Quantitativer Handel - Seite 14

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Computational Finance: Vorlesung 9/14 (Monte-Carlo-Simulation)

Computational Finance: Vorlesung 9/14 (Monte-Carlo-Simulation)

Die Vorlesung behandelt verschiedene Themen im Zusammenhang mit Monte-Carlo-Simulation und Integration in Computational Finance und bietet Einblicke in verschiedene Ansätze und Techniken.

Der Dozent führt zunächst Integrationsprobleme ein und zeigt, wie Integrale mithilfe der Monte-Carlo-Stichprobe berechnet werden. Sie erläutern zwei Ansätze: den klassischen Ansatz zur Integration und die Integration auf Basis des Erwartungswerts. Durch Programmierdemonstrationen in Python zeigt der Dozent, wie man Simulationen analysiert und effizienter gestaltet. Sie diskutieren den Einfluss der Glätte auf die Konvergenz und verschiedene Arten der Konvergenz.

Darüber hinaus behandelt die Vorlesung zwei wichtige Diskretisierungstechniken, nämlich Euler und Milstein, und erklärt, wie Fehler basierend auf dem Zeitschritt in der Simulation kontrolliert werden können. Der Dozent betont die Prinzipien und die Geschichte der Monte-Carlo-Simulation, die seit fast 90 Jahren in verschiedenen Bereichen eingesetzt wird. In den 1930er Jahren gewann es unter Physikern an Popularität, insbesondere während des Manhattan-Projekts.

Die Bedeutung der Berechnung des erwarteten Werts einer zukünftigen Auszahlung in der Computerfinanzierung wird diskutiert. Dabei wird über die reale Achse anhand der Bestandsdichte unter Berücksichtigung konstanter oder zeitabhängiger Zinssätze integriert. Die mit der Stichproben- und Wahrscheinlichkeitstheorie verbundene Monte-Carlo-Integration wird als Technik eingeführt, die bei jeder Simulation unterschiedliche Ergebnisse liefert. Die Vorlesung betont die Anwendung auf hochdimensionale Probleme und die Fähigkeit, die Varianz der Fehlerverteilung durch Anpassung der Einstellungen in der Simulation zu kontrollieren. Der Dozent diskutiert außerdem Methoden zur Verbesserung der Probenahme und Simulation mit Monte Carlo.

Es wird eine spezielle Methode zur Schätzung von Integralen mithilfe der Monte-Carlo-Simulation erläutert. Bei dieser Methode werden Punkte gleichmäßig in einem rechteckigen Bereich abgetastet und der Anteil der Abtastwerte unter der Kurve gezählt, um das Integral zu schätzen. Obwohl dieser Ansatz im Finanzwesen nicht häufig verwendet wird, kann er für hochdimensionale Probleme nützlich sein. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, die integrierte Funktion zu verstehen, um den Interessenbereich effizient zu erfassen.

Die Vorlesung befasst sich auch mit den Einschränkungen und Herausforderungen der Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen. Obwohl es grobe Schätzungen liefert, können die Ergebnisse insbesondere bei komplexen Simulationen sehr ungenau sein. Der Dozent erklärt, dass der erwartete Fehler bei Monte-Carlo-Simulationen um die Quadratwurzel der Anzahl der Simulationen abnimmt, was zu einer Rechenintensität führt. Die Vorlesung untersucht weiter die Beziehung zwischen dem Integral- und dem Erwartungsansatz und zeigt anhand eines Beispiels, wie sie miteinander verknüpft sind. Im Finanzwesen gilt der Erwartungsansatz im Allgemeinen als effizienter und genauer als die herkömmliche Monte-Carlo-Simulation.

Die Vorlesung behandelt das Gesetz der großen Zahlen und seine Beziehung zu unabhängigen Zufallsvariablen. Die Schätzung der Varianz und die Berechnung des Erwartungswerts zur Bestimmung des Mittelwerts werden besprochen. Es wird ein Vergleich zwischen dem „naiven Ansatz“ und dem Erwartungsansatz vorgestellt, wobei sich letzterer auch bei weniger Stichproben als deutlich genauer erweist. Der Dozent demonstriert den Code zur Durchführung dieser Simulation und betont die Notwendigkeit, zwei Punkte für den Ansatz zur Integration der Funktion anzugeben.

Es werden verschiedene Beispiele für stochastische Integrale im Finanzwesen diskutiert, wobei die Summierung der Brownschen Bewegung über Zeitschritte, die Summierung der Brownschen Bewegung über Inkremente und die Multiplikation der Brownschen Bewegung mit Inkrementen hervorgehoben werden. Es wird ein konkreterer Fall vorgestellt, bei dem eine Funktion g(t) von 0 bis T mit einer Funktion g(s)dW(s) integriert wird. In der Vorlesung wird erklärt, wie man den Integrationsbereich in kleinere Teilintervalle aufteilt und mithilfe der Monte-Carlo-Simulation das Integral approximiert. Für genaue Ergebnisse wird die Bedeutung der Stichprobengröße und des Wertebereichs hervorgehoben.

Der Referent erklärt, wie man ein deterministisches Integral durch einen Partitions- und Approximationsprozess numerisch löst. Sie führen das Ito-Integral ein und erläutern die Auswertung der Funktion GT am Anfang des Intervalls, wobei das Integral am linken Rand gewählt wird. Anhand eines Beispiels mit einer GT-Funktion von T zum Quadrat demonstriert der Dozent, wie man den Erwartungswert und die Varianz mit der Ito-Isometrieeigenschaft erhält. Zur Simulation der Berechnung wird Python-Code bereitgestellt und die erforderlichen Schritte werden erläutert.

Die Erzeugung der Brownschen Bewegung und ihre Verwendung bei der Konstruktion eines Prozesses und der Definition eines Integrals werden diskutiert. Die Vorlesung führt durch den Prozess der Generierung einer Verteilung und deren Verwendung zur Konstruktion des Brownschen Bewegungsprozesses. Die Auswirkung der Entfernung der Skalierungsbedingung auf die Verteilung und Varianz wird demonstriert. Der Dozent erklärt auch einen Trick zur Lösung von Integralen mit Brownscher Bewegung durch Anwendung des Ito-Lemmas. Abschließend zeigt die Vorlesung, wie man die Funktion x quadriert, um das Integral zu berechnen.

Die Anwendung des Ito-Lemmas zur Ermittlung der Dynamik einer Funktion gleich tw zum Quadrat t wird diskutiert. Durch die Anwendung von Itos Lemma auf x im Quadrat offenbart die Vorlesung einen Term, der durch Integration berechnet wird, was zu einer Pi-Quadrat-Verteilung anstelle einer Normalverteilung führt. Der Redner betont die Bedeutung der Erfahrung beim Erraten, welche Art von Funktion anzuwenden ist, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Der Code wurde geändert, um zwischen Integralen zu wechseln, und es wird vorgeschlagen, die Anzahl der Stichproben zu erhöhen, um das Ergebnis zu verbessern.

Es werden Monte-Carlo-Simulationen, numerische Routinen und die Bedeutung hochwertiger Zufallszahlengeneratoren diskutiert. Die Vorlesung erklärt das Lemma von Ito und bietet einen heuristischen Ansatz zum Verständnis, warum dwt dwt gleich Null ist. Es wird beobachtet, dass eine Verringerung der Gittergröße zu einer schnelleren Konvergenz der Varianz im Vergleich zur Erwartung führt. Es wird ein Experiment durchgeführt, um zu zeigen, dass die Erwartung langsamer gegen Null geht, während sich die Varianz nahezu Null nähert. Der Redner gibt eine Vorstellung davon, warum dwt dwt gleich Null ist, räumt jedoch ein, dass der theoretische Beweis dieser Beziehung recht aufwändig ist.

Die Vorlesung befasst sich mit der Konvergenz zweier ähnlicher Funktionen, g1 und g2, und untersucht ihre Erwartungen, wenn sie aus einer Brownschen Bewegung abgetastet werden. Diese Funktionen haben Grenzwerte von 0, wenn x sich minus Unendlich nähert, und 1, wenn x sich plus Unendlich nähert. Der Dozent berechnet den Fehler für eine zunehmende Anzahl simulierter Proben und präsentiert eine Grafik, in der er den Fehler mit der Anzahl der Proben vergleicht. Die erste Funktion mit einer nicht glatten Kurve und einem großen Oszillationsbereich steht im Gegensatz zur zweiten Funktion, die eine glatte Kurve aufweist und schneller konvergiert.

Konvergenz wird als entscheidender Gesichtspunkt bei der Verwendung der Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen hervorgehoben. Der Vortrag erklärt den Unterschied zwischen schwacher und starker Konvergenz, wobei starke Konvergenz stärker ist als schwache. Beim Umgang mit nicht glatten Funktionen und digitalen Auszahlungen können Konvergenzfehler auftreten, die zu wesentlich unterschiedlichen Auswertungsergebnissen führen. Das Verständnis der Unterschiede und Auswirkungen beider Arten der Konvergenz ist entscheidend, um genaue Finanzsimulationen und -bewertungen sicherzustellen.

Die Vorlesung diskutiert schwache und starke Konvergenz im Kontext von Monte-Carlo-Simulationen und Preisalgorithmen. Während eine schwache Konvergenz Momente auf dem Erwartungsniveau abgleicht, ist eine starke Konvergenz für genaue pfadabhängige Auszahlungen erforderlich. Ein vollständiger Monte-Carlo-Preisalgorithmus umfasst die Definition eines Rasters vom gegenwärtigen Zeitpunkt bis zum Zahlungsdatum des Vertrags, einer Preisgleichung und einem stochastischen Treiber für den Vermögenswert. Monte-Carlo-Simulationen sind erforderlich, wenn geschlossene Auswertungen aufgrund der Komplexität des Lagerprozesses nicht möglich sind. Das Gitter hat normalerweise den gleichen Abstand, in manchen Fällen können jedoch auch alternative Strategien eingesetzt werden.

Der Professor betont die Genauigkeit und die zeitlichen Einschränkungen der Monte-Carlo-Simulation. Es ist zu beachten, dass eine Erhöhung der Anzahl der Zeitschritte zwar die Genauigkeit verbessert, aber auch die Simulationszeit erhöht. Fortgeschrittene Techniken oder geschlossene Lösungen, die größere Monte-Carlo-Schritte ermöglichen, können für das Erreichen von Genauigkeit und Geschwindigkeit von Vorteil sein. Anschließend werden in der Vorlesung die Netze, der Vermögenswert und die Auszahlung für eine europäische Option definiert. Der Endzustand der Option hängt vom Zeitpunkt der Beobachtungen ab. In der Vorlesung wird erläutert, wie der Optionspreis berechnet wird, indem der Erwartungswert unter dem Warteschlangenmaß genommen und diskontiert wird. Außerdem wird der Standardfehler berechnet, um die Variabilität der erhaltenen Ergebnisse zu messen.

Das Konzept des Standardfehlers wird im Kontext der Monte-Carlo-Simulation diskutiert. In der Vorlesung wird erklärt, dass der Erwartungswert mithilfe des starken Gesetzes der großen Zahlen berechnet werden kann und dass die Varianz des Mittelwerts unter der Annahme berechnet werden kann, dass die Stichproben unabhängig voneinander gezogen werden. Der Standardfehler, der die Variabilität der Erwartung bei einer bestimmten Anzahl von Pfaden misst, kann ermittelt werden, indem die Varianz durch die Quadratwurzel der Anzahl von Pfaden dividiert wird. Mit zunehmender Probenzahl nimmt der Fehler ab. Normalerweise verringert sich der Fehler um den Faktor zwei, wenn man die Anzahl der Stichproben um den Faktor vier erhöht. Eine klassische Methode zur Simulation stochastischer Differentialgleichungen ist die Euler-Diskretisierung, die unkompliziert ist, aber ihre Grenzen hat.

Der Dozent diskutiert die Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und Euler-Diskretisierung in Monte-Carlo-Simulationen. Der Prozess umfasst die Definition eines Gitters, die Durchführung einer Simulation und die Messung des Unterschieds zwischen der exakten Lösung und der Simulation anhand des absoluten Fehlers. Um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten, muss unbedingt sichergestellt werden, dass die Zufälligkeit der Variablen sowohl in der exakten als auch in der diskretisierten Version gleich ist. Der Vortrag betont auch die Bedeutung der Vektorisierung in Monte-Carlo-Simulationen, da sie effizienter ist als die Verwendung von Doppelschleifen für jeden Zeitschritt und Pfad. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass dieser Ansatz zwar den Prozess vereinfacht, jedoch mit Einschränkungen hinsichtlich Genauigkeit und Geschwindigkeit verbunden ist.

Die genaue Lösung für die Brownsche Bewegung mit einem Driftterm und einem Volatilitätsterm (r und Sigma) wird untersucht, wobei die in der exakten Darstellung erzeugte Brownsche Bewegung und dieselbe Bewegung, die in der Näherung verwendet wird, verwendet werden. Die Vorlesung vergleicht den absoluten Fehler und den durchschnittlichen Fehler bei schwacher Konvergenz und betont, dass schwache Konvergenz für die Preisgestaltung einer europäischen Auszahlungsart ausreicht, für pfadabhängige Auszahlungen jedoch möglicherweise nicht ausreicht. Es werden Diagramme gezeigt, um die generierten Pfade für die Euler-Diskretisierung im Vergleich zur exakten Lösung zu veranschaulichen, wobei bei einigen Pfaden Unterschiede zwischen den beiden beobachtet werden können. Die Vorlesung endet mit einem Vergleich starker und schwacher Fehler.

Der Referent diskutiert die Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen mittels Code. Sie erklären, dass zur Quantifizierung von Fehlern ein Fehlermaß verwendet werden muss, wie bereits zuvor in der Vorlesung besprochen. Der Code generiert Pfade und vergleicht die genauen Werte mit der Näherung mittels Mehrfarbensimulation. Die Ausgaben sind Zeitpfade für den Bestand und die genauen Werte. Der Redner betont, wie wichtig es ist, sowohl für die Näherung als auch für die exakte Lösung die gleichen Brownschen Bewegungen zu erzeugen, um sie auf der Fehlerebene vergleichen zu können. Um schwache und starke Konvergenzfehler zu messen, definieren sie einen Bereich der Anzahl von Schritten und führen für jeden Schritt Monte-Carlo-Simulationen durch. Der Code generiert zwei Arten von Fehlern: schwache Fehler und starke Fehler.

Der Dozent erörtert den Simulationsprozess der Monte-Carlo-Methode und wie dieser zeitaufwändig sein kann, da die Simulation viele Male wiederholt werden muss. Die Ergebnisse werden durch schwache und starke Konvergenzdiagramme dargestellt, wobei der schwache Konvergenzfehler durch die langsam wachsende blaue Linie dargestellt wird, während der starke Konvergenzfehler einer Quadratwurzel der Delta-T-Form folgt, was die Analyse bestätigt. Der Dozent erklärt, dass der Fehler durch die Diskretisierungstechnik von Milstein, die durch Anwendung der Taylor-Entwicklung zusätzliche Terme ableitet, deutlich reduziert werden kann. Während es mehr Arbeit erfordert, zur endgültigen Formel zu gelangen, erfordert Milsteins Schema die Ableitung des Volatilitätsterms, die analytisch nicht immer verfügbar ist.

Der Referent erklärt den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation in der Computerfinanzierung, insbesondere in der geometrischen Brownschen Bewegung. Sie zeigen, wie der Volatilitätsterm im Verteilungssinn berechnet und mit dem Euler-Schema verglichen wird. Obwohl die Monte-Carlo-Simulation eine schnellere Konvergenzrate aufweist als die Euler-Methode, kann es schwierig sein, die Ableitung in Modellen mit mehreren Dimensionen abzuleiten, da hierfür zusätzliche rechnerische Berechnungen erforderlich sind. Darüber hinaus vergleicht der Sprecher den absoluten Fehler im schwachen und starken Sinne zwischen den beiden Schemata und betont, dass der starke Fehler von Monte Carlo in Delta t linear ist, während der schwache Fehler von Euler in derselben Größenordnung liegt. Schließlich stellen sie eine Code-Implementierung der Monte-Carlo-Simulation zur Erzeugung von Pfaden in der geometrischen Brownschen Bewegung und zur Analyse ihrer starken Konvergenz bereit.

Der Referent diskutiert den Einfluss verschiedener Diskretisierungstechniken auf die Konvergenz am Beispiel der Black-Scholes- oder geometrischen Brownschen Bewegung. Die Analyse der Euler- und Milstein-Schemata dient zur Veranschaulichung der Auswirkungen verschiedener Diskretisierungstechniken. Der Redner vergleicht die Fehler zwischen dem Milstein- und dem Euler-Schema und zeigt, dass der Fehler des Milstein-Schemas viel geringer ist als der von Euler, obwohl er möglicherweise nicht immer anwendbar ist. Der Nutzen verschiedener Schemata ist bei Betrachtung der Endergebnisse möglicherweise nicht offensichtlich, aber angesichts des Rechenaufwands der Simulation wird die Zeit entscheidend. Daher wäre die Verwendung großer Zeitschritte unerlässlich, wenn wir schnelle Simulationen von Monte Carlo durchführen wollen.

Anschließend diskutiert der Dozent die Rolle von Zufallszahlengeneratoren (RNGs) in Monte-Carlo-Simulationen. Sie betonen, wie wichtig es ist, qualitativ hochwertige RNGs zu verwenden, um genaue und zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Der Dozent erwähnt, dass in Simulationen häufig Pseudozufallszahlengeneratoren (PRNGs) verwendet werden, und erklärt, wie sie Zahlenfolgen erzeugen, die der Zufälligkeit nahe kommen. Sie unterstreichen auch die Notwendigkeit der Reproduzierbarkeit in Simulationen durch die Verwendung eines festen Startwerts für den RNG. Als nächstes diskutiert der Dozent das Konzept der antithetischen Variablen, einer Varianzreduktionstechnik, die in Monte-Carlo-Simulationen verwendet wird. Die Idee hinter antithetischen Variablen besteht darin, Paare zufälliger Variablen zu generieren, die entgegengesetzte Auswirkungen auf die interessierende Menge haben. Indem der Durchschnitt der Ergebnisse der ursprünglichen Variablen und ihrer antithetischen Gegenstücke gebildet wird, kann die Varianz der Schätzung verringert werden. Diese Technik ist besonders nützlich, wenn es um symmetrische Verteilungen geht.

Anschließend stellt die Vorlesung das Konzept der Kontrollvariablen als weitere Technik zur Varianzreduktion vor. Bei Kontrollvariablen wird eine bekannte Funktion in den Simulationsprozess eingeführt, die mit der interessierenden Größe korreliert. Durch Subtrahieren der aus der bekannten Funktion erhaltenen Schätzung von der aus der Zielfunktion erhaltenen Schätzung kann die Varianz der Schätzung verringert werden. Der Dozent veranschaulicht anhand von Beispielen, wie Kontrollgrößen in der Praxis angewendet werden können. Zusätzlich zu Varianzreduktionstechniken diskutiert der Dozent das Konzept der geschichteten Stichprobe. Bei der geschichteten Probenahme wird der Probenraum in Schichten unterteilt und aus jeder Schicht eine separate Probe entnommen. Dieser Ansatz stellt sicher, dass jede Schicht in der Stichprobe vertreten ist, was zu genaueren Schätzungen führt. Die Vorlesung erläutert das Vorgehen zur Umsetzung einer geschichteten Stichprobe und zeigt deren Vorteile gegenüber der einfachen Zufallsstichprobe auf.

Abschließend untersucht der Dozent das Konzept des Wichtigkeitsstichprobenverfahrens. Bei der Wichtigkeitsstichprobe handelt es sich um eine Technik zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse, indem Stichproben, die mit größerer Wahrscheinlichkeit das gewünschte Ereignis hervorrufen, höhere Wahrscheinlichkeiten zugewiesen werden. In der Vorlesung wird erläutert, wie wichtige Stichproben die Effizienz von Monte-Carlo-Simulationen zur Schätzung seltener Ereignisse verbessern können. Der Dozent liefert Beispiele und erörtert die Bedeutung der Wahl einer geeigneten Stichprobenverteilung für genaue Ergebnisse.

Die Vorlesung behandelt eine Reihe von Themen im Zusammenhang mit Monte-Carlo-Simulationen, darunter Integrationsprobleme, Berechnung von Integralen mithilfe von Monte-Carlo-Stichproben, Programmierdemonstrationen, Konvergenzanalyse, Diskretisierungstechniken, Prinzipien und Geschichte der Monte-Carlo-Simulation, Anwendung in der Computerfinanzierung und Varianzreduktion Techniken und Wichtigkeitsstichproben. Der Dozent gibt Einblicke in die Theorie und praktische Umsetzung von Monte-Carlo-Simulationen und beleuchtet deren Relevanz in verschiedenen Bereichen.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt zur Monte-Carlo-Simulation behandelt der Dozent mehrere Themen, darunter Integrationsprobleme und die Berechnung von Integralen mithilfe der Monte-Carlo-Stichprobe. Sie stellen zwei unterschiedliche Ansätze vor: einen klassischen Ansatz zur Integration und eine auf dem Erwartungswert basierende Integration. Die Vorlesung beinhaltet auch Programmierdemonstrationen in Python und wie man Simulationen analysiert und effizienter gestaltet. Der Dozent diskutiert den Einfluss der Glätte auf die Konvergenz und verschiedene Arten der Konvergenz. Sie stellen außerdem zwei wichtige Diskretisierungstechniken vor, Euler und Milstein, und zeigen, wie Fehler abhängig vom Zeitschritt in der Simulation kontrolliert werden können. Abschließend diskutieren sie die Prinzipien und die Geschichte der Monte-Carlo-Simulation, die es seit fast 90 Jahren gibt und die in den 30er Jahren von Physikern, insbesondere im Manhattan-Projekt, populär gemacht wurde.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Bedeutung der Berechnung des erwarteten Werts einer zukünftigen Auszahlung in der Computerfinanzierung. Dabei wird ein Integral über die reale Achse mit der Bestandsdichte unter der Annahme konstanter oder zeitabhängiger Zinssätze verwendet. Die Monte-Carlo-Integrationstechnik ist mit der Stichproben- und Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden, und die aus der Simulation erhaltenen Ergebnisse variieren jedes Mal. Die Technik kann für hochdimensionale Probleme eingesetzt werden und kann die Varianz der Fehlerverteilung durch die Wahl bestimmter Einstellungen in der Simulation steuern. In der Vorlesung werden auch Methoden zur Verbesserung der Probenahme und Simulation mit Monte Carlo besprochen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man eine Monte-Carlo-Simulation durchführt, um ein Integral zu schätzen. Bei dieser Methode werden Punkte gleichmäßig in einem rechteckigen Bereich abgetastet und gezählt, wie viele der Gesamtproben sich unter der Kurve befinden. Durch Multiplikation des Anteils der Proben unter der Kurve mit der Fläche des Rechtecks kann eine Schätzung des Integrals erhalten werden. Obwohl dieser Ansatz im Finanzwesen normalerweise nicht verwendet wird, kann er bei hochdimensionalen Problemen nützlich sein. Der Dozent weist darauf hin, dass es hilfreich sein kann, mehr über die zu integrierende Funktion zu wissen, um sicherzustellen, dass die Simulation den interessierenden Bereich effizient erfasst.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Professor die Monte-Carlo-Simulationstechnik und wie sie zur Schätzung von Integralen verwendet werden kann. Er erklärt, dass die Monte-Carlo-Simulation zwar eine grobe Schätzung liefern kann, die Ergebnisse jedoch äußerst ungenau sein können, insbesondere im Finanzbereich, wo hochkomplexe Simulationen erforderlich sind. Der erwartete Fehler in den Monte-Carlo-Simulationen wird um die Quadratwurzel der Anzahl der Simulationen reduziert, was rechenintensiv sein kann. Der Professor erörtert außerdem den Zusammenhang zwischen dem Integral- und dem Erwartungsansatz und gibt ein Beispiel für deren Zusammenhang. Insgesamt wird der Erwartungsansatz im Finanzwesen im Vergleich zur Monte-Carlo-Simulation als effizienter und genauer angesehen.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Gesetz der großen Zahlen und seine Beziehung zu unabhängigen Zufallsvariablen. Sie heben die Schätzung der Varianz und die Berechnung des Erwartungswerts hervor, beide für die Berechnung des Mittelwerts. Anschließend wird der Vergleich zwischen dem „naiven Ansatz“ und dem Erwartungsansatz dargestellt, wobei letzterer auch bei weniger Stichproben deutlich genauer ist. Anschließend zeigt der Dozent den Code zur Durchführung dieser Simulation und betont die Notwendigkeit, für diesen Ansatz zwei Punkte anzugeben, um die Funktion zu integrieren.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent verschiedene Beispiele für stochastische Integrale im Finanzwesen. Das erste Beispiel beinhaltet die Summierung der Brownschen Bewegung über Zeitschritte, während das zweite die Summierung der Brownschen Bewegung über Inkremente beinhaltet. Im dritten Beispiel wird die Brownsche Bewegung mit Inkrementen multipliziert. Der Dozent geht dann zu einem konkreteren Fall über, bei dem eine Funktion g(t) von 0 bis T mit einer Funktion g(s)dW(s) integriert wird. Die Methode beinhaltet die Aufteilung des Integrationsbereichs in kleinere Teilintervalle und die Verwendung einer Monte-Carlo-Simulation, um den Wert des Integrals anzunähern. Der Vortrag betont die Bedeutung der Stichprobengröße und des Wertebereichs für genaue Ergebnisse.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent, wie man ein deterministisches Integral durch einen Partitions- und Approximationsprozess numerisch löst. Sie führen das Ito-Integral ein und erklären, dass die Funktion GT am Anfang des Intervalls ausgewertet wird und das Integral immer am linken Rand gewählt wird. Der Referent verwendet ein Beispiel mit einer GT-Funktion von T im Quadrat und zeigt, wie man den Erwartungswert und die Varianz mit der Ito-Isometrieeigenschaft erhält. Sie stellen Python-Code zur Simulation der Berechnung bereit und erläutern die erforderlichen Schritte.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Referent, wie man eine Brownsche Bewegung erzeugt und diese zur Konstruktion eines Prozesses und zur Definition eines Integrals verwendet. Sie generieren eine Verteilung und verwenden sie zum Aufbau des Prozesses. Anschließend zeigen sie die Auswirkungen der Entfernung der Skalierungsbedingung auf die Verteilung und die Varianz. Der Referent erklärt auch einen Trick zur Lösung von Integralen mit Brownscher Bewegung: die Anwendung von Itos Lemma. Abschließend zeigen sie, wie man die Funktion x quadriert, um das Integral zu berechnen.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Anwendung des Ethos-Lemmas, um die Dynamik einer Funktion gleich tw zum Quadrat t zu erhalten. Durch die Anwendung des Ito-Lemmas auf x im Quadrat erhält der Sprecher einen Term, der durch Integration berechnet wird, was zu einer Pi-Quadrat-Verteilung anstelle einer Normalverteilung führt. Der Redner betont die Notwendigkeit von Erfahrung beim Erraten, welche Art von Funktion anzuwenden ist, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Der Code wurde geändert, um zwischen Integralen zu wechseln, und es wird vorgeschlagen, die Anzahl der Stichproben zu erhöhen, um das Ergebnis zu verbessern.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner Monte-Carlo-Simulationen, numerische Routinen und die Bedeutung qualitativ hochwertiger Zufallszahlengeneratoren. Anschließend erklären sie das Lemma von Ito und beschäftigen sich mit einem heuristischen Ansatz, um zu verstehen, warum dwt dwt gleich Null ist. Durch Verringern der Gittergröße konvergiert die Varianz viel schneller als der Erwartungswert, und dies kann im Experiment beobachtet werden, wo der Erwartungswert viel langsamer gegen Null geht, während die Varianz nahezu Null ist. Der Redner gibt eine Vorstellung davon, warum dwt dwt gleich Null ist, und schließt mit der Aussage, dass der theoretische Beweis dafür ziemlich kompliziert sei.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Konvergenz zweier ähnlicher Funktionen, g1 und g2, und untersucht ihre Erwartungen, wenn sie aus einer Brownschen Bewegung abgetastet werden. Die Funktionen haben Grenzwerte von 0 für x bis minus Unendlich und 1 für x bis plus Unendlich. Der Sprecher berechnet den Fehler für eine zunehmende Anzahl simulierter Proben und zeigt ein Diagramm, in dem der Fehler mit der Anzahl der Proben verglichen wird. Die erste Funktion hat eine nicht glatte Kurve und oszilliert mit einem weiten Bereich, während die zweite Funktion eine glatte Kurve hat und schneller konvergiert.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner die Bedeutung der Berücksichtigung der Konvergenz bei der Verwendung der Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen. Die beiden besprochenen Arten der Konvergenz sind die schwache und die starke Konvergenz, wobei stark stärker als schwach ist. Der Referent erklärt, dass es bei der Konvergenz zu Fehlern kommen kann, wenn es um nicht glatte Funktionen und digitale Auszahlungen geht, die zu erheblich unterschiedlichen Auswertungsergebnissen führen können. Das Verständnis der Unterschiede und Auswirkungen beider Arten der Konvergenz ist für die Gewährleistung genauer Finanzsimulationen und -bewertungen von entscheidender Bedeutung.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Dozent schwache und starke Konvergenz im Kontext von Monte-Carlo-Simulationen und Preisalgorithmen. Während eine schwache Konvergenz Momente auf dem Erwartungsniveau abgleicht, ist eine starke Konvergenz für genaue pfadabhängige Auszahlungen erforderlich. Ein vollständiger Monte-Carlo-Preisalgorithmus umfasst die Definition eines Rasters von heute bis zum Zahlungstermin des Vertrags, einer Preisgleichung und einem stochastischen Treiber für den Vermögenswert. Monte-Carlo-Simulationen sind erforderlich, wenn geschlossene Auswertungen aufgrund der Komplexität des Lagerprozesses nicht möglich sind. Das Raster hat normalerweise den gleichen Abstand, in manchen Fällen ist dies jedoch möglicherweise nicht der Fall.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Professor die Genauigkeit und Zeitbeschränkungen der Monte-Carlo-Simulation und stellt fest, dass mehr Zeitschritte zwar die Genauigkeit erhöhen, aber auch die für die Simulation aufgewendete Zeit erhöht. Fortgeschrittene Techniken oder geschlossene Lösungen, die große Monte-Carlo-Schritte ermöglichen, können sowohl für die Genauigkeit als auch für die Zeit von Vorteil sein. Anschließend definiert der Professor die Raster, den Vermögenswert und die Auszahlung für eine europäische Option und erklärt, dass der Endzustand vom Zeitpunkt der Beobachtungen abhängt. Anschließend wird der Erwartungswert unter der Warteschlangenmessung herangezogen und diskontiert, um den Optionspreis zu bestimmen, wobei ein Standardfehler berechnet wird, um die Variabilität der erhaltenen Ergebnisse zu messen.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Standardfehlers im Kontext der Monte-Carlo-Simulation diskutiert. Der Erwartungswert kann mithilfe des starken Gesetzes der großen Zahlen berechnet werden, und die Varianz des Mittelwerts kann unter der Annahme berechnet werden, dass die Stichproben unabhängig voneinander gezogen werden. Der Standardfehler, der die Variabilität der Erwartung bei einer bestimmten Anzahl von Pfaden misst, kann ermittelt werden, indem die Varianz durch die Quadratwurzel der Anzahl von Pfaden dividiert wird. Mit zunehmender Probenzahl nimmt der Fehler ab; Typischerweise führt eine Erhöhung der Anzahl der Stichproben um den Faktor vier zu einer Reduzierung des Fehlers um den Faktor zwei. Eine klassische Methode zur Simulation stochastischer Differentialgleichungen ist die Euler-Diskretisierung, die unkompliziert ist, aber Einschränkungen aufweist.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und Euler-Diskretisierung in Monte-Carlo-Simulationen. Der Prozess umfasst die Definition eines Gitters, die Durchführung einer Simulation und die Messung des Unterschieds zwischen der exakten Lösung und der Simulation anhand des absoluten Fehlers. Um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten, muss unbedingt sichergestellt werden, dass die Zufälligkeit der Variablen sowohl in der exakten als auch in der diskretisierten Version gleich ist. In der Vorlesung wird auch die Vektorisierung in Monte-Carlo-Simulationen hervorgehoben, da sie effizienter ist als die Verwendung von Doppelschleifen für einen Zeitschritt und Pfade. Insgesamt vereinfacht dieser Ansatz zwar den Prozess, bringt jedoch Einschränkungen hinsichtlich Genauigkeit und Geschwindigkeit mit sich.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt wird die genaue Lösung für die Randbewegung mit r und Sigma untersucht, wobei die in der exakten Darstellung erzeugte Brownsche Bewegung und dieselbe Bewegung, die in der Näherung verwendet wird, verwendet werden. Der absolute Fehler und der durchschnittliche Fehler bei schwacher Konvergenz werden verglichen, und es wird erklärt, dass schwache Konvergenz zwar ausreicht, um eine europäische Auszahlungsart zu bewerten, für pfadabhängige Auszahlungen jedoch nicht ausreicht. Die Diagramme zeigen die generierten Pfade für die Euler-Diskretisierung im Vergleich zur exakten Lösung, wobei für einige Pfade Unterschiede zwischen den beiden erkennbar sind, sowie einen Vergleich starker und schwacher Fehler.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen mithilfe von Code. Sie erklären, dass zur Quantifizierung des Fehlers ein Fehlermaß verwendet werden muss, das sie zuvor in den Folien besprochen hatten. Der Code generiert Pfade und vergleicht mithilfe der Mehrfarbensimulation die exakte mit der Näherung. Die Ausgaben sind Zeitpfade für den Bestand und die genauen Werte. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die gleichen Brownschen Bewegungen sowohl für die Näherung als auch für den exakten Vergleich auf der Fehlerebene zu erzeugen. Um schwache und starke Konvergenzfehler zu messen, definieren sie einen Bereich der Anzahl von Schritten und führen für jeden Schritt Monte-Carlo-Simulationen durch. Der Code generiert zwei Arten von Fehlern: schwache Fehler und starke Fehler.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent den Simulationsprozess der Monte-Carlo-Methode und wie dieser zeitaufwändig sein kann, da die Simulation viele Male wiederholt werden muss. Die Ergebnisse werden durch die schwachen und starken Konvergenzdiagramme dargestellt, wobei der schwache Konvergenzfehler durch die langsam wachsende blaue Linie dargestellt wird, während der starke Konvergenzfehler einer Quadratwurzel der Delta-T-Form folgt, die die Analyse bestätigt. Der Dozent erklärt, dass der Fehler durch die Diskretisierungstechnik von Milstein, die durch Anwendung der Taylor-Entwicklung zusätzliche Terme ableitet, deutlich reduziert werden kann. Während es mehr Arbeit erfordert, zur endgültigen Formel zu gelangen, erfordert Milsteins Schema die Ableitung des Volatilitätsterms, die analytisch nicht immer verfügbar ist.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt erklärt der Redner die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation in der Computerfinanzierung, insbesondere in der geometrischen Brownschen Bewegung. Sie zeigen, wie der Volatilitätsterm im Verteilungssinn berechnet und mit dem Euler-Schema verglichen wird. Obwohl die Monte-Carlo-Simulation eine schnellere Konvergenzrate aufweist als die Euler-Simulation, kann es schwierig sein, die Ableitung in Modellen mit mehreren Dimensionen abzuleiten, da hierfür zusätzliche rechnerische Berechnungen erforderlich sind. Darüber hinaus vergleicht der Sprecher den absoluten Fehler im schwachen und starken Sinne zwischen den beiden Schemata und betont, dass der starke Fehler von Monte Carlo in Delta t linear ist, während der schwache Fehler von Euler in derselben Größenordnung liegt. Schließlich stellen sie eine Code-Implementierung der Monte-Carlo-Simulation zur Erzeugung von Pfaden in der geometrischen Brownschen Bewegung und zur Analyse ihrer starken Konvergenz bereit.
  
