Quantitative trading - страница 32
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
NPV и IRR (расчеты для экзаменов CFA®)
NPV и IRR (расчеты для экзаменов CFA®)
Здравствуйте и добро пожаловать в Concept Capsules! Сегодня мы рассмотрим темы чистой приведенной стоимости (NPV) и внутренней нормы прибыли (IRR). Эти методы имеют решающее значение при составлении бюджета капиталовложений и широко рассматриваются в учебных программах CFA и FRM.
NPV и IRR используются для сравнения денежных потоков, которые происходят в разные моменты времени, и помогают определить лучший проект для реализации. Они также помогают в последовательности проектов на основе имеющегося капитала. NPV оценивает прибыльность проекта, учитывая денежные потоки после уплаты налогов. Он включает дисконтирование денежных потоков к общему периоду времени, обычно нулевому периоду времени, когда принимается решение о выполнении проекта.
Чтобы рассчитать NPV, мы вычитаем первоначальный отток денежных средств (инвестиции) из приведенной стоимости притока денежных средств. Денежные притоки и оттоки приводятся к нулевому периоду времени для сравнения. Если результирующая чистая приведенная стоимость положительна, проект считается прибыльным и должен быть принят. Если он отрицательный, проект уничтожает ценность и должен быть отклонен. Нулевая чистая приведенная стоимость означает, что проект не увеличивает и не уменьшает стоимость фирмы, что делает его безразличным. Однако на практике проекты с NPV, равным нулю, обычно не реализуются.
IRR, с другой стороны, устраняет необходимость в заранее определенной ставке дисконтирования. Именно ставка дисконтирования делает NPV равной нулю. Другими словами, IRR приравнивает приведенную стоимость притока денежных средств к приведенной стоимости оттока денежных средств. Правило принятия решения для IRR основано на требуемой норме прибыли или пороговой ставке. Если IRR превышает пороговую ставку, проект принимается; в противном случае оно отклоняется.
Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как рассчитать NPV и IRR с помощью калькулятора BA2 Plus. Рассмотрим компанию А, которая планирует инвестировать 100 миллионов долларов в проект по расширению капитала. Ожидается, что проект будет генерировать денежные потоки после уплаты налогов в размере 20 миллионов долларов в год в течение первых трех лет и 33 миллиона долларов в последний год. Требуемая норма прибыли составляет 8%. Нам нужно рассчитать NPV и IRR и решить, стоит ли начинать проект.
Для начала мы создаем временную шкалу с оттоком денежных средств в размере 100 миллионов долларов США в нулевой период времени и притоком денежных средств в размере 20 миллионов долларов США за каждый из первых трех лет и 33 миллиона долларов США за четвертый год. Затем мы дисконтируем каждый приток денежных средств к нулевому периоду времени, используя ставку дисконтирования 8%. Суммируя текущие значения притока денежных средств и вычитая первоначальный отток денежных средств, мы получаем чистую приведенную стоимость. В этом случае чистая приведенная стоимость рассчитывается как -24,2 миллиона долларов.
Чтобы рассчитать IRR, мы составили уравнение, которое приравнивает NPV к нулю, используя неизвестную ставку дисконтирования (IRR). Однако решение этого уравнения вручную может занять много времени. К счастью, мы можем использовать калькулятор BA2 Plus для прямого вычисления IRR, введя денежные потоки и найдя функцию IRR.
В заключение, чистая приведенная стоимость -$24,2 млн и внутренняя норма доходности должны быть определены с помощью калькулятора BA2 Plus. Сравнение IRR с требуемой нормой прибыли поможет принять решение о реализации проекта.
Факторы, влияющие на стоимость опционов (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Факторы, влияющие на стоимость опционов (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Давайте углубимся в тему концептуальных капсул и изучим факторы, влияющие на стоимость опционов. Эта тема актуальна для всех трех уровней учебной программы CFA, а также для программы FRM. Прежде чем углубляться в факторы, давайте повторим обозначения опционов и основные профили выплат опционов.
Существует шесть факторов, влияющих на стоимость опциона, которые согласуются с концепциями теории опционов. Давайте рассмотрим обозначения. Текущая цена акции обозначается буквой «S». Цена исполнения или цена исполнения представлена буквами «X» или «K». Можно использовать любое обозначение. Время до истечения срока действия опциона обозначается буквой «T», что указывает на то, сколько времени осталось до наступления срока погашения опциона. «R» представляет собой краткосрочную безрисковую ставку в течение периода оценки. Наконец, «D» представляет текущую стоимость дивидендов или любых других выгод, связанных с базовой акцией или активом.
Теперь давайте кратко повторим определение опционов и их различные профили выплат. Опционы отличаются от форвардов или фьючерсов тем, что они предоставляют покупателю право, а не обязательство. Покупатели опционов могут выбирать, пользоваться своими правами или нет, в зависимости от того, что им наиболее выгодно. Существует два типа опционов: колл-опционы и пут-опционы. Опционы колл дают право купить базовый актив, а опционы пут дают право продать базовый актив. Важно отметить, что эти перспективы исходят из длинной позиции, в то время как короткая позиция меняет эти действия. Например, короткий колл представляет собой обязательство продать базовый актив.
Четыре позиции выплаты по опционам: длинная колл, короткая колл, длинная пут и короткая пут. Длинный колл представляет собой право купить базовый актив, обычно используемый, когда ожидается, что цена актива вырастет. И наоборот, короткий колл представляет собой обязательство продать базовый актив. Держатель длинного пута имеет право продать базовый актив, что обычно используется, когда ожидается, что цена актива снизится. Короткий пут представляет собой обязательство купить базовый актив.
Чтобы рассчитать стоимость этих опционов, мы можем использовать формулы. Формула длинного колла состоит из максимума 0 и разницы между ценой акции (ST) и ценой исполнения (K). Для короткого звонка формула представляет собой отрицательное значение длинного звонка. Формула длинного пута – это максимум 0 и разницы между ценой исполнения (K) и ценой акции (ST). Наконец, короткий пут представляет собой отрицательную стоимость длинного пута.
Важно различать американские опционы и европейские опционы. Американские опционы обеспечивают большую гибкость, позволяя держателю исполнить опцион в любое время до погашения. С другой стороны, европейские опционы более жесткие и могут быть исполнены только при наступлении срока погашения. Тем не менее, европейские опционы все еще могут быть проданы до наступления срока погашения, а исполнение возможно только в последний день. В нашем анализе мы в первую очередь рассматриваем влияние на европейские опционы, поскольку американские опционы, как правило, дороже из-за дополнительной гибкости, которую они предлагают.
Переходя к основной теме факторов, влияющих на стоимость опционов, давайте рассмотрим предоставленную таблицу. В таблице показаны переменные и их влияние на стоимость опционов колл и пут. Мы сосредоточимся на анализе влияния увеличения этих факторов.
Во-первых, давайте рассмотрим цену акции (S). Если цена акции увеличивается, стоимость опциона также будет увеличиваться. Это связано с тем, что разница между ценой акции и ценой исполнения увеличивается, что приводит к более высокой стоимости опциона колл. И наоборот, увеличение цены акции приведет к уменьшению стоимости пут, поскольку отрицательный знак, связанный с ценой акции в формуле опциона пут, сужает спрэд между ценой исполнения и ценой акции.
