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Inspired form the book about Jim Simons “The man who solved the market” and how they simulated or created data to perform quantitative analysis we discuss in...
住宅ローンと住宅ローン担保証券 (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 18 章)
住宅ローンと住宅ローン担保証券 (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 18 章)
住宅ローンと住宅ローン担保証券の概要
この章では、重要な金融商品である住宅ローンと住宅ローン担保証券について包括的に理解します。住宅ローンとして住宅ローンをご存知の方も多いと思いますが、セカンドハウスなどさまざまな物件でも利用可能です。
住宅ローン担保証券は、住宅ローンのプールによって裏付けられた証券です。この概念を理解するには、すべての住宅ローン契約を収集し、それらに「売り出し中」というラベルを付ける住宅ローン銀行家になったことを想像してください。投資信託や個人投資家などの投資家は、これらの住宅ローン担保証券を購入できます。この住宅ローンの集合体は、住宅ローンのプールと呼ばれます。
住宅ローン担保証券は、所有者が利息の支払いと元本の返済を受け取るため、債券と同様に機能します。これらの証券はさまざまな規模の投資家が利用できるため、個人が財務能力に関係なく住宅ローン市場に参加できるようになります。
学習目標と定義
この章では、住宅ローンおよび住宅ローン担保証券に関連するいくつかの学習目標について説明します。重要な用語の定義と説明を提供し、金融電卓を使用して固定金利の住宅ローンの支払いを計算する方法を示します。金利リスク (期限前返済リスク) や複雑な証券化プロセスなど、これらの証券に関連するさまざまなリスクについて説明します。
例と応用例
取り上げる概念を説明するために、この章ではいくつかの例を示します。これらには、価格差を利用するために住宅ローン担保証券の売却と買戻しを伴うドルロール取引が含まれます。借り手が住宅ローンをどのように繰り上げ返済するかを予測するのに役立つ前払いモデリングも検討されています。さらに、この章では、住宅ローン担保証券と他の債券の利回りの差であるスプレッドについても説明します。
住宅ローン商品の種類
住宅ローン担保証券について詳しく調べる前に、住宅ローンの主要市場を理解することが不可欠です。この市場では、商業銀行などの金融機関が住宅購入を希望する潜在的な住宅ローン保有者に融資を提供します。借り手の信用履歴、収入の安定性、資産に基づいて、さまざまな住宅ローン商品が借り手のニーズに応えます。プライムローンは優れた信用を持つ低リスクの借り手に提供されるのに対し、サブプライムローンは低所得で限界信用履歴を持つ高リスクの借り手に提供されます。
住宅ローンの証券化
証券化プロセスにより、住宅ローンは住宅ローン担保証券に変換されます。これには、個々の住宅ローンが作成される組成が含まれ、その後、同様の住宅ローンが 1 つの住宅ローン プールにまとめられるプーリングが続きます。その後、住宅ローンプールは特別目的事業体 (SPV) に譲渡され、SPV は住宅ローンプールのキャッシュフローにおける所有権を表す住宅ローン担保証券を発行します。これらの証券は、リスクとリターンの特性に基づいてさまざまなトランシェに分割され、流通市場で投資家に販売されます。
住宅ローン担保証券のキャッシュ フローとリスク
モーゲージ担保証券の投資家は、利払いや元金返済など、基礎となるモーゲージプールによって生み出されるキャッシュフローを受け取ります。ただし、これらの証券にはいくつかのリスクが伴います。金利リスクは金利の変動によって発生しますが、期限前返済リスクは借り手が住宅ローンを早期に返済するときに発生します。信用リスクは借り手の債務不履行のリスクであり、期限前返済モデリングは期限前返済速度の予測に役立ちます。
結論
住宅ローンと住宅ローン担保証券は、住宅金融市場において重要な役割を果たしています。これらは借り手に住宅ローン融資へのアクセスを容易にし、幅広い投資家に投資機会を提供します。これらの有価証券には利点がありますが、金利リスク、期限前返済リスク、信用リスク、市場流動性リスクなどのリスクも伴います。規制の監視とリスク管理の実践は、住宅ローン担保証券市場の安定性と完全性を維持するために非常に重要です。
社債 (FRM パート 1 2023 – 第 3 巻 – 第 17 章)
社債 (FRM パート 1 2023 – 第 3 巻 – 第 17 章)
第 1 部の第 3 部では、特に社債に焦点を当てて、金融市場と商品の詳細を掘り下げます。この章では、債券取引とリスクのさまざまな側面を定義して理解することを目的として、発行企業と投資家の両方の視点を検討します。
発行企業は多額の資本を必要としており、富を増やすプロジェクトに資金を提供するために世界中の債券保有者から借り入れを求めています。個人から年金基金、投資信託、寄付基金などの団体までの投資家が、このプロセスで重要な役割を果たします。この章全体を通じて、両方の観点を考慮し、債券取引とリスクに関連する学習目標に重点を置きます。
最初に説明するリスクはデフォルト リスクです。これは、発行企業から適時に全額の支払いを受け取ることができるかどうかの不確実性を指します。デフォルトリスクには、予定されていた支払いが受け取れない可能性、または約束した金額を下回る可能性が含まれます。たとえば、ジョンソン・エンド・ジョンソンのような大企業が発行した債券は、20 年間にわたって 6 か月ごとに 50 ドルを支払い、満期には債券の額面を返すと約束する場合があります。デフォルトリスクには、これらのキャッシュフローの大きさとタイミングの不確実性の両方が含まれます。
