Commercio quantitativo - pagina 15

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Corso di ingegneria finanziaria: lezione 3/14, parte 1/2, (The HJM Framework)

Corso di ingegneria finanziaria: lezione 3/14, parte 1/2, (The HJM Framework)

Il relatore approfondisce l'argomento delle condizioni prive di arbitraggio nei modelli di tasso di interesse, concentrandosi in particolare sul framework Heat, Jarrow e Morton (HJM). Stabiliscono l'ordine del giorno della conferenza e chiariscono la distinzione tra modelli di equilibrio e modelli di struttura a termine. Pur sottolineando il potere e il significato dei modelli di struttura a termine, che generano curve di rendimento senza richiedere calibrazione, il relatore spiega la derivazione di condizioni prive di arbitraggio all'interno del framework HJM. Il prossimo blocco coinvolgerà simulazioni Monte Carlo per due modelli, Julie e Hull-White, insieme a un compito a casa fornito. Vale la pena notare che il framework HJM funge da framework generico e privo di arbitraggio per tutti i modelli di tassi di interesse.

Andando avanti, viene introdotto il concetto di tassi a breve e tassi di interesse, sottolineando che i tassi a breve sono associati a periodi di tempo infinitesimali. Il primo modello a tasso breve, il processo di Ornstein-Uhlenbeck (OU), viene discusso come esempio di un modello endogeno che richiede la calibrazione della curva dei rendimenti, con potenziali gradi di libertà limitati e scarsa calibrazione. D'altra parte, i modelli esogeni prendono come input la curva dei rendimenti, evitando il problema della calibrazione. La lezione fornisce anche approfondimenti sullo sviluppo di capacità di modellazione e competenza di programmazione per la modellazione dei tassi di interesse.

Viene esplorato il framework HJM, concentrandosi sulla trasformazione di modelli endogeni in modelli esogeni. Questa trasformazione garantisce che, indipendentemente dai parametri del modello scelto, la curva dei rendimenti rimanga la stessa. Il docente sottolinea l'eccezionale potenza del framework AJM, che fornisce un chiaro percorso dai modelli di equilibrio ai modelli di struttura a termine. La conferenza menziona che esistono numerosi modelli in letteratura, con due popolari in discussione. Uno di questi modelli è il modello a tasso corto di Vasicek, che è stato criticato per i suoi limiti nell'accogliere tassi di interesse negativi.

Viene affrontata la questione dei tassi di interesse negativi e il relatore spiega come gli ingegneri finanziari affrontano questo problema impiegando il processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR), che non consente tassi negativi ma consente ai tassi di raggiungere lo zero. Per spostare questo processo, viene introdotto un parametro, che consente alla distribuzione di spostarsi da zero a valori negativi, tipicamente intorno al due o tre percento. Vengono inoltre discusse l'importanza dell'adattamento alla curva dei rendimenti e le sfide della calibrazione. Il docente sottolinea che se la curva dei rendimenti non può essere adattata, non ha senso tentare di adattare altri aspetti del modello. Vengono forniti esempi di simulazione per illustrare l'impatto di parametri variabili, come la velocità di mean reversion e il coefficiente di volatilità.

Viene discusso l'impatto del coefficiente di volatilità sui percorsi di diversi modelli, inclusi i modelli HJM e CIR. Coefficienti di volatilità più grandi si traducono in maggiori picchi nei percorsi e maggiore incertezza, mentre coefficienti più piccoli portano a distribuzioni più strette. Il docente spiega anche come l'inversione alla media ei tassi di interesse influenzano il comportamento di questi modelli. Il codice Python viene utilizzato per simulare i percorsi utilizzando la discretizzazione e la standardizzazione di Eulero, imponendo condizioni per evitare che i percorsi diventino negativi.

Il presentatore fornisce una discussione approfondita del quadro HJM (Heath-Jarrow-Morton), che funge da quadro globale che comprende tutti i modelli di tasso di interesse. Le dinamiche dei tassi forward istantanei, che rappresentano i tassi su periodi futuri dal punto di vista odierno, sono modellate all'interno del framework HJM. Il framework AJM è presentato come una base fondamentale per i modelli di tasso di interesse a causa della sua esplicita relazione tra la volatilità dei tassi forward istantanei e la deriva priva di arbitraggio, garantendo che il modello sia sempre privo di arbitraggio. Il quadro viene esplorato nel contesto dei modelli di mercato a tasso breve e LIBOR, che sono casi speciali del quadro AJM.

Viene discussa la relazione tra assenza di arbitraggio e deriva, in particolare in relazione alla volatilità dei tassi forward istantanei. La regolazione della volatilità consente di passare da un modello all'altro. Sebbene il framework HJM si adatti a diverse strutture di volatilità, ottenere espressioni analitiche per i tassi a breve o i modelli di mercato LIBOR è impegnativo. Tuttavia, per alcuni casi, il framework HJM fornisce espressioni analitiche per le obbligazioni zero coupon basate sulla volatilità specificata. Questo quadro gioca un ruolo cruciale nella transizione dai modelli di equilibrio ai modelli di struttura a termine, in quanto consente l'uso di rendimenti osservabili come input per il modello. Viene effettuato un confronto con altri modelli, come i modelli a tasso ridotto nell'ambito del framework HJM, che sono paragonati alle Ferrari in termini di calibrazione rapida ma mancano di flessibilità nella calibrazione e nell'implementazione per più strumenti di mercato. L'obiettivo principale di un modello di tasso a breve per i tassi di interesse è garantire l'accuratezza della curva dei rendimenti e delle obbligazioni zero coupon.

I limiti dei vari modelli di term structure impiegati nell'ingegneria finanziaria sono discussi dal docente. Sebbene il framework HJM offra maggiore flessibilità nella calibrazione della curva dei rendimenti, la sua semplicità con solo due parametri rende difficile la calibrazione per opzioni esotiche complesse valutate su periodi prolungati. Il modello di mercato con volatilità stocastica, nonostante i suoi elevati costi di manutenzione e le sfide di calibrazione, è ritenuto ideale per la determinazione del prezzo di esotici e volatilità. Il docente procede alla definizione dei tassi a termine istantanei utilizzando obbligazioni zero coupon e illustra come costruire un tasso a termine su un periodo specifico utilizzando una strategia di rifinanziamento, estraendo così un tasso effettivo.

Il relatore approfondisce il concetto di una strategia di rifinanziamento senza arbitraggio e spiega come implicare tassi da zero componenti. Introducono una forma funzionale per il tasso a termine e impongono una struttura che assicuri che assuma una forma esponenziale con un tasso di competenza temporale. Prendendo il logaritmo dell'espressione e moltiplicandolo per un segno negativo, individuano il tasso che soddisfa l'equazione sia per il tasso a breve che per il tasso a termine. Il tasso forward istantaneo è definito come f dt e l'oratore sottolinea che è sempre rispetto alla maturità.

Successivamente, la lezione introduce la nozione di tasso forward istantaneo, definito come la derivata del logaritmo dell'obbligazione zero coupon rispetto alla scadenza. Questo funge da elemento fondamentale all'interno del framework HJM, poiché tutte le quantità sono espresse in termini di tassi forward istantanei. Viene evidenziata l'importanza della differenziazione tra obbligazioni zero coupon e libretti di risparmio, essendo il primo un valore deterministico e il secondo una grandezza stocastica. Le dinamiche del tasso forward istantaneo sono un punto focale all'interno del framework HJM, con l'obiettivo di comprendere e modellare le dinamiche dei tassi di interesse.

Il professore procede descrivendo la dinamica del tasso forward istantaneo sotto la misura p e l'obiettivo di determinare la dinamica quando si cambia la misura da p a q. Il quadro HJM comprende la dinamica del tasso a termine istantaneo, il conto di risparmio in denaro (integrale del tasso a breve) e la relazione delle obbligazioni zero coupon. Per definire la dinamica del tasso forward istantaneo sotto la misura q, quantità specifiche devono funzionare come martingale. Viene spiegata la relazione tra il tasso a breve e il tasso a termine istantaneo, sottolineando l'interdipendenza tra diversi tassi istantanei e le connessioni tra i vari parametri.

Continuando la conferenza, il relatore sottolinea l'importanza di comprendere la relazione tra l'assenza di arbitraggio e la deriva nei modelli di tasso di interesse, in particolare in termini di volatilità del tasso forward istantaneo. Regolando la volatilità, è possibile passare da un modello all'altro all'interno del framework HJM. Questo quadro consente varie strutture di volatilità, anche se ottenere espressioni analitiche per tassi a breve o un modello di mercato LIBOR può essere difficile. Tuttavia, in alcuni casi, il framework HJM fornisce espressioni analitiche per le obbligazioni zero coupon basate sulla volatilità specificata.

Il docente sottolinea che il framework HJM è un framework generico e privo di arbitraggio per tutti i modelli di tasso di interesse. Offre un chiaro percorso dai modelli di equilibrio verso i modelli di struttura a termine, rendendolo un potente strumento nel campo. Ci sono numerosi modelli disponibili in letteratura, ma due popolari sono discussi in dettaglio.

In primo luogo, viene esaminato il modello dei tassi a breve di Vasicek. Il docente riconosce che questo modello è stato oggetto di critiche per non consentire tassi di interesse negativi. Per affrontare questo problema, alcuni ingegneri finanziari adottano il processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR), che non consente tassi negativi ma consente ai tassi di raggiungere un livello pari a zero. Tuttavia, il docente afferma che è possibile introdurre un parametro di spostamento nel processo CIR, spostando di fatto la distribuzione da zero a un valore negativo, come due o tre percento negativi. L'adattamento del modello alla curva dei rendimenti viene sottolineato come un aspetto critico e viene discussa la questione della calibrazione. Il docente afferma che se la curva dei rendimenti non può essere adattata con precisione, non ha senso adattare altri parametri.

Successivamente, il relatore introduce le simulazioni Monte Carlo per due modelli: Julie e Hull-White. Le simulazioni mirano a fornire esempi pratici e illustrare l'impatto di parametri variabili, come la velocità di mean reversion e il coefficiente di volatilità, sui percorsi del modello. Il codice Python, che utilizza la discretizzazione e la standardizzazione di Eulero, viene utilizzato per simulare questi percorsi. Vengono imposte condizioni per impedire ai percorsi di diventare negativi.

La lezione prosegue discutendo l'impatto del coefficiente di volatilità sui percorsi di vari modelli, inclusi i modelli HJM e CIR. Coefficienti di volatilità più grandi determinano picchi più significativi nei percorsi e una maggiore incertezza, mentre coefficienti più piccoli portano a distribuzioni più strette. Viene anche spiegata l'influenza dell'inversione alla media e dei tassi di interesse sul comportamento di questi modelli.

Il docente conclude riassumendo i punti chiave trattati, ribadendo il potere e il significato dei modelli di struttura dei termini all'interno del quadro HJM. Viene sottolineata la capacità di autogenerare curve dei rendimenti senza richiedere la calibrazione della curva dei rendimenti. Infine, viene fornito un compito a casa, incoraggiando gli studenti a esplorare e applicare ulteriormente i concetti e le tecniche discusse durante la lezione.

La conferenza fornisce un'esplorazione approfondita delle condizioni prive di arbitraggio nei modelli di tasso di interesse, in particolare all'interno del framework HJM. Copre le differenze tra modelli di equilibrio e modelli di struttura a termine, la derivazione di condizioni prive di arbitraggio ed esempi pratici attraverso simulazioni Monte Carlo. L'importanza dell'adattamento alla curva dei rendimenti, le sfide di calibrazione e l'impatto dei parametri variabili vengono discussi in modo approfondito, fornendo agli studenti preziose informazioni sulla modellazione dei tassi di interesse e sulle capacità di programmazione.

• 00:00:00 In questa sezione, il relatore discute le condizioni prive di arbitraggio nei modelli di tasso di interesse, in particolare nel contesto del framework Heat, Jarrow e Morton (HJM). Delinea l'ordine del giorno della lezione e spiega la differenza tra modelli di equilibrio e modelli di struttura a termine. Il relatore sottolinea il potere e l'importanza dei modelli di struttura a termine, che autogenerano curve dei rendimenti e non richiedono calibrazione alla curva dei rendimenti. Spiega anche come derivare le condizioni senza arbitraggio nel framework HJM. Nel blocco successivo, il relatore eseguirà simulazioni Monte Carlo per due modelli, Julie e Hull-White, e fornirà un compito a casa. Il framework HJM è un framework generico e privo di arbitraggio per tutti i modelli di tassi di interesse.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione della lezione viene introdotto il concetto di tassi a breve e tassi di interesse, con l'enfasi sul tasso a breve associato a un periodo di tempo infinitesimale. I tassi a breve sono quantità stocastiche e il primo modello a tasso breve, il processore OU, è stato sviluppato nel 1977. Tuttavia, modelli endogeni come questo richiedono la calibrazione della curva dei rendimenti, che può portare alla perdita dei gradi di libertà e a una calibrazione scadente, mentre i modelli esogeni prendono come input la curva dei rendimenti, evitando il problema della calibrazione. La conferenza fornisce anche approfondimenti su come sviluppare capacità di modellazione e programmazione per la modellazione dei tassi di interesse.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione viene discusso il framework HJM, in cui i modelli endogeni vengono trasformati in modelli esogeni. Ciò significa che qualunque sia il parametro scelto per il modello, la curva dei rendimenti verrà sempre restituita senza alcuna differenza. Si dice anche che il framework AJM è estremamente potente e fornisce un chiaro percorso dall'equilibrio verso i modelli di struttura a termine. Ci sono molti modelli diversi disponibili in letteratura, e ne vengono discussi due popolari, compreso il modello a tasso breve di Vasicek, che è stato criticato per non consentire tassi di interesse negativi.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute la questione dei tassi di interesse negativi e di come alcuni ingegneri finanziari affrontano questo problema attraverso il processo di adozione del processo CIR, che non consente tassi di interesse negativi, ma consente ai tassi di essere a livello zero. Spiega che si può correggere questo processo spostandolo e questo parametro di spostamento può spostare la distribuzione da zero a un due o tre percento negativo. Il docente discute anche l'importanza dell'adattamento alla curva dei rendimenti e la questione della calibrazione, affermando che se non possiamo adattare la curva dei rendimenti, non ha senso adattare qualcos'altro. Infine, fornisce esempi di simulazione dell'impatto di parametri variabili come la velocità di mean reversion e il coefficiente di volatilità.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, l'istruttore discute l'impatto del coefficiente di volatilità sui percorsi di vari modelli, come i modelli HJM e CIR. Dimostra come coefficienti di volatilità più grandi portano a picchi più grandi nei percorsi e maggiore incertezza, mentre coefficienti più piccoli si traducono in una distribuzione più ristretta. L'istruttore spiega anche in che modo l'inversione alla media e i tassi di interesse influiscono sul comportamento di questi modelli. Nel codice Python, utilizza la discretizzazione e la standardizzazione di Eulero per simulare i percorsi e impone condizioni per impedire ai percorsi di diventare negativi.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione della conferenza su YouTube sull'ingegneria finanziaria, il relatore discute il framework HJM (Heath-Jarrow-Morton), che fornisce un framework globale per tutti i modelli di tassi di interesse. Il relatore spiega che il framework modella la dinamica dei tassi forward istantanei, che sono tassi su un periodo di tempo futuro dal punto di vista odierno. Il framework AJM costituisce una base fondamentale per i modelli di tasso di interesse, in quanto fornisce una relazione esplicita tra la volatilità dei tassi forward istantanei e la deriva priva di arbitraggio, garantendo che il modello sia sempre privo di arbitraggio. Il quadro è discusso nel contesto dei modelli di mercato a tasso breve e LIBOR, che sono casi speciali del quadro AJM.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione viene discussa la relazione tra libertà di arbitraggio e deriva in relazione alla volatilità del tasso forward istantaneo, che può essere modificato per passare da un modello all'altro. Il framework HJM consente diverse strutture di volatilità, ma è difficile ottenere espressioni analitiche per tassi short o un modello di mercato LIBOR. Tuttavia, per alcuni casi, il modello fornisce espressioni analitiche per obbligazioni zero coupon basate sulla volatilità specificata dal framework HJM. Questo quadro è essenziale per passare dai modelli di equilibrio ai modelli di struttura a termine e consente di utilizzare i rendimenti osservabili come input per il modello. Questo viene confrontato con diversi modelli, come i modelli a tasso ridotto nell'ambito del framework HJM, che possono essere considerati simili a una Ferrari in termini di calibrazione rapida, ma mancano di flessibilità nella calibrazione e nell'implementazione per più strumenti di mercato. L'obiettivo fondamentale di un modello short rate per i tassi di interesse è quello di garantire la curva dei rendimenti e le obbligazioni zero coupon.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il docente discute i limiti dei diversi modelli di struttura a termine utilizzati nell'ingegneria finanziaria. Sebbene il framework HJM offra maggiore flessibilità nella calibrazione alla curva dei rendimenti, la sua semplicità di due parametri rende difficile la calibrazione per un esotico multi-calibro valutato su diversi anni. Spiega che il modello di mercato con volatilità stocastica presenta costi di manutenzione elevati e sfide di calibrazione, ma è ideale per valutare le esotiche e la volatilità. Il docente definisce quindi i tassi a termine istantanei utilizzando obbligazioni zero coupon e dimostra come costruire un tasso a termine su un periodo di tempo attraverso una strategia di rifinanziamento, estraendo così un tasso effettivo.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il relatore parla della strategia di rifinanziamento senza arbitraggio e di come implicare il tasso da zero componenti. Definiscono una forma funzionale per il tasso a termine e impongono una struttura tale che sia di forma esponenziale e che vi sia un certo tasso di maturazione. Prendendo un logaritmo dell'espressione e moltiplicandolo per un meno, trovano il tasso che soddisfa l'equazione per il tasso a breve e il tasso a termine. Il tasso forward istantaneo è definito come f dt e lo differenziano rispetto alla scadenza. Il relatore sottolinea l'importanza di tenere presente che questo è sempre rispetto alla maturità.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione della lezione viene introdotto il concetto di tasso forward istantaneo, definito come la derivata del logaritmo dell'obbligazione zero coupon rispetto alla scadenza. Questo è un elemento fondamentale per il framework HJM, poiché tutto è espresso in termini di tassi forward istantanei. La lezione sottolinea l'importanza di distinguere tra obbligazioni zero coupon e libretti di risparmio, in quanto il secondo è una quantità stocastica mentre il primo è un valore deterministico. Le dinamiche del tasso forward istantaneo sono focalizzate nel framework HJM, dove l'obiettivo è comprendere e modellare le dinamiche dei tassi di interesse.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della lezione, il professore descrive la dinamica del tasso forward istantaneo sotto la misura p e l'obiettivo di trovare la dinamica di questo processo quando cambiamo la misura da p a q. Il quadro HJM è costituito dalla dinamica del tasso a termine istantaneo, dal conto di risparmio in denaro, che è l'integrale del tasso a breve, e dalla relazione obbligazionaria zero coupon. Per definire la dinamica del tasso forward istantaneo sotto la misura q, alcune quantità devono essere martingale. Il professore spiega anche la relazione tra il tasso a breve e il tasso a termine istantaneo ed evidenzia la dipendenza tra diversi tassi istantanei e le relazioni tra diversi parametri.

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Corso di ingegneria finanziaria: lezione 3/14, parte 2/2, (The HJM Framework)

Corso di ingegneria finanziaria: lezione 3/14, parte 2/2, (The HJM Framework)

Nella conferenza, l'attenzione è rivolta al framework HJM e alle sue ipotesi per la modellizzazione dei tassi di interesse. Il docente inizia discutendo le condizioni senza arbitraggio nel quadro HJM, che sono cruciali per qualsiasi modello di tasso di interesse all'interno di questo quadro. Queste condizioni assicurano che ogni bene scontato con il conto di risparmio si comporti come una martingala. Applicando la formula di Itō alle obbligazioni zero coupon e al conto di risparmio monetario, si ottiene la dinamica dell'asset divisa per il conto di risparmio monetario, portando al famoso lemma di HJM relativo alle condizioni prive di arbitraggio per i tassi a termine istantanei.

Successivamente, il docente esplora come viene determinata la deriva dei tassi forward istantanei all'interno del quadro HJM. La volatilità del tasso forward istantaneo gioca un ruolo chiave nella definizione della deriva se si vuole essere nel mondo neutrale al rischio e privo di arbitraggio. Il docente spiega che per modellare tassi a breve o tassi a termine istantanei, è essenziale specificare la volatilità per il tasso a termine istantaneo. Una volta definito questo, le dinamiche per il tasso forward istantaneo sono note, garantendo un ambiente privo di arbitraggio. La lezione affronta anche il calcolo della dinamica del tasso a breve, che coinvolge la curva delle scadenze, una funzione deterministica costante, e un integrale rispetto alla derivata parziale della volatilità.

La conferenza approfondisce ulteriormente gli aspetti pratici del framework HJM. Il docente discute su come generare diversi modelli di tassi a breve specificando la volatilità all'interno del framework. Una volatilità costante è presentata come la forma più semplice, consentendo il calcolo della funzione alfa nella condizione HJM. La dinamica del tasso a breve può quindi essere derivata sostituendo il sigma e l'alfa specificati nel quadro, utilizzando la curva obbligazionaria zero coupon come input. L'importanza della curva dei rendimenti, che è stimata dagli strumenti di mercato, è sottolineata come una componente chiave nella determinazione del prezzo dei derivati su tassi di interesse.

Particolare attenzione è data al modello Uli, che appartiene alla classe dei processi affini e offre deriva dipendente dal tempo e parametri sigma. Il docente spiega come questo modello consenta il calcolo delle obbligazioni zero coupon in forma esponenziale senza la necessità di nidificate simulazioni Monte Carlo, risparmiando così potenza di calcolo. Viene esplicitamente espressa la relazione tra i tassi brevi e le funzioni deterministiche note in b e viene menzionato il potenziale utilizzo dell'algoritmo di Longstaff Schwarz per la stima delle aspettative.

La lezione sottolinea anche l'importanza di rappresentare i modelli in modo elegante e composto zero. Il framework HJM è riconosciuto come un potente strumento per raggiungere questo obiettivo. Viene condotto un esperimento Python per dimostrare come i percorsi simulati possono essere utilizzati per calcolare le obbligazioni zero coupon, confrontandole con i rendimenti di input. Si sottolinea che il framework HJM garantisce che i percorsi simulati producano sempre le stesse obbligazioni zero coupon di quelle incorporate nell'input di rendimento.

