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Fatoriais, Permutações e Combinações
Fatoriais, Permutações e Combinações
Olá pessoal, hoje vamos explorar os conceitos de contagem, incluindo fatoriais, permutações e combinações. Tudo se resume ao princípio fundamental da contagem, que afirma que se um evento pode ocorrer de M maneiras e o segundo evento pode ocorrer de N maneiras, então os dois eventos em sequência podem ocorrer em um total de M vezes N maneiras. É importante ressaltar que o resultado do primeiro evento não afeta o número de resultados possíveis para o segundo evento.
Vamos começar com um exemplo. Suponha que um cardápio inclua 6 saladas e 8 sopas. Quantas combinações de sopa e salada são possíveis? Primeiro, escolhemos uma salada, o que nos dá 6 possibilidades. Para cada uma dessas escolhas, existem 8 sopas possíveis. Portanto, acabamos com 6 grupos de 8, resultando em um total de 48 combinações possíveis.
Essa ideia se estende a sequências mais longas de eventos. Por exemplo, se um cardápio inclui 6 saladas, 8 sopas, 15 entradas e 3 sobremesas, então há 6 vezes 8 vezes 15 vezes 3, o que equivale a 2.160 refeições possíveis.
Às vezes, precisamos contar o número de maneiras pelas quais objetos, pessoas ou coisas podem ser arranjados. Por exemplo, de quantas maneiras diferentes um grupo de 4 pessoas pode ficar na fila? Podemos usar o princípio fundamental da contagem novamente. Existem 4 opções diferentes para a primeira pessoa da fila, 3 opções para a segunda pessoa, 2 opções para a terceira e 1 opção para a quarta. Multiplicando esses números, descobrimos que há 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, o que equivale a 24 maneiras pelas quais as 4 pessoas podem ser dispostas na fila. Esse cálculo é tão comum que damos a ele um nome especial: fatorial.
Em geral, o fatorial de um número N, denotado como N!, é o produto dos primeiros N inteiros positivos. Por exemplo, 3! é 1 vezes 2 vezes 3, 5! é 1 vezes 2 vezes 3 vezes 4 vezes 5, e assim por diante. O fatorial cresce rapidamente, ainda mais rápido que o crescimento exponencial. Por exemplo, 10! já é mais de 3 milhões.
Vamos considerar um exemplo um pouco mais complexo. Suponha que 12 cavalos participem de uma corrida e queremos saber de quantas maneiras diferentes eles podem vencer, classificar e exibir, ou seja, as três primeiras posições. Podemos aplicar o princípio fundamental da contagem mais uma vez. Existem 12 possíveis vencedores, 11 possíveis segundos lugares e 10 possíveis terceiros lugares. Multiplicando esses números, descobrimos que há 12 vezes 11 vezes 10, resultando em 1.320 combinações possíveis.
Para generalizar isso, suponha que temos N itens e queremos contar o número de arranjos para os primeiros K itens. Usando o princípio da contagem fundamental, existem N escolhas para o primeiro item, N - 1 escolhas para o segundo, e assim por diante, até termos K termos no total. O último termo será N - K + 1. Denotamos isso como NPK, que é igual a N fatorial dividido por (N - K) fatorial.
Outra situação surge quando queremos contar o número de maneiras pelas quais podemos selecionar grupos de K objetos sem considerar sua ordem. Isso se chama combinações. Por exemplo, se três dos doze cavalos em uma corrida são selecionados aleatoriamente para testes de drogas, de quantas maneiras os cavalos podem ser escolhidos? Nesse caso, a ordem não importa. Usamos a notação NCk, que representa o número de maneiras pelas quais K coisas podem ser escolhidas de um total de N coisas sem considerar a ordem. Para calcular isso, usamos a fórmula N, escolha K = NPK /(K fatorial). No exemplo dado, precisamos calcular 12 escolha 3. Para fazer isso, podemos aplicar um pouco de manipulação algébrica. Podemos reescrever 12 escolher 3 como 12 permutar 3 dividido por 3 fatorial. Simplificando ainda mais, temos 12! / (12 - 3)! * 3!. Depois de realizar os cálculos, descobrimos que 12 escolhem 3 é igual a 220. Portanto, existem 220 maneiras de escolher 3 cavalos dos 12 para testes aleatórios de drogas.
Em geral, podemos expressar N escolher K como N fatorial dividido por (N - K) fatorial vezes K fatorial. Esta fórmula nos permite calcular o número de combinações para vários cenários.
Ao lidar com permutações e combinações, a pergunta crucial a ser feita é se a ordem é importante. Se a ordem importa, é um problema de permutação. Se a ordem não importa, é um problema de combinação.
Vamos explorar alguns exemplos. Suponha que queremos formar um comitê de quatro pessoas de uma turma de vinte alunos. Nesse caso, a ordem de seleção não importa, então precisamos calcular 20 escolha 4. Usando a fórmula, descobrimos que 20 escolha 4 é igual a 20! / (20 - 4)! * 4!, que simplifica para 48.845. Portanto, existem 48.845 maneiras de formar uma comissão de quatro pessoas de uma turma de vinte alunos.
Agora, vamos considerar outro cenário. Se o comitê de quatro pessoas tiver que incluir um presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro, a ordem de seleção é importante. Aqui, precisamos calcular 20 permutar 4, que é 20! / (20 - 4)!. Após realizar os cálculos, descobrimos que existem 116.280 arranjos possíveis.
Em uma situação um pouco diferente, vamos supor que uma comissão de quatro pessoas precise ser formada a partir de uma turma de vinte alunos, e uma pessoa deva ser designada como presidente. Este é um problema híbrido envolvendo duas etapas. Primeiro, selecionamos o presidente, o que pode ser feito de 20 maneiras diferentes. Em seguida, escolhemos os três membros restantes do comitê, onde a ordem não importa. Isso corresponde a 19, escolha 3. Portanto, o número total de possibilidades é 20 vezes (19, escolha 3). Depois de calcular isso, descobrimos que existem 19.382 resultados possíveis.
