Algoritmik ticaret - sayfa 36
Ticaret fırsatlarını kaçırıyorsunuz:
- Ücretsiz ticaret uygulamaları
- İşlem kopyalama için 8.000'den fazla sinyal
- Finansal piyasaları keşfetmek için ekonomik haberler
Kayıt
Giriş yap
Gizlilik ve Veri Koruma Politikasını ve MQL5.com Kullanım Şartlarını kabul edersiniz
Hesabınız yoksa, lütfen kaydolun
Opsiyon Değerlerini Etkileyen Faktörler (CFA® ve FRM® Sınavları İçin Hesaplamalar)
Opsiyon Değerlerini Etkileyen Faktörler (CFA® ve FRM® Sınavları İçin Hesaplamalar)
Şimdi kavram kapsülleri konusunu derinlemesine inceleyelim ve seçenek değerlerini etkileyen faktörleri keşfedelim. Bu konu, FRM programının yanı sıra DFA müfredatının her üç seviyesiyle de ilgilidir. Faktörlere girmeden önce, seçenek gösterimlerini ve temel seçenek ödeme profillerini özetleyelim.
Bir seçeneğin değerini etkileyen, seçenek teorisinde kapsanan kavramlarla uyumlu altı faktör vardır. Notasyonları gözden geçirelim. Mevcut hisse senedi fiyatı "S" ile gösterilir. Uygulama fiyatı veya kullanım fiyatı "X" veya "K" ile temsil edilir. Her iki notasyon da kullanılabilir. Opsiyonun sona ermesine kalan süre, opsiyonun vadeye erişmesine ne kadar kaldığını gösteren "T" ile gösterilir. "R", değerleme dönemi boyunca kısa vadeli risksiz oranı temsil eder. Son olarak, "D" temettülerin bugünkü değerini veya dayanak hisse senedi veya varlıkla ilişkili diğer faydaları temsil eder.
Şimdi, seçeneklerin tanımını ve çeşitli ödeme profillerini kısaca özetleyelim. Opsiyonlar, alıcıya bir yükümlülük yerine bir hak sağladığı için vadeli işlemlerden veya vadeli işlemlerden farklıdır. Opsiyon alıcıları, kendileri için en karlı olana bağlı olarak haklarını kullanıp kullanmamayı seçebilirler. İki tür opsiyon vardır: alım opsiyonları ve satım opsiyonları. Alım opsiyonları dayanak varlığı alma hakkı verirken, satım opsiyonları dayanak varlığı satma hakkı verir. Kısa pozisyon bu eylemleri tersine çevirirken, bu perspektiflerin uzun pozisyondan geldiğini not etmek önemlidir. Örneğin, kısa bir çağrı, dayanak varlığı satma yükümlülüğünü temsil eder.
Dört seçenek ödeme pozisyonu, uzun alım, kısa alım, uzun alım ve kısa alımdır. Uzun bir alım, dayanak varlığı satın alma hakkını temsil eder ve genellikle varlığın fiyatının yükselmesi beklendiğinde kullanılır. Tersine, kısa bir çağrı, dayanak varlığı satma yükümlülüğünü temsil eder. Uzun bir satış için, hamil dayanak varlığı satma hakkına sahiptir, bu genellikle varlığın fiyatının düşmesi beklendiğinde kullanılır. Açığa satış, dayanak varlığı satın alma yükümlülüğünü temsil eder.
Bu seçeneklerin değerini hesaplamak için formülleri kullanabiliriz. Uzun görüşme formülü maksimum 0 ve hisse senedi fiyatı (ST) ile uygulama fiyatı (K) arasındaki farktır. Kısa bir arama için formül, uzun bir aramanın negatif değeridir. Alım satımın formülü maksimum 0 ve uygulama fiyatı (K) ile hisse senedi fiyatı (ST) arasındaki farktır. Son olarak, kısa bir satış, uzun bir satışın negatif değeridir.
Amerikan seçenekleri ile Avrupa seçenekleri arasında ayrım yapmak önemlidir. Amerikan opsiyonları daha fazla esneklik sağlayarak, sahibine opsiyonu vade sonuna kadar herhangi bir zamanda kullanmasına izin verir. Öte yandan, Avrupa opsiyonları daha katıdır ve yalnızca vade sonunda kullanılabilir. Ancak, Avrupa opsiyonları vadesinden önce alınıp satılabilir ve tatbikat ancak son gün mümkündür. Analizimizde, Amerikan seçenekleri sundukları ek esneklik nedeniyle daha pahalı olma eğiliminde olduğundan, öncelikle Avrupa seçenekleri üzerindeki etkiyi dikkate alıyoruz.
Seçenek değerlerini etkileyen faktörler ana konusuna geçelim, verilen tabloyu inceleyelim. Tablo, değişkenleri ve bunların alım ve satım değerleri üzerindeki etkisini gösterir. Bu faktörlerdeki artışın etkisini analiz etmeye odaklanacağız.
İlk olarak, hisse senedi fiyatını (S) ele alalım. Hisse senedi fiyatı artarsa, çağrı değerleri de artacaktır. Bunun nedeni, hisse senedi fiyatı ile kullanım fiyatı arasındaki farkın artması ve daha yüksek alım opsiyonu değerlerine yol açmasıdır. Tersine, hisse senedi fiyatındaki bir artış, satım opsiyonu formülündeki hisse senedi fiyatıyla ilişkilendirilen negatif işaret, kullanım fiyatı ile hisse senedi fiyatı arasındaki farkı daralttığı için, satım değerlerini düşürecektir.
Şimdi, kullanım fiyatındaki (K) artışın etkisini inceleyelim. Kullanım fiyatındaki (K) bir artışın, çağrı değerleriyle ters bir ilişkisi vardır. Kullanım fiyatı arttığında, hisse senedi fiyatı ile kullanım fiyatı arasındaki fark daralır ve bu da alım opsiyonu değerlerinin düşmesine neden olur. Öte yandan, kullanım fiyatındaki bir artış, satış değerlerinin artmasına neden olur. Kullanım fiyatı yükseldikçe, kullanım fiyatı ile hisse senedi fiyatı arasındaki fark genişler ve bu da daha yüksek satış opsiyonu değerlerine neden olur.
Vadeye kalan süreye (T) gelecek olursak, bu faktördeki bir artışın hem alım hem de satım değerleri üzerinde olumlu bir etkisi vardır. Vade bitimine daha fazla zaman varken, altta yatan hisse senedi fiyatının opsiyon sahibi lehine hareket etme olasılığı daha yüksektir. Bu artan fiyat hareketi potansiyeli, daha yüksek opsiyon değerlerine yol açar.
Risksiz oranın (R) opsiyon değerleri üzerindeki etkisi biraz sezgiseldir. Risksiz orandaki bir artış, opsiyonla ilişkili gelecekteki nakit akışlarının bugünkü değerini artıracaktır. Bu, daha yüksek çağrı değerlerine ve daha düşük koyma değerlerine yol açar.
Temettülerin (D) de opsiyon değerleri üzerinde etkisi vardır. Alım opsiyonları için temettülerdeki bir artış, hisse senediyle ilişkili gelecekteki nakit akışlarının bugünkü değerini düşürerek daha düşük alım opsiyonu değerlerine yol açar. Tersine, satış opsiyonları için temettülerdeki bir artış, hisse senediyle ilişkili gelecekteki nakit akışlarının bugünkü değerini artırarak daha yüksek satış opsiyonu değerlerine yol açar.
Son olarak, dayanak hisse senedinin oynaklığının (σ) hem alım hem de satım değerleri üzerinde olumlu bir etkisi vardır. Daha yüksek oynaklık, daha büyük fiyat hareketleri potansiyelini artırarak seçeneğin kârlı sonuçlanma olasılığını artırır. Sonuç olarak, alım ve satım opsiyonu değerleri, daha yüksek hisse senedi oynaklığı ile birlikte yükselir.
Bu faktörlerin opsiyon değerleri üzerindeki etkisinin diğer faktörlere ve piyasa koşullarına bağlı olarak değişebileceğini not etmek önemlidir. Black-Scholes modeli gibi opsiyon fiyatlama modelleri, bu faktörleri dikkate alır ve opsiyonların değerlemesi için daha kapsamlı bir çerçeve sağlar.
Seçenek değerlerini etkileyen faktörleri anlamak, seçenek fiyatlandırması, risk yönetimi ve seçenekleri içeren yatırım stratejileri geliştirmek için çok önemlidir.
Opsiyon değerlerini etkileyen bir diğer önemli faktör, dayanak varlığın (S) fiyatıdır. Alım opsiyonlarında, dayanak varlığın fiyatı arttıkça opsiyon daha değerli hale gelir çünkü opsiyon sahibi varlığı daha düşük bir kullanım fiyatından alıp daha sonra daha yüksek piyasa fiyatından satma hakkına sahiptir. Bu kar potansiyeli, daha yüksek alım opsiyonu değerlerine yol açar. Öte yandan, satım opsiyonlarında dayanak varlığın fiyatı arttıkça opsiyonun değeri düşer çünkü opsiyon sahibi varlığı piyasa fiyatı daha yüksekken daha düşük bir kullanım fiyatından satma hakkına sahiptir. Bu kayıp potansiyeli, daha düşük satım opsiyonu değerleri ile sonuçlanır.
