Algoritmik ticaret - sayfa 14
Ticaret fırsatlarını kaçırıyorsunuz:
- Ücretsiz ticaret uygulamaları
- İşlem kopyalama için 8.000'den fazla sinyal
- Finansal piyasaları keşfetmek için ekonomik haberler
Kayıt
Giriş yap
Gizlilik ve Veri Koruma Politikasını ve MQL5.com Kullanım Şartlarını kabul edersiniz
Hesabınız yoksa, lütfen kaydolun
Hesaplamalı Finans: Ders 9/14 (Monte Carlo Simülasyonu)
Hesaplamalı Finans: Ders 9/14 (Monte Carlo Simülasyonu)
Ders, Monte Carlo simülasyonu ve hesaplamalı finansta entegrasyon ile ilgili çeşitli konuları kapsar ve farklı yaklaşımlar ve teknikler hakkında fikir verir.
Öğretim görevlisi, entegrasyon problemlerini tanıtarak ve Monte Carlo örneklemesini kullanarak integrallerin nasıl hesaplanacağını göstererek başlar. İki yaklaşımı açıklarlar: entegrasyon için klasik yaklaşım ve beklenen değere dayalı entegrasyon. Öğretim görevlisi, Python'daki programlama gösterileri aracılığıyla simülasyonların nasıl analiz edileceğini ve daha verimli hale getirileceğini gösterir. Pürüzsüzlüğün yakınsama üzerindeki etkisini ve farklı yakınsama türlerini tartışırlar.
Ayrıca, ders iki önemli ayrıklaştırma tekniğini, yani Euler ve Milstein'ı kapsar ve simülasyondaki zaman adımına dayalı olarak hatanın nasıl kontrol edileceğini açıklar. Öğretim görevlisi, yaklaşık 90 yıldır çeşitli alanlarda kullanılan Monte Carlo simülasyonunun ilkelerini ve tarihçesini vurgular. 1930'larda, özellikle Manhattan Projesi sırasında fizikçiler arasında popülerlik kazandı.
Hesaplamalı finansta gelecekteki bir ödemenin beklenen değerini hesaplamanın önemi tartışılmıştır. Bu, sabit veya zamana bağlı faiz oranlarını göz önünde bulundurarak hisse senedi yoğunluğunu kullanarak gerçek eksen üzerinden integral almayı içerir. Örnekleme ve olasılık teorisi ile ilişkili Monte Carlo entegrasyonu, her simülasyonda değişen çıktılar sağlayan bir teknik olarak tanıtıldı. Ders, çok boyutlu problemlere uygulanmasını ve simülasyondaki ayarları düzenleyerek hata dağılımının varyansını kontrol etme yeteneğini vurgular. Öğretim görevlisi ayrıca örneklemeyi iyileştirme ve Monte Carlo ile simüle etme yöntemlerini tartışır.
Monte Carlo simülasyonunu kullanarak integralleri tahmin etmek için özel bir yöntem açıklanmaktadır. Bu yöntem, dikdörtgen bir alanda üniform olarak örnekleme noktalarını ve integrali tahmin etmek için eğri altındaki örneklerin oranını saymayı içerir. Finansta yaygın olarak kullanılmasa da, bu yaklaşım yüksek boyutlu problemler için değerli olabilir. Öğretim görevlisi, ilgi alanını verimli bir şekilde yakalamak için entegre edilen işlevi anlamanın önemini vurgular.
Ders ayrıca finansta Monte Carlo simülasyonunun sınırlamalarını ve zorluklarını da ele alıyor. Kaba tahminler sağlasa da, özellikle karmaşık simülasyonlar için sonuçlar oldukça yanlış olabilir. Öğretim görevlisi, Monte Carlo simülasyonlarında beklenen hatanın simülasyon sayısının karekökü kadar azaldığını ve bunun da hesaplama yoğunluğuna yol açtığını açıklıyor. Ders, integral ve beklenti yaklaşımları arasındaki ilişkiyi daha ayrıntılı olarak araştırıyor ve bunların nasıl bağlantılı olduğuna dair bir örnek sergiliyor. Finansta, beklenti yaklaşımı genellikle geleneksel Monte Carlo simülasyonundan daha verimli ve doğru kabul edilir.
Ders, büyük sayılar kanununu ve bunun bağımsız rasgele değişkenlerle ilişkisini kapsar. Varyansın tahmini ve ortalamanın belirlenmesi için beklentinin hesaplanması tartışılmaktadır. "Saf yaklaşım" ile beklenti yaklaşımı arasında bir karşılaştırma sunulur, ikincisi daha az örnekle bile önemli ölçüde daha doğru olduğunu kanıtlar. Öğretim görevlisi, işlevi entegre etme yaklaşımı için iki nokta belirtme ihtiyacını vurgulayarak bu simülasyonu gerçekleştirmek için kodu gösterir.
Finansta karşılaşılan stokastik integrallerin farklı örnekleri tartışılarak, zaman adımları üzerinden Brown hareketinin toplamı, artışlar üzerinden Brown hareketinin toplamı ve artışlarla Brown hareketinin çarpılması vurgulanır. Bir g(t) fonksiyonunun 0'dan T'ye bir g(s)dW(s) fonksiyonu ile entegre edildiği daha somut bir durum sunulmaktadır. Ders, entegrasyon aralığının daha küçük alt aralıklara nasıl bölüneceğini ve integrale yaklaşmak için Monte Carlo simülasyonunun nasıl kullanılacağını açıklar. Doğru sonuçlar için örneklem büyüklüğünün ve değer aralığının önemi vurgulanmıştır.
Konuşmacı, deterministik bir integralin bir bölme ve yaklaşıklık süreci aracılığıyla sayısal olarak nasıl çözüleceğini açıklar. Ito integralini tanıtırlar ve sol sınırda seçilen integral ile aralığın başında GT fonksiyonunun değerlendirilmesini açıklarlar. Öğretim görevlisi, T karenin GT fonksiyonuna sahip bir örnek kullanarak, Ito izometri özelliği ile beklenti ve varyansın nasıl elde edileceğini gösterir. Hesaplamayı simüle etmek için Python kodu sağlanır ve ilgili adımlar açıklanır.
Brownian hareketinin oluşturulması ve bir sürecin oluşturulmasında ve bir integralin tanımlanmasında kullanımı tartışılmaktadır. Ders, bir dağılım oluşturma ve onu Brownian hareket sürecini oluşturmak için kullanma sürecinden geçer. Ölçekleme koşulunu kaldırmanın dağılım ve varyans üzerindeki etkisi gösterilmiştir. Öğretim görevlisi ayrıca Ito Lemma'sını uygulayarak Brown hareketi içeren integralleri çözmek için bir numara açıklıyor. Son olarak ders, integrali hesaplamak için x kare fonksiyonunun nasıl dikkate alınacağını gösterir.
tw kare t'ye eşit bir fonksiyonun dinamiklerini elde etmek için Ito Lemma'sının uygulanması tartışılmaktadır. Ders, Ito'nun Lemmasını x kareye uygulayarak, entegrasyon yoluyla hesaplanan ve normal dağılım yerine pi kare dağılımıyla sonuçlanan bir terim ortaya koyuyor. Konuşmacı, istenen sonuca ulaşmak için hangi tür işlevin uygulanacağını tahmin etmede deneyimin önemini vurgular. Kod, integraller arasında geçiş yapacak şekilde değiştirilir ve sonucu iyileştirmek için örnek sayısında bir artış önerilir.
Monte Carlo simülasyonları, sayısal rutinler ve kaliteli rasgele sayı üreteçlerinin önemi tartışılır. Ders, Ito'nun Lemmasını açıklıyor ve dwt dwt'nin neden sıfıra eşit olduğunu anlamak için buluşsal bir yaklaşım sunuyor. Grid boyutunun küçültülmesinin varyansın beklenenden daha hızlı yakınsamasına yol açtığı görülmektedir. Varyans neredeyse sıfıra yaklaşırken beklentinin daha yavaş bir oranda sıfıra gittiğini göstermek için bir deney yapılır. Konuşmacı, dwt dwt'nin neden sıfıra eşit olduğu konusunda bir sezgi sağlarken, bu ilişkinin teorik kanıtının oldukça karmaşık olduğunu kabul ediyor.
Ders, iki benzer fonksiyonun, g1 ve g2'nin yakınsamasını inceler ve bir Brownian hareketinden örneklendiğinde beklentilerini araştırır. Bu fonksiyonların limitleri, x eksi sonsuza yaklaşırken 0 ve x artı sonsuza yaklaşırken 1'dir. Öğretim görevlisi, artan simüle edilmiş örnek sayısı için hatayı hesaplar ve hatayı örnek sayısıyla karşılaştıran bir grafik sunar. Pürüzsüz bir eğriye ve geniş salınım aralığına sahip olan birinci fonksiyon, pürüzsüz bir eğriye sahip olan ve daha hızlı yakınsayan ikinci fonksiyonla zıtlık oluşturur.
Finansta Monte Carlo simülasyonu kullanılırken yakınsama çok önemli bir husus olarak vurgulanır. Ders, zayıf yakınsama ile güçlü yakınsama arasındaki farkı açıklar, güçlü yakınsama zayıftan daha güçlüdür. Pürüzsüz olmayan işlevler ve dijital tip getirilerle uğraşırken yakınsamada hatalar meydana gelebilir ve bu da önemli ölçüde farklı değerlendirme sonuçlarına yol açar. Her iki yakınsama türünün farklılıklarını ve etkilerini anlamak, doğru finansal simülasyonlar ve değerlendirmeler sağlamak için kritik öneme sahiptir.
Ders, Monte Carlo simülasyonları ve fiyatlandırma algoritmaları bağlamında zayıf ve güçlü yakınsamayı tartışır. Zayıf yakınsama, anları beklenti düzeyinde eşleştirirken, doğru yola bağlı getiriler için güçlü yakınsama gereklidir. Eksiksiz bir Monte Carlo fiyatlandırma algoritması, mevcut zamandan sözleşmenin ödeme tarihine kadar bir tablo, bir fiyatlandırma denklemi ve varlık için stokastik bir sürücü tanımlamayı içerir. Stok sürecinin karmaşıklığından dolayı kapalı form değerlendirmeleri mümkün olmadığında Monte Carlo simülasyonları gereklidir. Izgara tipik olarak eşit aralıklıdır, ancak bazı durumlarda alternatif stratejiler kullanılabilir.
Profesör, Monte Carlo simülasyonunun doğruluğunu ve zaman kısıtlamalarını vurguluyor. Zaman adımlarının sayısını artırmanın doğruluğu artırırken, simülasyon süresini de artırdığına dikkat çekilmektedir. Daha büyük Monte Carlo adımlarına izin veren gelişmiş teknikler veya kapalı biçimli çözümler, hem doğruluk hem de hız elde etmede faydalı olabilir. Ders daha sonra Avrupa tipi bir seçenek için ızgaraları, varlığı ve getiriyi tanımlamaya devam eder. Seçeneğin son durumu, gözlemlerin zamanlamasına bağlıdır. Ders, beklentiyi kuyruk ölçüsü altına alıp iskonto ederek opsiyon fiyatının nasıl hesaplanacağını ve ayrıca elde edilen sonuçların değişkenliğini ölçmek için standart hatanın nasıl hesaplanacağını açıklar.
Standart hata kavramı, Monte Carlo simülasyonu bağlamında tartışılmaktadır. Ders, beklentinin güçlü büyük sayılar yasası kullanılarak hesaplanabileceğini ve ortalamanın varyansının, örneklerin bağımsız olarak çekildiği varsayılarak hesaplanabileceğini açıklar. Belli sayıda yol verilen beklentinin değişkenliğini ölçen standart hata, varyansın yol sayısının kareköküne bölünmesiyle belirlenebilir. Örnek sayısı arttıkça hata azalır. Tipik olarak, örnek sayısını dört kat artırmak, hatayı iki kat azaltacaktır. Stokastik diferansiyel denklemleri simüle etmenin klasik bir yöntemi, basit ama sınırlamaları olan Euler ayrıklaştırmasıdır.
Öğretim görevlisi, Monte Carlo simülasyonlarında stokastik diferansiyel denklemlerin ve Euler ayrıklaştırmasının kullanımını tartışır. Süreç, bir ızgara tanımlamayı, bir simülasyon gerçekleştirmeyi ve kesin çözüm ile simülasyon arasındaki farkı mutlak hata yoluyla ölçmeyi içerir. Karşılaştırılabilirliği sağlamak için hem kesin hem de ayrıklaştırılmış sürümlerdeki değişkenlerin rastgeleliğinin aynı olmasını sağlamak önemlidir. Ders ayrıca, her zaman adımı ve yolu için çift döngü kullanmaktan daha verimli olduğu için Monte Carlo simülasyonlarında vektörleştirmenin önemini vurgular. Ancak, bu yaklaşımın süreci basitleştirmesine karşın, doğruluk ve hız açısından sınırlamalar getirdiğine dikkat etmek önemlidir.
Bir sürüklenme terimli ve değişkenlik terimli (r ve sigma) Brown hareketinin kesin çözümü, tam temsilde üretilen Brown hareketi ve yaklaşımda kullanılan hareketin aynısı kullanılarak incelenir. Ders, zayıf yakınsamadaki mutlak hata ile ortalama hatayı karşılaştırır ve zayıf yakınsamanın Avrupa tipi bir getiriyi fiyatlandırmak için yeterli olduğunu ancak yola bağlı getiriler için yeterli olmayabileceğini vurgular. Grafikler, bazı yollar için ikisi arasındaki farkların gözlemlenebildiği kesin çözüme kıyasla Euler ayrıklaştırması için oluşturulan yolları göstermek için gösterilmiştir. Ders, güçlü ve zayıf hataların karşılaştırılmasıyla sona erer.
Konuşmacı, kod kullanarak Monte Carlo simülasyonlarının uygulanmasını tartışıyor. Derste daha önce tartışıldığı gibi, hatayı ölçmek için bir hata ölçüsünün kullanılması gerektiğini açıklıyorlar. Kod, yollar oluşturur ve çok renkli simülasyon kullanarak kesin değerleri yaklaşık değerlerle karşılaştırır. Çıktılar, stok için zaman yolları ve kesin değerlerdir. Konuşmacı, hem yaklaşıklık hem de kesin çözüm için aynı Brown hareketlerini hata seviyesinde karşılaştırmanın önemini vurgular. Zayıf ve güçlü yakınsama hatalarını ölçmek için bir dizi adım tanımlarlar ve her adım için Monte Carlo simülasyonları gerçekleştirirler. Kod iki tür hata üretir: zayıf hata ve güçlü hata.
Öğretim görevlisi, Monte Carlo yönteminde yer alan simülasyon sürecini ve simülasyonun birçok kez tekrarlanması gerektiğinden bunun nasıl zaman alıcı olabileceğini tartışır. Sonuçlar, zayıf yakınsama hatasının yavaş büyüyen mavi çizgiyle temsil edildiği, güçlü yakınsama hatasının delta T şeklinin karekökünü takip ederek analizi doğruladığı zayıf ve güçlü yakınsama grafikleriyle gösterilir. Öğretim görevlisi, Taylor açılımını uygulayarak ek terimler türeten Milstein'ın ayrıklaştırma tekniği ile hatanın önemli ölçüde azaltılabileceğini açıklıyor. Nihai formüle ulaşmak için daha fazla çalışma gerektirse de Milstein'ın planı, analitik olarak her zaman mevcut olmayan oynaklık teriminin türevini gerektirir.
