einbezogen werden.
Monte-Carlo-Simulationsmethoden im Rahmen des HJM werden als Mittel zur Generierung von Zinskurven diskutiert. Der Dozent stellt einen Ansatz vor, der die Festlegung einer Zinskurve, die Schätzung der Nullkomponentenkurve und die Berechnung der Theta- und Sigma-Parameter umfasst. Anschließend werden Monte-Carlo-Simulationen durchgeführt und die daraus resultierenden Abzinsungsfaktoren verwendet, um die Kurven der Nullkuponanleihen aus dem Modell und dem Markt darzustellen. Der Dozent demonstriert die Flexibilität des Ansatzes im Umgang mit Änderungen der Parameterwerte und hebt die perfekte Übereinstimmung zwischen Input- und Output-Erträgen hervor.
Auch die Kalibrierung von Modellen innerhalb des HJM-Rahmens wird angesprochen, wobei der Schwerpunkt auf den Vorteilen der Kalibrierung auf relevante Produkte liegt, ohne dass eine separate Kalibrierung der Ertragskurve erforderlich ist. Die bei der Zinskurvenkalibrierung häufig auftretenden Schwierigkeiten werden diskutiert und die Vorteile des HJM-Frameworks in dieser Hinsicht hervorgehoben. Die Ableitung des Modells der konstanten Volatilität in Short-Rate-Modellen unter Verwendung der HJM-Annahmen wird erläutert und eine vereinfachte Form der Short-Rate-Dynamik gezeigt, die die Modellbewertung erleichtert.
Die Vorlesung schließt mit einer Zusammenfassung der behandelten Hauptpunkte und bietet den Studierenden drei Übungen zur Anwendung der erlernten Konzepte und Berechnungen. Die Übungen beinhalten die Dynamikberechnung von Ito,
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 4/14, Teil 1/2, (Renditekurvendynamik unter Short Rate)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 4/14, Teil 1/2, (Renditekurvendynamik unter Short Rate)
Der Moderator hält einen informativen Vortrag über Short-Rate-Modelle und deren Zusammenhang mit der Dynamik der Zinskurve. Sie stellen zunächst das Konzept von Short-Rate-Modellen vor und diskutieren deren Relevanz. Um das Verständnis zu verbessern, erweitern sie die Diskussion von einem einfaktoriellen Kaltweißmodell auf ein umfassenderes Mehrfaktormodell und führen dabei mehrere Simulationen durch.
Es folgt eine umfassende Einführung in Zinskurven mit einer Untersuchung verschiedener Zinskurvenformen und ihrer Beziehung zur kurzfristigen Zinsdynamik. Der Vortragende stellt einen Zusammenhang zwischen diesen Konzepten und realen Marktexperimenten her und beleuchtet deren praktische Anwendung. Während der Vortragende die Grenzen des Ein-Faktor-Modells untersucht, stellt er auch mögliche Lösungen vor, einschließlich der Konstruktion und Simulation eines Zwei-Faktor-Modells.
Im darauffolgenden Abschnitt konzentriert sich der Dozent auf Mean-Reverting-Prozesse und zeigt, wie Pfade für diese Prozesse generiert werden. Sie präsentieren ein 3D-Diagramm, das die Verteilung der Zinssätze im Zeitverlauf darstellt. Der Dozent stellt eine Transformation namens „yt“ vor und erklärt, wie dieser Prozess den Mittelwert-Rückkehrteil aus dem gesamten weißen Modell extrahiert. Indem sie das Ito-Lemma auf yt anwenden und die Dynamik für das gesamte weiße Modell ersetzen, leiten sie die Lösung für die Verteilung des weißen Modells ab.
Die Dynamik von yt steht im Mittelpunkt, da der Dozent die Unabhängigkeit der stochastischen Komponenten hervorhebt und so die Abhängigkeit von rt und yt effektiv beseitigt. Durch Integration wird die Lösung für den Prozess gefunden. Die Lösung für das gesamte Ratenmodell umfasst eine Skalierungskonstante, eine zeitabhängige Driftfunktion, eine Volatilitätskomponente mit einem Exponenten und einen Zerfallskoeffizienten. Die deterministische Natur des Ausdrucks erleichtert die Integration zeitabhängiger Funktionen und das resultierende Integral ist normalverteilt. Folglich folgt rt einer Normalverteilung mit einem Erwartungswert und einer Varianz, wobei der langfristige Erwartungswert mit der Theta-t-Funktion konvergiert. Auch die Klasse der affinen Diffusionsprozesse wird kurz besprochen.
Im Anschluss an Sprungdiffusionsprozesse geht der Dozent auf die Besonderheiten des Hull-White-Modells und der Zinsmodelle ein. Sie betonen, dass das Hull-White-Modell zur Klasse der affinen Sprungdiffusionsprozesse gehört, was die Ableitung der charakteristischen Funktion für diesen Prozess und analytischer Ausdrücke für Nullkuponanleihen ermöglicht. Die Ableitung der charakteristischen Funktion und die Anwendung der Zerlegung des Hull-White-Modells werden ausführlich erläutert. Zeitabhängige Parameter werden als wesentliche Faktoren identifiziert, die die Funktionen des Modells beeinflussen und möglicherweise außerhalb der Erwartungen liegen.
Der Professor diskutiert dann die Lösung des Modells und hebt die Bedeutung des Dupey-Duffy-Singleton-Theorems hervor. Sie erklären, dass die Lösung die Form einer Riccati-Gleichung annimmt und der Satz die Ableitung der Funktionen A und B erleichtert. Die Bedeutung dieses Satzes liegt darin, die bedingte Erwartung ausschließlich in Bezug auf die Abhängigkeit am spezifischen Punkt der Rt-Pfade auszudrücken Verbesserung der Simulation. Diese Funktion erweist sich als besonders wertvoll für Portfoliobewertungen, die mehrere verschachtelte Monte-Carlo-Simulationen erfordern. Darüber hinaus machen die geschlossene Form und die einfache Implementierung der Funktionen A und B sie zu hoch akzeptierten Modellen in der Branche, wodurch die Notwendigkeit einer kostspieligen Neukalibrierung vermieden wird und gleichzeitig effektiv auf die Dynamik der Renditekurve kalibriert wird.
Der Dozent betont einen leistungsstarken Ausdruck, der die Bewertung von Nullkuponanleihen ermöglicht, ohne auf verschachtelte Monte-Carlo-Simulationen zurückgreifen zu müssen. Dieser Ausdruck macht zusätzliche Simulationen überflüssig und steigert die Effizienz von Preisswaps mit langen Laufzeiten deutlich. Dabei spielen die reifegradabhängigen Funktionen A und B eine zentrale Rolle und können direkt ausgewertet werden. Der Dozent stellt Beziehungen in geschlossener Form zwischen Nullkuponanleihen und den Funktionen A und B bereit, die eine Theta-Funktion, Volatilität und eine Version des Mindestgeschwindigkeitsmessers umfassen. Darüber hinaus demonstrieren sie zwei Ansätze zur Bewertung von Nullkuponanleihen anhand des Modells: die Verwendung des analytischen Ausdrucks oder die Vermeidung von Integrationen.
Im weiteren Verlauf der Vorlesung erklärt der Dozent, wie Nullkuponanleihen im Full-White-Modell berechnet werden, wobei eine schnellere und effizientere Methode als die verschachtelte Monte-Carlo-Simulation zum Einsatz kommt. Sie stellen den Ausdruck für die Nullkuponanleihe als Funktion der Variablen a und b sowie des kürzesten momentanen Terminzinssatzes r0 dar. Diese Methode erweist sich im Hinblick auf Geschwindigkeit und Effizienz als vorteilhaft gegenüber dem bisherigen Ansatz der verschachtelten Monte-Carlo-Simulation. Hervorgehoben wird auch die Bedeutung der Zinsstrukturkurve für die Bestimmung der Barwerte zukünftiger Cashflows. Die Zinsstrukturkurve dient als entscheidendes Instrument zur Abbildung der Notierungen liquider Instrumente auf eine einheitliche Kurve, wobei unterschiedliche Laufzeiten von Nullkuponanleihen zur Konstruktion der Terminzinssätze genutzt werden. Das Hauptziel der Zinsstrukturkurve besteht darin, eine Erwartung zukünftiger Zinssätze unter verschiedenen Szenarien bereitzustellen.
In der Vorlesung wird außerdem die Bedeutung der Auswahl der liquidesten Instrumente bei der Erstellung einer Zinsstrukturkurve untersucht. Diese Instrumente werden aufgrund ihrer häufigen Verwendung zur Absicherung und Preisgestaltung exotischer Derivate ausgewählt. Die Interpolation von Punkten auf der Zinsstrukturkurve wird diskutiert, da sie erhebliche Auswirkungen auf die gesamte in den Berechnungen verwendete Diskontkurve haben kann. Darüber hinaus gilt die Zinsstrukturkurve als Frühindikator für die wirtschaftliche Richtung eines Landes und kann durch die Geldpolitik der Zentralbanken beeinflusst werden. Die Zuordnung von Nullkuponanleihen zur Rendite wird erläutert, wobei Renditen typischerweise als effektive Zinssätze in Jahreseinheiten ausgedrückt werden. Es ist zu beachten, dass die Zinsstrukturkurve nicht nur die Zinserwartungen widerspiegelt, sondern auch die Risikoeinstellung der Anleger und ihre Präferenz für Anleihen mit unterschiedlichen Laufzeiten.
Im Anschluss an die Vorlesung erläutert der Dozent die Mechanik von Zinskurven und deren Abhängigkeit von der Nachfrage nach kurzfristigen Anleihen. Ertragskurven werden durch eine Reihe von Knoten dargestellt, die jeweils einem entsprechenden Paar zugeordnet sind. Diese Paare werden verwendet, um Rückgratpunkte auf der Kurve zu definieren, und die Kurve selbst ist eine Funktion, die eine Reihe von Nullraten auf reelle Zahlen abbildet. Zur Bestimmung der Spine-Punkte sind Kalibrierungsinstrumente erforderlich, und die Interpolationsmethode zwischen diesen Punkten kann je nach Marktkonventionen oder individuellen Händlerpräferenzen variieren. Diese Interpolation ist notwendig, um Bindungswerte zwischen Wirbelsäulenpunkten zu erhalten. Auch die Abbildung von Nullkuponanleihen auf die Zinsstrukturkurve und die Konstruktion der Zinsstrukturkurve werden ausführlich besprochen.
Der Redner betont die entscheidende Rolle der Interpolation bei der Berechnung von Anleihewerten und betont deren Einfluss auf die Absicherungsleistung. Die Wahl der Interpolationsmethode hat erheblichen Einfluss auf die mit den Zinskurven verbundenen Sensitivitäten und Risiken. Darüber hinaus hat die Konstruktion der Zinsstrukturkurve einen tiefgreifenden Einfluss auf Absicherungsstrategien. Die Vorlesung befasst sich mit den Konventionen zur Benennung von Zinskurven und Renditen anhand konkreter Beispiele, z. B. einer Rendite von fünf Prozent über fünf Jahre im Zusammenhang mit Nullkuponanleihen und Spine-Punkten auf der Renditekurve. Die Sitzung endet mit einem Ausblick auf das nächste Segment, in dem der Aufbau der Zinskurve eingehender untersucht wird. Dabei geht es um die Empfindlichkeit von Instrumenten, die Auswirkungen verschiedener Interpolationstechniken und den Einfluss der Interpolation auf die Absicherungsleistung.
Im anschließenden Teil des Vortrags betont der Redner die Bedeutung einer genauen Ertragsberechnung und betont die Notwendigkeit, den vollständigen Ausdruck zu verwenden, anstatt sich ausschließlich auf die Erwartung eines einzelnen Termes zu verlassen. Dies liegt daran, dass Integral- und Exponentenfunktionen keine gleichwertigen Erwartungen haben. Die Dynamik der Zinskurve wird vorgestellt und verschiedene Formen der Zinskurve untersucht, einschließlich der normalen Zinskurve, die auf eine gesunde Wirtschaft hinweist. Der Redner erklärt weiter, wie Zentralbanken die quantitative Lockerung nutzen, um die kurzfristigen Zinssätze zu senken und dadurch die Form der Zinsstrukturkurve zu beeinflussen.