2 番目のタイプのリスクは、債券利回りと金利の関係に関係する金利リスクです。金利が上昇すると、債券価格は下落します。したがって、金利上昇期間中に投資家が満期前に債券を売却する必要がある場合、受け取れる金額が予想よりも少なくなる可能性があります。一般的に長期債は金利リスクが高くなります。債券投資を検討する場合、デフォルトリスクと金利リスクを理解することが重要です。
この章では、債券の満期日に何が起こるかとともに、満期の概念についても説明します。さらに、デフォルト率、ドルのデフォルト率、期待リターンの分析における数学の役割についても簡単に触れています。
この章では、ニューヨーク証券取引所における債券取引と株式取引の類似点を描いています。債券取引は株式取引と同様に、債券を安く買って高値で売ることを目的に売買します。ただし、債券取引は金利の変動に大きく影響され、金利の変動は債券利回りに反映されます。投資家が金利の低下を予想している場合、債券を購入し、金利が低下したときにより高い価格で売却する可能性があります。
債券投資をより利用しやすくするために、企業は債券をより小さな額面（通常は 1,000 ドル）に分割し、個人投資家や機関投資家が参加できるようにしています。債券の利回りは、満期まで保有した場合にその生涯にわたって得られる収益を表し、債券に支払われる価格の影響を受けます。債券利回りの予測にはさまざまなモデルを考慮する必要がありますが、シンプルなアプローチは、通常、満期日が類似した財務省証券に基づいてリスクフリーのリターンから開始し、デフォルトリスクを補うために信用スプレッドを追加します。
この章では、満期までの期間と満期までの利回りの関係を示す利回り曲線を紹介します。経済が拡大している間は、投資家が長期債券に対してより高い利回りを要求するため、イールドカーブは上向きに傾く傾向があります。企業は、デフォルトリスクに関連する信用スプレッドを反映して、リスクフリーイールドカーブの上に位置する社債イールドカーブを作成します。
発行企業と社債権者との間の法的拘束力のある契約である社債契約は、この章で説明する社債投資のもう 1 つの重要な側面です。
高利回り債またはジャンク債としても知られる投機的等級債は、投資適格債と比較してデフォルトのリスクが高くなります。信用格付け機関は、利息と元金のデフォルトまたは支払い遅延の可能性が高いことを示すために、これらの債券に低い格付けを割り当てます。投資家は通常、リスクの増加を補うために投機的格付債券に対してより高い利回りを要求します。その結果、投資家の要求する金利の高さを反映して、これらの債券の価格は低くなる傾向があります。
債券投資家は信用格付けに加えて、発行企業の財務健全性も評価します。財務諸表、業界動向、管理専門知識などの要素を分析して、利息と元金が適時に支払われる可能性を判断します。
満期は債券投資の重要な側面です。満期日は、社債保有者に元本が返済される債券の期間の終了日を表します。短期債の償還期間は 1 ～ 5 年ですが、長期債の場合は 10 年以上になる場合があります。投資家は、短期債券と長期債券のどちらを選択するかについて、投資目的とリスク許容度を考慮する必要があります。
金利リスクは債券投資において重要な役割を果たします。金利の変動は債券価格に逆影響を与える可能性があります。金利が上昇すると、一般的に債券価格は下落し、その逆も同様です。この関係は、より低い金利の既存の債券が、より高い金利の新規発行債券と比較して投資家にとって魅力的でなくなるために発生します。
イールドカーブは、債券の利回りと満期までの時間の関係を示します。経済が拡大している間、イールドカーブは上向きに傾く傾向があり、長期債の方がリスクの増加を補うためにより高い利回りを持っていることを示しています。逆に、経済が縮小しているときにはイールドカーブが下向きに傾く可能性があり、これは長期債の利回りが低いことを示しています。
債券取引は、組織化された取引所や電子プラットフォームなど、さまざまな方法で行われます。投資家は、投資戦略と市場状況に基づいて債券を売買します。目的は、債券を安い価格で購入し、高い価格で売って利益を生み出すことです。ただし、債券取引には市場の流動性や金利の変動による価格変動などのリスクが伴います。
要約すると、この章で説明する概念を理解することは債券投資にとって非常に重要です。これには、信用格付け、デフォルトリスク、金利リスク、満期、利回りと債券価格の関係などの要因の分析が含まれます。これらの要素を慎重に評価することで、投資家は情報に基づいた意思決定を行い、財務目標とリスク許容度に合致した債券ポートフォリオを構築できます。
ファイナンシャル フォワードと先物の価格設定 (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 10 章)
ファイナンシャル フォワードと先物の価格設定 (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 10 章)
こんにちは、ジムです。金融市場と金融商品に関するトピックの第 1 部について、特に金融先物と先物の価格設定に関する章に焦点を当てて説明したいと思います。時間を割いて申し訳ありませんが、それだけの価値はあると信じています。学習目標を掘り下げる前に、私がジムという名前の農家で、グレープフルーツの栽培と販売を専門にしていると想像してみましょう。さて、私は農家であるだけでなく、投資家でもあり、株式を所有しています。それをこのインデックス カードで表します。
グレープ フルーツのスポット市場があり、現在の価格がグレープ フルーツ 1 個あたり 1 ドルであるシナリオを考えてみましょう。農家として、私はグレープフルーツを 1 ドルで販売しています。しかし、あなたが私に近づき、1か月以内に私のグレープフルーツを購入したいという意思を表明したとします。その期間中のグレープフルーツの保管と保険の費用がかかることを考慮して、月にいくら払っていただけるか尋ねます。最初は 1 ドル支払うよう提案されましたが、私は果物の保管と保険に追加費用がかかることを説明しました。そこで、いくつかの交渉の結果、1.20 ドルの価格で合意しました。