Örtülü oynaklık (IV), opsiyon değerlerini etkileyen diğer bir kritik faktördür. Zımni oynaklık, piyasanın gelecekteki oynaklık beklentisidir ve mevcut opsiyon fiyatlarından türetilir. Zımni oynaklık arttıkça, dayanak varlıkta daha büyük fiyat dalgalanmaları olasılığı daha yüksek olduğundan, opsiyon değerleri yükselme eğilimi gösterir. Artan oynaklık, opsiyonun kârlı sonuçlanma olasılığını artırarak daha yüksek opsiyon değerlerine yol açar. Tersine, zımni oynaklık azaldığında, seçenek değerleri düşme eğilimindedir.
Piyasa arz ve talep dinamikleri de opsiyon değerlerini etkileyebilir. Opsiyonlara yüksek talep varsa, artan alım baskısı nedeniyle fiyatları artabilir. Tersine, opsiyonlara talep düşükse fiyatları düşebilir. Piyasa koşulları, yatırımcı duyarlılığı ve genel piyasa eğilimleri, opsiyon değerlerini etkileyerek arz ve talep dinamiklerini etkileyebilir.
Burada tartışılan faktörlerin, opsiyonları değerlemek için teorik bir çerçeve sağlayan Black-Scholes modeli gibi opsiyon fiyatlama modellerinde yaygın olarak kullanıldığını belirtmek gerekir. Ancak, fiili opsiyon fiyatları, piyasa verimsizlikleri, işlem maliyetleri, likidite ve diğer faktörler nedeniyle modelin tahminlerinden sapabilir.
Opsiyon değerlerini etkileyen faktörleri anlamak, opsiyon tüccarları ve yatırımcılar için çok önemlidir. Bu faktörleri göz önünde bulundurarak ve piyasa koşullarını analiz ederek, bireyler opsiyon alım satım stratejileri, risk yönetimi ve portföy oluşturma konusunda daha bilinçli kararlar alabilirler.
Menkul Kıymet Piyasa Endeksleri (CFA® Sınavları için Hesaplamalar)
Menkul Kıymet Piyasa Endeksleri (CFA® Sınavları için Hesaplamalar)
Merhaba ve hoşgeldin! Bugün, hisse senedi endeksleri kavramını derinlemesine inceleyeceğiz ve özellikle hisse senedi endekslerine odaklanarak bunları tartmanın farklı yöntemlerini keşfedeceğiz. Hisse senedi endeksleri geniş çapta tanınır ve haberlerde sıklıkla görülür, ancak endekslerin hisse senedi piyasalarına özel olmadığına dikkat etmek önemlidir. Sabit getirili, koruma fonları, para birimleri ve diğer birçok pazar için kullanılabilecek endeksler vardır.
Bir endeks esasen belirli bir pazarın temsilidir. Yatırımcıların piyasanın performansını ve riskini izlemesi için bir araç görevi görür. Ek olarak, borsa yatırım fonları (ETF'ler) genellikle bu endeksleri kıyaslama olarak kullanır. Bir endeksin iki temel versiyonu vardır: fiyat getiri endeksi ve toplam getiri endeksi.
Fiyat getiri endeksi, yalnızca kurucu menkul kıymetlerin fiyatlarını izler. Endeksin bitiş değeri ile başlangıç değeri arasındaki farkı, endeksin orijinal fiyat düzeyine bölerek hesaplar. Esasen, fiyat getiri endeksi tutma süresi getirisi kavramına benzer.
Öte yandan, toplam getiri endeksi yalnızca fiyat değişikliklerini izlemekle kalmaz, aynı zamanda onu oluşturan menkul kıymetlerle ilgili herhangi bir gelir veya dağılımı da dikkate alır. Bu, temettüleri veya faizin yeniden yatırımını içerir. Toplam getiri endeksini hesaplamak için fiyatlardaki fark gelir getirisiyle birleştirilir. Daha önce belirtilen formül kullanılabilir veya BA II Plus veya HP 12C gibi hesap makinelerinde bulunan yüzde değişim işlevi kullanılabilir.
Çeşitli hisse senedi endekslerine geçelim, en basitinden başlayalım: fiyat ağırlıklı endeks. Bu yöntemde, her bir bileşen menkul kıymetin fiyatı toplanır ve ortalaması hesaplanır. Varsayım, her menkul kıymetten bir birimin satın alındığıdır. Bu endeks türü, Dow Jones Endüstriyel Ortalama ve Nikkei gibi örneklerde yaygın olarak kullanılır. Hesaplaması basit olmasına rağmen, dezavantajları vardır. Bir hisse bölünmesi veya konsolidasyon olduğunda, fiyat değişikliklerinden etkilenmemesini sağlamak için endeks seviyesinin ayarlanması gerekir.
Diğer bir tür, ağırlıksız dizin olarak da bilinen eşit ağırlıklı dizindir. Bu yöntemde, birim sayısına bakılmaksızın her menkul kıymete eşit miktarda para yatırılır. Bu, birçok durumda kesirli paylara yol açar. Endeks hisse senetlerinin aritmetik ortalama getirisi alınarak eşit ağırlıklı endeks hesaplanmaktadır. Eşit ağırlıklı endekslere örnek olarak Değer Çizgisi Bileşik Ortalaması ve Financial Times Adi Hisse Senedi Endeksi verilebilir.
Tartışacağımız üçüncü tür, değer ağırlıklı yöntem olarak da bilinen piyasa değeri ağırlıklı endekstir. Her bir kurucu menkul kıymetin ağırlığı, piyasa değerine göre belirlenir. Piyasa değeri, hisse fiyatının tedavüldeki toplam hisse sayısı ile çarpılmasıyla hesaplanır. Her menkul kıymete atanan ağırlık, piyasa değerinin tüm menkul kıymetlerin toplam piyasa değerine bölünmesiyle hesaplanır. Bu yöntem, endeksin genel değerini yansıtır. Piyasa değeri ağırlıklı endekse bir örnek S&P 500'dür.
Bu kavramları göstermek için, her bir dizin türü için sayısal örnekler ele alalım. Endeks seviyelerini ve getirileri verilen fiyatlara, hisse sayısına ve piyasa değerlerine göre hesaplayacağız.
Sonuç olarak, hisse senedi endeksleri, yatırımcıların çeşitli piyasaların performansını ve riskini izlemesi için temel araçlar olarak hizmet vermektedir. Fiyat ağırlıklı, eşit ağırlıklı ve piyasa değeri ağırlıklı endeksler gibi farklı tartım yöntemlerini anlamak, yatırımcıların yatırım tercihlerine ve hedeflerine göre bilinçli kararlar almalarına olanak tanır.
Temettü İndirim Modeli (CFA® Sınavları için Hesaplamalar)
Temettü İndirim Modeli (CFA® Sınavları için Hesaplamalar)
Merhaba, Concept Capsules'a hoş geldiniz! Bugünün tartışma konusu, temettü iskonto modelidir (DDM). Bu tartışma öncelikle DDM 1. Düzey perspektifinden DDM'nin temellerine odaklanacaktır, ancak aynı zamanda CFA Düzey 2 DDM bölümü için bir başlangıç görevi görebilir.
Temettü iskonto modeli, bir hisse senedinin değerini değerlendirmek için kullanılan bir değerleme yöntemidir. Bu yöntemde, gelecekteki temettüleri ve çıkış değerini tahmin ediyoruz ve ardından bu nakit akışlarını sıfır zaman dilimi olan şimdiki zamana indirgiyoruz. DDM, hem tercih edilen hisse senedini hem de adi hisse senedini değerlemek için kullanılabilir, adi hisse senedi daha riskli versiyondur.
Tercihli hisse senedini DDM kullanarak değerlendirirken, bunu sürekli olarak ele alırız. İmtiyazlı hisse senedi, kalıcılığa benzer şekilde süresiz olarak sabit bir temettü tutarı öder. Tercihli hisse senedini değerleme formülü, temettünün (nakit akışı) tercihli özsermaye maliyetine (indirim oranı) bölündüğü süreklilik formülünden türetilmiştir. İmtiyazlı hisse senedi iskonto oranının, adi hisse senedi için kullanılandan daha düşük olması gerektiğine dikkat etmek önemlidir. Katılımcı tercihli veya dönüştürülebilir tercihli gibi özel imtiyazlı hisse kategorileri varsa, temettü ve iskonto oranlarının buna göre ayarlanması gerekir.
Tercih edilen bir hisse senedinin değerini hesaplamak için basit bir örnek ele alalım. İskonto oranının (k) %10 ve temettünün (c) 5 olduğunu varsayalım. Süreklilik formülünü uygulayarak, imtiyazlı hisse senedinin değerini 50 olarak alıyoruz.
Adi sermayenin değerlemesine geçildiğinde, gelecekteki nakit akışlarının boyutu ve zamanlaması belirsiz olduğu için daha zor hale gelir. Ek olarak, Sermaye Varlıkları Fiyatlandırma Modeli (CAPM) gibi modellerin yaygın olarak kullanıldığı gerekli getiri oranını tahmin etmemiz gerekiyor. Bir yıllık tutma dönemi modeliyle başlayacağız ve ardından bunu birkaç yıla çıkaracağız.
Bir yıllık elde tutma süresi modelinde, yatırımcının hisse senedini ilk yılın sonunda satacağını varsayıyoruz. O yıl boyunca alınan temettüyü bilmemiz ve yıl sonu çıkış değerini tahmin etmemiz gerekiyor. CAPM formülünü kullanarak gerekli getiri oranını hesaplıyoruz. Nakit akışları, hisse senedinin değerini belirlemek için sıfır zaman dilimine indirgenir.