Der Dozent bespricht verschiedene Formen von Zinskurven, einschließlich der flachen Kurve und der invertierten Zinskurve. Letzteres wird typischerweise mit Marktkrisen oder drohenden Krisen in Verbindung gebracht. Es stellt einen Übergang von einer normalen Kurve zu einer invertierten Kurve dar und kann dazu führen, dass Banken zögern, mehr Kredite zu vergeben, was zu einer begrenzten Stimulierung der Gesamtwirtschaft führt. Die Vorlesung zeigt eine Grafik des US-Finanzministeriums, die die Dynamik der Zinskurve im Zeitverlauf darstellt und Einblicke in zukünftige Wirtschaftstrends bietet. Auch die Parallelverschiebung der Zinskurven und deren Auswirkungen auf Positionen im Zinsbereich werden behandelt.
Der Dozent legt den Schwerpunkt auf die Dynamik der Zinsstrukturkurve bei kurzfristigen Zinssätzen und präsentiert eine Videodemonstration, die die Dynamik der Zinsstrukturkurve veranschaulicht. Im Video stellt die blaue Linie den effektiven Fed-Funds-Zinssatz dar, der als kurzfristiger Zinssatz angesehen werden kann, da er die Tagesgeldsätze widerspiegelt. Die grüne Linie entspricht der vom Markt implizierten Rendite und repräsentiert die Markterwartungen. Das Video veranschaulicht verschiedene Krisen, beispielsweise die Finanzkrise von 2008, bei der sich die Zinsstrukturkurve abflachte und invertierte, was dazu führte, dass Anleger vom Aktienmarkt auf Staatsanleihen umstiegen.
Der Dozent stellt einen Link zum Video bereit und regt die Zuschauer dazu an, die Dynamik der Zinsstrukturkurve selbst zu erkunden. Für ein effektives Risikomanagement ist es wichtig, den Zusammenhang zwischen kurzfristigen Zinssätzen und Zinskurvenbewegungen zu verstehen. Durch die Simulation kurzfristiger Zinssätze und die Erstellung von Renditekurven für jeden Pfad mithilfe von Formeln, die Nullkuponanleihen berücksichtigen, kann man Einblicke in die Dynamik und das Verhalten von Renditekurven gewinnen.
Aufbauend auf diesem Verständnis wird sich der nachfolgende Teil der Vorlesung mit realistischeren Zinskurvendynamiken befassen, die aus kurzfristigen Zinssätzen abgeleitet werden. Ziel dieser Untersuchung ist es, ein umfassendes Verständnis des Zusammenspiels zwischen kurzfristigen Zinssätzen und Renditekurven zu vermitteln und so eine bessere Risikobewertung und ein besseres Risikomanagement auf den Finanzmärkten zu ermöglichen.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 4/14, Teil 2/2, (Renditekurvendynamik unter Short Rate)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 4/14, Teil 2/2, (Renditekurvendynamik unter Short Rate)
Der Dozent befasst sich mit der Simulation von Short-Rate-Modellen und deren Anwendung bei der Messung der Dynamik von Zinskurven. Renditekurven stellen die Erwartungen des Marktes an zukünftige Renditen dar und werden von Marktwahrnehmungen und -erwartungen beeinflusst. Um diese Dynamik zu analysieren, stellt der Dozent ein Experiment vor, bei dem der kontinuierlich aufgezinste Zinssatz für jede Realisierung des Short-Zinssatzes beobachtet und Renditekurven für jedes Szenario erstellt werden. Diese Simulation hilft bei der Beurteilung des Realismus des Short-Rate-Modells und der Antriebsfunktion Theta t. In diesem Experiment werden reale Marktdaten verwendet, um die Genauigkeit zu erhöhen.
Der Dozent hebt den Nutzen kurzfristiger Zinssimulationen für die Risikoanalyse hervor. Durch die Erstellung von Zinskurven für verschiedene Szenarien wird es möglich, den Barwert eines Portfolios bestehend aus Zinsprodukten zu bewerten. Um dies zu demonstrieren, simuliert der Dozent mehrere Pfade für kurze Zinssätze und berechnet die Nullkuponanleihen für jeden Pfad. Interessanterweise wird in der Vorlesung darauf hingewiesen, dass Zinskurven, die mit dem Full-White-Modell erstellt wurden, eine Parallelverschiebung aufweisen, was in der Praxis unrealistisch ist. Die Vorlesung endet mit der Vorstellung des Python-Codes, der zur Generierung der Zinskurven verwendet wird.
Im weiteren Verlauf der Diskussion wird betont, wie wichtig es ist, bei Nullkuponanleihen ein Kontinuum für die Berechnung der Theta-Funktion zu haben. Der Vortrag betont die Bedeutung der Interpolation, insbesondere der Interpolation auf der Rate selbst anstelle des Exponenten, um numerische Stabilität sicherzustellen. Es werden verschiedene Optionen für die Interpolation und die Anzahl der Punkte für die Bindungsberechnung untersucht. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Simulation und Generierung von Nullkuponanleihen und -renditen und unterstreicht die Bedeutung einer konsistenten und robusten Implementierung dieser Prozesse. Abschließend präsentiert die Vorlesung die aus Marktdaten und den simulierten Monte-Carlo-Pfaden des weltweiten Modells generierte Zinsstrukturkurve, die einen gesunden, aber bemerkenswert niedrigen Zinssatz offenbart.
In der Vorlesung geht es dann um die Einschränkungen des Vollweißmodells. Während das Modell die Kalibrierung der gesamten Zinsstrukturkurve ermöglicht, reicht es nicht aus, die gesamte Terminkurve zu kalibrieren, was bei den meisten Short-Rate-Modellen eine häufige Einschränkung darstellt. Um diese Einschränkung zu überwinden, stellt der Dozent das Arbeitsmarktmodell vor, das sich gut zur Behandlung der Terminkurve und der Zinskurvenkalibrierung eignet. Darüber hinaus treten beim Vollweißmodell Probleme mit perfekt korrelierten Nullkomponenten auf, was seine Wirksamkeit weiter verringert.
Anschließend werden die Einschränkungen des einfaktoriellen Hull-White-Modells diskutiert. Zu diesen Einschränkungen gehört eine hohe Korrelation zwischen Anleihen mit kurzen Laufzeiten, aber eine geringere Korrelation bei Anleihen mit weit entfernten Laufzeiten, was es unmöglich macht, das Modell auf die gesamte Laufzeitstruktur verschiedener Zinssätze zu kalibrieren. Das Modell wird auch für Risikomanagementzwecke als ungeeignet erachtet, da es eine Korrelation von eins zwischen Nullkuponanleihen und der kurzfristigen Zinsdynamik annimmt. Um diese Probleme anzugehen, wird eine Erweiterung des Zwei-Faktor-Hull-White-Modells eingeführt. Diese Erweiterung wird jedoch hauptsächlich für das Risikomanagement und die Szenarioanalyse und nicht für die Preisgestaltung verwendet. Die Dynamik des Zwei-Faktor-Modells wird erläutert, wobei der erste Faktor das Niveau der Zinsstrukturkurve und der zweite Faktor die Schiefe der Zinsstrukturkurve darstellt.
Anschließend diskutiert der Dozent das Gaußsche Zwei-Faktor-Hull-White-Modell, das eine Variation des Ein-Faktor-Modells darstellt. Es wird ein Vergleich zwischen den beiden Modellen vorgestellt, wobei betont wird, dass die Bedeutung der Parameter beim Wechsel zwischen ihnen unterschiedlich sein kann. Der Vortrag beleuchtet die Vorteile des Gaußschen Zwei-Faktor-Hull-White-Modells hinsichtlich der Simulation von Prozessen und seiner effizienten Implementierung in Monte-Carlo-Simulationen. Die Vorlesung untersucht die integrale Funktion des Modells und seine Anwendung bei der Preisgestaltung von Nullkuponanleihen.
Anschließend wird die Simulation von Zinskurven für gegebene Realisierungen mit dem Full-White-Zwei-Faktor-Modell erläutert. Die Nullkuponanleihe für dieses Modell hat eine geschlossene analytische Form und beinhaltet ein Gaußsches Prozesssystem. Die Simulation des Gaußschen Zwei-Faktor-Modells erfordert die Simulation zweier Mittelwertumkehrprozesse, die der Termstruktur entsprechen, unter Verwendung von Ausdrücken für Volatilitäten und Korrelationskoeffizienten. In der Vorlesung wird zwischen den Prozessen X und Y unterschieden, wobei X die Höhe der Zinsstrukturkurve und Y die Steilheit bzw. Schiefe der Kurve darstellt. Die Korrelation zwischen den beiden mit diesen Prozessen verbundenen Brownschen Bewegungen ist negativ, was auf einen versteifenden Effekt auf die Kurve hinweist.
Die Vorlesung befasst sich auch mit der Korrelation zwischen Bindungen, wenn dieselbe Technik auf das Zwei-Faktor-Modell angewendet wird. Im Gegensatz zum Ein-Faktor-Modell ist die Korrelation zwischen entsprechenden Renditen im Zwei-Faktor-Modell nicht gleich eins. Dieses Ergebnis bestätigt, dass das Hinzufügen eines zusätzlichen Faktors zum Modell zu einer realistischeren impliziten Volatilitätsform führt, insbesondere bei der Preisgestaltung von Obergrenzen. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass eine Erhöhung der Anzahl der Faktoren im Modell zu mehr Komplexität und Kalibrierungsschwierigkeiten führt. Trotzdem generiert das Zwei-Faktoren-Modell stets die gleiche Zinsstrukturkurve, was es zu einem AJM-Framework (arbitragefreies gemeinsames Modell) macht.
In der Vorlesung werden außerdem die Grenzen der Einbeziehung weiterer Faktoren in das Gaußsche Modell erörtert. Es wird erläutert, dass selbst bei einer großen Anzahl von Parametern die Flexibilität hinsichtlich der impliziten Volatilitäten aufgrund des Fehlens einer stochastischen Volatilität begrenzt bleibt. Anschließend simuliert die Vorlesung Pfade für das Zwei-Faktor-Modell und untersucht die Renditen auf der Zinskurve, die das gesamte weiße Zwei-Faktor-Modell mit zusätzlichen Korrelationskoeffizienten impliziert. Die resultierenden Renditen weisen nicht nur eine Parallelverschiebung auf, sondern spiegeln auch die Auswirkungen von Korrelationen und Dynamiken wider. Diese Funktion erweist sich für Risikomanagementzwecke als wertvoll. Der Dozent schließt diesen Abschnitt mit der Weitergabe des für die Simulation verwendeten Python-Codes ab.
Der Dozent betont die Bedeutung der Wahl geeigneter Interpolationstechniken bei der Modellierung von Zinskurven und betont, dass die Wahl der Interpolationsmethode die Ergebnisse erheblich beeinflussen kann. In den nächsten Vorträgen werden Themen wie Ertragsrekonstruktion, die Auswirkungen verschiedener Interpolationen, häufig zu vermeidende Fallstricke und Methoden zur Gewährleistung einer realistischen Interpolation behandelt. Darüber hinaus wird in der Vorlesung das Konzept eines Rasters für Nullkuponanleihen vorgestellt. Es erfolgt ein Vergleich zwischen am Markt generierten und nach dem Hull-White-Modell berechneten Nullkuponanleihen. Es wird eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt, die Zinskurven sowohl für das Ein-Faktor-Modell als auch für das Zwei-Faktor-Modell über einen Zeitraum von zehn Jahren generiert. Die Vorlesung schließt mit einem Vergleich der Ertragsberechnungen dieser beiden Modelle ab.
