Quantitativer Handel - Seite 13

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Wall Street: Die Speed-Trader

Wall Street: Die Speed-Trader

Vielen Menschen ist nicht bewusst, dass die meisten Aktiengeschäfte in den Vereinigten Staaten nicht mehr von Menschen, sondern von Robotercomputern ausgeführt werden. Diese Supercomputer sind in der Lage, im Handumdrehen Tausende verschiedener Wertpapiere zu kaufen und zu verkaufen. Der so genannte Hochfrequenzhandel hat sich in den letzten Jahren an der Wall Street durchgesetzt und spielte eine Rolle beim Mini-Marktcrash im vergangenen Frühjahr, als der Dow Jones Industrial Average in nur 15 Minuten um 600 Punkte einbrach.

Die Börsenaufsichtsbehörde (Securities and Exchange Commission) und Mitglieder des Kongresses haben begonnen, schwierige Fragen zum Nutzen, zu den potenziellen Gefahren und zum Verdacht der Marktmanipulation durch Computerhandel zu stellen. Der Wandel von menschlichen Händlern hin zu Maschinen hat die Landschaft der New Yorker Börse, die einst das Zentrum der Finanzwelt war, verändert. Mittlerweile finden weniger als 30 % des Handels auf dem Börsenparkett statt, der Rest wird über elektronische Plattformen und alternative Handelssysteme abgewickelt.

Zwei elektronische Börsen, BATS und Direct Edge, die großen Banken und Hochfrequenzhandelsunternehmen gehören, sind entstanden und handeln mit erstaunlicher Geschwindigkeit über eine Milliarde Aktien pro Tag. Hochfrequenzhandelsfirmen wie Tradeworks, die von Manoj Narang und einem Team aus Mathematikern und Wissenschaftlern namens Quants (quantitative Analysten) geleitet werden, praktizieren diese Praxis. Sie führen Trades für Bruchteile einer Sekunde aus und zielen darauf ab, einen Gewinn von einem Cent oder weniger pro Trade zu erzielen. Diese Firmen verlassen sich auf komplexe mathematische Algorithmen, die in ihren Computern programmiert sind, um Echtzeitdaten zu analysieren und in Sekundenbruchteilen Entscheidungen zu treffen.

Ein wesentlicher Aspekt des Hochfrequenzhandels besteht darin, dass die Computer die gehandelten Unternehmen nicht verstehen. Sie kennen den Wert der Unternehmen, ihr Management oder andere qualitative Faktoren nicht. Die Handelsentscheidungen basieren ausschließlich auf quantitativen Faktoren, Wahrscheinlichkeiten und statistischen Analysen. Dieser Ansatz ermöglicht es, flüchtige Chancen auf dem Markt zu nutzen, lässt jedoch fundamentale Faktoren außer Acht.

Hochfrequenzhändler investieren stark in Supercomputer und Infrastruktur, um sich einen Geschwindigkeitsvorteil zu verschaffen. Je näher ihre Computer an den Servern der Börse stehen, desto schneller erhalten sie wichtige Marktinformationen. Schon ein paar Millisekunden Vorteil können zu erheblichen Gewinnen führen. Kritiker argumentieren, dass Hochfrequenzhändler diesen Vorteil ausnutzen, um Aufträge zu erteilen, Aktien zu manipulieren und Geld aus dem Markt zu ziehen, ohne einen echten Mehrwert zu schaffen.

Während Befürworter behaupten, dass der Hochfrequenzhandel die Marktliquidität erhöht, die Transaktionskosten senkt und die Aktien-Spreads verengt, glauben Kritiker, dass er Fairness und Transparenz untergräbt. Die hohe Geschwindigkeit des Handels und die Komplexität der Algorithmen erschweren die Überwachung und Gewährleistung gleicher Wettbewerbsbedingungen durch die Regulierungsbehörden. Der „Flash-Crash“ von 2010, als der Dow Jones innerhalb weniger Minuten um 600 Punkte einbrach, machte die potenziellen Risiken deutlich, die mit dem Hochfrequenzhandel und der mangelnden Kontrolle verbunden sind.

Regulierungsbehörden und Gesetzgeber haben begonnen, Reformen vorzuschlagen, um Bedenken im Zusammenhang mit dem Hochfrequenzhandel auszuräumen. Die Börsenaufsichtsbehörde (Securities and Exchange Commission) erwägt Maßnahmen zur Verfolgung und Identifizierung von Hochfrequenzgeschäften. Darüber hinaus wurden Schutzschalter eingeführt, um den Handel bei extremer Preisvolatilität zu stoppen. Allerdings sind weitere Änderungen erforderlich, um das Vertrauen in die Integrität des Marktes wiederherzustellen und Transparenz für Durchschnittsanleger zu schaffen, die das Gefühl haben, dass das System gegen sie manipuliert wird.

In den letzten Jahren haben Hochfrequenzhändler ihre Aktivitäten auf Devisen- und Rohstoffmärkte ausgeweitet, was die Besorgnis über ihre Auswirkungen auf die Finanzmärkte weiter aufkommen lässt. Die technologische Entwicklung übersteigt die Fähigkeit der Regulierungsbehörden, Schritt zu halten, und der Ruf nach Reformen, die ein Gleichgewicht zwischen Innovation und Marktintegrität herstellen, wird immer lauter.

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„Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes“ , von CW Oosterlee und LA Grzelak, World Scientific Publishing, 2019.

„Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes“ ist ein unschätzbar wertvolles Buch, das die Schnittstelle zwischen Mathematik, Finanzen und Informatik untersucht. Es wurde von Experten auf diesem Gebiet verfasst und bietet einen umfassenden Leitfaden zum Verständnis und zur Implementierung mathematischer Modelle im Finanzwesen mithilfe gängiger Programmiersprachen wie Python und MATLAB.

Das Buch beginnt mit einer Einführung in die grundlegenden Konzepte der mathematischen Modellierung im Finanzwesen, einschließlich Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastischer Analysis und Optimierungstechniken. Es betont die praktischen Aspekte der Modellierung und Berechnung und unterstreicht die Bedeutung numerischer Methoden und Simulationen für die Lösung realer Finanzprobleme.

Eines der herausragenden Merkmale dieses Buches ist die Einbeziehung zahlreicher Übungen und Computercodes in Python und MATLAB. Diese Übungen ermöglichen es den Lesern, sich aktiv mit dem Material auseinanderzusetzen, ihr Verständnis der Konzepte zu festigen und ihre Programmierkenntnisse zu entwickeln. Durch das Durcharbeiten der Übungen und die Implementierung der bereitgestellten Codes können die Leser praktische Erfahrungen bei der Anwendung mathematischer Modelle im Finanzwesen sammeln und ihre Kenntnisse im Umgang mit diesen Programmiersprachen für Finanzanalysen verbessern.

Das Buch behandelt ein breites Spektrum finanzrelevanter Themen wie Optionspreisgestaltung, Portfoliooptimierung, Risikomanagement und Vermögensallokation. Es befasst sich mit fortgeschrittenen Themen wie Volatilitätsmodellierung, Zinsmodellierung und Kreditrisikomodellierung und vermittelt den Lesern ein umfassendes Verständnis der mathematischen Techniken, die bei der Finanzmodellierung verwendet werden.

Die Autoren finden im gesamten Buch eine Balance zwischen theoretischer Strenge und praktischer Anwendung. Sie liefern klare Erklärungen der zugrunde liegenden mathematischen Konzepte und Algorithmen, begleitet von Beispielen aus der Praxis und Fallstudien. Dieser Ansatz ermöglicht es den Lesern, die theoretischen Grundlagen zu verstehen und gleichzeitig Einblicke in die Anwendung dieser Modelle zur Lösung praktischer Finanzprobleme zu gewinnen.

Darüber hinaus beleuchtet das Buch die Vorteile und Grenzen verschiedener Modellierungsansätze und vermittelt den Lesern die Fähigkeit zum kritischen Denken, die erforderlich ist, um fundierte Entscheidungen bei der Auswahl und Implementierung von Modellen in realen Szenarien zu treffen.

„Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes“ ist eine hervorragende Ressource für Studenten, Forscher und Praktiker im Finanzbereich, die ihr Verständnis für mathematische Modellierung und Berechnungsmethoden vertiefen möchten. Seine Kombination aus theoretischen Erklärungen, praktischen Übungen und gebrauchsfertigen Computercodes macht es zu einem unverzichtbaren Begleiter für alle, die sich für die Anwendung mathematischer Techniken zur Lösung finanzieller Probleme interessieren.

https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course

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Dieser Kurs Computational Finance basiert auf dem Buch: „Mathematical Modeling and Computation in Finance: With Exercises and Python and MATLAB Computer Codes“

Computational Finance: Vorlesung 1/14 (Einführung und Überblick über Anlageklassen)

Diese umfassende Vorlesung dient als Einführung in die faszinierenden Bereiche Computational Finance und Financial Engineering und deckt ein breites Spektrum an Themen ab, die für das Verständnis moderner Finanzen unerlässlich sind. Der Dozent betont die Bedeutung theoretischer Modelle aus der Finanzmathematik und der Finanzinformatik, die zur Erstellung praktischer Modelle für die Preisgestaltung von Derivaten in verschiedenen Szenarien eingesetzt werden.

Im Kurs „Computational Finance“ vertiefen sich die Studierenden in verschiedene Themen, die für das Verständnis und die Anwendung praktischer Finanzmethoden von entscheidender Bedeutung sind. Unter der Leitung des Dozenten Leth Lag liegt der Schwerpunkt des Kurses auf der Implementierung effizienter Programmiertechniken unter Verwendung von Python für Simulation und Optionspreisgestaltung. Dieses umfassende Programm richtet sich an Personen, die sich für Finanzen, quantitative Finanzen und Finanztechnik interessieren. Es behandelt wesentliche Konzepte wie implizite Volatilitäten, Absicherungsstrategien und das faszinierende Reich exotischer Derivate.

Computational Finance ist ein interdisziplinäres Gebiet zwischen Finanzmathematik und numerischen Methoden. Sein Hauptziel ist die Entwicklung von Techniken, die direkt auf die Wirtschaftsanalyse angewendet werden können, indem Programmierkenntnisse mit theoretischen Modellen kombiniert werden. Financial Engineering hingegen umfasst einen multidisziplinären Ansatz, der Finanztheorie, technische Methoden, mathematische Werkzeuge und Programmierpraktiken nutzt. Finanzingenieure spielen eine entscheidende Rolle bei der Erstellung praktischer Modelle auf der Grundlage mathematischer und rechnergestützter Finanzen, die zur Preisgestaltung von Derivaten und zur effizienten Abwicklung komplexer Finanzverträge genutzt werden können. Diese Modelle müssen theoretisch fundiert und an verschiedene Szenarien anpassbar sein.

Der Kurs beleuchtet verschiedene Anlageklassen, die im Bereich Computational Finance gehandelt werden, darunter Aktien, Optionen, Zinssätze, Devisen, Kreditmärkte, Rohstoffe, Energie und Kryptowährungen. Insbesondere Kryptowährungen bieten Zugang zu verschiedenen Anlageklassen und können zu Absicherungszwecken eingesetzt werden. Jede Anlageklasse verfügt über einzigartige Verträge, die für Risikokontroll- und Absicherungsstrategien verwendet werden. Der Over-the-Counter-Markt (OTC) mit seinen zahlreichen Kontrahenten weist zusätzliche Komplexitäten auf, die verstanden werden müssen.

Der Dozent wird die Rolle von Kryptowährungen im Finanzwesen untersuchen und dabei deren vielfältige Merkmale sowie die Notwendigkeit spezifischer Methoden, Modelle und Annahmen für die Preisgestaltung hervorheben. Darüber hinaus werden die Marktanteile verschiedener Anlageklassen wie Zinsen, Devisen, Aktien, Rohstoffe und Credit Default Swaps (CDS) untersucht. Obwohl Optionen einen relativ kleinen Teil der Finanzwelt ausmachen, bieten sie eine besondere Perspektive auf die Finanz- und Computeranalyse.

Das Thema Optionen und Spekulation wird ausführlich besprochen und hervorgehoben, wie Optionen eine Alternative zum Kauf von Aktien darstellen, indem sie es Einzelpersonen ermöglichen, mit einem relativ geringen Kapitaleinsatz über die zukünftige Entwicklung einer Aktie zu spekulieren. Allerdings haben Optionen ein Fälligkeitsdatum und können an Wert verlieren, wenn der Aktienkurs unverändert bleibt, was den Zeitpunkt zu einem entscheidenden Faktor bei Spekulationen macht. Der Kurs bietet eine Einführung in die Finanzmärkte, Anlageklassen und die Rolle von Finanzingenieuren bei der Navigation in diesen komplexen Landschaften. Aktien als beliebteste Anlageklasse werden im Detail untersucht, wobei der Schwerpunkt auf dem Konzept des Eigentums liegt und wie der Aktienwert von der Unternehmensleistung und den Zukunftserwartungen beeinflusst wird.

Die Vorlesung beleuchtet die stochastische Natur des Aktienverhaltens auf dem Markt, das von Faktoren wie Angebot und Nachfrage, Wettbewerbern und Unternehmensleistung beeinflusst wird. Der erwartete Wert einer Aktie kann vom tatsächlichen Wert abweichen, was zu Volatilität führt. Die Volatilität ist ein entscheidendes Element bei der Modellierung und Preisgestaltung von Optionen, da sie die zukünftigen Schwankungen der Aktienkurse bestimmt. Darüber hinaus wird in der Vorlesung zwischen zwei Arten von Anlegern unterschieden: solchen, die an Dividendenrenditen interessiert sind, und solchen, die Wachstumschancen suchen.

Das Konzept der Dividenden und Dividendeninvestitionen wird vorgestellt und betont, wie Dividenden eine stabile und sichere Investition darstellen, da Unternehmen regelmäßig Zahlungen an die Aktionäre ausschütten. Die Dividendenzahlungen können jedoch variieren, und hohe Dividendenrenditen können auf ein erhöhtes Risiko bei den Investitionen eines Unternehmens hinweisen. In der Vorlesung wird kurz auf Zinssätze und Geldmärkte eingegangen, wobei darauf hingewiesen wird, dass diese Themen in einem Folgekurs ausführlicher behandelt werden.

Die Inflation und ihre Auswirkungen auf die Zinssätze werden diskutiert und erläutert, wie Zentralbanken die Inflation durch Anpassung der Zinssätze steuern. In der Vorlesung werden die kurzfristigen Vorteile und langfristigen Auswirkungen einer Zinssenkung sowie alternative Strategien wie die moderne Geldtheorie oder der Ankauf von Vermögenswerten durch Zentralbanken untersucht. Darüber hinaus wird erläutert, welche Rolle die Unsicherheit der Marktteilnehmer bei der Festlegung der Zinssätze spielt und welche versteckten steuerlichen Auswirkungen die Inflation auf die Bürger hat. Den Abschluss der Vorlesung bildet eine Vertiefung zum Thema Risikomanagement in der Kreditvergabe. Der Dozent wird die potenziellen Risiken hervorheben, denen Kreditgeber ausgesetzt sind, wie z. B. die Insolvenz des Kreditnehmers oder der Zahlungsausfall bei Krediten. Um diese Risiken zu mindern, erheben Kreditgeber häufig eine Risikoprämie, um sicherzustellen, dass sie für mögliche Verluste angemessen entschädigt werden.

In Zukunft wird der Redner den Fokus auf Zinssätze und ihre Bedeutung im Finanzwesen richten. Sie erklären, wie sich Zinssätze auf verschiedene Finanzinstrumente auswirken, darunter Sparkonten, Hypotheken und Kredite. Das Konzept des Zinseszinses wird eingeführt und betont die Vorstellung, dass eine Währungseinheit heute aufgrund von Faktoren wie der Inflation mehr wert ist als dieselbe Einheit in der Zukunft. Die beiden Hauptmethoden zur Berechnung von Zinssätzen, die einfache und die zusammengesetzte, werden besprochen, ihre Unterschiede ausführlich erläutert und praktische Beispiele gegeben.

Anschließend geht der Referent näher auf Zinseszinsen ein, insbesondere für Anlagen mit einer Laufzeit von einem Jahr. Sie erklären die mathematische Modellierung zusammengesetzter Zinssätze mithilfe der Exponentialfunktion, bei der eine Währungseinheit mit e multipliziert wird und mit dem Zinssatz potenziert wird. Darüber hinaus wird der Referent beschreiben, wie diese mathematische Darstellung mit den Differentialgleichungen übereinstimmt, die Sparkonten regeln, und zur Bestimmung des Multiplikationsfaktors führt, der zur Diskontierung zukünftiger Cashflows verwendet wird. Der Redner wird jedoch darauf hinweisen, dass die Zinssätze in Wirklichkeit nicht konstant sind, sondern im Laufe der Zeit variieren, was sich an verschiedenen Instrumenten wie Laufzeiten und Preisen für Währungen wie dem Euro und dem USD zeigt.

Besprochen werden die Diagramme, die die Zinssätze und die Marktliquidität für die Eurozone und den Dollar darstellen. Bemerkenswert ist, dass die aktuelle Lage der Eurozone bei allen Laufzeiten bis zu 30 Jahren negative Renditen aufweist, was bedeutet, dass eine Anlage in Staatsanleihen innerhalb der Eurozone zu einem Geldverlust führen könnte. Der Redner wird darauf hinweisen, dass Einzelpersonen möglicherweise lieber Euro in Dollar umtauschen und in US-Anleihen investieren, da diese höhere Renditen bieten. Dennoch birgt dieser Ansatz Risiken, einschließlich potenzieller Verluste aufgrund von Wechselkursschwankungen. Der Referent wird betonen, dass Zinssätze zeitabhängig sind und der Marktdynamik unterliegen.

Der Dozent beleuchtet das Konzept des Anleihekaufs und betont, dass Anleihekäufer häufig mehr zahlen, als der tatsächliche Wert der Anleihe beträgt. Folglich kann der Wert des in Anleihen investierten Geldes im Laufe der Zeit sinken, und die Inflation kann den Wert der Anlage schmälern. Wichtige Käufer von Anleihen wie Pensionsfonds und Zentralbanken werden erwähnt, was ihre bedeutende Rolle auf dem Anleihenmarkt unterstreicht. Darüber hinaus wird der Dozent auf das Konzept der Volatilität eingehen, das die Schwankung der Finanzpreise im Zeitverlauf misst. Die Volatilität wird anhand statistischer Maße wie der Varianz berechnet und liefert Einblicke in die Tendenz eines Marktes oder Wertpapiers, zu schwanken, was zu Unsicherheit und Risiko führt.

Anschließend wird der Schwerpunkt des Kurses auf Vermögensrenditen und Volatilität gelegt, zwei wichtige Konzepte in der Computational Finance. Vermögensrenditen beziehen sich auf die Gewinne oder Verluste eines Wertpapiers innerhalb eines bestimmten Zeitraums, während die Volatilität die Varianz dieser Renditen misst. Ein sehr volatiler Markt weist auf erhebliche Preisschwankungen in kurzer Zeit hin, was zu erhöhter Unsicherheit und erhöhtem Risiko führt. Mit dem VIX-Index wird ein Instrument zur Messung der Marktunsicherheit eingeführt. Es nutzt Out-of-the-Money- oder Put-Optionen und wird häufig von Anlegern eingesetzt, um ihr Kapital im Falle eines Marktwertrückgangs zu schützen. Die Bedeutung des Timings und der Vorhersage der Belichtungszeiten wird hervorgehoben, da diese in der Praxis eine Herausforderung darstellen können.

Der Dozent bespricht die Feinheiten der Analyse der Volatilität verschiedener Indizes, einschließlich des VIX-Index. Sie erkennen die Schwierigkeiten bei der mathematischen Modellierung der Volatilität aufgrund von Marktbedingungen und -schwankungen an. Darüber hinaus werden europäische Optionen eingeführt, die als grundlegende Bausteine für die volatilitätsbasierte Preisgestaltung von Derivaten dienen. Der Dozent wird klar zwischen Call-Optionen und Put-Optionen unterscheiden und erklären, dass Call-Optionen dem Inhaber das Recht einräumen, einen Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis und Datum zu kaufen, während Put-Optionen dem Inhaber das Recht geben, einen Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis zu verkaufen und Datum, die im Wesentlichen als Versicherung dienen.

Nachdem die Grundlagen der Optionen geschaffen wurden, präsentiert der Dozent einen Überblick über Optionen innerhalb verschiedener Anlageklassen. Sie werden die beiden wichtigsten Arten von Optionen hervorheben: Call-Optionen und Put-Optionen. Im Falle einer Call-Option hat der Käufer das Recht, den Basiswert zu einem bestimmten Fälligkeitsdatum und Ausübungspreis an den Stillhalter zu verkaufen. Dies bedeutet, dass der Stillhalter bei Fälligkeit verpflichtet ist, die Aktie zum Ausübungspreis zu kaufen, wenn der Käufer die Option ausübt. Andererseits gewährt eine Put-Option dem Käufer das Recht, den Basiswert zu einem bestimmten Fälligkeitsdatum und Ausübungspreis an den Stillhalter zu verkaufen. Bei Fälligkeit muss der Stillhalter die Aktie zum festgelegten Ausübungspreis kaufen, wenn der Käufer die Option ausübt.

Um die potenzielle Rentabilität von Optionen zu veranschaulichen, präsentiert der Dozent zwei grafische Darstellungen – eine für Call-Optionen und eine andere für Put-Optionen. Diese Diagramme zeigen den potenziellen Gewinn oder Verlust basierend auf dem Wert der zugrunde liegenden Aktie. Durch die Betrachtung der Diagramme können Zuschauer Einblicke gewinnen, wie sich Änderungen im Aktienwert auf die Rentabilität von Optionen auswirken können.

Während des Kurses wird der Dozent weitere fortgeschrittene Themen im Zusammenhang mit Computational Finance behandeln, darunter die Modellierung von Derivaten, die Implementierung effizienter Programmierung und die Verwendung von Python für Simulation und Optionspreisgestaltung. Sie werden während der Sitzungen live programmieren und die Ergebnisse gemeinsam mit den Zuschauern analysieren und so praktische Erfahrungen und praktische Einblicke bieten.

Der Kurs richtet sich speziell an Personen, die sich für Finanzen, quantitative Finanzen und Finanztechnik interessieren. Ziel ist es, die Lücke zwischen Finanzmathematik und numerischen Methoden zu schließen und interdisziplinäre Kenntnisse und Fähigkeiten bereitzustellen, die zur Bewältigung realer Finanzprobleme erforderlich sind. Die Konzepte impliziter Volatilitäten, Absicherungsstrategien und exotischer Derivate werden ebenfalls behandelt und vermitteln ein umfassendes Verständnis der Computational Finance und ihrer Anwendungen in der Finanzbranche.

Am Ende des Kurses verfügen die Teilnehmer über solide Grundlagen in Computational Finance, Financial Engineering und der praktischen Anwendung numerischer Methoden. Sie werden mit den Werkzeugen und dem Wissen ausgestattet, um Modelle für die Preisgestaltung von Derivaten, das Risikomanagement und die Analyse von Finanzdaten zu entwickeln und umzusetzen. Dieser Kurs dient als Sprungbrett für diejenigen, die eine Karriere in den Bereichen Finanzen, quantitative Analyse oder Finanztechnik anstreben, und befähigt sie, fundierte Entscheidungen zu treffen und zum sich ständig weiterentwickelnden Bereich der Computational Finance beizutragen.

• 00:00:00 Der Kurs behandelt verschiedene Themen im Zusammenhang mit Computational Finance, einschließlich der Modellierung von Derivaten, der effizienten Implementierung von Programmierung und der Verwendung von Python für Simulation und Optionspreisgestaltung. Der Kursleiter Leth Lag wird live programmieren und gemeinsam mit den Zuschauern die Ergebnisse analysieren. Der Kurs richtet sich an alle, die sich für Finanzen, quantitative Finanzen und Finanztechnik interessieren, und behandelt auch die Konzepte impliziter Volatilitäten und Absicherung. Der Kurs endet mit einer Diskussion exotischer Derivate.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf Computational Finance, einem Zweig der angewandten Informatik, der sich mit praktischen Finanzproblemen befasst und den Schwerpunkt auf praktische numerische Methoden legt. Dieses Fachgebiet ist interdisziplinär, zwischen Finanzmathematik und numerischen Methoden. Das Ziel der Computational Finance besteht darin, Techniken zu entwickeln, die direkt auf die Wirtschaftsanalyse angewendet werden können. Dazu gehört die Verwendung von Programmierung und theoretischen Modellen. Ein weiterer diskutierter Aspekt ist das Financial Engineering, ein multidisziplinäres Gebiet, das Finanztheorie, technische Methoden, mathematische Werkzeuge und Programmierpraxis anwendet. Financial Engineering und Computational Finance hängen zusammen. Finanzingenieure entwickeln Modelle, die praktisch, praktikabel, schnell und effizient sind und von Finanzinstituten zur Preisgestaltung von Derivaten und zur Umsetzung von Absicherungsstrategien verwendet werden können.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt wird die Rolle des Financial Engineering bei der Entwicklung von Modellen für komplexe Finanzverträge diskutiert. Finanzingenieure verwenden theoretische Modelle aus der Finanzmathematik und der Finanzinformatik, um praktische Modelle zu erstellen, die zur Preisgestaltung von Derivaten und anderen komplizierten Verträgen verwendet werden können. Die Modelle müssen theoretisch korrekt sein und in einer Vielzahl von Szenarien funktionieren. Financial Engineering orientiert sich an den Bedürfnissen eines Kunden und erfordert multidisziplinäre Fähigkeiten, einschließlich quantitativer Modellierung und Programmierung. In der Vorlesung werden auch die wichtigsten Anlageklassen im Finanzwesen erläutert, darunter Aktien und Optionsbörsen, die Finanzingenieure mithilfe ihrer Modelle und Tools bewerten.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die verschiedenen Anlageklassen, die im Computational Finance gehandelt werden. Es gibt Aktien, Optionen, Zinssätze, Devisen, den Kreditmarkt, Rohstoffe, Energie und Kryptowährungen. Bei Kryptowährungen gibt es je nach ihren Eigenschaften viele verschiedene Arten und sie können auch als Optionsmarkt betrachtet werden. Der Redner geht auf unterschiedliche Verträge innerhalb jeder Anlageklasse ein, die zur Absicherung und Risikokontrolle eingesetzt werden. Darüber hinaus weist der Redner darauf hin, dass einige Märkte, beispielsweise der OTC-Markt, auf das Risikoprofil der Kunden zugeschnitten sind und mehrere Gegenparteien einbeziehen.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Rolle von Kryptowährungen im Finanzwesen und erklärt, wie sie konzipiert sind, um ein Engagement in verschiedenen Anlageklassen zu ermöglichen. Kryptowährungen können zur Absicherung von Risiken eingesetzt werden, einige bieten auch ein Engagement in Aktien, Gold, Silber und Öl. Verschiedene Kryptowährungen haben einzigartige Eigenschaften und erfordern unterschiedliche Methoden, Modelle und Annahmen für die Preisgestaltung. Anschließend geht der Redner auf den Marktanteil verschiedener Anlageklassen wie Zinssätze, Devisen, Aktien, Rohstoffe und CDS ein. Obwohl Optionen nur einen winzigen Teil der Finanzwelt ausmachen, sind sie dennoch wichtig und bieten eine einzigartige Perspektive auf die Finanz- und Computeranalyse.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt wird das Thema Optionen und Spekulation besprochen. Optionen können eine günstigere Alternative zum Aktienkauf sein und ermöglichen es, mit einem geringen Kapitaleinsatz auf die zukünftige Entwicklung einer Aktie zu wetten. Allerdings haben Optionen ein Fälligkeitsdatum und verlieren an Wert, wenn sich während dieser Zeit nichts mit dem Aktienkurs ändert, was das Timing bei Spekulationen zu einer erheblichen Herausforderung macht. Die Vorlesung führt in das Konzept der Finanzmärkte, Anlageklassen und die Rolle eines Finanzingenieurs ein. Außerdem wird die erste und beliebteste Anlageklasse, Aktien bzw. Beteiligungen, untersucht, einschließlich der Frage, wie der Kauf einer Aktie bedeutet, Eigentümer des Unternehmens zu werden, und wie der Wert einer Aktie von der Leistung des Unternehmens und den Erwartungen an zukünftige Zahlungen abhängt.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent das Verhalten von Aktien auf dem Markt, das stochastisch ist und von verschiedenen Faktoren wie Angebot und Nachfrage, Wettbewerbern und Unternehmensleistung beeinflusst wird. Das bedeutet, dass der erwartete Wert einer Aktie vom tatsächlichen Wert abweichen kann, was zu Volatilität führt. Die Volatilität ist ein wichtiges Element bei der Modellierung und Preisgestaltung von Optionen, da sie die Schwankungen des Aktienkurses in der Zukunft bestimmt. Darüber hinaus besitzt der Eigentümer einer Aktie theoretisch einen Anteil am Unternehmen und kann Dividenden erhalten oder vom Wachstum der Aktie profitieren. Es gibt zwei Arten von Anlegern: diejenigen, die an Dividendenrenditen interessiert sind, und diejenigen, die nach Wachstumschancen suchen.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt des Videos wird das Konzept von Dividenden und Dividendeninvestitionen besprochen. Dividendeninvestitionen sind für diejenigen attraktiv, die eine stabile und sichere Investition wünschen, da ein Unternehmen vierteljährlich oder halbjährlich Zahlungen an die Aktionäre leistet. Die Dividenden können jedoch von Jahr zu Jahr schwanken und hohe Dividendenzahlungen können auf ein höheres Risiko bei den Investitionen eines Unternehmens hinweisen. Das Video geht auch kurz auf Zinssätze und Geldmärkte ein und weist darauf hin, dass Zinssätze einen Prozentsatz des Prinzips darstellen, dieses Thema jedoch in einem Folgekurs behandelt wird.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Inflation und die Auswirkungen der Zinssätze auf die Wirtschaft. Wenn es der Wirtschaft gut geht und der Geldumlauf zunimmt, besteht die Gefahr einer Inflation, die von den Banken durch eine Erhöhung der Zinssätze kontrolliert werden kann. Eine Senkung der Zinssätze kann zwar kurzfristig einen Konjunkturschub bewirken, ist aber keine langfristige Lösung. Als Alternative können Zentralbanken die moderne Geldtheorie nutzen oder Vermögenswerte auf dem Markt kaufen. Darüber hinaus erklärt der Dozent, wie sich die Unsicherheit der Marktteilnehmer, Geld von Banken zu erhalten, auf die Zinssätze auswirkt und wie die Inflation als versteckte Steuer für die Bürger wirken kann. Abschließend spricht der Dozent über das Risikomanagement bei der Kreditvergabe und weist darauf hin, dass ein Kreditnehmer in Konkurs gehen oder seine Kredite nicht mehr bedienen kann, was zu einer Risikoprämie führt, um sicherzustellen, dass der Kreditgeber für etwaige Verluste entschädigt wird.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner Zinssätze und ihre Bedeutung im Finanzwesen. Sie erklären, wie sich Zinssätze auf Sparkonten, Hypotheken und Kredite auswirken. Der Referent erörtert, wie Zinssätze modelliert werden können und dass das einfachste Konzept darin besteht, dass ein Euro heute aufgrund von Faktoren wie der Inflation mehr wert ist als ein Euro in einem Jahr. Die beiden wichtigsten Methoden zur Aufzinsung und Berechnung von Zinssätzen sind die einfache und die Aufzinsung, wobei die Aufzinsung über die gesamte Laufzeit der Anlage erfolgt. Der Referent definiert diese Begriffe und liefert Beispiele zur Veranschaulichung.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent das Konzept der Zinseszinssätze für eine Laufzeit von einem Jahr. Der zusammengesetzte Zinssatz wird berechnet als ein Euro mal e hoch r. Der Referent erklärt, wie dies mathematisch modelliert wird, indem er eine Differentialgleichung beschreibt, die Sparkonten beschreibt. Die Lösung der Differentialgleichung ergibt den Multiplikationsfaktor, der zur Diskontierung zukünftiger Cashflows verwendet wird. Allerdings weist der Referent darauf hin, dass die Zinssätze in Wirklichkeit nicht konstant, sondern zeitabhängig seien, was durch verschiedene Instrumente wie Laufzeiten und Preise für Europa und den USD verdeutlicht werde.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert der Redner die Diagramme, die die Zinssätze und die Marktliquidität für die Eurozone und den Dollar darstellen. Die Grafiken zeigen, dass derzeit alle Renditen für Euro bis zu 30 Jahren negativ sind, was bedeutet, dass eine Investition in Staatsanleihen in Europa zu einem Geldverlust führen würde. Der Redner weist darauf hin, dass die Menschen lieber Euro in Dollar tauschen und in US-Anleihen investieren würden, da diese höhere Renditen bieten. Es besteht jedoch das Risiko, dass der Wechselkurs sinken kann, wodurch sich die potenziellen Gewinne verschlechtern. Der Referent weist außerdem darauf hin, dass Zinssätze zeitabhängig und nicht konstant sind.

