Quantitative trading - страница 31
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
Ковариация и корреляция (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Ковариация и корреляция (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Привет всем, давайте начнем с обсуждения концепции ковариации и корреляции. Сегодняшняя тема может сбить многих с толку, потому что корреляция — это термин, который часто можно услышать, в то время как ковариация часто незнакома, когда дело доходит до вычислений. Кроме того, и ковариация, и корреляция предназначены для измерения одного и того же, что может сбивать с толку. Мы рассмотрим, почему у нас есть две разные меры для одной и той же цели, и определим, когда использовать ковариацию, а когда — корреляцию. Кроме того, мы рассмотрим, как рассчитать как ковариацию, так и корреляцию.
Прежде чем углубиться в ковариацию, давайте быстро рассмотрим, как вычислить дисперсию, потому что она составляет основу нашего обсуждения. Как только мы поймем, как вычислять дисперсию, мы можем перейти к ковариации и исследовать взаимосвязь между двумя показателями. Это поможет нам понять происхождение этих мер и их связь с корреляцией.
Теперь давайте рассмотрим пример, чтобы понять расчет дисперсии. У нас есть ряд данных, представляющий доходность портфеля за пять лет. Доходы даны в процентах за каждый год. Чтобы вычислить дисперсию, нам сначала нужно определить среднее значение ряда данных. Суммируем все доходы и делим сумму на количество наблюдений, которое в данном случае равно пяти годам. Это дает нам среднее значение ряда данных.
Затем мы вычисляем отклонение от среднего для каждого наблюдения. Мы вычитаем среднее значение из каждого возвращаемого значения. Это дает нам отклонение от среднего для каждого наблюдения. Затем квадраты отклонений рассчитываются путем возведения каждого отклонения в квадрат. Мы суммируем все квадраты отклонений и делим результат на количество наблюдений, чтобы получить дисперсию. Наконец, мы берем квадратный корень из дисперсии, чтобы найти стандартное отклонение, которое является связанной мерой.
Важно отметить, что, хотя здесь мы рассчитываем дисперсию вручную, в реальных сценариях или на таких экзаменах, как CFA или FRM, эти расчеты обычно выполняются с использованием встроенных функций таких калькуляторов, как BA2 Plus или BA2 Plus Professional.
Переходя к ковариации, это мера совместного движения или отношения между двумя разными рядами данных. В отличие от дисперсии, которая имеет дело с одним рядом данных, ковариация позволяет нам исследовать, как два ряда данных движутся вместе. Например, мы можем использовать ковариацию для анализа совместного движения между ETF и эталонным индексом. Положительная ковариация указывает на то, что две переменные движутся в одном направлении, а отрицательная ковариация предполагает противоположное движение. Нулевая ковариация указывает на отсутствие связи между переменными.
Чтобы вычислить ковариацию, мы вычитаем среднее значение первого ряда данных из каждого наблюдения этого ряда и умножаем его на отклонение от среднего значения второго ряда данных. Мы повторяем этот процесс для всех наблюдений, умножаем отклонения, суммируем результаты и делим на количество наблюдений, чтобы получить ковариацию.
Стоит отметить, что ковариация имеет сходство с дисперсией, но включает два разных ряда данных, а не один. Фактически дисперсию можно рассматривать как частный случай ковариации, когда две переменные идентичны.
Однако существует ограничение на использование только ковариации. Хотя ковариация дает представление о взаимосвязи между двумя переменными, она не дает представления о величине взаимосвязи. Это создает проблему при сравнении взаимосвязей между различными рядами данных. Здесь в игру вступает корреляция.
Корреляция представляет собой стандартизированную версию ковариации. Он рассчитывается путем деления ковариации на произведение стандартных отклонений двух рядов данных. Этот процесс нормализации позволяет нам сравнивать отношения по стандартной шкале в диапазоне от -1 до +1. Корреляция +1 указывает на идеальную положительную связь, -1 представляет собой идеальную отрицательную связь, а 0 означает отсутствие связи.
Ковариация и корреляция — это меры, которые помогают нам понять взаимосвязь между различными рядами данных. Ковариация указывает на совместное движение между переменными, а корреляция стандартизирует эту меру и упрощает ее.
Варианты выплат и прибылей и убытков (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Варианты выплат и прибылей и убытков (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Всем привет, сегодня мы углубимся в концепцию капсул опционов и изучим разницу между выплатой по опциону и прибылью и убытком по опциону. Мы рассмотрим различные профили выплат по опционам и поймем связанные с ними формулы.
Начнем с четырех основных профилей выплат опционов. У нас есть два типа опционов: колл-опционы и пут-опционы. В опционах колл мы можем занять либо длинную, либо короткую позицию. Точно так же в опционах пут мы можем либо открывать длинные, либо короткие позиции.
Чтобы понять, что значит открывать длинную или короткую позицию, давайте сначала проясним концепцию опционов колл и пут. В этом контексте мы всегда должны подходить к опционам с точки зрения длинной позиции и просто умножать формулы для коротких позиций на -1. Это соглашение полезно, потому что опционы являются деривативами, в которых одна сторона имеет право, а другая сторона несет обязательства. В отличие от фьючерсных или форвардных контрактов, где обе стороны имеют обязательства, реальное преимущество опционов заключается в стороне, имеющей право, то есть в длинной стороне.
Для формул, связанных с позициями или обязательствами, мы также рассматриваем долгосрочную перспективу и применяем противоположный подход. Делая это, мы избегаем путаницы и обеспечиваем четкое понимание предмета.
Теперь давайте рассмотрим четыре основные опционные стратегии. Когда у нас есть длинная позиция колл, это означает, что мы приобрели право купить базовый актив. Точно так же длинная позиция пут указывает на покупку права на продажу базового актива. С другой стороны, короткая позиция колл означает, что мы продали право кому-то еще, тем самым взяв на себя обязательство продать базовый актив. Аналогичным образом, короткая позиция пут означает обязательство купить базовый актив.
Всегда помните, что нужно думать с долгосрочной точки зрения. Длинные позиции несут права, а короткие позиции несут обязательства. Этот подход помогает нам понять четыре основных опционных риска.