I metodi di simulazione Monte Carlo all'interno del framework HJM sono discussi come mezzo per generare curve di rendimento. Il docente presenta un approccio che prevede la specificazione di una curva dei rendimenti, la stima della curva a componente zero e il calcolo dei parametri theta e sigma. Vengono quindi eseguite simulazioni Monte Carlo e i fattori di sconto risultanti vengono utilizzati per tracciare le curve delle obbligazioni zero coupon dal modello e dal mercato. Il docente mette in mostra la flessibilità dell'approccio nella gestione dei cambiamenti nei valori dei parametri ed evidenzia la perfetta corrispondenza tra i rendimenti di input e output.

Viene affrontata anche la calibrazione dei modelli all'interno del framework HJM, concentrandosi sul vantaggio di calibrare i prodotti pertinenti senza la necessità di una calibrazione separata per la curva dei rendimenti. Vengono discusse le difficoltà spesso incontrate nella calibrazione della curva dei rendimenti, evidenziando i vantaggi del framework HJM a questo proposito. Viene spiegata la derivazione del modello a volatilità costante nei modelli a tasso breve utilizzando le ipotesi HJM, mostrando una forma semplificata della dinamica dei tassi a breve che facilita la valutazione del modello.

La lezione si conclude riassumendo i principali punti trattati e fornendo agli studenti tre esercizi per applicare i concetti ei calcoli appresi. Gli esercizi prevedono il calcolo della dinamica di Ito,

• 00:00:00 In questa sezione della conferenza, l'attenzione è rivolta al framework HJM e alle sue ipotesi per la modellizzazione dei tassi di interesse. Vengono discusse le condizioni di libertà arbitraria nel modello HJM, che definiscono il driver principale per qualsiasi modello di tasso di interesse appartenente al framework HJM. Inoltre, i modelli Pulley e Full-Wyte vengono introdotti come casi speciali del framework HJM e le simulazioni Monte Carlo vengono utilizzate per illustrare come i modelli di struttura a termine possono recuperare la curva dei rendimenti. La lezione si conclude con un riassunto dei punti principali, insieme a tre esercizi approfonditi e utili per gli studenti da completare.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente discute le condizioni senza arbitraggio per i tassi forward istantanei nel framework HJM. La condizione di libertà arbitraria afferma che ogni attività nell'economia scontata con il conto di risparmio in denaro deve essere una martingala. Il docente applica poi la formula di Itō alle obbligazioni zero coupon e al conto risparmio monetario per ottenere la dinamica dell'asset divisa per il conto risparmio monetario, che si esprime come esponente e funzione dei tassi a termine istantanei. La derivata risultante è piuttosto complicata e coinvolge integrali e due argomenti, ma alla fine porta al famoso lemma HJM sulle condizioni prive di arbitraggio per i tassi forward istantanei.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione della conferenza, il framework HJM viene utilizzato per determinare la deriva dei tassi a termine istantanei, che è completamente determinata dalla volatilità se si vuole essere sotto il mondo arbitrario e neutrale al rischio. Ciò significa che se qualcuno desidera modellare tassi a breve o tassi a termine istantanei, deve definire la volatilità per il tasso a termine istantaneo. Una volta definito questo, le dinamiche per il tasso forward istantaneo sono note e l'arbitraggio è privo di arbitrarietà. La dimostrazione e le derivazioni vengono tralasciate, ma la dinamica del tasso a breve viene calcolata utilizzando la definizione del tasso forward istantaneo e le equazioni differenziali stocastiche. La dinamica del tasso a breve include la curva delle scadenze, una funzione deterministica costante, e un integrale da 0 a t della derivata parziale della volatilità rispetto al moto browniano.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il professore discute il framework HJM e come generare diversi modelli di tassi a breve specificando la volatilità all'interno del framework. La volatilità più semplice possibile è una costante e, specificandola, possiamo calcolare la funzione per alfa nella condizione HJM. La dinamica del tasso a breve può essere derivata sostituendo sigma e alfa nel quadro e utilizzando la curva obbligazionaria zero coupon come input. Il professore spiega che la curva dei rendimenti, associata alla curva obbligazionaria zero coupon, è uno degli elementi costitutivi più importanti utilizzati in finanza per i derivati sui tassi di interesse, e che viene stimata dagli strumenti di mercato. Una volta che abbiamo una serie di swap, altri derivati su tassi di interesse e strumenti di mercato, possiamo costruire la curva obbligazionaria zero coupon interpolando tra i punti.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione viene discusso il modello uli, che appartiene alla classe dei processi affini e ha una deriva dipendente dal tempo e un parametro sigma. Il modello consente di trovare l'opzione dinamica e la funzione dell'obbligazione zero coupon in forma esponenziale, semplificando il calcolo delle obbligazioni zero coupon dal tempo t1 al tempo t2 senza la necessità di una simulazione Monte Carlo nidificata, che consente di risparmiare potenza di calcolo. Viene invece esplicitamente espressa la relazione tra tassi a breve e le funzioni deterministiche in b, che sono note in forma stretta. L'algoritmo di Longstaff Schwarz può anche essere utilizzato per stimare le aspettative, che saranno discusse in un corso di follow-up.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione viene discussa l'importanza di poter rappresentare un modello sotto forma di un modo elegante composto zero. Il framework HJM offre un potente strumento per questo scopo, come visto in un esperimento Python in cui viene specificata una curva obbligazionaria zero coupon e viene preso un modello Hul Lee con alcuni parametri sigma. I percorsi simulati vengono utilizzati per calcolare le obbligazioni zero coupon e l'aspettativa di E sull'integrale meno viene confrontata con l'input. Il framework AJM richiede che qualunque sia il parametro scelto per sigma, l'obbligazione zero coupon dei percorsi simulati sarà sempre la stessa che è stata incorporata come input dei rendimenti.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il docente discute il metodo di simulazione Monte Carlo nel framework HJM per la creazione di una curva dei rendimenti. L'approccio che utilizza prevede la specificazione di una curva dei rendimenti, la stima della curva del componente zero e il calcolo dei parametri theta e sigma. Quindi esegue la simulazione Monte Carlo e memorizza il fattore di sconto, prendendo l'output della simulazione Monte Carlo per tracciare l'obbligazione zero coupon dal modello e dal mercato. Il docente dimostra come l'approccio può gestire i cambiamenti nei valori dei parametri e c'è sempre una perfetta corrispondenza tra il rendimento come input e output.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute di come il framework HJM consenta la calibrazione dei modelli per i prodotti rilevanti senza la necessità di calibrare separatamente la curva dei rendimenti. Il relatore osserva che la calibrazione alla curva dei rendimenti presenta spesso difficoltà, il che non è il caso di questo quadro. Inoltre, il relatore spiega come il modello di volatilità costante nei modelli a tasso breve può essere derivato utilizzando la specificazione della volatilità sotto le ipotesi HJM. La sostituzione viene utilizzata per ottenere una forma semplificata della dinamica dei tassi a breve, che consente la valutazione della formula per il modello.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente discute l'HJM Framework e le dinamiche del tasso a breve. Il parametro lambda è una funzione dipendente dal tempo, data in termini di strumenti di mercato, e il tasso forward istantaneo è un elemento chiave del Framework HJM. La funzione theta garantisce che le obbligazioni zero coupon ottenute integrando la scorciatoia, prendendo un esponente e prendendo un'aspettativa di quello, corrispondano all'input. Per HJM Framework, il docente afferma che abbiamo due parametri, lambda e sigma, che possono essere utilizzati per la calibrazione. Il parametro lambda sarebbe fisso e ricalibrato settimanalmente o mensilmente. Il parametro sigma verrebbe calibrato frequentemente utilizzando swaptions. Il docente sottolinea l'importanza di calibrare il modello agli strumenti che verranno utilizzati per la copertura e gli strumenti di calibrazione dovrebbero essere limitati agli strumenti utilizzati per la determinazione del prezzo e la copertura.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il focus è sulla simulazione della funzione theta t, che è cruciale nel framework HJM. Viene eseguita la differenziazione della funzione theta t e ci sono modi per ottimizzare l'implementazione per migliorare l'efficienza. Il codice presentato è a scopo didattico e un grafico illustra l'impatto di diversi parametri di inversione e volatilità sui percorsi. La sezione passa alla definizione del mercato delle obbligazioni zero coupon e alla simulazione dei loro percorsi Monte Carlo. La curva dei rendimenti viene confrontata con quella ottenuta dal modello Hull-White, e ci sono due parametri nel framework HJM, che fornisce maggiore flessibilità nella calibrazione ai derivati esotici. Viene generato un codice Python per calcolare l'aspettativa di uno su MT e confrontata con la curva dei rendimenti. I parametri possono essere modificati e il loro impatto sulla curva dei rendimenti osservato.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente discute il framework HJM e il suo utilizzo nella modellazione dei tassi di interesse. La curva dei rendimenti è un input importante in questi modelli e la costruzione del modello garantisce che la curva dei rendimenti sia sempre perfettamente calibrata per adattarsi al mercato. L'uso dell'interpolazione e della calibrazione con ulteriori gradi di libertà è fondamentale per la determinazione del prezzo dei derivati. La conferenza copre anche le specifiche per le condizioni senza arbitraggio nel mondo dei tassi di interesse e discute le differenze tra i vari modelli, inclusi i modelli Hull-White e Full-White. In conclusione, il docente propone agli studenti tre esercizi per applicare questi concetti e calcoli al modello esponenziale di Vasicek.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, apprendiamo come coprire un'obbligazione e trovare pesi che equalizzino le incertezze tra gli strumenti di copertura, il tutto utilizzando un modello vascolare con parametri costanti. Il processo è stocastico e non deterministico, ma la scelta dei pesi in modo che si eguaglino tra loro aiuta a ridistribuire il denaro tra diverse obbligazioni e assicurarti di avere un buon portafoglio. Quindi, esaminiamo il problema dei tassi di interesse negativi e come risolverlo utilizzando una pratica di mercato chiamata shifting, che introduce un parametro positivo per spostare tutti i percorsi da R di una certa quantità. Gli esercizi aiutano a calcolare la dinamica di Ito per un dato sistema di equazioni, calcolare le aspettative e affrontare il problema dei tassi di interesse negativi.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 4/14, parte 1/2, (Dinamica della curva dei rendimenti in regime di short rate)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 4/14, parte 1/2, (Dinamica della curva dei rendimenti in regime di short rate)

Il relatore tiene una lezione informativa sui modelli di tassi a breve e sulla loro connessione con le dinamiche della curva dei rendimenti. Iniziano introducendo il concetto di modelli a tasso breve e discutendone la rilevanza. Per migliorare la comprensione, estendono la discussione da un modello bianco freddo a fattore singolo a un modello multifattoriale più completo, conducendo diverse simulazioni lungo il percorso.

Segue un'introduzione completa alle curve dei rendimenti, con un'esplorazione delle diverse forme delle curve dei rendimenti e della loro relazione con le dinamiche dei tassi a breve. Il presentatore stabilisce una connessione tra questi concetti e reali esperimenti di mercato, facendo luce sulle loro applicazioni pratiche. Mentre esplora i limiti del modello a fattore singolo, il relatore presenta anche potenziali soluzioni, tra cui la costruzione e la simulazione di un modello a due fattori.

Nel segmento successivo, l'istruttore si concentra sui processi di ritorno alla media e dimostra come generare percorsi per questi processi. Presentano un grafico 3D che mostra la distribuzione dei tassi di interesse nel tempo. Introducendo una trasformazione chiamata "yt", l'istruttore spiega come questo processo estrae la parte di ritorno alla media dall'intero modello bianco. Applicando il lemma di Ito a yt e sostituendo la dinamica all'intero modello bianco, derivano la soluzione per la distribuzione del modello bianco.

La dinamica di yt prende il centro della scena mentre il docente ne evidenzia l'indipendenza dalla componente stocastica, rimuovendo di fatto la dipendenza da rt e yt. Procedono a trovare la soluzione per il processo rt attraverso l'integrazione. La soluzione per l'intero modello di tasso comprende una costante di scala, una funzione di deriva dipendente dal tempo, una componente di volatilità con un esponente e un coefficiente di decadimento. La natura deterministica dell'espressione semplifica l'integrazione di funzioni dipendenti dal tempo e l'integrale risultante è distribuito normalmente. Di conseguenza, rt segue una distribuzione normale con un'aspettativa e una varianza, dove l'aspettativa a lungo termine converge alla funzione theta t. Viene brevemente discussa anche la classe dei processi di diffusione affine.

Passando ai processi di diffusione a salto, il docente approfondisce le caratteristiche specifiche del modello di Hull-White e dei modelli di tasso di interesse. Sottolineano che il modello Hull-White appartiene alla classe dei processi di diffusione del salto affine, consentendo la derivazione della funzione caratteristica per questo processo e delle espressioni analitiche per le obbligazioni zero coupon. La derivazione della funzione caratteristica e l'applicazione della decomposizione del modello di Hull-White sono spiegate in dettaglio. I parametri dipendenti dal tempo sono identificati come fattori significativi che incidono sulle funzioni del modello, con la possibilità di portarli al di fuori delle aspettative.

Il professore procede a discutere la soluzione del modello e sottolinea l'importanza del teorema di Dupey-Duffy-Singleton. Spiegano che la soluzione assume la forma di un'equazione di tipo Riccati, e il teorema facilita la derivazione delle funzioni A e B. Il significato di questo teorema sta nell'esprimere l'aspettativa condizionale unicamente in termini di dipendenza nel punto specifico dei cammini Rt, quindi miglioramento della simulazione. Questa caratteristica si rivela particolarmente utile per le valutazioni del portafoglio che richiedono più simulazioni Monte Carlo nidificate. Inoltre, la natura in forma chiusa e la facilità di implementazione delle funzioni A e B le rendono modelli altamente adottati nel settore, evitando la necessità di costose ricalibrazioni mentre si calibrano efficacemente alle dinamiche della curva dei rendimenti.

L'istruttore sottolinea un'espressione potente che consente la valutazione delle obbligazioni zero coupon senza ricorrere a simulazioni Monte Carlo nidificate. Questa espressione elimina la necessità di ulteriori simulazioni, migliorando notevolmente l'efficienza della determinazione del prezzo degli swap con scadenze a lungo termine. Le funzioni A e B, che dipendono dalla maturità, svolgono un ruolo fondamentale in questo processo e possono essere valutate direttamente. Il docente fornisce relazioni in forma chiusa tra le obbligazioni zero coupon e le funzioni A e B, coinvolgendo una funzione theta, la volatilità e una versione del tachimetro minimo. Inoltre, dimostrano due approcci per valutare le obbligazioni zero coupon dal modello: utilizzando l'espressione analitica o evitando integrazioni.

Continuando la lezione, l'istruttore spiega come calcolare le obbligazioni zero coupon all'interno del modello full white, utilizzando un metodo più rapido ed efficiente rispetto alla simulazione Monte Carlo nidificata. Presentano l'espressione per l'obbligazione zero coupon come funzione delle variabili aeb, nonché del tasso a termine istantaneo più breve, r0. Questo metodo si rivela vantaggioso in termini di velocità ed efficienza rispetto al precedente approccio di simulazione Monte Carlo nidificato. Viene inoltre sottolineata l'importanza della curva dei rendimenti nella determinazione dei valori attuali dei flussi di cassa futuri. La curva dei rendimenti funge da strumento cruciale per mappare le quotazioni di strumenti liquidi su una curva unificata, con diverse scadenze di obbligazioni zero coupon utilizzate per costruire tassi a termine. L'obiettivo principale della curva dei rendimenti è fornire un'aspettativa dei tassi futuri in vari scenari.

La conferenza esplora ulteriormente l'importanza di selezionare gli strumenti più liquidi quando si costruisce una curva dei rendimenti. Questi strumenti sono scelti per il loro uso frequente nella copertura e nella determinazione del prezzo di derivati esotici. Viene discussa l'interpolazione dei punti sulla curva dei rendimenti, in quanto può avere un impatto sostanziale sulla curva di sconto complessiva utilizzata nei calcoli. Inoltre, la curva dei rendimenti è vista come un indicatore anticipatore della direzione economica di un paese e può essere influenzata dalle politiche monetarie delle banche centrali. Viene spiegata la mappatura delle obbligazioni zero coupon rispetto al rendimento, con i rendimenti tipicamente espressi come tassi effettivi in unità di anni. Si noti che la curva dei rendimenti riflette non solo le aspettative sui tassi di interesse, ma anche l'attitudine al rischio degli investitori e la loro preferenza per obbligazioni con scadenze diverse.

Proseguendo con la lezione, il docente spiega i meccanismi delle curve dei rendimenti e la loro dipendenza dalla domanda di obbligazioni a breve termine. Le curve dei rendimenti sono rappresentate da un insieme di nodi, ciascuno associato a una coppia corrispondente. Queste coppie vengono utilizzate per definire i punti della colonna vertebrale sulla curva e la curva stessa è una funzione che associa un insieme di tassi zero a numeri reali. La determinazione dei punti della colonna vertebrale coinvolge strumenti di calibrazione e il metodo di interpolazione tra questi punti può variare in base alle convenzioni di mercato o alle preferenze dei singoli trader. Questa interpolazione è necessaria per ottenere valori di legame tra i punti della colonna vertebrale. Vengono discusse in dettaglio anche la mappatura delle obbligazioni zero coupon alla curva dei rendimenti e la costruzione della curva dei rendimenti.

Il relatore sottolinea il ruolo cruciale dell'interpolazione nel calcolo dei valori obbligazionari e sottolinea il suo impatto sulla performance di copertura. La scelta del metodo di interpolazione influenza in modo significativo le sensibilità ei rischi associati alle curve dei rendimenti. Inoltre, la costruzione della curva dei rendimenti ha un profondo impatto sulle strategie di copertura. La conferenza approfondisce le convenzioni relative alla denominazione delle curve dei rendimenti e dei rendimenti, con esempi specifici, come un rendimento del cinque percento su cinque anni correlato a obbligazioni zero coupon e punti di spina dorsale sulla curva dei rendimenti. La sessione si conclude prefigurando il segmento successivo, che esplorerà la costruzione della curva dei rendimenti in modo più approfondito, affrontando la sensibilità degli strumenti, l'impatto delle diverse tecniche di interpolazione e l'influenza dell'interpolazione sulla performance di copertura.

Nella parte successiva della conferenza, il relatore sottolinea l'importanza di calcolare accuratamente i rendimenti e sottolinea la necessità di impiegare l'espressione completa invece di affidarsi esclusivamente all'aspettativa di un singolo termine. Ciò è dovuto al fatto che le funzioni integrali ed esponenziali non possiedono aspettative equivalenti. Vengono introdotte le dinamiche della curva dei rendimenti e vengono esplorate varie forme delle curve dei rendimenti, inclusa la normale curva dei rendimenti, che indica un'economia sana. Il relatore spiega inoltre come le banche centrali utilizzino il quantitative easing per abbassare i tassi a breve termine, influenzando di conseguenza la forma della curva dei rendimenti.

L'istruttore discute le diverse forme delle curve dei rendimenti, tra cui la curva piatta e la curva dei rendimenti invertita. Quest'ultimo è tipicamente associato a crisi di mercato o crisi imminenti. Rappresenta una transizione da una curva normale a una curva invertita e può comportare che le banche siano riluttanti a concedere più prestiti, portando a uno stimolo limitato dell'economia nel suo complesso. La conferenza presenta un grafico del Tesoro statunitense che mostra le dinamiche della curva dei rendimenti nel tempo, fornendo informazioni sulle tendenze economiche future. Vengono trattati anche lo spostamento parallelo delle curve dei rendimenti e il suo impatto sulle posizioni nell'ambito dei tassi d'interesse.

Spostando l'attenzione sulle dinamiche della curva dei rendimenti in condizioni di tassi a breve, il docente presenta una dimostrazione video che mostra le dinamiche della curva dei rendimenti. Nel video, la linea blu rappresenta il tasso effettivo sui fondi federali, che può essere considerato un tasso short in quanto riflette i tassi overnight. La linea verde corrisponde al rendimento implicito nel mercato, che rappresenta le aspettative del mercato. Il video illustra varie crisi, come la crisi finanziaria del 2008, in cui la curva dei rendimenti si è appiattita e invertita, portando gli investitori a passare dal mercato azionario ai buoni del Tesoro.

Il docente fornisce un collegamento al video, incoraggiando gli spettatori a esplorare da soli le dinamiche della curva dei rendimenti. Comprendere la relazione tra tassi a breve e movimenti della curva dei rendimenti è essenziale per un'efficace gestione del rischio. Simulando i tassi a breve e costruendo curve dei rendimenti per ciascun percorso utilizzando formule che incorporano obbligazioni zero coupon, è possibile ottenere informazioni sulla dinamica e sul comportamento delle curve dei rendimenti.

Sulla base di questa comprensione, la parte successiva della lezione approfondirà le dinamiche più realistiche della curva dei rendimenti derivate dai tassi a breve. Questa esplorazione mira a fornire una comprensione completa dell'interazione tra tassi a breve e curve dei rendimenti, consentendo una migliore valutazione e gestione del rischio nei mercati finanziari.

