Negociação quantitativa - página 14

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Finanças Computacionais: Aula 9/14 (Simulação de Monte Carlo)

Finanças Computacionais: Aula 9/14 (Simulação de Monte Carlo)

A palestra cobre vários tópicos relacionados à simulação e integração de Monte Carlo em finanças computacionais, fornecendo insights sobre diferentes abordagens e técnicas.

O palestrante começa apresentando problemas de integração e demonstrando como calcular integrais usando amostragem de Monte Carlo. Eles explicam duas abordagens: a abordagem clássica para integração e a integração baseada no valor esperado. Por meio de demonstrações de programação em Python, o palestrante mostra como analisar e tornar as simulações mais eficientes. Eles discutem o impacto da suavidade na convergência e diferentes tipos de convergência.

Além disso, a palestra aborda duas importantes técnicas de discretização, ou seja, Euler e Milstein, e explica como controlar o erro com base no passo de tempo na simulação. O palestrante enfatiza os princípios e a história da simulação de Monte Carlo, utilizada em diversas áreas há quase 90 anos. Ganhou popularidade entre os físicos na década de 1930, especialmente durante o Projeto Manhattan.

A importância de calcular o valor esperado de um pagamento futuro em finanças computacionais é discutida. Isso envolve integrar sobre o eixo real usando a densidade do estoque, considerando taxas de juros constantes ou dependentes do tempo. A integração de Monte Carlo, associada à amostragem e à teoria da probabilidade, é apresentada como uma técnica que fornece saídas variáveis a cada simulação. A palestra enfatiza sua aplicação a problemas altamente dimensionais e a capacidade de controlar a variância da distribuição de erros ajustando as configurações na simulação. O palestrante também discute métodos para melhorar a amostragem e simulação com Monte Carlo.

Um método específico para estimar integrais usando simulação de Monte Carlo é explicado. Este método envolve a amostragem de pontos uniformemente em uma área retangular e a contagem da proporção de amostras sob a curva para estimar a integral. Embora não seja comumente usada em finanças, essa abordagem pode ser valiosa para problemas de alta dimensão. O palestrante enfatiza a importância de entender a função que está sendo integrada para captar com eficiência a área de interesse.

A palestra também investiga as limitações e desafios da simulação de Monte Carlo em finanças. Embora forneça estimativas aproximadas, os resultados podem ser altamente imprecisos, principalmente para simulações complexas. O palestrante explica que o erro esperado nas simulações de Monte Carlo diminui pela raiz quadrada do número de simulações, levando à intensidade computacional. A palestra explora ainda mais a relação entre as abordagens integral e de expectativa, apresentando um exemplo de como elas estão ligadas. Em finanças, a abordagem de expectativa é geralmente considerada mais eficiente e precisa do que a simulação tradicional de Monte Carlo.

A palestra cobre a lei dos grandes números e sua relação com variáveis aleatórias independentes. A estimativa da variância e o cálculo da expectativa para determinação da média são discutidos. É apresentada uma comparação entre a "abordagem ingênua" e a abordagem de expectativa, com a última se mostrando significativamente mais precisa mesmo com menos amostras. O palestrante demonstra o código para realizar esta simulação, enfatizando a necessidade de especificar dois pontos para a abordagem integrar a função.

Diferentes exemplos de integrais estocásticas encontrados em finanças são discutidos, destacando a soma do movimento browniano em etapas de tempo, a soma do movimento browniano em incrementos e a multiplicação do movimento browniano por incrementos. Um caso mais concreto é apresentado, onde uma função g(t) é integrada de 0 a T com uma função g(s)dW(s). A palestra explica como dividir o intervalo de integração em subintervalos menores e usar a simulação de Monte Carlo para aproximar a integral. A importância do tamanho da amostra e do intervalo de valores é enfatizada para resultados precisos.

O palestrante explica como resolver numericamente uma integral determinística por meio de um processo de partição e aproximação. Eles introduzem a integral de Ito e explicam a avaliação da função GT no início do intervalo, com a integral escolhida no limite esquerdo. Usando um exemplo com uma função GT de T ao quadrado, o palestrante demonstra como obter a expectativa e a variância com a propriedade de isometria de Ito. O código Python é fornecido para simular o cálculo e as etapas envolvidas são explicadas.

A geração do movimento browniano e seu uso na construção de um processo e na definição de uma integral são discutidos. A palestra percorre o processo de gerar uma distribuição e usá-la para construir o processo de movimento browniano. O impacto da remoção da condição de escala na distribuição e variância é demonstrado. O palestrante também explica um truque para resolver integrais envolvendo movimento browniano aplicando o Lema de Ito. Finalmente, a palestra mostra como considerar a função x ao quadrado para calcular a integral.

A aplicação do Lema de Ito para obter a dinâmica de uma função igual a tw ao quadrado t é discutida. Aplicando o Lema de Ito a x ao quadrado, a palestra revela um termo que é calculado por integração, resultando em uma distribuição pi ao quadrado em vez de uma distribuição normal. O palestrante enfatiza a importância da experiência para adivinhar qual tipo de função aplicar para alcançar o resultado desejado. O código é modificado para alternar entre integrais e um aumento no número de amostras é sugerido para melhorar o resultado.

Simulações de Monte Carlo, rotinas numéricas e a importância de geradores de números aleatórios de boa qualidade são discutidos. A palestra explica o Lema de Ito e oferece uma abordagem heurística para entender por que dwt dwt é igual a zero. Observa-se que diminuir o tamanho da grade leva a uma convergência mais rápida da variância em comparação com a expectativa. Um experimento é conduzido para demonstrar que a expectativa vai para zero em uma taxa mais lenta enquanto a variância se aproxima de quase zero. O palestrante fornece uma intuição sobre por que dwt dwt é igual a zero, embora reconheça que a prova teórica dessa relação é bastante complicada.

A palestra investiga a convergência de duas funções semelhantes, g1 e g2, e investiga suas expectativas quando amostradas de um movimento browniano. Essas funções têm limites de 0 quando x se aproxima de menos infinito e 1 quando x se aproxima de mais infinito. O palestrante calcula o erro para números crescentes de amostras simuladas e apresenta um gráfico comparando o erro com o número de amostras. A primeira função, com curva não suave e ampla faixa de oscilação, contrasta com a segunda função, que possui curva suave e converge mais rapidamente.

A convergência é destacada como uma consideração crucial ao utilizar a simulação de Monte Carlo em finanças. A palestra explica a diferença entre convergência fraca e forte, sendo a convergência forte mais poderosa que a fraca. Erros podem ocorrer na convergência ao lidar com funções não suaves e payoffs do tipo digital, levando a resultados de avaliação substancialmente diferentes. Compreender as diferenças e implicações de ambos os tipos de convergência é fundamental para garantir simulações e avaliações financeiras precisas.

A palestra discute convergência fraca e forte no contexto de simulações de Monte Carlo e algoritmos de precificação. Embora a convergência fraca corresponda a momentos no nível de expectativa, a convergência forte é necessária para pagamentos precisos dependentes do caminho. Um algoritmo completo de precificação de Monte Carlo envolve a definição de uma grade desde o momento atual até a data de pagamento do contrato, uma equação de precificação e um direcionador estocástico para o ativo. As simulações de Monte Carlo são necessárias quando as avaliações de forma fechada não são possíveis devido à complexidade do processo de estoque. A grade é normalmente igualmente espaçada, mas em alguns casos, estratégias alternativas podem ser empregadas.

O professor enfatiza a precisão e as restrições de tempo da simulação de Monte Carlo. Nota-se que, embora aumentar o número de etapas de tempo melhore a precisão, também aumenta o tempo de simulação. Técnicas avançadas ou soluções de forma fechada que permitem etapas de Monte Carlo maiores podem ser benéficas para alcançar precisão e velocidade. A palestra então passa a definir as redes, o ativo e o retorno para uma opção do tipo europeu. O estado final da opção depende do tempo das observações. A palestra explica como calcular o preço da opção tomando a expectativa sob a medida da fila e descontando-a, além de calcular o erro padrão para medir a variabilidade dos resultados obtidos.

O conceito de erro padrão é discutido no contexto da simulação de Monte Carlo. A palestra explica que a expectativa pode ser calculada usando a lei forte dos grandes números, e a variância da média pode ser calculada assumindo que as amostras são extraídas independentemente. O erro padrão, que mede a variabilidade da expectativa dado um certo número de caminhos, pode ser determinado dividindo a variância pela raiz quadrada do número de caminhos. À medida que o número de amostras aumenta, o erro diminui. Normalmente, aumentar o número de amostras por um fator de quatro reduzirá o erro por um fator de dois. Um método clássico para simular equações diferenciais estocásticas é através da discretização de Euler, que é direta, mas tem suas limitações.

O palestrante discute o uso de equações diferenciais estocásticas e discretização de Euler em simulações de Monte Carlo. O processo envolve definir uma grade, realizar uma simulação e medir a diferença entre a solução exata e a simulação por meio do erro absoluto. É essencial garantir que a aleatoriedade das variáveis nas versões exata e discretizada seja a mesma para garantir a comparabilidade. A palestra também enfatiza a importância da vetorização em simulações de Monte Carlo, pois é mais eficiente do que usar loops duplos para cada passo de tempo e caminho. No entanto, é importante observar que, embora essa abordagem simplifique o processo, ela apresenta limitações em termos de precisão e velocidade.

A solução exata para o movimento browniano com termo de deriva e termo de volatilidade (r e sigma) é examinada, usando o movimento browniano gerado na representação exata e o mesmo movimento usado na aproximação. A palestra compara o erro absoluto e o erro médio na convergência fraca, destacando que a convergência fraca é suficiente para precificar um tipo europeu de payoff, mas pode não ser suficiente para payoffs dependentes do caminho. Gráficos são mostrados para ilustrar os caminhos gerados pela discretização de Euler em comparação com a solução exata, onde diferenças entre os dois podem ser observadas para alguns caminhos. A palestra termina com uma comparação de erros fortes e fracos.

O palestrante discute a implementação de simulações de Monte Carlo usando código. Eles explicam que, para quantificar o erro, é necessário usar uma medida de erro, conforme discutido anteriormente na palestra. O código gera caminhos e compara os valores exatos com a aproximação usando simulação multicolorida. As saídas são caminhos de tempo para o estoque e os valores exatos. O palestrante enfatiza a importância de gerar os mesmos movimentos brownianos tanto para a aproximação quanto para a solução exata para compará-los no nível de erro. Para medir erros de convergência fraca e forte, eles definem um intervalo de número de etapas e realizam simulações de Monte Carlo para cada etapa. O código gera dois tipos de erros: erro fraco e erro forte.

O palestrante discute o processo de simulação envolvido no método de Monte Carlo e como ele pode ser demorado porque a simulação precisa ser repetida várias vezes. Os resultados são mostrados através de gráficos de convergência fraca e forte, onde o erro de convergência fraca é representado pela linha azul de crescimento lento, enquanto o erro de convergência forte segue uma raiz quadrada de formato delta T, confirmando a análise. O palestrante explica que o erro pode ser significativamente reduzido por meio da técnica de discretização de Milstein, que deriva termos adicionais aplicando a expansão de Taylor. Embora envolva mais trabalho para chegar à fórmula final, o esquema de Milstein requer a derivada do termo de volatilidade, que nem sempre está disponível analiticamente.

O palestrante explica o uso da simulação de Monte Carlo em finanças computacionais, especificamente em movimento browniano geométrico. Eles demonstram como calcular o termo de volatilidade no sentido da distribuição e compará-lo com o esquema de Euler. Embora a simulação de Monte Carlo tenha uma taxa de convergência mais rápida do que o método de Euler, pode ser um desafio derivar a derivada em modelos envolvendo múltiplas dimensões, pois requer cálculos computacionais adicionais. Além disso, o palestrante compara o erro absoluto nos sentidos fraco e forte entre os dois esquemas, destacando que o erro forte de Monte Carlo é linear em delta t, enquanto o erro fraco de Euler é da mesma ordem. Finalmente, eles fornecem uma implementação de código da simulação de Monte Carlo para gerar caminhos em movimento browniano geométrico e analisar sua forte convergência.

O palestrante discute o impacto de diferentes técnicas de discretização na convergência usando o exemplo do Black-Scholes ou movimento browniano geométrico. A análise dos esquemas de Euler e Milstein serve como ilustração do impacto de diferentes técnicas de discretização. O palestrante compara os erros entre os esquemas de Milstein e Euler, mostrando que o erro do esquema de Milstein é muito menor que o de Euler, embora nem sempre seja aplicável. O benefício de diferentes esquemas pode não ser evidente quando se olha para os resultados finais, mas considerando o custo computacional da simulação, o tempo torna-se crucial. Portanto, o uso de grandes intervalos de tempo seria essencial se quisermos realizar simulações rápidas de Monte Carlo.

O palestrante passa a discutir o papel dos geradores de números aleatórios (RNGs) nas simulações de Monte Carlo. Eles enfatizam a importância do uso de RNGs de boa qualidade para garantir resultados precisos e confiáveis. O palestrante menciona que geradores de números pseudoaleatórios (PRNGs) são comumente usados em simulações e explica como eles geram sequências de números que se aproximam da aleatoriedade. Eles também destacam a necessidade de reprodutibilidade nas simulações usando um valor inicial fixo para o RNG. Em seguida, o palestrante discute o conceito de variáveis antitéticas, que é uma técnica de redução de variância utilizada em simulações de Monte Carlo. A ideia por trás das variáveis antitéticas é gerar pares de variáveis aleatórias que tenham efeitos opostos na quantidade de interesse. Tomando a média dos resultados obtidos das variáveis originais e suas contrapartes antitéticas, a variância da estimativa pode ser reduzida. Essa técnica é particularmente útil ao lidar com distribuições simétricas.

A palestra então apresenta o conceito de controle varia como outra técnica de redução de variância. As variáveis de controle envolvem a introdução de uma função conhecida no processo de simulação que está correlacionada com a quantidade de interesse. Ao subtrair a estimativa obtida da função conhecida da estimativa obtida da função alvo, a variância da estimativa pode ser reduzida. O palestrante fornece exemplos para ilustrar como as variáveis de controle podem ser aplicadas na prática. Além das técnicas de redução de variância, o palestrante discute o conceito de amostragem estratificada. A amostragem estratificada envolve a divisão do espaço amostral em estratos e a amostragem de cada estrato separadamente. Essa abordagem garante que cada estrato seja representado na amostra, levando a estimativas mais precisas. A palestra explica o procedimento para implementar a amostragem estratificada e destaca suas vantagens sobre a amostragem aleatória simples.

Por fim, o palestrante explora o conceito de amostragem por importância. Amostragem de importância é uma técnica usada para estimar a probabilidade de eventos raros, atribuindo probabilidades mais altas a amostras com maior probabilidade de produzir o evento desejado. A palestra explica como a amostragem de importância pode melhorar a eficiência das simulações de Monte Carlo para estimativa de eventos raros. O palestrante fornece exemplos e discute a importância de escolher uma distribuição de amostragem apropriada para resultados precisos.

A palestra abrange uma variedade de tópicos relacionados a simulações de Monte Carlo, incluindo problemas de integração, cálculo de integrais usando amostragem de Monte Carlo, demonstrações de programação, análise de convergência, técnicas de discretização, princípios e história da simulação de Monte Carlo, aplicação em finanças computacionais, redução de variância técnicas e amostragem de importância. O palestrante fornece insights sobre a teoria e a implementação prática das simulações de Monte Carlo e destaca sua relevância em vários campos.

• 00:00:00 Nesta seção sobre simulação de Monte Carlo, o palestrante aborda vários tópicos, incluindo problemas de integração e como calcular integrais usando amostragem de Monte Carlo. Eles apresentam duas abordagens diferentes: uma abordagem clássica para integração e integração baseada no valor esperado. A palestra também inclui demonstrações de programação em Python e como analisar e tornar as simulações mais eficientes. O palestrante discute o impacto da suavidade na convergência e diferentes tipos de convergência. Eles também introduzem duas importantes técnicas de discretização, Euler e Milstein, e mostram como controlar o erro dependendo do passo de tempo na simulação. Por fim, discutem os princípios e a história da simulação de Monte Carlo, que existe há quase 90 anos e foi popularizada pelos físicos na década de 30, especialmente no Projeto Manhattan.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a importância de calcular o valor esperado de um payoff futuro em finanças computacionais. Isso envolve o uso de uma integral sobre o eixo real com a densidade do estoque, assumindo taxas de juros constantes ou dependentes do tempo. A técnica de integração de Monte Carlo está associada à amostragem e à teoria da probabilidade, e a saída obtida da simulação varia a cada vez. A técnica pode ser usada para problemas altamente dimensionais e pode controlar a variância da distribuição de erro escolhendo certas configurações na simulação. A palestra também discute métodos para melhorar a amostragem e simulação com Monte Carlo.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante explica como realizar a simulação de Monte Carlo para estimar uma integral. O método envolve amostrar pontos uniformemente em uma área retangular e contar quantas amostras estão sob a curva do número total de amostras. Multiplicando a proporção de amostras sob a curva pela área do retângulo, pode-se obter uma estimativa da integral. Embora essa abordagem não seja normalmente usada em finanças, ela pode ser útil para problemas de alta dimensão. O palestrante observa que saber mais sobre a função que está sendo integrada pode ser útil para garantir que a simulação capture com eficiência a área de interesse.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra, o professor discute a técnica de simulação de Monte Carlo e como ela pode ser usada para estimar integrais. Ele explica que, embora a simulação de Monte Carlo possa fornecer uma estimativa aproximada, os resultados podem ser altamente imprecisos, especialmente em finanças, onde são necessárias simulações altamente complexas. O erro esperado nas simulações de Monte Carlo é reduzido pela raiz quadrada do número de simulações, o que pode ser computacionalmente intensivo. O professor também discute a relação entre a abordagem integral e a abordagem da expectativa e dá um exemplo de como elas estão ligadas. No geral, a abordagem de expectativa é considerada mais eficiente e precisa em finanças em comparação com a simulação de Monte Carlo.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute a lei dos grandes números e sua relação com variáveis aleatórias independentes. Destacam a estimativa para variância e o cálculo da expectativa, ambos para cálculo da média. A comparação é então mostrada entre a "abordagem ingênua" e a abordagem de expectativa, sendo esta última significativamente mais precisa mesmo com menos amostras. O palestrante passa a mostrar o código para realizar essa simulação, enfatizando a necessidade de especificar dois pontos para que essa abordagem integre a função.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute diferentes exemplos de integrais estocásticas encontrados em finanças. O primeiro exemplo envolve a soma do movimento browniano ao longo de passos de tempo, enquanto o segundo envolve a soma do movimento browniano ao longo de incrementos. No terceiro exemplo, o movimento browniano é multiplicado por incrementos. O professor então passa para um caso mais concreto onde uma função g(t) é integrada de 0 a T com uma função g(s)dW(s). O método envolve dividir o intervalo de integração em subintervalos menores e usar a simulação de Monte Carlo para aproximar o valor da integral. A palestra enfatiza a importância do tamanho da amostra e da faixa de valores para resultados precisos.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute como resolver numericamente uma integral determinística por meio de um processo de partição e aproximação. Eles introduzem a integral de Ito e explicam que a função GT é avaliada no início do intervalo, e a integral é sempre escolhida no limite esquerdo. O palestrante usa um exemplo com uma função GT de T ao quadrado e demonstra como obter a expectativa e a variância com a propriedade de isometria Ito. Eles fornecem código Python para simular a computação e explicam as etapas envolvidas.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute como gerar movimento browniano e usá-lo para construir um processo e definir uma integral. Eles geram uma distribuição e a usam para construir o processo, depois mostram o impacto da remoção da condição de escala na distribuição e na variância. O palestrante também explica um truque para resolver integrais envolvendo movimento browniano: aplicando o Lema de Ito. Por fim, mostram como considerar a função x ao quadrado para calcular a integral.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute a aplicação do Lema de Ethos para obter a dinâmica de uma função igual a tw ao quadrado t. Aplicando o Lema de Ito a x ao quadrado, o falante obtém um termo que é calculado por integração, resultando em uma distribuição pi ao quadrado em vez de uma distribuição normal. O palestrante enfatiza a necessidade de experiência em adivinhar qual tipo de função aplicar para obter o resultado desejado. O código é modificado para alternar entre integrais e um aumento no número de amostras é sugerido para melhorar o resultado.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute simulações de Monte Carlo, rotinas numéricas e a importância de geradores de números aleatórios de boa qualidade. Eles explicam o Lema de Ito e se aprofundam em uma abordagem heurística para entender por que dwt dwt é igual a zero. Ao diminuir o tamanho da grade, a variância converge muito mais rápido que a expectativa, e isso pode ser observado no experimento onde a expectativa vai a zero muito mais devagar enquanto a variância é próxima de zero. O palestrante fornece uma intuição sobre por que dwt dwt é igual a zero e conclui dizendo que a prova teórica disso é bastante complicada.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute a convergência de duas funções semelhantes, g1 e g2, e investiga suas expectativas quando amostradas de um movimento browniano. As funções têm limites de 0 para x indo para menos infinito e 1 para x indo para mais infinito. O alto-falante calcula o erro para aumentar o número de amostras simuladas e mostra um gráfico comparando o erro com o número de amostras. A primeira função tem uma curva não suave e oscila com uma ampla faixa, enquanto a segunda função tem uma curva suave e converge mais rapidamente.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute a importância de considerar a convergência ao usar a simulação de Monte Carlo em finanças. Os dois tipos de convergência discutidos são convergência fraca e forte, sendo forte mais poderosa que fraca. O palestrante explica que erros podem ocorrer na convergência ao lidar com funções não suaves e payoffs do tipo digital, o que pode resultar em resultados de avaliação substancialmente diferentes. Compreender as diferenças e implicações de ambos os tipos de convergência é fundamental para garantir simulações e avaliações financeiras precisas.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute convergência fraca e forte no contexto de simulações de Monte Carlo e algoritmos de precificação. Embora a convergência fraca corresponda a momentos no nível de expectativa, a convergência forte é necessária para pagamentos precisos dependentes do caminho. Um algoritmo completo de precificação de Monte Carlo envolve a definição de uma grade de hoje até a data de pagamento do contrato, uma equação de precificação e um direcionador estocástico para o ativo. As simulações de Monte Carlo são necessárias quando as avaliações de forma fechada não são possíveis devido à complexidade do processo de estoque. A grade normalmente é igualmente espaçada, mas em alguns casos, pode não ser.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção da palestra, o professor discute a precisão e as restrições de tempo da simulação de Monte Carlo, observando que, embora mais etapas de tempo aumentem a precisão, também aumentam o tempo gasto na simulação. Técnicas avançadas ou soluções de forma fechada que permitem grandes etapas de Monte Carlo podem ser benéficas para precisão e tempo. O professor passa então a definir as grades, ativo e payoff para uma opção do tipo europeu e explica que o estado final depende do tempo das observações. A expectativa sob a medida da fila é então tomada e descontada para determinar o preço da opção, com um erro padrão calculado para medir a variabilidade dos resultados obtidos.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o conceito de erro padrão é discutido no contexto da simulação de Monte Carlo. A expectativa pode ser calculada usando a lei forte dos grandes números, e a variância da média pode ser calculada assumindo que as amostras são retiradas independentemente. O erro padrão, que mede a variabilidade da expectativa dado um certo número de caminhos, pode ser determinado dividindo a variância pela raiz quadrada do número de caminhos. À medida que o número de amostras aumenta, o erro diminui; normalmente, aumentar o número de amostras por um fator de quatro reduzirá o erro por um fator de dois. Um método clássico para simular equações diferenciais estocásticas é através da discretização de Euler, que é simples, mas tem limitações.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso de equações diferenciais estocásticas e discretização de Euler em simulações de Monte Carlo. O processo envolve definir uma grade, realizar uma simulação e medir a diferença entre a solução exata e a simulação por meio do erro absoluto. É essencial garantir que a aleatoriedade das variáveis nas versões exata e discretizada seja a mesma para garantir a comparabilidade. A palestra também enfatiza a vetorização em simulações de Monte Carlo, pois é mais eficiente do que usar loops duplos para uma etapa de tempo e caminhos. No geral, embora essa abordagem simplifique o processo, ela apresenta limitações de precisão e velocidade.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, a solução exata para o movimento de contorno com r e sigma é examinada, usando o movimento browniano gerado na representação exata e o mesmo movimento usado na aproximação. O erro absoluto e o erro médio na convergência fraca são comparados, e é explicado que, embora a convergência fraca seja suficiente para precificar um tipo europeu de payoff, não é suficiente para payoffs dependentes do caminho. Os gráficos mostram os caminhos gerados pela discretização de Euler comparados com a solução exata, onde podem ser observadas diferenças entre os dois para alguns caminhos, e uma comparação de erros fortes e fracos.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a implementação de simulações de Monte Carlo usando código. Eles explicam que, para quantificar o erro, é necessário usar uma medida de erro, que eles discutiram anteriormente nos slides. O código gera caminhos e compara exatidão versus aproximação usando simulação multicolorida. As saídas são caminhos de tempo para estoque e os valores exatos. O palestrante enfatiza a importância de gerar os mesmos movimentos brownianos tanto para aproximação quanto para exatidão para compará-los no nível de erro. Para medir erros de convergência fraca e forte, eles definem um intervalo de número de etapas e realizam simulações de Monte Carlo para cada etapa. O código gera dois tipos de erros: erro fraco e erro forte.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o processo de simulação envolvido no método de Monte Carlo e como ele pode ser demorado porque a simulação precisa ser repetida várias vezes. Os resultados são mostrados através dos gráficos de convergência fraca e forte, onde o erro de convergência fraca é representado pela linha azul de crescimento lento, enquanto o erro de convergência forte segue uma raiz quadrada de formato delta T que confirma a análise. O palestrante explica que o erro pode ser significativamente reduzido por meio da técnica de discretização de Milstein, que deriva termos adicionais aplicando a expansão de Taylor. Embora envolva mais trabalho para chegar à fórmula final, o esquema de Milstein requer a derivada do termo de volatilidade, que nem sempre está disponível analiticamente.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante explica o uso da simulação de Monte Carlo em finanças computacionais, especificamente em movimento browniano geométrico. Eles demonstram como calcular o termo de volatilidade no sentido da distribuição e compará-lo com o esquema de Euler. Embora a simulação de Monte Carlo tenha uma taxa de convergência mais rápida que a de Euler, pode ser um desafio derivar a derivada em modelos envolvendo múltiplas dimensões, pois requer cálculos computacionais adicionais. Além disso, o palestrante compara o erro absoluto nos sentidos fraco e forte entre os dois esquemas, destacando que o erro forte de Monte Carlo é linear em delta t, enquanto o erro fraco de Euler é da mesma ordem. Finalmente, eles fornecem uma implementação de código da simulação de Monte Carlo para gerar caminhos em movimento browniano geométrico e analisar sua forte convergência.
  