Двигаясь дальше, давайте обсудим премию опциона. Премия опциона, также известная как цена опциона, относится к авансовой сумме, необходимой для приобретения права на покупку или продажу базового актива.
Теперь давайте проведем различие между выплатой по опциону и прибылью и убытком по опциону, поскольку люди часто путают эти два термина из-за их сходного использования во фьючерсных и форвардных контрактах. Выплата относится к доходу или притоку от опциона без учета связанных с этим затрат. Напротив, P&L учитывает как выручку, так и затраты, поскольку рассчитывает прибыль или убыток путем вычитания затрат из выручки.
Теперь давайте сосредоточимся на выплатах опционов и различных формулах, связанных с ними. Во-первых, давайте рассмотрим выплату длинного колла. Визуально вы можете идентифицировать график выплат, заметив, что большая его часть лежит на оси X, что указывает на отсутствие потерь для длинной позиции. Однако в начале существует небольшой убыток из-за уплаченной премии по опциону. Формула для выплаты по длинному коллу: max(ST - X, 0), где ST представляет собой цену актива на момент экспирации, а X — цену исполнения.
Для выплаты короткого колла мы можем применить простое правило: прибыль одной стороны равна убытку другой. Таким образом, чтобы рассчитать выплату по короткому звонку, умножьте формулу выплаты по длинному звонку на -1.
Переходя к выплате длинного пута, формула принимает вид max(X - ST, 0). Опцион пут становится ценным, когда цена базового актива падает. Аналогичным образом, для выплаты по короткому путу умножьте формулу выплаты по длинному путу на -1.
Помните, что в приведенных выше расчетах мы сосредоточились исключительно на аспекте дохода, не принимая во внимание сопутствующие расходы. Чтобы учесть затраты, мы расширяем формулы для расчета прибылей и убытков опциона. Формулы для расчета прибылей и убытков по опциону включают поправку на премию по опциону.
Для длинного колла и короткого колла P&L вычтите премию опциона колл (CT) из соответствующих формул выплат.
И наоборот, для длинных пут и коротких пут P&L добавьте премию опциона пут (PT) к соответствующим формулам выплат. Формулы для опциона P&L следующие:
Прибыли и убытки длинного колла: max(ST - X, 0) - CT Прибыли и убытки короткого колла: -max(ST - X, 0) + CT
Прибыль и убыток длинного опциона: max(X - ST, 0) - PT Прибыль и убыток короткого опциона: -max(X - ST, 0) + PT
Включив опционную премию, мы можем определить прибыль или убыток опционной позиции, принимая во внимание как выручку, так и связанные с ней затраты.
Важно отметить, что выплаты по опциону и расчеты прибылей и убытков предполагают истечение срока действия опционного контракта. По истечении срока выплаты и P&L реализуются на основе окончательной цены базового актива.
Кроме того, представленные формулы предполагают опционы в европейском стиле, где исполнение может произойти только по истечении срока действия. Для опционов в американском стиле, допускающих досрочное исполнение, расчеты могут быть более сложными и включать дополнительные факторы, такие как временная стоимость опциона и потенциальные возможности досрочного исполнения.
Понимание выплат по опционам и прибылей и убытков имеет решающее значение для оценки потенциальных результатов и рисков, связанных с различными опционными стратегиями. Эти расчеты помогают трейдерам и инвесторам оценить прибыльность и эффективность своих опционных позиций.
Оценка облигаций (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Оценка облигаций (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Всем привет! Давайте начнем наше обсуждение с изучения концепции оценки облигаций. Сегодня мы сосредоточимся на значении различия между купоном и доходностью и на том, как они взаимодействуют друг с другом, в конечном итоге влияя на динамику ценообразования.
Для начала очень важно понять различие между стоимостью и ценой. Часто мы сталкиваемся с текстами, в которых упоминается необходимость оценить облигацию. Однако на самом деле то, что мы делаем, — это оценка облигации. Технически цена относится к рыночной цене, которая зависит от консенсуса участников рынка. На него влияют факторы спроса и предложения, и он остается одинаковым для всех людей в определенный момент времени. Например, цены на акции можно наблюдать на фондовом рынке, а цены на облигации можно получить на бирже облигаций. Поэтому, когда мы проводим оценку, правильнее называть ее процессом оценки, а не ценообразованием.
Оценка не только облигаций, но и любого актива является несколько субъективным процессом, поскольку требует принятия различных допущений. Эти предположения могут различаться у разных людей, что приводит к разным оценкам. Например, один аналитик может считать акции или облигации переоцененными, в то время как другой аналитик может рассматривать ту же облигацию как недооцененную. Важно признать, что эти расхождения возникают из-за использования различных допущений в их анализе. На самом деле существование различных мнений и точек зрения облегчает функционирование рынка.
Следовательно, ценность относится к воспринимаемой ценности конкретного актива, и она может различаться от человека к человеку в зависимости от их индивидуальных предположений. Поэтому, когда мы вычисляем стоимость чего-либо, мы участвуем в процессе оценки. Важно иметь в виду, что этот процесс включает в себя применение субъективных предположений, а не определение рыночной цены.
Теперь давайте углубимся в метод, обычно используемый для оценки финансовых активов, включая облигации: метод дисконтированных денежных потоков (DCF), который включает концепцию временной стоимости денег. Чтобы освежить нашу память, давайте рассмотрим временную шкалу от нуля до бесконечности. Будущие значения (БС) в разные моменты времени, такие как БС1, БС2 и БС3, необходимо дисконтировать до нулевого периода времени для расчета текущей стоимости (ТС). Суммируя эти приведенные значения, мы можем установить текущую стоимость актива. Этот принцип применим и к оценке облигаций.
При оценке облигации мы дисконтируем будущие денежные потоки, состоящие из регулярных купонных выплат (C1, C2 и C3 в случае трехлетней облигации) и окончательной выплаты, которая представляет собой номинальную стоимость. Все купонные выплаты дисконтируются к нулевому периоду с использованием доходности (Y), которая может быть доходностью к погашению или любым другим показателем доходности. Наконец, номинальная стоимость добавляется к сумме этих приведенных стоимостей, чтобы определить текущую стоимость облигации.