合意を強固にするために、デリバティブ証券である先渡契約に署名します。この契約には、1か月以内に戻ってきて私に1.20ドルを支払うこと、そしてその代わりにグレープフルーツを提供することが記載されています。現在、デリバティブ契約を締結しております。私たちの会話中に、あなたは私の机の上に一枚の紙があることに気づきました。それはたまたまジムのコンクリート会社の株式でした。あなたがそれについて問い合わせると、価格は 100 ドルだと言いました。あなたは 1 か月以内にそれを所有することに興味を示し、私に所有権を支払うことを提案しました。現在の価格が 100 ドルであることを伝え、30 日以内にいくら払っていただけるか尋ねます。
グレープフルーツ取引と同様に、潜在的なコストとリスクを考慮します。この場合、主に金利を考慮します。さらに話し合いを行った結果、価格は 120 ドルで合意しました。そこで、株式のデリバティブ契約をもう一つ締結しています。要約すると、現在、2 つのデリバティブ契約があります。1 つはグレープフルーツに関するもので、もう 1 つは株式のシェアに関するものです。
今後 30 日間のこれらのデリバティブ契約の価値は、グレープ フルーツのスポット価格とジムズ コンクリート カンパニーの株価によって決まります。たとえば、グレープフルーツのスポット価格が 10 日後に 3 ドルに急騰した場合、3 ドルですぐに売却できるのに、1.20 ドルで販売することに同意したことを後悔するかもしれません。一方で、大幅な価格上昇は嬉しいでしょう。同じ原則が株式にも当てはまります。したがって、これらのデリバティブ契約の価値は原資産の価値に依存します。
それでは、カバーする必要がある学習目標に移りましょう。まず、さまざまな主体からの将来のキャッシュ フローや収益に対する所有権や請求権を表す取引可能な投資である金融資産を定義し説明します。すべての金融資産は投資資産であり、プラスの収益を生み出すことで生涯の目標を達成するために活用されます。
金融資産は 3 つのタイプに分類できます。無配当株式などの収益をもたらさないもの。固定クーポン支払い債券など、既知の金額で固定収入を提供するもの。そして、その価値のパーセンテージに基づいて収入が得られるものもあります。
次に、空売りの概念について説明します。基本的に、空売りでは、価格が下落することを期待して資産を最初に売却し、後でより低い価格で買い戻すことができます。
「流通市場で簡単に売買できる標準化された先渡契約を作ろう」と。こうして先物契約の概念が誕生しました。
先物契約は、原資産の量、品質、納期などの取引の詳細を指定する標準化された契約です。取引ごとにカスタマイズされる先物契約とは異なり、先物契約はシカゴ マーカンタイル取引所 (CME) などの組織化された取引所で取引され、標準化された契約条件があります。
先物契約の標準化はいくつかの利点をもたらします。まず、トレーダーが有効期限前でいつでも簡単に契約を売買できるようにすることで、市場の流動性を高めます。この流動性は、取引所が仲介者として機能し、買い手と売り手をマッチングし、市場の円滑な機能を確保することによって促進されます。
第二に、先物契約の標準化によりカウンターパーティのリスクが排除されます。先渡契約では、一方の当事者が原資産の売買義務を履行しないリスクがあります。対照的に、先物契約は取引所に関連付けられた決済機関によって裏付けられており、すべての取引の保証人として機能します。これは、一方の当事者が義務を履行できなかった場合、清算機関が介入して取引の完了を保証することを意味します。
先物契約と先物契約のもう 1 つの重要な違いは、先物契約の時価評価機能です。時価評価とは、現在の市場価格に基づいて先物ポジションの利益または損失を毎日決済することを指します。各取引日の終わりに、利益または損失が計算され、適切な金額がトレーダーの口座に入金または引き落とされます。このプロセスはリスクの管理に役立ち、先物契約に関与する双方の当事者が経済的に安全であることを保証します。
さて、次の学習目標である先物価格の計算に進みましょう。ジムが挙げた例では、グレープフルーツの先物価格を 1.20 ドル、株式の株式を 120 ドルとすることで合意することに言及しました。先渡価格は、買い手と売り手が将来の日に原資産を取引することに同意する価格です。これは、資産のスポット価格、満期までの時間、一般的な金利などの要因に基づいて決定されます。
先渡し価格を計算するには、金利平価やキャリーコストなどのさまざまな手法を使用できます。これらの方法では、お金の時間価値と、契約の満了まで原資産を保持することに関連するコストが考慮されます。
先物価格と先物契約の価値を区別することも重要な概念です。先物価格は将来の取引の合意価格を表しますが、先物契約の価値は特定の時点での契約の現在の価値です。先渡契約の価値は、原資産のスポット価格、金利、その他の要因の変化に基づいて時間の経過とともに変動します。
デリバティブを使用したヘッジ戦略や投機戦略に従事するトレーダーや投資家にとって、先物価格と先物契約の価値の関係を理解することは非常に重要です。先物価格と価値の差を分析することにより、市場参加者は潜在的な裁定取引の機会を特定したり、ポジションのパフォーマンスを評価したりできます。
次のセクションでは、この章ではデリバティブ契約の価値と原資産のスポット価格との関係を検討します。ジムの例では、デリバティブ契約の価値は、グレープフルーツのスポット価格とジムのコンクリート会社の株式のシェアによって決まります。スポット価格が大幅に上昇した場合、ジムはスポット市場でより高い価格で資産を売却できた可能性があるため、契約を締結したことを後悔する可能性があります。逆に、契約の買い手は価格上昇の恩恵を受けることになります。
この概念は、先物、オプション、スワップなどのさまざまなタイプのデリバティブ契約に適用されます。これらのデリバティブの価値は、原資産または参照レートから導出されます。原資産のスポット価格の変化がデリバティブの価値にどのような影響を与えるかを理解することは、リスクを管理し、情報に基づいた取引の意思決定を行うために非常に重要です。