Bu model, her yıl için ilgili temettüler ve çıkış değerleri dahil edilerek kolayca birkaç yıla genişletilebilir. Yeni formülleri ezberlememize gerek yok; sadece süreyi ayarlıyoruz. Örneğin, iki yıllık elde tutma süresi, nakit akışlarının iki yıl boyunca iskonto edilmesini içerecektir.
Bu kavramı üç yıllık bekleme süresi olan bir soruya uygulayalım. Önümüzdeki üç yıl için yıllık temettülerin 1 euro, 1.5 euro ve 2 euro olması bekleniyor. Üç yılın sonunda hisse senedi fiyatının 20 euro olacağı tahmin ediliyor. %10'luk gerekli getiri oranıyla, nakit akışlarını sıfır zaman dilimine iskonto ederek hisse senedinin değerini hesaplayabiliriz. Ortaya çıkan değer 18,67 Euro'dur.
Son olarak, temettülerin sonsuza dek "g" oranında sabit bir şekilde büyüdüğünü varsayarak, sonsuz tutma dönemleri senaryosunu ele alıyoruz. Bu durumda, formül D0 * (1 + g) / (ke - g) şeklinde basitleştirilir; burada D0 sıfır zaman dilimindeki temettü, ke öz sermaye maliyeti ve g sabit büyüme oranıdır. Temettü tahmini ve değerlemesi için alt simgelere dikkat etmek ve zaman dilimlerini doğru bir şekilde eşleştirmek çok önemlidir.
Büyüme hızı belirli bir yıl sonra sabit hale gelirse, o andan itibaren Gordon Büyüme Modeli'ni (GGM) kullanabiliriz. Bununla birlikte, payın değerinin, payda temettünün alındığı yıldan önceki bir zamanda belirlendiğini hatırlamak önemlidir. Bu, kullanmamız gerektiği anlamına gelir.
Gordon Büyüme Modeli'nin (GGM) uygulamasını göstermek için bir örnek ele alalım. Bir şirketin gelecek yıl hisse başına 2 dolar temettü ödemesi beklendiğini varsayalım. Temettü süresiz olarak yılda% 5'lik sabit bir oranda büyümesi bekleniyor. Gerekli getiri oranı (ke) %10'dur.
GGM formülünü kullanarak hisse senedinin değerini hesaplayabiliriz:
Değer = D1 / (ke - g)
burada D1, 1. zaman periyodunda beklenen temettü, ke gerekli getiri oranı ve g sabit büyüme oranıdır.
Değerleri formülde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:
Değer = 2 ABD Doları / (0,10 - 0,05) = 40 ABD Doları
Yani GGM'ye göre hissenin değeri 40 dolar.
Gordon Büyüme Modeli'nin, her durumda doğru olmayabilecek sabit bir büyüme oranı varsaydığına dikkat etmek önemlidir. İstikrarlı ve öngörülebilir temettü büyüme oranlarına sahip olgun şirketler için en uygun olanıdır.
Temettü iskonto modeli (DDM), hisse senetlerine değer biçmek için yararlı bir araçtır, ancak sınırlamaları vardır. Sabit temettü büyüme oranları ve gelecekteki nakit akışı tahminlerinin doğruluğu gibi çeşitli varsayımlara dayanır. Piyasa koşulları ve diğer faktörler de hisse senedi fiyatlarını etkileyerek gelecekteki temettülerin ve çıkış değerlerinin doğru bir şekilde tahmin edilmesini zorlaştırabilir.
Ayrıca, DDM öncelikle temettü ödeyen şirketler için geçerlidir. Temettü ödemeyen veya tutarsız temettü modellerine sahip şirketler için indirgenmiş nakit akışı (DCF) analizi gibi alternatif değerleme yöntemleri daha uygun olabilir.
Genel olarak, temettü iskonto modeli, beklenen temettülere ve gelecekteki nakit akışlarına dayalı olarak hisse senetlerinin değerini tahmin etmek için bir çerçeve sağlar. Bir şirketin hisse senedinin gerçek değerini belirlemek isteyen finansal analistler ve yatırımcılar için temel bir kavramdır.
Binom Opsiyonu Fiyatlandırma Modeli (CFA® ve FRM® Sınavları İçin Hesaplamalar)
Binom Opsiyonu Fiyatlandırma Modeli (CFA® ve FRM® Sınavları İçin Hesaplamalar)
Şimdi iki terimli opsiyon fiyatlandırma yöntemi kavramını inceleyelim. Bugün, hem DFA hem de finans müfredatında yer alan bu konuyu inceleyeceğiz. Bir seçeneğin değerini hesaplamak için kullanılan iki yöntemden biri, diğeri ise Black-Scholes modelidir.
Binom yöntemi, opsiyonun temel fiyatının belirli bir zaman aralığında yalnızca iki durumda olabileceğini varsayar. Bu nedenle, herhangi bir düğümde yalnızca iki olası durumu dikkate aldığı için binom olarak adlandırılır. S0 olarak gösterilen mevcut hisse senedi fiyatıyla başlıyoruz. Oradan, iki farklı doğa durumunu göz önünde bulunduruyoruz: şehir dışı (S_u) ve şehir dışı (S_d). Taşradaki hisse senedi fiyatı, mevcut hisse senedi fiyatının (S0) "p" olasılıkla "u" olarak gösterilen bir faktörle çarpılmasıyla belirlenir. Tersine, taşradaki hisse senedi fiyatı, mevcut hisse senedi fiyatının (S0), (1-p) olasılıkla "d" olarak gösterilen bir faktörle çarpılmasıyla belirlenir.
Yukarı eyalet düğümüne ulaştığımızda, yukarı veya aşağı gidebiliriz. Olasılıklar, aynı p ve (1-p) değerleri kullanılarak ağaç boyunca aynı kalır. Örneğin, yukarı hareket etme olasılığı %60 ve aşağı hareket etme olasılığı %40 ise, bu olasılıklar tüm ağaç boyunca sabit kalacaktır. Her düğümden, u ve d'lerin farklı kombinasyonlarıyla gösterildiği gibi bir sonraki durumdaki hisse senedi fiyatlarını hesaplayabiliriz.
Bu tartışmada, bir dönemlik yönteme odaklanacağız, bu da sadece bir dönem ilerisini düşündüğümüz anlamına gelir. Kendimizi binom ağacının bu kısmı ile sınırlayacağız. Binom yöntemini uygulamak için öncelikle olası iki farklı hisse senedi fiyatını belirleriz. Daha sonra, seçeneğin getirisini her iki düğümde de hesaplayarak o zaman periyodu için beklenen bir değer elde etmemizi sağlar. O zaman periyodu için beklenen değeri elde ettikten sonra, onu sıfır zaman periyoduna indirgemek için indirgenmiş nakit akışı (DCF) formülünü uygularız. Bu durumda, olasılıkların dahil olmadığı geleneksel DCF hesaplamalarının aksine, DCF formülündeki olasılıkları kullandığımıza dikkat etmek önemlidir.
Şimdi, çağrı seçeneği binom ağacına geçelim. Hisse senedi fiyat faktörlerini belirledikten sonra yukarı hareketin ve aşağı hareketin büyüklüğünü ve olasılıklarını hesaplıyoruz. Bunlar sırasıyla "u" ve "d" olarak gösterilecektir. Daha sonra, binom ağacını çiziyoruz ve tüm düğümlerdeki seçenek getirisini hesaplıyoruz. Bu, maksimum sıfırın veya hisse senedi fiyatı (st) ile kullanım fiyatı (k) arasındaki farkın belirlenmesini içerir. Daha sonra getirileri ilgili olasılıklarıyla çarparız ve seçeneğin tüm dönem için beklenen değerini hesaplarız. Son olarak, seçeneğin mevcut değerini belirlemek için bu beklenen değeri sıfır zaman dilimine indirgeriz.
Hesaplamaları kolaylaştırmak için çeşitli notasyonlar ve formüller kullanıyoruz. Bir yukarı hareketin risk-nötr olasılığı "pi_u" olarak gösterilirken, bir aşağı hareketin risk-nötr olasılığı "pi_d" olarak gösterilir. Bu olasılıklar tamamlayıcıdır, yani toplamları %100'dür. Risksiz oran "rf" ile temsil edilir ve "u" ve "d" sırasıyla yukarı ve aşağı hareketin boyutlarıdır. Ek olarak, "d", 1 bölü "u"ya eşittir. Yukarı hareket ve aşağı hareket olasılıklarını hesaplamak için risksiz oranı "u" ve "d" içeren formüller kullanırız.
Bu kavramları belirli bir örneğe uygulayalım. Bir hisse senedinin cari fiyatının 80$ olduğunu, yukarı hareketin boyutunun 1,4 olduğunu ve risksiz oranın
Beklenen getiriyi elde ettikten sonra, seçeneğin mevcut değerini elde etmek için onu 0 zaman periyoduna indirgememiz gerekir. Bunun için %6 olarak verilen risksiz oranı kullanıyoruz.