Anschließend liegt der Schwerpunkt der Vorlesung auf der Präsentation der Simulationsergebnisse für das Zwei-Faktor-Modell der Zinskurvendynamik. Diese Ergebnisse werden mit denen des Ein-Faktor-Modells sowie den aus dem Markt abgeleiteten Analyseergebnissen verglichen. Es zeigt sich, dass das Zwei-Faktoren-Modell eine realistischere und umfassendere Darstellung der Dynamik der Zinskurve bietet. Zwar ist die Gesamtvolatilität im Zwei-Faktor-Modell aufgrund des zusätzlichen Volatilitätsfaktors höher, doch ändert dies das Gesamtbild nicht wesentlich. Die wichtigste Erkenntnis besteht darin, dass die Einbeziehung eines zusätzlichen Faktors in das Gaußsche Zwei-Faktor-Modell zu einer viel realistischeren Darstellung der Ertragsdynamik in der Monte-Carlo-Simulation führt. Abschließend fasst der Dozent die wichtigsten Erkenntnisse aus der Vorlesung zusammen, einschließlich der Lösung des Hull-White-Modells und der Zuordnung von Nullkuponanleihen zur charakteristischen Funktion, und führt kurz in die Konstruktion der Zinsstrukturkurve und ihre Grenzen ein.
Zum Abschluss des Vortrags werden die Einschränkungen des Cool White-Modells besprochen. Diese Einschränkungen beziehen sich in erster Linie auf die Korrelationen zwischen Anleihen mit unterschiedlichen Laufzeiten und auf die Unfähigkeit des Modells, sich aufgrund seines begrenzten Parametersatzes auf eine breite Palette von Instrumenten auf dem Markt zu kalibrieren. Um diese Probleme anzugehen, schlägt die Vorlesung vor, das Modell auf einen Zwei-Faktoren-Rahmen zu erweitern, der eine Lockerung der Annahme einer perfekten Korrelation zwischen Nullkuponanleihen ermöglicht. Die Vorlesung schließt mit der Zuweisung von zwei Hausaufgaben: Eine davon befasst sich mit Erwartungen nach dem t-Forward-Maß und die andere nutzt Laplace-Transformationen, um bestimmte Erwartungen zu demonstrieren.
Im Laufe der Vorlesung wird deutlich, wie wichtig es ist, geeignete Modelle für die Risikoanalyse und die Dynamik der Zinskurve zu verstehen und auszuwählen. Während das Hull-White-Modell und seine Variationen wertvolle Erkenntnisse und Werkzeuge bieten, ist es wichtig, ihre Grenzen zu erkennen und alternative Modelle zu erkunden, um spezifische Herausforderungen anzugehen.
Ein solches alternatives Modell, das in der Vorlesung vorgestellt wird, ist das Arbeitsmarktmodell, das eine Lösung für die Einschränkungen des Hull-White-Modells bei der Kalibrierung der gesamten Terminkurve bietet. Das Arbeitsmarktmodell ermöglicht eine umfassendere Kalibrierung sowohl der Terminkurve als auch der Renditekurve und eignet sich daher für bestimmte Risikomanagementanwendungen.
Darüber hinaus beleuchtet die Vorlesung die Bedeutung von Interpolationstechniken bei der Zinskurvenmodellierung. Die Wahl der richtigen Interpolationsmethode ist entscheidend für die genaue Erfassung des Verhaltens und der Form der Zinsstrukturkurve. Der Dozent betont, dass Interpolation nicht nur ein technisches Detail ist, sondern eine Kunst, die eine sorgfältige Betrachtung und ein Verständnis der zugrunde liegenden Dynamik erfordert. Um die Auswirkungen der Interpolation zu veranschaulichen, bietet die Vorlesung einen Vergleich zwischen aus Marktdaten generierten und mit dem Hull-White-Modell berechneten Zinskurven. Der Dozent zeigt, wie unterschiedliche Interpolationsoptionen zu unterschiedlichen Formen und Werten der Zinskurve führen können. Diese Analyse unterstreicht, wie wichtig es ist, eine Interpolationsmethode auszuwählen, die den gewünschten Eigenschaften und dem Realismus der Zinsstrukturkurve entspricht.
Im weiteren Verlauf der Vorlesung taucht das Thema der Simulation von Zinskurven für verschiedene Szenarien auf. Monte-Carlo-Simulationen erweisen sich als wertvolles Instrument zur Erstellung von Zinskurven und zur Bewertung potenzieller Risiken von Zinsprodukten. Durch die Simulation mehrerer Pfade für kurze Zinssätze und die Berechnung der Nullkuponanleihen für jeden Pfad können Analysten den Barwert eines Portfolios von Zinsprodukten unter verschiedenen Marktszenarien bewerten.
Die Vorlesung endet mit einer Demonstration des Python-Codes, der zur Generierung von Zinskurven verwendet wird. Der Code zeigt die praktische Umsetzung der in der Vorlesung besprochenen Konzepte, bietet den Lernenden eine praktische Erfahrung und stärkt ihr Verständnis des Themas.
Zusammenfassend bietet die Vorlesung eine eingehende Untersuchung von Short-Rate-Modellen, der Dynamik der Zinskurve und ihren Auswirkungen auf die Risikoanalyse. Es werden die Grenzen des Hull-White-Modells erörtert und alternative Modelle wie das Arbeitsmarktmodell und das Gaußsche Zwei-Faktoren-Hull-White-Modell vorgestellt. Die Bedeutung der Auswahl geeigneter Interpolationstechniken und der Durchführung von Monte-Carlo-Simulationen wird betont. Durch Beispiele und praktische Demonstrationen vermittelt die Vorlesung den Lernenden das nötige Wissen und die nötigen Werkzeuge, um Zinskurven in verschiedenen Finanzkontexten effektiv zu modellieren und zu analysieren.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 5/14, Teil 1/2, (Zinsprodukte)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 5/14, Teil 1/2, (Zinsprodukte)
Die Vorlesung beginnt mit der Vorstellung verschiedener Zinsprodukte wie Zinsswaps, Forward Rate Agreements und Floating Rate Notes. Die Preise dieser Produkte basieren auf Volatilitäten wie Floorlets und Couplets. Der Dozent betont, dass der LIBOR-Terminzins als grundlegender Bestandteil aller Zinsverträge dient.
Es werden lineare und nichtlineare Produkte besprochen, und die Vorlesung befasst sich mit dem Konzept des einfachen zusammengesetzten Forward-LIBOR-Zinssatzes, der in verschiedenen Zinsprodukten, einschließlich Swaps und Derivaten, häufig verwendet wird. Dieser Forward-Zinssatz hilft bei der Festlegung von Erwartungen hinsichtlich der Zinsperiode. Es ist wichtig zu beachten, dass der Zinssatz bis zum Neufestsetzungsdatum eine stochastische Zufallsvariable bleibt, nach dem Neufestsetzungsdatum jedoch ohne Unsicherheit fixiert wird.
Der Dozent untersucht den Austausch von Forward-Kursen zwischen zwei Kontrahenten, der zu Forward-Rate-Agreements führt. Die Cashflows in diesen Vereinbarungen werden zu Diskontierungszwecken durch eins plus Tau-mal den LIBOR-Satz dividiert. Der Forward-LIBOR-Satz wird über einen bestimmten Zeitraum definiert und kann sich auf Nullkuponanleihen beziehen. Die Preisgestaltung der Vereinbarung umfasst die Verwendung einer risikoneutralen Kennzahl und Abzinsung, wobei ein fester Zinssatz und eine Laufzeit eine Schlüsselrolle spielen.
Das Konzept der handelbaren Vermögenswerte im Rahmen der risikoneutralen Maßnahme, einschließlich des Geldsparkontos, als Martingale, wird erläutert. Der Dozent zeigt, dass der Wert eines Forwards als Differenz zwischen zwei Anleihen dargestellt werden kann und betont, dass Forwards zum Wert Null gehandelt werden, was bedeutet, dass der feste Zinssatz diesem Betrag entsprechen sollte. In der Vorlesung geht es auch um Floating Rate Notes, bei denen es sich um stark gehandelte Zinsprodukte handelt. Die Zahlungen für solche Verträge werden zunächst auf Null festgelegt und später angepasst, um dem Komfort Rechnung zu tragen, dass bei Vertragsbeginn nichts gezahlt werden muss.
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf Floating Rate Notes (FRNs), die auf der Grundlage von LIBOR-Sätzen definiert werden und Kupons als Bruchteile des Nominalwerts multipliziert mit aufgelaufenen Zeiträumen beinhalten. Da der LIBOR-Zinssatz stochastisch ist, erhält der FRN einen variablen Zinssatz. Der Wert des Vertrags wird durch Summierung aller Zahlungen bestimmt, die einzeln auf den Barwert unter Verwendung der Erwartungen im risikoneutralen Maß abgezinst werden. Das Maß für FRNs ändert sich zum TK-Forward-Maß, und die Bestimmung der Erwartungen erfordert die Ermittlung der gemeinsamen Verteilung zwischen Leer- und LIBOR-Satz, was für Zahlungsberechnungen von entscheidender Bedeutung ist.
Die Vorlesung beginnt mit der Vorstellung verschiedener Zinsprodukte wie Zinsswaps, Forward Rate Agreements und Floating Rate Notes. Die Preise dieser Produkte basieren auf Volatilitäten wie Floorlets und Couplets. Der Dozent betont, dass der LIBOR-Terminzins als grundlegender Bestandteil aller Zinsverträge dient.
Es werden lineare und nichtlineare Produkte besprochen, und die Vorlesung befasst sich mit dem Konzept des einfachen zusammengesetzten Forward-LIBOR-Zinssatzes, der in verschiedenen Zinsprodukten, einschließlich Swaps und Derivaten, häufig verwendet wird. Dieser Forward-Zinssatz hilft bei der Festlegung von Erwartungen hinsichtlich der Zinsperiode. Es ist wichtig zu beachten, dass der Zinssatz bis zum Neufestsetzungsdatum eine stochastische Zufallsvariable bleibt, nach dem Neufestsetzungsdatum jedoch ohne Unsicherheit fixiert wird.
Der Dozent untersucht den Austausch von Forward-Kursen zwischen zwei Kontrahenten, der zu Forward-Rate-Agreements führt. Die Cashflows in diesen Vereinbarungen werden zu Diskontierungszwecken durch eins plus Tau-mal den LIBOR-Satz dividiert. Der Forward-LIBOR-Satz wird über einen bestimmten Zeitraum definiert und kann sich auf Nullkuponanleihen beziehen. Die Preisgestaltung der Vereinbarung umfasst die Verwendung einer risikoneutralen Kennzahl und Abzinsung, wobei ein fester Zinssatz und eine Laufzeit eine Schlüsselrolle spielen.
Das Konzept der handelbaren Vermögenswerte im Rahmen der risikoneutralen Maßnahme, einschließlich des Geldsparkontos, als Martingale, wird erläutert. Der Dozent zeigt, dass der Wert eines Forwards als Differenz zwischen zwei Anleihen dargestellt werden kann und betont, dass Forwards zum Wert Null gehandelt werden, was bedeutet, dass der feste Zinssatz diesem Betrag entsprechen sollte. In der Vorlesung geht es auch um Floating Rate Notes, bei denen es sich um stark gehandelte Zinsprodukte handelt. Die Zahlungen für solche Verträge werden zunächst auf Null festgelegt und später angepasst, um dem Komfort Rechnung zu tragen, dass bei Vertragsbeginn nichts gezahlt werden muss.
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf Floating Rate Notes (FRNs), die auf der Grundlage von LIBOR-Sätzen definiert werden und Kupons als Bruchteile des Nominalwerts multipliziert mit aufgelaufenen Zeiträumen beinhalten. Da der LIBOR-Zinssatz stochastisch ist, erhält der FRN einen variablen Zinssatz. Der Wert des Vertrags wird durch Summierung aller Zahlungen bestimmt, die einzeln auf den Barwert unter Verwendung der Erwartungen im risikoneutralen Maß abgezinst werden. Das Maß für FRNs ändert sich zum TK-Forward-Maß, und die Bestimmung der Erwartungen erfordert die Ermittlung der gemeinsamen Verteilung zwischen Leer- und LIBOR-Satz, was für Zahlungsberechnungen von entscheidender Bedeutung ist.