• 00:00:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, il relatore discute il concetto di modelli di tassi a breve e la loro relazione con le dinamiche della curva dei rendimenti. Coprono l'estensione di un modello bianco freddo a fattore singolo a un modello multifattoriale ed eseguono diverse simulazioni. Inoltre, forniscono un'introduzione alle curve dei rendimenti e discutono le diverse forme delle curve dei rendimenti e le dinamiche dei tassi a breve, collegando questi concetti a esperimenti di mercato reale. La discussione include i limiti del modello a fattore singolo e le relative soluzioni, inclusa la costruzione e la simulazione di un modello a due fattori. Il presentatore conclude la lezione con un riassunto e due esercizi per i compiti.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore spiega come generare percorsi per i processi di ritorno alla media e presenta un grafico 3D di questi percorsi che mostra la distribuzione dei tassi di interesse nel tempo. L'istruttore introduce quindi una trasformazione per l'intero modello bianco che consente di derivare la soluzione per la distribuzione del modello bianco. Questa trasformazione è definita come un processo chiamato yt, che estrae la parte di ritorno alla media dall'intero modello bianco. Applicando il lemma di Ito a yt e sostituendo la dinamica all'intero modello bianco, l'istruttore mostra come derivare la soluzione per la distribuzione del modello bianco.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione della lezione, il focus è sulla dinamica di yt, che non dipende da una componente stocastica, eliminando la dipendenza da rt e yt. La soluzione per il processo rt si trova attraverso l'integrazione. La soluzione per l'intero modello di tasso consiste in una costante di scala, una deriva che è una funzione dipendente dal tempo, una componente di volatilità con un esponente e un coefficiente di decadimento. L'espressione è deterministica, il che significa che l'integrazione di funzioni dipendenti dal tempo è facile e l'integrale è normalmente distribuito in modo che rt sia normalmente distribuito con un'aspettativa e una varianza, dove l'aspettativa a lungo termine converge alla funzione theta t. Anche la classe dei processi di diffusione affine viene discussa brevemente.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute le caratteristiche dei processi di jump diffusion, in particolare per il modello di Hull-White ei modelli di tasso di interesse. Osserva che questo modello appartiene alla classe dei processi di diffusione del salto affine, che consente di trovare la funzione caratteristica per questo processo e le espressioni analitiche per le obbligazioni zero coupon. Spiega inoltre la derivazione della funzione caratteristica e l'applicazione della decomposizione del modello Hull-White. Infine, sottolinea che i parametri dipendenti dal tempo influenzano le funzioni del modello e possono essere presi al di fuori delle aspettative.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione, il professore discute la soluzione del modello e l'importanza del teorema di Dupey-Duffy-Singleton. La soluzione è nella forma di un'equazione di tipo Riccati e le funzioni A e B possono essere derivate usando il teorema di Dupey-Duffy-Singleton. Questo teorema è importante perché consente l'espressione dell'aspettativa condizionale in termini di dipendenza solo nel punto particolare dei percorsi Rt, il che migliora la simulazione. Ciò è particolarmente utile per le valutazioni del portfolio che richiedono valutazioni multiple di simulazioni Monte Carlo nidificate. Inoltre, le funzioni A e B sono in forma chiusa e facili da implementare, il che le rende modelli ben adottati nel settore che si calibrano in modo efficiente in base alla curva dei rendimenti e non richiedono costose ricalibrazioni.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, l'istruttore discute la potente espressione attraverso la quale è possibile valutare le obbligazioni zero coupon, che elimina la necessità di nidificate simulazioni Monte Carlo, rendendo molto più efficienti i pricing swap con scadenze a lungo termine . Questa espressione dipende dalle funzioni A e B che sono determinate dalla maturità e possono essere valutate direttamente senza la necessità di ulteriori simulazioni. L'istruttore fornisce anche le relazioni in forma chiusa tra le obbligazioni zero coupon e le funzioni A e B, che coinvolgono una funzione theta, la volatilità e una versione del tachimetro minimo. Inoltre, l'istruttore mostra come valutare le obbligazioni zero coupon dal modello utilizzando l'espressione analitica o evitando integrazioni.
  
  
• 00:30:00 di questa sezione, il docente spiega come calcolare le obbligazioni zero coupon con il modello full white senza utilizzare la simulazione Monte Carlo. L'espressione per l'obbligazione zero coupon è data dalla funzione aeb, e r0, che è il tasso a termine istantaneo più breve. Questo metodo è più rapido ed efficiente della precedente simulazione Monte Carlo nidificata. Viene discussa anche la curva dei rendimenti, che è importante per determinare i valori attuali dei flussi di cassa futuri, nonché il loro utilizzo in diverse classi di attività. Vengono anche menzionati i limiti del modello bianco unidimensionale nella gestione del rischio.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione della lezione viene discussa l'importanza della curva dei rendimenti come mezzo per scontare i flussi di cassa futuri. La curva dei rendimenti rappresenta le aspettative del mercato sui tassi futuri e viene utilizzata per mappare le quotazioni di strumenti liquidi su una curva unificata. Scadenze diverse con componenti zero vengono utilizzate per costruire tassi a termine e il concetto principale della curva dei rendimenti è quello di fornire un'aspettativa di tassi futuri con scenari diversi. La lezione illustra anche come simulare la curva dei rendimenti e come estendere i modelli da un fattore singolo a due fattori. I prodotti su tassi di interesse sono un'aspettativa del valore futuro e i valori azionari sono flussi di cassa futuri scontati.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione viene discussa l'importanza di selezionare gli strumenti più liquidi quando si costruisce una curva dei rendimenti. Questi strumenti liquidi sono scelti perché sono i più comunemente utilizzati per la copertura e vengono utilizzati per il prezzo di derivati esotici. Viene discussa anche l'interpolazione dei punti sulla curva dei rendimenti in quanto può avere un impatto significativo sulla curva di sconto complessiva utilizzata nei calcoli. La curva dei rendimenti è vista come un indicatore anticipatore della direzione dell'economia del paese e può essere influenzata dalla politica monetaria delle banche centrali. Infine, viene spiegata la mappatura delle obbligazioni zero coupon rispetto al rendimento, con i rendimenti tipicamente espressi come tasso effettivo in unità di anni. La curva dei rendimenti riflette non solo le aspettative sui tassi di interesse, ma anche l'atteggiamento degli investitori nei confronti del rischio e la loro necessità di diverse scadenze delle obbligazioni.
  
  
• 00:45:00 questa sezione, il docente spiega come funzionano le curve dei rendimenti e come cambiano a seconda della domanda di obbligazioni a breve termine. Le curve dei rendimenti possono essere rappresentate da un insieme di nodi, in cui a ogni nodo è associata una coppia corrispondente. Queste coppie vengono utilizzate per definire i punti della colonna vertebrale sulla curva e la curva stessa è una funzione che associa un insieme di tassi zero a numeri reali. I punti della colonna vertebrale sono determinati tramite strumenti di calibrazione e l'interpolazione utilizzata tra di essi può cambiare a seconda delle convenzioni di mercato o delle scelte del trader. Questa interpolazione è necessaria per ottenere legami tra i punti della spina dorsale. Il docente discute anche come mappare le obbligazioni zero coupon alla curva dei rendimenti e come costruire la curva dei rendimenti.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della conferenza, il relatore sottolinea l'importanza dell'interpolazione nel calcolo dei valori obbligazionari e nella discussione della sua performance di copertura. La scelta dell'interpolazione gioca un ruolo significativo nella determinazione delle sensibilità e dei rischi associati alle curve. Il relatore parla anche di come la costruzione della curva dei rendimenti influisce sulla copertura e discute le convenzioni relative alla denominazione delle curve dei rendimenti e dei rendimenti. Un rendimento del cinque percento su cinque anni, ad esempio, si riferisce a obbligazioni zero coupon e spine point sulla curva dei rendimenti. La conferenza si conclude sottolineando che la sessione successiva approfondirà la costruzione della curva dei rendimenti in modo più dettagliato, dove i partecipanti vedranno come la costruzione della curva influisce sulla sensibilità di uno strumento, l'impatto delle diverse routine di interpolazione e come un'interpolazione può influenzare le prestazioni di copertura.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, l'oratore discute l'importanza di calcolare correttamente i rendimenti e sottolinea la necessità di utilizzare l'espressione completa piuttosto che prendere solo l'aspettativa di un singolo termine. Spiegano che ciò è dovuto al fatto che le funzioni integrale ed esponente non hanno aspettative equivalenti. L'oratore introduce anche l'idea della dinamica della curva dei rendimenti ed esplora diverse possibili forme della curva dei rendimenti, inclusa la normale curva dei rendimenti che indica un'economia sana. La discussione si conclude con una spiegazione di come le banche centrali utilizzino il quantitative easing per abbassare i tassi a breve termine e di come ciò influisca sulla curva dei rendimenti.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, l'istruttore discute le diverse forme delle curve dei rendimenti, tra cui la curva piatta e la curva dei rendimenti invertita, che è tipicamente associata a una crisi di mercato oa una crisi in arrivo. Questa è una transizione tra una curva normale e una curva invertita e le banche potrebbero non emettere più prestiti, il che potrebbe non stimolare l'intera economia. L'istruttore presenta anche un grafico del Tesoro degli Stati Uniti che mostra le dinamiche della curva dei rendimenti nel tempo, indicando cosa accadrà nell'economia. Inoltre, la discussione copre lo spostamento parallelo di una curva dei rendimenti e l'impatto sulle posizioni che qualcuno ha nel mondo dei tassi di interesse.
  
  
• 01:05:00 In questa sezione, il docente discute le dinamiche della curva dei rendimenti in regime di short rate. Il focus è su un video che mostra la dinamica della curva dei rendimenti, dove la linea blu rappresenta il Fed funds rate effettivo, che può essere considerato un tasso short in quanto è un tasso overnight. La linea verde corrisponde al rendimento implicito nel mercato, che è un'aspettativa di mercato. Il video mostra varie crisi come la crisi finanziaria del 2008 in cui la curva si è appiattita e invertita, portando gli investitori a lasciare il mercato azionario per il tesoro. Il docente fornisce il collegamento video in modo che gli spettatori possano conoscere le dinamiche della curva dei rendimenti.
  
  
• 01:10:00 In questa sezione, il video spiega come simulare i tassi short e costruire una curva dei rendimenti per ciascun percorso utilizzando formule che tengono conto di zero bond. Osservando le diverse dinamiche della curva dei rendimenti in ciascun percorso, è possibile comprendere la relazione tra tassi a breve e curve dei rendimenti, utile ai fini della gestione del rischio. Nel blocco successivo, la lezione si concentrerà sulle dinamiche più realistiche della curva dei rendimenti implicite nei tassi a breve.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 4/14, parte 2/2, (Dinamica della curva dei rendimenti in regime di short rate)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 4/14, parte 2/2, (Dinamica della curva dei rendimenti in regime di short rate)

Il docente approfondisce il tema della simulazione dei modelli di tassi a breve e della loro applicazione nella misurazione della dinamica delle curve dei rendimenti. Le curve dei rendimenti rappresentano le aspettative del mercato sui rendimenti futuri e sono influenzate dalle percezioni e dalle aspettative del mercato. Per analizzare queste dinamiche, il docente presenta un esperimento che prevede l'osservazione del tasso composto continuamente per ogni realizzazione del tasso a breve e la generazione di curve dei rendimenti per ogni scenario. Questa simulazione aiuta a valutare il realismo del modello a tasso breve e la funzione guida theta t. I dati del mercato reale vengono utilizzati in questo esperimento per migliorare la precisione.

Il docente sottolinea l'utilità delle simulazioni di tassi a breve per l'analisi del rischio. Generando curve dei rendimenti per diversi scenari, diventa possibile valutare il valore attuale di un portafoglio comprendente prodotti su tassi di interesse. Per dimostrarlo, il docente simula percorsi multipli per tassi brevi e calcola le obbligazioni zero coupon per ciascun percorso. È interessante notare che la conferenza sottolinea che le curve dei rendimenti generate utilizzando il modello completamente bianco mostrano uno spostamento parallelo, che nella pratica non è realistico. La conferenza si conclude mostrando il codice Python utilizzato per generare le curve dei rendimenti.

Proseguendo la discussione, si sottolinea l'importanza di avere un continuum nelle obbligazioni zero coupon per il calcolo della funzione theta. La lezione sottolinea l'importanza dell'interpolazione, in particolare interpolando sul tasso stesso invece che sull'esponente, per garantire la stabilità numerica. Vengono esplorate varie scelte per l'interpolazione e il numero di punti per il calcolo del legame. Inoltre, la conferenza approfondisce la simulazione e la generazione di obbligazioni e rendimenti zero coupon, sottolineando l'importanza di implementare questi processi in modo coerente e robusto. Infine, la conferenza presenta la curva dei rendimenti generata dai dati di mercato e i percorsi Monte Carlo simulati del modello mondiale, rivelando un tasso sano ma notevolmente basso.

La conferenza procede ad affrontare i limiti del modello completamente bianco. Sebbene il modello consenta di calibrare l'intera curva dei rendimenti, non riesce a calibrare l'intera curva forward, che è una limitazione comune nella maggior parte dei modelli di tassi a breve. Per superare questa limitazione, il docente introduce il modello del mercato del lavoro, che ben si presta ad affrontare la curva forward e la calibrazione della curva dei rendimenti. Inoltre, il modello completamente bianco incontra problemi con componenti zero perfettamente correlati, riducendone ulteriormente l'efficacia.

Andando avanti, vengono discussi i limiti del modello Hull-White a fattore singolo. Queste limitazioni includono un'elevata correlazione tra obbligazioni con scadenze vicine ma una correlazione inferiore per obbligazioni con scadenze lontane, rendendo impossibile calibrare il modello all'intera struttura a termine dei diversi tassi di interesse. Il modello è inoltre ritenuto inadeguato ai fini della gestione del rischio in quanto presuppone una correlazione uno tra titoli zero coupon e dinamica dei tassi a breve. Per risolvere questi problemi, viene introdotta un'estensione del modello Hull-White a due fattori. Tuttavia, questa estensione viene utilizzata principalmente per la gestione del rischio e l'analisi degli scenari piuttosto che per la determinazione dei prezzi. Vengono spiegate le dinamiche del modello a due fattori, con il primo fattore che rappresenta il livello della curva dei rendimenti e il secondo fattore che rappresenta l'asimmetria della curva dei rendimenti.

Il docente procede a discutere il modello Hull-White a due fattori gaussiano, che è una variante del modello a fattore singolo. Viene presentato un confronto tra i due modelli, sottolineando che i significati dei parametri possono differire quando si passa da uno all'altro. La conferenza evidenzia i vantaggi del modello Hull-White a due fattori gaussiano in termini di simulazione dei processi e la sua efficiente implementazione nelle simulazioni Monte Carlo. La conferenza esplora la funzione integrale del modello e la sua applicazione nella determinazione del prezzo delle obbligazioni zero coupon.

Viene quindi spiegata la simulazione delle curve dei rendimenti per determinate realizzazioni utilizzando il modello a due fattori completamente bianco. L'obbligazione zero coupon per questo modello ha una forma analitica chiusa e prevede un sistema di processo gaussiano. La simulazione del modello gaussiano a due fattori implica la simulazione di due processi di ritorno alla media che corrispondono alla struttura a termine, utilizzando espressioni per volatilità e coefficienti di correlazione. La lezione distingue tra i processi X e Y, dove X rappresenta il livello della curva dei rendimenti e Y rappresenta la pendenza o l'asimmetria della curva. La correlazione tra i due moti browniani associati a questi processi è negativa, indicando un effetto di irrigidimento sulla curva.

La conferenza approfondisce anche la correlazione tra legami quando si applica la stessa tecnica al modello a due fattori. A differenza del modello a fattore singolo, la correlazione tra i rendimenti corrispondenti non è uguale a uno nel modello a due fattori. Questa scoperta conferma che l'aggiunta di un ulteriore fattore al modello porta a una forma di volatilità implicita più realistica, in particolare quando si valutano i limiti. Tuttavia, è importante notare che l'aumento del numero di fattori nel modello aggiunge complessità e difficoltà di calibrazione. Nonostante ciò, il modello a due fattori genera costantemente la stessa curva dei rendimenti, rendendolo un framework AJM (arbitrage-free joint model).

La conferenza discute ulteriormente i limiti dell'incorporazione di più fattori nel modello gaussiano. Si spiega che anche con un gran numero di parametri, la flessibilità in termini di volatilità implicite rimane limitata a causa dell'assenza di volatilità stocastica. La lezione procede quindi a simulare i percorsi per il modello a due fattori, esaminando i rendimenti della curva dei rendimenti impliciti nell'intero modello a due fattori bianco con coefficienti di correlazione aggiuntivi. I rendimenti risultanti mostrano non solo uno spostamento parallelo, ma riflettono anche l'impatto delle correlazioni e delle dinamiche. Questa caratteristica si rivela preziosa ai fini della gestione del rischio. Il docente conclude questa sezione condividendo il codice Python utilizzato per la simulazione.

Sottolineando l'importanza della scelta di tecniche di interpolazione appropriate durante la modellazione delle curve dei rendimenti, il docente sottolinea che la selezione del metodo di interpolazione può influenzare in modo significativo i risultati. Le prossime lezioni tratteranno argomenti come la ricostruzione del rendimento, l'impatto di diverse interpolazioni, le insidie comuni da evitare e i metodi per garantire un'interpolazione realistica. Inoltre, la lezione introduce il concetto di griglia per le obbligazioni zero coupon. Viene effettuato un confronto tra le obbligazioni zero coupon generate dal mercato e quelle calcolate utilizzando il modello Hull-White. Viene eseguita una simulazione Monte Carlo, generando curve dei rendimenti per entrambi i modelli a fattore singolo ea due fattori su un periodo di dieci anni. La lezione si conclude con un confronto dei calcoli di rendimento ottenuti da questi due modelli.

Successivamente, la lezione si concentra sulla presentazione dei risultati della simulazione per il modello a due fattori della dinamica della curva dei rendimenti. Questi risultati vengono confrontati con quelli del modello a un fattore e con i risultati analitici derivati dal mercato. Diventa evidente che il modello a due fattori fornisce una rappresentazione più realistica e completa della dinamica della curva dei rendimenti. Sebbene la volatilità complessiva nel modello a due fattori sia maggiore a causa del fattore di volatilità aggiuntivo, non altera in modo significativo il quadro generale. Il punto chiave è che l'incorporazione di un fattore in più nel modello gaussiano a due fattori porta a una rappresentazione molto più realistica delle dinamiche di rendimento nella simulazione Monte Carlo. Infine, il docente riassume i principali insegnamenti tratti dalla lezione, tra cui la soluzione del modello Hull-White e il collegamento delle obbligazioni zero coupon alla funzione caratteristica, e introduce brevemente la costruzione della curva dei rendimenti e i suoi limiti.

Concludendo la lezione, vengono discussi i limiti del modello Cool White. Queste limitazioni riguardano principalmente le correlazioni tra obbligazioni con scadenze diverse e l'incapacità del modello di calibrarsi su un'ampia gamma di strumenti sul mercato a causa del suo set di parametri limitato. Per affrontare questi problemi, la conferenza suggerisce di estendere il modello a un quadro a due fattori, consentendo l'allentamento dell'ipotesi di perfetta correlazione tra obbligazioni zero coupon. La lezione si conclude assegnando due esercizi per i compiti: uno che coinvolge le aspettative sotto la misura t in avanti e l'altro che utilizza le trasformate di Laplace per dimostrare determinate aspettative.

Nel corso della lezione, diventa evidente l'importanza di comprendere e selezionare modelli appropriati per l'analisi del rischio e la dinamica della curva dei rendimenti. Sebbene il modello Hull-White e le sue variazioni offrano preziose informazioni e strumenti, è essenziale riconoscere i loro limiti ed esplorare modelli alternativi per affrontare sfide specifiche.

Uno di questi modelli alternativi introdotto nella lezione è il modello del mercato del lavoro, che fornisce una soluzione alla limitazione del modello di Hull-White nel calibrare l'intera curva forward. Il modello del mercato del lavoro consente una calibrazione più completa sia della curva forward che della curva dei rendimenti, rendendolo una scelta adatta per determinate applicazioni di gestione del rischio.

Inoltre, la conferenza evidenzia l'importanza delle tecniche di interpolazione nella modellazione della curva dei rendimenti. La scelta del giusto metodo di interpolazione è fondamentale per acquisire con precisione il comportamento e la forma della curva dei rendimenti. Il docente sottolinea che l'interpolazione non è solo un dettaglio tecnico, ma un'arte che richiede un'attenta considerazione e comprensione delle dinamiche sottostanti. Per illustrare l'impatto dell'interpolazione, la conferenza offre un confronto tra le curve dei rendimenti generate dai dati di mercato e quelle calcolate utilizzando il modello Hull-White. Il docente dimostra come diverse scelte di interpolazione possono comportare forme e valori variabili della curva dei rendimenti. Questa analisi sottolinea l'importanza di selezionare un metodo di interpolazione che si allinei con le caratteristiche e il realismo desiderati della curva dei rendimenti.

Man mano che la lezione procede, emerge l'argomento della simulazione delle curve dei rendimenti per diversi scenari. Le simulazioni Monte Carlo si rivelano uno strumento prezioso per generare curve dei rendimenti e valutare i potenziali rischi associati ai prodotti su tassi di interesse. Simulando percorsi multipli per tassi a breve e calcolando le obbligazioni zero coupon per ciascun percorso, gli analisti possono valutare il valore attuale di un portafoglio di prodotti su tassi di interesse in diversi scenari di mercato.

La conferenza si conclude con una dimostrazione del codice Python utilizzato per generare curve di rendimento. Il codice mostra l'implementazione pratica dei concetti discussi durante la lezione, offrendo agli studenti un'esperienza pratica e rafforzando la loro comprensione dell'argomento.

In sintesi, la lezione fornisce un'esplorazione approfondita dei modelli di tassi a breve, delle dinamiche della curva dei rendimenti e delle loro implicazioni per l'analisi del rischio. Discute i limiti del modello Hull-White e introduce modelli alternativi come il modello del mercato del lavoro e il modello Hull-White a due fattori gaussiano. Viene sottolineata l'importanza di selezionare tecniche di interpolazione appropriate e di condurre simulazioni Monte Carlo. Attraverso esempi e dimostrazioni pratiche, la lezione fornisce agli studenti le conoscenze e gli strumenti necessari per modellare e analizzare efficacemente le curve dei rendimenti in vari contesti finanziari.

