Commercio quantitativo - pagina 36
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Fattori che influenzano i valori delle opzioni (calcoli per gli esami CFA® e FRM®)
Fattori che influenzano i valori delle opzioni (calcoli per gli esami CFA® e FRM®)
Approfondiamo l'argomento delle capsule concettuali ed esploriamo i fattori che influenzano i valori delle opzioni. Questo argomento è rilevante in tutti e tre i livelli del curriculum CFA, così come nel programma FRM. Prima di approfondire i fattori, ricapitoliamo le notazioni delle opzioni e i profili di payoff delle opzioni di base.
Ci sono sei fattori che influenzano il valore di un'opzione, che si allineano con i concetti trattati nella teoria delle opzioni. Rivediamo le notazioni. L'attuale prezzo delle azioni è indicato come "S." Il prezzo di esercizio o prezzo di esercizio è rappresentato da "X" o "K". È possibile utilizzare entrambe le notazioni. Il tempo alla scadenza dell'opzione è indicato come "T", che indica quanto tempo rimane prima che l'opzione raggiunga la scadenza. "R" rappresenta il tasso privo di rischio a breve termine durante il periodo di valutazione. Infine, "D" rappresenta il valore attuale dei dividendi o di qualsiasi altro beneficio associato all'azione o attività sottostante.
Ora, ricapitoliamo brevemente la definizione di opzioni ei loro vari profili di payoff. Le opzioni differiscono dai forward o dai future perché forniscono all'acquirente un diritto piuttosto che un obbligo. Gli acquirenti di opzioni possono scegliere se esercitare o meno i propri diritti, a seconda di ciò che è più redditizio per loro. Esistono due tipi di opzioni: opzioni call e opzioni put. Le opzioni call conferiscono il diritto di acquistare l'attività sottostante, mentre le opzioni put conferiscono il diritto di vendere l'attività sottostante. È importante notare che queste prospettive provengono dalla posizione lunga, mentre la posizione corta inverte queste azioni. Ad esempio, una short call rappresenta l'obbligo di vendere l'attività sottostante.
Le quattro posizioni di payoff delle opzioni sono long call, short call, long put e short put. Una chiamata lunga rappresenta il diritto di acquistare l'attività sottostante, tipicamente utilizzata quando ci si aspetta che il prezzo dell'attività aumenti. Al contrario, una short call rappresenta l'obbligo di vendere l'attività sottostante. Per una put lunga, il detentore ha il diritto di vendere l'attività sottostante, tipicamente utilizzata quando ci si aspetta che il prezzo dell'attività diminuisca. Una short put rappresenta l'obbligo di acquistare l'attività sottostante.
Per calcolare il valore di queste opzioni, possiamo usare delle formule. La formula per una chiamata lunga è il massimo di 0 e la differenza tra il prezzo dell'azione (ST) e il prezzo di esercizio (K). Per una chiamata breve, la formula è il valore negativo di una chiamata lunga. La formula per una put lunga è il massimo di 0 e la differenza tra il prezzo di esercizio (K) e il prezzo dell'azione (ST). Infine, una short put è il valore negativo di una long put.
È importante distinguere tra opzioni americane e opzioni europee. Le opzioni americane offrono maggiore flessibilità, consentendo al detentore di esercitare l'opzione in qualsiasi momento fino alla scadenza. Le opzioni europee, invece, sono più rigide e possono essere esercitate solo alla scadenza. Tuttavia, le opzioni europee possono ancora essere negoziate prima della scadenza, con l'esercizio possibile solo l'ultimo giorno. Nella nostra analisi, consideriamo principalmente l'impatto sulle opzioni europee, poiché le opzioni americane tendono ad essere più costose a causa della maggiore flessibilità che offrono.
Passando all'argomento principale dei fattori che influenzano i valori delle opzioni, esaminiamo la tabella fornita. La tabella mostra le variabili e il loro impatto sui valori call e put. Ci concentreremo sull'analisi dell'impatto di un aumento di questi fattori.
Innanzitutto, consideriamo il prezzo delle azioni (S). Se il prezzo delle azioni aumenta, anche i valori call aumenteranno. Questo perché la differenza tra il prezzo delle azioni e il prezzo di esercizio aumenta, portando a valori di opzione call più elevati. Al contrario, un aumento del prezzo dell'azione ridurrà i valori put, poiché il segno negativo associato al prezzo dell'azione nella formula dell'opzione put restringe lo spread tra il prezzo di esercizio e il prezzo dell'azione.
Successivamente, esploriamo l'impatto di un aumento del prezzo di esercizio (K). Un aumento del prezzo di esercizio (K) ha una relazione inversa con i valori call. Quando il prezzo di esercizio aumenta, la differenza tra il prezzo delle azioni e il prezzo di esercizio si riduce, determinando valori di opzione call inferiori. D'altra parte, un aumento del prezzo di esercizio porta ad un aumento dei valori put. All'aumentare del prezzo di esercizio, lo spread tra il prezzo di esercizio e il prezzo delle azioni si allarga, determinando valori di opzione put più elevati.
Passando al tempo alla scadenza (T), un aumento di questo fattore ha un impatto positivo sia sui valori call che put. Con più tempo fino alla scadenza, c'è una maggiore probabilità che il prezzo dell'azione sottostante si sposti a favore del detentore dell'opzione. Questo aumento del potenziale di movimento dei prezzi porta a valori di opzione più elevati.
L'impatto del tasso privo di rischio (R) sui valori delle opzioni è alquanto intuitivo. Un aumento del tasso privo di rischio aumenterà il valore attuale dei flussi di cassa futuri associati all'opzione. Questo porta a valori call più alti e valori put più bassi.
Anche i dividendi (D) hanno un impatto sui valori delle opzioni. Per le opzioni call, un aumento dei dividendi riduce il valore attuale dei flussi di cassa futuri associati al titolo, determinando valori inferiori delle opzioni call. Al contrario, per le opzioni put, un aumento dei dividendi aumenta il valore attuale dei flussi di cassa futuri associati al titolo, determinando valori di opzione put più elevati.
Infine, la volatilità del titolo sottostante (σ) ha un impatto positivo sia sui valori call che su quelli put. Una maggiore volatilità aumenta il potenziale per maggiori movimenti di prezzo, aumentando la probabilità che l'opzione finisca in-the-money. Di conseguenza, i valori delle opzioni call e put aumentano con una maggiore volatilità delle azioni.
È importante notare che l'impatto di questi fattori sui valori delle opzioni può variare a seconda di altri fattori e delle condizioni di mercato. I modelli di prezzo delle opzioni, come il modello Black-Scholes, tengono conto di questi fattori e forniscono un quadro più completo per la valutazione delle opzioni.
Comprendere i fattori che influenzano i valori delle opzioni è fondamentale per il prezzo delle opzioni, la gestione del rischio e lo sviluppo di strategie di investimento che coinvolgono le opzioni.
Un altro fattore importante che influisce sui valori delle opzioni è il prezzo dell'asset sottostante (S). Per le opzioni call, all'aumentare del prezzo dell'attività sottostante, l'opzione diventa più preziosa perché il detentore dell'opzione ha il diritto di acquistare l'attività a un prezzo di esercizio inferiore e poi venderla al prezzo di mercato più elevato. Questo potenziale di profitto porta a valori di opzione call più elevati. D'altra parte, per le opzioni put, all'aumentare del prezzo dell'attività sottostante, l'opzione perde valore perché il detentore dell'opzione ha il diritto di vendere l'attività a un prezzo di esercizio inferiore mentre il prezzo di mercato è più alto. Questo potenziale di perdita si traduce in valori di opzione put inferiori.
La volatilità implicita (IV) è un altro fattore critico che influenza i valori delle opzioni. La volatilità implicita è l'aspettativa del mercato di volatilità futura e deriva dai prezzi correnti delle opzioni. Con l'aumentare della volatilità implicita, i valori delle opzioni tendono a salire perché c'è una maggiore probabilità di maggiori oscillazioni di prezzo nell'attività sottostante. L'aumento della volatilità aumenta la probabilità che l'opzione finisca in-the-money, portando a valori dell'opzione più elevati. Al contrario, quando la volatilità implicita diminuisce, i valori delle opzioni tendono a diminuire.
