[Archives] Mathématiques pures, physique, chimie, etc. : problèmes d'entraînement cérébral sans rapport avec le commerce. - page 281
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Mathemat писал(а) >>
Suivant : ...........
Je suis confus jusqu'à présent.
Réflexion sur le problème de 5^1000 :
Si vous pouvez prouver qu'aucune puissance de cinq ne peut avoir deux zéros à la suite, alors la réponse est par exemple (5^1000)*11.
MetaDriver писал(а) >>
Si nous pouvons prouver qu'aucune puissance de cinq ne peut contenir deux zéros à la suite, alors la réponse est par exemple (5^1000)*11.
Non, ça ne marchera pas avec le 11. Certains zéros vont disparaître, d'autres vont apparaître. Mais il y a quelque chose à faire.
Oui, au début, le problème des 5^1000 est déroutant. Mais ensuite tu commences à réfléchir. Essayez de construire systématiquement des nombres divisés par un degré croissant de cinq. J'ai presque appris à le faire, mais je ne l'ai pas encore prouvé.
Bon, je vais me coucher, Volodya. En même temps, je vais réfléchir au dernier problème.
Ладно, я ушел спать, Володя. Заодно о последней задачке подумаю.
Ok, bonne nuit. Je vais m'écraser, aussi.
Ужыс. Я пока запутался.
Соображение нащёт задачи с 5^1000:
Если удастся доказать что ни в каких степенях пятёрки не может стоять два нуля подряд, тогда ответом будет например (5^1000)*11
le problème est que l'entrée 5^1000 a exactement ces deux zéros dans une rangée - vérifié sur une calculatrice, donc c'est une impasse :)
Oh, quelle calculatrice effrayante tu as, alsu. Vous voulez partager ?
Oh, oui. S'il compte correctement les 30 premiers chiffres significatifs, alors oui, il y a deux zéros à la suite.
Ой какой у тебя жуткий калькулятор, alsu. Не поделишься?
А, ну да. Если считать, что первые 30 значащих цифр он считает верно, то да, есть два нуля подряд.
Exactement. Si vous considérez que.
Baba Yaga est contre ! Dès qu'il commence à arrondir, il accumule une telle erreur que vous ne pouvez croire que les trois ou quatre premiers chiffres à gauche. :)
OK, construisons un nombre puisque les méthodes de preuve d'existence pure ne fonctionnent pas directement.
Si nous avons un nombre composé d'un chiffre qui est divisible par 5 (c'est 5), alors nous pouvons ajouter un chiffre à son côté gauche pour qu'il devienne divisible par 5^2. Ce chiffre est soit 2, soit 7 (c'est la base de l'induction).
Affirmation de l'induction :
Supposons que nous ayons déjà un nombre de n chiffres qui soit divisible par 5^n. Ensuite, nous pouvons ajouter un chiffre non nul à son côté gauche de sorte que le chiffre (n+1) résultant soit divisible par 5^(n+1).
Preuve :
Le nombre original est A*5^n. Après avoir ajouté le chiffre b à la gauche, nous obtenons le nombre
b*10^n + A*5^n = (2^n*b + A) * 5^n
Il faut donc trouver un chiffre b tel que l'équerre soit divisible par 5. Ensuite, l'énoncé d'induction sera prouvé.
Nous devons résoudre la comparaison :
2^n*b = -A (mod 5)
Ici, b représente les chiffres de 1 à 9 (le zéro n'est pas admis, il est interdit), qui couvrent le système complet des déductions modulo 5. Puisque 2^n n'est pas divisible par 5, l'expression de gauche le couvre également. Par conséquent, il y aura toujours au moins un chiffre b qui est exactement égal à -A (mod 5).
C'est tout.
ОК, конструируем число, раз уж методы доказательства чистого существования напрямую не работают.
.....................
.............
Всё.
C'est à peu près ça.
A propos, voici la solution au problème des 5 nombres (et pas seulement 5) donnée dans le livre de problèmes :