Beklenen getiriyi iskonto etme formülü şu şekildedir:
Geçerli Opsiyon Değeri = Beklenen Getiri / (1 + Risksiz Oran)
Değerleri yerine koyarsak:
Geçerli Opsiyon Değeri = (32 * 0,504 + 0 * 0,496) / (1 + 0,06)
Denklemi basitleştirerek şunu elde ederiz:
Mevcut Opsiyon Değeri = (16.128 + 0) / 1.06
Mevcut Opsiyon Değeri ≈ 15.23
Dolayısıyla alım opsiyonunun güncel değeri yaklaşık olarak 15,23 dolardır.
Bu örneğin, bir yıllık vade için binom opsiyonu fiyatlandırma yöntemini kullanan bir alım opsiyonunun değerlemesini gösterdiğine dikkat etmek önemlidir. Süreç, yukarı ve aşağı faktörlerin belirlenmesini, olasılıkların hesaplanmasını, iki terimli ağacın oluşturulmasını, her düğümdeki seçenek getirilerinin değerlendirilmesini, beklenen getirilerin hesaplanmasını ve son olarak bugünkü değere indirgenmesini içerir.
İki terimli opsiyon fiyatlandırma yönteminin, dayanak varlığın fiyat hareketleri için basitleştirilmiş iki durumlu bir model varsaydığını ve tüm gerçek dünya dinamiklerini yakalayamayacağını unutmayın. Ek olarak, bu yöntem genellikle yalnızca vade sonunda kullanılabilen Avrupa tipi opsiyonlar için kullanılır. Amerikan tarzı seçenekler için, en uygun egzersiz stratejisini belirlemek için ek hususlar gereklidir.
Umarım bu açıklama, iki terimli opsiyon fiyatlandırma yöntemindeki adımları ve bu yaklaşımı kullanarak bir alım opsiyonunu nasıl değerlendireceğinizi anlamanıza yardımcı olur. Başka sorunuz varsa bana bildirin!
Olasılığın Temelleri (FRM Bölüm 1 2023 – 2. Kitap – 1. Bölüm)
Bu video serisinde Profesör James Forjan, FRM Bölüm 2 - Kitap 2 - Kantitatif Analiz'de yer alan bölümlerin kapsamlı kapsamını sunuyor. Dizi, olasılıklar, hipotez testi, regresyonlar ve kopulalar dahil olmak üzere çeşitli konuları derinlemesine araştırıyor. Profesör Forjan, adayın bu konulardaki kavrayışını ve ustalığını artırmayı amaçlayan ilgili soru örnekleri sunarak her bir kavramı ayrıntılı olarak araştırıyor. Adaylar bu video serisini izleyerek kantitatif analiz anlayışlarını güçlendirebilir ve FRM Bölüm 2 sınavına etkili bir şekilde hazırlanabilirler.
Olasılığın Temelleri (FRM Bölüm 1 2023 – 2. Kitap – 1. Bölüm)
Kantitatif analiz serisinin 2. Kitabının 1. Bölümü, olasılığın temellerine ve bunun finansal risk yönetimindeki uygulamasına odaklanmaktadır. Bu bölüm, finansal risk yöneticilerinin riskleri etkili bir şekilde tanımlamasına, ölçmesine ve yönetmesine yardımcı olmayı amaçlamaktadır. Bu görevlerde olasılıkları dikkate almanın önemini vurgular.
Bölüm, riski, olasılıklar açısından ölçülebilen sonuçlardaki belirsizlik ve değişkenlik olarak tanımlayarak başlar. Bir önceki kitapla karşılaştırıldığında 2. Kitabın nicel doğasını vurgular ve bölüm boyunca finansal ve normal hesap makinelerinin kullanımından bahseder.
Bu bölümün öğrenme hedefleri, olasılıkla ilgili çeşitli kavramları tanımlamayı, ayırt etmeyi, tanımlamayı ve hesaplamayı içerir. Böyle bir konsept, bir golf sahası sprinkler sistemi için iki tesisatçı arasında seçim yapma örneğiyle gösterilen, birbirini dışlayan olaylardır. Birbirini dışlayan olaylar kavramı, bir olayın seçilmesinin diğerinin oluşumunu dışlamasıdır.
Bu bölüm ayrıca, bireysel değerlerine göre değerlendirilen ve diğer sonuçların kabulünü veya reddini etkilemeyen bağımsız olayları tartışır. Bağımsız olayları ve bunların potansiyel ilişkilerini göstermek için hava durumu ve borsa getirilerini içeren bir örnek sunulmuştur.
Koşullu olasılıklar, diğer olayların meydana gelmesine bağlı olan olasılıklar olarak tanıtılır. İş, gelir düzeyi ve evlilik gibi çeşitli faktörlere dayalı olarak ikiz sahibi olma olasılığı gibi kişisel deneyimlerle bir benzetme yapılır. Ekonomik bağlamda, GSYİH ile faiz oranları arasındaki ilişki koşullu olasılıklara örnek olarak kullanılır.
Bu bölüm, koşullu olasılıkların, adını İngiliz istatistikçi Thomas Bayes'ten alan Bayes teoremi kullanılarak nasıl hesaplanabileceğini açıklamaktadır. Bayes teoremi, bilinen bir sonuca götüren bir dizi olayın tahminine izin verir. Yeni bilgilere dayalı olarak revize edilmiş olasılıklar olan sonsal olasılıklar kavramını tanıtır.
Metin, yakın zamanda yürürlüğe giren bir vergi indirimine dayalı olarak görevdeki bir başkanın partisine üye olma olasılığını veya fazla getiri üretimine dayalı bir yönetici sertifikası olasılığını belirlemek için Bayes teoremini kullanmanın örneklerini sunar.
Bölüm, okuyucuları örnekler üzerinde çalışmaya ve kavramları ezberlemeye teşvik eden, tartışılan formüllerin bir özet tablosu ile sona erer. Tahminlerin ve karar vermenin doğruluğunu artırmak için daha fazla bilgi edinmenin önemini vurgular.
Kantitatif analizde olasılığın temelleri üzerine olan bu bölüm, finansal risk yöneticilerini riskleri anlamak ve yönetmek için gerekli araçlarla donatıyor. Matematiksel ilkeleri önceki kitapta tartışılan risk yönetimi ilkeleriyle birleştirerek etkili risk yönetimi için kapsamlı bir çerçeve sağlar.
Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 2)
Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 2)
Kantitatif analizin 1. Kısım 2. Kitabında rastgele değişkenlerle ilgili bir bölüm vardır. Yazar, 1980'lerin sonlarında Lotus 1-2-3'ü (sonunda Excel oldu) öğrenirken yaşadıklarını anımsıyor. İşlev sihirbazının içindeki rasgele sayı üretecini ve rasgele sayılar üretmenin ne kadar büyüleyici olduğunu hatırlıyorlar. Bu değerler rastgele oluşturulurken, risk yönetimi ve finansal araştırmalarda rastgele değişkenlerin incelenmesi, hisse senedi getirileri, tahvil getirileri, türev menkul kıymet getirileri, portföy değerleri, Riske Maruz Değer ve beklenen açık hakkında daha derin bir anlayış sağlar.
Bu bölümü incelemenin amacı, daha sonra risk yönetimine uygulanabilecek rastgele değişkenlerde sağlam bir temel oluşturmaktır. Öğrenme hedefleri, olasılık kütle fonksiyonları (PMF'ler), kümülatif dağılım fonksiyonları (CDF'ler), beklentiler, bir dağılımın momentleri ve ayrık ve sürekli rasgele değişkenler arasındaki ayrım gibi çeşitli kavramları tanımlamayı, açıklamayı ve karakterize etmeyi içerir. Ek olarak, bölüm, bir dağılımı eşit parçalara bölmeyi içeren kantilleri ele alır ve doğrusal dönüşümlere kısaca değinir.
Rastgele değişken, belirsiz beklenen gelecekteki değerleri olan herhangi bir miktar olarak tanımlanır. Olası değerleri rastgele bir olgunun sonuçları olan bir değişken olarak da tanımlanabilir. Örneğin, hisse senedi fiyatlarını veya bir kredi temerrüt takasının değerini tahmin etmek, rastgele değişkenlerle uğraşmayı içerir. Bu sonuçlara, belirli senaryoya bağlı olan olasılıklar atanır. Örneğin, bir hisse senedi fiyatının bir dolar artması veya düşmesi olasılığı, 999 gibi çok daha yüksek bir değere çıkması veya sıfıra düşmesinden çok daha yüksektir.
Rastgele değişkenleri etkili bir şekilde analiz etmek için, olası sonuçlara olasılıklar atamak ve olayları belirli sonuçlar veya sonuç kümeleri olarak tanımlamak çok önemlidir. Rastgele değişkenler kesikli veya sürekli olarak kategorize edilebilir. Ayrık rasgele değişkenler, 1'den 6'ya kadar sonuçları olan bir zarın yuvarlanması gibi sayılabilir olası değerler kümesine sahiptir. Öte yandan sürekli rasgele değişkenler, belirli bir aralıkta herhangi bir değeri alabilir ve genellikle düzgün eğrilerle temsil edilir. bir maraton koşmak için gereken süre.
Olasılık fonksiyonları, toplam şansın rastgele bir değişkenin olası değerleri arasında nasıl dağıldığı hakkında bilgi sağlar. İki tür olasılık fonksiyonu vardır: kesikli rastgele değişkenler için olasılık kütle fonksiyonları (PMF'ler) ve sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonları (PDF'ler). PMF'ler rastgele bir değişkenin belirli bir değer alma olasılığını verirken, PDF'ler rastgele bir değişkenin belirli bir aralık içinde düşme olasılığını tanımlar. Her iki işlev türü de olasılıkların 0 ile 1 arasında değişmesini ve tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olmasını sağlayan özelliklere sahiptir.