Anche le dinamiche della domanda e dell'offerta di mercato possono influire sui valori delle opzioni. Se c'è un'elevata domanda di opzioni, i loro prezzi potrebbero aumentare a causa dell'aumento della pressione all'acquisto. Al contrario, se la domanda di opzioni è bassa, i loro prezzi potrebbero diminuire. Le condizioni di mercato, il sentimento degli investitori e le tendenze generali del mercato possono influenzare le dinamiche della domanda e dell'offerta, influenzando i valori delle opzioni.
Vale la pena notare che i fattori discussi qui sono comunemente usati nei modelli di prezzo delle opzioni, come il modello Black-Scholes, che fornisce un quadro teorico per valutare le opzioni. Tuttavia, i prezzi effettivi delle opzioni possono discostarsi dalle previsioni del modello a causa di inefficienze del mercato, costi di transazione, liquidità e altri fattori.
Comprendere i fattori che influenzano i valori delle opzioni è fondamentale per i trader e gli investitori di opzioni. Considerando questi fattori e analizzando le condizioni di mercato, gli individui possono prendere decisioni più informate in merito alle strategie di trading di opzioni, alla gestione del rischio e alla costruzione del portafoglio.
Indici del mercato dei titoli (calcoli per gli esami CFA®)
Indici del mercato dei titoli (calcoli per gli esami CFA®)
Ciao e Benvenuto! Oggi approfondiremo il concetto di indici azionari ed esploreremo i diversi metodi per pesarli, concentrandoci in particolare sugli indici azionari. Gli indici azionari sono ampiamente riconosciuti e comunemente visti nelle notizie, ma è importante notare che gli indici non sono esclusivi dei mercati azionari. Sono disponibili indici per reddito fisso, hedge fund, valute e molti altri mercati.
Un indice è essenzialmente una rappresentazione di un particolare mercato. Serve come strumento per gli investitori per monitorare le prestazioni e il rischio del mercato. Inoltre, gli Exchange Traded Funds (ETF) utilizzano spesso questi indici come benchmark. Esistono due versioni principali di un indice: l'indice price return e l'indice total return.
L'indice di rendimento dei prezzi traccia solo i prezzi dei titoli costituenti. Calcola la differenza tra il valore finale e il valore iniziale dell'indice, diviso per il livello di prezzo originale dell'indice. In sostanza, l'indice di rendimento del prezzo è simile al concetto di rendimento del periodo di detenzione.
D'altra parte, l'indice total return non solo tiene traccia delle variazioni di prezzo, ma considera anche qualsiasi reddito o distribuzione associati ai titoli costituenti. Ciò include i dividendi o il reinvestimento degli interessi. Per calcolare l'indice di rendimento totale, la differenza di prezzo viene combinata con il rendimento del reddito. Si può utilizzare la formula menzionata in precedenza o utilizzare la funzione di variazione percentuale disponibile su calcolatrici come BA II Plus o HP 12C.
Passando alle varie tipologie di indici azionari, partiamo da quello più semplice: l'indice ponderato per il prezzo. In questo metodo, viene riassunto il prezzo di ciascun titolo costitutivo e viene calcolata la media. Il presupposto è che venga acquistata un'unità di ogni titolo. Questo tipo di indice è comunemente utilizzato in esempi come il Dow Jones Industrial Average e il Nikkei. Sebbene sia semplice da calcolare, ci sono degli svantaggi. Ogni volta che si verifica un frazionamento azionario o un consolidamento, il livello dell'indice deve essere aggiustato per garantire che non venga influenzato dalle variazioni di prezzo.
Un altro tipo è l'indice di uguale ponderazione, noto anche come indice non ponderato. In questo metodo, vengono investite uguali somme di denaro in ciascun titolo, indipendentemente dal numero di quote. Questo porta a quote frazionarie in molti casi. L'indice equamente ponderato viene calcolato prendendo il rendimento medio aritmetico delle azioni dell'indice. Esempi di indici a pari ponderazione includono il Value Line Composite Average e il Financial Times Ordinary Shares Index.
Il terzo tipo che discuteremo è l'indice ponderato per la capitalizzazione di mercato, noto anche come metodo ponderato per il valore. Il peso di ciascun titolo costitutivo è determinato dalla sua capitalizzazione di mercato. La capitalizzazione di mercato viene calcolata moltiplicando il prezzo dell'azione per il numero totale di azioni in circolazione. Il peso assegnato a ciascun titolo è calcolato dividendo la sua capitalizzazione di mercato per la capitalizzazione di mercato totale di tutti i titoli. Questo metodo riflette il valore complessivo dell'indice. Un esempio di indice ponderato per la capitalizzazione di mercato è l'S&P 500.
Per illustrare questi concetti, consideriamo esempi numerici per ogni tipo di indice. Calcoleremo i livelli e i rendimenti dell'indice in base a determinati prezzi, numero di azioni e capitalizzazioni di mercato.
In conclusione, gli indici azionari fungono da strumenti essenziali per gli investitori per monitorare la performance e il rischio di vari mercati. Comprendere i diversi metodi di ponderazione, come gli indici ponderati in base al prezzo, alla parità ponderata e alla capitalizzazione di mercato, consente agli investitori di prendere decisioni informate in base alle loro preferenze e ai loro obiettivi di investimento.
Dividend Discount Model (Calcoli per gli esami CFA®)
Dividend Discount Model (Calcoli per gli esami CFA®)
Ciao e benvenuto a Concept Capsules! L'argomento di discussione di oggi è il modello di sconto sui dividendi (DDM). Questa discussione si concentrerà principalmente sulle basi del DDM da una prospettiva di livello 1 CFA, ma può anche servire come introduzione al capitolo DDM di livello 2 CFA.
Il modello di sconto sui dividendi è un metodo di valutazione utilizzato per valutare il valore di un'azione. In questo metodo, prevediamo i dividendi futuri e il valore di uscita, quindi scontiamo questi flussi di cassa al tempo presente, che è il periodo di tempo zero. Il DDM può essere utilizzato per valutare sia azioni privilegiate che azioni ordinarie, con l'equità comune che è la versione più rischiosa.
Quando valutiamo azioni privilegiate utilizzando DDM, le trattiamo come una perpetuità. Le azioni privilegiate pagano un dividendo fisso a tempo indeterminato, simile a un perpetuo. La formula per la valutazione delle azioni privilegiate deriva dalla formula della rendita perpetua, in cui il dividendo (flusso di cassa) è diviso per il costo delle azioni privilegiate (tasso di sconto). È importante notare che il tasso di sconto per le azioni privilegiate dovrebbe essere inferiore a quello utilizzato per le azioni ordinarie. Se esistono categorie speciali di azioni privilegiate, come le azioni privilegiate partecipative o quelle convertibili, i tassi di dividendo e di sconto devono essere adeguati di conseguenza.
Consideriamo un semplice esempio per calcolare il valore di un'azione privilegiata. Supponiamo che il tasso di sconto (k) sia del 10% e il dividendo (c) sia 5. Applicando la formula della perpetuità, otteniamo il valore dell'azione privilegiata pari a 50.
Passando alla valutazione del capitale comune, diventa più difficile perché la dimensione e la tempistica dei flussi di cassa futuri sono incerte. Inoltre, dobbiamo stimare il tasso di rendimento richiesto, per il quale vengono comunemente utilizzati modelli come il Capital Asset Pricing Model (CAPM). Inizieremo con un modello di periodo di detenzione di un anno e poi lo estenderemo a più anni.
Nel modello del periodo di detenzione di un anno, assumiamo che l'investitore venderà il titolo alla fine del primo anno. Dobbiamo conoscere il dividendo ricevuto durante quell'anno e stimare il valore di uscita di fine anno. Utilizzando la formula CAPM, calcoliamo il tasso di rendimento richiesto. I flussi di cassa vengono attualizzati al periodo di tempo zero per determinare il valore del titolo.
