文章 "两样本Kolmogorov-Smirnov检验作为时间序列非平稳性的指标" - 页 4

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根据定义，斯米尔诺夫检验适用于(a)独立的、(b)同分布的样本，这些样本是由它们的单变量 分布唯一定义的。

尝试使用该检验来确定样本中违反(a)和(b)的情况并不是一个好主意。显然，每个样本都可能有不同的违反情况，而可能违反情况的总和是大量可能违反情况的总和。
 
Aleksey Nikolayev #:

我们指的是分形本身，而不是其具体指标。它通常与序列的持久性/反持久性相关，而持久性/反持久性与相邻增量的依赖性有关，而相邻增量的依赖性又是由它们的共同分布决定的。

如果我们谈论分形的具体指标，那么 FDI 就不是很好，因为它需要大量的数据来计算，而且不能给出维度置信区间的值。

我认为你混淆了两件事。计算特定统计量的算法，以及如果统计量取特定值，我们可以得出的结果。
你的意思一定是，如果分形指数拒绝了 SB 假设，那么二维向量（Xn,Xn-1）的概率函数就不等于一维向量的乘积，我的理解对吗？

F(Xn,Xn-1) != F(Xn)*F(Xn-1)



 
Aleksey Nikolayev #:
根据定义，斯米尔诺夫检验适用于(a)独立的、(b)同分布的样本，这些样本是由它们的单变量 分布唯一定义的。 尝试使用该检验来确定样本中违反(a)和(b)的情况并不是一个好主意。很明显，每个样本的违反情况都可能不同，而违反情况的总和可能很多。

独立性是的。但这并不是放弃斯米尔诺夫准则的理由。看看它是如何工作的。您比较两个同质的独立样本，并一直观察零假设，然后在某个时间点，比方说，序列中出现了依赖关系，斯米尔诺夫标准会对此做出反应，拒绝零假设，因为它 "不喜欢 "依赖关系。因此，对于交易者来说，这种不良的副作用只是一个优点。

要求样本分布相同是什么意思？

不幸的是，经济时间序列无法满足这种要求。这种要求是先验的，永远不可能实现。我们无法像物理学家那样控制实验或经验，也无法实现获得相同分布数据的理想条件。





 
Евгений Черныш #:
我认为你混淆了两件事。一个是特定统计量的计算算法，另一个是它取特定值时我们可以得出的结果。
你的意思可能是，如果分形指数拒绝了 SB 假设，那么二维向量（Xn,Xn-1）的概率函数就不等于一维向量的乘积，我的理解对吗？

F(Xn,Xn-1) != F(Xn)*F(Xn-1)



关于分形、FDI 和其他类似问题的推理已经超出了 matstat 的范畴。在 SB 的情况下，FDI 的分布是怎样的？我不知道（除了可能计算出渐近分布外，没人知道）。因此，"统计 "一词几乎不适用于 FDI。在关于实际价格的少数正常研究中（使用蒙特卡罗方法计算关于 SB 的赫斯特 p 值），无法拒绝 SB 假设。

关于分形维度与增量相关性之间的关系，我们只有经验性的猜测。在这个层面上，是的，你没有理解错我的意思--如果说的是分形，那么就会出现{F(Xn,Xn-1) != F(Xn)*F(Xn-1)}的依赖关系，我们就不能再谈论斯米尔诺夫检验的适用性了。因此，我认为斯米尔诺夫检验与 FDI 并不相似。最多，在经验层面上，当 FDI 接近其在 SB 上的理论值时，我们可以认为 Smirnov 更为适用（尽管对于趋势资产来说，这一点还有点疑问）。

 

Евгений Черныш #:

要求样本平均分布是什么意思？

两个样本中的每一个都必须从 i.i.d. 随机变量集合中获得。我已经写过，由于波动率的每日波动（例如由于市场交易时段），违反了 i.i.d. 条件。

 
Евгений Черныш #:
独立性，是的。但这不是放弃斯米尔诺夫标准的理由。看看它是如何工作的。你比较两个同质的独立样本，并一直观察零假设，然后在某个时间点，比方说，序列中出现了依赖关系，斯米尔诺夫标准就会对此做出反应，拒绝零假设，因为它 "不喜欢 "依赖关系。因此，对于交易者来说，这种不良的副作用只是一个优点。