Одной из распространенных ловушек при анализе облигаций является путаница между купоном (C) и доходностью (Y). Чтобы интуитивно понять разницу, рассмотрим пример, где купон равен 12%, а доходность — 8%. В этом сценарии эмитент предлагает более высокую норму прибыли (12%), чем требуется инвестору (8%) для данного уровня риска. В результате облигация будет торговаться с премией, то есть ее цена превысит номинальную стоимость. И наоборот, если купон ниже доходности, например 6% в нашем примере, эмитент не обеспечивает достаточную компенсацию за риск, и инвесторы потребуют скидку на цену облигации. Следовательно, облигация будет продаваться с дисконтом. Когда купон равен доходности, облигация будет продаваться по номинальной стоимости, поскольку норма доходности эмитента соответствует требуемой доходности инвестора.
Ставка купона — это фиксированная процентная ставка, которую эмитент облигации соглашается периодически (обычно раз в год или раз в полгода) выплачивать держателям облигаций в зависимости от номинальной или номинальной стоимости облигации. Эта купонная ставка заранее определена в момент выпуска и остается неизменной в течение всего срока действия облигации.С другой стороны, доходность представляет собой эффективную норму прибыли, которую инвестор получит, удерживая облигацию до погашения. Доходность учитывает текущую рыночную цену облигации, полученные купонные выплаты и время, оставшееся до погашения. Он отражает ожидания рынка и факторы различных переменных, включая преобладающие процентные ставки, кредитный риск и другие рыночные условия.
Связь между ставкой купона и доходностью обратно пропорциональна. Когда купонная ставка облигации выше преобладающей доходности, говорят, что облигация имеет более высокий купон, чем доходность. В этом случае облигация считается более привлекательной для инвесторов, поскольку они получают более высокую процентную выплату по сравнению с рыночной ценой облигации. В результате цена облигации, как правило, торгуется с премией, то есть она оценивается выше, чем ее номинальная стоимость.
И наоборот, когда купонная ставка облигации ниже преобладающей доходности, говорят, что облигация имеет более низкий купон, чем доходность. В этой ситуации инвесторы не получают столько процентов по сравнению с рыночной ценой облигации, что делает облигацию менее привлекательной. Следовательно, цена облигации, как правило, торгуется с дисконтом, что означает, что она оценивается ниже, чем ее номинальная стоимость.
Когда купонная ставка облигации равна преобладающей доходности, говорят, что облигация торгуется по номинальной стоимости. Это означает, что цена облигации равна ее номинальной стоимости. В этом случае купонная ставка соответствует требуемой рынком доходности, и облигация считается оцененной по справедливой цене.
Важно отметить, что соотношение между купоном и доходностью является решающим фактором в определении цены облигации на вторичном рынке. Когда рыночные процентные ставки изменяются, это влияет на преобладающую доходность, которая, в свою очередь, влияет на цену облигации. Если преобладающая доходность превышает купонную ставку облигации, цена облигации будет снижаться, и наоборот.
Ставка купона представляет собой фиксированный процентный платеж по облигации, а доходность представляет собой эффективную норму прибыли, которую получит инвестор. Соотношение между ставкой купона и доходностью влияет на динамику ценообразования облигации: более высокие ставки купона по отношению к доходности приводят к премиям, а более низкие ставки купона по отношению к доходности приводят к дисконтам.
Демистификация соглашений о форвардных процентных ставках (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Демистификация соглашений о форвардных процентных ставках (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Здравствуйте, сегодня мы углубимся в концепцию соглашений о форвардных процентных ставках, также известных как FRA или лягушачьи контракты. Эти соглашения являются разновидностью традиционных форвардных контрактов. В то время как люди, как правило, знакомы с традиционными форвардными контрактами, включающими физические или финансовые активы, такие как товары, акции или облигации, FRA вводят уникальный элемент: базовым активом является процентная ставка. Однако понимание FRA может быть немного запутанным из-за их различных обозначений и формул, которые отличаются от тех, которые используются в традиционных форвардных контрактах.
Чтобы упростить понимание и запоминание FRA, мы сосредоточимся на временной шкале, а не будем полагаться исключительно на формулы. Поняв концепцию временной шкалы, вы сможете решать проблемы, связанные с FRA, без необходимости запоминать сложные формулы. Итак, давайте изучим этот подход.
Прежде чем мы продолжим, давайте быстро вспомним, что такое соглашение о форвардной процентной ставке. Подобно традиционным форвардным контрактам, FRA являются внебиржевыми (OTC) деривативами, что означает, что они представляют собой контракты, заключенные в частном порядке, а не инструменты, торгуемые на бирже. Следовательно, FRA влекут за собой кредитный риск.
Основная цель FRA — зафиксировать будущую стоимость транзакции. В отличие от традиционных форвардных контрактов с физическими или финансовыми активами, FRA предполагают установление фиксированной процентной ставки по кредиту, который будет исполнен в будущем. Заемщик и кредитор заключают соглашение о предварительном установлении процентной ставки по кредиту. Заемщик предвидит будущие потребности в заимствованиях и хочет обеспечить благоприятную процентную ставку, опасаясь, что ставки могут вырасти. И наоборот, кредитор хочет ссудить деньги в будущем и обеспокоен потенциальным снижением процентной ставки.
В FRA фиксированная процентная ставка заменяется на плавающую. Заемщик или сторона, открывающая длинную позицию, платит фиксированную ставку и получает плавающую ставку. И наоборот, кредитор или сторона, открывающая короткую позицию, платит плавающую ставку и получает фиксированную ставку. Важно отметить, что основное внимание уделяется фиксированной ставке, в то время как плавающая ставка используется для расчета выплаты по позиции или прибылей и убытков.
В терминологии FRA есть отличие от обычных форвардных контрактов. В традиционных форвардных контрактах у нас есть длинная сторона (покупатель) и короткая сторона (продавец) в зависимости от того, какой базовый актив покупается или продается. Однако в FRA нет физических или финансовых активов, которые покупаются или продаются, что делает интерпретацию длинной и короткой позиции запутанной. Чтобы преодолеть эту путаницу, нам нужно ассоциировать длинные позиции с покупкой денег, а короткие — с продажей денег.