  
• 01:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent den Einfluss verschiedener Diskretisierungstechniken auf die Konvergenz am Beispiel der Black-Scholes- oder geometrischen Brownschen Bewegung. Die Analyse der Euler- und Milstein-Schemata dient zur Veranschaulichung der Auswirkungen verschiedener Diskretisierungstechniken. Der Redner vergleicht die Fehler zwischen dem Milstein- und dem Euler-Schema und zeigt, dass der Fehler des Milstein-Schemas viel geringer ist als der von Euler, obwohl er möglicherweise nicht immer anwendbar ist. Der Nutzen verschiedener Schemata wird vielleicht erst bei einem Blick auf die Endergebnisse sichtbar, aber Zeit ist auch wichtig, wenn man den Rechenaufwand der Simulation berücksichtigt. Daher wäre die Verwendung großer Zeitschritte unerlässlich, wenn wir schnelle Simulationen von Monte Carlo durchführen wollen.

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Computational Finance: Vorlesung 10/14 (Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells)

Computational Finance: Vorlesung 10/14 (Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells)

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Nutzung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung von Derivaten, insbesondere europäischen Optionen, unter Verwendung des anspruchsvollen Heston-Modells. Es beginnt mit einer Aufwärmübung, bei der europäische und digitale Optionen mithilfe von Monte Carlo und dem einfachen Black-Scholes-Modell bewertet werden. Die Simulation des Cox-Ingersoll-Ross (CIR)-Prozesses, der die Varianz im Heston-Modell modelliert, wird diskutiert und betont die Notwendigkeit einer genauen Stichprobe aus dieser Verteilung. Der Dozent demonstriert die exakte Simulation des CIR-Modells und hebt dessen Vorteile bei der Generierung genauer Proben hervor.

Als nächstes stellt der Dozent das Konzept der nahezu exakten Simulation vor, das im Vergleich zur Euler-Diskretisierung größere Zeitschritte und eine höhere Genauigkeit ermöglicht. Das Heston-Modell wird mit den Schemata Euler und Milstein simuliert und die Ergebnisse verglichen. Es wird darauf hingewiesen, dass eine schwache Konvergenz für Auszahlungen europäischen Typs wichtig ist, während eine starke Konvergenz für pfadabhängige Auszahlungen wichtig ist. Abhängig von der Art der Auszahlung und der gewünschten Qualität der Ergebnisse ist eine Anpassung der Anzahl der Schritte oder Pfade unter Berücksichtigung der Rechenzeitbeschränkungen in realen Anwendungen erforderlich.

Die für Auswertungen erforderliche Rechenzeit wird diskutiert und ein Codevergleich zwischen Euler- und Milstein-Diskretisierungsschemata vorgestellt. Der Dozent gibt Ratschläge zur Codeoptimierung für Produktionsumgebungen und betont, dass die Speicherung ganzer Pfade für eine Auszahlungsbewertung, die nur den endgültigen Bestandswert erfordert, möglicherweise nicht notwendig ist. Die Vorlesung liefert auch die genaue Lösung als vereinfachte Implementierung des Black-Scholes-Modells.

Die Preisgestaltung von digitalen Optionen oder Cash-or-Nothing-Optionen mithilfe der Monte-Carlo-Simulation wird erläutert und die Unterschiede in der Auszahlungsberechnung im Vergleich zu europäischen Optionen hervorgehoben. Es werden Diagnosen und Ergebnisse vorgestellt, um die Ansätze für beide Optionstypen zu vergleichen. Die Vorlesung erkennt die Grenzen von Monte-Carlo-Simulationen für Optionen mit terminalabhängigen Auszahlungen an, bei denen keine starke Konvergenz vorliegt. Der generische Charakter des Codes wird betont, sodass er auf andere Modelle wie das Heston-Modell anwendbar ist.

Die Vorlesung befasst sich mit den Bedingungen, die für ein gutes Verhalten des Heston-Modells erforderlich sind, und erörtert, wie sich Diskretisierungstechniken auf diese Bedingungen auswirken können. Die Auswirkungen von Änderungen des Volatilitätsparameters auf das Verhalten des Modells werden anhand von Diagrammen veranschaulicht, wobei betont wird, dass der Prozess nicht negativ werden sollte. Die Einschränkungen der Euler-Diskretisierung bei der Aufrechterhaltung dieser Bedingungen werden ebenfalls hervorgehoben. Die Wahrscheinlichkeit negativer Realisierungen in der nächsten Iteration des Heston-Modells mit Monte-Carlo-Simulation wird diskutiert. Die Wahrscheinlichkeit negativer Realisierungen wird auf der Grundlage der Beziehung zwischen bestimmten Parametern berechnet, und es wird betont, wie wichtig es ist, Monte-Carlo-Pfade an das Modell anzupassen, um erhebliche Preisunterschiede zu vermeiden. Zwei Ansätze zum Umgang mit negativen Werten in der Heston-Modellsimulation werden diskutiert: Trunkierung und das reflektierende Euler-Schema. Die Vor- und Nachteile jedes Ansatzes werden verglichen und die Auswirkung kleinerer Zeitschritte auf die Reduzierung von Verzerrungen wird erwähnt, wenn auch mit einem höheren Rechenaufwand.

In der Vorlesung wird die Verwendung einer exakten Simulation für den CIR-Prozess im Heston-Modell untersucht, die eine direkte Stichprobenentnahme aus der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht. Dieser Ansatz vermeidet die Notwendigkeit kleiner Zeitschritte und ermöglicht die Probenahme zu bestimmten interessierenden Zeiten. Der Rechencode für die Simulation wird beschrieben, wobei seine Einfachheit und Optimalität für die Generierung von Proben hervorgehoben wird. Die Vorlesung befasst sich mit der Integration des Heston-Modellprozesses sowohl für die X- als auch für die Varianzwerte und hebt die durch Substitution erzielte Vereinfachung hervor. Die Bedeutung der richtigen Reihenfolge der Prozesse in mehrdimensionalen Simulationen wird hervorgehoben, zusammen mit der Empfehlung, große Zeitschritte für eine einfachere Integration zu verwenden. Die Vorlesung befasst sich mit der Bedeutung großer Zeitschrittsimulationen für Preisoptionen zu bestimmten Terminen mit dem Ziel, die Rechenzeit zu reduzieren und gleichzeitig die Qualität aufrechtzuerhalten. Exakte Simulationen mit Stichproben aus der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung werden empfohlen, ohne zusätzliche Näherungen einzuführen. Die Vorlesung diskutiert auch den Einfluss von Delta t auf die Simulationsgenauigkeit und schlägt vor, seinen Einfluss auf die Ergebnisse zu untersuchen.

Das Konzept des Fehlers im Computational Finance wird diskutiert, wobei in der Vorlesung ein numerisches Experiment vorgestellt wird, das die Leistung der nahezu exakten Simulation des Heston-Modells analysiert. In der Vorlesung wird erklärt, dass durch die Vereinfachung der Integrale und die Verwendung der nahezu exakten Simulation des CIR-Prozesses die Simulation deterministisch und nicht stochastisch wird. Der Dozent führt ein numerisches Experiment durch, um die Leistung dieses vereinfachten Schemas bei der Simulation des Heston-Modells zu bewerten.

Die Vorlesung untersucht außerdem den Kompromiss zwischen Rechenaufwand und dem kleinen Fehler, der im Rahmen der Computational Finance entsteht. Der Dozent betont die Notwendigkeit, das Modell auf Marktdaten zu kalibrieren, da die Feller-Bedingung für Volatilitätsprozesse in der Praxis häufig nicht erfüllt ist. In der Vorlesung wird darauf hingewiesen, dass Korrelationskoeffizienten für das Heston-Modell typischerweise stark negativ sind, möglicherweise aufgrund von Überlegungen zum numerischen Schema.

Der Dozent erörtert den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung exotischer Derivate und betont die Bedeutung der Kalibrierung des Modells auf liquide Instrumente. Die Preisgenauigkeit wird durch die Simulation von Monte-Carlo-Pfaden unter Verwendung von Parametern aus der Modellkalibrierung und unter Berücksichtigung der mit dem Derivat verbundenen Sicherungsinstrumente gewährleistet. Der Dozent hebt die Überlegenheit einer nahezu exakten Simulation gegenüber der Euler-Diskretisierung auch bei weniger Zeitschritten hervor und erklärt, dass die Hauptquelle des Euler-Fehlers in der problematischen Diskretisierung des Varianzprozesses unter extremen Parametern oder Verletzungen der Feller-Bedingung liegt.

Die Genauigkeit der Euler-Diskretisierung im Heston-Modell wird durch Experimente mit verschiedenen Optionen untersucht, darunter Optionen, die tief im Geld, aus dem Geld und am Geld liegen. Die Vorlesung stellt den im Experiment verwendeten Code vor und konzentriert sich dabei auf die Euler-Diskretisierung und die nahezu exakte Simulation, die die CIR-Abtastung und Simulation des Stammlagerprozesses unter Verwendung des Nichtzentralitätsparameters beinhaltet.

Der Dozent bespricht die Einstellungen und Konfigurationen für Simulationen zur Preisgestaltung europäischer Optionen unter Verwendung sowohl der Euler-Diskretisierung als auch der nahezu exakten Simulation. Die exakte Simulation des CIR-Prozesses, die Korrelation der Brownschen Bewegungen und die exponentielle Transformation sind integrale Bestandteile der Simulation. Es wird die Optionspreisgestaltung unter Verwendung einer generischen Funktion demonstriert und die Auswirkungen von Variablen wie Ausübungspreis und Zeitschritt auf die Genauigkeit der Simulationen aufgezeigt. Der Vortrag schließt mit der Hervorhebung, dass die nahezu exakte Simulation im Vergleich zum Euler-Schema eine hohe Genauigkeit mit weniger Zeitschritten erreicht.

Die Vorlesung behandelt ausführlich die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung von Derivaten im Heston-Modell. Es untersucht die Simulation des CIR-Prozesses, diskutiert die Herausforderungen und Fallstricke und vergleicht verschiedene Diskretisierungsschemata. Die Vorlesung betont die Vorteile einer nahezu exakten Simulation, unterstreicht die Bedeutung der Kalibrierung und Modellgenauigkeit und bietet praktische Einblicke und Codebeispiele für die Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen in der Computational Finance.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung über Computational Finance liegt der Schwerpunkt auf der Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung von Derivaten wie europäischen Optionen unter Verwendung des Heston-Modells, das in der Branche ein herausforderndes Modell ist. Die Vorlesung beginnt mit einem Warm-up, bei dem die Preisgestaltung europäischer und digitalisierter Optionen mithilfe von Monte Carlo und einem einfachen Black-Scholes-Modell erfolgt. Die Simulation des CIR-Prozesses wird diskutiert, da die Dynamik für die Varianz des Heston-Modells ein wesentlicher Bestandteil der Simulation ist. Die Fallstricke der Simulation werden hervorgehoben und die exakte Simulation des CIR-Modells demonstriert, was für eine genaue Stichprobenentnahme aus der Verteilung von Vorteil ist. Die nahezu exakte Simulation wird eingeführt, die größere Zeitschritte als Euler und eine höhere Genauigkeit ermöglicht. Diese wird zur Simulation des Heston-Modells mithilfe der Euler-Diskretisierung verwendet und die Ergebnisse werden mit der Milstein-Diskretisierung verglichen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells für Auszahlungen europäischer Call-Optionen und digitaler Call-Optionen. Sie beginnen mit einem Anfangsbestand von fünf, einem Sigma von dreißig Prozent, einem Zinssatz von sechs Prozent und einer Laufzeit von eins. Sie vergleichen die Ergebnisse unterschiedlicher Anzahlen von Pfaden unter Verwendung der Euler- und Milstein-Schemata und kommen zu dem Ergebnis, dass für Auszahlungen vom europäischen Typ die schwache Konvergenzordnung wichtig ist, während für teilabhängige Auszahlungen eine starke Konvergenz wichtig ist. Sie weisen darauf hin, dass man je nach Art der Auszahlung die Anzahl der Schritte oder Pfade anpassen muss, um qualitativ hochwertigere Ergebnisse zu erzielen, und dabei die erforderliche Rechenzeit im Auge behalten muss, insbesondere in einer Produktionsumgebung, in der Zeit von entscheidender Bedeutung ist.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung zur Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells diskutiert der Referent die für Auswertungen erforderliche Rechenzeit und bietet einen Codevergleich zwischen Euler- und Milstein-Diskretisierungsschemata. Der Code umfasst die Generierung von Pfaden und Auszahlungsbewertungen mit Dateien für europäische Call- und Put-Optionen. Der Sprecher weist darauf hin, dass der Code für Produktionsumgebungen effizienter gestaltet werden kann und dass die Speicherung ganzer Pfade für die Auszahlungsauswertung, die nur den letzten Wert des Bestands erfordert, nicht erforderlich ist. Die genaue Lösung wird als einfache Implementierung des Black-Scholes-Modells bereitgestellt.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent, wie der Wert einer Digital- oder Cash-or-Nothing-Option mit dem gleichen Ansatz wie bei der europäischen Option berechnet wird. Der einzige Unterschied besteht in der Auszahlungsberechnung, bei der sie nur den Aktienwert zum Fälligkeitszeitpunkt betrachten und für die Ausgabeoption die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Aktie größer als K ist. Sie führen verschiedene Diagnosen und Ausgaben durch, die die Ähnlichkeiten und Fehler zeigen zwischen den Ansätzen sowohl für die europäische als auch für die digitale Option. Der Referent geht auch auf die Nachteile der Verwendung von Monte-Carlo-Simulationen für Optionen ein, deren Auszahlung nur von der Endzahlung abhängt, da keine starke Konvergenz vorliegt. Abschließend stellt der Sprecher fest, dass der Code generisch ist, was bedeutet, dass der gleiche Ansatz für andere Modelle, wie beispielsweise das Heston-Modell, verwendet werden kann.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner die Bedingungen, die im Heston-Modell erfüllt sein müssen, damit sich Pfade gut verhalten, und wie Diskretisierungstechniken diese Bedingungen möglicherweise nicht aufrechterhalten können. Der Referent erklärt, dass sich die Pfade des Prozesses gut verhalten, wenn die Volatilität im Vergleich zur Geschwindigkeit der Mean-Reversion multipliziert mit dem langfristigen Mittel deutlich geringer ist. Wenn diese Bedingung jedoch nicht erfüllt ist, können die Pfade des Prozesses Null erreichen und zurückspringen, was ihn zu einem besonderen Prozess macht. Anschließend demonstriert der Referent anhand von Diagrammen die Auswirkungen von Änderungen des Volatilitätsparameters und erklärt, wie der Prozess nicht negativ werden kann. Abschließend erwähnt der Redner, dass das Modell bei Anwendung der Euler-Diskretisierung diese Bedingungen möglicherweise nicht einhalten kann und sich die Pfade möglicherweise anders verhalten.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Professor die Wahrscheinlichkeit negativer Erkenntnisse in der nächsten Iteration bei Verwendung des Heston-Modells mit Monte-Carlo-Simulation. Die Wahrscheinlichkeit negativer Realisierungen wird berechnet, indem angenommen wird, dass der vorherige Zeitstempel einen positiven VI hatte, und indem die Wahrscheinlichkeit ermittelt wird, dass VI+1 negativ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Szenario eintritt, hängt von der Beziehung zwischen TAPA, V BAR und GAMMA ab. Wenn Gamma sehr groß und Kappa mal V bar sehr klein ist, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit negativer Erkenntnisse und kann zu komplexen Zahlen führen, was dazu führen kann, dass die Simulation fehlschlägt. Der Professor betont, wie wichtig es ist, das Modell nicht neu zu definieren und sicherzustellen, dass die Monte-Carlo-Pfade mit dem Modell übereinstimmen, um wesentliche Unterschiede bei der Preisgestaltung von Derivaten zu vermeiden.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent zwei mögliche Ansätze zum Umgang mit dem Problem negativer Werte in der Heston-Modellsimulation. Der erste Ansatz ist die Kürzung, bei der negative Werte auf Null gezwungen werden. Dies führt jedoch zu einer Verzerrung, die erheblich vom realen Modell abweichen kann. Der zweite Ansatz ist das reflektierende Euler-Schema, bei dem negative Werte in ihre absoluten Werte gespiegelt werden, aber auch dies definiert den Prozess neu und kann zu Verzerrungen führen. Der Dozent vergleicht die beiden Schemata und stellt fest, dass der Bias mit kleineren Zeitschritten reduziert werden kann, dies jedoch mit einem höheren Rechenaufwand verbunden ist.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die beiden Ansätze, die für die Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells verwendet werden: Trunkierungs- und Reflexionsprinzip. Beide Ansätze führen zu Verzerrungen, die nur miteinander verglichen werden können, nicht jedoch mit der genauen Lösung. Ohne eine exakte Lösung kann jedoch eine Referenz mit einer extrem großen Anzahl von Zeitschritten zum Vergleich der Bias verwendet werden. Der Dozent weist außerdem darauf hin, wie wichtig es ist, den Zufallsstartwert für beide Ansätze festzulegen, um die exakt gleiche Zufälligkeit für beide Pfade sicherzustellen. Abschließend warnt der Dozent vor einem kleinen Tippfehler im Code bezüglich des Zurücksetzens von Halterungen und rät den Studierenden, einen festen Wert für Delta t festzulegen und diesen mit vielen Zeitschritten mit der Referenz zu vergleichen.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Referent die Simulation des CIR-Prozesses unter Verwendung einer exakten Simulation, anstatt sich auf Euler- oder Middle-State-Schemata zu verlassen. Mit dem Wissen, dass der CIR-Prozess einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung folgt, ist es möglich, mithilfe schneller Bibliotheken, die in gängigen Programmiersprachen wie Python, MATLAB oder C++ verfügbar sind, direkt aus dieser Verteilung Stichproben zu ziehen. Der Vorteil der direkten Stichprobenentnahme aus der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung besteht darin, dass kleine Zeitschritte nicht berücksichtigt werden müssen, da die Stichproben direkt aus den interessierenden Zeiten erfolgen können. Darüber hinaus beinhaltet die Präsentation eine Diskussion des Prozesses zur Simulation der Verteilung, einschließlich der Auswirkungen von Indizes und Freiheitsgraden auf die Parameter.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt spricht der Redner über die Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells. Um die exakte Stichprobensimulation des CIR durchzuführen, müssen Benutzer einen Parameter definieren, bestimmte Parameter an bestimmten Punkten berechnen und v erhalten, indem sie einen Vektor aller Pfade nehmen. Der für die Simulation verwendete Rechencode ist unkompliziert, da er die Generierung einer Stichprobe, die Auswertung der Funktion und die Berechnung des vorherigen Zeitschritts umfasst. Darüber hinaus gibt es keine bedingten Prüfungen oder Anforderungen für das Funktionieren der Simulation, und die Stichprobenentnahme aus der exakten Verteilung bedeutet, dass die Simulation nicht von den beteiligten Zeitschritten abhängt, was sie zu einer optimalen Methode zur Generierung von Stichproben macht.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der genauen Simulation des Heston-Modells unter Verwendung der nichtzentralen High-Score-Verteilung zur Verbesserung der Konvergenz. Das Heston-Modell verfügt über einen Varianzprozess, der auch den CIR-Prozess finanziert, und eine exakte Stichprobe aus dem CIR-Prozess ist wichtig, um diese Verbesserung der Konvergenz zu ermöglichen. Der erste Schritt besteht darin, eine logarithmische Transformation für die Konvergenz der Monte-Carlo-Simulation durchzuführen. Anschließend werden die stochastischen Differentialgleichungen mithilfe der Cholesky-Zerlegung als unabhängige Brownsche Emotionen ausgedrückt, um eine exakte Stichprobe aus der nichtzentralen hohen quadratischen Verteilung zu erhalten. Dies ist ein entscheidender Schritt bei der Verknüpfung mit dem CIR-Prozess und der genauen Simulation des Heston-Modells.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erläutert der Referent die Bedeutung der Reihenfolge der Prozesse bei der Simulation mehrdimensionaler Probleme und zeigt, wie der Heston-Modellprozess sowohl für die X- als auch für die Varianzwerte integriert wird. Die Korrelation zwischen X und der Varianz ist dieselbe, sodass der Ausdruck aus dem Varianzprozess in den Prozess für Der Referent empfiehlt, große Zeitschritte zu verwenden, um die Integration des Prozesses zu erleichtern.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf der Durchführung großer Zeitschrittsimulationen, die für die Preisgestaltung von Optionen zu bestimmten Terminen von entscheidender Bedeutung sind. Wir möchten die für Simulationen benötigte Zeit minimieren, indem wir die Anzahl der zwischen Beobachtungspunkten simulierten Pfade reduzieren und gleichzeitig die Qualität beibehalten. Exakte Simulationen unter Verwendung der Stichprobe aus der Loan-Central-High-Square-Methode werden ohne zusätzliche Näherungen empfohlen. Die Simulation des Heston-Modells basiert auf dem Wert der Stichproben zum Zeitpunkt t, angenähert durch den Wert am Anfang dieses Intervalls. Die Näherung führt einen neuen Term, Delta t, ein, der untersucht werden muss, um einen akzeptablen Einfluss auf die Simulationsgenauigkeit zu bestimmen.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt wird das Fehlerkonzept in der Computational Finance diskutiert, mit der Hoffnung, dass der Rechenaufwand den im Framework eingeführten kleinen Fehler kompensiert. Die Integrale werden vereinfacht, sodass der Ausdruck für x_i+1, die nahezu exakte Simulation des Heston-Modells, bei exakter Simulation des CIR-Prozesses erhalten werden kann. Durch das Einfrieren der Werte von vt zum Zeitpunkt t_i wird der Varianzprozess vorbestimmt und die Simulation ist nicht mehr stochastisch. Mit diesem vereinfachten Schema wird ein numerisches Experiment durchgeführt, um die Leistung der nahezu exakten Simulation des Heston-Modells zu analysieren.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Konzept der nahezu exakten Simulation und die Vorteile von Simulationen mit großen Zeitschritten. Sie erklären, dass die Durchführung großer Zeitschritte die für die Berechnung erforderliche Zeit verkürzt, aber einen Fehler mit sich bringt. Die Vorlesung beinhaltet auch ein Experiment zur Analyse des Fehlers, der beim Ändern von Zeitschrittgrößen, Ausübungspreisen und anderen Parametern für das Heston-Modell entsteht. Der Dozent weist außerdem darauf hin, dass die Feller-Bedingung, eine Grenzbedingung für Volatilitätsprozesse, in der Praxis fast immer nicht erfüllt ist, und betont die Bedeutung der Kalibrierung des Modells auf Marktdaten. Abschließend wird in der Vorlesung darauf hingewiesen, dass Korrelationskoeffizienten für das Heston-Modell in der Praxis typischerweise stark negativ sind, was am numerischen Schema liegen könnte.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Verwendung der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung exotischer Derivate und die Bedeutung der Kalibrierung des Modells auf die liquidesten Instrumente, da es unwahrscheinlich ist, dass das Modell auf exotische Instrumente kalibriert wird, die Es wurde nicht in großen Mengen gehandelt. Die aus der Modellkalibrierung erhaltenen Parameter können verwendet werden, um Monte-Carlo-Pfade zu simulieren und das exotische Derivat zu bepreisen, um sicherzustellen, dass die Preisgestaltung korrekt ist und die für das Derivat verwendeten Sicherungsinstrumente bei der Kalibrierung berücksichtigt werden. Der Dozent erklärt auch, dass eine nahezu exakte Simulation auch bei weniger Zeitschritten besser ist als die Euler-Diskretisierung und dass der Euler-Fehler hauptsächlich durch eine problematische Diskretisierung des Varianzprozesses für extreme Parameter oder wenn die Feller-Bedingung nicht erfüllt ist, verursacht wird.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt wird die Genauigkeit der Euler-Diskretisierung des Heston-Modells anhand der Verwendung von Deep-in-the-money-, out-of-the-money- und at-the-money-Optionen untersucht Die Ergebnisse zeigen eine Verbesserung der Genauigkeit von „out-of-the-money“- zu „deep-in-the-money“-Optionen. Der für das Experiment verwendete Code wird ebenfalls besprochen, wobei der Schwerpunkt auf der Euler-Diskretisierung und der nahezu exakten Simulation liegt, die die CIR-Stichprobe und die Simulation des Lagerprozesses für den Protokolllagerprozess unter Verwendung des Nichtzentralitätsparameters umfasst.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Einstellungen und Konfigurationen von Simulationen zur Preisgestaltung europäischer Optionen unter Verwendung sowohl der Euler- als auch der nahezu exakten Simulation. Die Simulation beinhaltet die exakte Simulation des CIR-Prozesses mit einer Korrelation von Brownschen Bewegungen gefolgt von einer exponentiellen Transformation. Anschließend demonstriert der Dozent die Optionspreisgestaltung anhand einer generischen Funktion, indem er einen Vektor von Delta t für Diskretisierungszeitschritte angibt und eine exakte Simulation der COS-Methode durchführt. Die Analyse zeigt, dass die nahezu exakte Simulation sehr genau ist und im Vergleich zum Euler-Schema weniger Zeitschritte erfordert. Darüber hinaus können sich ändernde Variablen wie der Ausübungspreis und der Zeitschritt die Genauigkeit der Simulationen erheblich beeinträchtigen.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt vergleicht der Referent die Leistung der Euler-Diskretisierung und der nahezu exakten Simulation in der Monte-Carlo-Simulation des Heston-Modells. Durch die Erhöhung der Anzahl der Pfade wird der Unterschied zwischen den beiden Ansätzen deutlicher. Die Ergebnisse zeigen, dass die nahezu exakte Simulation die Euler-Diskretisierung übertrifft und tatsächlich nahezu exakt ist. Die Approximation des Integrals ist nicht der Schlüssel zum Erhalt qualitativ hochwertiger Ergebnisse, und das Experiment zeigt, dass wir mit Euler viele Zeitschritte dazwischen benötigen würden, während bei einer nahezu exakten Simulation nur wenige Schritte dazwischen nötig wären, um hohe Ergebnisse zu erzielen Genauigkeit, ohne zu viele Zeitschritte in der Simulation zu haben, was es sehr vorteilhaft bei der Simulation des Heston-Modells mit Monte Carlo macht.

