Des tâches d'entraînement cérébral liées d'une manière ou d'une autre au commerce. Théoricien, théorie des jeux, etc. - page 2

[Sceptic Philozoff]

Soit la probabilité de A est p, la probabilité de B est q = 1-p.

m.o. le résultat d'un pari impair :

MOnechA = p*1p + q*(-1)roupie = (2p-1)roupie.

Évidemment, si nous misons sur B au lieu de A, alors MOneachB = 2q-1 = 1-2p = - MOneachA.

m.o. du résultat d'un pari pair :

p*2*MonechA + (1p)*4*MonechB =

= p*2*MonechA - (1p)*4*MonechA =

=MONECHA*(p*2 - (1-r)*4) =

= (2p-1)(6p - 4)

Reste à ajouter et à diviser en deux :

1/2*(2p-1 + (6p-4)(2p-1)) =

= (2p-1)/2*(1+6p-4)) =

= (2p-1)/2*3*(2p-1)) =

= 3/2*(2p-1)^2 >= 0, h, etc.

[Yury Reshetov]

Mathemat:

Soit la probabilité de A est p, la probabilité de B est q = 1-p.

Dans d'autres cas, nous réalisons un bénéfice :

MOnechA = p*1p + q*(-1)roupie = (2p-1)roupie.

Évidemment, si on mise à la place de A sur B, alors MOneachB = 2q-1 = 1-2p = - MOneachA.

m.o. du résultat d'un pari pair :

p*2*MonechA + (1p)*4*MonechB =

= p*2*MonechA - (1p)*4*MonechA =

=MONECHA*(p*2 - (1-r)*4) =

= (2p-1)(6p - 4)

Reste à ajouter et à diviser en deux :

1/2*(2p-1 + (6p-4)(2p-1)) =

= (2p-1)/2*(1+6p-4)) =

= (2p-1)/2*3*(2p-1)) =

= 3/2*(2p-1)^2 >= 0, h, etc.

C'est un peu trop compliqué.

Calculons d'une manière plus simple, à savoir par série d'événements :

La série AA gagne +3.

Série AB gagne -1

Victoire de la série BA -5

Victoire BB de la série +3

Soit la probabilité de l'événement A = p

Alors la série AA va chuter avec une probabilité p^2

Série AB et série BA avec la probabilité p * (1 - p) = p - p^2

Série BB avec probabilité (1 - 2)^2 = 1 - 2*p + p^2

Total des gains attendus : 3 * p^2 + 3 * (1 - 2*p + p^2) = 3 * (1 - 2 * p + 2 * p^2)

Gain total attendu : (-5 - 1) * (p - p^2) = -6 * (p - p^2)

Construisons une inégalité à prouver :

0 <= 3 * (1 - 2 *p + 2 * p^2) - 6 * (p - p^2)

6 * (p - p^2) <= 3 * (1 - 2 *p + 2 * p^2)

2 * (p - p^2) <= 1 - 2 * (p - p^2)

4 * (p - p^2) <= 1

p - p^2 <= 1 / 4

Il ne reste plus qu'à prouver que p - p^2 pour toute valeur de p comprise entre 0 et 1 ne peut être supérieur à 1/4. C'est déjà simple. Puisque aux extrêmes de p = 0 et p = 1, p - p^2 = 0. Et à p = 0,5 nous avons un extremum, p - p^2 = 1/4 = 0,25

Par conséquent, nous traitons le système de taux qui n'a pas d'espérance de gain négative. C'est-à-dire qu'avec le pire résultat, nous avons encore des bénéfices. Dans d'autres cas, nous réalisons des bénéfices.

En regardant les séries en considérant les gains et les pertes, nous pouvons conclure que le système de pari est en tendance, car les séries AA et BB donnent des bénéfices, tandis que les séries AB et BA donnent des pertes.

[sever30]

Reshetov:

Et personne n'a dit que le système de pari est sans risque. C'est gagnant-gagnant selon le MO, c'est-à-dire qu'à p(A) != 0,5 le profit aura tendance à augmenter. Mais la variance peut produire des drawdowns.

