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Factoriales, permutaciones y combinaciones
Factoriales, permutaciones y combinaciones
Hola a todos, hoy vamos a explorar los conceptos de contar, incluidos factoriales, permutaciones y combinaciones. Todo se reduce al principio fundamental de conteo, que establece que si un evento puede ocurrir de M formas y el segundo evento puede ocurrir de N formas, entonces los dos eventos en secuencia pueden ocurrir en un total de M veces N formas. Es importante destacar que el resultado del primer evento no afecta la cantidad de resultados posibles para el segundo evento.
Comencemos con un ejemplo. Supongamos que un menú incluye 6 ensaladas y 8 sopas. ¿Cuántas combinaciones de sopa y ensalada son posibles? Primero, elegimos una ensalada, lo que nos da 6 posibilidades. Para cada una de esas opciones, hay 8 sopas posibles. Por lo tanto, terminamos con 6 grupos de 8, lo que da como resultado un total de 48 combinaciones posibles.
Esta idea se extiende a secuencias más largas de eventos. Por ejemplo, si un menú incluye 6 ensaladas, 8 sopas, 15 platos principales y 3 postres, entonces hay 6 por 8 por 15 por 3, lo que equivale a 2160 comidas posibles.
A veces, necesitamos contar la cantidad de formas en que se pueden organizar los objetos, las personas o las cosas. Por ejemplo, ¿de cuántas maneras diferentes puede hacer fila un grupo de 4 personas? Podemos usar el principio fundamental de conteo nuevamente. Hay 4 opciones diferentes para la primera persona en la fila, 3 opciones para la segunda persona, 2 opciones para la tercera y 1 opción para la cuarta. Al multiplicar estos números, encontramos que hay 4 por 3 por 2 por 1, lo que equivale a 24 formas en que las 4 personas se pueden organizar en la línea. Este cálculo es tan común que le damos un nombre especial: factorial.
En general, el factorial de un número N, denotado como N!, es el producto de los primeros N enteros positivos. Por ejemplo, 3! es 1 por 2 por 3, 5! es 1 por 2 por 3 por 4 por 5, y así sucesivamente. El factorial crece rápidamente, incluso más rápido que el crecimiento exponencial. Por ejemplo, ¡10! ya es más de 3 millones.
Consideremos un ejemplo un poco más complejo. Supongamos que 12 caballos participan en una carrera y queremos saber de cuántas maneras diferentes pueden ganar, colocarse y exhibirse, es decir, las tres primeras posiciones. Podemos aplicar el principio fundamental de conteo una vez más. Hay 12 posibles ganadores, 11 posibles finalistas en segundo lugar y 10 posibles finalistas en tercer lugar. Multiplicando estos números, encontramos que hay 12 por 11 por 10, resultando en 1,320 combinaciones posibles.
Para generalizar esto, supongamos que tenemos N artículos y queremos contar el número de arreglos para los primeros K artículos. Usando el principio fundamental de conteo, hay N opciones para el primer elemento, N - 1 opciones para el segundo, y así sucesivamente, hasta que tengamos K términos en total. El último término será N - K + 1. Lo denotamos como NPK, que es igual a N factorial dividido por (N - K) factorial.
Surge otra situación cuando queremos contar el número de formas en que podemos seleccionar grupos de K objetos sin tener en cuenta su orden. Esto se llama combinaciones. Por ejemplo, si se seleccionan al azar tres de los doce caballos en una carrera para someterlos a pruebas de detección de drogas, ¿de cuántas maneras se pueden elegir los caballos? En este caso, el orden no importa. Usamos la notación NCk, que representa el número de formas en que se pueden elegir K cosas de un total de N cosas sin considerar el orden. Para calcular esto, usamos la fórmula N elige K = NPK /(K factorial). En el ejemplo dado, necesitamos calcular 12 elige 3. Para hacer esto, podemos aplicar un poco de manipulación algebraica. Podemos reescribir 12 elegir 3 como 12 permutar 3 dividido por 3 factorial. Simplificando aún más, ¡tenemos 12! / (12 - 3)! * 3!. Después de realizar los cálculos, encontramos que 12 eligen 3 es igual a 220. Por lo tanto, hay 220 formas de elegir 3 caballos de los 12 para pruebas aleatorias de drogas.
En general, podemos expresar N elige K como N factorial dividido por (N - K) factorial multiplicado por K factorial. Esta fórmula nos permite calcular el número de combinaciones para varios escenarios.
Cuando se trata de permutaciones y combinaciones, la pregunta crucial que debe hacerse es si el orden es importante. Si el orden importa, es un problema de permutación. Si el orden no importa, es un problema de combinación.
Exploremos algunos ejemplos. Supongamos que queremos formar un comité de cuatro personas de una clase de veinte estudiantes. En este caso, el orden de selección no importa, así que necesitamos calcular 20 elige 4. Usando la fórmula, ¡encontramos que 20 elige 4 es igual a 20! / (20 - 4)! * 4!, que se simplifica a 48.845. Por lo tanto, hay 48.845 formas de formar un comité de cuatro personas de la clase de veinte estudiantes.
Ahora, consideremos otro escenario. Si el comité de cuatro personas debe incluir un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero, el orden de selección importa. Aquí, necesitamos calcular 20 permutar 4, ¡que es 20! / (20 - 4)!. Después de realizar los cálculos, encontramos que hay 116.280 arreglos posibles.
En una situación ligeramente diferente, supongamos que se necesita formar un comité de cuatro personas de una clase de veinte estudiantes, y una persona debe ser designada como presidente. Este es un problema híbrido que implica dos pasos. Primero, seleccionamos al presidente, lo que se puede hacer de 20 maneras diferentes. Luego, elegimos a los tres miembros restantes del comité, donde el orden no importa. Esto corresponde a 19 elige 3. Por lo tanto, el número total de posibilidades es 20 veces (19 elige 3). Después de calcular esto, encontramos que hay 19,382 resultados posibles.