Questo modello può essere facilmente esteso a più anni incorporando i rispettivi dividendi e valori di uscita per ciascun anno. Non abbiamo bisogno di memorizzare nuove formule; regoliamo semplicemente il periodo di tempo. Ad esempio, un periodo di detenzione di due anni comporterebbe l'attualizzazione dei flussi di cassa per due anni.
Applichiamo questo concetto a una domanda con un periodo di detenzione di tre anni. I dividendi annuali per i prossimi tre anni dovrebbero essere di 1 euro, 1,5 euro e 2 euro. Il prezzo delle azioni alla fine dei tre anni è stimato in 20 euro. Con un tasso di rendimento richiesto del 10%, possiamo calcolare il valore dell'azione scontando i flussi di cassa al periodo di tempo zero. Il valore risultante è di 18,67 euro.
Infine, consideriamo lo scenario di periodi di detenzione infiniti, ipotizzando una crescita costante dei dividendi al tasso "g" per sempre. In questo caso, la formula si semplifica in D0 * (1 + g) / (ke - g), dove D0 è il dividendo al periodo di tempo zero, ke è il costo del capitale proprio e g è il tasso di crescita costante. È fondamentale prestare attenzione ai pedici e abbinare correttamente i periodi di tempo per la stima e la valutazione dei dividendi.
Se il tasso di crescita diventa costante dopo un certo numero di anni, possiamo utilizzare il Gordon Growth Model (GGM) da quel momento in poi. Tuttavia, è importante ricordare che il valore dell'azione è determinato in un momento precedente l'anno per il quale il dividendo è preso al numeratore. Questo significa che dovremmo usare il.
Per illustrare l'applicazione del Gordon Growth Model (GGM), consideriamo un esempio. Supponiamo che una società debba pagare un dividendo di $ 2 per azione l'anno prossimo. Il dividendo dovrebbe crescere a un tasso costante del 5% all'anno a tempo indeterminato. Il tasso di rendimento richiesto (ke) è del 10%.
Utilizzando la formula GGM, possiamo calcolare il valore del titolo:
Valore = D1 / (ke - g)
dove D1 è il dividendo atteso nel periodo di tempo 1, ke è il tasso di rendimento richiesto e g è il tasso di crescita costante.
Sostituendo i valori nella formula, abbiamo:
Valore = $ 2 / (0,10 - 0,05) = $ 40
Quindi, secondo il GGM, il valore delle azioni è di $ 40.
È importante notare che il Gordon Growth Model presuppone un tasso di crescita costante, che potrebbe non essere vero in tutti i casi. È più adatto per società mature con tassi di crescita dei dividendi stabili e prevedibili.
Il modello di sconto sui dividendi (DDM) è uno strumento utile per valutare le azioni, ma ha i suoi limiti. Si basa su diversi presupposti, come i tassi di crescita costanti dei dividendi e l'accuratezza delle stime dei flussi di cassa futuri. Anche le condizioni di mercato e altri fattori possono influenzare i prezzi delle azioni, rendendo difficile prevedere con precisione i dividendi futuri e i valori di uscita.
Inoltre, DDM è principalmente applicabile alle società che pagano dividendi. Per le società che non pagano dividendi o hanno modelli di dividendi incoerenti, metodi di valutazione alternativi come l'analisi del flusso di cassa scontato (DCF) possono essere più appropriati.
Nel complesso, il modello di sconto sui dividendi fornisce un quadro per stimare il valore delle azioni sulla base dei dividendi attesi e dei flussi di cassa futuri. È un concetto essenziale per gli analisti finanziari e gli investitori che cercano di determinare il valore intrinseco delle azioni di una società.
Modello di prezzo delle opzioni binomiali (calcoli per gli esami CFA® e FRM®)
Modello di prezzo delle opzioni binomiali (calcoli per gli esami CFA® e FRM®)
Immergiamoci nel concetto di metodo di determinazione del prezzo delle opzioni binomiali. Oggi esploreremo questo argomento, che è trattato sia nei curricula CFA che in quelli finanziari. È uno dei due metodi utilizzati per calcolare il valore di un'opzione, l'altro è il modello di Black-Scholes.
Il metodo binomiale presuppone che il prezzo sottostante dell'opzione possa trovarsi solo in due stati entro un dato intervallo di tempo. Questo è il motivo per cui è chiamato binomiale, in quanto considera solo due possibili stati in ogni nodo. Iniziamo con il prezzo corrente delle azioni, indicato come S0. Da lì, consideriamo due diversi stati di natura: lo stato a monte (S_u) e lo stato a valle (S_d). Il prezzo delle azioni nel nord dello stato è determinato moltiplicando il prezzo corrente delle azioni (S0) per un fattore indicato come "u", con una probabilità "p". Al contrario, il prezzo delle azioni nello stato down è determinato moltiplicando il prezzo corrente delle azioni (S0) per un fattore indicato come "d", con una probabilità di (1-p).
Quando raggiungiamo il nodo dello stato settentrionale, possiamo salire o scendere. Le probabilità rimangono le stesse in tutto l'albero, utilizzando gli stessi valori p e (1-p). Ad esempio, se la probabilità di una mossa al rialzo è del 60% e di una mossa al ribasso è del 40%, queste probabilità rimarranno costanti per tutto l'albero. Da ciascun nodo possiamo calcolare i prezzi delle azioni nello stato successivo, come mostrato dalle diverse combinazioni di u e d.
In questa discussione, ci concentreremo sul metodo di un periodo, il che significa che stiamo considerando solo un periodo in anticipo. Ci limiteremo a questa porzione dell'albero binomiale. Per implementare il metodo binomiale, determiniamo prima i due diversi prezzi azionari possibili. Successivamente, calcoliamo il payoff dell'opzione su entrambi i nodi, permettendoci di ottenere un valore atteso per quel periodo di tempo. Una volta ottenuto il valore atteso per quel periodo di tempo, applichiamo la formula del flusso di cassa scontato (DCF) per scontarlo al periodo di tempo zero. È importante notare che in questo caso utilizziamo le probabilità nella formula DCF, a differenza dei tradizionali calcoli DCF in cui le probabilità non sono coinvolte.
Passiamo ora all'albero binomiale delle opzioni call. Dopo aver determinato i fattori del prezzo delle azioni, calcoliamo la dimensione e le probabilità del movimento al rialzo e al ribasso. Questi saranno indicati rispettivamente come "u" e "d". Successivamente, disegniamo l'albero binomiale e calcoliamo il payoff dell'opzione in tutti i nodi. Ciò comporta la determinazione del massimo pari a zero o della differenza tra il prezzo dell'azione (st) e il prezzo di esercizio (k). Poi moltiplichiamo i payoff per le rispettive probabilità e calcoliamo il valore atteso dell'opzione per l'intero periodo. Infine, riduciamo questo valore atteso al periodo di tempo zero per determinare il valore corrente dell'opzione.
Per facilitare i calcoli, usiamo varie notazioni e formule. La probabilità neutrale al rischio di una mossa al rialzo è indicata come "pi_u", mentre la probabilità neutrale al rischio di una mossa al ribasso è indicata come "pi_d". Queste probabilità sono complementari, nel senso che sommano fino al 100%. Il tasso privo di rischio è rappresentato da "rf", e "u" e "d" sono rispettivamente le dimensioni del movimento verso l'alto e verso il basso. Inoltre, "d" è uguale a 1 diviso per "u". Per calcolare le probabilità di un movimento al rialzo e al ribasso, usiamo formule che coinvolgono il tasso privo di rischio, "u" e "d".
Applichiamo questi concetti a un esempio specifico. Supponiamo che il prezzo corrente di un'azione sia di $ 80, la dimensione del movimento al rialzo sia 1,4, il tasso privo di rischio sia
Una volta ottenuto il payoff atteso, dobbiamo scontarlo al periodo di tempo 0 per ottenere il valore corrente dell'opzione. Per fare ciò, utilizziamo il tasso privo di rischio, che è pari al 6%.
La formula per scontare il payoff atteso è:
Valore attuale dell'opzione = Payoff atteso / (1 + Tasso privo di rischio)
Sostituendo i valori si ha:
Valore attuale dell'opzione = (32 * 0,504 + 0 * 0,496) / (1 + 0,06)
Semplificando l'equazione, otteniamo:
Valore attuale dell'opzione = (16,128 + 0) / 1,06
Valore attuale dell'opzione ≈ 15.23
Pertanto, il valore corrente dell'opzione call è di circa $ 15,23.
