트레이딩을 위한 조합론과 확률 이론(1부): 기본 사항

콘텐츠

• 소개
• 확률 이론이 시장 분석에 어떻게 유용할까요?
• 수동 및 자동 트레이딩에 적용되는 확률 이론의 구체적인 내용
• 확률 트리 및 가설
• 프랙탈 정보
• 베르누이 체계
• 첫 번째 프랙탈 만들기
• 요약
• 결론

소개

제 생각에 확률 이론의 언어가 시장에서 진행되는 프로세스에 대해 완전히 다른 수준의 이해를 우리에게 제공할 수 있다고 생각합니다. 만약 여러분이 확률 이론의 세부 사항을 이해하게 되면 완전히 새로운 방식으로 생각하기 시작할 것입니다. 모호한 아이디어나 검증되지 않은 팁에 휘둘려 서둘러 실제 계좌에서 거래하고 싶은 욕구가 생기지 않을 것입니다. 반면에 저는 이 새로운 접근 방식이 모든 사람에게 편안하게 느껴지지 않을 수도 있다는 것을 이해합니다. 이 시리즈에서 저는 트레이딩에 대한 실제적이고 올바른 접근 방식을 보여드리고자 합니다. 모든 결정은 오직 수치에 근거해야 하며 '아마도', '만약에', '그럴 것 같다' 등과 같은 가정은 피해야 합니다.

확률 이론이 시장 분석에 어떻게 유용할까요?

저는 꽤 오랫동안 기술 과학에 종사해왔지만 확률 이론은 저에게 가장 어려운 분야였습니다. 그 이유는 제가 그 가능성이 얼마나 넓은지 이해하지 못했기 때문입니다. 분명한 장점은 여러분의 독창성과 부지런함, 그리고 물론 지능에 따라 무한한 능력을 발휘할 수 있다는 점입니다. 수년간 기술 공부를 한 결과 저는 지능은 같은 유형의 작업을 수행할 때의 속도와 세심함이 아니라 마음의 유연성에 달려 있다는 것을 깨달았습니다. 예를 들어 미분 수학, 벡터 및 스칼라 필드 이론, 그리고 대수학까지 생각해 보면 이 모든 것은 특정 규칙이나 권장 사항을 의미하며 이를 따르면 우리는 거의 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 모든 비표준 작업은 우리를 어렵게 만듭니다. 확률 이론에는 경우가 순간이 무수히 많으며 우리가 완전히 다른 접근 방식을 채용 할때만 많은 문제를 해결할 수 있습니다. 즉 지능은 주어진 문제를 해결하려는 부지런함과 의지에 의해서만 개발될 수 있습니다. 그리고 확률 이론은 이를 도울 수 있습니다.

확률 이론의 구조는 수학적 기대치, 다양한 이벤트의 가능한 확률, 평균값, 백분위수 등과 같은 기본적인 트레이딩의 개념을 설명합니다. 확률 이론에 따르면 완벽한 트레이딩 시스템은 없으며 각 시스템에는 시스템의 고유한 위험이 있습니다. 우리가 할 수 있는 일은 리스크가 너무 크지 않은 트레이딩 시스템만 선택하는 것입니다. 더 중요한 것은 이러한 위험을 올바르게 해석하는 것입니다. 즉 우리는 부정확한 감각의 언어나 시각적 근사치에서 명확하고 정량적인 기준을 사용하게 되는 것입니다. 물론 시각적 추정도 중요하지만 이러한 추정조차 정량적 변수와 함께 사용할 때 더 효과적입니다. 이 기사에서 모든 세부 사항과 뉘앙스를 설명하는 것은 불가능하지만 저는 여기에서 몇 가지 흥미로운 정보에 대해 설명하려고 노력할 것입니다. 여러분이 이 기사에서 유용한 정보를 찾으시기를 바랍니다.

수동 및 자동 트레이딩에 적용되는 확률 이론의 구체적인 내용

시장 분석에 확률 이론을 사용하기 전에 우리는 먼저 이벤트와 그 확률에 대해 알아볼 필요가 있습니다. 이벤트는 특정 기준을 충족하는 결과 집합이거나 특정 기준에 따라 특정 집합으로 그룹화된 결과 집합입니다. 결과는 주어진 그룹의 다른 모든 요소들과 동일한 어떤 기본 요소입니다. 그룹은 프로세스로부터 나온 가능한 모든 결과를 의미합니다. 이것이 어떤 종류의 프로세스인지, 그 물리학은 무엇인지, 프로세스가 얼마나 걸리는지는 그리 중요하지 않습니다. 중요한 것은 이 프로세스의 결과로 프로세스가 완료되기 전에는 존재하지 않았던 무언가를 우리가 얻을 수 있다는 것입니다. 이벤트와 관련된 결과물은 본질적으로 이벤트입니다 - 편의상 우리는 이를 하나의 객체로 결합합니다. 위의 아이디어는 다음과 같이 시각화 될 수 있습니다:

위 그림의 회색 타원이 모든 결과의 역할을 합니다. 수학에서는 이를 이벤트 공간이라고 합니다. 이것은 이벤트 공간이 기하학적 모양을 가지고 있다는 것을 의미하지는 않지만 이러한 개념을 설명하는 데는 매우 적합합니다. 타원 안에는 4개의 이벤트가 있습니다. 그림에서 볼 수 있듯이 각 이벤트 내부에는 작은 빨간색 점이 있습니다. 이러한 점의 수는 제한되거나 무제한일 수 있으며 이는 우리가 고려하는 프로세스에 따라 다릅니다. 그림의 두 이벤트가 교차합니다. 이러한 이벤트를 중첩이라고 합니다. 따라서 두 이벤트 모두에 속하는 결과가 몇 가지 있습니다. 다른 모든 이벤트는 타원의 다른 부분에 위치하며 기하학적으로 교차하지 않으므로 중첩되지 않습니다. 나머지 회색 영역은 마지막 이벤트로 간주되거나 회색 영역이 남지 않을 때까지 더 작은 부분으로 나뉠 수도 있습니다.