Konuşmacı, Monte Carlo simülasyonunun hesaplamalı finansta, özellikle geometrik Brown hareketinde kullanımını açıklıyor. Volatilite teriminin dağılım anlamında nasıl hesaplanacağını ve Euler şemasıyla nasıl karşılaştırılacağını gösterirler. Monte Carlo simülasyonu, Euler'in yönteminden daha hızlı bir yakınsama oranına sahip olsa da, ek hesaplama hesaplamaları gerektirdiğinden, çok boyutlu modellerde türevi türetmek zor olabilir. Ayrıca konuşmacı, iki şema arasındaki zayıf ve güçlü duyulardaki mutlak hatayı karşılaştırarak, Monte Carlo'nun güçlü hatasının delta t'de doğrusal olduğunu, Euler'in zayıf hatasının ise aynı sırada olduğunu vurgular. Son olarak, geometrik Brownian hareketinde yollar oluşturmak ve bunun güçlü yakınsamasını analiz etmek için Monte Carlo simülasyonunun bir kod uygulamasını sağlarlar.
Konuşmacı, Black-Scholes veya geometrik Brown hareketi örneğini kullanarak farklı ayrıklaştırma tekniklerinin yakınsama üzerindeki etkisini tartışır. Euler ve Milstein şemalarının analizi, farklı ayrıklaştırma tekniklerinin etkisinin bir örneği olarak hizmet eder. Konuşmacı, Milstein ve Euler şemaları arasındaki hataları karşılaştırarak Milstein şemasının hatasının Euler'inkinden çok daha düşük olduğunu, ancak her zaman uygulanabilir olmayabileceğini gösteriyor. Nihai sonuçlara bakıldığında farklı şemaların faydası belirgin olmayabilir, ancak simülasyonun hesaplama maliyeti göz önüne alındığında, zaman çok önemli hale gelir. Bu nedenle, Monte Carlo'nun hızlı simülasyonlarını yapmak istiyorsak, büyük zaman adımlarını kullanmak çok önemli olacaktır.
Öğretim görevlisi daha sonra rastgele sayı üreteçlerinin (RNG'ler) Monte Carlo simülasyonlarındaki rolünü tartışmaya devam eder. Doğru ve güvenilir sonuçlar elde etmek için kaliteli RNG kullanmanın önemini vurguluyorlar. Öğretim görevlisi, sözde rasgele sayı üreteçlerinin (PRNG'ler) simülasyonlarda yaygın olarak kullanıldığından bahseder ve bunların rasgeleliğe yaklaşan sayı dizilerini nasıl ürettiklerini açıklar. Ayrıca, RNG için sabit bir başlangıç değeri kullanarak simülasyonlarda tekrar üretilebilirlik ihtiyacını vurgularlar. Daha sonra öğretim görevlisi, Monte Carlo simülasyonlarında kullanılan bir varyans azaltma tekniği olan antitetik değişkenler kavramını tartışır. Antitetik değişkenlerin arkasındaki fikir, ilgilenilen miktar üzerinde zıt etkileri olan rastgele değişken çiftleri oluşturmaktır. Orijinal değişkenlerden ve bunların antitetik karşılıklarından elde edilen sonuçların ortalaması alınarak, tahminin varyansı azaltılabilir. Bu teknik özellikle simetrik dağılımlarla uğraşırken kullanışlıdır.
Ders daha sonra başka bir varyans azaltma tekniği olarak kontrol değişkenleri kavramını tanıtır. Kontrol değişkenleri, ilgilenilen miktarla ilişkili olan simülasyon sürecine bilinen bir fonksiyonun dahil edilmesini içerir. Bilinen fonksiyondan elde edilen tahmin, hedef fonksiyondan elde edilen tahminden çıkarılarak tahminin varyansı azaltılabilir. Öğretim görevlisi, kontrol değişkenlerinin pratikte nasıl uygulanabileceğini göstermek için örnekler sunar. Varyans azaltma tekniklerine ek olarak, öğretim görevlisi tabakalı örnekleme kavramını tartışır. Tabakalı örnekleme, numune uzayının tabakalara bölünmesini ve her tabakadan ayrı ayrı numune alınmasını içerir. Bu yaklaşım, her katmanın örneklemde temsil edilmesini sağlayarak daha doğru tahminlere yol açar. Ders, tabakalı örnekleme uygulama prosedürünü açıklar ve basit rastgele örneklemeye göre avantajlarını vurgular.
Son olarak, öğretim görevlisi önem örneklemesi kavramını araştırır. Önem örneklemesi, istenen olayı üretme olasılığı daha yüksek olan örneklere daha yüksek olasılıklar atayarak nadir olayların olasılığını tahmin etmek için kullanılan bir tekniktir. Ders, önem örneklemesinin nadir olay tahmini için Monte Carlo simülasyonlarının verimliliğini nasıl artırabileceğini açıklar. Öğretim görevlisi örnekler verir ve doğru sonuçlar için uygun bir örnekleme dağılımı seçmenin önemini tartışır.
Ders, entegrasyon problemleri, Monte Carlo örneklemesini kullanarak integrallerin hesaplanması, programlama gösterimleri, yakınsama analizi, ayrıklaştırma teknikleri, Monte Carlo simülasyonunun ilkeleri ve tarihçesi, hesaplamalı finansta uygulama, varyans azaltma gibi Monte Carlo simülasyonlarıyla ilgili bir dizi konuyu kapsar. teknikleri ve önem örneklemesi. Öğretim görevlisi, Monte Carlo simülasyonlarının teorisi ve pratik uygulaması hakkında fikir verir ve bunların çeşitli alanlardaki önemini vurgular.
Hesaplamalı Finans: Ders 10/14 (Heston Modelinin Monte Carlo Simülasyonu)
Hesaplamalı Finans: Ders 10/14 (Heston Modelinin Monte Carlo Simülasyonu)
Ders, zorlu Heston modelini kullanarak özellikle Avrupa opsiyonları olmak üzere fiyat türevleri için Monte Carlo simülasyonunun kullanılmasına odaklanmaktadır. Avrupa ve dijital seçeneklerin Monte Carlo ve basit Black-Scholes modeli kullanılarak fiyatlandırıldığı bir ısınma çalışmasıyla başlar. Heston modelindeki varyansı modelleyen Cox-Ingersoll-Ross (CIR) sürecinin simülasyonu tartışılmış ve bu dağılımdan doğru örnekleme ihtiyacı vurgulanmıştır. Öğretim görevlisi, CIR modelinin tam simülasyonunu göstererek, doğru örnekler oluşturmadaki faydalarını vurgular.
Daha sonra öğretim görevlisi, Euler ayrıklaştırmasına kıyasla daha büyük zaman adımlarına ve daha yüksek doğruluğa izin veren neredeyse kesin simülasyon kavramını tanıtır. Heston modeli, hem Euler hem de Milstein şemaları kullanılarak simüle edilmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Avrupa tipi getiriler için zayıf yakınsama, yola bağlı getiriler için güçlü yakınsama önemlidir. Gerçek dünya uygulamalarındaki hesaplama süresi kısıtlamaları dikkate alındığında, getiri türüne ve istenen sonuç kalitesine bağlı olarak adım veya yol sayısının ayarlanması gereklidir.
Değerlendirmeler için gereken hesaplama süresi tartışılmış ve Euler ve Milstein ayrıklaştırma şemaları arasında bir kod karşılaştırması sunulmuştur. Öğretim görevlisi, yalnızca nihai stok değerini gerektiren getiri değerlendirmesi için tüm yolların saklanmasının gerekli olmayabileceğini vurgulayarak, üretim ortamları için kod optimizasyonu konusunda tavsiyelerde bulunur. Ders ayrıca Black-Scholes modelinin basitleştirilmiş bir uygulaması olarak kesin çözümü sağlar.
Monte Carlo simülasyonu kullanılarak dijital veya nakit ya da hiç seçeneklerin fiyatlandırması, Avrupa seçenekleriyle karşılaştırıldığında geri ödeme hesaplamasındaki farklılıkları vurgulayarak açıklanmaktadır. Teşhis ve çıktılar, her iki seçenek türü için yaklaşımları karşılaştırmak üzere sunulur. Ders, güçlü yakınsamanın mevcut olmadığı terminal bağımlı getirilere sahip seçenekler için Monte Carlo simülasyonlarının sınırlamalarını kabul ediyor. Kodun genel doğası vurgulanarak Heston modeli gibi diğer modellere uygulanabilir hale getirilir.
Ders, Heston modelinin iyi davranması için gerekli koşulları derinlemesine inceler ve ayrıklaştırma tekniklerinin bu koşulları nasıl etkileyebileceğini tartışır. Oynaklık parametresindeki değişikliklerin modelin davranışı üzerindeki etkisi grafiklerle gösterilmiş ve sürecin olumsuza dönüşmemesi gerektiği vurgulanmıştır. Euler ayrıklaştırmasının bu koşulları sağlamadaki sınırlamaları da vurgulanmıştır. Monte Carlo simülasyonu ile Heston modelinin bir sonraki iterasyonunda negatif gerçekleşme olasılığı tartışılmıştır. Olumsuz gerçekleşme olasılığı, belirli parametreler arasındaki ilişkiye göre hesaplanmakta ve önemli fiyat farklılıklarından kaçınmak için Monte Carlo yollarının modelle uyumlu hale getirilmesinin önemi vurgulanmaktadır. Heston model simülasyonunda negatif değerleri işlemek için iki yaklaşım tartışılmaktadır: kesme ve yansıtan Euler şeması. Her bir yaklaşımın artıları ve eksileri karşılaştırıldı ve daha yüksek hesaplama maliyetine rağmen daha küçük zaman adımlarının yanlılığı azaltma üzerindeki etkisinden bahsedildi.
Ders, doğrudan merkezi olmayan ki-kare dağılımından örneklemeyi mümkün kılan Heston modelinde CIR süreci için tam simülasyon kullanımını araştırıyor. Bu yaklaşım, küçük zaman adımlarına olan ihtiyacı ortadan kaldırır ve belirli ilgi zamanlarında örneklemeye izin verir. Simülasyon için hesaplama kodu, basitliği ve örneklerin üretilmesi için optimalliği vurgulanarak açıklanmıştır. Ders, hem X hem de varyans değerleri için Heston model sürecinin entegrasyonunu derinlemesine inceler ve ikame yoluyla elde edilen basitleştirmeyi vurgular. Daha kolay entegrasyon için büyük zaman adımlarının kullanılması önerisiyle birlikte, çok boyutlu simülasyonlarda süreçlerin uygun şekilde sıralanmasının önemi vurgulanmıştır. Ders, kaliteyi korurken hesaplama süresini kısaltmayı amaçlayan belirli tarihlerdeki fiyatlandırma seçenekleri için büyük zaman adımlı simülasyonların önemini ele alıyor. Merkezi olmayan ki-kare dağılımından örnekleme kullanan kesin simülasyonlar, ek yaklaşımlar getirmeden önerilir. Ders ayrıca delta t'nin simülasyon doğruluğu üzerindeki etkisini tartışır ve sonuçlar üzerindeki etkisinin araştırılmasını önerir.
Hesaplamalı finansta hata kavramı, Heston modelinin neredeyse kesin simülasyonunun performansını analiz eden sayısal bir deney sunan dersle tartışılıyor. Ders, integralleri basitleştirerek ve CIR sürecinin neredeyse kesin simülasyonunu kullanarak, simülasyonun stokastik olmaktan çok deterministik hale geldiğini açıklar. Öğretim görevlisi, bu basitleştirilmiş şemanın Heston modelini simüle etmedeki performansını değerlendirmek için sayısal bir deney yapar.
Ders ayrıca, hesaplama çabası ile hesaplamalı finans çerçevesinde ortaya çıkan küçük hata arasındaki dengeyi araştırıyor. Öğretim görevlisi, oynaklık süreçleri için Feller koşulu pratikte genellikle karşılanmadığından, modeli piyasa verilerine göre kalibre etme ihtiyacını vurgular. Ders, Heston modeli için korelasyon katsayılarının, potansiyel olarak sayısal şema mülahazalarından dolayı tipik olarak son derece negatif olduğunu belirtiyor.
Öğretim görevlisi, egzotik türevlerin fiyatlandırılması için Monte Carlo simülasyonunun kullanımını tartışır ve modeli likit enstrümanlara göre kalibre etmenin önemini vurgular. Fiyatlandırma doğruluğu, model kalibrasyonundan elde edilen parametreler kullanılarak ve türev ile ilgili riskten korunma araçları dikkate alınarak Monte Carlo yollarının simüle edilmesiyle sağlanır. Öğretim görevlisi, daha az zaman adımıyla bile neredeyse kesin simülasyonun Euler ayrıklaştırmasına göre üstünlüğünü vurgular ve Euler hatasının ana kaynağının, aşırı parametreler veya Feller koşulunun ihlalleri altında varyans sürecinin sorunlu ayrıklaştırılmasında yattığını açıklar.
Heston modelindeki Euler ayrıklaştırmasının doğruluğu, derin kârda, zararda ve kârda seçenekler dahil olmak üzere farklı seçeneklerle yapılan deneylerle araştırılır. Ders, deneyde kullanılan kodu sunar, Euler ayrıklaştırmasına ve CIR örneklemesini ve merkezi olmama parametresini kullanarak günlük stok sürecinin simülasyonunu içeren neredeyse kesin simülasyona odaklanır.
Öğretim görevlisi, hem Euler ayrıklaştırmasını hem de neredeyse kesin simülasyonu kullanarak Avrupa seçeneklerini fiyatlandırmak için simülasyonların ayarlarını ve yapılandırmalarını tartışır. CIR sürecinin tam simülasyonu, Brown hareketlerinin korelasyonu ve üstel dönüşüm, simülasyonun ayrılmaz parçalarıdır. Kullanım fiyatı ve zaman adımı gibi değişkenlerin simülasyonların doğruluğu üzerindeki etkisi sergilenerek genel bir işlev kullanılarak opsiyon fiyatlandırması gösterilmiştir. Ders, neredeyse kesin simülasyonun Euler şemasına kıyasla daha az zaman adımıyla yüksek doğruluk elde ettiğini vurgulayarak sona erer.
Ders, Heston modelinde türevlerin fiyatlandırılması için Monte Carlo simülasyonunun kullanımını kapsamlı bir şekilde kapsar. CIR sürecinin simülasyonunu araştırır, zorlukları ve tuzakları tartışır ve farklı ayrıklaştırma şemalarını karşılaştırır. Ders, neredeyse kesin simülasyonun faydalarını vurgular, kalibrasyonun ve model doğruluğunun önemini vurgular ve hesaplamalı finansta Monte Carlo simülasyonlarını uygulamak için pratik bilgiler ve kod örnekleri sağlar.