• 01:00:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf das Konzept des Anleihenkaufs ein. Anleihekäufer zahlen mehr, als die Anleihe wert ist, und als Folge davon wird sich der Wert des Geldes mit der Zeit verschlechtern und es kann auch zu einer Inflation kommen, die zu einem Investitionsverlust führt. Pensionsfonds und Zentralbanken sind die Hauptkäufer von Anleihen. Der Dozent geht auch auf das Konzept der Volatilität ein, bei der es sich um ein Maß für die zeitliche Schwankung von Finanzpreisen handelt und die anhand der Varianz des statistischen Maßes für die Tendenz eines Marktes oder Wertpapiers, innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu steigen oder zu fallen, berechnet wird.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt lernen wir etwas über Vermögensrenditen und Volatilität, zwei wichtige Konzepte in der Computational Finance. Vermögensrenditen sind die Gewinne oder Verluste eines Wertpapiers innerhalb eines bestimmten Zeitraums, und die Volatilität misst die Varianz dieser Renditen. Ein sehr volatiler Markt bedeutet, dass die Preise in kurzer Zeit drastisch schwanken können, was zu Unsicherheit und Risiko führen kann. Der VIX-Index ist ein Beispiel für ein Marktinstrument, das die Unsicherheit misst und mithilfe von Out-the-Money- oder Put-Optionen erstellt wird. Anleger nutzen es häufig, um ihr Kapital im Falle eines Marktwertverfalls zu schützen. Bei der Anwendung ist jedoch das Timing entscheidend, da die Belichtungszeiten sehr kurz und schwer vorhersehbar sein können.
  
  
• 01:10:00 Der Dozent bespricht die Volatilität verschiedener Indizes, einschließlich des VIX-Index, und wie es aufgrund der Marktbedingungen und -schwankungen schwierig sein kann, sie mathematisch zu analysieren. Anschließend stellt er europäische Optionen vor, die einen grundlegenden Baustein der Derivatpreisgestaltung auf der Grundlage der Volatilität darstellen und eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Optionspreis und Volatilität aufweisen. Der Dozent erklärt die Unterschiede zwischen Call- und Put-Optionen, wobei eine Call-Option dem Inhaber das Recht gibt, einen Vermögenswert zu einem späteren Zeitpunkt zu einem festgelegten Preis zu kaufen, während eine Put-Option dem Inhaber das Recht gibt, einen Vermögenswert zu einem späteren Zeitpunkt zu verkaufen zu einem festgelegten Preis, der im Wesentlichen als Versicherung fungiert.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt gibt der Dozent einen Überblick über Optionen innerhalb von Anlageklassen und identifiziert zwei wichtige Arten von Optionen: Call-Optionen und Put-Optionen. Im Falle einer Call-Option kann der Käufer zu einem bestimmten Fälligkeitsdatum und Ausübungspreis an den Stillhalter verkaufen, was bedeutet, dass der Stillhalter bei Fälligkeit verpflichtet ist, Aktien zum Ausübungspreis zu verkaufen. Im Gegensatz dazu kann der Käufer eine Put-Option an den Stillhalter verkaufen, was wiederum bei Fälligkeit geschieht, aber dieses Mal muss der Stillhalter Aktien zum angegebenen Ausübungspreis kaufen. Anschließend präsentiert der Dozent zwei Diagramme, eines für beide Arten von Optionen, und verdeutlicht deren potenziellen Gewinn in Abhängigkeit vom Wert der Aktie.

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Computational Finance: Vorlesung 2/14 (Aktien, Optionen und Stochastik)

Computational Finance: Vorlesung 2/14 (Aktien, Optionen und Stochastik)

Der Dozent gibt zunächst einen Überblick über den Kurs und betont, wie wichtig es ist, das Handelsvertrauen, die Absicherung und die Notwendigkeit mathematischer Modelle im Finanzwesen zu verstehen. Sie vertiefen sich in die Thematik der Preisgestaltung von Put-Optionen und erläutern das Konzept der Absicherung. Auch stochastische Prozesse und Vermögenspreismodellierung werden behandelt, wobei das Ito-Lemma als Werkzeug zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen eingeführt wird.

Um die praktische Anwendung dieser Konzepte zu veranschaulichen, stellt der Dozent ein Beispiel einer Schulungsstrategie vor, bei der ein Investor versucht, seine Investition vor einem möglichen Wertverlust der Aktien zu schützen. Sie schlagen den Abschluss einer Versicherung in Form von Put-Optionen vor, um im schlimmsten Fall einen Mindestbetrag sicherzustellen.

Im weiteren Verlauf des Optionshandels konzentriert sich der Dozent auf den Einsatz von Put-Optionen zur Absicherung gegen Abwärtsbewegungen der Aktienkurse. Sie weisen jedoch darauf hin, dass der Kauf von Put-Optionen teuer sein kann, insbesondere wenn die Volatilität der Aktie hoch ist, wie es bei Tesla der Fall ist. Um die Optionskosten zu senken, kann man den Ausübungspreis senken, was jedoch bedeutet, dass man einen niedrigeren Preis für die Aktie in Kauf nimmt. Der Dozent stellt einen Screenshot von Reuters zur Verfügung, der verschiedene Arten von auf dem Markt verfügbaren Optionen zeigt, kategorisiert nach Laufzeit und Ausübungspreis. Sie erläutern auch den Zusammenhang zwischen Ausübungspreis und Optionspreisen für Call- und Put-Optionen.

Als Maß für die Marktunsicherheit wird die implizite Volatilität eingeführt. Der Dozent erklärt, dass niedrigere Ausübungspreise mit einer höheren impliziten Volatilität verbunden sind. Außerdem wird Delta eingeführt, das die Wertabhängigkeit einer Option vom Basiswert misst. Das Video befasst sich dann mit dem Konzept der Absicherung und wie ein Verhältnis festgelegt werden kann, um ein risikofreies Portfolio zu erreichen, auch wenn die Gewinne möglicherweise begrenzt werden, wenn der Wert der Aktie nicht steigt. Die Absicherung mit Optionen wird besprochen, wobei ihre Eignung für kurzfristige Investitionen hervorgehoben wird, es wird jedoch darauf hingewiesen, dass sie in Zeiten hoher Volatilität möglicherweise kostspielig ist.

Der Optionshandel wird weiter als Mittel zur Absicherung und Risikominderung untersucht. Der Dozent weist darauf hin, dass Optionen typischerweise für kurzfristige Investitionen mit einer bestimmten Laufzeit wünschenswerter sind, da sie für langfristige Investitionen kostspielig sein können. Das Konzept der Absicherung mit Calls wird vorgestellt und betont, wie der Verkauf von Optionen dazu beitragen kann, das Risiko für Anleger mit einem großen Aktienportfolio zu reduzieren. Es ist jedoch Vorsicht geboten, nicht zu viele Calls zu verkaufen, da dies das Aufwärtspotenzial einschränken kann und immer ein gewisses Risiko birgt.

Das Video befasst sich dann mit Rohstoffen und erklärt, dass es sich dabei um Rohstoffe handelt, die aufgrund ihrer unvorhersehbaren, aber oft saisonalen Preismuster als Absicherung gegen Inflation dienen. Der Rohstoffhandel findet hauptsächlich auf dem Terminmarkt statt, wo Geschäfte über den Kauf oder Verkauf von Rohstoffen zu einem späteren Zeitpunkt abgeschlossen werden. Der Unterschied zwischen Strommärkten und anderen Rohstoffen wird hervorgehoben, wobei Strom besondere Herausforderungen darstellt, da er nicht vollständig gespeichert werden kann und Auswirkungen auf die Vorhersagbarkeit und den Wert von Derivaten hat.

Anschließend geht der Dozent auf den Devisenhandel als Anlageklasse ein, die gemeinhin als Devisenmarkt bezeichnet wird. Im Gegensatz zum herkömmlichen Kauf oder Verkauf eines bestimmten Wechselkurses tauschen Einzelpersonen Geldbeträge zwischen Währungen aus. Der Dozent betont die Rolle des US-Dollars als Basiswährung und Reservewährung. Sie gehen auch auf die Manipulation der Wechselkurse durch die Zentralbanken ein, um Währungen zu stärken oder zu schwächen. Darüber hinaus wird ein kleiner Einsatz von Devisenderivaten zur Absicherung von Währungsrisiken im internationalen Geschäft erwähnt.

Der Referent erklärt, wie Banken und Finanzinstitute Versicherungen gegen schwankende Wechselkurse kaufen oder verkaufen können, um Investitionsunsicherheiten zu bewältigen. Investitionen in verschiedenen Ländern können aufgrund unterschiedlicher Währungsstärken und Geldpolitiken zu Unsicherheiten führen, was zu unsicheren Renditen führt. Computational Finance spielt eine entscheidende Rolle bei der Verwaltung und Berechnung der mit solchen Investitionen verbundenen Risiken, indem es Unsicherheiten modelliert und verschiedene Faktoren berücksichtigt. Der Redner weist außerdem darauf hin, dass Bitcoins als Wechselkurse betrachtet werden können, und erörtert ihren hybriden Charakter als regulierte Ware, deren Wert durch den Austausch gegen den US-Dollar bestimmt wird. Die Volatilität von Bitcoins macht es schwierig, ihren zukünftigen Wert vorherzusagen.

Darüber hinaus geht der Referent auf das Konzept der risikoneutralen Preisgestaltung ein, das ein grundlegendes Prinzip der Optionspreisgestaltung darstellt. Bei der risikoneutralen Preisgestaltung wird davon ausgegangen, dass in einem vollkommen effizienten Markt die erwartete Rendite einer Option dem risikofreien Zinssatz entsprechen sollte. Dieser Ansatz vereinfacht den Preisfindungsprozess, indem er die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse auf der Grundlage eines risikoneutralen Maßes berücksichtigt, bei dem die erwartete Rendite der Option mit dem risikofreien Zinssatz abgezinst wird.

Anschließend stellt der Redner das Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) vor, ein weit verbreitetes mathematisches Modell für die Preisgestaltung von Optionen. Das BSM-Modell berücksichtigt verschiedene Faktoren wie den aktuellen Aktienkurs, den Ausübungspreis, die Verfallszeit, den risikofreien Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts. Dabei wird davon ausgegangen, dass der zugrunde liegende Vermögenswert der geometrischen Brownschen Bewegung folgt und der Markt effizient ist.

Der Referent erklärt die wichtigsten Komponenten des BSM-Modells, einschließlich der Formel zur Berechnung des Wertes einer europäischen Call- oder Put-Option. Sie betonen die Bedeutung der Volatilität bei der Optionspreisgestaltung, da eine höhere Volatilität den Wert einer Option aufgrund der Möglichkeit größerer Preisschwankungen erhöht. Der Redner erwähnt auch die Rolle der impliziten Volatilität, also der vom Markt erwarteten zukünftigen Volatilität, die durch die Optionspreise impliziert wird.

Anschließend befasst sich die Vorlesung mit dem Konzept des Delta-Hedgings, einer Strategie zur Risikominimierung durch Aufrechterhaltung einer neutralen Position im zugrunde liegenden Vermögenswert. Delta misst die Sensitivität des Optionspreises gegenüber Preisänderungen des Basiswerts. Durch die Anpassung der Anzahl der Anteile am zugrunde liegenden Vermögenswert kann ein Anleger ein Delta-neutrales Portfolio erstellen, das weniger von Preisbewegungen betroffen ist.

Der Referent erklärt den Prozess der Delta-Absicherung anhand des BSM-Modells und zeigt, wie sich damit Risiken effektiv reduzieren lassen. Sie diskutieren das Konzept der dynamischen Absicherung, bei der die Absicherung kontinuierlich angepasst wird, wenn sich der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts ändert. Dadurch wird sichergestellt, dass das Portfolio deltaneutral bleibt und das Risiko von Marktschwankungen minimiert wird.

Neben dem Delta-Hedging werden in der Vorlesung weitere Risikomanagementtechniken wie Gamma-Hedging und Vega-Hedging behandelt. Gamma misst die Änderungsrate von Delta, während Vega die Sensitivität des Optionspreises gegenüber Änderungen der impliziten Volatilität misst. Diese Techniken ermöglichen es Anlegern, ihre Positionen basierend auf sich ändernden Marktbedingungen und Risiken zu verwalten und anzupassen.

Gegen Ende des Vortrags beleuchtet der Referent die Einschränkungen und Annahmen des BSM-Modells. Sie erkennen an, dass reale Märkte von den Annahmen des Modells abweichen können, beispielsweise hinsichtlich des Vorhandenseins von Transaktionskosten, Liquiditätsbeschränkungen und der Auswirkungen von Marktfriktionen. Der Redner empfiehlt einen vorsichtigen Ansatz und betont, wie wichtig es ist, die mit Optionspreismodellen verbundenen Einschränkungen und Unsicherheiten zu verstehen.

Insgesamt bietet die Vorlesung einen umfassenden Überblick über Handelsvertrauen, Absicherungsstrategien, Optionspreismodelle und Risikomanagementtechniken. Es vermittelt den Lernenden grundlegende Kenntnisse und Werkzeuge, um sich in der komplexen Welt der Finanzmärkte zurechtzufinden und fundierte Entscheidungen bei Handels- und Anlageaktivitäten zu treffen.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent die Themen Handelsvertrauen, Absicherung und die Notwendigkeit von Modellen, die im Kurs erlernt werden. Sie gehen detailliert auf die Preisgestaltung von Put-Optionen und das Konzept der Absicherung ein. Der Dozent behandelt außerdem stochastische Prozesse und die Modellierung von Vermögenspreisen. Sie stellen das Lemma von Ito vor und wie es zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen verwendet werden kann. Abschließend gibt der Dozent ein Beispiel für eine Schulungsstrategie, bei der ein Anleger seine Investition vor einem möglichen Wertverlust einer Aktie schützen möchte. Dazu können sie eine Versicherung abschließen, um sicherzustellen, dass sie im schlimmsten Fall mindestens über einen bestimmten Geldbetrag verfügen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent den Einsatz von Put-Optionen zum Schutz vor Abwärtsbewegungen des Aktienkurses. Allerdings kann der Kauf einer Put-Option teuer sein, insbesondere wenn die Volatilität der Aktie hoch ist, wie im Fall von Tesla. Um die Option günstiger zu machen, kann man den Ausübungspreis senken, was allerdings bedeutet, dass man einen niedrigeren Preis für die Aktie in Kauf nehmen muss. Anschließend zeigt der Dozent einen Screenshot von Reuters, der die verschiedenen am Markt verfügbaren Optionstypen, kategorisiert nach Laufzeit und Ausübungspreis, demonstriert und den Zusammenhang zwischen Ausübungspreis und Optionspreisen für Call- und Put-Optionen erläutert.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der impliziten Volatilität eingeführt und als Maß für die Unsicherheit im Markt beschrieben. Je niedriger der Ausübungspreis, desto höher die implizite Volatilität. Darüber hinaus wird Delta als Maß dafür eingeführt, wie stark der Wert einer Option vom zugrunde liegenden Vermögenswert abhängt. Anschließend wird im Video erklärt, wie die Absicherung funktioniert und wie es zu einer Quote kommt, die zu keiner Veränderung des Werts eines Portfolios führt und sofortige risikofreie Ergebnisse liefert, aber auch potenzielle Gewinne begrenzen kann, wenn der Wert der Aktie nicht steigt. Anschließend wird die Absicherung mit Optionen besprochen und erklärt, dass sie für diejenigen geeignet ist, die ihre Aktien nicht über einen längeren Zeitraum behalten möchten, obwohl sie bei hoher Volatilität teuer sein kann.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf den Optionshandel als eine Form der Absicherung und Risikominderung ein. Sie erklären, dass Optionen im Allgemeinen nur für kurzfristige Investitionen mit einer bestimmten Laufzeit wünschenswert sind und dass ihre Verwendung für langfristige Investitionen kostspielig sein kann. Der Dozent spricht auch über das Konzept der Absicherung mit Calls und darüber, wie der Verkauf von Optionen eine Möglichkeit sein kann, das Risiko für Anleger zu reduzieren, die ein großes Aktienportfolio halten. Sie weisen jedoch darauf hin, dass der Verkauf zu vieler Calls das potenzielle Aufwärtspotenzial des Aktienbesitzes verringern kann und dass der Optionshandel immer ein gewisses Risiko birgt.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt befasst sich das Video mit Rohstoffen, d. h. Rohstoffen wie Edelmetallen, Öl und Nahrungsmitteln, die häufig als Absicherung gegen Inflation eingesetzt werden, da ihre Preise unvorhersehbar sind, aber häufig saisonale Effekte aufweisen. Der Handel mit Rohstoffen erfolgt meist auf dem Zukunftsmarkt, wo Geschäfte zum Kauf oder Verkauf des Rohstoffs zu einem späteren Zeitpunkt abgeschlossen werden. Der Unterschied zwischen Strommärkten und anderen Rohstoffen besteht darin, dass Strom nicht vollständig gespeichert werden kann, was den Markt schwierig macht, insbesondere wenn die Vorhersehbarkeit und der Anstieg eines Derivats vom Strom abhängen. Energiemärkte für Rohstoffe befassen sich häufig speziell mit dem Handel und der Energieversorgung und werden von nationalen internationalen Behörden reguliert, um Verbraucherrechte zu schützen und Oligopole zu vermeiden.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf die Anlageklasse der Währungen ein, auch Devisenmarkt genannt. Das Besondere daran ist, dass Einzelpersonen keinen bestimmten Wechselkurs kaufen oder verkaufen können. Stattdessen tauschen sie Geldbeträge von einer Währung in eine andere um. Der Dollar gilt als Basiswährung und ist eine Reservewährung. Aufgrund des Zugriffs der Zentralbanken auf Währungsreserven gehört der Devisenmarkt zu den am stärksten manipulierten Märkten der Welt. Sie können Wechselkurse beeinflussen oder manipulieren, um eine Währung zu stärken oder zu schwächen. Der Dozent spricht auch über eine kleine Anwendung auf Devisenmärkten, wo ein Derivat zur Absicherung von Währungsrisiken bei Geschäften im Ausland eingesetzt werden kann.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent, wie Banken und andere Finanzinstitute Versicherungen gegen schwankende Wechselkurse kaufen oder verkaufen können, um mit Investitionsunsicherheiten umzugehen. Bei Investitionen im Ausland können die Währungen und die Geldpolitik verschiedener Länder unterschiedlich stark ausgeprägt sein, was zu unsicheren Renditen führen kann. Computational Finance konzentriert sich auf die Verwaltung und Berechnung der mit dieser Art von Investitionen verbundenen Risiken, indem diese Unsicherheiten modelliert und zahlreiche Faktoren berücksichtigt werden. Der Redner weist auch darauf hin, dass Bitcoins als Wechselkurse betrachtet werden können und dass es sich um ein interessantes Hybridprodukt handelt, da es als Ware reguliert ist, seine Qualität jedoch durch den Umtausch gegenüber dem US-Dollar bestimmt wird. Darüber hinaus schwanken die Preise für Bitcoins, was es schwierig macht, ihren zukünftigen Wert vorherzusagen.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Einsatz von Put-Optionen zum Schutz von Gewinnen aus Bitcoin-Investitionen. Der Wert einer Put-Option hängt davon ab, wie weit der Ausübungspreis vom aktuellen Wert von Bitcoin entfernt ist, wobei ein höherer Ausübungspreis zu einem höheren Preis für die Option führt. Um auf diesem Markt aktiv zu sein, ist jedoch aufgrund der erheblichen Summen, die für die Bezahlung von Versicherungen erforderlich sind, ein erheblicher Kapitaleinsatz erforderlich. Die Volatilität von Bitcoin erhöht auch die Unsicherheit und die Kosten einer Investition in Optionen. Der Referent gibt außerdem einen kurzen Überblick über die Geschichte der Optionen und erklärt, dass Optionen mit längeren Laufzeiten aufgrund der Versicherungskosten tendenziell teurer sind als die zugrunde liegenden Vermögenswerte.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt des Videos stellt der Sprecher verschiedene Arten von Optionen vor und erklärt sie, darunter europäische, amerikanische, Bermuda- und exotische/pfadabhängige Optionen. Europäische Optionen können nur am Ablauf-/Fälligkeitsdatum ausgeübt werden, während amerikanische Optionen an jedem Handelstag ausgeübt werden können, was sie teurer macht. Bermuda-Optionen haben bestimmte Ausübungstermine, während exotische/pfadabhängige Optionen individuell angepasst und nicht sehr liquide sind. Anschließend erörtert der Referent verschiedene Begriffe im Zusammenhang mit Optionen, wie z. B. Laufzeit, Ausübungspreis, Portfolio, Stillhalter und Finanztechnik. Der Schwerpunkt der Vorlesungsreihe liegt auf der korrekten Preisgestaltung von Optionen und der Minimierung der damit verbundenen Risiken. Der Redner vereinfacht die Diskussion auch mit einer Grafik und betont, wie wichtig es ist, die Hauptfaktoren zu verstehen, die die Optionspreisgestaltung beeinflussen.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor die Preisgestaltung und den Vergleich von Aktienoptionen mithilfe statistischer Modelle und Regressionsanalysen. Der Schwerpunkt liegt auf der Perspektive eines Verkäufers einer Option, der seine Position zum Verkauf einer Option absichern und sich gleichzeitig gegen das Risiko eines steigenden oder fallenden Kurses der Aktie schützen möchte. Durch die Absicherung eines Portfolios kann ein Stillhalter eine Option verkaufen und erhält einen Wert, VC0, und einen Delta-Wert, der durch den Kauf oder Verkauf einer bestimmten Menge an Aktien ausgeglichen werden muss, um sich gegen ein potenzielles Risiko abzusichern. Der Autor muss bei der Entscheidung über Delta zwei Szenarien berücksichtigen: ob die Aktie steigt oder fällt, um das Risiko zu minimieren und den Gewinn zu maximieren.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Professor, wie man ein Portfolio so aufbaut, dass es nicht von Marktschwankungen beeinflusst wird. Um dies zu erreichen, sollte sich der Wert des Portfolios nicht ändern, unabhängig davon, ob die Aktie steigt oder fällt. Der Professor verwendet eine einfache Übung, um das Delta zu bestimmen, das die Differenz zwischen dem Anstieg und dem Rückgang des Lagerbestands darstellt. Sobald dieser berechnet ist, kann er zur Bestimmung des Werts der Option eingesetzt werden, der kleiner als der Preis des Volumens ist. Dies bedeutet, dass die zur Vorhersage der Aktie verwendete statistische Analyse nichts mit dem Wert einer Option zu tun hat, der von der Aktie abhängt. Es wurde festgestellt, dass der Unterschied in den Optionswerten wichtiger ist als die Wahrscheinlichkeit, was mit der höheren Volatilität der Aktie in Zusammenhang stehen kann, die den Preis in die Höhe treibt.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt werden die Faktoren besprochen, die den Preis einer Option bestimmen, einschließlich des aktuellen Zustands der Aktie, der Laufzeit und der Volatilität. Auch Zinssätze spielen bei der Bestimmung des Wertes einer Option eine Rolle. Eine längere Verfallszeit und eine höhere Volatilität erhöhen die Chance, dass eine Option im Geld ist, während die Outputparität besagt, dass ein Zusammenhang zwischen Calls und Puts besteht. Durch den Wechsel zwischen beiden ist es möglich, numerisch auszuwerten, was vorteilhafter ist. Bei der Verwendung der Output-Parität müssen keine Annahmen über den Bestand getroffen werden, und wenn die Beziehung nicht zutrifft, liegt Arbitrage vor.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Konzept der Arbitrage und stellt eine Strategie vor, bei der Informationen über Calls und Puts genutzt werden, um festzustellen, ob auf dem Markt eine Arbitrage vorliegt. Die Bedeutung der Modellierung zufälligen Verhaltens auf dem Aktienmarkt wird ebenfalls hervorgehoben und die beiden gängigen Modelle, die geometrische und die arithmetische Brownsche Bewegung, vorgestellt. Der Dozent betont, dass Letzteres dazu führt, dass die Aktien negativ werden, was nicht wünschenswert ist. Darüber hinaus wird das Konzept der Kapitalrendite diskutiert und ein kleines Experiment durchgeführt, bei dem Marktdaten aus fünf Jahren verwendet werden, um die prozentuale Rendite zu messen. Die Renditen schwanken nachweislich um den Nullpunkt mit gelegentlichen Sprüngen nach oben oder unten.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt wird im Video die Verwendung gesammelter Renditen zur Schätzung der Renditedichte im Zeitverlauf erläutert, die einen Mittelwert von Null und eine Standardabweichung von einem Prozent aufweist. Die empirische kumulative Verteilungsfunktion wird mit einer Normalverteilung verglichen. Dabei zeigt sich, dass erstere einen dickeren Schwanz hat und nicht so schnell gegen Null geht wie die aus der empirischen Verteilung erhaltene Funktion. Anschließend stellt das Video den Wiener-Prozess, auch Brownsche Bewegung genannt, als gängige Praxis zur Modellierung von Rauschen zum Zweck der Modellierung der Zufälligkeit in einer Aktie vor. Der Wiener-Prozess hat viele wünschenswerte Eigenschaften, darunter Null-Returns zum Zeitpunkt t0, stationäre unabhängige Inkremente, eine Normalverteilung mit Mittelwert Null und Varianz t sowie einen kontinuierlichen Pfad ohne Sprünge. Das Video bespricht auch die beiden Hauptkomponenten der Aktienmodellierung: Zeit und Volatilität, die den Preis bestimmen und im Modell quadriert werden.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent die Definition eines stochastischen Prozesses und seine Verwendung bei der Modellierung von Aktienkursen und Renditen. Ein stochastischer Prozess ist eine Zufallsvariable mit zwei Parametern – Zeit und Wahrscheinlichkeitsraum. Der Dozent liefert eine formale Definition eines stochastischen Prozesses als eine Sammlung von Zufallsvariablen, die in zwei Dimensionen definiert sind. Sie diskutieren auch den Prozess der geometrischen Brownschen Bewegung, der zur Simulation von Aktienkursen verwendet wird. Der Prozess besteht aus einem Drift-Term und einem Volatilitäts-Term und kann diskretisiert werden, um die Aktienkurse in jedem Zeitschritt zu modellieren. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, die Zeitkomponente bei der Modellierung von Aktienkursen und Renditen zu berücksichtigen.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt des Videos geht der Dozent auf stochastische Differentialgleichungen und die Integralform ein. Anschließend beschreiben sie das Samelson-Modell, bei dem es sich um einen Prozess der Form der geometrischen Brownschen Bewegung handelt. Dieses Modell passt recht gut zu realen Daten für Aktien und Indizes, wenn es auf historische Erkenntnisse kalibriert wird. Es eignet sich jedoch nicht für die Kalibrierung auf Optionen, und bei Diskrepanzen in realen Daten scheint die Wahrscheinlichkeit größerer Anstiege und Rückgänge größer zu sein, als das Modell vorhersagt. Dies liegt an der Gaußschen Natur des Modells, bei dem extreme Ereignisse nicht auftreten können und die meisten Informationen innerhalb von Drei-Sigma-Intervallen liegen.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner verschiedene Modelle, die für Optionen verwendet werden, wobei der Schwerpunkt auf der Rolle der Volatilität als Haupttreiber in diesen Modellen liegt. Die für Optionen verwendeten Modelle werden durch die Volatilität bestimmt, und um Probleme wie mangelnde Anpassung an die Tails anzugehen, umfassen mögliche alternative Lösungen die Einbeziehung von Sprüngen oder stochastischer Volatilität. Der Redner stellt außerdem drei Prozesse vor: die arithmetische Brownsche Bewegung, die geometrische Brownsche Bewegung und den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, wobei der Schwerpunkt auf deren Merkmale und Unterschiede liegt. Während die arithmetische Brownsche Bewegung einfach ist, können Aktienrenditen negativ sein, sodass die geometrische Brownsche Bewegung vorzuziehen ist, da die Werte des Prozesses immer positiv bleiben. Schließlich wird der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess durch eine Tachometerversion mit einem langfristigen Mittelwert und einem Parameter dargestellt, der die Geschwindigkeit angibt, mit der Pfade um diesen Mittelwert oszillieren.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Unterschiede zwischen verschiedenen stochastischen Prozessen, die in verschiedenen Anlageklassen verwendet werden, wie z. B. der geometrischen Brownschen Bewegung, die häufig für Aktien verwendet wird, da Aktien nicht negativ sein können und typischerweise ein exponentielles Wachstum verzeichnen. In der Vorlesung wird auch das Ito-Lemma vorgestellt, ein Werkzeug aus der Finanzwelt, mit dem die Lösung einer bestimmten stochastischen Differentialgleichung gefunden werden kann. Das Lemma lehrt, was die Dynamik eines Prozesses bei gegebener Funktion des Prozesses ist, und der Dozent erklärt, wie dies die manuelle Lösung vieler Differentialgleichungen ermöglicht. Das wichtigste Element, an das man sich beim Umgang mit Itos Lemma erinnern sollte, ist die Ito-Tabelle.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Verwendung der Ethos-Tabelle, um die stochastische Differentialgleichung für einen bestimmten Prozess zu finden. Das Lemma von Ito ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um die Dynamik eines Prozesses zu ermitteln, wenn ein zweiter Prozess in einer Funktion vorhanden ist, der angewendet werden möchte, und es kann leicht angewendet werden, wenn man sich die Tabelle merkt. Der Referent liefert ein Beispiel für einen Aktienprozess, bei dem die geometrische Brownsche Bewegung und die logarithmische Funktion zum Ermitteln der Dynamik verwendet werden. Durch die Anwendung der Tabelle bleibt nur noch ein Element in der Gleichung übrig, das zum Ermitteln der endgültigen Lösung verwendet wird.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Lösung für einen Aktienprozess im Hinblick auf die Brownsche Bewegung und den Logarithmus eines Aktienprozesses. Der Logarithmus eines Aktienprozesses hat eine Gauß-Verteilung mit einem konstanten Teil und einem arithmetischen Brownschen Bewegungsteil. Es stellt sich heraus, dass die Dichtefunktion für den Logarithmus eines Lagerprozesses eine logarithmische Normalverteilung ist, wobei Mittelwert und Varianz durch die Parameter des Prozesses bestimmt werden. Anschließend erklärt der Referent, wie sich verschiedene Parameter auf die logarithmische Normalverteilung des Prozesses auswirken, beispielsweise Änderungen der Volatilität, die zu einer breiteren Verteilung führen.
  