Em resumo, as permutações e combinações envolvem a contagem do número de maneiras pelas quais os eventos podem ocorrer ou os objetos podem ser organizados. Entender se a ordem importa ou não é crucial para determinar o método apropriado para resolver o problema. Aplicando o princípio fundamental da contagem e utilizando as fórmulas para permutações e combinações, podemos efetivamente contar as possibilidades em vários cenários.
Probabilidade condicional e a regra da multiplicação
Probabilidade condicional e a regra da multiplicação
Olá pessoal, hoje vamos nos aprofundar no conceito de probabilidade condicional e na regra da multiplicação. Vamos começar ilustrando a ideia de probabilidade condicional usando um exemplo.
Em um estudo, um pesquisador contatou 1.250 adultos e perguntou a cada um se eles preferiam cães ou gatos. Para começar, vamos calcular a probabilidade de selecionar aleatoriamente um respondente desta amostra que prefere cachorros. Dos 1.250 entrevistados, 589 preferem cachorros. Portanto, a probabilidade de selecionar aleatoriamente alguém que prefere cães é de 589/1.250, o que equivale a 0,471 ou 47,1%.
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de um entrevistado com mais de 55 anos preferir cachorros a gatos. Nós nos concentramos na coluna "55+" na tabela. Nesta coluna, há 143 adultos que preferem cães de um total de 325 indivíduos. Portanto, a probabilidade de selecionar aleatoriamente alguém dessa coluna que prefere cachorros é de 143/325, que é aproximadamente 0,44 ou 44%.
Observe que as duas probabilidades não são iguais. Isso destaca o conceito de probabilidade condicional, que é definida como a probabilidade do evento B ocorrer quando já sabemos que o evento A ocorreu. Em nosso exemplo, calculamos não apenas a probabilidade do evento B (preferir cães), mas também a probabilidade de B dado A (preferir cães dado que o respondente tem mais de 55 anos).
Vamos considerar outro exemplo envolvendo probabilidade condicional. Temos um baralho e dele retiramos duas cartas sem reposição. Se a primeira carta retirada for um rei, queremos determinar a probabilidade de que a segunda carta retirada também seja um rei. Aqui, temos dois eventos: A é o evento em que a primeira carta retirada é um rei e B é o evento em que a segunda carta é um rei.
Se ocorrer o primeiro evento (compramos um rei), agora temos 51 cartas restantes, das quais três são reis. Portanto, a probabilidade de tirar um segundo rei é 3/51, que é aproximadamente 0,059 ou 5,9%. É importante observar que essa probabilidade é diferente da probabilidade da primeira carta ser um rei, que seria 4/52 ou 0,077.
A probabilidade condicional é particularmente útil quando queremos calcular a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram. É aqui que a regra da multiplicação entra em jogo. A probabilidade de que os eventos A e B ocorram em sequência é dada pela fórmula: P(A e B) = P(A) × P(B|A). Nós a interpretamos como a probabilidade do primeiro evento ocorrer multiplicada pela probabilidade do segundo evento ocorrer, assumindo que o primeiro evento já aconteceu.
Por exemplo, vamos calcular a probabilidade de retirar dois reis de um baralho padrão sem reposição. A probabilidade da primeira carta ser um rei é 4/52, e a probabilidade da segunda carta ser um rei, dado que a primeira carta é um rei, é 3/51. Multiplicando essas probabilidades, descobrimos que a probabilidade de ambas as cartas serem reis é de aproximadamente 0,0045 ou 0,45%.
Agora, vamos considerar o cenário em que um cliente pede uma bebida alcoólica e um aperitivo em um restaurante. Observamos que a probabilidade de um cliente pedir bebida alcoólica (evento A) é de 40%, a probabilidade de pedir um aperitivo (evento B) é de 30% e a probabilidade de pedir bebida alcoólica e um aperitivo (eventos A e B) é 20%.
Para calcular a probabilidade condicional de pedir álcool dado que o cliente pediu um aperitivo (P(A|B)), podemos usar a regra de multiplicação. Colocando os valores dados, temos P(A e B) = 20%, P(B) = 30%. Ao reorganizar a fórmula da regra de multiplicação, podemos resolver para P(A|B):
P(A|B) = P(A e B) / P(B)
Substituindo os valores dados, temos P(A|B) = 20% / 30% = 2/3 ou aproximadamente 0,667. Portanto, a probabilidade de um cliente pedir bebida alcoólica dado que pediu um aperitivo é de dois terços.
Da mesma forma, vamos calcular a probabilidade de pedir um aperitivo dado que o cliente pediu álcool (P(B|A)). Novamente, usando a regra da multiplicação, temos:
P(B|A) = P(A e B) / P(A)
Substituindo os valores dados, temos P(B|A) = 20% / 40% = 1/2 ou 0,5. Assim, a probabilidade de um cliente pedir um aperitivo dado que pediu álcool é de metade.
É importante observar que essas duas probabilidades condicionais são diferentes, indicando que os eventos de pedir álcool e pedir um aperitivo são dependentes. O fato de P(A|B) não ser igual a P(A) e P(B|A) não ser igual a P(B) sugere que saber se um evento ocorreu fornece informações sobre a probabilidade de ocorrência do outro evento.
Agora, vamos considerar alguns exemplos para determinar se os pares de eventos listados são independentes ou não:
Ter diabetes se ambos os pais tiverem diabetes: esses eventos são dependentes. Se ambos os pais têm diabetes, a probabilidade de um indivíduo desenvolver diabetes aumenta. No entanto, não é certo que o indivíduo desenvolva diabetes, e ainda é possível desenvolver diabetes sem um histórico familiar da doença.
Obter um cinco no primeiro lançamento de um dado padrão e obter um quatro no segundo lançamento: esses eventos são independentes. O resultado do primeiro lançamento não fornece nenhuma informação sobre o resultado do segundo lançamento. A probabilidade de rolar um cinco e um quatro em um dado justo é de 1/6 para cada evento.
Fumar cigarros e ter câncer de pulmão: esses eventos são dependentes. Fumar cigarros aumenta a probabilidade de desenvolver câncer de pulmão. No entanto, não é uma certeza, e indivíduos que não fumam ainda podem desenvolver câncer de pulmão.