Далее, давайте исследуем влияние увеличения страйк-цены (K). Увеличение страйк-цены (K) находится в обратной зависимости от стоимости опциона колл. Когда цена исполнения увеличивается, разница между ценой акции и ценой исполнения сокращается, что приводит к снижению стоимости колл-опциона. С другой стороны, увеличение цены исполнения приводит к увеличению стоимости пут. По мере роста цены исполнения спрэд между ценой исполнения и ценой акции увеличивается, что приводит к более высокой стоимости опциона пут.
Переходя к времени до экспирации (T), увеличение этого фактора оказывает положительное влияние как на стоимость опциона колл, так и на опцион пут. Чем больше времени до экспирации, тем выше вероятность того, что цена базовой акции изменится в пользу держателя опциона. Этот повышенный потенциал движения цены приводит к более высокой стоимости опциона.
Влияние безрисковой ставки (R) на стоимость опциона несколько интуитивно понятно. Увеличение безрисковой ставки увеличит текущую стоимость будущих денежных потоков, связанных с опционом. Это приводит к более высоким значениям колл и более низким значениям пут.
Дивиденды (D) также влияют на стоимость опциона. Для опционов колл увеличение дивидендов снижает приведенную стоимость будущих денежных потоков, связанных с акциями, что приводит к снижению стоимости опционов колл. И наоборот, для опционов пут увеличение дивидендов увеличивает приведенную стоимость будущих денежных потоков, связанных с акцией, что приводит к более высокой стоимости опционов пут.
Наконец, волатильность базовой акции (σ) оказывает положительное влияние на стоимость опционов колл и пут. Более высокая волатильность увеличивает вероятность больших движений цены, увеличивая вероятность того, что опцион завершится в деньгах. В результате стоимость опционов колл и пут растет при более высокой волатильности акций.
Важно отметить, что влияние этих факторов на стоимость опциона может варьироваться в зависимости от других факторов и рыночных условий. Модели ценообразования опционов, такие как модель Блэка-Шоулза, учитывают эти факторы и обеспечивают более полную основу для оценки опционов.
Понимание факторов, влияющих на стоимость опционов, имеет решающее значение для ценообразования опционов, управления рисками и разработки инвестиционных стратегий с использованием опционов.
Еще одним важным фактором, влияющим на стоимость опциона, является цена базового актива (S). Для опционов колл по мере роста цены базового актива опцион становится более ценным, поскольку держатель опциона имеет право купить актив по более низкой цене исполнения, а затем продать его по более высокой рыночной цене. Этот потенциал для получения прибыли приводит к более высокой стоимости колл-опциона. С другой стороны, для опционов пут по мере увеличения цены базового актива опцион становится менее ценным, поскольку держатель опциона имеет право продать актив по более низкой цене исполнения, в то время как рыночная цена выше. Этот потенциальный убыток приводит к снижению стоимости опциона пут.
Подразумеваемая волатильность (IV) является еще одним важным фактором, влияющим на стоимость опциона. Подразумеваемая волатильность – это рыночное ожидание будущей волатильности, полученное из текущих цен опционов. По мере увеличения подразумеваемой волатильности стоимость опциона имеет тенденцию к росту, потому что существует более высокая вероятность более значительных колебаний цены базового актива. Повышенная волатильность увеличивает вероятность того, что опцион окажется в плюсе, что приведет к более высокой стоимости опциона. И наоборот, когда подразумеваемая волатильность уменьшается, стоимость опциона имеет тенденцию к снижению.
Динамика рыночного спроса и предложения также может влиять на стоимость опционов. Если существует высокий спрос на опционы, их цена может увеличиться из-за усиления покупательского давления. И наоборот, при низком спросе на опционы их цена может снизиться. Рыночные условия, настроения инвесторов и общие рыночные тенденции могут влиять на динамику спроса и предложения, влияя на стоимость опционов.
Стоит отметить, что обсуждаемые здесь факторы обычно используются в моделях ценообразования опционов, таких как модель Блэка-Шоулза, которая обеспечивает теоретическую основу для оценки опционов. Однако фактические цены опционов могут отклоняться от предсказаний модели из-за неэффективности рынка, транзакционных издержек, ликвидности и других факторов.
Понимание факторов, влияющих на стоимость опционов, имеет решающее значение для опционных трейдеров и инвесторов. Принимая во внимание эти факторы и анализируя рыночные условия, люди могут принимать более обоснованные решения в отношении стратегий торговли опционами, управления рисками и формирования портфеля.
Индексы рынка ценных бумаг (расчеты для экзаменов CFA®)
Индексы рынка ценных бумаг (расчеты для экзаменов CFA®)
Привет и добро пожаловать! Сегодня мы углубимся в концепцию индексов акций и рассмотрим различные методы их взвешивания, уделяя особое внимание индексам акций. Фондовые индексы широко известны и часто появляются в новостях, но важно отметить, что индексы не являются исключительными для фондовых рынков. Существуют индексы для фиксированного дохода, хедж-фондов, валют и многих других рынков.
Индекс, по сути, является представлением определенного рынка. Он служит инструментом для инвесторов, чтобы отслеживать производительность и риск рынка. Кроме того, биржевые фонды (ETF) часто используют эти индексы в качестве ориентиров. Существует две основные версии индекса: индекс ценовой доходности и индекс общей доходности.
Индекс ценовой доходности отслеживает только цены составляющих ценных бумаг. Он вычисляет разницу между конечным значением и начальным значением индекса, деленную на исходный уровень цен индекса. По сути, индекс доходности цены аналогичен концепции доходности за период владения.
С другой стороны, индекс общей доходности не только отслеживает изменения цен, но также учитывает любой доход или распределение, связанное с входящими в его состав ценными бумагами. Сюда входят дивиденды или реинвестирование процентов. Для расчета индекса общей доходности разница в ценах объединяется с доходностью. Можно использовать формулу, упомянутую ранее, или использовать функцию процентного изменения, доступную на таких калькуляторах, как BA II Plus или HP 12C.
Переходя к различным типам фондовых индексов, давайте начнем с самого простого: индекса, взвешенного по цене. В этом методе цена каждой составной ценной бумаги суммируется и рассчитывается среднее значение. Предполагается, что покупается одна единица каждой ценной бумаги. Этот тип индекса обычно используется в таких примерах, как промышленный индекс Доу-Джонса и Nikkei. Несмотря на простоту расчета, у него есть недостатки. Всякий раз, когда происходит дробление или консолидация акций, уровень индекса нуждается в корректировке, чтобы гарантировать, что на него не повлияют изменения цены.
Другим типом является равновзвешенный индекс, также известный как невзвешенный индекс. В этом методе в каждую ценную бумагу вкладываются равные суммы денег, независимо от количества единиц. Во многих случаях это приводит к дробным акциям. Равновзвешенный индекс рассчитывается путем получения среднего арифметического дохода индексных акций. Примеры равновзвешенных индексов включают Композитный средний показатель стоимости и Индекс обыкновенных акций Financial Times.