• 00:00:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute la simulazione di modelli di tassi a breve e il loro utilizzo per misurare la dinamica di una curva dei rendimenti ottenuta dai modelli. La curva dei rendimenti è essenzialmente un'aspettativa di un possibile rendimento futuro e si muove dinamicamente a seconda delle aspettative e delle percezioni del mercato. L'esperimento prevede l'osservazione della dinamica del tasso a capitalizzazione continua per ogni realizzazione del tasso a breve e la generazione di curve dei rendimenti per ogni scenario. Questa simulazione può aiutare a determinare se il modello di tasso a breve è realistico o meno e la curva dei rendimenti è guidata dalla funzione theta t. L'esperimento utilizza dati di mercato reali per una maggiore precisione.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione della conferenza, il relatore spiega come le simulazioni di tassi a breve possono essere utilizzate per l'analisi del rischio. Generando curve dei rendimenti per diversi scenari, è possibile valutare il valore attuale di un portafoglio di prodotti su tassi di interesse. L'oratore lo dimostra attraverso un esperimento in cui simulano percorsi multipli per tassi brevi e calcolano le obbligazioni zero coupon per ciascun percorso. Mostrano anche come le curve dei rendimenti generate utilizzando il modello completamente bianco siano in realtà solo uno spostamento parallelo l'una dell'altra, il che è considerato irrealistico nella pratica. La lezione si conclude con una dimostrazione del codice Python utilizzato per generare le curve dei rendimenti.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il docente discute l'importanza di avere un continuum nelle obbligazioni zero coupon per il calcolo della funzione theta. Anche l'interpolazione è fondamentale e il docente preferisce interpolare sulla velocità stessa anziché sull'esponente per garantire la stabilità numerica. La lezione approfondisce poi le diverse scelte per le interpolazioni e il numero di punti legami da calcolare. Inoltre, ha parlato della simulazione e della generazione di obbligazioni e rendimenti zero coupon, sottolineando l'importanza di assicurarsi che l'implementazione sia coerente e a prova di proiettile. Infine, mostra la curva dei rendimenti generata dai dati di mercato e i percorsi Monte Carlo simulati del modello mondiale, dimostrando un tasso sano ma estremamente basso.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della lezione di Ingegneria finanziaria, vengono discussi i limiti del modello completamente bianco. Sebbene il modello sia elegante e consenta la calibrazione dell'intera curva dei rendimenti, non consente la calibrazione dell'intera curva forward, il che rappresenta un limite per la maggior parte dei modelli di tassi a breve. Per affrontare questo problema, la conferenza introduce il modello del mercato del lavoro, che è adatto per aiutare ad affrontare la curva forward e la curva dei rendimenti. Inoltre, l'intero modello bianco presenta problemi con componenti zero perfettamente correlati, il che ne limita ulteriormente l'efficacia.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione vengono discussi i limiti del modello di Hull-White a fattore singolo, come l'elevata correlazione tra obbligazioni con scadenze vicine tra loro ma inferiore per obbligazioni con scadenze distanti, rendendo impossibile per calibrare l'intera struttura a termine dei diversi tassi di interesse. Il modello è anche svantaggioso ai fini della gestione del rischio in quanto presuppone la correlazione uno tra obbligazioni zero coupon e dinamica dei tassi a breve. Per risolvere questi problemi, viene presentata un'estensione del modello Hull-White a due fattori. Tuttavia, questa estensione non verrebbe utilizzata per la determinazione dei prezzi, ma piuttosto per la gestione del rischio e gli scenari. Vengono descritte le dinamiche del modello a due fattori, dove il primo fattore rappresenta il livello della curva dei rendimenti e il secondo fattore rappresenta l'asimmetria del rendimento.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il docente spiega un modello a due fattori chiamato modello gaussiano Hull-White a due fattori, che è una variazione del modello Hull-White a fattore singolo. Il docente confronta i due modelli e sottolinea l'importanza di tenere presente che il significato dei parametri può differire quando si passa da un modello all'altro. La conferenza discute anche i vantaggi del modello Hull-White a due fattori gaussiano in termini di processi di simulazione e la sua efficiente implementazione nelle simulazioni Monte Carlo. Il docente esplora quindi la funzione integrale del modello e come eseguire il prezzo delle obbligazioni zero coupon.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il relatore spiega come simulare le curve di rendimento per determinate realizzazioni utilizzando il modello a due fattori completamente bianco. L'obbligazione zero coupon per il modello whole white a due fattori ha una forma analitica chiusa e prevede un sistema di processo gaussiano. La simulazione del modello gaussiano a due fattori comporta la simulazione di due processi di ritorno alla media che corrispondono alla struttura a termine, utilizzando alcune espressioni per volatilità e coefficienti di correlazione. Il processo X è associato al livello della curva dei rendimenti, mentre il processo Y corrisponde alla pendenza dell'asimmetria della curva. La correlazione tra i due moti browniani è negativa, indicando un irrigidimento della curva.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il relatore discute la correlazione tra i legami quando si applica la stessa tecnica utilizzata nella sezione precedente all'intero modello bianco a due fattori. La correlazione tra i rendimenti corrispondenti non è più uguale a uno perché abbiamo a che fare con funzioni diverse, a conferma che aggiungendo un ulteriore fattore al modello, otteniamo una forma di volatilità implicita più realistica, soprattutto quando si valutano i cap. Inoltre, aggiungendo più fattori al modello, ne aumentiamo la complessità e la difficoltà di calibrazione. Tuttavia, questo modello genera sempre la stessa curva dei rendimenti, rendendolo un framework AJM.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente discute i limiti dell'aggiunta di più fattori al modello gaussiano, affermando che anche se ci fossero centinaia di parametri, la flessibilità in termini di volatilità implicite è limitata a causa della mancanza di volatilità stocastica. Il docente passa quindi alla simulazione dei percorsi per il modello a due fattori, dove osserva i rendimenti della curva dei rendimenti impliciti da un modello a due fattori completamente bianco con coefficienti di correlazione aggiuntivi. I rendimenti non sono solo uno spostamento parallelo, ma mostrano l'impatto delle correlazioni e delle dinamiche, utile ai fini della gestione del rischio. Il docente discute quindi il codice Python utilizzato per questa simulazione.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione viene sottolineata l'importanza di scegliere l'interpolazione appropriata quando si modella una curva dei rendimenti. Il docente informa gli studenti che la scelta della tecnica di interpolazione appropriata è un'arte e può avere un impatto significativo sui risultati. Nelle due lezioni successive, ci sarà una discussione sulla ricostruzione del rendimento, l'impatto delle diverse interpolazioni, le insidie da evitare e come garantire che l'interpolazione sia vicina/realistica in un certo senso. La lezione prosegue poi con la definizione di una griglia per le obbligazioni zero coupon. Il docente mostra un confronto tra le obbligazioni zero coupon generate dal mercato e quelle calcolate dal modello Hull-White. Viene eseguita una simulazione Monte Carlo dei percorsi fino a dieci anni e viene generata una curva dei rendimenti per altri quarant'anni nel modello a due fattori. Viene effettuato un confronto tra i modelli a fattore singolo ea due fattori in termini di calcolo del rendimento.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il docente discute i risultati della simulazione per un modello a due fattori della dinamica della curva dei rendimenti e li confronta con un modello a un fattore e i risultati analitici del mercato. I risultati mostrano che il modello a due fattori produce una rappresentazione più realistica e più ricca della dinamica della curva dei rendimenti. Il docente osserva inoltre che la volatilità complessiva nel modello a due fattori è maggiore a causa del fattore di volatilità extra, ma non cambia il quadro generale. L'aspetto più importante è che l'aggiunta di un fattore extra nel modello gaussiano a due fattori può portare a una dinamica molto più realistica dei rendimenti generati dalla simulazione Monte Carlo. Infine, il docente riassume gli insegnamenti chiave della lezione, inclusa la ricerca di soluzioni per il modello Hull-White e il collegamento delle obbligazioni zero coupon alla funzione caratteristica, e introduce brevemente la costruzione della curva dei rendimenti e i suoi limiti.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione della lezione vengono discussi i limiti del modello Cool White, in particolare le correlazioni tra obbligazioni con scadenze diverse e il fatto che il modello ha pochi parametri che consentono solo la calibrazione a pochi strumenti sul mercato . La soluzione discussa è l'estensione ad un modello a due fattori, che permette di svincolarsi dall'ipotesi di perfetta correlazione tra obbligazioni zero coupon. Vengono forniti due esercizi per i compiti, uno che prevede la ricerca di aspettative sotto la misura t in avanti e l'altro che utilizza le trasformate di Laplace per mostrare determinate aspettative.

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Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 5/14, parte 1/2, (Prodotti di tasso di interesse)

Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 5/14, parte 1/2, (Prodotti di tasso di interesse)

La lezione inizia con l'introduzione di vari prodotti a tasso d'interesse, come swap su tassi d'interesse, contratti a termine su tassi e titoli a tasso variabile. Questi prodotti si basano su volatilità come floorlet e distici per il prezzo. Il docente sottolinea che il tasso a termine LIBOR funge da componente fondamentale in tutti i contratti sui tassi di interesse.

Vengono discussi prodotti lineari e non lineari e la lezione approfondisce il concetto di tasso LIBOR forward composto semplice, ampiamente utilizzato in diversi prodotti su tassi di interesse, inclusi swap e derivati. Questo tasso a termine aiuta a stabilire le aspettative relative al periodo del tasso di interesse. È importante notare che fino alla data di ripristino, il tasso di interesse rimane una variabile casuale stocastica, ma dopo la data di ripristino diventa fisso senza alcuna incertezza.

Il docente esplora lo scambio di tassi a termine tra due controparti, che porta a contratti di cambio a termine. I flussi di cassa in questi accordi sono divisi per uno più tau volte il tasso LIBOR ai fini dell'attualizzazione. Il tasso LIBOR a termine è definito su un periodo specifico e la sua definizione può essere correlata alle obbligazioni zero coupon. La determinazione del prezzo dell'accordo comporta l'utilizzo di una misura neutrale al rischio e l'attualizzazione, con un tasso fisso e un periodo di maturazione che svolgono ruoli chiave.

Viene spiegato il concetto di attività negoziabili nell'ambito della misura neutrale al rischio, compreso il conto di risparmio in denaro, come martingale. Il docente dimostra che il valore di un forward può essere rappresentato come la differenza tra due obbligazioni e sottolinea che i forward sono scambiati a valore zero, il che implica che il tasso fisso dovrebbe essere pari a tale importo. La conferenza copre anche le note a tasso variabile, che sono prodotti a tasso di interesse molto scambiati. Inizialmente, i pagamenti per tali contratti sono fissati a zero e successivamente rettificati per tenere conto della comodità di non dover pagare nulla all'inizio del contratto.

La conferenza si concentra sui titoli a tasso variabile (FRN), che sono definiti sulla base dei tassi LIBOR e comportano cedole come frazioni del nozionale moltiplicate per i periodi di maturazione. Poiché il tasso LIBOR è stocastico, l'FRN riceve un tasso variabile. Il valore del contratto è determinato sommando tutti i pagamenti, che sono individualmente scontati al valore attuale utilizzando le aspettative nella misura neutrale al rischio. La misura per gli FRN cambia nella misura a termine TK e la determinazione delle aspettative richiede di trovare la distribuzione congiunta tra il tasso vuoto e il tasso LIBOR, che è fondamentale per i calcoli dei pagamenti.

La lezione inizia con l'introduzione di vari prodotti a tasso d'interesse, come swap su tassi d'interesse, contratti a termine su tassi e titoli a tasso variabile. Questi prodotti si basano su volatilità come floorlet e distici per il prezzo. Il docente sottolinea che il tasso a termine LIBOR funge da componente fondamentale in tutti i contratti sui tassi di interesse.

Vengono discussi prodotti lineari e non lineari e la lezione approfondisce il concetto di tasso LIBOR forward composto semplice, ampiamente utilizzato in diversi prodotti su tassi di interesse, inclusi swap e derivati. Questo tasso a termine aiuta a stabilire le aspettative relative al periodo del tasso di interesse. È importante notare che fino alla data di ripristino, il tasso di interesse rimane una variabile casuale stocastica, ma dopo la data di ripristino diventa fisso senza alcuna incertezza.

Il docente esplora lo scambio di tassi a termine tra due controparti, che porta a contratti di cambio a termine. I flussi di cassa in questi accordi sono divisi per uno più tau volte il tasso LIBOR ai fini dell'attualizzazione. Il tasso LIBOR a termine è definito su un periodo specifico e la sua definizione può essere correlata alle obbligazioni zero coupon. La determinazione del prezzo dell'accordo comporta l'utilizzo di una misura neutrale al rischio e l'attualizzazione, con un tasso fisso e un periodo di maturazione che svolgono ruoli chiave.

Viene spiegato il concetto di attività negoziabili nell'ambito della misura neutrale al rischio, compreso il conto di risparmio in denaro, come martingale. Il docente dimostra che il valore di un forward può essere rappresentato come la differenza tra due obbligazioni e sottolinea che i forward sono scambiati a valore zero, il che implica che il tasso fisso dovrebbe essere pari a tale importo. La conferenza copre anche le note a tasso variabile, che sono prodotti a tasso di interesse molto scambiati. Inizialmente, i pagamenti per tali contratti sono fissati a zero e successivamente rettificati per tenere conto della comodità di non dover pagare nulla all'inizio del contratto.

La conferenza si concentra sui titoli a tasso variabile (FRN), che sono definiti sulla base dei tassi LIBOR e comportano cedole come frazioni del nozionale moltiplicate per i periodi di maturazione. Poiché il tasso LIBOR è stocastico, l'FRN riceve un tasso variabile. Il valore del contratto è determinato sommando tutti i pagamenti, che sono individualmente scontati al valore attuale utilizzando le aspettative nella misura neutrale al rischio. La misura per gli FRN cambia nella misura a termine TK e la determinazione delle aspettative richiede di trovare la distribuzione congiunta tra il tasso vuoto e il tasso LIBOR, che è fondamentale per i calcoli dei pagamenti.

La conferenza affronta il disallineamento tra date di pagamento e date di misurazione e sottolinea la necessità di una corretta valutazione. La misura corrisponde al numeratore in un programma di pagamento e eventuali correzioni o aggiustamenti sono necessari se non si allinea correttamente. Il Libor con un pagamento al tempo tk sotto la misura tk forward è una martingala, che consente la determinazione del prezzo delle note a tasso variabile. L'equazione del prezzo implica l'assunzione dell'aspettativa del tasso Libor per un determinato periodo e il contratto viene definito swap, in cui una parte riceve il pagamento mentre l'altra paga in base a tassi fissi.

I contratti di swap sono discussi in dettaglio, comportando lo scambio di flussi di cassa in un determinato periodo. Gli swap sono comunemente usati per coprire i rischi nel mercato dei mutui. Esistono due opzioni: swap payer, in cui un individuo paga un tasso fisso e riceve un tasso variabile, e swap receiver, in cui un individuo riceve un tasso fisso e paga un tasso variabile. L'importo nozionale può essere deterministico, stocastico oa tempo e la frequenza di pagamento può variare. La parte fissa rimane costante, mentre la parte variabile comporta incertezza legata alla dinamica del tasso LIBOR.

La conferenza sottolinea l'importanza della copertura nell'ingegneria finanziaria, in particolare nei contratti con pagamenti stocastici. La copertura è fondamentale per compensare potenziali perdite dovute alle fluttuazioni delle attività sottostanti quando un istituto finanziario ha l'obbligo di ricevere pagamenti a tasso fisso o variabile.

Il docente prosegue spiegando come si può calcolare il valore di un contratto swap utilizzando la sommatoria dei periodi di maturazione sui titoli zero coupon e stabilendo una relazione lineare tra il tasso Libor e lo strike. Questo calcolo fornisce informazioni sul valore di uno swap ed evidenzia il ruolo delle obbligazioni zero coupon nella copertura.

La conferenza sottolinea inoltre che il valore di uno swap dipende dal primo e dall'ultimo pagamento dell'obbligazione e può essere efficacemente coperto con la prima e l'ultima obbligazione zero coupon. Il fattore di rendita è una componente cruciale quando si ha a che fare con gli swap in quanto agisce come un bene negoziabile. Gli swap su tassi di interesse sono considerati strumenti perfetti che consentono a due parti di coprire le proprie esposizioni specifiche e le banche possono utilizzarli per coprire prestiti da privati, con conseguenti nozioni di valore significativamente elevate.

La conferenza sposta la sua attenzione in particolare sugli swap sui tassi di interesse, osservando che sono spesso considerati a livello di portafoglio e il valore all'inizio è generalmente impostato su zero, consentendo un accordo gratuito. Il tasso swap, ovvero lo strike che rende il valore swap uguale a zero, può essere espresso come somma ponderata dei tassi Libor. Gli swap su tassi di interesse di base possono essere prezzati senza formulare ipotesi di modelli sottostanti utilizzando gli strumenti sui tassi di interesse disponibili sul mercato e mappandoli su una curva dei rendimenti. La costruzione di una curva dei rendimenti basata su strumenti di mercato sarà ulteriormente discussa in una prossima lezione.

Il docente approfondisce i diversi tipi di nozionali in uno swap, che possono essere dipendenti dal tempo, determinati da strumenti di mercato o casuali. Inoltre, vengono spiegate le condizioni necessarie per una martingala, che includono l'utilizzo di asset scambiati o combinazioni lineari di essi. Si evidenzia che se si utilizza una formula non lineare, come il quadrato di un bene, il rapporto tra la misura e il bene non può essere considerato una martingala. L'applicazione del lemma di Ito al Libor al quadrato dimostra che L al quadrato non è una martingala sotto la misura in avanti di D a causa della presenza di un effetto di deriva.

La lezione prosegue spiegando come valutare uno swap utilizzando una curva dei rendimenti e il modello di Hulument. Viene fornita una specifica della curva dei rendimenti e gli swap per diversi strike vengono generati utilizzando questo modello. Il valore di uno swap cambia linearmente con lo strike e il tasso di swap viene determinato utilizzando l'algoritmo di Newton-Raphson. La conferenza si conclude osservando che se il par swap è uguale a 0,03808, allora il valore dello swap è vicino allo zero, indicando che è stato trovato lo strike per il quale il valore dello swap è zero.

Questa sezione della conferenza fornisce una panoramica completa dei prodotti su tassi di interesse, con particolare attenzione agli swap su tassi di interesse. Copre vari argomenti, tra cui il prezzo degli swap, le strategie di copertura, il ruolo delle obbligazioni zero coupon e la valutazione degli swap utilizzando le curve dei rendimenti. Comprendendo questi concetti, gli studenti ottengono preziose informazioni sull'ingegneria finanziaria e sul calcolo dei valori dei contratti di swap.

• 00:00:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, il docente introduce prodotti su tassi di interesse come swap su tassi di interesse, accordi su tassi a termine e nodi a tasso variabile. La conferenza discute anche il prezzo di questi prodotti che si basano su volatilità come floorlet e distici. La lezione inizia con la definizione del tasso forward LIBOR che verrà utilizzato in tutti i contratti nel mondo dei tassi di interesse. La conferenza parla anche di prodotti lineari e non lineari. Discutere ulteriormente il semplice tasso a termine composto e come fornisce la motivazione per la determinazione del prezzo di un accordo sul rapporto a termine. Il docente conclude la sezione con l'introduzione di esercizi che forniranno maggiori approfondimenti sui materiali trattati nella lezione.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il relatore discute come calcolare il valore corrente di una transazione di flusso di cassa e spiega che il valore si ottiene attualizzando tutti i flussi di cassa alla data odierna. Il fair strike rate o fair rate per i prestiti interbancari con una data di negoziazione è definito come un tasso a termine, che è un tasso su un certo periodo di tempo, correlato a uno specifico flusso di cassa. Il relatore sottolinea l'importanza di comprendere questa costruzione, in quanto è fondamentale nell'ingegneria finanziaria. L'oratore spiega che il fair strike rate o fair rate k è scelto in modo tale che il valore odierno del contratto sia pari a zero.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione impariamo a conoscere lo strumento fondamentale, il tasso LIBOR forward composto semplice. È un elemento costitutivo che viene ampiamente utilizzato in tutti i tipi di diversi prodotti su tassi di interesse una volta che si parla di swap e derivati su tassi di interesse. Questo tasso forward aiuta a definire le aspettative nel periodo del tasso di interesse. È fondamentale notare che fino al momento del ripristino (la data di pagamento), il tasso di interesse è ancora una variabile casuale stocastica, ma dopo la data di ripristino è fisso e non vi è incertezza.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute il concetto di scambio di tassi a termine tra due controparti. Possono accettare di scambiare un tasso variabile con un tasso di esercizio fisso in futuro, portando a contratti di cambio a termine. Il contratto specifica i flussi di cassa divisi per uno più tau k libor tk meno un tk meno un dk, che rappresenta un'attualizzazione del flusso di cassa. Il tasso Libor a termine è definito nel periodo tk meno uno fino a tk e questa definizione può essere correlata alle obbligazioni zero coupon. Per valutare l'accordo, usano una misura neutrale al rischio e l'attualizzazione, portando a un'obbligazione uno meno zero coupon tk meno un tk divisa per il conto di risparmio in denaro dk meno uno, nonché un tasso fisso k e il periodo di maturazione.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il relatore spiega in che modo le attività negoziabili nell'ambito della misura neutrale al rischio, incluso il conto di risparmio in denaro, sono martingala. Mostrano che il valore di un forward è equivalente alla differenza tra due obbligazioni e come le frodi sono scambiate a valore zero, il che implica che il tasso fisso dovrebbe essere pari a tale importo. Discutono anche del concetto di una nota a tasso variabile, che è un altro prodotto a tasso di interesse molto negoziato. Infine, l'oratore parla di come inizialmente i pagamenti per tali contratti sarebbero stati fissati a zero, ma in seguito sarebbero stati adeguati per compensare la comodità di non dover pagare nulla all'inizio del contratto.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, impariamo a conoscere l'FRN (floating rate note), che è definito in base ai tassi LIBOR ed è uno strumento in cui ogni cedola è definita come una frazione del nozionale moltiplicato per i periodi di maturazione. L'FRN riceve un tasso variabile perché il tasso LIBOR è stocastico e non fisso. Il valore del contratto è definito come la somma di tutti quei pagamenti per ogni data, e ogni singolo pagamento è scontato al valore attuale e determinato da un'aspettativa sulla misura neutrale al rischio. La misura per l'FRN cambia nella misura TK forward, e dobbiamo trovare la distribuzione congiunta tra il tasso vuoto e il tasso LIBOR per determinare le aspettative, ma corrisponde al pagamento della biblioteca, che è cruciale.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione della lezione viene discusso il tema del disallineamento tra data di pagamento e data di misurazione, con implicazioni che devono essere prese in considerazione per valutare correttamente. La misura corrisponde al numeratore in un programma di pagamento e, in caso contrario, possono essere necessarie correzioni e aggiustamenti. Il Libor con un pagamento al tempo tk sotto la misura tk forward è una martingala, il che significa che può essere applicato alla quotazione di titoli a tasso variabile. L'equazione del prezzo può essere rappresentata come l'aspettativa del tasso Libor per un periodo di tempo e il contratto è indicato come uno swap in cui una parte riceve il pagamento mentre l'altra paga in base a tassi fissi.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, apprendiamo i contratti di swap, che implicano lo scambio di flussi di cassa per un periodo di tempo e sono comunemente usati per coprire i rischi nel mercato dei mutui. I contratti di swap hanno due opzioni: swap payer, in cui l'individuo paga un tasso fisso e riceve un tasso variabile, e swap receiver, in cui l'individuo riceve un tasso fisso e paga un tasso variabile. L'importo nozionale può essere deterministico, stocastico o decadere nel tempo e anche la frequenza dei pagamenti può variare. La parte fissa è sempre la stessa e la parte variabile comporta alcune incertezze legate alla dinamica del tasso di libreria.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il docente discute l'importanza della copertura nell'ingegneria finanziaria, in particolare nei contratti con pagamenti stocastici. Spiega che se un istituto finanziario ha l'obbligo di ricevere pagamenti a tasso fisso o variabile, è fondamentale abbinare l'altra parte dei pagamenti con una copertura sul mercato per compensare eventuali perdite dovute alle fluttuazioni delle attività sottostanti. Inoltre, il docente osserva che le banche possono realizzare un profitto attraverso un onere aggiuntivo sul fair value di un contratto di swap, che compensa i costi associati alla risoluzione del mutuo e alla copertura dei rischi. Il docente spiega inoltre come si può calcolare il valore di un contratto di swap sommando i periodi di maturazione su obbligazioni zero coupon e una relazione lineare tra il tasso Libor e lo strike. Nel complesso, la sezione sottolinea l'importanza della copertura nell'ingegneria finanziaria e fornisce informazioni sul calcolo dei valori dei contratti di swap.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, la lezione spiega il valore di uno swap e come è accessibile attraverso il valore delle obbligazioni zero coupon. Il valore di uno swap dipende dal primo e dall'ultimo pagamento dell'obbligazione e può essere coperto in modo significativo con la prima e l'ultima obbligazione zero coupon. Il fattore di rendita è un'unità essenziale da ricordare quando si ha a che fare con gli swap perché agisce come un bene negoziabile. Inoltre, gli interest rate swap sono considerati strumenti perfetti che possono aiutare due parti a coprire la loro particolare esposizione e le banche possono utilizzarli per coprire prestiti da privati, che, una volta raccolti, creano nozioni di valore significativamente elevate.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, la conferenza si concentra sui prodotti di tasso di interesse, in particolare gli swap. Spiega che gli swap sono spesso considerati a un livello di portafoglio più ampio e il valore all'inizio è generalmente scelto pari a zero, consentendo un accordo gratuito. Un tasso swap è definito come lo strike che rende il valore swap uguale a zero, e questo può essere espresso come somma ponderata dei tassi Libor. Il prezzo degli swap su tassi di interesse di base può essere effettuato senza presupposti del modello sottostante, utilizzando strumenti di tasso di interesse disponibili sul mercato e mappandoli a una curva dei rendimenti. La lezione si conclude osservando che la costruzione di una curva dei rendimenti dati gli strumenti di mercato sarà discussa ulteriormente in una lezione successiva.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il docente discute i diversi tipi di nozionale in uno swap, che possono essere dipendenti dal tempo, determinati da strumenti di mercato o casuali. Parla anche delle condizioni necessarie per la martingala, che includono l'uso di asset scambiati o combinazioni lineari di essi. Se si utilizza il quadrato di un bene o un'altra formula non lineare, la relazione tra la misura e il bene non può essere considerata una martingala. Inoltre, l'applicazione del lemma di Ito al Libor al quadrato dimostra che L al quadrato non è una martingala sotto la misura in avanti D a causa dell'esistenza di un effetto di deriva.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, discutiamo come valutare uno swap utilizzando una curva dei rendimenti e il modello di Hulument. Il codice include una specifica di una curva dei rendimenti e genera swap per diversi strike. Il valore di uno swap cambia linearmente in strike e il tasso di swap viene trovato utilizzando l'algoritmo di Newton-Raphson. Il risultato mostra che se il par swap è pari a 0,038 08, allora il valore dello swap è vicino allo zero, il che significa che abbiamo trovato lo strike per il quale il valore dello swap è zero.