Der Vortrag geht auf die Diskrepanz zwischen Zahlungsterminen und Messterminen ein und verdeutlicht die Notwendigkeit einer korrekten Auswertung. Die Kennzahl entspricht dem Zähler in einem Zahlungsplan und es sind Korrekturen oder Anpassungen erforderlich, wenn sie nicht korrekt übereinstimmt. Der Libor mit einer Zahlung zum Zeitpunkt tk im Rahmen der tk-Forward-Maßnahme ist ein Martingal, das die Preisfestsetzung für variabel verzinsliche Anleihen ermöglicht. Bei der Preisgleichung wird der erwartete Libor-Satz über einen bestimmten Zeitraum zugrunde gelegt. Der Vertrag wird als Swap bezeichnet, bei dem eine Partei eine Zahlung erhält, während die andere auf der Grundlage fester Zinssätze zahlt.
Im Detail werden Swap-Verträge besprochen, bei denen es um den Austausch von Cashflows über einen bestimmten Zeitraum geht. Swaps werden üblicherweise zur Absicherung von Risiken auf dem Hypothekenmarkt eingesetzt. Es gibt zwei Optionen: Swap-Payer, bei dem eine Person einen festen Zinssatz zahlt und einen variablen Zinssatz erhält, und Swap-Receiver, bei dem eine Person einen festen Zinssatz erhält und einen variablen Zinssatz zahlt. Der Nominalbetrag kann deterministisch, stochastisch oder zeitverfallend sein und die Zahlungshäufigkeit kann variieren. Der feste Teil bleibt konstant, während der variable Teil mit Unsicherheiten im Zusammenhang mit der Dynamik des LIBOR-Zinssatzes verbunden ist.
Der Vortrag betont die Bedeutung der Absicherung im Financial Engineering, insbesondere bei Verträgen mit stochastischen Zahlungen. Die Absicherung ist von entscheidender Bedeutung, um potenzielle Verluste aufgrund von Schwankungen der zugrunde liegenden Vermögenswerte auszugleichen, wenn ein Finanzinstitut verpflichtet ist, Zahlungen mit festen oder variablen Zinssätzen zu erhalten.
Der Dozent erklärt weiterhin, wie der Wert eines Swap-Kontrakts berechnet werden kann, indem man die Summe der aufgelaufenen Zeiträume von Nullkuponanleihen nutzt und eine lineare Beziehung zwischen dem Libor-Satz und dem Basispreis herstellt. Diese Berechnung gibt Aufschluss über den Wert eines Swaps und verdeutlicht die Rolle von Nullkuponanleihen bei der Absicherung.
Der Vortrag betont weiterhin, dass der Wert eines Swaps von der ersten und letzten Zahlung der Anleihe abhängt und mit der ersten und letzten Nullkuponanleihe effektiv abgesichert werden kann. Der Annuitätsfaktor ist eine entscheidende Komponente beim Umgang mit Swaps, da er als handelbarer Vermögenswert fungiert. Zinsswaps gelten als perfekte Instrumente, die es zwei Parteien ermöglichen, ihre spezifischen Risiken abzusichern, und Banken können sie zur Absicherung von Krediten von Privatpersonen nutzen, was zu deutlich höheren Wertvorstellungen führt.
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt speziell auf Zinsswaps und es wird darauf hingewiesen, dass diese häufig auf Portfolioebene berücksichtigt werden und der Wert zu Beginn normalerweise auf Null gesetzt ist, was einen kostenlosen Deal ermöglicht. Der Swap-Satz, also der Strike, der den Swap-Wert auf Null setzt, kann als gewichtete Summe der Libor-Sätze ausgedrückt werden. Basiszinsswaps können ohne zugrundeliegende Modellannahmen bepreist werden, indem auf dem Markt verfügbare Zinsinstrumente genutzt und auf eine Zinskurve abgebildet werden. Die Konstruktion einer Zinsstrukturkurve auf Basis von Marktinstrumenten wird in einer kommenden Vorlesung weiter besprochen.
Der Dozent befasst sich mit den verschiedenen Arten von Nominalwerten in einem Swap, die zeitabhängig, durch Marktinstrumente bestimmt oder zufällig sein können. Darüber hinaus werden die für ein Martingal notwendigen Bedingungen erläutert, darunter die Verwendung gehandelter Vermögenswerte oder linearer Kombinationen davon. Es wird hervorgehoben, dass die Beziehung zwischen der Kennzahl und dem Vermögenswert nicht als Martingal betrachtet werden kann, wenn eine nichtlineare Formel wie beispielsweise das Quadrat eines Vermögenswerts verwendet wird. Die Anwendung des Ito-Lemmas auf den quadrierten Libor zeigt, dass L im Quadrat aufgrund des Vorhandenseins eines Drifteffekts kein Martingal unter dem D-Vorwärtsmaß ist.
Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird erläutert, wie ein Swap anhand einer Zinskurve und des Hulument-Modells bewertet wird. Es wird eine Zinskurvenspezifikation bereitgestellt und anhand dieses Modells werden Swaps für unterschiedliche Strikes generiert. Der Wert eines Swaps ändert sich linear mit dem Basispreis, und der Swap-Kurs wird mithilfe des Newton-Raphson-Algorithmus bestimmt. Die Vorlesung schließt mit der Feststellung, dass, wenn der Nennwert des Swaps 0,03808 beträgt, der Wert des Swaps nahe Null liegt, was darauf hindeutet, dass der Strike gefunden wurde, für den der Wert des Swaps Null beträgt.
Dieser Teil der Vorlesung bietet einen umfassenden Überblick über Zinsprodukte, wobei der Schwerpunkt auf Zinsswaps liegt. Es behandelt verschiedene Themen, darunter die Preisgestaltung von Swaps, Absicherungsstrategien, die Rolle von Nullkuponanleihen und die Bewertung von Swaps anhand von Zinskurven. Durch das Verständnis dieser Konzepte erhalten Studierende wertvolle Einblicke in die Finanztechnik und die Berechnung von Swap-Kontraktwerten.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 5/14, Teil 2/2, (Zinsprodukte)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 5/14, Teil 2/2, (Zinsprodukte)
In dieser Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Preisgestaltung von Derivaten, die mit Volatilität behaftet sind. Der Redner geht zunächst auf das Konzept der Maßänderungen für Zinssätze ein, insbesondere im Kontext des Hull-White-Modells. Sie leiten die Rhodom/Nichodemus-Ableitung ab und wenden das Girsanov-Theorem an, um die Maßänderungen zu berechnen. Dieses Verständnis von Kennzahlenänderungen ist für die Preisgestaltung von Zinsprodukten von entscheidender Bedeutung.
Als nächstes untersucht die Vorlesung die Dynamik von Nullkuponanleihen unter verschiedenen Maßstäben unter Verwendung des AJM-Frameworks. Der Redner erörtert, wie sich diese Dynamik auf die Preisgestaltung von Optionen auf diese Anleihen auswirkt. Sie heben die Ersetzung des Integrals und dz durch den momentanen Terminkurs im Ausdruck für die Dynamik einer Nullkuponanleihe hervor und liefern so einen abgeleiteten endgültigen Ausdruck. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Dynamik von Nullkuponanleihen nach dem Hull-White-Modell und dem T-Forward-Maß. Es wird betont, wie wichtig es ist, das Maß zu ändern, insbesondere bei der stochastischen Diskontierung, um komplexe Berechnungen zu vermeiden.
Der Referent stellt die Kirizanov-, Loefler- und Radon-Nikodym-Ableitung als Werkzeuge zum Wechsel zwischen verschiedenen Maßen vor. Sie erklären, wie man die Dynamik der Anleihe und des Geldsparkontos ermittelt, indem man Itos Lemma auf das Radon-Nikodym-Derivat anwendet. Dies führt zum Girsanov-Theorem, das die Beziehung zwischen dem T-Forward-Maß und dem risikoneutralen Maß festlegt und die zusätzliche Drift beim Wechsel zwischen Maßen hervorhebt. Durch Ersetzen der Brownschen Bewegung unter dem risikoneutralen Maß durch das T-Forward-Maß wird die Dynamik des Hull-White-Modells abgeleitet.
Anschließend wird in der Vorlesung ein durch Lambda und eine laufzeitabhängige Theta-Funktion dargestelltes Short-Rate-Maßmodell vorgestellt. Sie definieren Mu-Theta mit zwei Argumenten, dem kleinen t und dem großen mt, und wenden das Girsanov-Theorem an, um das Maß vom risikoneutralen Maß zum T-Forward-Maß zu ändern. Der Schwerpunkt verlagert sich auf die Preisoptionen für Nullkuponanleihen, was einen Messgrößenwechsel von der risikoneutralen Messgröße zur Zero-Forward-Messgröße erfordert. Der Redner erörtert die Dynamik der Nullkuponanleihe und ihre Verteilung nach dem T-Forward-Maß, liefert einen Ausdruck für die Anleihe und passt den Strike an eine konstante zeitabhängige Funktion an. Sie diskutieren auch die Verteilung des Prozesses r unter dieser Maßnahme.
Im weiteren Verlauf erklärt die Vorlesung, wie die Verteilung von r unter dem T-Forward-Maß mithilfe des Black-Scholes-Modells mit angepassten Parametern gelöst werden kann. Die Änderung der Kennzahl ermöglicht eine analytische Preisfestlegung von Nullkuponanleihen unter Verwendung normaler kumulativer Verteilungsfunktionen und geschlossener Lösungen. Der Referent führt ein Experiment zur Preisgestaltung einer Nullkuponanleihe durch und vergleicht den analytischen Ausdruck mit einer Monte-Carlo-Simulation unter Verwendung der Standard-Euler-Diskretisierung. Es wird Code für die Simulation bereitgestellt und die Berechnung von Optionspreisen für verschiedene Ausübungspreise wird besprochen.
Der Vortrag legt den Schwerpunkt auf die Preisgestaltung europäischer Optionen auf Nullkuponanleihen und unterstreicht deren Bedeutung, da sie eng mit der Preisgestaltung von Optionen auf einen Forward-LIBOR-Satz verbunden sind. Es werden zwei Ansätze zur Preisgestaltung dieser Optionen erläutert: einer basiert auf dem Full-Light-Modell und der andere basiert auf der direkten Auferlegung eines Verteilungs- oder stochastischen Prozesses auf den LIBOR-Satz. Es wird die Formel für die Preisgestaltung europäischer Call-Optionen oder Couplets bereitgestellt und die Methode zum Ändern des Maßes vom risikoneutralen Maß zum T-Forward-Maß erläutert. Der Fokus liegt weiterhin auf Call-Optionen, wobei erwähnt wird, dass eine Put-Option bzw. ein Floor darauf als Hausaufgabe vergeben wird.
Darüber hinaus werden die Dynamik und Preisgestaltung der LIBOR-Sätze diskutiert. Der Vortrag erkennt an, dass der LIBOR-Satz unter dem gegebenen Maß ein Martingal ist, was die Annahme einer driftlosen Dynamik zulässt. Die Verwendung einer logarithmischen Normalverteilung zur Darstellung von LIBOR-Sätzen birgt jedoch Herausforderungen, wie beispielsweise die Möglichkeit negativer Zinssätze, insbesondere bei der Preisgestaltung exotischer Derivate. Eine Kalibrierung an Marktdaten, insbesondere unter Verwendung von Ober- und Mindestzinssätzen, wird als notwendig erachtet, und die Zinsobergrenze wird als Mittel zur Absicherung eines Kreditnehmers mit variablem Zinssatz beschrieben.
Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird die Preisgestaltung von Caplets erörtert, die in Basisverträge, sogenannte Couplets, zerlegt werden können. Der Redner weist darauf hin, dass die Preisgestaltung von Caplets mithilfe einer logarithmischen Normalverteilung aufgrund der Möglichkeit negativer Zinssätze Probleme aufwirft. Um dieses Problem zu beheben, wird ein Verschiebungsparameter eingeführt, der auf die Verteilung angewendet wird. Anschließend wird die Preisgestaltung eines Caplets anhand eines zugrunde liegenden Modells erläutert, die eng mit der Preisgestaltung einer Option auf eine Nullkuponanleihe zusammenhängt. Indem die Definition eines LIBOR-Zinssatzes durch Nullkomponenten ersetzt wird, wird die Preisgleichung vereinfacht, was dazu führt, dass eine Call-Option auf eine Nullkuponanleihe mit einem etwas anderen Basispreis bewertet wird. Die Vorlesung endet mit einer kurzen Darstellung des Preiscodes, bei dem es sich um eine vereinfachte Zinsstrukturkurve handelt.
