纯粹的数学、物理、逻辑（braingames.ru）：与贸易无关的大脑游戏 - 页 58

新评论
 
DmitriyN:
因此。所有的梯子都有一个明确的底部和顶部。
这并不意味着梯子总是有一个顶层和一个底层。 它说的是梯子有一个顶层和 一个底层，也就是说，它们不能被颠倒。也就是说，与顶部/底部对称镜像的楼梯是不一样的。
 
Mathemat:

80个巨脑站在一个10×8的长方形里。在每一纵列中，他们找到了最高的一个，其中最低的是带狗的巨兽。然后他们找到了每个横排中最低的一个，其中最高的是一个戴着帽子的巨兽。问题是，谁更高大：带着狗的Megamoggle还是带着帽子的那个？

4号公路上也有一个类似的。

x >= y >= z --> x >= z

 
Mathemat:

(5)

Megamogg想用梯子爬到他家的屋顶。储藏室里有很多梯子，但不幸的是，大多数梯子都缺少台阶。梯子如果连续缺了两级就不能被Megamogg爬上去。他所有的梯子原来都有N个台阶。所有梯子都有明确的底部和顶部。Megamogg能爬多少种不同的楼梯？

泰克斯，比这更简单。 斐波那契兔子 序列被画出来了。

F(1) = 2

F(2) = 3

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

// 我不知道是否有一个不复发的公式，我还没有研究出来。

 
TheXpert:

你确定吗？

F(1) = 1

F(2) = 2

F(3) = 4

F(4) = 7

F(5) = 12

F(6) = 19

F(7) = 33 (???)

当然。

有一个步骤，两个选项（有/无步骤）。

有两个=三个选项（都有，没有第一个，没有第二个）。

等。

我的公式是正确的。


Ъ

 
MetaDriver:

我的公式是正确的。

是的，我想是的。我没有计算整个楼梯，在某处少算了6个。
 

递归公式e，但不像我的那样简单。但其结果和解决方案本身确实是斐波那契数F(N+2)。只剩下给出一个正确的证明。MD，你是在哪里挖到你的公式的？只是通过计算小数字的变化？

我有这个公式的完整推导。我暂时等待。

 
TheXpert:

在4K上，似乎也是如此。

x >= y >= z --> x >= z

你能解释一下什么是 "巴克利 "吗？
 
Mathemat:

递归公式e，但不像我的那样简单。但其结果和解决方案本身确实是斐波那契数F(N+2)。只剩下给出一个正确的证明。MD，你是在哪里挖到你的公式的？只是通过计算小数字的变化？

我有这个公式的完整推导。我暂时等待。

让c(n)为MM不能爬的有n个台阶的楼梯的数量。考虑以下选项。

1 0

1 0 0

这里是三个系列楼梯的底层，1--有一个台阶，0--没有台阶。很明显，如果n>=2

c(n) = c(n-1) + c(n-2) + 2^(n-2)，很明显，c(0) = 0，c(1) = 0 (1)

可以攀登的梯子总数用公式表示：2^n-c(n)=?F(n+2)

让我们来证明这一点。让我们定义一个函数

f(n+2)=2^n-c(n)；我们计算出f(2)=1，f(3)=2与相应的斐波那契数相符。(2)

对于n>1，我们将（2）中的c（n）代入（1），得到

2^n - f(n+2) = 2^(n-1) - f(n+1) + 2^(n-2) - f(n) + 2^(n-2)，二者的度数减少，我们得到。

f(n+2) = f(n+1) + f(n), 鉴于f(2) = F(2) = 1, f(3) = F(3) = 2的计算值，显然f(n+2) = F(n+2)

 

顺便说一句，我有一个不同的解决方案（没有二度）。

考虑到N>=2。让我们在第1和第2个梯子之间（或者说，在它们的位置之间）切割梯子。在顶部会有一个小梯子，有N-1个台阶的位置，在底部会有一个位置。两者都会保证正确，但通常会缺少一些步骤。<br / translate="no">
如果MM能爬上楼梯，就叫正确的楼梯。 梯子上潜在的台阶数量被称为其顺序。

为了简单起见，我们将引入这样的符号：阶数为n且有一个缺失步骤的正确楼梯的数量我们表示为q(n; false)，有一个步骤存在我们表示为q(n; true)。我们用q(n)来表示所有n阶的正规梯子的数量。

有两种情况。

1.上面的梯子有一个较低的台阶。那么N阶的 "复合 "楼梯的总数是q(N-1; true) * 2，因为1阶的普通楼梯的数量是2。

另一方面，显然q(N-1; true) = q(N-2)。因此，这种情况下的正确选择总数将是2*q(N-2)。

2.顶部的梯子没有底部的梯子。阶数为N的复合梯子的总数为q(N-1; false) * 1，因为阶数为1的底层梯子必须有一个台阶，复合梯子才是正确的。

另一方面，q(N-1; false) = q(N-2; true) = q(N-3)。所以正确选择的总数是q(N-3)。

因此，我们有递归关系。

q(N)=2*q(N-2)+q(N-3)。

它是线性的，它的方程式如下。

z^3 - 2*z - 1 = 0。

显然，它分解成了乘数。

(z + 1) * (z^2 - z - 1) = 0。

因此，根是z_1 = ( 1 + sqrt(5) ) / 2 = fi, z_2 = 1 - fi, z_3 = -1。

方程的一般解是一个线性组合，即

q(n) = C_1*z_1^n + C_2*z_2^n + C_3*z_3^n （***）。

对前几个选择进行人工计数，可以得到以下选择数--斐波那契数（F_0=0，F_1=1）。

q(1) = 2 = F_3。
q(2) = 3 = F_4。
q(3) = 5 = F_5。
q(4) = 8 = F_6。
q(5) = 13 = F_7，等等。

这种规律性是显而易见的。用（***）代替。

F_3 = C_1*z_1 + C_2*z_2 - C_3 （***）。

F_4 = C_1*z_1^2 + C_2*z_2^2 + C_3 （***）。

F_5 = C_1*z_1^3 + C_2*z_2^3 - C_3 （***）。

首先，请注意，从这三个方程中，C_i是唯一确定的（系统的主要行列式几乎是范德蒙德行列式，它不等于零）。另一方面，如果C_1=1/sqrt(5)=-C_2和C_3=0，斐波那契数从字面上就可以得到。

因此，答案是：N阶的正规梯子的数量是F_{N+2}。
 
Mathemat:

顺便说一句，我有一个不同的解决方案（没有二度）。

斐波那契的递归关系也是如此：q(N) = 2*q(N-2) + q(N-3)。

因此，只需证明系列的三个连续值的重合就足以使系列重合了

1...515253545556575859606162636465...229
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