Hesaplamalı Finans: Ders 11/14 (Korunma ve Monte Carlo Yunanlılar)
Hesaplamalı Finans: Ders 11/14 (Korunma ve Monte Carlo Yunanlılar)
Derste, finansta türev fiyatlandırma kadar önemli olan riskten korunma kavramı vurgulanmaktadır. Öğretim görevlisi, bir türev fiyatının belirli parametreler üzerindeki etkisini ve bir riskten korunma deneyinin nasıl yürütüleceğini belirlemek için çeşitli hassasiyet hesaplamalarını derinlemesine araştırır. Black-Scholes modelinde riskten korunma ilkeleri, kâr ve zarar simülasyonu, dinamik riskten korunma ve sıçramaların etkisi dahil olmak üzere birçok temel konu ele alınmaktadır. Öğretim görevlisi, riskten korunma kavramının bir türevin değerini belirlediğini ve riskten korunma fiyatının onun genel değerini belirlediğini vurgular.
Kapsamlı bir anlayış sağlamak için, öğretim görevlisi finans endüstrisindeki riskten korunma kavramını açıklayarak başlar. Finansal kurumlar, egzotik bir türevin değerine ek bir spread uygulayarak gelir elde eder. Riski azaltmak için türevi kopyalayan bir portföy oluşturulur. Bu portföy, portföyün hisse senedine duyarlılığına karşılık gelen artı işaretli ve eksi deltalı türev değerinden oluşur. Uygun bir deltanın seçilmesi, kullanılan modelle uyumlu olması için alınması veya satılması gereken hisse senedi sayısını belirlediği için çok önemlidir. Öğretim görevlisi, sözleşmenin ömrü boyunca deltanın sürekli olarak ayarlandığı ve ortalama sıfır kar kaybıyla sonuçlanan bir deney gösterir.
Ders, delta riskten korunma kavramını kapsar ve dinamik ve statik riskten korunma arasında ayrım yapar. Delta koruması, bir portföydeki risk faktörlerini korumak için kullanılır ve yinelenen portföyün değeri, korumanın deltasını belirler. Dinamik riskten korunma, deltada sık sık yapılan ayarlamaları içerirken, statik riskten korunma, türev sözleşmelerinin yalnızca başında veya belirli aralıklarla türevlerin alınmasını veya satılmasını gerektirir. Video ayrıca, fiyatlandırma modelindeki stokastik diferansiyel denklemlerin sayısına karşı korumaların hassasiyetini ve riskten korunma sıklığının potansiyel karları ve kayıpları nasıl etkilediğini tartışıyor.
Kâr ve zarar (P&L) hesabı kavramını tanıtan ders, türevleri satarken ve bunları korurken kazanç veya kayıpları izlemedeki rolünü açıklar. K&Z hesabı, bir opsiyonun satışından elde edilen ilk hasılattan ve tasarruf veya borçlanmadan elde edilen faiz oranlarına bağlı olarak zamanla büyüyen delta h değerinden etkilenir. Amaç, türevin vadesinde dengelenen ve Black-Scholes modeline göre ücretlendirilen bir rayiç değeri gösteren bir P&Z hesabı elde etmektir. Bununla birlikte, model uygun şekilde seçilmezse, gerçeğe uygun değere eklenen ekstra spread, riskten korunma maliyetlerinin tamamını karşılamayabilir ve bu da zarara neden olabilir. Bu nedenle, alternatif türevlerin fiyatlandırılması için gerçekçi ve sağlam bir modelin kullanılması esastır.
Ders, yinelemeli riskten korunma sürecini ve vade süresinin sonunda kar ve zararın (P&L) hesaplanmasını ele alır. Bu süreç, bir opsiyonun t0 ve t1 zamanlarındaki deltasının hesaplanmasını ve ardından alınacak veya satılacak hisse senedi sayısını belirlemek için aralarındaki farkın belirlenmesini içerir. Bir opsiyonu satmanın esasen oynaklığı satmayı ve prim toplamayı içerdiğinden, öğretim görevlisi neyin satıldığını ve toplandığını anlamanın önemini vurgular. Sürecin sonunda, satılan opsiyonun değeri, vade sonundaki hisse senedi değerine göre belirlenir ve P&Z, ilk prim, vade sonundaki değer ve iteratif süreç boyunca alınan veya satılan hisse senedi miktarı kullanılarak değerlendirilir. .
Öğretim görevlisi, hisse senetlerinin değeriyle ilgili değişkenliği ve hassasiyeti azaltmanın bir yolu olarak hesaplamalı finansta riskten korunmaya odaklanıyor. Ders, riskten korunmanın kayıpları en aza indirmeye nasıl yardımcı olduğunu açıklığa kavuşturur ve Monte Carlo yolu simülasyonlarında piyano dağılımı kavramını tanıtarak, bir Kâr ve Zarar beklentisinin ortalama olarak sıfır olması gerektiğini vurgular. Egzotik bir türevin satılmasından ve riskten korunmadan elde edilen kâr, beklenen P&Z sıfır olduğundan müşteriye uygulanan ek marjdan kaynaklanır.
Fourier Dönüşüm modeli gibi gelişmiş modellerde yoğunluğun bilinmemesinin getirdiği zorlukların üstesinden gelmek için hassasiyetleri hesaplamak için alternatif yöntemler kullanılır. Böyle bir yaklaşım, stokastik süreçlerdeki parametrelere göre rastgele değişkenlerin türevlerini hesaplamak için matematiksel bir çerçeve sağlayan Malliavin hesabıdır.
Malliavin hesabı, klasik türevler kavramını stokastik süreçler tarafından yönlendirilen rasgele değişkenlere genişleten Malliavin türevi kavramını sunar. Bu türev, geleneksel yöntemlerin uygulanamayabileceği karmaşık modeller için hassasiyetlerin hesaplanmasını sağlar. Uygulamacılar, Malliavin türevini kullanarak Fourier Dönüşüm modelindeki çeşitli parametrelere ilişkin hassasiyetler elde edebilirler. Bu yaklaşım, modelde mevcut olan karmaşık bağımlılıkları ve dinamikleri yakaladığı için daha doğru fiyatlandırma ve risk yönetimi sağlar. Bununla birlikte, Malliavin hesabını kullanmanın ileri matematiksel teknikler ve derin bir stokastik analiz anlayışı gerektirdiğine dikkat etmek önemlidir. Genellikle kantitatif finans ve matematiksel finans uzmanları tarafından araştırılan özel bir alandır.
Özetle, Fourier Dönüşümü modeli gibi bilinmeyen yoğunlukları içeren modellerle uğraşırken, Malliavin hesabı hassasiyetleri hesaplamak için güçlü bir araç sağlar. Bu yaklaşım, karmaşık finansal senaryolarda risklerin değerlendirilmesini ve türevlerin doğru değerlemesini sağlar.
Hesaplamalı Finans: Ders 12/14 (İleri Başlangıç Seçenekleri ve Bates Modeli)
Hesaplamalı Finans: Ders 12/14 (İleri Başlangıç Seçenekleri ve Bates Modeli)
Ders, başlangıç tarihi ertelenmiş bir tür Avrupa seçeneği olan ve genellikle performans seçenekleri olarak adlandırılan ileriye doğru başlatma seçeneklerinin inceliklerini ele alıyor. Bu seçenekler, standart Avrupa seçeneklerinden daha karmaşıktır ve ders, bunların getiri tanımlarına ve Avrupa seçeneklerine kıyasla avantajlarına genel bir bakış sunar.
İleriye dönük başlangıç seçenekleri için fiyatlandırma teknikleri daha kapsamlıdır ve ders, karakteristik fonksiyonların kullanımına odaklanır. İki tür ileriye doğru başlama seçeneğini araştırıyor: Black-Scholes modelini kullanan biri ve Heston modeli altındaki daha zorlu fiyatlandırma. Python'daki uygulama ve dalgalanmalara bağlı bir ürünün fiyatlandırması da ele alınmaktadır. Ders, Avrupa seçeneklerinin yapı taşları olarak önemini ve bunların kalibrasyonunu ve egzotik seçeneklerle ilişkisini vurgular. Merton sıçramalarını dahil ederek Heston modelini genişleten Bates modeline değiniyor ve iyi kalibre edilmiş modeller sağlamak için riskten korunma parametrelerinin kullanımını vurguluyor. Video, ileri başlatma seçeneklerinde bilinmeyen ilk stok değerinin ileri bir zamanda (t1) nasıl belirlendiğini açıklamakta ve bu seçeneklerle ilgili olarak filtreleme kavramını tanıtmaktadır. Ders aynı zamanda ileriye dönük başlangıç seçeneklerinin diğer türevler için yapı taşları olarak nasıl hizmet edebileceğini inceler ve türev maliyetlerini azaltmak için bir strateji sunar. Ayrıca, profesör, bir tıklama seçeneğinin oluşturulmasını, istenen bir türev yapısını ve bunun Avrupa aramaları ve ileri başlatma seçenekleriyle ilişkisini kapsar. Ders, fiyatlandırma için iskonto faktörlerini hesaplarken ödeme tarihlerini belirlemenin önemini vurgulamaktadır. Ayrıca, iki hisse senedinin oranının, oranın logaritmasının üssü olarak nasıl yeniden formüle edilebileceğini de gösterir.
Monte Carlo simülasyonu ve Black-Scholes modeli gibi analitik çözümler de dahil olmak üzere ileriye dönük başlangıç seçenekleri için çeşitli fiyatlandırma yöntemleri tartışılmaktadır. Belirli bir süreç sınıfındaki herhangi bir model için ileri başlatma seçeneklerinin fiyatlandırılmasına izin veren ileri karakteristik fonksiyonunu bulma ihtiyacı açıklanmaktadır. Ders, karakteristik fonksiyonu ve iki hisse senedinin IU logaritmasının beklentisini kullanarak ileriye dönük bir başlangıç opsiyonunun fiyatlandırılmasını gösterir. Karakteristik fonksiyon belirlenirken daha büyük bir sigma alanına şartlanma araştırılarak eksi loga sahip üssün beklenti dışına alınması sağlanır. T2'den T1'e indirgenmiş karakteristik fonksiyonlar da kullanılır.
Ders, gelecekteki beklentileri temsil eden ve risk-nötr ölçümde bir beklenti olarak ifade edilen forward döviz fonksiyonunu derinlemesine inceler. Deterministik faiz oranlarının iskonto edilmiş ve iskonto edilmemiş para birimi fonksiyonları arasında hiçbir fark yaratmadığını açıklar. Ancak, stokastik faiz oranları karmaşıklığı beraberinde getirir. Ek bir beklenen değer içeren ileri kalkış karakteristik fonksiyonunu türetme süreci, pratik kullanım için dış beklentiye analitik çözümlere izin vermenin önemi ile birlikte özetlenmiştir. İleriye doğru hareket karakteristik fonksiyonu daha sonra Black-Scholes ve Heston modellerine uygulanır.
Ayrıca ders, Black-Scholes modeli için ileri başlangıç para birimi işlevine odaklanır. Fiyatlandırmanın ilk stok değerine değil, yalnızca zaman içindeki performansa bağlı olması gerektiğini belirterek, indirimli para birimi işlevine kıyasla çözümü basitleştirir. Varyans kısmının birden çok boyutta bulunması, içsel bir beklentinin çözülmesini gerektirir. İki hisse senedi oranının dağılımının ilk hisse senedi değerinden bağımsız olduğunu doğrulayan Black-Scholes modelinin tam bir temsili gösterilmektedir. Dağılım, p1'den t2'ye kadar bir artışı kapsayan geometrik bir Brown hareketine basitleştirilmiştir.
Black-Scholes modeli kapsamında ileriye dönük başlangıç opsiyonlarının fiyatlandırılması, farklı zamanlarda iki hisse senedinin oranı için geometrik Brownian hareketinin kullanımına dikkat çekilerek açıklanmaktadır. İleri başlangıç opsiyonları için alım ve satım opsiyonları için fiyatlandırma çözümü, kullanım ayarlaması ve iskonto sürelerinde küçük farklılıklar dışında, Avrupa alım ve satım opsiyonlarına çok benzer. Ders, fiyatları hesaplarken Black-Scholes zımni oynaklıklarını kullanmanın önemini vurgular, hatta diğer modelleri kullanırken bile, piyasa standartlarıyla uyumlu olduğu için. Ayrıca öğretim görevlisinin ileri başlangıç seçenekleri için iki parametreyi dikkate alma tavsiyesinin altını çiziyor ve izleyicilere Black-Scholes fiyatlarının bu model altında analitik olarak bilindiğini hatırlatıyor.
Konuşmacı devam ederken, varyansı temsil eden ikinci bir stokastik süreci tanıtarak ileri başlangıç seçenekleri için karakteristik fonksiyonun karmaşıklığını artıran Hassle modelini derinlemesine inceler. Ancak konuşmacı, stok süreci için yalnızca marjinal dağılıma odaklanıldığından, bu ikinci boyutun fiyatlandırma seçenekleri için gerekli olmadığını açıklıyor. Karakteristik fonksiyonun sadeleştirilmesi ve ikame edilmesinden sonra, forward para birimi fonksiyonu için ifade elde edilir. Konuşmacı, ifadede yer alan işlevler hakkında daha fazla ayrıntı için Hassle modelindeki slaytları yeniden incelemenizi önerir.
Ders, bir Cox-Ingersoll-Ross (CIR) süreci için moment üreten fonksiyonun tartışılmasıyla devam eder ve Heston modelinde ileri karakteristik fonksiyon için kapalı form ifadesini sunar. Öğretim görevlisi, moment oluşturma fonksiyonunun kapalı formda olmasının daha hızlı hesaplamaya izin verdiğini belirtiyor. Vadeli para birimi fonksiyonunda moment üreten fonksiyonun ikame edilmesiyle, vadeli karakteristik fonksiyon için kapalı formda bir ifade türetilir. Son olarak, konuşmacı Heston modelini ve türetilmiş ifadeleri kullanarak ileriye dönük başlangıç seçeneklerini fiyatlandırmak için sayısal bir deney sunuyor.
Ardından, konuşmacı odağı ileri başlatma seçeneklerine ve Bates modeline kaydırır. Varyans sürecinin dvt ile nasıl temsil edildiğini açıklar ve volatilite ve varyans için parametreleri tartışırlar. Konuşmacı, ima edilen oynaklıkların parametreler üzerindeki etkisini ve ileri başlatma seçeneklerinde zaman mesafesinin etkisini gözlemlemek için iki deney yürütür. Deneyler, ima edilen volatilite şeklinin aynı kalmasına rağmen seviyelerin farklı olduğunu göstermektedir. Zaman mesafesi arttıkça, oynaklık uzun vadeli varyansın kareköküne yakınsar. Konuşmacı, t1 ve t2 civarında daha yoğun bir yoğunluğa sahip olan daha kısa olgunluk seçeneklerinin ardındaki mantığı açıklıyor. Örtülü oynaklıkları karşılaştırmak için bir kod kullanan ek deneyler gerçekleştirilir.
