Quantitative trading - страница 18

[MetaQuotes]

Чем случайный процесс отличается от случайной величины?

Чем случайный процесс отличается от случайной величины?

Добро пожаловать на сеанс вопросов и ответов по курсу «Вычислительные финансы»!

Сегодняшний вопрос номер пять, который фокусируется на разнице между случайным процессом и случайной величиной. Этот вопрос основан на материалах, рассмотренных во второй лекции.

Стохастический процесс — это, по сути, набор случайных величин, параметризованных по времени. Формально мы можем представить случайный процесс как X(t), где у нас есть два аргумента: время (t) и омега (Ω), что соответствует вероятностному пространству. Напротив, случайная величина представляет собой более простое понятие, не имеющее зависимости от времени. Например, если мы подбрасываем монету и рассматриваем результаты «решка» или «орел», это случайная величина. Однако, если мы введем время в уравнение и рассмотрим появление «решки» или «орла» во времени, оно станет стохастическим процессом.

И в промышленности, и в научных кругах мы часто пренебрегаем вторым аргументом (Омега) при обсуждении стохастических процессов. Вместо этого мы называем процесс X(t), а не dX(t, Ω), что дало бы полное определение стохастического процесса.

Также важно понимать, как интерпретировать смоделированные пути Монте-Карло и их связь со временем и омегой. Если мы отобразим значения процесса X(t) во времени, мы можем наблюдать несколько путей Монте-Карло. Каждый путь представляет возможную реализацию процесса. Если мы зафиксируем конкретное время, скажем, t*, и посмотрим на распределение всех реализаций в этот момент, мы рассмотрим разные результаты (омеги) в данный момент времени. С другой стороны, мы можем зафиксировать конкретную реализацию (Омегу) и наблюдать, как процесс развивается во времени, приводя к единственному пути. Таким образом, у нас есть два аспекта, которые необходимо учитывать: определение времени для анализа распределения результатов или определение реализации для наблюдения за поведением процесса во времени.

Таким образом, стохастический процесс представляет собой набор случайных величин, параметризованных по времени. Он представляет собой эволюцию системы во времени и может наблюдаться с помощью путей Монте-Карло. Случайная величина, с другой стороны, представляет собой более простое понятие, не зависящее от времени. Понимание этого различия имеет решающее значение при изучении вычислительных финансов.

[MetaQuotes]

Каковы преимущества и недостатки использования ABM/GBM для моделирования складского процесса?

Каковы преимущества и недостатки использования ABM/GBM для моделирования складского процесса?

Добро пожаловать на сессию вопросов и ответов по вычислительным финансам!

Сегодняшний вопрос номер шесть, который исследует преимущества и недостатки использования арифметического броуновского движения или геометрического броуновского движения для моделирования биржевого процесса. Этот вопрос основан на вопросе номер два и подобен тому, который обсуждался на предыдущем занятии, где для оценки опционов использовалось арифметическое броуновское движение.

Разница между этими двумя процессами относительно невелика, в первую очередь в отношении того, рассматриваем ли мы актив, допускающий как положительные, так и отрицательные значения, или сосредотачиваемся только на положительных активах, таких как акции. Сегодня мы углубимся в аспекты, которые помогут нам определить, подходит ли арифметическое броуновское движение или геометрическое броуновское движение для оценки конкретной производной в различных сценариях.

Давайте рассмотрим случай, когда у нас есть экзотический производный инструмент, который нам нужно оценить. Эта производная сложная, возможно, включает функции возможности вызова. Чтобы оценить, подходит ли арифметическое или геометрическое броуновское движение для ценообразования, нам необходимо изучить определенные факторы.

Первый вопрос, который следует задать, заключается в том, богат ли рынок экзотических деривативов в этом классе активов. Если доступны другие экзотические деривативы, это говорит о том, что нам следует рассмотреть модель, которая позволяет проводить калибровку по этим рыночным ценам. Затем мы можем экстраполировать цену на интересующую производную. Однако, если рынок небогат, это означает, что мы можем оценить экзотическую производную, но дополнительных экзотических производных для калибровки нет.

В последнем случае мы переходим к следующему шагу и проверяем, есть ли доступные варианты для этого рынка. Если существует рынок опционов, мы должны сначала откалибровать нашу модель для этих опционов, обычно ликвидных инструментов. Эта калибровка помогает определить параметры модели. Получив откалиброванные параметры модели, мы можем использовать их для оценки экзотического производного инструмента.