각 이벤트에는 일반적으로 확률이라고 하는 해당 숫자가 하나 이상 있습니다. 확률은 동일한 실험을 무한정 반복할 수 있다면 동일한 프로세스를 반복하는 동안 이 이벤트가 얼마나 자주 나타날지를 의미합니다. 이벤트 공간에는 두 가지 유형이 있습니다:

1. 가능한 결과의 수가 한정되어 있는
2. 가능한 결과가 무궁무진한

결과의 수가 유한한 경우 확률은 다음과 같이 계산될 수 있습니다:

• P = S/N , S는 이벤트 기준을 충족하는 결과의 수, N은 이벤트 공간에 있는 모든 결과의 총 수입니다.

특정 공간에서 결과의 수가 무한대인 경우 이 확률을 결정할 수도 있습니다. 예를 들어 적분을 사용하여 가능합니다. 위 이미지의 경우 값 "S"와 "N"은 해당 기하학적 도형의 면적으로 대체할 수 있습니다.

이벤트 공간이 무엇인지 명확하게 정의하고 이벤트가 설명하는 결과의 수와 물리학을 정의하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 이러한 그래픽 표현은 우리의 뇌가 데이터를 분석하는 데 도움을 줍니다. 그러므로 우리는 어떤 기하학을 통해서가 아니라 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하려고 노력하면 확률과 이러한 확률에 해당하는 추가 숫자로만 작업한다는 생각에 익숙해질 수 있습니다. 이벤트는 상태라고도 합니다. 상태의 논리를 사용한다면 확률은 동일한 실험을 반복한 결과로 특정 상태가 출현하는 빈도를 의미합니다. 

도형의 넓이와 마찬가지로 타원에 포함된 모든 도형의 넓이의 합은 이 타원의 넓이와 정확히 같습니다. 수학의 관점에서 면적은 거기에 해당하는 결과의 수입니다. 따라서:

• n = s[1] + s[2] + ... + S[n]
  
• S는 특정 이벤트의 결과 수입니다.
• N은 이벤트 공간의 모든 결과입니다.

부등식의 양쪽을 N이라는 값으로 나누면 전체 확률 이론의 기초가 되는 흥미롭고 매우 중요한 관계를 얻을 수 있습니다:

• 1 = S[1]/N + S[2]/N + ... +S[n]/N

이 비율은 겹치지 않는 이벤트에만 적용된다는 점에 유의하세요. 왜냐하면 이벤트가 결합되면 도형 영역이 겹치고 그 영역의 합이 원래 타원의 영역보다 커지기 때문입니다. 퍼즐과 비슷합니다. 퍼즐은 모든 퍼즐 조각의 면적이 결과 이미지와 정확히 일치합니다. 이 경우 퍼즐 조각은 이벤트 중 하나를 나타냅니다. 이 모든 분수는 특정 이벤트의 확률을 나타냅니다:

• 1  = P[1]   +   P[2]   +   ...   +P[n]

이 비율은 총체적 이벤트 세트라는 용어의 기초가 됩니다. 총체적인 이벤트 세트는 특정 이벤트 공간을 구성하는 겹치지 않는 모든 이벤트의 통합을 의미합니다. 퍼즐의 경우 완전한 세트는 모든 퍼즐 조각을 의미합니다. 이러한 모든 이벤트의 총 확률은 1이어야 하며 이는 다시 말해 실험의 결과로 이러한 이벤트 중 하나가 반드시 발생해야 한다는 것을 의미합니다. 우리는 어떤 이벤트가 발생할지를 알 수는 없지만 실험 결과를 통해 알 수 있습니다.

위의 내용에 따르면 선택한 이벤트 공간의 모든 결과 집합이 이벤트로 사용될 수 있습니다. 즉, 가능한 모든 방법과 조합으로 집합적으로 완전한 세트가 수집될 수 있습니다. 유한한 수의 결과를 처리할 때는 이러한 조합의 수가 제한적일 수 있지만 무한한 수의 결과를 처리할 때는 조합의 수가 항상 무한할 수 있습니다. 결과의 수가 무한대와 같다고 알려진 경우 수학자들은 무작위 값의 개념을 고려합니다. 경우에 따라 작업에서 허용하는 임의의 값을 사용하는 것이 더 편리할 수 있습니다. 임의의 값은 이벤트 공간을 설명하는 다소 다른 방법입니다. 이 경우 결과는 하나 이상의 명확한 숫자 집합입니다. 우리는 이를 벡터라고 할 수 있습니다. 이 모델에는 확률 밀도라는 개념이 내포되어 있습니다. 

이러한 개념은 이 주제와 관련해 앞으로 더 많이 사용될 것이므로 지금부터 살펴보도록 하겠습니다. 확률 밀도는 전체 이벤트 공간을 설명하는 함수입니다. 이 함수의 차원은 이 이벤트 공간에서 각각의 결과를 설명하는 데 필요한 숫자의 수와 정확히 일치합니다. 예를 들어 사격장에서 목표물을 쏘는 문제를 생각해 보면 목표물이 평면(2차원)이기 때문에 이 함수의 차원은 2와 같습니다. 이 경우 특정 결과는 X 및 Y 좌표로 특징지어집니다. 이 숫자는 우리의 무작위 변수이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

• R = R(X,Y)
• R은 총알이 좌표(X,Y)를 가진 점에 맞을 확률 밀도입니다.

이 함수의 속성은 이 함수의 모든 변수에 대해 마이너스에서 플러스 무한대까지의 적분이 1이 되도록 하는 것이며 이는 위의 방정식을 증명합니다. 여기서 확률은 함수가 표시된 해당 영역의 적분에 의해서만 결정됩니다. 서로 다른 이벤트는 부분적으로 통합된 영역으로 구성할 수 있습니다. 따라서 이벤트의 수는 무한합니다. 그러므로 우리는 필요한 만큼 많은 이벤트를 설명할 수 있습니다. 이 글의 틀 안에서는 이 정의로 충분합니다.