En resumen, las permutaciones y combinaciones implican contar la cantidad de formas en que pueden ocurrir los eventos o pueden organizarse los objetos. Comprender si el orden importa o no es crucial para determinar el método apropiado para resolver el problema. Al aplicar el principio fundamental de conteo y utilizar las fórmulas para permutaciones y combinaciones, podemos contar efectivamente las posibilidades en varios escenarios.
Probabilidad Condicional y la Regla de la Multiplicación
Probabilidad Condicional y la Regla de la Multiplicación
Hola a todos, hoy vamos a profundizar en el concepto de probabilidad condicional y la regla de la multiplicación. Comencemos ilustrando la idea de probabilidad condicional usando un ejemplo.
En un estudio, un investigador contactó a 1250 adultos y les preguntó a cada uno si preferían perros o gatos. Para comenzar, calculemos la probabilidad de seleccionar aleatoriamente a un encuestado de esta muestra que prefiera perros. De los 1.250 encuestados, hay 589 personas que prefieren los perros. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar al azar a alguien que prefiera perros es 589/1250, lo que equivale a 0,471 o 47,1%.
A continuación, calculemos la probabilidad de que un encuestado mayor de 55 años prefiera perros a gatos. Nos enfocamos en la columna etiquetada como "55+" en la tabla. Dentro de esta columna hay 143 adultos que prefieren perros de un total de 325 individuos. Por tanto, la probabilidad de seleccionar al azar a alguien de esa columna que prefiera perros es 143/325, que es aproximadamente 0,44 o 44%.
Observe que las dos probabilidades no son las mismas. Esto destaca el concepto de probabilidad condicional, que se define como la probabilidad de que ocurra el evento B cuando ya sabemos que ha ocurrido el evento A. En nuestro ejemplo, calculamos no solo la probabilidad del evento B (preferir perros), sino también la probabilidad de B dado A (preferir perros dado que el encuestado tiene más de 55 años).
Consideremos otro ejemplo que involucre probabilidad condicional. Tenemos una baraja de cartas, y se extraen dos cartas de ella sin reemplazo. Si la primera carta extraída es un rey, queremos encontrar la probabilidad de que la segunda carta extraída también sea un rey. Aquí tenemos dos eventos: A es el evento de que la primera carta extraída es un rey, y B es el evento de que la segunda carta es un rey.
Si ocurre el primer evento (sacamos un rey), ahora nos quedan 51 cartas, de las cuales tres son reyes. Por lo tanto, la probabilidad de sacar un segundo rey es 3/51, que es aproximadamente 0,059 o 5,9 %. Es importante señalar que esta probabilidad es diferente de la probabilidad de que la primera carta sea un rey, que sería 4/52 o 0,077.
La probabilidad condicional es particularmente útil cuando queremos calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos, A y B. Aquí es donde entra en juego la regla de la multiplicación. La probabilidad de que los eventos A y B ocurran en secuencia viene dada por la fórmula: P(A y B) = P(A) × P(B|A). Lo interpretamos como la probabilidad de que ocurra el primer evento multiplicada por la probabilidad de que ocurra el segundo evento, asumiendo que el primer evento ya sucedió.
Por ejemplo, calculemos la probabilidad de sacar dos reyes de una baraja estándar sin reemplazo. La probabilidad de que la primera carta sea un rey es 4/52, y la probabilidad de que la segunda carta sea un rey, dado que la primera carta es un rey, es 3/51. Multiplicando estas probabilidades juntas, encontramos que la probabilidad de que ambas cartas sean reyes es aproximadamente 0.0045 o 0.45%.
Ahora, consideremos el escenario en el que un cliente pide alcohol y un aperitivo en un restaurante. Hemos observado que la probabilidad de que un cliente pida alcohol (evento A) es del 40 %, la probabilidad de pedir un aperitivo (evento B) es del 30 % y la probabilidad de pedir tanto el alcohol como el aperitivo (eventos A y B) es 20%.
Para calcular la probabilidad condicional de pedir alcohol dado que el cliente pidió un aperitivo (P(A|B)), podemos usar la regla de la multiplicación. Reemplazando los valores dados, tenemos P(A y B) = 20%, P(B) = 30%. Reorganizando la fórmula de la regla de multiplicación, podemos resolver para P(A|B):
P(A|B) = P(A y B) / P(B)
Sustituyendo los valores dados, tenemos P(A|B) = 20% / 30% = 2/3 o aproximadamente 0,667. Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente pida alcohol dado que pidió un aperitivo es de dos tercios.
Del mismo modo, calculemos la probabilidad de pedir un aperitivo dado que el cliente pidió alcohol (P(B|A)). Nuevamente, usando la regla de la multiplicación, tenemos:
P(B|A) = P(A y B) / P(A)
Sustituyendo los valores dados, tenemos P(B|A) = 20% / 40% = 1/2 o 0,5. Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente pida un aperitivo dado que pidió alcohol es la mitad.
Es importante tener en cuenta que estas dos probabilidades condicionales son diferentes, lo que indica que los eventos de pedir alcohol y pedir un aperitivo son dependientes. El hecho de que P(A|B) no sea igual a P(A) y P(B|A) no sea igual a P(B) sugiere que saber si ocurrió un evento proporciona información sobre la probabilidad de que ocurra el otro evento.
Ahora, consideremos algunos ejemplos para determinar si los pares de eventos enumerados son independientes o no:
Tener diabetes si ambos padres tienen diabetes: estos eventos son dependientes. Si ambos padres tienen diabetes, aumenta la probabilidad de que una persona tenga diabetes. Sin embargo, no es seguro que el individuo desarrolle diabetes, y aún es posible desarrollar diabetes sin antecedentes familiares de la afección.
Obtener un cinco en la primera tirada de un dado estándar y un cuatro en la segunda tirada: estos eventos son independientes. El resultado de la primera tirada no proporciona ninguna información sobre el resultado de la segunda tirada. La probabilidad de sacar un cinco y un cuatro en un dado justo es 1/6 para cada evento.
Fumar cigarrillos y tener cáncer de pulmón: estos eventos son dependientes. Fumar cigarrillos aumenta la probabilidad de desarrollar cáncer de pulmón. Sin embargo, no es una certeza, y las personas que no fuman aún pueden desarrollar cáncer de pulmón.