Если на рынке нет коллов и путов, мы сталкиваемся со сценарием, в котором нет рыночных инструментов для использования. В таких случаях, например, на рынке без подразумеваемой волатильности для коллов и путов, мы можем считать, что модель Блэка-Шоулза или геометрическое броуновское движение подходят для ценообразования экзотического дериватива. Однако в этой ситуации важно отметить, что калибровки параметра Sigma должно быть достаточно. Кто-то может возразить, что если у нас нет инструментов хеджирования, таких как базовые коллы и опционы пут, для дериватива с расширенными функциями, такими как возможность отзыва, торговать этим деривативом может быть нецелесообразно. Тем не менее, с чисто теоретической точки зрения, геометрическое броуновское движение может использоваться в таких сценариях с ограниченной рыночной информацией.

Крайне важно понимать, что если на рынке доступно больше инструментов, таких как другие экзотические деривативы или коллы и путы, оценка экзотических деривативов с использованием геометрического броуновского движения не подходит. Модель не может быть достаточно хорошо откалибрована для подразумеваемой волатильности и перекоса только с одним свободным параметром.

Таким образом, выбор модели ценообразования всегда основывается на типе дериватива, который мы стремимся оценить. Нам необходимо учитывать наличие рыночных инструментов, чтобы судить об адекватности модели. При наличии рыночных инструментов такие модели, как геометрическое броуновское движение или простые модели Блэка-Шоулза, не подходят. Однако для оценки подразумеваемой волатильности по-прежнему применимо геометрическое броуновское движение. Но для оценки экзотических деривативов и более сложных активов это не лучший выбор.

С точки зрения преимуществ и недостатков преимущества этих моделей минимальны. Они допускают физическое представление, учитывающее, допускает ли рынок положительные или отрицательные активы. Однако они имеют ограниченные степени свободы для калибровки модели, что делает их непригодными для ценообразования экзотических деривативов.

Я надеюсь, что это объяснение разъясняет преимущества и недостатки использования арифметического броуновского движения или геометрического броуновского движения для моделирования биржевых процессов и ценообразования деривативов. Увидимся в следующий раз! До свидания.

[MetaQuotes]

Какие проверки работоспособности вы можете выполнить для смоделированного складского процесса?

Какие проверки работоспособности вы можете выполнить для смоделированного складского процесса?

Добро пожаловать на сессию «Вопросы и ответы», основанную на курсе «Вычислительные финансы».

Сегодняшний вопрос номер семь, который фокусируется на проверках работоспособности, которые могут быть выполнены для смоделированного стохастического процесса. Этот вопрос относится к практическим упражнениям, связанным с моделированием дискретизированного стохастического дифференциального уравнения для целей ценообразования. Важно выполнить определенные проверки, чтобы убедиться в правильности реализации и получить уверенность в достоверности результатов.

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим несколько шагов и проверок, которые можно выполнить. Во-первых, важно учитывать конкретный класс моделируемых активов. Например, если мы имитируем биржевой процесс, простой проверкой является оценка того, соответствует ли дисконтированная акция свойству Мартингейла. Ожидание акции по истечении срока, дисконтированное до сегодняшнего дня, должно быть равно первоначальной стоимости акции. В действительности может быть небольшая разница, которая должна уменьшаться по мере увеличения количества путей моделирования или уменьшения размера сетки. Мониторинг и минимизация этой разницы может помочь повысить точность моделирования.

Еще один аспект, который необходимо проверить, заключается в том, можно ли упростить оцениваемый дериватив. Например, если выбран опцион колл с нулевой ценой исполнения, он по существу сводится к первой проверке, упомянутой выше. Крайне важно проверить правильность реализации выигрыша дериватива.

Стабильность — еще одно важное соображение. Он включает в себя оценку влияния увеличения количества путей Монте-Карло и стабильности результатов при изменении случайных начальных значений. Если симуляции с разными семенами дают существенно разные цены, это указывает на потенциальную нестабильность модели. Для обеспечения стабильности могут потребоваться корректировки, такие как коррекция дрейфа или условия коррекции Мартингейла.

Кроме того, полезно наблюдать, как меняются результаты при изменении размера шага дискретизации временных интервалов. Это помогает оценить чувствительность моделирования к разным временным разрешениям.