저는 중복되는 이벤트와 관련한 세부 정보를 더 추가하고 싶습니다. 이러한 이벤트는 우리가 이 전체를 전반적으로 이해하는 데에도 매우 중요합니다. 겹치지 않는 이벤트가 겹치는 이벤트에 비해 처리하기가 더 쉬워야 한다는 것은 분명합니다. 확률 이론은 때때로 이벤트의 조합이나 분할을 다루어야 합니다. 하지만 여기서 우리는 이러한 변환의 결과로 나타나는 확률만을 다룰 것입니다. 이를 위해 우리는 이벤트의 합과 곱의 개념과 반전 연산을 사용할 것입니다. 이러한 연산은 수학에서 이들이 의미하는 것과는 다릅니다. 또한 이들 연산은 확률과 함께 작동합니다. 결합된 이벤트의 확률은 집합의 무결성을 위반하므로 더해질 수 없습니다. 일반적으로 소스 이벤트에 적용되는 이 3가지 연산으로 소스 이벤트의 조각으로 구성할 수 있는 모든 가능한 이벤트를 설명할 수 있습니다. 저는 두 개의 겹치는 이벤트의 예를 사용하여 비행기에서 어떻게 보이는지 보여드릴 수 있습니다:

위에 제시된 연산으로 우리는 추가적인 대수 연산을 구성할 수 있습니다. 예를 들어 부울 나누기는 위 그림에서 세 번째 및 네 번째 상황과 동일합니다. 왜냐하면 선택한 이벤트의 역을 곱하는 것과 마찬가지 이기 때문입니다. 엄밀히 말하면 처음 두 개의 이벤트는 소스 이벤트의 일부입니다. 이들 이벤트를 통해 구성될 수 있는 모든 가능한 이벤트를 설명하기에 충분합니다. 이벤트가 두 개 이상 겹치는 경우는 훨씬 더 어렵습니다. 이 글에서 우리는 겹치지 않는 이벤트만 다루겠습니다.

시장 수학은 주로 랜덤 워크의 개념을 기반으로 합니다. 우리는 이 개념을 통해 패턴의 존재 여부에 따라 이러한 이벤트를 일반화할 수 있습니다. 우선 손절로 포지션을 오픈하고 시가와 동일한 간격으로 이익실현을 한다고 가정해 보겠습니다. 여기서는 스프레드, 수수료, 스왑은 고려하지 않습니다. 따라서 만약 우리가 무료로 포지션에 진입하고 다른 방향과 다른 차트 지점에서 무작위로 거래하면 수익 대 손실 비율은 1이 됩니다. 즉 무한으로 이루어지는 트레이딩에서 수익이 나는 포지션의 수는 손실이 나는 포지션의 수와 같다는 뜻입니다. 위 내용에 따르면 아무리 오래 거래해도 우리의 수익은 0이 됩니다. 모든 커미션, 스프레드, 스왑을 적용하면 최종 결과는 마이너스가 됩니다.

이 과정은 항상 손실로 이어지기 때문에 랜덤 워크는 무의미해 보일 수 있습니다. 하지만 랜덤 워크는 다양한 이벤트의 확률을 계산하는 데 도움이 될 수 있습니다. 여기에는 비대칭 스탑에 의한 청산 또는 특정 가격대에서 차트가 통과할 평균 가격이 포함될 수 있습니다. 또한 우리는 포지션의 수명과 기타 유용한 변수를 계산하여 위험을 계산하거나 수익을 극대화하거나 손실을 최소화하는 데 도움이 될 수 있습니다.

확률 트리 및 가설

우리의 전두엽을 개발하는 데 매우 유용한 예로 이벤트 트리 또는 확률 트리를 들 수 있습니다. 이 주제는 모든 확률 트리의 기초가 되는 베르누이 체계에서 유래했습니다. 이 체계는 서로 겹치지 않고 이어지는 이벤트의 연쇄를 검사합니다. 하지만 그 전에 총 확률 공식에 대해 살펴 보겠습니다. 이 중요한 구조를 연구함으로써 우리는 베르누이 체계와 확률 트리를 더 잘 알 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다:

• P(A) = Sum(0 ... i .... n) [ P(H[i]) * P(A|H[i]) ] - 이벤트 A의 확률
• P(H[i]) - 가설 H[i]의 확률
  
• P(A|H[i]]) - 가설의 틀 내에서 이벤트 A가 발생할 확률 H[i]

확률로 작업할 때는 가설로 작성하는 것이 더 낫다고 말씀드리고 싶습니다. 예를 들어 P(H[k]|H[i]) 항목은 다음과 같은 의미를 갖습니다:

1. 공간 H[i]를 기준으로 계산된 이벤트 H[k] 의 확률

이렇게 하면 어떤 이벤트가 공간으로 간주되고 어떤 이벤트가 중첩되는지 명확하게 알 수 있습니다. 사실 각각의 이벤트는 더 작은 이벤트 공간이며 그 안에 다른 이벤트가 있을 수 있고 이벤트 공간으로도 사용할 수 있는 등 다양한 이벤트가 있습니다. 이 논리에 따르면 엔트리 P(H[i]) 는 다음과 같습니다:

• P(H[i]|O) - 이 확률은 O를 기준으로 추정되기 때문입니다.
  

이제 총 확률 공식을 여러 부분으로 나누어 그 이면에 무엇이 있는지 이해해 보겠습니다. 언뜻 보기에 공식이 어려워 보입니다. 이제 더 명확하게 설명해 보겠습니다. 먼저 수식을 약간 다른 형태로 다시 작성해 보겠습니다:

• P(A) = (S[0] + ... + S[i] + ... + S[n]) / O   =   S[0]/O + ... + S[i]/O + ... + S[n]/O  =  (S[0]/N[0]) * ( N[0]/O ) + ... + (S[i]/N[i]) * ( N[i]/O ) + ... + (S[n]/N[n]) * ( N[n]/O )
• S[i] - 가설 H[i]의 교차점의 특정 세그먼트의 면적
• N[i] - 전체 가설 H[i]의 면적(S[i] 포함)
• O - 모든 결과 또는 전체 타원의 면적

분자와 분모에 N[i]을 곱하는 작은 변환을 거친 후 우리는 원래 공식에 존재하는 확률을 확인할 수 있습니다:

• S[i]/N[i] ----> P(A|H[i])
• N[i]/O ----> P(H[i])

이를 다음과 같이 그래픽으로 시각화할 수 있습니다:

 

바깥쪽 타원이 이벤트 공간입니다. 중앙 타원은 우리가 찾고 있는 확률인 이벤트입니다. 이를 시계라고 가정하고 타원의 지름을 그리고 시계 반대 방향으로 회전한 다음 이 타원을 가설인 세그먼트로 잘라냅니다. 가설은 이벤트의 특별한 이름일 뿐입니다. 그러나 이들은 실제로는 확률을 계산하는 이벤트와 다르지 않은 동일한 이벤트입니다.