  
• 01:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent den Einfluss von mu auf die Varianz eines Prozesses und die daraus resultierende Auswirkung auf die Verteilung des Prozesses. Ein höherer mu führt zu einer dickeren Verteilung und erhöht die Volatilität des Prozesses. Der Sprecher zeigt dann einen simulierten Normalprozess und einen logarithmischen Normalprozess, wobei letzterer eine asymmetrische Dichte und einen dickeren Schwanz nach oben aufweist. Dies spiegelt die Bestände wider, die durch geometrische Grenzbewegungen und ihre exponentielle Form der Dichte bestimmt werden.

[MetaQuotes]

Computational Finance: Vorlesung 3/14 (Optionspreisgestaltung und Simulation in Python)

Computational Finance: Vorlesung 3/14 (Optionspreisgestaltung und Simulation in Python)

In der Vorlesung befasst sich der Dozent mit der Aktienpfadsimulation in Python und erkundet das Black-Scholes-Modell für Preisoptionen. Sie diskutieren zwei Ansätze zur Ableitung des Arbitrage-freien Preises für Optionen, nämlich Hedging und Martingale. Der Referent demonstriert, wie man Martingale programmiert und simuliert, und hebt den Zusammenhang zwischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) und Monte-Carlo-Simulation im Preisrahmen hervor.

Mithilfe der Euler-Diskretisierungsmethode erklärt der Referent, wie man stochastische Prozesse simuliert und Diagramme generiert. Sie beginnen mit einem einfachen Prozess und nutzen das Lemma von Ito, um von S zu Bei dieser Methode wird die kontinuierliche Funktion diskretisiert und die Inkremente sowohl für die Drift als auch für die Brownsche Bewegung simuliert, was zu Diagrammen simulierter Pfade führt.

Aus rechnerischer Sicht diskutiert der Referent die Simulation von Pfaden für Optionspreismodelle. Anstatt jeden Pfad einzeln zu simulieren, erklären sie die Effizienz der Durchführung von Zeitscheiben und der Erstellung einer Matrix, in der jede Zeile einen bestimmten Pfad darstellt. Die Anzahl der Zeilen entspricht der Anzahl der Pfade, während die Anzahl der Spalten der Anzahl der Zeitschritte entspricht. Der Referent erläutert die Implementierung des Diskretisierungsprozesses anhand der Standard-Normalzufallsvariablen und betont die Bedeutung der Standardisierung für eine bessere Konvergenz.

Die Vorlesung behandelt auch die Simulation von Pfaden für geometrische Brownsche Bewegungen mit Python. Der Redner veranschaulicht, wie man einen Zufallsstartwert für stabile Simulationen festlegt, und stellt das Black-Scholes-Modell vor, das eine stochastische Differentialgleichung mit Drift und Parametern wie Mu und Sigma zur Modellierung von Vermögenspreisen beinhaltet. Der Redner betont, dass das Black-Scholes-Modell in der Finanzbranche immer noch weit verbreitet ist, insbesondere für die Preisgestaltung von Optionen auf Aktien. Sie diskutieren die Konzepte der realen Messung und der risikoneutralen Messung, die bei der Preisgestaltung von Optionen auf der Grundlage unterschiedlicher Ergebniswahrscheinlichkeiten helfen.

Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit Optionspreisen und Simulation in Python. Der Referent unterscheidet zwischen dem realen Maß, das auf der Grundlage historischer Daten ohne die Annahme von Arbitrage oder risikofreien Bedingungen geschätzt wird, und dem risikoneutralen Maß, das die Einhaltung bestimmter Bedingungen erfordert. Sie stellen eine Handelsstrategie dar, die den kontinuierlichen Handel mit einer Aktie und die Anpassung der Optionsposition umfasst, um die Bewegung der zugrunde liegenden Aktie zu erfassen. Der Referent erklärt die Dynamik des Portfolios anhand des Ito-Lemmas und leitet durch diese Methode die stochastische Natur von Optionswerten ab.

Der Redner befasst sich auch mit Techniken zum Aufbau eines Absicherungsportfolios, das unabhängig von der Brownschen Bewegung ist. Sie diskutieren die Wahl eines Deltas, das die Bedingungen der Brownschen Bewegung zunichte macht und ein Delta-neutrales Portfolio gewährleistet. Der Referent betont, wie wichtig es ist, dass das Portfolio die gleiche Rendite wie ein Sparkonto erwirtschaftet, und stellt das Konzept des Geldanlagekontos vor.

Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Ableitung partieller Differentialgleichungen (PDEs) zur Optionsbewertung anhand des Black-Scholes-Modells. Die resultierende PDE ist ein Derivat zweiter Ordnung mit Randbedingungen, die den beizulegenden Zeitwert einer Option bestimmen. Der Referent betont, dass die Optionspreisgestaltung des Black-Scholes-Modells nicht wesentlich vom Driftparameter mu abhängt, der aus Kalibrierungs- oder historischen Daten gewonnen werden kann. Transaktionskosten zur Absicherung werden in diesem Modell jedoch nicht berücksichtigt.

Die Vorlesung behandelt verschiedene wichtige Konzepte innerhalb des Black-Scholes-Modells und der Optionspreisgestaltung. Es wird die Annahme erörtert, dass es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, was zu einem risikofreien Szenario für die Anwendung des Modells führt. Der Referent erklärt das Konzept des Delta-Hedgings und wie es die größte Zufallskomponente eines Portfolios eliminiert. Darüber hinaus stellt der Referent Gamma als Maß für das Verhalten von Delta vor und betont, dass jeder Parameter im Modell abgesichert werden kann. Abschließend werden in der Vorlesung die bestimmenden Faktoren für den Wert einer Option untersucht, wie z. B. Zeit, Ausübungspreis, Volatilität und marktbezogene Parameter.

In der Vorlesung geht der Referent weiter auf das Black-Scholes-Modell und seine Anwendung bei der Optionspreisgestaltung ein. Sie diskutieren die Annahmen und Einschränkungen des Modells, einschließlich der Annahme einer konstanten Volatilität und des Fehlens von Transaktionskosten. Trotz dieser Einschränkungen wird das Black-Scholes-Modell in der Finanzbranche aufgrund seiner Einfachheit und Effektivität bei der Preisgestaltung europäischer Call- und Put-Optionen weiterhin häufig verwendet.

Der Redner stellt das Konzept der impliziten Volatilität vor, bei der es sich um die Markterwartung hinsichtlich der zukünftigen Volatilität handelt, die aus den aktuellen Optionspreisen abgeleitet wird. Die implizite Volatilität ist ein entscheidender Parameter im Black-Scholes-Modell, da sie die Preisgestaltung von Optionen beeinflusst. Der Referent erläutert, wie mithilfe des Modells die implizite Volatilität aus Marktdaten ermittelt werden kann, und erörtert deren Bedeutung für Optionshandelsstrategien.

Die Vorlesung befasst sich mit verschiedenen Optionshandelsstrategien wie Delta-Hedging und Gamma-Handel. Bei der Delta-Absicherung wird die Zusammensetzung des Portfolios kontinuierlich angepasst, um eine neutrale Position gegenüber Änderungen des Preises des Basiswerts aufrechtzuerhalten. Der Schwerpunkt des Gamma-Handels liegt auf der Ausnutzung von Gamma-Änderungen, die messen, wie sich Delta im Verhältnis zum Preis des Basiswerts verändert. Diese Strategien zielen darauf ab, das Risiko zu managen und die Rentabilität im Optionshandel zu maximieren.

Der Redner geht auch auf andere wichtige Faktoren ein, die die Optionspreise beeinflussen, darunter Zeitverfall (Theta), Zinssätze (Rho) und Dividendenrendite. Sie erklären, wie sich diese Faktoren auf die Optionspreise auswirken und wie Händler sie nutzen können, um fundierte Entscheidungen zu treffen.

Während der gesamten Vorlesung wird Python-Programmierung verwendet, um die Implementierung verschiedener Optionspreismodelle und Handelsstrategien zu demonstrieren. Der Referent stellt Codebeispiele bereit und erklärt, wie Bibliotheken und Funktionen zur Durchführung von Berechnungen und Simulationen genutzt werden können.

Zusammenfassend bietet die Vorlesung einen umfassenden Überblick über die Optionspreisgestaltung und -simulation mithilfe des Black-Scholes-Modells und verwandter Konzepte. Es betont die praktische Anwendung dieser Konzepte in der Python-Programmierung und macht es zu einer wertvollen Ressource für Personen, die sich für quantitative Finanzen und Optionshandel interessieren.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Dozent die Aktienpfadsimulation in Python und das Black-Scholes-Modell zur Preisgestaltung. Er erklärt die beiden Möglichkeiten, den Arbitrage-freien Preis für Optionen durch Absicherung und Martingale abzuleiten, und zeigt, wie man Martingale programmiert und simuliert. Er erörtert außerdem die Beziehung zwischen partiellen Differentialgleichungen (PDE) und Monte-Carlo-Simulation in einem Preisrahmen und wie man verschiedene Maße in einer stochastischen Differentialgleichung unterscheiden kann. Die Vorlesung endet mit einem Beweis für das Black-Scholes-Modell und einer Demonstration, wie die Preisgestaltung mit Python durchgeführt wird.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent, wie man mithilfe der Euler-Diskretisierungsmethode Diagramme stochastischer Prozesse simuliert und generiert. Sie beginnen mit einem einfachen Prozess aus der vorherigen Vorlesung und verwenden das Ito-Lemma, um von S zu X, dem Logarithmus von S, zu wechseln. Anschließend erklären sie die Euler-Diskretisierungsmethode und wie man sie mit Python implementiert. Die Methode umfasst die Diskretisierung der kontinuierlichen Funktion und die Simulation der Inkremente sowohl für die Drift als auch für die Brownsche Bewegung. Der im Video gezeigte Code wird verwendet, um die Diagramme der simulierten Pfade zu erstellen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die rechnerische Perspektive der Simulation von Pfaden für ein Optionspreismodell. Anstatt jeden Pfad einzeln zu simulieren, ist es recheneffizient, Zeitscheiben durchzuführen und eine Matrix zu erstellen, in der jede Zeile einem bestimmten Pfad entspricht. Die Anzahl der Zeilen wird durch die Anzahl der Pfade bestimmt und die Anzahl der Spalten wird durch die Anzahl der Zeitschritte bestimmt. Der Referent erläutert die Implementierung der Diskretisierung des Prozesses mithilfe der standardmäßigen normalen Zufallsvariablen und wie Standardisierung dazu beiträgt, eine bessere Konvergenz zu erreichen.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man mit Python Pfade einer geometrischen Brownschen Bewegung simuliert, einschließlich der Festlegung eines Zufallsstartwerts für stabile Simulationen. Sie stellen außerdem das Black-Scholes-Modell vor, das eine stochastische Differentialgleichung mit Drift und Parameter wie Mu und Sigma zur Modellierung des Preises eines Vermögenswerts wie einer Aktie umfasst. Sie stellen fest, dass dieses Modell in der Finanzbranche immer noch häufig verwendet wird, und erläutern, wie es zur Preisgestaltung von Aktienoptionen verwendet werden kann. Der Redner erörtert auch das Konzept der realen Messung und der risikoneutralen Messung, die dabei helfen, Optionen auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Ergebnisse zu bewerten.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt befasst sich die Vorlesung mit Optionspreisen und Simulation in Python. Das reale Maß wird als Parameter erklärt, die auf der Grundlage historischer Daten geschätzt werden, ohne dass Arbitrage oder Risikofreiheit vorausgesetzt werden, während das risikoneutrale Maß die Einhaltung willkürlicher Bedingungen erfordert. Es wird eine Strategie vorgestellt, bei der man eine Option hält und kontinuierlich mit einer Aktie handelt, um einige Aktien zu halten, wobei man eine Option kauft oder verkauft, um die Bewegung der zugrunde liegenden Aktie abzufangen. Das Portfolio wird jeden Tag regelmäßig neu gewichtet, um seinem Wert zu entsprechen und sich gegen etwaige Schwankungen der zugrunde liegenden Aktie abzusichern. Das Lemma von Ito wird angewendet, um die Dynamik des Portfolios zu ermitteln, und der Wert einer Option wird mit dieser Methode stochastisch abgeleitet.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Redner das Ersetzen von „stock“ durch die Dynamik, um das Lemma von Ito anzuwenden und einen quadratischen Term zu verarbeiten. Anschließend erklären sie, wie man ein Absicherungsportfolio aufbaut, das nicht von der Brownschen Bewegung abhängt. Dies wird durch die Wahl eines Deltas erreicht, für das alle Terme rund um die Brownsche Bewegung gleich Null sind. Der Referent geht auch darauf ein, dass dieses Portfolio die gleiche Rendite bringen muss, als würde man das gesamte Geld auf ein Sparkonto legen, und erläutert die Darstellung des Geldes über Geldeinstellungskonten.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man mithilfe des Black-Scholes-Modells eine partielle Differentialgleichung (PDE) zur Bewertung von Optionen herleitet. Die resultierende PDE ist ein Derivat zweiter Ordnung mit Randbedingungen, die zur Bestimmung des beizulegenden Zeitwerts einer Option verwendet werden können. Interessanterweise hängt das Modell nicht vom Parameter mu ab, was bedeutet, dass die aus der Kalibrierung oder historischen Daten ermittelten Abweichungen keinen wesentlichen Einfluss auf die Optionspreisgestaltung in einem risikoneutralen Rahmen haben. Es ist jedoch unbedingt zu beachten, dass Transaktionskosten für die Absicherung in diesem Modell nicht berücksichtigt werden.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner mehrere wichtige Konzepte des Black-Scholes-Modells und der Optionspreisgestaltung. Die erste ist die Annahme, dass es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, was bedeutet, dass das Modell in einem risikofreien Szenario angewendet wird. Der Referent erklärt außerdem den Delta-Hedge und wie er die größte Zufallskomponente eines Portfolios eliminiert. Darüber hinaus stellt der Redner die Bedeutung von Gamma vor, das misst, wie sich Delta verhält und wie jeder Parameter im Modell abgesichert werden kann. Abschließend erörtert der Referent die bestimmenden Faktoren für den Wert einer Option, darunter Zeit, Ausübungspreis, Volatilität und marktbezogene Parameter. Eine der wichtigsten Erkenntnisse des Black-Scholes-Modells ist, dass die Preisgleichung nicht von mu abhängt, was keine besonders wichtige Komponente bei der Optionspreisgestaltung ist.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner Optionspreise und Simulation in Python. Sie analysieren ein Diagramm, das verschiedene Put- und Call-Optionen für SMP mit einem aktuellen Wert von 38 Hundert, unterschiedlichen Laufzeiten und der impliziten Volatilität anzeigt, die aus der impliziten Volatilität und dem Delta von Black-Scholes ermittelt wurde. Sie erklären, dass das Black-Scholes-Modell trotz seiner Einschränkungen und Annahmen als Marktstandard für die Optionspreisgestaltung gilt. Anschließend stellt der Referent Martingale vor, die eine alternative Möglichkeit zur Bestimmung des beizulegenden Zeitwerts einer Option bieten. Sie erklären das Konzept der Filtration und die drei Bedingungen dafür, dass ein stochastischer Prozess als Martingal betrachtet werden kann. Sie stellen fest, dass die dritte Bedingung die wichtigste ist und dass Martingale eine nützliche Methode für hochdimensionale BD sind.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt des Videos wird das Konzept des Martingals und seine Beziehung zu Fairness und Nullarbitrage diskutiert. Die Bedingungen zur Überprüfung, ob die Brownsche Bewegung ein Martingal ist, werden anhand von Beispielen erklärt und demonstriert. Auch die Unabhängigkeit der Inkremente der Brownschen Bewegung und die Eigenschaft linearer Erwartungen werden angesprochen. Das Beispiel der logarithmischen Normalverteilung wird vorgestellt und die Hauptbedingung erläutert, die überprüft werden muss, um festzustellen, ob es sich um ein Martingal handelt.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Verwendung der Filtermethode zur Berechnung des Erwartungswerts von e wt-s und bestätigt, dass der in der vorherigen Zeile angegebene Prozess die Randbedingung erfüllt und ein Martingal ist. Die wichtigste Erkenntnis aus diesem Abschnitt ist, dass ein stochastischer Integralprozess ein Martingal ist und dass immer dann, wenn ein definierter Prozess ein Integral ohne Drift ist, xt in Bezug auf die Filterung immer ein Martingal ist. Der Prozess ohne Drift kann auch in Differentialform als dxt = dt * dw t dargestellt werden.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent, ob ein Aktienkurs ein Martingal ist oder nicht. Aktien sind in der Regel keine Martingale, da es sich um eine schlechte Investition handelt, wenn Sie in Zukunft den gleichen Geldbetrag erwarten, den Sie investiert haben. Wenn Sie jedoch einen Discounted-Stock-Prozess in Betracht ziehen und die zukünftigen Cashflows auf den heutigen Wert diskontieren, würden Sie erwarten, dass der Wert des Unternehmens dem Wert entspricht, den Sie heute sehen. Der Dozent wendet Itos Lemma an und ermittelt die Dynamik für s über m, um zu sehen, ob dieser Term ein Martingal ist. Durch Anwendung des stochastischen Integralprozesssatzes können die Bedingungen bestimmt werden, unter denen dies gilt. Die erste partielle Ableitung nach der Aktie ist eins über m und die zweite Ableitung ist null, daher ist dieser Term ein Martingal.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner, wie man zwischen Maßen wechselt, um die Dynamik vom Discounted-Stock-Prozess zum Martingal unter Q-Maß, dem interessierenden Maß, umzuwandeln. Der Referent zeigt, wie man die Erwartung vom messbaren P-Maß auf das Q-Maß umstellt und erklärt, dass wir, sobald wir den Prozess und das Maß haben, die Maßtransformation ableiten können. Durch die Durchsetzung der Bedingung, dass der Discounted-Stock-Prozess ein Martingal im Q-Maß sein sollte, streicht der Sprecher die führenden Begriffe und leitet die Maßtransformation ab, um zwischen Maßen zu wechseln.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Dozent den Ausgangspunkt für Preisgleichungen, der eine Erwartung unter risikoneutralen Maßstäben einer diskontierten zukünftigen Auszahlung bis heute beinhaltet. Dies bildet den Marktpreis eines Derivats, und die Gleichung für die Dynamik dieses Ausdrucks beinhaltet den Marktpreis des Risikos, der das Verhältnis zwischen dem erwarteten Wachstum einer Aktie im Vergleich zum Zinssatz, skaliert nach Volatilität, angibt. Der Dozent zeigt, wie man das Itô-Lemma verwendet, um die Dynamik für diesen Ausdruck zu ermitteln. Nach der Vereinfachung ist die resultierende Gleichung dieselbe wie der Ausdruck für PDE in der Black-Scholes-Gleichung.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, dass es bei der Berechnung einer Erwartung unter einem risikoneutralen Maß nicht zulässig ist, einen Prozess zu berücksichtigen, der nicht unter dem risikoneutralen Maß liegt. Das bedeutet, dass der für die Erwartung verwendete Prozess über ein r verfügen sollte, um ihn zu diskontieren. Daher muss im für die Erwartung verwendeten Verfahren die Drift immer von m auf r geändert werden. Der Redner zeigt mithilfe von Python-Code, wie man prüft, ob es sich bei einer Aktie um ein Martingal handelt oder nicht, und führt mithilfe von auf Konten gespartem Geld einen Rabattwert für die Aktie ein. Sie erhöhen auch die Anzahl der Pfade für die Simulation, um die Genauigkeit zu verbessern. Aus Leistungsgründen wird jedoch davor gewarnt, alle Pfade darzustellen.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent den Zusammenhang zwischen Monte-Carlo-Simulation und partiellen Differentialgleichungen (PDEs) für die Optionspreisgestaltung. Der Referent stellt eine generische PDE vor und betont, dass die PDE nicht von μ, sondern vom Zinssatz r abhängt. Um die Preisgestaltung mit der Monte-Carlo-Simulation mit der Lösung dieser PDE in Verbindung zu bringen, stellt der Redner die Feynman-Kac-Formel vor, die die Verbindung zwischen PDEs und stochastischen Prozessen herstellt und eine Methode zum Lösen bestimmter PDEs durch Simulation zufälliger Pfade eines stochastischen Prozesses bietet. Auch die Endbedingung wird besprochen und der Redner weist darauf hin, dass Preisnachlässe typischerweise mit der Preisgestaltung verbunden sind.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie man den Wert eines Derivats heute durch Diskontierung der erwarteten zukünftigen Zahlung berechnet und wie der risikofreie Zinssatz zur Diskontierung zukünftiger Cashflows verwendet wird. Der Redner diskutiert auch den stochastischen Prozess und wie man ihn mit der partiellen Differentialgleichung (PDE) für den Wert der Ableitung in Beziehung setzt. Durch die Anwendung des Itô-Lemmas auf den Prozess, die Vereinfachung der Terme und die Integration beider Seiten der stochastischen Differentialgleichung zeigt der Sprecher, dass der Erwartungswert des Integrals Null ist, und dies hilft, die Beziehung zwischen der PDE und dem Wert der Ableitung zu beweisen.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent die stochastische Analysis und ihre Verwendung bei der Optionspreisgestaltung. Er zeigt, dass die Erwartung eines stochastischen Integrals mit Brownscher Bewegung immer Null ist, was dazu führt, dass der Wert einer Option heute gleich der Erwartung der Auszahlung eines Prozesses bei Fälligkeit ist. Der Dozent zeigt, wie man partielle Differentialgleichungen mit Endbedingungen mithilfe der stochastischen Analysis löst und zeigt, wie die Lösung einer SDE durch Berechnung des zweiten Moments der Variablen und deren Anwendung auf die Preisgleichung erhalten werden kann. Abschließend erklärt er, dass der diskontierte zukünftige Wert der Auszahlung immer mit der Lösung der Preisgleichung zusammenhängt und dass die Drift des Prozesses immer gleich der Drift des risikoneutralen Maßes ist.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent zwei Hauptansätze zur Optionspreisgestaltung: den PDE-Ansatz und den risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsansatz. Der risikoneutrale Ansatz beinhaltet die Änderung des Wahrscheinlichkeitsmaßes von der echten statistischen Wahrscheinlichkeit zur risikoneutralen Wahrscheinlichkeit, was besonders wichtig beim Umgang mit Martingalen ist. Der Dozent erörtert auch die Unterschiede zwischen den Maßen und den Zeitpunkt der Auswahl, wobei die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Ereignisses oder Zustands ist, über den sich beide Handelsparteien auf dem Markt einig sind. Dies hilft dabei, die mit einem bestimmten Ereignis verbundenen Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen und dessen Preis zu messen.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent das Konzept der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit, also der vom Markt gemessenen Wahrscheinlichkeit, die für die Preisgestaltung von Finanzinstrumenten verwendet wird. Bei der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit handelt es sich nicht um eine historische Statistik oder Vorhersage, sondern sie spiegelt vielmehr die allgemeine Überzeugung des Marktes hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses wider. Der Referent zeigt, wie man Monte-Carlo-Simulationen mit entweder dem Q-Maß oder dem P-Maß simuliert. Das Q-Maß ist das risikoneutrale Maß und wird bestimmt, sobald der Preis für einen Vertrag feststeht, der uns die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit angibt, die dem jeweiligen Ereignis zugeordnet ist. Der Referent betont die Bedeutung der Verwendung dieses Wahrscheinlichkeitsmaßes zur Vermeidung von Arbitrage und erklärt, wie man die für die Simulationen benötigten Parameter aus Marktdaten und historischen Daten abschätzt.
  
  
• 01:40:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung wird das Konzept der Drift in Bezug auf Optionspreisgestaltung und Simulation in Python diskutiert. Bei der Simulation wird das Verhältnis zwischen dem Bestand zu jedem Zeitpunkt und dem auf den Konten angesparten Geld berechnet, was im Rahmen der risikoneutralen Kennzahl ein Martingal ist. Der Code wird grafisch dargestellt und zeigt, dass das Verhältnis unter der B-Maßzahl kein Martingal ist. Im zweiten Teil der Vorlesung geht es um die Anwendung des berühmten Black-Scholes-Modells, um den Optionspreis unter der geometrischen Brownschen Bewegung zu ermitteln und die Black-Scholes-Formel mithilfe einer logarithmischen Transformation und Integration der Funktion abzuleiten. Die Erwartung wird nach dem risikoneutralen Maß berechnet und der Wert des Derivats wird mithilfe der Feynman-Kac-Formel ermittelt.
  