  
• 01:40:00 Nesta seção, o palestrante discute o impacto de diferentes técnicas de discretização na convergência usando o exemplo do Black-Scholes ou movimento browniano geométrico. A análise dos esquemas de Euler e Milstein serve como ilustração do impacto de diferentes técnicas de discretização. O palestrante compara os erros entre os esquemas de Milstein e Euler, mostrando que o erro do esquema de Milstein é muito menor que o de Euler, embora nem sempre seja aplicável. O benefício de diferentes esquemas pode não ser visto uma vez olhando para os resultados finais, mas o tempo também é importante quando se considera a despesa computacional da simulação. Portanto, o uso de grandes intervalos de tempo seria essencial se quisermos realizar simulações rápidas de Monte Carlo.

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Finanças Computacionais: Aula 10/14 (Simulação Monte Carlo do Modelo Heston)

Finanças Computacionais: Aula 10/14 (Simulação Monte Carlo do Modelo Heston)

A palestra se concentra na utilização da simulação de Monte Carlo para precificação de derivativos, especificamente opções europeias, usando o desafiador modelo de Heston. Começa com um exercício de aquecimento onde as opções europeias e digitais são precificadas usando Monte Carlo e o modelo simples de Black-Scholes. A simulação do processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que modela a variância no modelo de Heston, é discutida, enfatizando a necessidade de uma amostragem precisa dessa distribuição. O palestrante demonstra a simulação exata do modelo CIR, destacando seus benefícios na geração de amostras precisas.

Em seguida, o palestrante introduz o conceito de simulação quase exata, que permite intervalos de tempo maiores e maior precisão em comparação com a discretização de Euler. O modelo de Heston é simulado usando os esquemas de Euler e Milstein, e os resultados são comparados. Nota-se que a convergência fraca é importante para payoffs do tipo europeu, enquanto a convergência forte é importante para payoffs dependentes do caminho. O ajuste do número de passos ou caminhos é necessário dependendo do tipo de payoff e da qualidade desejada dos resultados, considerando as restrições de tempo computacional em aplicações do mundo real.

O tempo computacional necessário para as avaliações é discutido e uma comparação de código entre os esquemas de discretização de Euler e Milstein é apresentada. O palestrante orienta sobre otimização de código para ambientes de produção, enfatizando que o armazenamento de caminhos inteiros pode não ser necessário para avaliação de payoff que requer apenas o valor final do estoque. A palestra também fornece a solução exata como uma implementação simplificada do modelo Black-Scholes.

O preço das opções digitais ou de dinheiro ou nada usando a simulação de Monte Carlo é explicado, destacando as diferenças no cálculo do pagamento em comparação com as opções europeias. Diagnósticos e resultados são apresentados para comparar as abordagens para ambos os tipos de opções. A palestra reconhece as limitações das simulações de Monte Carlo para opções com retornos dependentes do terminal, onde forte convergência não está presente. A natureza genérica do código é enfatizada, tornando-o aplicável a outros modelos, como o modelo de Heston.

A palestra mergulha nas condições necessárias para o modelo de Heston se comportar bem e discute como as técnicas de discretização podem afetar essas condições. O impacto das mudanças no parâmetro de volatilidade no comportamento do modelo é demonstrado por meio de gráficos, enfatizando que o processo não deve se tornar negativo. As limitações da discretização de Euler em manter essas condições também são destacadas. A probabilidade de realizações negativas na próxima iteração do modelo de Heston com simulação de Monte Carlo é discutida. A probabilidade de realizações negativas é calculada com base na relação entre determinados parâmetros, e a importância de alinhar os caminhos de Monte Carlo com o modelo é enfatizada para evitar diferenças significativas de preços. Duas abordagens para lidar com valores negativos na simulação do modelo de Heston são discutidas: o truncamento e o esquema de reflexão de Euler. Os prós e contras de cada abordagem são comparados, e o impacto de etapas de tempo menores na redução do viés é mencionado, embora com um custo computacional maior.

A palestra explora o uso de simulação exata para o processo CIR no modelo Heston, permitindo a amostragem diretamente da distribuição qui-quadrada não central. Essa abordagem evita a necessidade de pequenos intervalos de tempo e permite a amostragem em momentos específicos de interesse. O código computacional para a simulação é descrito, enfatizando sua simplicidade e otimização para geração de amostras. A palestra investiga a integração do processo do modelo de Heston para os valores de X e variância, destacando a simplificação alcançada por meio da substituição. A importância da ordenação adequada dos processos em simulações multidimensionais é enfatizada, junto com a recomendação de usar grandes intervalos de tempo para facilitar a integração. A palestra aborda a importância de simulações de grandes intervalos de tempo para precificação de opções em datas específicas, visando reduzir o tempo de cálculo e manter a qualidade. Simulações exatas usando amostragem da distribuição qui-quadrada não central são recomendadas, sem introduzir aproximações adicionais. A palestra também discute o impacto do delta t na precisão da simulação e sugere investigar sua influência nos resultados.

O conceito de erro em finanças computacionais é discutido, com a palestra apresentando um experimento numérico que analisa o desempenho da simulação quase exata do modelo de Heston. A palestra explica que simplificando as integrais e usando a simulação quase exata do processo CIR, a simulação torna-se determinística em vez de estocástica. O professor realiza um experimento numérico para avaliar o desempenho deste esquema simplificado na simulação do modelo de Heston.

A palestra explora ainda mais o trade-off entre esforço computacional e o pequeno erro introduzido na estrutura de finanças computacionais. O palestrante enfatiza a necessidade de calibrar o modelo aos dados de mercado, pois a condição de Feller para processos de volatilidade muitas vezes não é satisfeita na prática. A palestra observa que os coeficientes de correlação para o modelo de Heston são tipicamente fortemente negativos, possivelmente devido a considerações de esquema numérico.

O palestrante discute o uso da simulação de Monte Carlo para precificação de derivativos exóticos e destaca a importância de calibrar o modelo para instrumentos líquidos. A precisão da precificação é assegurada pela simulação de caminhos de Monte Carlo utilizando parâmetros obtidos da calibração do modelo e considerando os instrumentos de hedge relacionados ao derivativo. O palestrante destaca a superioridade da simulação quase exata sobre a discretização de Euler, mesmo com menos intervalos de tempo, e explica que a principal fonte do erro de Euler reside na discretização problemática do processo de variância sob parâmetros extremos ou violações da condição de Feller.

A precisão da discretização de Euler no modelo de Heston é explorada por meio de experimentos com diferentes opções, incluindo opções in-the-money, out-of-the-money e at-the-money. A palestra apresenta o código utilizado no experimento, focando na discretização de Euler e na simulação quase exata, que envolve a amostragem CIR e simulação do processo de estocagem de toras usando o parâmetro de não centralidade.

O palestrante discute as definições e configurações de simulações para precificar opções européias usando discretização de Euler e simulação quase exata. A simulação exata do processo CIR, a correlação dos movimentos brownianos e a transformação exponencial são partes integrantes da simulação. A precificação de opções usando uma função genérica é demonstrada, mostrando o impacto de variáveis como preço de exercício e intervalo de tempo na precisão das simulações. A palestra conclui destacando que a simulação quase exata atinge alta precisão com menos intervalos de tempo em comparação com o esquema de Euler.

A palestra cobre extensivamente o uso da simulação de Monte Carlo para precificar derivativos no modelo Heston. Ele explora a simulação do processo CIR, discute os desafios e as armadilhas e compara diferentes esquemas de discretização. A palestra enfatiza os benefícios da simulação quase exata, destaca a importância da calibração e precisão do modelo e fornece insights práticos e exemplos de código para implementar simulações de Monte Carlo em finanças computacionais.

• 00:00:00 Nesta seção da palestra sobre finanças computacionais, o foco está no uso da simulação de Monte Carlo para precificação de derivativos, como opções europeias, usando o modelo Heston, que é um modelo desafiador no setor. A palestra começa com um aquecimento onde a precificação de opções europeias e digitalizadas é feita usando Monte Carlo e modelo simples de Black-Scholes. A simulação do processo CIR é discutida como a dinâmica para a variância do modelo de Heston, que é um ingrediente essencial na simulação. As armadilhas da simulação são destacadas e a simulação exata do modelo CIR é demonstrada, o que é benéfico para uma amostragem precisa da distribuição. A simulação quase exata é introduzida, o que permite intervalos de tempo maiores do que Euler e maior precisão, e isso é usado para simular o modelo de Heston usando a discretização de Euler, e os resultados são comparados à discretização de Milstein.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a simulação de Monte Carlo do modelo Heston para opções de compra europeias e opções de compra digitais. Eles começam com um estoque inicial de cinco, sigma de trinta por cento, taxa de juros de seis por cento e vencimento de um. Eles comparam os resultados de diferentes números de caminhos usando os esquemas de Euler e Milstein, descobrindo que para recompensas do tipo europeu, a ordem de convergência fraca é importante, enquanto para recompensas dependentes em parte, convergência forte é importante. Eles advertem que, dependendo do tipo de payoff, é preciso ajustar o número de etapas ou caminhos para obter resultados de maior qualidade, tendo em mente o tempo de computação necessário, especialmente em um ambiente de produção onde o tempo é essencial.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra sobre simulação de Monte Carlo do modelo de Heston, o palestrante discute o tempo computacional necessário para avaliações e fornece uma comparação de código entre os esquemas de discretização de Euler e Milstein. O código envolve a geração de caminhos e avaliação de payoff, com arquivos para opções europeias de compra e venda. O palestrante observa que o código pode ser mais eficiente para ambientes de produção e que o armazenamento de caminhos inteiros é desnecessário para a avaliação do payoff, que requer apenas o último valor do estoque. A solução exata é fornecida como uma implementação simples do modelo Black-Scholes.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante explica como calcular o valor de uma opção digital ou em dinheiro ou nada usando a mesma abordagem da opção europeia. A única diferença está no cálculo do payoff, onde eles olham apenas para o valor do estoque no vencimento e para a opção de saída, eles calculam a probabilidade do estoque ser maior que K. Eles executam diferentes diagnósticos e saídas que mostram as semelhanças e erros entre as abordagens das opções europeia e digital. O palestrante também fala sobre as desvantagens de usar simulações de Monte Carlo para opções cujo payoff depende apenas do pagamento terminal, pois não há forte convergência. Por fim, o palestrante observa que o código é genérico, ou seja, a mesma abordagem pode ser utilizada para outros modelos, como o modelo de Heston.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute as condições que devem ser satisfeitas no modelo de Heston para que os caminhos se comportem bem e como as técnicas de discretização podem não ser capazes de manter essas condições. O palestrante explica que se a volatilidade for significativamente menor em comparação com a velocidade de reversão à média multiplicada pela média de longo prazo, então as trajetórias do processo se comportam bem. No entanto, se essa condição não for atendida, os caminhos do processo podem chegar a zero e retornar, tornando-o um processo especial. O palestrante então demonstra o impacto das mudanças no parâmetro de volatilidade por meio de gráficos e explica como o processo não pode se tornar negativo. O palestrante conclui mencionando que se aplicarmos a discretização de Euler, o modelo pode não conseguir manter essas condições e os caminhos podem se comportar de maneira diferente.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o professor discute a probabilidade de realizações negativas na próxima iteração usando o modelo de Heston com simulação de Monte Carlo. A probabilidade de realizações negativas é calculada assumindo que o timestamp anterior tinha um VI positivo e encontrando a probabilidade de VI+1 ser negativo. A probabilidade desse cenário ocorrer depende da relação entre TAPA, V BAR e GAMMA. Se o gama for muito grande e kappa vezes V bar for muito pequeno, a probabilidade de realizações negativas aumenta e pode levar a números complexos, fazendo com que a simulação falhe. O professor enfatiza a importância de não redefinir o modelo e garantir que os caminhos de Monte Carlo se alinhem com o modelo para evitar diferenças substanciais na precificação dos derivativos.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute duas abordagens possíveis para lidar com o problema de valores negativos na simulação do modelo Heston. A primeira abordagem é o truncamento, onde os valores negativos são forçados a serem zero, mas isso introduz um viés que pode divergir significativamente do modelo real. A segunda abordagem é o esquema refletivo de Euler, onde os valores negativos são espelhados em seus valores absolutos, mas isso também redefine o processo e pode resultar em viés. O palestrante compara os dois esquemas e observa que o viés pode ser reduzido com intervalos de tempo menores, mas isso tem um custo computacional maior.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute as duas abordagens utilizadas para a simulação de Monte Carlo do Modelo de Heston: truncamento e princípio de reflexão. Ambas as abordagens fornecem vieses que só podem ser comparados entre si, não com a solução exata. No entanto, sem uma solução exata, uma referência com um número extremamente grande de intervalos de tempo pode ser usada para comparar os vieses. O palestrante também observa a importância de fixar a semente aleatória para ambas as abordagens para garantir exatamente a mesma aleatoriedade para ambos os caminhos. Por fim, o palestrante alerta para um pequeno erro de digitação no código referente à reinicialização das montagens e orienta os alunos a definir um valor fixo para delta t e compará-lo com a referência com um grande número de intervalos de tempo.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a simulação do processo CIR usando simulação exata em vez de depender de Euler ou esquemas de estado intermediário. Com o conhecimento de que o processo CIR segue uma distribuição qui-quadrada não central, é possível amostrar diretamente dessa distribuição usando bibliotecas rápidas disponíveis em linguagens de programação populares, como Python, MATLAB ou C++. A vantagem de amostrar diretamente da distribuição qui-quadrada não central é que pequenos intervalos de tempo não precisam ser considerados, pois é possível amostrar diretamente dos tempos de interesse. Além disso, a apresentação inclui uma discussão sobre o processo de simulação da distribuição, incluindo o impacto dos índices e graus de liberdade nos parâmetros.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante fala sobre a simulação de Monte Carlo do Modelo Heston. Para realizar a simulação de amostragem exata do CIR, os usuários devem definir um parâmetro, calcular certos parâmetros em pontos específicos e obter v tomando um vetor de todos os caminhos. O código computacional usado para simulação é direto, pois envolve gerar uma amostra, avaliar a função e executar o passo de tempo anterior. Além disso, não há verificações condicionais ou requisitos para que a simulação funcione e a amostragem da distribuição exata significa que a simulação não depende das etapas de tempo envolvidas, tornando-a um método ideal para gerar amostras.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da palestra, o foco está na simulação precisa do modelo de Heston usando a distribuição não central de pontuação alta para melhorar a convergência. O modelo Heston tem um processo de variância que também financia o processo CIR, e a amostragem exata do processo CIR é importante para facilitar essa melhoria da convergência. O primeiro passo é realizar uma transformação logarítmica para a convergência da simulação de Monte Carlo. Em seguida, as equações diferenciais estocásticas são expressas em termos de emoções brownianas independentes usando a decomposição de Cholesky para obter uma amostragem exata da distribuição quadrada alta não central. Esta é uma etapa crucial para vinculá-lo ao processo CIR e simular com precisão o modelo Heston.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica a importância de ordenar os processos ao simular problemas multidimensionais e demonstra como integrar o processo do modelo de Heston para os valores de X e variância. A correlação entre X e a variância é a mesma, permitindo que a expressão do processo de variância seja substituída no processo por X. Essa substituição simplifica a equação e permite a simulação de todo o processo. O palestrante aconselha o uso de grandes etapas de tempo para facilitar a integração do processo.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o foco está na realização de grandes simulações de intervalo de tempo, que são cruciais para a precificação de opções em datas específicas. Queremos minimizar o tempo necessário para simulações, reduzindo o número de caminhos simulados entre os pontos de observação, mantendo a qualidade. Simulações exatas usando a amostragem do método dos quadrados altos centrais do empréstimo são recomendadas sem aproximações adicionais. A simulação do modelo de Heston é baseada no valor das amostras no tempo t, aproximado pelo valor no início desse intervalo. A aproximação introduz um novo termo, delta t, que deve ser investigado para determinar um nível aceitável de impacto na precisão da simulação.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o conceito de erro em finanças computacionais é discutido, com a esperança de que o esforço computacional compense o pequeno erro introduzido no framework. As integrais são simplificadas para que a expressão para x_i+1, a simulação quase exata do modelo de Heston, possa ser obtida dada a simulação exata do processo CIR. Ao congelar os valores de vt no tempo t_i, o processo de variância é predeterminado e a simulação não é mais estocástica. Com este esquema simplificado, um experimento numérico é conduzido para analisar o desempenho da simulação quase exata do modelo de Heston.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de simulação quase exata e os benefícios de simulações de grandes intervalos de tempo. Eles explicam que a execução de grandes etapas de tempo reduz o tempo necessário para a computação, mas introduz um erro. A palestra também inclui um experimento analisando o erro gerado ao alterar tamanhos de passo de tempo, preços de exercício e outros parâmetros para o modelo de Heston. O palestrante comenta ainda que a condição de Feller, condição limite para processos de volatilidade, quase sempre não é satisfeita na prática, e destaca a importância de calibrar o modelo aos dados de mercado. Finalmente, a palestra observa que os coeficientes de correlação para o modelo de Heston são tipicamente fortemente negativos na prática, o que pode ser devido ao esquema numérico.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso da simulação de Monte Carlo para precificar derivativos exóticos e a importância de calibrar o modelo para os instrumentos mais líquidos, pois é improvável que o modelo seja calibrado para instrumentos exóticos que não são t comercializados em grandes quantidades. Os parâmetros obtidos da calibração do modelo podem ser usados para simular caminhos de Monte Carlo e precificar o derivativo exótico para garantir que a precificação seja precisa e que os instrumentos de hedge usados para o derivativo sejam levados em consideração durante a calibração. O palestrante também explica como a simulação quase exata é melhor que a discretização de Euler, mesmo com menos intervalos de tempo, e que o erro de Euler é causado principalmente pela discretização problemática do processo de variância para parâmetros extremos ou quando a condição de Feller não é satisfeita.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, a precisão da discretização de Euler do modelo de Heston é explorada por meio do uso de opções deep in-the-money, out-of-the-money e at-the-money, com o resultados mostrando uma melhoria na precisão de opções out-of-the-money para deep-in-the-money. O código usado para o experimento também é discutido, com foco na discretização de Euler e na simulação quase exata, que inclui a amostra cir e a simulação do processo de estoque para o processo de estoque de toras usando o parâmetro de não centralidade.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute as definições e configurações de simulações para precificar opções européias usando Euler e simulação quase exata. A simulação envolve a simulação exata do processo CIR com uma correlação de movimentos brownianos seguida de uma transformação exponencial. O palestrante então demonstra a precificação de opções usando uma função genérica, especificando um vetor de delta t para passos de tempo de discretização e realizando uma simulação exata do método COS. A análise mostra que a simulação quase exata é altamente precisa e requer menos etapas de tempo em comparação com o esquema de Euler. Além disso, a alteração de variáveis, como o preço de exercício e o intervalo de tempo, pode afetar significativamente a precisão das simulações.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o palestrante compara o desempenho da discretização de Euler e a simulação quase exata na simulação de Monte Carlo do modelo Heston. Ao aumentar o número de caminhos, a diferença entre as duas abordagens torna-se mais pronunciada. Os resultados mostram que a simulação quase exata supera a discretização de Euler e é de fato quase exata. A aproximação da integral não é a chave para a obtenção de resultados de alta qualidade, e o experimento demonstra que, se tivéssemos Euler, precisaríamos de muitos intervalos de tempo entre eles, enquanto a simulação quase exata precisaria apenas de alguns passos intermediários para alcançar altos valores. precisão sem ter muitos intervalos de tempo na simulação, tornando-a muito benéfica na simulação do modelo Heston com Monte Carlo.