Duas cartas retiradas de um baralho padrão sem reposição e ambas as cartas são ases: Esses eventos são dependentes. A probabilidade de tirar a segunda carta como um ás depende se a primeira carta tirada foi um ás. A probabilidade de ambas as cartas serem ases é menor do que a probabilidade da primeira carta ser um ás.
Duas cartas retiradas de um baralho padrão com reposição, e ambas as cartas são ases: Esses eventos são independentes. Substituir a carta após a primeira compra elimina qualquer influência ou informação obtida da primeira carta. A probabilidade de tirar um ás permanece a mesma para ambas as cartas.
Em geral, dois eventos são considerados independentes se a probabilidade de um evento ocorrer dada a ocorrência do outro evento for igual à probabilidade do evento ocorrer independentemente. Quando as probabilidades diferem, os eventos são dependentes.
Por fim, vamos analisar um cenário envolvendo um gerente estudando a precisão dos pedidos em um restaurante. O gerente examina 960 pedidos de diferentes refeições e horários do dia para determinar as probabilidades.
Questão 1: A probabilidade de um pedido selecionado aleatoriamente desse conjunto de dados ter sido atendido corretamente pode ser calculada da seguinte forma: Existem 842 pedidos que foram atendidos corretamente de um total de 960 pedidos. Assim, a probabilidade é 842/960, o que equivale a aproximadamente 0,877 ou 87,7%.
Questão 2: Para encontrar a probabilidade de que um pedido de jantar selecionado aleatoriamente tenha sido atendido corretamente, consideramos a probabilidade condicional. Entre os pedidos de jantar, há 249 pedidos atendidos corretamente de um total de 280 pedidos de jantar. Portanto, a probabilidade é 249/280, que é aproximadamente 0,889 ou 88,9%.
Questão 3: Para determinar se selecionar aleatoriamente um pedido correto é independente de selecionar aleatoriamente um pedido de jantar, comparamos a probabilidade condicional P(A|B) com a probabilidade P(A). Nesse caso, P(A|B) é 0,889 (conforme calculado na pergunta anterior) e P(A) é 0,877 (da primeira pergunta). Como as duas probabilidades não são iguais, podemos concluir que selecionar aleatoriamente um pedido correto não é independente de selecionar aleatoriamente um pedido de jantar.
É importante observar que, neste exemplo, consideramos a probabilidade clássica, que envolve o cálculo de probabilidades com base no conjunto de dados fornecido. A questão de saber se as observações futuras dessas variáveis serão independentes é mais complexa e requer análise estatística, como o teste qui-quadrado. Determinar empiricamente a independência dos eventos envolve avaliar a presença de variabilidade aleatória e analisar um tamanho de amostra maior.
Uma Introdução às Variáveis Aleatórias
Uma Introdução às Variáveis Aleatórias
Olá a todos, hoje estamos nos aprofundando no conceito de variáveis aleatórias. Uma variável aleatória é uma variável definida ao longo de algum processo probabilístico, onde o resultado do processo é representado por um valor numérico. Vamos explorar alguns exemplos para obter uma melhor compreensão.
Considere o cenário de jogar dois dados e obter a soma deles. A soma dos dados pode ser considerada uma variável aleatória. Outro exemplo é jogar uma moeda 50 vezes e contar o número de caras. A contagem de caras obtida neste experimento também é uma variável aleatória. Da mesma forma, medir a altura exata de uma pessoa selecionada aleatoriamente na cidade de Chicago ou medir o comprimento de uma erupção do gêiser Old Faithful são exemplos de variáveis aleatórias.
É importante observar que nem todos os resultados de um experimento probabilístico são variáveis aleatórias. Por exemplo, o sexo de um cachorro selecionado aleatoriamente em um abrigo para cães ou a cor dos olhos de um senador americano escolhido aleatoriamente são resultados que não se enquadram na categoria de variáveis aleatórias. Estes são dados categóricos, pois não são numéricos e não definem variáveis aleatórias.
Existem dois tipos fundamentais de variáveis aleatórias: discretas e contínuas. As variáveis aleatórias contínuas assumem seus valores dentro de um intervalo específico, como o comprimento exato de uma erupção ou a altura exata de uma pessoa selecionada aleatoriamente. Esses valores podem incluir frações e decimais para qualquer nível de precisão desejado. Por outro lado, variáveis aleatórias discretas têm valores que podem ser listados individualmente, como 1, 2, 3, 4 ou 5.
Quando uma variável aleatória tem um número finito de resultados possíveis, podemos construir uma tabela que liste todos esses resultados junto com suas probabilidades correspondentes. Essa tabela é chamada de distribuição de probabilidade discreta. Vamos considerar um exemplo em que jogamos uma moeda três vezes e contamos o número de caras obtidas. Os resultados possíveis são 0, 1, 2 ou 3 caras, e atribuímos probabilidades a cada resultado. Por exemplo, há uma chance de 1 em 8 de não obter cara, e as probabilidades diminuem ou aumentam de acordo.
A construção de uma distribuição de probabilidade discreta também pode ser feita usando dados. Suponha que pesquisemos uma amostra aleatória de 100 adultos nos Estados Unidos e perguntemos quantas vezes eles jantaram fora em uma semana, com respostas variando de 0 a 5. Podemos calcular as probabilidades de selecionar indivíduos que se enquadram em cada categoria dividindo o número de pessoas nessa categoria pelo tamanho total da amostra, que é 100. Isso resulta em uma distribuição de probabilidade que mostra todos os resultados possíveis da variável aleatória (número de vezes que comeu fora de casa) junto com suas respectivas probabilidades.
Para representar visualmente distribuições de probabilidade discretas, podemos desenhar histogramas de probabilidade. Continuando com o exemplo anterior, podemos criar um histograma com as categorias 0, 1, 2, 3, 4 e 5 no eixo x e as probabilidades correspondentes como alturas das barras. Por exemplo, se a probabilidade de fazer zero refeições fora na última semana for 0,49, traçamos uma barra na altura de 0,49 para a categoria x=0. A forma desse histograma de probabilidade seria idêntica à forma de um histograma de distribuição de frequência para os mesmos dados.