  
• 01:45:00 In diesem Abschnitt erklärt das Video den Prozess der Verwendung der Kumulantengenerierungsfunktion zur Berechnung des Optionspreises. Dabei wird das ursprüngliche Optionspreisintegral in eine kumulantenerzeugende Funktionsversion umgewandelt. Die Transformation liefert eine Normalverteilung, die einfacher zu handhaben ist als eine logarithmische Normalverteilung. Nach der Substitution landen wir beim Black-Scholes-Preissatz, einer berühmten Formel zur Preisgestaltung europäischer Call-Optionen.

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Computational Finance: Vorlesung 4/14 (Implizite Volatilität)

Computational Finance: Vorlesung 4/14 (Implizite Volatilität)

In diesem umfassenden Vortrag über Computational Finance steht das Konzept der impliziten Volatilität im Mittelpunkt und beleuchtet seine Bedeutung bei der Berechnung von Optionspreisen. Während das Black-Scholes-Modell als Grundlage für die Berechnung der impliziten Volatilität dient, werden seine Einschränkungen und Ineffizienzen gebührend hervorgehoben. Die Vorlesung befasst sich mit verschiedenen Methoden zur Berechnung der impliziten Volatilität, insbesondere mit iterativen Verfahren wie der Newton-Raphson-Methode. Darüber hinaus untersucht der Dozent die Herausforderungen, die mit der Modellierung von Optionspreisen verbunden sind, und unterstreicht die Rolle impliziter Volatilitäten bei der Abbildung von Markterwartungen. Während der gesamten Vorlesung bleibt die entscheidende Bedeutung des Verständnisses der Volatilität bei der Optionspreisgestaltung und des Aufbaus effektiver Absicherungsportfolios ein zentrales Thema.

Die Vorlesung erweitert ihre Untersuchung, indem sie sich auf die Beziehung zwischen Optionspreisen und impliziter Volatilität konzentriert, mit besonderem Schwerpunkt auf liquiden Out-of-the-Money-Puts und -Calls. Es untersucht verschiedene Arten der impliziten Volatilitätsabweichung, einschließlich zeitabhängiger Volatilitätsparameter und des Einflusses der Zeitabhängigkeit auf die implizite Volatilität. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit den Einschränkungen des Black-Scholes-Modells und alternativen Ansätzen zur Handhabung von Volatilitätsmodellen, einschließlich lokaler Volatilitätsmodelle, Sprungmodelle und stochastischer Volatilitätsmodelle. Der Einfluss der Optionslaufzeit auf die Volatilität wird ebenfalls erläutert, wobei Optionen mit kürzerer Laufzeit eine konzentriertere Verteilung um die Geldmenge aufweisen als Optionen mit längerer Laufzeit, bei denen der Smile-Effekt weniger ausgeprägt ist.

Der Professor fasst zunächst die in den vorherigen Abschnitten behandelten Schlüsselkonzepte zusammen, insbesondere in Bezug auf Optionspreise und Volatilitätsmodellierung. Die implizite Volatilität wird eingeführt und ihre Berechnung aus Marktdaten sowie ihre Rolle bei der Messung der Unsicherheit hervorgehoben. Der Algorithmus zur Berechnung der impliziten Volatilität wird ausführlich besprochen. Darüber hinaus werden die Einschränkungen und Effizienzen des Black-Scholes-Modells sowie Erweiterungen wie die Einbeziehung zeitabhängiger Volatilitätsparameter und die Generierung impliziter Volatilitätsoberflächen angesprochen. Die Vorlesung geht auch auf die Nachteile ein, die sich daraus ergeben, dass man sich ausschließlich auf das Black-Scholes-Modell verlässt, und stellt alternative Modelle wie lokale Volatilität und stochastische Volatilität vor. Der Schwerpunkt liegt auf der Notwendigkeit, ein geeignetes Modell für die Preisgestaltung von Eventualansprüchen zu spezifizieren, und auf der Bedeutung des Aufbaus eines Absicherungsportfolios bestehend aus Optionen und Aktien, um zu einer partiellen Preisdifferenzialgleichung (PDE) zu gelangen.

Der Referent untersucht dann die Verwendung von Erwartungen bei der Lösung partieller Differentialgleichungen, insbesondere im Zusammenhang mit einem deterministischen Zinssatz und der Notwendigkeit, Erwartungen unter dem risikoneutralen Maß anzunehmen. Dargestellt wird die Preisgleichung für europäische Call- und Put-Optionen, die auf einer an den Punkten d1 ausgewerteten ursprünglichen kumulativen Normalverteilungsfunktion (CDF) basiert, die von Modellparametern abhängt, zusammen mit einem Exponenten, der den Zinssatz über die Zeit bis zur Fälligkeit betrifft. Der Vortrag erläutert, dass diese Formel problemlos in Excel umgesetzt werden kann.

Anschließend geht der Dozent auf die erforderlichen Parameter für das Black-Scholes-Modell ein, das als Werkzeug zur Schätzung von Optionspreisen dient. Zu diesen Parametern gehören die Restlaufzeit, der Ausübungspreis, der Zinssatz, der aktuelle Aktienwert und der Volatilitätsparameter Sigma, der anhand von Marktpreisen geschätzt werden muss. Der Dozent betont die Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen Optionspreis und Volatilität und betont, dass ein Anstieg der Volatilität einen entsprechenden Anstieg des Optionspreises mit sich bringt und umgekehrt. Anschließend wird das Konzept der impliziten Volatilität diskutiert, wobei seine Berechnung auf der Grundlage des Mittelpreises und seine Bedeutung innerhalb des Black-Scholes-Modells hervorgehoben werden.

Die Vorlesung befasst sich weiter mit der Ermittlung der impliziten Volatilität aus Modellen mit mehreren Parametern. Es wird darauf hingewiesen, dass unabhängig vom gewählten Modell der Test des Black-Scholes-Modells bestanden werden muss. Die Verwendung des Black-Scholes-Modells zur gleichzeitigen Preisgestaltung aller Optionen wird jedoch aufgrund der unterschiedlichen impliziten Volatilitäten für jeden Strike unpraktisch. Der Vortrag weist auch darauf hin, dass die impliziten Volatilitäten tendenziell mit längeren Optionslaufzeiten zunehmen, was eine größere Unsicherheit bedeutet. Anhand eines Beispiels wird die Berechnung der impliziten Volatilität anhand von Marktdaten und einer Standard-Call-Option auf 100 Aktien veranschaulicht.

Das Konzept der impliziten Volatilität wird vom Dozenten weiter erläutert. Historische Daten einer Option werden verwendet, um ihre Volatilität mithilfe der Black-Scholes-Gleichung abzuschätzen. Der Dozent betont jedoch, dass diese Schätzung zwar einen bestimmten Preis für die Option vorsieht, der Markt sie jedoch aufgrund ihres zukunftsorientierten Charakters im Gegensatz zur rückwärtsgerichteten historischen Schätzung möglicherweise anders bewertet hat. Trotz dieser Diskrepanz wird der Zusammenhang zwischen den beiden Volatilitäten immer noch für Anlagezwecke genutzt, obwohl der Dozent davor rät, sich rein spekulativ auf diesen Zusammenhang zu verlassen. Anschließend wird in der Vorlesung erläutert, wie die implizite Volatilität mithilfe der Black-Scholes-Gleichung unter Berücksichtigung des Marktpreises und anderer Spezifikationen einer Option berechnet wird. Der Dozent räumt jedoch ein, dass das Konzept der impliziten Volatilität von Natur aus fehlerhaft ist, da es keinen definitiv korrekten Wert gibt und das verwendete Modell eher eine Annäherung als eine tatsächliche Darstellung der Optionspreise darstellt.

Anschließend erklärt der Dozent den Prozess der Ermittlung der impliziten Volatilität mithilfe der Newton-Raphson-Methode, einem iterativen Ansatz. Bei dieser Methode wird eine Funktion basierend auf der Black-Scholes-Gleichung und dem Marktpreis erstellt, um nach Sigma, der impliziten Volatilität, aufzulösen. Der Dozent hebt die Verwendung einer Taylor-Reihenentwicklung zur Berechnung der Differenz zwischen der exakten Lösung und der Iteration hervor, mit dem Ziel, eine Funktion zu finden, bei der die implizite Black-Scholes-Volatilität mit der impliziten Marktvolatilität übereinstimmt. Die Fähigkeit, die implizite Volatilität schnell in Millisekunden zu berechnen, ist für Market Maker von entscheidender Bedeutung, um Arbitragemöglichkeiten zu erkennen und Gewinne zu erzielen.

Das Konzept des iterativen Prozesses zur Berechnung der impliziten Volatilität mithilfe der Newton-Raphson-Methode wird vorgestellt. Der Prozess erfordert mehrere Iterationen, bis die Funktion g gegen Null geht, wobei jeder neue Schritt auf der Grundlage des vorherigen geschätzt wird. Der Dozent betont die Bedeutung der anfänglichen Schätzung für die Konvergenz der Newton-Raphson-Methode. Extrem aus dem Geld liegende Optionen oder Optionen nahe Null können eine Herausforderung darstellen, da die Funktion flach wird, was zu einem kleinen Gradienten führt, der die Konvergenz behindert. Um dieses Problem zu lösen, definieren Praktiker in der Regel ein Raster mit anfänglichen Vermutungen. Der Algorithmus nähert die Funktion anhand ihrer Tangente an und berechnet den x-Achsenabschnitt, wobei steilere Steigungen zu einer schnelleren Konvergenz führen.

Darüber hinaus erläutert der Dozent die Implementierung des Newton-Raphson-Algorithmus zur Berechnung der impliziten Volatilität einer Option. Der Algorithmus basiert auf dem Black-Scholes-Modell mit Eingabeparametern wie Marktpreis, Basispreis, Laufzeit, Zinssatz, anfänglichem Aktienvolumen und anfänglichem Volatilitätsparameter. Die Konvergenz des Algorithmus wird analysiert und eine Fehlerschwelle bestimmt. Der Code wird mit Python demonstriert, wobei die erforderlichen Methoden und Definitionen im Voraus vorbereitet werden und die NumPy- und SciPy-Bibliotheken genutzt werden.

In der Vorlesung geht es ausführlicher um die Berechnung der impliziten Volatilität, wobei der Schwerpunkt auf den für diese Berechnung erforderlichen Eingaben liegt, beispielsweise dem Optionswert und der Ableitung des Call-Preises in Bezug auf den Volatilitätsparameter, bekannt als Vega. Der Kern des Codes besteht aus der schrittweisen Berechnung der impliziten Volatilität, wobei der Dozent Erläuterungen zu den verschiedenen beteiligten Parametern und deren Bedeutung gibt. Die Vorlesung endet mit einer kurzen Demonstration des iterativen Prozesses zur Berechnung der impliziten Volatilität.

Der Redner befasst sich auch mit dem Thema Fehler bei der Berechnung der impliziten Volatilität und wie dieser durch die Unterschiede zwischen Iterationen bestimmt wird. Das Ausgabediagramm zeigt die implizite Volatilität, die für einen Call-Preis, einen Ausübungspreis, eine Laufzeit und andere Parameter erhalten wird. Der Redner veranschaulicht, wie die Konvergenz bei unterschiedlichen anfänglichen Schätzungen der Volatilität variiert, und unterstreicht die Bedeutung dieses Prozesses für die Branchenkalibrierung. Die anfängliche Schätzung muss nahe an der tatsächlichen impliziten Volatilität liegen, damit das Modell erfolgreich konvergiert. Branchenpraktiker versuchen in der Regel verschiedene anfängliche Volatilitäten, bis eine geeignete Konvergenz erreicht ist, und dieser bestimmte Volatilitätswert wird ausgewählt.

Die Vorlesung befasst sich eingehender mit der Interpretation impliziter Volatilitäten. Implizite Volatilitäten können Einblicke in die Markterwartungen und die Marktstimmung geben. Wenn die implizite Volatilität hoch ist, deutet dies darauf hin, dass Marktteilnehmer mit erheblichen Preisschwankungen rechnen, was auf Unsicherheit oder ein wahrgenommenes Risiko des zugrunde liegenden Vermögenswerts hinweisen kann. Umgekehrt deuten niedrige implizite Volatilitäten auf die Erwartung relativ stabiler Preise hin.

Der Vortrag betont, dass implizite Volatilitäten kein Maß für die zukünftige Volatilität sind, sondern vielmehr ein Spiegelbild der Marktpreise. Implizite Volatilitäten werden von verschiedenen Faktoren wie Angebots- und Nachfragedynamik, Marktstimmung und Risikobereitschaft der Marktteilnehmer beeinflusst. Daher ist es von entscheidender Bedeutung, implizite Volatilitäten im Kontext anderer Marktindikatoren und der Fundamentalanalyse zu interpretieren.

Der Dozent beleuchtet auch das Konzept der impliziten Volatilitätsoberflächen oder Volatilitätslächeln. Implizite Volatilitätsflächen stellen die Beziehung zwischen impliziten Volatilitäten und unterschiedlichen Ausübungspreisen und Laufzeiten dar. Unter bestimmten Marktbedingungen können die impliziten Volatilitäten von „out-of-the-money“-Optionen höher oder niedriger sein als die von „at-the-money“-Optionen. Diese Krümmung der impliziten Volatilitätsoberfläche wird als Volatilitätslächeln oder -grinsen bezeichnet. In der Vorlesung wird erklärt, dass das Volatilitätslächeln die Wahrnehmung der Marktteilnehmer hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit extremer Preisbewegungen, wie etwa großer Abwärtsrisiken oder unerwarteter positiver Ereignisse, widerspiegelt.

Darüber hinaus behandelt die Vorlesung das Konzept der impliziten Volatilitäts-Termstrukturen. Termstrukturen der impliziten Volatilität stellen die Beziehung zwischen impliziten Volatilitäten und unterschiedlichen Laufzeiten für eine bestimmte Option dar. Der Dozent erklärt, dass Termstrukturen der impliziten Volatilität unterschiedliche Formen aufweisen können, beispielsweise eine aufsteigende (Contango), eine absteigende (Backwardation) oder eine flache Kurve. Diese Laufzeitstrukturen können Einblicke in die Markterwartungen hinsichtlich der zukünftigen Volatilität über verschiedene Zeithorizonte hinweg liefern.

Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit den Einschränkungen und Herausforderungen im Zusammenhang mit impliziten Volatilitäten. Es wird betont, dass implizite Volatilitäten aus Optionspreisen abgeleitet werden, die von verschiedenen Faktoren und Annahmen beeinflusst werden, darunter Zinssätze, Dividendenrenditen und die Hypothese eines effizienten Marktes. Daher spiegeln implizite Volatilitäten möglicherweise nicht immer genau die tatsächliche zugrunde liegende Volatilität wider.

Darüber hinaus diskutiert die Vorlesung das Konzept der historischen Volatilität und ihren Vergleich zur impliziten Volatilität. Die historische Volatilität wird auf der Grundlage vergangener Preisbewegungen des Basiswerts berechnet, während die implizite Volatilität aus Optionspreisen abgeleitet wird. Der Dozent weist darauf hin, dass die historische Volatilität rückwärtsgerichtet ist und zukünftige Markterwartungen möglicherweise nicht vollständig widerspiegelt, während die implizite Volatilität zukunftsgerichtete Informationen beinhaltet, die in Optionspreisen eingebettet sind.

Abschließend wird die Vorlesung mit einer Zusammenfassung der behandelten Kernpunkte abgeschlossen. Es betont, wie wichtig es ist, die implizite Volatilität, ihre Berechnungsmethoden und ihre Interpretation im Kontext von Optionspreisen und Markterwartungen zu verstehen. Der Dozent ermutigt zu weiteren Untersuchungen und Forschungen in diesem Bereich angesichts seiner Bedeutung für die Finanzmärkte und die Investitionsentscheidung.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung fasst der Professor zunächst zusammen, was bisher über Optionspreisgestaltung und Modellierung der Volatilität gelernt wurde. Er erklärt das Konzept der impliziten Volatilität und wie sie aus dem Markt berechnet wird, sowie ihre Bedeutung für die Messung der Unsicherheit. Der Algorithmus zur Berechnung der impliziten Volatilität wird ebenfalls diskutiert. Darüber hinaus werden die Einschränkungen und Effizienzen des Black-Scholes-Modells sowie Erweiterungen des Modells wie die Einführung eines zeitabhängigen Volatilitätsparameters und die Generierung impliziter Volatilitätsoberflächen behandelt. Abschließend werden die nachteiligen Einschränkungen des Black-Scholes-Modells und alternativer Modelle wie lokale Volatilität und stochastische Volatilität erwähnt. Der Vortrag betont die Notwendigkeit, ein Modell zu spezifizieren, das zur Preisgestaltung von Eventualforderungen verwendet werden kann, und die Bedeutung des Aufbaus eines Absicherungsportfolios, das aus einer Option und Aktien besteht, um zu einer Preis-PDE zu gelangen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Verwendung von Erwartungen bei der Lösung partieller Differentialgleichungen, insbesondere im Fall eines deterministischen Zinssatzes und der Notwendigkeit, die Erwartung unter dem handgelenkneutralen Maß zu berücksichtigen. Der in der Erwartung verwendete Prozess muss unter dem Mord-Q-Maß liegen, das unter dem P-Maß abgezinst wird. Es wird gezeigt, dass die Preisgleichung für europäische Call- und Put-Optionen auf einem anfänglichen normalen Aktien-CDF basiert, der an den Punkten d1 bewertet wird und eine Funktion von Modellparametern und einem Exponenten des Zinssatzes über die Zeit bis zur Fälligkeit ist. Die Formel lässt sich problemlos in Excel umsetzen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent die erforderlichen Parameter für das Black-Scholes-Modell, das zur Schätzung von Optionspreisen verwendet wird. Zu diesen Parametern gehören die Restlaufzeit, der Ausübungspreis, der Zinssatz, der aktuelle Aktienwert und der Volatilitätsparameter Sigma, der anhand von Marktpreisen geschätzt werden muss. Der Redner betont, dass zwischen Optionspreis und Volatilität ein Eins-zu-eins-Zusammenhang besteht und dass ein Anstieg der Volatilität einen Anstieg des Optionspreises mit sich bringt und umgekehrt. Anschließend geht es in der Vorlesung um die implizite Volatilität, die auf Basis des Mittelpreises berechnet wird und ein wichtiges Element im Black-Scholes-Modell ist.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent, wie man die implizite Volatilität aus einem Modell mit vielen Parametern erhält. Er weist darauf hin, dass unabhängig vom gewählten Modell immer das Black-Scholes-Modell bestehen muss. Allerdings kann das Black-Scholes-Modell nicht zur gleichzeitigen Preisfestsetzung aller Optionen verwendet werden, da die Implantatvolatilität für jeden Strike unterschiedlich ist. Der Dozent weist außerdem darauf hin, dass die impliziten Volatilitäten umso höher und damit unsicherer werden, je länger die Laufzeit einer Option ist. Abschließend gibt die Vorlesung ein Beispiel für die Berechnung der Implantatvolatilität aus Marktdaten und einer Standard-Call-Option auf 100 Aktien.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Konzept der impliziten Volatilität. Er beginnt damit, historische Daten zu einer Option zu verwenden, um deren Volatilität mithilfe der Black-Scholes-Gleichung abzuschätzen. Anschließend stellt er fest, dass dies zwar einen bestimmten Preis für die Option ergibt, der Markt sie jedoch möglicherweise anders bewertet, da der Markt zukunftsorientiert ist, während die historische Schätzung rückwärtsgerichtet ist. Er erklärt, dass die Beziehung zwischen den beiden Volatilitäten immer noch für Anlagezwecke genutzt wird, warnt jedoch davor, dass dies rein spekulativ sei. Abschließend erklärt er, wie man mithilfe der Black-Scholes-Gleichung die implizite Volatilität einer Option angesichts ihres Marktpreises und anderer Spezifikationen berechnet. Er stellt jedoch fest, dass das Konzept der impliziten Volatilität von Natur aus fehlerhaft ist, da es keine Möglichkeit gibt, die korrekte Zahl zu ermitteln, und das verwendete Modell nicht das tatsächliche Modell für die Optionspreisgestaltung ist.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent den Prozess der Ermittlung der impliziten Volatilität durch Berechnung der Umkehrung des Optionspreismodells mithilfe des Newton-Raphson-Ansatzes. Dazu gehört die Einrichtung einer Funktion für die Black-Scholes-Gleichung und den Marktpreis, um Sigma, also die implizite Volatilität, zu ermitteln. Dazu verwenden sie eine Taylor-Reihenentwicklung, um die Differenz zwischen der exakten Lösung und der Iteration zu berechnen. Ziel ist es, eine Funktion zu finden, bei der die implizite Volatilität nach Black-Scholes der impliziten Marktvolatilität entspricht. Market Maker verlassen sich auf die schnelle Berechnung der impliziten Volatilität in Millisekunden, um Arbitragemöglichkeiten zu erkennen und Gewinne zu erzielen.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des iterativen Prozesses zur Berechnung der impliziten Volatilität mithilfe der Newton-Raphson-Methode vorgestellt. Der Prozess umfasst das mehrmalige Berechnen einer Iteration, bis die Funktion g nahe genug an Null liegt, wobei jeder neue Schritt anhand des vorherigen geschätzt wird. Allerdings ist die anfängliche Schätzung ein entscheidender Faktor für die Konvergenz der Newton-Raphson-Methode. Liegt der Optionswert extrem außerhalb des Geldes oder zu nahe bei Null, wird die Funktion sehr flach und der Gradient wird zu klein, um zu konvergieren. Normalerweise wird ein Raster für anfängliche Schätzungen definiert, um das Problem der anfänglichen Schätzungen zu lösen. Der Algorithmus nähert die Funktion durch ihre Tangente an und berechnet den x-Achsenabschnitt in der Standardlinie. Je steiler der Gradient, desto schneller die Konvergenz.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erläutert der Referent die Implementierung des Newton-Raphson-Algorithmus zur Berechnung der impliziten Volatilität einer Option. Die zu optimierende Funktion ist das Black-Scholes-Modell, wobei die Eingabeparameter Marktpreis, Ausübungspreis, Restlaufzeit, Zinssatz, anfängliches Aktienvolumen und anfänglicher Volatilitätsparameter sind. Der Algorithmus basiert auf zwei Auswertungen: der Zielfunktion und ihrer ersten Ableitung, die als Vega bekannt ist. Die Konvergenz des Algorithmus wird analysiert und eine Fehlerstufe abgeleitet. Der Code ist in Python implementiert, wobei die erforderlichen Methoden und Definitionen zuvor vorbereitet wurden, und basiert auf den Bibliotheken NumPy und SciPy.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent den Prozess der Berechnung der impliziten Volatilität. Zu den für diese Berechnung erforderlichen Eingaben gehören der Optionswert und die Ableitung des Call-Preises in Bezug auf den Volatilitätsparameter. Der Vega-Parameter, der die Sensitivität des Optionswerts gegenüber dem Volatilitätsparameter angibt, wird ebenfalls besprochen. Der Kern des Codes besteht aus der Berechnung der impliziten Volatilität und der Dozent führt den Prozess Schritt für Schritt durch. Sie erläutern außerdem die verschiedenen Parameter, die bei der Berechnung eine Rolle spielen, und deren Bedeutung. Die Vorlesung endet mit einer kurzen Demonstration des iterativen Prozesses zur Berechnung der impliziten Volatilität.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Fehler bei der Berechnung der impliziten Volatilität und wie er durch die Differenz zwischen Iterationen bestimmt wird. Das Ausgabediagramm zeigt die implizite Volatilität, die für einen Call-Preis, den Basispreis, die Laufzeit und andere Parameter ermittelt wurde. Der Redner zeigt auch, wie sich die Konvergenz mit unterschiedlichen anfänglichen Schätzungen für die Volatilität ändert und wie wichtig dieser Prozess für die Branchenkalibrierung ist. Die anfängliche Schätzung muss nahe an der tatsächlichen impliziten Volatilität liegen, sonst konvergiert das Modell nicht. Branchenpraktiker probieren verschiedene anfängliche Volatilitäten aus, bis das Modell erfolgreich ist und diese Volatilität ausgewählt wird.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Verwendung impliziter Volatilitäten bei der Berechnung von Optionspreisen. Sie stellen fest, dass das Problem darin liegt, dass die anfängliche Volatilität nahe Null liegt, was die Gradientensuche unwirksam macht. In der Vorlesung wird auch untersucht, wie implizite Volatilitäten Aufschluss darüber geben können, welche Formen der Markt erwartet, und wie berechnet werden kann, ob die Optionspreise korrekt sind. Abschließend stellt der Dozent fest, dass man bei der Prüfung von Optionspreisen immer den Strike gleich Null verwenden sollte.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt lernen wir die Herausforderungen bei der Modellierung von Optionspreisen kennen und erfahren, wie die Flexibilität des Black-Scholes-Modells begrenzt ist, wenn zwei implizite Volatilitäten mit nur einem Parameter angepasst werden, insbesondere wenn die impliziten Volatilitäten nicht mehr konstant sind. Allerdings wird das Black-Scholes-Modell immer noch verwendet, wenn es gut genug ist, um eine einzelne Option mit einem bestimmten Strike zu kombinieren, da es auf den am Markt gegebenen Preis kalibriert werden kann. Wir erfahren auch, dass bei der Darstellung impliziter Volatilitäten im Vergleich zu einer Reihe von Strikes typischerweise drei verschiedene Formen beobachtet werden können, wobei die häufigste Form das implizite Volatilitäts-Smile ist, bei dem der tiefste Punkt des Smiles in einem Bereich um ihn herum liegen kann der tiefste Punkt, aber das bedeutet nicht unbedingt, dass es sich unbedingt um die implizite Volatilität handelt.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung wird der Zusammenhang zwischen Optionspreisen und impliziter Volatilität diskutiert, wobei der Schwerpunkt auf den liquidesten Out-of-the-Money-Puts und -Calls liegt. In der Vorlesung wird erklärt, wie Optionspreise steigen, je weiter sie sich aus dem Geld bewegen, und dass dadurch auch die Differenz zwischen Marktpreis und Modellpreis (implizite Volatilität) zunimmt. In der Vorlesung werden auch verschiedene Arten der impliziten Volatilitätsabweichung behandelt, darunter eine, bei der die implizite Volatilität leicht zunimmt, wenn man sich weiter von der Option am Geld entfernt. Die Vorlesung endet mit einer Diskussion darüber, wie die Black-Scholes-Gleichung durch Verwendung zeitabhängiger Volatilitätsparameter verbessert werden kann.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert das Video den Einfluss der Zeitabhängigkeit auf die implizite Volatilität und wie sie sich auf die Erzeugung des impliziten Volatilitätslächelns auswirkt. Es ist nicht möglich, das Lächeln der impliziten Volatilität mit der zeitabhängigen Volatilität für verschiedene Strikes zu generieren, aber es ist möglich, eine Termstruktur der impliziten Volatilität zu haben
  wobei die Auswirkung auf die Volatilität je nach Optionslänge unterschiedlich ist. Das Video zeigt auch, wie man die implizite Volatilität berechnet und Pfade mit zeitabhängiger Volatilität generiert und wie sich dies auf die Black-Scholes-Gleichung der impliziten Volatilität auswirkt. Das Video zeigt auch ein Beispiel für die Anpassung unterschiedlicher Volatilitätsniveaus für zwei Optionen mit unterschiedlichen Laufzeiten.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent anhand von Grafiken, wie sich die implizite Volatilität aufgrund unterschiedlicher Strikes und Laufzeiten ändert. Sie führen das Konzept der impliziten Volatilitätsoberfläche ein, das ein wichtiges Element bei der Diskussion von Volatilitäten und stochastischen Volatilitätsmodellen ist. Anschließend erörtern sie den Zusammenhang zwischen der Laufzeit einer Option und ihrer Volatilität und erklären, dass Optionen mit kurzer Laufzeit eine konzentriertere Verteilung rund um die Geldmenge aufweisen, während längere Laufzeiten mit der Zeit diffundieren und der Smile-Effekt weniger ausgeprägt ist. Abschließend weisen sie darauf hin, dass die Verteilung der Option bei längeren Laufzeiten viel breiter wird, was mehr Unsicherheit bedeutet.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt werden im Video die verschiedenen Formen der impliziten Volatilität erläutert, die je nach Vertragslaufzeit und anderen Faktoren variieren. Das Black-Scholes-Modell ist begrenzt, da es nur auf einen Punkt im Raster kalibriert werden kann, sodass jede Volatilität außerhalb des Geldniveaus flach bleibt. Obwohl das Black-Scholes-Modell nicht ideal für kompliziertere Auszahlungen oder Verträge ist, ist es dennoch wichtig, da es Einblicke in die Preisgestaltung von Derivaten, den Aufbau replizierender Portfolios, die Absicherung und die Simulation von Marktbewegungen bietet. Trotz seiner Einschränkungen ist das Black-Scholes-Modell ein grundlegendes Modell im Finanzwesen.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt spricht der Redner über die Grenzen des Black-Scholes-Modells in der Realität. Er betont, dass die Absicherung zwar eine kontinuierliche Neuausrichtung eines Portfolios erfordert, um die gleiche Rendite zu erzielen wie eine Anlage auf einem Sparkonto, dies jedoch unpraktisch ist, da der hunderte Kauf und Verkauf von Aktien am Tag aufgrund der Transaktionskosten sehr teuer wäre. Infolgedessen erfolgt die Absicherung je nach Marktverhalten deutlich seltener und die Transaktionskosten sowie seltenere Absicherungen werden im Black-Scholes-Modell nicht berücksichtigt. Darüber hinaus haben empirische Studien finanzieller Zeitreihen gezeigt, dass die Normalitätsannahme der Vermögenspreise keine starken Schwankungen erfassen kann. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, die Extremereignissen zugeschrieben wird, sehr gering ist, und dies wird von der Log-Normalverteilung des Black-Scholes-Modells nicht gut erfasst.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erläutert der Dozent die unterschiedlichen Ansätze zum Umgang mit Volatilitätsmodellen. Der erste Ansatz diskutiert die lokalen Volatilitätsmodelle, die eine einfache Erweiterung des eigentlichen Modells darstellen. Die Funktion des lokalen Volatilitätsmodells wird lokale Volatilitätsfunktion genannt und wird anhand von Marktdaten erstellt. Der zweite Ansatz, der in der nächsten Vorlesung besprochen wird, ist ein Sprungmodell, das die Erzeugung von Smile- und Skew-Effekten ermöglicht. Der dritte Ansatz beinhaltet die stochastische Volatilität, eine erweiterte Erweiterung der lokalen Volatilität, bei der eine stochastische Differentialgleichung zur Steuerung der Volatilität verwendet wird.