Devamında öğretim görevlisi, ileriye dönük başlangıç seçeneklerinin fiyatlandırılması için ileriye dönük karakteristik fonksiyonun ve maliyet yöntemlerinin uygulanmasını ele alır. İleri karakteristik fonksiyon, lambda ifadeleri ve Heston modeli ve CIR süreci için moment üreten fonksiyon dahil olmak üzere çeşitli parametreler kullanılarak tanımlanır. İleriye dönük başlangıç opsiyonlarının fiyatlandırılmasına yönelik maliyet yöntemi, Avrupa opsiyonlarının fiyatlandırılmasına benzer, ancak iki farklı zaman için ayarlamalar içerir. Öğretim görevlisi, bir oynaklık ızgarası tanımlamayı ve piyasa fiyatı üzerinde enterpolasyon yapmayı içeren, ileriye dönük zımni oynaklıkları hesaplarken Newton-Raphson algoritması için iyi bir ilk tahmin elde etmek için bir numara paylaşıyor.
Ders, Newton-Raphson yöntemini kullanarak ileriye dönük zımni oynaklıkları hesaplama sürecinin bir açıklamasıyla devam eder. Modeldeki opsiyon fiyatı ile piyasa fiyatı arasındaki fark tartışılır ve öğretim görevlisi, Newton-Raphson yöntemini hesaplamak ve ima edilen oynaklık olarak da bilinen optimum oynaklığı elde etmek için SciPy optimize işlevinin nasıl uygulanacağını gösterir. Bu bölüm, uzun vadeli ortalamanın ve ilk varyansın aynı olduğunu ve ima edilen oynaklıkların seviyesi ile ileriye dönük girdi oynaklığının aynı hizada olduğunu doğrular. Bir Poisson dağılımını izleyen bağımsız bir rasgele değişken j tarafından yürütülen ek sıçramaları içeren Heston modelinin bir uzantısı olan Bates modeli de tanıtıldı.
Ders, Heston modeli ile Bates modeli arasındaki farkı vurgular. Heston modeli, daha uzun vadelere sahip hisse senedi opsiyonları için gülümsemeye ve çarpıklığa göre ayarlama yapmak için uygun olsa da, vadeleri bir veya iki hafta içinde sona erenler gibi daha kısa vadelere sahip opsiyonlarla mücadele ediyor. Bates modeli, kısa vadeli seçeneklerin daha iyi ayarlanmasını sağlayan bağımsız sıçramalar sunarak bu sorunu ele alır. Bates modeli birçok parametre içermesine rağmen, Heston modelini genişletmek zor değildir. Bates modeli için karakteristik fonksiyonu türetmek için log dönüşümü gereklidir ve atlamaların eklenmesiyle bile modelin hala iyi kalibre edilebileceğine dikkat edilmelidir.
Ardından konuşmacı, özellikle stokastik yoğunluğa odaklanarak Bates modelinin modifikasyonunu tartışır. Konuşmacı, mevcut parametreleri keşfetmeden gereksiz karmaşıklığa yol açacağı için yoğunluğu stokastik hale getirmenin gereksiz olduğu fikrini ifade eder. Bunun yerine, modeldeki yoğunluk, durum değişkenlerinde doğrusal tutulur ve sabit bir kayma olarak tanımlanır. Konuşmacı, afin sıçramalı difüzyon çerçevesini analiz eder ve kitaptaki türevlerin ayrıntılarını içerir. Heston ve Bates modelleri için karakteristik fonksiyon arasındaki tek fark, Bates modelinin "a" teriminde yatmaktadır. Ek olarak, iki düzeltme terimi atlamalarla ilgili tüm bilgileri içerir. Sayısal sonuçlar, yoğunluğun, sıçramaların oynaklığının ve j'nin dağılımını temsil eden muj'nin etkisinin bir analizini sağlayarak sunulur.
Heston modelinin Bates modeline genişletilmesi tartışılmıştır. Bates modeli, modeli tüm piyasa bilgilerine kalibre etmek için kullanılır ve diğer modellere kıyasla avantaj sağlar. Bu modelin kodu basittir ve özellikle tüm piyasa bilgilerine kalibrasyonun çok önemli olduğu kısa vade seçenekleri için ek esneklik sağlar. Ders aynı zamanda varyans takası gibi daha ilgi çekici türevlerin fiyatlandırılmasını ileri başlangıç opsiyonları veya performans opsiyonlarının fiyatlandırılmasından elde edilen bilgileri kullanarak kapsar.
Konuşmacı, yatırımcıların bir varlığın gelecekteki oynaklığı üzerine bahse girmelerine olanak tanıyan, varyans takası adı verilen bir türev ürünü tanıtıyor. Bir varyans takasının getirisi, belirli bir tarihler ızgarasındaki logaritmik hisse senedi performanslarının karesinin toplamının önceki hisse senedi performansına bölümü olarak tanımlanır. Öğretim görevlisi, bu getiriye ilişkin alışılmadık formülasyonun, bir stokastik diferansiyel denkleme bağlandığında daha net hale geldiğini belirtiyor. Bu türevi fiyatlandırırken, grev sabit beklentiye eşitse, başlangıçtaki takas değeri sıfır olacaktır. Dahası, konuşmacı çoğu takasın başabaş değerde alınıp satıldığını, yani iki karşı taraf alıp satmayı kabul ettiğinde sözleşmenin değerinin sıfır olduğunu açıklıyor.
Ders daha sonra Bates modeli için zamana bağlı çerçeveyi ve bunun zaman içindeki integrali zamana bağlı volatiliteyi bir türevin zaman içindeki performansına nasıl bağladığını tartışır. Getiri, oynaklığın integraline eşdeğer olan logaritmik performansın karesi olarak tanımlanır. Konuşmacı, sigma v karenin beklenen değerini ve stokastik diferansiyel denklemleri kullanarak bir sözleşmenin üçüncü değerinin nasıl bulunacağını açıklar. Ek olarak, 252 iş günü ölçekleme katsayısı finansta önemli bir faktör olarak tanıtılmaktadır.
Son olarak, konuşmacı, yatırımcıların bir varlığın gelecekteki oynaklığı üzerine bahse girmelerine izin veren bir türev sözleşmesi olan varyans takasının gerçeğe uygun değerini ele alır. Swapın gerçeğe uygun değeri, sıfırdan sözleşmenin vadesine kadar olan sürelere karşılık gelen bir ölçeklendirme katsayısı artı faiz oranlarına karşılık gelen bir öğe eksi q log st'nin beklenen değeri bölü st0 olarak ifade edilebilir. Bu beklentinin değerlendirilmesi, Monte Carlo simülasyonu veya hisse senetlerinin analitik dağılımı yoluyla yapılabilir. Tüm küçük aralıklardaki performanslar birleştirilse bile, bunun bir hisse senedinin değerinin başlangıçtaki değere bölünmesiyle elde edilen oran veya logaritmaya eşdeğer olduğunu not etmek ilginçtir.
Ders, ileri başlatma seçenekleri, performans seçenekleri, Heston modeli, Bates modeli ve varyans takasları ile ilgili çok çeşitli konuları kapsar. Fiyatlandırma teknikleri, Python'da uygulama ve bu kavramların finansal türevlerdeki önemi hakkında içgörü sağlar.
Hesaplamalı Finans: Ders 13/14 (Egzotik Türevler)
Hesaplamalı Finans: Ders 13/14 (Egzotik Türevler)
Ders, egzotik türevlerin fiyatlandırılmasına ve fiyatlandırma modellerinin yola bağlı durumlara genişletilmesine odaklanır. Geri ödeme yapısını genişletmenin birincil motivasyonu, müşterilere daha ucuz fiyatlar sunarken borsa dalgalanmalarına maruz kalmaya devam etmektir. Dijital özelliklerin ve engellerin kullanımı, istenen teşhiri korurken türev maliyetlerini düşürmenin bir yolu olarak araştırılmaktadır. Ders, türev fiyatları üzerindeki etkilerini inceleyerek, ikili ve dijital, bariyer seçenekleri ve Asya seçenekleri dahil olmak üzere çeşitli ödeme türlerini derinlemesine inceler. Buna ek olarak, ders, çok varlıklı seçeneklerin fiyatlandırmasını ve yüzlerce hisse senedinden oluşan sepetleri işlemek için potansiyel model genişletmelerini tartışır.
Finansal ürünler için fiyatlandırma prosedürü, Black-Scholes modeli, sıçramalar ve stokastik oynaklık modelleri gibi stokastik diferansiyel denklemler kullanılarak modelleme ve fiyatlandırma için gerekli olan ürün spesifikasyonu ve risk faktörlerinden başlayarak tartışılır. Ürünün karmaşıklığına bağlı olarak, doğru fiyatlandırma için bir veya iki boyutlu bir denklem sistemi yeterli olabilir. Süreç ayrıca, ürünü fiyatlandırmak ve riskten korunma maliyetlerini en aza indirgemek ve arbitrajsız bir ortam sağlamak için en uygun parametre setinin seçildiği kalibrasyon ve riskten korunmayı da içerir.
Avrupa seçeneklerine, Amerika seçeneklerine ve Bermuda seçeneklerine odaklanarak farklı seçenek türleri tanımlanmıştır. Avrupa seçenekleri, egzotik türevler için temel yapı taşları olarak kabul edilir, ancak zamanlaması zor olabilir ve önemli riskler taşıyabilir. Amerikan seçenekleri, herhangi bir zamanda egzersize izin vererek daha fazla esneklik sunarken, Bermuda seçenekleri yalnızca belirli tarihlerde egzersize izin verir.
Yalnızca belirli bir zamandaki marjinal dağılımdan ziyade bir hisse senedinin tüm geçmişine bağlı olan egzotik türevler ve yola bağlı seçenekler tanıtılır. İkili dosyalar ve dijitaller kullanılarak getiri işlevinin ayarlanmasının türev değerlerini önemli ölçüde azalttığı gösterilmiştir. Ders, varlık ya da hiç, nakit ya da hiç, hisse senedi ya da hiç, bileşik seçenekler ve seçmeli seçenekler dahil olmak üzere çeşitli egzotik türev türlerini kapsar. Bu seçenekler, maliyetleri kontrol etmek için sözleşmeyi maksimumlar, minimumlar veya diğer kısıtlamalar gibi bir şekilde sınırlamayı içerir. Geçmişte egzotik türevlerin popülaritesi, özellikle yüksek faiz oranları dönemlerinde de tartışılmaktadır.
Egzotik bir türev yoluyla yüksek kar elde etme stratejisi açıklanmaktadır. Strateji, yatırımın çoğunu garantili bir getiri ile güvenli bir hesaba tahsis etmeyi ve potansiyel bir seçenek ödemesini fiyatlandırmayı içerir. Bu strateji şu anda popüler olmasa da geçmişte etkili olmuştur. Ders ayrıca, sözleşmelerin değerlemesine ve potansiyel stok büyümesine üst limitler belirleyerek değerlerini düşürmeye yönelik kod örneklerini içerir. Ders, ödeme yapısındaki küçük bir ayarlamanın, türevleri müşteriler için daha çekici hale getirerek değerlemeleri nasıl önemli ölçüde azaltabileceğini vurgulamaktadır. Engeller ve yol bağımlılığı getirilerek maliyetler azaltılabilir. Yukarı ve aşağı, aşağı ve yukarı, yukarı ve aşağı, aşağı ve yukarı seçenekleri gibi çeşitli bariyer seçenekleri ve bunların hisse senedinin tarihsel davranışına dayalı olarak türev fiyatlandırması üzerindeki etkileri tartışılmaktadır.
Bir hisse senedinin ömrü boyunca maksimum veya minimum değerinin vade sonundaki getiriyi belirlediği yeniden inceleme seçenekleri kavramı araştırılır. Yeniden inceleme seçenekleri, yol bağımlılığını içerir ve hisse senedi vade sonunda grevden daha düşük olsa bile pozitif ödemeler sağlayabilir. Ders, Monte Carlo simülasyonu ve kısmi diferansiyel denklemler (PDE'ler) kullanılarak yeniden inceleme seçeneklerinin uygulanmasını açıklayarak, bariyer seçenekleri için özel sınır koşullarını ve bunların diğer egzotik türevlere genişletilmesini vurgular.
Bariyer seçenekleri, karşı taraf müşterileri için çekiciliğini ve çapraz para birimi piyasasında kullanımlarını vurgulayarak ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Ders, dışarı, içeri, aşağı ve yukarı seçenekleri dahil olmak üzere bariyer seçeneklerinin konfigürasyonlarını ve getirilerini açıklar. Öğretim görevlisi, bariyer seçeneklerinin zamana bağlı olabileceğini vurgulayarak sözleşmeye karmaşıklık katar. Monte Carlo simülasyonu ve PDE'ler, fiyatlandırma bariyeri seçenekleri için hesaplama yöntemleri olarak sunulur.
Ders, yukarı ve aşağı seçenekleri standart Avrupa seçenekleriyle karşılaştırır ve bariyerle tetiklenen getirileri nedeniyle yukarı ve aşağı seçeneklerin değerindeki önemli düşüşe dikkat çeker. Geri ödemenin yalnızca hisse senedinin kullanım ömrü boyunca belirli bir seviyeyi geçmemesi durumunda gerçekleştiği yukarı ve aşağı bariyer seçenekleri kavramı tanıtıldı. Ders, bir bariyerin bir türevin fiyatı üzerindeki etkisini, bir yukarı-çıkış bariyeri opsiyonunun fiyatının, benzer bir ödeme yapısına sahip bir dijital opsiyonun fiyatına eşdeğer olduğunu gösteren bir programlama alıştırması yoluyla gösteriyor.
Öğretim görevlisi daha sonra Monte Carlo simülasyonunu kullanarak bir yukarı ve aşağı bariyerin uygulanmasını açıklamaya devam eder. Yalnızca vade sonundaki hisse senedi değerine bağlı olan bir dijital seçeneğin getirisinin aksine, bir yukarı-çıkış bariyeri aynı zamanda türevin ömrü boyunca hisse senedi davranışının geçmişini de dikkate alır. Engele ulaşılıp ulaşılmadığını belirlemek için bir boole matrisi ve mantıksal bir koşul kullanılarak bir işlev tanımlanır. Ortaya çıkan "isabet vektörü", her bir yol için bariyere ulaşılıp ulaşılmadığını gösteren ikili bir vektördür. Öğretim görevlisi, bariyer değerinin değiştirilmesinin isabet vektörünü nasıl etkilediğini gösterir ve getirinin bariyere ulaşılırsa sıfır, vurulmazsa bir olduğunu vurgular.
Türev sözleşmelere bir engel getirme kavramı, belirli bir varlığa maruz kalmak isteyen müşteriler için daha uygun fiyatlı bir seçenek sağlayarak, değerlerini düşürmenin bir yolu olarak açıklanmaktadır. Bir engelin varlığı, türevin değeri üzerinde önemli bir etkiye sahiptir ve stok belirtilen seviyeyi geçmezse potansiyel olarak kayıplara yol açar. Bununla birlikte, bariyerler dahil edilerek, türev fiyatları yaklaşık %30 oranında düşürülebilir ve bu da onları yatırımcılar için daha cazip hale getirir. Bununla birlikte, engelleri olan süreksiz türevler, sonsuza kadar yükselebilen riskten korunma maliyetleri açısından zorluklar ortaya çıkarabilir. Bu sorunu hafifletmek için öğretim görevlisi, maliyetleri azaltmak için alternatif yöntemler kullanarak getiriyi tekrarlamayı önerir.