Kümülatif dağılım fonksiyonları (CDF'ler), rastgele bir değişkenin belirli bir değerden küçük veya ona eşit olma olasılığını sağlar. Ayrık rasgele değişkenler için CDF, merdiven benzeri bir grafik olarak görselleştirilebilirken, sürekli rasgele değişkenler için düzgün bir eğri olarak görünür. PDF'yi negatif sonsuzdan belirli bir değere entegre ederek CDF hesaplanabilir.
Rastgele değişkenleri ve bunlarla ilişkili işlevleri anlamak, risk yönetimi ve finansal analiz için çok önemlidir. Bu kavramlar, farklı sonuçların olasılığını değerlendirmek ve bilinçli kararlar vermek için bir çerçeve sağlar.
Olasılık kütle fonksiyonu (PMF) ve olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) bize rastgele değişkenlerin dağılımı hakkında önemli bilgiler sağlar. PMF, fonksiyonun rastgele değişkenin belirli bir değer alma olasılığını verdiği ayrık rasgele değişkenler için kullanılır. Öte yandan, PDF sürekli rasgele değişkenler için kullanılır ve rasgele değişkenin belirli bir aralıkta düşme olasılığını verir.
0 veya 1 olmak üzere yalnızca iki değer alabilen basit bir ayrık rasgele değişken olan bir Bernoulli rasgele değişkeni örneğini ele alalım. Basketbolda bir serbest atışın sonucunu temsil eden bir Bernoulli rasgele değişkenimiz olduğunu hayal edin. Bu değişken için PMF şutu yapma veya ıskalama olasılığını gösterir. Atışı yapma olasılığı 0,7 ise, PMF 1 değerine (şutu yapma) 0,7 olasılık ve 0 değerine (şutu kaçırma) 0,3 olasılık atayacaktır. Bu olasılıkların toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır.
Bir maraton koşmak için geçen süre gibi sürekli rasgele değişkenler için PDF'i kullanırız. PDF, rasgele değişkenin belirli bir aralık içinde düşme olasılığını açıklar. Maraton koşu süresi örneğini ele alarak, PDF, maratonu belirli bir zaman aralığında tamamlama olasılığını sağlayacaktır. Bunu görselleştirmek için, yatay eksenin çalışma süresini ve dikey eksenin olasılık yoğunluğunu temsil ettiği bir grafik hayal edebiliriz. Belirli bir aralıktaki eğrinin altındaki alan, rasgele değişkenin o aralığa düşme olasılığını temsil eder.
PMF ve PDF, rastgele değişkenlerin dağılımını anlamak için önemli araçlardır. Spesifik değerlere veya aralıklara olasılıklar atamamıza ve farklı sonuçların olasılığına ilişkin içgörüler sağlamamıza olanak tanırlar. Bu kavramlar, hisse senedi getirileri, tahvil getirileri ve portföy değerleri gibi çeşitli finansal değişkenlerdeki belirsizlikleri analiz etmemize ve ölçmemize yardımcı oldukları için risk yönetimi ve finansal araştırma için temeldir.
Ortak Tek Değişkenli Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 3)
Ortak Tek Değişkenli Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 3)
Metin, nicel analizin 1. Kısım 2. Kitabındandır ve ortak tek değişkenli rasgele değişkenler hakkındaki bölüme odaklanır. Şahsen, bu bölümü doktora programım sırasında matematiksel ekonomi ve ekonometri derslerimde öğrendiklerimi anımsatıyor buluyorum. Öğrenme hedeflerini keşfedelim ve bize nasıl uygulandıklarını görelim.
İlk öğrenme hedefi özellikle önemlidir. Farklı dağılımlar arasında temel özellikleri ayırt etmemizi gerektirir. Çeşitli dağılımları analiz edeceğiz ve benzerliklerini ve farklılıklarını belirleyeceğiz. Sonlara doğru, karışım dağılımları kavramını da inceleyeceğiz.
Tek tip dağılımla başlayalım. Bu dağılımda, tüm olası sonuçlar belirli bir aralıkta eşit olasılığa sahiptir. Düzgün bir dağılımın grafiği sol tarafta 0'dan başlar ve sağ tarafta X'e kadar uzanır. X olarak gösterilen rasgele değişken, bu aralıktaki herhangi bir değeri alabilir. Özellikle, minimum değer alfa olarak adlandırılır ve maksimum değer beta olarak adlandırılır. 0 ile alfa arasında veya beta ile aralığın üst sınırı arasında hiçbir değer olmadığına dikkat etmek önemlidir. Düzgün bir dağılımın klasik bir örneği, adil bir altı kenarlı zar atmaktır. 1'den 6'ya kadar her sonucun eşit olasılığı 1/6'dır. Bu nedenle, alfadan betaya olan değerler eşit derecede olasıdır. Metin aynı zamanda tekdüze dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu, ortalama ve varyans formüllerini sağlar.
Tartışılan başka bir örnek, bir müşterinin bir portföy yöneticisini görmek için beklediği ve 0 ila 15 dakika arasında eşit olarak dağıtılabilen süre miktarıdır.
Devam edersek daha merak uyandıran Bernoulli dağılımıyla karşılaşıyoruz. Genellikle başarıyı (1) ve başarısızlığı (0) temsil eden iki olasılığa değer atamayı içerir. Verilen örnekler bankaların başarısına veya başarısızlığına atıfta bulunurken, bu değerlerin daha geniş yorumları olabilir. Bernoulli dağılımının grafiği 0 ile 1 arasında değişir, çünkü bir şeyin olma olasılığı %100 olmalıdır. Verilen örnekte P olarak gösterilen başarı olasılığı 0,7'dir, yani on bankadan yedisi başarılı ve on bankadan üçü başarısız demektir. Metin, Bernoulli dağılımının ortalama ve standart sapması için formüller sunar.
Hayat sigortasında başarı veya başarısızlık veya eşit olasılıkla temettü ödeyen veya hiç ödemeyen bir şirket gibi çeşitli örnekler Bernoulli dağılımının uygulanmasını göstermektedir.
Daha sonra, sabit gelir analizinde ve opsiyon değerlemesinde fayda bulan binom dağılımıyla karşılaşıyoruz. Her biri aynı başarı olasılığına sahip olan ve P ile gösterilen bir dizi n bağımsız ve özdeş Bernoulli denemesi içerir. Bu denemelerdeki başarı sayısı formülü, faktöriyel notasyon kullanılarak açıklanır. Binom dağılımının ortalama ve standart sapması da sağlanır. Metin, hayatta kalma olasılığı %70 ise, nakit sıkıntısı yaşayan on bankadan en az dokuzunun hayatta kalma olasılığını hesaplayan bir örnek sunuyor.
Daha sonra Poisson dağılımı tanıtıldı. Olayların zamanlamasının rastgele ve bağımsız olduğunu varsayarak, belirli bir zaman aralığında meydana gelen olayların sayısını modeller. Olaylar arasındaki ortalama süre bilinir ve dağılım lambda (λ) parametresi ile karakterize edilir. Metin, olasılık yoğunluk fonksiyonunu sağlar ve Poisson dağılımının hem ortalamasının hem de varyansının λ'ya eşit olduğundan bahseder. Poisson dağılımına örnek olarak bir bankaya gelen müşterilerin sayısı, bir futbol takımının attığı goller ve bir sigorta şirketinin haftalık veya aylık olarak aldığı talep sayısı verilebilir. Ayda ortalama 2 müşteri verildiğinde, bir servet yönetim şirketinin yılda tam olarak 30 müşteri alma olasılığını hesaplayan örnek bir problem sunulmuştur.
Metin, Gauss dağılımı olarak da bilinen normal dağılımı tekrar ziyaret eder. Bu dağılım, arzu edilen birçok özelliğinden dolayı istatistiksel analiz ve modellemede yaygın olarak kullanılmaktadır. Normal dağılımın grafiği, ortalama değerde tepe noktası olan simetrik ve çan şeklindedir. μ ile gösterilen ortalama, dağılımın merkezini temsil ederken, σ ile gösterilen standart sapma, verilerin yayılmasını veya dağılımını kontrol eder. Metin, normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve kümülatif dağılım fonksiyonunu sağlar.
Normal dağılım genellikle finans ve ekonomide hisse senedi getirilerini, faiz oranlarını ve diğer ekonomik değişkenleri modellemek için uygulanır. Hipotez testi ve güven aralığı tahmininde de kullanılır. Belirli bir eşik değeri aşan bir hisse senedi getirisi olasılığının hesaplanmasıyla ilgili örnek bir problem verilmiştir.
Metin devam ederken, bir Poisson sürecindeki olaylar arasındaki zamanı modelleyen üstel dağılımı tanıtıyor. Olay meydana gelme oranını temsil eden λ parametresi ile karakterize edilir. Üstel dağılım, güvenilirlik analizinde ve kuyruk teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Metin, üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve kümülatif dağılım fonksiyonunu sağlar.
Ortalama bekleme süresi veri alındığında, bir müşterinin bir banka kuyruğunda belirli bir süreden daha az bekleme olasılığını hesaplayan örnek bir problem sunulmuştur.