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Computational Finance: Vorlesung 5/14 (Sprungprozesse)

Computational Finance: Vorlesung 5/14 (Sprungprozesse)

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden Möglichkeiten untersucht, das Black-Scholes-Modell durch die Einbeziehung von Sprüngen in den Aktienprozess zu verbessern und von einem Diffusionsmodell zu einem Sprung-Diffusionsmodell überzugehen. Der Ausbilder erklärt zunächst die Einbeziehung von Sprüngen in den Stockprozess und gibt eine Definition von Sprüngen. Anschließend demonstrieren sie eine einfache Implementierung eines Sprungprozesses in Python und betonen dabei die Notwendigkeit, Sprünge in einem stochastischen Prozess für Aktien zu verarbeiten und gleichzeitig sicherzustellen, dass das Modell unter dem q-Maß bleibt.

Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit den Auswirkungen der Einführung von Preissprüngen und deren Auswirkungen auf die Preis-PDE (partielle Differentialgleichung) und führt zusätzliche Integralterme ein. Die Diskussion erstreckt sich auf den Einfluss unterschiedlicher Sprungverteilungen auf implizite Volatilitätsformen und die Verwendung von Konzepten wie Erwartungs-iterierten Erwartungen, der Turmeigenschaft der Erwartung und charakteristischen Funktionen für Sprungprozesse beim Umgang mit komplexen Erwartungen.

Der Dozent betont die Praktikabilität von Sprungprozessen bei der Preisgestaltung von Optionen und der Kalibrierung von Modellen und hebt deren Realismus und Fähigkeit hervor, schwere Schwänze zu berücksichtigen sowie die Kurtosis und Asymmetrie der Lock-and-Turn-Dichte zu kontrollieren. Durch die Einbeziehung eines Sprungprozesses kann eine bessere Anpassung an das implizite Volatilitätslächeln oder den impliziten Volatilitätsversatz erreicht werden, wodurch Sprungprozesse eine günstigere Alternative zum Black-Scholes-Modell darstellen.

Die Vorlesung verschiebt den Schwerpunkt und stellt das Konzept von Sprungprozessen vor, die durch einen Zählvorgang dargestellt werden und nicht mit der Brownschen Bewegung korrelieren. Diese Prozesse werden mithilfe eines zufälligen Poisson-Prozesses modelliert, der durch einen anfänglichen Nullwert und unabhängige Inkremente nach einer Poisson-Verteilung gekennzeichnet ist. Die Rate des Poisson-Prozesses bestimmt die durchschnittliche Anzahl der Sprünge in einem bestimmten Zeitraum. In der Vorlesung wird erklärt, wie man mithilfe von Notation und Erwartungen die durchschnittliche Anzahl von Sprüngen innerhalb eines bestimmten Intervalls für Sprungvorgänge berechnet.

Im Bereich Computational Finance geht der Dozent auf die Simulation von Sprungvorgängen ein, weist darauf hin, dass die Sprunggröße nicht explodieren kann und stellt die damit verbundenen technischen Annahmen dar. Der Prozess umfasst die Definition von Matrizen und Parametern zur Simulation unabhängiger Inkremente unter Verwendung einer Poisson-Verteilung für jedes Inkrement des Sprungprozesses. Die Vorlesung behandelt auch die Nutzung des Poisson-Prozesses im Ethos-Lemma, um die Dynamik von Sprungprozessen für die Aktienbewertung zu erweitern. Im Kontext der Computational Finance stellt die Vorlesung das Konzept der Sprungprozesse vor und erläutert es. Es definiert den Begriff „t-minus“ als die Zeit unmittelbar bevor ein Sprung in einem Prozess auftritt und untersucht die Dynamik des Prozesses anhand des Ethos-Lemmas und der Berechnung von Ableitungen in Bezug auf die Zeit. Der Zusammenhang zwischen der Sprunggröße und der daraus resultierenden Anpassung der Funktion „g“ wird diskutiert und die praktische Relevanz dieser Konzepte bei der Modellierung stochastischer Prozesse hervorgehoben. Die Vorlesung verdeutlicht außerdem, wie wichtig es ist, bei der Modellierung des Börsenverhaltens die Unabhängigkeit von Sprungprozessen und diffusiven Prozessen zu berücksichtigen.

Um die Dynamik einer Funktion „g“ in einem Modell abzuleiten, das sowohl Sprung- als auch Diffusionsprozesse berücksichtigt, konzentriert sich die Vorlesung auf das Verhalten hoher Diffusionskomplexität und die Anwendung des Ito-Lemmas. Das Lemma von Ito wird verwendet, um Kreuzterme wie dxpt quadriert im Kontext erhöhter Modellkomplexität zu verarbeiten. Sobald alle Elemente, einschließlich Drift, Diffusion und Sprünge, kombiniert sind, kann die Dynamik von „g“ mithilfe des Lemmas von Ito abgeleitet werden. Die Erweiterung der Ito-Tabelle wird ebenfalls angesprochen und die Unterschiede zwischen einem Poisson-Prozess und einer Brownschen Bewegung hervorgehoben. Abschließend wird in der Vorlesung der Prozess der Ableitung der Dynamik für eine Funktion „g“ skizziert, die sowohl Sprung- als auch Diffusionsprozesse berücksichtigt.

Im weiteren Verlauf beschreibt die Vorlesung den Prozess zur Ermittlung der Dynamik einer Aktie mit Sprung und Brownscher Bewegung unter dem Q-Maß. Dieser Prozess beinhaltet die Definition einer neuen Variablen und die Bestimmung ihrer Dynamik, um sicherzustellen, dass die Erwartung der Dynamik Null ist. Es wird davon ausgegangen, dass die Sprungkomponente unabhängig von allen anderen Prozessen ist, was zu einem Ausdruck führt, der Terme für Drift, Volatilität und die Erwartung von J minus eins enthält. Dieser Ausdruck wird dann in die Gleichung für das Q-Maß eingesetzt, um sicherzustellen, dass die Dynamik von ST über dem Geldsparkonto ein Martingal ist.

Der Dozent erläutert anschließend, wie ein Modell mit Diffusion und Sprüngen abgeleitet werden kann, und liefert ein Beispiel zur Veranschaulichung der Pfade eines Modells mit zwei Komponenten: Diffusion und Sprung. Der diffusive Teil stellt ein kontinuierliches Verhalten dar, während das Sprungelement eine Diskontinuität einführt, was die Darstellung von Sprungmustern ermöglicht, die bei bestimmten Beständen beobachtet werden. Der Dozent behandelt außerdem die Parameter für den Sprung und den Volatilitätsparameter für die Brownsche Bewegung sowie die Anfangswerte für Aktien und Zinssätze. Um das Verständnis weiter zu verbessern, zeigt der Dozent, wie die Simulation programmiert und die resultierenden Pfade aufgezeichnet werden.

Anschließend wird in der Vorlesung der Erwartungswert von e hoch j erläutert, der analytisch als Erwartungswert einer logarithmischen Normalverteilung berechnet wird. Die Simulation von Poisson-Inkrementen, angetrieben durch c mal pi mal dt, wird durchgeführt, wobei z die Inkremente für eine Normalverteilung darstellt und j die Sprunggröße darstellt. Die Dynamik des Sprungdiffusionsprozesses umfasst sowohl partielle Differentialgleichungen als auch integrale Differentialgleichungen, wobei der Integralteil die Erwartung von Sprunggrößen darstellt. Die Preisgleichung kann durch Portfoliokonstruktion oder durch den charakteristischen Funktionsansatz abgeleitet werden, und die Parameter müssen anhand der Optionspreise auf dem Markt kalibriert werden.

Im Kontext der Portfoliokonstruktion beschreibt die Vorlesung den Prozess der Konstruktion eines Portfolios bestehend aus einer verkauften Option und einer Absicherung mit einer zugrunde liegenden Aktie. Indem sichergestellt wird, dass die Dynamik des Portfolios im gleichen Maße zunimmt wie die des Geldsparkontos, kann eine Preisdifferenzialgleichung abgeleitet werden. Um die gewünschte Dynamik zu erreichen, muss die Aktie dividiert durch das Geldsparkonto ein Martingal sein. Die Vorlesung leitet dann die Bedingung für mu ab und zeigt, dass, sobald die Dynamik festgelegt ist, die Dynamik von v abgeleitet werden kann. Diese Informationen werden dann verwendet, um die Erwartungen zu berechnen und die Dynamik von v abzuleiten.

Der Dozent untersucht weiter die Gleichung für eine Ableitung erster Ordnung nach der Zeit, die ebenfalls nach x erster Ordnung ist und eine Erwartung für einen Wert eines Kontrakts zum Zeitpunkt t mit einem Sprung beinhaltet. Dies führt aufgrund des Vorhandenseins einer Erwartung zu einem Integralterm, was zu einer partiellen Integraldifferentialgleichung (PID) führt, deren Lösung schwieriger ist als reine PDEs. Die Lösung besteht darin, den analytischen Ausdruck für den erwarteten Wert zu finden, der manchmal als unendliche Reihen ausgedrückt werden kann. Die Bedeutung von Randbedingungen und die Umwandlung von PIDs in logarithmische Transformationen für eine verbesserte Konvergenz werden ebenfalls diskutiert.

In Fortsetzung der Diskussion über Sprungprozesse konzentriert sich die Vorlesung auf die Transformation von Sprungprozessen bei PID und PID unter der Deluxe-Option. In der Vorlesung werden zwei gängige Ansätze zur Angabe der Sprunggröße vorgestellt, nämlich das klassische Merchants-Modell und das nichtsymmetrische Doppelexponentialmodell. Während die Kalibrierung des Modells durch das Hinzufügen von Sigma J und Mu J komplizierter wird, begünstigen Praktikabilität und Branchenakzeptanz häufig Modelle mit weniger Parametern. In der Vorlesung wird auch anerkannt, dass das Erreichen von Konvergenz mit zunehmender Dynamik von Sprungprozessen zu einer Herausforderung wird und fortschrittliche Techniken wie den Fourier-Raum oder analytische Lösungen zur Parameterkalibrierung erforderlich macht.

Anschließend wird in der Vorlesung der Prozess der Preisbildung anhand der Monte-Carlo-Simulation für Sprungdiffusionsprozesse erläutert. Bei der Preisgestaltung wird die Erwartung der zukünftigen Auszahlung durch Abzinsung des Barwerts berechnet. Während Methoden wie PIDs und Monte-Carlo-Simulation hinsichtlich der Rechenkomplexität für Simulationen eine gute Leistung erbringen, sind sie möglicherweise nicht ideal für die Preisgestaltung und Modellkalibrierung, da bei der Einführung von Sprüngen die Anzahl der Parameter erheblich zunimmt. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Interpretation der Verteilung von Sprüngen und Intensitätsparametern und deren Auswirkungen auf die implizite Volatilität, Smile und Skew. Es wird ein Simulationsexperiment durchgeführt, bei dem Parameter variiert werden, während andere unverändert bleiben, um die resultierenden Auswirkungen auf Sprünge und Schräglage zu beobachten.

Um die Auswirkungen von Volatilität und Intensität von Sprüngen auf die Form des impliziten Volatilitätslächelns und -niveaus zu analysieren, diskutiert der Dozent deren Beziehungen. Die Erhöhung der Volatilität eines Sprungs führt zu einem höheren Grad an Volatilität, während die Intensität der Sprünge auch die Höhe und Form des impliziten Volatilitätslächelns beeinflusst. Diese Informationen sind entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Optionspreisen und die Kalibrierung von Modellen anhand realer Marktdaten.

Anschließend stellt die Vorlesung das Konzept der Tower-Eigenschaft und ihre Anwendung zur Vereinfachung von Finanzproblemen vor. Durch die Konditionierung eines Pfads von einem Prozess zur Berechnung der Erwartung oder des Preises eines anderen Prozesses können Probleme mit mehreren Dimensionen in stochastischen Differentialgleichungen vereinfacht werden. Die Tower-Eigenschaft kann auch auf Probleme in Black-Scholes-Gleichungen mit Volatilitätsparametern und Buchhaltungsprozessen angewendet werden, die bei der Behandlung von Sprungintegralen oft zu Summationen werden. Der Dozent betont die Notwendigkeit, bei diesen Anwendungen Parameterannahmen zu treffen.

Als nächstes diskutiert der Dozent die Verwendung von Fourier-Techniken zur Lösung von Preisgleichungen in der Computational Finance. Fourier-Techniken basieren auf der charakteristischen Funktion, die für einige Sonderfälle in analytischer Form gefunden werden kann. Der Dozent geht ein Beispiel anhand des Merton-Modells durch und erklärt, wie man die charakteristische Funktion für diese Gleichung findet. Durch die Trennung von Erwartungstermen, die unabhängige Teile enthalten, zeigt der Dozent, wie man die Summierung in Form von Erwartungen ausdrückt und so die Bestimmung der charakteristischen Funktion ermöglicht. Der Vorteil der Verwendung von Fourier-Techniken besteht darin, dass sie schnelle Preisberechnungen ermöglichen, die für die Modellkalibrierung und Echtzeitbewertung von entscheidender Bedeutung sind.

Als nächstes diskutiert der Dozent die Verwendung von Fourier-Techniken zur Lösung von Preisgleichungen in der Computational Finance. Fourier-Techniken basieren auf der charakteristischen Funktion, die für einige Sonderfälle in analytischer Form gefunden werden kann. Der Dozent geht ein Beispiel anhand des Merton-Modells durch und erklärt, wie man die charakteristische Funktion für diese Gleichung findet. Durch die Trennung von Erwartungstermen, die unabhängige Teile enthalten, zeigt der Dozent, wie man die Summierung in Form von Erwartungen ausdrückt und so die Bestimmung der charakteristischen Funktion ermöglicht. Der Vorteil der Verwendung von Fourier-Techniken besteht darin, dass sie schnelle Preisberechnungen ermöglichen, die für die Modellkalibrierung und Echtzeitbewertung von entscheidender Bedeutung sind.

Während der gesamten Vorlesung betont der Dozent, wie wichtig es ist, Sprungprozesse zu verstehen und in Computational-Finance-Modelle zu integrieren. Durch die Einbeziehung von Sprüngen können Modelle das Verhalten realer Aktienkurse besser erfassen und genauere Preis- und Kalibrierungsergebnisse liefern. Die Vorlesung beleuchtet auch die Herausforderungen, die mit Sprungprozessen verbunden sind, wie beispielsweise die Komplexität der Lösung integraler Differentialgleichungen und die Notwendigkeit einer sorgfältigen Parameterkalibrierung. Mit den entsprechenden Techniken und Methoden können Sprungprozesse jedoch die Genauigkeit und den Realismus von Computational-Finance-Modellen erheblich verbessern.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man das Black-Scholes-Modell verbessert, indem man Sprünge in den Bestandsprozess einbezieht und von einem diffusiven Modell zu einem Sprung-Diffusions-Modell übergeht. Die Diskussion beginnt mit der Einbeziehung von Sprüngen in den Aktienprozess und der Definition von Sprüngen. Der Dozent zeigt außerdem, wie man eine einfache Implementierung eines Sprungprozesses in Python durchführt und wie man mit Sprüngen in einem stochastischen Prozess für Aktien umgeht, um sicherzustellen, dass das Modell immer noch unter q-Maß steht. Durch die Einbeziehung von Sprüngen in die Preisgestaltung werden zusätzliche integrale Begriffe eingeführt, die in der Preisgestaltungs-PDE enthalten sein werden. In der Vorlesung werden außerdem die Auswirkungen unterschiedlicher Sprungverteilungen auf unterschiedliche implizite Volatilitätsformen und die Verwendung der iterierten Erwartungserwartungen, der Turmeigenschaft der Erwartung und charakteristischer Funktionen für Sprungprozesse beim Umgang mit komplizierten Erwartungen erörtert. Abschließend behandelt die Vorlesung die Verwendung der Fourier-Transformation zur Umkehrung der charakteristischen Funktion zur Kalibrierung von Sprungdiffusionsmodellen mit mehreren Parametern.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Erweiterung des Modells auf Sprünge. Das Verhalten einer Aktie wie KLM kann nicht durch eine geometrische Brownsche Bewegung erklärt werden, da sie Sprungmuster erkennen lässt. Diese Sprünge sind auf dem Markt zu beobachten und könnten auf unerwartete Marktereignisse oder Dividendenzahlungen zurückzuführen sein, oft stehen sie jedoch im Zusammenhang mit Faktoren wie politischen Konflikten oder Lieferproblemen bei Rohstoffen. Um das Verhalten einer Aktie und mehrere Ausübungspreise besser an die Optionspreisgestaltung anzupassen, ist ein Prozess erforderlich, der dieses Sprungphänomen berücksichtigt. Ein solcher Prozess ist ein Lévy-basiertes Modell mit Sprungdiffusion, das eine Brownsche Bewegung und einen Sprunganteil umfasst, der die Sprungmuster einiger Aktien erklären kann.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Nützlichkeit von Sprungprozessen bei der Preisgestaltung von Optionen und der Kalibrierung von Modellen. Er erklärt, wie Sprünge bei der Preisgestaltung von Optionen realistisch sind und wie sie eine bessere Kalibrierung unter Einbeziehung starker Tails ermöglichen. Darüber hinaus können Sprungprozesse dabei helfen, die Wölbung und Asymmetrie der Lock-and-Turn-Dichte zu kontrollieren. Indem er einen Prozess aufbaut, der einen Sprung beinhaltet, zeigt er, wie er eine bessere Anpassung an das implizite Volatilitätslächeln oder implizite Volatilitätsverzerrung ermöglichen kann. Insgesamt sind Sprungprozesse eine überlegene Alternative zum Black-Scholes-Modell.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt wird der zweite stochastische Prozess in der Computational Finance vorgestellt, bei dem es sich um einen Sprungprozess handelt, der durch einen Zählprozess dargestellt wird. Der Sprungprozess korreliert nicht mit der Brownschen Bewegung und wird mit einem zufälligen Poisson-Prozess modelliert. Der Poisson-Prozess hat zunächst einen Nullwert und unabhängige Zuwächse mit einer Wahrscheinlichkeit, die durch die Poisson-Verteilung gegeben ist. Die Rate des Poisson-Prozesses stellt die durchschnittliche Anzahl der Sprünge in einem bestimmten Zeitraum dar. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sprung während eines kleinen Zeitintervalls auftritt, wird dann mithilfe des Poisson-Prozesses und eines kleinen o dt berechnet. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Nullsprüngen wird ebenfalls diskutiert.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man für Sprungvorgänge die durchschnittliche Anzahl der Sprünge in einem bestimmten Intervall berechnet. Bei der Berechnung wird die Differenz zwischen der Anzahl der Sprünge am Punkt s plus dt und x-ps durch die Kurzschreibweise dxp ersetzt. Die Erwartung eines Ereignisses errechnet sich aus dem Erwartungswert multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Darüber hinaus wird eine Definition eines kompensierten Poisson-Prozesses eingeführt, bei dem der Erwartungswert des Prozesses Null ist. Abschließend wird in der Vorlesung erwähnt, dass es normalerweise keine Korrelation zwischen der Sprunggröße einer Zufallsvariablen und dem Prozess gibt, was es schwierig macht, die Größe eines Sprungs zu beurteilen und zu definieren, wann er passiert ist.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent Sprungprozesse in der Computational Finance. Die Sprunggröße kann nicht explodieren und es gibt technische Annahmen dazu. Die Simulation der Pfade und Realisierungen des Prozesses erfordert die Definition von Matrizen und Parametern für eine Poisson-Verteilung, die zur Simulation unabhängiger Inkremente für jedes Inkrement des Sprungprozesses verwendet wird. In der Vorlesung wird auch behandelt, wie der Poisson-Prozess im Ethos-Lemma genutzt werden kann, um seine Dynamik für die Aktienbewertung zu erweitern.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept eines Sprungprozesses im Kontext der Computational Finance vorgestellt und erklärt. Der Begriff „t-minus“ ist definiert als die Zeit unmittelbar bevor in einem Prozess ein Sprung stattfindet, und die Dynamik des Prozesses wird durch das Ethos-Lemma und die Berechnung der Ableitungen in Bezug auf die Zeit untersucht. Der Zusammenhang zwischen der Größe des Sprungs und der daraus resultierenden Anpassung der Funktion g wird diskutiert und die praktische Relevanz dieser Konzepte bei der Modellierung stochastischer Prozesse hervorgehoben. Darüber hinaus wird betont, wie wichtig es ist, bei der Modellierung des Börsenverhaltens die Unabhängigkeit von Sprungprozessen und diffusiven Prozessen zu berücksichtigen.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Ableitung der Dynamik einer Funktion g in einem Modell, das sowohl Sprung- als auch Diffusionsprozesse aufweist. Der Referent erklärt zunächst, dass die Ableitung von Lösungen deutlich schwieriger werden kann, wenn die Komplexität des Modells aufgrund der hohen Diffusion zunimmt. Der Referent stellt dann das Lemma von Ito vor, um zu diskutieren, wie es in diesem Kontext angewendet wird, insbesondere wenn es um Kreuzbegriffe wie dxpt im Quadrat geht. Der Sprecher erklärt dann, dass, sobald alle Elemente (Drift, Diffusion und Sprünge) zusammengefügt sind, die Dynamik von g mithilfe des Ito-Lemmas abgeleitet werden kann. Auch die Erweiterung der Ito-Tabelle wird angesprochen, wobei der Referent erklärt, dass der Unterschied zwischen einem Poisson-Prozess und der Brownschen Bewegung deutlich wird. Abschließend skizziert der Referent den Prozess der Ableitung der Dynamik für eine Funktion g, die sowohl Sprung- als auch Diffusionsprozesse berücksichtigt.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt beschreibt der Referent den Prozess, die Dynamik einer Aktie mit Sprung und Brownscher Bewegung unter dem Q-Maß zu ermitteln. Der Prozess umfasst die Definition einer neuen Variablen und die Bestimmung ihrer Dynamik sowie die Sicherstellung, dass die Erwartung der Dynamik Null ist. Es wird davon ausgegangen, dass die Sprungkomponente unabhängig von allen anderen Prozessen ist, und der resultierende Ausdruck enthält Terme für Drift und Volatilität sowie den Erwartungswert von J minus eins. Der letzte Schritt besteht darin, diesen Prozess in die Gleichung für das Q-Maß einzusetzen und sicherzustellen, dass die Dynamik von ST über dem Geldsparkonto ein Martingal ist.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Dozent, wie man ein Modell mit Diffusion und Sprüngen herleitet und gibt ein Beispiel, wie die Pfade eines Modells mit zwei Komponenten aus Diffusionskomponenten und Sprüngen aussehen würden. Der Prozess hat einen diffusiven Anteil, der sich kontinuierlich verhält, und einen Sprunganteil, der ihn diskontinuierlich macht. Der Dozent bespricht außerdem die Parameter für den Sprung und den Volatilitätsparameter für die Brownsche Bewegung sowie die Anfangswerte für die Aktien- und Zinssätze. Abschließend zeigt der Dozent, wie man die Simulation programmiert und die Pfade zeichnet.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt der Computational Finance-Vorlesung erläutert der Referent den Erwartungswert von e hoch j, der analytisch als Erwartungswert einer logarithmischen Normalverteilung berechnet wird. Anschließend simulieren sie Poisson-Inkremente, angetrieben durch c pi mal dt, mit z als Inkrementen für eine Normalverteilung und j als Sprunggröße. Die Dynamik des Sprungdiffusionsprozesses umfasst sowohl partielle Differentialgleichungen als auch integrale Differentialgleichungen, wobei der Integralteil die Erwartung von Sprunggrößen darstellt. Die Preisgleichung kann durch Portfoliokonstruktion oder durch den charakteristischen Funktionsansatz abgeleitet werden, wobei die Parameter anhand der Optionspreise auf dem Markt kalibriert werden müssen.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt beschreibt die Vorlesung den Prozess des Aufbaus eines Portfolios, das aus einer verkauften Option und einer Absicherung mit zugrunde liegenden Aktien besteht. Indem sichergestellt wird, dass die Dynamik des Portfolios im gleichen Maße zunimmt wie das Geldsparkonto, kann eine Preisdifferenzialgleichung abgeleitet werden. In der Vorlesung wird erklärt, dass zur Erzielung der Dynamik der Aktien- und Risikoinformationen die Aktie dividiert durch das Geldsparkonto ein Martingal sein muss. Die Vorlesung leitet dann die Bedingung für mu ab und zeigt, dass, sobald die Dynamik festgelegt ist, die Dynamik von v abgeleitet werden kann. Diese Informationen werden dann verwendet, um die Erwartungen zu berechnen und die Dynamik von v abzuleiten.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Gleichung für eine Ableitung erster Ordnung in Bezug auf die Zeit, also erster Ordnung in Bezug auf x, und schließt eine Erwartung für einen Wert eines Vertrags zum Zeitpunkt t mit a ein springen. Dies führt aufgrund des Vorhandenseins einer Erwartung zu einem Integralterm, der zu einer partiellen Integraldifferentialgleichung (PID) wird, da er einen Integralterm enthält. Der Referent erklärt, dass PIDs aus diesem Grund schwieriger zu lösen sein können als PDEs. Die Lösung besteht darin, den analytischen Ausdruck für den erwarteten Wert zu finden, der manchmal als unendliche Reihen ausgedrückt werden kann. Der Referent erörtert außerdem die Bedeutung von Randbedingungen und der Umwandlung von PIDs in logarithmische Transformationen für eine bessere Konvergenz.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf die Transformation von Sprungvorgängen bei PID und PID unter der Deluxe-Option ein. Der Redner weist darauf hin, dass die Spezifikation der Sprunggröße j dem Benutzer überlassen bleibt, skizziert jedoch zwei gängige Ansätze: das klassische Händlermodell und das nichtsymmetrische Doppelexponentialmodell. Während die Kalibrierung des Modells durch die Hinzufügung von Sigma J und Mu J komplizierter wird, ist es in der Industrie typischerweise praktischer und akzeptabler, weniger Parameter zu haben. Der Redner weist darauf hin, dass das Erreichen von Konvergenz problematisch wird, wenn die Dynamik von Sprungprozessen zu kompliziert ist, und dass fortschrittliche Techniken wie der Fourier-Raum oder sogar analytische Lösungen erforderlich sind, um diese Parameter zu kalibrieren.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt erläutert der Redner, wie die Preisgestaltung mithilfe der Monte-Carlo-Simulation für einen Sprungdiffusionsprozess durchgeführt wird, bei dem die Erwartung der zukünftigen Auszahlung durch Diskontierung ihres heutigen Wertes berechnet wird. Während Methoden wie PIDs und Monte-Carlo hinsichtlich der Rechenkomplexität für Simulationen gut abschneiden, sind sie möglicherweise nicht ideal für die Preisgestaltung und Modellkalibrierung, da die Einführung von Sprüngen die Anzahl der Parameter erheblich erhöht. Der Redner erklärt außerdem, wie die Verteilung von Sprüngen und Intensitätsparametern zu interpretieren ist und welche Auswirkungen sie auf die implizite Volatilität, Smile und Skew haben. Darüber hinaus führt der Sprecher ein Simulationsexperiment durch, um die Parameter zu variieren, während andere fixiert bleiben, um die Änderungen der Sprung- und Skew-Effekte zu beobachten.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Auswirkungen der Volatilität und der Intensität von Sprüngen auf die Form des impliziten Volatilitätslächelns und -niveaus. Die Erhöhung der Volatilität eines Sprungs führt zu einem höheren Grad an Volatilität, während die Intensität der Sprünge auch die Höhe und Form des impliziten Volatilitätslächelns beeinflusst. Anschließend wird in der Vorlesung die Turmeigenschaft für Erwartungen besprochen und wie sie zur Handhabung von Sprüngen und Integralen verwendet werden kann. Die Tower-Eigenschaft für Erwartungen ermöglicht eine Vereinfachung und einfachere Handhabung von Erwartungsausdrücken und macht sie zu einem nützlichen Werkzeug bei der Berechnung von Erwartungen mit Sprüngen.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Tower-Eigenschaft und wendet sie an, um Probleme im Finanzwesen zu vereinfachen. Durch die Konditionierung eines Pfads von einem Prozess zur Berechnung der Erwartung oder des Preises eines anderen Prozesses können Probleme mit mehreren Dimensionen in stochastischen Differentialgleichungen vereinfacht werden. Die Tower-Eigenschaft kann auch auf Probleme in Black-Scholes-Gleichungen mit Volatilitätsparametern und Buchhaltungsprozessen angewendet werden, die bei der Behandlung von Sprungintegralen oft zu Summationen werden. Der Dozent betont, dass bei diesen Anwendungen Parameterannahmen getroffen werden müssen.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Verwendung von Fourier-Techniken zur Lösung von Preisgleichungen in der Computational Finance. Fourier-Techniken basieren auf der charakteristischen Funktion, die für einige Sonderfälle in analytischer Form gefunden werden kann. Der Dozent geht ein Beispiel anhand des Merton-Modells durch und erklärt, wie man die charakteristische Funktion für diese Gleichung findet. Durch die Trennung von Erwartungstermen, die unabhängige Teile enthalten, zeigt der Dozent, wie man die Summe in Form von Erwartungen ausdrückt und so die charakteristische Funktion findet. Der Vorteil der Verwendung von Fourier-Techniken besteht darin, dass sie extrem schnelle Preisberechnungen ermöglichen, was für die Modellkalibrierung und Echtzeitbewertung von entscheidender Bedeutung ist.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent eine Formel, die den Sprungprozess mit einer Fourier-Transformation verknüpft. Mithilfe des bedingten Erwartungswerts vereinfacht der Dozent die Formel zu einer charakteristischen Funktion, die den Erwartungswert von Exponenten beinhaltet. Der neue Ausdruck ähnelt stark der Definition eines Exponenten. Eine weitere Vereinfachung führt zu einem kompakten Ausdruck der charakteristischen Funktion, der bei der Bewertung von Fourier-Techniken verwendet wird.