Dos cartas extraídas de una baraja estándar sin reemplazo, y ambas cartas son ases: estos eventos son dependientes. La probabilidad de sacar la segunda carta como un as depende de si la primera carta sacada era un as. La probabilidad de que ambas cartas sean ases es menor que la probabilidad de que la primera carta sea un as.
Dos cartas extraídas de una baraja estándar con reemplazo, y ambas cartas son ases: estos eventos son independientes. Reemplazar la tarjeta después del primer sorteo elimina cualquier influencia o información obtenida de la primera tarjeta. La probabilidad de sacar un as sigue siendo la misma para ambas cartas.
En general, dos eventos se consideran independientes si la probabilidad de que ocurra un evento dada la ocurrencia del otro evento es igual a la probabilidad de que el evento ocurra de forma independiente. Cuando las probabilidades difieren, los eventos son dependientes.
Finalmente, analicemos un escenario en el que un gerente estudia la precisión de los pedidos en un restaurante. El gerente examina 960 pedidos de diferentes comidas y horas del día para determinar las probabilidades.
Pregunta 1: La probabilidad de que un pedido seleccionado al azar de este conjunto de datos se complete correctamente se puede calcular de la siguiente manera: hay 842 pedidos que se completaron correctamente de un total de 960 pedidos. Por lo tanto, la probabilidad es 842/960, lo que equivale aproximadamente a 0,877 o 87,7 %.
Pregunta 2: Para encontrar la probabilidad de que un pedido de cena seleccionado al azar se cumpliera correctamente, consideramos la probabilidad condicional. Entre los pedidos de cena, hay 249 pedidos correctamente cumplimentados de un total de 280 pedidos de cena. Por lo tanto, la probabilidad es 249/280, que es aproximadamente 0,889 o 88,9 %.
Pregunta 3: Para determinar si seleccionar aleatoriamente un pedido correcto es independiente de seleccionar aleatoriamente un pedido de cena, comparamos la probabilidad condicional P(A|B) con la probabilidad P(A). En este caso, P(A|B) es 0,889 (tal como se calculó en la pregunta anterior), y P(A) es 0,877 (de la primera pregunta). Dado que las dos probabilidades no son iguales, podemos concluir que seleccionar aleatoriamente un pedido correcto no es independiente de seleccionar aleatoriamente un pedido de cena.
Es importante tener en cuenta que, en este ejemplo, hemos considerado la probabilidad clásica, que implica calcular probabilidades en función del conjunto de datos dado. La cuestión de si las futuras observaciones de estas variables serán independientes es más compleja y requiere un análisis estadístico, como la prueba de chi-cuadrado. Determinar empíricamente la independencia de los eventos implica evaluar la presencia de variabilidad aleatoria y analizar un tamaño de muestra más grande.
Una introducción a las variables aleatorias
Una introducción a las variables aleatorias
Hola a todos, hoy estamos profundizando en el concepto de variables aleatorias. Una variable aleatoria es una variable que se define sobre algún proceso probabilístico, donde el resultado del proceso está representado por un valor numérico. Exploremos algunos ejemplos para obtener una mejor comprensión.
Considere el escenario de tirar dos dados y tomar su suma. La suma de los dados puede considerarse una variable aleatoria. Otro ejemplo es lanzar una moneda al aire 50 veces y contar el número de caras. El conteo de cabezas obtenido en este experimento también es una variable aleatoria. De manera similar, medir la altura exacta de una persona seleccionada al azar en la ciudad de Chicago o medir la duración de una erupción del géiser Old Faithful son ejemplos de variables aleatorias.
Es importante tener en cuenta que no todos los resultados de un experimento probabilístico son variables aleatorias. Por ejemplo, el sexo de un cachorro seleccionado al azar en un refugio para perros o el color de los ojos de un senador de los EE. UU. elegido al azar son resultados que no entran en la categoría de variables aleatorias. Estos son datos categóricos ya que no son numéricos y no definen variables aleatorias.
Hay dos tipos fundamentales de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias continuas toman sus valores dentro de un rango específico, como la duración exacta de una erupción o la altura exacta de una persona seleccionada al azar. Estos valores pueden incluir fracciones y decimales con cualquier nivel de precisión deseado. Por otro lado, las variables aleatorias discretas tienen valores que se pueden enumerar individualmente, como 1, 2, 3, 4 o 5.
Cuando una variable aleatoria tiene un número finito de resultados posibles, podemos construir una tabla que enumere todos estos resultados junto con sus probabilidades correspondientes. Esta tabla se llama distribución de probabilidad discreta. Consideremos un ejemplo en el que lanzamos una moneda tres veces y contamos el número de caras obtenidas. Los resultados posibles son 0, 1, 2 o 3 caras y asignamos probabilidades a cada resultado. Por ejemplo, hay una probabilidad de 1 en 8 de no obtener cara, y las probabilidades aumentan o disminuyen en consecuencia.
La construcción de una distribución de probabilidad discreta también se puede hacer usando datos. Supongamos que encuestamos a una muestra aleatoria de 100 adultos en los Estados Unidos y les preguntamos cuántas veces cenaron fuera en una semana, con respuestas que van de 0 a 5. Podemos calcular las probabilidades de seleccionar individuos que caen en cada categoría dividiendo el número de personas en esa categoría por el tamaño total de la muestra, que es 100. Esto da como resultado una distribución de probabilidad que muestra todos los resultados posibles de la variable aleatoria (número de veces que come fuera) junto con sus respectivas probabilidades.
Para representar visualmente distribuciones de probabilidad discretas, podemos dibujar histogramas de probabilidad. Siguiendo con el ejemplo anterior, podemos crear un histograma con las categorías 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en el eje x y las probabilidades correspondientes como las alturas de las barras. Por ejemplo, si la probabilidad de tener cero comidas fuera en la última semana es 0,49, dibujamos una barra a la altura de 0,49 para la categoría x=0. La forma de este histograma de probabilidad sería idéntica a la forma de un histograma de distribución de frecuencias para los mismos datos.