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Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 5/14, parte 2/2, (Prodotti di tasso di interesse)

Corso di ingegneria finanziaria: Lezione 5/14, parte 2/2, (Prodotti di tasso di interesse)

In questa conferenza, l'attenzione è rivolta al prezzo dei derivati che comportano volatilità. Il relatore inizia trattando il concetto di variazione delle misure per i tassi di interesse, in particolare nel contesto del modello Hull-White. Derivano la derivata Rhodom/Nichodemus e applicano il teorema di Girsanov per calcolare i cambiamenti di misura. Questa comprensione delle variazioni di misura è fondamentale per la determinazione del prezzo delle opzioni sui prodotti a tasso di interesse.

Successivamente, la conferenza esplora le dinamiche delle obbligazioni zero coupon sotto diverse misure utilizzando il framework AJM. Il relatore discute di come queste dinamiche siano correlate al prezzo delle opzioni su queste obbligazioni. Evidenziano la sostituzione del tasso forward istantaneo per l'integrale e dz nell'espressione per la dinamica di un'obbligazione zero coupon, fornendo un'espressione finale derivata. La conferenza approfondisce anche le dinamiche delle obbligazioni zero coupon secondo il modello Hull-White e la misura T-forward. Viene sottolineata l'importanza di modificare la misura, in particolare nell'attualizzazione stocastica, per evitare calcoli complessi.

Il relatore introduce il derivato di Kirizanov, Loefler e Radon-Nikodym come strumenti per passare da una misura all'altra. Spiegano come trovare la dinamica dell'obbligazione e del conto di risparmio applicando il lemma di Ito alla derivata Radon-Nikodym. Ciò porta al teorema di Girsanov, che stabilisce la relazione tra la misura T-forward e la misura neutrale al rischio ed evidenzia la deriva aggiuntiva quando si passa da una misura all'altra. Sostituendo il moto browniano sotto la misura neutrale al rischio con la misura T-forward, si ricava la dinamica del modello Hull-White.

La lezione introduce quindi un modello di misura a breve tasso rappresentato da lambda e una funzione theta dipendente dalla maturità. Definiscono mu theta con due argomenti, t minuscola e mt maiuscola, e applicano il teorema di Girsanov per cambiare la misura dalla misura neutrale al rischio alla misura T-forward. L'attenzione si sposta sulle opzioni di prezzo sulle obbligazioni zero coupon, richiedendo un cambiamento di misura dalla misura neutrale al rischio alla misura zero-forward. Il relatore discute la dinamica dell'obbligazione zero coupon e la sua distribuzione sotto la misura T-forward, fornendo un'espressione per l'obbligazione e adattando lo strike a una funzione costante dipendente dal tempo. Discutono anche della distribuzione del processo r sotto questa misura.

Andando avanti, la lezione spiega come la distribuzione di r sotto la misura T-forward può essere risolta usando il modello Black-Scholes con parametri aggiustati. La modifica della misura consente la determinazione del prezzo analitico delle obbligazioni zero coupon utilizzando le normali funzioni di distribuzione cumulativa e le soluzioni in forma chiusa. Il relatore conduce un esperimento per prezzare un'obbligazione zero coupon e confronta l'espressione analitica con una simulazione Monte Carlo utilizzando la discretizzazione di Eulero standard. Viene fornito il codice per la simulazione e viene discusso il calcolo dei prezzi delle opzioni per diversi strike.

La conferenza pone l'accento sul pricing delle opzioni di tipo europeo su obbligazioni zero coupon, sottolineandone l'importanza in quanto strettamente legate al pricing delle opzioni su un tasso LIBOR forward. Vengono spiegati due approcci per la determinazione del prezzo di queste opzioni: uno basato sul modello full light e l'altro imponendo direttamente una distribuzione o un processo stocastico sul tasso LIBOR. Viene fornita la formula per la determinazione del prezzo delle opzioni call europee o dei distici e viene spiegato il metodo per modificare la misura dalla misura neutrale al rischio alla misura T-forward. L'attenzione rimane sulle opzioni call, con la menzione che un'opzione put o un floor su di essa verrà data come esercizio a casa.

Inoltre, vengono discusse le dinamiche e il prezzo dei tassi LIBOR. La lezione riconosce che il tasso LIBOR è una martingala sotto la misura data, consentendo l'ipotesi di dinamiche senza deriva. Tuttavia, l'utilizzo di una distribuzione log-normale per rappresentare i tassi LIBOR pone delle sfide, come la possibilità di tassi negativi, specialmente nella determinazione del prezzo di derivati esotici. La calibrazione ai dati di mercato, in particolare utilizzando i tassi cap e floor, è ritenuta necessaria, e il tetto del tasso di interesse è descritto come un mezzo per fornire assicurazione a un detentore di un prestito a tasso variabile.

La conferenza procede discutendo il prezzo dei caplet, che possono essere scomposti in contratti di base noti come distici. Il relatore osserva che la determinazione del prezzo dei caplet utilizzando una distribuzione log-normale pone problemi a causa del potenziale di tassi di interesse negativi. Per risolvere questo problema, viene introdotto un parametro shift da imporre alla distribuzione. Viene quindi spiegato il prezzo di un caplet utilizzando un modello sottostante, che è strettamente correlato al prezzo di un'opzione su un'obbligazione zero coupon. Sostituendo la definizione di un tasso LIBOR in termini di zero componenti, l'equazione del prezzo viene semplificata, risultando nel prezzo di un'opzione call su un'obbligazione zero coupon con uno strike leggermente diverso. La conferenza si conclude con una breve presentazione del codice dei prezzi, che prevede una curva dei rendimenti semplificata.

Inoltre, l'oratore approfondisce il prezzo delle opzioni put su obbligazioni zero coupon, note anche come "distici", e sottolinea l'importanza di adeguare non solo lo strike ma anche il nozionale durante la determinazione del prezzo. Riconoscono la stretta corrispondenza tra la simulazione Monte Carlo e il prezzo teorico per le opzioni su obbligazioni zero coupon e le curve dei rendimenti. Tuttavia, evidenziano l'importanza dei parametri del modello di mercato come l'inversione media e la volatilità nella definizione delle superfici di volatilità implicita. Notano che mentre questi parametri possono avere un impatto limitato sul modello Hull-White, non possono generare un sorriso di volatilità implicito, solo inclinazione. Infine, il relatore riassume i due blocchi principali trattati nella conferenza, che includono prodotti a tasso di interesse semplice e il prezzo di opzioni semplici nel contesto del modello Hull-White.

Verso la fine della lezione, il docente informa gli studenti che il corso si concentrerà esclusivamente su payoff di tipo europeo, mentre derivati più esotici saranno affrontati in un corso successivo. Vengono assegnati i compiti, inclusa la determinazione del prezzo di un'opzione floor e la derivazione della formula di Black per una nuova variante della distribuzione log-normale spostata. Agli studenti viene chiesto di confrontare i risultati ottenuti dalla formula di Black con i loro risultati numerici e di introdurre uno spostamento all'equazione differenziale stocastica log-normale per riflettere gli aggiustamenti necessari.

La conferenza fornisce un'esplorazione approfondita del prezzo dei derivati che coinvolgono la volatilità, concentrandosi in particolare sulla dinamica e sul prezzo delle obbligazioni zero coupon, delle opzioni su queste obbligazioni e dei tassi LIBOR. Il concetto di cambio di misura, l'uso di derivati Radon-Nikodym e l'applicazione del teorema di Girsanov sono coperti per facilitare questi calcoli di prezzo. La conferenza sottolinea l'importanza di adeguare le misure, i prezzi di esercizio e i valori nozionali, evidenziando al contempo l'impatto dei parametri del modello di mercato sulle superfici di volatilità implicita.

• 00:00:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, l'attenzione è rivolta al prezzo dei derivati che comportano volatilità. La lezione copre il concetto di variazione di misura per i tassi di interesse, in particolare per il modello di Hull-White, dove si deriva la derivata Rhodom/Nichodemus e si applica il teorema di Girsanov per calcolare le variazioni di misura. La conferenza passa quindi a discutere le obbligazioni zero coupon e le loro dinamiche sotto diverse misure, utilizzando il framework AJM, e come questo si collega al prezzo delle opzioni su queste obbligazioni. La lezione si conclude discutendo i prodotti lineari e non lineari e le loro osservabili.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione viene discussa la dinamica di un'obbligazione zero coupon, che si esprime come rd. Il tasso forward istantaneo viene sostituito con l'integrale e il dz e viene derivata l'espressione finale. Viene quindi calcolata la dinamica dell'obbligazione zero coupon secondo il modello Hull-White. Vengono inoltre discusse le dinamiche dell'obbligazione zero coupon sotto la misura T-forward, con un'enfasi sull'importanza di cambiare la misura, specialmente nell'attualizzazione stocastica. Cambiando la misura, il doppio integrale sulla densità congiunta dell'integrale e st può essere evitato nel trovare l'espressione per l'aspettativa.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore discute l'uso del derivato Kirizanov, Loefler e Radon-Nikodym per passare da una misura all'altra. La derivata casuale di Nikodym viene utilizzata per trovare la dinamica dell'obbligazione e del conto di risparmio in denaro. Applicando il lemma di Ito, si trova la dinamica della derivata casuale di Nikodym, portando al teorema di Girsanov, che ci dice la relazione tra la misura T forward e la misura neutrale al rischio e la deriva extra che abbiamo se passiamo tra le misure . Infine, l'oratore sostituisce il moto browniano sotto la misura neutrale al rischio con la misura T forward, portando alla dinamica del modello Hull-White.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della lezione sui prodotti di tasso di interesse in un corso di ingegneria finanziaria, il relatore introduce un modello di tasso di misura a breve dato da lambda e una funzione theta che dipende dalla scadenza. Definiscono mu theta con due argomenti, t minuscola e mt maiuscola, e applicano un teorema di Girizan per cambiare la misura da neutrale al rischio alla misura t forward. L'attenzione si sposta quindi sulla determinazione del prezzo di un'opzione su un'obbligazione zero coupon, che comporta il passaggio dalla misura neutrale al rischio alla misura zero forward. Il relatore discute la dinamica dell'obbligazione zero coupon e la sua distribuzione sotto la misura t forward, presentando un'espressione per l'obbligazione zero coupon e adattando k a una funzione costante dipendente dal tempo. Viene anche discussa la distribuzione per il processo r sotto questa misura.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione, il relatore discute la distribuzione di "r" sotto la misura t in avanti e come può essere risolta usando il modello di Black-Scholes con parametri aggiustati. Spiegano che modificando la misura, la determinazione del prezzo di un'obbligazione zero coupon può essere eseguita analiticamente utilizzando le normali funzioni di distribuzione cumulativa con soluzioni in forma chiusa. Il relatore esegue anche un esperimento per prezzare un'obbligazione zero coupon e controlla la loro espressione analitica rispetto alla simulazione Monte Carlo utilizzando la discretizzazione di Eulero standard. Forniscono il codice per la simulazione e discutono il calcolo del prezzo dell'opzione per diversi strike.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, il relatore discute il prezzo delle opzioni di tipo europeo su obbligazioni zero coupon e l'importanza di comprenderne il prezzo poiché sono strettamente legati al prezzo delle opzioni su un tasso Libor a termine. Il relatore illustra i due approcci per la determinazione del prezzo di queste opzioni, uno basato sul modello full light e l'altro imponendo direttamente una distribuzione o un processo stocastico al tasso passivo. Viene fornita la formula per la determinazione del prezzo delle opzioni call europee o dei couplet e viene spiegato il metodo per modificare la misura dalla misura neutrale al rischio alla misura t forward. L'oratore si concentra sulle opzioni call e menziona che un'opzione put o floor su di essa verrà data come esercizio a casa.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione della conferenza, l'attenzione è rivolta alle dinamiche e alla determinazione del prezzo dei tassi LIBOR. Poiché il tasso LIBOR è una martingala sotto la misura data, si può ipotizzare una dinamica senza deriva per il processo. La distribuzione logaritmica viene utilizzata per rappresentare i tassi LIBOR, che presenta alcuni problemi come la possibilità di tassi negativi, specialmente nella determinazione del prezzo di derivati esotici che dipendono dai tassi LIBOR. È necessaria anche la calibrazione dei dati di mercato, che può essere eseguita utilizzando i tassi cap e floor come combinazione lineare di singoli distici. Il tetto del tasso di interesse è progettato per fornire un'assicurazione per un detentore di un prestito a tasso variabile.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, l'oratore discute il prezzo dei caplet, che possono essere scomposti in contratti di base chiamati distici. L'oratore spiega che invece di utilizzare una distribuzione log-normale per valutare i caplet, che è problematico per i tassi di interesse negativi, è necessario imporre un parametro di spostamento alla distribuzione. Il relatore prosegue poi discutendo su come valutare un caplet utilizzando un modello sottostante, che è correlato al prezzo di un'opzione su un'obbligazione zero coupon. L'equazione del prezzo è semplificata sostituendo la definizione di un tasso libor in termini di zero componenti, risultando nel prezzo di un'opzione call su un'obbligazione zero coupon con uno strike leggermente diverso. Il relatore conclude con una breve presentazione del codice dei prezzi, che prevede una curva dei rendimenti semplificata.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute il prezzo di un'opzione put su un'obbligazione zero coupon, noto anche come "distico", e sottolinea l'importanza di aggiustare non solo lo strike ma anche il nozionale quando prezzi. Il relatore osserva che sebbene esista una corrispondenza perfetta tra la simulazione Monte Carlo e il prezzo teorico per le opzioni su obbligazioni zero coupon e la curva dei rendimenti, è importante tenere presente l'impatto dei parametri del modello di mercato come l'inversione media e la volatilità sotto forma di implicita superfici di volatilità. Tuttavia, il relatore osserva che quando si tratta dell'intero modello bianco, l'impatto di questi parametri può essere limitato e non può generare un sorriso implicito di volatilità, ma solo inclinazione. Infine, il relatore riassume i due blocchi trattati nella lezione, che includono i prodotti a tasso di interesse semplice e il pricing di opzioni semplici nel contesto del modello whole white.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, l'istruttore spiega che il corso riguarderà solo i payoff di tipo europeo, mentre i derivati più esotici saranno discussi in un corso di follow-up. Viene assegnato il compito, che include la determinazione del prezzo di un'opzione floor e la derivazione della formula di Black per una nuova variante della distribuzione normale logaritmica spostata. Agli studenti viene richiesto di confrontare i risultati ottenuti dalla formula di Black con i loro risultati numerici e di introdurre uno spostamento all'equazione differenziale stocastica logaritmica normale.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 1/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 1/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Continuando con l'argomento delle curve dei rendimenti, la conferenza sottolinea l'importanza di costruire una curva dei rendimenti accurata, che funge da componente vitale nella valutazione dei derivati sui tassi di interesse e nelle analisi finanziarie. L'istruttore spiega che le curve dei rendimenti sono essenziali per scontare i flussi di cassa futuri, determinare i valori attuali dei pagamenti e valutare le società, tra le altre applicazioni. La costruzione di una curva dei rendimenti si basa tipicamente su strumenti liquidi, che introducono meno incertezza nel processo di valutazione. Da un punto di vista matematico, le curve dei rendimenti mappano le quotazioni di mercato di questi strumenti liquidi.

Andando avanti, l'istruttore fornisce ulteriori approfondimenti sulla natura delle curve dei rendimenti. Spiegano che le curve dei rendimenti collegano vari strumenti di mercato nel mondo dei tassi di interesse e rappresentano le aspettative dei tassi futuri. Mentre la curva dei rendimenti può apparire stocastica se osservata di giorno in giorno, il suo prezzo è deterministico dal punto di vista odierno basato sulle aspettative. La costruzione di una curva dei rendimenti comporta la selezione di un insieme discreto di strumenti liquidi e l'interpolazione per collegare i punti della spina dorsale. L'istruttore sottolinea l'importanza di scegliere strumenti di qualità simile e osserva che il numero di strumenti può cambiare nel tempo. Sottolineano che la curva dei rendimenti non serve solo come strumento matematico, ma offre anche preziose informazioni economiche, fungendo da barometro delle attuali condizioni di mercato.

La conferenza approfondisce la costruzione e l'interpretazione delle curve dei rendimenti. L'istruttore discute in che modo le curve dei rendimenti riflettono l'allocazione del denaro sul mercato, se è investito in azioni o obbligazioni e se le obbligazioni sono preferite, se sono a lungo o breve termine. Le curve dei rendimenti forniscono informazioni sulle aspettative degli investitori sui tassi di interesse futuri e sul loro atteggiamento nei confronti del rischio. Tuttavia, l'istruttore avverte che le curve dei rendimenti hanno dei limiti nella previsione accurata del futuro a causa di fattori quali interventi delle banche centrali e investimenti esterni. Pertanto, costruire meticolosamente una curva dei rendimenti e considerare i cambiamenti che si verificano nel corso di molti anni è fondamentale per garantirne l'accuratezza.

La struttura per scadenza dei tassi d'interesse viene spiegata anche in relazione alle curve dei rendimenti. Il docente sottolinea che le curve dei rendimenti rappresentano la relazione temporale tra rendimenti di diverse scadenze e dipendono dall'economia locale. Dicono che la curva dei buoni del Tesoro USA riveste un'importanza significativa come indicatore economico globale a causa della posizione degli Stati Uniti come una delle più grandi economie e dell'uso del dollaro come valuta di riserva. I titoli di stato, come i buoni del Tesoro USA, sono generalmente considerati esenti da insolvenza se emessi nella valuta locale, mentre le obbligazioni emesse in valute estere comportano un rischio di insolvenza più elevato. Viene discusso anche il concetto di premio per il rischio come fattore che influenza il rendimento oi tassi di interesse.

La conferenza esplora varie forme delle curve dei rendimenti e le loro implicazioni per l'economia. Una forma normale standard indica che i rendimenti a lungo termine sono significativamente più alti dei rendimenti a breve termine, riflettendo una normale situazione economica. Al contrario, una curva dei rendimenti invertita, in cui i rendimenti a lungo termine diminuiscono mentre i rendimenti a breve termine rimangono stabili, può significare uno scenario malsano che può creare sfide per banche e pensioni. L'istruttore fornisce esempi di diverse forme della curva dei rendimenti e spiega come possono influenzare il mercato.

Viene discusso l'impatto dell'inflazione sui rendimenti, evidenziando che un aumento delle aspettative di inflazione porta a rendimenti più elevati poiché gli investitori richiedono una compensazione per il rendimento reale negativo sui loro investimenti. La conferenza copre anche i concetti di inclinazione e appiattimento della curva dei rendimenti a causa dei cambiamenti nell'economia. Lo spread tra uno swap a scadenza costante a 10 anni e uno swap a 2 anni può indicare la direzione di una curva di inclinazione, mentre l'inversione della curva dei rendimenti indica una curva di appiattimento. Vengono utilizzati esempi grafici per dimostrare come queste diverse curve e spread abbiano influenzato l'economia in passato.

La conferenza introduce il concetto di controllo del rendimento e la sua influenza sui tassi di interesse. Il controllo dei rendimenti si riferisce alla capacità della banca centrale di influenzare la curva dei rendimenti regolando i tassi di interesse per raggiungere gli obiettivi relativi all'inflazione e all'occupazione. Le banche centrali possono acquistare o vendere obbligazioni per influenzare la domanda e stimolare l'economia. Tuttavia, queste azioni comportano anche rischi e limiti, soprattutto se aumentano le pressioni inflazionistiche. L'istruttore spiega che la curva dei rendimenti è definita matematicamente dai punti spline e dai corrispondenti fattori di sconto, che rappresentano le aspettative di tassi a breve.