Em resumo, variáveis aleatórias são valores numéricos que representam os resultados de experimentos probabilísticos. Eles podem ser discretos ou contínuos. Variáveis aleatórias discretas têm um número finito de resultados possíveis e suas probabilidades podem ser representadas usando uma distribuição de probabilidade discreta. Os histogramas de probabilidade são úteis para representar visualmente distribuições de probabilidade discretas e entender a probabilidade de resultados diferentes.
Histogramas de probabilidade em R
Histogramas de probabilidade em R
Olá pessoal! Hoje, exploraremos o processo de construção de belos histogramas de probabilidade em R usando o comando qplot. Vamos percorrer alguns exemplos.
Em nosso primeiro exemplo, temos uma variável aleatória discreta chamada X, que pode assumir valores de 1 a 6, juntamente com suas respectivas probabilidades. Para começar, vamos inserir os dados e gerar o histograma em R.
Começamos definindo a variável X, que pode assumir valores de 1 a 6. Podemos usar o operador de dois pontos abreviado, 1:6, para fazer isso. Agora, nossa variável X contém os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Em seguida, criamos um vetor para armazenar as probabilidades correspondentes. Nesse caso, as probabilidades para os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são 0,15, 0,1, 0,1, 0,4, 0,2 e 0,05, respectivamente. É importante observar que a ordem das probabilidades deve corresponder à ordem dos valores correspondentes.
Para garantir que inserimos os dados corretamente, podemos realizar uma verificação rápida calculando a soma de todas as probabilidades. A soma deve ser sempre 1 se tivermos uma distribuição de probabilidade discreta legítima. Nesse caso, a soma é de fato 1, indicando que os dados foram inseridos corretamente.
Agora, vamos gerar o histograma de probabilidade. Usaremos a função qplot e especificaremos a variável X para o eixo x. Também precisamos deixar R saber como ponderar os valores usando as probabilidades, que fornecemos como argumento de altura. Finalmente, especificamos o tipo de gráfico, que é um histograma neste caso.
Ao gerar o histograma, notamos que as barras não estão se tocando. Em um histograma de probabilidade, os valores adjacentes devem ter barras que se tocam, significando sua relação. Para corrigir isso, podemos especificar o número de compartimentos para ser igual ao número de valores que temos. Nesse caso, temos seis valores, então definimos o número de compartimentos para seis.
Agora o histograma está começando a tomar forma. No entanto, para aumentar seu apelo visual, podemos adicionar alguma distinção entre as barras. Conseguimos isso especificando uma cor de limite para as barras. Neste caso, usamos a cor preta.
Passando para o segundo exemplo, continuamos com o processo de criação de um histograma de probabilidade. Desta vez, temos uma variável aleatória chamada Y, que pode assumir os valores 15, 16, 18, 19 e 20. Também temos probabilidades correspondentes para esses valores, exceto para 17, que tem probabilidade 0, pois é não é um resultado possível.
Seguimos os mesmos passos de antes, inserindo os dados e gerando o histograma usando a função qplot. No entanto, desta vez notamos que há um balde vazio em Y igual a 17, indicando uma probabilidade de zero. Para capturar essas informações com precisão, queremos usar seis compartimentos, permitindo um compartimento vazio em Y igual a 17.
Podemos aprimorar ainda mais a estética do histograma adicionando uma cor de contorno e uma cor interna para as barras. Por exemplo, podemos definir a cor do limite como azul escuro e a cor de preenchimento como azul normal. Além disso, podemos personalizar o rótulo do eixo y para indicar que ele representa probabilidades e alterar o rótulo do eixo x para simplesmente "valores", pois esse é um conjunto de dados abstrato.
Com esses ajustes, nosso histograma de probabilidade parece mais profissional. Claro, podemos continuar ajustando as cores e rótulos para obter a apresentação visual desejada. É assim que construímos um elegante histograma de probabilidade em R.
Trabalhando com Variáveis Aleatórias Discretas
Trabalhando com Variáveis Aleatórias Discretas
Olá pessoal! Hoje, iremos explorar o conceito de variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidade discretas. Uma variável aleatória é uma variável cujo valor é determinado por um processo aleatório. No caso de uma variável aleatória discreta, os resultados possíveis podem ser listados, resultando em uma distribuição de probabilidade discreta.
Vamos considerar um exemplo para ilustrar esse conceito. Imagine que temos uma casa com 16 cômodos e selecionamos aleatoriamente um cômodo para contar o número de janelas que ele possui. O número de janelas pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4, cada uma com probabilidades correspondentes de 3/16, 5/16 e assim por diante. Isso representa uma distribuição de probabilidade discreta, que consiste em todos os resultados possíveis e suas probabilidades associadas.
Existem duas propriedades importantes de variáveis aleatórias discretas e distribuições de probabilidade discretas. Em primeiro lugar, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a um. Isso garante que algo sempre acontecerá, pois as probabilidades abrangem todos os resultados possíveis. No nosso exemplo, se somarmos todas as probabilidades, obtemos 16/16 ou um.
Em segundo lugar, ao lidar com distribuições de probabilidade discretas, as probabilidades podem ser adicionadas. Por exemplo, se quisermos encontrar a probabilidade de X ser 3 ou 4, podemos calcular a probabilidade de X ser 3 e a probabilidade de X ser 4 e, em seguida, somá-las. Nesse caso, a probabilidade é 3/16 + 1/16 = 4/16 = 1/4.
Vamos prosseguir com alguns problemas de exemplo. Considere outra distribuição de probabilidade discreta envolvendo uma variável aleatória Y com cinco resultados possíveis: 5, 10, 25, 50 e 200. Temos probabilidades para quatro desses resultados e precisamos encontrar a probabilidade para o quinto resultado.
Como a soma de todas as probabilidades deve ser igual a um, podemos deduzir a probabilidade ausente. Subtraindo a soma das probabilidades conhecidas (0,04 + 0,12 + 0,18 + 0,45) de um, descobrimos que a probabilidade de Y ser 200 é 0,21.