En resumen, las variables aleatorias son valores numéricos que representan los resultados de experimentos probabilísticos. Pueden ser discretos o continuos. Las variables aleatorias discretas tienen un número finito de resultados posibles y sus probabilidades se pueden representar mediante una distribución de probabilidad discreta. Los histogramas de probabilidad son útiles para representar visualmente distribuciones de probabilidad discretas y comprender la probabilidad de diferentes resultados.
Histogramas de probabilidad en R
Histogramas de probabilidad en R
¡Hola a todos! Hoy exploraremos el proceso de construcción de hermosos histogramas de probabilidad en R usando el comando qplot. Veamos un par de ejemplos.
En nuestro primer ejemplo, tenemos una variable aleatoria discreta llamada X, que puede tomar valores del 1 al 6, junto con sus respectivas probabilidades. Para comenzar, ingresemos los datos y generemos el histograma en R.
Comenzamos definiendo la variable X, que puede tomar valores de 1 a 6. Podemos usar el operador de dos puntos abreviado, 1:6, para lograr esto. Ahora, nuestra variable X contiene los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
A continuación, creamos un vector para almacenar las probabilidades correspondientes. En este caso, las probabilidades para los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son 0,15, 0,1, 0,1, 0,4, 0,2 y 0,05, respectivamente. Es importante señalar que el orden de las probabilidades debe coincidir con el orden de los valores correspondientes.
Para asegurarnos de que ingresamos los datos correctamente, podemos realizar una verificación rápida calculando la suma de todas las probabilidades. La suma siempre debe ser 1 si tenemos una distribución de probabilidad discreta legítima. En este caso, la suma es de hecho 1, lo que indica que los datos se ingresaron correctamente.
Ahora, generemos el histograma de probabilidad. Usaremos la función qplot y especificaremos la variable X para el eje x. También necesitamos que R sepa cómo ponderar los valores usando las probabilidades, que proporcionamos como argumento de altura. Finalmente, especificamos el tipo de gráfico, que en este caso es un histograma.
Al generar el histograma, notamos que las barras no se tocan entre sí. En un histograma de probabilidad, los valores adyacentes deben tener barras que se toquen, indicando su relación. Para solucionar esto, podemos especificar que la cantidad de contenedores sea la misma que la cantidad de valores que tenemos. En este caso, tenemos seis valores, por lo que establecemos el número de contenedores en seis.
Ahora el histograma está empezando a tomar forma. Sin embargo, para mejorar su atractivo visual, podemos agregar alguna distinción entre las barras. Logramos esto especificando un color de límite para las barras. En este caso, usamos el color negro.
Pasando al segundo ejemplo, continuamos con el proceso de creación de un histograma de probabilidad. Esta vez, tenemos una variable aleatoria llamada Y, que puede tomar los valores 15, 16, 18, 19 y 20. También tenemos probabilidades correspondientes para estos valores, excepto para 17, que tiene una probabilidad de 0 ya que es no es un resultado posible.
Seguimos los mismos pasos que antes, ingresando los datos y generando el histograma usando la función qplot. Sin embargo, esta vez notamos que hay un cubo vacío en Y igual a 17, lo que indica una probabilidad de cero. Para capturar esta información con precisión, queremos usar seis contenedores, lo que permite que un contenedor vacío en Y sea igual a 17.
Podemos mejorar aún más la estética del histograma agregando un color de límite y un color interior para las barras. Por ejemplo, podemos establecer el color del límite en azul oscuro y el color de relleno en azul normal. Además, podemos personalizar la etiqueta del eje Y para indicar que representa probabilidades y cambiar la etiqueta del eje X a simplemente "valores", ya que se trata de un conjunto de datos abstracto.
Con estos ajustes, nuestro histograma de probabilidad parece más profesional. Por supuesto, podemos seguir afinando los colores y las etiquetas para lograr la presentación visual deseada. Así es como construimos un elegante histograma de probabilidad en R.
Trabajar con variables aleatorias discretas
Trabajar con variables aleatorias discretas
¡Hola a todos! Hoy exploraremos el concepto de variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad discretas. Una variable aleatoria es una variable cuyo valor se determina mediante un proceso aleatorio. En el caso de una variable aleatoria discreta, se pueden enumerar los posibles resultados, lo que da como resultado una distribución de probabilidad discreta.
Consideremos un ejemplo para ilustrar este concepto. Imagina que tenemos una casa con 16 habitaciones y seleccionamos una habitación al azar para contar la cantidad de ventanas que tiene. El número de ventanas puede ser 0, 1, 2, 3 o 4, cada una con probabilidades correspondientes de 3/16, 5/16, etc. Esto representa una distribución de probabilidad discreta, que consta de todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas.
Hay dos propiedades importantes de las variables aleatorias discretas y las distribuciones de probabilidad discretas. En primer lugar, la suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno. Esto asegura que siempre sucederá algo, ya que las probabilidades cubren todos los resultados posibles. En nuestro ejemplo, si sumamos todas las probabilidades, obtenemos 16/16 o uno.
En segundo lugar, cuando se trata de distribuciones de probabilidad discretas, se pueden sumar probabilidades. Por ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de que X sea 3 o 4, podemos calcular la probabilidad de que X sea 3 y la probabilidad de que X sea 4, y luego sumarlas. En este caso, la probabilidad es 3/16 + 1/16 = 4/16 = 1/4.
Procedamos con un par de problemas de ejemplo. Considere otra distribución de probabilidad discreta que involucre una variable aleatoria Y con cinco resultados posibles: 5, 10, 25, 50 y 200. Tenemos probabilidades para cuatro de estos resultados y necesitamos encontrar la probabilidad para el quinto resultado.
Como la suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno, podemos deducir la probabilidad que falta. Al restar la suma de las probabilidades conocidas (0.04 + 0.12 + 0.18 + 0.45) de uno, encontramos que la probabilidad de que Y sea 200 es 0.21.