Одна из важных проверок заключается в том, может ли смоделированный процесс вернуть цену рыночным инструментам. Если параметры модели откалиброваны для рыночных инструментов, таких как опционы, важно сравнить цены модели с рыночными ценами. Если цены значительно различаются, это говорит о том, что модель работает плохо и может потребовать корректировки или дополнительной калибровки.

Это некоторые из основных проверок работоспособности, которые можно выполнить для смоделированных стохастических процессов. Стоит отметить, что конкретные проверки могут различаться в зависимости от типа рассматриваемого ценового договора. Например, для опционов с датами исполнения важно убедиться, что они рухнут до выплат европейского типа в качестве базового сценария.

Выполнение этих проверок помогает проверить симуляцию и выявить любые потенциальные проблемы или ошибки в реализации.

[MetaQuotes]

Что такое формула Фейнмана-Каца?

Что такое формула Фейнмана-Каца?

Добро пожаловать на сессию «Серьезные вопросы и ответы» по вычислительным финансам.

Сегодняшний вопрос номер восемь из лекции номер три, посвященной формуле Фейнмана-Каца и ее применению. Формула Фейнмана-Каца устанавливает решающую связь между дифференциальными уравнениями в частных производных (УЧП) и случайными процессами, предоставляя метод решения конкретных УЧП посредством моделирования случайных путей. Этот мощный механизм позволяет нам решать сложные задачи, комбинируя УЧП со стохастическими процессами.

Сама формула относится к конкретной форме дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрим УЧП с членом производной по времени (dt), членом дрейфа (μ), членом производной первого порядка (dX), членом волатильности (σ²/2) и членом производной второго порядка (d²X). PDE также включает терминальное состояние, когда значение V принимает детерминированную функцию ETA(X) в момент времени T. Здесь X представляет собой переменную состояния.

Теорема Фейнмана-Каца утверждает, что решение этого УЧП может быть выражено как математическое ожидание детерминированной функции ETA, оцененной в момент времени T, рассматривая ее как функцию случайного процесса. Стохастический процесс, обозначаемый X(t), можно определить следующим образом: dX(t) = µ dt + σ dW(t), где dW(t) представляет винеровский процесс (броуновское движение). Член дрейфа μ и член волатильности σ² определяются коэффициентами PDE.

Если у нас есть УЧП в форме dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0 вместе с терминальным условием, мы можем выразить решение как математическое ожидание терминального условия, оцененного в X(t), стохастическое процесс в момент Т.

Давайте рассмотрим простой пример, когда УЧП включает только производный член второго порядка и терминальное условие. Применяя теорему Фейнмана-Каца, мы знаем, что решением будет математическое ожидание функции ETA, которая в данном случае равна x². Таким образом, решение можно записать как математическое ожидание X(t)², где X(t) — масштабированное броуновское движение с некоторым начальным состоянием. Вычисление математического ожидания дает Sigma²(Tt) + X².

Формула Фейнмана-Каца — мощный инструмент в финансах, особенно в ценообразовании опционов. Например, в уравнении Блэка-Шоулза мы начинаем с дублирующего портфеля, что приводит к ценообразованию PDE. Следуя той же стратегии, PDE ценообразования можно элегантно связать с моделированием ожидания конечного выигрыша на основе стохастического процесса. Эта связь между ожиданием и PDE обеспечивает всеобъемлющую основу для оценки опционов, где мы можем воспроизвести портфель, получить ценообразование PDE, а затем смоделировать ожидание с помощью путей Монте-Карло или смоделированных стохастических процессов.

Понимание и использование формулы Фейнмана-Каца имеет важное значение в различных финансовых приложениях. Он предлагает мощный метод решения уравнений в частных производных и обеспечивает четкую связь между случайными процессами и уравнениями в частных производных.

Спасибо, и увидимся в следующий раз!

[MetaQuotes]

Какова временная структура подразумеваемой волатильности?

Какова временная структура подразумеваемой волатильности?

Добро пожаловать на сессию вопросов и ответов, основанную на лекциях по вычислительным финансам.

Сегодняшний вопрос номер девять, связанный с материалом четвертой лекции. Возникает вопрос: «Какова временная структура подразумеваемой волатильности?» Этот вопрос часто возникает при обсуждении влияния зависящей от времени волатильности на модель Блэка-Шоулза и того, может ли она вызвать улыбку или перекос подразумеваемой волатильности. К сожалению, распространенный ответ о том, что волатильность, зависящая от времени, может вызвать улыбку или перекос, неверен. Давайте рассмотрим временную структуру подразумеваемой волатильности и ее связь с моделью Блэка-Шоулза.