이 공식에는 베르누이 체계를 구축하는 데 도움이 되는 특별한 케이스가 있습니다. 중앙 타원이 이 가설 중 하나에 완전히 속해 있다고 상상해 보세요. 그런 다음 나머지 가설과 관련된 이 합의 모든 항은 자동으로 0이 되는데 이는 이 가설 내에서 이벤트 A의 발생 확률이 불가능하거나 0과 같기 때문입니다. 그 결과 다음과 같아집니다:

• P(A) = P(H) * P(A|H)
• H - 선택한 이벤트가 완전히 위치한 가설의 확률입니다.

더 나아가 이벤트 A도 가설이라고 가정하면 어떻게 될까요? 왜 안 될까요? 가설은 곧 사건이므로 모든 사건은 가설입니다. 이제 A 안에 또 다른 이벤트 B가 있다고 가정합니다. 그러면 A는 B에 대한 가설이며 이전 공식은 이 두 이벤트에 적용 가능합니다:

• P(B) = P(A) * P(B|A) = P(H) *  P(A|H) *  P(B|A)

P(A) 대신 이전 비율을 삽입하십시오 - 여러 개의 중첩된 가설이나 사건에 대한 일반 공식을 구축할 때 특정 패턴을 볼 수 있습니다. 그 목적은 무엇일까요? 이것은 바로 베르누이 공식의 기본 원형으로 잠시 후에 살펴볼 것입니다. 이제 우리가 고려해야 할 또 다른 흥미로운 사실이 있습니다.

프랙탈

위의 공식에 따르면 P(A) + P(B) = 1이면 이는 전체적으로 완전한 이벤트 집합입니다. 즉 완전한 그룹은 서로 중첩된 두 개의 임의의 가설 체인으로 구성될 수 있습니다. 하지만 이러한 가설은 중첩될 수 있습니다. 가능한 모든 중첩 가설이 다른 체인의 가설과 겹치지 않도록 하면 자동으로 모든 체인이 이 이벤트 공간의 모든 체인과 겹치지 않게 됩니다. 이를 그래픽으로 표현한 것은 꽤 흥미로운 패턴이 됩니다:

이 패턴을 프랙탈이라고 부릅니다. 그 이유는 이러한 구조는 마지막까지 구축될 수 없고 무한히 구축될 수 있기 때문입니다. 위 그림에서 구조의 깊이는 3단계의 깊이에 불과합니다. 파란색 직사각형은 별도의 확률 사슬의 끝을 나타냅니다. 이 모든 연쇄의 확률을 더하면 총체적으로 완전한 이벤트 집합이 형성됩니다.

이러한 프랙탈은 조합으로 잘 설명될 수 있습니다. 조합은 계승의 개념을 기반으로 합니다. 인수분해와 조합의 중간 개념인 순열이라눈 또 다른 개념이 있습니다. 순열 공식은 인수분해 공식에서 파생되었으며 조합의 개념은 순열 공식에서 파생되었습니다. 공식은 다음과 같습니다:

• n! - n의 인수분해
• P(n,k) = n! / ( n - k )! - N 요소에서 K 요소로의 순열
• С(n,k) = n! / ( k! * ( n - k )! ) - N 요소에서 K 요소로의 조합

인수분해는 1로 시작하여 n으로 끝나는 모든 자연수의 곱이며 "0! = 1"입니다. 즉 0의 인수분해는 1과 같습니다. 이 경우는 규칙의 예외일 뿐이지만 저는 이 예외가 계산을 방해하거나 알고리즘을 복잡하게 만드는 경우는 단 한 번도 본 적이 없습니다.

순열은 조금 더 복잡합니다. 카드 덱이 있고 이 덱에 특정한 수의 카드가 있다고 상상해 보세요. 간단한 실험을 해보세요: 덱을 섞고 완전히 임의의 방식으로 덱에서 카트 몇 개를 가져와서 덱에서 꺼낸 순서대로 테이블 위에 올려놓으세요. 따라서 순열은 이 실험에서 가능한 모든 결과의 수이며 카드의 순서는 특정 결과의 고유 식별자로 간주됩니다. 이러한 순열은 원하는 모든 요소에 적용될 수 있습니다.

첫 번째 카드는 덱에서 n개의 다른 방식으로 가져올 수 있으며 두 번째 카드는 첫 번째 카드가 더 이상 덱에 없기 때문에 "n-1" 방식으로 가져올 수 있습니다. "n-k-1" 카드까지 계속합니다. 가능한 모든 순열의 수를 구하려면 "n-k-1"에서 "n"까지의 모든 숫자를 곱해야 합니다. 이 절차는 인수 분해와 유사합니다. "n!"을 "n-k" 계수로 나누면 "(n-k)!"와 정확히 같은 원래의 곱을 얻을 수 있습니다. 이것이 바로 순열 공식을 구하는 방법입니다.