Третий тип, который мы обсудим, — это взвешенный индекс рыночной капитализации, также известный как метод взвешивания стоимости. Вес каждой составной ценной бумаги определяется ее рыночной капитализацией. Рыночная капитализация рассчитывается путем умножения цены акции на общее количество акций в обращении. Вес, присвоенный каждой ценной бумаге, рассчитывается путем деления ее рыночной капитализации на общую рыночную капитализацию всех ценных бумаг. Этот метод отражает общее значение индекса. Примером взвешенного индекса рыночной капитализации является S&P 500.
Чтобы проиллюстрировать эти концепции, давайте рассмотрим числовые примеры для каждого типа индекса. Мы рассчитаем уровни индекса и доходность на основе заданных цен, количества акций и рыночной капитализации.
В заключение можно сказать, что фондовые индексы служат для инвесторов важным инструментом для отслеживания результатов и рисков на различных рынках. Понимание различных методов взвешивания, таких как индексы, взвешенные по цене, равновзвешенные и взвешенные по рыночной капитализации, позволяет инвесторам принимать обоснованные решения на основе их инвестиционных предпочтений и целей.
Модель скидки на дивиденды (расчеты для экзаменов CFA®)
Модель скидки на дивиденды (расчеты для экзаменов CFA®)
Здравствуйте и добро пожаловать в Concept Capsules! Сегодняшняя тема для обсуждения — модель дисконтирования дивидендов (DDM). Это обсуждение будет в первую очередь сосредоточено на основах DDM с точки зрения уровня 1 CFA, но оно также может служить учебником для главы DDM уровня 2 CFA.
Модель дисконтирования дивидендов — это метод оценки, используемый для оценки стоимости акций. В этом методе мы прогнозируем будущие дивиденды и стоимость выхода, а затем дисконтируем эти денежные потоки до настоящего времени, т.е. нулевого периода времени. DDM можно использовать для оценки как привилегированных акций, так и обыкновенных акций, причем обыкновенные акции являются более рискованной версией.
При оценке привилегированных акций с использованием DDM мы рассматриваем их как бессрочные. По привилегированным акциям выплачивается фиксированная сумма дивидендов на неопределенный срок, аналогично бессрочным. Формула оценки привилегированных акций получена из формулы бессрочного погашения, где дивиденд (денежный поток) делится на стоимость привилегированного капитала (учетная ставка). Важно отметить, что ставка дисконтирования для привилегированных акций должна быть ниже, чем для обыкновенных акций. Если существуют специальные категории привилегированных акций, такие как участвующие привилегированные или конвертируемые привилегированные акции, дивиденды и ставки дисконтирования должны быть скорректированы соответствующим образом.
Рассмотрим простой пример расчета стоимости привилегированных акций. Предположим, что ставка дисконтирования (k) равна 10%, а дивиденд (c) равен 5. Применяя формулу вечности, мы получаем стоимость привилегированных акций как 50.
Переходя к оценке обыкновенных акций, это становится более сложной задачей, поскольку размер и сроки будущих денежных потоков являются неопределенными. Кроме того, нам необходимо оценить требуемую норму прибыли, для чего обычно используются такие модели, как модель оценки капитальных активов (CAPM). Мы начнем с модели периода владения в один год, а затем расширим ее до нескольких лет.
В модели с годовым периодом владения мы предполагаем, что инвестор продаст акции в конце первого года. Нам нужно знать дивиденды, полученные в течение этого года, и оценить выходную стоимость на конец года. Используя формулу CAPM, мы рассчитываем требуемую норму прибыли. Денежные потоки дисконтируются до нулевого периода времени, чтобы определить стоимость акций.
Эту модель можно легко расширить на несколько лет, включив соответствующие дивиденды и стоимость выхода за каждый год. Нам не нужно запоминать новые формулы; мы просто корректируем период времени. Например, двухлетний период владения предполагает дисконтирование денежных потоков за два года.
Применим эту концепцию к вопросу с трехлетним периодом хранения. Ожидается, что ежегодные дивиденды в течение следующих трех лет составят 1 евро, 1,5 евро и 2 евро. Цена акций по истечении трех лет оценивается в 20 евро. При требуемой норме прибыли 10% мы можем рассчитать стоимость акций, дисконтировав денежные потоки до нулевого периода времени. Полученное значение составляет 18,67 евро.
Наконец, мы рассматриваем сценарий бесконечных периодов владения, предполагая постоянный рост дивидендов со скоростью «g» навсегда. В этом случае формула упрощается до D0 * (1 + g) / (ke - g), где D0 — дивиденд в нулевой период времени, ke — стоимость собственного капитала, а g — постоянный темп роста. Крайне важно обращать внимание на индексы и правильно сопоставлять периоды времени для расчета и оценки дивидендов.
Если скорость роста становится постоянной через определенное количество лет, мы можем использовать модель роста Гордона (GGM) с этого момента. Однако важно помнить, что стоимость акции определяется на момент, предшествующий году, за который в числителе берется дивиденд. Это означает, что мы должны использовать метод .
Чтобы проиллюстрировать применение модели роста Гордона (GGM), рассмотрим пример. Предположим, что в следующем году компания должна выплатить дивиденды в размере 2 долл. на акцию. Ожидается, что дивиденды будут расти с постоянной скоростью 5% в год в течение неопределенного времени. Требуемая норма прибыли (ke) составляет 10%.
Используя формулу GGM, мы можем рассчитать стоимость акции:
Значение = D1 / (кэ - г)
где D1 — дивиденды, ожидаемые в период времени 1, ke — требуемая норма прибыли, а g — постоянный темп роста.
Подставляя значения в формулу, имеем:
Стоимость = 2 доллара США / (0,10–0,05) = 40 долларов США.
Итак, по данным GGM, стоимость акции составляет 40 долларов.
Важно отметить, что модель роста Гордона предполагает постоянную скорость роста, что может не соответствовать действительности во всех случаях. Он наиболее подходит для зрелых компаний со стабильными и предсказуемыми темпами роста дивидендов.
Модель дисконтирования дивидендов (DDM) — полезный инструмент для оценки акций, но у него есть свои ограничения. Он основан на нескольких предположениях, таких как постоянные темпы роста дивидендов и точность оценок будущих денежных потоков. Рыночные условия и другие факторы также могут влиять на цены акций, что затрудняет точное прогнозирование будущих дивидендов и стоимости выхода.
Более того, DDM в первую очередь применим к компаниям, которые выплачивают дивиденды. Для компаний, которые не выплачивают дивиденды или имеют непостоянную структуру дивидендов, могут быть более подходящими альтернативные методы оценки, такие как анализ дисконтированных денежных потоков (DCF).
В целом, модель дисконтирования дивидендов обеспечивает основу для оценки стоимости акций на основе ожидаемых дивидендов и будущих денежных потоков. Это важная концепция для финансовых аналитиков и инвесторов, стремящихся определить внутреннюю стоимость акций компании.
Биномиальная модель ценообразования опционов (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Биномиальная модель ценообразования опционов (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)
Давайте углубимся в концепцию биномиального метода ценообразования опционов. Сегодня мы рассмотрим эту тему, которая освещается как в учебных программах CFA, так и в учебных программах по финансам. Это один из двух методов, используемых для расчета стоимости опциона, второй — модель Блэка-Шоулза.