Чтобы понять подразумеваемую волатильность, нам нужно знать, как она рассчитывается, и ее значение в контексте модели Блэка-Шоулза. В стандартной модели Блэка-Шоулза, учитывая рыночную цену опциона колл, мы стремимся найти подразумеваемую волатильность (Sigma_imp), которая делает разницу между рыночной ценой и ценой Блэка-Шоулза равной нулю. Эта подразумеваемая волатильность получается путем инвертирования уравнения ценообразования Блэка-Шоулза.

При сравнении цен опционов, полученных с помощью модели, с ценами, наблюдаемыми на рынке, сложно определить наличие улыбки или перекоса подразумеваемой волатильности исключительно на основе цен. Вместо этого мы должны сосредоточиться на подразумеваемой волатильности. Глядя на подразумеваемую волатильность, мы видим, что рыночные цены опционов снижаются при увеличении цены исполнения (k), что и ожидалось. Однако поведение подразумеваемой волатильности может существенно различаться. В одних случаях они могут быть плоскими, а в других могут иметь перекос. Крайне важно исследовать подразумеваемую волатильность, а не цены, чтобы точно оценить наличие улыбки или перекоса волатильности.

Подразумеваемая волатильность может принимать различные формы, включая улыбку, наклон или даже форму хоккейной клюшки, в зависимости от рыночных условий. Разные типы рынков демонстрируют разные модели подразумеваемой волатильности, и, соответственно, для соответствия этим моделям требуются разные модели и процедуры калибровки.

Теперь давайте обсудим временную структуру подразумеваемой волатильности. В временной структуре мы фокусируемся на изменении срока действия опциона, сохраняя при этом фиксированную цену исполнения. Если мы введем зависящую от времени волатильность в модели Блэка-Шоулза (заменив постоянную сигму на сигму (T)), мы обнаружим, что временная структура подразумеваемой волатильности не вызывает улыбки или перекоса. Вместо этого он демонстрирует, как со временем меняется подразумеваемая волатильность опционов «при деньгах». Временная структура описывает эволюцию подразумеваемой волатильности по мере изменения сроков действия опционов. На трехмерном графике мы наблюдаем, что для опционов «при деньгах» подразумеваемая волатильность остается постоянной до тех пор, пока истечение срока остается одним и тем же (плоская поверхность). Однако по мере изменения срока действия опциона подразумеваемая волатильность меняется, что иллюстрирует временную структуру подразумеваемой волатильности.

Важно отметить, что введение зависящей от времени волатильности в модели Блэка-Шоулза не приводит к улыбке или перекосу подразумеваемой волатильности. В модели по-прежнему не хватает улыбки или перекоса, но она позволяет калибровать опционы «при деньгах» с точки зрения их подразумеваемой волатильности с течением времени. В моей книге и лекции номер четыре вы найдете материалы о том, как представлять цены опционов (как коллов, так и путов) с использованием зависящих от времени волатильностей путем сжатия временной зависимости в постоянную сигму, известную как звезда сигмы. Это позволяет вам повторно использовать структуру ценообразования Блэка-Шоулза при рассмотрении временной структуры, связанной с опционами «при деньгах».

В заключение, зависящая от времени волатильность в модели Блэка-Шоулза не вызывает улыбки или перекоса подразумеваемой волатильности. Он влияет исключительно на подразумеваемую волатильность, связанную с временной структурой опционов «при деньгах». Чтобы оценить наличие улыбки или перекоса, всегда исследуйте подразумеваемую волатильность, а не цены опционов.

Я надеюсь, что это объяснение проясняет концепцию. Увидимся в следующий раз. До свидания, и спасибо!

[MetaQuotes]

В чем недостатки модели Блэка-Шоулза? Почему до сих пор используется модель Блэка-Шоулза?

В чем недостатки модели Блэка-Шоулза? Почему до сих пор используется модель BS?

Добро пожаловать на сессию «Вопросы и ответы», основанную на курсе «Вычислительные финансы».

Сегодняшний вопрос номер 10, связанный с четвертой лекцией. Возникает вопрос: «Каковы недостатки модели Блэка-Шоулза и почему она до сих пор используется?»

Модель Блэка-Шоулза, как обсуждалось в этом курсе, является фундаментальной моделью ценообразования деривативов. Он предполагает одно стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) с геометрическим броуновским движением для представления цены акций. Затем этот простой процесс используется для определения цены опционов. Однако мы узнали, что допущения модели неадекватны текущим рыночным условиям.