Учитывая эту ассоциацию, заемщик берет кредит, представляющий собой длинную позицию, и платит фиксированную ставку, получая при этом плавающую ставку. И наоборот, кредитор предоставляет кредит, представляющий собой короткую позицию, и получает фиксированную ставку, выплачивая при этом плавающую ставку. Важно понимать, что позиции всегда противоположны — когда одна сторона платит фиксированную сумму, другая получает фиксированную сумму, и наоборот.
Теперь давайте обратимся к соглашению об именах FRA, уникальному для этого производного. FRA обозначаются как «X через Y», где X и Y — месяцы. Например, FRA «1 на 4» означает соглашение о кредите на один месяц, начинающееся сегодня и заканчивающееся через четыре месяца. Однако для расчетов необходимо перевести эти месяцы в дни. Для этого запишите X и Y рядом, добавьте 0 впереди и заключите их в временную шкалу. Эта временная шкала визуально представляет продолжительность ОЛР.
Например, для FRA «1 на 4» временная шкала будет отображаться как «0-1-4». В этом представлении 0 обозначает дату начала ОЛР, 1 — дату окончания ОЛР, а 4 — теоретический срок кредита. Однако важно помнить, что кредит
Теперь в соглашении о форвардной процентной ставке (FRA) мы должны учитывать две ключевые даты: дату расчета и дату погашения. Датой расчетов является дата инициирования FRA, а датой погашения является дата начала теоретического кредита.
В примере FRA 2 на 3 дата расчетов приходится на период времени 0, что означает, что он инициируется немедленно. Дата погашения находится в периоде времени 2, что указывает на то, что теоретический кредит начнется через два месяца.
Теперь давайте сосредоточимся на терминах «длинный» и «короткий» в контексте FRA. В традиционных форвардных контрактах длинная позиция представляет покупателя или держателя базового актива, а короткая позиция представляет продавца. Тем не менее, в случае с FRA, поскольку физический или финансовый актив не покупается или не продается, интерпретация немного отличается.
В FRA длинная позиция относится к стороне, которая хочет занять деньги, а короткая позиция относится к стороне, которая хочет одолжить деньги. Длинная позиция — заемщик, а короткая — кредитор. Это различие важно понимать, чтобы определить, кто платит и получает фиксированные и плавающие ставки.
В примере FRA 2 на 3 заемщик является длинной позицией, а кредитор — короткой позицией. Заемщик соглашается платить фиксированную ставку, в то время как кредитор соглашается получить фиксированную ставку. С другой стороны, заемщик будет получать плавающую ставку, а кредитор будет платить плавающую ставку.
Фиксированная ставка заранее определена и согласована при инициировании FRA, тогда как плавающая ставка основана на справочной ставке, такой как LIBOR, и будет определена по истечении срока действия FRA.
Подводя итог, в FRA 2 на 3 дата расчетов приходится на период времени 0, дата погашения приходится на период времени 2, и заемщик (длинная позиция) платит фиксированную ставку и получает плавающую ставку, в то время как кредитор (короткая позиция) получает фиксированную ставку, а платит плавающую ставку.
Понимание временной шкалы и роли длинных и коротких позиций поможет вам ориентироваться в сложностях FRA, не полагаясь исключительно на запоминание формул. Визуализируя временную шкалу и правильно интерпретируя соглашение об именах, вы можете понять ключевые аспекты и концепции соглашений о форвардных процентных ставках.
Beta и CAPM (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Beta и CAPM (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Здравствуйте, сегодня мы собираемся обсудить концепцию бета-тестирования и модель ценообразования капитальных активов (CAPM). Бета, также известная как коэффициент бета или бета-коэффициент, является мерой систематического риска. Систематический риск – это часть общего риска, которую невозможно устранить путем диверсификации. Другими словами, это риск, присущий всему рынку, и его нельзя избежать, добавляя в портфель больше ценных бумаг.
Важно отметить, что бета — это не то же самое, что корреляция, хотя и зависит от корреляции. Бета представляет собой отношение между доходностью актива и доходностью всего рынка. Теперь давайте подробнее рассмотрим, как рассчитывается бета.
Формула бета выглядит следующим образом: Бета = Ковариация (актив, рынок) / Дисперсия (рынок). В этой формуле «актив» относится к акции или активу, для которого мы рассчитываем бета-версию, а «рынок» представляет собой популярный рыночный индекс, такой как S&P 500, который часто используется в качестве прокси для рынка.
Чтобы упростить формулу, мы можем заменить член ковариации на корреляцию. Ковариация равна корреляции, умноженной на стандартные отклонения актива и рынка. Заменив ковариацию корреляцией, формула для бета станет следующей: Бета = Корреляция (актив, рынок) * (Стандартное отклонение (актив) / Стандартное отклонение (рынок)).
Теперь давайте обсудим, как интерпретировать бета. Бета следует понимать как множитель, а не как корреляцию. Если бета актива равна 2, это означает, что если базовый фондовый индекс увеличится на 10%, стоимость актива увеличится вдвое, или на 20%. Точно так же, если бета равна 1,5, стоимость актива увеличится на 50% больше, чем базовый индекс. Отрицательная бета, например -2, указывает на то, что стоимость актива будет двигаться в направлении, противоположном рынку, но с удвоенной величиной.
Бета, равная нулю, означает, что между активом и рынком нет никакой связи. На стоимость актива не повлияют изменения на рынке. Бета, равная единице, предполагает, что актив движется синхронно с рынком. Это часто наблюдается в ETF, которые отслеживают определенные рыночные индексы, такие как S&P 500.
Теперь давайте рассмотрим модель оценки капитальных активов (CAPM), которая обеспечивает простую взаимосвязь между ожидаемой доходностью актива и его бета-коэффициентом. Однако CAPM основан на определенных предположениях, которые в действительности могут не соответствовать действительности. Эти допущения включают отсутствие транзакционных издержек и налогов, бесконечно делимые активы, неограниченную короткую продажу, рыночные активы и инвесторов, принимающих цену.
Кроме того, CAPM предполагает, что функции полезности инвесторов основаны исключительно на ожидаемой доходности и риске, и рассматривает один период для анализа доходности и рисков. Хотя эти допущения нереалистичны, CAPM служит отправной точкой для более продвинутых многофакторных моделей, построенных на ее основе.