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Finanças Computacionais: Aula 11/14 (Hedging e Gregos de Monte Carlo)

Finanças Computacionais: Aula 11/14 (Hedging e Gregos de Monte Carlo)

Na palestra, o conceito de hedge é enfatizado como igualmente importante para a precificação de derivativos em finanças. O palestrante se aprofunda em vários cálculos de sensibilidades para determinar o impacto do preço de um derivativo em parâmetros específicos e como conduzir um experimento de cobertura. Vários tópicos importantes são abordados, incluindo os princípios de cobertura no modelo Black-Scholes, simulação de lucros e perdas, cobertura dinâmica e a influência dos saltos. O palestrante destaca que o conceito de hedge determina o valor de um derivativo, e o preço do hedge determina seu valor global.

Para fornecer uma compreensão abrangente, o palestrante começa explicando o conceito de hedge no setor financeiro. As instituições financeiras geram receita aplicando um spread adicional sobre o valor de um derivativo exótico. Para mitigar o risco, é construída uma carteira que replica o derivativo. Essa carteira é composta pelo valor do derivativo com sinal positivo e delta negativo, que corresponde à sensibilidade da carteira à ação. A seleção de um delta apropriado é crucial, pois determina o número de ações que precisam ser compradas ou vendidas para se alinhar com o modelo usado. O palestrante demonstra um experimento em que o delta é ajustado continuamente ao longo da vigência do contrato, resultando em uma perda média de lucro igual a zero.

A palestra aborda o conceito de cobertura delta e distingue entre cobertura dinâmica e estática. O hedge delta é empregado para proteger os fatores de risco em uma carteira, com o valor da carteira replicante determinando o delta da cobertura. A cobertura dinâmica envolve ajustes frequentes ao delta, enquanto a cobertura estática envolve a compra ou venda de derivativos apenas no início ou em intervalos específicos durante o contrato de derivativos. O vídeo também discute a sensibilidade dos hedges ao número de equações diferenciais estocásticas no modelo de precificação e como a frequência do hedge afeta lucros e perdas potenciais.

Apresentando o conceito de conta de lucros e perdas (P&L), a palestra explica seu papel no rastreamento de ganhos ou perdas ao vender derivativos e protegê-los. A conta de lucros e perdas é influenciada pelos recursos iniciais obtidos com a venda de uma opção e pelo valor delta h, que cresce ao longo do tempo com base nas taxas de juros de poupança ou empréstimo. O objetivo é obter uma conta de resultado que se equilibre no vencimento do derivativo, indicando um valor justo cobrado de acordo com o modelo Black-Scholes. No entanto, se o modelo não for escolhido adequadamente, o spread extra adicionado ao valor justo pode não cobrir todos os custos de cobertura, resultando em perda. Assim, é essencial empregar um modelo realista e robusto para precificar derivativos alternativos.

A palestra investiga o processo iterativo de hedge e o cálculo de lucros e perdas (P&L) no final do período de vencimento. Esse processo envolve calcular o delta de uma opção no tempo t0 e no tempo t1 e, em seguida, determinar a diferença entre eles para determinar o número de ações a serem compradas ou vendidas. O palestrante enfatiza a importância de entender o que está sendo vendido e cobrado, pois vender uma opção envolve essencialmente vender volatilidade e cobrar prêmios. Ao final do processo, o valor da opção vendida é determinado com base no valor da ação no vencimento, e o P&L é avaliado usando o prêmio inicial, o valor no vencimento e a quantidade de ações compradas ou vendidas ao longo do processo iterativo .

O palestrante muda o foco para o hedging em finanças computacionais como forma de reduzir a variabilidade e a sensibilidade em relação ao valor das ações. A palestra esclarece como o hedging auxilia na minimização de perdas e apresenta o conceito de distribuição de piano em simulações de caminho de Monte Carlo, destacando que a expectativa de um P&L deve ter uma média de zero. O lucro obtido com a venda de um derivativo exótico e sua cobertura decorre do spread adicional cobrado do cliente, pois o P&L esperado é zero.

Para superar os desafios impostos pela densidade desconhecida em modelos avançados como o modelo da Transformação de Fourier, métodos alternativos são empregados para calcular as sensibilidades. Uma dessas abordagens é o cálculo de Malliavin, que fornece uma estrutura matemática para calcular derivadas de variáveis aleatórias em relação a parâmetros em processos estocásticos.

O cálculo de Malliavin introduz o conceito da derivada de Malliavin, que estende a noção de derivadas clássicas para variáveis aleatórias conduzidas por processos estocásticos. Esta derivada permite o cálculo de sensibilidades para modelos complexos onde os métodos tradicionais podem não ser aplicáveis. Aproveitando o derivado de Malliavin, os profissionais podem obter sensibilidades em relação a vários parâmetros no modelo de Transformação de Fourier. Essa abordagem permite precificação e gerenciamento de risco mais precisos, pois captura as intrincadas dependências e dinâmicas presentes no modelo. No entanto, é importante observar que a utilização do cálculo de Malliavin requer técnicas matemáticas avançadas e uma compreensão profunda da análise estocástica. É um campo especializado que normalmente é explorado por especialistas em finanças quantitativas e finanças matemáticas.

Em resumo, ao lidar com modelos que envolvem densidades desconhecidas, como o modelo da Transformação de Fourier, o cálculo de Malliavin fornece uma ferramenta poderosa para calcular sensibilidades. Essa abordagem permite a avaliação de riscos e a avaliação precisa de derivativos em cenários financeiros complexos.

• 00:00:00 Nesta seção, o conceito de hedge é apresentado como igualmente importante para a precificação de derivativos. A palestra enfoca os diferentes cálculos de sensibilidades para determinar o impacto do preço de um derivativo a um determinado parâmetro e como realizar um experimento de cobertura. A palestra aborda temas como os princípios de hedging no modelo Black-Scholes, simulação de lucros e perdas, hedging dinâmico e o impacto dos saltos. A palestra enfatiza que o conceito de hedge determina o valor de um derivativo e que o preço do hedge determina o valor de um derivativo.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante explica o conceito de hedging em finanças. As instituições financeiras ganham dinheiro com o spread adicional colocado sobre o valor de um derivativo exótico. Para proteger o risco, é construída uma carteira replicando o derivativo, composta pelo valor do derivativo com um sinal positivo e um delta negativo que corresponde à sensibilidade da carteira ao estoque. A escolha do delta adequado é importante, pois determina quantas ações precisam ser compradas ou vendidas para ter a posição com base no modelo utilizado. O palestrante mostra um experimento em que o delta é ajustado continuamente ao longo da vigência do contrato, resultando em uma perda de lucro de zero em média.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, a palestra aborda o conceito de delta hedging e os dois tipos de hedging: dinâmico e estático. O hedge Delta é usado para proteger os fatores de risco em uma carteira. O valor da carteira replicante determina o delta do hedge. A cobertura dinâmica envolve o ajuste frequente do delta, enquanto a cobertura estática compra ou vende derivados apenas no início ou algumas vezes durante o contrato de derivados. O vídeo também discute a sensibilidade dos hedges ao número de equações diferenciais estocásticas no modelo de precificação e como a frequência do hedge afeta lucros e perdas potenciais.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra sobre finanças computacionais, o conceito de conta de lucros e perdas (P&L) é introduzido, que é usado para rastrear a quantidade de dinheiro ganho ou perdido ao vender derivativos e protegê-los. A conta P&L depende da quantia inicial de dinheiro obtida com a venda de uma opção e do valor delta h, que cresce ao longo do tempo com base nas taxas de juros de poupança ou empréstimo. O objetivo é ter uma conta de P&L zerada no vencimento do derivativo, indicando que foi cobrado um valor justo com base no modelo de Black-Scholes. Se o modelo não for escolhido corretamente, o spread extra colocado sobre o valor justo pode não cobrir todos os custos de cobertura, resultando em perda. É importante ter um modelo realista e bom para precificar derivativos alternativos.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, a palestra discute o processo iterativo de hedge e atribuição de lucros e perdas (P&L) no final do prazo de vencimento. O processo envolve calcular o delta de uma opção no tempo t0 e no tempo t1 e encontrar a diferença entre eles para determinar quantas ações comprar ou vender. A seção também enfatiza a importância de ter em mente o que está sendo vendido e cobrado, pois o vendedor de uma opção está essencialmente vendendo volatilidade e cobrando prêmios. Ao final do processo, o valor da opção vendida é determinado com base no valor da ação no vencimento, e o P&L é apurado com base no prêmio inicial, no valor no vencimento e na quantidade de ações compradas ou vendidas ao longo o processo iterativo.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante enfoca a ideia de hedging em finanças computacionais como forma de reduzir a variabilidade e sensibilidade no valor das ações. A palestra explica como o hedging ajuda a reduzir perdas e explica o conceito da distribuição de piano em simulações de caminhos de Monte Carlo, apontando que a expectativa de apl deve ser zero. A palestra ainda explica que o lucro obtido com a venda de um derivativo exótico e o hedge vem do spread extra cobrado do cliente, pois o pl esperado é zero. A palestra termina demonstrando que a expectativa do pl no vencimento é igual a zero.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o procedimento de cobertura e toma uma expectativa para determinar se ela é igual a zero dada a filtragem t0. O palestrante continua explicando que a expectativa de um estoque descontado para hoje é sempre igual ao estoque inicial, e a expressão de um retorno futuro esperado descontado para hoje é igual ao valor de um derivativo. Além disso, o palestrante mostra que o lucro e a perda globais de um derivativo podem ser calculados tomando as contas pl, realizando hedge adequado, avaliando retornos recursivamente e considerando a expectativa, que pode ser negativa ou positiva.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute o impacto da frequência de cobertura na distribuição de probabilidade de lucros e perdas (P/L) na cobertura. A variação da distribuição P/L depende da frequência de cobertura. O pressuposto de um modelo de Black Scholes é que o hedge ocorre continuamente, a todo momento, o que é quase impossível de ser alcançado na prática. Como resultado, o experimento investiga o impacto da frequência de hedging na incerteza P/L. O processo iterativo de desenvolvimento de P/L resulta na distribuição de P/L vista no gráfico, com resultados mostrando que o aumento da frequência de hedge leva a menos incerteza no P/L. Com esse conhecimento, o palestrante passa a estudar como Delta - um fator de sensibilidade de opção, evolui com o tempo em uma simulação de Monte Carlo.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o professor discute o comportamento do delta quando a ação subjacente se afasta do preço de exercício e como isso é afetado pela volatilidade e pelo tempo. De acordo com o modelo Black-Scholes, quando a ação sai do dinheiro, há uma chance menor de acabar no dinheiro. Esse efeito é mais significativo com o passar do tempo, e o delta chega a zero mais rapidamente à medida que a ação cai e se aproxima do vencimento. O professor também menciona o impacto dos saltos no delta hedging e como a realidade se comporta de maneira muito diferente do modelo de Black-Scholes. A palestra inclui um experimento e a implementação de cobertura de delta com vetores para caminhos múltiplos.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute o código de hedging e os gregos de Monte Carlo. O código leva em consideração três argumentos: t, k e s0. O valor de s0 muda com o passar do tempo, tornando-o estocástico, portanto o código precisa incorporar vetores. O programa repete todas as etapas de tempo e calcula delta e PNL, que crescem a uma taxa de r dt. A etapa final subtrai o pagamento, que depende se a opção está dentro ou fora do dinheiro, e vende o hedge. O histograma do PNL mostra diferentes distribuições com base na frequência dos hedges.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute o impacto do aumento da frequência na distribuição de lucros e perdas em um experimento de hedging. Os resultados mostram que à medida que a frequência dos hedges aumenta, a distribuição se torna mais estreita e menos arriscada. Além disso, a palestra explora os efeitos da alteração da dinâmica do modelo adicionando um processo de difusão por salto. Os resultados demonstram que saltos no mercado afetam diretamente o delta e os preços das opções, podendo ocorrer em diferentes direções. O palestrante destaca que esse experimento destaca a importância de considerar diferentes cenários de mercado na hora de fazer o hedge.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o processo de salto de Poisson é considerado em um modelo de difusão, e a simulação inclui correções para o desvio. O experimento altera apenas a dinâmica da ação, mas a sensibilidade do Delta ainda é baseada no modelo de Black-Scholes, criando consistência entre os valores gerados pelo modelo e os parâmetros de hedge. No entanto, as ilustrações mostram mais caminhos perdidos do que caminhos vencedores, o que pode ser devido à distribuição de saltos e ao impacto dos saltos logarítmicos na distribuição de P&L. Aumentar o número de etapas de tempo de 200 para 5.000 mostra que a distribuição se torna um pouco mais estreita, mas o efeito de perder negócios permanece problemático.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute as desvantagens de usar modelos de salto em finanças, principalmente em hedging. A desvantagem é que o efeito de salto cria um PNL negativo, tornando difícil encontrar um hedge para reduzir o risco, razão pela qual modelos como o modelo de Heston são preferidos. Uma maneira de reduzir o efeito de salto é fazer hedge com outra opção com um golpe diferente. A desvantagem é que isso pode exigir a compra de sete derivativos diferentes de diferentes composições, tornando-o caro em termos de preços e cobertura. O palestrante também discute Vega, que é a sensibilidade ao valor de um derivativo à volatilidade - um grego crucial no hedge. Por fim, o palestrante explica por que o delta hedge funciona bem nos modelos Black Scholes e como ele pode ser melhorado.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante discute os conceitos de cobertura delta e vega na prática. Na cobertura prática, o coeficiente de volatilidade da ação seria diferente, o que significa que haveria a necessidade de realizar a cobertura delta, bem como a cobertura vega. O hedge Vega é realizado para proteger a incerteza relacionada às mudanças de volatilidade. Portanto, uma carteira de contratos de derivativos precisaria ser protegida para vega comprando ou vendendo opções que correspondam à sensibilidade do derivativo à volatilidade. Os comerciantes devem certificar-se de que seu portfólio não exceda o limite de um delta e vega, e agregar diferentes negócios para construir um portfólio de negócios seria benéfico ao olhar para delta, vega e outros gregos como gama para cobertura no nível do portfólio .
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, a palestra discute o conceito de hedge e o uso de derivativos para reduzir o risco de uma carteira. O exemplo dado envolve uma carteira de ações e derivativos com um delta de 50 e um vega de 200. O objetivo é reduzir o risco usando opções de compra e comprando ou vendendo ações. A palestra explica que a melhor abordagem é começar com a cobertura do vega porque isso também afetará o delta. Com a venda de 20 opções de compra, o vega da carteira é reduzido a zero e o delta é reduzido a 36. Para proteger o delta restante, são vendidas 36 ações, resultando em uma carteira com zero vega e delta.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção da palestra, o foco está no hedge com gama, que é um derivado do delta. O gama alto significa que o delta mudará muito e, portanto, um portfólio precisa ser reequilibrado com mais frequência para manter o delta baixo. As ações não podem ser usadas para adicionar gama para cobertura, em vez disso, opções ou outros derivativos sensíveis a valores de segunda ordem, como gama ou vega, devem ser empregados. As sensibilidades nos modelos de Black-Scholes são dadas na forma fechada, no entanto, a simulação de Monte Carlo é necessária para modelos para os quais soluções de forma fechada não estão disponíveis. Duas abordagens para obter sensibilidades aproximadas são diferença finita, que é uma ordem de O(delta delta teta) e diferença central, que é uma ordem de delta teta ao quadrado.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, o palestrante discute o cálculo de sensibilidades de valor em relação a certos parâmetros usando diferenças finitas, particularmente com foco nos resultados experimentais de coberturas delta e vega. O alto-falante mostra que a diferença central é mais precisa do que a diferença direta, especialmente para pequenos tamanhos de choque no cálculo de sensibilidades. Além disso, eles introduzem o conceito de pathwise sensitivities, que é a sensibilidade de um valor de uma derivada a um parâmetro, e discutem o elemento central dessa abordagem, o intercâmbio de operadores de diferenciação e expectativa. O palestrante destaca que, embora essa abordagem seja particularmente precisa para payoffs de estilo europeu quando temos algum conhecimento sobre o processo estocástico usado para precificação, existem alternativas que podem melhorar a convergência e facilitar melhores resultados em comparação com cálculos de diferenças finitas.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção da palestra, o foco está na sensibilidade da avaliação de Monte Carlo em relação a mudanças de parâmetros. Se a derivada de uma derivada em relação a um parâmetro for conhecida, ela pode melhorar os resultados incorporando o conhecimento do payoff. A palestra fornece um exemplo de uma opção de compra europeia onde apresenta o modelo Black-Scholes como o direcionador de ações. O modelo tem dois parâmetros, sigma e s0, que podem ser calculados em relação a delta e vega. Através de uma função indicadora, podemos calcular a derivada em relação ao estoque. Uma vez que temos a derivada do payoff e a derivada da ação em relação aos dois parâmetros, podemos calcular a expectativa.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção, o vídeo discute a utilidade das sensibilidades de caminho em finanças computacionais. Ao simular caminhos, pode-se calcular a expectativa e a sensibilidade a st0 e c, levando ao caminho delta e vega. Ao analisar os resultados de um experimento numérico, mostra-se que aumentar o número de caminhos não melhora a qualidade dos resultados além de um certo ponto. O vídeo também inclui um experimento de código python em que o número de caminhos é alterado e a expectativa do caminho delta e vega é calculada com base na mesma semente. As principais conclusões desta seção são que as sensibilidades do caminho podem ser úteis, não exigem reexecuções como os métodos de diferenças finitas e são fáceis de usar, pois dependem de caminhos pré-gerados.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante discute como calcular sensibilidades usando um modelo mais complicado, o modelo Heston, e como ele se compara ao modelo Black-Scholes. O modelo Heston possui uma solução estocástica que requer múltiplos parâmetros para conduzir o processo de volatilidade, tornando o cálculo de sensibilidade usando o conceito Vega mais complexo em comparação com o modelo Black-Scholes. No entanto, a técnica para calcular as sensibilidades permanece a mesma usando a sensibilidade do caminho para obter bons resultados sem esforço ou cálculos extras. O palestrante também recomenda comparar diferenças finitas e cálculos de sensibilidade analítica para garantir a precisão. Finalmente, o método da razão de verossimilhança é introduzido como uma técnica para calcular sensibilidades por meio da troca de integração com cálculos de derivativos.
  
  
• 01:40:00 Nesta seção, o professor discute o método da razão de verossimilhança para calcular os gregos. O método envolve tomar a razão de densidades e substituir suas derivadas na expressão da razão de verossimilhança. Com isso, pode-se calcular um valor de derivada, que é igual à derivada parcial de um logaritmo da densidade de um ativo. Isso é chamado de razão de verossimilhança porque é a razão de densidades. O professor destaca que esse método, embora útil, pode não ser tão prático quanto o método pathwise, pois exige o cálculo da função payoff. No entanto, ainda é bom ter em mente que pode ser mais eficiente para modelos onde o logaritmo da densidade é dado de forma fechada.
  
  
• 01:45:00 Nesta seção, o palestrante explica as dificuldades em calcular a sensibilidade aos parâmetros do modelo da Transformação de Fourier devido à densidade desconhecida. Isso torna muito mais difícil obter mesmo para delta em comparação com a abordagem por caminho. O método da razão de verossimilhança não funcionará bem porque precisamos saber algo sobre a densidade ao lidar com processos mais avançados.

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Finanças Computacionais: Aula 12/14 (Forward Start Options e Modelo de Bates)

Finanças Computacionais: Aula 12/14 (Forward Start Options e Modelo de Bates)

A palestra investiga os meandros das opções de início antecipado, que são um tipo de opção europeia com data de início atrasada, geralmente chamadas de opções de desempenho. Essas opções são mais complexas do que as opções européias padrão, e a palestra fornece uma visão geral de sua definição de retorno e vantagens em comparação com as opções européias.

As técnicas de precificação para opções de início avançado são mais complexas e a palestra se concentra no uso de funções de características. Ele explora dois tipos de opções de início avançado: uma usando o modelo Black-Scholes e a precificação mais desafiadora sob o modelo Heston. A implementação em Python e o preço de um produto dependente de volatilidades também são abordados. A palestra enfatiza a importância das opções europeias como blocos de construção e sua calibração e relação com opções exóticas. Ele aborda o modelo de Bates, que estende o modelo de Heston incorporando saltos de Merton e destaca o uso de parâmetros de cobertura para garantir modelos bem calibrados. O vídeo explica como o valor do estoque inicial desconhecido nas opções de início de avanço é determinado em um momento futuro (t1) e apresenta o conceito de filtragem em relação a essas opções. A palestra também explora como as opções de início antecipado podem servir como blocos de construção para outros derivativos, apresentando uma estratégia para reduzir os custos dos derivativos. Além disso, o professor aborda a construção de uma opção de clique, uma estrutura derivada desejada e sua relação com chamadas europeias e opções de início de encaminhamento. A palestra enfatiza a importância de identificar datas de pagamento ao calcular fatores de desconto para precificação. Também mostra como a proporção de duas ações pode ser reformulada como o expoente de um logaritmo da proporção.

Vários métodos de precificação para opções de início antecipado são discutidos, incluindo simulação de Monte Carlo e soluções analíticas como o modelo Black-Scholes. A necessidade de encontrar a função de característica de avanço, que permite precificar opções de início de avanço para qualquer modelo em uma classe específica de processos, é explicada. A palestra demonstra a precificação de uma opção de início direto usando a função característica e a expectativa de um logaritmo IU de duas ações. O condicionamento em um campo sigma maior ao determinar a função característica é explorado, permitindo que o expoente com o menos log seja tomado fora da expectativa. As funções de características descontadas de T2 a T1 também são utilizadas.

A palestra aprofunda a função de moeda futura, que representa expectativas futuras e é expressa como uma expectativa na medida neutra ao risco. Ele explica que as taxas de juros determinísticas não resultam em nenhuma diferença entre as funções de moeda descontadas e não descontadas. No entanto, as taxas de juros estocásticas introduzem complexidade. O processo de derivação da função característica de partida direta, envolvendo um valor esperado adicional, é delineado, juntamente com a importância de permitir soluções analíticas para a expectativa externa para uso prático. A função característica de partida direta é então aplicada aos modelos Black-Scholes e Heston.