조합 공식은 조금 더 복잡하지만 추론하기는 매우 쉽습니다. 가능한 모든 순열이 있지만 우리에게는 요소의 순서는 중요하지 않으며 이 세트의 카드만 중요합니다. 이제 각 케이스마다 다른 카드 세트가 있는 케이스의 개수를 찾아야 합니다. 사실 각 순열에는 이미 이러한 고유 집합 중 하나가 포함되어 있지만 우리에게 모든 집합이 필요한 것은 아닙니다. 이제 로직을 변경하고 가능한 모든 조합의 모든 순열을 수집해 보겠습니다. 우리가 조합을 취하면 그 안의 요소를 어떻게 재배열하든 고유하다는 것이 밝혀졌습니다. 또한 모든 고유 조합을 취하고 그 안에서 가능한 모든 순열을 생성하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

• P(n,k) = C(n,k) * P(k,k)

조합 내에서 가능한 모든 고유 순열의 수는 "P(k,k)"와 같으며, 이는 "k"의 변형에서 이러한 "k"의 변형에 대해 가능한 모든 순열을 수집해야 하기 때문입니다. 방정식의 두 부분을 "P(k,k)"로 나누면 필요한 조합 공식을 구할 수 있습니다:

• C(n,k) = P(n,k)/P(k,k) = n! / ( k! * ( n - k )! )
  

순열과 조합은 다양한 확률 이론 문제에 널리 사용됩니다. 실제 적용시에는 조합이 매우 유용합니다. 조합은 다양한 목적으로 프랙탈 함수를 구성하는 데 사용됩니다. 재귀라고 부르는 것이 더 정확할 수도 있지만 어떤 이유에서인지 저는 그러한 함수를 프랙탈이라고 부릅니다(아마도 정말 프랙탈이기 때문에 재귀일 뿐만 아니라 전체 호출 트리이기 때문일 것입니다).

베르누이 체계

이러한 프랙탈 함수를 연구하기 전에 잘 알려진 베르누이 공식에 대해 살펴보겠습니다. 우리에게 동일한 실험을 여러 번 반복해야 하는 일련의 실험이 있다고 가정해 보겠습니다. 실험을 통해 특정 확률로 이벤트가 나타나거나 나타나지 않는 결과가 나와야 합니다. 또한 'n'번의 실험에서 이벤트가 정확히 'k'번 나타날 확률을 구하고 싶다고 가정해 보겠습니다. 베르누이 공식으로 이 질문에 답할 수 있습니다:

• P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k) - 베르누이 공식
  
• p - 단일 실험의 결과로 이벤트가 발생할 확률입니다.
• q = 1 - p - 실험의 결과로 이벤트가 발생하지 않을 확률입니다.

앞서 확률적 체인에 대해 도출한 공식을 기억하시나요? 이제 이를 임의의 큰 체인 길이로 확장해 보겠습니다:

• P(n) = P(H[1]|O) *  P(H[2]|H[1]) *  P(H[3]|H[2]) * ... * P(H[k]|H[k-1]) * ... *P(H[n]|H[n-1])
• n - 체인의 세그먼트 수
• O - 전체 결과 집합; H[0]으로 표시할 수 있습니다.

이 공식은 정확히 필요한 일련의 가설이 발생할 확률을 계산합니다. 공식은 다음과 같이 시각적으로 표현될 수 있습니다:

우리의 공식은 첫 번째이자 가장 큰 타원 안에 있으며 오른쪽의 다른 체인은 우리의 체인과 겹치지 않으며 다른 조합의 다른 분기를 상징합니다. 공식에는 조합을 계산하는 변형의 수 만큼이나 많은 분기가 있습니다. 따라서 조합을 조합 계산 변형과 혼동하지 마세요. 조합을 계산하기 위한 이형 상품의 수는 다음과 같습니다:

• n+1(성공 결과가 "0"인 조합도 계산되므로)
• n은 실험 체인에서 독립적인 테스트의 수입니다.

이제 이 모든 가설의 확률이 "p" 또는 "q"와 같다고 가정해 보세요. 그러면 공식이 단순화됩니다:

• P(n) = Pow(p,k)*Pow(q,n-k)
• K - 행렬에 "P"와 동일한 요소가 몇 개 있는지 확인합니다.
• n-k - 행렬에 "Q"와 동일한 요소가 몇 개 있는지 확인합니다.

이미 베르누이 공식과 비슷하지만 조합이 부족합니다. 주의 깊게 보면 비슷한 확률과 "k"와 "n-k"의 양을 가진 체인의 변형이 "C(n,k)"와 정확히 같다는 것이 분명해집니다. 모든 확률 체인은 겹치지 않으므로 이러한 확률 체인 중 하나를 얻을 확률은 모든 확률 체인의 확률의 합입니다. 이 모든 확률은 동일하므로 한 체인의 확률에 그 수를 곱하면 베르누이 공식을 구할 수 있습니다:

• P = C(n,k)*Pow(p,k)*Pow(q,n-k)

이 공식은 예를 들어 엄격하게 고정된 조합이 아니라 이벤트가 k번 이상, k번 미만, 그리고 모든 유사한 조합이 발생할 확률을 구해야 할 때 더 확장될 수 있습니다. 이 경우 필요한 모든 조합의 확률의 합이 됩니다. 예를 들어 이벤트가 k회 이상 발생할 확률은 다음과 같이 계산됩니다:

• P = Summ(k+1 ... i ... n)[C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i)]

이를 이해하는 것이 중요합니다:

• P = Summ(0 ... i ... n)[C(n,i)*Pow(p,i)*Pow(q,n-i) ] = 1

즉 가능한 모든 체인이 총체적으로 완전한 이벤트 세트를 형성합니다. 또 다른 중요한 방정식은:

• Summ(0 ... i ... n)[C(n,i)] = Pow(2,n)
  

확률 체인의 각 세그먼트에는 "이벤트가 발생함"과 "이벤트가 발생하지 않음"이라는 두 가지 상태만 있다는 점을 가정하면 이는 논리적입니다. 이벤트가 발생하지 않은 상태는 다른 이벤트가 발생했음을 의미하는 이벤트이기도 합니다.