È importante notare che questo esempio dimostra la valutazione di un'opzione call utilizzando il metodo di determinazione del prezzo dell'opzione binomiale per una scadenza di un anno. Il processo prevede la determinazione dei fattori up e down, il calcolo delle probabilità, la costruzione dell'albero binomiale, la valutazione dei payoff delle opzioni in ciascun nodo, il calcolo del payoff atteso e infine lo sconto al valore attuale.
Tieni presente che il metodo di determinazione del prezzo dell'opzione binomiale presuppone un modello a due stati semplificato per i movimenti di prezzo dell'asset sottostante e potrebbe non catturare tutte le dinamiche del mondo reale. Inoltre, questo metodo è comunemente utilizzato per le opzioni di tipo europeo, che possono essere esercitate solo alla scadenza. Per le opzioni in stile americano, sono necessarie ulteriori considerazioni per determinare la strategia di esercizio ottimale.
Spero che questa spiegazione ti aiuti a comprendere i passaggi coinvolti nel metodo di determinazione del prezzo dell'opzione binomiale e come valutare un'opzione call utilizzando questo approccio. Fammi sapere se hai altre domande!
Fondamenti di probabilità (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 1)
In questa serie di video, il professor James Forjan fornisce una copertura completa dei capitoli inclusi in FRM Part 2 - Book 2 - Quantitative Analysis. La serie approfondisce vari argomenti, tra cui probabilità, test di ipotesi, regressioni e copule. Il professor Forjan esplora ogni concetto in dettaglio, offrendo esempi di domande pertinenti che mirano a migliorare la comprensione e la padronanza di questi argomenti da parte del candidato. Interagendo con questa serie di video, i candidati possono rafforzare la loro comprensione dell'analisi quantitativa e prepararsi efficacemente per l'esame FRM Parte 2.
Fondamenti di probabilità (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 1)
Il capitolo 1 del libro 2 della serie di analisi quantitativa si concentra sui fondamenti della probabilità e sulla sua applicazione nella gestione del rischio finanziario. Il capitolo mira ad aiutare i gestori del rischio finanziario a identificare, quantificare e gestire i rischi in modo efficace. Sottolinea l'importanza di considerare le probabilità in questi compiti.
Il capitolo inizia definendo il rischio come incertezza e variabilità nei risultati, che possono essere misurati in termini di probabilità. Sottolinea la natura quantitativa del libro 2 rispetto al libro precedente e menziona l'uso di calcolatori finanziari e regolari in tutto il capitolo.
Gli obiettivi di apprendimento del capitolo riguardano la descrizione, la distinzione, la definizione e il calcolo di vari concetti relativi alla probabilità. Uno di questi concetti sono gli eventi che si escludono a vicenda, illustrati attraverso un esempio di scelta tra due idraulici per un sistema di irrigazione per campi da golf. La nozione di eventi che si escludono a vicenda è che la selezione di un evento esclude il verificarsi dell'altro.
Il capitolo discute anche eventi indipendenti, che vengono valutati in base ai loro meriti individuali e non influenzano l'accettazione o il rifiuto di altri risultati. Viene presentato un esempio che coinvolge i rendimenti meteorologici e del mercato azionario per dimostrare eventi indipendenti e la loro potenziale relazione.
Le probabilità condizionali sono introdotte come probabilità che dipendono dal verificarsi di altri eventi. Viene fatta un'analogia con le esperienze personali, come la probabilità di avere due gemelli in base a vari fattori come il lavoro, i livelli di reddito e il matrimonio. In un contesto economico, la relazione tra PIL e tassi di interesse viene utilizzata come esempio di probabilità condizionate.
Il capitolo spiega come le probabilità condizionali possono essere calcolate utilizzando il teorema di Bayes, dal nome dello statistico inglese Thomas Bayes. Il teorema di Bayes consente la previsione di una sequenza di eventi che portano a un risultato noto. Introduce il concetto di probabilità a posteriori, che sono probabilità riviste sulla base di nuove informazioni.
Il testo fornisce esempi di utilizzo del teorema di Bayes per determinare la probabilità di affiliazione al partito di un presidente in carica sulla base di un taglio fiscale recentemente emanato o la probabilità della certificazione di un manager basata sulla generazione di rendimenti in eccesso.
Il capitolo si conclude con una tabella riassuntiva delle formule discusse, incoraggiando i lettori a elaborare esempi e memorizzare i concetti. Sottolinea l'importanza di ottenere maggiori informazioni per migliorare l'accuratezza delle previsioni e del processo decisionale.
Questo capitolo sui fondamenti della probabilità nell'analisi quantitativa fornisce ai gestori del rischio finanziario gli strumenti essenziali per comprendere e gestire i rischi. Combina principi matematici con principi di gestione del rischio discussi nel libro precedente, fornendo un quadro completo per un'efficace gestione del rischio.
Variabili casuali (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 2)
Variabili casuali (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 2)
Nella Parte 1, Libro 2 dell'analisi quantitativa, c'è un capitolo sulle variabili casuali. L'autore ricorda la loro esperienza alla fine degli anni '80, quando stavano imparando Lotus 1-2-3, che alla fine divenne Excel. Ricordano il generatore di numeri casuali all'interno della funzione guidata e quanto fosse affascinante generare numeri casuali. Sebbene questi valori siano stati generati in modo casuale, lo studio delle variabili casuali nella gestione del rischio e nella ricerca finanziaria fornisce una comprensione più approfondita dei rendimenti azionari, dei rendimenti obbligazionari, dei rendimenti dei titoli derivati, dei valori del portafoglio, del valore a rischio e del deficit atteso.
Lo scopo di studiare questo capitolo è quello di stabilire una solida base in variabili casuali, che possono quindi essere applicate alla gestione del rischio. Gli obiettivi di apprendimento riguardano la descrizione, la spiegazione e la caratterizzazione di vari concetti, come le funzioni di massa di probabilità (PMF), le funzioni di distribuzione cumulativa (CDF), le aspettative, i momenti di una distribuzione e la distinzione tra variabili casuali discrete e continue. Inoltre, il capitolo tratta i quantili, che implicano la divisione di una distribuzione in parti uguali, e accenna brevemente alle trasformazioni lineari.
Una variabile casuale è definita come qualsiasi quantità con valori futuri attesi incerti. Può anche essere descritto come una variabile i cui possibili valori sono i risultati di un fenomeno casuale. Ad esempio, la previsione dei prezzi delle azioni o il valore di un credit default swap comporta la gestione di variabili casuali. A questi risultati vengono assegnate probabilità, che dipendono dallo scenario specifico. Ad esempio, la probabilità che il prezzo di un'azione salga o scenda di un dollaro è significativamente più alta di quella che sale a un valore molto più alto come 999 o scende a zero.
Per analizzare le variabili casuali in modo efficace, è fondamentale assegnare probabilità ai potenziali risultati e definire gli eventi come risultati specifici o insiemi di risultati. Le variabili casuali possono essere classificate come discrete o continue. Le variabili casuali discrete hanno un insieme numerabile di possibili valori, come tirare un dado con risultati da 1 a 6. Le variabili casuali continue, invece, possono assumere qualsiasi valore all'interno di un dato intervallo e sono spesso rappresentate da curve morbide, come il tempo necessario per correre una maratona.
Le funzioni di probabilità forniscono informazioni su come la probabilità totale è distribuita tra i possibili valori di una variabile casuale. Esistono due tipi di funzioni di probabilità: funzioni di massa di probabilità (PMF) per variabili casuali discrete e funzioni di densità di probabilità (PDF) per variabili casuali continue. I PMF danno la probabilità che una variabile casuale assuma un valore specifico, mentre i PDF descrivono la probabilità che una variabile casuale rientri in un dato intervallo. Entrambi i tipi di funzioni hanno proprietà che assicurano che le probabilità siano comprese tra 0 e 1 e che la somma di tutte le probabilità sia uguale a 1.