Além disso, a palestra enfoca a função de moeda inicial para o modelo Black-Scholes. Ele observa que a precificação deve depender apenas do desempenho ao longo do tempo e não do valor inicial do estoque, simplificando a solução em comparação com a função de moeda descontada. A presença da parte de variância em múltiplas dimensões requer a solução de uma expectativa interna. Uma representação exata do modelo de Black-Scholes é mostrada, confirmando que a distribuição da razão de duas ações é independente do valor inicial das ações. A distribuição é simplificada em um movimento browniano geométrico, abrangendo um incremento de p1 até t2.

A precificação das opções de início direto no modelo Black-Scholes é explicada, destacando o uso do movimento browniano geométrico para a proporção de duas ações em momentos diferentes. A solução de preços para opções de compra e venda para opções de início a termo se assemelha muito à das opções de compra e venda europeias, com pequenas diferenças no ajuste de preço de exercício e tempos de desconto. A palestra destaca a importância do uso das volatilidades implícitas de Black-Scholes no cálculo de preços, mesmo quando se empregam outros modelos, pois se alinham aos padrões de mercado. Também ressalta a recomendação do palestrante de considerar os dois parâmetros para as opções de início avançado e lembra aos espectadores que os preços de Black-Scholes são conhecidos analiticamente sob este modelo.

Seguindo em frente, o locutor se aprofunda no modelo Hassle, que aumenta a complexidade da função característica para opções de início direto ao introduzir um segundo processo estocástico que representa a variância. No entanto, o palestrante explica que essa segunda dimensão não é necessária para precificar as opções, pois o foco é apenas a distribuição marginal para o processo de estoque. Após simplificação e substituição da função característica, obtém-se a expressão para a função de câmbio a termo. O palestrante sugere revisitar os slides do modelo Hassle para obter mais detalhes sobre as funções envolvidas na expressão.

A palestra prossegue com a discussão da função geradora de momento para um processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR) e apresenta a expressão de forma fechada para a função característica direta no modelo de Heston. O palestrante observa que ter a função de geração de momento na forma fechada permite uma computação mais rápida. Substituindo a função de geração de momento na função de moeda a termo, uma expressão de forma fechada para a função de característica a termo é derivada. Por fim, o palestrante apresenta um experimento numérico para precificar as opções iniciais usando o modelo de Heston e as expressões derivadas.

Em seguida, o orador muda o foco para as opções de início de avanço e o modelo Bates. Eles explicam como o processo de variância é representado por dvt e discutem os parâmetros de volatilidade e variância. O palestrante realiza dois experimentos para observar o impacto das volatilidades implícitas nos parâmetros e o efeito da distância de tempo nas opções de início direto. Os experimentos demonstram que, embora a forma da volatilidade implícita permaneça a mesma, os níveis diferem. À medida que a distância de tempo aumenta, a volatilidade converge para a raiz quadrada da variância de longo prazo. O palestrante explica a lógica por trás das opções de vencimento mais curto com uma densidade mais concentrada em torno de t1 e t2. Experimentos adicionais usando um código são realizados para comparar as volatilidades implícitas.

Continuando, o palestrante aborda a implementação da função de característica de avanço e métodos de custo para precificar opções de início de avanço. A função de característica direta é definida usando expressões lambda e vários parâmetros, incluindo o modelo de Heston e a função de geração de momento para o processo CIR. O método de custo para precificação de opções de início antecipado é semelhante ao de precificação de opções europeias, mas inclui ajustes para lidar com dois momentos diferentes. O palestrante compartilha um truque para obter um bom palpite inicial para o algoritmo de Newton-Raphson ao calcular as volatilidades implícitas futuras, o que envolve a definição de uma grade de volatilidade e a interpolação no preço de mercado.

A palestra prossegue com uma explicação do processo de cálculo de volatilidades implícitas futuras usando o método de Newton-Raphson. A diferença entre o preço da opção do modelo e o preço de mercado é discutida, e o palestrante demonstra como aplicar a função de otimização SciPy para calcular o método de Newton-Raphson e obter a volatilidade ótima, também conhecida como volatilidade implícita. A seção confirma que a média de longo prazo e a variância inicial são as mesmas, e o nível de volatilidade implícita e a volatilidade de entrada futura se alinham. O modelo de Bates, uma extensão do modelo de Heston que incorpora saltos adicionais conduzidos por uma variável aleatória independente j, que segue uma distribuição de Poisson, também é apresentado.

A palestra destaca a diferença entre o modelo Heston e o modelo Bates. Embora o modelo de Heston seja adequado para calibrar o sorriso e distorcer opções de ações com vencimentos mais longos, ele luta com opções com vencimentos mais curtos, como aquelas que expiram em uma ou duas semanas. O modelo de Bates aborda esse problema introduzindo saltos independentes, permitindo uma melhor calibração das opções de curto prazo. Embora o modelo de Bates envolva muitos parâmetros, não é difícil estender a partir do modelo de Heston. A transformação logarítmica é necessária para derivar a função característica do modelo de Bates, e nota-se que o modelo ainda pode ser bem calibrado mesmo com a adição de saltos.

O palestrante então discute a modificação do modelo de Bates, focando especificamente na intensidade estocástica. O palestrante expressa sua opinião de que tornar a intensidade estocástica é desnecessário, pois introduziria complexidade desnecessária sem explorar os parâmetros atuais. Em vez disso, a intensidade no modelo é mantida linear nas variáveis de estado e definida como um desvio constante. O palestrante analisa a estrutura de difusão por salto afim e inclui detalhes das derivações no livro. A única diferença entre a função característica dos modelos de Heston e Bates está no termo "a" do modelo de Bates. Além disso, dois termos de correção contêm todas as informações sobre saltos. Resultados numéricos são apresentados, fornecendo uma análise do impacto da intensidade, volatilidade dos saltos e mu j, que representa a distribuição de j.

A extensão do modelo de Heston para o modelo de Bates é discutida. O modelo de Bates é utilizado para calibrar o modelo a todas as informações de mercado, proporcionando uma vantagem em relação a outros modelos. O código para este modelo é simples e fornece flexibilidade adicional, especialmente para opções de vencimento curto, onde a calibração de todas as informações de mercado é crucial. A palestra também aborda a precificação de derivativos mais interessantes, como o swap de variação, usando o conhecimento adquirido com a precificação de opções de início antecipado ou opções de desempenho.

O palestrante apresenta um tipo de derivativo chamado swap de variância, que permite aos investidores apostar na volatilidade futura de um ativo. O retorno de um swap de variação é definido como a soma dos desempenhos logarítmicos quadrados das ações em uma determinada grade de datas, dividido pelo desempenho anterior das ações. O palestrante observa que a formulação incomum desse payoff fica mais clara quando associada a uma equação diferencial estocástica. Ao precificar esse derivativo, o valor do swap no início será zero se o strike for igual à expectativa constante. Além disso, o palestrante explica que a maioria dos swaps são negociados ao par, ou seja, o valor do contrato é zero quando duas contrapartes concordam em comprar ou vender.

A palestra discute a estrutura dependente do tempo para o modelo de Bates e como ela conecta a volatilidade integral dependente do tempo ao desempenho de um derivativo ao longo do tempo. O payoff é definido como o desempenho logarítmico ao quadrado, que é equivalente à integral da volatilidade. O palestrante explica como encontrar o terceiro valor de um contrato usando o valor esperado de sigma v ao quadrado e as equações diferenciais estocásticas. Adicionalmente, é introduzido o coeficiente de escalonamento de 252 dias úteis como fator essencial nas finanças.

Por fim, o palestrante aborda o valor justo de um swap de variação, que é um contrato de derivativo que permite aos investidores apostar na volatilidade futura de um ativo. O valor justo do swap pode ser expresso como um coeficiente de escalonamento correspondente aos períodos de zero até o vencimento do contrato, mais um elemento correspondente às taxas de juros, menos o valor esperado de q log st dividido por st0. A avaliação dessa expectativa pode ser feita por simulação de Monte Carlo ou por uma distribuição analítica de estoques. É interessante notar que, embora os desempenhos de todos os pequenos intervalos sejam compostos, é equivalente à razão ou logaritmo do valor de uma ação no final dividido pelo valor inicial.

A palestra abrange uma ampla gama de tópicos relacionados a opções de início direto, opções de desempenho, modelo de Heston, modelo de Bates e trocas de variância. Ele fornece informações sobre técnicas de precificação, implementação em Python e a importância desses conceitos em derivativos financeiros.

• 00:00:00 Nesta seção, a palestra se concentra nas opções de início avançado, que são um pouco mais complicadas do que as opções europeias. São um tipo de opção européia que não começa imediatamente, mas no futuro, e são chamadas de opções de desempenho. A palestra aborda a introdução de opções de início avançado, incluindo sua definição de payoff e vantagens em comparação com as opções europeias padrão. As técnicas de precificação para opções de início avançado são mais complicadas e a palestra abrange funções características. A palestra também abrange dois tipos de opções de início avançado, um usando modelos Black-Scholes e o preço mais desafiador das opções de início avançado sob o modelo Heston. A palestra termina com a implementação em Python e a precificação de um produto que depende de volatilidades. A importância das opções europeias como blocos de construção e sua calibração e relação com as opções exóticas são discutidas. A palestra também menciona o modelo Bates, que é o mesmo que o modelo Heston, mas com saltos Merton adicionais, e o uso de parâmetros de hedge para garantir modelos bem calibrados.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o vídeo discute as opções de início antecipado, que são consideradas do tipo europeu, mas com uma data de início futura. O valor inicial do estoque nas opções forward start é desconhecido e será determinado no tempo t1, ao contrário das opções européias, onde o valor inicial do estoque é conhecido no tempo t0. O conceito de filtragem também é discutido em relação às opções de início antecipado e como elas não dependem do valor atual da ação subjacente, mas sim do desempenho de um período específico de tempo. O vídeo também explica como as opções de início antecipado podem ser usadas como blocos de construção para outros derivativos e sugere um exemplo de estratégia para reduzir o custo de um derivativo.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, o professor explica a construção de um elemento para uma opção de clique, que é um derivativo que os investidores gostam devido à sua estrutura desejada. Ele também define o retorno da opção de clique e mostra uma relação entre chamadas europeias e opções de início de encaminhamento. Além disso, o professor explica a importância de identificar as datas de pagamento no cálculo do fator de desconto para precificação. Além disso, ele mostra como a razão de duas ações pode ser reformulada como o expoente de um logaritmo da razão.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute as diferentes formas de precificar opções de início antecipado, incluindo simulação de Monte Carlo e soluções analíticas como o modelo Black-Scholes. O palestrante explica a necessidade de encontrar a função de característica direta, que permite precificar opções de partida de energia para qualquer modelo em uma classe de processos finos. Eles então demonstram a precificação de uma opção de início direto usando a função característica e a expectativa de um logaritmo IU de duas ações. O palestrante também explica como o condicionamento ocorre em um campo sigma maior ao determinar a função característica, permitindo que o expoente com o log negativo seja obtido fora da expectativa. Finalmente, o falante usa funções características descontadas de T2 a T1 em sua derivação.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute a função de moeda futura, que se refere às expectativas futuras e pode ser representada como uma expectativa na medida neutra ao risco. Eles explicam que, ao lidar com taxas de juros determinísticas, não há diferença entre a função moeda descontada e não descontada. No entanto, as coisas se tornam mais complicadas quando as taxas de juros estocásticas são introduzidas. O palestrante observa que o processo para derivar a função de característica de partida direta envolve o cálculo de um valor esperado adicional, que é crucial para as opções de preço. Eles também mencionam que é importante que os processos utilizados na precificação permitam soluções analíticas para a expectativa externa, a fim de tornar o processo viável para uso prático. O palestrante passa a discutir como a função de característica de partida direta pode ser aplicada aos modelos pretos de Scholes e Heston.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o foco está na função de moeda inicial para o modelo Black-Scholes. A precificação deve depender apenas do desempenho ao longo do tempo, não do valor inicial do estoque, o que significa que a solução é muito mais simples do que a função de moeda descontada original. No caso de dimensões múltiplas, a parte da variância ainda está lá, então alguma expectativa interna deve ser resolvida. Uma representação exata do modelo de Black-Scholes é mostrada nesta seção, confirmando que a distribuição da razão de duas ações não depende do valor inicial das ações. Como a distribuição se assemelha à log-normalidade, ela pode ser simplificada em um movimento browniano geométrico, com incremento de p1 até t2.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o preço das opções de início avançado no modelo Black-Scholes. Ele explica que, como eles estão lidando com o movimento browniano geométrico, a proporção de duas ações em momentos diferentes também é um movimento browniano geométrico. A solução de precificação para opções de compra e venda para opções de início a termo se assemelha àquela usada para chamadas e opções de venda europeias, mas com pequenas diferenças no ajuste do preço de exercício e nos tempos usados para desconto. O palestrante destaca a importância do uso das volatilidades implícitas de Black-Scholes no cálculo dos preços, mesmo quando se utilizam outros modelos, pois esse é o padrão de mercado. Ele recomenda ter em mente os dois parâmetros para opções de início avançado e lembra aos espectadores que os preços de Black-Scholes são conhecidos analiticamente sob este modelo.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discutiu o modelo de Hassle e como ele aumenta a complexidade da função característica para a opção de início direto introduzindo um segundo processo estocástico que representa a variância. O palestrante explicou que essa segunda dimensão não é necessária na precificação de opções, pois o foco está apenas na distribuição marginal para o processo de estoque. Após simplificação e substituição da função de caractere, obteve-se a expressão para a função de moeda a termo. O palestrante recomendou revisitar os slides do modelo Hassle para obter mais detalhes sobre as funções envolvidas na expressão.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute a função geradora de momento para um processo CIR e a expressão de forma fechada para a função característica direta no modelo Heston. O palestrante observa que a função de geração de momento é fornecida de forma fechada, o que é benéfico, pois permite uma computação mais rápida. Ao substituir a função de geração de momento na função de moeda a termo, o falante deriva uma expressão de forma fechada para a função de característica a termo. Por fim, o palestrante apresenta um experimento numérico para precificar as opções iniciais usando o modelo de Heston e as expressões derivadas.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute as opções de início avançado e o modelo de Bates. Eles explicam como o processo de variância é dado como dvt e como os parâmetros são usados para volatilidade e variância. O palestrante conduz dois experimentos para observar o impacto das volatilidades implícitas nos parâmetros e o efeito da distância de tempo nas opções de início direto. O primeiro experimento envolve um intervalo fixo de tempo, e o segundo tem um ponto inicial fixo que expande o comprimento do intervalo. Os experimentos mostram a mesma forma da volatilidade implícita, mas com níveis diferentes e, à medida que a distância aumenta, a volatilidade converge para a raiz quadrada da variância de longo prazo. A lógica por trás da maturidade mais curta com uma densidade mais concentrada em torno de t1 e t2 é explicada, e o palestrante realiza experimentos adicionais usando um código para comparar as volatilidades implícitas.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute a implementação da função de característica de avanço e métodos de custo para precificar opções de início de avanço. A função de característica direta é definida usando expressões lambda e vários parâmetros, como os modelos hastel e a função de geração de momento para o processo CIR. O método de custo para precificação de opções de início antecipado é semelhante ao método de custo para precificação de opções europeias, com um ajuste adicional para lidar com dois momentos diferentes. O palestrante também fornece um truque para obter um bom palpite inicial para o algoritmo de Newton-Raphson para calcular as volatilidades implícitas futuras, o que envolve a definição de uma grade para volatilidades e interpolação no preço de mercado.
  
  
• 00:55:00 nesta seção, o palestrante discute o processo de cálculo de volatilidades implícitas futuras usando o método de Newton-Raphson. A palestra mostra a diferença entre o preço da opção do modelo e o preço de mercado e usa a otimização SciPy para calcular o Newton-Raphson aplicado para obter a volatilidade ótima, que seria a volatilidade implícita. A seção também confirma que a média de longo prazo e a variância inicial são as mesmas, e o nível das volatilidades implícitas e da volatilidade de dados futuros é o mesmo. Além disso, a seção discute o modelo de Bates, uma extensão do modelo de Heston, e enfatiza o efeito de salto adicional impulsionado por uma variável aleatória independente j, que é dada pela distribuição de Poisson.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, a diferença entre o modelo de Heston e o modelo de Bates é discutida. Embora o modelo de Heston seja adequado para calibrar o sorriso e a inclinação para opções de ações com maturidade mais longa, ele se esforça para fazê-lo para opções com maturidade mais curta, como aquelas que expiram em uma ou duas semanas. O modelo Bates aborda esse problema adicionando saltos independentes ao processo, permitindo uma melhor calibração das opções de curto prazo. Embora o modelo tenha muitos parâmetros, não é difícil estender o modelo de Heston. A transformação logarítmica é necessária para derivar a função característica para o modelo de Bates, e nota-se que o modelo ainda consegue calibrar bem mesmo com a adição de saltos.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a modificação do modelo de Bates, especificamente a intensidade estocástica. O locutor não acredita que seja necessário tornar a intensidade estocástica, pois introduziria uma complexidade desnecessária sem explorar os parâmetros atuais. A intensidade no modelo é linear nas variáveis de estado e é definida como um desvio constante. O arcabouço de difusão por salto afim é analisado, com detalhes das derivações incluídas no livro. A única diferença entre a função característica dos modelos Heston e Bates está no termo "a" do modelo Bates, enquanto dois termos de correção incluem todas as informações sobre saltos. São apresentados resultados numéricos, com análise do impacto da intensidade, volatilidade dos saltos e mu j, que representa a distribuição de j.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a extensão do modelo de Heston para o modelo de Bates, que é usado para calibrar o modelo para todas as informações de mercado, proporcionando uma vantagem em relação a outros modelos. O código para este modelo é simples e oferece flexibilidade adicional, especialmente em opções de vencimento curto, onde a calibração de todas as informações de mercado é crucial. A palestra também aborda a precificação de derivativos muito mais interessantes, como o swap de variação, usando o conhecimento adquirido com a precificação de opções de início antecipado ou opções de desempenho.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção, o palestrante discute um tipo de derivativo chamado swap de variância, que é definido como uma soma dos logaritmos quadrados dos desempenhos das ações em uma determinada grade de datas, dividido pelo desempenho anterior das ações. O palestrante observa que a formulação incomum desse payoff fica mais clara quando associada a uma equação diferencial estocástica. Ao precificar esse derivativo, o valor do swap no início valerá zero se o strike for igual à expectativa, que é uma constante. Além disso, o palestrante explica que a maioria dos swaps é negociada ao par, ou seja, o valor do contrato é zero quando duas contrapartes concordam em comprar ou vender.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute a estrutura dependente do tempo para o modelo de Bates e como ela vincula a integral sobre a volatilidade dependente do tempo ao desempenho de uma derivada no tempo. O payoff é definido como o logaritmo do desempenho ao quadrado, que é equivalente à integral da volatilidade. O palestrante também explica como encontrar o terceiro valor de um contrato usando o valor esperado de sigma v ao quadrado e as equações diferenciais estocásticas. Adicionalmente, é introduzido o coeficiente de escalonamento de 252 dias úteis como fator essencial nas finanças.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute o valor justo de um swap de variação, que é o contrato de derivativo que permite aos investidores apostar na volatilidade futura de um ativo. O valor justo do swap pode ser expresso como um coeficiente de escalonamento correspondente aos períodos de zero até o vencimento do contrato, mais um elemento correspondente às taxas de juros, menos o valor esperado de q log st dividido por st0. Para avaliar essa expectativa, pode-se usar a simulação de Monte Carlo ou uma distribuição analítica de estoques, e é interessante notar que, embora componhamos os desempenhos de todos os pequenos intervalos, ela equivale à razão ou logaritmo do valor de um estoque no final dividido pelo valor inicial.

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Finanças Computacionais: Aula 13/14 (Derivadas Exóticas)

Finanças Computacionais: Aula 13/14 (Derivadas Exóticas)

A palestra se concentra na precificação de derivativos exóticos e na extensão de modelos de precificação para casos dependentes de trajetória. A principal motivação para estender a estrutura de pagamento é oferecer aos clientes preços mais baratos, ao mesmo tempo em que oferece exposição às flutuações do mercado de ações. O uso de recursos e barreiras digitais é explorado como um meio de reduzir os custos de derivativos, mantendo a exposição desejada. A palestra aborda vários tipos de pagamentos, incluindo binários e digitais, opções de barreira e opções asiáticas, examinando seu impacto nos preços dos derivativos. Além disso, a palestra discute a precificação de opções de vários ativos e possíveis extensões de modelo para lidar com cestas de centenas de ações.

O procedimento de precificação de produtos financeiros é discutido, começando com a especificação do produto e os fatores de risco necessários para modelagem e precificação usando equações diferenciais estocásticas, como o modelo de Black-Scholes, saltos e modelos de volatilidade estocástica. Dependendo da complexidade do produto, um sistema de equações uni ou bidimensional pode ser suficiente para uma precificação precisa. O processo também envolve calibração e hedging, onde um conjunto ótimo de parâmetros é escolhido para precificar o produto e minimizar os custos de hedging, garantindo um ambiente livre de arbitragem.

Diferentes tipos de opções são definidos, com foco em opções europeias, opções americanas e opções das Bermudas. As opções europeias são consideradas blocos de construção fundamentais para derivativos exóticos, mas podem ser difíceis de cronometrar e acarretar riscos significativos. As opções americanas oferecem mais flexibilidade, permitindo o exercício a qualquer momento, enquanto as opções das Bermudas permitem o exercício apenas em datas específicas.

Derivativos exóticos e opções dependentes do caminho são introduzidos, que dependem de todo o histórico de uma ação, e não apenas da distribuição marginal em um momento específico. Ajustar a função de pagamento usando binários e digitais reduz significativamente os valores derivados. A palestra abrange vários tipos de derivativos exóticos, incluindo ativo ou nada, dinheiro ou nada, ações ou nada, opções compostas e opções de escolha. Essas opções envolvem limitar o contrato de alguma forma, como máximos, mínimos ou outras restrições, para controlar os custos. A popularidade de derivativos exóticos no passado, especialmente em tempos de altas taxas de juros, também é discutida.

É explicada uma estratégia para gerar altos lucros por meio de um derivativo exótico. A estratégia envolve alocar a maior parte do investimento em uma conta segura com retorno garantido e precificar um possível pagamento de opção. Embora essa estratégia não seja popular atualmente, ela foi eficaz no passado. A palestra também inclui exemplos de código para avaliar contratos e reduzir seu valor, definindo limites superiores para o crescimento potencial do estoque. A palestra destaca como um pequeno ajuste na estrutura de payoff pode reduzir significativamente as avaliações, tornando os derivativos mais atraentes para os clientes. Ao introduzir barreiras e dependência de caminho, os custos podem ser reduzidos. Várias opções de barreira são discutidas, como up-and-out, down-and-out, up-and-in, down-and-in, e seu impacto na precificação de derivativos com base no comportamento histórico da ação.

O conceito de opções de lookback é explorado, onde o valor máximo ou mínimo de uma ação ao longo de sua vida determina o retorno no vencimento. As opções de lookback incorporam a dependência do caminho e podem fornecer pagamentos positivos mesmo se o estoque for menor no vencimento do que o preço de exercício. A palestra explica a implementação de opções de lookback usando simulação de Monte Carlo e equações diferenciais parciais (PDEs), enfatizando condições de contorno especiais para opções de barreira e sua extensão para outros derivados exóticos.