您将无法区分违反 i.和违反 i.d. 条件 i.i.d.），也无法确定违反的是哪个样本。你自己算算看，总共有 16=4*4 个变体，其中只有一个没有违反条件。

因此，斯米尔诺夫正是为了 "不喜欢 "i.d.偏差而被制造出来的），而你却想混淆他）。

 
Aleksey Nikolayev #:

关于分形、外国直接投资和其他类似问题的讨论把我们带出了 matstat 领域。在 SB 的情况下，FDI 的分布情况如何？我不知道（除了可能计算出渐近分布外，没人知道）。因此，"统计 "一词在外国直接投资中几乎没有应用。在少数关于实际价格的正常研究中（使用蒙特卡罗方法计算关于 SB 的赫斯特 p 值），SB 的零假设无法被拒绝。

关于分形维度与增量相关性之间的关系，我们只有经验猜测。在这个层面上，是的，你没有理解错我的意思--如果说的是分形，那么就会出现{F(Xn,Xn-1) != F(Xn)*F(Xn-1)}的依赖关系，我们就不能再谈论斯米尔诺夫检验的适用性了。因此，我认为斯米尔诺夫检验与 FDI 并不相似。最多，在经验层面上，当 FDI 接近其在 SB 上的理论值时，我们可以认为 Smirnov 更为适用（尽管对于趋势资产来说，这一点还有点疑问）。

你把斯米尔诺夫标准的独立性要求看得太简单了。为了检验零假设，给定统计量的分布必须收敛到 Kolmogorov 分布。因此，如果违反了独立性要求，斯米尔诺夫准则就会成为检测数据中统计关系的指标。也就是说，在任何情况下，独立性要求都不会禁止对可能存在某些统计关系的数据应用斯米尔诺夫准则。此外，没有人禁止计算研究数据的相关性。如果没有发现线性依赖关系，那么可以认为独立性要求实际上已经满足，那么斯米尔诺夫距离分布的差异就完全是由数据的异质性造成的。对于非线性依赖关系，斯米尔诺夫距离的分布与 Kolmogorov 分布的差异微乎其微（至少对于逻辑映射是如此）。也就是说，显然不能只使用一种斯米尔诺夫标准，我们还需要使用其他的分析方法。

至于 FDI，它在 SB 中的分布很可能与 Hurst 指数完全相同，即正态分布。在蒙特卡罗方法的帮助下，一切都可以计算出来，彼得斯在他的著作《金融市场的分形分析》中就是这样做的。FDI 与其他统计量没有什么不同，因为它本身就是一个随机变量，就像样本平均值或样本方差一样，所以你可以很容易地找出这个统计量在 SB、小样本、大样本等情况下的表现。

 
Aleksey Nikolayev #:

两个样本中的每一个都必须从 i.i.d. 随机变量集合中获得。我已经写过，由于波动率的每日波动（例如由于市场交易时段），i.i.d. 条件被违反了。

等分布的要求对于定理证明、严谨证明和数理统计系来说是不错的，但对于真实数据来说，这个要求就太严格了。您必须控制实验过程，确保观测随机变量的条件不会随时间而改变。显然，在股票报价的情况下，我们不需要控制任何东西。我们只是观察市场这只无形的手如何从盒子里拉出一个特定的数字（价格增量），但我们并不知道在每一时刻盒子里的东西是否发生了变化（也没有人会知道）。这就是现实，我们必须在现有的条件下工作。

在我看来，逐日比较是正确的，因为每个样本中都有亚洲、欧洲和美国时段。如果我将亚洲时段与美国时段进行比较，那就错了。当然，每个人都有自己的决定。

 
Aleksey Nikolayev #:

您将无法从条件 i.i.d 中区分违规 i. 和违规 i.d.）。

我可以，你也可以，至少对模型数据而言。

自回归过程是等分布的吗？是同分布的。

它是独立的吗？不独立。

斯米尔诺夫准则能 "看到 "吗？能。

 
Евгений Черныш #:

你把斯米尔诺夫准则的独立性要求看得太简单了。这一要求对于给定统计量的分布收敛到用于检验零假设的柯尔莫哥洛夫分布是必要的。因此，如果违反了独立性要求，斯米尔诺夫准则就会成为检测 数据中统计关系的指标。也就是说，在任何情况下，独立性要求都不会禁止对可能存在某些统计关系的数据应用斯米尔诺夫准则。

我认为，这显然是逻辑问题。同义反复，从中可以推导出其他东西。

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