Одним из основных недостатков модели Блэка-Шоулза является ее зависимость от одного параметра, сигмы, который представляет волатильность. Одного этого параметра недостаточно, чтобы отразить всю сложность улыбок и наклонов подразумеваемой волатильности, наблюдаемых на рынке. Предположение модели о постоянных процентных ставках также нереалистично, хотя процентные ставки оказывают минимальное влияние на ценообразование опционов по сравнению с волатильностью.

Еще одним недостатком модели Блэка-Шоулза является то, что возвраты, генерируемые геометрическим броуновским движением, не имеют достаточно сильного хвоста. Это означает, что экстремальные события с очень низкой вероятностью не учитываются должным образом, что делает модель нереалистичной.

Почему, несмотря на эти недостатки, до сих пор используется модель Блэка-Шоулза? Ответ многогранен. Хотя модель Блэка-Шоулза не подходит для оценки экзотических деривативов, ее все же можно использовать для оценки европейских опционов. Европейские опционы проще и имеют более ликвидные рынки, что позволяет легче хеджировать, используя стандартные европейские опционы. Поэтому, если нет других доступных рыночных инструментов, модель Блэка-Шоулза может быть использована для оценки экзотических деривативов. Однако важно отметить, что этот подход является рискованным, поскольку он не позволяет эффективно хеджировать экзотические деривативы.

Кроме того, модель Блэка-Шоулза широко используется при расчете подразумеваемой волатильности. Подразумеваемая волатильность является важным инструментом для трейдеров опционов и рассчитывается по формуле Блэка-Шоулза. Даже при использовании более сложных моделей, таких как модель Хестона или модели со скачками, подразумеваемая волатильность, связанная с этими моделями, по-прежнему рассчитывается с использованием формулы Блэка-Шоулза. Подразумеваемая волатильность предпочтительнее, потому что она обеспечивает меру волатильности, независимую от уровня актива, что позволяет проводить значимое сравнение рисков по различным активам.

В этом курсе мы рассмотрели различные альтернативы модели Блэка-Шоулза, такие как модели стохастической волатильности и модели локальной волатильности, которые предлагают улучшения по сравнению с моделью Блэка-Шоулза. Я призываю вас вернуться к лекциям, если вам нужно более глубокое понимание этих альтернатив.

Большое спасибо, и я с нетерпением жду нашей следующей сессии.

[MetaQuotes]

Как будет выглядеть таблица Ито, если мы включим процесс скачка Пуассона?

Как будет выглядеть таблица Ито, если мы включим процесс скачка Пуассона?

Добро пожаловать на сессию вопросов и ответов по вычислительным финансам. Сегодня мы обсудим вопрос номер 11, который основан на материалах пятой лекции. Возникает вопрос: как будет выглядеть таблица Ethos, если мы включим процесс скачка Пуассона?

Для начала вспомним применение леммы Этоса к процессам, связанным с броуновским движением. Мы знаем, что для того, чтобы найти динамику функции процесса, нам нужно применить лемму Этоса, которая включает разложение Тейлора. Таблица Ethos для броуновского движения включает термины с dt, dw, dtdw и dwdw. Если у нас есть перекрестные члены с dt, умноженным на dw или dtdw, они считаются нулевыми из-за симметрии. А dwdw — это просто DT.

Теперь рассмотрим случай, когда мы имеем не только броуновское движение, но и пуассоновский процесс, включенный в динамику процесса. Процесс скачка Пуассона можно представить как серию скачков, происходящих в каждый момент времени. Если мы дискретизируем процесс, у нас может быть несколько скачков на конечном интервале. Однако при рассмотрении бесконечно малых интервалов происходит только один скачок. Мы вводим обозначения xt- и xt для обозначения левого предела и значения процесса непосредственно перед скачком соответственно.

Теперь давайте сосредоточимся на функции G(xt). Если мы применим лемму Этоса к функции процесса со скачком Пуассона, мы получим выражение, которое включает член дрейфа, член скачка и приращение G из-за скачка. Член дрейфа аналогичен члену в лемме Этоса для броуновского движения, но без диффузионной части. Член скачка зависит от процесса Пуассона и состоит из произведения размера скачка и индикаторной функции возникновения скачка.