As opções de barreira são discutidas em detalhes, destacando seu apelo aos clientes da contraparte e seu uso no mercado de moedas cruzadas. A palestra explica as configurações e vantagens das opções de barreira, incluindo as opções de saída, entrada, descida e subida. O palestrante enfatiza que as opções de barreira podem ser dependentes do tempo, agregando complexidade ao contrato. Simulação de Monte Carlo e PDEs são apresentados como métodos computacionais para precificação de opções de barreira.

A palestra compara as opções up-and-out com as opções européias padrão, observando a redução significativa no valor das opções up-and-out devido ao seu retorno acionado por barreira. É introduzido o conceito de opções up-and-out com barreira, onde o payoff só ocorre se a ação não ultrapassar um determinado nível durante sua vida útil. A palestra demonstra o impacto de uma barreira no preço de um derivativo por meio de um exercício de programação, mostrando que o preço de uma opção up-and-out com barreira é equivalente ao preço de uma opção digital com estrutura de payoff semelhante.

O palestrante passa então a explicar a implementação de uma barreira up-and-out usando a simulação de Monte Carlo. Ao contrário do payoff de uma opção digital, que depende apenas do valor da ação no vencimento, uma barreira up-and-out também considera o histórico do comportamento da ação ao longo da vida do derivativo. Uma função é definida para determinar se a barreira foi atingida, utilizando uma matriz booleana e uma condição lógica. O "vetor de acerto" resultante é um vetor binário que indica se a barreira foi atingida em cada caminho. O palestrante demonstra como a alteração do valor da barreira afeta o vetor de acerto, enfatizando que o payoff é zero se a barreira for atingida e um se não for atingida.

O conceito de introdução de barreira nos contratos de derivativos é explicado como forma de reduzir seu valor, proporcionando uma opção mais acessível para clientes que buscam exposição a um ativo específico. A presença de uma barreira tem um impacto significativo no valor do derivativo, podendo levar a perdas caso o estoque não ultrapasse o nível especificado. No entanto, ao incorporar barreiras, os preços dos derivativos podem ser reduzidos em aproximadamente 30%, tornando-os mais atrativos para os investidores. No entanto, derivativos descontínuos com barreiras podem apresentar desafios em termos de custos de cobertura, que podem subir ao infinito. Para mitigar esse problema, o palestrante sugere replicar o payoff usando métodos alternativos para reduzir custos.

O vídeo apresenta o conceito de replicar o recurso digital de uma opção comprando e vendendo estrategicamente opções de compra com diferentes preços de exercício. À medida que os preços de exercício se aproximam, o retorno resultante torna-se mais semelhante a uma opção digital. No entanto, o palestrante reconhece as dificuldades em replicar com precisão a descontinuidade de opções devido a mudanças nas sensibilidades delta e gama. Embora aproximações possam ser usadas para cobertura, é crucial cobrar prêmios para compensar possíveis perdas de cobertura causadas pela natureza digital da opção. O vídeo enfatiza o conceito de redução de custos de derivativos introduzindo limitações digitais ou alterando a estrutura de pagamento.

A palestra então passa a discutir as opções asiáticas como um meio de reduzir a volatilidade e a incerteza associadas a um ativo subjacente, consequentemente diminuindo o preço dos derivativos. As opções asiáticas são baseadas no comportamento médio de uma ação flutuante, que tende a ser mais suave do que a própria ação, reduzindo a incerteza associada. O palestrante explora diferentes variantes de opções asiáticas disponíveis no mercado, incluindo chamadas e opções de venda fixas e flutuantes. As opções de exercício flutuantes, em particular, são populares na negociação de commodities devido à sua capacidade de reduzir a incerteza e mitigar os riscos associados a um nível de ativo subjacente específico.

O palestrante explica ainda os vários métodos de cálculo da média de uma ação, destacando sua importância na negociação. São introduzidos dois tipos de médias, aritmética e geométrica, sendo a média geométrica preferida para análise matemática devido à sua expressão analítica. Na prática, os somatórios são frequentemente usados, necessitando de técnicas de aproximação como a simulação de Monte Carlo ou PDEs. A palestra também aprofunda o conceito de média contínua, que difere da média aritmética por sua representação integral, acrescentando uma dimensão adicional ao problema de precificação e tornando-o mais complexo de resolver.

O foco então muda para a precificação de opções asiáticas, o que implica afastar-se de um problema unidimensional e envolver considerações de dimensão superior. As opções asiáticas apresentam duas variáveis independentes: o preço da ação e a integral da ação. O payoff da opção depende da integral observada ou caminho de zero até o vencimento, com o pagamento feito no vencimento. A palestra reconhece que precificar contratos de derivativos exóticos com quantidades dependentes da parte final pode ser desafiador, exigindo técnicas mais avançadas. No entanto, a cobertura delta ainda é eficaz na obtenção de coeficientes de cobertura adequados, apesar das complexidades introduzidas pelas opções asiáticas. O palestrante discute o uso da simulação de Monte Carlo para precificar opções asiáticas, destacando sua flexibilidade em lidar com problemas de alta dimensão. Ao simular vários caminhos do preço das ações e calcular o retorno médio, a simulação de Monte Carlo pode fornecer uma estimativa do preço da opção. A palestra também menciona os possíveis desafios da simulação de Monte Carlo, como problemas de convergência e a necessidade de um número suficiente de caminhos para obter resultados precisos.

O palestrante passa então a discutir outro tipo de opção exótica conhecida como opção de barreira com abatimento. Esta opção tem uma estrutura semelhante à opção de barreira discutida anteriormente, mas com um desconto adicional de pagamento se a barreira for atingida. A presença do rebate compensa o titular da opção caso a barreira seja rompida, mitigando possíveis perdas. A palestra explica que o pagamento do rebate reduz o custo da opção, tornando-a mais atrativa para os investidores.

Para precificar as opções de barreira com abatimentos, o palestrante introduz o conceito de reverse knock-out option, que é o inverso de uma opção knock-out. A opção de knock-out reverso paga um desconto se a barreira não for atingida. Precificando a opção knock-out reversa e subtraindo o pagamento do desconto, o preço da opção de barreira com desconto pode ser determinado. O vídeo fornece um exemplo de implementação dessa metodologia de precificação usando a simulação de Monte Carlo.

Ao longo da palestra, é enfatizada a importância de entender e precificar contratos de derivativos exóticos de forma eficaz. As opções exóticas fornecem flexibilidade e soluções personalizadas para os investidores, mas sua precificação e gerenciamento de risco exigem modelos e técnicas sofisticadas. A palestra conclui destacando a necessidade de mais pesquisa e desenvolvimento neste campo, bem como a importância da colaboração entre a academia e a indústria para aprimorar as metodologias de precificação de derivativos e atender às crescentes necessidades dos participantes do mercado.

• 00:00:00 Nesta seção, o foco está na precificação de derivativos exóticos e na extensão dos modelos de precificação para casos dependentes de trajetória. A necessidade de estender o payoff surge quando os clientes desejam preços mais baratos para o derivativo, mas ainda desejam a mesma exposição às flutuações do mercado de ações. Explora-se o uso de recursos e barreiras digitais, o que permite reduzir o custo do derivativo e ainda fornecer exposição aos recursos desejados. A palestra analisa os diferentes tipos de pagamentos, como binários e digitais, opções de barreira e opções asiáticas, e como eles afetam o preço do derivativo. Finalmente, são discutidas opções multi-ativos, incluindo as possíveis extensões dos modelos para lidar com cestas de centenas de ações.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção da palestra sobre derivativos exóticos em finanças computacionais, o foco está no procedimento de precificação de produtos financeiros. Começa com a especificação do produto e dos fatores de risco necessários para modelagem e precificação usando múltiplas equações diferenciais estocásticas, como o modelo Black-Scholes, saltos e modelos estocásticos de volatilidade. Dependendo da complexidade do produto, um sistema de equações uni ou bidimensional pode ser suficiente para descrever ou precificar o derivado com precisão. O processo também envolve calibração e hedge, onde um conjunto ideal de parâmetros é escolhido para precificar o produto e usá-lo para hedge. Os custos de cobertura não devem ser superiores ao derivado que está sendo vendido ao cliente para garantir um mundo livre de arbitragem.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute as definições de diferentes opções. São abrangidas quatro categorias principais de opções, incluindo opções europeias que permitem exercício em apenas um momento, opções americanas que permitem exercício a qualquer momento e opções das Bermudas que permitem exercício em datas específicas. O palestrante continua explicando que as opções europeias são as mais populares e são blocos de construção fundamentais para todos os tipos de derivativos exóticos. No entanto, eles são difíceis de cronometrar e podem ser muito arriscados. O palestrante observa que as opções americanas podem ser exercidas a qualquer momento, enquanto as opções das Bermudas permitem o exercício apenas em datas específicas.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, aprendemos sobre derivativos exóticos e opções dependentes do caminho, que são contratos que dependem de todo o histórico de uma ação. Em vez de estar interessado apenas na distribuição marginal em um determinado momento, esses contratos são baseados na dependência passada e cada caminho determinará o valor do contrato. Uma forma de reduzir o custo de um derivativo é usar binários e digitais, que são opções com retorno descontínuo no vencimento. Ao usar essas técnicas para ajustar a função de retorno, o valor do derivativo pode ser significativamente reduzido. Esse simples ajuste remove a probabilidade de resultados extremos, resultando em preços mais baixos desses contratos.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o vídeo discute vários tipos de derivativos exóticos, que incluem ativo ou nada, dinheiro ou nada, ações ou nada e opções compostas. As opções compostas permitem a escolha de um valor de uma opção no vencimento com vencimento diferente, enquanto as opções de escolha permitem que os investidores escolham entre uma opção de venda ou compra. O vídeo enfatiza que esses tipos de opções envolvem limitar o contrato de alguma forma, como máximos, mínimos ou outras restrições para controlar o custo. O vídeo também menciona a popularidade de derivativos exóticos no passado, principalmente em tempos de altas taxas de juros.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante explica uma estratégia para gerar altos lucros por meio de um derivado exótico que caiu em desuso. A estratégia envolve colocar 95% de um investimento em uma conta segura com um retorno total garantido e precificar um possível pagamento de opção. Embora a estratégia não seja popular atualmente, foi muito eficaz no passado. O palestrante explica o código para avaliar contratos e reduzir o valor de um contrato, definindo um limite superior para o crescimento potencial do estoque. A demonstração usa uma função de compensação genérica que pode ser alterada em tempo real para ilustrar seu impacto no preço.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute como um pequeno ajuste em um payoff pode reduzir significativamente as avaliações, tornando-o mais atraente para o cliente. Ao introduzir um limite no maior potencial, o valor do payoff pode diminuir mais de três vezes, apesar de reduzir o lucro potencial para o cliente. Além disso, ele fala sobre como a redução dos custos de um preço de um derivativo pode ser alcançada tornando-o dependente de barreiras, introduzindo algum tipo de dependência de caminho. O contrato basicamente paga apenas se o estoque durante toda a vida útil não atingir o limite ou condição ou expirar como zero. Existem várias possibilidades, como up-and-out, down-and-out call, up-and-in call, down-and-in call ou opções de venda, e ele explica como confiar no histórico da ação ao longo do tempo t0 até o vencimento determinar o valor final do pagamento.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o foco são os derivativos exóticos, especificamente a opção lookback. Essa opção envolve no máximo uma ação ao longo da vida, sendo o payoff no vencimento o valor máximo observado historicamente. Essa estrutura incorpora a dependência do caminho, permitindo um pagamento positivo mesmo se o estoque for menor no vencimento do que o preço de exercício. Da mesma forma, um valor mínimo do estoque pode ser usado para uma opção de venda. A opção lookback é relativamente fácil de implementar em Monte Carlo, e para opções de barreira, equações diferenciais parciais podem ser usadas, com condições de contorno especiais necessárias. A introdução de barreiras e janelas para travessia de barreiras também pode ser incorporada a outros derivados exóticos, como knock-ins e knockouts.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute as opções de barreira e seu apelo aos clientes da contraparte. Esses contratos podem ser atraentes, mas devem contar com ativos subjacentes líquidos para evitar spreads de compra e venda. As opções de barreira são comumente usadas no mercado de moedas cruzadas e podem ser consideradas para especulação. O palestrante explica várias configurações e vantagens das opções de barreira, incluindo opções de saída, entrada, descida e subida. Eles mencionam que a barreira pode depender do tempo para adicionar complexidade ao contrato. O cálculo para Monte Carlo é relativamente direto, enquanto os PDEs requerem o ajuste das condições de contorno.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, a palestra discute derivativos exóticos, como opções up e out, e como elas diferem das opções européias padrão. As opções up e out só têm retorno se a barreira for acionada, o que significa que seu valor é significativamente reduzido em comparação com as opções europeias. A palestra também apresenta o conceito de opções de barreira up and out, onde o payoff só ocorre se a ação não ultrapassar um determinado nível durante sua vida útil. O impacto de uma barreira no preço de um derivativo também é explorado por meio de um exercício de programação, com a barreira de alta e saída precificada equivalente ao preço de uma avaliação de payoff digital.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute a implementação de uma barreira up-and-out usando a simulação de Monte Carlo. Ao contrário de um payoff digital, que depende apenas do valor da ação no vencimento, uma barreira up-and-out também considera o histórico do comportamento da ação ao longo da vida do derivativo. A função para determinar se a barreira foi atingida é definida usando uma matriz booleana e uma condição lógica. O vetor de acerto resultante é um vetor zero e um que identifica se a barreira foi atingida para cada caminho. O palestrante demonstra como a alteração do valor da barreira afeta o vetor de acerto resultante e enfatiza que o retorno é zero se a barreira for atingida e um se não for atingida.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, foi explorado o conceito de opção de barreira como forma de reduzir o valor dos derivativos, proporcionando uma alternativa mais barata para clientes com alguma exposição a um determinado ativo. A presença de uma barreira teve um impacto significativo no valor do derivativo, levando a uma perda potencial caso o estoque não ultrapassasse um determinado nível. A introdução de uma barreira reduziu o preço dos derivados em cerca de 30%, tornando-os mais atrativos para os investidores. No entanto, no caso de derivativos descontínuos, os custos de cobertura podem subir ao infinito, colocando problemas para o cliente. Uma solução possível para isso é replicar o retorno com um método ligeiramente diferente para reduzir custos.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o vídeo apresenta a ideia de replicar a característica digital de uma opção vendendo e comprando opções de compra com diferentes strikes. À medida que os golpes se aproximam, a recompensa se torna mais digital. No entanto, existem algumas dificuldades em replicar a descontinuidade nas opções devido a mudanças nas sensibilidades delta e gama. O vídeo observa que, embora as aproximações possam ser usadas para cobertura, é importante cobrar prêmios para compensar possíveis perdas de cobertura devido à digitalização. O conceito de reduzir o custo dos derivativos introduzindo limitações digitais ou alterando a estrutura de um payoff também é discutido.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante explica como reduzir a volatilidade e a incerteza associadas a um ativo subjacente, que reduz o preço dos derivativos através da introdução de opções asiáticas, opções em média. Ele explica que a curva média de uma ação flutuante é mais suave do que a própria ação, tornando menor a incerteza associada a ela. O palestrante também discute as diferentes variantes possíveis de opções asiáticas disponíveis no mercado, incluindo opções de exercício fixas e flutuantes e opções de venda, sendo as opções de exercício flutuantes populares na negociação de commodities devido à redução da incerteza e dos riscos associados ao nível específico do subjacente ativo.
  
  
• 01:10:00 Nesta seção, o palestrante explica as diferentes formas de calcular a média de uma ação, que é um aspecto importante a ser considerado na negociação. Os dois tipos de média são a média aritmética e a média geométrica, sendo esta última a preferida para análises matemáticas devido a sua expressão analítica. Porém, na prática, mais frequentemente, os produtos são somatórios, que requerem técnicas de aproximação como Monte Carlo ou PDEs. Além disso, o palestrante aprofunda o conceito de média contínua e como ela difere da média aritmética devido à sua representação integral. A representação integral adiciona uma dimensão extra ao problema de precificação e o torna mais complicado de resolver.
  
  
• 01:15:00 Nesta seção da palestra, o foco é a precificação de opções asiáticas, que se afasta de um problema de precificação unidimensional e envolve um problema de dimensão superior, pois envolve duas variáveis independentes: o preço da ação e a integral do estoque. O payoff da opção depende da integral ou caminho observado de zero a T, onde o pagamento é feito no vencimento. As quantidades dependentes da parte final em contratos de derivativos exóticos podem ser escritas na forma, mas, infelizmente, o sistema de equações não é bom, o que significa que são necessárias técnicas mais avançadas para precificar e avaliar a opção. No entanto, apesar da incerteza, o delta hedging ainda é suficiente para obter os coeficientes de hedging adequados.
  
  
• 01:20:00 Nesta seção, é discutida a dinâmica de uma carteira envolvendo um derivativo de opções asiáticas. A carteira envolve duas dimensões para a ação e o contrato de opção, o que significa que deve ser utilizada uma PDE com duas dimensões. A dinâmica da carteira envolve uma função genérica de uma ação e a derivada de uma derivada de uma opção asiática. A cobertura de opções asiáticas envolve a escolha de um delta que corresponda ao derivado. O PDE para precificação de uma opção asiática acaba sendo mais complicado do que para uma opção européia devido à dimensão adicional que precisa ser cuidada. O código para implementar opções asiáticas e calcular o efeito de incerteza de volatilidade reduzida também é mostrado.
  
  
• 01:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a variação de uma ação no vencimento e como isso afeta a precificação. Uma volatilidade mais baixa se traduz em um preço mais baixo, enquanto um aumento na volatilidade leva a preços mais altos. A palestra também investiga as opções de cesta e como elas são uma coleção de ações que são correlacionadas positiva ou negativamente. As opções de cesta estão crescendo em popularidade e podem ajudar a reduzir os riscos de investimento em carteiras, e as correlações entre diferentes ações subjacentes podem reduzir ainda mais o risco e levar a mais investimentos em potencial.
  
  
• 01:30:00 Nesta seção da palestra sobre derivativos exóticos, o professor discute opções de cestas e suas variantes. Essas opções envolvem um conjunto de ações que um investidor deseja incluir em sua cesta, com opções de compra sobre o ativo de melhor desempenho ou opções de troca com base na diferença de duas ações subjacentes. O objetivo dessas opções é ter um desempenho melhor do que o índice principal para atrair investidores. No entanto, precificar esses derivados de alta dimensão é altamente complexo e muitas vezes requer técnicas numéricas, uma vez que não podem ser resolvidos analiticamente. A presença de dividendos também complica a dinâmica do estoque. O professor enfatiza que os PDEs de alta dimensão são demorados e difíceis de resolver, especialmente para cestas compostas por centenas de ações subjacentes.
  
  
• 01:35:00 Nesta seção, o palestrante discute os desafios enfrentados na solução de um problema de alta dimensão relacionado a opções multiativos. Esses desafios surgem à medida que as dimensões aumentam, resultando em uma maldição de dimensionalidade. As técnicas de Monte Carlo são uma abordagem popular para resolver esses problemas complicados. Nos casos em que é necessário calibrar correlações, isso pode ser feito usando dados históricos ou usando diferentes derivados, como derivados exóticos. Além disso, o palestrante também aponta que com PDs, pode-se melhorar sua abordagem por meio de técnicas numéricas como grades adaptativas e paralelização. No entanto, se a dimensão for muito alta, nenhuma dessas técnicas pode ser utilizada, e Monte Carlo seria a melhor abordagem para resolver esse tipo de problema.

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Finanças Computacionais: Aula 14/14 (Resumo do Curso)

Finanças Computacionais: Aula 14/14 (Resumo do Curso)

A série sobre finanças computacionais foi concluída com um resumo abrangente dos tópicos importantes abordados em cada palestra. O curso abrangeu uma ampla gama de assuntos, incluindo equações diferenciais estocásticas, volatilidades implícitas, difusões de salto, classe afim de processos de difusão, modelos de volatilidade estocástica e transformações de Fourier para precificação de opções. Ele também se aprofundou em técnicas numéricas como simulações de Monte Carlo e várias estratégias de hedge.

Nas aulas posteriores, o foco mudou para as opções forward start e derivativos exóticos, onde o conhecimento adquirido ao longo do curso foi aplicado para estruturar esses produtos financeiros complexos. As palestras iniciais forneceram uma introdução ao curso e discutiram os princípios fundamentais da engenharia financeira, diferentes mercados e classes de ativos. A palestra dois abordou especificamente vários tipos de opções e estratégias de hedge, com ênfase em commodities, moedas e criptomoedas.

A precificação de opções de compra e venda e sua relação com o hedge foi um tema central ao longo do curso. O palestrante enfatizou que o preço de uma estratégia de hedge deve ser sempre equivalente ao preço de um derivativo para evitar oportunidades de arbitragem. Os aspectos matemáticos da modelagem de diferentes classes de ativos, incluindo preços de ativos e medição de aleatoriedade, foram discutidos. Processos estocásticos, equações diferenciais estocásticas e o lema de Itô foram destacados como ferramentas vitais para a precificação de instrumentos financeiros. Simulações em Python também foram demonstradas, mostrando como as equações diferenciais estocásticas podem simular o comportamento real dos movimentos de estoque para fins de precificação. As vantagens e desvantagens do modelo Black-Scholes foram abordadas, enfatizando a necessidade de uma perspectiva holística para garantir consistência na gestão de carteiras e estratégias de hedge.

Martingales foram repetidamente enfatizados como um conceito crítico na precificação de opções, e outros tópicos importantes abordados no curso incluíram o modelo Black-Scholes, volatilidade implícita, convergência do algoritmo Newton-Raphson e as limitações da volatilidade dependente do tempo. A aplicação prática da codificação Python para verificar se um processo simulado é um martingale e o impacto das medidas na deriva foram exploradas. O curso forneceu uma visão profunda sobre a precificação de opções européias simples, mostrando como diferentes modelos e medidas podem ser empregados para calcular seus preços.

As limitações do modelo de Black-Scholes foram discutidas, principalmente em relação à incorporação de saltos no modelo. Embora os saltos possam melhorar a calibração das superfícies de volatilidade implícita e gerar desvios, eles também introduzem complexidade e reduzem a eficiência do hedge. Modelos estocásticos de volatilidade, como o modelo Heston, foram introduzidos para aumentar a flexibilidade do modelo na calibração e precificação de opções exóticas. Além disso, uma técnica de precificação rápida foi apresentada como solução. A palestra também delineou as condições que os modelos ou equações diferenciais estocásticas devem satisfazer para serem usados dentro dos modelos afins nas transformações de Fourier.