Andando avanti, l'istruttore approfondisce la costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve nell'ingegneria finanziaria. Spiegano che la curva è costruita combinando i punti della colonna vertebrale ottenuti dal mercato con una routine di interpolazione. Diversi requisiti devono essere soddisfatti per una curva dei rendimenti ben costruita, inclusa la determinazione del prezzo della curva utilizzando gli strumenti selezionati, garantendo tassi a termine continui e impiegando un metodo di interpolazione locale per una copertura accurata. La costruzione della curva comporta anche la definizione di un problema di ottimizzazione e la determinazione del vettore delle obbligazioni zero coupon come spine point a diverse scadenze.

Il professore fornisce una spiegazione passo passo su come costruire una curva dei rendimenti e multi-curve. Il processo prevede la ricerca di un vettore del valore attuale di un contratto (PVI) che dipende da tutti i punti della spina dorsale della curva. L'obiettivo è garantire che la quotazione di mercato corrisponda al prezzo della curva per tutti gli strumenti utilizzati nella costruzione della curva. Per risolvere questo problema, viene impiegata una tecnica di ottimizzazione che utilizza la norma L. Il professore illustra come risolvere il problema in casi unidimensionali utilizzando l'algoritmo di Newton-Raphson, che minimizza la differenza assoluta per arrivare a una soluzione ottima. Successivamente, il relatore discute il processo di iterazione utilizzato per trovare il sigma ottimale per un modello di Black-Scholes. Spiega i criteri di arresto per il modello ei requisiti per raggiungere la convergenza. L'oratore sottolinea l'interdipendenza dei punti della spina dorsale sulla curva e sottolinea la necessità di iterare per più colpi per costruire un sorriso o un'inclinazione di volatilità implicita. Viene anche spiegata la costruzione delle tecniche di interpolazione e ottimizzazione richieste per questo processo, inclusa la costruzione di uno Jacobiano.

L'importanza dell'interpolazione nella costruzione di varie curve, in particolare la curva dei rendimenti e il sorriso implicito della volatilità, è sottolineata dal relatore. Notano che mentre l'interpolazione nelle curve dei rendimenti è relativamente semplice a causa delle condizioni di continuità e differenziabilità, la selezione del metodo di interpolazione appropriato è ancora più critica per il sorriso di volatilità implicita, poiché una scelta errata può introdurre un significativo arbitraggio dei prezzi. Il relatore sottolinea che l'interpolazione gioca un ruolo cruciale in tutti i casi e che è necessaria un'attenta attenzione ai dettagli quando si sceglie la routine di interpolazione appropriata.

La lezione fornisce una copertura completa della costruzione e dell'interpretazione delle curve dei rendimenti. Sottolinea la loro importanza nella valutazione dei derivati sui tassi di interesse e nella comprensione delle dinamiche di mercato. La conferenza esplora anche la formulazione matematica, l'impatto di diverse forme di curva sull'economia e il ruolo del controllo del rendimento. Inoltre, approfondisce la costruzione di curve dei rendimenti e curve multiple, discutendo tecniche di ottimizzazione, scelte di interpolazione e le loro implicazioni nell'ingegneria finanziaria.

• 00:00:00 In questa sezione del Corso di Ingegneria Finanziaria, il focus è sulla costruzione di una curva dei rendimenti, che è uno degli elementi più significativi nelle valutazioni dei derivati di tasso di interesse e nella finanza in generale, utilizzata nell'attualizzazione, nel prezzo e nella valutazione flussi di cassa futuri. La sezione copre la spiegazione economica delle curve dei rendimenti, come interpretare le loro forme e la loro relazione con i diversi stati economici. Successivamente, il corso passa alla formulazione matematica, fondamentale per costruire e calibrare curve basate sulle quotazioni di mercato degli swap. La routine di ottimizzazione è definita in base a Newton Raphson ed è implementata in Python. La sezione copre anche l'impatto delle diverse interpolazioni sulle strategie di copertura e l'estensione della costruzione di curve multiple che potrebbero includere informazioni sulla possibilità che la controparte sia inadempiente e non adempia ai propri obblighi.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione vengono discussi l'importanza e la struttura delle curve dei rendimenti. Le curve dei rendimenti vengono utilizzate per scontare i flussi di cassa futuri, con i fattori di sconto calcolati utilizzando la curva utilizzata per determinare il valore attuale dei pagamenti futuri, le valutazioni aziendali e altro. La costruzione di una curva dei rendimenti è tipicamente basata su strumenti liquidi, che introducono meno incertezza. Infine, da un punto di vista matematico, le curve dei rendimenti mappano le quotazioni di mercato degli strumenti liquidi.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, l'istruttore spiega che la curva dei rendimenti collega i diversi strumenti di mercato nel mondo dei tassi di interesse e la soluzione rappresenta le aspettative dei tassi futuri. La curva dei rendimenti non è un minimo e sembra stocastica perché viene osservata di giorno in giorno, ma dal punto di vista odierno il prezzo è deterministico basato sulle aspettative. La curva dei rendimenti è costruita da un insieme discreto di strumenti liquidi e interpolata per collegare i punti della spina dorsale. L'istruttore sottolinea l'importanza di scegliere gli strumenti giusti in base a una qualità simile e osserva che il numero di strumenti cambia nel tempo. La curva dei rendimenti non è solo uno strumento matematico, ma ha anche importanti intuizioni economiche ed è considerata un barometro dei mercati attuali.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute la costruzione della curva dei rendimenti e la sua importanza nel riflettere dove si trova il denaro sul mercato, e se è investito in azioni o obbligazioni, e se le obbligazioni, se lunghe -termine o breve termine. La curva dei rendimenti mostra le aspettative degli investitori sui tassi di interesse futuri e le forme della curva riflettono l'atteggiamento degli investitori nei confronti del rischio. Tuttavia, la curva dei rendimenti non è del tutto affidabile nella previsione del futuro in quanto vi sono varie limitazioni, inclusi gli interventi delle banche centrali e gli investimenti esterni. Pertanto, la sua accuratezza dipende dalla sua buona costruzione e dalla valutazione dei cambiamenti avvenuti nel corso di molti anni.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione, il professore spiega la struttura a termine dei tassi di interesse e come è correlata alla curva dei rendimenti. La curva dei rendimenti è una relazione temporale tra rendimenti di diverse scadenze e dipende dall'economia locale. La curva dei buoni del Tesoro USA è considerata l'indicatore più importante dell'economia globale a causa della posizione degli Stati Uniti come una delle maggiori economie e dell'uso del dollaro come valuta di riserva. I titoli di stato, come i buoni del Tesoro USA, sono considerati esenti da insolvenza perché il governo non può essere insolvente sui propri obblighi, ma questo vale solo se le obbligazioni sono emesse nella valuta locale. Le obbligazioni emesse in valute estere comportano un rischio di insolvenza più elevato. Il premio per il rischio è anche discusso come un fattore che influisce sul rendimento o sui tassi di interesse.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione, l'istruttore spiega l'assicurazione obbligazionaria e i premi di rischio, che sono la differenza di rendimento tra obbligazioni governative e societarie per tenere conto della possibilità di insolvenza. Discute anche le forme della curva dei rendimenti e le loro implicazioni per l'economia. Una forma normale standard per una curva dei rendimenti è quando il rendimento per una scadenza più lunga è significativamente più alto di una scadenza a breve termine, riflettendo una situazione normale nell'economia. Una curva dei rendimenti invertita, in cui i rendimenti a lungo termine diminuiscono e quelli a breve termine rimangono invariati, può indicare uno scenario malsano e causare problemi a banche e pensioni. L'istruttore fornisce esempi di diverse forme della curva dei rendimenti e dei loro potenziali effetti sul mercato.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il video discute l'impatto dell'inflazione sui rendimenti e come può far sì che i rendimenti si muovano nella direzione opposta. Se le aspettative di inflazione aumentano, i rendimenti aumenteranno perché gli investitori dovranno essere compensati per il rendimento reale negativo del loro investimento. Il video spiega anche come l'inclinazione e l'appiattimento della curva dei rendimenti possono verificarsi a causa dei cambiamenti nell'economia. Lo spread tra uno swap a scadenza costante a 10 anni e uno swap a 2 anni può indicare la direzione di una curva di inclinazione mentre l'inversione della curva dei rendimenti indica una curva di appiattimento. Il video utilizza grafici per mostrare esempi di come le diverse curve e spread hanno influenzato l'economia in passato.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione della conferenza, il professore discute la curva dei rendimenti e il controllo dei rendimenti, che sono fattori importanti che possono influenzare i tassi di interesse. La curva dei rendimenti indica lo stato del mercato e può essere influenzata dalla banca centrale, che controlla i tassi di interesse per raggiungere gli obiettivi di inflazione e occupazione. Il controllo dei rendimenti consente alle banche centrali di acquistare o vendere obbligazioni per influenzare la domanda e stimolare l'economia, ma ciò può anche comportare rischi e limitazioni se le pressioni inflazionistiche aumentano. La curva dei rendimenti è definita matematicamente dai punti spline e dai corrispondenti fattori di sconto, che sono aspettative di tassi a breve.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute la costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve nell'ingegneria finanziaria. La curva è costruita utilizzando una combinazione di spine point, che provengono dal mercato, e una routine di interpolazione. La curva dei rendimenti dovrebbe soddisfare determinati requisiti, come essere prezzata dagli strumenti, avere tassi a termine continui e avere un'interpolazione il più locale possibile, per garantire una buona copertura. La costruzione della curva richiede anche la definizione di un problema di ottimizzazione e la determinazione del vettore delle obbligazioni zero coupon come spine point a diverse scadenze.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, il professore spiega come costruire una curva dei rendimenti e multicurve. Si tratta di trovare un vettore di PVI (valore attuale di un contratto) che dipende possibilmente da tutti i punti della spina dorsale della curva. La condizione da soddisfare è che la quotazione di mercato e il prezzo della curva siano uguali a tutti gli strumenti utilizzati per costruire una curva. La soluzione finale al problema richiede l'ottimizzazione della differenza utilizzando la norma L. Il professore illustra quindi come risolvere il problema in casi monodimensionali utilizzando un algoritmo di newton-raphson per arrivare a una soluzione per minimizzare la differenza assoluta.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione, il relatore spiega il processo di iterazione utilizzato per trovare il sigma ottimale per un modello di Black-Scholes, inclusi i criteri di arresto per il modello ei requisiti per la convergenza. Notano l'importanza di tenere presente come ogni punto della spina dorsale influisca su altri strumenti sulla curva e la necessità di iterare per più colpi per creare un sorriso o un'inclinazione implicita della volatilità. Discutono anche su come costruire l'interpolazione e l'ottimizzazione necessarie per questo processo, inclusa la costruzione di un Jacobiano.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute l'importanza dell'interpolazione nella costruzione di diverse curve, in particolare la curva dei rendimenti e il sorriso di volatilità implicita. Il relatore osserva che mentre l'interpolazione nel caso delle curve dei rendimenti è facilmente gestibile a causa delle condizioni di continuità e differenziabilità, la scelta della corretta routine di interpolazione è ancora più cruciale nel caso di un sorriso di volatilità implicita in quanto una scelta di interpolazione errata o inadeguata può generare molti arbitraggio nel prezzo. L'oratore suggerisce che l'interpolazione è importante in tutti i casi e che la scelta della routine di interpolazione appropriata dovrebbe essere effettuata con grande attenzione ai dettagli.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 2/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 2/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Nella conferenza, il relatore approfondisce gli aspetti pratici della costruzione di un algoritmo per la costruzione della curva dei rendimenti. Sottolineano l'importanza della calibrazione della curva e analizzano il codice Python utilizzato per costruire la curva dei rendimenti utilizzando strumenti di mercato come gli swap. Viene anche esplorato l'impatto dei diversi metodi di interpolazione sulla copertura. Il docente spiega la routine di iterazione per la costruzione di una curva dei rendimenti, che comporta calcoli algebrici con vettori e matrici. Dimostrano come ottimizzare la curva impostando l'iterazione successiva su zero.

Andando avanti, l'istruttore spiega il processo per trovare i punti della colonna vertebrale ottimali per costruire una matrice. Questo processo comporta la regolazione iterativa dei fattori di sconto vettoriale (dfs) fino al raggiungimento della convergenza. Gli aggiustamenti sono basati su una matrice Jacobiana e l'inverso dello Jacobiano determina l'aggiustamento per il delta del dfs. La conferenza sottolinea l'importanza di specificare le griglie (coppie di ti e fattori di sconto) per costruire la curva prima di trovare zero obbligazioni ottimali. Viene fornito un esempio pratico di costruzione di una curva dei rendimenti per un interest rate swap a due anni ea cinque anni, evidenziando la sfida di risolvere un sistema con più incognite che equazioni.

Le sfide della costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando i pagamenti swap per i punti della spina dorsale sono discusse a causa di un sistema sottodeterminato. La soluzione è considerare solo il pagamento finale come punto della spina dorsale e interpolare i punti intermedi. Si sottolinea che il numero di strumenti dovrebbe essere uguale al numero di punte del dorso per evitare confusione. Viene spiegato il processo di costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando un contratto a termine e uno swap, con particolare attenzione all'implementazione numerica.

La conferenza sottolinea l'importanza di costruire una curva dei rendimenti e l'impatto delle quotazioni di mercato, che sono tipicamente pari a zero. Viene discussa la definizione della tariffa LIDOR e l'espressione del Valore Attuale di un contratto (PV1) in termini di tariffa LIDOR. Il PV1 dipende solo dal fattore di sconto (df1), che può essere calcolato utilizzando il primo insieme di equazioni. La seconda serie di equazioni riguarda lo swap con due date di pagamento. La lezione spiega l'uso di una matrice triangolare inferiore e l'inversione efficiente per la costruzione di curve quando vengono utilizzati solo gli scambi.

Viene esplorato il processo di costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando i dati di mercato del Dipartimento del Tesoro degli Stati Uniti. Le quotazioni dei tassi LIBOR e degli swap con scadenze diverse vengono utilizzate per costruire la curva dei rendimenti. La conferenza introduce la funzione multidimensionale di Newton-Raphson utilizzata per calibrare la curva e sottolinea l'importanza di selezionare il giusto metodo di interpolazione. Viene inoltre introdotta la funzione per la valutazione di uno strumento di swap su un vettore di spine points.

La lezione è incentrata sulla costruzione di curve dei rendimenti e multi-curve. Il processo inizia con la definizione di uno swap e poi passa alla costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando una serie di strumenti e scadenze. Viene impiegato un metodo di Newton multivariato per ottimizzare la curva dei rendimenti durante il processo di costruzione. Viene sottolineata l'importanza di scegliere un valore di tolleranza e viene evidenziata la sfida dell'ottimizzazione con una tolleranza di 10 alla potenza di 10. La conferenza si conclude sottolineando la rapida convergenza raggiunta con questo metodo di ottimizzazione.

Viene spiegata la valutazione degli strumenti utilizzando i punti della colonna vertebrale e i metodi di interpolazione. La curva dei rendimenti è costruita utilizzando spine point e un metodo di interpolazione, seguito dalla valutazione di ogni swap in funzione delle obbligazioni zero coupon in base allo stato corrente della spine point. Uno Jacobiano, che rappresenta la sensibilità di ogni singolo valore attuale (PV) a tutti i punti della colonna vertebrale, viene calcolato numericamente eseguendo uno shock su ogni singolo punto della colonna vertebrale e valutando tutti gli swap. La lezione evidenzia la funzione compatta ed efficiente per il calcolo dello Jacobiano.

La conferenza discute il processo di costruzione della curva dei rendimenti e delle curve multiple utilizzando il metodo di iterazione di Newton-Raphson, la matrice Jacobiana e il set di strumenti di algebra lineare numpy. Dopo aver costruito la curva dei rendimenti, gli swap vengono valutati prima di costruire la curva. La conferenza sottolinea la necessità di fissare un limite al numero di valutazioni per evitare di sovraccaricare il codice Python e suggerisce di incorporare protezioni per prevenire questo problema. Inoltre, la lezione dimostra come calcolare il valore attuale (PV) degli swap utilizzando sia la curva dei rendimenti iniziale che la curva dei rendimenti calibrata ottenuta dal processo di iterazione che coinvolge i punti della spina dorsale.

Il professore esplora ulteriormente la routine di ottimizzazione e la calibrazione della curva dei rendimenti per gli swap su tassi di interesse. Si segnala che la calibrazione della curva dei rendimenti mediante swap fornisce risultati molto accurati, anche quando si riscontrano valori inferiori allo zero. La conferenza evidenzia anche le aree di miglioramento, come l'utilizzo di calcoli analitici per le sensibilità derivate per migliorare l'efficienza e l'accuratezza computazionale.

Il concetto di "copertura" viene introdotto come focus per la sezione successiva. Viene discusso l'impatto delle diverse routine di interpolazione sui risultati di copertura e vengono esplorati vari metodi di interpolazione. Il professore raccomanda di consultare la letteratura esistente per esplorare ulteriori opzioni per l'interpolazione. La conferenza si conclude sottolineando l'importanza di condurre test in condizioni ridotte e considerando gli effetti delle routine di interpolazione sulla curva dei rendimenti.

Nella lezione, il relatore esamina diverse routine di interpolazione impiegate nella costruzione della curva dei rendimenti e la loro influenza sui risultati. Gli svantaggi dell'interpolazione diretta, come l'interpolazione lineare semplice, sono evidenziati, in particolare quando si utilizza una curva dei rendimenti basata su modello. Viene spiegato che il comportamento della struttura dei tassi a breve termine può diventare irregolare se nell'interpolazione vengono trascurati piccoli dettagli, poiché il tasso a termine istantaneo dipende dal logaritmo di un'obbligazione zero coupon. Per superare queste limitazioni, un metodo suggerito è la differenziazione sui fattori di sconto log.

La conferenza esplora anche l'interpolazione locale e globale, sottolineando l'importanza di localizzare l'impatto di uno shock o di un cambiamento in un punto della spina dorsale per evitare di influenzare un gran numero di punti sulla curva. Inoltre, il docente sottolinea l'importanza di selezionare un metodo di interpolazione che consideri le caratteristiche degli strumenti sulla curva e il loro impatto sulle sue prestazioni.

La costruzione delle curve dei rendimenti e delle curve multiple è discussa dal punto di vista dell'ingegneria finanziaria. Viene presentato un esperimento Python, che dimostra una funzione sviluppata per calibrare una curva dei rendimenti attraverso piccoli aggiustamenti. L'esperimento include la costruzione di uno strumento impostato come funzione e l'incorporazione dell'interpolazione quadratica e cubica. Inoltre, il prezzo di uno swap fuori mercato e l'analisi di sensibilità dello swap a tutti gli strumenti di mercato utilizzati nella costruzione della curva sono dimostrati attraverso la differenziazione e la ricalibrazione della curva per ogni strumento oggetto di shock nel set di portafoglio.

Il relatore spiega come costruire una curva dei rendimenti e curve multiple utilizzando shock e delta. Il processo prevede la ripetizione dell'intera procedura per ogni strumento a tasso fisso shockato e la ridefinizione del delta, che rappresenta la derivata dello swap rispetto a ogni strumento di mercato. I valori delta vengono approssimati dividendo la dimensione dello shock, ricostruendo la curva e valutando l'impatto risultante. Con questi valori delta, diventa possibile determinare l'utilizzo richiesto di ogni strumento di mercato per la costruzione della curva, consentendo un'efficace copertura dei futures. L'interpolazione lineare viene utilizzata per illustrare la copertura di uno swap a quattro anni utilizzando strumenti con scadenze a tre e cinque anni, in linea con i risultati attesi. Infine, un confronto tra interpolazione lineare e cubica rivela che l'interpolazione cubica è computazionalmente più costosa ma porta a differenze sostanziali nei risultati.

Il relatore discute la costruzione di curve dei rendimenti e multi-curve all'interno di un contesto di ingegneria finanziaria. Viene fatto un confronto tra interpolazione cubica e interpolazione lineare, evidenziando che l'interpolazione cubica è più avanzata ma anche più lenta. Viene affrontato l'impatto dell'interpolazione sulla copertura, osservando che mentre l'interpolazione cubica può comportare una curva più uniforme, può portare a spese di copertura maggiori a causa delle sensibilità ai prodotti con scadenze ben oltre quella degli swap. Il relatore suggerisce di esplorare l'interpolazione quadratica come alternativa e sottolinea che l'impatto dell'interpolazione sulla copertura non dovrebbe essere trascurato.

Continuando la lezione, il relatore approfondisce la costruzione di curve dei rendimenti e curve multiple utilizzando shock e delta. Questo metodo comporta la ricalibrazione dell'intero processo per ogni strumento con un tasso fisso scioccato. Il delta, che rappresenta la derivata dello swap rispetto a ciascuno strumento di mercato, viene ridefinito dividendo l'entità dello shock e approssimando l'impatto risultante sulla curva. Analizzando i valori delta, diventa possibile determinare l'appropriata allocazione di ogni strumento di mercato per la costruzione della curva, consentendo un'efficace copertura dei futures. Il relatore dimostra l'uso dell'interpolazione lineare per illustrare la copertura di uno swap a quattro anni utilizzando strumenti con scadenze a tre e cinque anni, in linea con i risultati attesi.

La conferenza sottolinea l'importanza di scegliere il giusto metodo di interpolazione, in quanto influisce in modo significativo sulla forma e sul comportamento della curva dei rendimenti. Sebbene l'interpolazione cubica possa offrire una curva più uniforme, spesso comporta spese di copertura maggiori a causa della sua sensibilità ai prodotti con scadenze ben oltre quella degli swap. Pertanto, il relatore suggerisce di esplorare l'interpolazione quadratica come alternativa che trova un equilibrio tra accuratezza ed efficienza computazionale.

Inoltre, la lezione sottolinea la necessità di considerare le caratteristiche degli strumenti utilizzati nella costruzione della curva e il loro impatto sulle sue prestazioni. Strumenti diversi possono richiedere diversi metodi di interpolazione o aggiustamenti per garantire prezzi e gestione del rischio accurati. È essenziale analizzare e comprendere attentamente il comportamento degli strumenti nel contesto del processo di costruzione della curva dei rendimenti.