Pour information : j'ai oublié de désactiver le script d'hier... Je me maintiens depuis quelques heures autour de 1500-2000 RUR. Le nombre de cycles, j'ai peur de l'imaginer.

[Yury Reshetov]

sever30:

Pour information : j'ai oublié d'éteindre le script d'hier... comme quelques heures autour de 1500-2000rub. tenu. Le nombre de cycles, j'ai peur de l'imaginer.

Il est préférable de réécrire l'algorithme dans un langage qui se compile en code machine, comme le C ou le Java, et en expression entière. Ensuite, des centaines de millions de passages seront exécutés en quelques secondes. Voici un exemple en Java :

  private void test() {
    Random rand = new java.util.Random();
    int deposit = 0; // Начальный депозит
    for (int i = 0; i < 100000000; i++) {
      int number = 0;
      for (int j = 0; j < 2; j++) {
        number = number * 2;
       // Если сравнение с числом не равным 49,
       // то, вероятность не равна 0.5
       // и депозит будет расти
        if (rand.nextInt(100) > 49) {
          number++;
        }
      }
      if (number == 0) {
        deposit +=3;
      }
      if (number == 1) {
        deposit--;
      }
      if (number == 2) {
        deposit -= 5;
      }
      if (number == 3) {
        deposit +=3;
      }
    }
    System.out.println(deposit);
  }

Et voici les résultats pour p(A) = 0,5

58264
-4496
7560
41640
62312
-23208
-11952
32124

C'est-à-dire que même si le PRGP est multiplicatif avec une distribution assez uniforme, le nombre de tests rentables dépasse légèrement le nombre de tests non rentables en raison de la variance.

Et voici les tests où la comparaison se fait avec le numéro 50, soit p(A) = 0.51

143484
133556
101844
152840
76956
90296

Pour p(A) = 0.49, c'est-à-dire en comparant avec le numéro 48

100740
147924
80708
115648
128136
101544

Les résultats sont à peu près les mêmes, puisque la MO pour p(A) = x est égale à la MO pour p(A) = 1 - x.

[Yury Reshetov]

OK, nous avons traité le cas particulier. Passons maintenant au deuxième problème, à savoir la formulation généralisée :

Systèmes de paris avec espérance non négative

Soit deux événements mutuellement exclusifs A et B avec des probabilités correspondantes : p(A) = 1 - p(B).

Règles du jeu : si un joueur parie sur un événement et que cet événement tombe, ses gains sont égaux à sa mise. Si l'événement ne tombe pas, sa perte est égale à sa mise.

Notre joueur parie en utilisant le système suivant :

Le premier pari ou tout autre pari impair est toujours sur l'événement A. Tous les paris impairs sont toujours de taille égale, par exemple 1 rouble.

La deuxième ou toute autre mise impaire :

- Si le pari impair précédent est gagné, le pari pair suivant est augmenté de x fois, x étant supérieur au pari impair, et placé sur l'événement A.
- Si le pari impair précédent est perdu, le pari pair suivant augmente y = f(x) fois, et est placé sur l'événement B.

Problème: trouver une fonction pour y = f(x) telle que l'espérance pour tout p(A) dans un intervalle acceptable de p(A) = 0 à p(A) = 1 est non négative et que la condition selon laquelle l'espérance pour p(A) = x est égale à l'espérance pour p(A) = 1 - x est satisfaite.

[Candid]

Reshetov:

p - p^2 <= 1 / 4

Il ne reste plus qu'à prouver que p - p^2 pour toute valeur de p comprise entre 0 et 1 ne peut être supérieure à 1/4. C'est déjà simple. Puisque aux extrêmes de p = 0 et p = 1, p - p^2 = 0. Et à p = 0,5 nous avons un extremum, p - p^2 = 1/4 = 0,25

Par conséquent, nous traitons le système de taux qui n'a pas d'espérance de gain négative. C'est-à-dire qu'avec le pire résultat, nous avons encore des bénéfices. Dans d'autres cas, nous réalisons des bénéfices.

En regardant les séries, en tenant compte des gains et des pertes, on peut conclure que le système de pari est un système de pari à tendance, car les séries AA et BB donnent des gains, tandis que les séries AB et BA donnent des pertes.