たとえば、株式のコールオプションを考えてみましょう。コールオプションは、保有者に、指定された日（満了日と呼ばれる）またはそれ以前に、あらかじめ定められた価格（権利行使価格と呼ばれる）で原株を購入する権利を与えますが、義務ではありません。コール オプションの価値は、現在の株価、権利行使価格、満了までの時間、株式のボラティリティ、一般的な金利などの要因によって影響されます。
株式のスポット価格が上昇すると、コール オプションの保有者はより低い権利行使価格で株式を購入する権利があるため、その価値が高まります。この価値の増加は本源的価値として知られており、スポット価格と権利行使価格の差です。さらに、スポット価格の上昇によりオプションの時間価値も増加する可能性があり、これは満了前にさらに価格が上昇する可能性を反映しています。
逆に、株式の現物価格が下落すると、コール オプションの価値も同様に減少する可能性があります。スポット価格が権利行使価格を下回った場合、オプションには本質的な価値がない可能性があり、その価値は主にその時間価値に依存します。有効期限が近づくと、オプションの時間的価値が減少し、その全体的な価値の減少につながる可能性があります。
原資産のスポット価格とデリバティブの価値との間のこの関係は、オプションに限定されず、他の種類のデリバティブにも同様に当てはまります。たとえば、先物契約の場合、契約の価値は原資産のスポット価格の変化に影響されます。
これらの関係を理解することは、デリバティブトレーダーや投資家にとって非常に重要です。スポット価格の変化がデリバティブの価値にどのような影響を与えるかを分析することで、市場参加者は自分のポジションに関連する潜在的なリスクと利益を評価できます。また、この知識を利用して、予想される市場の動きを利用した戦略を設計したり、潜在的な損失を回避したりすることもできます。
章が進むにつれて、さまざまな種類のデリバティブ、その評価モデル、およびリスクを管理して利益を最大化するための戦略をさらに掘り下げる場合があります。デリバティブは、投機、ヘッジ、リスク管理の機会を提供する強力な金融商品ですが、複雑さとリスクも伴います。市場参加者は、デリバティブ取引や投資活動に従事する前に、これらの商品とその基本原理をしっかりと理解することが不可欠です。
これらは生徒たちから寄せられた質問の一部であり、生徒たちが次に何が起こるのかを完全に認識しないように、私はそれらの質問をあまり目立たないように努めています。先ほど説明した例に戻ってみましょう。この例では、質問文を分析したところ、100 と 110 の価格があり、10% の違いがあることがわかりました。さらに、リスクフリー率はわずか 5% でした。この情報に基づいて、キャッシュ アンド キャリーの状況になると推測できます。同様に、別の例では、リバース キャッシュ アンド キャリー シナリオになると推測しました。私が言いたいのは、もし私がこれらの質問を作成するとしたら、先物価格を 95 以外の値、おそらく 101 に変更して、曖昧さを導入し、答えを決定するのがより困難になる可能性が高いということです。この章と図でこの概念を効果的に説明することを目的としているのはこのためです。さて、キャリングコストを調整した将来の予想価格の計算に移りましょう。
これを説明するために、先物価格の概念を考えてみましょう。スポット価格から始まり、キャリングコストに基づいて値上がりします。最終的には先物価格に到達します。特に、グレープフルーツまたは株式の先物契約を締結する場合、初期キャッシュフローは発生しません。契約の開始時に金銭や原資産の所有者が変わることはありません。その結果、デリバティブの初期値はゼロドルになります。この値は、スポット価格、保管コスト、時間、リスクフリー金利などのさまざまな要因によって異なります。この章では、リスクフリー金利を選択する理由については詳しく掘り下げていませんが、リスクフリーのプラスの収益率を生み出すのに役立つことを考慮することが重要です。この概念は、1970 年代初頭にフィッシャー ブラック、マイロン スコールズ、ロバート マートンによって開発されたブラック-ショールズ-マートン オプション価格設定モデルに由来します。彼らは、デリバティブ評価の出発点としてリスクフリー金利を使用することを強調した。したがって、デリバティブの明らかなリスクは、デリバティブとスポット資産を使用してリスクのないポートフォリオを構築することで軽減できることを理解することが重要です。
ここで、先渡契約の存続期間にわたる価値を調べてみましょう。グレープフルーツを 1.20 ドルで交換することに同意したと想像してください。現在から 30 日後までの間のこのデリバティブ証券の価値はいくらですか?グレープフルーツの価格が 3 ドルに上昇したとします。この場合、グレープフルーツをわずか 1.20 ドルで売ることに同意し、より高い販売価格を逃すことに同意したため、私は不満を抱くことになります。ただし、取引相手はデリバティブ契約を売却して自分たちに有利な価格変動を反映させ、それによって利益を得ることができます。これは、先物契約と先物契約の決定的な違いを示しています。先物契約では、契約を引き継ぐ人を見つけるのが難しい場合がありますが、為替取引先物契約では、契約の満期を待たずにデリバティブ証券を売却して利益を実現する方が簡単です。
最初の議論に戻りますが、私たちは当初、明示的または暗黙的にヘッジ目的で先渡契約を使用しました。ヘッジは先物契約と先物契約の両方にとって不可欠な需要ですが、これらの契約は投機的な目的もあります。たとえば、原資産に直接関与していなくても、誰でも先物契約を売ることができます。投機家、ヘッジャー、裁定取引者はデリバティブ市場内で活動しています。したがって、デリバティブ契約の価値を理解することが重要になります。時間の経過とともに、スポット価格と金利の変動により契約の価値が変化します。契約に関連するプライドや後悔などの要因に応じて、値はプラスにもマイナスにもなります。最初は契約の価値はゼロですが、契約期間が経過すると価値が変化する可能性があります。
満期時の先物契約の価値は、原資産の最終スポット価格と合意された先物価格によって決まります。満期時のスポット価格が先物価格よりも高い場合、契約にはプラスの価値があります。一方、スポット価格が先物価格よりも低い場合、契約はマイナスの価値を持ちます。