Video, farklı kullanım fiyatlarıyla arama opsiyonlarını stratejik olarak alıp satarak bir opsiyonun dijital özelliğini kopyalama konseptini tanıtıyor. Kullanım fiyatları birbirine yaklaştıkça, ortaya çıkan getiri dijital bir seçeneğe daha çok benziyor. Ancak öğretim görevlisi, delta ve gama duyarlılıklarındaki değişiklikler nedeniyle seçeneklerin süreksizliğini tam olarak tekrarlamanın zorluklarını kabul ediyor. Riskten korunma için tahminler kullanılabilirken, opsiyonun dijital doğasından kaynaklanan potansiyel riskten korunma kayıplarını telafi etmek için prim almak çok önemlidir. Video, dijital sınırlamalar getirerek veya ödeme yapısını değiştirerek türev maliyetlerini azaltma kavramını vurgulamaktadır.
Ders daha sonra dayanak bir varlıkla ilişkili oynaklığı ve belirsizliği azaltmanın bir yolu olarak Asya seçeneklerini tartışmaya devam ediyor ve sonuç olarak türevlerin fiyatını düşürüyor. Asya opsiyonları, hisse senedinin kendisinden daha yumuşak olma eğiliminde olan dalgalı bir hisse senedinin ortalama davranışına dayalıdır ve ilgili belirsizliği azaltır. Öğretim görevlisi, sabit ve dalgalı Strike call ve puts dahil olmak üzere piyasada bulunan Asya seçeneklerinin farklı varyantlarını araştırıyor. Özellikle dalgalı grev seçenekleri, belirsizliği azaltma ve belirli bir temel varlık düzeyiyle ilişkili riskleri azaltma yetenekleri nedeniyle emtia ticaretinde popülerdir.
Konuşmacı ayrıca bir hisse senedinin ortalamasını hesaplamanın çeşitli yöntemlerini açıklayarak ticaretteki önemini vurguluyor. Analitik ifadesinden dolayı matematiksel analiz için tercih edilen geometrik ortalama ile aritmetik ve geometrik olmak üzere iki tür ortalama tanıtılmaktadır. Uygulamada, Monte Carlo simülasyonu veya PDE'ler gibi yaklaşım tekniklerini gerektiren toplamlar sıklıkla kullanılır. Ders ayrıca, aritmetik ortalamadan bütünleşik gösterimi nedeniyle ayrılan, fiyatlandırma sorununa ek bir boyut ekleyen ve çözülmesini daha karmaşık hale getiren sürekli ortalama kavramını da derinlemesine inceler.
Daha sonra odak, tek boyutlu bir sorundan uzaklaşmayı ve daha yüksek boyutlu hususları dahil etmeyi gerektiren Asya seçeneklerinin fiyatlandırılmasına kayar. Asya seçenekleri iki bağımsız değişken sunar: hisse senedi fiyatı ve hisse senedinin integrali. Opsiyonun getirisi, vade sonunda yapılan ödeme ile sıfırdan vadeye kadar gözlemlenen integrale veya yola bağlıdır. Ders, egzotik türev sözleşmelerinin nihai kısma bağlı miktarlarla fiyatlandırılmasının daha ileri teknikler gerektirecek kadar zor olabileceğini kabul ediyor. Bununla birlikte, Asya opsiyonlarının getirdiği karmaşıklıklara rağmen, delta koruması, uygun koruma katsayılarına ulaşmada hala etkilidir. Öğretim görevlisi, Asya seçeneklerini fiyatlandırmak için Monte Carlo simülasyonunun kullanımını tartışarak, yüksek boyutlu problemlerin ele alınmasındaki esnekliğini vurgulamaktadır. Monte Carlo simülasyonu, hisse senedi fiyatının birden çok yolunu simüle ederek ve ortalama getiriyi hesaplayarak, opsiyonun fiyatının bir tahminini sağlayabilir. Ders ayrıca yakınsama sorunları ve doğru sonuçlar elde etmek için yeterli sayıda yola ihtiyaç duyulması gibi Monte Carlo simülasyonunun potansiyel zorluklarından da bahseder.
Öğretim görevlisi daha sonra indirimli bariyer seçeneği olarak bilinen başka bir tür egzotik seçeneği tartışmaya devam eder. Bu seçenek, daha önce tartışılan bariyer seçeneğine benzer bir yapıya sahiptir, ancak bariyere ulaşıldığında ek bir indirim ödemesi yapılır. İndirimin varlığı, bariyerin aşılması durumunda opsiyon sahibini tazmin ederek potansiyel kayıpları azaltır. Ders, indirim ödemesinin seçeneğin maliyetini düşürerek onu yatırımcılar için daha çekici hale getirdiğini açıklıyor.
İndirimli bariyer seçeneklerini fiyatlandırmak için öğretim görevlisi, nakavt seçeneğinin tersi olan ters nakavt seçeneği kavramını sunar. Ters eleme seçeneği, bariyere ulaşılmazsa bir indirim öder. Ters eleme opsiyonunun fiyatlandırılması ve indirim ödemesinin çıkarılmasıyla, indirimli bariyer opsiyonunun fiyatı belirlenebilir. Video, Monte Carlo simülasyonu kullanılarak bu fiyatlandırma metodolojisinin uygulanmasına ilişkin bir örnek sunmaktadır.
Ders boyunca, egzotik türev sözleşmelerini anlamanın ve etkili bir şekilde fiyatlandırmanın önemi vurgulanmaktadır. Egzotik seçenekler, yatırımcılar için esneklik ve özelleştirilmiş çözümler sağlar, ancak bunların fiyatlandırması ve risk yönetimi, gelişmiş modeller ve teknikler gerektirir. Ders, bu alanda daha fazla araştırma ve geliştirme ihtiyacının yanı sıra türev fiyatlandırma metodolojilerini geliştirmek ve piyasa katılımcılarının gelişen ihtiyaçlarını karşılamak için akademi ve endüstri arasındaki işbirliğinin önemini vurgulayarak sona eriyor.
Hesaplamalı Finans: Ders 14/14 (Kursun Özeti)
Hesaplamalı Finans: Ders 14/14 (Kursun Özeti)
Hesaplamalı finans dizisi, her derste işlenen önemli konuların kapsamlı bir özeti ile sona erdi. Kurs, stokastik diferansiyel denklemler, ima edilen oynaklıklar, atlama difüzyonları, afin difüzyon işlemleri sınıfı, stokastik oynaklık modelleri ve opsiyon fiyatlandırması için Fourier dönüşümleri dahil olmak üzere çok çeşitli konuları kapsıyordu. Ayrıca Monte Carlo simülasyonları ve çeşitli riskten korunma stratejileri gibi sayısal teknikleri de inceledi.
Daha sonraki derslerde odak, kurs boyunca kazanılan bilgilerin bu karmaşık finansal ürünleri yapılandırmak için uygulandığı ileri başlangıç seçeneklerine ve egzotik türevlere kaydı. İlk dersler kursa bir giriş sağladı ve finans mühendisliğinin temel ilkelerini, farklı piyasaları ve varlık sınıflarını tartıştı. İkinci ders, emtialara, para birimlerine ve kripto para birimlerine vurgu yaparak özellikle çeşitli seçenekler ve riskten korunma stratejilerini ele aldı.
Alım ve satım opsiyonlarının fiyatlandırılması ve riskten korunma ile ilişkisi kurs boyunca ana temaydı. Öğretim görevlisi, arbitraj fırsatlarından kaçınmak için bir riskten korunma stratejisinin fiyatının her zaman bir türevin fiyatına eşit olması gerektiğini vurguladı. Varlık fiyatları ve rastgelelik ölçümü dahil olmak üzere farklı varlık sınıflarını modellemenin matematiksel yönleri tartışıldı. Stokastik süreçler, stokastik diferansiyel denklemler ve Itô's lemma, finansal araçların fiyatlandırılması için hayati araçlar olarak vurgulandı. Stokastik diferansiyel denklemlerin fiyatlandırma amacıyla hisse senedi hareketlerinin gerçek davranışını nasıl simüle edebileceğini gösteren Python simülasyonları da gösterildi. Black-Scholes modelinin avantajları ve dezavantajları ele alınarak, portföy yönetimi ve riskten korunma stratejilerinde tutarlılığın sağlanması için bütüncül bir bakış açısına duyulan ihtiyaç vurgulanmıştır.
Martingaller, opsiyon fiyatlamasında kritik bir kavram olarak defalarca vurgulandı ve kursta ele alınan diğer önemli konular arasında Black-Scholes modeli, ima edilen oynaklık, Newton-Raphson algoritması yakınsaması ve zamana bağlı oynaklığın sınırlamaları yer aldı. Simüle edilmiş bir sürecin bir martingale olup olmadığını doğrulamak için Python kodlamasının pratik uygulaması ve ölçümlerin sürüklenme üzerindeki etkisi araştırıldı. Kurs, fiyatları hesaplamak için farklı modellerin ve ölçülerin nasıl kullanılabileceğini göstererek basit Avrupa seçeneklerinin fiyatlandırmasına ilişkin derin bir fikir verdi.
Black-Scholes modelinin sınırlamaları, özellikle modele atlamaların dahil edilmesiyle ilgili olarak tartışılmıştır. Sıçramalar, ima edilen oynaklık yüzeylerinin kalibrasyonunu iyileştirip çarpıklık oluşturabilse de, aynı zamanda karmaşıklık getirir ve riskten korunma verimliliğini azaltır. Heston modeli gibi stokastik oynaklık modelleri, modelin egzotik seçeneklerin kalibrasyonu ve fiyatlandırılmasındaki esnekliğini artırmak için tanıtıldı. Ayrıca hızlı fiyatlama tekniği de çözüm olarak sunuldu. Ders ayrıca, Fourier dönüşümlerinde afin modellerde kullanılmak üzere modellerin veya stokastik diferansiyel denklemlerin karşılaması gereken koşulları da özetledi.
Hisse senetlerini ve hisse senetlerini fiyatlandırmak için iki önemli model tartışıldı: afin sınıfı difüzyon süreçleri ve stokastik oynaklık modeli, özellikle Heston modeli. Difüzyon işlemlerinin afin sınıfı, Avrupa seçeneklerinin hızlı kalibrasyonuna izin verirken, Heston modeli Avrupa seçeneklerinden ima edilen oynaklıkların tüm yüzeyinin kalibre edilmesinde esneklik sunar. Ders, modellerde korelasyonun etkilerini ve avantajlarını, PDE'yi fiyatlandırmayı ve bir model afin süreç sınıfına ait olduğunda fiyatlandırma için Fourier dönüşümlerinin kullanımını kapsıyordu. Bu modelleri anlamak ve kullanmak, hesaplamalı finansta değerli beceriler olarak vurgulandı.
Alım ve satım opsiyonlarına odaklanan Avrupa opsiyonlarının fiyatlandırılması, başka bir dersin odak noktasıydı. Karakteristik bir fonksiyonun kullanımı ve karmaşık değerli ODE'lerin sistemlerini çözme yeteneği ile birlikte çözüm elde etmek için sayısal tekniklerin önemi vurgulanmıştır. Verimli kalibrasyon ve değerlendirme ile iyi bir modeli dengelemek, pratik uygulamalar ve endüstri kabulü için vurgulanmıştır. Fourier dönüşümünün cos yönteminin fiyatlandırma için avantajları Vital'deki uygulamasıyla birlikte tartışıldı. Verimli kalibrasyon ve fiyatlandırma için Monte Carlo simülasyonlarının kullanılması da tavsiye edildi.
Egzotik türevlerin fiyatlandırılmasında Monte Carlo örneklemesi başka bir derste kapsamlı bir şekilde araştırılmıştı. Doğru fiyatlandırmada çoklu boyutların, model karmaşıklığının ve hesaplama maliyetlerinin getirdiği zorluklar ele alındı. Monte Carlo simülasyonu, hatayı azaltmaya ve doğruluğu artırmaya odaklanan alternatif bir fiyatlandırma yaklaşımı olarak sunuldu. Ders, entegrasyon, stokastik entegrasyon ve Euler ve Milstein şemaları gibi kalibrasyon yöntemleri dahil olmak üzere Monte Carlo örneklemesinin çeşitli yönlerini kapsıyordu. Ödeme fonksiyonlarının düzgünlüğünün değerlendirilmesi ve zayıf ve güçlü dönüştürücülerin anlaşılması, doğru fiyatlandırmanın sağlanması için çok önemli olarak vurgulanmıştır.
Heston modeline ayrılan ders, onun kalibrasyondaki esnekliğini, ima edilen volatilite yüzey modellemesini ve verimli Monte Carlo simülasyonunu tartıştı. Ders ayrıca, varyans süreci için Cox Ingersoll Ross (CIR) sürecinin tam simülasyonu ile ilgili olan Heston modelinin neredeyse kesin simülasyonuna da değindi. Euler ve Milstein ayrıklaştırma yöntemleri, CIR işleminde sorunlarla karşılaşabilirken, simülasyonu gerçekleştirmenin etkili yolları vardır. Ders, özellikle delta riskinden korunma ve piyasa sıçramalarını hesaba katarken simülasyon için gerçekçi bir model düşünmenin önemini vurguladı.
Finansta riskten korunma kavramı ayrı bir videoda kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Riskten korunma, bir portföyü yöneterek ve işlem gördükten sonra sözleşmeyi aktif olarak sürdürerek riske maruz kalmanın ve potansiyel kayıpların azaltılmasını içerir. Video, fiyatlandırmanın ötesine geçen ve sözleşmenin vadesine kadar sürekli risk yönetimini kapsayan riskten korunmanın önemini vurguladı. Doğru simülasyon için gerçekçi bir model kullanmanın önemi vurgulanarak, delta koruması ve piyasa sıçramalarının etkisi tartışıldı.
Delta riskten korunmanın sınırlamaları başka bir derste ele alınarak, daha karmaşık türevler için gama ve vega riskten korunma gibi diğer riskten korunma türlerinin dikkate alınması gereği vurgulandı. Duyarlılıkların hesaplanması ve sonlu fark, yol duyarlılığı ve olasılık katsayıları dahil olmak üzere verimliliklerini artırma yöntemleri ele alındı. Ders ayrıca ileriye dönük başlangıç seçeneklerinin fiyatlandırılmasına ve başlangıç stoklarının belirsiz olduğu fiyatlandırma seçenekleriyle ilgili zorluklara da değindi. Seçenek değeri, karakteristik işlevler kullanılarak türetildi ve ders, zımni oynaklıklar ve bunların Python'da uygulanması üzerine bir tartışma ile sona erdi.