Биномиальный метод предполагает, что базовая цена опциона может находиться только в двух состояниях в течение заданного интервала времени. Вот почему он называется биномиальным, так как рассматривает только два возможных состояния в любом узле. Начнем с текущей цены акции, обозначенной как S0. Оттуда мы рассматриваем два разных состояния природы: верхнее состояние (S_u) и нижнее состояние (S_d). Цена акции в верхнем штате определяется путем умножения текущей цены акции (S0) на коэффициент, обозначаемый как «u», с вероятностью «p». И наоборот, цена акции в состоянии спада определяется путем умножения текущей цены акции (S0) на коэффициент, обозначенный как «d», с вероятностью (1-p).
Когда мы достигнем верхнего узла, мы можем либо подняться, либо опуститься. Вероятности остаются одинаковыми по дереву, используя одни и те же значения p и (1-p). Например, если вероятность движения вверх составляет 60 %, а движения вниз — 40 %, эти вероятности останутся постоянными по всему дереву. Из каждого узла мы можем рассчитать цены акций в следующем состоянии, как показано различными комбинациями u и d.
В этом обсуждении мы сосредоточимся на методе одного периода, что означает, что мы рассматриваем только один период вперед. Мы ограничимся этой частью биномиального дерева. Чтобы реализовать биномиальный метод, мы сначала определяем две возможные цены акций. После этого мы вычисляем выигрыш опциона в обоих узлах, что позволяет нам получить ожидаемое значение для этого периода времени. Получив ожидаемое значение для этого периода времени, мы применяем формулу дисконтированного денежного потока (DCF), чтобы дисконтировать его обратно к нулевому периоду времени. Важно отметить, что в этом случае мы используем вероятности в формуле DCF, в отличие от традиционных вычислений DCF, где вероятности не используются.
Теперь давайте перейдем к биномиальному дереву колл-опционов. После определения факторов цены акций мы рассчитываем размер и вероятность движения вверх и вниз. Они будут обозначаться как «u» и «d» соответственно. Затем мы рисуем биномиальное дерево и вычисляем выигрыш опциона во всех узлах. Это включает в себя определение максимума нуля или разницы между ценой акции (st) и ценой исполнения (k). Затем мы умножаем выплаты на их соответствующие вероятности и рассчитываем ожидаемую стоимость опциона за весь период. Наконец, мы дисконтируем это ожидаемое значение обратно к нулевому периоду времени, чтобы определить текущую стоимость опциона.
Для облегчения расчетов используем различные обозначения и формулы. Независимая от риска вероятность движения вверх обозначается как «pi_u», а нейтральная к риску вероятность движения вниз обозначается как «pi_d». Эти вероятности дополняют друг друга, то есть в сумме дают 100%. Безрисковая ставка представлена как «rf», а «u» и «d» — размеры движения вверх и движения вниз соответственно. Кроме того, «d» равно 1, деленному на «u». Чтобы вычислить вероятности движения вверх и вниз, мы используем формулы, включающие безрисковую ставку, «u» и «d».
Применим эти понятия к конкретному примеру. Предположим, что текущая цена акции составляет 80 долларов, размер движения вверх равен 1,4, безрисковая ставка равна
Как только мы получим ожидаемую выплату, нам нужно дисконтировать ее до периода времени 0, чтобы получить текущую стоимость опциона. Для этого мы используем безрисковую ставку, которая равна 6%.
Формула дисконтирования ожидаемого выигрыша:
Текущая стоимость опциона = ожидаемая выплата / (1 + безрисковая ставка)
Подставляя значения, имеем:
Текущая стоимость опциона = (32 * 0,504 + 0 * 0,496) / (1 + 0,06)
Упрощая уравнение, получаем:
Текущая стоимость опциона = (16,128 + 0) / 1,06
Текущая стоимость опциона ≈ 15,23
Таким образом, текущая стоимость опциона колл составляет примерно 15,23 доллара.
Важно отметить, что этот пример демонстрирует оценку опциона колл с использованием биномиального метода оценки опциона со сроком действия один год. Процесс включает в себя определение повышающих и понижающих коэффициентов, вычисление вероятностей, построение биномиального дерева, оценку выплат опционов в каждом узле, расчет ожидаемой выплаты и, наконец, ее дисконтирование до текущей стоимости.
Имейте в виду, что биномиальный метод ценообразования опционов предполагает упрощенную модель с двумя состояниями для движения цены базового актива и может не охватывать всю динамику реального мира. Кроме того, этот метод обычно используется для опционов в европейском стиле, которые могут быть исполнены только по истечении срока действия. Для опционов в американском стиле необходимы дополнительные соображения для определения оптимальной стратегии исполнения.
Я надеюсь, что это объяснение поможет вам понять шаги, связанные с биномиальным методом ценообразования опционов, и как оценить опцион колл, используя этот подход. Дайте мне знать, если у вас есть дополнительные вопросы!
Основы вероятности (FRM Часть 1 2023 - Книга 2 - Глава 1)
В этой серии видеороликов профессор Джеймс Форджан подробно освещает главы, включенные в FRM Часть 2 — Книга 2 — Количественный анализ. В сериале подробно рассматриваются различные темы, включая вероятности, проверку гипотез, регрессии и связки. Профессор Форжан подробно исследует каждую концепцию, предлагая соответствующие примеры вопросов, которые направлены на улучшение понимания и мастерства кандидата в этих предметах. Просмотрев эту серию видеороликов, кандидаты могут укрепить свое понимание количественного анализа и эффективно подготовиться к экзамену FRM Part 2.
Основы вероятности (FRM Часть 1 2023 - Книга 2 - Глава 1)
Глава 1 Книги 2 из серии «Количественный анализ» посвящена основам вероятности и ее применению в управлении финансовыми рисками. Эта глава призвана помочь менеджерам по управлению финансовыми рисками выявлять, количественно оценивать и эффективно управлять рисками. Подчеркивается важность учета вероятностей в этих задачах.
Глава начинается с определения риска как неопределенности и изменчивости результатов, которые можно измерить с точки зрения вероятностей. В нем подчеркивается количественный характер Книги 2 по сравнению с предыдущей книгой и упоминается использование финансовых и обычных калькуляторов на протяжении всей главы.
Учебные цели главы включают описание, различение, определение и расчет различных понятий, связанных с вероятностью. Одной из таких концепций являются взаимоисключающие события, проиллюстрированные на примере выбора между двумя сантехниками для спринклерной системы для поля для гольфа. Понятие взаимоисключающих событий состоит в том, что выбор одного события исключает появление другого.
В главе также обсуждаются независимые события, которые оцениваются на основе их индивидуальных достоинств и не влияют на принятие или отклонение других результатов. Пример, связанный с погодой и доходностью фондового рынка, представлен для демонстрации независимых событий и их потенциальной взаимосвязи.
Условные вероятности вводятся как вероятности, которые зависят от наступления других событий. Проводится аналогия с личным опытом, таким как вероятность рождения близнецов в зависимости от различных факторов, таких как работа, уровень дохода и брак. В экономическом контексте взаимосвязь между ВВП и процентными ставками используется в качестве примера условной вероятности.
В главе объясняется, как можно вычислить условные вероятности с помощью теоремы Байеса, названной в честь английского статистика Томаса Байеса. Теорема Байеса позволяет предсказать последовательность событий, ведущих к известному результату. Он вводит понятие апостериорных вероятностей, которые представляют собой пересмотренные вероятности, основанные на новой информации.