Ce n'est pas clair ce qui se passe ici. Pour p = 0,5, nous avons l'espérance 0. Et quand il est différent de 0.5, nous avons une tendance constante, sur laquelle nous gagnerons avec n'importe quel système de pari, avec ou sans martingale. Si nous déterminons correctement la tendance, bien sûr :)

[[Supprimé]]

Reshetov:

En regardant les séries avec des gains et des pertes, nous pouvons conclure que le système de pari est en tendance, car les séries AA et BB sont rentables, tandis que les séries AB et BA sont perdantes.

Si les événements A et B sont aléatoires avec une probabilité de 0,5 et indépendants, aucun money management ne permettra de rentabiliser le système. Son capital sera un vagabond aléatoire. Et comme, par définition, un joueur ne peut pas avoir un capital infini, il est condamné, tôt ou tard, à perdre tout ce qu'il possède.

[Yury Reshetov]

timbo:
Si les événements A et B sont aléatoires avec une probabilité de 0,5 et indépendants, aucun money management ne permettra de rentabiliser le système. Son capital sera un vagabond aléatoire. Et comme un joueur, par définition, ne peut pas avoir un capital infini, tôt ou tard, il est condamné à perdre tout ce qu'il possède.

Votre déclaration est sciemment fausse. Apprenez les mathématiques - c'est pratique.

La bonne méthode est la suivante :

Si les événements A et B sont aléatoires avec une probabilité de 0,5 et indépendants, alors aucun gestionnaire d'argent ne fera un système de pari dans un jeu de beagle ou similaire avec une espérance non égale à 0. Son équité sera un errant aléatoire. Et comme le joueur, par définition, ne peut pas avoir une équité infinie, tôt ou tard, il va soit utiliser tout ce qu'il a avec une probabilité de 0,5, soit gagner l'équité égale au capital initial, c'est-à-dire doubler le capital initial avec la même probabilité de 0,5 pendant le temps approximatif de x^2 paris placés.

Par conséquent, MO = x * 0,5 - x * 0,5 = 0 ;

où : x est le montant du capital initial / la taille du pari

[[Supprimé]]

Reshetov:

Votre déclaration est sciemment fausse. Apprenez les mathématiques - c'est le meilleur.

C'est exact :

Si les événements A et B sont aléatoires avec une probabilité de 0,5 et indépendants, aucune gestion de l'argent ne fera un système avec une espérance non égale à 0. Son capital sera un vagabond aléatoire. Et comme le joueur ne peut pas avoir une équité infinie par définition, tôt ou tard, il va soit utiliser tout ce qu'il a avec une probabilité de 0,5, soit gagner une équité égale à l'équité initiale, c'est-à-dire le double de l'équité initiale avec la même probabilité de 0,5.

En conséquence, MO = 1 * 0,5 - 1 * 0,5 = 0.

Reshetov - vous êtes un trio pathologique. C'est la théorie classique de la marche aléatoire. Une espérance mathématique de 0 ne vous évite pas d'être vidé. Un joueur peut gagner beaucoup, beaucoup plus que son capital initial, mais si le jeu se poursuit indéfiniment, il risque de tout perdre.

[Yury Reshetov]

timbo:
Reshetov - vous êtes un trio pathologique. C'est la théorie classique de la marche aléatoire. Une espérance mathématique de 0 ne vous évite pas d'être largué. Un joueur peut gagner beaucoup, beaucoup plus que le capital initial, mais si le jeu continue indéfiniment, il est sûr de tout perdre.

Même un pieu moins pour vous-mêmes serait une note trop élevée pour un théoricien.

La ringardise sous forme de jeu infiniment long ne s'applique pas. Notre vie est limitée dans le temps.

De plus, il est prouvé que le joueur d'aigle ne perd avec un capital limité que lorsque la probabilité de gagner est inférieure à 0,5 et seulement lorsque le jeu est joué contre un joueur au capital infini. Dans d'autres cas, le joueur au capital fini peut perdre ou doubler, tripler, quadrupler, etc.

Apprenez les bases - c'est apprivoisé.