Le funzioni di distribuzione cumulativa (CDF) forniscono la probabilità che una variabile casuale sia minore o uguale a un determinato valore. Per variabili casuali discrete, il CDF può essere visualizzato come un grafico simile a una scala, mentre per variabili casuali continue appare come una curva liscia. Integrando la PDF dall'infinito negativo a un valore specifico, è possibile calcolare la CDF.
Comprendere le variabili casuali e le loro funzioni associate è essenziale per la gestione del rischio e l'analisi finanziaria. Questi concetti forniscono un quadro per valutare la probabilità di risultati diversi e prendere decisioni informate.
La funzione di massa di probabilità (PMF) e la funzione di densità di probabilità (PDF) ci forniscono informazioni importanti sulla distribuzione delle variabili casuali. Il PMF viene utilizzato per variabili casuali discrete, in cui la funzione fornisce la probabilità che la variabile casuale assuma un valore specifico. D'altra parte, il PDF viene utilizzato per variabili casuali continue e fornisce la probabilità che la variabile casuale rientri in un certo intervallo.
Consideriamo l'esempio di una variabile casuale di Bernoulli, che è una variabile casuale discreta semplice che può assumere solo due valori, 0 o 1. Immaginiamo di avere una variabile casuale di Bernoulli che rappresenta l'esito di un tiro libero nel basket. Il PMF per questa variabile mostrerebbe la probabilità di fare o mancare il tiro. Se la probabilità di fare il tiro è 0,7, allora il PMF assegnerà una probabilità di 0,7 al valore 1 (fare il tiro) e una probabilità di 0,3 al valore 0 (mancare il tiro). La somma di queste probabilità deve sempre essere uguale a 1.
Per variabili casuali continue, come il tempo necessario per correre una maratona, utilizziamo il PDF. Il PDF descrive la probabilità che la variabile casuale rientri in un intervallo specifico. Prendendo l'esempio del tempo di corsa della maratona, il PDF fornirebbe la probabilità di completare la maratona in un dato intervallo di tempo. Per visualizzarlo, possiamo immaginare un grafico in cui l'asse orizzontale rappresenta il tempo di esecuzione e l'asse verticale rappresenta la densità di probabilità. L'area sotto la curva all'interno di un intervallo specifico rappresenta la probabilità che la variabile casuale rientri in tale intervallo.
Il PMF e il PDF sono strumenti importanti per comprendere la distribuzione delle variabili casuali. Ci consentono di assegnare probabilità a valori o intervalli specifici e forniscono informazioni sulla probabilità di risultati diversi. Questi concetti sono fondamentali per la gestione del rischio e la ricerca finanziaria, poiché ci aiutano ad analizzare e quantificare le incertezze in varie variabili finanziarie come i rendimenti azionari, i rendimenti obbligazionari e i valori del portafoglio.
Variabili casuali univariate comuni (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 3)
Variabili casuali univariate comuni (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 3)
Il testo è tratto dalla Parte 1, Libro 2 dell'analisi quantitativa e si concentra sul capitolo sulle variabili casuali univariate comuni. Personalmente, trovo che questo capitolo ricordi ciò che ho imparato nelle mie lezioni di economia matematica ed econometria durante il mio programma di dottorato. Esploriamo gli obiettivi di apprendimento e vediamo come si applicano a noi.
Il primo obiettivo di apprendimento è particolarmente importante. Ci richiede di distinguere le proprietà chiave tra le diverse distribuzioni. Analizzeremo varie distribuzioni e identificheremo le loro somiglianze e differenze. Verso la fine, approfondiremo anche il concetto di distribuzioni miste.
Cominciamo con la distribuzione uniforme. In questa distribuzione, tutti i possibili risultati hanno la stessa probabilità in un dato intervallo. Il grafico di una distribuzione uniforme parte da 0 a sinistra e si estende fino a X a destra. La variabile casuale, indicata come X, può assumere qualsiasi valore all'interno di questo intervallo. In particolare, il valore minimo è chiamato alfa e il valore massimo è chiamato beta. È importante notare che non ci sono valori compresi tra 0 e alfa o tra beta e il limite superiore dell'intervallo. Un classico esempio di distribuzione uniforme è il lancio di un dado a sei facce. Ogni risultato, da 1 a 6, ha una probabilità uguale di 1/6. Pertanto, i valori da alfa a beta sono ugualmente probabili. Il testo fornisce anche le formule della funzione di densità di probabilità, della media e della varianza per la distribuzione uniforme.
Un altro esempio discusso è la quantità di tempo che un cliente trascorre in attesa di vedere un gestore di portafoglio, che potrebbe essere distribuito uniformemente tra 0 e 15 minuti.
Andando avanti, incontriamo la distribuzione di Bernoulli, che è più intrigante. Implica l'assegnazione di valori a due possibilità, che spesso rappresentano il successo (1) e il fallimento (0). Sebbene gli esempi forniti si riferiscano al successo o al fallimento delle banche, questi valori possono avere interpretazioni più ampie. Il grafico della distribuzione di Bernoulli va da 0 a 1, poiché la probabilità che qualcosa accada deve essere del 100%. La probabilità di successo, indicata con P, è 0,7 nell'esempio dato, il che significa che sette banche su dieci hanno successo e tre su dieci falliscono. Il testo presenta le formule per la media e la deviazione standard della distribuzione di Bernoulli.
Vari esempi illustrano l'applicazione della distribuzione di Bernoulli, come il successo o il fallimento nell'assicurazione sulla vita o una società che paga dividendi o niente con uguale probabilità.
Successivamente, incontriamo la distribuzione binomiale, che trova utilità nell'analisi del reddito fisso e nella valutazione delle opzioni. Implica una sequenza di n prove Bernoulliane indipendenti e identiche, ciascuna con la stessa probabilità di successo indicata con P. Viene spiegata la formula per il numero di successi in queste prove, utilizzando la notazione fattoriale. Vengono fornite anche la media e la deviazione standard della distribuzione binomiale. Il testo presenta un esempio che calcola la probabilità che almeno nove banche su dieci sopravvivano a un cash crunch se la probabilità di sopravvivenza è del 70%.
Viene quindi introdotta la distribuzione di Poisson. Modella il numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo specifico, assumendo che la tempistica degli eventi sia casuale e indipendente. Il tempo medio tra gli eventi è noto e la distribuzione è caratterizzata dal parametro lambda (λ). Il testo fornisce la funzione di densità di probabilità e menziona che sia la media che la varianza della distribuzione di Poisson sono uguali a λ. Esempi di distribuzione di Poisson includono il numero di clienti che arrivano in banca, i gol segnati da una squadra di calcio e il numero di richieste ricevute da una compagnia di assicurazioni per settimana o mese. Viene presentato un problema di esempio, calcolando la probabilità che una società di gestione patrimoniale riceva esattamente 30 clienti in un anno, data una media di 2 clienti al mese.
Il testo rivisita la distribuzione normale, nota anche come distribuzione gaussiana. Questa distribuzione è ampiamente utilizzata nell'analisi statistica e nella modellazione grazie alle sue numerose proprietà desiderabili. Il grafico della distribuzione normale è simmetrico ea forma di campana, con un picco al valore medio. La media, indicata con μ, rappresenta il centro della distribuzione, mentre la deviazione standard, indicata con σ, controlla la diffusione o dispersione dei dati. Il testo fornisce la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione normale.
La distribuzione normale viene spesso applicata in finanza ed economia per modellare rendimenti azionari, tassi di interesse e altre variabili economiche. Viene anche utilizzato nei test di ipotesi e nella stima dell'intervallo di confidenza. Viene dato un esempio di problema, calcolando la probabilità che un rendimento azionario superi un certo valore soglia.
Andando avanti, il testo introduce la distribuzione esponenziale, che modella il tempo tra gli eventi in un processo di Poisson. È caratterizzato dal parametro λ, che rappresenta il tasso di accadimento dell'evento. La distribuzione esponenziale è ampiamente utilizzata nell'analisi dell'affidabilità e nella teoria delle code. Il testo fornisce la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione esponenziale.