Формула CAPM является ключевым компонентом экзаменов по финансам, и ее часто называют одной из «формул 4 утра» из-за ее важности. Формула ожидаемой доходности с использованием CAPM: Ожидаемая доходность = Безрисковая ставка + Бета * (Рыночная доходность - Безрисковая ставка). Эта формула рассчитывает ожидаемую доходность актива путем добавления безрисковой ставки к произведению бета и премии за рыночный риск (разница между рыночной доходностью и безрисковой ставкой).
Таким образом, бета измеряет систематический риск, а CAPM обеспечивает основу для определения ожидаемой доходности актива на основе его бета. Хотя CAPM опирается на определенные допущения, она служит основой для более сложных моделей. Понимание бета и CAPM необходимо для анализа характеристик риска и доходности активов в области финансов.
Доходность портфеля и дисперсия (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Доходность портфеля и дисперсия (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Давайте углубимся в тему доходности и дисперсии портфеля, уделив особое внимание концепции капсул портфеля. Понять доходность портфеля относительно просто, в то время как дисперсия портфеля может быть более сложной из-за ее сложной формулы. Чтобы упростить вычисление и облегчить запоминание, мы изучим полезный трюк. Понимая, как работает доходность портфеля и дисперсия, мы можем легче понять формулу.
Во-первых, давайте начнем с концепции ожидаемой доходности портфеля, которая по существу представляет собой средневзвешенное значение. Это означает, что когда у нас есть несколько активов или акций, объединенных в портфель, мы рассчитываем ожидаемую доходность, умножая вес каждой акции на ее соответствующую доходность. Вес акции представляет собой долю стоимости этой акции во всем портфеле. Например, если ваш портфель стоит 100 000 долларов и вы владеете акциями А на 40 000 долларов, вес акций А будет составлять 40%. Формула ожидаемой доходности портфеля:
Ожидаемая доходность портфеля (ERp) = Σ (wi * ri)
Здесь wi представляет вес каждой акции, а ri представляет доходность каждой акции. Суммируя произведения весов и доходностей каждой акции, мы получаем ожидаемую доходность портфеля.
Теперь давайте перейдем к более сложному аспекту дисперсии портфеля и стандартного отклонения. Стандартное отклонение портфеля нельзя рассчитать, просто сложив отдельные стандартные отклонения базовых ценных бумаг или взяв средневзвешенное значение их стандартных отклонений. При расчете учитывается корреляция между активами, что усложняет формулу. Чем больше активов в портфеле, тем больше парных корреляций, что делает формулу все более сложной. Однако на таких экзаменах, как CFO или FRM, вопросы обычно сосредоточены на двух или трех активах, поскольку выйти за их пределы становится слишком сложно.
Стандартное отклонение портфеля состоит из двух ключевых компонентов: дисперсии базовых активов и ковариации каждой пары базовых активов. Если мы рассматриваем портфель с двумя активами (Актив A и Актив B), нам необходимо рассчитать попарную ковариацию или корреляцию между этими активами. Для трех активов нам потребуется попарная ковариация или корреляция для всех трех активов. Формула дисперсии портфеля выглядит следующим образом:
Дисперсия портфеля = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * σx * wy * σy * ρxy)
Здесь wx и wy представляют веса актива A и актива B соответственно. σx и σy представляют собой стандартные отклонения актива A и актива B соответственно. Наконец, ρxy представляет собой корреляцию между активом A и активом B. Стандартное отклонение портфеля получается путем извлечения квадратного корня из дисперсии портфеля.
Чтобы помочь запомнить эту формулу, мы можем провести параллель со знакомой алгебраической формулой: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Если мы приравняем члены этой алгебраической формулы к условиям формулы дисперсии портфеля, мы увидим некоторое сходство. Например, wx и σx можно приравнять к a, а wy и σy можно приравнять к b. Критерий корреляции, ρxy, является дополнительным термином, который нельзя упускать из виду, так как он имеет решающее значение для определения уровня диверсификации портфеля.
Важно отметить, что корреляция колеблется от -1 до +1. Более высокая положительная корреляция подразумевает большую дисперсию портфеля, на что указывает положительный член в формуле. С другой стороны, более отрицательная корреляция означает увеличение преимуществ диверсификации, поскольку она снижает дисперсию портфеля. Кроме того, член, включающий попарную ковариацию (σxy), объединяет последние три члена формулы. Если вам задана ковариация напрямую вместо этих трех.
Если вам задана ковариация напрямую вместо корреляции, вы можете вместо этого использовать ковариацию в формуле. Тогда формула будет выглядеть так:
Дисперсия портфеля = (wx^2 * σx^2) + (wy^2 * σy^2) + (2 * wx * wy * σxy)
Здесь σxy представляет собой ковариацию между Активом A и Активом B.
Чтобы еще больше упростить расчет, вы можете создать «капсулу портфеля», содержащую всю необходимую информацию для расчета отклонения портфеля. Эта капсула включает веса, стандартные отклонения и корреляции (или ковариации) активов в портфеле. Организовав эту информацию в структурированном виде, вы можете легко подставить значения в формулу и рассчитать дисперсию портфеля.
Вот пример того, как вы можете создать капсулу портфеля для портфеля из двух активов:
Актив А:
Актив Б:
Используя эту капсулу, вы можете подставить значения в формулу дисперсии портфеля и рассчитать результат. Не забудьте взять квадратный корень из дисперсии портфеля, чтобы получить стандартное отклонение портфеля.
Используя этот подход, вы можете упростить процесс расчета и эффективно организовать необходимую информацию. Важно отметить, что этот упрощенный подход применим для портфелей с двумя или тремя активами. Для портфелей с большим количеством активов формула усложняется, и для расчетов может потребоваться использование матричной алгебры или специализированного программного обеспечения.
Timeline – Ваш лучший друг (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Timelime – Ваш лучший друг (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Привет! Давайте углубимся в концепцию временной шкалы и ее применения в различных областях финансов. График является фундаментальной концепцией, которая присутствует во многих предметах в области финансов, включая учебные программы CFA и FRM. Это важно, потому что большинство оценок в финансах опираются на временную шкалу и концепцию дисконтированных денежных потоков. Правильное понимание временной шкалы позволяет применять ее к различным предметам и финансовым расчетам.