Son olarak metin, normal dağılıma sahip bir rasgele değişkenin üstelini alarak normal dağılımdan türetilen lognormal dağılımı tanıtmaktadır. Lognormal dağılım, genellikle hisse senedi fiyatlarını, varlık getirilerini ve pozitif çarpıklık ve değişen varyans sergileyen diğer değişkenleri modellemek için kullanılır. Metin, lognormal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve kümülatif dağılım fonksiyonunu sağlar.
Mevcut fiyat ve volatilite veriliyken, bir hisse senedi fiyatının gelecekte belirli bir değeri aşma olasılığının hesaplanmasıyla ilgili örnek bir problem verilmiştir.
Ortak tek değişkenli rasgele değişkenler hakkındaki bu bölüm, nicel analizde kullanılan çeşitli önemli dağılımları kapsar. Bu dağılımları ve özelliklerini anlamak, finans, ekonomi ve diğer alanlardaki verileri analiz etmek ve modellemek için gereklidir. Bu kavramlarda uzmanlaşarak bilgiye dayalı kararlar alabilir ve verilerden anlamlı içgörüler elde edebiliriz.
Çok Değişkenli Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 4)
Çok Değişkenli Rastgele Değişkenler (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 4)
Çok değişkenli rasgele değişkenlerle ilgili bu bölümde, birden çok rasgele değişken arasındaki bağımlılık kavramını inceleyeceğiz. Rastgele değişkenlerle ilgili bir önceki bölümü temel alarak, tahvil fiyatları ile vadeye kadar getiri arasındaki ilişkiyi inceleyerek ek faktörlerin tahvil fiyatları üzerindeki potansiyel etkisini vurguluyoruz. Olasılık kütle fonksiyonları ve olasılık yoğunluk fonksiyonları hakkındaki anlayışımızı hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenleri analiz edecek şekilde genişleterek çok değişkenli rastgele değişkenler kavramını tanıtıyoruz. Bu bölüm, analizimize ekstra boyutlar ekleyerek bilgimizi genişletmeyi ve nihayetinde portföy analizi anlayışımızı geliştirmeyi amaçlamaktadır. Bu bölümde ele alınan temel konular arasında olasılık matrisleri, fonksiyon beklentileri, kovaryans, korelasyon, dönüşümler, portföy analizi, varyans, koşullu beklentiler ve aynı ve bağımsız olarak dağıtılan rasgele değişkenler yer alır.
Giriş: Bu bölüm, iki veya daha fazla rasgele değişken arasındaki bağımlılığı açıklayan çok değişkenli rasgele değişken kavramını vurgulayarak başlar. Tahvil fiyatları ve vadeye kadar getiri örneğinden yola çıkarak, çeşitli risklerin karmaşıklığını yakalamak için yalnızca tek bir değişkene güvenmenin sınırlamalarının farkındayız. Tahvil fiyatlarını daha kapsamlı bir şekilde anlamak için ticaret, tarifeler, vergiler, devlet düzenlemeleri ve tüketici zevkleri gibi ek faktörleri dikkate almamız gerektiğini kabul ediyoruz. Analizimizi çok değişkenli rasgele değişkenlere genişleterek, çeşitli faktörler arasındaki etkileşimi ve bunların incelediğimiz değişkenler üzerindeki etkisini açıklamayı amaçlıyoruz.
Öğrenme Hedefleri: Bu bölüm, önceki bölümdekilerle uyumlu öğrenme hedeflerini özetlemektedir. Bu hedefler arasında olasılık matrislerini anlamak, fonksiyonların beklentilerini keşfetmek, rastgele değişkenler arasındaki ilişkileri incelemek, kovaryans ve korelasyonu incelemek, dönüşümleri analiz etmek, portföy analizini dahil etmek, varyansı keşfetmek, koşullu beklentileri araştırmak ve aynı ve bağımsız olarak dağıtılan rastgele değişkenler üzerine bir tartışma ile sonuçlandırmak yer alır. . Bu hedefler, mevcut bilgimizi temel alır ve onu çok değişkenli analiz alanına genişletir.
Çok Değişkenli Rastgele Değişkenler: Çok değişkenli rasgele değişkenler, birden çok rasgele değişken arasındaki bağımlılığı yakalayan değişkenler olarak tanıtılır. Tek değişkenli analizin aksine, çok değişkenli analiz, bu değişkenlerin ilgilenilen değişkeni ortaklaşa nasıl etkilediğini incelememizi sağlar. Birden fazla rasgele değişkenin, çalışmayı amaçladığımız değişkeni aynı anda etkilediği senaryoları dikkate alıyoruz. Bu bölüm, çok değişkenli analizin karmaşık ilişkiler anlayışımızı nasıl geliştirdiğini gösteren örnekler sunar.
Olasılık Dağılımları: Bu bölüm, önceki bölümde tanıtılan olasılık kütle fonksiyonlarını (PMF'ler) ve olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF'ler) tekrar ele alır. Ayrık rasgele değişkenler PMF'lerle ilişkilendirilirken, sürekli rasgele değişkenler, olasılık dağılımlarını doğru bir şekilde temsil etmek için PDF'ler gerektirir. Kümülatif olasılık kavramı da tartışılarak, bir bileşenin belirli bir değerden küçük veya ona eşit olma olasılığını belirlememizi sağlar. Bu araçları kullanarak, normal, üstel ve tekdüze gibi farklı dağılımlara dayalı olarak çeşitli sonuçların olasılığını değerlendirebiliriz.
İki Değişkenli Ayrık Rastgele Değişken Dağılımı: İki rastgele değişken arasındaki ortak olasılıkları temsil eden iki değişkenli ayrık rastgele değişken dağılımlarını araştırıyoruz. Bu dağılımın tablo halinde görselleştirilmesi, değişkenler arasındaki ilişkinin daha net anlaşılmasını sağlar. Koşullu ve marjinal dağılımları analiz ederek, belirli sonuçlarla ilişkili olasılıklara ilişkin içgörüler elde ederiz. Bu analiz, değişkenler arasındaki bağımlılığı belirlememize ve bunların bireysel ve birleşik etkilerini değerlendirmemize yardımcı olur.
Koşullu Dağılımlar ve Beklentiler: Koşullu dağılımlar, bir değişkenin değeri bilindiğinde rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi incelemek için bir araç olarak tanıtılır. Analizimizi belirli bir değişken değerine göre koşullandırarak, diğer değişkenin koşullu beklentilerini değerlendirebiliriz. Bu yaklaşım, ilgilenilen değişken üzerindeki farklı faktörlerin etkisine ışık tutarak, belirli koşullar altında beklenen sonucu tahmin etmemizi sağlar. Koşullu beklentiler, marjinal olasılıklar ve ilgili koşullu olasılık dağılımları kullanılarak hesaplanabilir.
Rastgele Değişkenler Arasındaki İlişkinin Ölçülmesi: Bu bölüm, rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi ölçmenin önemini vurgulayarak sona ermektedir. Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık derecesini ölçmemize izin veren kovaryans ve korelasyon gibi çeşitli istatistiksel ölçümleri araştırıyoruz.
Kovaryans, bir değişkendeki değişikliklerin başka bir değişkendeki değişikliklere nasıl karşılık geldiğini değerlendiren bir ölçü olarak tanıtıldı. İlişkinin yönünü (olumlu veya olumsuz) ve değişkenlerin birlikte hareket etme derecesini yakalar. Bu bölüm, hem ayrık hem de sürekli rasgele değişkenler için kovaryansın hesaplanmasına yönelik formüller sağlar.
Korelasyon ise kovaryansı değişkenlerin standart sapmalarının ürününe bölerek standartlaştırır. Bu normalleştirme, değişkenler arasındaki ilişkinin gücünün -1 ila 1 ölçeğinde karşılaştırılmasına olanak tanır. Pozitif korelasyon doğrudan bir ilişkiyi, negatif korelasyon ters bir ilişkiyi ve sıfıra yakın korelasyon zayıf veya doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir.
Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri: Bu bölüm, ilişkilerini ve dağılımlarını daha iyi analiz etmek için rastgele değişkenleri dönüştürme kavramını araştırıyor. Dönüşümler, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi basit matematiksel işlemleri veya daha karmaşık işlevleri içerebilir. Uygun dönüşümleri uygulayarak, genellikle analizi basitleştirebilir ve değişkenlerin davranışlarına ilişkin daha derin içgörüler elde edebiliriz.
Portföy Analizi: Bu bölüm, finansta çok değişkenli analizin bir uygulaması olarak portföy analizini tanıtmaktadır. Getirileriyle temsil edilen farklı varlık sınıfları arasındaki ilişkinin çok değişkenli teknikler kullanılarak nasıl analiz edilebileceğini araştırıyoruz. Çeşitlendirme kavramı vurgulanarak, düşük veya negatif korelasyonlu varlıkların birleştirilmesinin portföy riskini nasıl azaltabileceği vurgulanır. Portföy performansını değerlendirmek ve varlık tahsisini optimize etmek için portföy varyansı ve kovaryansı gibi çeşitli ölçütler tartışılır.
Varyans ve Kovaryans Matrisi: Bu bölüm, varyans kavramını derinlemesine inceler ve onu çok değişkenli ortama genişletir. Kovaryans matrisi olarak da bilinen varyans-kovaryans matrisi, çoklu rasgele değişkenler arasındaki varyansların ve kovaryansların kapsamlı bir temsilini sağlar. Portföy analizi ve risk yönetiminde, portföy riskinin hesaplanmasına ve optimal varlık dağılımının belirlenmesine olanak tanıyan önemli bir araç olarak hizmet eder.