Viene presentato un problema di esempio, calcolando la probabilità che un cliente attenda meno di un certo tempo in coda alla banca, dato il tempo medio di attesa.
Infine, il testo introduce la distribuzione lognormale, che deriva dalla distribuzione normale prendendo l'esponenziale di una variabile casuale distribuita normalmente. La distribuzione lognormale viene comunemente utilizzata per modellare i prezzi delle azioni, i rendimenti degli asset e altre variabili che presentano asimmetria positiva ed eteroschedasticità. Il testo fornisce la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa per la distribuzione lognormale.
Viene dato un problema di esempio, calcolando la probabilità che un prezzo azionario superi un certo valore in un momento futuro, dato il prezzo corrente e la volatilità.
Questo capitolo sulle variabili casuali univariate comuni copre varie importanti distribuzioni utilizzate nell'analisi quantitativa. Comprendere queste distribuzioni e le loro proprietà è essenziale per analizzare e modellare i dati in finanza, economia e altri campi. Padroneggiando questi concetti, possiamo prendere decisioni informate e trarre informazioni significative dai dati.
Variabili casuali multivariate (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 4)
Variabili casuali multivariate (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 4)
In questo capitolo sulle variabili casuali multivariate, esploriamo il concetto di dipendenza tra più variabili casuali. Sulla base del capitolo precedente sulle variabili casuali, approfondiamo la relazione tra i prezzi delle obbligazioni e il rendimento alla scadenza, evidenziando il potenziale impatto di fattori aggiuntivi sui prezzi delle obbligazioni. Introduciamo la nozione di variabili casuali multivariate, estendendo la nostra comprensione delle funzioni di massa di probabilità e delle funzioni di densità di probabilità per analizzare variabili casuali discrete e continue. Questo capitolo mira ad ampliare le nostre conoscenze incorporando dimensioni extra nella nostra analisi, migliorando in ultima analisi la nostra comprensione dell'analisi del portafoglio. Gli argomenti chiave trattati in questo capitolo includono matrici di probabilità, aspettative di funzioni, covarianza, correlazione, trasformazioni, analisi di portafoglio, varianza, aspettative condizionali e variabili casuali distribuite in modo identico e indipendente.
Introduzione: Il capitolo inizia sottolineando il concetto di variabili casuali multivariate, che spiegano la dipendenza tra due o più variabili casuali. Attingendo all'esempio dei prezzi delle obbligazioni e del rendimento alla scadenza, riconosciamo i limiti dell'affidarsi esclusivamente a una singola variabile per cogliere la complessità dei vari rischi. Riconosciamo la necessità di considerare ulteriori fattori come il commercio, le tariffe, le tasse, i regolamenti governativi e i gusti dei consumatori per ottenere una comprensione più completa dei prezzi delle obbligazioni. Espandendo la nostra analisi a variabili casuali multivariate, miriamo a spiegare l'interazione tra vari fattori e il loro impatto sulle variabili che studiamo.
Obiettivi di apprendimento: il capitolo delinea gli obiettivi di apprendimento che si allineano con quelli del capitolo precedente. Questi obiettivi includono la comprensione delle matrici di probabilità, l'esplorazione delle aspettative delle funzioni, l'esame delle relazioni tra variabili casuali, lo studio della covarianza e della correlazione, l'analisi delle trasformazioni, l'incorporazione dell'analisi del portafoglio, l'esplorazione della varianza, l'analisi delle aspettative condizionali e la conclusione con una discussione su variabili casuali distribuite in modo identico e indipendente . Questi obiettivi si basano sulla nostra conoscenza esistente e la estendono al regno dell'analisi multivariata.
Variabili casuali multivariate: le variabili casuali multivariate vengono introdotte come variabili che catturano la dipendenza tra più variabili casuali. Contrariamente all'analisi a variabile singola, l'analisi multivariata ci consente di studiare come queste variabili influiscono congiuntamente sulla variabile di interesse. Consideriamo scenari in cui più variabili casuali influenzano simultaneamente la variabile che ci proponiamo di studiare. Il capitolo fornisce esempi che illustrano come l'analisi multivariata migliora la nostra comprensione delle relazioni complesse.
Distribuzioni di probabilità: il capitolo rivisita le funzioni di massa di probabilità (PMF) e le funzioni di densità di probabilità (PDF) introdotte nel capitolo precedente. Mentre le variabili casuali discrete sono associate ai PMF, le variabili casuali continue richiedono che i PDF rappresentino accuratamente le loro distribuzioni di probabilità. Viene anche discusso il concetto di probabilità cumulativa, che ci consente di determinare la probabilità che un componente sia minore o uguale a un dato valore. Utilizzando questi strumenti, possiamo valutare la probabilità di vari risultati in base a diverse distribuzioni come normale, esponenziale e uniforme.
Distribuzione di variabili casuali discrete bivariate: esploriamo distribuzioni di variabili casuali discrete bivariate, che rappresentano le probabilità congiunte tra due variabili casuali. La visualizzazione di questa distribuzione in forma tabellare fornisce una comprensione più chiara della relazione tra le variabili. Analizzando le distribuzioni condizionali e marginali, otteniamo informazioni sulle probabilità associate a risultati specifici. Questa analisi ci aiuta a determinare la dipendenza tra le variabili ea valutare i loro impatti individuali e combinati.
Distribuzioni condizionali e aspettative: le distribuzioni condizionali vengono introdotte come mezzo per esaminare la relazione tra variabili casuali quando il valore di una variabile è noto. Condizionando la nostra analisi su un valore specifico della variabile, possiamo valutare le aspettative condizionali dell'altra variabile. Questo approccio consente di stimare il risultato atteso in condizioni specifiche, facendo luce sull'impatto di diversi fattori sulla variabile di interesse. Le aspettative condizionali possono essere calcolate utilizzando le probabilità marginali e le distribuzioni di probabilità condizionali associate.
Misurazione della relazione tra variabili casuali: il capitolo si conclude evidenziando l'importanza di misurare la relazione tra variabili casuali. Esploriamo varie misure statistiche come la covarianza e la correlazione, che ci consentono di quantificare il grado di dipendenza tra variabili casuali.
La covarianza viene introdotta come misura che valuta in che modo i cambiamenti in una variabile corrispondono ai cambiamenti in un'altra variabile. Cattura la direzione della relazione (positiva o negativa) e la misura in cui le variabili si muovono insieme. Il capitolo fornisce formule per il calcolo della covarianza per variabili casuali discrete e continue.
La correlazione, d'altra parte, standardizza la covarianza dividendola per il prodotto delle deviazioni standard delle variabili. Questa normalizzazione consente di confrontare la forza della relazione tra le variabili su una scala da -1 a 1. La correlazione positiva indica una relazione diretta, la correlazione negativa indica una relazione inversa e la correlazione prossima allo zero suggerisce una relazione debole o assente.
Trasformazioni di variabili casuali: il capitolo esplora il concetto di trasformazione di variabili casuali per analizzare meglio le loro relazioni e distribuzioni. Le trasformazioni possono comportare semplici operazioni matematiche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione o funzioni più complesse. Applicando trasformazioni appropriate, spesso possiamo semplificare l'analisi e ottenere informazioni più approfondite sui comportamenti delle variabili.
Analisi del portafoglio: il capitolo introduce l'analisi del portafoglio come applicazione dell'analisi multivariata in finanza. Esploriamo come la relazione tra diverse asset class, rappresentata dai loro rendimenti, può essere analizzata utilizzando tecniche multivariate. Viene evidenziato il concetto di diversificazione, sottolineando come la combinazione di asset con correlazioni basse o negative possa ridurre il rischio di portafoglio. Vengono discusse varie misure, come la varianza e la covarianza del portafoglio, per valutare la performance del portafoglio e ottimizzare l'asset allocation.
Matrice di varianza e covarianza: il capitolo approfondisce il concetto di varianza e lo estende all'impostazione multivariata. La matrice di varianza-covarianza, nota anche come matrice di covarianza, fornisce una rappresentazione completa delle varianze e delle covarianze tra più variabili casuali. Funge da strumento chiave nell'analisi del portafoglio e nella gestione del rischio, consentendo il calcolo del rischio del portafoglio e l'identificazione dell'asset allocation ottimale.