Подводя итог, можно сказать, что таблица Ethos для процесса скачка Пуассона включает члены из таблицы Ethos для броуновского движения, а также дополнительный член, возникающий в результате произведения двух приращений процесса Пуассона. Этот дополнительный член имеет решающее значение в применении леммы Этоса к скачкообразным процессам.

Важно понять лемму Этоса и ее применение к скачкообразным процессам, так как это мощный инструмент в финансах для анализа динамики функций случайных процессов. Более подробную информацию по этой теме можно найти в пятой лекции и соответствующей литературе. Не стесняйтесь задавать любые дополнительные вопросы. До свидания!

[MetaQuotes]

Как влияют скачки на подразумеваемую волатильность?

Как влияют скачки на подразумеваемую волатильность?

Добро пожаловать в серию вопросов и ответов о вычислительных финансах. Сегодня у нас вопрос номер 12 из 30, который основан на материалах пятой лекции. Вопрос дня: как скачки влияют на подразумеваемую волатильность?

Давайте рассмотрим простую модель Блэка-Шоулза или геометрическое броуновское движение для нашего актива. Первоначально, без скачков, входная волатильность постоянна, что приводит к плоской кривой подразумеваемой волатильности. Однако, когда мы вводим скачки, мы наблюдаем изменения кривой подразумеваемой волатильности, что приводит к рассматриваемому вопросу.

Чтобы проанализировать влияние скачков на подразумеваемую волатильность, мы рассмотрим модель Мертона, расширение системы Блэка-Шоулза, которое включает компонент скачка. В модели Мертона динамика запаса включает часть, соответствующую скачкам, и часть, относящуюся к генератору скачков.

Генератор скачков представлен пуассоновским процессом, который определяет, произошел скачок или нет. Компонент множителя указывает направление и величину скачка. Кроме того, в дрейфе присутствует детерминированный компонент, возникающий из-за компенсации или компенсатора Мартингейла процесса Пуассона.

Связь между величиной скачка и динамикой запаса можно понять, исследуя логарифмическое преобразование. При этом преобразовании мы наблюдаем непрерывный путь, движимый броуновским движением, пока не произойдет скачок. После преобразования компонент прыжка изменяется соответствующим образом.

Введение скачков влияет на реализацию и пути стохастического процесса. На путях наблюдаются скачки как вверх, так и вниз, в зависимости от реализации нормального распределения, управляющего скачками. Пути запаса остаются непрерывными, но с прерывистыми скачками, определяемыми процессом Пуассона.

Теперь давайте сосредоточимся на влиянии этих параметров модели на подразумеваемую волатильность. В случае модели Мертона, где величина скачка подчиняется нормальному распределению со средним значением (μ) и стандартным отклонением (σ), у нас есть три дополнительных параметра: интенсивность процесса Пуассона, волатильность (σJ) для компонента скачка, и среднее (мкДж) нормального распределения, которое определяет преобладание положительных или отрицательных скачков.

Анализируя влияние параметров на подразумеваемую волатильность, мы наблюдаем следующие тенденции:

1. Sigma J (волатильность скачкообразного компонента): увеличение Sigma J вносит больше неопределенности и волатильности, что приводит к изменению подразумеваемого уровня волатильности и появлению эффекта улыбки. При малых значениях J кривая подразумеваемой волатильности остается плоской, напоминая случай Блэка-Шоулза.

2. Интенсивность скачков: контроль интенсивности скачков влияет на общий уровень волатильности. Увеличение интенсивности приводит к более высокой волатильности, но не оказывает существенного влияния на наклон или улыбку кривой подразумеваемой волатильности. Воздействие в основном заключается в параллельном сдвиге волатильностей.

3. Mu J (среднее значение нормального распределения величины скачка): изменение Mu J позволяет нам ввести в модель асимметрию. Отрицательные значения Mu J приводят к более отрицательному перекосу, в то время как положительные значения увеличивают преобладание положительных скачков. Регулируя Mu J вместе с другими параметрами, такими как Psi (шкала), мы можем добиться лучшей калибровки перекоса подразумеваемой волатильности, сохраняя при этом калиброванный уровень при деньгах.

Важно отметить, что калибровка всегда должна отдавать приоритет уровню «при деньгах», чтобы обеспечить точную подгонку. При наличии значительного перекоса на рынке корректировка Mu J может помочь согласовать перекос подразумеваемой волатильности модели с перекосом рынка. Кроме того, со временем эффекты улыбки и перекоса, вызванные прыжками, имеют тенденцию сглаживаться. Опционы с коротким сроком погашения демонстрируют наиболее выраженное влияние скачков на подразумеваемую волатильность, в то время как для более длительных сроков это влияние уменьшается.