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Computational Finance: Vorlesung 11/14 (Hedging und Monte-Carlo-Griechen)

Computational Finance: Vorlesung 11/14 (Hedging und Monte-Carlo-Griechen)

In der Vorlesung wird hervorgehoben, dass das Konzept der Absicherung ebenso wichtig ist wie die Preisgestaltung von Derivaten im Finanzwesen. Der Dozent befasst sich mit verschiedenen Berechnungen von Sensitivitäten, um die Auswirkungen des Preises eines Derivats auf bestimmte Parameter zu bestimmen und wie man ein Absicherungsexperiment durchführt. Es werden mehrere Schlüsselthemen behandelt, darunter die Prinzipien der Absicherung im Black-Scholes-Modell, die Simulation von Gewinn und Verlust, dynamische Absicherung und der Einfluss von Sprüngen. Der Dozent betont, dass das Konzept der Absicherung den Wert eines Derivats bestimmt und der Preis der Absicherung seinen Gesamtwert bestimmt.

Um ein umfassendes Verständnis zu vermitteln, erläutert der Dozent zunächst das Konzept der Absicherung in der Finanzbranche. Finanzinstitute erzielen Erträge, indem sie einen zusätzlichen Spread auf den Wert eines exotischen Derivats anwenden. Um das Risiko zu mindern, wird ein Portfolio zusammengestellt, das das Derivat nachbildet. Dieses Portfolio besteht aus dem Wert des Derivats mit einem Pluszeichen und einem Minus-Delta, was der Sensitivität des Portfolios gegenüber der Aktie entspricht. Die Auswahl eines geeigneten Deltas ist von entscheidender Bedeutung, da es die Anzahl der Aktien bestimmt, die gekauft oder verkauft werden müssen, um mit dem verwendeten Modell übereinzustimmen. Der Dozent demonstriert ein Experiment, bei dem das Delta während der Vertragslaufzeit kontinuierlich angepasst wird, was zu einem durchschnittlichen Gewinnverlust von Null führt.

Die Vorlesung behandelt das Konzept des Delta-Hedgings und unterscheidet zwischen dynamischem und statischem Hedging. Delta-Hedging wird zur Absicherung von Risikofaktoren in einem Portfolio eingesetzt, wobei der Wert des replizierenden Portfolios das Delta der Absicherung bestimmt. Bei der dynamischen Absicherung werden häufige Anpassungen des Deltas vorgenommen, während bei der statischen Absicherung der Kauf oder Verkauf von Derivaten nur zu Beginn oder in bestimmten Zeitabständen während des Derivatevertrags erfolgt. Das Video diskutiert auch die Sensitivität von Absicherungen gegenüber der Anzahl stochastischer Differentialgleichungen im Preismodell und wie sich die Häufigkeit der Absicherung auf potenzielle Gewinne und Verluste auswirkt.

Die Vorlesung stellt das Konzept einer Gewinn- und Verlustrechnung (GuV) vor und erläutert deren Rolle bei der Verfolgung der Gewinne oder Verluste beim Verkauf von Derivaten und deren Absicherung. Die Gewinn- und Verlustrechnung wird durch den anfänglichen Erlös aus dem Verkauf einer Option und den Delta-H-Wert beeinflusst, der im Laufe der Zeit auf der Grundlage der Zinssätze aus Ersparnissen oder Krediten wächst. Das Ziel besteht darin, eine Gewinn- und Verlustrechnung zu erreichen, die bei Fälligkeit des Derivats ausgeglichen ist und einen fairen Wert anzeigt, der gemäß dem Black-Scholes-Modell berechnet wird. Wenn das Modell jedoch nicht angemessen gewählt wird, kann es sein, dass der zum beizulegenden Zeitwert hinzugefügte zusätzliche Spread nicht alle Absicherungskosten abdeckt, was zu einem Verlust führt. Daher ist es wichtig, ein realistisches und robustes Modell für die Preisgestaltung alternativer Derivate zu verwenden.

Die Vorlesung befasst sich mit dem iterativen Prozess der Absicherung und der Berechnung von Gewinn und Verlust (P&L) am Ende der Laufzeit. Dieser Prozess umfasst die Berechnung des Deltas einer Option zum Zeitpunkt t0 und zum Zeitpunkt t1 und die anschließende Bestimmung der Differenz zwischen ihnen, um die Anzahl der zu kaufenden oder zu verkaufenden Aktien zu ermitteln. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, zu verstehen, was verkauft und eingezogen wird, da der Verkauf einer Option im Wesentlichen den Verkauf von Volatilität und das Einsammeln von Prämien beinhaltet. Am Ende des Prozesses wird der Wert der verkauften Option auf der Grundlage des Aktienwerts bei Fälligkeit bestimmt, und die Gewinn- und Verlustrechnung wird anhand der anfänglichen Prämie, des Werts bei Fälligkeit und der Menge der im Laufe des iterativen Prozesses gekauften oder verkauften Aktien bewertet .

Der Dozent verlagert den Schwerpunkt auf die Absicherung im Bereich Computational Finance als Mittel zur Reduzierung der Variabilität und Sensibilität hinsichtlich des Aktienwerts. In der Vorlesung wird erläutert, wie Absicherung zur Minimierung von Verlusten beiträgt, und das Konzept der Piano-Verteilung in Monte-Carlo-Pfadsimulationen vorgestellt. Dabei wird hervorgehoben, dass die Erwartung einer Gewinn- und Verlustrechnung im Durchschnitt Null betragen sollte. Der Gewinn aus dem Verkauf und der Absicherung eines exotischen Derivats ergibt sich aus dem zusätzlichen Spread, der dem Kunden in Rechnung gestellt wird, da der erwartete Gewinn und Verlust bei Null liegt.

Um die Herausforderungen zu bewältigen, die die unbekannte Dichte in fortgeschrittenen Modellen wie dem Fourier-Transformationsmodell mit sich bringt, werden alternative Methoden zur Berechnung von Sensitivitäten eingesetzt. Ein solcher Ansatz ist der Malliavin-Kalkül, der einen mathematischen Rahmen für die Berechnung von Ableitungen von Zufallsvariablen in Bezug auf Parameter in stochastischen Prozessen bietet.

Der Malliavin-Kalkül führt das Konzept der Malliavin-Ableitung ein, das den Begriff der klassischen Ableitungen auf Zufallsvariablen erweitert, die durch stochastische Prozesse gesteuert werden. Diese Ableitung ermöglicht die Berechnung von Sensitivitäten für komplexe Modelle, bei denen herkömmliche Methoden möglicherweise nicht anwendbar sind. Durch die Nutzung des Malliavin-Derivats können Praktiker Sensitivitäten in Bezug auf verschiedene Parameter im Fourier-Transformationsmodell erhalten. Dieser Ansatz ermöglicht eine genauere Preisgestaltung und ein genaueres Risikomanagement, da er die komplexen Abhängigkeiten und Dynamiken im Modell erfasst. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Verwendung des Malliavin-Kalküls fortgeschrittene mathematische Techniken und ein tiefes Verständnis der stochastischen Analyse erfordert. Es handelt sich um ein Spezialgebiet, das typischerweise von Experten für quantitative Finanzen und mathematische Finanzen erforscht wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Malliavin-Kalkül beim Umgang mit Modellen mit unbekannten Dichten, wie etwa dem Fourier-Transformationsmodell, ein leistungsstarkes Werkzeug zur Berechnung von Sensitivitäten darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die Bewertung von Risiken und die genaue Bewertung von Derivaten in komplexen Finanzszenarien.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Absicherung als ebenso wichtig wie die Preisgestaltung von Derivaten vorgestellt. Die Vorlesung konzentriert sich auf die verschiedenen Berechnungen von Sensitivitäten, um die Auswirkung des Preises eines Derivats auf einen bestimmten Parameter zu bestimmen, und auf die Durchführung eines Absicherungsexperiments. Die Vorlesung behandelt Themen wie die Prinzipien der Absicherung im Black-Scholes-Modell, Simulation von Gewinn und Verlust, dynamische Absicherung und die Auswirkungen von Sprüngen. Der Vortrag betont, dass das Konzept der Absicherung den Wert eines Derivats bestimmt und dass der Preis der Absicherung den Wert eines Derivats bestimmt.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent das Konzept der Absicherung im Finanzwesen. Finanzinstitute verdienen Geld mit dem zusätzlichen Spread, der auf den Wert eines exotischen Derivats aufgeschlagen wird. Um das Risiko abzusichern, wird ein Portfolio aufgebaut, das das Derivat nachbildet und aus dem Wert des Derivats mit einem Pluszeichen und einem Minus-Delta besteht, das der Sensitivität des Portfolios gegenüber der Aktie entspricht. Die Wahl des richtigen Deltas ist wichtig, da es bestimmt, wie viele Aktien gekauft oder verkauft werden müssen, um die Position basierend auf dem verwendeten Modell zu haben. Der Dozent zeigt ein Experiment, bei dem das Delta über die Vertragslaufzeit kontinuierlich angepasst wird, was im Durchschnitt zu einem Gewinnverlust von Null führt.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt behandelt die Vorlesung das Konzept des Delta-Hedgings und die beiden Arten des Hedgings: dynamisch und statisch. Die Delta-Absicherung dient der Absicherung der Risikofaktoren in einem Portfolio. Der Wert des replizierenden Portfolios bestimmt das Delta der Absicherung. Bei der dynamischen Absicherung wird das Delta häufig angepasst, während bei der statischen Absicherung Derivate nur zu Beginn oder einige Male während des Derivatevertrags gekauft oder verkauft werden. Das Video diskutiert auch die Sensitivität von Absicherungen gegenüber der Anzahl stochastischer Differentialgleichungen im Preismodell und wie sich die Häufigkeit der Absicherung auf potenzielle Gewinne und Verluste auswirkt.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung über Computational Finance wird das Konzept einer Gewinn- und Verlustrechnung (P&L) vorgestellt, die dazu dient, den Geldbetrag zu verfolgen, der beim Verkauf von Derivaten und deren Absicherung gewonnen oder verloren geht. Das Gewinn- und Verlustkonto hängt vom anfänglichen Geldbetrag ab, der durch den Verkauf einer Option erzielt wurde, und vom Delta-H-Wert, der im Laufe der Zeit auf der Grundlage der Zinssätze aus Ersparnissen oder Krediten wächst. Ziel ist es, bei Fälligkeit des Derivats ein Gewinn- und Verlustkonto von Null zu haben, was darauf hindeutet, dass ein beizulegender Zeitwert auf der Grundlage des Black-Scholes-Modells berechnet wurde. Wenn das Modell nicht richtig ausgewählt wird, deckt der zusätzliche Spread zum beizulegenden Zeitwert möglicherweise nicht alle Absicherungskosten ab, was zu einem Verlust führt. Es ist wichtig, über ein realistisches und gutes Modell für die Preisgestaltung alternativer Derivate zu verfügen.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt geht es in der Vorlesung um den iterativen Prozess der Absicherung und Zuordnung eines Gewinns und Verlusts (P&L) am Ende der Laufzeit. Der Prozess umfasst die Berechnung des Deltas einer Option zum Zeitpunkt t0 und zum Zeitpunkt t1 und die Ermittlung der Differenz zwischen ihnen, um zu bestimmen, wie viele Aktien gekauft oder verkauft werden müssen. In diesem Abschnitt wird auch betont, wie wichtig es ist, im Auge zu behalten, was verkauft und eingezogen wird, da der Verkäufer einer Option im Wesentlichen die Volatilität verkauft und Prämien kassiert. Am Ende des Prozesses wird der Wert der verkauften Option auf der Grundlage des Aktienwerts zum Fälligkeitszeitpunkt bestimmt, und die Gewinn- und Verlustrechnung wird auf der Grundlage der anfänglichen Prämie, des Werts bei Fälligkeit und der Menge der während des gesamten Zeitraums gekauften oder verkauften Aktien ermittelt Der iterative Prozess.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt konzentriert sich der Dozent auf die Idee der Absicherung im Bereich Computational Finance als eine Möglichkeit, die Variabilität und Sensibilität des Wertes von Aktien zu verringern. In der Vorlesung wird erklärt, wie Absicherung dabei hilft, Verluste zu reduzieren, und das Konzept der Piano-Verteilung in Monte-Carlo-Pfadsimulationen erläutert. Dabei wird darauf hingewiesen, dass die Erwartung von APL Null sein sollte. In der Vorlesung wird außerdem erläutert, dass der Gewinn, der durch den Verkauf und die Absicherung eines exotischen Derivats erzielt wird, aus dem zusätzlichen Spread resultiert, der dem Kunden in Rechnung gestellt wird, da der erwartete pl Null ist. Die Vorlesung schließt mit dem Nachweis, dass die Erwartung des pl bei Fälligkeit gleich Null ist.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent das Absicherungsverfahren und die Annahme einer Erwartung, um zu bestimmen, ob diese bei gegebener Filterung t0 gleich Null ist. Der Redner erklärt weiter, dass die Erwartung einer auf heute diskontierten Aktie immer gleich der ursprünglichen Aktie ist und der Ausdruck einer erwarteten zukünftigen Auszahlung, diskontiert auf heute, dem Wert eines Derivats entspricht. Darüber hinaus zeigt der Redner, dass der Gesamtgewinn und -verlust für ein Derivat berechnet werden kann, indem man die Pl-Konten berücksichtigt, eine ordnungsgemäße Absicherung durchführt, Rückzahlungen rekursiv bewertet und die Erwartung berücksichtigt, die negativ oder positiv sein kann.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner den Einfluss der Absicherungshäufigkeit auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Gewinn und Verlust (P/L) bei der Absicherung. Die Varianz der GuV-Verteilung hängt von der Absicherungshäufigkeit ab. Die Annahme eines Black-Scholes-Modells besteht darin, dass die Absicherung kontinuierlich und zu jedem Zeitpunkt erfolgt, was in der Praxis nahezu unmöglich zu erreichen ist. Infolgedessen untersucht das Experiment den Einfluss der Absicherungshäufigkeit auf die GuV-Unsicherheit. Der iterative Prozess der Entwicklung der Gewinn- und Verlustrechnung führt zu der in der Grafik dargestellten Verteilung der Gewinn- und Verlustrechnung. Die Ergebnisse zeigen, dass eine zunehmende Absicherungshäufigkeit zu einer geringeren Unsicherheit der Gewinn- und Verlustrechnung führt. Mit diesem Wissen untersucht der Referent weiter, wie sich Delta – ein Optionssensitivitätsfaktor – mit der Zeit in einer Monte-Carlo-Simulation entwickelt.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor das Verhalten von Delta, wenn sich die zugrunde liegende Aktie weiter vom Ausübungspreis entfernt, und wie dies durch Volatilität und Zeit beeinflusst wird. Nach dem Black-Scholes-Modell ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass die Aktie im Geld landet, wenn sie aus dem Geld geht. Dieser Effekt ist im Laufe der Zeit umso bedeutender, und das Delta geht schneller auf Null, wenn die Aktie fällt und sich der Fälligkeit nähert. Der Professor erwähnt auch die Auswirkungen von Sprüngen auf die Delta-Absicherung und wie sich die Realität ganz anders verhält als das Black-Scholes-Modell. Die Vorlesung beinhaltet ein Experiment und die Umsetzung des Delta-Hedgings mit Vektoren für mehrere Pfade.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Redner den Code für die Absicherung und Monte-Carlo-Griechen. Der Code berücksichtigt drei Argumente: t, k und s0. Der Wert von s0 ändert sich im Laufe der Zeit, wodurch er stochastisch wird, sodass der Code Vektoren einbeziehen muss. Das Programm iteriert über alle Zeitschritte und berechnet Delta und PNL, die mit einer Rate von r dt wachsen. Im letzten Schritt wird die Auszahlung abgezogen, die davon abhängt, ob die Option im Geld ist oder nicht, und die Absicherung wird verkauft. Das Histogramm von PNL zeigt unterschiedliche Verteilungen basierend auf der Häufigkeit der Absicherungen.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Auswirkungen zunehmender Häufigkeit auf die Gewinn- und Verlustverteilung in einem Absicherungsexperiment. Die Ergebnisse zeigen, dass mit zunehmender Häufigkeit von Absicherungen die Verteilung enger und weniger riskant wird. Darüber hinaus untersucht die Vorlesung die Auswirkungen einer Änderung der Dynamik des Modells durch Hinzufügen eines Sprungdiffusionsprozesses. Die Ergebnisse zeigen, dass sich Marktsprünge direkt auf die Delta- und Optionspreise auswirken und in verschiedene Richtungen erfolgen können. Der Dozent betont, dass dieses Experiment die Bedeutung der Berücksichtigung verschiedener Marktszenarien bei der Absicherung verdeutlicht.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt wird der Poisson-Sprungprozess in einem Diffusionsmodell betrachtet und die Simulation umfasst Korrekturen für die Drift. Das Experiment verändert nur die Dynamik der Aktie, aber die Sensitivität für Delta basiert immer noch auf dem Black-Scholes-Modell, wodurch Konsistenz zwischen den vom Modell generierten Werten und den Absicherungsparametern geschaffen wird. Allerdings zeigen die Abbildungen mehr Verlustpfade als Gewinnpfade, was an der Sprungverteilung und den Auswirkungen der logarithmischen Sprünge auf die Gewinn- und Verlustverteilung liegen könnte. Die Erhöhung der Anzahl der Zeitschritte von 200 auf 5.000 zeigt, dass die Verteilung etwas enger wird, die Auswirkung verlorener Trades bleibt jedoch problematisch.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf die Nachteile der Verwendung von Sprungmodellen im Finanzwesen, insbesondere im Hedging, ein. Der Nachteil besteht darin, dass der Sprungeffekt eine negative PNL erzeugt, was es schwierig macht, eine Absicherung zur Risikominderung zu finden, weshalb Modelle wie das Heston-Modell bevorzugt werden. Eine Möglichkeit, den Sprungeffekt zu reduzieren, besteht darin, sich mit einer anderen Option mit einem anderen Strike abzusichern. Der Nachteil besteht darin, dass hierfür möglicherweise der Kauf von sieben verschiedenen Derivaten unterschiedlicher Zusammensetzung erforderlich ist, was die Preisgestaltung und Absicherung teuer macht. Der Dozent geht auch auf Vega ein, was die Sensibilität für den Wert eines Derivats gegenüber Volatilität bedeutet – ein entscheidender Faktor bei der Absicherung. Abschließend erklärt der Dozent, warum der Delta-Hedge in Black-Scholes-Modellen gut funktioniert und wie er verbessert werden kann.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Konzepte des Delta- und Vega-Hedgings in der Praxis. Bei der praktischen Absicherung wäre der Volatilitätskoeffizient der Aktie unterschiedlich, was bedeutet, dass sowohl eine Delta-Absicherung als auch eine Vega-Absicherung durchgeführt werden müsste. Vega-Hedging wird durchgeführt, um die Unsicherheit im Zusammenhang mit Volatilitätsänderungen abzusichern. Daher müsste ein Portfolio von Derivatkontrakten gegen Vega abgesichert werden, indem Optionen gekauft oder verkauft werden, die der Volatilitätsempfindlichkeit des Derivats entsprechen. Händler müssen sicherstellen, dass ihr Portfolio die Grenze von Delta und Vega nicht überschreitet, und die Zusammenfassung verschiedener Geschäfte zum Aufbau eines Handelsportfolios wäre von Vorteil, wenn man Delta, Vega und andere Griechen wie Gamma zur Absicherung auf Portfolioebene in Betracht zieht .
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt geht die Vorlesung auf das Konzept der Absicherung und den Einsatz von Derivaten zur Risikominderung in einem Portfolio ein. Im Beispiel handelt es sich um ein Portfolio aus Aktien und Derivaten mit einem Delta von 50 und einem Vega von 200. Ziel ist es, das Risiko durch den Einsatz von Call-Optionen und den Kauf oder Verkauf von Aktien zu reduzieren. Der Vortrag erklärt, dass der beste Ansatz darin besteht, mit der Absicherung des Vega zu beginnen, da sich dies auch auf das Delta auswirkt. Durch den Verkauf von 20 Call-Optionen wird das Vega des Portfolios auf Null und das Delta auf 36 reduziert. Um das verbleibende Delta abzusichern, werden 36 Aktien verkauft, was zu einem Portfolio mit Null Vega und Delta führt.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Absicherung mit Gamma, einem Derivat von Delta. Ein hohes Gamma bedeutet, dass sich das Delta stark ändern wird und daher ein Portfolio häufiger neu gewichtet werden muss, um ein niedriges Delta beizubehalten. Aktien können nicht zum Hinzufügen von Gamma zur Absicherung verwendet werden. Stattdessen müssen Optionen oder andere Derivate eingesetzt werden, die auf Werte zweiter Ordnung wie Gamma oder Vega reagieren. Sensitivitäten in Black-Scholes-Modellen werden in geschlossener Form angegeben. Für Modelle, für die keine Lösungen in geschlossener Form verfügbar sind, ist jedoch eine Monte-Carlo-Simulation erforderlich. Zwei Ansätze zum Erhalten ungefährer Empfindlichkeiten sind die endliche Differenz, die eine Größenordnung von O(Delta-Delta-Theta) ist, und die zentrale Differenz, die eine Größenordnung von Delta-Theta zum Quadrat ist.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Berechnung von Wertsensitivitäten in Bezug auf bestimmte Parameter mithilfe endlicher Differenzen, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf den Versuchsergebnissen von Delta- und Vega-Hedges liegt. Der Sprecher veranschaulicht, dass die zentrale Differenz genauer ist als die Vorwärtsdifferenz, insbesondere bei kleinen Schockgrößen bei der Berechnung der Empfindlichkeiten. Darüber hinaus stellen sie das Konzept der pfadweisen Sensitivitäten vor, bei denen es sich um die Sensitivität eines Werts einer Ableitung gegenüber einem Parameter handelt, und diskutieren das Kernelement dieses Ansatzes, den Austausch von Differenzierungs- und Erwartungsoperator. Der Redner betont, dass dieser Ansatz zwar besonders genau für Auszahlungen im europäischen Stil ist, wenn wir etwas über den stochastischen Prozess für die Preisgestaltung wissen, es aber Alternativen gibt, die die Konvergenz verbessern und bessere Ergebnisse im Vergleich zu Finite-Differenzen-Berechnungen ermöglichen können.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Sensitivität der Monte-Carlo-Bewertung gegenüber Parameteränderungen. Wenn die Ableitung einer Ableitung in Bezug auf einen Parameter bekannt ist, können die Ergebnisse durch Einbeziehung der Kenntnis der Auszahlung verbessert werden. Der Vortrag stellt ein Beispiel einer europäischen Call-Option dar, bei der das Black-Scholes-Modell als Aktientreiber eingeführt wird. Das Modell verfügt über zwei Parameter, Sigma und S0, die in Bezug auf Delta und Vega berechnet werden können. Über eine Indikatorfunktion können wir die Ableitung in Bezug auf die Aktie berechnen. Sobald wir die Ableitung der Auszahlung und die Ableitung der Aktie in Bezug auf die beiden Parameter haben, können wir die Erwartung berechnen.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert das Video die Nützlichkeit von Pathway-Sensitivitäten in der Computational Finance. Durch die Simulation von Pfaden kann man die Erwartung und Empfindlichkeit gegenüber st0 und c berechnen, was zu den Pfaden Delta und Vega führt. Durch die Analyse der Ergebnisse eines numerischen Experiments wird gezeigt, dass eine Erhöhung der Anzahl der Pfade die Qualität der Ergebnisse nicht über einen bestimmten Punkt hinaus verbessert. Das Video enthält auch ein Python-Code-Experiment, bei dem die Anzahl der Pfade geändert wird und die Erwartung von Pfad-Delta und -Vega auf der Grundlage desselben Startwerts berechnet wird. Die wichtigsten Erkenntnisse aus diesem Abschnitt sind, dass Pfadsensitivitäten hilfreich sein können, keine Wiederholungen wie Finite-Differenzen-Methoden erfordern und einfach zu verwenden sind, da sie auf vorgenerierten Pfaden basieren.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent, wie man Sensitivitäten mithilfe eines komplizierteren Modells, dem Heston-Modell, berechnet und wie es mit dem Black-Scholes-Modell verglichen wird. Das Heston-Modell verfügt über eine stochastische Lösung, die mehrere Parameter erfordert, um den Volatilitätsprozess voranzutreiben, wodurch die Sensitivitätsberechnung mit dem Vega-Konzept im Vergleich zum Black-Scholes-Modell aufwändiger wird. Nichtsdestotrotz bleibt die Technik zur Berechnung von Empfindlichkeiten dieselbe, indem die Pfadempfindlichkeit verwendet wird, um ohne zusätzlichen Aufwand oder zusätzliche Berechnungen gute Ergebnisse zu erzielen. Der Dozent empfiehlt außerdem den Vergleich von Finite-Differenzen- und analytischen Sensitivitätsberechnungen, um die Genauigkeit sicherzustellen. Abschließend wird die Likelihood-Ratio-Methode als Technik zur Berechnung von Sensitivitäten vorgestellt, indem die Integration mit der Ableitungsberechnung ausgetauscht wird.
  
  
• 01:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Professor die Likelihood-Ratio-Methode zur Berechnung von Griechen. Die Methode besteht darin, das Verhältnis der Dichten zu nehmen und deren Ableitungen in den Likelihood-Ratio-Ausdruck einzusetzen. Auf diese Weise kann ein Ableitungswert berechnet werden, der der partiellen Ableitung eines Logarithmus der Vermögensdichte entspricht. Dies wird als Wahrscheinlichkeitsverhältnis bezeichnet, da es sich um das Verhältnis der Dichten handelt. Der Professor betont, dass diese Methode zwar nützlich, aber möglicherweise nicht so praktisch ist wie die pfadweise Methode, da sie die Berechnung der Auszahlungsfunktion erfordert. Es ist jedoch immer noch gut, dies im Hinterkopf zu behalten, da es für Modelle, bei denen der Logarithmus der Dichte in geschlossener Form angegeben wird, möglicherweise effizienter ist.
  
  
• 01:45:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent die Schwierigkeiten bei der Berechnung der Sensitivität gegenüber Parametern für das Fourier-Transformationsmodell aufgrund der unbekannten Dichte. Dies macht es im Vergleich zum pfadweisen Ansatz deutlich schwieriger, selbst für Delta zu ermitteln. Die Likelihood-Ratio-Methode wird keine gute Leistung erbringen, da wir bei fortgeschritteneren Prozessen etwas über die Dichte wissen müssen.

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Computational Finance: Vorlesung 12/14 (Forward Start Options and Model of Bates)

Computational Finance: Vorlesung 12/14 (Forward Start Options and Model of Bates)

Die Vorlesung befasst sich mit den Feinheiten von Forward-Start-Optionen, bei denen es sich um eine Art europäische Option mit verzögertem Startdatum handelt, die oft als Performance-Optionen bezeichnet wird. Diese Optionen sind komplexer als standardmäßige europäische Optionen und die Vorlesung bietet einen Überblick über ihre Auszahlungsdefinition und Vorteile im Vergleich zu europäischen Optionen.

Die Preisgestaltungstechniken für Forward-Start-Optionen sind komplexer und die Vorlesung konzentriert sich auf die Verwendung charakteristischer Funktionen. Es werden zwei Arten von Forward-Start-Optionen untersucht: eine mit dem Black-Scholes-Modell und die anspruchsvollere Preisgestaltung mit dem Heston-Modell. Auch die Implementierung in Python und die von Volatilitäten abhängige Preisgestaltung eines Produkts werden behandelt. Der Vortrag betont die Bedeutung europäischer Optionen als Bausteine sowie deren Kalibrierung und Beziehung zu exotischen Optionen. Es geht auf das Bates-Modell ein, das das Heston-Modell um die Einbeziehung von Merton-Sprüngen erweitert, und hebt die Verwendung von Absicherungsparametern hervor, um gut kalibrierte Modelle sicherzustellen. Das Video erklärt, wie der unbekannte Anfangsbestandswert in Forward-Start-Optionen zu einem zukünftigen Zeitpunkt (t1) bestimmt wird, und stellt das Konzept der Filterung in Bezug auf diese Optionen vor. In der Vorlesung wird auch untersucht, wie Forward-Start-Optionen als Bausteine für andere Derivate dienen können, und es wird eine Strategie zur Reduzierung der Derivatekosten vorgestellt. Darüber hinaus befasst sich der Professor mit der Konstruktion einer Click-Option, einer gewünschten abgeleiteten Struktur und deren Beziehung zu europäischen Calls und Forward-Start-Optionen. Die Vorlesung betont die Bedeutung der Identifizierung von Zahlungsterminen bei der Berechnung von Abzinsungsfaktoren für die Preisgestaltung. Es zeigt auch, wie das Verhältnis zweier Aktien als Exponent eines Logarithmus des Verhältnisses umformuliert werden kann.

Es werden verschiedene Preismethoden für Forward-Start-Optionen diskutiert, darunter Monte-Carlo-Simulation und analytische Lösungen wie das Black-Scholes-Modell. Die Notwendigkeit, die Vorwärtscharakteristikfunktion zu finden, die die Preisgestaltung von Vorwärtsstartoptionen für jedes Modell in einer bestimmten Prozessklasse ermöglicht, wird erläutert. Die Vorlesung demonstriert die Preisgestaltung einer Forward-Start-Option anhand der charakteristischen Funktion und des Erwartungswerts eines IU-Logarithmus zweier Aktien. Die Konditionierung auf ein größeres Sigma-Feld bei der Bestimmung der charakteristischen Funktion wird untersucht, wodurch der Exponent mit dem Minus-Logarithmus außerhalb der Erwartungen angenommen werden kann. Es werden auch abgezinste charakteristische Funktionen von T2 bis T1 verwendet.

Die Vorlesung befasst sich mit der Terminwährungsfunktion, die zukünftige Erwartungen darstellt und als Erwartung an das risikoneutrale Maß ausgedrückt wird. Es erklärt, dass deterministische Zinssätze zu keinem Unterschied zwischen den diskontierten und nicht diskontierten Währungsfunktionen führen. Allerdings führen stochastische Zinssätze zu Komplexität. Der Prozess der Ableitung der Vorwärts-Startcharakteristikfunktion unter Einbeziehung eines zusätzlichen Erwartungswerts wird erläutert, zusammen mit der Bedeutung, analytische Lösungen für den äußeren Erwartungswert für die praktische Verwendung zu ermöglichen. Die Vorwärtsstartcharakteristikfunktion wird dann auf die Modelle Black-Scholes und Heston angewendet.