Dois importantes modelos de precificação de ações e ações foram discutidos: a classe afim de processos de difusão e o modelo de volatilidade estocástica, especificamente o modelo de Heston. A classe afim de processos de difusão permite a calibração rápida das opções europeias, enquanto o modelo Heston oferece flexibilidade na calibração de toda a superfície de volatilidades implícitas das opções europeias. A palestra abordou os impactos e vantagens da correlação nos modelos, precificação de PDE e o uso de transformações de Fourier para precificação quando um modelo pertence à classe afim de processos. Compreender e utilizar esses modelos foram destacados como habilidades valiosas em finanças computacionais.

A precificação de opções europeias, com foco em opções de compra e venda, foi o foco central de outra palestra. Enfatizou-se o uso de uma função característica e a capacidade de resolver sistemas de EDOs de valores complexos, juntamente com a importância de técnicas numéricas para obtenção de soluções. Equilibrar um bom modelo com calibração e avaliação eficientes foi enfatizado para aplicações práticas e aceitação da indústria. As vantagens do método cos da transformada de Fourier para apreçamento foram discutidas, juntamente com sua implementação em Vital. A calibração eficiente e a utilização de simulações de Monte Carlo para precificação também foram recomendadas.

A amostragem de Monte Carlo na precificação de derivativos exóticos foi extensivamente explorada em outra palestra. Os desafios impostos por múltiplas dimensões, complexidade do modelo e custos computacionais na precificação precisa foram abordados. A simulação de Monte Carlo foi apresentada como uma abordagem de precificação alternativa, com foco na redução de erros e melhoria da precisão. A palestra cobriu vários aspectos da amostragem de Monte Carlo, incluindo integração, integração estocástica e métodos de calibração, como os esquemas de Euler e Milstein. A avaliação da suavidade das funções de pagamento e a compreensão dos conversores fracos e fortes foram destacadas como cruciais para garantir preços precisos.

A palestra dedicada ao modelo de Heston discutiu sua flexibilidade na calibração, modelagem de superfície de volatilidade implícita e simulação eficiente de Monte Carlo. A palestra também abordou a simulação quase exata do modelo de Heston, que está relacionada à simulação exata do processo Cox Ingersoll Ross (CIR) para o processo de variância. Embora os métodos de discretização de Euler e Milstein possam encontrar problemas com o processo CIR, existem maneiras eficientes de realizar a simulação. A palestra enfatizou a importância de considerar um modelo realista para simulação, principalmente quando se trata de cobertura de delta e contabilização de saltos de mercado.

O conceito de hedging em finanças foi amplamente explorado em um vídeo separado. A cobertura envolve a redução da exposição ao risco e perdas potenciais, gerenciando uma carteira e mantendo ativamente o contrato após a negociação. O vídeo destacou a importância do hedge, que vai além do preço e abrange o gerenciamento contínuo de riscos até o vencimento do contrato. O hedge Delta e o impacto dos saltos do mercado foram discutidos, enfatizando a importância de empregar um modelo realista para uma simulação precisa.

As limitações do hedging delta foram abordadas em outra palestra, destacando a necessidade de considerar outros tipos de hedging, como hedging gamma e vega, para derivativos mais complexos. O cálculo de sensibilidades e métodos para melhorar sua eficiência, incluindo diferenças finitas, sensibilidades de caminhos e quocientes de verossimilhança, foram abordados. A palestra também aprofundou a precificação de opções de início antecipado e os desafios associados à precificação de opções com estoques iniciais incertos. O valor da opção foi derivado usando funções características, e a palestra foi concluída com uma discussão sobre volatilidades implícitas e sua implementação em Python.

A palestra sobre saltos adicionais em modelos financeiros, particularmente o modelo Heston, explorou seu impacto na calibração de parâmetros e estratégias de hedge. Swaps de variância e produtos de volatilidade também foram discutidos, com foco na relação entre a representação estranha, contratos de swap de variância e expectativas condicionais usando a dinâmica de Black-Scholes. Além disso, a palestra aprofundou na estruturação de produtos usando várias técnicas, como opções binárias e digitais, opções dependentes do caminho, opções de barreira e opções asiáticas. Também abordou a precificação de contratos envolvendo múltiplos ativos. Esta palestra serviu como um resumo do conhecimento adquirido ao longo do curso, fornecendo uma base para lidar com derivativos mais avançados no futuro.

Na parte final, o palestrante parabenizou os telespectadores por concluírem com sucesso todas as 14 palestras e adquirirem conhecimento em finanças computacionais, engenharia financeira e precificação de derivativos. Os espectadores foram encorajados a aplicar seus conhecimentos recém-adquiridos em ambientes práticos ou considerar outros cursos para expandir seus conhecimentos. O palestrante desejou-lhes uma carreira de sucesso em finanças, confiante de que eles estavam bem preparados para seus empreendimentos futuros.

• 00:00:00 Nesta seção, o palestrante resume toda a série sobre finanças computacionais, destacando os tópicos importantes abordados em cada palestra. A série cobriu um amplo espectro de tópicos de finanças computacionais, como equações diferenciais estocásticas, volatilidades implícitas, difusões de salto, classe afim de processos de difusão, modelos de volatilidade estocástica e transformações de Fourier para precificação de opções. O palestrante também discutiu técnicas numéricas, como simulações de Monte Carlo e estratégias de hedge. As últimas palestras abordaram opções forward start e derivativos exóticos, onde o palestrante aplicou os conhecimentos adquiridos ao longo do curso para estruturar esses produtos. As duas primeiras palestras forneceram uma introdução ao curso e discutiram os princípios por trás da engenharia financeira, diferentes mercados e classes de ativos. Na palestra dois, o palestrante abordou diferentes tipos de opções e estratégias de hedge, com foco em commodities, moedas e criptomoedas.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção da palestra, o foco é como realizar a precificação de opções de compra e venda e como isso está relacionado ao hedge. A principal conclusão é que o preço de uma estratégia de hedge deve ser sempre equivalente ao preço de um derivativo, caso contrário, há uma oportunidade de arbitragem. A palestra então aborda a matemática da modelagem de diferentes classes de ativos, descrevendo preços de ativos e aleatoriedade e como essa aleatoriedade pode ser medida. É enfatizada a importância dos processos estocásticos, equações diferenciais estocásticas e o lema de Itô na precificação de instrumentos financeiros. A palestra também aborda a simulação em Python e como as equações diferenciais estocásticas são usadas para simular o comportamento real de um movimento de estoque e como isso pode ser usado para precificação. As vantagens e desvantagens do modelo Black-Scholes são discutidas, e enfatiza-se que é preciso ter um quadro maior em mente ao precificar derivativos para garantir consistência no portfólio e nas estratégias de hedge.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante destaca alguns dos principais conceitos abordados no curso de finanças computacionais. Uma das ferramentas mais importantes usadas na precificação de opções é o conceito de martingales, que foi repetidamente enfatizado ao longo do curso. Outros tópicos importantes abordados incluem o modelo Black-Scholes, volatilidade implícita, a convergência dos algoritmos de Newton-Raphson e as limitações do uso da volatilidade dependente do tempo. As palestras também destacaram como a codificação em Python pode ser usada para verificar se um processo simulado é um martingale e como as medidas podem afetar a deriva. No geral, este curso forneceu uma visão profunda sobre a precificação de opções européias simples e como vários modelos e medidas podem ser usados para calcular seus preços.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção do vídeo, são discutidas as limitações do modelo Black-Scholes, especificamente sobre como os saltos podem ser incorporados ao modelo. A inclusão de saltos pode melhorar a calibração da superfície de volatilidade implícita e gerar inclinação. No entanto, também aumenta a complexidade do modelo e reduz a eficiência do hedge. Por essas razões, modelos estocásticos de volatilidade são introduzidos como forma de aumentar a flexibilidade do modelo para melhor lidar com calibração e precificação de opções exóticas, e uma técnica de precificação rápida é discutida como solução. Além disso, são delineadas as condições que os modelos ou equações diferenciais estocásticas precisam satisfazer para serem usadas nos modelos afins dentro da transformação de Fourier.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute dois modelos importantes para precificação de ações e ações. O primeiro modelo é a classe afim de processos de difusão que permite a calibração rápida de opções do tipo europeu. O segundo modelo é o modelo estocástico de volatilidade, especificamente o modelo Heston, que é flexível o suficiente para calibrar toda a superfície de volatilidades implícitas de opções do tipo europeu. A palestra também aborda os impactos e vantagens da correlação dos modelos, precificação da PDE e como chegar a ela, e o uso das transformações de Fourier para precificação uma vez que um modelo pertence à classe afim de processos. No geral, a palestra enfoca a importância e os benefícios de entender e usar esses dois modelos em finanças computacionais.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o foco é a precificação de opções do tipo europeu, tendo como principal concentração as opções de compra e venda. O uso de uma função característica é discutido e destaca-se a importância de ser capaz de resolver um sistema de EDOs de valores complexos, bem como a necessidade de técnicas numéricas para obtenção de soluções. Ressalta-se que é fundamental encontrar um equilíbrio entre ter um bom modelo e ser capaz de calibrá-lo e avaliá-lo com eficiência, pois isso é essencial para aplicações práticas e aceitação na indústria. As vantagens de usar o método cos da transformada de Fourier para precificação são discutidas e a implementação em Vital é demonstrada. A calibração eficiente também é crucial e o uso de simulações de Monte Carlo para precificação é sugerido.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o foco está em diferentes aspectos da amostragem de Monte Carlo na precificação de derivativos exóticos. Múltiplas dimensões, complexidade do modelo e custos computacionais podem tornar a precificação precisa demorada. A simulação de Monte Carlo é frequentemente usada como uma abordagem de precificação alternativa, que requer concentração em como reduzir o erro e melhorar a precisão. A palestra cobre diferentes aspectos da amostragem de Monte Carlo, incluindo integração, integração estocástica e métodos de calibração, como esquemas de Euler e Milstein. Avaliar a suavidade das funções de payoff também afeta a convergência, e entender os conversores fracos e fortes é importante para garantir preços precisos.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o vídeo discute a flexibilidade do modelo Heston na calibração, superfície de volatilidade do implante e simulação eficiente de Monte Carlo. A palestra também aborda a simulação quase exata do modelo de Heston, que está relacionada à simulação exata do processo Cox Ingersoll Ross (CIR) para o processo de variância. Embora a discretização de Euler e Milstein possa ter problemas com o processo CIR, existem maneiras eficientes de realizar a simulação CIR. A palestra levanta a importância da condição de falha em relação ao processo CIR, mas não é uma preocupação para a representação da amostragem condicional desde que a distribuição exata seja conhecida.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o vídeo discute o conceito de hedge em finanças, que consiste em reduzir a exposição a riscos e perdas potenciais, mantendo uma carteira e cuidando do contrato depois de negociado. O vídeo explica a importância do hedge, que ocorre após a realização do negócio e deve continuar até o vencimento do contrato. O vídeo destaca que o hedge é mais importante do que apenas o preço, e todos os dias o modelo precisa ter um bom desempenho para fins de hedge. O vídeo também discute o conceito de delta hedging e o efeito de saltos no mercado, destacando a importância de usar um modelo realista para simulação.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute as limitações do delta hedging e a importância de considerar outros tipos de hedging, como gamma e vega hedging para derivativos mais complexos. A palestra também aborda o cálculo de sensibilidades e maneiras de melhorar sua eficiência, como por meio de diferenças finitas, sensibilidades de caminhos e quocientes de verossimilhança. Além disso, a palestra investiga a precificação de opções de início antecipado e a complexidade associada à precificação de opções com estoques iniciais incertos. A função característica foi usada para derivar o valor da opção, e a palestra termina com uma discussão sobre volatilidades implícitas e sua implementação em Python.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, a palestra aborda a inclusão de saltos adicionais na dinâmica dos modelos financeiros, especificamente o modelo de Heston, e como isso afeta a calibração de parâmetros e hedging. A palestra também explora swaps de variância e produtos de volatilidade, com foco na relação entre representação estranha, contrato de swap de variância e expectativas condicionais usando a dinâmica de Black-Scholes. Além disso, a palestra aborda a estruturação de produtos utilizando diversas técnicas como opções binárias e digitais, opções path-dependent, opções de barreira e opções asiáticas, bem como a precificação de contratos envolvendo múltiplos ativos. Em última análise, a palestra serve como um resumo do conhecimento aprendido ao longo do curso e fornece uma base para derivativos mais avançados no futuro.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante parabeniza os espectadores por acompanhar todas as 14 palestras e obter conhecimento sobre finanças computacionais, engenharia financeira e precificação de derivativos. O palestrante sugere que essa conquista deixa os telespectadores preparados para trabalhar no setor ou continuar outros cursos para obter mais conhecimento. O palestrante deseja aos telespectadores uma carreira de sucesso em finanças.

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Curso de Engenharia Financeira: Aula 1/14, (Introdução e Visão Geral do Curso)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 1/14, (Introdução e Visão Geral do Curso)

O instrutor começa apresentando o curso de engenharia financeira, destacando seus objetivos e principais áreas de foco. O curso visa aprofundar as taxas de juros e várias classes de ativos, como câmbio e inflação. O objetivo final é que os alunos construam um portfólio de vários ativos que consiste em produtos lineares e ganhem proficiência na execução de xva e cálculos de valor em risco. O conhecimento prévio de equações diferenciais estocásticas, simulação numérica e métodos numéricos é necessário para se envolver totalmente com o material do curso.

A estrutura do curso é delineada, compreendendo 14 palestras acompanhadas de tarefas de casa no final de cada sessão. A linguagem de programação utilizada ao longo do curso é o Python, possibilitando a implementação prática e aplicação dos conceitos abordados.

O palestrante enfatiza o caráter prático do curso sobre finanças computacionais. Embora o conhecimento teórico seja abordado, há uma forte ênfase na eficiência da implementação e no fornecimento de exemplos de código Python para cada palestra. Os materiais do curso são independentes, embora sejam baseados no livro "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". A palestra também fornece uma visão geral do roteiro do curso, dando aos alunos uma compreensão clara dos tópicos que serão abordados em cada uma das 14 palestras.

A primeira palestra é focada em fornecer uma visão geral de todo o curso e destacar a importância dos conceitos abordados para atingir o objetivo final de realizar cálculos xva e var.

O palestrante passa a dar uma ampla visão geral dos tópicos que serão abordados ao longo do curso de Engenharia Financeira. Isso inclui vários modelos, como modelos de dois fatores totalmente brancos e totalmente brancos, medidas, filtrações e modelos estocásticos. A precificação de produtos de taxas de juros, incluindo produtos lineares e não lineares como swaptions, é um foco importante. A palestra abrange a construção de curva de rendimento, construção de múltiplas curvas, pontos de espinha e a seleção de métodos de interpolação usando códigos Python. Outros tópicos abordados incluem taxas de juros negativas, opções, hipotecas e pagamentos antecipados, câmbio, inflação, simulação de Monte Carlo para vários ativos, modelos de mercado, ajustes de convexidade, cálculos de exposição e medidas de ajuste de valor, como cva, bcva e fva.

O gerenciamento de riscos se torna um ponto focal à medida que o curso avança, e a aula 13 é dedicada à medição de riscos usando codificação e análise de dados históricos. A aula 14 serve como um resumo de tudo o que foi aprendido ao longo do curso.

A segunda palestra se concentra em filtrações e mudanças de medida, incluindo expectativas condicionais e simulação em Python. Os alunos farão exercícios práticos para simular expectativas condicionais e explorar os benefícios e a simplificação de problemas de precificação usando mudanças de medida.

Nas aulas subseqüentes, o instrutor fornece uma visão geral da estrutura do modelo Hijack, equilíbrio versus modelos de estrutura de prazo e dinâmica da curva de rendimento. As palestras abordam taxas curtas e a simulação de modelos através de simulações de Monte Carlo em Python. A comparação entre modelos de um e dois fatores é discutida, com uma exploração de extensões multifatoriais. Um experimento de vídeo é conduzido para analisar o índice S&P, a taxa curta implícita pelo Fed e a dinâmica da curva de rendimento.

A simulação de curvas de rendimento é explorada para observar a evolução das taxas de juros ao longo do tempo e compará-las com modelos estocásticos. Os tópicos abordados incluem a afinidade de um modelo Fulbright, simulação exata, construção e precificação de produtos de taxa de juros e o cálculo de fluxos de caixa incertos em exemplos de swap.

A palestra sobre a construção de uma curva de rendimento cobre a relação entre curvas de rendimento e swaps de taxas de juros, contratos de taxas a termo e preços de derivativos. Diferentes formas de curva de rendimento e sua relevância para situações de mercado são explicadas. Volatilidades implícitas e cálculos de ponto de espinha são discutidos, juntamente com rotinas de interpolação e a extensão de curvas de rendimento único para abordagens de múltiplas curvas. Aspectos práticos da construção de curvas de rendimento usando experimentos Python e conectá-los a instrumentos de mercado são enfatizados.

O palestrante explora tópicos relacionados à engenharia financeira, incluindo a precificação de swaptions sob o modelo Black-Scholes e opções usando full white ou qualquer modelo de taxa curta. O truque do Jamshidian e os experimentos do Python são explicados. A palestra também abrange conceitos como taxas de juros negativas, volatilidades implícitas deslocadas log-normalmente deslocadas e o impacto dos parâmetros de deslocamento nas formas de volatilidade implícita. Além disso, a palestra investiga o pré-pagamento de hipotecas e seu efeito na posição e cobertura do ponto de vista de um banco.

As hipotecas bullet são introduzidas e os fluxos de caixa associados e os determinantes de pré-pagamento são explicados. A palestra destaca o impacto dos pagamentos antecipados nas carteiras de hipotecas e vincula o incentivo de refinanciamento aos observáveis do mercado. Além disso, são discutidos o risco pipeline e sua gestão pelas instituições financeiras.

O curso passa a modelar várias classes de ativos simultaneamente, o que permite a simulação de potenciais riscos futuros que podem afetar o portfólio. As correlações entre diferentes classes de ativos são examinadas, e a importância de modelos híbridos para fins de gerenciamento de risco é enfatizada, mesmo que haja uma queda no interesse por derivativos exóticos.

Modelos híbridos para ajustes de avaliação de preços (XVA) e valor em risco são explorados, juntamente com extensões envolvendo volatilidade estocástica. A palestra aborda modelos híbridos adequados para um ambiente XVA, incluindo dinâmica de ações e taxas de juros estocásticas. Modelos de volatilidade estocástica, como o modelo de Heston, são discutidos no segundo bloco, abordando como incorporar taxas de juros estocásticas que estão correlacionadas com o processo de estoque. A palestra também aborda câmbio e inflação, discutindo a história e o desenvolvimento de moedas flutuantes, contratos futuros de câmbio, swaps de moedas cruzadas e opções de câmbio. O impacto das mudanças de medidas na dinâmica do processo também é examinado, visando, em última instância, precificar contratos definidos em diferentes ativos em várias classes de ativos e calcular exposições e medidas de risco.

O instrutor aborda tópicos adicionais relacionados à engenharia financeira, incluindo o elemento de correção quântica presente na volatilidade estocástica e a precificação de opções FX com taxas de juros estocásticas. O conceito de inflação é explorado, traçando sua evolução de definições baseadas em dinheiro para baseadas em bens. Modelos de mercado como o modelo de mercado LIBOR e ajustes de convexidade são discutidos, fornecendo uma perspectiva histórica sobre o desenvolvimento da taxa de juros e a motivação por trás de modelos de mercado como o modelo de mercado LIBOR dentro da estrutura HJM. A palestra também investiga os modelos de mercado LIBOR log-normal, a volatilidade estocástica e a dinâmica de sorriso e inclinação no modelo de mercado LIBOR.

São abordadas diversas técnicas utilizadas na precificação de produtos financeiros, com ênfase na precificação neutra ao risco e no modelo Black-Scholes. O palestrante alerta para o uso indevido de técnicas arriscadas, como a técnica de congelamento, e destaca a importância da correção de convexidade em estruturas de precificação. Os alunos aprenderão como reconhecer a necessidade de correção de convexidade e como incorporar os movimentos das taxas de juros ou sorrisos e distorções do mercado em problemas de precificação. A seção termina cobrindo simulações XVA, incluindo CVA, BCVA, VA e FVA, e o cálculo de exposições esperadas, potenciais exposições futuras e verificações de sanidade usando simulações Python.

O instrutor revisita os tópicos abordados no curso de engenharia financeira, incluindo derivativos de preços, a importância da descoberta de preços, aspectos práticos das atribuições comerciais e medidas de gerenciamento de risco, como valor em risco e déficit esperado. O foco permanece em aplicações práticas, como construir uma carteira de swap de taxa de juros e utilizar o conhecimento da construção da curva de rendimento para estimar o VAR e o déficit esperado por meio de resultados de simulação. A palestra também aborda desafios relacionados a dados ausentes, arbitragem e reclassificação no cálculo VAR usando simulação de Monte Carlo.

Na palestra final, o palestrante discute o back-testing e o teste do mecanismo VAR. Embora reconheça que o curso se estenderá além das 14 semanas iniciais, o instrutor expressa confiança na jornada de aprendizado abrangente e agradável. As palestras gravadas guiarão os alunos ao ápice da compreensão dos ajustes de avaliação (XVA) e do cálculo do valor em risco.