Darüber hinaus geht der Redner auf die Preisgestaltung von Put-Optionen auf Nullkuponanleihen, auch „Couplets“ genannt, ein und betont, wie wichtig es ist, bei der Preisgestaltung nicht nur den Basispreis, sondern auch den Nominalwert anzupassen. Sie erkennen die enge Übereinstimmung zwischen Monte-Carlo-Simulation und theoretischer Preisgestaltung für Optionen auf Nullkuponanleihen und Zinskurven an. Sie unterstreichen jedoch die Bedeutung von Marktmodellparametern wie Mean Reversion und Volatilität bei der Gestaltung impliziter Volatilitätsoberflächen. Sie weisen darauf hin, dass diese Parameter zwar einen begrenzten Einfluss auf das Hull-White-Modell haben, es jedoch kein implizites Volatilitätslächeln, sondern nur eine Verzerrung erzeugen kann. Abschließend fasst der Referent die beiden Hauptblöcke des Vortrags zusammen, zu denen einfache Zinsprodukte und die Preisgestaltung einfacher Optionen im Kontext des Hull-White-Modells gehören.
Gegen Ende der Vorlesung informiert der Dozent die Studenten darüber, dass sich der Kurs ausschließlich auf Auszahlungen europäischen Typs konzentrieren wird, während in einem späteren Kurs exotischere Derivate behandelt werden. Es werden Hausaufgaben vergeben, darunter die Preisgestaltung einer Option mit Mindestbestellwert und die Ableitung der Black-Formel für eine neue Variante der verschobenen logarithmischen Normalverteilung. Die Schüler werden angewiesen, die aus der Black-Formel erhaltenen Ergebnisse mit ihren numerischen Ergebnissen zu vergleichen und eine Verschiebung in die logarithmische stochastische Differentialgleichung einzuführen, um die notwendigen Anpassungen widerzuspiegeln.
Die Vorlesung bietet eine detaillierte Untersuchung der Preisgestaltung von Derivaten mit Volatilität, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der Dynamik und Preisgestaltung von Nullkuponanleihen, Optionen auf diese Anleihen und LIBOR-Sätzen liegt. Um diese Preisberechnungen zu erleichtern, werden das Konzept der Maßänderungen, die Verwendung von Radon-Nikodym-Derivaten und die Anwendung des Girsanov-Theorems behandelt. Die Vorlesung betont die Bedeutung der Anpassung von Kennzahlen, Ausübungspreisen und Nominalwerten und beleuchtet gleichzeitig die Auswirkungen von Marktmodellparametern auf implizite Volatilitätsflächen.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 1/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 1/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
In Fortsetzung des Themas Zinskurven betont die Vorlesung die Bedeutung der Erstellung einer genauen Zinskurve, die als wesentlicher Bestandteil bei der Bewertung von Zinsderivaten und Finanzanalysen dient. Der Dozent erklärt, dass Zinskurven unter anderem für die Diskontierung zukünftiger Cashflows, die Bestimmung des Barwerts von Zahlungen und die Bewertung von Unternehmen unerlässlich sind. Die Erstellung einer Zinsstrukturkurve basiert typischerweise auf liquiden Instrumenten, die weniger Unsicherheit in den Bewertungsprozess einbringen. Aus mathematischer Sicht bilden Zinskurven die Marktnotierungen dieser liquiden Instrumente ab.
Anschließend gibt der Dozent weitere Einblicke in die Natur von Zinskurven. Sie erklären, dass Zinskurven verschiedene Marktinstrumente in der Zinswelt verbinden und Erwartungen an zukünftige Zinssätze darstellen. Während die Zinsstrukturkurve bei tagesaktueller Betrachtung stochastisch erscheinen mag, ist ihr Preis aus heutiger Sicht aufgrund der Erwartungen deterministisch. Die Erstellung einer Zinsstrukturkurve umfasst die Auswahl eines diskreten Satzes liquider Instrumente und die Interpolation, um die Rückgratpunkte zu verbinden. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, Instrumente ähnlicher Qualität auszuwählen und weist darauf hin, dass sich die Anzahl der Instrumente im Laufe der Zeit ändern kann. Sie betonen, dass die Zinsstrukturkurve nicht nur als mathematisches Werkzeug dient, sondern auch wertvolle wirtschaftliche Erkenntnisse bietet und als Barometer der aktuellen Marktbedingungen fungiert.
Die Vorlesung geht tiefer auf die Konstruktion und Interpretation von Zinskurven ein. Der Dozent erläutert, wie Zinskurven die Verteilung des Geldes auf dem Markt widerspiegeln, ob es in Aktien oder Anleihen investiert wird und ob Anleihen bevorzugt werden, unabhängig davon, ob sie langfristig oder kurzfristig sind. Renditekurven geben Aufschluss über die Erwartungen der Anleger an zukünftige Zinssätze und ihre Risikoeinstellung. Der Dozent weist jedoch darauf hin, dass Renditekurven aufgrund von Faktoren wie Interventionen von Zentralbanken und externen Investitionen nur begrenzt möglich sind, die Zukunft genau vorherzusagen. Daher ist die sorgfältige Erstellung einer Zinsstrukturkurve und die Berücksichtigung von Änderungen, die über viele Jahre hinweg auftreten, von entscheidender Bedeutung, um ihre Genauigkeit sicherzustellen.
Die Laufzeitstruktur der Zinssätze wird auch in Bezug auf Zinsstrukturkurven erläutert. Der Dozent betont, dass Zinskurven das zeitliche Verhältnis zwischen Renditen unterschiedlicher Laufzeiten darstellen und von der lokalen Wirtschaft abhängen. Sie erwähnen, dass die Kurve der US-Staatsanleihen aufgrund der Stellung der USA als eine der größten Volkswirtschaften und der Verwendung des Dollars als Reservewährung als globaler Wirtschaftsindikator von erheblicher Bedeutung ist. Staatsanleihen wie US-Staatsanleihen gelten in der Regel als ausfallfrei, wenn sie in der Landeswährung ausgegeben werden, während in Fremdwährungen ausgegebene Anleihen ein höheres Ausfallrisiko bergen. Auch das Konzept der Risikoprämie wird als Einflussfaktor auf die Rendite bzw. den Zinssatz diskutiert.
Die Vorlesung untersucht verschiedene Formen von Zinsstrukturkurven und ihre Auswirkungen auf die Wirtschaft. Eine standardmäßige Normalform weist darauf hin, dass die längerfristigen Renditen deutlich höher sind als die kurzfristigen Renditen, was eine normale wirtschaftliche Situation widerspiegelt. Im Gegensatz dazu kann eine invertierte Zinsstrukturkurve, bei der die langfristigen Renditen sinken, während die kurzfristigen Renditen stabil bleiben, ein ungesundes Szenario bedeuten, das Banken und Pensionskassen vor Herausforderungen stellen kann. Der Dozent liefert Beispiele für unterschiedliche Zinskurvenformen und erklärt, wie diese den Markt beeinflussen können.
Die Auswirkungen der Inflation auf die Renditen werden diskutiert, wobei hervorgehoben wird, dass ein Anstieg der Inflationserwartungen zu höheren Renditen führt, da Anleger einen Ausgleich für die negative Realrendite ihrer Anlagen verlangen. Die Vorlesung behandelt auch die Konzepte der Versteilerung und Abflachung der Zinsstrukturkurve aufgrund von Veränderungen in der Wirtschaft. Der Spread zwischen einem 10-jährigen Swap mit konstanter Laufzeit und einem 2-jährigen Swap kann die Richtung einer steiler werdenden Kurve anzeigen, während die Inversion der Zinsstrukturkurve eine Abflachung der Kurve anzeigt. Anhand grafischer Beispiele wird veranschaulicht, wie diese unterschiedlichen Kurven und Spreads die Wirtschaft in der Vergangenheit beeinflusst haben.
Die Vorlesung führt in das Konzept der Renditekontrolle und ihren Einfluss auf Zinssätze ein. Unter Renditekontrolle versteht man die Fähigkeit der Zentralbank, die Zinsstrukturkurve zu beeinflussen, indem sie die Zinssätze anpasst, um Inflations- und Beschäftigungsziele zu erreichen. Zentralbanken können Anleihen kaufen oder verkaufen, um die Nachfrage zu beeinflussen und die Wirtschaft anzukurbeln. Allerdings bergen diese Maßnahmen auch Risiken und Einschränkungen, insbesondere wenn der Inflationsdruck zunimmt. Der Dozent erklärt, dass die Zinsstrukturkurve mathematisch durch Spline-Punkte und entsprechende Abzinsungsfaktoren definiert wird, die die Erwartungen an kurzfristige Zinssätze darstellen.
Anschließend befasst sich der Dozent mit der Konstruktion der Zinsstrukturkurve und mehrerer Zinskurven im Financial Engineering. Sie erklären, dass die Kurve durch die Kombination von vom Markt erhaltenen Spine-Punkten mit einer Interpolationsroutine konstruiert wird. Für eine gut konstruierte Zinsstrukturkurve müssen mehrere Anforderungen erfüllt sein, darunter die Bepreisung der Kurve mithilfe der ausgewählten Instrumente, die Gewährleistung kontinuierlicher Terminzinssätze und die Verwendung einer lokalen Interpolationsmethode für eine genaue Absicherung. Zur Konstruktion der Kurve gehört auch die Definition eines Optimierungsproblems und die Bestimmung des Vektors von Nullkuponanleihen als Stützpunkte bei unterschiedlichen Laufzeiten.
Der Professor erklärt Schritt für Schritt, wie man eine Zinsstrukturkurve und mehrere Zinskurven erstellt. Der Prozess beinhaltet die Ermittlung eines Vektors des Barwerts eines Vertrags (PVI), der von allen Rückgratpunkten der Kurve abhängt. Das Ziel besteht darin, sicherzustellen, dass die Marktnotierung mit dem Kurvenpreis für alle bei der Erstellung der Kurve verwendeten Instrumente übereinstimmt. Um dieses Problem zu lösen, wird eine Optimierungstechnik unter Verwendung der L-Norm eingesetzt. Der Professor veranschaulicht, wie das Problem in eindimensionalen Fällen mithilfe des Newton-Raphson-Algorithmus gelöst werden kann, der die absolute Differenz minimiert, um zu einer optimalen Lösung zu gelangen. Als nächstes erörtert der Redner den Iterationsprozess, der verwendet wird, um das optimale Sigma für ein Black-Scholes-Modell zu finden. Er erläutert die Stoppkriterien für das Modell und die Anforderungen zum Erreichen der Konvergenz. Der Redner betont die gegenseitige Abhängigkeit der Wirbelsäulenpunkte auf der Kurve und betont die Notwendigkeit, für mehrere Schläge zu iterieren, um ein implizites Volatilitätslächeln oder -verzerren zu erzeugen. Außerdem wird die Konstruktion der für diesen Prozess erforderlichen Interpolations- und Optimierungstechniken erläutert, einschließlich der Bildung einer Jacobi-Struktur.
Der Redner betont die Bedeutung der Interpolation bei der Konstruktion verschiedener Kurven, insbesondere der Zinsstrukturkurve und der impliziten Volatilitätskurve. Sie stellen fest, dass die Interpolation in Zinskurven aufgrund von Kontinuitäts- und Differenzierbarkeitsbedingungen zwar relativ einfach ist, die Auswahl der geeigneten Interpolationsmethode jedoch für das Lächeln der impliziten Volatilität noch wichtiger ist, da eine falsche Wahl zu erheblicher Preisarbitrage führen kann. Der Referent betont, dass die Interpolation in allen Fällen eine entscheidende Rolle spielt und bei der Auswahl der geeigneten Interpolationsroutine sorgfältige Liebe zum Detail erforderlich ist.