Darüber hinaus konzentriert sich die Vorlesung auf die Forward-Start-Währungsfunktion für das Black-Scholes-Modell. Es wird darauf hingewiesen, dass die Preisgestaltung nur von der Performance im Laufe der Zeit und nicht vom anfänglichen Aktienwert abhängen sollte, was die Lösung im Vergleich zur Discounted-Währungsfunktion vereinfacht. Das Vorhandensein des Varianzanteils in mehreren Dimensionen erfordert die Lösung einer inneren Erwartung. Es wird eine exakte Darstellung des Black-Scholes-Modells gezeigt, die bestätigt, dass die Verteilung des Verhältnisses zweier Aktien unabhängig vom anfänglichen Aktienwert ist. Die Verteilung wird zu einer geometrischen Brownschen Bewegung vereinfacht, die ein Inkrement von p1 bis t2 umfasst.

Die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen im Rahmen des Black-Scholes-Modells wird erläutert, wobei die Verwendung der geometrischen Brownschen Bewegung für das Verhältnis zweier Aktien zu unterschiedlichen Zeitpunkten hervorgehoben wird. Die Preislösung für Call- und Put-Optionen für Forward-Start-Optionen ähnelt stark der für europäische Calls und Puts, mit geringfügigen Unterschieden bei der Anpassung des Ausübungspreises und den Abzinsungszeiten. In der Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, bei der Preisberechnung implizite Black-Scholes-Volatilitäten zu verwenden, auch wenn andere Modelle zum Einsatz kommen, da sie den Marktstandards entsprechen. Es unterstreicht auch die Empfehlung des Dozenten, die beiden Parameter für Forward-Start-Optionen zu berücksichtigen, und erinnert den Betrachter daran, dass Black-Scholes-Preise unter diesem Modell analytisch bekannt sind.

Anschließend befasst sich der Referent mit dem Hassle-Modell, das die Komplexität der charakteristischen Funktion für Vorwärtsstartoptionen erhöht, indem es einen zweiten stochastischen Prozess einführt, der die Varianz darstellt. Der Referent erklärt jedoch, dass diese zweite Dimension für Preisoptionen nicht notwendig sei, da der Fokus allein auf der Randverteilung für den Lagerprozess liege. Nach Vereinfachung und Ersetzung der charakteristischen Funktion erhält man den Ausdruck für die Terminwährungsfunktion. Der Redner schlägt vor, sich die Folien zum Hassle-Modell noch einmal anzusehen, um weitere Einzelheiten zu den Funktionen des Ausdrucks zu erfahren.

Die Vorlesung fährt mit der Diskussion der momenterzeugenden Funktion für einen Cox-Ingersoll-Ross-Prozess (CIR) fort und stellt den geschlossenen Ausdruck für die Vorwärtscharakteristikfunktion im Heston-Modell vor. Der Dozent weist darauf hin, dass die Momentenerzeugungsfunktion in geschlossener Form eine schnellere Berechnung ermöglicht. Durch Einsetzen der momenterzeugenden Funktion in die Terminwährungsfunktion wird ein geschlossener Ausdruck für die charakteristische Terminfunktion abgeleitet. Abschließend stellt der Redner ein numerisches Experiment zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen unter Verwendung des Heston-Modells und der abgeleiteten Ausdrücke vor.

Als nächstes verlagert der Redner den Fokus auf Vorwärtsstartoptionen und das Bates-Modell. Sie erklären, wie der Varianzprozess durch dvt dargestellt wird und diskutieren die Parameter für Volatilität und Varianz. Der Referent führt zwei Experimente durch, um den Einfluss impliziter Volatilitäten auf die Parameter und den Effekt des Zeitabstands bei Forward-Start-Optionen zu beobachten. Die Experimente zeigen, dass die implizite Volatilitätsform zwar gleich bleibt, die Niveaus jedoch unterschiedlich sind. Mit zunehmendem Zeitabstand konvergiert die Volatilität zur Quadratwurzel der Langzeitvarianz. Der Redner erläutert die Logik hinter Optionen mit kürzerer Laufzeit und einer konzentrierteren Dichte um t1 und t2. Zusätzliche Experimente mit einem Code werden durchgeführt, um implizite Volatilitäten zu vergleichen.

Anschließend befasst sich der Dozent mit der Implementierung der Forward-Characteristic-Funktion und der Kostenmethoden zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen. Die Vorwärtscharakteristikfunktion wird mithilfe von Lambda-Ausdrücken und verschiedenen Parametern definiert, einschließlich des Heston-Modells und der momenterzeugenden Funktion für den CIR-Prozess. Die Kostenmethode für die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen ähnelt der für die Preisgestaltung europäischer Optionen, beinhaltet jedoch Anpassungen für die Handhabung zweier unterschiedlicher Zeitpunkte. Der Dozent verrät einen Trick, um eine gute erste Schätzung für den Newton-Raphson-Algorithmus bei der Berechnung der vorwärts impliziten Volatilitäten zu erhalten. Dazu gehört die Definition eines Volatilitätsrasters und die Interpolation auf dem Marktpreis.

Im Anschluss an die Vorlesung wird der Prozess zur Berechnung der impliziten Forward-Volatilität mithilfe der Newton-Raphson-Methode erläutert. Der Unterschied zwischen dem Optionspreis aus dem Modell und dem Marktpreis wird diskutiert, und der Dozent zeigt, wie man die Optimierungsfunktion von SciPy anwendet, um die Newton-Raphson-Methode zu berechnen und die optimale Volatilität, auch implizite Volatilität genannt, zu erhalten. Der Abschnitt bestätigt, dass der langfristige Mittelwert und die anfängliche Varianz gleich sind und das Niveau der impliziten Volatilitäten und der Forward-Input-Volatilität übereinstimmt. Außerdem wird das Bates-Modell vorgestellt, eine Erweiterung des Heston-Modells, das zusätzliche Sprünge enthält, die von einer unabhängigen Zufallsvariablen j gesteuert werden, die einer Poisson-Verteilung folgt.

Der Vortrag beleuchtet den Unterschied zwischen dem Heston-Modell und dem Bates-Modell. Während sich das Heston-Modell für die Kalibrierung auf „Smile and Skew“ für Aktienoptionen mit längeren Laufzeiten eignet, ist es bei Optionen mit kürzeren Laufzeiten, die beispielsweise innerhalb von ein oder zwei Wochen ablaufen, problematisch. Das Bates-Modell geht dieses Problem an, indem es unabhängige Sprünge einführt und so eine bessere Kalibrierung kurzfristiger Optionen ermöglicht. Obwohl das Bates-Modell viele Parameter umfasst, ist es keine Herausforderung, es vom Heston-Modell zu erweitern. Die Log-Transformation ist erforderlich, um die charakteristische Funktion für das Bates-Modell abzuleiten, und es wird darauf hingewiesen, dass das Modell auch mit dem Hinzufügen von Sprüngen immer noch gut kalibriert werden kann.

Anschließend erörtert der Referent die Modifikation des Bates-Modells, wobei der Schwerpunkt insbesondere auf der stochastischen Intensität liegt. Der Redner bringt seine Meinung zum Ausdruck, dass es unnötig ist, die Intensität stochastisch zu machen, da dies zu unnötiger Komplexität führen würde, ohne die aktuellen Parameter zu untersuchen. Stattdessen wird die Intensität im Modell in den Zustandsvariablen linear gehalten und als konstante Drift definiert. Der Referent analysiert das affine Sprungdiffusionsgerüst und fügt Einzelheiten zu den Ableitungen in das Buch ein. Der einzige Unterschied zwischen der charakteristischen Funktion für das Heston- und das Bates-Modell liegt im „a“-Term des Bates-Modells. Zusätzlich enthalten zwei Korrekturterme alle Informationen zu Sprüngen. Es werden numerische Ergebnisse präsentiert, die eine Analyse der Auswirkungen von Intensität, Volatilität von Sprüngen und mu j, das die Verteilung von j darstellt, ermöglichen.

Die Erweiterung des Heston-Modells auf das Bates-Modell wird diskutiert. Das Bates-Modell wird verwendet, um das Modell auf alle Marktinformationen zu kalibrieren, was einen Vorteil gegenüber anderen Modellen bietet. Der Code für dieses Modell ist einfach und bietet zusätzliche Flexibilität, insbesondere für Optionen mit kurzer Laufzeit, bei denen die Kalibrierung auf alle Marktinformationen von entscheidender Bedeutung ist. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Bepreisung interessanterer Derivate, wie z. B. des Varianzswap, unter Nutzung der Erkenntnisse aus der Bepreisung von Forward-Start-Optionen oder Performance-Optionen.

Der Redner stellt eine Art Derivat namens Varianzswap vor, das es Anlegern ermöglicht, auf die zukünftige Volatilität eines Vermögenswerts zu wetten. Die Auszahlung eines Varianz-Swaps ist definiert als die Summe der quadrierten logarithmischen Aktienperformances über ein bestimmtes Datumsraster, dividiert durch die vorherige Aktienperformance. Der Dozent stellt fest, dass die ungewöhnliche Formulierung dieser Auszahlung deutlicher wird, wenn sie mit einer stochastischen Differentialgleichung verknüpft wird. Bei der Preisgestaltung dieses Derivats beträgt der Wert des Swaps zu Beginn Null, wenn der Basispreis der konstanten Erwartung entspricht. Darüber hinaus erklärt der Referent, dass die meisten Swaps zum Nennwert gehandelt werden, was bedeutet, dass der Wert des Kontrakts Null ist, wenn zwei Kontrahenten einen Kauf oder Verkauf vereinbaren.

In der Vorlesung wird dann der zeitabhängige Rahmen für das Bates-Modell erörtert und wie es das Integral über die zeitabhängige Volatilität mit der Leistung eines Derivats über die Zeit verbindet. Die Auszahlung ist als quadrierte logarithmische Performance definiert, die dem Integral der Volatilität entspricht. Der Referent erklärt, wie man den dritten Wert eines Vertrags mithilfe des Erwartungswerts von Sigma v zum Quadrat und der stochastischen Differentialgleichungen ermittelt. Darüber hinaus wird der Skalierungskoeffizient von 252 Arbeitstagen als wesentlicher Faktor im Finanzwesen eingeführt.

Abschließend geht der Redner auf den beizulegenden Zeitwert eines Varianz-Swaps ein, bei dem es sich um einen Derivatkontrakt handelt, der es Anlegern ermöglicht, auf die zukünftige Volatilität eines Vermögenswerts zu wetten. Der beizulegende Zeitwert des Swaps kann als Skalierungskoeffizient ausgedrückt werden, der den Zeiträumen von Null bis zur Fälligkeit des Kontrakts entspricht, zuzüglich eines Elements, das den Zinssätzen entspricht, abzüglich des erwarteten Werts von q log st dividiert durch st0. Die Bewertung dieser Erwartung kann durch Monte-Carlo-Simulation oder eine analytische Verteilung der Bestände erfolgen. Es ist interessant festzustellen, dass die Wertentwicklung aller kleinen Intervalle zwar zusammengesetzt ist, sie jedoch dem Verhältnis oder Logarithmus des Werts einer Aktie am Ende dividiert durch den Anfangswert entspricht.

Die Vorlesung deckt ein breites Themenspektrum rund um Forward-Start-Optionen, Performance-Optionen, das Heston-Modell, das Bates-Modell und Varianz-Swaps ab. Es bietet Einblicke in Preisgestaltungstechniken, die Implementierung in Python und die Bedeutung dieser Konzepte bei Finanzderivaten.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt konzentriert sich die Vorlesung auf Forward-Start-Optionen, die etwas komplizierter sind als europäische Optionen. Sie sind eine Art europäische Option, die nicht sofort, sondern in der Zukunft beginnt und als Leistungsoptionen bezeichnet wird. Die Vorlesung behandelt die Einführung von Forward-Start-Optionen, einschließlich ihrer Auszahlungsdefinition und Vorteile im Vergleich zu standardmäßigen europäischen Optionen. Die Preisgestaltungstechniken für Forward-Start-Optionen sind komplexer und die Vorlesung behandelt charakteristische Funktionen. In der Vorlesung werden auch zwei Arten von Forward-Start-Optionen behandelt, eine unter Verwendung von Black-Scholes-Modellen und die anspruchsvollere Preisgestaltung der Forward-Start-Optionen im Rahmen des Heston-Modells. Die Vorlesung endet mit der Implementierung in Python und der Preisgestaltung eines von Volatilitäten abhängigen Produkts. Die Bedeutung europäischer Optionen als Bausteine sowie ihre Kalibrierung und Beziehung zu exotischen Optionen werden diskutiert. In der Vorlesung wird auch das Bates-Modell erwähnt, das mit dem Heston-Modell identisch ist, jedoch zusätzliche Merton-Sprünge aufweist, und die Verwendung von Absicherungsparametern, um gut kalibrierte Modelle sicherzustellen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt werden im Video Forward-Start-Optionen besprochen, die als europäische Optionstypen gelten, jedoch ein zukünftiges Startdatum haben. Der anfängliche Aktienwert bei Forward-Start-Optionen ist unbekannt und wird zum Zeitpunkt t1 bestimmt, im Gegensatz zu europäischen Optionen, bei denen der anfängliche Aktienwert zum Zeitpunkt t0 bekannt ist. Das Konzept der Filterung wird auch im Zusammenhang mit Forward-Start-Optionen erörtert und erläutert, wie diese nicht vom heutigen Wert der zugrunde liegenden Aktie, sondern von der Wertentwicklung eines bestimmten Zeitraums abhängen. Das Video erklärt außerdem, wie Forward-Start-Optionen als Bausteine für andere Derivate verwendet werden können, und schlägt ein Beispiel für eine Strategie vor, um die Kosten eines Derivats zu senken.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Professor den Aufbau eines Elements für eine Click-Option, bei der es sich um ein Derivat handelt, das Investoren aufgrund seiner gewünschten Struktur gefällt. Er definiert auch die Auszahlung der Click-Option und zeigt einen Zusammenhang zwischen europäischen Calls und Forward-Start-Optionen. Darüber hinaus erläutert der Professor, wie wichtig es ist, Zahlungstermine bei der Berechnung des Abzinsungsfaktors für die Preisgestaltung zu ermitteln. Darüber hinaus zeigt er, wie das Verhältnis zweier Aktien als Exponent eines Logarithmus des Verhältnisses umformuliert werden kann.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner die verschiedenen Möglichkeiten zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen, einschließlich Monte-Carlo-Simulation und analytischer Lösungen wie etwa mit dem Black-Scholes-Modell. Der Redner erklärt die Notwendigkeit, die Vorwärtscharakteristikfunktion zu finden, die Preisgestaltungsoptionen für jedes Modell in einer feinen Klasse von Prozessen ermöglicht. Anschließend demonstrieren sie die Preisgestaltung einer Forward-Start-Option anhand der charakteristischen Funktion und der Erwartung eines IU-Logarithmus zweier Aktien. Der Referent erklärt auch, wie die Konditionierung bei der Bestimmung der charakteristischen Funktion auf einem größeren Sigma-Feld erfolgt, wodurch der Exponent mit dem Minus-Logarithmus außerhalb der Erwartung genommen werden kann. Abschließend verwendet der Sprecher bei der Ableitung diskontierte charakteristische Funktionen von T2 bis T1.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Terminwährungsfunktion, die sich auf zukünftige Erwartungen bezieht und als Erwartung auf der risikoneutralen Kennzahl dargestellt werden kann. Sie erklären, dass es beim Umgang mit deterministischen Zinssätzen keinen Unterschied zwischen der diskontierten und der nicht diskontierten Währungsfunktion gibt. Komplizierter wird es jedoch, wenn stochastische Zinssätze eingeführt werden. Der Referent weist darauf hin, dass bei der Ableitung der Forward-Starting-Characteristic-Funktion ein zusätzlicher Erwartungswert berechnet wird, der für die Preisgestaltung von Optionen entscheidend ist. Sie weisen auch darauf hin, dass es für die bei der Preisgestaltung eingesetzten Prozesse wichtig ist, analytische Lösungen für die äußere Erwartung zu ermöglichen, um den Prozess für die praktische Anwendung nutzbar zu machen. Anschließend erörtert der Redner, wie die Vorwärtsstartcharakteristikfunktion auf die schwarzen Scholes- und Heston-Modelle angewendet werden kann.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf der Forward-Start-Währungsfunktion für das Black-Scholes-Modell. Die Preisgestaltung sollte nur von der Performance im Laufe der Zeit und nicht vom anfänglichen Aktienwert abhängen, was bedeutet, dass die Lösung viel einfacher ist als die ursprüngliche Discounted-Währungsfunktion. Bei mehreren Dimensionen ist der Varianzanteil immer noch vorhanden, sodass einige innere Erwartungen gelöst werden müssen. In diesem Abschnitt wird eine genaue Darstellung des Black-Scholes-Modells gezeigt, die bestätigt, dass die Verteilung des Verhältnisses zweier Aktien nicht vom anfänglichen Aktienwert abhängt. Da die Verteilung der logarithmischen Normalität ähnelt, kann sie zu einer geometrischen Brownschen Bewegung mit einem Inkrement von p1 bis t2 vereinfacht werden.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen im Rahmen des Black-Scholes-Modells. Er erklärt, dass das Verhältnis zweier Bestände zu unterschiedlichen Zeiten ebenfalls eine geometrische Brownsche Bewegung ist, da es sich um eine geometrische Brownsche Bewegung handelt. Die Preislösung für Call- und Put-Optionen für Forward-Start-Optionen ähnelt der für europäische Calls und Puts, weist jedoch geringfügige Unterschiede bei der Strike-Anpassung und den für die Diskontierung verwendeten Zeiten auf. Der Redner betont, wie wichtig es ist, bei der Preisberechnung die impliziten Black-Scholes-Volatilitäten zu verwenden, auch wenn andere Modelle verwendet werden, da dies der Marktstandard ist. Er empfiehlt, die beiden Parameter für Forward-Start-Optionen im Auge zu behalten und erinnert die Zuschauer daran, dass Black-Scholes-Preise nach diesem Modell analytisch bekannt sind.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutierte der Redner das Hassle-Modell und wie es die Komplexität der charakteristischen Funktion für die Vorwärtsstartoption erhöht, indem es einen zweiten stochastischen Prozess einführt, der die Varianz darstellt. Der Referent erläuterte, dass diese zweite Dimension bei der Preisgestaltung von Optionen nicht erforderlich sei, da der Fokus nur auf der Randverteilung für den Lagerprozess liege. Nach Vereinfachung und Ersetzung der Zeichenfunktion wurde der Ausdruck für die Terminwährungsfunktion erhalten. Der Redner empfahl, die Folien für das Hassle-Modell noch einmal durchzugehen, um weitere Einzelheiten zu den Funktionen des Ausdrucks zu erfahren.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die momenterzeugende Funktion für einen CIR-Prozess und den geschlossenen Ausdruck für die Vorwärtscharakteristikfunktion im Heston-Modell. Der Sprecher weist darauf hin, dass die momenterzeugende Funktion in geschlossener Form angegeben wird, was vorteilhaft ist, da es eine schnellere Berechnung ermöglicht. Durch Einsetzen der momenterzeugenden Funktion in die Forward-Währungsfunktion leitet der Sprecher einen geschlossenen Ausdruck für die Forward-Characteristic-Funktion ab. Abschließend stellt der Redner ein numerisches Experiment zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen unter Verwendung des Heston-Modells und der abgeleiteten Ausdrücke vor.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner Vorwärtsstartoptionen und das Bates-Modell. Sie erklären, wie der Varianzprozess als dvt angegeben wird und wie die Parameter für Volatilität und Varianz verwendet werden. Der Referent führt zwei Experimente durch, um den Einfluss impliziter Volatilitäten auf die Parameter und den Effekt des Zeitabstands bei Forward-Start-Optionen zu beobachten. Das erste Experiment umfasst ein festes Zeitintervall und das zweite hat einen festen Anfangspunkt, der die Länge des Intervalls erweitert. Die Experimente zeigen die gleiche Form der impliziten Volatilität, jedoch mit unterschiedlichen Niveaus, und mit zunehmendem Abstand konvergiert die Volatilität zur Quadratwurzel der langfristigen Varianz. Die Logik hinter der kürzeren Laufzeit mit einer konzentrierteren Dichte um t1 und t2 wird erklärt, und der Sprecher führt zusätzliche Experimente unter Verwendung eines Codes durch, um implizite Volatilitäten zu vergleichen.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Implementierung der Forward-Characteristic-Funktion und Kostenmethoden zur Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen. Die Vorwärtscharakteristikfunktion wird mithilfe von Lambda-Ausdrücken und verschiedenen Parametern wie den Hastel-Modellen und der Momenterzeugungsfunktion für den CIR-Prozess definiert. Die Kostenmethode für die Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen ähnelt der Kostenmethode für die Preisgestaltung europäischer Optionen, mit einer zusätzlichen Anpassung für die Behandlung zweier unterschiedlicher Zeitpunkte. Der Dozent verrät auch einen Trick, um eine gute erste Schätzung für den Newton-Raphson-Algorithmus zur Berechnung der impliziten Forward-Volatilitäten zu erhalten. Dazu gehört die Definition eines Rasters für Volatilitäten und die Interpolation auf dem Marktpreis.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent den Prozess der Berechnung der vorwärts impliziten Volatilitäten mithilfe der Newton-Raphson-Methode. Die Vorlesung zeigt die Differenz zwischen dem Optionspreis aus dem Modell und dem Marktpreis und verwendet die SciPy-Optimierung, um den Newton-Raphson zu berechnen, der angewendet wird, um die optimale Volatilität zu erhalten, die die implizite Volatilität wäre. Der Abschnitt bestätigt auch, dass der langfristige Mittelwert und die anfängliche Varianz gleich sind und dass die Höhe der impliziten Volatilitäten und der Forward-Input-Volatilität gleich ist. Darüber hinaus diskutiert der Abschnitt das Bates-Modell, eine Erweiterung des Heston-Modells, und betont den zusätzlichen Sprungeffekt, der durch eine unabhängige Zufallsvariable j angetrieben wird, die durch die Poisson-Verteilung gegeben ist.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt wird der Unterschied zwischen dem Heston-Modell und dem Bates-Modell diskutiert. Während sich das Heston-Modell für die Kalibrierung von „Smile and Skew“ bei Aktienoptionen mit längerer Laufzeit eignet, ist dies bei Optionen mit kürzerer Laufzeit, beispielsweise solchen, die in ein oder zwei Wochen verfallen, schwierig. Das Bates-Modell geht dieses Problem an, indem es dem Prozess unabhängige Sprünge hinzufügt, was eine bessere Kalibrierung kurzfristiger Optionen ermöglicht. Obwohl das Modell über viele Parameter verfügt, ist es nicht schwierig, es vom Heston-Modell zu erweitern. Die Log-Transformation ist erforderlich, um die charakteristische Funktion für das Bates-Modell abzuleiten, und es wird darauf hingewiesen, dass das Modell auch mit dem Hinzufügen von Sprüngen immer noch gut kalibriert werden kann.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Redner die Modifikation des Bates-Modells, insbesondere die stochastische Intensität. Der Redner hält es nicht für notwendig, die Intensität stochastisch zu machen, da dies zu unnötiger Komplexität führen würde, ohne die aktuellen Parameter zu untersuchen. Die Intensität im Modell verläuft linear in den Zustandsvariablen und wird als konstante Drift definiert. Das affine Sprungdiffusionsgerüst wird analysiert, Einzelheiten zu den Ableitungen sind im Buch enthalten. Der einzige Unterschied zwischen der charakteristischen Funktion für das Heston- und das Bates-Modell besteht im „a“-Term des Bates-Modells, während zwei Korrekturterme alle Informationen über Sprünge enthalten. Es werden numerische Ergebnisse präsentiert, mit einer Analyse der Auswirkungen der Intensität, der Volatilität von Sprüngen und des mu j, das die Verteilung von j darstellt.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Erweiterung des Heston-Modells auf das Bates-Modell, das zur Kalibrierung des Modells auf alle Marktinformationen verwendet wird und einen Vorteil gegenüber anderen Modellen bietet. Der Code für dieses Modell ist einfach und bietet zusätzliche Flexibilität, insbesondere bei Optionen mit kurzer Laufzeit, bei denen die Kalibrierung auf alle Marktinformationen von entscheidender Bedeutung ist. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Preisgestaltung von weitaus interessanteren Derivaten, wie z. B. dem Varianzswap, unter Nutzung der Erkenntnisse aus der Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen oder Performance-Optionen.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent eine Art Derivat namens Varianzswap, das als Summe der quadrierten Logarithmen der Aktienperformance über ein bestimmtes Datumsraster, dividiert durch die vorherige Aktienperformance, definiert ist. Der Dozent stellt fest, dass die ungewöhnliche Formulierung dieser Auszahlung deutlicher wird, wenn sie mit einer stochastischen Differentialgleichung verknüpft wird. Bei der Preisgestaltung dieses Derivats beträgt der Wert des Swaps zu Beginn Null, wenn der Basispreis dem Erwartungswert entspricht, der eine Konstante ist. Darüber hinaus erklärt der Dozent, dass die meisten Swaps zum Nennwert gehandelt werden, was bedeutet, dass der Wert des Kontrakts Null ist, wenn zwei Kontrahenten einen Kauf oder Verkauf vereinbaren.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Redner den zeitabhängigen Rahmen für das Bates-Modell und wie es das Integral über die zeitabhängige Volatilität mit der zeitlichen Leistung eines Derivats verknüpft. Die Auszahlung ist als Logarithmusleistung im Quadrat definiert, was dem Integral der Volatilität entspricht. Der Referent erklärt außerdem, wie man den dritten Wert eines Vertrags mithilfe des Erwartungswerts von Sigma v zum Quadrat und der stochastischen Differentialgleichungen ermittelt. Darüber hinaus wird der Skalierungskoeffizient von 252 Arbeitstagen als wesentlicher Faktor im Finanzwesen eingeführt.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt erörtert der Redner den beizulegenden Zeitwert eines Varianz-Swaps, eines Derivatkontrakts, der es Anlegern ermöglicht, auf die zukünftige Volatilität eines Vermögenswerts zu wetten. Der beizulegende Zeitwert des Swaps kann als Skalierungskoeffizient ausgedrückt werden, der den Zeiträumen von Null bis zur Fälligkeit des Kontrakts entspricht, zuzüglich eines Elements, das den Zinssätzen entspricht, abzüglich des erwarteten Werts von q log st dividiert durch st0. Um diese Erwartung zu bewerten, kann eine Monte-Carlo-Simulation oder eine analytische Verteilung von Beständen verwendet werden. Es ist interessant festzustellen, dass die Performance, obwohl wir die Performance aller kleinen Intervalle zusammenfassen, dem Verhältnis oder Logarithmus des Werts von a entspricht Bestand am Ende dividiert durch den Anfangswert.

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Computational Finance: Vorlesung 13/14 (Exotische Derivate)

Computational Finance: Vorlesung 13/14 (Exotische Derivate)

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf der Preisgestaltung exotischer Derivate und der Erweiterung von Preismodellen auf pfadabhängige Fälle. Der Hauptgrund für die Ausweitung der Auszahlungsstruktur besteht darin, den Kunden günstigere Preise anzubieten und gleichzeitig den Schwankungen des Aktienmarkts ausgesetzt zu sein. Der Einsatz digitaler Funktionen und Barrieren wird als Mittel zur Reduzierung der Derivatekosten bei gleichzeitiger Aufrechterhaltung des gewünschten Engagements untersucht. Die Vorlesung befasst sich mit verschiedenen Arten von Auszahlungen, darunter binäre und digitale Optionen, Barriereoptionen und asiatische Optionen, und untersucht deren Auswirkungen auf die Derivatepreise. Darüber hinaus diskutiert der Vortrag die Preisgestaltung von Multi-Asset-Optionen und mögliche Modellerweiterungen zur Handhabung von Körben mit Hunderten von Aktien.

Das Preisverfahren für Finanzprodukte wird besprochen, beginnend mit der Produktspezifikation und den Risikofaktoren, die für die Modellierung und Preisgestaltung mithilfe stochastischer Differentialgleichungen wie dem Black-Scholes-Modell, Sprüngen und stochastischen Volatilitätsmodellen erforderlich sind. Abhängig von der Komplexität des Produkts kann für eine genaue Preisfindung ein ein- oder zweidimensionales Gleichungssystem ausreichend sein. Der Prozess umfasst auch Kalibrierung und Absicherung, wobei ein optimaler Satz von Parametern ausgewählt wird, um den Preis des Produkts festzulegen und die Absicherungskosten zu minimieren, wodurch ein Umfeld ohne Arbitrage gewährleistet wird.

Es werden verschiedene Arten von Optionen definiert, wobei der Schwerpunkt auf europäischen Optionen, amerikanischen Optionen und Bermuda-Optionen liegt. Europäische Optionen gelten als grundlegende Bausteine für exotische Derivate, können jedoch schwierig zu timen sein und ein erhebliches Risiko bergen. Amerikanische Optionen bieten mehr Flexibilität und ermöglichen die Ausübung jederzeit, während Bermuda-Optionen die Ausübung nur zu bestimmten Terminen ermöglichen.

Es werden exotische Derivate und pfadabhängige Optionen eingeführt, die von der gesamten Historie einer Aktie abhängen und nicht nur von der Randverteilung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Es hat sich gezeigt, dass die Anpassung der Auszahlungsfunktion mithilfe von Binär- und Digitalwerten die Ableitungswerte deutlich reduziert. Die Vorlesung behandelt verschiedene Arten exotischer Derivate, darunter Vermögenswerte oder nichts, Bargeld oder nichts, Aktien oder nichts, zusammengesetzte Optionen und Auswahloptionen. Bei diesen Optionen wird der Vertrag in irgendeiner Weise eingeschränkt, beispielsweise durch Höchst- oder Mindestbeträge oder andere Einschränkungen, um die Kosten zu kontrollieren. Auch die Beliebtheit exotischer Derivate in der Vergangenheit, insbesondere in Zeiten hoher Zinsen, wird thematisiert.

Es wird eine Strategie zur Erzielung hoher Gewinne durch ein exotisches Derivat erläutert. Die Strategie besteht darin, den Großteil der Anlage auf ein sicheres Konto mit garantierter Rendite zu legen und eine mögliche Optionsauszahlung einzukalkulieren. Obwohl diese Strategie derzeit nicht beliebt ist, hat sie sich in der Vergangenheit als effektiv erwiesen. Die Vorlesung beinhaltet auch Codebeispiele zur Bewertung von Verträgen und zur Reduzierung ihres Wertes durch die Festlegung von Obergrenzen für das potenzielle Aktienwachstum. Der Vortrag zeigt, wie eine kleine Anpassung der Auszahlungsstruktur die Bewertungen erheblich senken und Derivate für Kunden attraktiver machen kann. Durch die Einführung von Barrieren und Pfadabhängigkeiten können Kosten gesenkt werden. Es werden verschiedene Barriereoptionen erörtert, wie z. B. Up-and-Out-, Down-and-Out-, Up-and-In-, Down-and-In-Optionen und ihre Auswirkungen auf die Derivatpreisgestaltung basierend auf dem historischen Verhalten der Aktie.