• 00:00:00 Nesta seção do vídeo, o instrutor apresenta o curso de engenharia financeira e descreve seus principais objetivos, que incluem o foco em taxas de juros e várias classes de ativos, como câmbio e inflação. O objetivo do curso é que os alunos construam um portfólio de vários ativos que consiste em produtos lineares e realizem xva e cálculos de valor em risco. É necessário conhecimento prévio de equações diferenciais estocásticas, simulação numérica e métodos numéricos. A carga horária é composta por 14 aulas com trabalhos de casa entregues ao final de cada aula, e a linguagem de programação utilizada é o Python.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante apresenta o curso sobre finanças computacionais, enfatizando seu foco na implementação prática e na construção de um portfólio usando cálculos de valor em risco e xva. O curso também abrange conhecimento teórico, eficiência de implementação e fornece código Python para cada palestra. O palestrante explica que o material do curso é independente, embora seja baseado no livro "A Book of Mathematical Modeling and Computation in Finance". O roteiro do curso é discutido, fornecendo uma visão geral dos tópicos que serão abordados nas 14 palestras. O foco da primeira aula é a visão geral do curso e sua importância para alcançar o objetivo final dos cálculos xva e var.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante apresenta uma visão geral dos tópicos que serão abordados no curso de Engenharia Financeira. O curso cobrirá vários modelos, como modelos de dois fatores totalmente brancos e totalmente brancos, medidas, filtrações e modelos estocásticos. Eles se concentrarão na precificação de produtos de taxa de juros, como produtos lineares e não lineares, incluindo swaptions. O curso detalhará a construção da curva de rendimento, como construir uma curva de rendimento, construir curvas múltiplas, pontos de espinha e como escolher a interpolação usando códigos Python. A palestra passa a cobrir tópicos como taxas de juros negativas, opções, hipotecas e pagamentos antecipados, câmbio, inflação, mecanismo de Monte Carlo para multiativos, modelos de mercado, ajustes de convexidade, cálculos de exposição e medidas de ajuste de valor, como cva, bcva , e fva.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção do curso, o foco muda para o gerenciamento de riscos e como medir e gerenciar riscos do ponto de vista de um gerente de riscos. A aula 13 abordará a medição de risco usando codificação e análise de dados históricos, enquanto a aula 14 resumirá tudo o que foi aprendido no curso. A segunda palestra abordará o conceito de filtrações e mudanças de medida, incluindo expectativas condicionais e simulação em Python. A palestra também incluirá exercícios práticos sobre como simular expectativas condicionais e como usar mudanças de medida para beneficiar e simplificar problemas de precificação.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o instrutor descreve os tópicos a serem abordados nas próximas palestras. A palestra é dividida em dois blocos, com o primeiro bloco focado em discutir a história e as suposições da estrutura do Modelo Hijack e como ela se relaciona com os modelos de equilíbrio versus estrutura de termo. O segundo bloco examina a dinâmica da curva de juros e taxas vendidas, simulando modelos por meio de simulações de Monte Carlo em Python. Os modelos de dois fatores são comparados com o modelo de um fator, destacando possíveis extensões para multifatores. Além disso, um experimento em vídeo é realizado para observar o índice S&P, a taxa curta implícita pelo Fed e a dinâmica da curva de rendimento.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção do vídeo, o instrutor discute a simulação de curvas de juros e como ela pode ser usada para observar a evolução das taxas de juros ao longo do tempo, que podem ser comparadas a modelos estocásticos. A palestra é dividida em duas partes, com a primeira parte abordando a afinidade de um modelo fulbright e simulação exata, enquanto a segunda parte foca na construção e precificação de diferentes produtos de taxa de juros no mercado. O instrutor também enfatiza a importância de entender como precificar produtos de taxa de juros, pois eles servem como blocos de construção para construir uma curva de rendimento, com o objetivo final de simular caminhos de Monte Carlo multicoloridos para um modelo e calibrar esse modelo para mercados de opções. Um swap é usado como exemplo para ilustrar como a sequência de fluxos de caixa da troca de taxas fixas e flutuantes é incerta e como ela pode ser calculada.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção do vídeo, o instrutor discute os blocos de construção de uma curva de rendimento e como eles se relacionam com swaps de taxas de juros, contratos de negociação a termo e preços de derivativos. Ele explica as possíveis formas de uma curva de rendimento e sua relevância para situações de mercado, bem como o conceito de volatilidade implícita e o cálculo de pontos espinhosos para a construção de uma curva de rendimento. O instrutor também destaca a importância das rotinas de interpolação para curvas de rendimento e discute a extensão de uma única curva de rendimento para uma abordagem de múltiplas curvas. Esta seção enfatiza os aspectos práticos da construção de uma curva de rendimento usando experimentos Python e conectando-os com instrumentos de mercado.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção do curso, o palestrante aborda diversos temas relacionados à engenharia financeira. O primeiro bloco cobre a precificação de swaptions sob o modelo Black-Scholes, enquanto o segundo bloco cobre as opções de precificação usando um modelo full wide ou qualquer modelo de taxa curta. O famoso truque de Jamshidian e experimentos com Python também são explicados nesta seção. O conceito de taxas de juros negativas, volatilidades implícitas deslocadas log-normalmente deslocadas e o impacto do parâmetro de deslocamento nas formas de volatilidade implícita também são enfatizados. Além disso, a palestra aborda os pagamentos antecipados de hipotecas e o impacto dos pagamentos antecipados na posição e cobertura do ponto de vista de um banco.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante apresenta o conceito de hipotecas-bala e explica os fluxos de caixa associados e os determinantes do pré-pagamento. Eles também discutem o impacto dos pagamentos antecipados na carteira de hipotecas e vinculam o incentivo de refinanciamento aos observáveis do mercado. A palestra também aborda o risco pipeline e sua gestão pelas instituições financeiras. Seguindo adiante, o palestrante fala sobre a modelagem de múltiplas classes de ativos simultaneamente, o que fornece uma base para a simulação de possíveis cenários de riscos futuros que podem afetar o portfólio. As correlações entre diferentes classes de ativos serão importantes e os modelos híbridos ainda serão úteis para fins de gerenciamento de risco, apesar do declínio do interesse em derivativos exóticos.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute o uso de modelos híbridos para precificar ajustes de avaliação e valor em risco, bem como extensões com volatilidade estocástica. O primeiro bloco abrange os modelos híbridos que podem ser usados para o ambiente XVA, incluindo dinâmica de ações e taxas de juros estocásticas. O segundo bloco enfoca os modelos de volatilidade estocástica, como o modelo de Heston, e como incluir taxas de juros estocásticas correlacionadas com o próprio processo de estoque. A palestra também aborda câmbio e inflação, incluindo a história e o desenvolvimento de moedas flutuantes, contratos futuros de câmbio, swaps de moedas cruzadas e opções de câmbio. O conceito de mudanças de medida desempenha um papel na dinâmica dos processos depois que as mudanças de medida são discutidas. Em última análise, o objetivo é poder precificar contratos definidos em diferentes ativos em diferentes classes de ativos e calcular exposições e medidas de risco.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o instrutor aborda tópicos como o elemento de correção quântica presente na volatilidade estocástica, a precificação de opções de câmbio com taxas de juros estocásticas e o conceito de inflação. A palestra explicará a evolução da definição de inflação de base monetária para baseada em bens. A palestra também abordará modelos de mercado, como o modelo de mercado LIBOR e ajustes de convexidade. O instrutor fornecerá um histórico do desenvolvimento das taxas de juros e explicará a motivação por trás dos modelos de mercado, como o modelo de mercado LIBOR, usando a estrutura HJM. As especificações dos modelos de mercado LIBOR log-normal, volatilidade estocástica e smile and skews no modelo de mercado LIBOR também serão discutidas.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção do curso de Engenharia Financeira, o instrutor discute várias técnicas usadas na precificação de produtos, incluindo precificação neutra ao risco e o modelo Black-Scholes. Ele também alerta contra o abuso de técnicas arriscadas, como a técnica de congelamento, e destaca a importância da correção de convexidade em estruturas de preços. O curso aborda como reconhecer a necessidade de uma correção de convexidade e como incluir toda a taxa de juros ou smile e skew presentes no mercado para resolver o problema. A seção termina discutindo simulações xva, incluindo cva, bca, va e fva, e como calcular exposições esperadas, potenciais exposições futuras e verificações de sanidade usando simulações Python.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o instrutor descreve os tópicos que serão abordados neste curso de engenharia financeira, incluindo derivativos de preços e a importância da descoberta de preços, aspectos práticos de atribuições comerciais e medidas de gerenciamento de risco, como valor em risco e déficit esperado. A ênfase está em aplicações práticas, incluindo a construção de um portfólio de swaps de taxa de juros e o uso do conhecimento sobre a construção de curvas de rendimento para estimar var e déficit esperado por meio de resultados de simulação. O instrutor também discute problemas com dados ausentes, arbitragem e reclassificação relacionados ao cálculo de var com simulação de Monte Carlo.
  
  
• 01:05:00 Nesta seção, o palestrante discute a aula final do curso, que trata de back-testing e teste do mecanismo VAR. Ele também menciona que o curso levará mais de 14 semanas para ser concluído, mas será feito em grande estilo, transformando cada palestra em conhecimento adicional para apoiar o objetivo final, que é o ajuste de avaliação XVA e o cálculo do Valor em Risco. O percurso já foi gravado e o palestrante expressa a confiança de que chegarão ao cume da montanha em um agradável passeio.

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Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 1/3, (Entendendo as Filtrações e Medidas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 1/3, (Entendendo as Filtrações e Medidas)

Na palestra, o instrutor aprofunda o modelo Black-Scholes com saltos estocásticos, mostrando sua aplicação na precificação de derivativos. A incorporação de expectativas condicionais é destacada como meio de aumentar a precisão do modelo. Além disso, o conceito de numerários e mudanças de medida é explorado, demonstrando como a mudança entre diferentes numerários pode melhorar os resultados de precificação. Esta seção destaca a importância da filtragem, das expectativas e das mudanças nas medidas, principalmente no que diz respeito às taxas de juros.

Expandindo o assunto, o professor enfatiza o papel fundamental das medidas, filtrações e expectativas na precificação. Eles ilustram como medidas, como estoques, podem ser efetivamente empregadas em processos de precificação, enquanto as mudanças de medida ajudam a reduzir a complexidade dos problemas de precificação. A palestra investiga ainda mais a noção de uma medida futura, comumente associada ao desconto estocástico. Filtrações são elucidadas como princípios fundamentais para a compreensão do tempo, perfis de exposição e perfis de risco. Além disso, é apresentada a definição de um processo estocástico e a importância da filtragem na interpretação dos dados de mercado e na antecipação de realizações futuras.

Seguindo em frente, o conceito de filtrações e medidas é examinado minuciosamente. As filtrações podem pertencer ao presente ou se estender para o futuro, necessitando de uma distinção clara ao lidar com processos estocásticos. O passado representa uma trajetória singular da história de uma ação, enquanto a estocasticidade do futuro pode ser modelada por meio de equações diferenciais estocásticas e simulações. Embora o curso se concentre predominantemente em filtrações até o presente (t0), posteriormente ele se aprofunda no aproveitamento de filtrações futuras para maior eficiência computacional. Torna-se possível simular cenários futuros e desenvolver diversos resultados. No entanto, dada a incerteza inerente, determinar o cenário mais realista continua sendo um desafio. Estimar a distribuição dos resultados envolve a utilização de dados históricos e técnicas de calibração associadas à medida p.

A palestra então se aprofunda em medidas e filtros, destacando os papéis distintos da medida Q na precificação e gerenciamento de risco, e a medida P principalmente no gerenciamento de risco. Quando ambas as medidas são empregadas, a geração de cenários futuros para perfis de risco torna-se imperativa devido à não unicidade da adequação de qualquer uma das métricas. Além disso, à medida que o tempo avança, o acúmulo de conhecimento histórico leva a filtrações mais amplas. No entanto, também é essencial manter uma compreensão da mensurabilidade e reconhecer a incerteza para quantidades estocásticas em momentos futuros específicos.

O palestrante passa a discutir filtrações e medidas no contexto da engenharia financeira. Notavelmente, eles enfatizam que a mensurabilidade não implica constância; em vez disso, denota uma quantidade estocástica. As filtrações elucidam a extensão do conhecimento disponível em cada momento, expandindo-se à medida que se avança no tempo devido ao conhecimento acumulado. Embora filtrações e alterações de medida possam ser ferramentas poderosas na modelagem financeira, seu uso inadequado pode gerar problemas significativos. Assim, é crucial entender como empregar efetivamente essas ferramentas e navegar no tempo para evitar erros de modelagem. A seção termina com uma visão geral do processo de calibração na modelagem financeira, que pode ser inferida a partir de dados históricos ou instrumentos de mercado.

Introduz-se o conceito de processos adaptados, referindo-se a processos que dependem exclusivamente da informação disponível até um determinado momento, sem considerar realizações futuras. Exemplos de processos adaptados abrangem o movimento browniano e a determinação do valor máximo de um processo dentro de um período de tempo específico. Por outro lado, os processos não adaptados dependem de realizações futuras. A palestra também apresenta a propriedade da torre, uma poderosa ferramenta de precificação, que estabelece uma relação entre campos sigma, filtrações e expectativas.

A expectativa condicional é discutida como uma ferramenta potente na engenharia financeira, principalmente quando se trata de funções que envolvem duas variáveis. A propriedade da torre da expectativa é utilizada para condicionar as expectativas e calcular as expectativas externas e internas aninhadas. Essa propriedade encontra aplicação em simulações, permitindo o cálculo analítico de certos componentes do problema que podem ser aplicados a modelos de precificação de opções de blockchain, particularmente empregando equações diferenciais estocásticas e filtrações específicas. A definição de expectativa condicional é explorada, incorporando uma equação integral.

O palestrante enfatiza a importância das expectativas condicionais e filtrações na engenharia financeira. Eles destacam que se uma variável aleatória pode ser condicionada e sua resposta é conhecida analiticamente, a expectativa externa pode ser calculada por amostragem para a expectativa interna. No entanto, em finanças, é incomum possuir conhecimento analítico de densidades condicionais ou densidades bidimensionais. O palestrante destaca a importância de usar corretamente as expectativas condicionais na codificação, pois elas permanecem quantidades estocásticas do ponto de vista do presente. Além disso, eles discutem os benefícios de incorporar uma solução analítica para uma parte do modelo em um contexto de simulação, pois pode resultar em melhor convergência. Para ilustrar esses conceitos, o palestrante fornece um exemplo de cálculo da expectativa externa de um movimento browniano.

Seguindo adiante, o palestrante aprofunda a expectativa de um ponto futuro no tempo, destacando sua complexidade em relação aos casos em que a expectativa é no tempo zero. Eles explicam que esse cenário requer múltiplos caminhos e simulações de Monte Carlo aninhadas para cada caminho, envolvendo sub-simulações para expectativas condicionais. Essa complexidade surge devido à propriedade de incrementos independentes, onde o movimento browniano sempre pode ser expresso como a diferença entre seus valores em dois tempos diferentes, t e s.

Mudando o foco para as simulações de Monte Carlo, o palestrante discute a construção do movimento browniano para simular o valor da opção de uma ação. Eles exploram dois tipos de martingales e introduzem o método de Monte Carlo aninhado para calcular a expectativa condicional de uma opção de compra de ações. A simulação envolve gerar um caminho até o tempo s e realizar sub-simulações para cada caminho para avaliar a expectativa naquele momento. Esse processo envolve o cálculo da expectativa condicional de uma realização específica no tempo s para cada caminho. O erro é então medido como a diferença entre a expectativa condicional e o valor do caminho no tempo s. A padronização do movimento Browniano garante que ele seja construído usando incrementos independentes, facilitando a aplicação das propriedades desejadas dentro de uma simulação de Monte Carlo.

Por fim, o palestrante ressalta que, embora a simulação do movimento browniano possa parecer direta e econômica, a incorporação de uma expectativa condicional requer uma abordagem de Monte Carlo aninhada, que envolve a realização de várias simulações do movimento browniano para cada caminho. Consequentemente, esse processo pode ser demorado.

Em conclusão, a palestra cobre extensivamente tópicos relacionados a medidas, filtrações, expectativas condicionais e simulações de Monte Carlo em engenharia financeira. A importância desses conceitos em precificação de derivativos, gerenciamento de risco e calibração de modelo é enfatizada por toda parte. Compreendendo os princípios subjacentes a essas ferramentas e técnicas, os profissionais financeiros podem aprimorar a precisão de sua modelagem e navegar com eficácia em problemas complexos de precificação.

• 00:00:00 O instrutor demonstrará o uso do modelo Black-Scholes com saltos estocásticos e como isso pode ser melhorado incorporando expectativas condicionais. Também será discutido o conceito de numerários e mudanças de medida, o que envolve a troca de medidas entre diferentes numerários para alcançar melhores resultados. No geral, a seção enfatiza a importância da filtragem, das expectativas e das mudanças de medida na precificação de derivativos, particularmente no mundo das taxas de juros.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o professor discute a importância das medidas, filtrações e expectativas na precificação. Ele explica como uma medida, como um estoque, pode ser utilizada na precificação e como as alterações de medida podem ser usadas para reduzir a dimensionalidade dos problemas de precificação. O conceito de medida a termo, normalmente associado ao desconto estocástico, também é explorado. A seção destaca os princípios fundamentais das filtrações e como eles são essenciais para entender o tempo, os perfis de exposição e os perfis de risco. Além disso, são introduzidos a definição de um processo estocástico e o conceito de filtragem para entender os dados de mercado e as realizações futuras.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, é discutido o conceito de filtrações e medidas. As filtrações podem ser até hoje ou no futuro, e é essencial distinguir entre os dois quando se trata de processos estocásticos. O passado é um único caminho da história de uma ação, e a estocasticidade do futuro pode ser descrita usando algumas equações diferenciais estocásticas e simulações. O curso considera principalmente filtrações até hoje (t0), mas posteriormente discute o uso de filtrações para o futuro para extrair eficiência computacional. É possível simular o futuro e desenvolver cenários que representam muitos resultados possíveis. No entanto, não é possível saber qual cenário é o mais realista, pois sempre há incerteza. A distribuição dos resultados pode ser estimada usando dados históricos e calibrada usando regressão ou outras técnicas associadas à medida p.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o conceito de medidas e filtrações é discutido. A medida Q está principalmente associada à precificação e gerenciamento de risco, enquanto a medida P é usada principalmente para gerenciamento de risco. A geração de cenários futuros para o perfil de risco é essencial quando ambas as medidas são usadas, pois é um desafio determinar a adequação de qualquer uma das métricas, pois elas não são únicas. Além disso, o aumento do tempo leva a mais conhecimento histórico, resultando em maior filtragem à medida que o conhecimento cresce. No entanto, a mensurabilidade também é crucial e precisamos entender a incerteza para quantidades estocásticas em momentos específicos no futuro.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de filtrações e medidas em engenharia financeira. É importante observar que mensurável não significa constante, pois ainda é uma quantidade estocástica. A filtragem informa quanto conhecimento você tem em cada momento e, à medida que avança no tempo, as filtrações se tornam maiores devido ao conhecimento acumulado. Filtrações e mudanças de medidas podem ser ferramentas poderosas na modelagem financeira, mas se usadas de forma inadequada, podem causar grandes problemas. É fundamental saber usar essas ferramentas e saber viajar no tempo para não cometer erros na modelagem financeira. O palestrante termina a seção descrevendo o processo de calibração na modelagem financeira e como isso pode ser inferido a partir de dados históricos ou instrumentos de mercado.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, é discutido o conceito de processos adaptados, que se refere à ideia de que um processo não olha para o futuro, mas se baseia apenas nas informações conhecidas até aquele momento. Exemplos de processos adaptados incluem movimento browniano e encontrar o valor máximo de um processo dentro de um determinado período de tempo, enquanto exemplos de processos não adaptados incluem aqueles que dependem de realizações futuras. A propriedade da torre, que é uma ferramenta poderosa na precificação, também é apresentada e envolve uma relação entre um campo sigma, filtrações e expectativas.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o conceito de expectativa condicional é discutido como uma ferramenta poderosa na engenharia financeira, especialmente quando se trata de funções de duas variáveis. A propriedade da torre da expectativa é usada para condicionar as expectativas e calcular uma expectativa externa e uma expectativa interna aninhada. Essa propriedade pode ser empregada em simulações, onde partes do problema podem ser calculadas analiticamente e aplicadas a modelos de precificação de opções de blockchain, particularmente usando equações diferenciais estocásticas e filtrações específicas. A definição de expectativa condicional também é explorada com uma equação integral.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de expectativas condicionais e filtrações em engenharia financeira. Eles destacam que se uma variável aleatória pode ser condicionada e a resposta é conhecida analiticamente, a expectativa externa pode ser calculada realizando a amostragem para a expectativa interna. Porém, em finanças, é raro conhecer analiticamente as densidades condicionais ou bidimensionais. Eles também enfatizam a importância de usar expectativas condicionais corretamente em códigos, pois ainda são quantidades estocásticas da perspectiva atual. Além disso, o palestrante fala sobre os benefícios de impor uma solução analítica a parte do modelo no sentido de simulação e como isso pode resultar em uma melhor convergência. Finalmente, eles fornecem um exemplo de cálculo da expectativa externa de um movimento browniano.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute uma expectativa de um ponto futuro no tempo, que é muito mais complexo do que o caso em que a expectativa é no tempo zero. O palestrante explica que isso requer vários caminhos e simulações de Monte Carlo aninhadas para cada caminho, o que envolve a realização de subsimulações para cada caminho e a adoção de expectativas condicionais. O palestrante também explica que isso está relacionado ao fato de que o movimento browniano sempre pode ser escrito como um movimento browniano no tempo t menos o movimento browniano no tempo s, usando a propriedade de incrementos independentes.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute as simulações de Monte Carlo e a construção do movimento browniano para simular o valor da opção de uma ação. Dois tipos de martingales são explorados, incluindo o método aninhado de Monte Carlo para calcular a expectativa condicional de uma opção de compra de ações. O palestrante ilustra a simulação de um caminho até o tempo s e a sub-simulação de cada caminho para levar a expectativa naquele momento. A expectativa é a expectativa condicional de uma realização particular no tempo s, que se repete para cada caminho. O erro é calculado como a diferença entre a expectativa condicional e o caminho no tempo s. A padronização do movimento browniano garante que ele seja construído a partir de incrementos independentes, facilitando a aplicação de propriedades em uma simulação de Monte Carlo.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute a simulação de movimento de corrida e enfatiza que, embora simples e barato, se houver uma expectativa condicional envolvida, ela requer um multicolorido aninhado que envolve várias simulações de movimento browniano. Isso significa que, para cada caminho, uma simulação aninhada deve ser realizada, o que pode ser demorado.

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Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 2/3, (Compreensão de Filtrações e Medidas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 2/3, (Compreensão de Filtrações e Medidas)

Bem-vindos, todos, à sessão pós-intervalo. Hoje, daremos continuidade ao segundo bloco da Aula 2 do curso de Engenharia Financeira. Neste bloco, vamos nos aprofundar na precificação e nas taxas de juros do XVA, com foco em conceitos avançados.

Anteriormente, discutimos o conceito de filtragem e expectativas condicionais, juntamente com um exercício e simulação em Python. Agora, exploraremos expectativas adicionais que são mais avançadas do que os experimentos que realizamos anteriormente. Especificamente, nos concentraremos na precificação de opções e nas ferramentas de alavancagem da expectativa condicional para melhorar a convergência em simulações de Monte Carlo. Além disso, apresentarei o conceito de numerário e sua utilidade na precificação de derivativos.

Neste bloco, usaremos não apenas o conceito de numerário, mas também o teorema de Girsanov para transformar a dinâmica do modelo de Black-Scholes da medida neutra ao risco (medida P) para medir Q. Essa transformação envolve alterar o processo subjacente ao movimento browniano geométrico. É importante observar que a medida P está associada a observações históricas, enquanto a medida Q geralmente está vinculada à precificação de derivativos.

Passando para o terceiro bloco, vamos nos concentrar em mudanças de medidas detalhadas. Vou demonstrar várias vantagens e truques para usar alterações de medida para reduzir dimensões e colher benefícios significativos. No entanto, por enquanto, vamos nos concentrar nos quatro elementos a seguir da palestra de hoje e aproveitar a sessão.

Em primeiro lugar, utilizaremos nosso conhecimento de expectativa condicional e filtragem para abordar a precificação de opções reais. Especificamente, consideraremos uma opção europeia e exploraremos como as expectativas condicionais podem ajudar a determinar seu preço. Trabalharemos com uma equação diferencial estocástica mais complexa, semelhante ao modelo de Black-Scholes, mas com volatilidade estocástica. Enquanto Black-Scholes assume volatilidade constante (sigma), vamos generalizar o modelo para incluir volatilidade dependente do tempo e estocástica.