Die Vorlesung vermittelt einen umfassenden Überblick über die Konstruktion und Interpretation von Zinsstrukturkurven. Es unterstreicht ihre Bedeutung für die Bewertung von Zinsderivaten und das Verständnis der Marktdynamik. Die Vorlesung befasst sich außerdem mit der mathematischen Formulierung, den Auswirkungen unterschiedlicher Kurvenformen auf die Wirtschaft und der Rolle der Ertragskontrolle. Darüber hinaus befasst es sich mit der Konstruktion von Zinskurven und Mehrfachkurven und diskutiert Optimierungstechniken, Interpolationsoptionen und deren Auswirkungen auf die Finanztechnik.
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 2/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 2/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
In der Vorlesung geht der Referent auf die praktischen Aspekte des Aufbaus eines Algorithmus zur Zinskurvenkonstruktion ein. Sie betonen die Bedeutung der Kurvenkalibrierung und analysieren den Python-Code, der zur Erstellung der Zinskurve mithilfe von Marktinstrumenten wie Swaps verwendet wird. Die Auswirkungen verschiedener Interpolationsmethoden auf die Absicherung werden ebenfalls untersucht. Der Dozent erläutert die Iterationsroutine zur Erstellung einer Zinskurve, die algebraische Berechnungen mit Vektoren und Matrizen beinhaltet. Sie zeigen, wie man die Kurve optimiert, indem man die nächste Iteration auf Null setzt.
Anschließend erklärt der Kursleiter den Prozess der Suche nach optimalen Wirbelsäulenpunkten zum Aufbau einer Matrix. Dieser Prozess beinhaltet die iterative Anpassung der Vektorabzinsungsfaktoren (dfs), bis Konvergenz erreicht ist. Die Anpassungen basieren auf einer Jacobi-Matrix, und die Umkehrung der Jacobi-Matrix bestimmt die Anpassung für das Delta des dfs. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, Gitter (Ti-Paare und Abzinsungsfaktoren) für den Aufbau der Kurve anzugeben, bevor optimale Nullbindungen gefunden werden. Es wird ein praktisches Beispiel für die Erstellung einer Zinskurve für einen zweijährigen und einen fünfjährigen Zinsswap gegeben, das die Herausforderung verdeutlicht, ein System mit mehr Unbekannten als Gleichungen zu lösen.
Die Herausforderungen bei der Erstellung einer Zinsstrukturkurve mithilfe von Swap-Zahlungen für Spine-Punkte werden aufgrund eines unterbestimmten Systems diskutiert. Die Lösung besteht darin, nur die Schlusszahlung als Rückgratpunkt zu betrachten und die Punkte dazwischen zu interpolieren. Es wird betont, dass die Anzahl der Instrumente der Anzahl der Wirbelsäulenpunkte entsprechen sollte, um Verwirrung zu vermeiden. Der Prozess der Erstellung einer Zinsstrukturkurve mithilfe einer Forward-Rate-Vereinbarung und eines Swaps wird erläutert, wobei der Schwerpunkt auf der numerischen Implementierung liegt.
Der Vortrag betont die Bedeutung der Erstellung einer Zinsstrukturkurve und die Auswirkungen von Marktnotierungen, die typischerweise bei Null liegen. Es wird die Definition des LIDOR-Satzes besprochen und der Barwert eines Vertrags (PV1) in Form des LIDOR-Satzes ausgedrückt. Der PV1 hängt nur vom Abzinsungsfaktor (df1) ab, der mit dem ersten Gleichungssatz berechnet werden kann. Der zweite Gleichungssatz betrifft den Swap mit zwei Zahlungsterminen. Die Vorlesung erläutert die Verwendung einer unteren Dreiecksmatrix und eine effiziente Inversion zur Kurvenbildung, wenn nur Swaps verwendet werden.
Der Prozess der Erstellung einer Zinsstrukturkurve anhand von Marktdaten des US-Finanzministeriums wird untersucht. Zur Bildung der Zinsstrukturkurve werden Quotes für LIBOR-Sätze und Swaps mit unterschiedlichen Laufzeiten verwendet. Die Vorlesung stellt die mehrdimensionale Newton-Raphson-Funktion vor, die zur Kalibrierung der Kurve verwendet wird, und betont die Bedeutung der Auswahl der richtigen Interpolationsmethode. Außerdem wird die Funktion zur Bewertung eines Swap-Instruments auf einem Vektor von Spine-Punkten eingeführt.
Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Konstruktion von Zinskurven und Multikurven. Der Prozess beginnt mit der Definition eines Swaps und geht dann zur Erstellung einer Zinskurve unter Verwendung einer Reihe von Instrumenten und Laufzeiten über. Zur Optimierung der Ertragskurve während des Bauprozesses wird ein multivariates Newton-Verfahren eingesetzt. Es wird betont, wie wichtig es ist, einen Toleranzwert zu wählen, und die Herausforderung der Optimierung mit einer Toleranz von 10 hoch 10 wird hervorgehoben. Der Vortrag schließt mit der Betonung der schnellen Konvergenz, die mit dieser Optimierungsmethode erreicht wird.
Die Bewertung von Instrumenten anhand von Spine-Points und Interpolationsverfahren wird erläutert. Die Zinsstrukturkurve wird unter Verwendung von Spine-Points und einer Interpolationsmethode erstellt, gefolgt von der Bewertung jedes Swaps als Funktion der Nullkuponanleihen basierend auf dem aktuellen Spine-Point-Zustand. Ein Jacobi-Wert, der die Empfindlichkeit jedes einzelnen Gegenwartswerts (PV) gegenüber allen Spine-Punkten darstellt, wird numerisch berechnet, indem an jedem einzelnen Spine-Punkt ein Schock durchgeführt und alle Swaps ausgewertet werden. Die Vorlesung beleuchtet die kompakte und effiziente Funktion zur Berechnung der Jacobi-Funktion.
In der Vorlesung wird der Prozess der Erstellung der Zinskurve und mehrerer Kurven mithilfe der Newton-Raphson-Iterationsmethode, der Jacobi-Matrix und dem Numpy-Toolset für die lineare Algebra besprochen. Nach der Erstellung der Zinskurve werden die Swaps vor der Erstellung der Kurve bewertet. Der Vortrag betont die Notwendigkeit, die Anzahl der Auswertungen zu begrenzen, um eine Überlastung des Python-Codes zu vermeiden, und schlägt die Integration von Schutzmaßnahmen vor, um dieses Problem zu verhindern. Darüber hinaus zeigt die Vorlesung, wie der Barwert (PV) der Swaps anhand der anfänglichen Zinsstrukturkurve und der kalibrierten Zinsstrukturkurve berechnet wird, die aus dem Iterationsprozess unter Einbeziehung der Spine-Punkte erhalten wird.
Der Professor untersucht außerdem die Optimierungsroutine und die Zinskurvenkalibrierung für Zinsswaps. Es ist zu beachten, dass die Zinskurvenkalibrierung mithilfe von Swaps selbst bei Werten unter Null sehr genaue Ergebnisse liefert. In der Vorlesung werden auch Bereiche hervorgehoben, in denen Verbesserungen möglich sind, beispielsweise die Verwendung analytischer Berechnungen für abgeleitete Sensitivitäten, um die Recheneffizienz und -genauigkeit zu verbessern.
Als Schwerpunkt für den folgenden Abschnitt wird das Konzept der „Absicherung“ vorgestellt. Die Auswirkungen verschiedener Interpolationsroutinen auf die Absicherungsergebnisse werden diskutiert und verschiedene Interpolationsmethoden untersucht. Der Professor empfiehlt, die vorhandene Literatur zu konsultieren, um zusätzliche Möglichkeiten der Interpolation zu erkunden. Die Vorlesung schließt mit der Betonung der Bedeutung der Durchführung von Tests unter kleinen Bedingungen und der Berücksichtigung der Auswirkungen von Interpolationsroutinen auf die Zinsstrukturkurve.
Im Vortrag untersucht der Referent verschiedene Interpolationsroutinen, die bei der Erstellung von Zinskurven zum Einsatz kommen, und deren Einfluss auf die Ergebnisse. Die Nachteile der einfachen Interpolation, wie beispielsweise der einfachen linearen Interpolation, werden hervorgehoben, insbesondere bei Verwendung einer modellbasierten Zinsstrukturkurve. Es wird erklärt, dass das Verhalten der kurzfristigen Zinsstruktur unregelmäßig werden kann, wenn kleine Details bei der Interpolation übersehen werden, da der momentane Terminkurs vom Logarithmus einer Nullkuponanleihe abhängt. Um diese Einschränkungen zu überwinden, wird als Methode die Differenzierung nach logarithmischen Abzinsungsfaktoren vorgeschlagen.
Die Vorlesung befasst sich auch mit lokaler und globaler Interpolation und betont, wie wichtig es ist, die Auswirkungen eines Schocks oder einer Änderung an einem Wirbelsäulenpunkt zu lokalisieren, um zu vermeiden, dass eine große Anzahl von Punkten auf der Kurve beeinträchtigt wird. Darüber hinaus betont der Dozent die Bedeutung der Auswahl einer Interpolationsmethode, die die Eigenschaften der Instrumente auf der Kurve und deren Einfluss auf deren Leistung berücksichtigt.
Die Konstruktion von Zinskurven und Multikurven wird aus finanztechnischer Sicht diskutiert. Es wird ein Python-Experiment vorgestellt, das eine Funktion demonstriert, die entwickelt wurde, um eine Zinskurve durch kleine Anpassungen zu kalibrieren. Das Experiment umfasst die Konstruktion eines Instrumentensatzes als Funktion und die Einbeziehung quadratischer und kubischer Interpolation. Darüber hinaus werden die Preisgestaltung eines außerbörslichen Swaps und die Sensitivitätsanalyse des Swaps gegenüber allen bei der Erstellung der Kurve verwendeten Marktinstrumenten durch Differenzierung und Kurvenneukalibrierung für jedes schockierte Instrument im Portfoliosatz demonstriert.
Der Referent erklärt, wie man mithilfe von Schock und Delta eine Zinsstrukturkurve und mehrere Zinskurven erstellt. Der Prozess umfasst die Wiederholung des gesamten Verfahrens für jedes Instrument mit einem schockierten Festzinssatz und die Neudefinition von Delta, das die Ableitung des Swaps in Bezug auf jedes Marktinstrument darstellt. Delta-Werte werden angenähert, indem die Schockgröße geteilt, die Kurve neu erstellt und die resultierende Auswirkung bewertet wird. Mit diesen Delta-Werten wird es möglich, den erforderlichen Einsatz jedes Marktinstruments für die Kurvenkonstruktion zu bestimmen und so eine effektive Absicherung von Futures zu ermöglichen. Zur Veranschaulichung der Absicherung eines vierjährigen Swaps mit Instrumenten mit drei- und fünfjähriger Laufzeit wird lineare Interpolation eingesetzt, die an den erwarteten Ergebnissen ausgerichtet ist. Schließlich zeigt ein Vergleich zwischen linearer und kubischer Interpolation, dass die kubische Interpolation zwar rechenintensiver ist, aber zu erheblichen Ergebnisunterschieden führt.
Der Referent diskutiert die Konstruktion von Zinskurven und Mehrfachkurven im Rahmen des Financial Engineering. Es wird ein Vergleich zwischen der kubischen Interpolation und der linearen Interpolation durchgeführt, wobei hervorgehoben wird, dass die kubische Interpolation fortgeschrittener, aber auch langsamer ist. Es wird auf die Auswirkungen der Interpolation auf die Absicherung eingegangen. Dabei wird darauf hingewiesen, dass die kubische Interpolation zwar zu einer glatteren Kurve führen kann, sie jedoch aufgrund der Empfindlichkeit gegenüber Produkten mit Laufzeiten, die weit über denen der Swaps liegen, zu höheren Absicherungskosten führen kann. Der Redner schlägt vor, die quadratische Interpolation als Alternative zu prüfen und betont, dass die Auswirkungen der Interpolation auf die Absicherung nicht übersehen werden sollten.