La conferenza si conclude incoraggiando ulteriori ricerche ed esplorazioni delle opzioni di interpolazione. Sebbene l'interpolazione cubica sia più avanzata e offra una curva più uniforme, potrebbe non essere sempre la scelta ottimale. I professionisti e i ricercatori finanziari sono incoraggiati ad approfondire la letteratura esistente e studiare varie routine di interpolazione per identificare l'approccio più adatto alle loro esigenze specifiche.

La costruzione delle curve dei rendimenti e delle curve multiple comporta una combinazione di tecniche matematiche, metodi di calibrazione e routine di interpolazione. È un processo complesso che richiede un'attenta considerazione di vari fattori, come le caratteristiche dello strumento, l'efficienza computazionale e le implicazioni di copertura. Utilizzando i metodi giusti e comprendendo i principi sottostanti, gli operatori finanziari possono costruire solide curve dei rendimenti che riflettono accuratamente le condizioni di mercato e supportano efficaci strategie di gestione del rischio.

• 00:00:00 In questa sezione, il docente discute gli aspetti pratici della costruzione di un algoritmo per la costruzione della curva dei rendimenti, inclusa la calibrazione della curva e l'analisi del codice Python per costruire la curva dei rendimenti utilizzando strumenti di mercato come gli swap. La lezione copre anche l'impatto di diverse interpolazioni sulla copertura e definisce la routine di iterazione per la costruzione di una curva dei rendimenti, che comporta l'esecuzione di calcoli algebrici con vettori e matrici. Infine, il docente dimostra come impostare l'iterazione successiva su zero durante l'ottimizzazione della curva.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore spiega il processo per trovare i punti ottimali della spina dorsale per costruire una matrice. Il processo prevede aggiustamenti ai fattori di sconto vettoriale (dfs) in modo iterativo fino al raggiungimento della convergenza. Gli aggiustamenti sono basati su una matrice Jacobiana e l'inverso dello Jacobiano determina l'aggiustamento per il delta del dfs. L'istruttore discute anche l'importanza di specificare le griglie, ad esempio coppie di fattori ti e di sconto, per costruire la curva prima di trovare obbligazioni zero ottimali, citando l'esempio della costruzione di una curva dei rendimenti per uno swap su tassi di interesse a due anni e uno a cinque anni. Il problema sorge quando ci sono più incognite che equazioni, che richiedono una soluzione problematica.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore discute le sfide della costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando i pagamenti swap per i punti della spina dorsale, a causa di un sistema sottodeterminato. La soluzione è considerare solo il pagamento finale come il punto della spina dorsale e interpolare i punti intermedi. L'oratore sottolinea che il numero di strumenti dovrebbe essere uguale al numero di punte del dorso, e troppi strumenti possono creare confusione. Il processo di costruzione di una curva dei rendimenti utilizzando un contratto a termine e uno swap è spiegato e può essere implementato numericamente.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione vengono discussi l'importanza di costruire una curva dei rendimenti e l'impatto delle quotazioni sul mercato, insieme al fatto che in genere le quotazioni sul mercato sono pari a zero. La lezione passa quindi alla discussione della definizione della tariffa LIDOR e di come il PV1 può essere espresso in termini di tariffa LIDOR. L'espressione per PV1 dipende solo da df1, che può essere calcolato utilizzando il primo insieme di equazioni. La seconda serie di equazioni riguarda lo swap, che ha due date di pagamento. Infine, la lezione spiega la matrice triangolare inferiore e come l'inversione può essere eseguita in modo efficiente per la costruzione di curve quando vengono utilizzati solo gli scambi.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il docente discute l'importanza di costruire una curva dei rendimenti e come costruirne una utilizzando i dati di mercato del Dipartimento del Tesoro degli Stati Uniti. I dati sono costituiti da quotazioni per tassi LIBOR e swap con scadenze diverse. L'obiettivo è utilizzare le quotazioni per costruire una curva dei rendimenti e quindi verificare se la curva quota tutti gli strumenti alla pari. Il docente spiega la funzione multidimensionale di Newton-Raphson utilizzata per raggiungere questo obiettivo e sottolinea l'importanza di scegliere il giusto metodo di interpolazione. Viene infine introdotta la funzione per la valutazione di uno strumento swap su un vettore di spine points.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione della video lezione, l'istruttore spiega la costruzione di una curva dei rendimenti e delle multi-curve. Inizia con la definizione di uno swap e poi passa alla costruzione di una curva dei rendimenti con una serie di strumenti e scadenze. Definisce un metodo di Newton multivariato per ottimizzare la curva dei rendimenti durante il processo di costruzione. L'istruttore sottolinea l'importanza di scegliere un valore per la tolleranza ed evidenzia la sfida dell'ottimizzazione con una tolleranza di 10 alla potenza di 10. Conclude che con questo metodo di ottimizzazione la convergenza sarebbe molto veloce.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione della lezione, il relatore spiega come valutare gli strumenti utilizzando i punti della spina dorsale ei metodi di interpolazione. Innanzitutto, la curva dei rendimenti viene costruita utilizzando i punti della spina dorsale e il metodo di interpolazione. Quindi, ogni swap viene valutato in funzione delle obbligazioni zero coupon in base allo stato corrente del punto spinale. Viene calcolato uno Jacobiano, che è la sensibilità di ogni singolo PV a tutti i punti della spina dorsale. Questo viene fatto numericamente eseguendo uno shock su ogni singolo punto della spina dorsale e valutando tutti gli scambi. Lo Jacobiano viene quindi memorizzato in una matrice. La funzione per il calcolo dello Jacobiano è compatta ed efficiente.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione del corso di ingegneria finanziaria, il docente discute il processo di costruzione della curva dei rendimenti e delle curve multiple utilizzando il metodo di iterazione di Newton-Raphson, la matrice Jacobiana e il set di strumenti di algebra lineare numpy. Una volta costruita la curva dei rendimenti, il passo successivo è valutare gli swap prima di costruire la curva. Il docente avverte la necessità di porre un limite al numero di valutazioni fatte per evitare di schiacciare il Python e suggerisce di introdurre protezioni nei codici per impedirlo. Infine, il docente mostra come calcolare il pv corrente degli swap utilizzando la curva dei rendimenti iniziale e la curva dei rendimenti calibrata, ottenuta dai punti ri spine generati dal processo di iterazione.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione della lezione del Corso di Ingegneria Finanziaria, il professore discute la routine di ottimizzazione e la calibrazione della curva dei rendimenti per gli interest rate swap. La curva dei rendimenti è calibrata utilizzando gli swap ed è estremamente accurata, con impostazioni che mostrano anche valori inferiori allo zero. Il professore evidenzia anche le aree di miglioramento, come i calcoli analitici per le sensibilità derivate, per accelerare i tempi di calcolo e aumentare la precisione. Questa conferenza introduce il concetto di "copertura", che sarà ulteriormente esplorato nella sezione successiva, insieme all'impatto delle diverse routine di interpolazione sui risultati della copertura. Vengono discusse varie routine di interpolazione e il professore consiglia di esplorare la letteratura sulle opzioni di interpolazione per maggiori dettagli. La conferenza si conclude con un focus sulle condizioni di test di piccole dimensioni e sull'impatto delle routine di interpolazione.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il docente discute le diverse routine di interpolazione utilizzate nella creazione di una curva dei rendimenti e il loro impatto sui risultati. L'interpolazione diretta comporta una semplice interpolazione lineare che può essere problematica quando si utilizza una curva dei rendimenti basata su modello. Questo perché il tasso a termine istantaneo dipende dal logaritmo di un'obbligazione zero coupon e senza piccole cose nell'interpolazione, il comportamento della struttura a termine del tasso a breve può essere strano. Un metodo per migliorare i limiti di queste interpolazioni consiste nel differenziare i fattori di sconto logaritmico. Il docente esplora anche l'interpolazione locale e globale, sottolineando che un cambiamento o uno shock al punto della spina dorsale dovrebbe essere il più localizzato possibile per evitare di incidere su troppi punti sulla curva. Inoltre, rileva l'importanza di selezionare un'interpolazione che consideri le caratteristiche degli strumenti sulla curva e il loro impatto sulle prestazioni della curva.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione del Corso di Ingegneria Finanziaria viene discussa la costruzione delle curve dei rendimenti e delle multicurve. La lezione illustra un esperimento Python in cui è stata sviluppata una funzione per calibrare una curva dei rendimenti con piccoli aggiustamenti, inclusa la costruzione di uno strumento impostato come funzione e l'aggiunta dell'interpolazione quadratica e cubica. L'esperimento dimostra anche il prezzo di uno swap fuori mercato e la sensibilità dello swap a tutti gli strumenti di mercato utilizzati nella costruzione della curva attraverso la differenziazione e la ricalibrazione della curva per ogni strumento oggetto di shock nel set di portafoglio.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione della lezione, il relatore spiega come costruire una curva dei rendimenti e curve multiple utilizzando shock e delta. Per costruire la curva, rifanno l'intero processo per ogni strumento con un tasso fisso scioccato. Quindi, ridefiniscono il delta, che è la derivata dello swap rispetto a ciascuno strumento di mercato, dividendo l'entità dello shock, ricostruendo la curva e approssimando il valore del delta. Con questi valori delta, possono vedere la quantità di ogni strumento di mercato che devono utilizzare per la costruzione della curva, consentendo loro di coprire i propri futures. Il relatore utilizza l'interpolazione lineare per dimostrare come possono coprire uno swap di quattro anni con strumenti con scadenza a tre e cinque anni, che si allinea alle loro aspettative. Infine, confrontano i risultati dell'utilizzo dell'interpolazione lineare rispetto a quella cubica e scoprono che l'interpolazione cubica è più costosa da calcolare ma causa una grande differenza nei risultati.
  
  
• 01:00:00 In questa sezione, il relatore discute la costruzione di curve dei rendimenti e curve multiple in un contesto di ingegneria finanziaria. Confrontano l'interpolazione cubica con l'interpolazione lineare, osservando che l'interpolazione cubica è molto più lenta e avanzata. Discutono anche dell'impatto dell'interpolazione sulla copertura, osservando che mentre la curva può essere più uniforme con l'interpolazione cubica, le spese di copertura possono essere maggiori a causa delle sensibilità ai prodotti molto più tardi della scadenza degli swap. Il relatore suggerisce di provare l'interpolazione quadratica e sottolinea che l'impatto dell'interpolazione sulla copertura non dovrebbe essere trascurato.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 3/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 6/14, parte 3/3, (Costruzione della curva dei rendimenti e delle multi-curve)

Nella lezione viene introdotto il concetto di multi-curve, che incorpora le probabilità di default delle controparti nella costruzione delle curve dei rendimenti. Queste informazioni aggiuntive tengono conto della frequenza dei pagamenti e dei rischi di insolvenza associati. Il relatore sottolinea che prestare denaro per una durata maggiore a una controparte aumenta il rischio rispetto al prestito a breve termine. Le multi-curve sono emerse come sviluppo della matematica finanziaria dopo la crisi finanziaria del 2008-2009 e rimangono prevalenti nel mercato odierno.

La lezione include un'implementazione Python di multi-curve e assegna un compito a casa agli studenti, sfidandoli a migliorare il codice esistente incorporando strumenti aggiuntivi per la calibrazione delle curve e gli aspetti di copertura.

Viene discussa la costruzione di curve dei rendimenti e multi-curve nell'ingegneria finanziaria, sottolineando l'impatto della frequenza dei pagamenti sul tipo di curva e sulla gestione del rischio. Una maggiore frequenza di pagamento riduce la potenziale perdita in caso di inadempienza della controparte, rendendola una scelta più sicura. La motivazione alla base delle multi-curve deriva dalla crisi del 2007-2009, quando gli spread di base tra diverse durate sono diventati significativi, portando a più punti base di differenza tra diverse curve di frequenza.

Il relatore spiega che diversi strumenti presentano diversi premi di liquidità e di rischio di credito, influenzando le loro curve dei rendimenti. Prima della crisi finanziaria, i prezzi erano basati su un'unica curva. Tuttavia, post-crisi, è necessario prendere in considerazione premi di rischio aggiuntivi per diverse strutture di durata. Il relatore illustra lo spread del premio di rischio tra diverse scadenze utilizzando un'illustrazione dei tassi forward istantanei. Il consenso del mercato è quello di scontare i flussi di cassa futuri sulla base del mandato con la frequenza più alta e la scelta ottimale per l'attualizzazione è una curva con il minor rischio di credito, tipicamente associato a un 10 di un giorno.

La conferenza approfondisce l'inclusione delle probabilità di default nel pricing e lo sviluppo di un framework per il pricing dei derivati all'interno del contesto multi-curva. Vengono discusse curve come l'Euro Overnight Index Average e l'US Federal Reserve Overnight Rate. I professionisti hanno prima osservato il mercato e successivamente è stata sviluppata la teoria, richiedendo l'inclusione delle probabilità di insolvenza nel quadro multi-curva. La definizione della libreria deve essere modificata per incorporare la curva priva di rischio e le probabilità di default della controparte. Il relatore sottolinea la necessità di versioni estese del tasso LIBOR e misura le modifiche per accogliere questa modifica. Incorporando le probabilità di default e verificando l'esistenza della controparte prima di eseguire le transazioni, i professionisti acquisiscono una migliore comprensione del prezzo dei derivati all'interno del quadro multi-curva.

Il concetto di probabilità di default è spiegato nel contesto della determinazione del prezzo dei derivati con rischio di credito. La probabilità di default rappresenta il rischio di default che si verifica in un periodo specifico ed è tipicamente derivata da strumenti di mercato come i credit default swap. Quando gli strumenti di mercato non sono disponibili, le banche e gli istituti finanziari assegnano una probabilità di insolvenza basata sull'associazione del rischio di settore. La determinazione del prezzo dei derivati con rischio di credito comporta l'attualizzazione di tutti i flussi di cassa futuri e l'assunzione di indipendenza tra tassi di interesse e probabilità di insolvenza. Il payoff atteso viene quindi calcolato utilizzando una funzione indicatore della probabilità di default.

La conferenza discute come le probabilità di default e i tassi di miglioramento si relazionano alle probabilità di sopravvivenza e ai tassi di rischio. I credit default swap (CDX) vengono introdotti come derivati negoziati utilizzati per stimare la probabilità di default. Esaminando le quotazioni di mercato dei CDX, è possibile calcolare il premio per il rischio, fornendo informazioni sulla probabilità di insolvenza. La curva dei rendimenti rischiosi incorpora la probabilità di insolvenza e regola le obbligazioni zero coupon utilizzando aggiustamenti per il rischio. In pratica, D(t0, ti) viene tipicamente interpretato come un fattore di sconto, consentendo la costruzione di una curva dei rendimenti come raccolta di fattori di sconto obbligazionari zero coupon.

Il video spiega il processo di determinazione di un prezzo equo per una passività non garantita che considera le probabilità di default costruendo una curva corrispondente a un termine specifico sopra una curva di sconto. Dimostra il calcolo di obbligazioni zero coupon prive di rischio e di un'obbligazione zero coupon con un premio di rischio aggiuntivo, che rappresenta il fattore di aggiustamento per la curva. Il video spiega anche come calcolare il prezzo di uno swap su tassi di interesse in un'impostazione multi-curva. Combina i concetti di una passività rischiosa e il tasso dell'overnight index swap, approssimando il prezzo calcolando l'aspettativa del LIBOR forward sotto la corrispondente misura martingala.

Il docente sottolinea la dipendenza circolare tra diverse curve e la costruzione pratica delle curve dei rendimenti. La curva di sconto viene generalmente costruita per prima, seguita dalla costruzione di curve trimestrali e semestrali basate sulla curva di sconto e sulle quotazioni di mercato aggiuntive. Tuttavia, sorgono complicazioni quando sono coinvolti spread, che richiedono la calibrazione di tutte le curve contemporaneamente piuttosto che individualmente. Sebbene possa essere più complesso, mantenere la coerenza nella copertura di altri rischi consente di utilizzare il tasso di interesse errato nel modello Black-Scholes per corrispondere alla quotazione di mercato.

Il video fornisce indicazioni sull'implementazione di curve multiple in Python per la determinazione del prezzo e la costruzione di più curve di rendimento. Si basa su codici sviluppati in precedenza per singole curve di rendimento e li estende per gestire curve multiple. Viene introdotta un'estensione della definizione di swap per facilitare la determinazione del prezzo nel contesto multi-curva. Il video sottolinea inoltre l'importanza di eseguire un controllo di integrità per garantire la coerenza tra il nuovo swap sui tassi di interesse e l'impostazione di un'unica curva. Ciò si ottiene utilizzando due istanze della stessa curva per verificare che producano lo stesso valore.

Il relatore discute la calibrazione della curva dei rendimenti e introduce quattro swap corrispondenti alla nuova curva con ipotesi iniziali separate dal caso precedente. L'obiettivo resta quello di far corrispondere i prezzi di mercato con i prezzi dei modelli. La curva di sconto si basa sulla curva bootstrap e gli swap sono definiti come espressioni lambda della curva forward. Il relatore spiega la ricerca di obbligazioni zero coupon o curve di rendimento per gli swap e l'ottimizzazione dei valori che rendono lo swap zero per lo specifico obiettivo di rendimento. La calibrazione della curva viene ricontrollata e vengono tracciati i valori degli swap. Il controllo di integrità conferma la coerenza della nuova implementazione dello scambio e, infine, la nuova curva viene avviata.

Il relatore discute i risultati del processo di calibrazione e bootstrapping, osservando che il prezzo torna alla pari. Vengono tracciate la curva di sconto e la curva di previsione, illustrando tra di esse la curva di spread. Il relatore sottolinea che la curva forward è più bassa a causa del numero limitato di strumenti, con conseguente mancanza di transizione graduale tra le diverse scadenze. Il processo di calibrazione è relativamente veloce e richiede iterazioni di ottimizzazione rispetto al server per la curva di sconto. In conclusione, il relatore riassume i concetti chiave trattati nella lezione, tra cui la natura dinamica della curva dei rendimenti, la formulazione matematica, la formulazione del problema, i punti della spina dorsale, la routine di ottimizzazione e gli esempi analitici.

Infine, il relatore discute l'estensione del codice esistente per l'inizio di una curva e l'inclusione di strumenti aggiuntivi. Viene sottolineata l'importanza pratica di sviluppare un quadro di copertura per comprendere gli impatti delle diverse interpretazioni. Il video spiega il significato delle curve multiple e la loro relazione con le probabilità e le previsioni predefinite. Conclude dimostrando il codice Python per implementare ed estendere il framework esistente per gestire le curve multiple. Come compito a casa, il pubblico ha il compito di estendere il codice esistente per una nuova curva e incorporare un ulteriore livello di una curva forward basata su sei mesi, tre mesi e strumenti di mercato disponibili.

Il video spiega come calcolare il prezzo equo di una passività chirografaria che tiene conto delle probabilità di default. Ciò comporta la costruzione di una curva corrispondente a un termine specifico in cima a una curva di sconto. Il video mostra il calcolo delle obbligazioni zero coupon prive di rischio e di un'ulteriore obbligazione zero coupon basata sul premio di rischio, che rappresenta il fattore di aggiustamento per la curva. Inoltre, viene discusso il prezzo di un interest rate swap, combinando i concetti di una passività rischiosa e il tasso dell'overnight index swap. L'approssimazione del prezzo comporta il calcolo dell'aspettativa del LIBOR forward sotto la corrispondente misura martingala.

Per concludere, il docente ribadisce l'importanza della costruzione della curva dei rendimenti, delle curve multiple e delle loro implicazioni pratiche nell'ingegneria finanziaria. La lezione copre vari aspetti come la calibrazione della curva, la copertura, la probabilità di insolvenza, la determinazione del prezzo dei derivati con rischio di credito e l'implementazione di multi-curve in Python. Estendendo il codice esistente e incorporando strumenti aggiuntivi, gli studenti sono sfidati ad approfondire la loro comprensione delle multi-curve e ad acquisire esperienza pratica nella calibrazione delle curve e negli aspetti di determinazione dei prezzi all'interno di un framework multi-curva.