조합에는 또 다른 흥미로운 속성이 있습니다:

• C(n,k) = C (n,n-k)
  

이는 다음과 같이 도출됩니다: "C(n,n-k)"를 계산하고 "C(n,k)"와 비교합니다. 약간의 변환을 거치면 우리는 두 표현식이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 위의 모든 문장을 확인하기 위해 저는 MathCad 15를 기반으로 작은 프로그램을 만들었습니다: 

이 예는 시장과 유사한 예입니다. n스텝 중 시장이 u스텝 위로 이동할 확률을 계산합니다. 단계는 이전 단계와 비교하여 특정 포인트에서 위 또는 아래로 가격이 움직이는 것을 말합니다. 각 'U'에 대한 확률의 그래픽 배열은 다음과 같이 표시될 수 있습니다:

간단하게 설명하기 위해 10스텝의 베르누이 체계를 사용했습니다. 아래에 파일이 첨부되어 있습니다. 여러분 스스로 테스트해 볼 수 있습니다. 이 체계를 반드시 가격 책정에 적용할 필요는 없습니다. 이 체계는 주문이나 다른 모든 항목에도 적용될 수 있습니다.

첫 번째 프랙탈 만들기

우리는 손절매 및 이익실현 레벨과 관련된 문제에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 손절매와 익절매의 값을 포인트(현재 가격과의 거리)로 알면 우리는 어떻게든 손절매 또는 익절로 거래가 청산될 확률을 계산해야 합니다. 이 값은 더 이상 지입 가격이 아니더라도 언제든지 계산될 수 있습니다. 왜냐하면 이러한 모든 측면이 가격 메커니즘에 직접적으로 의존하기 때문입니다. 이 예제에서 저는 프랙탈을 사용하여 공식을 증명하는 것을 보여드리겠습니다. 랜덤 워크의 경우 이 확률은 다음과 같이 계산될 수 있습니다:

• P(TP) = SL / (TP + SL) - 익절에 도달할 확률
• P(SL) = TP / (TP + SL) - 손절에 도달할 확률
• SL - 손절매 지점까지의 거리
  
• TP - 익절을 위한 포인트 거리

이 두 가지 확률은 전체적으로 완전한 이벤트 집합을 형성합니다:

• P(TP) + P(SL) = 1
  

이 공식에 따르면 랜덤 트레이딩의 경우 스프레드, 수수료, 스왑을 제외하면 이러한 전략의 수학적인 기대치는 0이 됩니다:

• M = P (TP) * TP - P(SL) * SL = 0

고정된 스탑 레벨을 설정하는 가장 간단한 경우입니다. 그러나 우리는 이를 모든 전략에 일반화할 수 있습니다. 이제 동일한 MathCad 15를 사용하여 공식을 증명해 보겠습니다. 저는 이 프로그램을 오랫동안 사용해 왔습니다. 프로그래밍을 사용하더라도 거의 모든 복잡도 수준을 다루는 계산을 생성할 수 있습니다. 이 예제에서 우리는 위의 공식을 증명하는 것 외에도 프랙탈 공식을 구성하는 첫 번째 예를 살펴봅니다. 이제 가격 변동 과정을 스케치하는 것부터 시작하겠습니다. 여기서는 우리는 연속 함수를 사용할 수 없고 불연속 함수만 사용할 수 있습니다. 이를 위해 조건부 순서를 사용하여 위아래로 스톱 레벨 거리를 계산한 다음 각 스텝에 정수의 스텝이 포함되도록 이러한 세그먼트를 동일한 스텝으로 분할해 보겠습니다. 가격이 이러한 스텝에 따라 움직인다고 상상해 보세요. 스텝이 동일하므로 두 방향 중 어느 한 쪽에 스텝이 있을 확률은 0.5입니다. 적절한 프랙탈을 구현하려면 그래픽이 필요합니다:

이 문제를 해결하기 위해 세 가지 가능한 프랙탈 연속 사례를 살펴보겠습니다:

1. 중간 선 위에 있습니다 ( U > MiddleLine).
2. 중간 선 아래에 있습니다 ( U < MiddleLine ).
3. 중간 선 수준입니다 ( U = MiddleLine ).

"U"는 시가를 기준으로 "u-d" 상승한 총 스텝 수입니다. 프랙탈이 계속해서 만들어 지도록 하려는 지점이 가격보다 낮으면 U는 함수에 따라 음수 값을 취합니다. 마냑 우리가 중간 선에 있는 경우 선을 넘을 염려 없는 스텝 수는 Mid보다 한 스텝 적습니다. 그러나 작업을 진행하기 전에 가격이나 주문이 가능한 스텝 수로 프랙탈 작업을 제한해야 합니다. 스텝 수가 필요한 수를 초과하면 추가 작업을 중단해야 합니다. 그렇지 않으면 무한 재귀가 발생하여 종료할 수 없게 됩니다. 계산 시간은 무한대와 같습니다.

저는 그림에서 여러 개의 보라색 스텝를 그렸는데 이 지점에서 우리는 확률을 모아서 공통 변수로 합산합니다. 그 후 체인이 닿은 경계에 따라 체인을 위 또는 아래로 돌려서 체인이 계속 이동하여 새로운 중첩 프랙탈 레벨을 만들 수 있도록 해야 합니다. 다른 지점에서는 베르누이 체계를 기반으로 전체 프랙탈 레벨을 자유롭게 구축할 수 있습니다.

베르누이 체계를 기반으로 트리를 만들 수 있는 경우 먼저 모든 스텝이 위쪽만 있거나 아래쪽만 있는 극단적인 경우를 고려하여 만들 수 있는 스텝 수를 결정해야 합니다. 세 가지 경우 모두 값은 다음과 같습니다:

• (n - 1) - U - 체인이 이미 중간 선 위에있는 경우 (U가 증가하면 상한선까지의 거리가 감소하므로)
• (m - 1) + U - 체인이 이미 중간 선 아래에 있는 경우(U가 감소하면 하한선까지의 거리가 감소하기 때문에)
• (floor(Mid)-1) - 체인이 정확히 중간 선에 있는 경우
• n - 상위 세그먼트의 수
• m - 하위 세그먼트의 수
• floor - 함수는 분수 부분을 버립니다 (필요하지 않을 수도 있음).