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Computational Finance: Vorlesung 6/14 (Affine Jump Diffusion Processes)

Computational Finance: Vorlesung 6/14 (Affine Jump Diffusion Processes)

Der Dozent gibt Einblicke in die Auswahl von Preismodellen innerhalb von Finanzinstituten und legt dabei den Schwerpunkt auf die Unterscheidung zwischen Front Office und Back Office. Das Frontoffice wickelt Handelsaktivitäten ab und initiiert Geschäfte, die dann zur Handelspflege und Buchhaltung an das Backoffice übertragen werden. Der Dozent betont die Notwendigkeit, bei der Auswahl eines Preismodells verschiedene Faktoren zu berücksichtigen, darunter Kalibrierung, Risikobewertung, Preisgenauigkeit und Recheneffizienz. Darüber hinaus wird das Konzept charakteristischer Funktionen und affiner Sprungdiffusionsprozesse als Modellklassen eingeführt, die eine effiziente Preisbewertung ermöglichen. Diese Modelle sind in der Lage, schnelle Preisberechnungen durchzuführen und eignen sich daher für den Echtzeithandel. Die Vorlesung befasst sich auch mit Themen wie der Ableitung von Währungsfunktionen, der Framework-Erweiterung durch Jump-Incorporation und dem Workflow der Preisgestaltung und Modellierung in Finanzinstituten.

Die Bedeutung des Verständnisses von Sprungprozessen und ihrer Auswirkungen auf die Preisgenauigkeit wird in der gesamten Vorlesung hervorgehoben, ebenso wie die Herausforderungen, die mit der Lösung integraler Differentialgleichungen und der Kalibrierung von Modellparametern verbunden sind. Durch den Einsatz geeigneter Techniken und Methoden können rechnergestützte Finanzmodelle verbessert werden, um das reale Aktienkursverhalten besser widerzuspiegeln und die Preis- und Kalibrierungsergebnisse zu verbessern.

Darüber hinaus betont der Redner die Rolle des Front Office in Finanzinstituten, insbesondere bei der Gestaltung und Preisgestaltung von Finanzprodukten für Kunden. Das Front Office ist dafür verantwortlich, die passenden Preismodelle für diese Produkte auszuwählen und sicherzustellen, dass die Geschäfte korrekt verbucht werden. Die Zusammenarbeit mit dem Backoffice ist von entscheidender Bedeutung, um die ausgewählten Modelle zu validieren und umzusetzen und sicherzustellen, dass sie für die Risiken und Geschäfte des Instituts geeignet sind. Das Hauptziel des Front Office besteht darin, ein Gleichgewicht zwischen der Bereitstellung wettbewerbsfähiger Preise für Kunden und dem Management von Risiken innerhalb akzeptabler Grenzen zu finden und gleichzeitig einen stetigen Gewinnfluss sicherzustellen.

Der Referent erläutert die wesentlichen Schritte einer erfolgreichen Preisgestaltung, beginnend mit der Spezifikation des Finanzprodukts und der Formulierung stochastischer Differentialgleichungen zur Erfassung der zugrunde liegenden Risikofaktoren. Diese Risikofaktoren spielen eine entscheidende Rolle bei der Festlegung des Preismodells und der anschließenden Preisberechnung. Die richtige Spezifikation und Modellierung dieser Risikofaktoren ist für eine genaue Preisgestaltung und ein genaues Risikomanagement von entscheidender Bedeutung.

In der Vorlesung werden verschiedene Methoden der Preisfindung besprochen, darunter exakte und halbexakte Lösungen, sowie numerische Techniken wie die Monte-Carlo-Simulation. Der Redner betont die Bedeutung der Modellkalibrierung, bei der die Parameter des Preismodells an Marktbeobachtungen angepasst werden. Als schnellere Alternative zur Modellkalibrierung werden Fourier-Techniken eingeführt, die eine effiziente Berechnung von Modellparametern ermöglichen.

Die Vorlesung vergleicht außerdem zwei gängige Ansätze zur Preisgestaltung im Computational Finance: Monte-Carlo-Simulation und partielle Differentialgleichungen (PDEs). Die Monte-Carlo-Simulation wird häufig für hochdimensionale Preisprobleme eingesetzt, ihre Genauigkeit kann jedoch begrenzt sein und sie ist anfällig für Stichprobenfehler. PDEs hingegen bieten Vorteile wie die Möglichkeit, Empfindlichkeiten wie Delta, Gamma und Vega kostengünstig zu berechnen und die Lösungen reibungslos zu gestalten. Der Referent erwähnt, dass Fourier-basierte Methoden in zukünftigen Vorlesungen behandelt werden, da sie schnellere und geeignetere Preisansätze für einfache Finanzprodukte bieten.

Das Konzept der charakteristischen Funktionen wird als Schlüsselinstrument zur Überbrückung der Lücke zwischen Modellen mit bekannten analytischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und solchen ohne bekannte analytische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen eingeführt. Durch die Verwendung charakteristischer Funktionen wird es möglich, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Aktie abzuleiten, die für die Preisgestaltung und Risikobewertung von wesentlicher Bedeutung ist.

In der gesamten Vorlesung wird die Bedeutung der Kalibrierung betont. Flüssige Instrumente werden als Referenz für die Kalibrierung verwendet und ihre Parameter werden dann angewendet, um komplexere Derivatprodukte genau zu bewerten. Der Dozent betont die Notwendigkeit, Preismodelle und -techniken kontinuierlich zu verbessern und zu verfeinern, um sich an sich ändernde Marktbedingungen anzupassen und zuverlässige Preisergebnisse zu erzielen.

Zusammenfassend bietet die Vorlesung Einblicke in den Prozess der Auswahl von Preismodellen in Finanzinstituten, wobei der Schwerpunkt auf der Rolle des Front Office, der Modellkalibrierung und Überlegungen zu Risiko, Effizienz und Genauigkeit liegt. Außerdem werden verschiedene Techniken wie Monte-Carlo-Simulation, PDEs und Fourier-basierte Methoden zur Preisgestaltung und Modellkalibrierung vorgestellt. Das Konzept der charakteristischen Funktionen und ihre Bedeutung bei der Ableitung von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen werden diskutiert, zusammen mit den Herausforderungen und der Bedeutung der Modellverfeinerung und Anpassung an reale Bedingungen.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Auswahl eines Preismodells im Kontext von Finanzinstituten. Er erklärt, dass das Frontoffice typischerweise mit Handelsaktivitäten verbunden ist, während sich das Backoffice auf die Abwicklung von Geschäften und die Buchhaltung konzentriert. Wenn ein Kunde ein Derivat kaufen möchte, findet der Handel im Frontoffice statt und wird dann an das Backoffice übertragen. Der Dozent betont außerdem, wie wichtig es ist, bei der Auswahl eines Preismodells verschiedene Aspekte wie Kalibrierung, Risiken, Preisgestaltung und Effizienz zu berücksichtigen. Darüber hinaus stellt er das Konzept der charakteristischen Funktionen und der affinen Sprungdiffusionsprozesse vor, bei denen es sich um Modellklassen handelt, die eine schnelle und effiziente Bewertung von Preisen ermöglichen. In der Vorlesung wird außerdem behandelt, wie man die Währungsfunktion für das Blockmodell ableitet und wie man das Framework durch das Hinzufügen von Sprüngen erweitert.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner den Arbeitsablauf im Front Office eines Finanzinstituts, der sich hauptsächlich mit der Gestaltung und Preisgestaltung von Finanzprodukten für Kunden befasst. Das Front Office entscheidet über das Modell zur Preisgestaltung des Produkts und bucht den Handel. Darüber hinaus koordiniert es mit dem Backoffice die Validierung und Implementierung der verwendeten Modelle und stellt so sicher, dass diese für die Risiken und Geschäfte des Instituts geeignet sind. Ziel des Front Office ist es, die Präferenz auszugleichen, den Kunden bessere Preise anzubieten und gleichzeitig die Risiken in akzeptablen Grenzen zu halten und kontinuierlich Gewinne zu erzielen. Der Referent erläutert die notwendigen Schritte, einschließlich der Spezifikation des Finanzprodukts und der stochastischen Differentialgleichungen für die beteiligten Risikofaktoren, für eine erfolgreiche Preisgestaltung.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung geht der Referent auf den Prozess der Preisgestaltung und Modellierung von Finanzprodukten ein. Der Prozess umfasst die Festlegung von Risikofaktoren, die Auswahl geeigneter Modelle für die Dimensionen, die Definition des Modellpreises, die Kalibrierung des Modells und die Durchführung der Preisgestaltung. Im letzten Schritt erfolgt der Verkauf des Produkts und die Absicherung. Der Referent erläutert außerdem die verschiedenen Methoden der Preisgestaltung und beleuchtet exakte und halbexakte Lösungen sowie numerische Methoden wie die Monte-Carlo-Simulation. Der Schwerpunkt des Vortrags liegt auf dem vierten Punkt der Modellkalibrierung, wobei der Referent über den Einsatz von Fourier-Techniken zur schnelleren Kalibrierung spricht.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner verschiedene Ansätze zur Preisgestaltung in der Computational Finance, nämlich Monte-Carlo-Simulation und PDEs. Die Monte-Carlo-Simulation ist ein beliebter Ansatz, insbesondere für hochdimensionale Preisprobleme, da es schwierig sein kann, PDEs in mehreren Dimensionen zu lösen und zu diskretisieren. Allerdings ist die Technik auf zwei Dimensionen beschränkt und mit zufälligem Rauschen und potenziellen Abtastfehlern verbunden. PDEs hingegen haben den Vorteil, dass sie Empfindlichkeiten wie Delta, Gamma und Vega kostengünstig berechnen können und immer glatt sind. Der Referent erklärt, dass man sich in künftigen Vorlesungen auf Fourier-basierte Methoden konzentrieren werde, die schneller seien und für einfache Produkte besser geeignet seien. Er erklärt auch, wie die Kalibrierung auf Basis liquider Instrumente erfolgt und wie diese Parameter dann für die Preisgestaltung komplexerer Derivatprodukte verwendet werden.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Verwendung von Monte-Carlo-Stichproben zur Preisgestaltung von Finanzderivaten und die möglichen Probleme mit Stichprobenfehlern und Zufallseffekten. Sie erwähnen auch den Einsatz alternativer Methoden wie Fourier-Techniken zur Kalibrierung und Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Aktie. Das Konzept einer charakteristischen Funktion wird eingeführt, um die Lücke zwischen Modellen zu schließen, für die die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion analytisch bekannt ist, und solchen, für die sie nicht bekannt ist. Das Ziel besteht darin, letztendlich einen Weg zu finden, von der charakteristischen Funktion zur Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Aktie zu gelangen.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Verwendung von Fourier-Transformationen zur Dichtewiederherstellung, die besonders nützlich bei der Preisgestaltung von Optionen europäischen Typs ist. Die Fourier-Transformationsmethode ist recheneffizient und nicht auf Gauß-basierte Modelle beschränkt, sodass sie für jede Zufallsvariable mit einer charakteristischen Funktion verwendet werden kann. Beim Dichtewiederherstellungsprozess werden die Pfade des stochastischen Prozesses mit der beobachteten Dichte zu einem bestimmten Zeitpunkt t in Beziehung gesetzt. Der Dozent zeigt mehrere Diagramme und erörtert die Bedeutung der Frequenz von Signalen und den Zusammenhang zwischen der Varianz eines Prozesses und der Anzahl der Umdrehungen.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die technischen Aspekte der Fourier-Transformation und ihre Bedeutung in der Signalanalyse. Sie erklären, wie die Fourier-Transformation eine Währungsfunktion in eine Frequenzbereichsdarstellung umwandeln und eine charakteristische Funktion als Erwartungswert eines Exponenten von i definieren kann. Die Dichte wird aus der CDF durch Ableitung abgeleitet, und die charakteristische Funktion kann verwendet werden, um das k-te Moment einer Variablen zu ermitteln. Schließlich heben sie die nützlichen Eigenschaften der Fourier-Transformation hervor, einschließlich der Beziehung zwischen der Ableitung einer charakteristischen Funktion und dem k-ten Moment.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Sprecher die Beziehung zwischen einer Variablen 0 bis unendlich, wobei eine Korrekturfunktion des Logarithmus einer Variablen jedes Moment eines Bestandes berechnen kann. Diese Methode ist einfacher, solange das betrachtete Modell keine negativen Bestände beinhaltet, was als selten gilt. Der Redner erwähnt auch, dass dies für die analytische Berechnung von Black-Scholes-Momenten nützlich ist. Der Referent stellt außerdem die charakteristische Funktion für das Black-Scholes-Modell vor.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man eine Log-Transformation an einer Aktienvariablen in der Computational Finance durchführt. Durch die Konvertierung der Variablen lässt sich die resultierende partielle Differentialgleichung (PDE) einfacher lösen. Der Dozent stellt die aktualisierte PDE nach der Transformation bereit und erklärt, wie man die Lösung mithilfe des Duffie-Pan-Singleton-Theorems findet. Weitere Einzelheiten zu den genauen Bedingungen für die Lösung sollen später besprochen werden.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent, wie man die partielle Differentialgleichung für die charakteristische Funktion mithilfe der Duffy-Pan-Singleton-Methode löst. Um die Lösung zu finden, müssen Ableitungen der Transformation von u nach x berechnet und in die PDE eingesetzt werden. Mithilfe von Randbedingungen findet der Sprecher dann Lösungen für die gewöhnlichen Differentialgleichungen für a und b, die dann in den Ausdruck für die charakteristische Funktion eingesetzt werden, um zum Endergebnis zu gelangen. Mit dieser Methode wird die charakteristische Funktion für das Black-Scholes-Modell ermittelt, bei dem es sich um einen trivialen Fall mit bekannter analytischer Lösung handelt.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent den Prozess der Ableitung verbundener Funktionen und der Ermittlung der Werte von a und b in affinen Sprungdiffusionsprozessen. Die Korrekturfunktionen erfordern die Prüfung, ob die Lösung auf die gegebene PDE angewendet werden kann, gefolgt von der Bestimmung der Anzahl der ODEs, die gelöst werden müssen, um a und b zu finden. Im Black-Scholes-Modell hängt die charakteristische Funktion vom anfänglichen Logarithmus des Aktienwerts ab. Die Klasse der Modelle, die als affine Diffusionsprozesse betrachtet werden können, existiert so, dass die charakteristische Funktion die Form e^(a+bx) hat. Der Redner erörtert auch die Bedingungen, die ein System stochastischer Differentialgleichungen erfüllen muss, um die gegebene charakteristische Funktionsform zu erfüllen, einschließlich der Notwendigkeit, dass die Volatilitätsstruktur abhängig von der Anzahl der x-Werte und Brownschen Bewegungen als Matrix dargestellt werden muss.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent die Bedingungen für Affine Jump Diffusion Processes. Die Anzahl der Brownschen Bewegungen entspricht typischerweise der Anzahl der Zustandsvariablen im Modell, es gibt jedoch keine strengen Anforderungen. Die drei Bedingungen für diese Prozesse sind die Drift, die nur linear von X abhängen kann, eine Bedingung für die Zinssätze und eine Bedingung für die Volatilitätsstruktur. Die wichtigste und schwierigste Bedingung ist die Volatilitätsstruktur; Die nach der Multiplikation oder Quadrierung der Volatilität erhaltenen Matrizen dürfen nur linear in
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Professor das Konzept der charakteristischen Funktion im Kontext eines Differentialgleichungssystems und wendet es auf das Black-Scholes-Modell an. Die charakteristische Funktion ist als diskontierte Währungsfunktion mit einer Randbedingung und einer Filterung definiert. Es kann mithilfe einer Lösung für das entsprechende System von ODEs vom Riccati-Typ gelöst werden. Der Professor liefert ein Beispiel dafür, wie dieser Ansatz zur Lösung der charakteristischen Funktion im Fall des Black-Scholes-Modells verwendet werden kann.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf der charakteristischen Funktion für affine Sprungdiffusionsprozesse. Wenn man sich die Gleichung für die diskontierte charakteristische Funktion ansieht, stellt man fest, dass dieser Term außerhalb genommen werden kann, da er konstant ist. In diesem Abschnitt werden auch die Bedingungen für die Feindiffusion und die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen für A und B betrachtet. Es ist wichtig, Parameter auszuwählen, die analytisch gelöst werden können, um zeitaufwändige Berechnungen zu vermeiden. Der Abschnitt befasst sich auch mit der Arbeit mit mehr als einer Dimension und gibt ein Beispiel für die Modellierung zweier Bestände mit unkorrelierten geometrischen Brownschen Bewegungsprozessen.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Berechnung der charakteristischen Funktionen für eine 2-dimensionale affine Sprungdiffusionseinstellung. Der Dozent erklärt, dass das System der stochastischen Differentialgleichungen einen zusätzlichen Term, j, und einen mehrdimensionalen Poisson-Prozess enthält, was bedeutet, dass Sprünge nun in den Rahmen der affinen Sprungdiffusion einbezogen werden. Der Dozent erklärt außerdem, dass die Endbedingung für die charakteristische Funktion eine Randbedingung umfasst, bei der a ein konstanter Term ohne Abhängigkeit von x ist und b1 und b2 x1 bzw. x2 entsprechen. Schließlich wird die Gleichung für die 2d-charakteristische Funktion angegeben, wobei a, iu1 und iu2 explizit bekannt sind.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt konzentriert sich die Diskussion auf die Unabhängigkeit zwischen den Diffusions- und Sprunganteilen im Modell der affinen Sprungdiffusionsprozesse, bei dem die Sprunggröße unabhängig ist und die Intensität des Rahmenwerks nicht von j abhängt. Die Bedingungen für diesen Rahmen sind lineare Drifts, quadratische Volatilität oder Kovarianzmetriken des Zinssatzes und dasselbe für die Intensität, was bedeutet, dass psi, die Intensität für einen Poisson-Prozess, nicht auf andere Weise als linear von Zustandswerten abhängen kann. Abschließend endet der Abschnitt mit einer Diskussion der Schwierigkeiten bei der Verwendung von Sprüngen in Modellen aufgrund der erhöhten Volatilität und Schwankungen, was die Kalibrierung und Absicherung komplizierter macht.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Dimensionen der Input- und Output-Prognosefunktionen für affine Sprungdiffusionsprozesse. Die Ausgabeprognosefunktion ist typischerweise eindimensional, stellt die Randverteilung für den Logarithmus des Bestands dar und hängt von den Eigenschaften von u ab, einschließlich Varianz und Sprüngen. Die Dimension der Eingabevorhersagefunktion hängt von der Anzahl der stochastischen Differentialgleichungen ab. Anschließend demonstriert der Referent den Prozess für ein affines Sprungdiffusionsmodell durch Ableitung der stochastischen Differentialgleichung und der partiellen Integraldifferentialgleichung. Sie stellen fest, dass das Modell aufgrund des quadrierten Termes nicht affin ist, aber nach der Durchführung einer logarithmischen Transformation bleibt ihnen eine grundlegende Differentialgleichung mit nur einer unabhängigen Zufallsvariablen, j, übrig. Anschließend berechnen sie die Ableitungen, um die Lösung für die charakteristische Funktion zu erhalten, die ein Produkt der charakteristischen Funktion von j und der Funktion von x ist.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Herleitung der Differentialgleichung für affine Sprungdiffusionsprozesse. Dies geschieht, indem man die Terme von x nimmt, sie auf Null setzt und alle anderen Terme sammelt, die durch die Ableitung von a gebildet werden sollen. Die Lösung für a wird dann abgeleitet und ist dieselbe wie die, die ohne Verwendung von Annahmen zur affinen Diffusion gefunden wurde. Es sind jedoch einige konstante Parameter enthalten, wie z. B. a0 und l0, die seitlich von p liegen, was darauf hinweist, dass die Intensität für Sprünge konstant und nicht zustandsabhängig ist.

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Computational Finance: Vorlesung 7/14 (Stochastische Volatilitätsmodelle)

Computational Finance: Vorlesung 7/14 (Stochastische Volatilitätsmodelle)

In der Vorlesung befassen wir uns mit dem Konzept stochastischer Volatilitätsmodelle als Alternative zu Black-Scholes-Modellen, die möglicherweise ihre Grenzen haben. Der Redner betont, dass stochastische Volatilitätsmodelle zur Klasse der affinen Diffusionsmodelle gehören, die fortgeschrittene Techniken erfordern, um Preise und implizite Volatilitäten effizient zu ermitteln. Die Motivation hinter der Einbeziehung der stochastischen Volatilität wird erläutert und das zweidimensionale stochastische Volatilitätsmodell von Heston wird vorgestellt.

Ein wichtiger abgedeckter Aspekt ist die Kalibrierung von Modellen auf die gesamte implizite Volatilitätsoberfläche und nicht nur auf einen einzelnen Punkt. Dies ist besonders wichtig, wenn es um pfadabhängige Auszahlungen und Schlagrichtungsabhängigkeiten geht. Praktiker kalibrieren Modelle typischerweise auf liquide Instrumente wie Calls und Puts und extrapolieren sie dann auf die Preise exotischer Derivate. Stochastische Volatilitätsmodelle erfreuen sich auf dem Markt großer Beliebtheit, da sie trotz ihrer inhärenten Einschränkungen eine Kalibrierung auf die gesamte Volatilitätsoberfläche ermöglichen.

Der Vortrag beleuchtet auch die Bedeutung von Volatilitätsflächen am Aktienmarkt und die Notwendigkeit entsprechender Modelle. Wenn die Volatilitätsoberfläche ein steiles Lächeln aufweist, werden häufig Modelle mit Sprüngen oder stochastischer Volatilität bevorzugt. Es werden verschiedene Messgrößen für die Preisgestaltung von Optionen besprochen, darunter das P-Maß und das risikoneutrale Maß. Es wird darauf hingewiesen, dass die zeitabhängige Festlegung der Zinssätze zwar weder das Lächeln noch den Skew verbessert, die Einführung stochastischer oder lokaler Volatilität jedoch bei der Kalibrierung hilfreich sein kann. Außerdem wird das Hassel-Modell vorgestellt, das zur Modellierung der Volatilität Quadratwurzelprozesse mit Mean-Reverting nutzt.

Die Vorlesung befasst sich ausführlich mit dem Konzept stochastischer Volatilitätsmodelle. Zunächst werden ein Normalprozess und eine Brownsche Bewegung verwendet, um eine stochastische Differentialgleichung zu definieren. Es wird jedoch anerkannt, dass dieser Ansatz die Volatilität nicht genau erfassen kann, insbesondere weil sie negativ werden kann. Die Vorteile des Box-Inverse-Prozesses, auch bekannt als CIR-Prozess, werden erklärt, da er fette Ausläufer aufweist und nicht negativ bleibt, was ihn zu einem geeigneten Modell für Volatilität macht. Das Heston-Modell mit seiner stochastischen Volatilitätsstruktur wird eingeführt und es wird gezeigt, dass die Varianz (VT) einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung folgt. Es wird klargestellt, dass es sich bei dieser Verteilung um eine Übergangsverteilung handelt, und die Feller-Bedingung wird als kritische technische Bedingung erwähnt, die bei der Modellkalibrierung überprüft werden muss.

Die Bedingungen für stochastische Volatilitätsmodelle zur Vermeidung von Pfaden, die Null erreichen, werden als Feller-Bedingung bezeichnet. Die Bedingung ist erfüllt, wenn das Zweifache des Produkts aus dem Kappa-Parameter und dem langfristigen Mittel größer oder gleich dem Gamma-Quadrat, dem Volatilitätsquadrat, ist. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, können Pfade auf Null treffen und zurückspringen, was zu einer erreichbaren Randbedingung führt. Die Eigenschaften nichtzentraler Chi-Quadrat-Verteilungen und ihre Beziehung zu CIR-Prozessen werden erläutert. Varianzpfade und Dichtediagramme werden bereitgestellt, um die Auswirkungen der Erfüllung oder Nichterfüllung der Feller-Bedingung zu veranschaulichen.

Die Bedeutung von Fat-Tailed-Verteilungen in stochastischen Volatilitätsmodellen wird hervorgehoben, da sie häufig nach der Kalibrierung von Modellen anhand von Marktdaten beobachtet werden. Es ist zu beachten, dass, wenn die Feller-Bedingung eines Modells nicht erfüllt ist, Monte-Carlo-Pfade möglicherweise Null erreichen und bei Null bleiben. Die Einbeziehung der Korrelation in Modelle über die Brownsche Bewegung wird erläutert und es wird erwähnt, dass Sprünge typischerweise als unabhängig betrachtet werden. Die Vorlesung endet mit einer Grafik, die den Einfluss der Feller-Bedingung auf die Dichte darstellt.

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf Korrelation und Varianz in der Brownschen Bewegung. Der Referent erklärt, dass bei korrelierten Brownschen Bewegungen eine bestimmte Beziehung gelten muss, und das Gleiche gilt auch für Inkremente. Die Technik der Cholesky-Zerlegung wird als Mittel zur Korrelation zweier Brownscher Bewegungen mithilfe einer positiv definiten Matrix und der Multiplikation zweier unterer Dreiecksmatrizen eingeführt. Diese Methode ist hilfreich bei der Formulierung der beiden später in der Vorlesung besprochenen Prozesse.

Die Konstruktion der Multiplikation der unteren Dreiecksmatrix mit unabhängigen Brownschen Bewegungen wird diskutiert, was zu einem Vektor führt, der eine Kombination aus unabhängigen und korrelierten Prozessen enthält.

Darüber hinaus erklärt der Dozent, dass die charakteristische Funktion des Heston-Modells wertvolle Erkenntnisse für eine effiziente und schnelle Preisgestaltung liefert. Durch die Ableitung der charakteristischen Funktion wird deutlich, dass alle beteiligten Terme explizit sind, sodass keine komplexen analytischen oder numerischen Berechnungen zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erforderlich sind. Diese Einfachheit gilt als einer der wesentlichen Vorteile des Heston-Modells und macht es zu einem praktischen und leistungsstarken Instrument zur Preisgestaltung von Derivaten.

Der Redner betont, dass das Verständnis der Merkmale und Auswirkungen jedes Parameters im Heston-Modell von entscheidender Bedeutung für die wirksame Bewältigung der mit der Volatilität verbundenen Risiken ist. Parameter wie Kappa, der langfristige Mittelwert, Volatilität, Korrelation und der Anfangswert des Varianzprozesses haben alle unterschiedliche Auswirkungen auf die Volatilitätsdynamik und die implizite Volatilitätsoberfläche. Durch die Abstimmung dieser Parameter auf den Markt und die Analyse ihrer Auswirkungen können Praktiker wertvolle Erkenntnisse über implizite Volatilitätsschwankungen und -verzerrungen gewinnen und so eine genauere Preisgestaltung und ein genaueres Risikomanagement ermöglichen.

In der Vorlesung wird hervorgehoben, wie wichtig es ist, stochastische Volatilitätsmodelle auf die gesamte implizite Volatilitätsoberfläche und nicht nur auf einen einzelnen Punkt zu kalibrieren. Pfadabhängige Auszahlungen und Abhängigkeiten von der Schlagrichtung erfordern einen umfassenden Kalibrierungsansatz, um die volle Komplexität der Marktdaten zu erfassen. In der Regel kalibrieren Praktiker die Modelle auf liquide Instrumente wie Calls und Puts und extrapolieren sie dann auf die Preise exotischer Derivate. Während stochastische Volatilitätsmodelle eine Kalibrierung auf die gesamte Volatilitätsoberfläche ermöglichen, wird anerkannt, dass der Kalibrierungsprozess nicht perfekt ist und seine Grenzen hat.