Agora, vamos realizar alguns cálculos usando a mesma distribuição de probabilidade discreta. Primeiro, queremos encontrar a probabilidade de Y ser menor ou igual a 10. Isso envolve a soma das probabilidades de Y igual a 5 e Y igual a 10, o que resulta em 0,04 + 0,12 = 0,16.
Em seguida, estamos interessados na probabilidade de Y ser um número ímpar. Nesse caso, temos dois resultados: Y igual a 5 e Y igual a 25. Somando suas probabilidades, obtemos 0,04 + 0,18 = 0,22.
Por fim, vamos determinar a probabilidade de Y ser maior que 5. Em vez de somar diretamente as probabilidades de Y igual a 10, 25, 50 e 200, podemos usar um atalho. Consideramos o evento complementar: a probabilidade de Y não ser maior que 5. Subtraindo a probabilidade de Y ser menor ou igual a 5 (0,04) de 1, obtemos 1 - 0,04 = 0,96.
Esses exemplos demonstram como calcular probabilidades e utilizar eventos complementares no contexto de distribuições de probabilidades discretas.
Variáveis aleatórias: média, variância e desvio padrão
Variáveis aleatórias: média, variância e desvio padrão
Olá pessoal! Hoje, discutiremos variáveis aleatórias e suas medidas de tendência central e dispersão, ou seja, média, variância e desvio padrão. Podemos descrever o centro e a dispersão de uma variável aleatória de maneira semelhante à que fazemos com dados numéricos.
Vamos considerar um exemplo de uma distribuição de probabilidade discreta. Imagine que realizamos uma pesquisa em que perguntamos aleatoriamente às pessoas sobre o número de jantares que elas comeram na semana anterior. A distribuição mostra que aproximadamente 49% dos entrevistados não comeram fora, cerca de 22% comeram fora uma vez e assim por diante. Podemos visualizar essa distribuição usando um histograma de probabilidade. Observando o histograma, é intuitivo discutir o centro e a dispersão dessa variável aleatória.
Para ser mais específico, vamos interpretar nossas descobertas com base no histograma. O valor esperado ou média de uma variável aleatória é determinado multiplicando cada valor da variável aleatória por sua probabilidade correspondente e somando os resultados. Essa média ponderada representa o centro da variável aleatória. Referindo-se à nossa distribuição de probabilidade discreta anterior, calculamos o valor esperado multiplicando cada valor (0, 1, 2, etc.) por sua respectiva probabilidade (0,49, 0,22, etc.) e somando os produtos. Nesse caso, o valor esperado é 1,12.
O valor esperado geralmente é denotado como μ, que é análogo à média da população na análise de dados. Ele mede o centro da variável aleatória. Olhando para o histograma de probabilidade, o valor esperado representa o ponto de equilíbrio onde o histograma se equilibraria em um fulcro.
Agora, vamos discutir a dispersão de uma variável aleatória discreta, que é medida usando variância e desvio padrão. A variância é calculada subtraindo a média de cada valor da variável aleatória, elevando o resultado ao quadrado, multiplicando-o pela probabilidade correspondente e somando todas as variâncias ponderadas. Isso captura o quanto cada valor se desvia da média. No entanto, como elevamos as diferenças ao quadrado, a variância resultante não terá as mesmas unidades dos dados originais. Para ter uma medida na mesma escala, tiramos a raiz quadrada da variância, dando-nos o desvio padrão.
Na prática, calcular manualmente a variância e o desvio padrão pode ser complicado. Recomenda-se o uso de tecnologia, como software estatístico ou calculadoras. Por exemplo, na programação R, podemos inserir os valores e suas probabilidades correspondentes e, em seguida, usar funções internas para calcular o valor esperado, a variância e o desvio padrão.
Ao utilizar a tecnologia, podemos realizar cálculos com eficiência e evitar cálculos manuais envolvendo produtos e quadrados. A variância fornece informações valiosas para cálculos e considerações teóricas, enquanto o desvio padrão é mais conveniente para a interpretação, pois compartilha as mesmas unidades que a variável aleatória original.
Em resumo, ao lidar com variáveis aleatórias, entender seu centro (média) e dispersão (variância e desvio padrão) é crucial. Essas medidas nos permitem quantificar e interpretar as características da variável aleatória de forma eficiente.
Ensaios de Bernoulli e a distribuição binomial
Ensaios de Bernoulli e a distribuição binomial
Olá a todos, hoje vamos discutir os ensaios de Bernoulli e a distribuição binomial. Uma tentativa de Bernoulli é um experimento de probabilidade simples com dois resultados: sucesso e fracasso. Essas tentativas são definidas pela probabilidade de sucesso, denotadas como "p" minúsculo. Vamos considerar alguns exemplos para ilustrar esse conceito.
Por exemplo, jogar uma moeda e considerar cara como sucesso teria uma probabilidade de sucesso (p) igual a 1/2. Tirar uma carta de um baralho padrão de 52 cartas e considerar um ás como um sucesso teria uma probabilidade de sucesso (p) igual a 4/52 ou 1/13. Se 40% dos eleitores americanos aprovam seu presidente, escolher um eleitor aleatoriamente teria uma probabilidade de sucesso (p) igual a 0,4.
É importante observar que os termos "sucesso" e "fracasso" são termos técnicos neste contexto e não implicam em declarações políticas ou opiniões pessoais. Podemos representar as tentativas de Bernoulli como variáveis aleatórias discretas codificando o sucesso como 1 e o fracasso como 0. Isso nos permite criar uma distribuição de probabilidade simples com x assumindo valores de 0 ou 1. A probabilidade de obter 1 é igual a p, enquanto a a probabilidade de obter um 0 é igual a 1 - p, pois esses resultados são complementares.
Podemos calcular o valor esperado dessa variável aleatória (x) somando x multiplicado pela probabilidade correspondente (p(x)) para todos os valores possíveis de x. O valor esperado é igual a p, que representa a probabilidade de sucesso em uma única tentativa. Da mesma forma, podemos calcular a variância somando (x - valor esperado)^2 multiplicado por p(x) para todos os valores possíveis de x. A variância é igual a p(1 - p). Tirar a raiz quadrada da variância nos dá o desvio padrão, que mede a dispersão da variável aleatória.