Es wird das Konzept der Lookback-Optionen untersucht, bei denen der maximale oder minimale Wert einer Aktie über ihre Laufzeit die Auszahlung bei Fälligkeit bestimmt. Lookback-Optionen beinhalten eine Pfadabhängigkeit und können positive Auszahlungen bieten, selbst wenn die Aktie bei Fälligkeit niedriger ist als der Basispreis. In der Vorlesung wird die Implementierung von Lookback-Optionen mithilfe von Monte-Carlo-Simulation und partiellen Differentialgleichungen (PDEs) erläutert, wobei der Schwerpunkt auf speziellen Randbedingungen für Barrier-Optionen und deren Erweiterung auf andere exotische Derivate liegt.

Barriere-Optionen werden ausführlich besprochen und ihre Attraktivität für Kontrahentenkunden sowie ihre Verwendung im Cross-Currency-Markt hervorgehoben. Die Vorlesung erläutert die Konfigurationen und Vorteile von Barriereoptionen, einschließlich Out-, In-, Down- und Up-Optionen. Der Dozent betont, dass Barriereoptionen zeitabhängig sein können, was den Vertrag komplexer macht. Monte-Carlo-Simulation und PDEs werden als Berechnungsmethoden für die Preisgestaltung von Barriereoptionen vorgestellt.

Der Vortrag vergleicht Up-and-Out-Optionen mit europäischen Standardoptionen und weist auf den erheblichen Wertverlust von Up-and-Out-Optionen aufgrund ihrer Barriere-ausgelösten Auszahlung hin. Das Konzept der Up-and-Out-Barriereoptionen wird eingeführt, bei dem die Auszahlung nur erfolgt, wenn die Aktie während ihrer Laufzeit ein bestimmtes Niveau nicht überschreitet. Die Vorlesung demonstriert die Auswirkung einer Barriere auf den Preis eines Derivats anhand einer Programmierübung und zeigt, dass der Preis einer Option mit steigender Barriere dem Preis einer digitalen Option mit einer ähnlichen Auszahlungsstruktur entspricht.

Anschließend erklärt der Dozent die Implementierung einer Up-and-Out-Barriere mittels Monte-Carlo-Simulation. Im Gegensatz zur Auszahlung einer digitalen Option, die nur vom Aktienwert bei Fälligkeit abhängt, berücksichtigt eine Up-and-Out-Barriere auch die Geschichte des Aktienverhaltens während der gesamten Laufzeit des Derivats. Es wird eine Funktion definiert, um mithilfe einer booleschen Matrix und einer logischen Bedingung zu bestimmen, ob die Barriere erreicht wurde. Der resultierende „Treffervektor“ ist ein binärer Vektor, der für jeden Pfad angibt, ob die Barriere getroffen wurde. Der Dozent demonstriert, wie sich eine Änderung des Barrierenwerts auf den Treffervektor auswirkt, und betont, dass die Auszahlung null beträgt, wenn die Barriere erreicht wird, und eins, wenn sie nicht erreicht wird.

Das Konzept der Einführung einer Barriere in Derivatekontrakte wird als eine Möglichkeit erklärt, deren Wert zu verringern und Kunden, die ein Engagement in einem bestimmten Vermögenswert anstreben, eine günstigere Option zu bieten. Das Vorhandensein einer Barriere hat erhebliche Auswirkungen auf den Wert des Derivats und kann möglicherweise zu Verlusten führen, wenn die Aktie das festgelegte Niveau nicht überschreitet. Allerdings können durch den Einbau von Barrieren die Preise für Derivate um ca. 30 % gesenkt werden, was sie für Anleger attraktiver macht. Dennoch können diskontinuierliche Derivate mit Barrieren Herausforderungen hinsichtlich der Absicherungskosten mit sich bringen, die ins Unendliche steigen können. Um dieses Problem zu entschärfen, schlägt der Dozent vor, die Auszahlung mithilfe alternativer Methoden zu reproduzieren, um die Kosten zu senken.

Das Video stellt das Konzept der Nachbildung der digitalen Funktion einer Option durch den strategischen Kauf und Verkauf von Call-Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen vor. Wenn sich die Ausübungspreise einander annähern, ähnelt die resultierende Auszahlung eher einer digitalen Option. Der Dozent erkennt jedoch die Schwierigkeiten an, die Diskontinuität von Optionen aufgrund von Änderungen der Delta- und Gamma-Empfindlichkeiten genau nachzubilden. Während zur Absicherung Näherungswerte verwendet werden können, ist es wichtig, Prämien zu erheben, um potenzielle Absicherungsverluste auszugleichen, die durch die digitale Natur der Option verursacht werden. Das Video betont das Konzept der Reduzierung der Derivatkosten durch die Einführung digitaler Beschränkungen oder eine Änderung der Auszahlungsstruktur.

Anschließend wird in der Vorlesung auf asiatische Optionen als Mittel zur Reduzierung der mit einem Basiswert verbundenen Volatilität und Unsicherheit eingegangen, wodurch der Preis von Derivaten gesenkt werden kann. Asiatische Optionen basieren auf dem durchschnittlichen Verhalten einer schwankenden Aktie, die tendenziell gleichmäßiger ist als die Aktie selbst, wodurch die damit verbundene Unsicherheit verringert wird. Der Dozent untersucht verschiedene Varianten der auf dem Markt verfügbaren asiatischen Optionen, einschließlich Calls und Puts mit festem und variablem Ausübungspreis. Insbesondere variable Ausübungsoptionen erfreuen sich im Rohstoffhandel großer Beliebtheit, da sie die Unsicherheit verringern und die mit einem bestimmten zugrunde liegenden Vermögenswert verbundenen Risiken mindern können.

Der Referent erläutert außerdem die verschiedenen Methoden zur Berechnung des Durchschnitts einer Aktie und hebt deren Bedeutung für den Handel hervor. Es werden zwei Arten von Durchschnittswerten eingeführt, arithmetische und geometrische, wobei der geometrische Durchschnitt aufgrund seines analytischen Ausdrucks für die mathematische Analyse bevorzugt wird. In der Praxis werden häufig Summationen verwendet, was Näherungstechniken wie Monte-Carlo-Simulation oder PDEs erfordert. Die Vorlesung befasst sich auch mit dem Konzept des kontinuierlichen Durchschnitts, der sich vom arithmetischen Durchschnitt durch seine integrale Darstellung unterscheidet, wodurch das Preisproblem um eine zusätzliche Dimension erweitert und seine Lösung komplexer wird.

Der Fokus verlagert sich dann auf die Preisgestaltung asiatischer Optionen, was bedeutet, von einem eindimensionalen Problem wegzukommen und höherdimensionale Überlegungen einzubeziehen. Asiatische Optionen führen zwei unabhängige Variablen ein: den Aktienkurs und das Integral der Aktie. Die Auszahlung der Option hängt vom beobachteten Integral oder Pfad von Null bis zur Fälligkeit ab, wobei die Zahlung bei Fälligkeit erfolgt. In der Vorlesung wird anerkannt, dass die Preisgestaltung exotischer Derivatkontrakte mit vom Endteil abhängigen Mengen eine Herausforderung darstellen kann und fortgeschrittenere Techniken erfordert. Allerdings ist die Delta-Absicherung trotz der Komplexität, die asiatische Optionen mit sich bringen, immer noch wirksam, um angemessene Absicherungskoeffizienten zu erreichen. Der Dozent erörtert den Einsatz der Monte-Carlo-Simulation zur Preisgestaltung asiatischer Optionen und hebt deren Flexibilität bei der Behandlung hochdimensionaler Probleme hervor. Durch die Simulation mehrerer Aktienkurspfade und die Berechnung der durchschnittlichen Auszahlung kann die Monte-Carlo-Simulation eine Schätzung des Optionspreises liefern. Der Vortrag erwähnt auch die potenziellen Herausforderungen der Monte-Carlo-Simulation, wie etwa Konvergenzprobleme und die Notwendigkeit einer ausreichenden Anzahl von Pfaden, um genaue Ergebnisse zu erhalten.

Anschließend geht der Dozent auf eine andere Art exotischer Optionen ein, die sogenannte Barrier-Option mit Rabatt. Diese Option hat eine ähnliche Struktur wie die zuvor besprochene Barriere-Option, jedoch mit einer zusätzlichen Rückerstattungszahlung, wenn die Barriere erreicht wird. Das Vorhandensein des Rabatts entschädigt den Optionsinhaber, wenn die Barriere durchbrochen wird, und mindert mögliche Verluste. Der Vortrag erläutert, dass die Rückzahlung die Kosten der Option senkt und sie für Anleger attraktiver macht.

Um Barrier-Optionen mit Rabatten zu bewerten, führt der Dozent das Konzept einer Reverse-Knock-out-Option ein, die die Umkehrung einer Knock-out-Option darstellt. Die Reverse-Knock-out-Option zahlt einen Rabatt, wenn die Barriere nicht erreicht wird. Durch Bepreisung der Reverse-Knock-out-Option und Abzug der Rabattzahlung kann der Preis der Barrier-Option mit Rabatt ermittelt werden. Das Video zeigt ein Beispiel für die Implementierung dieser Preismethode mithilfe der Monte-Carlo-Simulation.

In der gesamten Vorlesung wird betont, wie wichtig es ist, exotische Derivatkontrakte zu verstehen und effektiv zu bewerten. Exotische Optionen bieten Anlegern Flexibilität und maßgeschneiderte Lösungen, ihre Preisgestaltung und ihr Risikomanagement erfordern jedoch ausgefeilte Modelle und Techniken. Der Vortrag schließt mit der Hervorhebung des Bedarfs an weiterer Forschung und Entwicklung in diesem Bereich sowie der Bedeutung der Zusammenarbeit zwischen Wissenschaft und Industrie, um die Methoden zur Preisgestaltung von Derivaten zu verbessern und den sich verändernden Bedürfnissen der Marktteilnehmer gerecht zu werden.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf der Preisgestaltung exotischer Derivate und der Ausweitung der Preismodelle auf pfadabhängige Fälle. Die Notwendigkeit einer Verlängerung der Auszahlung entsteht, wenn Kunden günstigere Preise für das Derivat wünschen, aber dennoch das gleiche Risiko gegenüber den Schwankungen des Aktienmarktes haben möchten. Der Einsatz digitaler Funktionen und Barrieren wird untersucht, was eine Reduzierung der Derivatkosten ermöglicht und gleichzeitig die Nutzung gewünschter Funktionen ermöglicht. Anschließend geht es in der Vorlesung um die verschiedenen Arten von Auszahlungen, wie z. B. binäre und digitale Optionen, Barriereoptionen und asiatische Optionen, und wie sie sich auf den Preis des Derivats auswirken. Abschließend werden Multi-Asset-Optionen diskutiert, einschließlich möglicher Erweiterungen der Modelle, um Körbe mit Hunderten von Aktien zu verwalten.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung über exotische Derivate im Computational Finance liegt der Schwerpunkt auf dem Preisverfahren für Finanzprodukte. Es beginnt mit der Spezifikation des Produkts und der Risikofaktoren, die für die Modellierung und Preisgestaltung unter Verwendung mehrerer stochastischer Differentialgleichungen wie dem Black-Scholes-Modell, Sprüngen und stochastischen Volatilitätsmodellen erforderlich sind. Abhängig von der Komplexität des Produkts kann ein ein- oder zweidimensionales Gleichungssystem ausreichen, um das Derivat genau zu beschreiben oder zu bewerten. Der Prozess umfasst auch Kalibrierung und Absicherung, wobei ein optimaler Parametersatz ausgewählt wird, um das Produkt zu bepreisen und zur Absicherung zu verwenden. Um eine Welt ohne Arbitrage zu gewährleisten, sollten die Absicherungskosten nicht höher sein als die des an den Kunden verkauften Derivats.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent die Definitionen verschiedener Optionen. Es werden vier Hauptkategorien von Optionen abgedeckt, darunter europäische Optionen, die eine Ausübung nur zu einem Zeitpunkt ermöglichen, amerikanische Optionen, die eine Ausübung zu jedem Zeitpunkt ermöglichen, und Bermuda-Optionen, die eine Ausübung zu bestimmten Terminen ermöglichen. Der Referent erklärt weiter, dass europäische Optionen am beliebtesten seien und grundlegende Bausteine für alle Arten exotischer Derivate seien. Sie sind jedoch schwer zu timen und können sehr riskant sein. Der Redner weist darauf hin, dass amerikanische Optionen jederzeit ausgeübt werden können, während Bermuda-Optionen die Ausübung nur zu bestimmten Terminen erlauben.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt lernen wir exotische Derivate und pfadabhängige Optionen kennen, bei denen es sich um Verträge handelt, die von der gesamten Geschichte einer Aktie abhängen. Diese Verträge sind nicht nur an der Randverteilung zu einem bestimmten Zeitpunkt interessiert, sondern basieren auf vergangenen Abhängigkeiten, und jeder Pfad bestimmt den Wert des Vertrags. Eine Möglichkeit, die Kosten eines Derivats zu senken, besteht in der Verwendung von Binär- und Digitalwerten, bei denen es sich um Optionen mit diskontinuierlicher Auszahlung bei Ablauf handelt. Durch die Verwendung dieser Techniken zur Anpassung der Auszahlungsfunktion kann der Wert des Derivats erheblich reduziert werden. Diese einfache Anpassung eliminiert die Wahrscheinlichkeit extremer Ergebnisse, was letztendlich dazu führt, dass die Preise dieser Verträge niedriger sind.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt werden im Video verschiedene Arten exotischer Derivate besprochen, darunter Vermögenswerte oder nichts, Bargeld oder nichts, Aktien oder nichts und zusammengesetzte Optionen. Zusammengesetzte Optionen ermöglichen die Wahl des Werts einer Option bei Fälligkeit mit einer anderen Laufzeit, während Auswahloptionen es Anlegern ermöglichen, zwischen einer Put- oder Call-Option zu wählen. Das Video betont, dass diese Art von Optionen eine gewisse Einschränkung des Vertrags beinhalten, beispielsweise durch Höchst- und Mindestbeträge oder andere Einschränkungen zur Kostenkontrolle. Das Video erwähnt auch die Popularität exotischer Derivate in der Vergangenheit, insbesondere in Zeiten hoher Zinsen.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent eine Strategie zur Erzielung hoher Gewinne durch ein exotisches Derivat, das in Ungnade gefallen ist. Die Strategie besteht darin, 95 % der Investition auf ein sicheres Konto mit garantierter Gesamtrendite zu legen und eine mögliche Optionsauszahlung einzukalkulieren. Obwohl die Strategie derzeit nicht beliebt ist, war sie in der Vergangenheit sehr effektiv. Anschließend erklärt der Redner den Code zur Bewertung von Verträgen und zur Reduzierung des Vertragswerts durch Festlegung einer Obergrenze für das potenzielle Aktienwachstum. Die Demonstration verwendet eine generische Auszahlungsfunktion, die im Handumdrehen geändert werden kann, um ihre Auswirkungen auf die Preisgestaltung zu veranschaulichen.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erläutert der Dozent, wie eine kleine Anpassung einer Auszahlung die Bewertungen erheblich senken und sie für den Kunden attraktiver machen kann. Durch die Einführung einer Begrenzung des höheren Potenzials kann sich der Wert der Auszahlung um mehr als das Dreifache verringern, obwohl sich der potenzielle Gewinn für den Kunden verringert. Darüber hinaus spricht er darüber, wie die Kosten eines Derivatpreises gesenkt werden können, indem man es durch die Einführung einer Pfadabhängigkeit barriereabhängig macht. Der Vertrag zahlt sich grundsätzlich nur dann aus, wenn der Bestand über die gesamte Laufzeit das Limit oder den Zustand nicht erreicht hat oder als Null ausläuft. Es gibt verschiedene Möglichkeiten wie einen Up-and-Out-, Down-and-Out-Call, Up-and-In-Call, Down-and-In-Call oder Put-Optionen, und er erklärt, wie man sich auf die Geschichte der Aktie im Laufe der Zeit verlässt t0 bis Fälligkeit bestimmt den Endwert der Auszahlung.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf exotischen Derivaten, insbesondere der Lookback-Option. Bei dieser Option handelt es sich um ein Maximum einer Aktie über die gesamte Laufzeit, wobei die Auszahlung bei Fälligkeit dem in der Vergangenheit beobachteten Höchstwert entspricht. Diese Struktur beinhaltet eine Pfadabhängigkeit, die eine positive Auszahlung ermöglicht, selbst wenn die Aktie bei Fälligkeit niedriger ist als der Basispreis. Ebenso kann ein Mindestwert der Aktie für eine Put-Option verwendet werden. Die Lookback-Option ist in Monte Carlo relativ einfach zu implementieren, und für Barriere-Optionen können partielle Differentialgleichungen verwendet werden, wobei spezielle Randbedingungen erforderlich sind. Die Einführung von Barrieren und Fenstern zum Überqueren von Barrieren kann auch in andere exotische Derivate wie Knock-Ins und Knockouts integriert werden.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf Barriereoptionen und deren Attraktivität für Gegenparteikunden ein. Diese Verträge können attraktiv sein, sie müssen sich jedoch auf liquide Basiswerte stützen, um Geld-Brief-Spannen zu vermeiden. Barrier-Optionen werden häufig auf dem Währungsmarkt eingesetzt und können für Spekulationszwecke in Betracht gezogen werden. Der Redner erklärt verschiedene Konfigurationen und Vorteile von Barriereoptionen, einschließlich Optionen nach außen, innen, unten und oben. Sie erwähnen, dass die Barriere zeitabhängig sein kann, um den Vertrag komplexer zu machen. Die Berechnung für Monte Carlo ist relativ einfach, während PDEs die Anpassung von Randbedingungen erfordern.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt geht es in der Vorlesung um exotische Derivate wie Up- und Out-Optionen und deren Unterschiede zu europäischen Standardoptionen. Up- und Out-Optionen zahlen sich nur dann aus, wenn die Barriere ausgelöst wird, was bedeutet, dass sie im Vergleich zu europäischen Optionen deutlich an Wert verlieren. In der Vorlesung wird auch das Konzept der Up-and-Out-Barrier-Optionen vorgestellt, bei denen die Auszahlung nur erfolgt, wenn die Aktie während ihrer Laufzeit ein bestimmtes Niveau nicht überschreitet. Die Auswirkung einer Barriere auf den Preis eines Derivats wird auch durch eine Programmierübung untersucht, wobei der Preis für die steigende und ausgehende Barriere dem Preis einer digitalen Auszahlungsbewertung entspricht.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Implementierung einer Up-and-Out-Barriere mittels Monte-Carlo-Simulation. Im Gegensatz zu einer digitalen Auszahlung, die nur vom Aktienwert bei Fälligkeit abhängt, berücksichtigt eine Up-and-Out-Barriere auch die Geschichte des Aktienverhaltens über die Laufzeit des Derivats. Die Funktion zur Feststellung, ob die Barriere erreicht wurde, wird mithilfe einer booleschen Matrix und einer logischen Bedingung definiert. Der resultierende Treffervektor ist ein Null- und Eins-Vektor, der angibt, ob die Barriere für jeden Pfad getroffen wurde. Der Dozent zeigt, wie sich eine Änderung des Barrierenwerts auf den resultierenden Treffervektor auswirkt und betont, dass die Auszahlung Null beträgt, wenn die Barriere erreicht wird, und eins, wenn sie nicht erreicht wird.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt wurde das Konzept einer Barriereoption als Möglichkeit untersucht, den Wert von Derivaten zu verringern und Kunden mit einem gewissen Engagement in einem bestimmten Vermögenswert eine günstigere Alternative zu bieten. Das Vorhandensein einer Barriere hatte erhebliche Auswirkungen auf den Wert des Derivats und führte zu einem potenziellen Verlust, wenn die Aktie ein bestimmtes Niveau nicht überschritt. Durch die Einführung einer Barriere sank der Preis von Derivaten um rund 30 %, was sie für Anleger attraktiver machte. Bei diskontinuierlichen Derivaten könnten die Absicherungskosten jedoch ins Unendliche steigen, was den Kunden vor Probleme stellt. Eine mögliche Lösung hierfür besteht darin, die Auszahlung mit einer etwas anderen Methode zu reproduzieren, um die Kosten zu senken.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt stellt das Video die Idee vor, die digitale Funktion einer Option durch den Verkauf und Kauf von Call-Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen zu reproduzieren. Je näher die Streiks kommen, desto digitaler wird die Auszahlung. Es gibt jedoch einige Schwierigkeiten bei der Nachbildung der Diskontinuität bei den Optionen aufgrund von Änderungen der Delta- und Gamma-Empfindlichkeiten. In dem Video wird darauf hingewiesen, dass Näherungswerte zwar zur Absicherung verwendet werden können, es jedoch wichtig ist, Prämien zu erheben, um potenzielle Absicherungsverluste aufgrund der Digitalität auszugleichen. Das Konzept, die Kosten von Derivaten durch die Einführung digitaler Beschränkungen oder eine Änderung der Auszahlungsstruktur zu senken, wird ebenfalls diskutiert.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man die mit einem Basiswert verbundene Volatilität und Unsicherheit reduzieren kann, was durch die Einführung asiatischer Optionen, Optionen im Durchschnitt, den Preis von Derivaten senkt. Er erklärt, dass die durchschnittliche Kurve einer schwankenden Aktie glatter ist als die Aktie selbst, wodurch die damit verbundene Unsicherheit kleiner wird. Der Dozent erörtert außerdem die verschiedenen möglichen Varianten asiatischer Optionen, die auf dem Markt verfügbar sind, einschließlich Calls und Puts mit festem und variablem Ausübungspreis, wobei variable Ausübungsoptionen im Rohstoffhandel beliebt sind, da sie die mit dem jeweiligen Niveau des Basiswerts verbundenen Unsicherheiten und Risiken verringern Anlage.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Referent die verschiedenen Möglichkeiten zur Berechnung des Durchschnitts einer Aktie, was ein wichtiger Aspekt ist, der beim Handel berücksichtigt werden muss. Die beiden Arten von Durchschnittswerten sind der arithmetische und der geometrische Durchschnitt, wobei letzterer aufgrund seines analytischen Ausdrucks für die mathematische Analyse bevorzugt wird. In der Praxis handelt es sich bei den Produkten jedoch häufiger um Summationen, die Näherungstechniken wie Monte Carlo oder PDEs erfordern. Darüber hinaus geht der Referent auf das Konzept des kontinuierlichen Durchschnitts ein und wie dieser sich aufgrund seiner integralen Darstellung vom arithmetischen Durchschnitt unterscheidet. Die integrale Darstellung verleiht dem Preisproblem eine zusätzliche Dimension und macht seine Lösung komplizierter.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Preisgestaltung asiatischer Optionen, die sich von einem eindimensionalen Preisproblem entfernt und ein höherdimensionales Problem beinhaltet, da es zwei unabhängige Variablen betrifft: den Aktienkurs und das Integral der Aktie. Die Auszahlung der Option hängt vom beobachteten Integral oder Pfad von Null bis T ab, wobei die Zahlung bei Fälligkeit erfolgt. Die vom letzten Teil abhängigen Größen in exotischen Derivatkontrakten können in Form geschrieben werden, aber leider ist das Gleichungssystem nicht in Ordnung, was bedeutet, dass fortgeschrittenere Techniken erforderlich sind, um die Option zu bewerten und zu bewerten. Trotz der Unsicherheit reicht die Delta-Absicherung jedoch immer noch aus, um die richtigen Absicherungskoeffizienten zu erhalten.
  
  
• 01:20:00 In diesem Abschnitt wird die Dynamik für ein Portfolio mit einem asiatischen Optionsderivat besprochen. Das Portfolio umfasst zwei Dimensionen für die Aktie und den Optionskontrakt, was bedeutet, dass eine PDE mit zwei Dimensionen verwendet werden muss. Die Dynamik des Portfolios umfasst eine generische Funktion einer Aktie und die Ableitung eines Derivats einer asiatischen Option. Bei der Absicherung asiatischer Optionen wird ein Delta gewählt, das dem Derivat entspricht. Die PDE für die Preisgestaltung einer asiatischen Option erweist sich aufgrund der zusätzlichen Dimension, die berücksichtigt werden muss, als komplizierter als für eine europäische Option. Der Code zur Implementierung asiatischer Optionen und zur Berechnung des reduzierten Volatilitätsunsicherheitseffekts wird ebenfalls angezeigt.
  
  
• 01:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent die Varianz einer Aktie bei Fälligkeit und wie sie sich auf die Preisgestaltung auswirkt. Eine geringere Volatilität führt zu einem niedrigeren Preis, während ein Anstieg der Volatilität zu höheren Preisen führt. Die Vorlesung befasst sich auch mit Korboptionen und wie es sich dabei um eine Ansammlung von Aktien handelt, die positiv oder negativ korrelieren. Basket-Optionen erfreuen sich zunehmender Beliebtheit und können dazu beitragen, die Anlagerisiken in Portfolios zu verringern. Korrelationen zwischen verschiedenen zugrunde liegenden Aktien können das Risiko weiter verringern und zu mehr potenziellen Investitionen führen.
  
  
• 01:30:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung über exotische Derivate geht der Professor auf Basket-Optionen und deren Varianten ein. Bei diesen Optionen handelt es sich um eine Reihe von Aktien, die ein Anleger in seinen Warenkorb aufnehmen möchte, mit Call-Optionen auf den Vermögenswert mit der besten Wertentwicklung oder Umtauschoptionen, die auf der Differenz zweier zugrunde liegender Aktien basieren. Ziel dieser Optionen ist es, eine bessere Performance als der Hauptindex zu erzielen, um Investoren anzulocken. Die Bepreisung dieser hochdimensionalen Derivate ist jedoch sehr komplex und erfordert häufig numerische Techniken, da sie nicht analytisch gelöst werden können. Das Vorhandensein von Dividenden erschwert auch die Dynamik der Aktie. Der Professor betont, dass hochdimensionale PDEs zeitaufwändig und schwierig zu lösen sind, insbesondere für Körbe, die aus Hunderten von zugrunde liegenden Aktien bestehen.
  
  
• 01:35:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Herausforderungen bei der Lösung eines hochdimensionalen Problems im Zusammenhang mit Multi-Asset-Optionen. Diese Herausforderungen entstehen, wenn die Dimensionen zunehmen, was zu einem Fluch der Dimensionalität führt. Monte-Carlo-Techniken sind ein beliebter Ansatz zur Lösung solch komplizierter Probleme. In Fällen, in denen Korrelationen kalibriert werden müssen, kann dies anhand historischer Daten oder mithilfe verschiedener Derivate, beispielsweise exotischer Derivate, erfolgen. Darüber hinaus weist der Dozent darauf hin, dass man bei PDs ihren Ansatz durch numerische Techniken wie adaptive Gitter und Parallelisierung verbessern kann. Wenn die Dimension jedoch zu hoch ist, kann keine dieser Techniken verwendet werden und Monte Carlo wäre der beste Ansatz, um diese Art von Problem zu lösen.

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Computational Finance: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung der Vorlesung)

Computational Finance: Vorlesung 14/14 (Zusammenfassung der Vorlesung)

Die Reihe zum Thema Computational Finance endete mit einer umfassenden Zusammenfassung der wichtigen Themen, die in jeder Vorlesung behandelt wurden. Der Kurs umfasste ein breites Themenspektrum, darunter stochastische Differentialgleichungen, implizite Volatilitäten, Sprungdiffusionen, affine Klassen von Diffusionsprozessen, stochastische Volatilitätsmodelle und Fourier-Transformationen für Optionspreise. Es befasste sich auch mit numerischen Techniken wie Monte-Carlo-Simulationen und verschiedenen Absicherungsstrategien.

In den späteren Vorlesungen verlagerte sich der Schwerpunkt auf Forward-Start-Optionen und exotische Derivate, wobei die im Laufe des Kurses erworbenen Kenntnisse auf die Strukturierung dieser komplexen Finanzprodukte angewendet wurden. Die ersten Vorlesungen boten eine Einführung in den Kurs und diskutierten grundlegende Prinzipien des Financial Engineering, verschiedene Märkte und Anlageklassen. In der zweiten Vorlesung ging es speziell um verschiedene Arten von Optionen und Absicherungsstrategien, wobei der Schwerpunkt auf Rohstoffen, Währungen und Kryptowährungen lag.

Die Preisgestaltung von Call- und Put-Optionen und ihr Zusammenhang mit der Absicherung waren während des gesamten Kurses ein zentrales Thema. Der Dozent betonte, dass der Preis einer Absicherungsstrategie immer dem Preis eines Derivats entsprechen sollte, um Arbitragemöglichkeiten zu vermeiden. Die mathematischen Aspekte der Modellierung verschiedener Anlageklassen, einschließlich Vermögenspreisen und Zufallsmessung, wurden diskutiert. Stochastische Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und das Itô-Lemma wurden als wichtige Werkzeuge für die Preisgestaltung von Finanzinstrumenten hervorgehoben. Außerdem wurden Python-Simulationen demonstriert, die zeigen, wie stochastische Differentialgleichungen das reale Verhalten von Aktienbewegungen für Preiszwecke simulieren können. Es wurden die Vor- und Nachteile des Black-Scholes-Modells angesprochen, wobei die Notwendigkeit einer ganzheitlichen Perspektive betont wurde, um Konsistenz im Portfoliomanagement und in den Absicherungsstrategien sicherzustellen.

Martingales wurden wiederholt als entscheidendes Konzept bei der Optionspreisgestaltung hervorgehoben, und weitere wichtige Themen, die im Kurs behandelt wurden, waren das Black-Scholes-Modell, die implizite Volatilität, die Konvergenz des Newton-Raphson-Algorithmus und die Grenzen der zeitabhängigen Volatilität. Die praktische Anwendung der Python-Codierung zur Überprüfung, ob ein simulierter Prozess ein Martingal ist, und die Auswirkungen von Maßnahmen auf die Drift wurden untersucht. Der Kurs bot einen tiefen Einblick in die Preisgestaltung einfacher europäischer Optionen und zeigte, wie verschiedene Modelle und Maßnahmen zur Berechnung ihrer Preise eingesetzt werden können.

Die Einschränkungen des Black-Scholes-Modells wurden diskutiert, insbesondere im Zusammenhang mit der Einbeziehung von Sprüngen in das Modell. Sprünge können zwar die Kalibrierung der impliziten Volatilitätsflächen verbessern und einen Versatz erzeugen, sie führen jedoch auch zu Komplexität und verringern die Absicherungseffizienz. Stochastische Volatilitätsmodelle wie das Heston-Modell wurden eingeführt, um die Flexibilität des Modells bei der Kalibrierung und Preisgestaltung exotischer Optionen zu erhöhen. Darüber hinaus wurde eine schnelle Preisfindungstechnik als Lösung vorgestellt. In der Vorlesung wurden auch die Bedingungen dargelegt, die Modelle bzw. stochastische Differentialgleichungen erfüllen müssen, um innerhalb der affinen Modelle in Fourier-Transformationen verwendet zu werden.