満期前の任意の時点での先物契約の価値を計算するには、現在のスポット価格と先物価格の差の現在価値をキャリングコストで調整して考慮する必要があります。保管コストには、保管コスト、資金調達コスト、および原資産の保持に関連するその他の費用が含まれます。
計算をよりよく理解するために例を見てみましょう。商品のスポット価格が 100 ドル、先物価格が 105 ドル、リスクフリー金利が 5% であると仮定します。満期までの期間は1年です。先渡契約の価値を求めるには、まずキャリングコストを計算する必要があります。
キャリングコスト = (スポット価格 - 先物価格) * e^(リスクフリーレート * 満期までの時間)
持ち運びコスト = (100 ドル - 105 ドル) * e^(0.05 * 1)
持ち運びコスト = -$5 * e^(0.05)
ここで、現物価格と先物価格の差をキャリングコストで調整した現在価値を計算してみましょう。次の式を使用します。
現在価値 = (スポット価格 - 先物価格) * e^(-リスクフリーレート * 満期までの時間)
現在価値 = ($100 - $105) * e^(-0.05 * 1)
現在の価値 = -$5 * e^(-0.05)
先物契約の価値を求めるには、現在価値からキャリングコストを差し引きます。
先渡契約の価値 = 現在価値 - キャリングコスト
先物契約の価値 = -$5 * e^(-0.05) - (-$5 * e^(0.05))
先物契約の価値 = -$5 * (e^(-0.05) + e^(0.05))
結果の値は正または負の値になり、先物契約の値の利益または損失を示します。値がプラスの場合は契約が利益を生んでいることを意味し、マイナスの場合は損失を示します。
さまざまな時点での先渡契約の価値を計算することで、その変動を追跡し、その収益性を評価することができます。この理解は、市場参加者が先渡契約の締結、保有、または終了に関して十分な情報に基づいた意思決定を行うために不可欠です。
先物契約価値の計算は、取引コストや市場摩擦がないことなど、いくつかの仮定に基づいていることに注意することが重要です。さらに、この計算式では、コストとリスクフリー金利の継続的な複利計算を前提としています。これらの仮定は、教育目的で計算を単純化しますが、現実世界の取引シナリオの複雑さを捉えていない可能性があります。
結論として、先物契約の価値は、原資産のスポット価格の変動とキャリングコストの影響により、時間の経過とともに変化します。これらの要因を考慮し、数学的モデルを採用することで、市場参加者は先渡契約の収益性を評価し、情報に基づいた投資決定を行うことができます。
オプションのプロパティ (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 13 章)
オプションのプロパティ (FRM パート 1 2023 – ブック 3 – 第 13 章)
こんにちは、私はジムです。金融市場と商品に関するトピックの第 1 部について、特にオプションの特性を説明する章に焦点を当てて説明したいと思います。
まず、先物契約、先物契約、スワップ契約と比較したオプションの独特の性質について話しましょう。これらの拘束力のある契約とは異なり、オプションでは特定のアクションを実行する権利が付与されますが、義務は付与されません。この区別により、オプションに独特の特性が与えられ、価格設定に影響を与えます。この議論では、オプションに影響を与える 6 つの重要な要素に焦点を当てます。原資産価格、行使価格、満了までの時間、オプションの種類 (米国または欧州)、ボラティリティ、およびリスクフリー金利です。
まずは原資産価格から始めましょう。株式が現在 1 株あたり 100 ドルで取引されており、行使価格 100 ドルで利用可能なコール オプションとプット オプションがあるシナリオを想像してください。コールオプションを購入すると、株価が上昇することに賭けます。株価が110ドル、120ドル、さらには200ドルに上昇すると、コールオプションの価値も同様に増加します。一方、プットオプションを購入する場合は、株価が下落することに賭けることになります。株価が 80 ドル、70 ドル、40 ドル、または 10 ドルに下落すると、プット オプションの価値は増加します。オプションの本質的価値は株価と行使価格の差であることに注意することが重要です。
行使価格も重要な要素です。コール オプションの行使価格が高いということは、原資産がイン ザ マネーになる可能性が低くなり、コール オプションの価値が減少することを意味します。逆に、プット オプションの行使価格が高いということは、原資産が行使価格を下回る可能性が高く、その結果、プット オプションの価値が増加することを意味します。
有効期限までの時間も重要な役割を果たします。他のすべての要素を一定に保つと、有効期限が長いオプションは通常、有効期限が短いオプションと比較してより高い値を要求します。これは、有効期限が長いほど、原資産価格が有利に動くまでの時間がより多くなるからです。
アメリカ式とヨーロッパ式のオプションを区別することが重要です。米国のオプションは満期までいつでも行使できますが、欧州のオプションは満期時にのみ行使できます。米国のコール オプションの場合、有効期限までの時間が長くなるにつれて、原資産価格が上昇する可能性も高まり、オプションの価値が高まります。米国のプットオプションの場合、原資産価格が行使価格を下回り、その結果オプション価値が増加する可能性に焦点が当てられています。
配当を検討する場合、考慮すべき追加の要素があります。オプション保有者は配当を受け取らないため、配当によりコール オプションの価値が減ります。逆に、配当落ち日に原資産価格が下落することが多いため、プットオプションの価値は上昇する傾向があります。
ボラティリティもオプションに影響を与える重要な要素です。ボラティリティが高くなると、コールとプットの両方のオプション価格が高くなります。ボラティリティは、原資産の価格変動の大きさを表します。株価が安定している（ボラティリティがゼロ）と予想される場合、オプションには価値がありません。ただし、株価の変動が大きく、ボラティリティが高い場合には、オプションの価格は高くなります。