Em muitos casos, as tentativas de Bernoulli são realizadas repetidamente, resultando em um número total de sucessos em n tentativas idênticas e independentes. Isso leva a uma variável aleatória discreta que pode assumir valores de 0 a n. A distribuição binomial, normalmente denotada como B(n, p), representa a distribuição de probabilidade para essa variável aleatória quando temos n tentativas de Bernoulli idênticas e independentes com uma probabilidade de sucesso de p.
Por exemplo, se uma moeda honesta for lançada três vezes e definirmos x como o número de caras, teremos B(3, 0,5) como a distribuição binomial. Podemos calcular diretamente as probabilidades para cada valor de x considerando todos os resultados possíveis e suas probabilidades correspondentes. À medida que n se torna maior, torna-se impraticável calcular essas probabilidades manualmente e precisamos de uma fórmula mais geral.
A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas, onde k varia de 0 a n, é dada pela fórmula n escolher k vezes p^k vezes (1 - p)^(n - k). Esta fórmula contabiliza o número de maneiras de obter exatamente k sucessos em n tentativas e as respectivas probabilidades. Ele nos permite calcular probabilidades de forma eficiente na distribuição binomial.
Vamos considerar um exemplo em que um jogador de basquete tem uma taxa média de sucesso de lance livre de 78%. Se ela arremessa dez lances livres, podemos usar a distribuição binomial para calcular a probabilidade de ela acertar exatamente oito arremessos e pelo menos oito arremessos. Ao inserir os valores na fórmula, podemos calcular as probabilidades de acordo.
Uma variável aleatória com distribuição binomial é a soma de várias tentativas de Bernoulli. A média dessa variável aleatória é dada por n vezes p, e a variância é dada por n vezes p vezes (1 - p). O desvio padrão é a raiz quadrada de np vezes (1 - p).
No caso do jogador de basquete arremessar dez vezes com probabilidade de sucesso de 0,78, o valor esperado (média) seria 10 * 0,78 = 7,8, e o desvio padrão seria a raiz quadrada de (10 * 0,78 * (1 - 0,78 )) ≈ 1,3.
Para visualizar a distribuição binomial, podemos construir um histograma de probabilidade. Tomando como exemplo o jogador de basquete que atira dez arremessos com probabilidade de sucesso de 0,78, criamos um histograma com barras representando cada valor de x (número de arremessos bem-sucedidos) de 0 a 10. A altura de cada barra corresponde à probabilidade de atingir aquele número específico de tiros nas dez tentativas. Por exemplo, a probabilidade de fazer exatamente 8 tiros seria em torno de 0,3.
A distribuição binomial fornece uma estrutura útil para analisar situações que envolvem tentativas independentes repetidas com uma probabilidade fixa de sucesso. Compreendendo as propriedades da distribuição binomial, como valor esperado, variância e cálculos de probabilidade, podemos tomar decisões informadas e fazer previsões em vários campos, incluindo estatística, finanças e controle de qualidade.
Lembre-se de que a distribuição binomial assume certas condições, como tentativas independentes e uma probabilidade fixa de sucesso para cada tentativa. Essas suposições devem ser cuidadosamente consideradas ao aplicar a distribuição binomial a cenários do mundo real.
Em conclusão, as tentativas de Bernoulli e a distribuição binomial oferecem uma compreensão fundamental dos experimentos de probabilidade com dois resultados e várias tentativas independentes. Ao utilizar as fórmulas e propriedades associadas a esses conceitos, podemos analisar e prever as probabilidades de alcançar diferentes níveis de sucesso em vários cenários.
Cálculos Binomiais em R
Cálculos Binomiais em R
Olá pessoal, hoje estaremos utilizando o R para realizar cálculos envolvendo a distribuição binomial. No R, existem quatro funções básicas que são importantes conhecer para trabalhar com a distribuição binomial.
Primeiramente, a função rbinom() gera valores aleatórios da distribuição binomial. São necessários três argumentos: o número de valores aleatórios a serem gerados, o tamanho da amostra e a probabilidade de sucesso em uma tentativa individual. Por exemplo, rbinom(10, 2, 0.5) gera 10 valores aleatórios de uma distribuição binomial com um tamanho de amostra de 2 e uma probabilidade de sucesso de 0,5.
Em segundo lugar, a função dbinom() retorna a probabilidade de obter um número especificado de sucessos na distribuição binomial. Leva três argumentos: o número de sucessos, o tamanho da amostra e a probabilidade de sucesso. Você pode especificar o número de sucessos como um vetor para calcular probabilidades para diferentes números de sucessos de uma só vez. Por exemplo, dbinom(0:4, 4, 0.5) calcula as probabilidades de obter 0, 1, 2, 3 ou 4 sucessos em uma distribuição binomial com um tamanho de amostra de 4 e uma probabilidade de sucesso de 0,5.
Em seguida, a função pbinom() é uma função de probabilidade cumulativa. Ele retorna a probabilidade de obter no máximo um número especificado de sucessos na distribuição binomial. Semelhante a dbinom(), você pode fornecer um vetor de valores para calcular probabilidades cumulativas. Por exemplo, pbinom(0:4, 4, 0,5) retorna as probabilidades de obter no máximo 0, 1, 2, 3 ou 4 sucessos em uma distribuição binomial com um tamanho de amostra de 4 e uma probabilidade de sucesso de 0,5.
Finalmente, a função qbinom() é uma calculadora de probabilidade inversa. Ele retorna o menor valor de sucessos de forma que a probabilidade cumulativa seja igual ou maior que uma probabilidade especificada. Em outras palavras, ele calcula quantis na distribuição binomial. Por exemplo, qbinom(c(0.25, 0.5, 0.75), 10, 0.5) fornece os percentis 25, 50 e 75 em uma distribuição binomial com um tamanho de amostra de 10 e uma probabilidade de sucesso de 0,5.
Agora vamos aplicar essas funções a alguns problemas.