먼저 두 개의 보조 값을 계산해야 합니다:

• Mid = (m+n)/2 - 범위 폭의 절반(스텝별)
• Middle = (m+n)/2 - m - 중간 선의 "U" 값(스텝별)

이 값은 나중에 프랙탈 분기 로직을 설명하는 데 사용됩니다. 지금은 "n>=m"인 경우에만 프랙탈을 생성하겠습니다. 하지만 이 데이터만으로는 프랙탈을 만들기에 충분하지 않습니다. 더 깊은 프랙탈 레벨을 만들려면 베르누이 체계에서 각각의 새로운 조합에 대해 "U"를 재정의하고 이를 새로운 프랙탈 레벨로 전달해야 합니다. 또한 수행되는 스텝 수를 올바르게 늘리고 더 정확하게 전달해야 합니다. 마찬가지로 다음 프랙탈 레벨의 승수를 사용하여 전체 체인의 확률을 수집하고 필요한 경계를 성공적으로 넘을 때까지 중간 체인의 확률을 다음 레벨로 더 전달해야 합니다. 아래 이미지에 이 세 가지 변형이 설명되어 있습니다:

  

이 다이어그램에 따라 우리는 이제 제시된 각 경우에 대해 'NewU' 값과 기타 보조 값이 어떤 값과 같을지 작성할 수 있습니다. 이제 프랙탈을 구성하여 상한 경계를 넘을 확률을 계산하는 예를 살펴보겠습니다:

사례 1의 경우

위 그림에서 무슨 일이 일어나고 있는지 수학적으로 알아봅시다. 이 그림은 MathCad 15에서 제가 만든 프로그램에서 가져온 것을 보여줍니다. 프로그램의 전체 코드는 아래에 첨부되어 있습니다. 여기에서 저는 프랙탈의 기초가 되는 가장 중요한 사항을 설명할 것입니다. 첫 번째 직사각형은 루프에 있으며 이 직사각형은 가능한 모든 조합을 설명하기 위해 "i"로 반복합니다. 이 로직은 MetaEditor IDE에서 반복될 수 있습니다. 다이어그램의 첫 번째 그림부터 시작하겠습니다. 'NewU'를 정의하기 위해서 우리는 먼저 몇 가지 기본 공식을 정의해야 합니다:

• ( n - 1 ) - U = f - 미래의 조합 트리의 스텝 수입니다 (거리는 프랙탈 범위의 가장 가까운 경계까지의 거리에 따라 결정됩니다).
• U + D = F - 동일한 값이지만 상승 및 하강 세그먼트의 수로 표현됩니다.
• s = u - d - 하강 및 상승 구간으로 표현되는 최종 스텝 수입니다.
• u = i - 저의 프로그램이 "i"로 반복을 사용하기 때문입니다(기억해야 합니다).

필요한 모든 값을 계산하려면 우리는 's'를 'U'와 'i'로 표현해야 합니다. 이를 위해 우리는 변수 'd'를 제외해야 합니다. 먼저 이를 표현한 다음 "s"의 표현식에 대입합니다:

1. d = f - u = f - i = ( n - 1 ) - U - i
2. s = i -( n - 1 ) + U + i = -( n - 1 ) + 2*i + U

다음으로 우리가 찾은 "s"를 사용하여 "NewU"와 다음 프랙탈 레벨로 전달할 모든 값을 찾습니다:

• NewU = s + U = -( n - 1 ) + 2*i + 2*U - 다음 프랙탈 레벨로 전달할 새로운 "U".
• NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( ( n - 1 ) - U ,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,( n - 1 ) - U -i) - 다음 프랙탈 레벨로 전달될 체인 "P"의 새로운 확률 (체인의 새 세그먼트의 확률을 곱하여 얻습니다) .
• NewS = S + f = S + ( n - 1 ) - U - 다음 프랙탈 레벨로 전달할 새로운 "S"

이제 아래쪽의 직사각형을 살펴보세요. 여기서는 스텝 체인이 범위의 위쪽 경계에 도달한 경우를 처리합니다. 여기서 두 가지 경우가 처리되어야 합니다:

1. 테두리와 교차하는 체인의 확률 수집(빨간색 밑줄)
2. 유사한 작업을 통해 다음 프랙탈 레벨로 전달할 새로운 값을 증가시킵니다.

이 경우는 가능한 변형이 두 가지 뿐이므로 매우 간단합니다:

1. 테두리 터치하기
2. 테두리에서 되돌리기

이러한 작업은 각 경우가 한 스텝만 의미하므로 베르누이 체계가 필요하지 않습니다. 교차 확률이 "p"이므로 반전 확률에는 "(1-p)"가 추가로 곱해지며 이전 계산에서 알 수 있듯이 이 두 이벤트는 집합적으로 완전한 집합을 형성해야 합니다. 스텝은 1씩 증가하며 'U'는 아래로 내려가는 반사이므로 '1'만큼 감소합니다. 이제 우리가 이 케이스를 올바르게 구축하기 위한 모든 것이 준비되었습니다. 이러한 규칙은 전혀 다른 케이스에서도 우리가 원하는 주요 프랙탈을 만드는 데에 동일하게 적용됩니다.

사례 2:

이 경우에도 계산은 거의 비슷합니다. 유일한 차이점은 "f"가 다른 값을 사용한다는 것입니다:

• ( m - 1 ) + U = f

다시 한 번 이전 사례에서 사용한 동일한 공식을 사용하여 "s"를 "U"와 "i"로 표현합니다:

1. d = f - u = f - i = ( m - 1 ) + U - i
2. s = i -( m - 1 ) - U + i = -( m - 1 ) + 2*i - U

이전과 마찬가지로 다음 프랙탈 레벨로 전달해야 하는 다른 모든 값을 찾습니다:

• NewU = s + U = -( m - 1 ) + 2*i - 다음 프랙탈 레벨로 전달될 새로운 "U"를 출력합니다.
• NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( ( m - 1 ) + U ,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,( m - 1 ) + U -i) - 체인 "P" 가 다음 프랙탈 레벨로 전달될 새로운 확률입니다.
• NewS = S + f = S + ( m - 1 ) + U -다음 프랙탈 레벨로 전달되는 새로운 "S"

아래쪽 직사각형은 반사가 증가하여 "U"가 1 증가한다는 점을 제외하면 이전 사례와 거의 동일합니다. 우리는 이 프랙탈에서 아래쪽 테두리와의 교차점에는 관심이 없습니다. 그러므로 이 경우 확률은 수집되지 않습니다. 이제 마지막 사례는 범위의 중간 선에서 체인이 발생한 경우입니다.