Zwei wichtige Modelle zur Bewertung von Aktien und Aktien wurden diskutiert: die affine Klasse von Diffusionsprozessen und das stochastische Volatilitätsmodell, konkret das Heston-Modell. Die affine Klasse von Diffusionsprozessen ermöglicht eine schnelle Kalibrierung europäischer Optionen, während das Heston-Modell Flexibilität bei der Kalibrierung der gesamten Oberfläche impliziter Volatilitäten europäischer Optionen bietet. Der Vortrag behandelte die Auswirkungen und Vorteile der Korrelation in den Modellen, die Preisgestaltung der PDE und die Verwendung von Fourier-Transformationen für die Preisgestaltung, wenn ein Modell zur affinen Klasse von Prozessen gehört. Das Verstehen und Nutzen dieser Modelle wurde als wertvolle Fähigkeiten im Bereich Computational Finance hervorgehoben.

Die Preisgestaltung europäischer Optionen mit Schwerpunkt auf Call- und Put-Optionen stand im Mittelpunkt eines weiteren Vortrags. Die Verwendung einer charakteristischen Funktion und die Fähigkeit, Systeme komplexwertiger ODEs zu lösen, wurden ebenso hervorgehoben wie die Bedeutung numerischer Techniken zum Erhalten von Lösungen. Im Hinblick auf praktische Anwendungen und die Akzeptanz in der Industrie wurde Wert darauf gelegt, ein gutes Modell mit effizienter Kalibrierung und Bewertung in Einklang zu bringen. Die Vorteile der Cos-Methode der Fourier-Transformation für die Preisgestaltung wurden zusammen mit ihrer Implementierung in Vital diskutiert. Auch eine effiziente Kalibrierung und die Nutzung von Monte-Carlo-Simulationen für die Preisgestaltung wurden empfohlen.

Monte-Carlo-Sampling bei der Preisgestaltung exotischer Derivate wurde in einer anderen Vorlesung ausführlich untersucht. Die Herausforderungen, die sich aus mehreren Dimensionen, Modellkomplexität und Rechenkosten für eine genaue Preisgestaltung ergeben, wurden angegangen. Die Monte-Carlo-Simulation wurde als alternativer Preisansatz vorgestellt, wobei der Schwerpunkt auf der Reduzierung von Fehlern und der Verbesserung der Genauigkeit liegt. Die Vorlesung behandelte verschiedene Aspekte der Monte-Carlo-Probenahme, darunter Integration, stochastische Integration und Kalibrierungsmethoden wie Euler- und Milstein-Verfahren. Die Bewertung der Glätte der Auszahlungsfunktionen und das Verständnis schwacher und starker Konverter wurden als entscheidend für die Gewährleistung einer genauen Preisgestaltung hervorgehoben.

Der dem Heston-Modell gewidmete Vortrag erörterte seine Flexibilität bei der Kalibrierung, die Modellierung der impliziten Volatilitätsoberfläche und die effiziente Monte-Carlo-Simulation. Der Vortrag ging auch auf die nahezu exakte Simulation des Heston-Modells ein, das mit der exakten Simulation des Cox Ingersoll Ross (CIR)-Prozesses für den Varianzprozess zusammenhängt. Während die Diskretisierungsmethoden von Euler und Milstein möglicherweise Probleme mit dem CIR-Prozess haben, gibt es effiziente Möglichkeiten, die Simulation durchzuführen. Der Vortrag betonte die Bedeutung der Berücksichtigung eines realistischen Simulationsmodells, insbesondere bei der Delta-Absicherung und der Berücksichtigung von Marktsprüngen.

Das Konzept der Absicherung im Finanzbereich wurde in einem separaten Video ausführlich untersucht. Bei der Absicherung geht es darum, Risiken und potenzielle Verluste durch die Verwaltung eines Portfolios und die aktive Pflege des Kontrakts nach dem Handel zu reduzieren. Das Video unterstrich die Bedeutung der Absicherung, die über die Preisgestaltung hinausgeht und ein kontinuierliches Risikomanagement bis zur Vertragslaufzeit umfasst. Es wurden die Delta-Absicherung und die Auswirkungen von Marktsprüngen erörtert, wobei die Bedeutung der Verwendung eines realistischen Modells für eine genaue Simulation betont wurde.

Die Grenzen des Delta-Hedgings wurden in einem anderen Vortrag angesprochen und die Notwendigkeit hervorgehoben, für komplexere Derivate auch andere Arten des Hedgings, wie etwa Gamma- und Vega-Hedging, in Betracht zu ziehen. Die Berechnung von Sensitivitäten und Methoden zur Verbesserung ihrer Effizienz, einschließlich endlicher Differenzen, Pfadsensitivitäten und Wahrscheinlichkeitsquotienten, wurden behandelt. Der Vortrag befasste sich auch mit der Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen und den Herausforderungen, die mit der Preisgestaltung von Optionen bei unsicheren Anfangsbeständen verbunden sind. Der Optionswert wurde mithilfe charakteristischer Funktionen abgeleitet und die Vorlesung endete mit einer Diskussion über implizite Volatilitäten und deren Implementierung in Python.

Der Vortrag über zusätzliche Sprünge in Finanzmodellen, insbesondere das Heston-Modell, untersuchte deren Auswirkungen auf Parameterkalibrierung und Absicherungsstrategien. Varianz-Swaps und Produkte von Volatilitäten wurden ebenfalls diskutiert, wobei der Schwerpunkt auf der Beziehung zwischen der seltsamen Darstellung, Varianz-Swap-Verträgen und bedingten Erwartungen unter Verwendung der Black-Scholes-Dynamik lag. Darüber hinaus befasste sich die Vorlesung mit der Strukturierung von Produkten mithilfe verschiedener Techniken wie binären und digitalen Optionen, pfadabhängigen Optionen, Barriereoptionen und asiatischen Optionen. Es ging auch um die Preisgestaltung von Verträgen mit mehreren Vermögenswerten. Diese Vorlesung diente als Zusammenfassung des im Laufe des Kurses erworbenen Wissens und bildete eine Grundlage für die zukünftige Bewältigung komplexerer Derivate.

Im letzten Teil gratulierte der Redner den Zuschauern zum erfolgreichen Abschluss aller 14 Vorträge und zum Erwerb von Kenntnissen in Computational Finance, Financial Engineering und Derivate-Preisgestaltung. Die Zuschauer wurden ermutigt, ihr neu gewonnenes Fachwissen in der Praxis anzuwenden oder über weitere Kurse nachzudenken, um ihr Wissen zu erweitern. Der Redner wünschte ihnen eine erfolgreiche Karriere im Finanzwesen und war überzeugt, dass sie für ihre zukünftigen Aufgaben gut vorbereitet seien.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt fasst der Redner die gesamte Reihe zum Thema Computational Finance zusammen, indem er die wichtigen Themen hervorhebt, die in jeder Vorlesung behandelt werden. Die Reihe deckte ein breites Spektrum an Computational-Finance-Themen ab, wie zum Beispiel stochastische Differentialgleichungen, implizite Volatilitäten, Sprungdiffusionen, affine Klasse von Diffusionsprozessen, stochastische Volatilitätsmodelle und Fourier-Transformationen für Optionspreise. Der Redner diskutierte auch numerische Techniken wie Monte-Carlo-Simulationen und Absicherungsstrategien. In den letzten Vorträgen ging es um Forward-Start-Optionen und exotische Derivate, wobei der Referent das im Laufe des Kurses erworbene Wissen auf die Strukturierung dieser Produkte anwendete. Die ersten beiden Vorlesungen dienten als Einführung in den Kurs und diskutierten die Prinzipien des Financial Engineering, verschiedene Märkte und Anlageklassen. Im zweiten Vortrag behandelte der Referent verschiedene Arten von Optionen und Absicherungsstrategien, wobei der Schwerpunkt auf Rohstoffen, Währungen und Kryptowährungen lag.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Art und Weise, wie die Preisgestaltung von Call- und Put-Optionen durchgeführt wird und wie diese mit der Absicherung zusammenhängt. Die wichtigste Erkenntnis ist, dass der Preis einer Absicherungsstrategie immer dem Preis eines Derivats entsprechen sollte, andernfalls besteht eine Arbitragemöglichkeit. Anschließend befasst sich die Vorlesung mit der Mathematik der Modellierung verschiedener Anlageklassen, beschreibt Vermögenspreise und Zufälligkeiten und wie diese Zufälligkeiten gemessen werden können. Die Bedeutung stochastischer Prozesse, stochastischer Differentialgleichungen und des Itô-Lemmas bei der Preisgestaltung von Finanzinstrumenten wird hervorgehoben. Die Vorlesung behandelt auch die Simulation in Python und wie stochastische Differentialgleichungen verwendet werden, um das reale Verhalten einer Aktienbewegung zu simulieren und wie dies für die Preisgestaltung genutzt werden kann. Die Vor- und Nachteile des Black-Scholes-Modells werden diskutiert, und es wird betont, dass man bei der Preisgestaltung von Derivaten ein größeres Bild im Auge behalten muss, um die Konsistenz des Portfolios und der Absicherungsstrategien sicherzustellen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos hebt der Dozent einige der Schlüsselkonzepte hervor, die im Kurs über Computational Finance behandelt werden. Eines der wichtigsten Werkzeuge bei der Optionspreisgestaltung ist das Konzept der Martingale, das im Laufe des Kurses immer wieder hervorgehoben wurde. Weitere wichtige behandelte Themen sind das Black-Scholes-Modell, die implizite Volatilität, die Konvergenz von Newton-Raphson-Algorithmen und die Einschränkungen bei der Verwendung zeitabhängiger Volatilität. In den Vorträgen wurde auch hervorgehoben, wie mithilfe der Codierung in Python überprüft werden kann, ob es sich bei einem simulierten Prozess um ein Martingal handelt, und wie sich Maßnahmen auf die Drift auswirken können. Insgesamt hat dieser Kurs einen tiefen Einblick in die Preisgestaltung einfacher europäischer Optionen gegeben und gezeigt, wie verschiedene Modelle und Maßnahmen zur Berechnung ihrer Preise verwendet werden können.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt des Videos werden die Einschränkungen des Black-Scholes-Modells diskutiert, insbesondere im Hinblick darauf, wie Sprünge in das Modell integriert werden können. Die Einbeziehung von Sprüngen kann die Oberflächenkalibrierung der impliziten Volatilität verbessern und einen Versatz erzeugen. Es erhöht jedoch auch die Modellkomplexität und verringert die Absicherungseffizienz. Aus diesen Gründen werden stochastische Volatilitätsmodelle eingeführt, um die Flexibilität des Modells zu erhöhen, um die Kalibrierung und Preisgestaltung exotischer Optionen besser handhaben zu können. Als Lösung wird eine Technik zur schnellen Preisgestaltung diskutiert. Darüber hinaus werden die Bedingungen dargelegt, die Modelle oder stochastische Differentialgleichungen erfüllen müssen, um innerhalb der affinen Modelle innerhalb der Fourier-Transformation verwendet zu werden.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf zwei wichtige Modelle zur Bewertung von Aktien und Aktien ein. Das erste Modell ist die affine Klasse von Diffusionsprozessen, die eine schnelle Kalibrierung europäischer Typoptionen ermöglicht. Das zweite Modell ist das stochastische Volatilitätsmodell, insbesondere das Heston-Modell, das flexibel genug ist, um sich auf die gesamte Oberfläche der impliziten Volatilitäten europäischer Optionen zu kalibrieren. Die Vorlesung befasst sich auch mit den Auswirkungen und Vorteilen der Korrelation der Modelle, der Preis-PDE und deren Ermittlung sowie der Verwendung von Fourier-Transformationen für die Preisgestaltung, sobald ein Modell zur affinen Klasse von Prozessen gehört. Insgesamt konzentriert sich die Vorlesung auf die Bedeutung und den Nutzen des Verständnisses und der Verwendung dieser beiden Modelle in der Computational Finance.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung liegt der Schwerpunkt auf der Durchführung der Preisgestaltung für europäische Optionen, wobei Calls und Puts im Mittelpunkt stehen. Die Verwendung einer charakteristischen Funktion wird diskutiert und die Bedeutung der Fähigkeit, ein System komplexer ODEs zu lösen, sowie die Notwendigkeit numerischer Techniken zum Erhalten von Lösungen hervorgehoben. Es wird betont, dass es von entscheidender Bedeutung ist, ein Gleichgewicht zwischen einem guten Modell und der Fähigkeit, es effizient zu kalibrieren und zu bewerten, zu finden, da dies für die praktische Anwendung und Akzeptanz in der Industrie von entscheidender Bedeutung ist. Die Vorteile der Verwendung der Cos-Methode der Fourier-Transformation für die Preisgestaltung werden diskutiert und die Implementierung in Vital demonstriert. Eine effiziente Kalibrierung ist ebenfalls von entscheidender Bedeutung und die Verwendung von Monte-Carlo-Simulationen für die Preisgestaltung wird empfohlen.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt liegt der Schwerpunkt auf verschiedenen Aspekten des Monte-Carlo-Samplings bei der Preisgestaltung exotischer Derivate. Mehrere Dimensionen, Modellkomplexität und Rechenkosten können eine genaue Preisgestaltung zeitaufwändig machen. Die Monte-Carlo-Simulation wird oft als alternativer Preisansatz verwendet, der eine Konzentration auf die Reduzierung von Fehlern und die Verbesserung der Genauigkeit erfordert. Die Vorlesung behandelt verschiedene Aspekte der Monte-Carlo-Probenahme, einschließlich Integration, stochastische Integration und Kalibrierungsmethoden wie Euler- und Milstein-Verfahren. Die Bewertung der Glätte von Auszahlungsfunktionen wirkt sich auch auf die Konvergenz aus. Um eine genaue Preisgestaltung zu gewährleisten, ist es wichtig, schwache und starke Konverter zu verstehen.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert das Video die Flexibilität des Heston-Modells bei der Kalibrierung, der Implantat-Volatilitätsoberfläche und der effizienten Simulation von Monte Carlo. Die Vorlesung geht auch auf die nahezu exakte Simulation des Heston-Modells ein, die mit der exakten Simulation des Cox Ingersoll Ross (CIR)-Prozesses für den Varianzprozess zusammenhängt. Während die Diskretisierung nach Euler und Milstein möglicherweise Probleme mit dem CIR-Prozess haben kann, gibt es effiziente Möglichkeiten, die CIR-Simulation durchzuführen. In der Vorlesung wird die Bedeutung der Fehlerbedingung für den CIR-Prozess hervorgehoben, für die bedingte Stichprobendarstellung ist sie jedoch nicht von Belang, da die genaue Verteilung bekannt ist.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt wird im Video das Konzept der Absicherung im Finanzbereich erörtert, bei dem es darum geht, Risiken und potenzielle Verluste durch die Führung eines Portfolios und die Betreuung des Kontrakts nach dem Handel zu reduzieren. Das Video erläutert die Bedeutung der Absicherung, die nach Abschluss des Handels erfolgt und bis zur Vertragslaufzeit andauern muss. Das Video hebt hervor, dass Absicherung wichtiger ist als nur die Preisgestaltung und dass das Modell jeden Tag eine gute Leistung für die Absicherungszwecke erbringen muss. Das Video erörtert auch das Konzept der Delta-Absicherung und die Auswirkungen von Marktsprüngen und unterstreicht die Bedeutung der Verwendung eines realistischen Modells für die Simulation.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Grenzen des Delta-Hedgings und die Bedeutung der Berücksichtigung anderer Arten des Hedgings, wie z. B. Gamma- und Vega-Hedging für komplexere Derivate. Die Vorlesung befasst sich auch mit der Berechnung von Sensitivitäten und Möglichkeiten zur Verbesserung ihrer Effizienz, beispielsweise durch endliche Differenzen, pfadweise Sensitivitäten und Wahrscheinlichkeitsquotienten. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Preisgestaltung von Forward-Start-Optionen und der Komplexität, die mit der Preisgestaltung von Optionen mit unsicheren Anfangsbeständen verbunden ist. Die charakteristische Funktion wurde verwendet, um den Optionswert abzuleiten, und die Vorlesung endet mit einer Diskussion über implizite Volatilitäten und deren Implementierung in Python.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt befasst sich die Vorlesung mit der Einbeziehung zusätzlicher Sprünge in die Dynamik von Finanzmodellen, insbesondere dem Heston-Modell, und wie sich diese auf die Kalibrierung von Parametern und die Absicherung auswirken. In der Vorlesung werden auch Varianz-Swaps und Volatilitätsprodukte untersucht, wobei der Schwerpunkt auf der Beziehung zwischen seltsamer Darstellung, dem Varianz-Swap-Vertrag und bedingten Erwartungen unter Verwendung der Black-Scholes-Dynamik liegt. Darüber hinaus wird in der Vorlesung die Strukturierung von Produkten mithilfe verschiedener Techniken wie binäre und digitale Optionen, pfadabhängige Optionen, Barriereoptionen und asiatische Optionen sowie die Preisgestaltung von Verträgen mit mehreren Vermögenswerten erörtert. Letztendlich dient die Vorlesung als Zusammenfassung des im Laufe des Kurses erlernten Wissens und bietet eine Grundlage für weiterführende Derivate in der Zukunft.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt gratuliert der Redner den Zuschauern dazu, dass sie alle 14 Vorträge besucht und Kenntnisse über Computational Finance, Financial Engineering und Derivate-Preisgestaltung erworben haben. Der Referent weist darauf hin, dass dieser Erfolg die Zuschauer darauf vorbereitet, in der Branche zu arbeiten oder weitere Kurse zu absolvieren, um mehr Wissen zu erlangen. Der Referent wünscht den Zuschauern eine erfolgreiche Karriere im Finanzwesen.

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Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 1/14, (Einführung und Überblick über den Kurs)

Kurs „Financial Engineering“: Vorlesung 1/14, (Einführung und Überblick über den Kurs)

Der Dozent beginnt mit einer Einführung in den Kurs zum Thema Financial Engineering und hebt dessen Ziele und Schwerpunkte hervor. Der Kurs zielt darauf ab, sich mit Zinssätzen und mehreren Anlageklassen wie Devisen und Inflation zu befassen. Das ultimative Ziel besteht darin, dass die Studierenden ein Multi-Asset-Portfolio bestehend aus linearen Produkten aufbauen und Kenntnisse in der Durchführung von XVA- und Value-at-Risk-Berechnungen erwerben. Um sich vollständig mit dem Kursinhalt befassen zu können, sind Vorkenntnisse in stochastischen Differentialgleichungen, numerischer Simulation und numerischen Methoden erforderlich.

Die Kursstruktur ist umrissen und umfasst 14 Vorlesungen, begleitet von Hausaufgaben am Ende jeder Sitzung. Die im gesamten Kurs verwendete Programmiersprache ist Python und ermöglicht die praktische Umsetzung und Anwendung der besprochenen Konzepte.

Der Referent betont den praktischen Charakter des Kurses zum Thema Computational Finance. Während theoretisches Wissen vermittelt wird, liegt der Schwerpunkt auf der Effizienz der Implementierung und der Bereitstellung von Python-Codebeispielen für jede Vorlesung. Die Kursmaterialien sind in sich abgeschlossen, basieren jedoch auf dem Buch „A Book of Mathematical Modelling and Computation in Finance“. Die Vorlesung bietet auch einen Überblick über den Kursplan und vermittelt den Studierenden ein klares Verständnis der Themen, die in jeder der 14 Vorlesungen behandelt werden.

Der Schwerpunkt der ersten Vorlesung liegt darauf, einen Überblick über den gesamten Kurs zu geben und die Bedeutung der behandelten Konzepte für das Erreichen des Endziels der Durchführung von xva- und var-Berechnungen hervorzuheben.

Anschließend gibt der Dozent einen ausführlichen Überblick über die Themen, die im gesamten Financial Engineering-Kurs behandelt werden. Dazu gehören verschiedene Modelle wie Vollweiß- und Vollweiß-Zwei-Faktor-Modelle, Messungen, Filterungen und stochastische Modelle. Ein Schwerpunkt liegt auf der Preisgestaltung von Zinsprodukten, einschließlich linearer und nichtlinearer Produkte wie Swaptions. Die Vorlesung behandelt die Erstellung von Zinskurven, die Erstellung mehrerer Kurven, Spine-Points und die Auswahl von Interpolationsmethoden mithilfe von Python-Codes. Weitere behandelte Themen sind Negativzinsen, Optionen, Hypotheken und vorzeitige Rückzahlungen, Devisen, Inflation, Monte-Carlo-Simulation für Multi-Assets, Marktmodelle, Konvexitätsanpassungen, Risikoberechnungen und Wertanpassungsmaße wie CVA, BCVA und FVA.

Im Verlauf des Kurses wird das Risikomanagement zu einem Schwerpunkt, und Vorlesung 13 ist der Risikomessung mithilfe von Kodierung und Analyse historischer Daten gewidmet. Vorlesung 14 dient als Zusammenfassung aller im Kurs gelernten Inhalte.

Die zweite Vorlesung konzentriert sich auf Filterungen und Maßänderungen, einschließlich bedingter Erwartungen und Simulation in Python. Die Studierenden nehmen an praktischen Übungen teil, um bedingte Erwartungen zu simulieren und die Vorteile und Vereinfachung von Preisproblemen durch Maßänderungen zu erkunden.

In den darauffolgenden Vorlesungen gibt der Dozent einen Überblick über das Hijack-Modell-Framework, Gleichgewichts- und Laufzeitstrukturmodelle und die Dynamik der Zinskurve. Die Vorlesungen behandeln Kurzkurse und die Simulation von Modellen durch Monte-Carlo-Simulationen in Python. Der Vergleich zwischen Ein-Faktor- und Zwei-Faktor-Modellen wird diskutiert, mit einer Untersuchung von Multi-Faktor-Erweiterungen. Es wird ein Videoexperiment durchgeführt, um den S&P-Index, den von der Fed implizierten kurzfristigen Zinssatz und die Dynamik der Renditekurve zu analysieren.

Die Simulation von Zinskurven wird untersucht, um die Entwicklung der Zinssätze im Zeitverlauf zu beobachten und sie mit stochastischen Modellen zu vergleichen. Zu den behandelten Themen gehören die Affinität eines Fulbright-Modells, die exakte Simulation, die Konstruktion und Preisgestaltung von Zinsprodukten sowie die Berechnung unsicherer Cashflows in Swap-Beispielen.

Die Vorlesung zum Aufbau einer Zinskurve behandelt die Beziehung zwischen Zinskurven und Zinsswaps, Forward Rate Agreements und der Preisgestaltung von Derivaten. Es werden unterschiedliche Zinskurvenformen und deren Relevanz für Marktsituationen erläutert. Implizite Volatilitäten und Spine-Point-Berechnungen werden ebenso besprochen wie Interpolationsroutinen und die Erweiterung einzelner Zinskurven auf Multikurven-Ansätze. Der Schwerpunkt liegt auf praktischen Aspekten der Erstellung von Zinskurven mithilfe von Python-Experimenten und deren Verknüpfung mit Marktinstrumenten.

Der Dozent befasst sich mit Themen im Zusammenhang mit Financial Engineering, einschließlich der Preisgestaltung von Swaptions nach dem Black-Scholes-Modell und Optionen unter Verwendung von Full-White- oder Short-Rate-Modellen. Der Jamshidian-Trick und Python-Experimente werden erklärt. Die Vorlesung behandelt auch Konzepte wie negative Zinssätze, verschobene logarithmisch normalverschobene implizite Volatilitäten und den Einfluss von Verschiebungsparametern auf implizite Volatilitätsformen. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der vorzeitigen Rückzahlung von Hypotheken und ihren Auswirkungen auf Position und Absicherung aus Sicht einer Bank.

Es werden endfällige Hypotheken vorgestellt und die damit verbundenen Cashflows und Determinanten der vorzeitigen Rückzahlung erläutert. Der Vortrag beleuchtet die Auswirkungen von vorzeitigen Rückzahlungen auf Hypothekenportfolios und verknüpft den Refinanzierungsanreiz mit Marktobservablen. Darüber hinaus werden Pipeline-Risiken und deren Management durch Finanzinstitute diskutiert.

Der Kurs geht weiter mit der gleichzeitigen Modellierung mehrerer Anlageklassen, was die Simulation potenzieller zukünftiger Risiken ermöglicht, die sich auf das Portfolio auswirken können. Korrelationen zwischen verschiedenen Anlageklassen werden untersucht und die Bedeutung hybrider Modelle für Risikomanagementzwecke hervorgehoben, auch wenn das Interesse an exotischen Derivaten möglicherweise zurückgeht.

Es werden hybride Modelle für Pricing-Value-Adjustments (XVA) und Value-at-Risk sowie Erweiterungen mit stochastischer Volatilität untersucht. Die Vorlesung behandelt Hybridmodelle, die für eine XVA-Umgebung geeignet sind, einschließlich Aktiendynamik und stochastischer Zinssätze. Im zweiten Block werden stochastische Volatilitätsmodelle wie das Heston-Modell erörtert, in denen es um die Einbeziehung stochastischer Zinssätze geht, die mit dem Aktienprozess korrelieren. Die Vorlesung befasst sich auch mit Devisen und Inflation und erörtert die Geschichte und Entwicklung variabler Währungen, Devisenterminkontrakte, Cross-Currency-Swaps und FX-Optionen. Die Auswirkungen von Maßänderungen auf die Prozessdynamik werden ebenfalls untersucht, um letztendlich Verträge zu bewerten, die für verschiedene Vermögenswerte in verschiedenen Anlageklassen definiert sind, und Risiken und Risikomaße zu berechnen.

Der Dozent behandelt zusätzliche Themen im Zusammenhang mit Financial Engineering, einschließlich des Quantenkorrekturelements in der stochastischen Volatilität und der Preisgestaltung von FX-Optionen mit stochastischen Zinssätzen. Das Konzept der Inflation wird untersucht und seine Entwicklung von monetären zu güterbasierten Definitionen verfolgt. Es werden Marktmodelle wie das LIBOR-Marktmodell und Konvexitätsanpassungen besprochen und bieten eine historische Perspektive auf die Zinsentwicklung und die Motivation hinter Marktmodellen wie dem LIBOR-Marktmodell im HJM-Rahmen. Die Vorlesung befasst sich auch mit logarithmisch normalen LIBOR-Marktmodellen, stochastischer Volatilität und der Smile- und Skew-Dynamik im LIBOR-Marktmodell.

Es werden verschiedene Techniken zur Preisgestaltung von Finanzprodukten behandelt, wobei der Schwerpunkt auf der risikoneutralen Preisgestaltung und dem Black-Scholes-Modell liegt. Der Dozent warnt vor dem Missbrauch riskanter Techniken wie der Freezing-Technik und betont die Bedeutung der Konvexitätskorrektur in Preisrahmen. Die Studierenden lernen, die Notwendigkeit einer Konvexitätskorrektur zu erkennen und Zinsbewegungen oder Markt-Smile und -Skew in Preisprobleme einzubeziehen. Der Abschnitt schließt mit der Behandlung von XVA-Simulationen, einschließlich CVA, BCVA, VA und FVA, sowie der Berechnung erwarteter Expositionen, potenzieller zukünftiger Expositionen und Plausibilitätsprüfungen mithilfe von Python-Simulationen.

Der Dozent geht erneut auf die im Kurs „Financial Engineering“ behandelten Themen ein, darunter die Preisgestaltung von Derivaten, die Bedeutung der Preisfindung, praktische Aspekte von Handelszuordnungen und Risikomanagementmaßnahmen wie Value at Risk und Expected Shortfall. Der Schwerpunkt liegt weiterhin auf praktischen Anwendungen, wie dem Aufbau eines Zinsswap-Portfolios und der Nutzung von Kenntnissen über die Konstruktion von Zinskurven, um den VAR und den erwarteten Fehlbetrag anhand von Simulationsergebnissen abzuschätzen. Die Vorlesung befasst sich auch mit Herausforderungen im Zusammenhang mit fehlenden Daten, Arbitrage und Neubewertung bei der VAR-Berechnung mithilfe der Monte-Carlo-Simulation.