Ahora, realicemos un par de cálculos usando la misma distribución de probabilidad discreta. Primero, queremos encontrar la probabilidad de que Y sea menor o igual a 10. Esto implica sumar las probabilidades de Y igual a 5 e Y igual a 10, lo que da como resultado 0,04 + 0,12 = 0,16.
A continuación, nos interesa la probabilidad de que Y sea un número impar. En este caso, tenemos dos resultados: Y es igual a 5 e Y es igual a 25. Al sumar sus probabilidades, obtenemos 0,04 + 0,18 = 0,22.
Por último, determinemos la probabilidad de que Y sea mayor que 5. En lugar de sumar directamente las probabilidades de Y igual a 10, 25, 50 y 200, podemos usar un atajo. Consideramos el evento complemento: la probabilidad de que Y no sea mayor a 5. Al restar de 1 la probabilidad de que Y sea menor o igual a 5 (0.04), obtenemos 1 - 0.04 = 0.96.
Estos ejemplos demuestran cómo calcular probabilidades y utilizar eventos complementarios en el contexto de distribuciones de probabilidad discretas.
Variables aleatorias: media, varianza y desviación estándar
Variables aleatorias: media, varianza y desviación estándar
¡Hola a todos! Hoy discutiremos las variables aleatorias y sus medidas de tendencia central y dispersión, es decir, la media, la varianza y la desviación estándar. Podemos describir el centro y la dispersión de una variable aleatoria de manera similar a como lo hacemos con los datos numéricos.
Consideremos un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta. Imagina que realizamos una encuesta en la que preguntamos aleatoriamente a las personas sobre la cantidad de cenas que cenaron la semana anterior. La distribución muestra que aproximadamente el 49% de los encuestados no comió fuera, alrededor del 22% comió fuera una vez, y así sucesivamente. Podemos visualizar esta distribución usando un histograma de probabilidad. Al observar el histograma, es intuitivo discutir el centro y la dispersión de esta variable aleatoria.
Para ser más específicos, interpretemos nuestros hallazgos basándonos en el histograma. El valor esperado o la media de una variable aleatoria se determina multiplicando cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad correspondiente y sumando los resultados. Esta media ponderada representa el centro de la variable aleatoria. Haciendo referencia a nuestra distribución de probabilidad discreta anterior, calculamos el valor esperado multiplicando cada valor (0, 1, 2, etc.) por su probabilidad respectiva (0,49, 0,22, etc.) y sumando los productos. En este caso, el valor esperado es 1,12.
El valor esperado a menudo se denota como μ, que es análogo a la media de la población en el análisis de datos. Mide el centro de la variable aleatoria. Mirando el histograma de probabilidad, el valor esperado representa el punto de equilibrio donde el histograma se equilibraría sobre un punto de apoyo.
Ahora, analicemos la dispersión de una variable aleatoria discreta, que se mide usando la varianza y la desviación estándar. La varianza se calcula restando la media de cada valor de la variable aleatoria, elevando al cuadrado el resultado, multiplicándolo por la probabilidad correspondiente y sumando todas las varianzas ponderadas. Esto captura cuánto se desvía cada valor de la media. Sin embargo, dado que elevamos al cuadrado las diferencias, la varianza resultante no tendrá las mismas unidades que los datos originales. Para tener una medida en la misma escala, sacamos la raíz cuadrada de la varianza, dándonos la desviación estándar.
En la práctica, calcular la varianza y la desviación estándar a mano puede ser engorroso. Se recomienda el uso de tecnología, como software estadístico o calculadoras. Por ejemplo, en la programación R, podemos ingresar los valores y sus probabilidades correspondientes, luego usar funciones integradas para calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.
Al utilizar la tecnología, podemos realizar cálculos de manera eficiente y evitar cálculos manuales que involucren productos y cuadrados. La varianza brinda información valiosa para los cálculos y las consideraciones teóricas, mientras que la desviación estándar es más conveniente para la interpretación, ya que comparte las mismas unidades que la variable aleatoria original.
En resumen, cuando se trata de variables aleatorias, es crucial comprender su centro (media) y dispersión (varianza y desviación estándar). Estas medidas nos permiten cuantificar e interpretar las características de la variable aleatoria de manera eficiente.
Pruebas de Bernoulli y la distribución binomial
Pruebas de Bernoulli y la distribución binomial
Hola a todos, hoy hablaremos sobre los ensayos de Bernoulli y la distribución binomial. Un ensayo de Bernoulli es un experimento de probabilidad simple con dos resultados: éxito y fracaso. Estos ensayos se definen por la probabilidad de éxito, indicada como "p" minúscula. Consideremos algunos ejemplos para ilustrar este concepto.
Por ejemplo, lanzar una moneda al aire y considerar una cara como un éxito tendría una probabilidad de éxito (p) igual a 1/2. Sacar una carta de una baraja estándar de 52 cartas y considerar un as como un éxito tendría una probabilidad de éxito (p) igual a 4/52 o 1/13. Si el 40% de los votantes estadounidenses aprueba a su presidente, elegir un votante al azar tendría una probabilidad de éxito (p) igual a 0,4.
Es importante tener en cuenta que los términos "éxito" y "fracaso" son términos técnicos en este contexto y no implican declaraciones políticas u opiniones personales. Podemos representar los ensayos de Bernoulli como variables aleatorias discretas codificando el éxito como 1 y el fracaso como 0. Esto nos permite crear una distribución de probabilidad simple con x tomando valores de 0 o 1. La probabilidad de obtener un 1 es igual a p, mientras que la probabilidad de obtener un 0 es igual a 1 - p ya que estos resultados son complementarios.
Podemos calcular el valor esperado de esta variable aleatoria (x) sumando x multiplicado por la probabilidad correspondiente (p(x)) para todos los valores posibles de x. El valor esperado es igual a p, que representa la probabilidad de éxito en un solo intento. De manera similar, podemos calcular la varianza sumando (x - valor esperado)^2 multiplicado por p(x) para todos los valores posibles de x. La varianza es igual a p(1 - p). Sacar la raíz cuadrada de la varianza nos da la desviación estándar, que mide la dispersión de la variable aleatoria.