Aspettativa condizionale: l'aspettativa condizionale viene esplorata come mezzo per stimare il valore atteso di una variabile casuale date condizioni specifiche. Questo concetto ci consente di incorporare ulteriori informazioni o vincoli nella nostra analisi e perfezionare le nostre previsioni. Il capitolo discute le aspettative condizionali per variabili casuali discrete e continue, sottolineando la loro utilità nei problemi decisionali e di previsione.
Variabili casuali distribuite in modo identico e indipendente: il capitolo si conclude con una discussione sulle variabili casuali distribuite in modo identico e indipendente (iid). Quando un insieme di variabili casuali segue la stessa distribuzione ed è reciprocamente indipendente, si dice che sia iid Questo concetto è importante in varie analisi e modelli statistici. Il capitolo esplora le proprietà e le implicazioni delle iid variabili casuali, sottolineando la loro rilevanza nella teoria della probabilità e nell'inferenza statistica.
Riepilogo: il capitolo sull'analisi multivariata e la dipendenza di variabili casuali amplia la nostra comprensione della probabilità e della statistica considerando il comportamento congiunto di più variabili. Incorporando ulteriori dimensioni nella nostra analisi, possiamo cogliere meglio le complesse relazioni e le dipendenze tra le variabili. Il capitolo copre vari argomenti, tra cui matrici di probabilità, aspettative di funzioni, covarianza, correlazione, trasformazioni, analisi di portafoglio, matrice di varianza-covarianza, aspettative condizionali e variabili casuali iid. Questi concetti ci forniscono gli strumenti per analizzare i dati multivariati, prendere decisioni informate e ottenere informazioni più approfondite sulle dinamiche sottostanti delle variabili casuali.
Esempi di momenti (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 5)
Esempi di momenti (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 5)
Il capitolo intitolato "Sample Moments" nella Parte 1, Libro 2 di Quantitative Analysis approfondisce il concetto di campioni e i loro momenti. Come sanno gli spettatori abituali dei miei video, preferisco presentare esempi intriganti che non solo siano pertinenti, ma che servano anche al nostro scopo. Alcuni potrebbero considerarli sciocchi, ma hanno un significato nel contesto della nostra discussione. Per iniziare questo capitolo, condividerò un esempio introduttivo che ruota attorno al pompelmo, che sembra essere uno dei miei preferiti.
Esplorando i semi di pompelmo: non solo mi piace consumare il pompelmo, ma traggo piacere anche dal tagliarlo per i miei figli. Ne apprezzano il gusto ed è innegabilmente benefico per la loro salute. Tuttavia, la situazione si presenta quando apriamo un pompelmo e scopriamo numerosi semi al suo interno. Supponiamo di essere ricercatori interessati a capire il numero di semi in un pompelmo. Per indagare su questo, intraprendiamo un viaggio per procurarci migliaia di pompelmi da un negozio di alimentari. Una volta tornati a casa, tagliamo meticolosamente ogni pompelmo, solo per trovare quantità variabili di semi. Alcuni pompelmi hanno 3 o 4 semi, mentre altri ne possiedono 6 o 7, e alcuni ne contengono addirittura 10 o 12.
Registrazione dei dati del campione: Con mille pompelmi in nostro possesso, registriamo diligentemente il numero di semi in ciascun frutto. Tuttavia, l'intero campione potrebbe non fornirci informazioni complete. Offre una gamma approssimativa e un'idea generale di cosa anticipare quando si apre un pompelmo. Per approfondire, dobbiamo spostare la nostra attenzione sulla seconda parte del titolo del capitolo: i momenti. Il nostro obiettivo è esplorare i momenti di questo campione che possono illuminarci sul futuro consumo di pompelmo e sul numero previsto di semi. Il primo momento che incontriamo è la media o media. Dividendo per mille la somma dei semi dei nostri mille pompelmi, possiamo arrivare ad una media, diciamo, di cinque semi.
Considerando i momenti multipli: tuttavia, dobbiamo riconoscere che ogni volta che tagliamo un nuovo pompelmo, potremmo non ottenere esattamente cinque semi. Potremmo recuperare tre semi o sette semi o qualsiasi altra quantità. Di conseguenza, dobbiamo considerare anche gli altri momenti. Per riassumere, l'aspetto chiave di questo esempio iniziale e apparentemente banale è che i momenti (di cui ce ne saranno quattro discussi in questo capitolo) forniscono informazioni sulla distribuzione del campione. Armati di questa conoscenza, possiamo prendere decisioni informate riguardo al futuro consumo di pompelmo e al numero previsto di semi.
Obiettivi di apprendimento: spostiamo ora la nostra attenzione sugli obiettivi di apprendimento delineati in questo capitolo. È interessante notare che questi obiettivi non menzionano esplicitamente il pompelmo e credo che tutti possiamo esserne grati. Allora, cosa ci aspetta? Ci impegneremo in una pletora di stime che coinvolgono la media, i momenti della popolazione, i momenti del campione, gli stimatori e le stime. Valuteremo se questi momenti mostrano pregiudizi o meno. Ad esempio, se ci imbattiamo in un momento nel nostro campione di pompelmo che suggerisce che ogni terzo pompelmo conterrà 50 semi, sembrerebbe altamente improbabile e lontano dalle nostre ragionevoli aspettative riguardo ai semi di pompelmo. Quindi, dobbiamo essere cauti nei confronti dei momenti distorti. Inoltre, esploreremo il teorema del limite centrale e procederemo ad esaminare il terzo e il quarto momento della distribuzione, vale a dire l'asimmetria e la curtosi. Infine, approfondiremo le covarianti, la correlazione, la co-asimmetria e la co-curtosi, che promettono di rendere questo mazzo di diapositive un'esperienza piacevole e perspicace.
Conclusione: lo studio delle variabili casuali va oltre l'analisi delle singole variabili. Implica l'esame delle relazioni, delle dipendenze e delle distribuzioni di più variabili.
Comprendendo questi concetti, ricercatori e analisti possono ottenere preziose informazioni sul comportamento e sulle interazioni di sistemi complessi. Nelle prossime sezioni di questo capitolo, esploreremo ulteriormente il significato dei diversi momenti e le loro applicazioni nell'analisi statistica.
Intervallo mediano e interquartile: l'argomento in questione è la mediana e il suo significato, in particolare nella ricerca. I ricercatori, compresi quelli della finanza, sono interessati a esaminare l'intervallo interquartile, che prevede la divisione dei dati in quattro parti e l'attenzione alla sezione centrale. Tuttavia, in qualità di gestori del rischio finanziario, è fondamentale per noi considerare anche la coda sinistra della distribuzione. È qui che entra in gioco il concetto di Value at Risk (VaR), ma lo approfondiremo più avanti. Per ora, passiamo un po' di tempo a discutere della mediana.
Calcolo della mediana: il calcolo della mediana è interessante perché differisce in base al numero di osservazioni. Ad esempio, se abbiamo tre pompelmi con numero di semi variabile (3, 5 e 7), la mediana sarebbe il valore medio, che è 5. In campioni di dimensioni dispari, la mediana è semplicemente l'osservazione centrale. Tuttavia, con un numero pari di osservazioni, prendiamo la media dei due valori medi. Nel nostro esempio di due pompelmi con numero di semi di 5 e 7, la mediana sarebbe (5 + 7) / 2 = 6.
Robustezza della mediana: è importante notare che la mediana potrebbe non corrispondere a un'osservazione effettiva nel set di dati, specialmente quando si tratta di campioni di dimensioni uguali. Inoltre, la mediana non è influenzata dai valori estremi, il che la rende una misura robusta. Inoltre, funge da punto medio, in particolare per i numeri più grandi.
Andare oltre le variabili individuali: fino ad ora ci siamo concentrati sui momenti della distribuzione. Tuttavia, dobbiamo anche capire i lati sinistro e destro della media. Questo ci porta al teorema del limite centrale, che fornisce informazioni sul comportamento di campioni casuali. Quando estraiamo un grande campione da una popolazione, come 1.000 osservazioni, la distribuzione della media campionaria approssima una distribuzione normale. Man mano che la dimensione del campione aumenta ulteriormente, la distribuzione della media campionaria diventa ancora più vicina a una distribuzione normale. Nel nostro caso, possiamo prendere un migliaio di osservazioni da vari negozi, permettendoci di calcolare le medie campionarie e approssimare la distribuzione campionaria.