リスクフリー金利もオプションの価格設定に影響を与えます。オプションはリスクフリー金利を使用して価格設定できますが、オプションには重大なリスクが伴うため、これは直感に反するように思えるかもしれません。
ここで、方程式を整理してコール価格を分離しましょう。方程式を整理すると、コール価格は株価から行使価格の現在価値と配当金の現在価値を引いたものに等しいことがわかります。この方程式は、コール オプションの下限と上限を決定するのに役立ちます。
さて、プットオプションの下限と上限についての議論に移りましょう。プット オプションの下限は簡単です。株価が行使価格よりも高い場合、プット オプションはアウト オブ ザ マネーであり、本質的な価値がないことを意味します。したがって、プット オプションの下限はゼロです。
プットオプションの上限は、行使価格が株価よりも高い場合に発生します。この場合、プット オプションはイン ザ マネーであり、その本源的価値は行使価格から株価を引いたものに等しくなります。ただし、上限を扱っているため、プット価格はその本質的価値を超えることはできません。したがって、プット オプションの上限はその固有の値になります。
ここで、プットコールパリティの概念を詳しく見てみましょう。プット・コール・パリティは、コール・オプション、プット・オプション、原資産（株式など）、およびリスクのない投資の価格間の関係を確立するオプション価格設定の基本原則です。これは、これらのコンポーネント間の相互依存関係を理解するのに役立ちます。
プット・コール・パリティは、コール・オプションの価格からプット・オプションの価格を引いたものが、配当の現在価値を考慮した株価と行使価格の現在価値との差に等しいことを示します。
この関係により裁定取引の機会が生まれ、トレーダーは関連証券間の価格差を利用してリスクのない利益を得ることができます。プットとコールのパリティが違反されている場合、それは価格の不一致を示しており、市場の力がその不一致をすぐに修正するでしょう。
プットコールパリティを理解することで、株式市場、債券市場、デリバティブ市場など、さまざまな金融市場の相互接続性を把握できるようになります。ある市場での取引活動は、他の市場での関連証券の価格設定や動向に影響を与える可能性があります。
要約すると、オプションの価格設定に影響を与える要因には、原資産の価格、行使価格、満了までの時間、ボラティリティ、リスクフリー金利、配当金が含まれます。各要因は、コール オプションとプット オプションに特定の影響を与えます。コール オプションとプット オプションの両方には上限と下限があり、プットとコールのパリティは、オプションの価格設定と異なる金融市場間の関係を理解するための貴重なフレームワークを提供します。
それでは、簡単な例を見てみましょう。株価が 80 ドル、行使価格が 40 ドル、満期までの期間が 1 年、6 か月後に 5.50 ドルの配当を受け取ると仮定します。配当の現在価値は 5.24 ドルと計算されます。株価 ($80) から配当金の現在価値 ($5.24) を引き、さらに行使価格の現在価値 ($36.36) を引くと、$38.40 となります。オプションの本質的な価値は 40 ドルです。この場合、コール オプションは裁定取引の機会を生み出すことなく、その本質的価値よりも低い価格で売却できますが、この条件が成り立つのは、株価が 80 ドルで行使価格が 40 ドルであるためです。
早期行使に関しては、オプションに時間的価値がある場合、早期に行使するとその価値が失われます。このオプションは通常、時間価値が残っていない場合にのみ実行されます。ただし、早期に行使すると潜在的な利息収入が失われるため、これらのコストをカバーするには多額の配当金の支払いが必要です。
米国のプットオプションの場合、株価が行使価格を下回った場合、早期に行使される可能性があります。本質的な価値が重要な役割を果たしており、早期に行使することで、オプションの期限が切れるまで利息を得ることができます。
米国財務省証券に加えて、先物契約をプットコール平価方程式の代用として使用することができ、有用な近似値または基準点を提供します。
最後に、トピックの理解を強化するために、章の最後にある質問を忘れずに確認してください。勉強頑張ってください！
ジム・シモンズ取引の秘密 1.1 MARKOV プロセス
ジム・シモンズ取引の秘密 1.1 MARKOV プロセス
ジム・シモンズ氏が運用するメダリオン・ファンドは過去30年間で39％の純利益を達成しており、その有効性が証明されている。ジム・シモンズは、ウォーレン・バフェットやチャーリー・マンガーのような著名な人物さえも超え、史上最も偉大なトレーダーの一人として広く認められています。彼の戦略は主にクオンツとして知られる定量分析に基づいています。
サイモンズの基金の内部事情は極秘のままだが、私が読んでいる本から洞察を得ることができる。私が自分の人生で個人的に採用している戦略の多くは、サイモンズのアプローチからインスピレーションを受けています。今日は、この本で紹介されている情報を掘り下げて、ジム・シモンズがファンドで使用しているテクニックをコーディングして分析してみます。
この本の中で言及されている注目すべき人物の一人は、かつてシモンズで働いていた「アックス」です。アックスは数学の天才として知られており、この分野で優れた論文を執筆しています。この本では、アックスがマルコフ連鎖と呼ばれる概念に焦点を当てていることが強調されています。マルコフ連鎖では、シーケンスの各ステップは予測できませんが、信頼できるモデルに依存することで将来のステップをある程度予測できます。アックスと彼のチームは、マルコフ連鎖の原理に基づいて確率方程式を開発しました。
この本の中で言及されているもう一人の重要な人物は、サイモンズの下で働いていたもう一人の数学の天才である「ローファー」です。ローファーは、価格がいずれかの方向に最初に動いた後に戻る傾向があるという考えに基づいた平均回帰戦略を採用しました。この戦略では、価格が異常に低いレベルで始まったときにポジションが取られます。