Um das Verständnis stochastischer Volatilitätsmodelle weiter zu verbessern, befasst sich der Dozent mit dem Konzept der Fat-Tailed-Verteilungen, die häufig bei der Kalibrierung von Modellen anhand von Marktdaten beobachtet werden. Der Sprecher erklärt, dass, wenn die Feller-Bedingung eines Modells nicht erfüllt ist, die Monte-Carlo-Pfade möglicherweise Null erreichen und bei Null bleiben, was sich auf die Genauigkeit des Modells auswirkt. Darüber hinaus wird die Einbeziehung von Sprüngen und die unabhängige Berücksichtigung von Korrelationen in stochastischen Volatilitätsmodellen diskutiert. Die Vorlesung gibt Einblicke in den Einfluss dieser Elemente auf die Volatilitätsdynamik und die Preisgestaltung.

Die Vorlesung schließt mit einem Vergleich des Heston-Modells mit dem Black-Scholes-Modell. Während das Heston-Modell eine größere Flexibilität und Stochastik bei der Modellierung der Volatilität bietet, bleibt das Black-Scholes-Modell ein Maßstab für die Preisgestaltung von Derivaten. Das Verständnis der Auswirkungen verschiedener Parameteränderungen auf implizite Volatilitäts-Smiles und -Skews ist für Praktiker von entscheidender Bedeutung, um das geeignete Modell für ihre spezifischen Anforderungen auszuwählen. Durch umfassende Kalibrierung und Analyse können stochastische Volatilitätsmodelle wie das von Heston wertvolle Einblicke in die Preisgestaltung und das Risikomanagement auf den Finanzmärkten liefern.

Neben der Diskussion des Heston-Modells befasst sich die Vorlesung mit der Bedeutung von Korrelation und Varianz in der Brownschen Bewegung. Der Referent erklärt, dass beim Umgang mit korrelierten Brownschen Bewegungen bestimmte Beziehungen und Bedingungen zutreffen müssen, einschließlich der Verwendung der Cholesky-Zerlegung. Diese Technik ermöglicht die Korrelation zweier Brownscher Bewegungen mithilfe einer positiv definiten Matrix und der Multiplikation zweier unterer Dreiecksmatrizen. In der Vorlesung wird betont, dass diese Methode für die Formulierung von Prozessen in mehrdimensionalen Fällen und das Erreichen der gewünschten Korrelationsstruktur unerlässlich ist.

Darüber hinaus liegt der Schwerpunkt des Dozenten auf der Konstruktion und Darstellung unabhängiger und korrelierter Brownscher Bewegungen in stochastischen Volatilitätsmodellen. Während die Cholesky-Zerlegung ein nützliches Werkzeug zur Korrelation Brownscher Bewegungen ist, wird in der Vorlesung darauf hingewiesen, dass sie für praktische Zwecke nicht immer notwendig ist. Stattdessen kann das Lemma von Ito angewendet werden, um korrelierte Brownsche Bewegungen effektiv einzubeziehen. Die Vorlesung bietet Beispiele für den Aufbau von Aktienportfolios mit korrelierten Brownschen Bewegungen und zeigt, wie man das Lemma von Ito anwendet, um die Dynamik mehrdimensionaler Funktionen mit mehreren Variablen zu bestimmen.

Die Vorlesung behandelt auch die Preisbildungs-Partialdifferentialgleichung (PDE) für das Heston-Modell unter Verwendung eines Martingal-Ansatzes. Bei diesem Ansatz muss sichergestellt werden, dass eine bestimmte Größe namens Pi, die das Verhältnis der Volatilität zum langfristigen Mittel darstellt, ein Martingal ist. Durch Anwendung des Ethos-Lemmas leitet die Vorlesung die Gleichung für das Martingal ab, die Ableitungen und den Varianzprozess beinhaltet. Die Pricing-PDE ermöglicht die Ermittlung fairer Preise für Derivatekontrakte und die Verwendung des risikoneutralen Maßes bei der Preisgestaltung.

Darüber hinaus diskutiert der Referent den Einfluss verschiedener Parameter auf die implizite Volatilitätsform in stochastischen Volatilitätsmodellen. Parameter wie Gamma, Korrelation und die Geschwindigkeit der Mittelwertumkehr (Kappa) beeinflussen nachweislich die Krümmung, Schiefe und Termstruktur impliziter Volatilitäten. Das Verständnis der Auswirkungen dieser Parameter hilft bei der genauen Kalibrierung der Modelle und der Erfassung der gewünschten Volatilitätsdynamik.

Während des gesamten Vortrags betont der Redner die Bedeutung der Modellkalibrierung, insbesondere für die gesamte implizite Volatilitätsoberfläche. Die Kalibrierung auf liquide Instrumente und die Extrapolation auf exotische Derivate ist unter Praktikern eine gängige Praxis. Stochastische Volatilitätsmodelle, einschließlich des Heston-Modells, bieten die Flexibilität, sich auf die gesamte Volatilitätsoberfläche zu kalibrieren, was eine bessere Genauigkeit bei der Preisgestaltung und dem Risikomanagement ermöglicht. Es wird jedoch anerkannt, dass die Modellkalibrierung nicht ohne Einschränkungen erfolgt und dass subtile Unterschiede zwischen Modellen, wie z. B. dem Heston- und dem Black-Scholes-Modell, sorgfältig untersucht werden sollten, um eine angemessene Preisgestaltung und Risikobewertung sicherzustellen.

Die Vorlesung bietet einen umfassenden Überblick über stochastische Volatilitätsmodelle und konzentriert sich dabei auf das Heston-Modell, seine Parameterimplikationen, Kalibrierungstechniken und die Rolle von Korrelation und Varianz in der Brownschen Bewegung. Durch das Verständnis und die effektive Anwendung dieser Konzepte können Praktiker ihre Fähigkeit verbessern, Derivate zu bewerten, Risiken zu verwalten und sich in der Komplexität der Finanzmärkte zurechtzufinden.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt lernen wir stochastische Volatilitätsmodelle als Alternative zu Black-Scholes-Modellen kennen, die möglicherweise Mängel aufweisen. Durch die Einbeziehung von Sprüngen können einige Probleme behoben werden, diese sind jedoch schwierig zu implementieren und zu interpretieren. Stochastische Volatilitätsmodelle gehören zu einer Klasse von affinen Diffusionsmodellen, die fortgeschrittene Techniken erfordern, um Preise und implizite Volatilitäten effizient zu ermitteln. Die Vorlesung behandelt die Motivation für stochastische Volatilität und stellt das zweidimensionale stochastische Volatilitätsmodell von Heston vor. Wir besprechen außerdem, wie man mit Populationen umgeht, Brownsche Bewegungen korreliert, Korrelationen verwendet, Itos Lemma auf höherdimensionale Fälle erweitert und PDEs mithilfe von Martingal-Ansätzen, Monte-Carlo- und Fourier-Transformationen bewertet. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, die Bedeutung und Auswirkung jedes Parameters zu verstehen, wenn man mit einer Krümmung oder Schräge verbundene Risiken bewältigen möchte. Abschließend vergleichen wir das Heston-Modell mit dem Black-Scholes-Modell und leiten die charakteristische Funktion für ersteres ab und verwenden sie.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Bedeutung der Kalibrierung eines Modells auf die gesamte implizite Volatilitätsoberfläche und nicht nur auf einen Punkt auf der Oberfläche. Sie erklären, dass eine Kalibrierung nur auf einen Punkt auf der Oberfläche nicht ausreicht, wenn eine Auszahlung pfadabhängig ist und von der Schlagrichtung abhängt. In der Vorlesung wird weiter erklärt, wie Praktiker Modelle typischerweise auf liquide Instrumente wie Calls und Puts kalibrieren und dann auf den Preis exotischer Derivate extrapolieren. Der Dozent erklärt auch, dass stochastische Volatilitätsmodelle auf dem Markt beliebt sind, da sie es Praktikern ermöglichen, auf die gesamte Volatilitätsoberfläche zu kalibrieren, obwohl die Kalibrierung nicht perfekt ist und ihre Grenzen hat.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Verwendung stochastischer Volatilitätsmodelle zur Kalibrierung auf die Volatilitätsoberfläche des Aktienmarktes. Sie erklären, dass, wenn die Oberfläche ein steiles Lächeln aufweist, möglicherweise ein Modell erforderlich ist, das Sprünge enthält, oder ein Modell wie die stochastische Volatilität, das die Volatilität als Zufallsvariable modelliert. Der Redner erläutert auch die verschiedenen Messgrößen, die für die Preisgestaltung von Optionen verwendet werden, darunter das P-Maß und das risikoneutrale Maß. Sie warnen davor, dass eine zeitabhängige Anpassung der Zinssätze weder das Lächeln noch den Skew verbessert, aber die Anpassung der Volatilität an eine stochastische oder lokale Volatilität kann bei der Kalibrierung hilfreich sein. Schließlich stellen sie das Hassel-Modell vor, das zur Modellierung der Volatilität Quadratwurzelprozesse mit Mean-Reverting verwendet.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung wird das Konzept stochastischer Volatilitätsmodelle diskutiert. Die Verwendung eines Normalprozesses und einer Brownschen Bewegung zur Definition einer stochastischen Differentialgleichung wird erläutert, die Volatilität kann jedoch nicht genau modelliert werden, da sie negativ werden kann. Anschließend werden die Vorteile des Box-Inverse-Prozesses, auch als CIR-Prozess bekannt, hervorgehoben, da er über „Fat Tails“ verfügt und nicht negativ ist, was ihn zu einem geeigneten Modell für Volatilität macht. Das Heston-Modell mit seiner stochastischen Volatilitätsstruktur wird eingeführt, und VT, die Varianz für das Heston-Modell, folgt nachweislich einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Es wird erläutert, dass es sich hierbei um eine Übergangsverteilung handelt, und der Feller-Zustand wird als wichtige technische Bedingung erwähnt, die bei der Modellkalibrierung überprüft werden muss.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent die Bedingungen, unter denen stochastische Volatilitätsmodelle Pfade haben, die nicht Null erreichen, auch bekannt als Fellouris-Bedingung. Die Bedingung ist erfüllt, wenn das Zweifache des Produkts aus dem Kappa-Parameter und dem langfristigen Mittelwert größer oder gleich dem Gamma-Quadrat, dem Volatilitätsquadrat, ist. Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, können Pfade den Nullpunkt erreichen und zurückspringen, was als erreichbare Randbedingung bezeichnet wird. Der Dozent erläutert außerdem die Eigenschaften nichtzentraler Chi-Quadrat-Verteilungen und deren Zusammenhang mit CIR-Prozessen. Abschließend stellt der Dozent Diagramme der Varianzpfade und der Dichte für den Fall bereit, wann die Fellouris-Bedingung erfüllt und nicht erfüllt ist.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner stochastische Volatilitätsmodelle und die Bedeutung von Fat-Tail-Verteilungen, die häufig nach der Kalibrierung von Modellen anhand von Marktdaten beobachtet werden. Der Sprecher weist darauf hin, dass, wenn die Feller-Bedingung eines Modells nicht erfüllt ist, die Monte-Carlo-Pfade möglicherweise Null erreichen und bei Null bleiben. Anschließend erklärt der Referent, wie Korrelation über die Brownsche Bewegung in Modelle einbezogen wird und dass Sprünge typischerweise als unabhängig betrachtet werden. Der Abschnitt endet mit einem Diagramm, das die Auswirkungen der Feller-Bedingung auf die Dichte zeigt.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt des Videos zu stochastischen Volatilitätsmodellen diskutiert der Redner Korrelation und Varianz in der Brownschen Bewegung. Er erklärt, dass bei korrelierten Brownschen Bewegungen eine bestimmte Beziehung gelten muss, und das Gleiche gilt für Inkremente. Anschließend beschreibt der Referent die Technik der Cholesky-Zerlegung, die die Korrelation zweier Brownscher Bewegungen mithilfe einer positiv definiten Matrix und die Multiplikation zweier unterer Dreiecksmatrizen ermöglicht. Diese Methode wird zur Formulierung der beiden Prozesse in der kommenden Diskussion verwendet.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Konstruktion der unteren Dreiecksmatrixmultiplikation mit unabhängigen Brownschen Bewegungen, die zu einem Vektor führt, der eine Kombination aus unabhängigen und korrelierten Prozessen enthält. Die Vorlesung zeigt, wie man die Korrelation zwischen zwei Brownschen Bewegungen durch Vereinfachung der Notation und Ersetzen von Ausdrücken bestimmt. Durch die Verwendung dieser Ableitung bleiben die gleichen Momenten- und Korrelationseigenschaften erhalten, was eine Flexibilität bei der Wahl einer geeigneten Zerlegungsmethode ermöglicht.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Vortragende den Wechsel von der Verwendung zweier korrelierter Brownscher Bewegungen zur Verwendung zweier unabhängiger Variablen und wie eine Korrelation mithilfe der Cholesky-Zerlegung erreicht werden kann. Die Vorteile des Umgangs mit unabhängigen Brownschen Bewegungen werden ebenfalls erläutert, wobei Beispieldiagramme bereitgestellt werden, um die Unterschiede bei negativen, positiven und Nullkorrelationen zu zeigen. Der Moderator gibt außerdem ein Codebeispiel dafür, wie diese Korrelationen mithilfe der Standardisierung von Stichproben und der Generierung von Pfaden simuliert werden können. Der Prozess der Erzeugung der Brownschen Bewegung wird ebenfalls hervorgehoben, wobei die neue Realisierung der Brownschen Bewegung aus der vorherigen mithilfe eines iterativen Prozesses generiert wird.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt wird im Video erläutert, wie mehrfarbige Pfade für korrelierte lineare Bewegungen simuliert werden und wie mit höheren Dimensionen und nicht-positiven definiten Korrelationsmatrizen umgegangen wird. Mithilfe der Cholesky-Zerlegung werden unabhängige Brownsche Bewegungen mit Korrelationszeiten dt berechnet, die für jede Dimension angewendet werden können. Wenn Sie jedoch auf eine nicht positiv definite Korrelationsmatrix stoßen, müssen Sie bestimmte Algorithmen verwenden, um die Matrix einer positiv definiten Matrix zuzuordnen. Es ist auch wichtig, Grenzen für Ihren Korrelationskoeffizienten festzulegen, um sicherzustellen, dass er innerhalb eines realistischen Bereichs von -1 und 1 liegt. Darüber hinaus wird im Video erwähnt, dass in der Praxis jeder Prozess in einem mehrdimensionalen Fall von allen korrelierten Brownschen Bewegungen abhängen kann , aber das ist ein ungewöhnlicher Fall.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt stellt der Dozent die Cholesky-Zerlegung vor, die ein nützliches Werkzeug für den Umgang mit korrelierenden Brownschen Bewegungen und die Transformation des Gleichungssystems von korreliert in unkorreliert ist. Sie erklären, wie man das System der Differentialgleichungen durch unabhängige Brownsche Bewegungen mithilfe der Korrelation und der Cholesky-Zerlegung darstellen kann. Der Dozent diskutiert auch die technische Voraussetzung für die Anwendung des Ethos-Lemmas für Vektorprozesse, nämlich dass die Funktion g hinreichend differenzierbar sein muss. Sie liefern ein Beispiel für eine mehrdimensionale stochastische Differentialgleichung und wie man die Funktion g mit jedem Prozess im Vektor differenziert, um die Dynamik des Prozesses zu erhalten.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Darstellung unabhängiger und korrelierter Brownscher Bewegungen in stochastischen Volatilitätsmodellen. Sie erklären, dass es aus praktischen Gründen nicht notwendig ist, eine Cholesky-Zerlegung durchzuführen und stattdessen das Lemma von Ito verwendet werden kann, um korrelierte Brownsche Bewegungen anzuwenden. Der Redner liefert auch ein Beispiel für den Aufbau eines Portfolios aus zwei Aktien mit korrelierten Brownschen Bewegungen und Sigma-Werten. Sie erläutern außerdem den Prozess der Anwendung des Ito-Lemmas, um die Dynamik einer mehrdimensionalen Funktion mit zwei oder drei Variablen zu ermitteln.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Redner die Anwendung des Ethos-Lemmas zur Ableitung der partiellen Preisdifferenzialgleichung (PDE) für das Heston-Modell unter Verwendung eines Martingal-Ansatzes. Die Preis-PDE erfordert, dass der auf die Gegenwart abgezinste Wert eines Derivats seinem erwarteten zukünftigen Wert entsprechen muss, wobei das Geldkonto durch die Gleichung für Zinssätze gesteuert wird und der Varianzprozess stochastisch variabel ist. Obwohl die Ableitung einer Preis-PDE für eine Variable, die nicht beobachtbar oder handelbar ist, recht aufwändig sein kann, gilt der Martingal-Ansatz als eine der einfacheren Methoden, um dies zu erreichen. Die Preisgestaltungs-PDE ist insofern leistungsstark, als sie die Ableitung des fairen Preises für einen Vertrag und des risikoneutralen Maßes ermöglicht.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent den Martingal-Ansatz zur Preisgestaltung von Derivaten nach dem stochastischen Volatilitätsmodell. Der Ansatz besteht darin, eine Größe als pi zu definieren, was das Verhältnis von v zu m ist, und dann durch Anwendung des Ethos-Lemmas sicherzustellen, dass diese Größe ein Martingal ist. Der Sprecher leitet die Gleichung für das Martingal ab, die die einfache Ableitung eins über m dv minus rv über m dt beinhaltet. Die Wirtschaft besteht aus einem Vermögenswert, einer nicht handelbaren Volatilität und einem Geldsparkonto. Um die Lösung zu erhalten, wendet der Sprecher die Taylor-Reihe an und behandelt die Terme mit der Ito-Kalküle, was unkompliziert ist. Allerdings ist die Berechnung des Termes, der sich auf das Produkt aus Varianzprozess und Bestand bezieht, aufwändiger. Die endgültige Lösung umfasst zwei Brownsche Bewegungen und einen zusätzlichen Term, der von der Korrelation zwischen der Varianz und dem Bestand abhängt.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Flexibilität und Stochastik des Varianzprozesses des Heston-Modells im Vergleich zum Black-Scholes-Modell. Sie erklären, wie das Modell mehrere Parameter umfasst, darunter Kappa, den langfristigen Mittelwert, Volatilität und Korrelation sowie einen weiteren Parameter, den Anfangswert des Varianzprozesses. Sie stellen außerdem fest, dass der größte Vorteil des Modells darin besteht, dass jeder dieser Parameter einen individuellen Einfluss auf die Volatilität hat, was eine Kalibrierung und Implementierung eines intelligenten Volatilitätsversatzes ermöglicht. Der Dozent betont, dass er die Auswirkungen verschiedener Parameteränderungen auf die implizite Volatilität, Lächeln und Fähigkeiten analysieren wird.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent die Auswirkungen verschiedener Parameter auf die Form der impliziten Volatilität in stochastischen Volatilitätsmodellen. Der Gamma-Parameter steuert die Krümmung der impliziten Volatilität, und eine Erhöhung führt zu einer steileren Form. Korrelationen beeinflussen die Schiefe der impliziten Volatilität und negative Korrelationen führen zu einer Lächelnform. Die Geschwindigkeit der Mittelwertsumkehr (Kappa) beeinflusst die Termstruktur der impliziten Volatilität, wobei ein größerer Kappa eine schnellere Konvergenz zum langfristigen Mittelwert bewirkt. Während Kappa einen gewissen Einfluss auf das Niveau und die Form der impliziten Volatilität hat, liegt sein primärer Einfluss auf der Laufzeitstruktur.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent den Einfluss verschiedener Parameter auf stochastische Volatilitätsmodelle, insbesondere zur Steuerung der Laufzeitstruktur impliziter Volatilitäten. Die Parameter Langzeitmittelwert und v0 haben einen ähnlichen Effekt auf das Modell. V bar steuert das Niveau bei gegebener Laufzeit und v0 steuert die Laufzeitstruktur der impliziten Volatilitäten. Durch den Vergleich der sofortigen impliziten Volatilitäten mit Black-Scholes lässt sich feststellen, ob ein Grabsteinmodell oder ein Black-Scholes-Modell besser geeignet ist. Darüber hinaus veranschaulicht der Redner anhand von Optionspreisen die Unterschiede zwischen Hastel- und Black-Scholes-Modellen. Die Kontrolle des impliziten Lächelns ist typischerweise mit dickeren Enden in Hastel-Modellen verbunden, während Black-Scholes-Modelle viel schneller gegen Null konvergieren.
  
  
• 01:25:00 Beachten Sie dies bei der Kalibrierung stochastischer Volatilitätsmodelle und der Betrachtung der Auswirkungen verschiedener Parameter auf Preise. Während die Betrachtung der Preise allein die Form der impliziten Volatilität nicht bestimmen kann, kann die Kalibrierung auf implizite Volatilitätsoptionen außerhalb des Geldes einen besseren Einblick in die Genauigkeit des Modells geben. Unterschiede zwischen einem Modell und einem Markt können einen erheblichen Einfluss auf die impliziten Volatilitäten haben, insbesondere bei Out-of-the-Money-Optionen. Daher ist es bei der Modellkalibrierung von entscheidender Bedeutung, den Volatilitätsversatz und das „Smile“ zu verstehen. Feine Unterschiede zwischen dem Heston-Modell und dem Black-Scholes-Modell erfordern die Untersuchung verschiedener Elemente über die Optionspreise hinaus, wie z. B. schwerere Enden und die Volatilitätsform. Der Korrelationskoeffizient ist auch wichtig, um die Volatilität mit der Aktie zu verknüpfen, und sein Wert wird auf der Grundlage der Marktpreise für Optionen und nicht historischer Daten ausgewählt.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner das Heston-Modell und seine Überlegenheit gegenüber dem Black-Scholes-Modell bei der Preisgestaltung von Derivaten. Es stellt sich jedoch eine Herausforderung dar, zu bestimmen, welche Menge auf dem Markt die tatsächliche stochastische Volatilität darstellt. Um zu bestätigen, ob das Heston-Modell affin ist, prüft der Sprecher, ob die Zustandsvariablen und die quadratische Kovarianzmatrix im Zustandsvektor, der aus den beiden Zustandsvariablen s_t und variance_t besteht, linear sind. Anschließend erklärt der Referent, dass nach Durchführung der logarithmischen Transformation geprüft werden müsse, ob alle Terme linear bezüglich des Zustandsraumvektors seien. Trotz der Komplexität des Modells erschwert die Durchführung der logarithmischen Transformation die Ableitungen nicht wesentlich.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die momentane Kovarianzmatrix und erklärt, dass sie dabei hilft, zu überprüfen, ob der Prozess in Ordnung ist oder nicht. Darüber hinaus wird eine charakteristische Funktion für das Heston-Modell abgeleitet und als praktische Zerlegung bezeichnet, die für eine effiziente und schnelle Preisgestaltung relevant ist. Der Redner räumt ein, dass es sich um einige Seiten mit Ableitungen im Buch handelt, betont jedoch, dass alle Begriffe explizit sind und keine analytischen oder numerischen Berechnungen erforderlich sind, um die ODEs für die charakteristische Funktion zu lösen. Dies wird als einer der größten Vorteile des Heston-Modells angesehen.

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Computational Finance: Vorlesung 8/14 (Fourier-Transformation für Optionspreise)

Computational Finance: Vorlesung 8/14 (Fourier-Transformation für Optionspreise)

Während der Vorlesung zur Fourier-Transformation zur Optionspreisgestaltung geht der Dozent auf die Anwendung der Technik und verschiedene Aspekte ein. Sie erklären zunächst, dass die Fourier-Transformation verwendet wird, um die Dichte und effiziente Preisoptionen für Modelle zu berechnen, die unter die Klasse der Feindiffusionsmodelle fallen. Bei dieser Technik wird ein Integral über die reale Achse berechnet, was rechenintensiv sein kann. Durch die Verwendung des Inversionslemmas erläutert der Dozent jedoch, wie der Definitionsbereich für „u“ reduziert werden kann, um die Berechnung des Realteils des Integrals zu ermöglichen. Dieser Ansatz trägt dazu bei, den mit teuren Berechnungen verbundenen Rechenaufwand zu minimieren.

Der Dozent geht außerdem auf die Verbesserung dieser Darstellung durch die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ein, die die Implementierungseffizienz erheblich steigert. Durch die Nutzung der Eigenschaften von FFT wird der Rechenaufwand reduziert, wodurch die Optionspreisgestaltung effizienter und schneller erfolgt. Die Sitzung endet mit einem Vergleich zwischen der Fourier-Transformationsmethode und der Kostenmethode und bietet Einblicke in die jeweiligen Implementierungsdetails.

Im weiteren Verlauf befasst sich der Dozent mit dem ersten Schritt bei der Ableitung einer schnellen Methode zur Berechnung der Dichte mithilfe der Fourier-Transformation. Dieser Schritt umfasst die Aufteilung der Domäne in zwei Teile und die Extraktion des Realteils, was eine rechenintensive Operation darstellt. Darüber hinaus untersucht der Dozent die Division komplexer Zahlen und die Bedeutung der Konjugatbildung, da sie effizientere Berechnungen der charakteristischen Funktion ermöglicht. Außerdem wird die Konstruktion eines Gitters zur Ermittlung der Dichte für jeden „x“-Wert besprochen, wobei die Bedeutung der Auswahl geeigneter Domänen und der Definition von Grenzen hervorgehoben wird.

Im Anschluss an die Vorlesung wird die Berechnung der Dichte von „x“ anhand eines Fourier-Transformationsintegrals und eines Gitters aus „n“ Gitterpunkten erläutert. Der Dozent betont die Notwendigkeit, Dichteberechnungen für mehrere „x“-Werte gleichzeitig durchzuführen. Sobald die Gitter definiert sind, wird ein neues Integral mit einer Funktion namens „Gamma“ eingeführt und eine trapezförmige Integration wird verwendet, um das diskrete Integral anzunähern. Um diesen Prozess zu veranschaulichen, liefert der Dozent ein Beispiel für die Durchführung einer Trapezintegration für eine Funktion mit einem gleichmäßig verteilten Gitter.

Anschließend befasst sich der Referent mit dem Prozess der Parameterkonfiguration zur Definition des Rasters für die Fourier-Transformation. Diese Parameter umfassen die Anzahl der Gitterpunkte, den Maximalwert von „u“ und die Beziehung zwischen Delta „x“ und Delta „u“. Sobald diese Parameter festgelegt sind, können Integrale und Summationen ersetzt werden, wodurch die Ableitung einer Funktion für jeden „x“-Wert ermöglicht wird. Die Vorlesung beinhaltet eine Gleichung, die die Trapezintegration und charakteristische Funktionen umfasst, die an den Randknoten des Trapezes ausgewertet werden.

Die Darstellung des Integrals und die Bedeutung der Verwendung der schnellen Fourier-Transformation (FFT) bei der Optionspreisgestaltung werden ausführlich besprochen. Der Referent erklärt, dass Praktiker durch die Definition einer für die Eingabe in FFT geeigneten Funktion die schnellen Auswertungs- und Implementierungsmöglichkeiten nutzen können, die in den meisten Bibliotheken bereits vorhanden sind. Anschließend erklärt der Dozent die Schritte zur Berechnung dieser Transformation und wie sie zur Berechnung von Integralen genutzt werden kann. Insgesamt unterstreicht die Vorlesung die Bedeutung von FFT in der Computational Finance und ihren Nutzen bei der Optionspreisgestaltung.

Zusätzlich zu den oben genannten Themen werden in der Vorlesung verschiedene Aspekte im Zusammenhang mit der Fourier-Transformation zur Optionspreisgestaltung beleuchtet. Dazu gehören die Verwendung von Interpolationstechniken, um genaue Berechnungen für eine diskrete Anzahl von Punkten sicherzustellen, die Beziehung zwischen der Taylor-Reihe und der charakteristischen Funktion, die Anwendung der Kosinus-Entwicklungsmethode für gerade Funktionen und die Verwendung abgeschnittener Domänen zur Annäherung an die Dichte. Die Vorlesung behandelt außerdem die Wiederherstellung der Dichte, die numerischen Ergebnisse, die mittels Fourier-Entwicklung erzielt werden, und die Preisdarstellung in Form von Matrizen und Vektoren.

Während der gesamten Vorlesung legt der Dozent Wert auf die praktische Umsetzung der Fourier-Transformationsmethode, erörtert die Auswirkungen verschiedener Parameter und hebt die Vorteile und Grenzen des Ansatzes hervor. Durch die Bereitstellung umfassender Erklärungen und numerischer Experimente vermittelt die Vorlesung den Lernenden das nötige Wissen und die nötigen Werkzeuge, um die Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung in realen Szenarien anzuwenden.

Anschließend diskutiert der Dozent die Wiederherstellung der Dichtefunktion in der Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Sie betonen, wie wichtig es ist, bei der Transformation eine ausreichend große Anzahl von Punkten (bezeichnet als „n“) auszuwählen, um Dichteberechnungen mit hoher Genauigkeit zu erzielen. Der Dozent führt die komplexe Zahl „i“ ein, um den Definitionsbereich und das Maximum zu definieren, wobei „u_max“ durch die Verteilung bestimmt wird. Darüber hinaus erläutert der Dozent die Notwendigkeit der Interpolation, insbesondere der Verwendung kubischer Interpolation an den Gitterpunkten „x_i“, um eine genaue Berechnung der Leistungsdichtefunktion auch für Eingaben sicherzustellen, die nicht auf dem Gitter liegen.