Таким образом, включив в модель скачки, мы можем ввести в кривую подразумеваемой волатильности как эффект перекоса, так и эффект улыбки. Однако эффект перекоса более выражен, чем эффект улыбки. Параметры, оказывающие наиболее существенное влияние на подразумеваемую волатильность в модели Мертона, — это Sigma J (изменчивость компонента скачка), интенсивность скачков и Mu J (среднее значение распределения величины скачка).

Увеличение Sigma J приводит к большей волатильности и неопределенности, что приводит к изменениям уровня подразумеваемой волатильности и появлению эффекта улыбки. Более высокая интенсивность скачков приводит к более высокой общей волатильности, но влияние на перекос и улыбку минимально, что приводит к параллельному сдвигу кривой подразумеваемой волатильности.

Настройка Mu J позволяет нам контролировать асимметрию модели. Отрицательные значения Mu J увеличивают отрицательную асимметрию, а положительные значения усиливают преобладание положительных скачков. Путем тонкой настройки Mu J и других параметров, таких как Psi, мы можем откалибровать модель, чтобы она соответствовала предполагаемому перекосу волатильности, наблюдаемому на рынке. Крайне важно убедиться, что калибровка учитывает не только перекос, но и уровень «при деньгах».

Со временем эффекты улыбки и перекоса, вызванные прыжками, имеют тенденцию сглаживаться. Опционы с коротким сроком погашения демонстрируют наиболее значительное влияние скачков на подразумеваемую волатильность, в то время как для опционов с более длительным сроком погашения влияние уменьшается.

В заключение, включение скачков в модель позволяет нам уловить перекос и, в некоторой степени, улыбку на кривых подразумеваемой волатильности. Параметры Sigma J, интенсивность скачков и Mu J играют решающую роль в определении влияния на подразумеваемую волатильность. Понимая эти взаимосвязи, мы можем анализировать и калибровать модель, чтобы она лучше соответствовала наблюдениям за рынком.

[MetaQuotes]

Как вывести характеристическую функцию для модели со скачками?

Как вывести характеристическую функцию для модели со скачками?

Добро пожаловать на сессию вопросов и ответов по вычислительным финансам. Сегодня у нас вопрос номер 13, основанный на лекции номер пять. Возникает вопрос: «Как вывести характеристическую функцию для модели со скачками?» Начнем с обсуждения знаменитой модели скачкообразной диффузии Мертона, которая определяется как комбинация детерминированной части, броуновского движения и процесса Пуассона, представляющего скачки.

В этой модели значение пути в момент времени t (X_t) равно X_0 (начальное значение) плюс детерминированный член дрейфа. Он также включает компонент броуновского движения с постоянной волатильностью. Однако ключевым элементом этой модели является процесс Пуассона, представляющий скачки. Скачки определяются как сумма размеров скачков (J_k) для k в диапазоне от 1 до X_p(t), где X_p(t) — процесс Пуассона.

Каждый размер скачка (J_k) в модели Мертона считается случайной величиной и не зависит от других. Это допущение упрощает анализ, поскольку скачки происходят независимо и следуют одинаковым распределениям. Это стандартный случай, рассматриваемый на практике, поскольку учет корреляции между процессом Пуассона и броуновским движением может быть более сложным.

Чтобы получить характеристическую функцию для этой модели, давайте рассмотрим необходимые шаги. Во-первых, мы подставляем выражение для X_t в определение характеристической функции, которое включает ожидание e^(i u X_t). Поскольку скачки и броуновское движение независимы, мы можем разложить ожидание на множители как произведение ожиданий для каждой компоненты.

Далее ориентируемся на ожидание прыжков (J_k). Поскольку размеры прыжков независимы и одинаково распределены, мы можем переписать математическое ожидание как произведение ожиданий для каждого размера прыжка, возведенного в степень n. Это упрощает выражение и позволяет перейти от суммирования к показателю степени.

Чтобы вычислить математическое ожидание скачков, мы используем концепцию условного ожидания. Мы обусловливаем скачки реализацией процесса Пуассона (X_p(t)) и вычисляем математическое ожидание путем суммирования всех возможных реализаций процесса Пуассона. Полученное выражение включает в себя интеграл по распределению размера скачка, который представляет собой математическое ожидание e^(i u J_k).