Problema 1: Vamos simular 50 execuções de um experimento em que lançamos um dado honesto 10 vezes e contamos o número de seis. Podemos usar a função rbinom() com o tamanho da amostra de 10 e a probabilidade de sucesso de 1/6 (já que há uma chance de 1/6 de rolar um seis).
Problema 2: De acordo com uma pesquisa recente, 72% dos americanos preferem cachorros a gatos. Se 8 americanos forem escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade de exatamente 6 deles preferirem cachorros e menos de 6 preferirem cachorros? Podemos usar as funções dbinom() e pbinom().
prob_six <- dbinom ( 6 , 8 , 0.72 ) # Probability of fewer than 6 preferring dogs
prob_less_than_six <- pbinom ( 5 , 8 , 0.72 )
prob_six
prob_less_than_six
Problema 3: Uma moeda ponderada tem 42% de chance de dar cara. Qual é o número esperado de caras em 5 jogadas? Além disso, construa um histograma de probabilidade para a variável aleatória que representa o número de caras em 5 jogadas.
Para calcular o número esperado de caras, podemos usar a fórmula do valor esperado de uma distribuição binomial, que é o produto do tamanho da amostra e a probabilidade de sucesso. Nesse caso, o tamanho da amostra é 5 e a probabilidade de sucesso (obter cara) é 0,42.
expected_heads <- 5 * 0.42 expected_heads
O número esperado de caras em 5 lançamentos da moeda ponderada é 2,1.
Para construir um histograma de probabilidade, usaremos o pacote ggplot2 em R. Primeiro, vamos instalar e carregar o pacote.
library ( ggplot2 )
Em seguida, geraremos a distribuição de probabilidade discreta para o número de caras em 5 jogadas usando a função dbinom(). Calcularemos as probabilidades para cada número possível de caras (0 a 5).
p <- dbinom ( x , 5 , 0.42 ) # Probabilities
Agora, podemos criar o histograma de probabilidade usando ggplot2.
df <- data.frame ( x = x , p = p )
ggplot ( df , aes ( x = as.factor ( x ) , y = p ) ) + geom_bar ( stat = "identity" , fill = "lightblue" ) + xlab ( "Number of Heads" ) + ylab ( "Probability" ) + ggtitle ( "Probability Histogram for Number of Heads in 5 Tosses" )
Este código irá gerar um histograma com o número de caras no eixo x e as probabilidades correspondentes no eixo y.
A distribuição uniforme
A distribuição uniforme
Olá a todos, hoje vamos nos aprofundar em variáveis aleatórias contínuas e explorar especificamente aquelas com distribuições uniformes.
Vamos começar lembrando o que é uma variável aleatória contínua. É uma variável que pode assumir valores dentro de um intervalo inteiro, em oposição a um conjunto discreto de valores. Por exemplo, se selecionarmos alguém aleatoriamente e medirmos sua altura exata, existem infinitos valores possíveis que essa variável aleatória pode assumir. Conseqüentemente, a probabilidade de obter qualquer valor particular é infinitamente pequena, tornando impraticável discutir probabilidades de valores específicos. Para resolver isso, nos concentramos nas probabilidades associadas à variável aleatória que cai dentro de faixas específicas de valores.
Por exemplo, em vez de perguntar pela probabilidade de alguém ter exatamente 58,6 polegadas de altura (o que seria quase zero), podemos perguntar sobre a probabilidade de sua altura cair entre 55 e 65 polegadas. Essa abordagem nos permite trabalhar com probabilidades significativas. Outro exemplo é considerar a probabilidade de uma música selecionada aleatoriamente ter menos de três minutos ou mais de três minutos, em vez de precisamente três minutos.
Um dos tipos mais simples de variáveis aleatórias contínuas é a distribuição uniforme. Em uma variável aleatória uniformemente distribuída, as probabilidades são uniformemente distribuídas por todo o seu domínio. Você pode ter encontrado esse conceito na função rand() do Excel, que gera um número aleatório entre 0 e 1 com as casas decimais especificadas. Nesse caso, todos os valores têm probabilidades iguais. Referimo-nos a isso como uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1].
Para calcular as probabilidades de uma distribuição uniforme, dividimos a largura do intervalo desejado pela largura total de todo o intervalo. Por exemplo, a probabilidade do resultado ser menor que 0,2 é 0,2 dividido por 1 (a largura total), resultando em 0,2. Da mesma forma, a probabilidade do resultado ser maior ou igual a 4 é de 0,6, pois o intervalo de interesse tem largura de 0,6 unidades. Vale a pena notar que o rigor das desigualdades (por exemplo, "<" vs. "<=") é irrelevante ao lidar com variáveis aleatórias contínuas, dado que as probabilidades de resultados individuais são infinitamente pequenas.
Podemos estender o conceito de distribuição de probabilidade uniforme para outros intervalos também. Por exemplo, considerar o intervalo [1, 7] produziria uma distribuição de probabilidade contínua em que a variável aleatória pode assumir qualquer valor entre 1 e 7 com igual probabilidade. Vamos examinar alguns exemplos dentro desta distribuição:
Desenhar histogramas de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas não é possível da mesma forma que para variáveis aleatórias discretas, pois as probabilidades individuais são infinitesimais. Em vez disso, empregamos gráficos de densidade, representando probabilidade como área em vez de altura. Em um gráfico de densidade para uma distribuição uniforme, todas as probabilidades são iguais e resultam em uma linha horizontal. A área total sob o gráfico de densidade deve ser sempre 1 para garantir que as probabilidades sejam somadas corretamente.
Para ilustrar, vamos considerar uma distribuição uniforme no intervalo [-5, 5]. Nesse caso, a largura do domínio é 10 (5 - (-5)). Para criar a curva de densidade, precisamos que a altura do retângulo seja 1 dividido pela largura, o que nos dá 1/10. Isso garante que a área total sob a curva de densidade seja 1.
Agora, vamos calcular a probabilidade de que a variável aleatória seja maior que 3,5 nesta distribuição. Podemos redesenhar a curva de densidade e sombrear a região correspondente a X > 3,5. A probabilidade é então igual à área dessa região sombreada.