Der Redner untersucht außerdem die Vorteile der Interpolation und ihre Relevanz für die Optionspreisgestaltung mithilfe der Fourier-Transformation. Während die Fourier-Transformation für größere Gitter von Vorteil ist, kann die Interpolation bei größeren Zahlen bevorzugt werden, da sie vergleichsweise weniger rechenintensiv ist als die FFT. Der Referent demonstriert anhand von Codebeispielen, wie die Interpolation funktioniert, und betont, dass es durch die Anpassung von Parametern möglich wird, Sensitivitäten zu berechnen und Griechen ohne zusätzliche Kosten zu erhalten. Diese Funktion macht die Kosinus-Erweiterungstechnik ideal für die Preisgestaltung exotischerer Derivate wie Barriere- und Bermuda-Optionen.

Darüber hinaus diskutiert der Dozent den Zusammenhang zwischen der Taylor-Reihe und der charakteristischen Funktion in der Computational Finance. Die Vorlesung zeigt die Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Reihe und der charakteristischen Funktion und ermöglicht direkte Beziehungen, ohne dass zusätzliche Integrale erforderlich sind. Anschließend beschreibt der Dozent die „Cos-Methode“ zur Optionspreisgestaltung, die eine Fourier-Cosinus-Entwicklung verwendet, um gerade Funktionen um Null darzustellen. Bei dieser Methode werden Integrale und Koeffizienten berechnet, wobei der entscheidende Hinweis besteht, dass der erste Term der Entwicklung immer mit der Hälfte multipliziert werden sollte.

In der Vorlesung wird der Prozess der Änderung des Integrationsbereichs für die Funktion „g“ genauer betrachtet, um einen endlichen Unterstützungsbereich von „a“ bis „b“ zu erreichen. Der Referent erklärt die Bedeutung der Euler-Formel für die Vereinfachung des Ausdrucks und zeigt, wie das Ersetzen von „u“ durch „k pi dividiert durch ba“ zu einem einfacheren Ausdruck führt, der die Dichte einbezieht. Die abgeschnittene Domäne wird durch ein Hutsymbol gekennzeichnet und spezifische Werte für die Parameter „a“ und „b“ werden basierend auf dem zu lösenden Problem ausgewählt. Der Redner betont, dass es sich hierbei um eine Näherungstechnik handelt und dass bei der Auswahl der Werte von „a“ und „b“ heuristische Entscheidungen eine Rolle spielen.

Darüber hinaus untersucht die Vorlesung den Zusammenhang zwischen Fourier-Expansion und der Wiederherstellung der Dichte. Durch die Verwendung der Realteile beider Seiten der Gleichung demonstriert die Vorlesung die Euler-Formel, die es ermöglicht, das Integral der Dichte als Realteil der charakteristischen Funktion auszudrücken. Diese elegante und schnelle Methode erleichtert das Auffinden der Beziehungen zwischen Integralen der Zielfunktion und der charakteristischen Funktion mithilfe der Definition der charakteristischen Funktion. Die Kostenmethode zielt darauf ab, diese Beziehungen zu ermitteln, um Ausdehnungskoeffizienten zu berechnen und die Dichte wiederherzustellen. Obwohl die Methode Fehler aus der unendlichen Summierung und dem Trunkierungsbereich mit sich bringt, sind diese Fehler leicht zu kontrollieren.

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt dann auf der Zusammenfassung der Fourier-Cosinus-Entwicklung, die bereits mit wenigen Termen eine hohe Genauigkeit erreichen kann. Ein numerisches Experiment mit einer normalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) wird durchgeführt, um die Fehlergenerierung basierend auf der Anzahl der Terme zu untersuchen, einschließlich der Zeitmessung. Das Code-Experiment ist so strukturiert, dass die Dichte mithilfe der Kosinus-Methode generiert wird, wobei der Fehler als maximale absolute Differenz zwischen der mithilfe der Kosinus-Methode ermittelten Dichte und dem exakten normalen PDF definiert wird. Die Kosinusmethode erfordert nur wenige Codezeilen, um die Dichte mithilfe der charakteristischen Funktion wiederherzustellen, die das Herzstück der Methode ist.

Darüber hinaus diskutiert der Referent die numerischen Ergebnisse der Fourier-Entwicklung, die mithilfe der Matrixnotation effizient durchgeführt werden können. Der Fehler nimmt mit zunehmender Anzahl der Erweiterungsterme ab, wobei mit 64 Termen ein Fehler von nur 10^-17 erreicht wird. Die Verwendung einer geringeren Anzahl von Termen kann zu Schwankungen oder einer schlechteren Anpassung führen. Der Redner weist darauf hin, dass Parameter wie die Domäne und die Anzahl der Erweiterungsterme sorgfältig abgestimmt werden sollten, insbesondere bei Verteilungen mit starken Tails. Darüber hinaus wird in der Vorlesung hervorgehoben, dass die logarithmische Normaldichte auch mithilfe der normalen charakteristischen Funktion modelliert werden kann.

Im weiteren Verlauf befasst sich der Dozent mit dem logarithmischen Normalfall und erklärt, wie sich seine Dichte von der Normalverteilung unterscheidet. Aufgrund der logarithmischen Normalverteilung ist typischerweise eine höhere Anzahl von Erweiterungstermen erforderlich. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, eine angemessene Anzahl von Begriffen für eine bestimmte Verbreitungsart und Domäne auszuwählen.

In der Vorlesung wird betont, dass die Kostenmethode besonders nützlich für die Wiederherstellung der Dichte ist und häufig für die Preisgestaltung von Derivaten eingesetzt wird, beispielsweise für Optionen europäischen Typs, bei denen nur eine Zahlung bei Fälligkeit erfolgt. Anschließend erklärt der Dozent, wie die Preisgestaltung funktioniert und wie das Produkt aus Dichte und Auszahlungsfunktion in das risikoneutrale Maß integriert wird.

Im weiteren Verlauf der Vorlesung diskutiert der Redner exotischere Optionen, bei denen eine Konnektivitätsfunktion abgeleitet und Kosinuswerte verwendet werden können. Der Begriff „Übergangsdichten“ wird eingeführt und bezieht sich auf die Verteilungen, die den Übergang von einem Punkt auf der Zeitachse zu einem anderen beschreiben. Der Anfangswert wird durch die Verteilung einer Zufallsvariablen angegeben. In der Präsentation wird außerdem die Kürzung der Dichte untersucht, bei der die Dichte auf ein bestimmtes Intervall begrenzt wird. Es wird die Gaußsche Quadraturmethode erläutert, bei der eine Summierung der Realteile einer charakteristischen Funktion multipliziert mit einem Exponenten integriert wird.

Die Vorlesung führt in das Konzept des angepassten Log-Asset-Preises ein, der als Logarithmus der Aktie bei Fälligkeit dividiert durch einen Skalierungskoeffizienten definiert ist. Es wird eine alternative Darstellung der Auszahlung vorgestellt, und der Sprecher stellt fest, dass die Wahl von „v“ direkten Einfluss auf den Koeffizienten „h_n“ hat. Dieser Ansatz kann zur Bewertung der Auszahlungen für mehrere Ausübungspreise verwendet werden und bietet eine praktische Methode zur gleichzeitigen Preisgestaltung von Optionen zu verschiedenen Ausübungspreisen.

Als nächstes befasst sich der Redner mit dem Prozess der Berechnung des Integrals einer Auszahlungsfunktion multipliziert mit der Dichte unter Verwendung von Exponential- und Kosinusfunktionen in der Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Es wird eine generische Form für die beiden beteiligten Integrale bereitgestellt und verschiedene Koeffizienten ausgewählt, um verschiedene Auszahlungen zu berechnen. Der Redner betont, wie wichtig es ist, diese Technik für mehrere Strikes implementieren zu können und die Preisgestaltung für alle Strikes auf einmal zu ermöglichen, was Zeit spart und den Rechenaufwand reduziert. Abschließend wird die Preisdarstellung in Form einer mit einem Vektor multiplizierten Matrix dargestellt.

Die Implementierungsformel für die Fourier-Transformation bei der Optionspreisgestaltung wird diskutiert, einschließlich der Vektorisierung von Elementen und Matrixmanipulationen. Die Vorlesung erklärt den Prozess, „k“ als Vektor zu nehmen und eine Matrix mit „n_k“-Strikes zu erstellen. Realteile werden berechnet, um komplexe Zahlen zu verarbeiten. Die charakteristische Funktion ist von großer Bedeutung, da sie nicht von „x“ abhängt und eine Schlüsselrolle bei der Erzielung effizienter Implementierungen für Mehrfachschläge spielt. Die Genauigkeit und Konvergenz der Implementierung hängen von der Anzahl der Terme ab und es wird ein Beispielvergleich angezeigt.

Darüber hinaus befasst sich der Referent mit dem Code, der für die Fourier-Transformationsmethode bei der Optionspreisgestaltung verwendet wird, und erläutert die verschiedenen beteiligten Variablen. Sie führen das Konzept eines Bereichs für die Koeffizienten „a“ und „b“ ein, der für Sprungdiffusionsmodelle typischerweise bei 10 oder 8 gehalten wird. Der Code enthält einen Lambda-Ausdruck für die charakteristische Funktion, bei der es sich um eine generische Funktion handelt, die an verschiedene Modelle angepasst werden kann. Der Redner betont die Bedeutung der Zeitmessung durch die Durchführung mehrerer Iterationen desselben Experiments und die Berechnung der Durchschnittszeit. Abschließend veranschaulichen sie die Kostenmethode und wie sie den Integrationsbereich nutzt, um eine große Volatilität anzunehmen.

Die Vorlesung wird mit einer Erläuterung des Prozesses der Definition von Strikes und der Berechnung von Koeffizienten für die Fourier-Transformationsmethode der Optionspreisgestaltung fortgesetzt. Der Dozent betont, dass eine Optimierung der Modellparameter zwar zu einer besseren Konvergenz führen kann und weniger Terme für die Auswertung erfordert, es jedoch im Allgemeinen sicher ist, bei den Standardmodellparametern zu bleiben. Sie beschreiben detailliert die Schritte zum Definieren einer Matrix und zum Durchführen einer Matrixmultiplikation, um den abgezinsten Ausübungspreis zu erhalten, wobei der resultierende Fehler mit dem der exakten Lösung verglichen wird. In der Vorlesung wird hervorgehoben, dass der Fehler von der Anzahl der Terme und dem gewählten Strike-Bereich abhängt.

Anschließend stellt der Referent einen Vergleich verschiedener Methoden zur Optionspreisgestaltung vor, darunter die Fast Fourier Transform (FFT)-Methode und die Cosinus-Methode. Sie erklären, dass die FFT-Methode für eine große Anzahl von Gitterpunkten besser geeignet ist, während die Cosinus-Methode für eine kleinere Anzahl von Gitterpunkten effizienter ist. Der Dozent demonstriert die Berechnung von Optionspreisen mit beiden Methoden und vergleicht die Ergebnisse.

Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Anwendung Fourier-basierter Methoden in anderen Bereichen des Finanzwesens, beispielsweise dem Risikomanagement und der Portfoliooptimierung. Der Dozent erklärt, dass mit Fourier-basierten Methoden Risikomaße wie Value-at-Risk (VaR) und Conditional Value-at-Risk (CVaR) geschätzt werden können. Durch die Kombination von Fourier-Methoden mit Optimierungstechniken ist es möglich, optimale Portfolioallokationen zu finden, die das Risiko minimieren oder die Rendite maximieren.

Die Vorlesung endet mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Punkte, die in der Präsentation besprochen wurden. Fourier-Transformationstechniken stellen ein leistungsstarkes Werkzeug für die Optionspreisgestaltung und andere Finanzanwendungen dar. Die Cosinus-Methode ermöglicht eine effiziente und genaue Preisgestaltung von Optionen durch Nutzung der charakteristischen Funktion und der Fourier-Entwicklung. Die Wahl der Parameter, wie z. B. die Anzahl der Terme und die Domäne, beeinflusst die Genauigkeit und Konvergenz der Methode. Darüber hinaus können Fourier-basierte Methoden auf verschiedene finanzielle Probleme über die Optionspreisgestaltung hinaus erweitert werden.

Insgesamt bietet die Vorlesung einen umfassenden Überblick über Fourier-Transformationstechniken bei der Optionspreisgestaltung und behandelt Themen wie die Wiederherstellung der Dichte, Interpolation, die Cos-Methode, logarithmische Normalverteilungen, Multiple Strikes, Überlegungen zur Implementierung und Vergleiche mit anderen Preismethoden. Die Erläuterungen und Codebeispiele des Dozenten veranschaulichen die praktische Anwendung dieser Techniken im Finanzwesen und verdeutlichen deren Vorteile hinsichtlich Genauigkeit und Effizienz.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt lernen wir die Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung kennen. Die Technik der Fourier-Transformation wird verwendet, um die Dichte und effiziente Preisoptionen für Modelle zu berechnen, die zur Klasse eines Feindiffusionsmodells gehören. Bei dieser Technik wird ein Integral über die reale Achse berechnet, was rechenintensiv sein kann. Mithilfe des Inversionslemmas können wir jedoch den Definitionsbereich für u reduzieren und den Realteil des Integrals berechnen, was dazu beiträgt, teure Berechnungen zu vermeiden. Der Block beinhaltet eine Diskussion der Verbesserung dieser Darstellung durch schnelle Fourier-Transformation, wodurch die Implementierung viel schneller und effizienter wird. Abschließend endet die Sitzung mit einem Vergleich der Fourier-Transformationsmethode und der Kostenmethode sowie den Implementierungsdetails dieser Techniken.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent den ersten Schritt bei der Ableitung einer schnellen Methode zur Berechnung der Dichte für die Verwendung der schnellen Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Der erste Schritt besteht darin, die Domäne in zwei Teile zu teilen und den Realteil zu entnehmen, was eine kostengünstige Operation ist. Darüber hinaus bespricht der Dozent die Division komplexer Zahlen und die konjugierte Bildung, die eine effizientere Berechnung der charakteristischen Funktion ermöglicht. In der Vorlesung geht es auch darum, ein Gitter zu konstruieren, um die Dichte für jedes x zu ermitteln. Dazu gehört die Auswahl eines bestimmten Bereichs und die Definition von Grenzen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Professor, wie man die Dichte von x mithilfe eines Fourier-Transformationsintegrals und eines Gitters aus n Gitterpunkten berechnet. Sie stellen klar, dass die Dichteberechnung für mehrere x gleichzeitig durchgeführt werden muss. Sobald die Gitter definiert sind, definieren sie ein neues Integral von 0 bis unendlich einer Funktion namens Gamma und bestimmen die trapezförmige Integration aus dem diskreten Integral. Der Professor gibt ein Beispiel, um zu erklären, wie man eine Trapezintegration für eine Funktion mit einem gleichmäßig verteilten Gitter durchführt.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Referent den Prozess der Parameterkonfiguration, um das Gitter für die Fourier-Transformation zu definieren. Zu diesen Parametern gehören die Anzahl der Gitterpunkte, der Maximalwert von u und eine Beziehung zwischen Delta x und Delta u. Sobald diese Parameter definiert sind, können Integrale und Summationen eingesetzt und für jeden x-Wert eine Funktion ermittelt werden. Der Sprecher stellt eine Gleichung bereit, die eine Trapezintegration und Zeichenfunktionen umfasst, die an Grenzknoten des Trapezes ausgewertet werden.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Referent die Darstellung des Integrals und die Bedeutung der Verwendung der schnellen Fourier-Transformation (FFT) bei der Optionspreisgestaltung. Der Sprecher erklärt, dass wir durch die Definition einer Funktion, die zu den Eingaben für FFT passt, von der schnellen Evaluierung und Implementierung von FFT profitieren können, die in den meisten Bibliotheken bereits verfügbar ist. Anschließend erklärt der Referent die Schritte zur Berechnung dieser Transformation und wie sie zur Berechnung von Integralen verwendet werden kann. Insgesamt unterstreicht die Vorlesung die Relevanz von FFT in der Computational Finance und ihren Nutzen für die Optionspreisgestaltung.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Sie beginnen mit der Definition der charakteristischen Funktion und des Gitters, das wir für die Fourier-Transformation verwenden würden. Der Dozent weist auf die Notwendigkeit der Interpolation hin, da wir über eine diskrete Anzahl von Punkten verfügen, beispielsweise einige tausend Punkte, für einen reibungslosen Betrieb jedoch Millionen von Punkten erforderlich sind. Sie stellen fest, dass die trapezförmige Integration der charakteristischen Funktion zur Wiederherstellung der Dichte beiträgt, aber immer noch keinen Vorteil bringt. Der Dozent erklärt, dass es durch den Einsatz der schnellen Fourier-Transformation möglich ist, die Anzahl der für die diskretisierte Fourier-Transformation erforderlichen Auswertungen und Operationen zu reduzieren. Sie zeigen eine Grafik, die die Reduzierung der Operationen vergleicht, wenn die Dimensionalität der Gitterpunkte zunimmt, wobei die mit der schnellen Fourier-Transformation erreichte Komplexität deutlich besser ist.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent die Fourier-Transformation und ihre Verwendung bei der Optionspreisgestaltung. Sie konzentrieren sich auf einen Term und definieren die aus der Konnektivfunktion berechnete Korrekturfunktion der Dichte. Der Dozent betont, dass der größte Vorteil der Verwendung der schnellen Fourier-Transformation darin besteht, dass die Terme auf beiden Seiten der Diagonale in der Matrix m tatsächlich dieselben Terme sind, und diese Tatsache kann genutzt werden, um die Anzahl der für die Berechnung erforderlichen Operationen zu reduzieren. Darüber hinaus geht die Vorlesung auf die Eigenschaften der Symmetrie und Ähnlichkeit zwischen den Termen im Zähler auf der gegenüberliegenden Seite der Diagonale ein. Die Vorlesung vermittelt eine detaillierte Erläuterung des Korrekturterms, der für die Darstellung des Problems in zk unerlässlich ist.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Anwendung der Fast Fourier Transformation (FFT) in der Computational Finance. Der FFT-Algorithmus trägt dazu bei, die Anzahl der erforderlichen Berechnungen zu reduzieren, indem er die Ähnlichkeitseigenschaften von Begriffen in den Metriken nutzt. Um FFT nutzen zu können, muss die Formulierung jedoch in einer speziellen Form vorliegen, die der Algorithmus verarbeiten kann. Der Dozent betont, dass zur Wiederherstellung der Dichte verschiedene numerische Integrationstechniken verwendet werden können, die Formulierung jedoch so sein muss, dass FFT angewendet werden kann. Abschließend stellt der Dozent ein Experiment vor, das die Kodierung der FFT für eine Gauß-Verteilung zeigt und zeigt, wie sich verschiedene Parameter auf die Dichtewiederherstellung auswirken.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent die Details zur Wiederherstellungsdichtefunktion in der Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Die Anzahl der bei der Transformation verwendeten Punkte beträgt n, was groß genug sein muss, um eine hohe Genauigkeitsdichte zu erreichen. Der Dozent definiert i als eine komplexe Zahl, die zur Definition des Definitionsbereichs und des Maximums dient, wobei u max durch die Verteilung bestimmt wird. Anschließend erklärt der Dozent, wie man mit der Interpolation umgeht, indem er eine kubische Interpolation am Gitter xi auf fxi-Punkten verwendet. Diese Interpolation ist notwendig, um sicherzustellen, dass die Ausgabedichtefunktion auch für Eingaben, die nicht im Raster enthalten sind, genau berechnet wird.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt des Videos erörtert der Redner die Vorteile der Interpolation und ihren Zusammenhang mit der Optionspreisgestaltung mithilfe der Fourier-Transformation. Der Redner erwähnt, dass die Fourier-Transformation zwar für große Kästchen von Vorteil ist, die Interpolation jedoch für größere Zahlen bevorzugt werden kann, da sie vergleichsweise kostengünstiger als die FFT ist. Der Redner demonstriert auch, wie die Interpolation über Code funktioniert, und erklärt, dass es durch Ändern von Parametern möglich ist, Sensitivitäten zu berechnen und Griechen ohne zusätzliche Kosten zu erhalten, was die Cosinus-Erweiterungstechnik ideal für die Preisgestaltung exotischerer Derivate wie Barriere- und Bermuda-Optionen macht.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Beziehung zwischen der Taylor-Reihe und der charakteristischen Funktion, die in der Computational Finance verwendet wird. Die Reihe korrespondiert eins zu eins mit der charakteristischen Funktion und ermöglicht direkte Beziehungen ohne zusätzliche Integrale. Anschließend beschreibt der Dozent die Cos-Methode zur Optionspreisgestaltung, die eine Fourier-Cosinus-Entwicklung verwendet, um gerade Funktionen um Null darzustellen. Die Methode umfasst die Berechnung von Integralen und Koeffizienten. Dabei ist zu beachten, dass der erste Term der Entwicklung immer mit der Hälfte multipliziert werden sollte.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Notwendigkeit, den Integrationsbereich für die Funktion g zu ändern, um einen endlichen Unterstützungsbereich von a bis b zu haben. Sie erläutern die Bedeutung der Euler-Formel für die Vereinfachung des Ausdrucks und zeigen, wie die Ersetzung von u durch k pi dividiert durch ba zu einem einfacheren Ausdruck führt, der die Dichte einbezieht. Der abgeschnittene Bereich wird durch einen Hut gekennzeichnet, und je nach zu lösendem Problem werden bestimmte Werte für die Parameter a und b ausgewählt. Der Sprecher betont, dass es sich hierbei um eine Approximationstechnik handelt und dass bei der Auswahl der Werte von a und b heuristische Entscheidungen erforderlich sind.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt untersucht die Vorlesung den Zusammenhang zwischen Fourier-Expansion und der Wiederherstellung der Dichte. Indem wir die Realteile beider Seiten der Gleichung nehmen, zeigt die Vorlesung, dass wir eine Euler-Formel haben, die es uns ermöglicht, das Integral der Dichte als Realteil der charakteristischen Funktion auszudrücken. Dies ist eine sehr elegante und schnelle Möglichkeit, anhand der Definition der Währungsfunktion den Zusammenhang zwischen Integralen der Zielfunktion und der charakteristischen Funktion zu ermitteln. Bei der Kostenmethode geht es darum, diese schönen Beziehungen zwischen Integralen der Zielfunktion und der charakteristischen Funktion zu finden, um Expansionskoeffizienten und die Wiederherstellung der Dichte zu berechnen. Die Methode führt zu Fehlern, die aus der unendlichen Summierung und dem Kürzungsbereich resultieren. Diese Fehler sind jedoch leicht zu kontrollieren.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung zur Fourier-Transformation zur Optionspreisgestaltung liegt der Schwerpunkt auf der Zusammenfassung der Fourier-Cosinus-Entwicklung. Die Erweiterung kann selbst für wenige vorhandene Terme eine hohe Genauigkeit erreichen, wie ein numerisches Experiment mit einem normalen PDF zeigt, bei dem die Fehlergenerierung anhand der Anzahl der Terme überprüft und die Zeit gemessen wird. Das Code-Experiment ist so strukturiert, dass die Dichte mithilfe der Kosinus-Methode generiert wird und der Fehler als maximale absolute Dichtedifferenz definiert wird, die mithilfe der Kosinus-Methode wiederhergestellt und mit der exakten normalen PDF verglichen wird. Die Kosinusmethode erfordert nur wenige Codezeilen, um die Dichte mithilfe der charakteristischen Funktion, die das Herzstück der Methode darstellt, wiederherzustellen.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die numerischen Ergebnisse der Fourier-Entwicklung, die mit Matrixnotation effizient durchgeführt werden können. Der Fehler nimmt mit zunehmender Anzahl der Erweiterungsterme ab, wobei mit 64 Termen ein Fehler von 10^-17 erreicht wird. Eine geringere Anzahl von Termen kann zu Schwankungen oder einer schlechteren Anpassung führen. Der Redner weist darauf hin, dass Parameter wie die Domäne und die Anzahl der Erweiterungsterme angepasst werden sollten, insbesondere für Verteilungen mit starken Tails. Die logarithmische Normaldichte kann auch mithilfe der normalen charakteristischen Funktion modelliert werden.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent den Log-Normalfall und wie sich seine Dichte von der Normalverteilung unterscheidet. Aufgrund der logarithmischen Normalverteilung ist eine höhere Anzahl an Erweiterungstermen erforderlich. Der Dozent empfiehlt, die Anzahl der Begriffe für eine bestimmte Vertriebsart und Domäne beizubehalten. Die Kostenmethode eignet sich hervorragend zur Wiederherstellung der Dichte und wird hauptsächlich für die Preisgestaltung von Derivaten verwendet, beispielsweise für europäische Optionen, bei denen nur eine Zahlung bei Fälligkeit erfolgt. Der Dozent erläutert die Funktionsweise der Preisgestaltung, bei der das Produkt aus Dichte und Auszahlungsfunktion unter dem risikoneutralen Maß integriert wird.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt werden im Video exotischere Optionen besprochen, bei denen eine Konnektivitätsfunktion abgeleitet und Kosmetika verwendet werden können. Der Begriff Verteilungen bezeichnet Übergangsdichten, was bedeutet, dass bei der Berechnung der Übergangsdichte von einem Punkt auf der Zeitachse zu einem anderen der Anfangswert als Verteilung einer Zufallsvariablen angegeben wird. Anschließend geht es in der Präsentation um die Kürzung der Dichte, bei der die Dichte in einem bestimmten Intervall gekürzt wird, sowie um die Gaußsche Quadraturmethode, bei der die Summe der Realteile einer charakteristischen Funktion mit einem Exponenten multipliziert wird. Der angepasste logarithmische Vermögenspreis ist definiert als der Logarithmus der Aktie bei Fälligkeit dividiert durch einen Skalierungskoeffizienten, und es wird eine alternative Darstellung der Auszahlung präsentiert. Im Video wird darauf hingewiesen, dass die Wahl von v einen direkten Einfluss auf den Koeffizienten hn hat und dass dieser Ansatz zur Bewertung der Auszahlungen für mehrere Strikes verwendet werden kann.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Prozess der Berechnung des Integrals über eine Auszahlungsfunktion multipliziert mit der Dichte durch die Verwendung von Exponential- und Kosinusfunktionen in der Fourier-Transformation für die Optionspreisgestaltung. Der Referent erläutert weiterhin eine generische Form für zwei beteiligte Integrale und erklärt, wie die Auswahl unterschiedlicher Koeffizienten die Berechnung verschiedener Auszahlungen ermöglicht. Der Redner betont, wie wichtig es ist, diese Technik für mehrere Strikes implementieren zu können, um die Preisgestaltung für alle Strikes auf einmal zu ermöglichen und so Zeit zu sparen und Kosten zu senken. Abschließend erläutert der Referent die Preisdarstellung in Form einer Matrix multipliziert mit einem Vektor.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung wird die Implementierungsformel für die Fourier-Transformation zur Optionspreisgestaltung besprochen. Dabei geht es um die Vektorisierung von Elementen und Matrixmanipulationen. Die Implementierung umfasst die Verwendung von k als Vektor und die Erstellung einer Matrix mit nk Strikes. Die Formel beinhaltet die Berechnung von Realteilen zur Verarbeitung komplexer Zahlen. Die charakteristische Funktion ist von großer Bedeutung, da sie nicht von x abhängt und eine Schlüsselrolle bei der Erzielung effizienter Implementierungen für Mehrfachschläge spielt. Die Genauigkeit und Konvergenz der Implementierung hängen von der Anzahl der Terme ab und es wird ein Beispielvergleich angezeigt.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt bespricht der Redner den Code, der für die Fourier-Transformationsmethode zur Optionspreisgestaltung verwendet wird, und erklärt die verschiedenen beteiligten Variablen. Sie stellen das Konzept eines Bereichs für die Koeffizienten a und b vor und erklären, wie dieser für Sprungdiffusionsmodelle typischerweise bei 10 oder 8 gehalten wird. Der Code enthält außerdem einen Lambda-Ausdruck für die charakteristische Funktion, bei der es sich um eine generische Funktion handelt, die für verschiedene Modelle funktionieren kann. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die Zeit zu messen, indem man mehrere Iterationen desselben Experiments durchführt und für alle die durchschnittliche Zeit ermittelt. Abschließend veranschaulichen sie die Kostenmethode und wie sie den Integrationsbereich nutzt, um eine große Volatilität anzunehmen.
  
  
• 01:40:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent den Prozess der Definition von Strikes und der Berechnung von Koeffizienten für die Fourier-Transformationsmethode der Optionspreisgestaltung. Der Redner weist darauf hin, dass die Optimierung der Modellparameter zwar zu einer besseren Konvergenz führen kann und weniger Begriffe für die Bewertung benötigt, es jedoch im Allgemeinen sicher ist, bei den Standardmodellparametern zu bleiben. Anschließend erläutert der Redner die Schritte zur Definition einer Matrix und zur Durchführung einer Matrixmultiplikation, um den abgezinsten Ausübungspreis zu erhalten, wobei der resultierende Fehler mit dem der Black-Sholes-Methode verglichen wird. Darüber hinaus demonstriert der Referent, wie die Einführung zusätzlicher Strikes zu einer reibungsloseren Funktion führen und die Kalibrierung des Modells auf mehrere Strikes erleichtern kann.