В тексте приводятся примеры использования теоремы Байеса для определения вероятности членства действующего президента в партии на основе недавно принятого снижения налогов или вероятности сертификации менеджера на основе получения избыточной прибыли.
Глава завершается сводной таблицей обсуждаемых формул, побуждая читателей работать с примерами и запоминать концепции. В нем подчеркивается важность получения большего количества информации для повышения точности прогнозов и принятия решений.
Эта глава, посвященная основам вероятности в количественном анализе, снабжает менеджеров по финансовым рискам необходимыми инструментами для понимания рисков и управления ими. Он сочетает в себе математические принципы с принципами управления рисками, рассмотренными в предыдущей книге, обеспечивая комплексную основу для эффективного управления рисками.
Случайные величины (FRM Часть 1 2023 – Книга 2 – Глава 2)
Случайные величины (FRM Часть 1 2023 – Книга 2 – Глава 2)
В части 1 книги 2 количественного анализа есть глава о случайных величинах. Автор вспоминает о своем опыте в конце 1980-х, когда они изучали Lotus 1-2-3, который впоследствии стал Excel. Они вспоминают генератор случайных чисел внутри мастера функций и то, как увлекательно было генерировать случайные числа. Хотя эти значения были сгенерированы случайным образом, изучение случайных переменных в управлении рисками и финансовых исследованиях обеспечивает более глубокое понимание доходности акций, доходности облигаций, доходности производных ценных бумаг, стоимости портфеля, стоимости под риском и ожидаемого дефицита.
Цель изучения этой главы — создать прочную основу для случайных величин, которую затем можно будет применить к управлению рисками. Цели обучения включают описание, объяснение и характеристику различных понятий, таких как функции масс вероятности (PMF), кумулятивные функции распределения (CDF), ожидания, моменты распределения и различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Кроме того, в главе рассматриваются квантили, подразумевающие деление распределения на равные части, и кратко затрагиваются линейные преобразования.
Случайная величина определяется как любая величина с неопределенными ожидаемыми будущими значениями. Его также можно описать как переменную, возможные значения которой являются результатом случайного явления. Например, прогнозирование цен на акции или стоимости дефолтного свопа предполагает работу со случайными величинами. Этим результатам присваиваются вероятности, которые зависят от конкретного сценария. Например, вероятность того, что цена акции вырастет или упадет на доллар, значительно выше, чем вероятность того, что она поднимется до гораздо более высокого значения, такого как 999, или упадет до нуля.
Для эффективного анализа случайных величин крайне важно присвоить вероятности потенциальным результатам и определить события как конкретные результаты или наборы результатов. Случайные величины можно разделить на дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины имеют счетный набор возможных значений, например, бросание игральной кости с результатами от 1 до 6. С другой стороны, непрерывные случайные величины могут принимать любое значение в пределах заданного интервала и часто представляются гладкими кривыми, такими как время, необходимое для пробежки марафона.
Функции вероятности предоставляют информацию о том, как общий шанс распределяется между возможными значениями случайной величины. Существует два типа функций вероятности: функции массы вероятности (PMF) для дискретных случайных величин и функции плотности вероятности (PDF) для непрерывных случайных величин. PMF дают вероятность того, что случайная величина примет определенное значение, а PDF описывают вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал. Оба типа функций обладают свойствами, обеспечивающими диапазон вероятностей от 0 до 1, а сумма всех вероятностей равна 1.
Кумулятивные функции распределения (CDF) обеспечивают вероятность того, что случайная величина меньше или равна определенному значению. Для дискретных случайных величин функция CDF может быть представлена в виде ступенчатого графика, а для непрерывных случайных величин она выглядит как гладкая кривая. Интегрируя PDF от отрицательной бесконечности до определенного значения, можно рассчитать CDF.
Понимание случайных величин и связанных с ними функций необходимо для управления рисками и финансового анализа. Эти концепции обеспечивают основу для оценки вероятности различных результатов и принятия обоснованных решений.
Функция массы вероятности (PMF) и функция плотности вероятности (PDF) предоставляют нам важную информацию о распределении случайных величин. PMF используется для дискретных случайных величин, где функция дает вероятность того, что случайная величина примет определенное значение. С другой стороны, PDF используется для непрерывных случайных величин и дает вероятность попадания случайной величины в определенный интервал.
Давайте рассмотрим пример случайной величины Бернулли, которая является простой дискретной случайной величиной, которая может принимать только два значения, 0 или 1. Представьте, что у нас есть случайная величина Бернулли, представляющая результат штрафного броска в баскетболе. PMF для этой переменной будет показывать вероятность того, что выстрел будет сделан или пропущен. Если вероятность выстрела равна 0,7, то PMF присвоит вероятность 0,7 значению 1 (выстрел) и вероятность 0,3 значению 0 (промах). Сумма этих вероятностей всегда должна быть равна 1.
Для непрерывных случайных переменных, таких как время, необходимое для пробежки марафона, мы используем PDF. PDF описывает вероятность попадания случайной величины в определенный интервал. Возьмем пример времени марафонского бега, PDF предоставит вероятность завершения марафона в заданном временном диапазоне. Чтобы визуализировать это, мы можем представить себе график, где горизонтальная ось представляет время выполнения, а вертикальная ось представляет плотность вероятности. Площадь под кривой в пределах определенного интервала представляет собой вероятность попадания случайной величины в этот диапазон.
PMF и PDF являются важными инструментами для понимания распределения случайных величин. Они позволяют нам назначать вероятности конкретным значениям или интервалам и дают представление о вероятности различных результатов. Эти концепции имеют основополагающее значение для управления рисками и финансовых исследований, поскольку они помогают нам анализировать и количественно определять неопределенности в различных финансовых переменных, таких как доходность акций, доходность облигаций и стоимость портфеля.
Общие одномерные случайные величины (FRM, часть 1, 2023 г., книга 2, глава 3)
Общие одномерные случайные величины (FRM, часть 1, 2023 г., книга 2, глава 3)
Текст взят из части 1 книги 2 количественного анализа и посвящен главе, посвященной распространенным одномерным случайным величинам. Лично я нахожу эту главу напоминающей то, чему я научился на занятиях по математической экономике и эконометрике во время моей докторской программы. Давайте рассмотрим цели обучения и посмотрим, как они применимы к нам.
Первая цель обучения особенно важна. Это требует от нас различать ключевые свойства среди различных дистрибутивов. Мы проанализируем различные дистрибутивы и выявим их сходства и различия. Ближе к концу мы также углубимся в концепцию распределения смесей.
Начнем с равномерного распределения. В этом распределении все возможные исходы имеют равную вероятность в заданном диапазоне. График равномерного распределения начинается с 0 в левой части и продолжается до X в правой части. Случайная величина, обозначенная как X, может принимать любое значение в этом диапазоне. Примечательно, что минимальное значение называется альфа, а максимальное значение называется бета. Важно отметить, что нет значений между 0 и альфа или между бета и верхней границей диапазона. Классический пример равномерного распределения — бросание шестигранной кости. Каждый исход от 1 до 6 имеет равную вероятность 1/6. Таким образом, значения от альфа до бета равновероятны. В тексте также представлены функция плотности вероятности, среднее значение и формулы дисперсии для равномерного распределения.