Finansal modellerde, özellikle Heston modelinde ek sıçramalar konulu ders, bunların parametre kalibrasyonu ve riskten korunma stratejileri üzerindeki etkisini araştırdı. Black-Scholes dinamikleri kullanılarak garip temsil, varyans takas sözleşmeleri ve koşullu beklentiler arasındaki ilişkiye odaklanılarak varyans takasları ve oynaklık ürünleri de tartışıldı. Ayrıca ders, ikili ve dijital opsiyonlar, yola bağlı opsiyonlar, bariyer opsiyonları ve Asya opsiyonları gibi çeşitli teknikler kullanılarak ürünlerin yapılandırılmasına değindi. Ayrıca, birden fazla varlığı içeren sözleşmelerin fiyatlandırmasına da değindi. Bu ders, kurs boyunca edinilen bilgilerin bir özeti olarak hizmet etti ve gelecekte daha gelişmiş türevlerle mücadele etmek için bir temel sağladı.
Son bölümde konuşmacı, izleyicileri 14 dersin tamamını başarıyla tamamladıkları ve hesaplamalı finans, finans mühendisliği ve türev fiyatlandırma konularında bilgi edindikleri için tebrik etti. İzleyiciler, yeni buldukları uzmanlıklarını pratik ortamlarda uygulamaya veya bilgilerini genişletmek için başka kurslar düşünmeye teşvik edildi. Konuşmacı, gelecekteki çabaları için iyi hazırlanmış olduklarından emin olarak onlara finans alanında başarılı bir kariyer diledi.
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 1/14, (Kursa Giriş ve Genel Bakış)
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 1/14, (Kursa Giriş ve Genel Bakış)
Eğitmen, finans mühendisliği dersini tanıtarak, dersin hedeflerini ve kilit odak alanlarını vurgulayarak başlar. Kurs, faiz oranlarını ve döviz ve enflasyon gibi çoklu varlık sınıflarını incelemeyi amaçlamaktadır. Nihai hedef, öğrencilerin doğrusal ürünlerden oluşan çok varlıklı bir portföy oluşturması ve xva ve riske maruz değer hesaplamalarını gerçekleştirmede yeterlilik kazanmasıdır. Stokastik diferansiyel denklemler, sayısal simülasyon ve sayısal yöntemler hakkında önceden bilgi sahibi olmak, ders materyaliyle tam olarak ilgilenmek için gereklidir.
Kurs yapısı, her oturumun sonunda ev ödevleri eşliğinde 14 dersten oluşan ana hatlarıyla belirtilmiştir. Kurs boyunca kullanılan programlama dili, tartışılan kavramların pratik olarak uygulanmasını ve uygulanmasını sağlayan Python'dur.
Konuşmacı, hesaplamalı finans dersinin uygulamalı doğasını vurgular. Teorik bilgi işlenirken, uygulama verimliliğine ve her ders için Python kod örnekleri sağlamaya güçlü bir vurgu yapılır. Ders materyalleri, "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance" kitabına dayalı olmasına rağmen, bağımsızdır. Ders ayrıca kurs yol haritasına genel bir bakış sunarak öğrencilerin 14 dersin her birinde ele alınacak konuları net bir şekilde anlamalarını sağlar.
İlk ders, tüm kursa genel bir bakış sağlamaya ve xva ve var hesaplamalarını gerçekleştirme nihai hedefine ulaşmada kapsanan kavramların önemini vurgulamaya odaklanır.
Öğretim görevlisi, Finans Mühendisliği kursu boyunca ele alınacak konulara kapsamlı bir genel bakış sunmaya devam ediyor. Bunlar, tam beyaz ve tam beyaz iki faktörlü modeller, ölçümler, filtrelemeler ve stokastik modeller gibi çeşitli modelleri içerir. Swaption gibi lineer ve lineer olmayan ürünler de dahil olmak üzere faiz oranlı ürünlerin fiyatlandırılması ana odak noktasıdır. Ders verim eğrisi oluşturma, çoklu eğri oluşturma, omurga noktaları ve Python kodlarını kullanarak enterpolasyon yöntemlerinin seçimini kapsar. İşlenen diğer konular arasında negatif faiz oranları, opsiyonlar, ipotek ve ön ödemeler, döviz, enflasyon, çoklu varlıklar için Monte Carlo simülasyonu, piyasa modelleri, dışbükey düzeltmeler, risk hesaplamaları ve cva, bcva ve fva gibi değer düzeltme önlemleri yer alır.
Kurs ilerledikçe risk yönetimi bir odak noktası haline gelir ve 13. ders, kodlama ve tarihsel veri analizi kullanarak risk ölçümüne ayrılmıştır. Ders 14, kurs boyunca öğrenilen her şeyin bir özeti niteliğindedir.
İkinci ders, Python'da koşullu beklentiler ve simülasyon dahil olmak üzere filtrelemelere ve ölçüm değişikliklerine odaklanır. Öğrenciler, koşullu beklentileri simüle etmek ve ölçüm değişikliklerini kullanarak fiyatlandırma problemlerinin faydalarını ve basitleştirilmesini keşfetmek için uygulamalı alıştırmalarla meşgul olacaklar.
Sonraki derslerde, eğitmen Hijack Modeli çerçevesine, dengeye karşı dönem yapısı modellerine ve verim eğrisi dinamiklerine genel bir bakış sağlar. Dersler kısa oranları ve Python'da Monte Carlo simülasyonları aracılığıyla modellerin simülasyonunu kapsar. Tek faktörlü ve iki faktörlü modeller arasındaki karşılaştırma, çok faktörlü uzantıların araştırılmasıyla tartışılmaktadır. S&P endeksini, Fed'in ima ettiği kısa oranı ve verim eğrisi dinamiklerini analiz etmek için bir video deneyi yapılır.
Getiri eğrilerinin simülasyonu, faiz oranlarının zaman içindeki gelişimini gözlemlemek ve bunları stokastik modellerle karşılaştırmak için araştırılır. İşlenen konular arasında bir fulbright modelinin yakınlığı, kesin simülasyon, faiz oranı ürünlerinin oluşturulması ve fiyatlandırılması ve takas örneklerinde belirsiz nakit akışlarının hesaplanması yer alır.
Getiri eğrisi oluşturma konulu ders, getiri eğrileri ile faiz oranı takasları, forward oranı anlaşmaları ve türev fiyatlandırması arasındaki ilişkiyi kapsar. Farklı verim eğrisi şekilleri ve bunların piyasa durumlarıyla ilgisi açıklanmaktadır. Örtülü oynaklıklar ve omurga noktası hesaplamaları, enterpolasyon rutinleri ve tek verim eğrilerinin çok eğrili yaklaşımlara genişletilmesiyle birlikte tartışılır. Python deneylerini kullanarak verim eğrileri oluşturmanın ve bunları piyasa araçlarına bağlamanın pratik yönleri vurgulanmaktadır.
Öğretim görevlisi, Black-Scholes modeli kapsamında takas fiyatlandırması ve tam beyaz veya herhangi bir kısa oran modeli kullanan seçenekler dahil olmak üzere finans mühendisliği ile ilgili konuları araştırır. Jamshidian'ın hilesi ve Python deneyleri anlatılıyor. Ders ayrıca negatif faiz oranları, kaydırılmış log-normal kaydırılmış zımni oynaklıklar ve kayma parametrelerinin zımni oynaklık şekilleri üzerindeki etkisi gibi kavramları da kapsar. Buna ek olarak, ders ipotek ön ödemesini ve bunun pozisyon üzerindeki etkisini ve bir bankanın bakış açısıyla riskten korunmayı ele alıyor.
Hızlı ipotek tanıtılır ve ilgili nakit akışları ve ön ödeme belirleyicileri açıklanır. Ders, ön ödemelerin ipotek portföyleri üzerindeki etkisini vurgular ve yeniden finansman teşvikini piyasa gözlemlenebilirleriyle ilişkilendirir. Ayrıca, boru hattı riski ve finansal kuruluşlar tarafından yönetimi tartışılmaktadır.
Kurs, portföyü etkileyebilecek gelecekteki potansiyel risklerin simülasyonuna izin veren birden fazla varlık sınıfını aynı anda modellemeye devam eder. Farklı varlık sınıfları arasındaki korelasyonlar incelenir ve egzotik türevlere olan ilgi azalsa da risk yönetimi açısından hibrit modellerin önemi vurgulanır.
Fiyatlandırma değerleme ayarlamaları (XVA) ve riske maruz değer için hibrit modeller ve stokastik oynaklığı içeren uzantılar araştırılır. Ders, stok dinamikleri ve stokastik faiz oranları dahil olmak üzere bir XVA ortamına uygun hibrit modelleri kapsar. Heston modeli gibi stokastik oynaklık modelleri, ikinci blokta tartışılarak, hisse senedi süreciyle ilişkilendirilen stokastik faiz oranlarının nasıl dahil edileceği ele alınır. Ders ayrıca dalgalı para birimlerinin, vadeli döviz sözleşmelerinin, çapraz döviz takaslarının ve döviz opsiyonlarının tarihini ve gelişimini tartışarak döviz ve enflasyonu da ele alıyor. Ölçüm değişikliklerinin süreç dinamikleri üzerindeki etkisi de incelenerek nihai olarak çeşitli varlık sınıflarında farklı varlıklar altında tanımlanan sözleşmelerin fiyatlandırılması ve maruz kalınan risklerin ve risk ölçümlerinin hesaplanması amaçlanmaktadır.
Eğitmen, stokastik oynaklıkta bulunan kuantum düzeltme unsuru ve stokastik faiz oranlarına sahip döviz opsiyonlarının fiyatlandırılması dahil olmak üzere finans mühendisliği ile ilgili ek konuları kapsar. Enflasyon kavramı, parasal temelliden mal temelli tanımlara doğru evriminin izini sürerek araştırılır. LIBOR piyasa modeli ve konveksite düzeltmeleri gibi piyasa modelleri tartışılarak, faiz oranı gelişimine tarihsel bir bakış açısı ve HJM çerçevesinde LIBOR piyasa modeli gibi piyasa modellerinin arkasındaki motivasyon sağlanır. Ders ayrıca log-normal LIBOR piyasa modellerini, stokastik oynaklığı ve LIBOR piyasa modelindeki gülümseme ve çarpıklık dinamiklerini de ele alıyor.
Finansal ürünlerin fiyatlandırılmasında kullanılan çeşitli teknikler, riskten bağımsız fiyatlandırma ve Black-Scholes modeli vurgulanarak ele alınmaktadır. Öğretim görevlisi, dondurma tekniği gibi riskli tekniklerin kötüye kullanılmasına karşı uyarıda bulunur ve fiyatlandırma çerçevelerinde dışbükey düzeltmenin önemini vurgular. Öğrenciler dışbükey düzeltme ihtiyacını nasıl fark edeceklerini ve faiz oranı hareketlerini veya piyasa gülümsemesini ve çarpıklığını fiyatlandırma problemlerine nasıl dahil edeceklerini öğreneceklerdir. Bölüm, CVA, BCVA, VA ve FVA dahil olmak üzere XVA simülasyonlarını ve Python simülasyonlarını kullanarak beklenen risklerin, gelecekteki olası risklerin ve sağlık kontrollerinin hesaplanmasını ele alarak sona ermektedir.
Eğitmen, fiyatlandırma türevleri, fiyat keşfinin önemi, ticari niteliklerin pratik yönleri ve riske maruz değer ve beklenen eksiklik gibi risk yönetimi önlemleri dahil olmak üzere finans mühendisliği dersinde işlenen konuları tekrar ele alır. Odak noktası, bir faiz oranı takas portföyü oluşturmak ve simülasyon sonuçları aracılığıyla VAR'ı ve beklenen açığı tahmin etmek için verim eğrisi oluşturma bilgisinden yararlanmak gibi pratik uygulamalar üzerinde olmaya devam ediyor. Ders ayrıca, Monte Carlo simülasyonu kullanılarak VAR hesaplamasında eksik veriler, arbitraj ve yeniden derecelendirme ile ilgili zorlukları da ele alır.
Son derste öğretim görevlisi, VAR motorunun geriye dönük testini ve test edilmesini tartışır. Eğitmen, kursun ilk 14 haftayı aşacağını kabul ederken, kapsamlı ve eğlenceli öğrenme yolculuğuna olan güvenini ifade ediyor. Kaydedilen dersler, öğrencileri değerleme düzeltmelerini (XVA) anlamanın zirvesine ve riske maruz değerin hesaplanmasına yönlendirecektir.
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 1/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 1/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Derste eğitmen, Black-Scholes modelini stokastik sıçramalarla derinlemesine inceler ve türev fiyatlandırmasındaki uygulamasını gösterir. Koşullu beklentilerin dahil edilmesi, modelin doğruluğunu artırmanın bir yolu olarak vurgulanır. Ek olarak, farklı sayılar arasında geçiş yapmanın fiyatlandırma sonuçlarını nasıl iyileştirebileceğini gösteren, sayılar ve ölçü değişiklikleri kavramı araştırılır. Bu bölüm, özellikle faiz oranları alanında, filtrelemenin, beklentilerin ve ölçüm değişikliklerinin önemini vurgulamaktadır.
Konuyu genişleten profesör, fiyatlandırmada ölçümlerin, filtrelemelerin ve beklentilerin çok önemli rolünü vurguluyor. Hisse senetleri gibi ölçütlerin fiyatlandırma süreçlerinde etkin bir şekilde nasıl kullanılabileceğini gösterirken, ölçü değişiklikleri fiyatlandırma sorunlarının karmaşıklığını azaltmaya yardımcı olur. Ders ayrıca, yaygın olarak stokastik iskonto ile ilişkilendirilen bir ileri ölçüm kavramını araştırır. Filtrelemeler, süreyi, maruz kalma profillerini ve risk profillerini anlamak için temel ilkeler olarak açıklanmaktadır. Ek olarak, stokastik sürecin tanımı ve piyasa verilerinin yorumlanmasında ve gelecekteki gerçekleşmelerin tahmin edilmesinde filtrelemenin önemi tanıtılmaktadır.
İleriye dönük olarak, filtreleme kavramı ve ölçüleri kapsamlı bir şekilde incelenmektedir. Süzmeler şimdiki zamanla ilgili olabilir veya geleceğe uzanabilir, bu da stokastik süreçlerle uğraşırken net bir ayrım yapılmasını gerektirir. Geçmiş, bir hisse senedi tarihinin tekil bir yörüngesini temsil ederken, geleceğin stokastikliği, stokastik diferansiyel denklemler ve simülasyonlar yoluyla modellenebilir. Kurs, ağırlıklı olarak bugüne (t0) kadar olan filtrelemelere odaklansa da, daha sonra, gelişmiş hesaplama verimliliği için gelecekteki filtrelemelerden yararlanmaya odaklanır. Gelecek senaryolarını simüle etmek ve farklı sonuçlar geliştirmek mümkün hale gelir. Bununla birlikte, içsel belirsizlik göz önüne alındığında, en gerçekçi senaryoyu belirlemek zor olmaya devam ediyor. Sonuçların dağılımını tahmin etmek, ölçüm p ile ilişkili geçmiş verileri ve kalibrasyon tekniklerini kullanmayı içerir.