In der Abschlussvorlesung geht der Dozent auf das Backtesting und das Testen der VAR-Engine ein. Der Dozent räumt zwar ein, dass der Kurs über die ersten 14 Wochen hinausgehen wird, zeigt sich aber zuversichtlich, dass der Kurs umfassend und unterhaltsam sein wird. Die aufgezeichneten Vorlesungen führen die Studierenden zum Gipfel des Verständnisses von Bewertungsanpassungen (XVA) und der Berechnung des Value at Risk.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt des Videos stellt der Dozent den Kurs zum Thema Financial Engineering vor und skizziert seine Hauptziele, zu denen die Konzentration auf Zinssätze und mehrere Anlageklassen wie Devisen und Inflation gehört. Ziel des Kurses ist es, dass die Studierenden ein Multi-Asset-Portfolio bestehend aus linearen Produkten aufbauen und XVA- und Value-at-Risk-Berechnungen durchführen. Vorkenntnisse in stochastischen Differentialgleichungen, numerischer Simulation und numerischen Methoden sind erforderlich. Der Arbeitsaufwand besteht aus 14 Vorlesungen mit Hausaufgaben am Ende jeder Vorlesung, die verwendete Programmiersprache ist Python.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt stellt der Referent den Kurs zum Thema Computational Finance vor und betont den Fokus auf die praktische Umsetzung und den Aufbau eines Portfolios mithilfe von Value-at-Risk- und XVA-Berechnungen. Der Kurs behandelt außerdem theoretisches Wissen und Implementierungseffizienz und stellt Python-Code für jede Vorlesung bereit. Der Referent erklärt, dass die Materialien des Kurses in sich abgeschlossen sind, obwohl er auf dem Buch „A Book of Mathematical Modelling and Computation in Finance“ basiert. Der Kursplan wird besprochen und gibt einen Überblick über die Themen, die in den 14 Vorlesungen behandelt werden. Der Schwerpunkt der ersten Vorlesung liegt auf dem Überblick über den Kurs und seiner Bedeutung für das Erreichen des Endziels der xva- und var-Berechnungen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt gibt der Dozent einen Überblick über die Themen, die im Studiengang Financial Engineering behandelt werden. Der Kurs behandelt verschiedene Modelle wie Vollweiß- und Vollweiß-Zwei-Faktor-Modelle, Messungen, Filterungen und stochastische Modelle. Sie werden sich auf die Preisgestaltung von Zinsprodukten wie linearen und nichtlinearen Produkten, einschließlich Swaptions, konzentrieren. Der Kurs befasst sich mit der Konstruktion von Zinskurven, der Erstellung einer Zinskurve, der Erstellung mehrerer Kurven und Spine-Points sowie der Auswahl der Interpolation mithilfe von Python-Codes. Die Vorlesung befasst sich dann mit Themen wie Negativzinsen, Optionen, Hypotheken und Vorauszahlungen, Devisen, Inflation, Monte-Carlo-Engine für Multi-Assets, Marktmodellen, Konvexitätsanpassungen, Risikoberechnungen und Wertanpassungsmaßnahmen wie CVA, BCVA , und fva.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt des Kurses verlagert sich der Schwerpunkt auf das Risikomanagement und darauf, wie man Risiken aus der Sicht eines Risikomanagers misst und verwaltet. In Vorlesung 13 geht es um die Risikomessung mittels Kodierung und historischer Datenanalyse, während Vorlesung 14 alles zusammenfasst, was im Kurs gelernt wurde. Die zweite Vorlesung behandelt das Konzept der Filterung und Messänderungen, einschließlich bedingter Erwartungen und Simulation in Python. Die Vorlesung umfasst auch praktische Übungen zur Simulation bedingter Erwartungen und zur Nutzung von Maßänderungen zur Verbesserung und Vereinfachung von Preisproblemen.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt skizziert der Dozent die Themen, die in mehreren kommenden Vorlesungen behandelt werden sollen. Die Vorlesung ist in zwei Blöcke unterteilt, wobei sich der erste Block auf die Diskussion der Geschichte und Annahmen des Hijack-Modell-Frameworks und seiner Beziehung zu Gleichgewichts- und Laufzeitstrukturmodellen konzentriert. Der zweite Block untersucht die Dynamik der Zinskurve und kurzfristige Zinssätze und simuliert Modelle durch Monte-Carlo-Simulationen in Python. Die Zwei-Faktor-Modelle werden mit dem Ein-Faktor-Modell verglichen und mögliche Erweiterungen auf Multi-Faktoren-Modelle hervorgehoben. Darüber hinaus wird ein Videoexperiment durchgeführt, um den S&P-Index, den von der Fed implizierten kurzfristigen Zinssatz und die Dynamik der Zinsstrukturkurve zu untersuchen.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert der Dozent die Simulation von Zinskurven und wie sie zur Beobachtung der Entwicklung von Zinssätzen im Zeitverlauf verwendet werden kann, die mit stochastischen Modellen verglichen werden kann. Die Vorlesung ist in zwei Teile gegliedert, wobei der erste Teil die Affinität eines Fulbright-Modells und einer exakten Simulation behandelt, während sich der zweite Teil auf die Konstruktion und Preisgestaltung verschiedener Zinsprodukte auf dem Markt konzentriert. Der Dozent betont auch, wie wichtig es ist, zu verstehen, wie Zinsprodukte bewertet werden, da sie als Bausteine für die Konstruktion einer Zinskurve dienen, mit dem ultimativen Ziel, mehrfarbige Monte-Carlo-Pfade für ein Modell zu simulieren und dieses Modell auf Optionsmärkte zu kalibrieren. Am Beispiel eines Swaps soll verdeutlicht werden, wie unsicher die Abfolge der Zahlungsströme aus dem Austausch von festen und variablen Zinssätzen ist und wie sie berechnet werden kann.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert der Dozent die Bausteine einer Renditekurve und wie sie sich auf Zinsswaps, Forward-Trader-Vereinbarungen und die Preisgestaltung von Derivaten auswirken. Er erläutert die möglichen Formen einer Zinsstrukturkurve und deren Relevanz für Marktsituationen sowie das Konzept der impliziten Volatilitäten und die Berechnung von Spine Points zur Erstellung einer Zinsstrukturkurve. Der Dozent betont außerdem die Bedeutung von Interpolationsroutinen für Zinskurven und diskutiert die Erweiterung einer einzelnen Zinskurve auf einen Ansatz mit mehreren Kurven. In diesem Abschnitt werden die praktischen Aspekte der Erstellung einer Zinskurve mithilfe von Python-Experimenten und deren Verknüpfung mit Marktinstrumenten hervorgehoben.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Dozent verschiedene Themen rund um das Financial Engineering. Der erste Block deckt die Preisgestaltung von Swaptions nach dem Black-Scholes-Modell ab, während der zweite Block Preisoptionen unter Verwendung eines Full-Wide- oder Short-Rate-Modells abdeckt. In diesem Abschnitt werden auch der berühmte Jamshidian-Trick und Python-Experimente erläutert. Das Konzept der negativen Zinssätze, der verschobenen logarithmisch normalverschobenen impliziten Volatilitäten und der Einfluss des Verschiebungsparameters auf die Formen der impliziten Volatilität werden ebenfalls hervorgehoben. Darüber hinaus behandelt die Vorlesung vorzeitige Rückzahlungen von Hypotheken und die Auswirkungen von vorzeitigen Rückzahlungen auf die Position und Absicherung aus Sicht einer Bank.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt des Videos stellt der Dozent das Konzept der endfälligen Hypotheken vor und erläutert die damit verbundenen Cashflows und Determinanten der vorzeitigen Rückzahlung. Sie diskutieren auch die Auswirkungen von vorzeitigen Rückzahlungen auf das Hypothekenportfolio und verknüpfen den Refinanzierungsanreiz mit Marktbeobachtungen. Die Vorlesung befasst sich auch mit Pipeline-Risiken und deren Management durch Finanzinstitute. Im weiteren Verlauf spricht der Dozent über die gleichzeitige Modellierung mehrerer Anlageklassen, die eine Grundlage für die Simulation möglicher Szenarien zukünftiger Risiken bietet, die sich auf das Portfolio auswirken können. Korrelationen zwischen verschiedenen Anlageklassen werden wichtig sein, und Hybridmodelle werden trotz des rückläufigen Interesses an exotischen Derivaten weiterhin für Zwecke des Risikomanagements nützlich sein.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Referent den Einsatz hybrider Modelle zur Bepreisung von Bewertungsanpassungen und Value at Risk sowie Erweiterungen mit stochastischer Volatilität. Der erste Block behandelt die Hybridmodelle, die für die XVA-Umgebung verwendet werden können, einschließlich Aktiendynamik und stochastische Zinssätze. Der zweite Block konzentriert sich auf stochastische Volatilitätsmodelle wie das Heston-Modell und darauf, wie man stochastische Zinssätze einbezieht, die mit dem Aktienprozess selbst korrelieren. Die Vorlesung befasst sich auch mit Devisen und Inflation, einschließlich der Geschichte und Entwicklung variabler Währungen, Devisenterminkontrakten, Währungsswaps und Optionen auf Devisen. Das Konzept der Maßänderungen spielt eine Rolle in der Dynamik der Prozesse, nachdem die Maßänderungen diskutiert wurden. Letztendlich besteht das Ziel darin, Verträge, die unter verschiedenen Vermögenswerten in verschiedenen Anlageklassen definiert sind, zu bepreisen und Exposures und Risikomaße zu berechnen.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt des Financial Engineering-Kurses behandelt der Dozent Themen wie das Quantenkorrekturelement in der stochastischen Volatilität, die Preisgestaltung von FX-Optionen mit stochastischen Zinssätzen und das Konzept der Inflation. In der Vorlesung wird die Entwicklung der Inflationsdefinition von der monetären zur güterbasierten Definition erläutert. In der Vorlesung werden auch Marktmodelle wie das LIBOR-Marktmodell und Konvexitätsanpassungen behandelt. Der Dozent wird einen historischen Überblick über die Entwicklung der Zinssätze geben und die Motivation hinter Marktmodellen wie dem LIBOR-Marktmodell unter Verwendung des HJM-Frameworks erläutern. Die Spezifikationen logarithmisch normaler LIBOR-Marktmodelle, die stochastische Volatilität sowie Smile und Skews beim LIBOR-Marktmodell werden ebenfalls besprochen.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt des Kurses „Financial Engineering“ bespricht der Dozent verschiedene Techniken zur Preisgestaltung von Produkten, einschließlich der risikoneutralen Preisgestaltung und des Black-Scholes-Modells. Er warnt auch vor dem Missbrauch riskanter Techniken wie der Einfriertechnik und betont die Bedeutung der Konvexitätskorrektur in Preisrahmen. Der Kurs behandelt, wie man die Notwendigkeit einer Konvexitätskorrektur erkennt und wie man den gesamten auf dem Markt vorhandenen Zinssatz oder Smile and Skew einbezieht, um das Problem zu lösen. Der Abschnitt schließt mit der Erörterung von xva-Simulationen, einschließlich cva, bca, va und fva, und der Berechnung erwarteter Expositionen, potenzieller zukünftiger Expositionen und Plausibilitätsprüfungen mithilfe von Python-Simulationen.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt skizziert der Dozent die Themen, die in diesem Kurs zum Thema Finanztechnik behandelt werden, darunter die Preisgestaltung von Derivaten und die Bedeutung der Preisfindung, praktische Aspekte von Handelszuordnungen sowie Risikomanagementmaßnahmen wie Value at Risk und erwarteter Fehlbetrag. Der Schwerpunkt liegt auf praktischen Anwendungen, einschließlich der Erstellung eines Portfolios von Zinsswaps und der Nutzung von Kenntnissen über die Erstellung von Zinsstrukturkurven zur Schätzung von Var und Expected Shortfall anhand von Simulationsergebnissen. Der Dozent bespricht auch Probleme mit fehlenden Daten, Arbitrage und Neubewertung im Zusammenhang mit der Var-Berechnung mit Monte-Carlo-Simulation.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt bespricht der Dozent die Abschlussvorlesung des Kurses, in der es um Backtesting und das Testen der VAR-Engine geht. Er erwähnt auch, dass der Kurs mehr als 14 Wochen in Anspruch nehmen wird, er aber in einem großartigen Stil gehalten wird und jede Vorlesung mit zusätzlichem Wissen ausgestattet wird, um das ultimative Ziel zu unterstützen, nämlich Bewertungsanpassungen (XVA) und Berechnung des Value at Risk. Der Kurs ist bereits aufgezeichnet und der Dozent zeigt sich zuversichtlich, den Gipfel des Berges in einer genussvollen Tour zu erreichen.

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Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 1/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 1/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

In der Vorlesung vertieft sich der Dozent in das Black-Scholes-Modell mit stochastischen Sprüngen und demonstriert dessen Anwendung bei der Derivatepreisgestaltung. Die Einbeziehung bedingter Erwartungen wird als Mittel zur Verbesserung der Modellgenauigkeit hervorgehoben. Darüber hinaus wird das Konzept von Numerären und Maßänderungen untersucht und gezeigt, wie der Wechsel zwischen verschiedenen Numerären die Preisergebnisse verbessern kann. Dieser Abschnitt unterstreicht die Bedeutung von Filterung, Erwartungen und Maßänderungen, insbesondere im Bereich der Zinssätze.

Der Professor geht weiter auf das Thema ein und betont die zentrale Rolle von Maßnahmen, Filterungen und Erwartungen bei der Preisgestaltung. Sie veranschaulichen, wie Kennzahlen wie Bestände effektiv in Preisprozessen eingesetzt werden können, während Kennzahlenänderungen dazu beitragen, die Komplexität von Preisproblemen zu reduzieren. Die Vorlesung untersucht weiter den Begriff eines Vorwärtsmaßes, das üblicherweise mit stochastischer Diskontierung verbunden ist. Filtrationen werden als grundlegende Prinzipien zum Verständnis von Zeit-, Expositions- und Risikoprofilen erläutert. Darüber hinaus werden die Definition eines stochastischen Prozesses und die Bedeutung der Filterung bei der Interpretation von Marktdaten und der Antizipation zukünftiger Erkenntnisse vorgestellt.

Im weiteren Verlauf wird das Konzept der Filterung und Maßnahmen eingehend untersucht. Filtrationen können die Gegenwart betreffen oder sich in die Zukunft erstrecken, was eine klare Unterscheidung im Umgang mit stochastischen Prozessen erfordert. Die Vergangenheit stellt einen singulären Verlauf der Aktiengeschichte dar, während die Stochastik der Zukunft durch stochastische Differentialgleichungen und Simulationen modelliert werden kann. Obwohl sich der Kurs hauptsächlich auf Filterungen bis zur Gegenwart (t0) konzentriert, befasst er sich später mit der Nutzung zukünftiger Filterungen für eine verbesserte Recheneffizienz. Es wird möglich, Zukunftsszenarien zu simulieren und vielfältige Ergebnisse zu entwickeln. Angesichts der inhärenten Unsicherheit bleibt es jedoch weiterhin schwierig, das realistischste Szenario zu bestimmen. Die Schätzung der Ergebnisverteilung erfordert die Verwendung historischer Daten und Kalibrierungstechniken im Zusammenhang mit Maß p.

Anschließend befasst sich die Vorlesung mit Maßnahmen und Filterungen und hebt die unterschiedlichen Rollen der Maßnahme Q bei der Preisgestaltung und des Risikomanagements sowie der Maßnahme P vor allem im Risikomanagement hervor. Wenn beide Messgrößen eingesetzt werden, ist die Erstellung von Zukunftsszenarien für Risikoprofile unerlässlich, da die Eignung beider Messgrößen nicht eindeutig ist. Darüber hinaus führt die Anhäufung von historischem Wissen im Laufe der Zeit zu umfassenderen Filterungen. Es ist jedoch auch wichtig, ein Verständnis für die Messbarkeit aufrechtzuerhalten und die Unsicherheit für stochastische Größen zu bestimmten zukünftigen Zeitpunkten anzuerkennen.

Anschließend diskutiert der Dozent Filterungen und Maßnahmen im Kontext des Financial Engineering. Sie betonen insbesondere, dass Messbarkeit nicht Konstanz bedeutet; Vielmehr bezeichnet es eine stochastische Größe. Filterungen verdeutlichen den Umfang des zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügbaren Wissens und erweitern sich aufgrund des angesammelten Wissens, wenn man sich in der Zeit weiter bewegt. Während Filterungen und Maßänderungen leistungsstarke Werkzeuge bei der Finanzmodellierung sein können, kann ihre unsachgemäße Verwendung zu erheblichen Problemen führen. Daher ist es von entscheidender Bedeutung zu verstehen, wie man diese Werkzeuge effektiv einsetzt und durch die Zeit navigiert, um Modellierungsfehler zu vermeiden. Der Abschnitt schließt mit einem Überblick über den Kalibrierungsprozess in der Finanzmodellierung, der aus historischen Daten oder Marktinstrumenten abgeleitet werden kann.

Das Konzept der angepassten Prozesse wird eingeführt und bezieht sich auf Prozesse, die ausschließlich auf bis zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügbaren Informationen basieren, ohne zukünftige Erkenntnisse zu berücksichtigen. Beispiele für angepasste Prozesse umfassen die Brownsche Bewegung und die Bestimmung des Maximalwerts eines Prozesses innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Umgekehrt sind nicht angepasste Prozesse auf zukünftige Erkenntnisse angewiesen. In der Vorlesung wird auch die Turmeigenschaft vorgestellt, ein leistungsstarkes Instrument zur Preisgestaltung, das eine Beziehung zwischen Sigmafeldern, Filterungen und Erwartungen herstellt.

Bedingte Erwartungen werden als wirksames Instrument im Financial Engineering diskutiert, insbesondere wenn es um Funktionen mit zwei Variablen geht. Die Turmeigenschaft der Erwartung wird genutzt, um Erwartungen zu konditionieren und äußere und verschachtelte innere Erwartungen zu berechnen. Diese Eigenschaft findet Anwendung in Simulationen und ermöglicht die analytische Berechnung bestimmter Problemkomponenten, die auf Blockchain-Optionspreismodelle angewendet werden können, insbesondere unter Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und spezifischer Filterungen. Die Definition der bedingten Erwartung wird unter Einbeziehung einer Integralgleichung untersucht.

Der Dozent betont die Bedeutung bedingter Erwartungen und Filterungen im Financial Engineering. Sie betonen, dass, wenn eine Zufallsvariable konditioniert werden kann und ihre Antwort analytisch bekannt ist, die äußere Erwartung durch Stichprobenziehung der inneren Erwartung berechnet werden kann. Im Finanzwesen ist es jedoch ungewöhnlich, über analytische Kenntnisse über bedingte Dichten oder zweidimensionale Dichten zu verfügen. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, bedingte Erwartungen beim Codieren richtig einzusetzen, da sie aus der Perspektive der Gegenwart stochastische Größen bleiben. Darüber hinaus diskutieren sie die Vorteile der Einbeziehung einer analytischen Lösung für einen Teil des Modells in einen Simulationskontext, da dies zu einer verbesserten Konvergenz führen kann. Zur Veranschaulichung dieser Konzepte liefert der Dozent ein Beispiel für die Berechnung des äußeren Erwartungswerts einer Brownschen Bewegung.

Im weiteren Verlauf befasst sich der Dozent mit der Erwartung eines zukünftigen Zeitpunkts und hebt deren Komplexität im Vergleich zu Fällen hervor, in denen die Erwartung zum Zeitpunkt Null liegt. Sie erklären, dass dieses Szenario mehrere Pfade und verschachtelte Monte-Carlo-Simulationen für jeden Pfad erfordert, einschließlich Untersimulationen für bedingte Erwartungen. Diese Komplexität entsteht durch die Eigenschaft unabhängiger Inkremente, wobei die Brownsche Bewegung immer als Differenz zwischen ihren Werten zu zwei verschiedenen Zeitpunkten, t und s, ausgedrückt werden kann.

Der Redner konzentriert sich auf Monte-Carlo-Simulationen und erörtert die Konstruktion der Brownschen Bewegung zur Simulation des Optionswerts einer Aktie. Sie untersuchen zwei Arten von Martingalen und führen die verschachtelte Monte-Carlo-Methode zur Berechnung der bedingten Erwartung einer Aktienoption ein. Die Simulation umfasst die Generierung eines Pfads bis zum Zeitpunkt s und die Durchführung von Untersimulationen für jeden Pfad, um die Erwartung zu diesem Zeitpunkt zu bewerten. Dieser Prozess beinhaltet die Berechnung der bedingten Erwartung einer bestimmten Realisierung zum Zeitpunkt s für jeden Pfad. Der Fehler wird dann als Differenz zwischen der bedingten Erwartung und dem Pfadwert zum Zeitpunkt s gemessen. Die Standardisierung der Brownschen Bewegung stellt sicher, dass sie mit unabhängigen Inkrementen konstruiert wird, was die Durchsetzung gewünschter Eigenschaften innerhalb einer Monte-Carlo-Simulation erleichtert.

Abschließend betont der Redner, dass die Simulation der Brownschen Bewegung zwar unkompliziert und kosteneffektiv erscheinen mag, die Einbeziehung einer bedingten Erwartung jedoch einen verschachtelten Monte-Carlo-Ansatz erfordert, der die Durchführung mehrerer Simulationen der Brownschen Bewegung für jeden Pfad beinhaltet. Folglich kann dieser Vorgang zeitaufwändig sein.

Abschließend behandelt die Vorlesung ausführlich Themen im Zusammenhang mit Maßnahmen, Filterungen, bedingten Erwartungen und Monte-Carlo-Simulationen im Financial Engineering. Die Bedeutung dieser Konzepte für die Preisgestaltung von Derivaten, das Risikomanagement und die Modellkalibrierung wird durchgehend betont. Durch das Verständnis der diesen Tools und Techniken zugrunde liegenden Prinzipien können Finanzexperten ihre Modellierungsgenauigkeit verbessern und komplexe Preisprobleme effektiv lösen.

• 00:00:00 Der Kursleiter demonstriert die Verwendung des Black-Scholes-Modells mit stochastischen Sprüngen und wie dies durch die Einbeziehung bedingter Erwartungen verbessert werden kann. Das Konzept der Numeräre und Maßänderungen wird ebenfalls besprochen, wobei es darum geht, Maße zwischen verschiedenen Numerären zu ändern, um bessere Ergebnisse zu erzielen. Insgesamt betont der Abschnitt die Bedeutung der Filterung, der Erwartungen und der Messung von Änderungen bei der Preisgestaltung von Derivaten, insbesondere in der Welt der Zinssätze.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt des Financial Engineering-Kurses diskutiert der Professor die Bedeutung von Maßnahmen, Filterungen und Erwartungen bei der Preisgestaltung. Er erklärt, wie eine Kennzahl, beispielsweise eine Aktie, bei der Preisgestaltung genutzt werden kann und wie Kennzahländerungen genutzt werden können, um die Dimensionalität von Preisproblemen zu reduzieren. Das Konzept eines Vorwärtsmaßes, das typischerweise mit stochastischer Diskontierung verbunden ist, wird ebenfalls untersucht. Der Abschnitt beleuchtet die wichtigsten Prinzipien der Filtration und wie sie für das Verständnis von Zeit-, Expositions- und Risikoprofilen von wesentlicher Bedeutung sind. Darüber hinaus werden die Definition eines stochastischen Prozesses und das Konzept der Filterung zum Verständnis von Marktdaten und zukünftigen Erkenntnissen vorgestellt.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung wird das Konzept der Filtrationen und Maßnahmen besprochen. Filtrationen können bis heute oder in der Zukunft erfolgen, und es ist wichtig, zwischen beiden zu unterscheiden, wenn es um stochastische Prozesse geht. Die Vergangenheit ist ein einzelner Pfad in der Geschichte einer Aktie, und die Stochastik der Zukunft kann mithilfe einiger stochastischer Differentialgleichungen und Simulationen beschrieben werden. Der Kurs befasst sich hauptsächlich mit Filterungen bis heute (t0), später wird jedoch die Verwendung von Filterungen für die Zukunft zur Steigerung der Recheneffizienz erörtert. Es ist möglich, die Zukunft zu simulieren und Szenarien zu entwickeln, die viele mögliche Ergebnisse darstellen. Es ist jedoch nicht möglich zu wissen, welches Szenario am realistischsten ist, da immer Unsicherheit herrscht. Die Verteilung der Ergebnisse kann anhand historischer Daten geschätzt und mithilfe von Regression oder anderen Techniken im Zusammenhang mit Maß p kalibriert werden.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der Maßnahmen und Filterungen besprochen. Die Kennzahl Q wird hauptsächlich mit der Preisgestaltung und dem Risikomanagement in Verbindung gebracht, während die Kennzahl P hauptsächlich für das Risikomanagement verwendet wird. Bei Verwendung beider Kennzahlen ist die Generierung von Zukunftsszenarien für das Risikoprofil von entscheidender Bedeutung, da es schwierig ist, die Eignung beider Kennzahlen zu bestimmen, da sie nicht eindeutig sind. Darüber hinaus führt die zunehmende Zeit zu mehr historischem Wissen, was mit zunehmendem Wissen zu einer stärkeren Filterung führt. Allerdings ist auch die Messbarkeit von entscheidender Bedeutung, und wir müssen die Unsicherheit für stochastische Größen zu bestimmten Zeitpunkten in der Zukunft verstehen.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Konzept von Filterungen und Maßnahmen im Financial Engineering. Es ist wichtig zu beachten, dass messbar nicht konstant bedeutet, da es sich immer noch um eine stochastische Größe handelt. Die Filterung sagt Ihnen, wie viel Wissen Sie zu jedem Zeitpunkt haben, und je weiter Sie in der Zeit voranschreiten, desto größer werden die Filterungen aufgrund des angesammelten Wissens. Filterungen und Maßänderungen können leistungsstarke Werkzeuge in der Finanzmodellierung sein, aber wenn sie unsachgemäß eingesetzt werden, können sie große Probleme verursachen. Es ist wichtig zu wissen, wie man diese Tools nutzt und wie man durch die Zeit reist, um Fehler bei der Finanzmodellierung zu vermeiden. Der Dozent beendet den Abschnitt mit einer Beschreibung des Kalibrierungsprozesses in der Finanzmodellierung und wie er aus historischen Daten oder Marktinstrumenten abgeleitet werden kann.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der angepassten Prozesse diskutiert, das sich auf die Idee bezieht, dass ein Prozess nicht in die Zukunft blickt, sondern sich nur auf die bis dahin bekannten Informationen verlässt. Beispiele für angepasste Prozesse sind die Brownsche Bewegung und das Finden des Maximalwerts eines Prozesses innerhalb eines bestimmten Zeitraums, während Beispiele für nicht angepasste Prozesse solche umfassen, die auf zukünftigen Erkenntnissen beruhen. Außerdem wird die Turmeigenschaft vorgestellt, die ein leistungsstarkes Instrument zur Preisgestaltung darstellt und eine Beziehung zwischen einem Sigma-Feld, Filtern und Erwartungen beinhaltet.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der bedingten Erwartung als leistungsstarkes Werkzeug im Financial Engineering diskutiert, insbesondere wenn es um Funktionen zweier Variablen geht. Die Turmeigenschaft der Erwartung wird verwendet, um Erwartungen zu konditionieren und eine äußere Erwartung und eine verschachtelte innere Erwartung zu berechnen. Diese Eigenschaft kann in Simulationen genutzt werden, in denen Teile des Problems analytisch berechnet und auf Blockchain-Optionspreismodelle angewendet werden können, insbesondere unter Verwendung stochastischer Differentialgleichungen und spezifischer Filterungen. Die Definition der bedingten Erwartung wird auch mit einer Integralgleichung untersucht.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Dozent das Konzept der bedingten Erwartungen und Filterungen im Financial Engineering. Sie betonen, dass, wenn eine Zufallsvariable konditioniert werden kann und die Antwort analytisch bekannt ist, die äußere Erwartung berechnet werden kann, indem die Stichprobe für die innere Erwartung durchgeführt wird. Im Finanzwesen ist es jedoch selten, die bedingten Dichten oder zweidimensionalen Dichten analytisch zu kennen. Sie betonen auch, wie wichtig es ist, bedingte Erwartungen in Codes korrekt zu verwenden, da es sich aus heutiger Sicht immer noch um stochastische Größen handelt. Darüber hinaus spricht der Dozent über die Vorteile, die es mit sich bringt, einem Teil des Modells im Sinne einer Simulation eine analytische Lösung aufzuerlegen, und wie dies zu einer besseren Konvergenz führen kann. Schließlich liefern sie ein Beispiel für die Berechnung des äußeren Erwartungswerts einer Brownschen Bewegung.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf eine Erwartung eines zukünftigen Zeitpunkts ein, die wesentlich komplexer ist als der Fall, dass die Erwartung zum Zeitpunkt Null liegt. Der Dozent erklärt, dass dies mehrere Pfade und verschachtelte Monte-Carlo-Simulationen für jeden Pfad erfordert, was die Durchführung von Untersimulationen für jeden Pfad und die Annahme bedingter Erwartungen beinhaltet. Der Dozent erklärt auch, dass dies damit zusammenhängt, dass die Brownsche Bewegung immer als Brownsche Bewegung zum Zeitpunkt t minus der Brownschen Bewegung zum Zeitpunkt s geschrieben werden kann, indem man die Eigenschaft unabhängiger Inkremente nutzt.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Referent Monte-Carlo-Simulationen und die Konstruktion der Brownschen Bewegung zur Simulation des Optionswerts einer Aktie. Es werden zwei Arten von Martingalen untersucht, darunter die verschachtelte Monte-Carlo-Methode zur Berechnung der bedingten Erwartung einer Aktienoption. Der Sprecher veranschaulicht die Simulation eines Pfads bis zum Zeitpunkt s und die Untersimulation für jeden Pfad, um die Erwartung zu diesem Zeitpunkt einzunehmen. Die Erwartung ist die bedingte Erwartung einer bestimmten Realisierung zum Zeitpunkt s, die für jeden Pfad wiederholt wird. Der Fehler wird als Differenz zwischen der bedingten Erwartung und dem Pfad zum Zeitpunkt s berechnet. Durch die Standardisierung der Brownschen Bewegung wird sichergestellt, dass sie aus unabhängigen Inkrementen aufgebaut ist, wodurch es einfacher wird, Eigenschaften in einer Monte-Carlo-Simulation durchzusetzen.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt des Videos diskutiert der Sprecher die Simulation von Laufbewegungen und betont, dass sie zwar einfach und kostengünstig ist, wenn eine bedingte Erwartung vorliegt, aber eine verschachtelte Mehrfarbe erfordert, die mehrere Simulationen der Brownschen Bewegung umfasst. Das bedeutet, dass für jeden Pfad eine verschachtelte Simulation durchgeführt werden muss, was sich als zeitaufwändig erweisen kann.

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Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 2/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 2/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

Willkommen alle zur Nachpausensitzung. Heute geht es weiter mit dem zweiten Block der Vorlesung 2 im Studiengang Financial Engineering. In diesem Block befassen wir uns mit der Preisgestaltung und den Zinssätzen von XVA und konzentrieren uns dabei auf fortgeschrittene Konzepte.

Zuvor haben wir das Konzept der Filterung und bedingter Erwartungen sowie eine Übung und Simulation in Python besprochen. Jetzt werden wir zusätzliche Erwartungen untersuchen, die weiter fortgeschritten sind als die Experimente, die wir zuvor durchgeführt haben. Insbesondere werden wir uns auf die Optionspreisgestaltung und die Nutzung von Tools aus bedingten Erwartungen konzentrieren, um die Konvergenz in Monte-Carlo-Simulationen zu verbessern. Darüber hinaus werde ich Ihnen das Konzept eines Numeraires und seine Nützlichkeit bei der Preisgestaltung von Derivaten vorstellen.

In diesem Block verwenden wir nicht nur das Konzept eines Numeraires, sondern auch das Girsanov-Theorem, um die Dynamik des Black-Scholes-Modells vom risikoneutralen Maß (Maß P) in das Maß Q umzuwandeln. Diese Transformation beinhaltet eine Änderung des zugrunde liegenden Prozesses zur geometrischen Brownschen Bewegung. Es ist wichtig zu beachten, dass Maß P mit historischen Beobachtungen verbunden ist, während Maß Q typischerweise mit der Preisgestaltung von Derivaten verknüpft ist.

Im dritten Block konzentrieren wir uns auf detaillierte Maßnahmenänderungen. Ich werde mehrere Vorteile und Tricks demonstrieren, die sich aus der Verwendung von Maßänderungen ergeben, um Abmessungen zu reduzieren und erhebliche Vorteile zu erzielen. Konzentrieren wir uns jedoch zunächst auf die folgenden vier Elemente des heutigen Vortrags und genießen Sie die Sitzung.

Zunächst werden wir unser Wissen über bedingte Erwartungen und Filterung nutzen, um die Preisgestaltung realer Optionen zu untersuchen. Konkret werden wir eine europäische Option in Betracht ziehen und untersuchen, wie bedingte Erwartungen dabei helfen können, ihren Preis zu bestimmen. Wir werden mit einer komplexeren stochastischen Differentialgleichung arbeiten, die dem Black-Scholes-Modell ähnelt, jedoch eine stochastische Volatilität aufweist. Während Black-Scholes von einer konstanten Volatilität (Sigma) ausgeht, werden wir das Modell verallgemeinern, um zeitabhängige und stochastische Volatilität einzubeziehen.

Indem wir die Turmeigenschaft der Erwartungen nutzen, können wir dieses Problem lösen und unsere Monte-Carlo-Simulationen verbessern. Anstatt Pfade direkt zu simulieren und die stochastische Volatilität (j) zufällig abzutasten, können wir eine bessere Konvergenz erreichen, indem wir bedingte Erwartungen verwenden. Durch die Konditionierung auf die Realisierung von j können wir die Black-Scholes-Preisformel für jedes j anwenden. Dieser Ansatz reduziert die Unsicherheit und korrelationsbedingte Probleme in Monte-Carlo-Simulationen erheblich.