Применяя эти шаги, мы можем преобразовать сложное выражение, включающее процесс Пуассона и размеры скачка, в более сжатую форму. Характеристическая функция становится показателем степени функции, включающей детерминированную часть, броуновское движение и интеграл распределения размера скачка. Математическое ожидание в интеграле зависит от распределения размеров скачков.

Аналитическое определение этого ожидания может быть сложной задачей и зависит от конкретного распределения, выбранного для размеров скачка. Однако понимание шагов, необходимых для получения характеристической функции, позволяет нам понять лежащие в ее основе фундаментальные принципы. Эта характеристическая функция имеет решающее значение для различных расчетов, в том числе для преобразований Фурье, и играет существенную роль в калибровке модели.

[MetaQuotes]

Является ли модель Хестона с параметрами, зависящими от времени, аффинной?

Является ли модель Хестона с параметрами, зависящими от времени, аффинной?

Добро пожаловать в эту серию вопросов и ответов, основанных на курсе «Вычислительные финансы». Сегодня у нас вопрос номер 14, основанный на шестой и седьмой лекциях. Вопрос заключается в следующем:

Является ли модель Хестона с параметрами, зависящими от времени, аффинной?

Чтобы понять цель создания моделей с параметрами, зависящими от времени, давайте сначала обсудим исходную модель Хестона с постоянными параметрами. В исходной модели было пять параметров, обеспечивающих пять степеней свободы для калибровки поверхности подразумеваемой волатильности. Вводя зависимость этих параметров от времени, мы расширяем возможности и потенциально улучшаем калибровку к рыночным котировкам.

Однако важно учитывать затраты, связанные с параметрами, зависящими от времени. Хотя наличие большего количества параметров и их зависимость от времени могут сделать модель более гибкой, это также усложняет калибровку. Но давайте сосредоточимся на том, остается ли модель аффинной и можем ли мы найти соответствующую характеристическую функцию.

Аффинные модели характеризуются линейностью переменных состояния. Если у нас есть система стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) для переменных состояния Xt, нам необходимо удовлетворить условиям линейности. Это включает в себя постоянное время вектора переменных состояния в члене дрейфа и мгновенную матрицу ковариации в члене диффузии. Трудной частью является обеспечение линейности ковариации, потому что это требует учета квадратов волатильности.

Кроме того, те же условия линейности должны выполняться для процентных ставок. Как только условие подобия выполнено, мы можем найти соответствующую характеристическую функцию, используя концепции, изложенные в шестой и седьмой лекциях. Эта характеристическая функция задается рекурсивными функциями A и B, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) типа Риккати. Форма характеристической функции включает экспоненциальные функции A и B.

Стоит отметить, что параметры модели должны сначала пройти логарифмическое преобразование, чтобы обеспечить сходство. Модель Хестона состоит из двух измерений: измерения запасов и процесса дисперсии. Если мы рассмотрим исходную модель без логарифмического преобразования, ковариационная матрица не будет аффинной из-за квадратных членов. Однако после выполнения логарифмического преобразования модель Хестона становится аффинной в логарифмическом пространстве.

Теперь давайте обратимся к вопросу о параметрах, зависящих от времени, в модели Хестона. Если мы введем зависимость параметров от времени, мы получим более сложное выражение для ковариационной матрицы. Тем не менее, детерминированная часть параметров не влияет на условие сходства, поскольку основное внимание уделяется линейности переменных состояния. В результате модель Хестона остается аффинной даже с параметрами, зависящими от времени.

Однако проблема возникает при решении соответствующих ОДУ типа Риккати с параметрами, зависящими от времени. В общих случаях, когда параметры полностью зависят от времени, у нас нет аналитических решений для этих ОДУ. Это означает, что для каждого аргумента U в характеристической функции нам необходимо выполнить интегрирование по времени, что может потребовать значительных вычислительных ресурсов.

С другой стороны, если мы рассматриваем кусочно-постоянные параметры, где параметры постоянны в определенных интервалах, мы все же можем найти соответствующую характеристическую функцию в аналитическом виде. Однако эта характеристическая функция становится рекурсивной, и несколько характеристических функций зависят друг от друга, если у нас есть несколько интервалов для параметров, зависящих от времени.

Я надеюсь, что это объяснение проясняет концепцию. Увидимся в следующий раз!