Aplicando a fórmula para calcular a área de um retângulo (base vezes altura), multiplicamos a largura (5 - 3,5 = 1,5) pela altura (1/10). Isso resulta em uma área de 1,5/10 ou 15%.
Para resumir, na distribuição uniforme U(-5, 5), a probabilidade de X ser maior que 3,5 é de 15%.
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Olá pessoal! Hoje, vamos nos aprofundar no tópico de variáveis aleatórias contínuas. Uma variável aleatória contínua é simplesmente uma variável que pode assumir valores em todo um intervalo, permitindo medições precisas. Vamos explorar alguns exemplos para ilustrar esse conceito.
Imagine selecionar um cachorro aleatório no abrigo de animais local e medir o comprimento de sua cauda. Você pode obter medições com qualquer grau de precisão que desejar. Da mesma forma, considere fazer uma leitura exata da temperatura no Pólo Sul em um momento aleatório ou medir a duração de uma chamada de atendimento ao cliente selecionada aleatoriamente. Esses exemplos demonstram a capacidade de medir variáveis em qualquer nível de precisão.
Em contraste, uma variável aleatória discreta só pode assumir valores de um conjunto não contínuo. Por exemplo, rolar um dado 20 vezes e contar o número de seis resultará em números inteiros como 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante. No entanto, frações ou decimais como meio, dois terços ou três e um quarto não são resultados possíveis.
Descrever probabilidades para variáveis aleatórias contínuas é mais complexo do que para variáveis discretas. Com infinitos resultados possíveis, a probabilidade de obter um determinado resultado individual é essencialmente zero. Por exemplo, se afirmarmos que uma chamada de atendimento ao cliente dura 150 segundos, a duração real pode ser 150,1, 150,05 ou quaisquer outros valores incontáveis. Portanto, a probabilidade da chamada durar exatamente 150 segundos é essencialmente zero.
No entanto, certas durações de chamada podem parecer mais prováveis do que outras. Esperamos que uma chamada com duração de 150 segundos seja muito mais provável do que uma com duração de três horas. Para abordar probabilidades de variáveis aleatórias contínuas, nos concentramos em intervalos de valores em vez de resultados específicos. Por exemplo, consideramos a probabilidade de uma chamada cair entre 140 e 160 segundos, o que frequentemente resulta em probabilidades diferentes de zero.
Uma maneira de visualizar uma variável aleatória contínua é através de uma curva de densidade. As probabilidades sobre intervalos são então representadas como áreas sob a curva de densidade. Vamos examinar um gráfico representando uma variável aleatória, X, que varia de 0 a 4 com probabilidade decrescente. A região sombreada no gráfico representa a probabilidade de X cair entre 1 e 2 em uma determinada tentativa. A partir da imagem, podemos observar que a probabilidade de X cair entre 1 e 2 é menor do que a probabilidade de cair entre 0 e 1. Essa discrepância surge porque há mais área sob a curva de 0 a 1 em comparação com 1 a 2 . Da mesma forma, a probabilidade é maior para X cair entre 1 e 2 do que entre 2 e 3. Podemos estimar a probabilidade de X cair entre 1 e 2 aproximando a área da região sombreada, que produz um resultado de aproximadamente 3 décimos ou 30%.
Uma curva de densidade é comumente referida como uma função de densidade de probabilidade (PDF). Um PDF legítimo possui duas propriedades essenciais. Em primeiro lugar, deve ser sempre positivo para alinhar com a natureza positiva das probabilidades. Em segundo lugar, a área total sob o gráfico de um PDF legítimo deve ser sempre um, significando que obtemos algum valor de X ao conduzir um experimento de probabilidade.
Embora o conceito de PDF e curva de densidade possa ser intuitivo, os cálculos reais que os envolvem podem ser desafiadores. Na prática, muitas vezes trabalhamos com funções de distribuição cumulativas (CDFs) de variáveis aleatórias para contornar a necessidade de cálculos extensos. Um CDF fornece a probabilidade de que uma variável aleatória assuma um valor não maior que um X especificado em uma determinada tentativa. Essencialmente, ele acumula as probabilidades. Por exemplo, se X aumenta, o valor CDF correspondente também aumenta à medida que mais probabilidade é acumulada.
Usando o CDF, podemos calcular a probabilidade de uma variável aleatória cair dentro de um intervalo específico. Essa probabilidade é determinada subtraindo os valores de CDF dos limites inferior e superior do intervalo. Vamos examinar o gráfico da PDF e CDF da mesma variável aleatória, denotada como X. A região sombreada no gráfico representa a probabilidade acumulada de X ser menor ou igual a dois, denotada como F(2), o CDF em dois . Observe que à medida que X aumenta, o CDF, F(X), sempre aumenta também porque mais probabilidade é acumulada.
Para calcular a probabilidade de X cair entre dois valores, digamos aeb, subtraímos o valor CDF em b do valor CDF em a. No gráfico, isso corresponde a subtrair a área à esquerda de X igual a 2 da área à esquerda de X igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como F(b) - F(a). A representação visual torna isso evidente.
O tipo mais simples de variável aleatória contínua é aquele com uma distribuição uniforme. Em uma distribuição uniforme, as probabilidades são iguais para intervalos de igual largura. Essencialmente, significa que todo valor de X dentro de um determinado intervalo é igualmente provável. Outra maneira de ver isso é que o PDF de uma variável aleatória uniformemente distribuída é uma função constante.
Vamos considerar um exemplo. Suponha que temos uma variável aleatória contínua onde os valores podem cair entre 1 e 7 com uma distribuição uniforme. A PDF é uma função constante entre 1 e 7, com uma área total de 1. Como a largura do intervalo é 6, a altura do gráfico é 1/6. Com esta informação, podemos calcular probabilidades para qualquer intervalo de X. Por exemplo, a probabilidade de que X caia entre 2 e 7 é dada pela largura do intervalo, que é 7 menos 2, dividida pela altura do gráfico, que é 1/6. Assim, a probabilidade é (1/6) * (7 - 2) = 5/6.
Se você quiser uma explicação mais abrangente sobre distribuições uniformes, tenho um vídeo dedicado ao assunto que você pode encontrar no link fornecido acima.