Ders daha sonra, fiyatlandırma ve risk yönetimindeki Q ölçüsünün ve birincil olarak risk yönetimindeki P ölçüsünün farklı rollerini vurgulayarak ölçümleri ve filtrelemeleri derinlemesine inceler. Her iki ölçüm kullanıldığında, risk profilleri için gelecek senaryoları oluşturmak, herhangi bir ölçümün uygunluğunun benzersiz olmaması nedeniyle zorunlu hale gelir. Ayrıca, zaman ilerledikçe, tarihsel bilgi birikimi daha geniş filtrelemelere yol açar. Bununla birlikte, belirli gelecek zamanlarda stokastik miktarlar için ölçülebilirlik anlayışını sürdürmek ve belirsizliği kabul etmek de önemlidir.
Öğretim görevlisi, finans mühendisliği bağlamında filtrelemeleri ve ölçüleri tartışmaya devam ediyor. Özellikle, ölçülebilirliğin sabitlik anlamına gelmediğini vurgularlar; daha ziyade, stokastik bir miktarı ifade eder. Filtrelemeler, belirli bir zamanda mevcut olan bilginin kapsamını aydınlatır ve biriken bilgi nedeniyle zaman içinde ilerledikçe genişler. Filtrelemeler ve ölçüm değişiklikleri finansal modellemede güçlü araçlar olsa da, bunların uygunsuz kullanımı önemli sorunlara yol açabilir. Bu nedenle, modelleme hatalarından kaçınmak için bu araçları etkin bir şekilde nasıl kullanacağınızı ve zaman içinde nasıl gezineceğinizi kavramak çok önemlidir. Bu bölüm, geçmiş verilerden veya piyasa araçlarından çıkarılabilen finansal modellemedeki kalibrasyon sürecine genel bir bakışla sona ermektedir.
Uyarlanmış süreçler kavramı, gelecekteki gerçekleşmeleri dikkate almadan yalnızca belirli bir ana kadar mevcut olan bilgilere dayanan süreçlere atıfta bulunarak tanıtıldı. Uyarlanmış süreçlerin örnekleri, Brownian hareketini ve belirli bir zaman diliminde bir sürecin maksimum değerini belirlemeyi kapsar. Tersine, uyarlanmamış süreçler gelecekteki gerçekleşmelere dayanır. Ders ayrıca fiyatlandırmada güçlü bir araç olan ve sigma alanları, filtrelemeler ve beklentiler arasında bir ilişki kuran kule özelliğini tanıtıyor.
Koşullu beklenti, özellikle iki değişken içeren fonksiyonlarla uğraşırken, finans mühendisliğinde güçlü bir araç olarak tartışılır. Beklentinin kule özelliği, beklentileri koşullandırmak ve dış ve iç içe geçmiş beklentileri hesaplamak için kullanılır. Bu özellik, özellikle stokastik diferansiyel denklemler ve belirli filtrelemeler kullanarak, blok zinciri opsiyon fiyatlandırma modellerine uygulanabilecek belirli problem bileşenlerinin analitik olarak hesaplanmasını sağlayan simülasyonlarda uygulama bulmaktadır. Koşullu beklentinin tanımı, bir integral denklem dahil edilerek araştırılır.
Öğretim görevlisi, finansal mühendislikte koşullu beklentilerin ve filtrelemelerin önemini vurgular. Rastgele bir değişken şartlandırılabiliyorsa ve cevabı analitik olarak biliniyorsa, iç beklenti için örnekleme yoluyla dış beklentinin hesaplanabileceğini vurguluyorlar. Bununla birlikte, finansta, koşullu yoğunluklar veya iki boyutlu yoğunluklar hakkında analitik bilgiye sahip olmak yaygın değildir. Öğretim görevlisi, günümüz perspektifinden stokastik miktarlar olarak kaldıkları için koşullu beklentilerin kodlamada doğru kullanılmasının önemini vurgular. Ayrıca, modelin bir kısmı için analitik bir çözümü bir simülasyon bağlamında dahil etmenin faydalarını tartışırlar, çünkü bu, iyileştirilmiş yakınsama ile sonuçlanabilir. Bu kavramları göstermek için öğretim görevlisi, bir Brownian hareketinin dış beklentisini hesaplamanın bir örneğini sunar.
Öğretim görevlisi ileriye doğru ilerlerken, zaman içinde gelecekteki bir noktanın beklentisini araştırır ve beklentinin sıfır zamanında olduğu durumlarla karşılaştırıldığında bunun karmaşıklığını vurgular. Bu senaryonun birden fazla yol gerektirdiğini ve her yol için koşullu beklentiler için alt simülasyonlar içeren iç içe Monte Carlo simülasyonları gerektirdiğini açıklıyorlar. Bu karmaşıklık, bağımsız artışların özelliği nedeniyle ortaya çıkar, burada Brown hareketi her zaman iki farklı zamandaki, t ve s değerleri arasındaki fark olarak ifade edilebilir.
Odak noktasını Monte Carlo simülasyonlarına kaydıran konuşmacı, bir hisse senedinin opsiyon değerini simüle etmek için Brown hareketinin yapısını tartışıyor. İki tür martingal keşfediyorlar ve bir hisse senedi opsiyonunun koşullu beklentisini hesaplamak için iç içe Monte Carlo yöntemini tanıtıyorlar. Simülasyon, s zamanına kadar bir yol oluşturulmasını ve o andaki beklentiyi değerlendirmek için her yol için alt simülasyonların yürütülmesini içerir. Bu süreç, her bir yol için belirli bir gerçekleştirmenin koşullu beklentisinin s zamanında hesaplanmasını içerir. Hata daha sonra koşullu beklenti ile s zamanındaki yol değeri arasındaki fark olarak ölçülür. Brownian hareketinin standardizasyonu, Monte Carlo simülasyonunda istenen özelliklerin uygulanmasını kolaylaştırarak, bağımsız artışlar kullanılarak yapılandırılmasını sağlar.
Son olarak, konuşmacı, Brownian hareketini simüle etmenin basit ve uygun maliyetli görünebileceğinin altını çiziyor, ancak koşullu bir beklentiyi dahil etmenin, her yol için birden fazla Brownian hareketi simülasyonu gerçekleştirmeyi içeren iç içe bir Monte Carlo yaklaşımı gerektirdiğini vurguluyor. Sonuç olarak, bu süreç zaman alıcı olabilir.
Sonuç olarak ders, finans mühendisliğinde ölçümler, filtrelemeler, koşullu beklentiler ve Monte Carlo simülasyonları ile ilgili konuları kapsamlı bir şekilde kapsar. Bu kavramların türev fiyatlandırması, risk yönetimi ve model kalibrasyonundaki önemi başından sonuna kadar vurgulanmıştır. Finans profesyonelleri, bu araç ve tekniklerin altında yatan ilkeleri anlayarak, modelleme doğruluğunu artırabilir ve karmaşık fiyatlandırma sorunlarında etkili bir şekilde gezinebilir.
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 2/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 2/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Herkes, ara sonrası oturumuna hoş geldiniz. Bugün, Finans Mühendisliği dersinde Ders 2'nin ikinci bloğu ile devam edeceğiz. Bu blokta, gelişmiş kavramlara odaklanarak XVA'nın fiyatlandırmasını ve faiz oranlarını inceleyeceğiz.
Daha önce Python'da bir alıştırma ve simülasyonla birlikte filtreleme kavramını ve koşullu beklentileri tartışmıştık. Şimdi, daha önce yaptığımız deneylerden daha gelişmiş ek beklentileri keşfedeceğiz. Spesifik olarak, opsiyon fiyatlandırmasına odaklanacağız ve Monte Carlo simülasyonlarında yakınsamayı iyileştirmek için koşullu beklentiden araçlardan yararlanacağız. Ek olarak, size sayısal kavramını ve bunun türev fiyatlandırmasındaki kullanışlılığını tanıtacağım.
Bu blokta, Black-Scholes modelinin dinamiklerini Q'yu ölçmek için risk-nötr ölçütten (P ölçüsü) dönüştürmek için yalnızca sayı kavramını değil, aynı zamanda Girsanov teoremini de kullanacağız. Bu dönüşüm, altta yatan süreci değiştirmeyi içerir. geometrik Brown hareketine. P ölçüsünün tarihsel gözlemlerle ilişkili olduğunu, Q ölçüsünün ise tipik olarak türev fiyatlandırmasıyla bağlantılı olduğunu not etmek önemlidir.
Üçüncü bloğa geçerken, ayrıntılı ölçü değişikliklerine odaklanacağız. Boyutları küçültmek ve önemli faydalar elde etmek için ölçü değişikliklerini kullanmanın birçok avantajını ve püf noktasını göstereceğim. Ancak, şimdilik bugünkü dersin aşağıdaki dört unsuruna odaklanalım ve oturumun tadını çıkaralım.
İlk olarak, gerçek opsiyon fiyatlandırmasını ele almak için koşullu beklenti ve filtreleme bilgimizi kullanacağız. Spesifik olarak, bir Avrupa seçeneğini ele alacağız ve koşullu beklentilerin fiyatının belirlenmesine nasıl yardımcı olabileceğini keşfedeceğiz. Black-Scholes modeline benzeyen, ancak stokastik dalgalanma ile daha karmaşık bir stokastik diferansiyel denklem ile çalışacağız. Black-Scholes sabit oynaklığı (sigma) varsayarken, modeli zamana bağlı ve stokastik oynaklığı içerecek şekilde genelleştireceğiz.
Beklentilerin kule özelliğinden yararlanarak bu sorunu çözebilir ve Monte Carlo simülasyonlarımızı geliştirebiliriz. Yolları doğrudan simüle etmek ve stokastik oynaklığı (j) rastgele örneklemek yerine, koşullu beklentileri kullanarak daha iyi yakınsama sağlayabiliriz. j'nin gerçekleşmesini şartlandırarak, her j için Black-Scholes fiyatlandırma formülünü uygulayabiliriz. Bu yaklaşım, Monte Carlo simülasyonlarındaki belirsizliği ve korelasyonla ilgili sorunları önemli ölçüde azaltır.
Bir sonraki bölümde, koşullu beklentilere ve Black-Scholes formülüne dayalı olarak Avrupa opsiyonlarını fiyatlandırmak için kesin bir temsil sunacağım. Bu, iç beklentinin j'nin belirli bir gerçekleşmesini şart koştuğu ve Black-Scholes formülünü uyguladığı iç ve dış beklentileri içerecektir. Dış beklenti, j'den örneklemeyi ve her örnek için Black-Scholes formülünü kullanmayı gerektirir.
Monte Carlo simülasyonlarındaki beklentiler için kule özelliğini uygulamanın etkisini ölçmek için iki yaklaşımı karşılaştıracağız. İlk yaklaşım, Black-Scholes modelinden gelen bilgileri kullanmadan beklentiyi doğrudan örneklediğimiz kaba kuvvet Monte Carlo simülasyonudur. İkinci yaklaşım, koşullu beklentileri ve Black-Scholes formülünü içerir. Yakınsama ve kararlılığı karşılaştırarak, koşullu beklenti yaklaşımıyla elde edilen önemli kazancı gözlemleyebiliriz.
Umarım bu bilgiyi faydalı bulursunuz. Koşullu beklentilerin pratik yönlerini daha fazla keşfetmekle ilgileniyorsanız, kitaptaki Bölüm 3 (Stokastik Oynaklık) ve Bölüm 12'ye (Tabletlerin Fiyatlandırılması) bakmanızı tavsiye ederim. Şimdi Python kodunu kullanarak bu yaklaşımın pratik gösterimine geçelim.
Hisse senedi ve volatilite için Monte Carlo örneklerini oluşturduktan sonra, her örnek için opsiyon getirilerinin hesaplanmasını içeren kodun bir sonraki bölümüne geçiyoruz. Bu durumda, kullanım fiyatı 18 olan bir Avrupa alım opsiyonunu ele alıyoruz. Opsiyon getirisini aşağıdaki denklemi kullanarak hesaplayabiliriz:
getiri = np.maximum(stock_samples[-1] - vuruş, 0)
Daha sonra, Black-Scholes formülünü kullanarak koşullu beklentiyi hesaplıyoruz. Oynaklığın her örneği için, karşılık gelen oynaklık değeriyle birlikte Black-Scholes modelini kullanarak opsiyon fiyatını hesaplıyoruz:
volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * olgunluk) / (volatility_samples * np.sqrt(olgunluk))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(olgunluk))
koşullu_beklenti = np.mean(np.exp(-r * vade) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - grev * norm.cdf(d2)))
Son olarak, tüm oynaklık örnekleri üzerinden koşullu beklentilerin ortalamasını alarak genel opsiyon fiyatını hesaplıyoruz:
seçenek_fiyat = np.mean(koşullu_beklenti)
Koşullu beklenti yaklaşımını kullanarak, Monte Carlo simülasyonunun yakınsamasını iyileştirmek için Black-Scholes modelinden gelen bilgileri kullanıyoruz. Bu, daha doğru opsiyon fiyatlarına yol açar ve tatmin edici yakınsama için gereken Monte Carlo yollarının sayısını azaltır.
Burada sağlanan kodun, konsepti göstermek için basitleştirilmiş bir örnek olduğunu unutmamak önemlidir. Uygulamada, stokastik oynaklık, zaman adımları ve diğer model varsayımları gibi faktörleri hesaba katmak için ek hususlar ve iyileştirmeler olabilir.
Genel olarak, opsiyon fiyatlandırmasında koşullu beklentilerin uygulanması, özellikle Black-Scholes çerçevesinin varsayımlarından sapan karmaşık modellerle uğraşırken, Monte Carlo simülasyonlarının etkinliğini ve doğruluğunu artırabilir.
Şimdi, finans mühendisliğindeki ölçü değişiklikleri konusuna odaklanalım. Sistem dinamikleri ile uğraşırken, fiyatlandırma probleminin karmaşıklığını uygun ölçü dönüşümleri yoluyla basitleştirmek bazen mümkündür. Bu, özellikle farklı frekanslara sahip birden fazla temelin olduğu faiz oranları dünyasında geçerlidir. Tutarlı bir çerçeve oluşturmak için, farklı ölçülerdeki stokastik süreçleri tek bir temel ölçüye getiren ölçü dönüşümlerine güveniyoruz.
Matematiksel finans alanında, tüm ticarete konu varlıkların fiyatlarını ifade etmek için kullanılan ticarete konu varlıklar olarak sayısal değerler önemli bir rol oynamaktadır. Sayı, elma, bono, hisse senedi veya para tasarruf hesapları gibi varlıkların değerlerinin ifade edildiği birimdir. Fiyatları sayısal olarak ifade ederek, farklı taraflar arasında mal ve hizmet transferi için tutarlı bir çerçeve oluşturuyoruz.
Geçmişte, varlıklar genellikle altın veya diğer rakamlarla ifade edilirdi. Uygun bir sayısal değer seçimi, finansal mühendislik problemlerinin karmaşıklığını önemli ölçüde basitleştirebilir ve iyileştirebilir. Kayma olmayan süreçler olan martingallerle çalışmak, sürüklenme olan süreçlerden daha kolay yönetilebildikleri için finansta özellikle avantajlıdır.