사례 3의 경우

"f"를 정의합니다:

• floor(Mid) - 1 = f

"s"를 찾습니다:

1. d = f - i = floor(Mid) - 1 - i
2. s = i - d = -(floor(Mid) - 1) + 2*i

마지막으로 다음 프랙탈 레벨로 전달될 값을 찾습니다:

• NewU = s + U = -(floor(Mid) - 1) + 2*i + U
  
• NewP = P * C(f,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,f-i) = P * C( floor(Mid) - 1,i) * Pow(p,i) * Pow(1-p,floor(Mid) - 1 - i) - 다음 프랙탈 레벨로 전달될 새로운 체인 확률 "P"입니다.
• NewS = S + f = S +(floor(Mid) - 1) - 다음 프랙탈 레벨로 넘어갈 새로운 "S".

이 경우의 특징은 블록이 확률을 수집하지 않는다는 점입니다. 왜냐하면 확률 체인이 다시 체인에 반영되어 더 퍼질 수 있도록 "U"의 경계 값에서만 확률을 수집될 수 있기 때문입니다. 위쪽 경계를 넘을 확률을 계산하기 위한 프랙탈을 생성하는 것은 동일하지만 확률은 첫 번째 경우가 아닌 두 번째 경우에 계산됩니다.

이러한 함수에서 이러한 프랙탈이 베르누이 공식의 필수적인 존재라는 것이 구성의 흥미로운 특징입니다. 조합은 분홍색으로 강조 표시되고 확률의 곱은 노란색으로 표시됩니다. 이 두 승수는 함께 베르누이 공식을 형성합니다.

이제 두 가지를 동시에 확인해 보겠습니다: 전체 프랙탈 구성의 정확성과 예상 보상이 예측 능력에만 의존한다는 가정에 대해서입니다. 스텝은 포인트와 거래로 표시될 수 있습니다. 후자의 경우 포인트에 랏과 틱 크기에 따른 적절한 비례 계수를 곱해야 합니다. 여기서는 포인트를 사용하겠습니다 - 이 표현은 보편적인 표현입니다:

이 예제에서는 우리는 다음과 같은 입력 데이터를 사용하여 수학적 기대치와 스텝업 확률을 비교하여 플롯했습니다:

• n = 3 - 상위 세그먼트 수
• m = 2 - 하위 세그먼트 수
• s = 22 - 프랙탈 함수의 연쇄 반응에 허용되는 스텝 수 (이 값을 늘리면 컴퓨터에 추가적인 부하가 발생하므로이 스텝 수로 충분합니다.)
• 0 ... 0.1 ... 0.2 ...... 1.0 - 상향 스텝 확률의 범위를 0.1스텝으로 10등분하여 10개의 부분으로 나눕니다.

보시다시피 0.5의 확률에 대한 우리의 거래의 수학적 기대치는 앞서 공식에서 예측한 대로 0과 같습니다. 극단적인 지점 0과 1에서 함수 값은 "n"과 "-m"이 되는 경향이 있으며 이는 우리의 가정과 같습니다. 프랙탈은 성공적으로 작업을 완료했지만 이 작업은 계산 시간과 복잡성이 크게 증가한다는 단점이 드러났습니다. 그러나 비슷한 작업을 위해 몇 시간 또는 하루를 기다리는 것은 당연한 것이기도 합니다.

이 프랙탈은 n >= m인 경우 즉 위쪽 테두리까지의 거리가 아래쪽 테두리까지의 거리보다 큰 경우에만 작동하지만 프랙탈에서 이를 제공할 필요는 없습니다. 이 구조는 미러링 될 수 있습니다. n < m인 경우 우리는 n 대신 m을, m 대신 n을 전달하여 프랙탈을 계산할 수 있습니다. 그런 다음 확률을 바꾸고 원하는 결과를 얻습니다. 이러한 프랙탈은 공식을 증명할 때뿐만 아니라 역의 방향으로 공식을 증명하는 데에도 사용될 수 있습니다. 일부 공식은 프랙탈을 사용해야만 얻을 수 있습니다.

요약

이 글을 통해 저는 다음과 같은 매우 중요한 결론이 도출되었다고 생각합니다:

• 확률 이론과 프로그래밍을 결합하면 여러가지 많은 시장 프로세스를 설명할 수 있는 이론적 근거를 얻을 수 있습니다.
• 프랙탈은 확률 이론의 주요 조항과 결합하여 가장 어려운 질문에 대한 답을 찾을 수 있게 합니다.
• 우리는 다소 복잡한 프랙탈을 만드는 예시를 살펴봤습니다.
• 전체 이론은 MathCad 15 환경에서 프로그래밍을 사용하여 실제로 테스트했습니다.
• 이 기사에서는 베르누이 체계가 두 스텝 상태의 프랙탈을 만들 수 있다는 것을 증명했습니다.

결론

독자분들이 이 자료에서 트레이딩에 실제로 사용할 수 있는 새로운 것을 발견할 수 있기를 바랍니다. 저는 이 글을 작성하면서 프랙탈 확률 체인을 사용하여 시장 프로세스를 설명하는 또 다른 어려운 작업에 대비하기 위해 이산 수학과 확률 이론의 모든 것을 전달하려고 노력했습니다. 저는 확률 이론의 모든 주요 조항을 하나의 자료로 결합하여 실제 거래에 사용되는 복잡한 작업을 해결하는 데 도움이 될 수 있도록 노력했습니다. 또한 관련 없는 세부 정보는 모두 삭제하려고 노력했습니다. 다음 글에서는 프랙탈의 실제 적용 사례와 기타 중요한 질문에 대한 답변에 대해 알아보도록 하겠습니다.