Aproveitando a propriedade das expectativas da torre, podemos resolver esse problema e melhorar nossas simulações de Monte Carlo. Em vez de simular caminhos diretamente e amostrar aleatoriamente a volatilidade estocástica (j), podemos obter uma melhor convergência utilizando expectativas condicionais. Condicionando a realização de j, podemos aplicar a fórmula de precificação de Black-Scholes para cada j. Essa abordagem reduz significativamente a incerteza e os problemas relacionados à correlação nas simulações de Monte Carlo.

Na próxima seção, apresentarei uma representação exata para precificar opções europeias com base em expectativas condicionais e na fórmula de Black-Scholes. Isso envolverá expectativas internas e externas, onde a expectativa interna condiciona uma realização específica de j e aplica a fórmula de Black-Scholes. A expectativa externa requer amostragem de j e o uso da fórmula de Black-Scholes para cada amostra.

Para quantificar o impacto da aplicação da propriedade da torre para expectativas em simulações de Monte Carlo, compararemos duas abordagens. A primeira abordagem é uma simulação de Monte Carlo de força bruta, onde amostramos diretamente a expectativa sem utilizar informações do modelo Black-Scholes. A segunda abordagem incorpora expectativas condicionais e a fórmula de Black-Scholes. Ao comparar convergência e estabilidade, podemos observar o ganho significativo obtido com a abordagem de expectativa condicional.

Espero que esta informação seja útil. Se você estiver interessado em explorar mais os aspectos práticos das expectativas condicionais, recomendo consultar o Capítulo 3 (Volatilidade Estocástica) e o Capítulo 12 (Precificação de Tablets) do livro. Agora, vamos para a demonstração prática dessa abordagem usando o código Python.

Depois de gerar as amostras de Monte Carlo para a ação e a volatilidade, passamos para a próxima parte do código, que envolve o cálculo dos retornos das opções para cada amostra. Neste caso, consideramos uma opção de compra europeia com preço de exercício de 18. Podemos calcular o payoff da opção usando a seguinte equação:

payoff = np.maximum(stock_samples[-1] - strike, 0)

Em seguida, calculamos a expectativa condicional usando a fórmula de Black-Scholes. Para cada amostra da volatilidade, calculamos o preço da opção usando o modelo Black-Scholes com o valor de volatilidade correspondente:

volatility_samples = np.exp(j_samples / 2)

d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0,5 * (volatility_samples ** 2)) * vencimento) / (volatility_samples * np.sqrt(maturidade))

d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(maturidade))

conditional_expectation = np.mean(np.exp(-r * maturidade) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))

Por fim, calculamos o preço geral da opção tomando a média das expectativas condicionais sobre todas as amostras de volatilidade:

option_price = np.mean(condicional_expectation)

Usando a abordagem de expectativa condicional, aproveitamos as informações do modelo Black-Scholes para melhorar a convergência da simulação de Monte Carlo. Isso leva a preços de opções mais precisos e reduz o número de caminhos de Monte Carlo necessários para uma convergência satisfatória.

É importante observar que o código fornecido aqui é um exemplo simplificado para ilustrar o conceito. Na prática, pode haver considerações e refinamentos adicionais para contabilizar fatores como volatilidade estocástica, intervalos de tempo e outras suposições do modelo.

Em geral, a aplicação de expectativas condicionais na precificação de opções pode aumentar a eficiência e a precisão das simulações de Monte Carlo, principalmente ao lidar com modelos complexos que se desviam das suposições da estrutura de Black-Scholes.

Agora, vamos mudar nosso foco para o tópico de mudanças de medidas na engenharia financeira. Ao lidar com a dinâmica do sistema, às vezes é possível simplificar a complexidade do problema de precificação por meio de transformações de medidas apropriadas. Isso é especialmente relevante no mundo das taxas de juros, onde existem múltiplos subjacentes com diferentes frequências. Para estabelecer uma estrutura consistente, contamos com transformações de medida que trazem processos estocásticos de diferentes medidas para uma medida subjacente.

No campo das finanças matemáticas, os numerários desempenham um papel significativo como entidades negociáveis usadas para expressar os preços de todos os ativos negociáveis. Um numerário é a unidade na qual os valores dos ativos são expressos, como maçãs, títulos, ações ou contas de poupança. Ao expressar os preços em termos de um numerário, estabelecemos uma estrutura consistente para a transferência de bens e serviços entre diferentes contrapartes.

No passado, os ativos eram frequentemente expressos em ouro ou outros numerários. A escolha de um numerário adequado pode simplificar e melhorar significativamente a complexidade dos problemas de engenharia financeira. Trabalhar com martingales, que são processos sem deriva, é particularmente favorável em finanças, pois são mais fáceis de manusear do que os processos com deriva.

Diferentes medidas estão associadas a dinâmicas específicas de processos e ativos negociáveis. Os casos comuns incluem a medida de risco neutro associada a contas de poupança monetária, a medida T-forward associada a títulos de cupom zero e a medida associada a ações como numerários. As alterações de medida fornecem uma maneira de alternar entre medidas e se beneficiar das propriedades de diferentes processos. O teorema de Girsanov é uma ferramenta crucial para transformações de medidas, permitindo-nos mudar de uma medida para outra sob certas condições.

Embora os aspectos teóricos das mudanças de medidas possam ser complexos, este curso se concentra em aplicações práticas e em como aplicar a teoria a problemas reais. A principal conclusão é entender como as mudanças de medidas e martingales podem ser usadas como ferramentas para simplificar e resolver problemas de engenharia financeira de forma eficaz.

É importante observar que as alterações de medida são ferramentas poderosas que podem nos ajudar a lidar com processos sem desvios, conhecidos como martingales. Ao alterar adequadamente a medida, podemos remover o desvio de um processo e simplificar o problema em questão. Isso é particularmente útil ao lidar com taxas de juros estocásticas e dinâmica de ações.

No entanto, vale ressaltar que nem sempre as alterações nas medidas são viáveis ou resultam em problemas mais simples. Às vezes, mesmo após a remoção do desvio, a dinâmica de certas variáveis, como a variância, pode permanecer complexa. Apesar disso,

em geral, remover o desvio por meio de mudanças de medida simplifica o problema.

Trabalhar com martingales é favorável porque as equações diferenciais estocásticas sem deriva são mais fáceis de manusear do que aquelas com deriva. Ao identificar os numeradores apropriados e realizar mudanças nas medidas, podemos efetivamente reduzir a complexidade e melhorar nossas técnicas de simulação.

As alterações de medidas nos permitem alternar entre medidas e nos beneficiar das propriedades dos martingales. Compreender e aplicar mudanças de medidas é uma habilidade valiosa que pode simplificar muito a precificação e a análise de instrumentos financeiros.

Agora, vamos aprofundar o conceito de mudanças de medida e sua aplicação prática em finanças matemáticas. A fórmula de transformação de medida que discutimos anteriormente pode ser escrita da seguinte forma:

dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)

Esta fórmula nos permite mudar de uma medida, Qa, para outra medida, Qb. Envolve o uso de um processo específico chamado "processo numerário" denotado por yₛ e o processo de Wiener Wₛ.

O teorema de Girsanov afirma que sob certas condições, como a condição de integrabilidade no termo exponencial, essa transformação de medida é válida. Aplicando esta transformação, podemos mudar a medida de Qa para Qb e vice-versa.

Em aplicações práticas, as mudanças de medida são usadas para simplificar e resolver problemas do mundo real em finanças matemáticas. Eles nos permitem transformar a dinâmica dos processos estocásticos e alavancar as propriedades dos martingales.

Ao selecionar adequadamente os numerários e realizar alterações nas medidas, podemos remover o desvio de um processo e simplificar o problema em questão. Essa simplificação é particularmente benéfica ao lidar com modelos complexos envolvendo taxas de juros estocásticas e dinâmica de ações.

É importante observar que as alterações de medidas nem sempre resultam em problemas mais simples. Às vezes, mesmo após a remoção do desvio, certas variáveis, como a variância, ainda podem exibir dinâmicas complexas. No entanto, em geral, as alterações de medida fornecem uma ferramenta poderosa para simplificar e resolver problemas de engenharia financeira.

Neste curso, nosso foco será a aplicação prática de mudanças de medidas em cenários do mundo real. Exploraremos como extrair os benefícios de mudanças de medida e martingales para simplificar problemas complexos em finanças matemáticas.

Para resumir, as mudanças de medida desempenham um papel crucial nas finanças matemáticas, permitindo-nos alternar entre as medidas e alavancar as propriedades dos martingales. Compreendendo e aplicando as mudanças nas medidas, podemos simplificar a precificação e a análise de instrumentos financeiros, aprimorar nossas técnicas de simulação e lidar com modelos complexos com mais eficácia.

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Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 3/3, (Compreensão de Filtragens e Medidas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 2/14, parte 3/3, (Compreensão de Filtragens e Medidas)

Continuando com a palestra, o instrutor se aprofunda no tema das mudanças de medidas e suas aplicações práticas em finanças. Eles começam fornecendo uma atualização sobre o teorema de Girizanov e o conceito de medida de estoque. Ao estabelecer uma base, o instrutor prepara o terreno para explorar como as mudanças de medida podem efetivamente reduzir a dimensionalidade em modelos financeiros.

A palestra enfoca a transição de uma medida neutra ao risco para uma medida de conta de poupança movida pelo ativo de ações. Essa transição é alcançada utilizando a proporção das duas medidas, e o processo é explicado em termos simples. Enfatiza-se a importância de expressar o ativo escolhido na mesma unidade dos demais ativos da carteira, o que pode ser feito por meio de mudanças nas medidas. Além disso, a palestra se aprofunda na discussão da função payoff, onde a expectativa sob a medida associada é expressa como a integral sobre um dividida pela medida. Este resultado fornece um meio de localizar a consulta desejada. A palestra termina mostrando o método de substituição empregado para obter o termo final, ilustrando ainda mais a praticidade das mudanças de medida.

Seguindo em frente, o palestrante explora a simplificação do payoff e se aprofunda na dinâmica da ação sob a nova medida. O valor de t0 é fornecido como a expectativa sob medições de máximo st menos k 0, introduzindo um novo método martingale. O conceito da abordagem martingale é elucidado, enfatizando a importância de dividir tudo pelo processo de estocagem para satisfazer as condições de um martingale. Destaca-se o processo de descontos, com destaque para os seus benefícios na simplificação da dinâmica ao abrigo da nova medida. A dinâmica pode ser derivada da proporção de mtst como um martingale. Além disso, o palestrante ressalta a necessidade de determinar a variância e a transformação medida sob a nova medida para aproveitar as vantagens da abordagem martingale de forma eficaz.

Expandindo a palestra, o palestrante explica como o mesmo procedimento usado para o caso Black-Scholes pode ser aplicado a processos não martingale. Seguindo um conjunto de condições necessárias, pode-se utilizar transformações de medida para derivar a dinâmica de um novo processo e determinar expectativas sob uma nova medida. A importância de contabilizar as correções de deriva e volatilidade resultantes desta transformação é enfatizada na implementação de ambos os processos da medida original e da nova medida. Por fim, o cálculo é simplificado para uma expressão elegante envolvendo um único processo log-normal sob a nova medida.

Além disso, o palestrante apresenta um sistema bidimensional de equações diferenciais estocásticas, S1 e S2, juntamente com um valor de pagamento associado a uma conta de poupança que paga apenas se S2 atingir um determinado nível. Para calcular essa expectativa complexa, torna-se necessária a distribuição conjunta entre os dois estoques. A transformação de medida é empregada, aproveitando o teorema de Girsanov para encontrar a expectativa de forma elegante. O palestrante explica o processo, com S1 escolhido como numerador e a derivada numérica aleatória identificada. A palestra também destaca a importância de derivar todas as mudanças de medida necessárias e explora o impacto potencial nas relações entre os movimentos brownianos em diferentes medidas. O palestrante enfatiza a importância da transformação de medidas na precificação de instrumentos financeiros complexos de forma elegante e poderosa.

Continuando com a palestra, o palestrante elucida a transformação medida para o derivado aleatório de nicotina e enfatiza a importância de simplificar o payoff. A fórmula da equação é explicada, juntamente com a medida correspondente que deve ser encontrada para cancelar os termos. A dinâmica do título de poupança e seus coeficientes de deriva e volatilidade são discutidos após a aplicação do lema do ethos. Nesta transformação, o elemento de correlação é desprezível. O palestrante também destaca a importância da relação entre S2 e S1 em relação à mesa ethos.

Mudando o foco, o palestrante discute a dinâmica de dois processos de estoque sob a transformação da medida S1, que envolve a substituição de uma nova medida.

Sob a transformação da medida S1, o palestrante explica que o primeiro processo de estoque ainda segue uma distribuição log-normal, mas com um termo adicional no desvio. Da mesma forma, o segundo processo de estoque exibe um termo adicional devido à correlação entre os dois processos. O palestrante enfatiza a importância de ordenar as variáveis da mais simples para a mais avançada e recomenda a utilização da decomposição de Cholesky como técnica para simplificar as equações diferenciais estocásticas. Aproveitando as propriedades log-normais, a probabilidade de avaliação pode ser efetivamente resolvida.

Ampliando o escopo da palestra, o palestrante passa a discutir títulos de cupom zero, que são derivativos fundamentais no domínio da taxa de juros. Os títulos de cupom zero têm um pagamento simples - um único valor recebido no vencimento - tornando-os fáceis de entender e usar. Além disso, eles servem como blocos de construção cruciais para precificar derivativos mais complexos. Note-se que, em certos casos, o valor inicial de um título pode ser superior a um, indicando taxas de juros negativas. Taxas negativas podem resultar de intervenções do banco central destinadas a aumentar a liquidez, embora sua eficácia em estimular os gastos permaneça um assunto de debate. O palestrante destaca que os títulos de cupom zero têm papel fundamental no processo de mudança de medidas no mundo das taxas de juros.

Além disso, o palestrante aprofunda a importância de mudar a medida para a medida a termo quando se trata de títulos de cupom zero. Empregando o teorema fundamental de precificação e a equação genérica de precificação, pode-se derivar o valor atual de um título de cupom zero. A equação de precificação envolve uma expectativa de retorno descontado, que é igual a um para um título de cupom zero. O palestrante enfatiza que as taxas de juros são estocásticas e discute como o desconto estocástico pode ser eliminado da equação mudando a medida para a medida T forward. A seção termina com uma explicação de como um derivativo de código Rublo pode ser modelado e como a equação de precificação muda da medida neutra ao risco para a medida T forward.

Além disso, o professor enfatiza a importância de mudar medidas e reduzir a dimensionalidade nos modelos de precificação em finanças. Ao fazer a transição para preços sob a medida T forward e eliminar a especificidade do fator de desconto, os profissionais podem utilizar técnicas de mudança de medida como ferramentas poderosas em suas operações diárias. A palestra resume o conceito de filtrações e sua relação com as expectativas condicionais, enfatizando como essas ferramentas podem simplificar problemas complexos em finanças.

Para envolver os alunos e reforçar sua compreensão, o instrutor apresenta três exercícios. O primeiro exercício envolve a implementação de uma solução analítica para precificação de opções de venda, garantindo que o código incorpore taxas de juros em Python. O segundo exercício estende a precificação para opções de venda, proporcionando uma oportunidade para avaliar sua eficácia. Por fim, os alunos têm a tarefa de comparar a expressão analítica com o resultado da simulação de Monte Carlo para a expressão de ações ao quadrado no slide 24. Este exercício destaca os benefícios e as diferenças substanciais na aplicação de transformações de medida.

A palestra fornece uma exploração abrangente das mudanças de medida e suas aplicações em finanças. Abrange tópicos como a mudança de medidas, simplificação de pagamentos, dinâmica sob novas medidas, transformação de processos e o significado de títulos de cupom zero e taxas de juros. Ao alavancar as transformações de medidas, os profissionais podem aprimorar seus modelos de precificação, simplificar cálculos e obter informações valiosas sobre instrumentos financeiros complexos.

• 00:00:00 Nesta seção, o instrutor continua com o tópico de mudanças de medidas e suas aplicações em finanças. Ele começa com uma atualização do teorema de Girizanov e do conceito de medida de estoque e, em seguida, mostra como as alterações de medida podem ser usadas para reduzir a dimensionalidade. Ele também explica como definir uma medida futura e usar alterações de medida para remover o desconto estocástico em produtos de taxa de juros ou ações. O instrutor então apresenta um problema em que as mudanças de medidas podem ser benéficas para simplificar o problema e obter uma solução elegante. No geral, a seção fornece informações úteis sobre as aplicações práticas de mudanças de medida em finanças.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, a palestra se concentra na mudança de medidas neutras ao risco para medidas de conta poupança monetizadas pelo ativo de ações. Para isso, utiliza-se a razão entre as duas medidas e explica-se o processo em termos simples. A palestra destaca a importância de escolher um ativo para ser expresso na mesma unidade que todos os outros ativos da carteira e como isso pode ser feito por meio da troca de medidas. A função payoff também é discutida, e a expectativa sob a medida associada é escrita como a integral sobre um sobre m, com o resultado fornecendo os meios para encontrar a consulta. A palestra termina mostrando a substituição usada para obter o termo final.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a simplificação do payoff e a questão da dinâmica da ação sob a nova medida. O valor de t0 é dado como a expectativa sob medições de máximo st menos k 0, e um novo método martingale é introduzido. A abordagem martingale explica que tudo deve ser dividido pelo processo de estoque para se qualificar para o martingale. O orador destaca ainda o processo de descontos e refere que só é benéfico se conduzir a uma dinâmica simplificada ao abrigo da nova medida. A dinâmica pode ser encontrada a partir da proporção de mtst como um martingale. Finalmente, o palestrante enfatiza a necessidade de encontrar a variância e a transformação medida sob a nova medida para se beneficiar da abordagem martingale.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante explica como aplicar o mesmo procedimento usado para o caso Black-Scholes para processos não martingale. Seguindo um conjunto de condições necessárias, é possível usar a transformação de medida para derivar a dinâmica de um novo processo e as expectativas sob uma nova medida. O palestrante destaca a importância de levar em conta as correções de deriva e volatilidade decorrentes dessa transformação na implementação de ambos os processos da medida original e da nova medida. Em última análise, o cálculo é simplificado para uma expressão elegante com um único processo log-normal sob uma nova medida.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante apresenta um sistema bidimensional de equações diferenciais estocásticas, S1 e S2, e um valor de pagamento associado a uma conta de poupança, que paga apenas se S2 atingir um determinado nível. Para calcular essa expectativa complexa, é necessária uma distribuição conjunta entre as duas ações. A transformação de medida é então usada para encontrar a expectativa por meio do teorema de Girsanov, de uma forma muito elegante. Primeiro, S1 é escolhido para ser o numerador e, em seguida, a derivada numérica aleatória é encontrada. A palestra discute a importância de derivar todas as mudanças de medidas necessárias e como as relações entre os movimentos brownianos em diferentes medidas podem ser impactadas. O palestrante enfatiza a importância da transformação de medidas na precificação de instrumentos financeiros complexos de forma elegante e poderosa.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica a transformação medida para o derivado aleatório de nicotina e a importância de simplificar o retorno. O palestrante explica a fórmula da eq e a medida correspondente que deve ser encontrada para cancelar os termos. Eles examinam a dinâmica do título de poupança e seu coeficiente de deriva e volatilidade após a aplicação do lema do ethos. O elemento de correlação não é significativo nesta transformação. O palestrante observa a importância da relação entre s2 e s1 em relação à tabela ethos.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante repassa a dinâmica de dois processos de estoque sob a transformação de medida s1, que envolve a substituição de uma nova medida. O primeiro processo de estoque ainda segue uma distribuição log-normal, mas com um termo adicionado no desvio. Da mesma forma, o segundo processo de estoque possui um termo adicional devido à correlação entre os dois processos. O palestrante enfatiza a importância de ordenar as variáveis da mais simples para a mais avançada e recomenda o uso da decomposição de Cholesky para simplificar as equações diferenciais estocásticas. Por fim, usando as propriedades log-normais, a probabilidade da avaliação pode ser resolvida.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção do curso de Engenharia Financeira, o palestrante discute títulos de cupom zero, que são um derivado básico, mas poderoso no mundo das taxas de juros. O pagamento de um título de cupom zero é um valor único recebido no vencimento, tornando-o um instrumento simples de entender e usar. Também pode ser um bloco de construção fundamental para a precificação de derivativos mais complicados. O palestrante observa que pode haver casos em que o valor do título seja maior que um no início, indicando taxas de juros negativas. Taxas negativas podem ser resultado de intervenções do banco central para aumentar a liquidez, mas sua eficácia em estimular os gastos está em debate. O palestrante deixa claro que os títulos de cupom zero serão um importante intermediário no processo de mudança de medidas no mundo das taxas de juros.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute títulos de cupom zero e a importância de mudar a medida para a medida a prazo. Usando o teorema de precificação fundamental e a equação de precificação genérica, o valor atual do título de cupom zero pode ser derivado. A equação de precificação inclui uma expectativa de retorno descontado, que é igual a um para um título de cupom zero. O palestrante enfatiza que as taxas de juros são estocásticas e discute como o desconto estocástico pode ser removido da equação alterando a medida para a medida T forward. A seção termina com o palestrante explicando como um derivativo de código Rublo pode ser modelado e como a equação de precificação muda da medida neutra ao risco para a medida T forward.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, o professor discute a ideia de alterar medidas e reduzir dimensionalidade, e como isso pode ser aplicado a modelos de precificação em finanças. Ao alterar as medidas, os praticantes podem trabalhar com preços sob a medida t forward e remover a especificidade do fator de desconto. Isso permite que eles usem técnicas perigosas medidas como ferramentas poderosas nas operações diárias. A palestra também resume o conceito de filtrações e sua relação com as expectativas condicionais, e como essas ferramentas podem ser usadas para simplificar problemas complicados em finanças.
  
  
• 00:50:00 nesta seção, a importância de entender filtrações, expectativas condicionais e medir mudanças na precificação de opções usando saltos condicionados de Black-Scholes. A seção abordou como escolher um numerador e como essas medidas estão relacionadas ao movimento browniano. As alterações de medida demonstraram ser benéficas em exemplos como a transferência de equações diferenciais estocásticas, redução dimensional e transformações derivadas. Exercícios de lição de casa foram fornecidos para ajudar os alunos a desenvolver habilidades em preços de derivativos e taxas de juros, como encontrar expectativas, dinâmica e realizar simulações de Monte Carlo.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção da palestra, o instrutor apresenta três exercícios para os alunos. A primeira requer a implementação de uma solução analítica para precificação de opções de venda e garantir que funcione corretamente, incluindo a taxa de juros no código Python disponível na descrição da palestra. O segundo exercício é estender a mesma precificação para opções de venda e verificar sua eficácia. Por fim, os alunos devem comparar a expressão analítica com o resultado da simulação de Monte Carlo para a expressão de estoque quadrado no slide 24, que demonstrará os benefícios e a enorme diferença na aplicação das transformações medidas.