Farklı ölçüler, süreçlerin ve ticarete konu varlıkların belirli dinamikleriyle ilişkilendirilir. Yaygın durumlar arasında, para tasarruf hesaplarıyla ilişkili risk-nötr önlem, sıfır kuponlu tahvillerle ilişkili T-ileri önlemi ve sayısal olarak hisse senetleriyle ilişkili önlem yer alır. Ölçüm değişiklikleri, ölçümler arasında geçiş yapmanın ve farklı süreçlerin özelliklerinden yararlanmanın bir yolunu sağlar. Girsanov teoremi, belirli koşullar altında bir ölçüden diğerine geçmemizi sağlayan ölçü dönüşümleri için çok önemli bir araçtır.
Ölçüm değişikliklerinin teorik yönleri karmaşık olabilse de, bu ders pratik uygulamalara ve teorinin gerçek problemlere nasıl uygulanacağına odaklanır. Temel çıkarım, finansal mühendislik problemlerini etkili bir şekilde basitleştirmek ve çözmek için ölçü değişikliklerinin ve martingallerin nasıl araçlar olarak kullanılabileceğini anlamaktır.
Ölçü değişikliklerinin, martingal olarak bilinen süreçleri sürüklenmeden ele almamıza yardımcı olabilecek güçlü araçlar olduğuna dikkat etmek önemlidir. Ölçüyü uygun şekilde değiştirerek, bir süreçten sapmayı ortadan kaldırabilir ve eldeki sorunu basitleştirebiliriz. Bu, stokastik faiz oranları ve hisse senedi dinamikleri ile uğraşırken özellikle yararlıdır.
Ancak, önlem değişikliklerinin her zaman mümkün olmayabileceğini veya daha basit sorunlara yol açabileceğini belirtmekte fayda var. Bazen sapma ortadan kalktıktan sonra bile varyans gibi belirli değişkenlerin dinamikleri karmaşık kalabilir. Her şeye rağmen,
genel olarak, ölçüm değişiklikleri yoluyla sapmayı ortadan kaldırmak sorunu basitleştirir.
Martingallerle çalışmak uygundur, çünkü sürüklenmesiz stokastik diferansiyel denklemlerin kullanımı sürüklenmeye sahip olanlardan daha kolaydır. Uygun sayıları belirleyerek ve ölçüm değişikliklerini gerçekleştirerek, karmaşıklığı etkili bir şekilde azaltabilir ve simülasyon tekniklerimizi geliştirebiliriz.
Ölçü değişiklikleri, ölçüler arasında geçiş yapmamızı ve martingallerin özelliklerinden yararlanmamızı sağlar. Ölçü değişikliklerini anlamak ve uygulamak, finansal araçların fiyatlandırılmasını ve analizini büyük ölçüde basitleştirebilecek değerli bir beceridir.
Şimdi, ölçü değişiklikleri kavramını ve bunların matematiksel finanstaki pratik uygulamalarını daha derinlemesine inceleyelim. Daha önce tartıştığımız ölçü dönüştürme formülü aşağıdaki gibi yazılabilir:
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
Bu formül, bir ölçü olan Qa'dan başka bir ölçü olan Qb'ye geçmemizi sağlar. Yₛ ile gösterilen "sayısal işlem" adı verilen belirli bir işlemin ve Wₛ Wiener işleminin kullanımını içerir.
Girsanov teoremi, üstel terimdeki integrallenebilirlik koşulu gibi belirli koşullar altında bu ölçü dönüşümünün geçerli olduğunu belirtir. Bu dönüşümü uygulayarak, ölçüyü Qa'dan Qb'ye veya tam tersi şekilde değiştirebiliriz.
Pratik uygulamalarda, matematik finanstaki gerçek dünya problemlerini basitleştirmek ve çözmek için ölçü değişiklikleri kullanılır. Stokastik süreçlerin dinamiklerini dönüştürmemize ve martingallerin özelliklerinden yararlanmamıza izin veriyorlar.
Sayıları uygun bir şekilde seçerek ve ölçü değişikliklerini gerçekleştirerek, bir süreçten kaymayı kaldırabilir ve eldeki sorunu basitleştirebiliriz. Bu sadeleştirme, stokastik faiz oranlarını ve hisse senedi dinamiklerini içeren karmaşık modellerle uğraşırken özellikle faydalıdır.
Ölçü değişikliklerinin her zaman daha basit sorunlara yol açmayabileceğini unutmamak önemlidir. Bazen sapma ortadan kalktıktan sonra bile varyans gibi bazı değişkenler karmaşık dinamikler sergileyebilir. Bununla birlikte, genel olarak ölçü değişiklikleri, finansal mühendislik problemlerini basitleştirmek ve çözmek için güçlü bir araç sağlar.
Bu kursta, gerçek dünya senaryolarında ölçü değişikliklerinin pratik uygulamasına odaklanacağız. Matematiksel finanstaki karmaşık sorunları basitleştirmek için ölçü değişikliklerinin ve martingallerin faydalarını nasıl çıkaracağımızı keşfedeceğiz.
Özetlemek gerekirse, ölçü değişiklikleri, ölçüler arasında geçiş yapmamıza ve martingallerin özelliklerinden yararlanmamıza izin vererek matematiksel finansta çok önemli bir rol oynar. Ölçü değişikliklerini anlayarak ve uygulayarak finansal araçların fiyatlandırılmasını ve analizini basitleştirebilir, simülasyon tekniklerimizi geliştirebilir ve karmaşık modellerin üstesinden daha etkin bir şekilde gelebiliriz.
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 3/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Finans Mühendisliği Kursu: Ders 2/14, kısım 3/3, (Filtrelemeleri ve Ölçüleri Anlamak)
Derse devam eden eğitmen, ölçüm değişiklikleri konusunu ve bunların finans alanındaki pratik uygulamalarını derinlemesine inceler. Girizanov teoremi ve stok ölçü kavramı hakkında bilgi tazeleyerek başlarlar. Eğitmen, bir temel oluşturarak, ölçü değişikliklerinin finansal modellerde boyutsallığı etkili bir şekilde nasıl azaltabileceğini keşfetme aşamasını hazırlar.
Ders, riskten bağımsız bir önlemden hisse senedi varlığına dayalı bir para tasarruf hesabı önlemine geçişe odaklanır. Bu geçiş, iki ölçümün oranından yararlanılarak sağlanır ve süreç basit terimlerle açıklanır. Seçilen varlığın portföydeki diğer varlıklarla aynı birimde ifade edilmesinin önemine vurgu yapılır, bu ölçü değişiklikleriyle başarılabilir. Ek olarak ders, ilgili ölçü altındaki beklentinin integral bölü ölçü olarak ifade edildiği getiri fonksiyonunun tartışmasını derinlemesine ele alır. Bu sonuç, istenen sorguyu bulmanın bir yolunu sağlar. Ders, son terimi elde etmek için kullanılan ikame yöntemini sergileyerek ve ayrıca ölçü değişikliklerinin pratikliğini göstererek sona erer.
İleriye dönük olarak konuşmacı, ödemenin basitleştirilmesini araştırıyor ve yeni önlem altında hisse senedinin dinamiklerini araştırıyor. t0 değeri, yeni bir martingale yöntemi getiren maksimum st eksi k 0 ölçümlerinde beklenti olarak sağlanır. Martingale yaklaşımı kavramı, martingale koşullarını sağlamak için her şeyi stok sürecine göre bölmenin önemini vurgulayarak açıklanır. Yeni önlem kapsamında dinamikleri basitleştirmedeki faydaları vurgulanarak indirim süreci vurgulanır. Dinamikler, bir martingale olarak mtst oranından elde edilebilir. Ayrıca konuşmacı, martingale yaklaşımının avantajlarından etkili bir şekilde yararlanmak için varyansı ve ölçülen dönüşümü yeni ölçü altında belirleme ihtiyacının altını çiziyor.
Dersi genişleten öğretim görevlisi, Black-Scholes vakası için kullanılan prosedürün aynısının martingale olmayan süreçlere nasıl uygulanabileceğini açıklar. Bir dizi gerekli koşulu takip ederek, yeni bir sürecin dinamiklerini türetmek ve yeni bir önlem altında beklentileri belirlemek için ölçü dönüşümlerinden yararlanılabilir. Bu dönüşümden kaynaklanan sürüklenme ve oynaklık üzerindeki düzeltmelerin muhasebeleştirilmesinin önemi, hem orijinal hem de yeni önlem altında her iki süreç uygulanırken vurgulanmaktadır. Sonuçta hesaplama, yeni ölçü altında tek bir log-normal süreci içeren zarif bir ifadeye basitleşir.
Buna ek olarak, öğretim görevlisi, yalnızca S2 belirli bir düzeye ulaştığında ödeme yapan bir para tasarruf hesabıyla ilişkili bir geri ödeme değeri ile birlikte S1 ve S2 adlı iki boyutlu bir stokastik diferansiyel denklem sistemi sunar. Bu karmaşık beklentiyi hesaplamak için iki hisse senedi arasındaki ortak dağıtım gerekli hale gelir. Beklentiyi zarif bir biçimde bulmak için Girsanov teoreminden yararlanılarak ölçüm dönüşümü kullanılır. Öğretim görevlisi, pay olarak seçilen S1 ve belirlenen rasgele sayı türevi ile süreci açıklar. Ders aynı zamanda tüm gerekli ölçü değişikliklerini türetmenin önemini vurgular ve farklı ölçülerdeki Brown hareketleri arasındaki ilişkiler üzerindeki potansiyel etkiyi araştırır. Öğretim görevlisi, karmaşık finansal araçların zarif ve güçlü bir şekilde fiyatlandırılmasında ölçü dönüşümünün önemini vurgular.
Derse devam eden konuşmacı, rastgele nikotin türevi için ölçülen dönüşümü açıklıyor ve getiriyi basitleştirmenin önemini vurguluyor. Denklemin formülü, terimleri iptal etmek için bulunması gereken karşılık gelen ölçüyle birlikte açıklanır. Para-tasarruf tahvilinin dinamikleri ve bunun sürüklenme ve oynaklık katsayıları, ethos lemma uygulandıktan sonra tartışılır. Bu dönüşümde korelasyon unsurunun ihmal edilebilir olduğu bulunmuştur. Konuşmacı ayrıca ethos tablosuyla ilgili olarak S2 ve S1 arasındaki ilişkinin önemini vurgular.
Konuşmacı, odağı değiştirerek, yeni bir ölçünün değiştirilmesini içeren S1 ölçü dönüşümü kapsamında iki stok sürecinin dinamiklerini tartışıyor.
S1 ölçü dönüşümü altında konuşmacı, ilk stok işleminin hala bir log-normal dağılımı izlediğini, ancak sürüklenmede ek bir terim olduğunu açıklar. Benzer şekilde, ikinci stok işlemi, iki işlem arasındaki korelasyon nedeniyle ek bir terim sergiler. Konuşmacı, değişkenleri en basitten en gelişmişe doğru sıralamanın önemini vurgular ve stokastik diferansiyel denklemleri basitleştirmek için bir teknik olarak Cholesky ayrıştırmasının kullanılmasını önerir. Log-normal özelliklerinden yararlanarak, değerlendirme olasılığı etkili bir şekilde çözülebilir.
Dersin kapsamını genişleten öğretim görevlisi, faiz oranı alanındaki temel türevler olan sıfır kuponlu tahvilleri tartışmaya devam eder. Sıfır kuponlu tahvillerin basit bir getirisi vardır - vade sonunda alınan tek bir değer - bu da onların anlaşılmasını ve kullanılmasını kolaylaştırır. Ayrıca, daha karmaşık türevlerin fiyatlandırılması için çok önemli yapı taşları olarak hizmet ederler. Belirli durumlarda, bir tahvilin başlangıçtaki değerinin birden fazla olabileceği ve bu da negatif faiz oranlarını gösterdiğine dikkat edilmelidir. Negatif oranlar, likiditeyi artırmayı amaçlayan merkez bankası müdahalelerinden kaynaklanabilir, ancak harcamaları teşvik etmedeki etkinlikleri tartışma konusu olmaya devam etmektedir. Öğretim üyesi, sıfır kuponlu tahvillerin faiz oranları dünyasındaki ölçü değişiklikleri sürecinde çok önemli bir rol oynadığını vurgulamaktadır.
Ayrıca öğretim görevlisi, sıfır kuponlu tahvilleri dikkate alırken ölçüyü ileriye dönük ölçü olarak değiştirmenin önemini araştırır. Temel fiyatlandırma teoremi ve genel fiyatlandırma denklemi kullanılarak, sıfır kuponlu bir tahvilin cari değeri türetilebilir. Fiyatlandırma denklemi, sıfır kuponlu tahvil için bire eşit olan iskonto edilmiş bir geri ödeme beklentisini içerir. Öğretim görevlisi, faiz oranlarının stokastik olduğunu vurgular ve ölçüyü T forward ölçüsüne değiştirerek stokastik indirimin denklemden nasıl elimine edilebileceğini tartışır. Bölüm, bir Ruble kodu türevinin nasıl modellenebileceğinin ve fiyatlandırma denkleminin risk-nötr ölçümden T ileri ölçüme nasıl geçtiğine dair bir açıklama ile sona ermektedir.
Ayrıca profesör, finans içindeki fiyatlandırma modellerinde ölçüleri değiştirmenin ve boyutsallığı azaltmanın önemini vurguluyor. Uygulayıcılar, T ileri ölçüsü altında fiyatlara geçiş yaparak ve iskonto faktöründeki özgüllüğü ortadan kaldırarak, ölçü değişikliği tekniklerini günlük operasyonlarında güçlü araçlar olarak kullanabilirler. Ders, filtreleme kavramını ve bunların koşullu beklentilerle ilişkisini özetlemekte ve bu araçların finans alanındaki karmaşık sorunları nasıl basitleştirebileceğini vurgulamaktadır.
Öğrencilerin ilgisini çekmek ve anlayışlarını pekiştirmek için eğitmen üç alıştırma sunar. İlk alıştırma, kodun Python'daki faiz oranlarını içermesini sağlayarak, satım opsiyonlarını fiyatlandırmak için analitik bir çözüm uygulamayı gerektirir. İkinci alıştırma, fiyatlandırmayı opsiyonları koymak için genişleterek etkinliğini değerlendirmek için bir fırsat sağlar. Son olarak öğrencilere, slayt 24'teki kareleri alınmış stok ifadesi için analitik ifadeyi Monte Carlo simülasyon sonucuyla karşılaştırma görevi verilir. Bu alıştırma, ölçü dönüşümlerini uygulamadaki faydaları ve önemli farklılıkları vurgular.
Ders, ölçü değişikliklerinin ve bunların finans alanındaki uygulamalarının kapsamlı bir şekilde araştırılmasını sağlar. Tedbirlerin değiştirilmesi, geri ödemelerin basitleştirilmesi, yeni tedbirlerin dinamikleri, süreçlerin dönüşümü, sıfır kuponlu tahvil ve faiz oranlarının önemi gibi konuları kapsar. Uygulayıcılar, ölçü dönüşümlerinden yararlanarak fiyatlandırma modellerini geliştirebilir, hesaplamaları basitleştirebilir ve karmaşık finansal araçlara ilişkin değerli içgörüler elde edebilir.