En muchos casos, los ensayos de Bernoulli se realizan repetidamente, dando como resultado un número total de éxitos en n ensayos idénticos e independientes. Esto conduce a una variable aleatoria discreta que puede tomar valores de 0 a n. La distribución binomial, típicamente denotada como B(n, p), representa la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria cuando tenemos n ensayos de Bernoulli idénticos e independientes con una probabilidad de éxito de p.
Por ejemplo, si se lanza tres veces una moneda justa y definimos x como el número de caras, tendríamos B(3, 0,5) como distribución binomial. Podemos calcular directamente las probabilidades de cada valor de x considerando todos los resultados posibles y sus probabilidades correspondientes. A medida que n se vuelve más grande, se vuelve poco práctico calcular estas probabilidades a mano y necesitamos una fórmula más general.
La probabilidad de exactamente k éxitos en n intentos, donde k varía de 0 a n, viene dada por la fórmula n elige k por p^k por (1 - p)^(n - k). Esta fórmula da cuenta del número de formas de lograr exactamente k éxitos en n intentos y las respectivas probabilidades. Nos permite calcular probabilidades de manera eficiente en la distribución binomial.
Consideremos un ejemplo en el que un jugador de baloncesto tiene una tasa promedio de éxito de tiros libres del 78 %. Si lanza diez tiros libres, podemos usar la distribución binomial para calcular la probabilidad de que haga exactamente ocho tiros y al menos ocho tiros. Al ingresar los valores en la fórmula, podemos calcular las probabilidades en consecuencia.
Una variable aleatoria con una distribución binomial es la suma de múltiples ensayos de Bernoulli. La media de esta variable aleatoria está dada por n veces p, y la varianza está dada por n veces p veces (1 - p). La desviación estándar es la raíz cuadrada de np veces (1 - p).
En el caso del jugador de baloncesto que lanza diez veces con una probabilidad de acierto de 0,78, el valor esperado (media) sería 10 * 0,78 = 7,8 y la desviación estándar sería la raíz cuadrada de (10 * 0,78 * (1 - 0,78 )) ≈ 1.3.
Para visualizar la distribución binomial, podemos construir un histograma de probabilidad. Tomando el ejemplo del jugador de baloncesto que lanza diez tiros con una probabilidad de acierto de 0,78, creamos un histograma con barras que representan cada valor de x (número de tiros acertados) de 0 a 10. La altura de cada barra corresponde a la probabilidad de acertar ese número específico de tiros en los diez intentos. Por ejemplo, la probabilidad de hacer exactamente 8 tiros sería de alrededor de 0,3.
La distribución binomial proporciona un marco útil para analizar situaciones que implican ensayos independientes repetidos con una probabilidad fija de éxito. Al comprender las propiedades de la distribución binomial, como el valor esperado, la varianza y los cálculos de probabilidad, podemos tomar decisiones y predicciones informadas en varios campos, incluidas las estadísticas, las finanzas y el control de calidad.
Recuerde que la distribución binomial asume ciertas condiciones, como pruebas independientes y una probabilidad fija de éxito para cada prueba. Estas suposiciones deben considerarse cuidadosamente al aplicar la distribución binomial a escenarios del mundo real.
En conclusión, los ensayos de Bernoulli y la distribución binomial ofrecen una comprensión fundamental de los experimentos de probabilidad con dos resultados y múltiples ensayos independientes. Al utilizar las fórmulas y propiedades asociadas con estos conceptos, podemos analizar y predecir las probabilidades de lograr diferentes niveles de éxito en varios escenarios.
Cálculos Binomiales en R
Cálculos binomiales en R
Hola a todos, hoy usaremos R para realizar cálculos relacionados con la distribución binomial. En R, hay cuatro funciones básicas que es importante conocer para trabajar con la distribución binomial.
En primer lugar, la función rbinom() genera valores aleatorios a partir de la distribución binomial. Se necesitan tres argumentos: el número de valores aleatorios a generar, el tamaño de la muestra y la probabilidad de éxito en una prueba individual. Por ejemplo, rbinom(10, 2, 0,5) genera 10 valores aleatorios a partir de una distribución binomial con un tamaño de muestra de 2 y una probabilidad de éxito de 0,5.
En segundo lugar, la función dbinom() devuelve la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en la distribución binomial. Toma tres argumentos: el número de éxitos, el tamaño de la muestra y la probabilidad de éxito. Puede especificar el número de éxitos como un vector para calcular las probabilidades de diferentes números de éxitos a la vez. Por ejemplo, dbinom(0:4, 4, 0,5) calcula las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3 o 4 éxitos en una distribución binomial con un tamaño de muestra de 4 y una probabilidad de éxito de 0,5.
A continuación, la función pbinom() es una función de probabilidad acumulativa. Devuelve la probabilidad de obtener como máximo un número específico de éxitos en la distribución binomial. Similar a dbinom(), puede proporcionar un vector de valores para calcular las probabilidades acumulativas. Por ejemplo, pbinom(0:4, 4, 0,5) devuelve las probabilidades de obtener como máximo 0, 1, 2, 3 o 4 éxitos en una distribución binomial con un tamaño de muestra de 4 y una probabilidad de éxito de 0,5.
Finalmente, la función qbinom() es una calculadora de probabilidad inversa. Devuelve el valor más pequeño de éxitos tal que la probabilidad acumulada sea igual o mayor que una probabilidad especificada. En otras palabras, calcula cuantiles en la distribución binomial. Por ejemplo, qbinom(c(0,25, 0,5, 0,75), 10, 0,5) proporciona los percentiles 25, 50 y 75 en una distribución binomial con un tamaño de muestra de 10 y una probabilidad de éxito de 0,5.
Ahora apliquemos estas funciones a algunos problemas.
Problema 1: simulemos 50 carreras de un experimento en el que lanzamos un dado justo 10 veces y contamos el número de seises. Podemos usar la función rbinom() con un tamaño de muestra de 10 y una probabilidad de éxito de 1/6 (ya que hay una posibilidad de 1/6 de sacar un seis).