Distribuzione campionaria e approssimazione: per riassumere, se il campione è distribuito normalmente, anche la distribuzione campionaria delle medie campionarie sarà normale. Tuttavia, quando la popolazione del campione è approssimativamente simmetrica, la distribuzione del campionamento diventa approssimativamente normale, specialmente per campioni di piccole dimensioni. Tuttavia, quando si introduce l'asimmetria nei dati, in genere è necessaria una dimensione del campione di 30 o più affinché la distribuzione del campionamento diventi approssimativamente normale.
Applicazione pratica: stima della probabilità: per illustrare questo concetto, consideriamo un esempio. Supponiamo di avere una certa marca di pneumatici con una vita media di 30.000 chilometri e una deviazione standard di 3.600 chilometri. Vogliamo determinare la probabilità che la vita media di 81 pneumatici sia inferiore a 29.200 chilometri. Calcolando il punteggio z utilizzando le informazioni fornite e una tabella z, troviamo una probabilità di circa 0,02275, o 2,275%. Ciò indica che la probabilità di vivere una vita media inferiore a 29.200 chilometri è relativamente bassa.
Dipendenza e relazione tra variabili: finora abbiamo esaminato singole variabili casuali. Tuttavia, siamo spesso interessati a studiare la relazione tra due variabili, come i tassi di interesse e l'inflazione. Queste due variabili sono casuali e probabilmente mostrano un alto grado di correlazione. Per valutare questa relazione si usa la covarianza, che misura la variabilità congiunta di due variabili casuali nel tempo. Moltiplicando la differenza tra ciascuna osservazione e la media corrispondente per entrambe le variabili, possiamo calcolare la covarianza.
Covarianza: la covarianza tra due variabili, X e Y, può essere calcolata utilizzando la seguente formula:
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
dove X e Y sono le variabili, μX e μY sono le rispettive medie e n è il numero di osservazioni.
Il segno della covarianza indica la direzione della relazione tra le variabili. Se la covarianza è positiva, suggerisce una relazione positiva, nel senso che all'aumentare di una variabile, anche l'altra tende ad aumentare. Al contrario, una covarianza negativa indica una relazione negativa, in cui all'aumentare di una variabile, l'altra tende a diminuire.
Tuttavia, l'entità della covarianza da sola non fornisce una misura chiara della forza della relazione tra le variabili, poiché è influenzata dalle scale delle variabili. Per superare questa limitazione e comprendere meglio la forza della relazione, possiamo utilizzare il coefficiente di correlazione.
Coefficiente di correlazione: il coefficiente di correlazione, indicato con r, misura la forza e la direzione della relazione lineare tra due variabili. È una misura standardizzata che varia tra -1 e 1.
La formula per il calcolo del coefficiente di correlazione è:
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
dove cov(X, Y) è la covarianza tra X e Y, e σX e σY sono rispettivamente le deviazioni standard di X e Y.
Il coefficiente di correlazione fornisce preziose informazioni sulla relazione tra le variabili. Se il coefficiente di correlazione è vicino a 1 o -1, indica una forte relazione lineare. Un coefficiente di correlazione pari a 1 indica una perfetta relazione lineare positiva, mentre -1 indica una perfetta relazione lineare negativa. Un coefficiente di correlazione vicino a 0 suggerisce una relazione lineare debole o assente tra le variabili.
È importante notare che la correlazione non implica causalità. Anche se due variabili sono altamente correlate, non significa necessariamente che una variabile causi il cambiamento dell'altra. La correlazione quantifica semplicemente il grado in cui due variabili si muovono insieme.
Comprendere la relazione tra le variabili attraverso l'analisi della covarianza e della correlazione consente a ricercatori e analisti di ottenere informazioni su modelli, dipendenze e potenziale potere predittivo tra diversi fattori. Queste misure sono ampiamente utilizzate in vari campi, tra cui finanza, economia, scienze sociali e molti altri, per studiare le relazioni tra variabili e prendere decisioni informate.
Test di ipotesi (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 6)
Test di ipotesi (FRM Parte 1 2023 – Libro 2 – Capitolo 6)
Nella Parte 1, Libro 2 del corso di analisi quantitativa, c'è un capitolo sulla verifica delle ipotesi. L'autore afferma che è probabile che questo capitolo contenga informazioni che gli studenti potrebbero ricordare dalla loro lezione di statistica universitaria. Il capitolo copre vari obiettivi di apprendimento, tra cui la comprensione della media campionaria e della varianza campionaria, la costruzione e l'interpretazione degli intervalli di confidenza, il lavoro con ipotesi nulle e alternative, l'esecuzione di test a una o due code e l'interpretazione dei risultati.
Il capitolo inizia con una discussione sulla media campionaria, definita come la somma di tutti i valori in un campione divisa per il numero di osservazioni. Sebbene il calcolo della media campionaria non sia l'obiettivo principale, è essenziale comprenderne l'uso nel fare inferenze sulle medie della popolazione. L'autore sottolinea che poiché raccogliere dati da un'intera popolazione è spesso poco pratico, i campioni vengono selezionati e i test vengono condotti in base al teorema del limite centrale, che fornisce una distribuzione campionaria approssimativa per la media.
Successivamente, l'autore sottolinea l'importanza di stimare la deviazione standard del campione poiché la deviazione standard della popolazione è solitamente sconosciuta. Forniscono una formula per calcolare l'errore standard della media campionaria. Viene fornito un esempio per illustrare il calcolo, in cui la media è $ 15,50, la deviazione standard è 3,3 e la dimensione del campione è 30.
Il capitolo discute poi la varianza campionaria, che misura la dispersione delle osservazioni dalla media. L'autore spiega che una varianza più alta indica più rischio o variabilità nei dati. Forniscono una formula per calcolare la varianza campionaria, coinvolgendo le differenze tra le singole osservazioni e la media campionaria e dividendo per i gradi di libertà.
Passando agli intervalli di confidenza, l'autore introduce il concetto di livelli di confidenza e spiega come essi forniscano un intervallo entro il quale si prevede che rientri una certa percentuale di risultati. Viene comunemente utilizzato un livello di confidenza del 95%, il che significa che il 95% delle realizzazioni di tali intervalli conterrà il valore del parametro. L'autore presenta una formula generale per la costruzione degli intervalli di confidenza, che prevede la stima puntuale (ad esempio, la media campionaria) più o meno l'errore standard moltiplicato per il fattore di affidabilità. Il fattore di affidabilità dipende dal livello di confidenza desiderato e dal fatto che la varianza della popolazione sia nota o sconosciuta.
L'autore fornisce una tabella per selezionare il fattore di affidabilità appropriato in base al livello di confidenza desiderato e alla dimensione del campione. Discutono anche dell'uso dei punteggi z e dei punteggi t, a seconda che la varianza della popolazione sia nota o sconosciuta. Viene fornito un esempio per dimostrare il calcolo di un intervallo di confidenza al 95% per il tempo medio trascorso a studiare per un esame, utilizzando una media campionaria e una deviazione standard.
Infine, il capitolo menziona brevemente il test di ipotesi, che comporta la formulazione di ipotesi o affermazioni su una caratteristica della popolazione e lo svolgimento di test per valutarne la validità. L'autore presenta i passaggi coinvolti nella verifica delle ipotesi, inclusa l'affermazione dell'ipotesi, la selezione della statistica del test, la specifica del livello di significatività, la definizione della regola decisionale, il calcolo della statistica del campione e la presa di una decisione.
Nel complesso, questo capitolo fornisce una panoramica completa di concetti importanti nell'analisi quantitativa, concentrandosi in particolare su media campionaria, varianza campionaria, intervalli di confidenza e test di ipotesi. Questi argomenti sono fondamentali nell'analisi statistica e forniscono una base per fare inferenze e trarre conclusioni dai dati.