[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 81
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А если зайти с другой стороны
Выбираем в квадрате точку
рисуем две прямые пересекающиеся в этой точке соблюдая правило 2/3
Вопрос - можно ли провести третью прямую через эту точку соблюдая 2/3
навскидку - нет
hee
on peut en avoir une infinité.
Ouais, eh bien, la neuvième sera toujours à ce point.
Comment le prouver magnifiquement, je ne sais pas.
Tracez deux lignes centrales dans le carré (lignes reliant les centres des côtés opposés du carré). Rappelez-vous comment calculer l'aire d'un trapèze par la longueur de la ligne centrale.
Проведи две средние линии в квадрате (линии, соединяющие середины противоположных сторон квадрата). Вспомни, как вычисляется площадь трапеции через длину средней линии.
Ouais, j'ai ça dans le carré, je suis juste paresseux.D'ailleurs, la restriction de diviser exactement en deux trapèzes n'est pas nécessaire. Cela complique juste un peu le raisonnement, mais la réponse reste la même. Mais pour l'instant, le problème est résolu pour les trapèzes.
P.S. L'aire d'un trapèze S = 1/2 * h * m, où h est la hauteur, m est la longueur de la ligne médiane. Il en est de même pour un triangle, puisqu'un triangle est un cas particulier de trapèze.
Есть квадрат. Мы пересекаем его 9 прямыми, каждая из которых делит его по площади в соотношении 3:2. Доказать, что хотя бы три из них пересекаются в одной точке.
L'impression est que c'est plus facile à réfuter. Définissons l'algorithme de construction de la manière suivante : tracer une ligne verticale divisant la surface dans le rapport 3:2, que ses coordonnées "inférieure" et "supérieure" soient x0 = 0,4*a, a étant le côté du carré. Traçons maintenant une autre ligne "résolue" passant par le point x0-dx sur la base, il est facile de voir qu'en haut, elle arrive au point x0+dx et croise la première exactement à mi-hauteur. Il est évident qu'il peut y avoir un nombre infini de ces lignes et qu'elles se croiseront toutes en un point, exactement (0,4*a, 0,5*a). Mais comme nous faisons une réfutation, nous ne pouvons prendre que deux lignes de cet ensemble. Symétriquement, on peut obtenir trois autres ensembles de ce type, c'est-à-dire 6 lignes et 3 points d'intersection supplémentaires : (0,6*a, 0,5*a), (0,6*a, 0,5*a), (0,5*a, 0,4*a), (0,5*a, 0,6*a).
Nous sommes maintenant au point culminant, nous avons 8 lignes qui se croisent par paires en quatre points. Et nous avons besoin d'au moins une autre ligne "soluble", mais ne tombant dans aucun de ces points. Pour ce faire, nous rappelons que le partitionnement trapèze-trapézoïde n'est pas la seule variante, il existe également 4 variantes triangle-pentagone. Faisons cela : dessinez la diagonale du carré et commencez à vous en éloigner en parallèle jusqu'à ce que le rapport des aires soit égal à celui recherché. L'aire du plus petit triangle (isocèle et rectangle) sera (k*a)*(k*a)/2 = 0,4*a*a . Nous trouvons k et en nous frottant franchement les mains nous voyons qu'il est égal à la racine carrée de 0,8. La raison de notre joie est claire, l'équation de la droite passant par les points (k*a, 0) et (0, k*a) ressemble à y = sqrt(0,8)*a - x et à cause de cette droite remarquable cette neuvième droite ne peut pas passer par les quatre points spéciaux trouvés précédemment
P.S. Eh, si injuste, ce qui signifie seulement pour les trapèzes :). Au moins maintenant, nous pouvons voir que cette restriction est obligatoire. Et pour deux trapèzes - oui, il n'y a que quatre ensembles, pour chacun d'eux toute ligne passe par son point "central" et donc toute neuvième ligne tombera dans l'intersection d'au moins deux lignes trouvées précédemment.
Vous vous trompez, k = 2/sqrt(5) - et généralement inférieur à 1, d'ailleurs :)
Et le cas d'un triangle avec un pentagone n'est pas différent de deux trapèzes.
Vous avez résolu le problème, vous vous êtes juste trompé un peu avec la richesse.
P.S. Je me suis trompé aussi : le cas du triangle et du pentagone est différent. Il semble obtenir 4 points là aussi, mais différemment. Comme (1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1 - 1/sqrt(5), 1/sqrt(5)), (1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)), (1- 1/sqrt(5), 1 - 1/sqrt(5)). Ou pas ?
P.P.S. Oui, j'ai merdé avec cette affaire. Mais peu importe.
Что-то ты напутал, k = 2/sqrt(5) - и вообще меньше 1, кстати :)
А случай треугольника с пятиугольником ну никак не отличается от двух трапеций.
Задачу ты решил, просто напортачил немного с рихметикой.
Pas sur huit, pas sur 0,8. Pas avec l'arithmétique, mais avec la grammaire :)
P.S. Et comment avez-vous obtenu votre indignation ? k = 2/sqrt(5) :)
P.P.S. Je vais corriger la solution, pour que les gens ne s'énervent pas pour rien, ils la liront plus tôt.
Tout comme vous avez la racine de 0,8. C'est la même chose.
Так же, как у тебя корень из 0.8. Это ж то же самое.
:)
P.S. OK, sortons de ce fil avant qu'il ne soit trop tard.
P.S. Я тоже ошибся: случай с треугольником и пятиугольником другой. Там, похоже, тоже 4 точки получаются, только другие. Или нет?
Non, cette astuce ne semble pas fonctionner ici, vous obtenez des triangles asymétriques pour les incréments.