Другим обсуждаемым примером является количество времени, которое клиент тратит на ожидание встречи с управляющим портфелем, которое можно равномерно распределить между 0 и 15 минутами.
Двигаясь дальше, мы сталкиваемся с более интригующим распределением Бернулли. Он включает в себя присвоение значений двум возможностям, часто представляющим успех (1) и неудачу (0). Хотя приведенные примеры относятся к успеху или неудаче банков, эти значения могут иметь более широкое толкование. График распределения Бернулли колеблется от 0 до 1, так как вероятность того, что что-то произойдет, должна быть 100%. Вероятность успеха, обозначаемая как P, в данном примере равна 0,7, что означает, что семь из десяти банков преуспеют, а три из десяти потерпят неудачу. В тексте представлены формулы для среднего и стандартного отклонения распределения Бернулли.
Применение распределения Бернулли иллюстрируют различные примеры, такие как успех или неудача в страховании жизни, выплата компанией дивидендов или вообще ничего с равной вероятностью.
Далее мы сталкиваемся с биномиальным распределением, которое находит применение в анализе фиксированного дохода и оценке опционов. Он включает в себя последовательность n независимых и идентичных испытаний Бернулли, каждое из которых имеет одинаковую вероятность успеха, обозначенную как P. Формула количества успехов в этих испытаниях объясняется с использованием факториальной записи. Также представлены среднее значение и стандартное отклонение биномиального распределения. В тексте представлен пример, в котором рассчитывается вероятность того, что по крайней мере девять из десяти банков выживут в случае нехватки наличности, если вероятность выживания составляет 70%.
Затем вводится распределение Пуассона. Он моделирует количество событий, происходящих в определенный интервал времени, предполагая, что время событий является случайным и независимым. Среднее время между событиями известно, а распределение характеризуется параметром лямбда (λ). В тексте представлена функция плотности вероятности и упоминается, что и среднее значение, и дисперсия распределения Пуассона равны λ. Примеры распределения Пуассона включают количество клиентов, прибывающих в банк, голов, забитых футбольной командой, и количество требований, полученных страховой компанией в неделю или месяц. Представлен пример задачи, вычисляющей вероятность того, что компания по управлению активами получит ровно 30 клиентов в год, учитывая среднее значение 2 клиентов в месяц.
В тексте снова рассматривается нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса. Это распределение широко используется в статистическом анализе и моделировании из-за его многих желаемых свойств. График нормального распределения симметричен и имеет форму колокола с пиком на среднем значении. Среднее значение, обозначенное как μ, представляет собой центр распределения, а стандартное отклонение, обозначенное как σ, контролирует разброс или дисперсию данных. В тексте представлена функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения для нормального распределения.
Нормальное распределение часто применяется в финансах и экономике для моделирования доходности акций, процентных ставок и других экономических переменных. Он также используется для проверки гипотез и оценки доверительного интервала. Приведен пример задачи, вычисляющей вероятность того, что доходность акций превысит определенное пороговое значение.
Далее в тексте вводится экспоненциальное распределение, которое моделирует время между событиями в процессе Пуассона. Он характеризуется параметром λ, который представляет скорость возникновения события. Экспоненциальное распределение широко используется в анализе надежности и теории массового обслуживания. В тексте представлена функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения для экспоненциального распределения.
Представлен пример задачи, вычисляющей вероятность того, что клиент будет ждать меньше определенного времени в очереди банка, учитывая среднее время ожидания.
Наконец, в тексте представлено логнормальное распределение, которое получается из нормального распределения путем взятия экспоненты нормально распределенной случайной величины. Логнормальное распределение обычно используется для моделирования цен на акции, доходности активов и других переменных, которые демонстрируют положительную асимметрию и гетероскедастичность. В тексте представлены функция плотности вероятности и кумулятивная функция распределения для логнормального распределения.
Приводится пример задачи, вычисляющей вероятность того, что цена акции превысит определенное значение в будущем, учитывая текущую цену и волатильность.
В этой главе, посвященной обычным одномерным случайным величинам, рассматриваются различные важные распределения, используемые в количественном анализе. Понимание этих распределений и их свойств необходимо для анализа и моделирования данных в финансах, экономике и других областях. Освоив эти концепции, мы можем принимать обоснованные решения и извлекать значимые выводы из данных.
Многомерные случайные величины (FRM, часть 1, 2023 г., книга 2, глава 4)
Многомерные случайные величины (FRM, часть 1, 2023 г., книга 2, глава 4)
В этой главе о многомерных случайных величинах мы исследуем концепцию зависимости между несколькими случайными величинами. Опираясь на предыдущую главу о случайных величинах, мы углубимся в взаимосвязь между ценами на облигации и доходностью к погашению, подчеркнув потенциальное влияние дополнительных факторов на цены на облигации. Мы вводим понятие многомерных случайных величин, расширяя наше понимание функций массы вероятности и функций плотности вероятности для анализа как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Эта глава направлена на расширение наших знаний путем включения дополнительных аспектов в наш анализ, что в конечном итоге улучшает наше понимание портфельного анализа. Ключевые темы, затронутые в этой главе, включают матрицы вероятностей, ожидания функций, ковариацию, корреляцию, преобразования, портфельный анализ, дисперсию, условные ожидания и одинаково и независимо распределенные случайные величины.
Введение. Глава начинается с акцента на концепции многомерных случайных величин, которые объясняют зависимость между двумя или более случайными величинами. Опираясь на пример цен на облигации и доходности к погашению, мы признаем ограничения, связанные с использованием только одной переменной для отражения сложности различных рисков. Мы признаем необходимость учитывать дополнительные факторы, такие как торговля, тарифы, налоги, государственное регулирование и вкусы потребителей, чтобы получить более полное представление о ценах на облигации. Расширяя наш анализ до многомерных случайных величин, мы стремимся учесть взаимодействие между различными факторами и их влияние на изучаемые нами переменные.
Цели обучения: в главе излагаются цели обучения, которые совпадают с целями из предыдущей главы. Эти цели включают в себя понимание матриц вероятностей, изучение ожиданий функций, изучение взаимосвязей между случайными величинами, изучение ковариации и корреляции, анализ преобразований, включение анализа портфеля, изучение дисперсии, исследование условных ожиданий и заключение с обсуждением одинаково и независимо распределенных случайных величин. . Эти цели основываются на наших существующих знаниях и расширяют их до области многомерного анализа.
Многомерные случайные переменные: Многомерные случайные переменные вводятся как переменные, которые фиксируют зависимость между несколькими случайными переменными. В отличие от анализа с одной переменной, многомерный анализ позволяет нам изучить, как эти переменные совместно влияют на интересующую переменную. Мы рассматриваем сценарии, в которых несколько случайных переменных одновременно влияют на переменную, которую мы хотим изучить. В главе приведены примеры, иллюстрирующие, как многомерный анализ улучшает наше понимание сложных взаимосвязей.
Распределения вероятностей: в этой главе снова рассматриваются функции массы вероятности (PMF) и функции плотности вероятности (PDF), представленные в предыдущей главе. В то время как дискретные случайные величины связаны с PMF, непрерывные случайные величины требуют, чтобы PDF точно представляли их распределения вероятностей. Также обсуждается понятие кумулятивной вероятности, позволяющее определить вероятность того, что компонент меньше или равен заданному значению. Используя эти инструменты, мы можем оценить вероятность различных результатов на основе различных распределений, таких как нормальное, экспоненциальное и равномерное.