Koşullu Beklenti: Koşullu beklenti, belirli koşullar verildiğinde rastgele bir değişkenin beklenen değerini tahmin etmenin bir yolu olarak araştırılır. Bu kavram, ek bilgileri veya kısıtlamaları analizimize dahil etmemize ve tahminlerimizi iyileştirmemize olanak tanır. Bu bölüm, hem ayrık hem de sürekli rasgele değişkenler için koşullu beklentileri tartışarak karar verme ve tahmin problemlerindeki faydalarını vurgulamaktadır.
Özdeş ve Bağımsız Dağılan Rastgele Değişkenler: Bu bölüm, aynı ve bağımsız olarak dağılan (iid) rasgele değişkenler üzerine bir tartışma ile sona erer. Bir dizi rasgele değişken aynı dağılımı izlediğinde ve karşılıklı olarak bağımsız olduğunda, bu kavram çeşitli istatistiksel analizler ve modellerde önemlidir. Bu bölüm, iid rasgele değişkenlerinin özelliklerini ve etkilerini araştırarak, bunların olasılık teorisi ve istatistiksel çıkarımdaki alakalarını vurgular.
Özet: Çok değişkenli analiz ve rastgele değişkenlerin bağımlılığı hakkındaki bölüm, birden çok değişkenin ortak davranışını dikkate alarak olasılık ve istatistik anlayışımızı genişletiyor. Analizimize ek boyutlar dahil ederek, değişkenler arasındaki karmaşık ilişkileri ve bağımlılıkları daha iyi yakalayabiliriz. Bu bölüm, olasılık matrisleri, fonksiyon beklentileri, kovaryans, korelasyon, dönüşümler, portföy analizi, varyans-kovaryans matrisi, koşullu beklentiler ve iid rasgele değişkenler gibi çeşitli konuları kapsar. Bu kavramlar, bizi çok değişkenli verileri analiz etmek, bilinçli kararlar vermek ve rastgele değişkenlerin altında yatan dinamikler hakkında daha derin içgörüler elde etmek için araçlarla donatıyor.
Örnek Anlar (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 5)
Örnek Anlar (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 5)
Nicel Analiz'in 1. Kısım, 2. Kitabı'ndaki "Örnek Anlar" başlıklı bölüm, örnek kavramını ve bunların momentlerini ele alıyor. Videolarımı düzenli olarak izleyenlerin de bildiği gibi, sadece alakalı değil, aynı zamanda amacımıza da hizmet eden ilgi çekici örnekler sunmayı tercih ediyorum. Bazıları onları aptalca bulabilir, ancak tartışmamız bağlamında önem taşırlar. Bu bölüme başlamak için, kişisel favorim olan greyfurt etrafında dönen bir giriş örneği paylaşacağım.
Greyfurt Tohumlarını Keşfetmek: Sadece greyfurt tüketmekten değil, aynı zamanda çocuklarım için kesmekten de zevk alıyorum. Tadına bayılıyorlar ve sağlıkları için inkar edilemez derecede faydalı. Bununla birlikte, bir greyfurtu kesip açtığımızda ve içinde çok sayıda tohum keşfettiğimizde, çıkmaz ortaya çıkar. Bir greyfurttaki çekirdek sayısını anlamakla ilgilenen araştırmacılar olduğumuzu varsayalım. Bunu araştırmak için bir bakkaldan binlerce greyfurt temin etme yolculuğuna çıkıyoruz. Eve döndüğümüzde, sadece farklı miktarlarda tohum bulmak için her bir greyfurtu titizlikle dilimliyoruz. Bazı greyfurtlarda 3 veya 4 çekirdek bulunurken bazılarında 6 veya 7 ve hatta birkaçında 10 veya 12 çekirdek bulunur.
Örnek Verilerin Kaydedilmesi: Elimizdeki bin greyfurt ile her meyvedeki çekirdek sayısını özenle kaydediyoruz. Ancak, bu örneğin tamamı bize kapsamlı bilgi sağlamayabilir. Bir greyfurtu keserken ne beklenmesi gerektiğine dair kabaca bir aralık ve genel bir fikir sunar. Daha derine inmek için, bölümün başlığının ikinci bölümüne odaklanmalıyız: anlar. Bu örneğin gelecekteki greyfurt tüketimi ve beklenen çekirdek sayısı hakkında bizi aydınlatabilecek anları keşfetmeyi amaçlıyoruz. Karşılaştığımız ilk an ortalama ya da ortalamadır. Bin greyfurtumuzdaki çekirdeklerin toplamını bine bölerek ortalama beş tane çekirdek elde edebiliriz.
Birden Çok Anı Düşünmek: Bununla birlikte, yeni bir greyfurtu her kesip açtığımızda tam olarak beş tohum elde edemeyebileceğimizi kabul etmeliyiz. Üç tohum veya yedi tohum veya başka herhangi bir miktar alabiliriz. Sonuç olarak, diğer anları da düşünmemiz gerekiyor. Özetlemek gerekirse, bu ilk ve görünüşte önemsiz örnekten çıkarılacak en önemli sonuç, anların (bu bölümde bunlardan dördü ele alınacaktır) örneğin dağılımına ilişkin içgörü sağlamasıdır. Bu bilgiyle donanmış olarak, gelecekteki greyfurt tüketimi ve beklenen tohum sayısı hakkında bilinçli kararlar verebiliriz.
Öğrenme Hedefleri: Şimdi, dikkatimizi bu bölümde belirtilen öğrenme hedeflerine çevirelim. İlginç bir şekilde, bu hedefler açıkça greyfurttan bahsetmiyor ve bunun için hepimizin minnettar olabileceğine inanıyorum. Peki ileride ne var? Ortalamayı, popülasyon anlarını, örnekleme anlarını, tahmin edicileri ve tahminleri içeren çok sayıda tahmin yapacağız. Bu anların yanlılık gösterip göstermediğini değerlendireceğiz. Örneğin, greyfurt örneğimizde her üç greyfurtta 50 çekirdek bulunacağını söyleyen bir anla karşılaşırsak, bu son derece olasılık dışı ve greyfurt çekirdekleriyle ilgili makul beklentilerimizden uzak görünür. Bu nedenle, önyargılı anlara karşı dikkatli olmalıyız. Ek olarak, merkezi limit teoremini keşfedeceğiz ve dağılımın üçüncü ve dördüncü momentlerini, yani çarpıklık ve basıklığı incelemeye devam edeceğiz. Son olarak, bu slayt destesini keyifli ve anlayışlı bir deneyim haline getirmeyi vaat eden kovaryantları, korelasyonu, ortak çarpıklığı ve ortak basıklığı inceleyeceğiz.
Sonuç: Rastgele değişkenlerin incelenmesi, bireysel değişkenleri analiz etmenin ötesine geçer. Çoklu değişkenlerin ilişkilerini, bağımlılıklarını ve dağılımlarını incelemeyi içerir.
Bu kavramları anlayarak, araştırmacılar ve analistler karmaşık sistemlerin davranışları ve etkileşimleri hakkında değerli bilgiler edinebilirler. Bu bölümün sonraki bölümlerinde, farklı anların önemini ve bunların istatistiksel analizdeki uygulamalarını daha ayrıntılı olarak keşfedeceğiz.
Medyan ve Çeyrekler Arası Aralık: Eldeki konu medyan ve özellikle araştırmadaki önemidir. Finans alanındakiler de dahil olmak üzere araştırmacılar, verileri dört bölüme ayırmayı ve orta bölüme odaklanmayı içeren çeyrekler arası aralığı incelemekle ilgileniyorlar. Ancak finansal risk yöneticileri olarak dağılımın sol tarafını da dikkate almak bizim için çok önemli. Riske Maruz Değer (VaR) kavramının devreye girdiği yer burasıdır, ancak buna daha sonra değineceğiz. Şimdilik medyanı tartışarak biraz zaman geçirelim.
Medyanın Hesaplanması: Medyanın hesaplanması ilgi çekicidir çünkü gözlem sayısına göre değişir. Örneğin, değişen tohum sayılarına (3, 5 ve 7) sahip üç greyfurtumuz varsa, medyan ortadaki değer, yani 5 olacaktır. Tek boyutlu örneklerde, medyan basitçe ortadaki gözlemdir. Ancak çift sayıda gözlemde ortadaki iki değerin ortalamasını alıyoruz. Çekirdek sayıları 5 ve 7 olan iki greyfurt örneğimizde medyan (5 + 7) / 2 = 6 olacaktır.
Medyanın sağlamlığı: Medyanın, özellikle çift boyutlu örneklerle uğraşırken, veri kümesindeki gerçek bir gözleme karşılık gelmeyebileceğini not etmek önemlidir. Ek olarak, medyan aşırı değerlerden etkilenmez, bu da onu sağlam bir ölçü haline getirir. Ayrıca, özellikle daha büyük sayılar için bir orta nokta görevi görür.