Im Anschluss an den Vortrag geht der Referent auf die Konstruktion von Zinskurven und Multikurven mittels Schock und Delta ein. Bei dieser Methode wird der gesamte Prozess für jedes Instrument mit einer schockierten festen Rate neu kalibriert. Das Delta, das die Ableitung des Swaps in Bezug auf jedes Marktinstrument darstellt, wird neu definiert, indem die Größe des Schocks dividiert und die resultierende Auswirkung auf die Kurve angenähert wird. Durch die Analyse der Delta-Werte wird es möglich, die geeignete Allokation jedes Marktinstruments für die Kurvenkonstruktion zu bestimmen und so eine effektive Absicherung von Futures zu ermöglichen. Der Redner demonstriert die Verwendung linearer Interpolation, um die Absicherung eines vierjährigen Swaps mithilfe von Instrumenten mit drei- und fünfjähriger Laufzeit zu veranschaulichen, die sich an den erwarteten Ergebnissen orientieren.
Die Vorlesung betont die Bedeutung der Wahl der richtigen Interpolationsmethode, da diese die Form und das Verhalten der Zinsstrukturkurve erheblich beeinflusst. Während die kubische Interpolation möglicherweise eine glattere Kurve bietet, verursacht sie häufig höhere Absicherungskosten, da sie empfindlich gegenüber Produkten ist, deren Laufzeit weit über der der Swaps liegt. Daher schlägt der Redner vor, die quadratische Interpolation als Alternative zu erkunden, die ein Gleichgewicht zwischen Genauigkeit und Recheneffizienz herstellt.
Darüber hinaus wird in der Vorlesung die Notwendigkeit betont, die Eigenschaften der zur Konstruktion der Kurve verwendeten Instrumente und deren Einfluss auf deren Leistung zu berücksichtigen. Unterschiedliche Instrumente erfordern möglicherweise unterschiedliche Interpolationsmethoden oder Anpassungen, um eine genaue Preisgestaltung und ein genaues Risikomanagement sicherzustellen. Es ist wichtig, das Verhalten der Instrumente im Kontext des Zinsstrukturkurvenkonstruktionsprozesses sorgfältig zu analysieren und zu verstehen.
Die Vorlesung schließt mit der Anregung zur weiteren Forschung und Erforschung von Interpolationsmöglichkeiten. Obwohl die kubische Interpolation fortgeschrittener ist und eine glattere Kurve bietet, ist sie möglicherweise nicht immer die optimale Wahl. Finanzfachleute und Forscher werden ermutigt, sich mit der vorhandenen Literatur zu befassen und verschiedene Interpolationsroutinen zu studieren, um den für ihre spezifischen Anforderungen am besten geeigneten Ansatz zu ermitteln.
Die Erstellung von Zinskurven und Mehrfachkurven erfordert eine Kombination aus mathematischen Techniken, Kalibrierungsmethoden und Interpolationsroutinen. Es handelt sich um einen komplexen Prozess, der eine sorgfältige Abwägung verschiedener Faktoren erfordert, wie z. B. Instrumenteneigenschaften, Recheneffizienz und Auswirkungen auf die Absicherung. Durch den Einsatz der richtigen Methoden und das Verständnis der zugrunde liegenden Prinzipien können Finanzexperten robuste Renditekurven erstellen, die die Marktbedingungen genau widerspiegeln und wirksame Risikomanagementstrategien unterstützen.Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 3/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 6/14, Teil 3/3, (Konstruktion von Zinskurven und Multikurven)
In der Vorlesung wird das Konzept der Multikurven vorgestellt, das Ausfallwahrscheinlichkeiten von Kontrahenten in die Erstellung von Zinskurven einbezieht. Diese zusätzlichen Informationen berücksichtigen die Häufigkeit der Zahlungen und die damit verbundenen Ausfallrisiken. Der Redner betont, dass die Kreditvergabe an einen Kontrahenten über einen längeren Zeitraum das Risiko im Vergleich zur Kreditvergabe mit kürzerer Laufzeit erhöht. Multikurven entstanden als Entwicklung in der Finanzmathematik nach der Finanzkrise 2008–2009 und sind auf dem heutigen Markt nach wie vor weit verbreitet.
Die Vorlesung beinhaltet eine Python-Implementierung mehrerer Kurven und weist den Studierenden eine Hausaufgabe zu, in der sie aufgefordert werden, den vorhandenen Code durch die Einbeziehung zusätzlicher Instrumente zur Kurvenkalibrierung und Absicherungsaspekten zu verbessern.
Die Konstruktion von Zinskurven und Mehrfachkurven in der Finanztechnik wird diskutiert, wobei der Einfluss der Zahlungshäufigkeit auf den Kurventyp und das Risikomanagement betont wird. Eine höhere Zahlungshäufigkeit verringert den potenziellen Verlust im Falle eines Ausfalls der Gegenpartei und macht es zu einer sichereren Wahl. Die Motivation hinter Multi-Kurven geht auf die Krise von 2007–2009 zurück, als die Basis-Spreads zwischen verschiedenen Laufzeiten signifikant wurden, was zu mehreren Basispunkten der Differenz zwischen unterschiedlichen Frequenzkurven führte.
Der Referent erklärt, dass verschiedene Instrumente unterschiedliche Liquiditäts- und Kreditrisikoprämien aufweisen, die sich auf ihre Zinskurven auswirken. Vor der Finanzkrise basierte die Preisgestaltung auf einer einzigen Kurve. Nach der Krise müssen jedoch zusätzliche Risikoprämien für unterschiedliche Laufzeitstrukturen in Betracht gezogen werden. Der Referent veranschaulicht die Risikoprämienverteilung zwischen verschiedenen Laufzeiten anhand einer Darstellung der momentanen Terminzinssätze. Der Marktkonsens besteht darin, zukünftige Cashflows auf der Grundlage der höchsten Häufigkeit der Laufzeit zu diskontieren. Die optimale Wahl für die Diskontierung ist eine Kurve mit dem geringsten Kreditrisiko, die typischerweise mit einer 10 von einem Tag verbunden ist.
Die Vorlesung befasst sich mit der Einbeziehung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in die Preisgestaltung und der Entwicklung eines Rahmenwerks für die Preisgestaltung von Derivaten im Multi-Kurven-Kontext. Besprochen werden Kurven wie der Euro Overnight Index Average und der US Federal Reserve Overnight Rate. Die Praktiker beobachteten zunächst den Markt und später wurde die Theorie entwickelt, die die Einbeziehung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in das Multi-Kurven-Framework erforderlich machte. Die Bibliotheksdefinition muss geändert werden, um die risikofreie Kurve und die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Gegenpartei einzubeziehen. Der Redner betont die Notwendigkeit erweiterter Versionen des LIBOR-Zinssatzes und der Maßänderungen, um dieser Änderung Rechnung zu tragen. Durch die Einbeziehung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und die Überprüfung der Existenz der Gegenpartei vor der Ausführung von Transaktionen erhalten Praktiker ein besseres Verständnis der Derivatpreisgestaltung innerhalb des Multi-Kurven-Frameworks.
Das Konzept der Ausfallwahrscheinlichkeit wird im Zusammenhang mit der Preisgestaltung von Derivaten mit Kreditrisiko erläutert. Die Ausfallwahrscheinlichkeit stellt das Ausfallrisiko über einen bestimmten Zeitraum dar und wird typischerweise aus Marktinstrumenten wie Credit Default Swaps abgeleitet. Wenn Marktinstrumente nicht verfügbar sind, weisen Banken und Finanzinstitute eine Ausfallwahrscheinlichkeit basierend auf der Branchenrisikoassoziation zu. Bei der Preisgestaltung von Derivaten mit Kreditrisiko werden alle künftigen Cashflows diskontiert und die Unabhängigkeit zwischen Zinssätzen und Ausfallwahrscheinlichkeit vorausgesetzt. Die erwartete Auszahlung wird dann anhand einer Indikatorfunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet.
In der Vorlesung wird diskutiert, wie Ausfallwahrscheinlichkeiten und Verbesserungsraten mit Überlebenswahrscheinlichkeiten und Gefährdungsraten zusammenhängen. Credit Default Swaps (CDXs) werden als gehandelte Derivate zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit eingeführt. Durch die Untersuchung der Marktnotierungen von CDXs kann die Risikoprämie berechnet werden, die Einblicke in die Ausfallwahrscheinlichkeit bietet. Die Risikozinskurve berücksichtigt die Ausfallwahrscheinlichkeit und passt Nullkuponanleihen mithilfe von Risikoanpassungen an. In der Praxis wird D(t0, ti) typischerweise als Abzinsungsfaktor interpretiert, der die Konstruktion einer Zinskurve als Sammlung von Abzinsungsfaktoren für Nullkuponanleihen ermöglicht.
Das Video erklärt den Prozess der Ermittlung eines fairen Preises für eine unbesicherte Verbindlichkeit, der Ausfallwahrscheinlichkeiten berücksichtigt, indem auf einer Abzinsungskurve eine Kurve erstellt wird, die einer bestimmten Laufzeit entspricht. Es zeigt die Berechnung risikofreier Nullkuponanleihen und einer Nullkuponanleihe mit einer zusätzlichen Risikoprämie, die den Anpassungsfaktor für die Kurve darstellt. Das Video zeigt auch, wie die Preisgestaltung eines Zinsswaps in einer Multi-Kurven-Umgebung berechnet werden kann. Es kombiniert die Konzepte einer riskanten Verbindlichkeit und des Zinssatzes des Overnight-Index-Swaps und nähert sich der Preisgestaltung an, indem die Erwartung des Forward-LIBOR unter dem entsprechenden Martingal-Maß berechnet wird.
Der Dozent betont die zirkuläre Abhängigkeit zwischen verschiedenen Kurven und die Konstruktion von Zinskurven in der Praxis. In der Regel wird zuerst die Diskontkurve erstellt, gefolgt von der Konstruktion von Dreimonats- und Sechsmonatskurven auf der Grundlage der Diskontkurve und zusätzlicher Marktnotierungen. Bei Streuungen treten jedoch Komplikationen auf, sodass alle Kurven gleichzeitig und nicht einzeln kalibriert werden müssen. Auch wenn es komplexer sein mag, ermöglicht die Wahrung der Konsistenz bei der Absicherung anderer Risiken die Verwendung des falschen Zinssatzes im Black-Scholes-Modell, um der Marktnotierung zu entsprechen.
Das Video bietet Anleitungen zur Implementierung mehrerer Kurven in Python zur Preisgestaltung und zum Aufbau mehrerer Zinskurven. Es baut auf zuvor entwickelten Codes für einzelne Zinskurven auf und erweitert sie für die Verarbeitung mehrerer Zinskurven. Es wird eine Erweiterung der Swap-Definition eingeführt, um die Preisgestaltung im Kontext mehrerer Kurven zu erleichtern. Das Video betont auch, wie wichtig es ist, eine Plausibilitätsprüfung durchzuführen, um die Konsistenz zwischen dem neuen Zinsswap und einer Einzelkurveneinstellung sicherzustellen. Dies wird erreicht, indem zwei Instanzen derselben Kurve verwendet werden, um zu überprüfen, ob sie denselben Wert ergeben.
Der Redner erörtert die Kalibrierung der Zinsstrukturkurve und stellt vier Swaps vor, die der neuen Kurve entsprechen, wobei die ersten Schätzungen vom vorherigen Fall getrennt sind. Das Ziel bleibt, die Marktpreise mit den Modellpreisen in Einklang zu bringen. Die Diskontkurve basiert auf der Bootstrap-Kurve und die Swaps werden als Lambda-Ausdrücke der Terminkurve definiert. Der Referent erläutert die Suche nach Nullkuponanleihen bzw. Zinskurven für die Swaps und die Optimierung von Werten, die den Swap für das konkrete Renditeziel zu Null machen. Die Kalibrierung der Kurve wird noch einmal überprüft und die Werte der Swaps werden aufgezeichnet. Die Plausibilitätsprüfung bestätigt die Konsistenz der neuen Swap-Implementierung und schließlich wird die neue Kurve gebootstrappt.