Одним из преимуществ использования временной шкалы является то, что, хотя терминология может варьироваться в зависимости от предмета, основная математическая концепция остается неизменной. Независимо от того, имеете ли вы дело с текущей стоимостью и будущей стоимостью во временной стоимости денег или с форвардной и спотовой ценой в деривативах, концепция начисления сложных процентов и дисконтирования остается неизменной. Эта согласованность математической концепции позволяет универсально применять временную шкалу.
Временную шкалу часто называют лучшим другом в финансах из-за ее универсальности и широкого использования. Он служит иллюстрацией сумм и сроков денежных потоков в любом инвестиционном проекте. При построении временной шкалы крайне важно разделить временные интервалы равноотстоящим образом. Например, если вы используете годы, интервалы должны составлять один год, два года, три года и так далее. Если вы используете полугодовые периоды, интервалы должны составлять шесть месяцев, двенадцать месяцев, восемнадцать месяцев и так далее. Равноудаленные периоды времени позволяют проводить последовательные расчеты и анализ.
Существует множество применений временной шкалы в финансах, и некоторые из ключевых из них включают количественные методы, составление бюджета капитала, оценку капитала, оценку фиксированного дохода, а также ценообразование и оценку деривативов. Эти приложения охватывают ряд финансовых концепций и расчетов, и временная шкала играет жизненно важную роль в каждом из них.
В количественных методах временная шкала используется для расчета временной стоимости денег. Это включает в себя определение будущей стоимости, текущей стоимости, аннуитетов, бессрочных выплат и решение проблем, связанных с пенсионным планированием или выплатами по ипотеке. Временная шкала позволяет точно составлять и дисконтировать денежные потоки и решать различные финансовые проблемы.
При составлении бюджета капиталовложений временная шкала используется для оценки инвестиционных проектов с использованием таких понятий, как чистая приведенная стоимость (NPV) и внутренняя норма прибыли (IRR). NPV помогает определить стоимость проекта, сравнивая текущую стоимость притока денежных средств с первоначальным оттоком денежных средств. Если NPV положительна, проект считается жизнеспособным. IRR — это ставка дисконтирования, которая делает NPV равной нулю и помогает в выборе проекта и его последовательности.
Оценка капитала включает использование временной шкалы для дисконтирования ожидаемых денежных потоков, таких как дивиденды, с использованием различных моделей, таких как модель дисконтирования дивидендов, модель свободного денежного потока (FCFE или FCFF) или модель остаточного дохода. Размещая эти денежные потоки на временной шкале и дисконтируя их до настоящего времени, можно оценить фундаментальную или внутреннюю стоимость акций. Этот подход к оценке помогает определить, переоценены ли акции на рынке или недооценены.
Оценка облигаций, применимая к различным типам облигаций, также зависит от графика времени. Независимо от конкретного типа облигации, процесс оценки включает дисконтирование будущих денежных потоков по облигации, обычно в форме купонов и выплат основной суммы долга, до настоящего времени с использованием соответствующей ставки дисконтирования. График помогает определить справедливую стоимость облигации и оценить ее привлекательность на рынке.
Это всего лишь несколько примеров применения временной шкалы в финансах. Важно отметить, что временная шкала распространена в задачах, связанных с оценкой, в различных финансовых областях. Понимая и эффективно используя временную шкалу, финансовые специалисты могут принимать обоснованные решения и выполнять точные расчеты.
Эволюция теории портфеля — от границы эффективности до CAL и SML (для экзаменов CFA® и FRM®)
Эволюция теории портфеля — от границы эффективности до CAL и SML (для экзаменов CFA® и FRM®)
Сегодня мы рассмотрим концепцию капсул и углубимся в эволюцию портфельной теории. Мы сосредоточимся на понимании различных фаз, таких как граница минимальной дисперсии, граница эффективности, линия распределения капитала, линия рынка капитала и линия рынка ценных бумаг. Вместо того, чтобы сосредотачиваться исключительно на формулах, мы подчеркнем различия между этими фазами и тем, как они развиваются, что в конечном итоге приведет к формулированию модели оценки капитальных активов (CAPM) и линии рынка ценных бумаг.
Начнем с границы минимальной дисперсии. Представьте, что у вас есть информация о 20 различных активах, включая их профили риска и доходности. Используя эти данные, вы можете создавать различные портфолио либо вручную, либо на листе Excel. Комбинируя эти портфели, вы можете сформировать границу минимальной дисперсии. Эта граница представляет собой диапазон портфелей с минимальной величиной дисперсии, указывающий точку с наименьшим риском. Эта точка известна как портфель глобальной минимальной дисперсии.
Переходя к эффективной границе, мы наносим все портфели на график с ожидаемой доходностью портфеля на оси ординат и риском (измеряемым стандартным отклонением портфеля) на оси абсцисс. Эффективная граница состоит из портфелей, которые обеспечивают максимальную доходность при заданном уровне риска или минимизируют риск при заданном уровне доходности. Любой портфель ниже границы эффективности считается неэффективным, поскольку всегда можно выбрать портфель выше границы с более высокой доходностью при том же уровне риска. Эффективная граница — это верхняя часть границы минимальной дисперсии.
Далее мы вводим линию распределения капитала (CAL), которая сочетает в себе безрисковый актив с рискованным активом. Безрисковый актив предлагает гарантированный доход без какого-либо риска, представленного его положением на оси Y. CAL представляет собой ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфелей, состоящих как из безрисковых активов, так и из рисковых активов. Для определения оптимального портфеля на CAL мы используем кривые безразличия. Эти кривые отражают предпочтения инвестора с точки зрения риска и доходности. Оптимальный портфель находится в точке, где кривая безразличия касается CAL.
Двигаясь дальше, мы преобразуем CAL в линию рынка капитала (CML), предполагая, что все инвесторы имеют одинаковые предпочтения. CML — это линия, соединяющая безрисковую норму доходности с рыночным портфелем. Тем не менее, найти истинный аналог рыночного портфеля сложно, поскольку инвесторы владеют разнообразными инвестициями, помимо акций или облигаций. Поэтому популярные фондовые индексы, такие как S&P 500, часто используются в качестве прокси, даже если это не идеальное представление.