Problema 2: Según una encuesta reciente, el 72 % de los estadounidenses prefieren los perros a los gatos. Si se eligen al azar 8 estadounidenses, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 6 de ellos prefieran perros y que menos de 6 prefieran perros? Podemos usar las funciones dbinom() y pbinom().
prob_six <- dbinom ( 6 , 8 , 0.72 ) # Probability of fewer than 6 preferring dogs
prob_less_than_six <- pbinom ( 5 , 8 , 0.72 )
prob_six
prob_less_than_six
Problema 3: una moneda ponderada tiene un 42 % de posibilidades de salir cara. ¿Cuál es el número esperado de caras en 5 lanzamientos? Además, construya un histograma de probabilidad para la variable aleatoria que representa el número de caras en 5 lanzamientos.
Para calcular el número esperado de cabezas, podemos usar la fórmula del valor esperado de una distribución binomial, que es el producto del tamaño de la muestra y la probabilidad de éxito. En este caso, el tamaño de la muestra es de 5 y la probabilidad de éxito (sacar cara) es de 0,42.
expected_heads <- 5 * 0.42 expected_heads
El número esperado de caras en 5 lanzamientos de la moneda ponderada es 2.1.
Para construir un histograma de probabilidad, usaremos el paquete ggplot2 en R. Primero, instalemos y carguemos el paquete.
library ( ggplot2 )
A continuación, generaremos la distribución de probabilidad discreta para el número de caras en 5 lanzamientos usando la función dbinom(). Calcularemos las probabilidades para cada número posible de caras (0 a 5).
p <- dbinom ( x , 5 , 0.42 ) # Probabilities
Ahora, podemos crear el histograma de probabilidad usando ggplot2.
df <- data.frame ( x = x , p = p )
ggplot ( df , aes ( x = as.factor ( x ) , y = p ) ) + geom_bar ( stat = "identity" , fill = "lightblue" ) + xlab ( "Number of Heads" ) + ylab ( "Probability" ) + ggtitle ( "Probability Histogram for Number of Heads in 5 Tosses" )
Este código generará un histograma con el número de cabezas en el eje x y las probabilidades correspondientes en el eje y.
La Distribución Uniforme
La Distribución Uniforme
Hola a todos, hoy profundizaremos en las variables aleatorias continuas y exploraremos específicamente aquellas con distribuciones uniformes.
Empecemos recordando qué es una variable aleatoria continua. Es una variable que puede tomar valores dentro de un rango completo, a diferencia de un conjunto discreto de valores. Por ejemplo, si seleccionamos a alguien al azar y medimos su altura exacta, hay infinitos valores posibles que puede tomar esta variable aleatoria. En consecuencia, la probabilidad de obtener cualquier valor particular es infinitesimalmente pequeña, por lo que no es práctico discutir las probabilidades de valores específicos. Para abordar esto, nos enfocamos en las probabilidades asociadas con la variable aleatoria que se encuentran dentro de rangos de valores específicos.
Por ejemplo, en lugar de preguntar por la probabilidad de que alguien mida exactamente 58,6 pulgadas (que sería casi cero), podríamos preguntar por la probabilidad de que su altura se encuentre entre 55 y 65 pulgadas. Este enfoque nos permite trabajar con probabilidades significativas. Otro ejemplo es considerar la probabilidad de que una canción seleccionada al azar dure menos de tres minutos o más de tres minutos, en lugar de exactamente tres minutos.
Uno de los tipos más simples de variables aleatorias continuas es la distribución uniforme. En una variable aleatoria distribuida uniformemente, las probabilidades se distribuyen uniformemente en todo su dominio. Es posible que haya encontrado este concepto en la función rand() de Excel, que genera un número aleatorio entre 0 y 1 con los lugares decimales especificados. En este caso, todos los valores tienen las mismas probabilidades. Nos referimos a esto como una distribución uniforme en el intervalo [0, 1].
Para calcular las probabilidades de una distribución uniforme, dividimos el ancho del intervalo deseado por el ancho total del rango completo. Por ejemplo, la probabilidad de que el resultado sea inferior a 0,2 es 0,2 dividido por 1 (el ancho total), lo que da como resultado 0,2. De manera similar, la probabilidad de que el resultado sea mayor o igual a 4 es 0,6, ya que el intervalo de interés tiene un ancho de 0,6 unidades. Vale la pena señalar que el rigor de las desigualdades (p. ej., "<" frente a "<=") es irrelevante cuando se trata de variables aleatorias continuas, dado que las probabilidades de los resultados individuales son infinitesimalmente pequeñas.
Podemos extender el concepto de distribuciones de probabilidad uniformes a otros intervalos también. Por ejemplo, considerar el intervalo [1, 7] produciría una distribución de probabilidad continua donde la variable aleatoria puede tomar cualquier valor entre 1 y 7 con igual probabilidad. Examinemos algunos ejemplos dentro de esta distribución:
Dibujar histogramas de probabilidad para variables aleatorias continuas no es posible de la misma manera que para variables aleatorias discretas, ya que las probabilidades individuales son infinitesimales. En su lugar, empleamos gráficos de densidad, que representan la probabilidad como área en lugar de altura. En una gráfica de densidad para una distribución uniforme, todas las probabilidades son iguales y dan como resultado una línea horizontal. El área total bajo el gráfico de densidad siempre debe ser 1 para garantizar que las probabilidades se sumen correctamente.
Para ilustrar, consideremos una distribución uniforme en el intervalo [-5, 5]. En este caso, el ancho del dominio es 10 (5 - (-5)). Para crear la curva de densidad, necesitamos que la altura del rectángulo sea 1 dividido por el ancho, lo que nos da 1/10. Esto asegura que el área total bajo la curva de densidad sea 1.
Ahora, calculemos la probabilidad de que la variable aleatoria sea mayor a 3.5 en esta distribución. Podemos volver a dibujar la curva de densidad y sombrear la región correspondiente a X > 3,5. La probabilidad es entonces igual al área de esa región sombreada.