Der Redner erörtert die Ergebnisse des Kalibrierungs- und Bootstrapping-Prozesses und stellt fest, dass die Preise wieder auf den Nennwert zurückgekehrt sind. Die Diskontkurve und die Prognosekurve werden dargestellt und veranschaulichen die Spreadkurve zwischen ihnen. Der Redner betont, dass die Terminkurve aufgrund der begrenzten Anzahl von Instrumenten niedriger ist, was dazu führt, dass es keinen reibungslosen Übergang zwischen verschiedenen Laufzeiten gibt. Der Kalibrierungsprozess ist relativ schnell und erfordert Optimierungsiterationen im Vergleich zum Server für die Rabattkurve. Abschließend fasst der Referent die in der Vorlesung behandelten Schlüsselkonzepte zusammen, einschließlich der dynamischen Natur der Zinskurve, der mathematischen Formulierung, der Problemformulierung, der Spine Points, der Optimierungsroutine und analytischer Beispiele.
Abschließend geht der Referent auf die Erweiterung des bestehenden Codes für den Beginn einer Kurve und die Einbeziehung zusätzlicher Instrumente ein. Die praktische Bedeutung der Entwicklung eines Absicherungsrahmens zum Verständnis der Auswirkungen unterschiedlicher Interpretationen wird betont. Das Video erklärt die Bedeutung von Multikurven und ihre Beziehung zu Ausfallwahrscheinlichkeiten und Prognosen. Abschließend wird Python-Code zur Implementierung und Erweiterung des vorhandenen Frameworks für die Verarbeitung mehrerer Kurven demonstriert. Als Hausaufgabe wird das Publikum damit beauftragt, den bestehenden Code für eine neue Kurve zu erweitern und eine zusätzliche Ebene einer Terminkurve basierend auf sechs Monaten, drei Monaten und verfügbaren Marktinstrumenten einzubinden.
Das Video erklärt, wie man den fairen Preis einer unbesicherten Verbindlichkeit unter Berücksichtigung der Ausfallwahrscheinlichkeiten berechnet. Dabei wird auf einer Abzinsungskurve eine Kurve erstellt, die einem bestimmten Begriff entspricht. Das Video zeigt die Berechnung einer risikofreien Nullkuponanleihe und einer zusätzlichen risikoprämienbasierten Nullkuponanleihe, die den Anpassungsfaktor für die Kurve darstellt. Darüber hinaus wird die Preisgestaltung eines Zinsswap diskutiert, wobei die Konzepte einer riskanten Verbindlichkeit und des Zinssatzes des Overnight-Index-Swaps kombiniert werden. Die Preisnäherung umfasst die Berechnung der Erwartung des Forward-LIBOR unter dem entsprechenden Martingal-Maß.
Abschließend bekräftigt der Dozent die Bedeutung der Konstruktion von Zinskurven, von Mehrfachkurven und deren praktische Auswirkungen im Financial Engineering. Die Vorlesung behandelt verschiedene Aspekte wie Kurvenkalibrierung, Absicherung, Ausfallwahrscheinlichkeit, Preisgestaltung von Derivaten mit Kreditrisiko und die Implementierung von Multikurven in Python. Durch die Erweiterung des vorhandenen Codes und die Einbindung zusätzlicher Instrumente werden die Studierenden aufgefordert, ihr Verständnis von Multi-Kurven zu vertiefen und praktische Erfahrungen in der Kurvenkalibrierung und Preisgestaltungsaspekten innerhalb eines Multi-Kurven-Frameworks zu sammeln.
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 7/14, Teil 1/2, (Swaptions und Negativzinsen)
Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 7/14, Teil 1/2, (Swaptions und Negativzinsen)
Die Vorlesung beginnt mit einem Rückblick auf frühere Themen, darunter Swaps, Zinssätze, Zinskurvenkonstruktion und grundlegende Produktpreise. Anschließend geht es weiter zu fortgeschritteneren Themen: Swaption-Preisgestaltung und Preisgestaltung bei Negativzinsen. Swaptions, die von der Volatilität abhängen, werden ebenso untersucht wie Zinsoptionen wie Couplets und Flow Rates.
Das Konzept eines Caplets wird als europäische Option eingeführt, die bei der Kalibrierung des Hull-White-Modells eine Rolle spielt. Caplets werden in pfadabhängigen Modellen verwendet und erfordern eine Kalibrierung, um Instrumente vermarkten zu können. Der Dozent diskutiert das Black-76-Modell zur Preisgestaltung von Caplets und unterscheidet zwischen Black-Scholes-Gleichungen und Black-Gleichungen für Zinstermingeschäfte. Die implizite Volatilitätsoberfläche für Zinssätze und die Preisgestaltung exotischer Derivate wird kurz als Thema für einen zukünftigen Kurs erwähnt.
Die Vorlesung befasst sich mit der Parameterkalibrierung für das Vollweißmodell anhand von Marktpreisen für Koppler. Implizite Volatilitäten unter Verwendung des Black-Modells werden eingeführt und im Kalibrierungsprozess verwendet. Die Unterscheidung zwischen der impliziten Volatilität von Black und der impliziten Volatilität aus dem Modell wird hervorgehoben. Die Vorlesung behandelt die Formel für eine Bibliothek, die von zwei Nullbonds abhängig ist, und deren Substitution bei der Preisgestaltung. Ein neuer Strike wird definiert, um konstante oder zeitabhängige Komponenten außerhalb der Erwartung zu entfernen und so die Untersuchung von Dynamiken oder Verteilungen unter dem TK-Maß zu ermöglichen.
Die Preisgestaltung von Swaptions wird im Zusammenhang mit der Preisgestaltung von Nullkuponanleihen in einem Nullkuponmodell diskutiert. Der Unterschied liegt im Zeitpunkt der Zahlungen: Nullkuponanleihen zahlen zu Beginn und Swaptions am Ende. In der Vorlesung wird das Konzept der Konditionierung auf einem Signalfeld vorgestellt und die Definition eines Gelddienstkontos zur Lösung dieses Problems verwendet. Dies führt zu einem Ausdruck für den Preis der Swaption als Erwartungswert des Verhältnisses zweier Gelddienstleistungskonten im Rahmen der Forward-Maßnahme.
In der Vorlesung wird außerdem die Beziehung zwischen Caplets, Anleihen und Optionen auf Nullkuponanleihen untersucht. Das Black-Scholes-Modell wird zur Berechnung impliziter Volatilitäten verwendet, wobei die Parameter des Modells regelmäßig kalibriert werden. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, Simulationstermine richtig zu wählen und Kennzahlen und Erwartungen bei der Optionspreisgestaltung abzugleichen.
Die Generierung impliziter Volatilitätslächeln mithilfe von Zinsprodukten und Preisoptionen für Nullkuponanleihen wird diskutiert. Der Code wird überprüft, um genaue Auswertungen zu gewährleisten, und es wird ein Vergleich zwischen Markt- und modellbasierten Nullkuponanleihen mit Zinskurve durchgeführt. Die Preisgestaltung von Optionen auf Nullkuponanleihen, einschließlich Put-Optionen, wird behandelt, und es werden Experimente durchgeführt, um die Auswirkungen von Volatilität und Modellversionen auf die Preisgestaltung zu analysieren.
Die Vorlesung stellt einen Iterationsprozess vor, um die implizite Volatilität zu ermitteln, die die Bedingung des gleichen Marktwerts und des Black '76-Preises für eine Option erfüllt. Als Ausgangspunkt für Newton-Raphson werden Gitter mit unterschiedlichen Volatilitätsniveaus definiert und interpoliert. Der Einfluss des Mean-Reversion-Parameters auf die implizite Volatilität wird diskutiert, mit einer Empfehlung, ihn bei der Kalibrierung des Volatilitätsparameters zu korrigieren. Bei XVA-Betrachtungen werden zeitabhängige Parameter hervorgehoben.
Es werden die Einschränkungen des Hinzufügens stochastischer Volatilität zum HJM-Modell bei der Derivatpreisgestaltung angesprochen, einschließlich der Auswirkungen auf die implizite Volatilitätsabweichung und Kalibrierungsherausforderungen. Der Vortrag beleuchtet die Bedeutung der Rentenkomponente bei Swaps und die Notwendigkeit, diese bei der Änderung der Kennzahl zu berücksichtigen. Aufgrund ihrer Verbreitung in Finanzinstituten ist es von entscheidender Bedeutung, Zinsswaps zu verstehen und Modelle zu verbessern und gleichzeitig die Recheneffizienz aufrechtzuerhalten.
Die Preisgestaltung von Swaps konzentriert sich auf die Annahme einer einzelnen Kurve. Der Wert eines Swaps hängt von zwei Zahlungen ab, zunächst und am Ende, und kann als Differenz zweier Nullkomponenten dargestellt werden, wobei der Basispreis mit der Annuität multipliziert wird. Die Par-Preisgestaltung wird erläutert, wobei der Basispreis so gewählt wird, dass der Wert Null wird, was zu keinen Barzahlungen führt. Volatilität ist für die Preisgestaltung exotischer Derivate erforderlich und erfordert eine Kalibrierung für Marktinstrumente.
Der Einsatz von Swaptions in der Finanztechnik zur Messung der Marktvolatilität wird diskutiert. Swaptions sind europäische Derivate, die dem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht einräumen, zu einem vorher festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft einen Swap abzuschließen. Der Ausübungspreis der Swaption bestimmt, ob der Inhaber Zahler oder Empfänger des Swaps ist. Durch Ersetzen der Swap-Definition wird die Bewertungsgleichung für Swaptions abgeleitet und der Zähler der Gleichung als geeigneter Kandidat für eine Maßänderung identifiziert. Dies ermöglicht die Streichung der Rentenkomponente und eine Vereinfachung der Gleichung.
Der Referent erläutert die Verwendung von Annuitätsmaßen und der geometrischen Brownschen Bewegung zur Berechnung von Swaption-Preisen unter der Annahme, dass Swap-Sätze nicht negativ sein können. Als angemessene Wahl für die Messung gilt die Annuitätsmaßzahl, bei der es sich bei dem Swap um ein Martingal handeln muss. Als Preismodell für Swaptions wird die Black-Scholes-Gleichung eingeführt. Der Redner räumt jedoch ein, dass Swaps in der Praxis negative Werte haben können, was die Preisgleichung vor Herausforderungen stellen kann. Sie erwähnen, dass eine Lösung für dieses Problem später in der Vorlesung vorgestellt wird. Das ultimative Ziel besteht darin, den Preis nach dem BlueWise-Modell zu ermitteln, der zur Simulation in zukünftigen Vorlesungen verwendet wird.
Der Dozent diskutiert die Formulierung eines Swaps im Hinblick auf Nullkuponanleihen und wie er als einzelne Summe von Nullkuponanleihen mit unterschiedlichen Gewichten neu definiert werden kann. Diese Formulierung erweist sich als praktisch, wenn nach einer Lösung für Preisoptionen unter vollständiger Weißdynamik gesucht wird. Die Vorlesung behandelt den Prozess der Änderung der Kennzahl von einer risikoneutralen Kennzahl zu einer mit einer Nullkuponanleihe verbundenen Kennzahl, was dabei hilft, die Herausforderung der Preisgestaltung eines Swaps zu bewältigen. Der Jambchidian Flick wird als Technik zum Austausch der Erwartung des Maximums einer Summe mit einer Summe von Erwartungen eingeführt, ein entscheidender Schritt bei der Suche nach einer geschlossenen Lösung für die Preisgestaltung von Swaptions. Diese Methode trägt dazu bei, den Preisfindungsprozess zu vereinfachen und genaue Ergebnisse zu erhalten.
Die Diskussion des Dozenten unterstreicht, wie wichtig es ist, Swaptions zu verstehen und effektiv zu bewerten, da sie wertvolle Informationen über die Marktvolatilität liefern. Die Fähigkeit, diese Derivate genau zu bewerten und zu bewerten, trägt zu einer fundierten Entscheidungsfindung und zum Risikomanagement auf den Finanzmärkten bei.
Die Vorlesung behandelt verschiedene weiterführende Themen rund um die Preisgestaltung im Kontext von Swaptions und Negativzinsen. Es untersucht die Feinheiten der Kalibrierung von Modellen, der Bestimmung impliziter Volatilitäten und dem Verständnis der Nuancen verschiedener Preisansätze. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, Parameter sorgfältig auszuwählen, Maßnahmen und Erwartungen aufeinander abzustimmen und die Einschränkungen und Herausforderungen zu berücksichtigen, die mit der Preisgestaltung von Derivaten in komplexen Finanzumgebungen verbunden sind.