この本の終わりの方では、ジム・サイモンズのトレード結果について議論されています。特に、2007年から2008年の景気後退期に、サイモンズは152％と136％という驚くべき利益を達成し、他の年のパフォーマンスを上回りました。平均値回帰戦略は、不況などのボラティリティが高い時期に優れていることを認識することが重要です。私たちのコース、第 3 四半期と第 5 四半期で教えた戦略を含むこれらの戦略は、過去 2 年間と 2007 年から 2008 年の景気後退期にも非常に優れたパフォーマンスを示しました。
この本ではまた、バイアンドホールド株式ラインを使用して S&P 500 (SPY) に適用された平均回帰戦略のパフォーマンスも分析しています。この戦略は、2008 年の景気後退中に市場が大幅に下落した一方で、大幅な利益を上げました。同様に、市場のボラティリティと回復の遅れが目立った過去 2 年間の業績も好調でした。
プロメテウスと呼ばれる私たちのコースでは、平均値回帰アプローチに従う Q5 を含むさまざまな戦略を教えています。この戦略は、他の戦略と同様に、時間の経過とともに一貫した成功を収めています。このコースでは、トレンドフォロー、モメンタムベースの戦略、モンテカルロシミュレーション、ポートフォリオの最適化、フォワードテスト、その他の重要な定量取引ツールなどの重要な概念もカバーします。
シモンズのテクニックをより深く理解するために、彼の戦略の中核にあるマルコフ プロセスについて説明します。マルコフ過程は、将来の出来事の確率が過去ではなく現在の状態のみに依存するランダムな一連の出来事です。この概念を説明するために、自宅、店舗、職場間の人の移動に関する簡単な例を示します。過去を覚えている人間とは異なり、仮想の「マルコフ」キャラクターの将来の動きは現在の状態のみに基づいており、確率の計算が可能です。
この議論では、取引のコンテキストにおける遷移確率の計算についてさらに詳しく説明します。 SPY からの実際のデータを使用して、次の取引日にプラスまたはマイナスの割合で変動する確率が、当日のパフォーマンスに基づいて計算されます。この情報は、異なる状態間で遷移する確率を表す遷移行列に編成されます。
Anaconda ノートブックに示されているコードは、遷移行列を計算して結果を分析する方法を示しています。このノートブックは、Python と、pandas、numpy、matplotlib などのさまざまなライブラリを使用して計算を実行し、視覚化を生成します。
このコードは、必要なライブラリをインポートし、SPY の過去の価格データをパンダ データフレームにロードすることから始まります。次に、価格データは、日ごとの価格の変化率を表す日次収益に変換されます。これらのリターンは、遷移確率を計算するために使用されます。
次に、コードは、毎日の収益と指定されたラグを入力として受け取る関数を定義します。ラグにより、遷移確率の計算に使用される以前のリターンの数が決まります。この関数はリターンを反復し、正のリターンと負のリターンの発生をカウントし、それぞれの確率を計算することによって遷移行列を構築します。行列は numpy 配列として保存されます。
遷移行列が計算されると、コードは matplotlib を使用してヒートマップを生成し、確率を視覚化します。ヒートマップは遷移確率を視覚的に表現し、濃い色は確率が高いことを示します。
次に、ノートブックは遷移マトリックスの分析を続け、結果から洞察を引き出します。プラスからプラスへ、プラスからマイナスへ、マイナスからプラスへ、そしてマイナスからマイナスのリターンに遷移する平均確率を計算します。これらの平均は、収益の持続性と平均回帰性を評価するのに役立ちます。
このコードは、各状態にある長期確率を表すマルコフ過程の定常分布も計算します。定常分布は、市場の全体的な動きと平均回帰戦略の潜在的な収益性についての洞察を提供します。
さらに、このノートでは、マルコフ プロセスと遷移行列アプローチの制限についても説明します。市場の力学は時間の経過とともに変化する可能性があり、過去の確率では将来の行動を正確に予測できない可能性があることを認めています。したがって、取引戦略を継続的に監視し、適応させることが重要です。
結論として、このノートブックは、メダリオン基金のジム シモンズと彼のチームが使用するテクニックの包括的な概要を提供します。マルコフ連鎖、平均回帰戦略、遷移行列の概念を探求し、実践的なコード例と量的取引におけるそれらの応用への洞察を提供します。これらの戦略を理解して実行することで、トレーダーと投資家は意思決定を強化し、金融市場における全体的なパフォーマンスを向上させることができる可能性があります。
ジム・シモンズの不可解なデータ戦術とシミュレーションを暴露する
ジム・シモンズの不可解なデータ戦術とシミュレーションを暴露する
数週間前、私たちはジム・シモンズと本で説明されているマルコフ・プロセスについて話し合いました。今日は、ジム・シモンズとアルバート・アインシュタインの両方が利用した別の概念を探っていきます。まず、私たちが分析している『市場を解決した男』という本の 84 ページを参照してください。
隠れたパターンを検出できる洗練された正確な予測モデルを開発するために、Axcom の Jim Simmons と彼のチームは、比較可能な取引状況を特定し、その後の価格変動を追跡することに依存しました。ただし、このアプローチを効果的にするには、ストラウス氏や他の研究者が収集したデータよりもさらに大量のデータが必要でした。その結果、データを単に収集するのではなく、データをモデル化するようになりました。コンピューター モデルを使用することで、欠落している履歴データについて知識に基づいた推測を行い、ギャップを埋めて、より完全なデータセットを作成できます。
履歴記録のギャップに対処するためにデータをモデル化するこの概念が、ここで検討する内容です。データが限られている場合、またはデータが欠落している場合は、新しいデータ ポイントをシミュレートまたは作成できます。データが増えれば増えるほど、より多くのバックテスト、調査、最適化、トレーニングを実施できるようになります。最終的には、より多くのデータがあれば、戦略の有効性についてより信頼性の高い結論を導き出すことができます。