Im nächsten Abschnitt werde ich eine genaue Darstellung der Preisgestaltung europäischer Optionen basierend auf bedingten Erwartungen und der Black-Scholes-Formel vorstellen. Dabei geht es um innere und äußere Erwartungen, wobei die innere Erwartung von einer spezifischen Realisierung von j abhängt und die Black-Scholes-Formel anwendet. Die äußere Erwartung erfordert eine Stichprobenentnahme aus j und die Verwendung der Black-Scholes-Formel für jede Stichprobe.

Um die Auswirkungen der Anwendung der Turmeigenschaft auf Erwartungen in Monte-Carlo-Simulationen zu quantifizieren, werden wir zwei Ansätze vergleichen. Der erste Ansatz ist eine Brute-Force-Monte-Carlo-Simulation, bei der wir die Erwartung direkt abtasten, ohne Informationen aus dem Black-Scholes-Modell zu nutzen. Der zweite Ansatz beinhaltet bedingte Erwartungen und die Black-Scholes-Formel. Durch den Vergleich von Konvergenz und Stabilität können wir den erheblichen Gewinn beobachten, der durch den bedingten Erwartungsansatz erzielt wird.

Ich hoffe, dass Sie diese Informationen hilfreich finden. Wenn Sie daran interessiert sind, die praktischen Aspekte bedingter Erwartungen weiter zu untersuchen, empfehle ich Ihnen, die Kapitel 3 (Stochastische Volatilität) und Kapitel 12 (Preisgestaltung für Tablets) im Buch zu lesen. Fahren wir nun mit der praktischen Demonstration dieses Ansatzes mithilfe von Python-Code fort.

Nachdem wir die Monte-Carlo-Stichproben für die Aktie und die Volatilität generiert haben, fahren wir mit dem nächsten Teil des Codes fort, in dem die Optionsauszahlungen für jede Stichprobe berechnet werden. In diesem Fall betrachten wir eine europäische Call-Option mit einem Ausübungspreis von 18. Wir können die Optionsauszahlung anhand der folgenden Gleichung berechnen:

payoff = np.maximum(stock_samples[-1] – Strike, 0)

Als nächstes berechnen wir den bedingten Erwartungswert mithilfe der Black-Scholes-Formel. Für jede Stichprobe der Volatilität berechnen wir den Optionspreis mithilfe des Black-Scholes-Modells mit dem entsprechenden Volatilitätswert:

volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)

d1 = (np.log(stock_samples[0] / Strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * Fälligkeit) / (volatility_samples * np.sqrt(maturity))

d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturity))

bedingte_Erwartung = np.mean(np.exp(-r * Reife) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - Strike * norm.cdf(d2)))

Schließlich berechnen wir den Gesamtoptionspreis, indem wir den Durchschnitt der bedingten Erwartungen über alle Volatilitätsstichproben bilden:

option_price = np.mean(conditional_expectation)

Durch die Verwendung des bedingten Erwartungsansatzes nutzen wir die Informationen aus dem Black-Scholes-Modell, um die Konvergenz der Monte-Carlo-Simulation zu verbessern. Dies führt zu genaueren Optionspreisen und verringert die Anzahl der Monte-Carlo-Pfade, die für eine zufriedenstellende Konvergenz erforderlich sind.

Es ist wichtig zu beachten, dass der hier bereitgestellte Code ein vereinfachtes Beispiel zur Veranschaulichung des Konzepts ist. In der Praxis kann es zusätzliche Überlegungen und Verfeinerungen geben, um Faktoren wie stochastische Volatilität, Zeitschritte und andere Modellannahmen zu berücksichtigen.

Insgesamt kann die Anwendung bedingter Erwartungen bei der Optionspreisgestaltung die Effizienz und Genauigkeit von Monte-Carlo-Simulationen verbessern, insbesondere wenn es um komplexe Modelle geht, die von den Annahmen des Black-Scholes-Modells abweichen.

Lassen Sie uns nun unseren Fokus auf das Thema Maßnahmenänderungen im Financial Engineering verlagern. Bei der Auseinandersetzung mit der Systemdynamik ist es manchmal möglich, die Komplexität des Preisproblems durch entsprechende Maßtransformationen zu vereinfachen. Dies ist insbesondere in der Welt der Zinssätze relevant, wo es mehrere Basiswerte mit unterschiedlichen Häufigkeiten gibt. Um einen konsistenten Rahmen zu schaffen, stützen wir uns auf Maßtransformationen, die stochastische Prozesse aus verschiedenen Maßen in ein zugrunde liegendes Maß zusammenführen.

Im Bereich der Finanzmathematik spielen Numeräre eine wichtige Rolle als handelbare Einheiten, mit denen die Preise aller handelbaren Vermögenswerte ausgedrückt werden. Ein Numeraire ist die Einheit, in der der Wert von Vermögenswerten ausgedrückt wird, beispielsweise von Äpfeln, Anleihen, Aktien oder Geldsparkonten. Indem wir Preise als Numeraire ausdrücken, schaffen wir einen einheitlichen Rahmen für die Übertragung von Waren und Dienstleistungen zwischen verschiedenen Gegenparteien.

In der Vergangenheit wurden Vermögenswerte häufig in Gold oder anderen Zahlen ausgedrückt. Die Wahl eines geeigneten Numerärs kann die Komplexität finanztechnischer Probleme erheblich vereinfachen und verbessern. Die Arbeit mit Martingalen, das sind Prozesse ohne Drift, ist im Finanzwesen besonders günstig, da sie einfacher zu handhaben sind als Prozesse mit Drift.

Verschiedene Maßnahmen sind mit spezifischen Dynamiken von Prozessen und handelbaren Vermögenswerten verbunden. Häufige Fälle sind die risikoneutrale Kennzahl im Zusammenhang mit Geldsparkonten, die T-Forward-Kennzahl im Zusammenhang mit Nullkuponanleihen und die Kennzahl im Zusammenhang mit Aktien als Numeraires. Maßänderungen bieten eine Möglichkeit, zwischen Maßen zu wechseln und von den Eigenschaften verschiedener Prozesse zu profitieren. Der Satz von Girsanov ist ein entscheidendes Werkzeug für Maßtransformationen, das es uns ermöglicht, unter bestimmten Bedingungen von einem Maß zum anderen zu wechseln.

Während die theoretischen Aspekte von Maßänderungen komplex sein können, konzentriert sich dieser Kurs auf praktische Anwendungen und die Anwendung der Theorie auf reale Probleme. Die wichtigste Erkenntnis besteht darin, zu verstehen, wie Maßänderungen und Martingale als Werkzeuge zur Vereinfachung und effektiven Lösung finanztechnischer Probleme eingesetzt werden können.

Es ist wichtig zu beachten, dass Maßänderungen leistungsstarke Werkzeuge sind, die uns helfen können, Prozesse ohne Drift zu bewältigen, sogenannte Martingale. Indem wir das Maß entsprechend ändern, können wir die Drift aus einem Prozess beseitigen und das vorliegende Problem vereinfachen. Dies ist besonders nützlich, wenn es um stochastische Zinssätze und Aktiendynamiken geht.

Es ist jedoch erwähnenswert, dass Maßänderungen möglicherweise nicht immer machbar sind oder zu einfacheren Problemen führen. Manchmal kann die Dynamik bestimmter Variablen, beispielsweise der Varianz, auch nach Beseitigung der Drift komplex bleiben. Dennoch,

Im Allgemeinen vereinfacht das Entfernen der Drift durch Maßänderungen das Problem.

Die Arbeit mit Martingalen ist günstig, da driftfreie stochastische Differentialgleichungen einfacher zu handhaben sind als solche mit Drift. Durch die Identifizierung geeigneter Numeräre und die Durchführung von Maßänderungen können wir die Komplexität effektiv reduzieren und unsere Simulationstechniken verbessern.

Maßänderungen ermöglichen es uns, zwischen Maßen zu wechseln und von den Eigenschaften von Martingalen zu profitieren. Das Verstehen und Anwenden von Kennzahlenänderungen ist eine wertvolle Fähigkeit, die die Preisgestaltung und Analyse von Finanzinstrumenten erheblich vereinfachen kann.

Lassen Sie uns nun tiefer in das Konzept der Maßänderungen und ihre praktische Anwendung in der Finanzmathematik eintauchen. Die Formel zur Maßtransformation, die wir zuvor besprochen haben, kann wie folgt geschrieben werden:

dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)

Diese Formel ermöglicht es uns, von einem Maß, Qa, zu einem anderen Maß, Qb, zu wechseln. Dabei kommt ein spezifischer Prozess zum Einsatz, der als „Numeraire-Prozess“ bezeichnet wird und mit yₛ und dem Wiener-Prozess Wₛ bezeichnet wird.

Der Satz von Girsanov besagt, dass diese Maßtransformation unter bestimmten Bedingungen, beispielsweise der Integrierbarkeitsbedingung des Exponentialterms, gültig ist. Durch Anwenden dieser Transformation können wir das Maß von Qa in Qb und umgekehrt ändern.

In praktischen Anwendungen werden Maßänderungen verwendet, um reale Probleme in der Finanzmathematik zu vereinfachen und zu lösen. Sie ermöglichen es uns, die Dynamik stochastischer Prozesse zu transformieren und die Eigenschaften von Martingalen zu nutzen.

Durch die richtige Auswahl von Numerären und die Durchführung von Maßänderungen können wir die Drift aus einem Prozess beseitigen und das vorliegende Problem vereinfachen. Diese Vereinfachung ist besonders vorteilhaft, wenn es um komplexe Modelle mit stochastischen Zinssätzen und Aktiendynamiken geht.

Es ist wichtig zu beachten, dass Maßänderungen nicht immer zu einfacheren Problemen führen müssen. Manchmal können bestimmte Variablen, wie z. B. die Varianz, auch nach Beseitigung der Drift immer noch eine komplexe Dynamik aufweisen. Im Allgemeinen stellen Kennzahlenänderungen jedoch ein leistungsstarkes Werkzeug zur Vereinfachung und Lösung finanztechnischer Probleme dar.

In diesem Kurs liegt unser Fokus auf der praktischen Anwendung von Maßänderungen in realen Szenarien. Wir werden untersuchen, wie wir die Vorteile von Maßänderungen und Martingalen nutzen können, um komplexe Probleme in der Finanzmathematik zu vereinfachen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Maßänderungen eine entscheidende Rolle in der Finanzmathematik spielen, da sie es uns ermöglichen, zwischen Maßen zu wechseln und die Eigenschaften von Martingalen zu nutzen. Durch das Verständnis und die Anwendung von Maßänderungen können wir die Preisgestaltung und Analyse von Finanzinstrumenten vereinfachen, unsere Simulationstechniken verbessern und komplexe Modelle effektiver angehen.

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Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 3/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

Financial Engineering-Kurs: Vorlesung 2/14, Teil 3/3, (Verständnis von Filtrationen und Maßnahmen)

Im Anschluss an die Vorlesung vertieft sich der Dozent weiter in das Thema Maßnahmenänderungen und deren praktische Anwendung im Finanzwesen. Sie beginnen mit einer Auffrischung des Girizanov-Theorems und des Konzepts eines Bestandsmaßes. Durch die Schaffung einer Grundlage schafft der Dozent die Voraussetzungen für die Untersuchung, wie Maßänderungen die Dimensionalität in Finanzmodellen wirksam reduzieren können.

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf dem Übergang von einer risikoneutralen Maßnahme zu einer durch den Aktienwert getriebenen Geldsparkontomaßnahme. Dieser Übergang wird durch die Nutzung des Verhältnisses der beiden Maße erreicht und der Vorgang wird in einfachen Worten erklärt. Der Schwerpunkt liegt auf der Wichtigkeit, den ausgewählten Vermögenswert in derselben Einheit wie andere Vermögenswerte im eigenen Portfolio auszudrücken, was durch Maßänderungen erreicht werden kann. Darüber hinaus befasst sich die Vorlesung mit der Diskussion der Auszahlungsfunktion, bei der der Erwartungswert unter dem zugehörigen Maß als Integral über eins dividiert durch das Maß ausgedrückt wird. Dieses Ergebnis bietet eine Möglichkeit, die gewünschte Abfrage zu finden. Die Vorlesung schließt mit der Vorstellung der Substitutionsmethode, die zum Erhalten des endgültigen Termes verwendet wird, und veranschaulicht so die Praktikabilität von Maßänderungen.

Im weiteren Verlauf untersucht der Redner die Vereinfachung der Auszahlung und geht auf die Dynamik der Aktie unter der neuen Kennzahl ein. Der Wert von t0 wird als Erwartungswert bei Messungen des maximalen st minus k 0 angegeben, wodurch eine neue Martingalmethode eingeführt wird. Das Konzept des Martingal-Ansatzes wird erläutert, wobei betont wird, wie wichtig es ist, alles durch den Aktienprozess zu dividieren, um die Bedingungen für ein Martingal zu erfüllen. Der Diskontierungsprozess wird hervorgehoben, wobei der Schwerpunkt auf seinen Vorteilen bei der Vereinfachung der Dynamik im Rahmen der neuen Maßnahme liegt. Die Dynamik lässt sich aus dem Verhältnis von mtst als Martingal ableiten. Darüber hinaus unterstreicht der Redner die Notwendigkeit, die Varianz und die gemessene Transformation unter dem neuen Maß zu bestimmen, um die Vorteile des Martingal-Ansatzes effektiv nutzen zu können.

Ergänzend zur Vorlesung erklärt der Dozent, wie das gleiche Vorgehen wie im Black-Scholes-Fall auf Nicht-Martingal-Prozesse angewendet werden kann. Indem man eine Reihe notwendiger Bedingungen befolgt, kann man Kennzahltransformationen nutzen, um die Dynamik eines neuen Prozesses abzuleiten und die Erwartungen an eine neue Kennzahl zu bestimmen. Die Bedeutung der Berücksichtigung von Drift- und Volatilitätskorrekturen, die sich aus dieser Transformation ergeben, wird bei der Umsetzung beider Prozesse im Rahmen der ursprünglichen und der neuen Maßnahme betont. Letztendlich vereinfacht sich die Berechnung zu einem eleganten Ausdruck, der einen einzelnen logarithmischen Normalprozess unter dem neuen Maß umfasst.

Darüber hinaus stellt der Dozent ein zweidimensionales System stochastischer Differentialgleichungen S1 und S2 sowie einen mit einem Geldsparkonto verbundenen Auszahlungswert vor, der nur auszahlt, wenn S2 ein bestimmtes Niveau erreicht. Um diese komplexe Erwartung zu berechnen, ist die gemeinsame Verteilung zwischen den beiden Beständen erforderlich. Es kommt eine Maßtransformation zum Einsatz, die das Girsanov-Theorem nutzt, um den Erwartungswert in einer eleganten Form zu finden. Der Dozent erklärt den Prozess, wobei S1 als Zähler gewählt und die zufällige Numeraire-Ableitung identifiziert wird. Die Vorlesung unterstreicht auch die Bedeutung der Ableitung aller notwendigen Maßänderungen und untersucht die möglichen Auswirkungen auf die Beziehungen zwischen Brownschen Bewegungen in verschiedenen Maßen. Der Dozent betont die Bedeutung der Kennzahlentransformation für die elegante und wirkungsvolle Preisgestaltung komplexer Finanzinstrumente.

Im Anschluss an den Vortrag erläutert der Redner die gemessene Transformation für das zufällige Nikotinderivat und betont die Bedeutung einer Vereinfachung der Auszahlung. Die Formel für die Gleichung wird erklärt, zusammen mit dem entsprechenden Maß, das gefunden werden muss, um Terme aufzuheben. Die Dynamik der Geldsparanleihe und ihre Drift- und Volatilitätskoeffizienten werden nach Anwendung des Ethos-Lemmas diskutiert. Bei dieser Transformation erweist sich das Korrelationselement als vernachlässigbar. Der Redner betont auch die Bedeutung der Beziehung zwischen S2 und S1 in Bezug auf die Ethostabelle.

Der Redner verlagert seinen Fokus und erörtert die Dynamik zweier Bestandsprozesse im Rahmen der S1-Maßtransformation, bei der es um die Ersetzung einer neuen Kennzahl geht.

Unter der S1-Maßtransformation erklärt der Sprecher, dass der erste Bestandsprozess immer noch einer logarithmischen Normalverteilung folgt, jedoch mit einem zusätzlichen Term in der Drift. Ebenso weist der zweite Bestandsprozess aufgrund der Korrelation zwischen den beiden Prozessen einen zusätzlichen Term auf. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die Variablen vom einfachsten zum fortgeschrittensten zu ordnen und empfiehlt die Verwendung der Cholesky-Zerlegung als Technik zur Vereinfachung stochastischer Differentialgleichungen. Durch die Nutzung der logarithmischen Normaleigenschaften kann die Wahrscheinlichkeitsauswertung effektiv gelöst werden.

Der Dozent erweitert den Umfang der Vorlesung und geht auf Nullkuponanleihen ein, bei denen es sich um grundlegende Derivate im Zinsbereich handelt. Nullkuponanleihen haben eine einfache Auszahlung – einen einzelnen Wert, der bei Fälligkeit erhalten wird – und sind daher leicht zu verstehen und zu verwenden. Darüber hinaus dienen sie als entscheidende Bausteine für die Preisgestaltung komplexerer Derivate. Es wird darauf hingewiesen, dass in bestimmten Fällen der Wert einer Anleihe zu Beginn größer als eins sein kann, was auf negative Zinssätze hindeutet. Negative Zinssätze können aus Zentralbankinterventionen zur Erhöhung der Liquidität resultieren, ihre Wirksamkeit bei der Stimulierung der Ausgaben bleibt jedoch umstritten. Der Dozent betont, dass Nullkuponanleihen eine entscheidende Rolle bei der Veränderung der Zinssätze in der Zinswelt spielen.

Darüber hinaus geht der Dozent auf die Bedeutung der Umstellung des Maßes auf das Forward-Maß bei der Betrachtung von Nullkuponanleihen ein. Durch die Anwendung des fundamentalen Preissatzes und der generischen Preisgleichung kann der aktuelle Wert einer Nullkuponanleihe abgeleitet werden. Die Preisgleichung beinhaltet die Erwartung einer abgezinsten Auszahlung, die bei einer Nullkuponanleihe gleich eins ist. Der Dozent betont, dass Zinssätze stochastisch sind und erörtert, wie der stochastische Abschlag aus der Gleichung eliminiert werden kann, indem das Maß auf das T-Forward-Maß umgestellt wird. Der Abschnitt endet mit einer Erläuterung, wie ein Rubel-Code-Derivat modelliert werden kann und wie sich die Preisgleichung vom risikoneutralen Maß zum T-Forward-Maß verschiebt.

Darüber hinaus betont der Professor die Bedeutung der Änderung von Maßnahmen und der Reduzierung der Dimensionalität in Preismodellen im Finanzwesen. Durch die Umstellung auf Preise nach dem T-Forward-Maß und die Eliminierung der Spezifität aus dem Abzinsungsfaktor können Praktiker Maßnahmen zur Maßänderung als leistungsstarke Werkzeuge in ihrem täglichen Betrieb nutzen. Die Vorlesung fasst das Konzept der Filterung und ihre Beziehung zu bedingten Erwartungen zusammen und betont, wie diese Werkzeuge komplexe Probleme im Finanzwesen vereinfachen können.

Um die Schüler einzubeziehen und ihr Verständnis zu festigen, stellt der Dozent drei Übungen vor. Die erste Übung umfasst die Implementierung einer analytischen Lösung zur Preisgestaltung von Put-Optionen und stellt sicher, dass der Code Zinssätze in Python berücksichtigt. Die zweite Übung weitet die Preisgestaltung auf Put-Optionen aus und bietet die Möglichkeit, deren Wirksamkeit zu beurteilen. Abschließend müssen die Schüler den analytischen Ausdruck mit dem Monte-Carlo-Simulationsergebnis für den quadratischen Bestandsausdruck auf Folie 24 vergleichen. Diese Übung verdeutlicht die Vorteile und wesentlichen Unterschiede bei der Anwendung von Maßtransformationen.

Die Vorlesung bietet eine umfassende Untersuchung von Maßnahmenänderungen und ihren Anwendungen im Finanzwesen. Es behandelt Themen wie den Wechsel von Maßnahmen, die Vereinfachung von Auszahlungen, die Dynamik unter neuen Maßnahmen, die Transformation von Prozessen sowie die Bedeutung von Nullkuponanleihen und Zinssätzen. Durch die Nutzung von Maßtransformationen können Praktiker ihre Preismodelle verbessern, Berechnungen vereinfachen und wertvolle Einblicke in komplexe Finanzinstrumente gewinnen.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent weiter auf das Thema Maßnahmenänderungen und deren Anwendungen im Finanzwesen ein. Er beginnt mit einer Auffrischung des Girizanov-Theorems und des Konzepts eines Bestandsmaßes und zeigt dann, wie Maßänderungen zur Reduzierung der Dimensionalität genutzt werden können. Er erklärt außerdem, wie man ein Forward-Maß definiert und Maßänderungen verwendet, um stochastische Diskontierung in Aktien- oder Zinsprodukten zu beseitigen. Der Dozent präsentiert dann ein Problem, bei dem Maßnahmenänderungen dazu beitragen können, das Problem zu vereinfachen und eine elegante Lösung zu erhalten. Insgesamt bietet der Abschnitt nützliche Einblicke in die praktische Anwendung von Maßnahmenänderungen im Finanzwesen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt konzentriert sich die Vorlesung auf die Umstellung von Maßnahmen von risikoneutralen auf Geldsparkontomaßnahmen, die durch den Aktienwert gesteuert werden. Um dies zu erreichen, wird das Verhältnis der beiden Maße herangezogen und der Vorgang in einfachen Worten erklärt. In der Vorlesung wird hervorgehoben, wie wichtig es ist, einen Vermögenswert auszuwählen, der in derselben Einheit wie alle anderen Vermögenswerte im eigenen Portfolio ausgedrückt werden soll, und wie dies durch den Wechsel von Maßstäben erreicht werden kann. Die Auszahlungsfunktion wird ebenfalls besprochen, und der Erwartungswert unter dem zugehörigen Maß wird als Integral über eins über m geschrieben, wobei das Ergebnis die Möglichkeit bietet, die Abfrage zu finden. Die Vorlesung endet mit der Darstellung der Substitution, mit der man den Endterm erhält.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt geht der Referent auf die Vereinfachung der Auszahlung und die Frage der Dynamik der Aktie unter der neuen Maßnahme ein. Der Wert von t0 wird als Erwartungswert bei Messungen des maximalen st minus k 0 angegeben und eine neue Martingalmethode wird eingeführt. Der Martingal-Ansatz erklärt, dass alles durch den Aktienprozess geteilt werden sollte, um sich für das Martingal zu qualifizieren. Der Redner hebt auch den Diskontierungsprozess hervor und erwähnt, dass dieser nur dann von Vorteil ist, wenn er zu einer vereinfachten Dynamik im Rahmen der neuen Maßnahme führt. Die Dynamik ergibt sich aus dem Verhältnis von mtst zu einem Martingal. Abschließend betont der Redner die Notwendigkeit, die Varianz und die gemessene Transformation unter dem neuen Maß zu finden, um vom Martingal-Ansatz zu profitieren.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie man das gleiche Verfahren wie für den Black-Scholes-Fall auf Nicht-Martingal-Prozesse anwenden kann. Durch die Einhaltung einer Reihe notwendiger Bedingungen ist es möglich, mithilfe der Maßtransformation die Dynamik eines neuen Prozesses und die Erwartungen an ein neues Maß abzuleiten. Der Dozent betont, wie wichtig es ist, die aus dieser Transformation resultierenden Korrekturen zu Drift und Volatilität bei der Umsetzung beider Prozesse unter der ursprünglichen und der neuen Maßnahme zu berücksichtigen. Die Berechnung vereinfacht sich letztendlich zu einem eleganten Ausdruck mit einem einzigen logarithmischen Normalprozess unter einem neuen Maß.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt stellt der Dozent ein zweidimensionales System stochastischer Differentialgleichungen S1 und S2 sowie einen mit einem Geldsparkonto verbundenen Auszahlungswert vor, der sich nur auszahlt, wenn S2 ein bestimmtes Niveau erreicht. Um diese komplexe Erwartung zu berechnen, ist eine gemeinsame Verteilung zwischen den beiden Beständen erforderlich. Mithilfe der Maßtransformation wird dann der Erwartungswert mithilfe des Girsanov-Theorems in einer sehr eleganten Form ermittelt. Zuerst wird S1 als Zähler gewählt und dann wird die zufällige Numeraire-Ableitung ermittelt. In der Vorlesung wird die Bedeutung der Ableitung aller notwendigen Maßänderungen erörtert und wie die Beziehungen zwischen Brownschen Bewegungen in verschiedenen Maßen beeinflusst werden könnten. Der Dozent betont elegant und kraftvoll die Bedeutung der Kennzahlentransformation bei der Preisgestaltung komplexer Finanzinstrumente.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt des Vortrags erklärt der Referent die gemessene Transformation für das zufällige Nikotinderivat und die Bedeutung der Vereinfachung der Auszahlung. Der Sprecher erklärt die Formel für die Gleichung und das entsprechende Maß, das gefunden werden muss, um Terme aufzuheben. Sie gehen auf die Dynamik der Geldsparanleihe und ihren Drift- und Volatilitätskoeffizienten ein, nachdem sie das Ethos-Lemma angewendet haben. Das Korrelationselement ist bei dieser Transformation nicht von Bedeutung. Der Redner weist auf die Bedeutung der Beziehung zwischen s2 und s1 in Bezug auf die Ethostabelle hin.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt geht der Redner auf die Dynamik zweier Bestandsprozesse im Rahmen der s1-Maßtransformation ein, bei der es um die Ersetzung durch ein neues Maß geht. Der erste Bestandsprozess folgt immer noch einer logarithmischen Normalverteilung, jedoch mit einem zusätzlichen Term in der Drift. Ebenso hat der zweite Bestandsprozess aufgrund der Korrelation zwischen den beiden Prozessen einen zusätzlichen Term. Der Redner betont, wie wichtig es ist, die Variablen von der einfachsten zur fortgeschrittensten zu ordnen, und empfiehlt die Verwendung der Cholesky-Zerlegung zur Vereinfachung stochastischer Differentialgleichungen. Letztendlich kann mithilfe der logarithmischen Normaleigenschaften die Wahrscheinlichkeit der Bewertung ermittelt werden.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt des Kurses „Financial Engineering“ diskutiert der Dozent Nullkuponanleihen, die ein grundlegendes, aber wirkungsvolles Derivat in der Zinswelt sind. Bei der Rückzahlung einer Nullkuponanleihe handelt es sich um einen einzelnen Wert, der bei Fälligkeit erhalten wird, was es zu einem einfach zu verstehenden und zu verwendenden Instrument macht. Es kann auch ein grundlegender Baustein für die Preisgestaltung komplexerer Derivate sein. Der Dozent weist darauf hin, dass es Fälle geben kann, in denen der Wert der Anleihe zu Beginn größer als eins ist, was auf negative Zinssätze hindeutet. Negative Zinssätze können das Ergebnis von Zentralbankinterventionen zur Erhöhung der Liquidität sein, ihre Wirksamkeit bei der Stimulierung von Ausgaben steht jedoch zur Debatte. Der Dozent macht deutlich, dass Nullkuponanleihen ein wichtiges Zwischenprodukt im Prozess veränderter Maßnahmen in der Zinswelt sein werden.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent Nullkuponanleihen und die Bedeutung der Umstellung des Maßes auf das Forward-Maß. Mithilfe des fundamentalen Preissatzes und der generischen Preisgleichung lässt sich der aktuelle Wert der Nullkuponanleihe ableiten. Die Preisgleichung beinhaltet die Erwartung einer abgezinsten Auszahlung, die bei einer Nullkuponanleihe gleich eins ist. Der Dozent betont, dass Zinssätze stochastisch sind und erörtert, wie der stochastische Abschlag aus der Gleichung entfernt werden kann, indem das Maß auf das T-Forward-Maß umgestellt wird. Der Abschnitt endet damit, dass der Dozent erläutert, wie ein Rubel-Code-Derivat modelliert werden kann und wie sich die Preisgleichung vom risikoneutralen Maß zum T-Forward-Maß ändert.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung diskutiert der Professor die Idee der Maßänderung und Reduzierung der Dimensionalität und wie sie auf Preismodelle im Finanzwesen angewendet werden kann. Durch die Änderung von Maßen können Praktiker mit Preisen unter dem T-Forward-Maß arbeiten und die Spezifität aus dem Abzinsungsfaktor entfernen. Dies ermöglicht es ihnen, maßvolle gefährliche Techniken als leistungsstarke Werkzeuge im täglichen Betrieb einzusetzen. Die Vorlesung fasst außerdem das Konzept der Filterung und ihre Beziehung zu bedingten Erwartungen zusammen und erläutert, wie diese Werkzeuge zur Vereinfachung komplizierter Probleme im Finanzwesen eingesetzt werden können.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt wird erläutert, wie wichtig es ist, Filterungen und bedingte Erwartungen zu verstehen und Änderungen in der Optionspreisgestaltung mithilfe von Black-Scholes-bedingten Sprüngen zu messen. In diesem Abschnitt ging es darum, wie man einen Zähler wählt und wie diese Maße mit der Brownschen Bewegung zusammenhängen. In Beispielen wie der Übertragung stochastischer Differentialgleichungen, der Dimensionsreduktion und der Ableitungstransformationen wurde gezeigt, dass Maßänderungen von Vorteil sind. Es wurden Hausaufgabenübungen bereitgestellt, um den Schülern dabei zu helfen, Fähigkeiten in Bezug auf die Preisgestaltung und Zinssätze von Derivaten zu entwickeln, wie z. B. das Ermitteln von Erwartungen und Dynamiken sowie das Durchführen von Monte-Carlo-Simulationen.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung stellt der Dozent den Studierenden drei Übungen vor. Die erste erfordert die Implementierung einer analytischen Lösung zur Preisgestaltung von Put-Optionen und die Sicherstellung, dass diese ordnungsgemäß funktioniert, indem der Zinssatz in den Python-Code einbezogen wird, der in der Beschreibung der Vorlesung verfügbar ist. Die zweite Übung besteht darin, die gleiche Preisgestaltung auf Put-Optionen auszudehnen und deren Wirksamkeit zu überprüfen. Abschließend müssen die Schüler den analytischen Ausdruck mit dem Monte-Carlo-Simulationsergebnis für den quadratischen Bestandsausdruck in Folie 24 vergleichen, um die Vorteile und den enormen Unterschied bei der Anwendung der gemessenen Transformationen zu demonstrieren.