Al aplicar la fórmula para calcular el área de un rectángulo (base por altura), multiplicamos el ancho (5 - 3,5 = 1,5) por la altura (1/10). Esto da como resultado un área de 1.5/10 o 15%.
En resumen, en la distribución uniforme U(-5, 5), la probabilidad de que X sea mayor que 3,5 es del 15%.
Variables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas
¡Hola a todos! Hoy vamos a profundizar en el tema de las variables aleatorias continuas. Una variable aleatoria continua es simplemente una variable que puede tomar valores en un rango completo, lo que permite mediciones precisas. Exploremos algunos ejemplos para ilustrar este concepto.
Imagine seleccionar un perro al azar en el refugio de animales local y medir la longitud de su cola. Puede obtener medidas con cualquier grado de precisión que desee. De manera similar, considere tomar una lectura de temperatura exacta en el Polo Sur en un momento aleatorio o medir la duración de una llamada de servicio al cliente seleccionada al azar. Estos ejemplos demuestran la capacidad de medir variables con cualquier nivel de precisión.
Por el contrario, una variable aleatoria discreta solo puede asumir valores de un conjunto no continuo. Por ejemplo, lanzar un dado 20 veces y contar el número de seises dará como resultado números enteros como 0, 1, 2, 3, 4, etc. Sin embargo, fracciones o decimales como un medio, dos tercios o tres y un cuarto no son resultados posibles.
Describir probabilidades para variables aleatorias continuas es más complejo que para las discretas. Con infinitos resultados posibles, la probabilidad de obtener un resultado individual particular es esencialmente cero. Por ejemplo, si indicamos que una llamada de atención al cliente dura 150 segundos, la duración real podría ser 150,1, 150,05 o cualquier otro valor incontable. Por lo tanto, la probabilidad de que la llamada dure exactamente 150 segundos es esencialmente cero.
No obstante, ciertas duraciones de llamadas pueden parecer más probables que otras. Esperamos que una llamada que dure 150 segundos sea mucho más probable que una que dure tres horas. Para abordar las probabilidades de las variables aleatorias continuas, nos enfocamos en rangos de valores en lugar de resultados específicos. Por ejemplo, consideramos la probabilidad de que una llamada se encuentre entre 140 y 160 segundos, lo que con frecuencia produce probabilidades distintas de cero.
Una forma de visualizar una variable aleatoria continua es a través de una curva de densidad. Las probabilidades sobre los rangos se representan luego como áreas bajo la curva de densidad. Examinemos un gráfico que representa una variable aleatoria, X, que varía de 0 a 4 con probabilidad decreciente. La región sombreada en el gráfico representa la probabilidad de que X caiga entre 1 y 2 en un intento dado. De la imagen, podemos observar que la probabilidad de que X caiga entre 1 y 2 es menor que la probabilidad de que caiga entre 0 y 1. Esta discrepancia surge porque hay más área bajo la curva de 0 a 1 en comparación con 1 a 2 De manera similar, la probabilidad de que X caiga entre 1 y 2 es mayor que entre 2 y 3. Podemos estimar la probabilidad de que X caiga entre 1 y 2 aproximando el área de la región sombreada, lo que arroja un resultado de aproximadamente 3 décimas o 30%.
Una curva de densidad se conoce comúnmente como una función de densidad de probabilidad (PDF). Un PDF legítimo posee dos propiedades esenciales. En primer lugar, siempre debe ser positivo para alinearse con la naturaleza positiva de las probabilidades. En segundo lugar, el área total bajo el gráfico de una PDF legítima siempre debe ser uno, lo que significa que obtenemos algún valor de X cuando realizamos un experimento de probabilidad.
Si bien el concepto de PDF y curva de densidad puede ser intuitivo, los cálculos reales que los involucran pueden ser desafiantes. En la práctica, a menudo trabajamos con funciones de distribución acumulativa (CDF) de variables aleatorias para evitar la necesidad de cálculos extensos. Una CDF proporciona la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor no mayor que una X especificada en un ensayo dado. Esencialmente, acumula las probabilidades. Por ejemplo, si X aumenta, el valor CDF correspondiente también aumenta a medida que se acumula más probabilidad.
Usando la CDF, podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de un rango específico. Esta probabilidad se determina restando los valores CDF de los límites inferior y superior del rango. Examinemos el gráfico de la PDF y la CDF de la misma variable aleatoria, indicada como X. La región sombreada en la gráfica representa la probabilidad acumulada de que X sea menor o igual a dos, indicada como F(2), la CDF en dos . Observe que a medida que aumenta X, la CDF, F(X), siempre aumenta también porque se acumula más probabilidad.
Para calcular la probabilidad de que X caiga entre dos valores, digamos ayb, restamos el valor CDF en b del valor CDF en a. En el gráfico, esto corresponde a restar el área a la izquierda de X igual a 2 del área a la izquierda de X igual a 1. Matemáticamente, esto se expresa como F(b) - F(a). La representación visual lo hace evidente.
El tipo más simple de variable aleatoria continua es el que tiene una distribución uniforme. En una distribución uniforme, las probabilidades son iguales para intervalos de igual ancho. Esencialmente, significa que cada valor de X dentro de un rango particular es igualmente probable. Otra forma de ver esto es que la PDF de una variable aleatoria uniformemente distribuida es una función constante.
Consideremos un ejemplo. Supongamos que tenemos una variable aleatoria continua donde los valores pueden caer entre 1 y 7 con una distribución uniforme. La PDF es una función constante entre 1 y 7, con un área total de 1. Dado que el ancho del intervalo es 6, la altura del gráfico es 1/6. Con esta información, podemos calcular probabilidades para cualquier rango de X. Por ejemplo, la probabilidad de que X se encuentre entre 2 y 7 está dada por el ancho del intervalo, que es 7 menos 2, dividido por la altura de la gráfica, que es 1/6. Por lo tanto, la probabilidad es (1/6) * (7 - 2) = 5/6.
Si desea una explicación más completa de las distribuciones uniformes, tengo un video dedicado al tema que puede encontrar en el enlace proporcionado arriba.