これを説明するために、例を考えてみましょう。 2008 年の金融危機時の SPY (スタンダード & プアーズ 500 ETF) のチャートがあるとします。約 3 年間または 252 営業日分の十分なデータがありますが、これは特定の戦略が機能すると結論付けるのに十分でしょうか?この場合、約 750 個のデータ ポイントでは十分ではない可能性があります。この制限を克服するために、追加のデータ ポイントをシミュレートして、期間を延長し、より包括的なテストを可能にすることができます。
この説明では、より多くのデータの生成を容易にする 3 つのモデルを検討します。各モデルには独自の長所と短所がありますが、いずれも定量的研究のためにより多くのデータを生成するという目的に役立ちます。進行に合わせて各モデルの長所と短所を説明し、お客様が特定の要件に基づいて情報に基づいた意思決定を行えるようにします。
まず、システム上で Anaconda ファイルを開くことをお勧めします。 Python に詳しくない場合は、「アルゴリズム取引: Python でゼロからヒーローまで」というタイトルの YouTube ビデオを見ることをお勧めします。このビデオでは、Python のインストール、バックテスト戦略、関数とループの使用の基本が説明されています。 Python に慣れたら、次のステップに進むことができます。
まず、YFinance、Pandas、NumPy、Matplotlib、Seaborn などの必要なライブラリをインポートする必要があります。次に、2008 年から 2011 年の期間の SPY データに焦点を当てたデータをダウンロードして、不景気のデータを模倣します。終値を「close_prices」という変数に保存し、価格の変化率を計算します。これは「df」というパンダ データフレームに保存されます。
さて、最初のモデルである単純なモンテカルロ モデルに移りましょう。 「df」内のデータ ポイントの平均と標準偏差を計算し、これらの値を使用してデータをシミュレートします。正規分布と平均値と標準偏差を活用することで、模擬株価を生成できます。これらのシミュレートされた価格をプロットして、データを視覚的に表現します。
さらに、このデータのシミュレーションを 1,000 回作成することができ、結果として 1,000 セットのデータ ポイントが得られます。これはデータ ポイントの数が大幅に増加することに相当し、定量的な分析、バックテスト、最適化、効果的な戦略の特定の機会が増えます。各シミュレーションは「simulations_mc」という変数に保存され、さらに調べるために個別にアクセスできます。
この時点で、トレーディング戦略を適用できるシミュレートされたデータの大規模なセットが得られます。
したがって、これは基本的にドット積であり、配列の各値に x0 を掛けるようなものです。これは、各タイム ステップでの株価を計算するために行われます。
ここで、シミュレーションを 1,000 回実行する for ループを作成します。ループ内で、numpy.random.normal 関数を使用してブラウン運動を生成し、タイム ステップを考慮して DT の平方根を乗算します。次に、幾何学的なブラウン運動方程式を使用して株価を更新し、シミュレーション リストに保存します。
最後に、1,000 回の反復すべてについてシミュレーションされた株価をプロットします。そうすることで、幾何学的なブラウン運動モデルに基づいて、株価がたどる可能性がある複数の潜在的な経路を視覚的に表現できるようになります。これにより、バックテスト、調査、最適化、さまざまな戦略の有効性に関する結論の導き出しに使用できる大量のデータ ポイントを生成できます。
さて、3 番目のモデルである Heston モデルに移りましょう。ヘストン モデルは幾何学的なブラウン運動モデルの拡張であり、株価のダイナミクスを把握するために定量的金融で広く使用されています。これは確率的ボラティリティの概念を導入しています。これは、原資産のボラティリティが一定ではなく、独自のランダムなプロセスに従うことを意味します。
ヘストン モデルは、株価とボラティリティの両方のダイナミクスを記述する確率微分方程式系によって表現されます。ただし、ヘストン モデルの実装にはより複雑な数学と計算技術が必要となるため、この説明の範囲を超えています。
それにもかかわらず、ヘストン モデルはボラティリティ クラスタリングと平均回帰効果を組み込むことにより、さらに多様で現実的な株価経路を生成できることは注目に値します。これは、ボラティリティが高い時期や複雑な金融商品を扱う際の市場の動きを分析および予測する場合に特に役立ちます。
要約すると、単純なモンテカルロ モデル、幾何学的なブラウン運動モデル、ヘストン モデルの 3 つのモデルについて説明しました。各モデルは、株価パスをシミュレートすることによって追加のデータ ポイントを生成する目的を果たします。これらのシミュレーションは、さまざまな市場シナリオでの定量的調査、戦略開発、テストに使用できます。
これらのシミュレーションを実行してデータを分析するために、Python と、pandas、NumPy、matplotlib などのライブラリを利用しました。 Python は、定量分析を実行し、さまざまな財務モデルを実装するための柔軟で強力な環境を提供します。
これらのモデルは貴重な洞察を提供し、分析用のデータを生成できますが、特定の仮定と単純化に基づいていることに注意することが重要です。現実世界の市場ダイナミクスはさまざまな要因の影響を受ける可能性があり、多くの場合、これらのモデルが捉えているものよりも複雑です。したがって、結果を実際の取引や投資の意思決定に適用する前に、結果を注意深く解釈し検証する必要があります。
これで、さまざまなモデルを使用した株価データのシミュレーションについての説明は終わりました。さらにご質問がある場合、または他のトピックを検討したい場合は、お気軽にお問い合わせください。