• 00:00:00 In questa sezione della lezione viene introdotto il concetto di multi-curve, che tiene conto delle potenziali probabilità di default delle controparti durante la costruzione di una curva dei rendimenti includendo informazioni aggiuntive sulla frequenza dei pagamenti e sui rischi di default associati . L'esempio fornito è che prestare denaro a una controparte per tre mesi è più rischioso che prestare denaro per un solo mese. Le multi-curve sono un nuovo sviluppo della matematica finanziaria che è stato creato dopo la crisi finanziaria del 2008-2009 ed è presente oggi sul mercato. La lezione include un'implementazione Python di multi-curve e un compito a casa che richiede agli studenti di estendere i codici esistenti con strumenti aggiuntivi per la calibrazione delle curve e gli aspetti di copertura.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione del Corso di Ingegneria Finanziaria, il docente discute la costruzione delle curve dei rendimenti e delle multicurve. Spiega che la frequenza dei pagamenti determina il numero di swap base e il tipo di curva. Dal punto di vista della gestione del rischio, ricevere pagamenti frequenti è più sicuro in quanto vi è meno denaro da perdere in caso di inadempienza della controparte. La motivazione per le multicurve è stata principalmente dovuta alla crisi del 2007-2009, quando gli spread di base tra diverse scadenze non erano più trascurabili e avevano più punti base di differenza tra le diverse frequenze delle curve.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute la costruzione delle curve dei rendimenti e delle curve multiple nell'ingegneria finanziaria. Diversi strumenti sono caratterizzati da liquidità e premio per il rischio di credito che ne influenzano le curve dei rendimenti. Prima della crisi finanziaria, la determinazione dei prezzi era basata su un'unica curva, ma ora è necessario tenere conto di premi di rischio aggiuntivi per diverse strutture di durata. L'oratore ha tracciato un'illustrazione dei tassi a termine istantanei per mostrare lo spread del premio di rischio tra diverse scadenze. Il consenso del mercato è quello di scontare i flussi di cassa futuri sulla base della più alta frequenza di possesso e la scelta ottimale per l'attualizzazione è una curva che comporta il minor rischio di credito. Una curva di sconto è tipicamente associata a un 10 di un giorno e comporta il minor rischio di credito possibile.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione della conferenza, viene discusso il concetto di includere le probabilità di insolvenza nella determinazione del prezzo e lo sviluppo di un quadro per la determinazione del prezzo di questi derivati. Viene spiegato il quadro delle curve multiple, con la discussione di curve come l'Euro Overnight Index Average e l'US Federal Reserve Overnight Rate. I professionisti hanno osservato prima il mercato, con la teoria sviluppata in seguito, ed è necessaria l'inclusione delle probabilità di insolvenza nel quadro multi-curva. La definizione della libreria deve essere modificata per includere la curva risk-free e le probabilità di default della controparte, e per questa modifica sono necessarie versioni estese del tasso LIBOR e modifiche alle misure. Includendo il concetto di probabilità di default e garantendo che la controparte esista ancora prima di facilitare le transazioni, i professionisti possono comprendere meglio il prezzo dei derivati all'interno del quadro multi-curva.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione della lezione, il concetto di probabilità di insolvenza viene discusso nel contesto della determinazione del prezzo di un derivato con rischio di credito. La probabilità di default è una variabile casuale che indica il rischio di default in un periodo di tempo. La distribuzione della probabilità di default è tipicamente estratta da strumenti di mercato come i credit default swap. Se gli strumenti di mercato non sono disponibili, le banche e le istituzioni finanziarie associano l'azienda a un rischio di settore per assegnare una probabilità di default. Il prezzo del derivato con rischio di credito comporta l'attualizzazione di tutti i flussi di cassa futuri e l'assunzione di indipendenza tra tassi di interesse e probabilità di default. Quindi, il payoff atteso viene calcolato utilizzando una funzione indicatore della probabilità di default.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute in che modo le probabilità di default e i tassi di miglioramento sono associati alle probabilità di sopravvivenza e ai tassi di rischio. La probabilità di default può essere stimata utilizzando i credit default swap (CDX), che sono derivati negoziati. Osservando le quotazioni di mercato dei CDX, possiamo calcolare il premio per il rischio e determinare la probabilità di insolvenza. La curva dei rendimenti rischiosi che viene costruita include la probabilità di insolvenza, che regola le obbligazioni zero coupon utilizzando aggiustamenti per il rischio. In pratica, i professionisti interpretano tipicamente D(t0, ti) come un fattore di sconto, rendendo possibile la costruzione di una curva dei rendimenti come un insieme di fattori di sconto di obbligazioni zero coupon.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione, il video spiega come determinare un prezzo equo di una passività chirografaria che tenga conto delle probabilità di default costruendo una curva corrispondente a un termine specifico sopra una curva di sconto. Il video mostra come calcolare le obbligazioni zero coupon prive di rischio e un'obbligazione zero coupon per un premio di rischio aggiuntivo che rappresenta il fattore di aggiustamento per la curva. Il video discute poi come il prezzo di uno swap su tassi di interesse può essere calcolato combinando i concetti di responsabilità rischiosa e il tasso dell'overnight index swap, dove il prezzo può essere approssimato calcolando l'aspettativa del Libor a termine sotto la corrispondente misura martingala .
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il docente discute la costruzione pratica delle curve dei rendimenti e la dipendenza circolare tra le diverse curve. La curva di sconto viene costruita per prima, seguita dalle curve trimestrali e semestrali basate sulla curva di sconto e sulle quotazioni aggiuntive del mercato. Tuttavia, il problema sorge quando sono coinvolti spread, che richiedono una calibrazione immediata anziché curva per curva. Sebbene sia più complicato, l'utilizzo del tasso di interesse sbagliato nel modello Black-Scholes può comunque corrispondere alla quotazione di mercato fintanto che viene mantenuta la coerenza nella copertura di altri rischi.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione, il video illustra come implementare curve multiple in Python per la determinazione del prezzo o la costruzione di più curve di rendimento basandosi su codici precedenti sviluppati per singole curve di rendimento. L'estensione di una definizione di swap viene utilizzata per gestire il prezzo di uno swap in un'impostazione multi-curva. Il video spiega anche come eseguire un controllo di integrità per verificare la coerenza del nuovo interest rate swap con un'impostazione a curva singola utilizzando due volte la stessa curva per assicurarsi che diano esattamente lo stesso valore.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione, il relatore discute la calibrazione della curva dei rendimenti. Definiscono quattro swap che corrispondono alla nuova curva e hanno ipotesi iniziali, che sono separate dal caso precedente. L'obiettivo è ancora quello di far combaciare i prezzi del mercato con quelli del modello. La curva di sconto si basa sulla curva bootstrap e definiscono gli swap come un'espressione lambda della curva forward. Cercheranno un'obbligazione zero coupon o una curva dei rendimenti per gli swap e ottimizzeranno i valori ai quali lo swap è zero per quel particolare obiettivo di rendimento. Ricontrollano la calibrazione della curva e tracciano i valori degli swap. Il controllo di integrità mostra che l'implementazione del nuovo scambio è coerente e alla fine avviano la nuova curva.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute i risultati della calibrazione e del bootstrapping della curva dei rendimenti, che hanno portato a riportare i prezzi alla pari. Tracciano anche la curva di sconto e la curva di previsione, che dà la differenza tra loro e illustra la curva di spread. L'oratore osserva che la curva forward è più bassa, e questo perché ci sono solo quattro strumenti, il che non comporta una transizione graduale tra le diverse scadenze. La calibrazione è relativamente veloce e l'ottimizzazione è richiesta solo per l'iterazione rispetto al server per la curva di sconto. Infine, il relatore riassume i concetti chiave trattati nella lezione, che si è concentrata sulla curva dei rendimenti e la sua dinamica, formulazione matematica, formulazione del problema, punti della spina dorsale, routine di ottimizzazione ed esempi analitici.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione del video, il relatore discute l'estensione del codice esistente per l'inizio di una curva e l'introduzione di strumenti aggiuntivi. Il relatore sottolinea l'importanza pratica di sviluppare un quadro di copertura per comprendere gli impatti delle diverse interpretazioni. Il video spiega ulteriormente l'importanza delle multi-curve e come sono correlate alle probabilità di default e alle previsioni, seguito da una dimostrazione del codice Python su come implementare questo ed estendere il framework esistente per la gestione delle multi-curve. Il video si conclude delineando due attività di codifica come compiti a casa per il pubblico, per estendere il codice esistente per una nuova curva e includere un ulteriore livello di una curva forward basata su sei mesi, tre mesi e gli strumenti di mercato disponibili.

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Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 7/14, parte 1/2, (Swaption e tassi di interesse negativi)

Corso di Ingegneria Finanziaria: Lezione 7/14, parte 1/2, (Swaption e tassi di interesse negativi)

La conferenza inizia con una revisione degli argomenti precedenti, tra cui swap, tassi di interesse, costruzione della curva dei rendimenti e prezzi base dei prodotti. Passa quindi ad argomenti più avanzati: prezzi delle swaption e prezzi con tassi di interesse negativi. Vengono esplorate le swaption, che dipendono dalla volatilità, insieme alle opzioni sui tassi di interesse come coppie e tassi di flusso.

Il concetto di caplet viene introdotto come opzione europea che svolge un ruolo nella calibrazione del modello Hull-White. I caplet vengono utilizzati nei modelli dipendenti dal percorso e richiedono la calibrazione per gli strumenti di mercato. Il docente discute il modello Black-76 per la determinazione del prezzo dei caplet e distingue tra le equazioni di Black-Scholes e le equazioni di Black per i forward su tassi di interesse. La superficie di volatilità implicita per i tassi di interesse e il prezzo dei derivati esotici è brevemente menzionata come argomento per un corso futuro.

La conferenza approfondisce la calibrazione dei parametri per il modello completamente bianco utilizzando i prezzi di mercato per gli accoppiatori. Le volatilità implicite utilizzando il modello di Black vengono introdotte e utilizzate nel processo di calibrazione. Viene sottolineata la distinzione tra la volatilità implicita di Black e la volatilità implicita del modello. La conferenza copre la formula per una biblioteca dipendente da due zero bond e la sua sostituzione nel prezzo. Viene definito un nuovo strike per rimuovere componenti costanti o dipendenti dal tempo al di fuori delle aspettative, consentendo l'esplorazione di dinamiche o distribuzioni sotto la misura TK.

Il prezzo delle swaption è discusso in relazione al prezzo delle obbligazioni zero coupon in un modello zero coupon. La differenza sta nella tempistica dei pagamenti, con le obbligazioni zero coupon che pagano all'inizio e le swaption alla fine. La conferenza introduce il concetto di condizionamento su un campo di segnale e utilizza la definizione di conto servizio monetario per risolvere questo problema. Conduce a un'espressione per il prezzo dell'opzione di swap come l'aspettativa del rapporto di due conti di servizi monetari sotto la misura a termine.

La conferenza esplora ulteriormente la relazione tra caplet, obbligazioni e opzioni su obbligazioni zero coupon. Per il calcolo delle volatilità implicite viene utilizzato il modello di Black-Scholes, con calibrazione periodica dei parametri del modello. La conferenza sottolinea l'importanza di scegliere correttamente le date di simulazione e di abbinare misure e aspettative nel prezzo delle opzioni.

Viene discussa la generazione di sorrisi di volatilità implicita utilizzando prodotti a tasso di interesse e opzioni di prezzo su obbligazioni zero coupon. Il codice viene ispezionato per garantire valutazioni accurate e viene effettuato un confronto tra le obbligazioni zero coupon della curva dei rendimenti di mercato e derivate dal modello. Viene trattato il prezzo delle opzioni su obbligazioni zero coupon, comprese le opzioni put, e vengono eseguiti esperimenti per analizzare l'impatto della volatilità e delle versioni del modello sui prezzi.

La conferenza introduce un processo di iterazione per trovare la volatilità implicita che soddisfi il vincolo di pari valore di mercato e prezzo Black '76 per un'opzione. Griglie di diversi livelli di volatilità sono definite e interpolate come punto di partenza per Newton-Raphson. Viene discusso l'impatto del parametro di mean reversion sulle volatilità implicite, con una raccomandazione per correggerlo durante la calibrazione del parametro di volatilità. I parametri dipendenti dal tempo sono enfatizzati per considerazioni XVA.

Vengono affrontati i limiti dell'aggiunta di volatilità stocastica al modello HJM nella determinazione del prezzo dei derivati, compreso l'impatto sullo skew della volatilità implicita e le sfide di calibrazione. La conferenza mette in evidenza l'importanza della componente di rendita negli swap e la necessità di tenerne conto quando si modifica la misura. Comprendere gli swap sui tassi di interesse e migliorare i modelli mantenendo l'efficienza computazionale è fondamentale a causa della loro prevalenza nelle istituzioni finanziarie.

Il pricing degli swap è focalizzato, ipotizzando un'unica curva. Il valore di uno swap dipende da due pagamenti, iniziale e finale, e può essere rappresentato come differenza di due componenti nulle con lo strike moltiplicato per la rendita. Viene spiegato il prezzo alla pari, in cui lo strike viene scelto per rendere il valore pari a zero, con conseguente assenza di pagamenti in contanti. La volatilità è necessaria per valutare i derivati esotici, richiedendo la calibrazione per gli strumenti di mercato.

Viene discusso l'uso delle swaption nell'ingegneria finanziaria per misurare la volatilità del mercato. Le swaption sono derivati europei che conferiscono al detentore il diritto, ma non l'obbligo, di stipulare uno swap a una data futura predeterminata. Il prezzo di esercizio della swaption determina se il detentore sarà un pagatore o un destinatario dello swap. Sostituendo la definizione dello swap, viene derivata l'equazione di valutazione per le swaption e il numeratore dell'equazione viene identificato come un candidato idoneo per un cambio di misura. Ciò consente l'annullamento della componente di rendita e la semplificazione dell'equazione.

Il relatore spiega l'uso delle misure di rendita e del moto browniano geometrico per calcolare i prezzi delle swaption, supponendo che i tassi di swap non possano essere negativi. La misura della rendita è considerata una scelta appropriata per la misurazione e, in base a questa misura, lo scambio deve essere una martingala. Viene introdotta l'equazione di Black-Scholes come modello di prezzo per le swaption. Tuttavia, l'oratore riconosce che in pratica gli swap possono avere valori negativi, il che può porre problemi all'equazione dei prezzi. Dicono che una soluzione a questo problema sarà presentata più avanti durante la conferenza. L'obiettivo finale è determinare il prezzo in base al modello BlueWise, che verrà utilizzato per la simulazione nelle lezioni future.

Il docente discute la formulazione di uno swap in termini di obbligazioni zero coupon e come possa essere ridefinito come un'unica sommatoria di obbligazioni zero coupon con pesi diversi. Questa formulazione si rivela conveniente quando si cerca una soluzione per le opzioni di prezzo in condizioni di full white dynamics. La conferenza copre il processo di modifica della misura da una misura neutrale al rischio a una misura associata a un'obbligazione zero coupon, che aiuta ad affrontare la sfida del prezzo di uno swap. Il Jambchidian Flick viene introdotto come una tecnica per scambiare l'aspettativa del massimo di una somma con una somma di aspettative, un passaggio cruciale nella ricerca di una soluzione in forma chiusa per il prezzo delle swaption. Questo metodo aiuta a semplificare il processo di determinazione dei prezzi e ad ottenere risultati accurati.

La discussione dell'istruttore sottolinea l'importanza di comprendere e valutare in modo efficace le swaption, in quanto forniscono preziose informazioni sulla volatilità del mercato. La capacità di valutare e valutare con precisione questi derivati contribuisce a un processo decisionale informato e alla gestione del rischio nei mercati finanziari.

La conferenza copre vari argomenti avanzati relativi alla determinazione dei prezzi nel contesto delle swaption e dei tassi di interesse negativi. Esplora le complessità della calibrazione dei modelli, della determinazione delle volatilità implicite e della comprensione delle sfumature dei diversi approcci di prezzo. Il docente sottolinea l'importanza di selezionare attentamente i parametri, abbinare misure e aspettative e considerare i limiti e le sfide associate alla determinazione del prezzo dei derivati in ambienti finanziari complessi.

• 00:00:00 In questa sezione della lezione di ingegneria finanziaria, l'istruttore discute due argomenti importanti: il prezzo delle swaption e il prezzo con tassi di interesse negativi. La conferenza inizia con una breve rassegna delle lezioni precedenti, che hanno riguardato strumenti finanziari di base come swap e tassi di interesse, costruzione della curva dei rendimenti e determinazione del prezzo dei prodotti di base. La lezione passa poi ad argomenti più avanzati come il prezzo delle swaption, che dipendono dalla volatilità, e il prezzo dei tassi di interesse negativi, che non possono essere trascurati nel contesto del prezzo. La conferenza copre anche il prezzo delle opzioni sui tassi di interesse, come i distici e i tassi di flusso. La seconda parte della lezione si concentra sul prezzo sotto il modello full white e su come parlare di volatilità implicite sotto lo shift e il regime.
  
  
• 00:05:00 In questa sezione, il docente spiega il concetto di caplet, un'opzione europea che paga in una data futura, e come viene utilizzata come elemento costitutivo per la calibrazione del modello Hull-White. I caplet vengono spesso utilizzati per simulare modelli dipendenti dal percorso, come il modello Hull-White, in cui i parametri devono essere calibrati per gli strumenti di mercato. Il docente discute anche il modello Black-76 per la determinazione del prezzo dei caplet e menziona la differenza tra le equazioni di Black-Scholes e le equazioni di Black per i forward su tassi di interesse. Infine, la conferenza tocca il concetto di superficie di volatilità implicita per i tassi di interesse e il prezzo dei derivati esotici, che farà parte di un corso di follow-up.
  
  
• 00:10:00 In questa sezione, il relatore discute come calibrare i parametri per il modello completamente bianco per generare percorsi utilizzando un prezzo di mercato per il distico. Viene introdotto il concetto di volatilità implicite utilizzando il modello di Black, che può essere utilizzato anche nel processo di calibrazione. Si sottolinea che quando si parla di volatilità implicita, si tratta sempre della volatilità implicita del Nero e non della volatilità implicita del modello utilizzato. Il relatore prosegue poi spiegando la formula per una libreria che dipende da due zero bond e come può essere sostituita nel prezzo. Viene definito un nuovo strike per rimuovere la parte costante o dipendente dal tempo al di fuori delle aspettative, consentendo a chi parla di trovare la dinamica o la distribuzione per $RTK-1$ sotto la misura $TK$.
  
  
• 00:15:00 In questa sezione, il docente discute il prezzo delle swaption in relazione al prezzo delle obbligazioni zero coupon in un modello zero coupon. Una differenza tra i due è che il pagamento per l'obbligazione zero coupon avviene all'inizio, mentre per la swaption avviene alla fine, rendendo difficile l'applicazione diretta del primo. Tuttavia, il condizionamento su un campo di segnale può risolvere questo problema utilizzando la definizione di conto servizio monetario, consentendo la scomposizione dell'integrale del conto servizio monetario in due integrali. Ciò porta a un'espressione per il prezzo dell'opzione di swap come l'aspettativa del rapporto di due conti di servizi monetari sotto la misura a termine.
  
  
• 00:20:00 In questa sezione, il docente discute la connessione tra caplet e obbligazioni alle opzioni su obbligazioni zero coupon e l'uso del prezzo per calcolare le volatilità implicite utilizzando il modello Black-Scholes. Il modello viene calibrato su base non frequente, una volta ogni pochi mesi, e il coefficiente di volatilità viene ricalibrato su base giornaliera o addirittura a infrarossi. La conferenza sottolinea l'importanza di scegliere con cura le date corrette durante la simulazione e l'importanza di abbinare misure e aspettative quando si tratta di prezzi delle opzioni.
  
  
• 00:25:00 In questa sezione della conferenza, l'attenzione si concentra sulla generazione di sorrisi di volatilità implicita utilizzando prodotti di tasso di interesse come accoppiatori e utilizzando il meccanismo delle opzioni di prezzo su obbligazioni zero coupon. Il codice viene ispezionato per garantire che non vi siano errori nelle valutazioni e viene effettuato un confronto tra le obbligazioni zero coupon della curva dei rendimenti ottenute dal mercato e il modello per garantire che non vi siano errori in questa fase. La sezione copre anche il calcolo dei prezzi di un'opzione su un'obbligazione zero coupon, la verifica o il prezzo di un'opzione put su un'obbligazione zero coupon e l'esecuzione di esperimenti per verificare l'impatto della volatilità e della versione minerale sui prezzi.
  
  
• 00:30:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute l'uso di un processo di iterazione per trovare la volatilità implicita di un'opzione che soddisfa il vincolo secondo cui il valore di mercato di un'opzione è uguale al prezzo Black '76 di un'opzione opzione. Il processo prevede la definizione di griglie di diversi livelli di volatilità e la loro interpolazione come buona ipotesi per Newton-Raphson. Inoltre, l'istruttore osserva che il parametro di mean reversion ha un impatto minore sulle volatilità implicite rispetto al parametro di volatilità ed è spesso fisso nella pratica, mentre l'eta è spesso calibrato e considerato dipendente dal tempo per consentire l'inclusione della struttura dei termini di volatilità in il modello. L'uso di parametri dipendenti dal tempo è essenziale nel contesto di XVA, che sarà discusso più avanti nel corso.
  
  
• 00:35:00 In questa sezione, il relatore discute i limiti dell'aggiunta di volatilità stocastica al modello HJM nella determinazione del prezzo dei derivati. Sebbene possa influire sullo smile o sull'inclinazione della volatilità implicita, l'aggiunta di volatilità stocastica rende più difficile la calibrazione. Il relatore sottolinea, inoltre, l'importanza della componente rendita negli swap e la necessità di tenerne conto in sede di modifica della misura. Il relatore osserva che la maggior parte degli strumenti di trading book nelle istituzioni bancarie e finanziarie sono in swap su tassi di interesse, quindi è importante avere una buona comprensione di questi prodotti e la possibilità di migliorare i modelli mantenendo l'efficienza computazionale.
  
  
• 00:40:00 In questa sezione della conferenza, l'attenzione si concentra sul prezzo di uno swap, con la semplificazione che esiste una sola curva. Il valore dello swap dipende dai due pagamenti, inizialmente al valore dello swap e alla fine, ed è rappresentato come differenza di due componenti zero con lo strike moltiplicato per la rendita. Lo swap ha sempre un prezzo pari e scegliamo lo strike in modo tale che il valore sia uguale a zero, il che significa che non sono richiesti pagamenti in contanti. Il valore dello swap può essere rappresentato come la rendita moltiplicata per il tasso swap meno strike, un'importante formula utilizzata nella valutazione dello swap. L'aggiunta della volatilità è necessaria per la determinazione del prezzo dei derivati esotici e la calibrazione agli strumenti di mercato è necessaria per determinare i parametri del modello.
  
  
• 00:45:00 In questa sezione della lezione, l'istruttore discute l'uso delle swaption nell'ingegneria finanziaria come un modo per ottenere informazioni sulla volatilità del mercato. Le swaption sono strumenti derivati di tipo europeo che conferiscono al detentore il diritto, ma non l'obbligo, di stipulare uno swap a una data futura predeterminata. Il prezzo di esercizio della swaption determina se il detentore sarà un pagatore o un destinatario dello swap. Sostituendo la definizione di swap, si ottiene l'equazione di valutazione per le swaption e si scopre che il numeratore è un buon candidato per il cambio di misura. Ciò consente l'annullamento della componente di rendita e la semplificazione dell'equazione.
  
  
• 00:50:00 In questa sezione della conferenza, il relatore discute l'uso delle misure di rendita e del moto browniano geometrico per ricavare il prezzo delle swaption nell'ipotesi che i tassi di swap non possano essere negativi. Spiegano che la misura della rendita è un buon candidato per la misurazione e che lo scambio sotto la misura della rendita deve essere una martingala. L'oratore introduce quindi l'equazione di Black-Scholes per la determinazione del prezzo delle swaption e osserva che gli swap possono essere negativi nella pratica, il che può causare problemi con l'equazione del prezzo. Suggeriscono una correzione che verrà introdotta più avanti nella lezione e sottolineano il loro obiettivo finale di trovare il prezzo sotto il modello BlueWise, che verrà utilizzato per la simulazione nelle lezioni future.
  
  
• 00:55:00 In questa sezione, il docente discute la formulazione di uno swap in termini di obbligazioni zero coupon e come può essere riformulato come un'unica somma di obbligazioni zero coupon con pesi diversi. Questa formulazione è utile quando si trova una soluzione per le opzioni di prezzo in condizioni di dinamica completamente bianca. La conferenza spiega anche il processo di modifica della misura da una misura neutrale al rischio a una misura associata a un'obbligazione zero coupon e come questo aiuta a risolvere il problema della determinazione del prezzo di uno swap. Il docente introduce il Jambchidian Flick, che consente lo scambio dell'aspettativa del massimo di una somma con una somma di aspettative, un passaggio cruciale nella ricerca di una soluzione in forma chiusa per il prezzo delle swaption.