В контексте риска мы различаем систематический риск и несистематический риск. Систематический риск — это та часть общего риска, которая не может быть устранена, например макроэкономические факторы, такие как инфляция, процентные ставки и обменные курсы. Несистематический риск специфичен для отдельных компаний и может быть снижен за счет диверсификации. Теория предполагает, что инвесторы должны получать компенсацию только за систематический риск, поскольку несистематического риска можно избежать за счет диверсификации.
Чтобы проиллюстрировать это, по мере увеличения количества ценных бумаг в портфеле систематический риск остается постоянным, а несистематический риск уменьшается благодаря преимуществам диверсификации. Рынок должен вознаграждать инвесторов только за систематический риск.
В заключение, понимание эволюции портфельной теории включает в себя понимание различных фаз, включая границу минимальной дисперсии, эффективную границу, линию распределения капитала, линию рынка капитала и линию рынка ценных бумаг. Эти концепции помогают инвесторам определять оптимальные портфели на основе предпочтений в отношении риска и доходности с учетом систематических и несистематических рисков.
Проверка гипотез (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Проверка гипотез (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Сегодня мы углубимся в тему проверки гипотез, уделив особое внимание концепции концептуальных капсул. Проверка гипотез является фундаментальной частью учебной программы CFA Level 1 Quants, а также учебной программы CFA Level 2 Quants и учебной программы FRM. Многие студенты считают проверку гипотез сложной задачей, особенно на уровне 1 CFA, поэтому мы рассмотрим способы сделать ее более управляемой.
Во-первых, давайте поймем суть проверки гипотез. Гипотеза – это, по сути, мнение или утверждение, которое еще не подтверждено. Это утверждение требует проверки, чтобы определить его достоверность. Например, рассмотрим утверждение о том, что средняя продолжительность жизни мужчин меньше, чем у женщин. Это утверждение не имеет доказательств и нуждается в доказательствах. Проверка гипотез вступает в игру для расследования и оценки таких утверждений.
Гипотеза — это предполагаемое утверждение о проблеме, идее или характеристике населения. Чтобы проверить гипотезу, необходимо собрать и изучить данные. Поскольку изучение всего населения часто нецелесообразно, отнимает много времени и средств, для исследования обычно берется репрезентативная выборка. На основании результатов выборки можно сделать выводы обо всей совокупности. В этом суть проверки гипотез.
Теперь давайте рассмотрим важные шаги, связанные с проверкой гипотез. Хотя некоторые учащиеся могут счесть проверку гипотез сложной задачей из-за множества формул и сложности нулевых и альтернативных гипотез, важно последовательно выполнять эти шесть шагов. Независимо от конкретной проверяемой гипотезы или используемого распределения эти шаги остаются последовательными. Таким образом, независимо от теста или вопроса, просто выполните эти шаги в одном и том же порядке, чтобы прийти к выводу.
Однако важно отметить, что одного запоминания формул недостаточно. Хотя необходимо помнить формулы и распределения, применимые к каждому тесту, понимание и выполнение этих шагов имеет решающее значение для получения значимых выводов. Многие студенты сосредотачиваются исключительно на запоминании, забывая о важности следования этим шести шагам, которые часто мешают им прийти к окончательному результату. Поэтому крайне важно досконально понять процесс и попрактиковаться в решении вопросов проверки гипотез в установленной последовательности.
Теперь давайте подробно рассмотрим каждый шаг. Первый шаг включает формулировку как нулевой, так и альтернативной гипотез. Этот шаг является критическим, так как неправильная формулировка гипотезы может привести к ошибочному заключению. Хотя мы не будем подробно рассматривать этот шаг здесь, важно помнить, что нулевая гипотеза обычно включает знак равенства (например, равно, больше или равно, меньше или равно), в то время как альтернативная гипотеза фокусируется на дополнительная часть дистрибутива. Если сомневаетесь, обратитесь к дополнительным ресурсам или посмотрите отдельные видео по нулевой и альтернативной гипотезам.
Второй шаг влечет за собой определение соответствующей тестовой статистики и ее вероятностного распределения. Этот шаг зависит от конкретного проводимого теста. Например, при проверке среднего значения используется либо t-распределение, либо z-распределение. При тестировании дисперсии используется распределение хи-квадрат. Для каждого теста требуется конкретная тестовая статистика и распределение, поэтому очень важно знать, какие формулы применять.
Затем укажите уровень значимости, который обычно указывается в самом вопросе. Наиболее распространенный уровень значимости — 5 %, но в зависимости от контекста он может составлять 1 % или 10 %. Уровень значимости определяет критическое значение, используемое для решающего правила на последующем шаге.
Четвертый шаг включает формулировку правила принятия решений, определяющего, следует ли отклонить или не отклонить нулевую гипотезу. На этом этапе четко определяются условия, при которых нулевая гипотеза отвергается или не может быть отвергнута. Правило принятия решения должно соответствовать альтернативной гипотезе и проводимому тесту.
Теперь мы переходим к последнему шагу, где мы принимаем решение на основе результатов выборки. На этом этапе мы сравниваем нашу тестовую статистику (7,96) с критическим значением 1,83.
Поскольку наша тестовая статистика (7,96) больше критического значения (1,83), мы отклоняем нулевую гипотезу. Это означает, что у нас есть достаточно доказательств, чтобы заключить, что средний уровень осадков увеличился по сравнению с прежним значением в 23 сантиметра.
Важно отметить, что наше решение основано на выбранном конкретном уровне значимости (5%). Если бы уровень значимости был другим, изменилось бы и критическое значение, и наше решение могло бы быть другим.
Подводя итог, мы выполнили шесть шагов проверки гипотезы, чтобы оценить, увеличилась ли средняя норма осадков с 23 сантиметров. Мы сформулировали нулевую и альтернативную гипотезы, определили соответствующую тестовую статистику (t-критерий), задали уровень значимости (5%), сформулировали правило принятия решения, рассчитали тестовую статистику (7,96) и приняли решение на основе результатов выборки. , отвергая нулевую гипотезу.