Двумерное дискретное распределение случайных величин: мы исследуем двумерные дискретные распределения случайных величин, представляющие совместные вероятности между двумя случайными величинами. Визуализация этого распределения в табличной форме обеспечивает более четкое понимание взаимосвязи между переменными. Анализируя условное и предельное распределения, мы получаем представление о вероятностях, связанных с конкретными результатами. Этот анализ помогает нам определить зависимость между переменными и оценить их индивидуальное и комбинированное влияние.
Условные распределения и ожидания. Условные распределения вводятся как средство изучения взаимосвязи между случайными переменными, когда известно значение одной переменной. Обусловливая наш анализ определенным значением переменной, мы можем оценить условные ожидания другой переменной. Этот подход позволяет нам оценить ожидаемый результат в конкретных условиях, проливая свет на влияние различных факторов на интересующую нас переменную. Условные ожидания можно рассчитать, используя предельные вероятности и связанные с ними условные распределения вероятностей.
Измерение взаимосвязи между случайными величинами. В конце главы подчеркивается важность измерения взаимосвязи между случайными величинами. Мы исследуем различные статистические показатели, такие как ковариация и корреляция, которые позволяют нам количественно оценить степень зависимости между случайными величинами.
Ковариация вводится как мера, которая оценивает, насколько изменения одной переменной соответствуют изменениям другой переменной. Он фиксирует направление взаимосвязи (положительное или отрицательное) и степень, в которой переменные движутся вместе. В главе приведены формулы для расчета ковариации как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
Корреляция, с другой стороны, стандартизирует ковариацию, разделив ее на произведение стандартных отклонений переменных. Эта нормализация позволяет сравнить силу связи между переменными по шкале от -1 до 1. Положительная корреляция указывает на прямую связь, отрицательная корреляция указывает на обратную связь, а корреляция, близкая к нулю, предполагает слабую линейную связь или ее отсутствие.
Преобразования случайных величин: в главе исследуется концепция преобразования случайных величин для лучшего анализа их взаимосвязей и распределений. Преобразования могут включать простые математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, или более сложные функции. Применяя соответствующие преобразования, мы часто можем упростить анализ и получить более глубокое представление о поведении переменных.
Портфельный анализ: в главе представлен портфельный анализ как приложение многомерного анализа в финансах. Мы исследуем, как взаимосвязь между различными классами активов, представленная их доходностью, может быть проанализирована с использованием многомерных методов. Особое внимание уделяется концепции диверсификации с акцентом на то, как объединение активов с низкой или отрицательной корреляцией может снизить риск портфеля. Обсуждаются различные меры, такие как дисперсия портфеля и ковариация, для оценки эффективности портфеля и оптимизации распределения активов.
Матрица дисперсии и ковариации. В этой главе рассматривается концепция дисперсии и расширяется ее применение в многомерных условиях. Матрица дисперсии-ковариации, также известная как матрица ковариации, обеспечивает всестороннее представление дисперсий и ковариаций между несколькими случайными величинами. Он служит ключевым инструментом в анализе портфеля и управлении рисками, позволяя рассчитать риск портфеля и определить оптимальное распределение активов.
Условное ожидание: Условное ожидание исследуется как средство оценки ожидаемого значения случайной величины при определенных условиях. Эта концепция позволяет нам включать дополнительную информацию или ограничения в наш анализ и уточнять наши прогнозы. В главе обсуждаются условные ожидания как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, подчеркивая их полезность в задачах принятия решений и прогнозирования.
Одинаково и независимо распределенные случайные величины. Глава завершается обсуждением одинаково и независимо распределенных (iid) случайных величин. Когда набор случайных величин следует одному и тому же распределению и является независимым друг от друга, говорят, что они случайные. Эта концепция важна в различных статистических анализах и моделях. В главе исследуются свойства и последствия iid случайных величин, подчеркивая их актуальность в теории вероятностей и статистических выводах.
Резюме: Глава о многомерном анализе и зависимости случайных величин расширяет наше понимание вероятности и статистики, рассматривая совместное поведение нескольких переменных. Включая дополнительные измерения в наш анализ, мы можем лучше фиксировать сложные отношения и зависимости между переменными. В главе рассматриваются различные темы, в том числе матрицы вероятностей, ожидания функций, ковариация, корреляция, преобразования, портфельный анализ, матрица дисперсии-ковариации, условные ожидания и случайные величины iid. Эти концепции дают нам инструменты для анализа многомерных данных, принятия обоснованных решений и более глубокого понимания лежащей в основе динамики случайных величин.
Примеры моментов (FRM Часть 1 2023 – Книга 2 – Глава 5)
Примеры моментов (FRM Часть 1 2023 – Книга 2 – Глава 5)
Глава под названием «Моменты выборки» в Части 1 Книги 2 «Количественного анализа» посвящена концепции выборок и их моментов. Как известно постоянным зрителям моих видео, я предпочитаю приводить интригующие примеры, которые не только актуальны, но и служат нашей цели. Кому-то они могут показаться глупыми, но в контексте нашего обсуждения они имеют большое значение. Чтобы начать эту главу, я поделюсь вводным примером, который вращается вокруг грейпфрута, который оказался моим личным фаворитом.
Изучение семян грейпфрута: мне не только нравится есть грейпфрут, но я также получаю удовольствие от того, что нарезаю его для своих детей. Они наслаждаются его вкусом, и это, несомненно, полезно для их здоровья. Однако затруднительное положение возникает, когда мы разрезаем грейпфрут и обнаруживаем в нем множество семян. Предположим, что мы исследователи, заинтересованные в том, чтобы понять, сколько семян в грейпфруте. Чтобы расследовать это, мы отправляемся в путешествие, чтобы закупить тысячи грейпфрутов в продовольственном магазине. Вернувшись домой, мы тщательно разрезаем каждый грейпфрут, но находим разное количество семян. Некоторые грейпфруты имеют 3 или 4 семени, в то время как другие имеют 6 или 7, а некоторые даже содержат 10 или 12 семян.
Запись выборочных данных. Имея в своем распоряжении тысячу грейпфрутов, мы старательно записываем количество семян в каждом фрукте. Однако вся эта выборка может не дать нам обширной информации. Он предлагает примерный диапазон и общее представление о том, чего следует ожидать при разрезании грейпфрута. Чтобы углубиться, мы должны переключить внимание на вторую часть названия главы: моменты. Мы стремимся исследовать моменты этого образца, которые могут рассказать нам о будущем потреблении грейпфрута и ожидаемом количестве семян. Первый момент, с которым мы сталкиваемся, — это среднее или среднее. Разделив сумму семян в нашей тысяче грейпфрутов на тысячу, мы можем получить в среднем, скажем, пять семян.
Рассмотрение нескольких моментов: Однако мы должны признать, что каждый раз, когда мы разрезаем новый грейпфрут, мы не можем получить ровно пять семян. Мы можем получить три семени, или семь семечек, или любое другое количество. Следовательно, необходимо учитывать и другие моменты. Подводя итог, ключевой вывод из этого первоначального и, казалось бы, тривиального примера заключается в том, что моменты (которых в этой главе будут рассмотрены четыре) дают представление о распределении выборки. Вооружившись этими знаниями, мы можем принимать обоснованные решения относительно потребления грейпфрутов в будущем и ожидаемого количества семян.