Bireysel Değişkenlerin Ötesine Geçmek: Şimdiye kadar dağılımın anlarına odaklandık. Bununla birlikte, ortalamanın sol ve sağ taraflarını da anlamamız gerekir. Bu bizi, rastgele örneklerin davranışına ilişkin içgörüler sağlayan merkezi limit teoremine götürür. 1.000 gözlem gibi bir popülasyondan büyük bir örnek aldığımızda, örnek ortalamasının dağılımı normal bir dağılıma yaklaşır. Örnek boyutu daha da arttıkça, örnek ortalamasının dağılımı normal dağılıma daha da yakın hale gelir. Bizim durumumuzda, çeşitli mağazalardan binlerce gözlem alabiliriz, bu da numune ortalamasını hesaplamamızı ve numune dağılımına yaklaşmamızı sağlar.
Örnekleme Dağılımı ve Yaklaşımı: Özetlemek gerekirse, eğer örnek normal dağılıyorsa, örnek ortalamalarının örnekleme dağılımı da normal olacaktır. Bununla birlikte, örneklem popülasyonu yaklaşık olarak simetrik olduğunda, özellikle küçük örneklem boyutları için örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normal hale gelir. Bununla birlikte, verilere çarpıklık eklerken, örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal hale gelmesi için tipik olarak 30 veya daha fazla örnek boyutu gerekir.
Pratik Uygulama: Olasılık Tahmini: Bu kavramı açıklamak için bir örnek ele alalım. Ortalama ömrü 30.000 kilometre ve standart sapması 3.600 kilometre olan belirli bir lastik markasına sahip olduğumuzu varsayalım. 81 lastiğin ortalama ömrünün 29.200 kilometreden az olma olasılığını belirlemek istiyoruz. Sağlanan bilgileri ve bir z tablosunu kullanarak z-skorunu hesaplayarak, yaklaşık olarak 0,02275 veya %2,275'lik bir olasılık buluyoruz. Bu, 29.200 kilometreden daha az ortalama bir hayat yaşama olasılığının nispeten düşük olduğunu gösterir.
Değişkenler Arasındaki Bağımlılık ve İlişki: Buraya kadar tekli rastgele değişkenleri inceledik. Bununla birlikte, genellikle faiz oranları ve enflasyon gibi iki değişken arasındaki ilişkiyi incelemekle ilgileniyoruz. Bu iki değişken rastgeledir ve muhtemelen yüksek derecede bir korelasyon sergiler. Bu ilişkiyi değerlendirmek için, iki rasgele değişkenin zaman içindeki ortak değişkenliğini ölçen kovaryansı kullanırız. Her gözlem arasındaki farkı ve her iki değişken için karşılık gelen ortalamasını çarparak, kovaryansı hesaplayabiliriz.
Kovaryans: İki değişken arasındaki kovaryans, X ve Y, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
burada X ve Y değişkenlerdir, μX ve μY bunların ilgili araçlarıdır ve n gözlem sayısıdır.
Kovaryansın işareti, değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü gösterir. Kovaryans pozitifse, pozitif bir ilişki olduğunu gösterir, yani bir değişken arttıkça diğerinin de artma eğiliminde olduğu anlamına gelir. Tersine, negatif bir kovaryans, bir değişken artarken diğerinin azalma eğiliminde olduğu negatif bir ilişkiyi gösterir.
Ancak kovaryansın büyüklüğü, değişkenlerin ölçeklerinden etkilendiği için tek başına değişkenler arasındaki ilişkinin gücünün net bir ölçüsünü sağlamaz. Bu sınırlamanın üstesinden gelmek ve ilişkinin gücünü daha iyi anlamak için korelasyon katsayısını kullanabiliriz.
Korelasyon Katsayısı: r ile gösterilen korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü ölçer. -1 ile 1 arasında değişen standartlaştırılmış bir ölçüdür.
Korelasyon katsayısını hesaplama formülü şöyledir:
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
burada cov(X, Y), X ve Y arasındaki kovaryanstır ve σX ve σY, sırasıyla X ve Y'nin standart sapmalarıdır.
Korelasyon katsayısı, değişkenler arasındaki ilişki hakkında değerli bilgiler sağlar. Korelasyon katsayısı 1 veya -1'e yakınsa, güçlü bir doğrusal ilişkiyi gösterir. 1'lik bir korelasyon katsayısı, mükemmel bir pozitif doğrusal ilişkiyi gösterirken, -1, mükemmel bir negatif doğrusal ilişkiyi gösterir. 0'a yakın bir korelasyon katsayısı, değişkenler arasında zayıf veya doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir.
Korelasyonun nedensellik anlamına gelmediğine dikkat etmek önemlidir. İki değişken yüksek oranda ilişkili olsa bile, bu, mutlaka bir değişkenin diğerinin değişmesine neden olduğu anlamına gelmez. Korelasyon basitçe iki değişkenin birlikte hareket etme derecesini ölçer.
Kovaryans ve korelasyon analizi yoluyla değişkenler arasındaki ilişkiyi anlamak, araştırmacıların ve analistlerin farklı faktörler arasındaki kalıplar, bağımlılıklar ve potansiyel tahmin gücü hakkında içgörü kazanmalarına olanak tanır. Bu ölçümler, değişkenler arasındaki ilişkileri incelemek ve bilinçli kararlar vermek için finans, ekonomi, sosyal bilimler ve diğerleri dahil olmak üzere çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.
Hipotez Testi (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 6)
Hipotez Testi (FRM Bölüm 1 2023 – Kitap 2 – Bölüm 6)
Kantitatif analiz kursunun 1. Kısım 2. Kitabında, hipotez testiyle ilgili bir bölüm vardır. Yazar, bu bölümün öğrencilerin lisans istatistik derslerinden hatırlayabilecekleri bilgileri içermesinin muhtemel olduğundan bahseder. Bu bölüm, örneğin ortalamasını ve örnek varyansını anlamak, güven aralıklarını oluşturmak ve yorumlamak, sıfır ve alternatif hipotezlerle çalışmak, bir veya iki kuyruklu testler yapmak ve sonuçları yorumlamak dahil olmak üzere çeşitli öğrenme hedeflerini kapsar.
Bu bölüm, bir örneklemdeki tüm değerlerin toplamının gözlem sayısına bölümü olarak tanımlanan örneklem ortalaması üzerine bir tartışmayla başlar. Örnek ortalamanın hesaplanması birincil odak noktası olmamakla birlikte, popülasyon araçları hakkında çıkarımlarda kullanılmasının anlaşılması önemlidir. Yazar, tüm bir popülasyondan veri toplamanın genellikle pratik olmadığı için, ortalama için yaklaşık bir örnekleme dağılımı sağlayan merkezi limit teoremine dayalı olarak numunelerin seçildiğini ve testlerin yapıldığını vurgulamaktadır.
Daha sonra, yazar, popülasyonun standart sapması genellikle bilinmediğinden, numune standart sapmasını tahmin etmenin önemini vurgulamaktadır. Örnek ortalamanın standart hatasını hesaplamak için bir formül sağlarlar. Ortalamanın 15,50 dolar, standart sapmanın 3,3 ve örneklem büyüklüğünün 30 olduğu hesaplamayı göstermek için bir örnek verilmiştir.
Bölüm daha sonra gözlemlerin ortalamadan dağılımını ölçen örnek varyansını tartışır. Yazar, daha yüksek bir varyansın verilerde daha fazla risk veya değişkenlik gösterdiğini açıklıyor. Bireysel gözlemler ile örnek ortalaması arasındaki farkları içeren ve serbestlik derecelerine bölerek örnek varyansını hesaplamak için bir formül sağlarlar.
Yazar, güven aralıklarına geçerek, güven seviyeleri kavramını tanıtıyor ve bunların, sonuçların belirli bir yüzdesinin düşmesinin beklendiği bir aralığı nasıl sağladıklarını açıklıyor. %95'lik bir güven seviyesi yaygın olarak kullanılır, yani bu tür aralıkların gerçekleşmelerinin %95'i parametre değerini içerecektir. Yazar, güven aralıklarını oluşturmak için, nokta tahminini (örneğin, örneklem ortalaması) artı veya eksi standart hatanın güvenilirlik faktörü ile çarpımını içeren genel bir formül sunar. Güvenilirlik faktörü, istenen güven düzeyine ve popülasyon varyansının bilinip bilinmemesine bağlıdır.
Yazar, istenen güven düzeyine ve örneklem büyüklüğüne dayalı olarak uygun güvenilirlik faktörünü seçmek için bir tablo sağlar. Ayrıca popülasyon varyansının bilinip bilinmemesine bağlı olarak z-skorlarının ve t-skorlarının kullanımını tartışırlar. Örnek ortalama ve standart sapma kullanılarak, bir sınava çalışmak için harcanan ortalama süre için %95 güven aralığının hesaplanmasını gösteren bir örnek verilmiştir.
Son olarak, bölüm, bir popülasyon özelliği hakkında varsayımlarda bulunmayı veya iddialarda bulunmayı ve bunların geçerliliğini değerlendirmek için testler yapmayı içeren hipotez testinden kısaca bahseder. Yazar, hipotezi belirleme, test istatistiğini seçme, önem düzeyini belirleme, karar kuralını tanımlama, örneklem istatistiğini hesaplama ve karar verme dahil olmak üzere hipotez testine dahil olan adımları sunar.
Genel olarak, bu bölüm, özellikle örneklem ortalamasına, örneklem varyansına, güven aralıklarına ve hipotez testine odaklanarak nicel analizdeki önemli kavramlara kapsamlı bir genel bakış sunar. Bu konular istatistiksel analizde temeldir ve verilerden çıkarımlar yapmak ve sonuçlar çıkarmak için bir temel sağlar.