Помните, что это всего лишь один пример проверки гипотезы, специально для проверки одного среднего значения. Шаги могут различаться в зависимости от типа проверяемой гипотезы (например, проверка дисперсий, пропорций и т. д.), но общий процесс остается одним и тем же.
Понимая и практикуя эти шаги, вы сможете уверенно подойти к любой проблеме проверки гипотез и сделать осмысленные выводы на основе имеющихся данных.
Нулевые и альтернативные гипотезы (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Нулевые и альтернативные гипотезы (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Сегодня мы обсудим концепцию концептуальных капсул, уделив особое внимание теме нулевых и альтернативных гипотез. Это важный аспект проверки гипотез, с которым вы столкнетесь как на уровне 1, так и на уровне 2 CFA, а также в учебной программе FRM. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез — это первый шаг в процессе проверки гипотез, и очень важно сделать это правильно, поскольку это закладывает основу для всей проверки.
Давайте углубимся в то, что вам нужно сделать на этом начальном этапе. Первое, что нужно рассмотреть, это категории гипотез. У нас есть два типа гипотез: нулевая гипотеза (H0) и альтернативная гипотеза (Ha). Нулевая гипотеза представляет собой проверяемую гипотезу, основанную на текущих знаниях о параметре совокупности. С другой стороны, альтернативная гипотеза представляет собой альтернативную точку зрения или мнение о параметре населения. В некоторых текстах альтернативная гипотеза может обозначаться как H1b, но обычно она представлена как Ha или просто H1.
Чтобы сформулировать эти гипотезы, необходимо следовать трем основным принципам. Эти принципы применимы к любому тесту гипотезы, который вы проводите, будь то t-критерий, z-критерий или даже критерий Дурбина-Ватсона в вашей учебной программе 2-го уровня. Понимая и применяя эти принципы, вы можете точно и последовательно создавать нулевую и альтернативную гипотезы.
Первый принцип состоит в том, что нулевая и альтернативная гипотезы должны быть взаимоисключающими. Это означает, что между двумя гипотезами не должно быть дублирования или общих результатов. Если результат присутствует в нулевой гипотезе, он не может присутствовать в альтернативной гипотезе, и наоборот.
Второй принцип заключается в том, что гипотезы должны быть исчерпывающими в совокупности. Это означает, что нет никаких других возможных результатов, кроме тех, которые представлены в нулевой и альтернативной гипотезах. Например, если вы проверяете, равно ли среднее значение 5, альтернативная гипотеза будет утверждать, что среднее значение не равно 5. В этом случае среднее значение может быть либо равно 5, либо не равно 5, не оставляя другие возможности.
Третий и решающий принцип заключается в том, что нулевая гипотеза должна включать знак равенства. Это правило имеет первостепенное значение при проверке гипотез, так как помогает избежать ошибок при создании нулевой и альтернативной гипотез. Знак равенства может охватывать не только строгое равенство, но и неравенства, такие как больше или равно и меньше или равно.
Теперь давайте рассмотрим два типа тестов, с которыми вы можете столкнуться: двусторонние тесты и односторонние тесты. В двустороннем тесте учитываются обе стороны распределения. Например, если вы проверяете, равно ли среднее значение 10 или не равно 10, вы исследуете как возможность того, что среднее значение больше 10, так и меньше 10. В этом случае тест называется двухуровневым. - хвостовой тест.
В двустороннем тесте уровень значимости, часто устанавливаемый на уровне 5%, поровну распределяется между обеими сторонами распределения. Это означает, что каждая сторона получает 2,5% уровня значимости, оставляя 95% в середине, так как общая площадь под кривой должна в сумме составлять 100%.
С другой стороны, односторонний тест фокусируется на одной конкретной стороне распределения, либо на левой, либо на правой стороне. Этот тест используется, когда вы хотите проверить возможность изменения только в одном направлении, игнорируя другое направление. Например, если вы проверяете, меньше ли среднее значение 10, вас интересует левая часть распределения. И наоборот, если вы проверяете, больше ли среднее значение 10, вы сосредотачиваетесь на правой стороне распределения.
После того как вы сформулировали нулевую и альтернативную гипотезы, вы можете перейти к следующим шагам проверки гипотез. Эти шаги обычно включают сбор данных, выполнение статистического анализа и выводы на основе результатов.
Подводя итог, вот ключевые моменты, которые обсуждались до сих пор:
Проверка гипотез является важной частью статистического анализа и используется для того, чтобы делать выводы о параметрах совокупности на основе выборочных данных.
При проверке гипотез участвуют два типа гипотез: нулевая гипотеза (H0) и альтернативная гипотеза (Ha или H1).
Нулевая гипотеза представляет текущие знания или предположения о проверяемом параметре совокупности, тогда как альтернативная гипотеза представляет другое или противоположное убеждение.
Три основных принципа формулирования гипотез:
а. Взаимоисключающие: нулевая и альтернативная гипотезы должны быть отдельными и не могут иметь общих результатов. Они представляют разные возможности.
б. В совокупности исчерпывающие: нулевая и альтернативная гипотезы должны охватывать все возможные результаты. Других вариантов, кроме заявленных в гипотезах, быть не должно.
в. Знак равенства в нулевой гипотезе. Нулевая гипотеза всегда должна включать знак равенства (например, равно, меньше или равно или больше или равно). Это гарантирует, что нулевая гипотеза представляет конкретное значение или условие.
Тесты гипотез можно разделить на двусторонние и односторонние:
а. Двусторонние тесты рассматривают обе стороны распределения и проверяют, не равен ли параметр определенному значению.
б. Односторонние тесты фокусируются на одной конкретной стороне распределения и проверяют, больше или меньше параметр определенного значения.
Крайне важно выбрать подходящий тип теста, исходя из вопроса исследования и направленности исследуемого эффекта.
После того как гипотезы сформулированы, следующие шаги включают сбор данных, статистический анализ (например, расчет тестовой статистики и p-значений) и интерпретацию результатов для принятия или отклонения нулевой гипотезы.
Помните, что проверка гипотез — это структурированный процесс, который помогает вам делать осмысленные выводы на основе фактических данных. Следуя обсуждаемым принципам и рекомендациям, вы можете обеспечить достоверность и точность процедур проверки гипотез.