Цели обучения: Теперь давайте переключим внимание на цели обучения, изложенные в этой главе. Интересно, что в этих целях грейпфрут прямо не упоминается, и я считаю, что мы все можем быть благодарны за это. Итак, что ждет впереди? Мы займемся множеством оценок, включающих среднее значение, моменты совокупности, моменты выборки, оценки и оценки. Мы оценим, проявляют ли эти моменты предвзятость или нет. Например, если в нашем образце грейпфрута мы встретим момент, предполагающий, что каждый третий грейпфрут будет содержать 50 семян, это покажется маловероятным и далеким от наших разумных ожиданий относительно семян грейпфрута. Следовательно, мы должны быть осторожны с предвзятыми моментами. Кроме того, мы изучим центральную предельную теорему и перейдем к изучению третьего и четвертого моментов распределения, а именно асимметрии и эксцесса. Наконец, мы углубимся в коварианты, корреляцию, совместную асимметрию и совместный эксцесс, которые обещают сделать эту презентацию восхитительной и познавательной.
Вывод: изучение случайных величин выходит за рамки анализа отдельных переменных. Он включает в себя изучение взаимосвязей, зависимостей и распределений нескольких переменных.
Понимая эти концепции, исследователи и аналитики могут получить ценную информацию о поведении и взаимодействии сложных систем. В следующих разделах этой главы мы продолжим изучение значения различных моментов и их применения в статистическом анализе.
Медиана и межквартильный диапазон. Рассматриваемой темой является медиана и ее значение, особенно в исследованиях. Исследователи, в том числе в области финансов, заинтересованы в изучении межквартильного диапазона, который предполагает разделение данных на четыре части и сосредоточение внимания на средней части. Однако нам, как менеджерам по финансовым рискам, крайне важно также учитывать левый хвост распределения. Именно здесь вступает в действие концепция стоимости под угрозой (VaR), но мы углубимся в нее позже. А пока давайте потратим некоторое время на обсуждение медианы.
Вычисление медианы. Вычисление медианы интригует, потому что оно зависит от количества наблюдений. Например, если у нас есть три грейпфрута с разным количеством семян (3, 5 и 7), медианой будет среднее значение, равное 5. В выборках нечетного размера медиана — это просто среднее наблюдение. Однако при четном числе наблюдений мы берем среднее из двух средних значений. В нашем примере с двумя грейпфрутами с количеством семян 5 и 7 медиана будет (5 + 7) / 2 = 6.
Надежность медианы: важно отметить, что медиана может не соответствовать фактическому наблюдению в наборе данных, особенно при работе с выборками четного размера. Кроме того, на медиану не влияют экстремальные значения, что делает ее надежной мерой. Кроме того, он служит средней точкой, особенно для больших чисел.
Выходя за рамки отдельных переменных: до сих пор мы фокусировались на моментах распределения. Однако нам также необходимо понимать левую и правую части среднего значения. Это приводит нас к центральной предельной теореме, которая дает представление о поведении случайных выборок. Когда мы берем большую выборку из совокупности, например, 1000 наблюдений, распределение среднего значения выборки приближается к нормальному распределению. По мере дальнейшего увеличения размера выборки распределение выборочного среднего становится еще ближе к нормальному распределению. В нашем случае мы можем взять тысячу наблюдений из разных хранилищ, что позволит нам рассчитать выборочные средние и аппроксимировать выборочное распределение.
Распределение выборки и аппроксимация: Подводя итог, можно сказать, что если выборка распределена нормально, выборочное распределение выборочных средних также будет нормальным. Однако, когда совокупность выборки примерно симметрична, распределение выборки становится примерно нормальным, особенно для небольших размеров выборки. Однако при введении асимметрии в данные обычно требуется размер выборки 30 или более, чтобы распределение выборки стало приблизительно нормальным.
Практическое применение: оценка вероятности. Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим пример. Предположим, у нас есть шины определенной марки со средним сроком службы 30 000 километров и стандартным отклонением 3 600 километров. Мы хотим определить вероятность того, что средний срок службы 81 шины будет меньше 29 200 километров. Рассчитав z-показатель с использованием предоставленной информации и z-таблицы, мы находим вероятность примерно 0,02275, или 2,275%. Это указывает на то, что вероятность испытать средний срок службы менее 29 200 километров относительно низка.
Зависимость и взаимосвязь между переменными. До сих пор мы изучали отдельные случайные величины. Однако нас часто интересует изучение взаимосвязи между двумя переменными, такими как процентные ставки и инфляция. Эти две переменные случайны и, вероятно, демонстрируют высокую степень корреляции. Чтобы оценить эту связь, мы используем ковариацию, которая измеряет совместную изменчивость двух случайных величин во времени. Умножая разницу между каждым наблюдением и соответствующим средним значением для обеих переменных, мы можем вычислить ковариацию.
Ковариация: Ковариация между двумя переменными, X и Y, может быть рассчитана по следующей формуле:
cov(X, Y) = Σ((X - µX)(Y - µY)) / (n - 1)
где X и Y — переменные, μX и μY — их соответствующие средние значения, а n — количество наблюдений.
Знак ковариации указывает на направление связи между переменными. Если ковариация положительна, это предполагает положительную связь, а это означает, что по мере увеличения одной переменной увеличивается и другая. И наоборот, отрицательная ковариация указывает на отрицательную связь, когда по мере увеличения одной переменной другая имеет тенденцию к уменьшению.
Однако сама по себе величина ковариации не дает четкой оценки силы взаимосвязи между переменными, поскольку на нее влияют масштабы переменных. Чтобы преодолеть это ограничение и лучше понять силу связи, мы можем использовать коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции, обозначаемый буквой r, измеряет силу и направление линейной зависимости между двумя переменными. Это стандартизированная мера, которая находится в диапазоне от -1 до 1.
Формула для расчета коэффициента корреляции:
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
где cov(X, Y) — ковариация между X и Y, а σX и σY — стандартные отклонения X и Y соответственно.
Коэффициент корреляции дает ценную информацию о взаимосвязи между переменными. Если коэффициент корреляции близок к 1 или -1, это указывает на сильную линейную зависимость. Коэффициент корреляции, равный 1, указывает на идеальную положительную линейную зависимость, а -1 указывает на идеальную отрицательную линейную зависимость. Коэффициент корреляции, близкий к 0, предполагает слабую линейную связь между переменными или ее отсутствие.
Важно отметить, что корреляция не подразумевает причинно-следственной связи. Даже если две переменные сильно коррелированы, это не обязательно означает, что одна переменная вызывает изменение другой. Корреляция просто количественно определяет степень, в которой две переменные движутся вместе.
Понимание взаимосвязи между переменными с помощью ковариационного и корреляционного анализа позволяет исследователям и аналитикам получить представление о закономерностях, зависимостях и потенциальной прогностической силе между различными факторами. Эти меры широко используются в различных областях, в том числе в финансах, экономике, социальных науках и многих других, для изучения взаимосвязей между переменными и принятия обоснованных решений.