Maschinelles Lernen und neuronale Netze - Seite 25

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MIT 6.S192 - Vorlesung 21: Zwischen Kunst, Geist und Maschinen, Sarah Schwetmann

MIT 6.S192 - Vorlesung 21: Zwischen Kunst, Geist und Maschinen, Sarah Schwetmann

In diesem Vortrag diskutiert Sarah Schwetmann die Schnittmenge von Kunst, Geist und Maschinen. Es befasst sich mit der visuellen Wahrnehmung und der Herausforderung, eine reichhaltige 3D-Welt durch eine 2D-Leinwand wahrzunehmen, die das Gehirn erfordert, um das umgekehrte Problem zu lösen und die bestmögliche Erklärung für die eingehenden Informationen zu finden. Schwettmann spricht auch über Projekte mit tiefen generativen Modellen, die an Kunstwerken trainiert wurden, wie z. B. die Verwendung von GAN-Inversion zum Einbetten von Bildern der Met-Sammlung in den Funktionsraum des Basismodells, um die Struktur menschlicher Kreativität zu verstehen, und das Erstellen eines Vokabulars visueller Konzepte für ein willkürlichen latenten GAN-Raum durch Abtasten des Raums wahrnehmbarer oder möglicher Transformationen und Verwenden dieser Auswahl von Richtungen als Projektionsfläche für Urteile über die menschliche Wahrnehmung. Menschliche Interaktion und Kennzeichnung sind in diesem Prozess wichtig, und das resultierende Vokabular kann auf andere Modelle angewendet und für verschiedene Bildmanipulationen verwendet werden. Trotz des Rauschens in den Daten aufgrund unterschiedlicher Wortwahlen kann ihre Wörterbuchdestillationsmethode unter Verwendung einer Anmerkungsbibliothek beliebiger Größe skaliert werden und kann das Training des Untertitelautors beinhalten, um Anweisungen automatisch zu kennzeichnen.

Sarah Schwetmann diskutiert auch verschiedene Möglichkeiten, die Bedeutung von Richtungen innerhalb von Modellen zu erforschen und zu bestimmen, die auf menschliche Kreativität trainiert wurden. Es präsentiert ein Experiment zum Erfassen und Lernen visueller Hinweise ohne Sprache, das es Menschen ermöglicht, die gewünschte Transformation rein visuell zu bestimmen, indem sie mit einer kleinen Gruppe von Bildern interagieren, die aus dem latenten oder Merkmalsraum ausgewählt werden. Diese Technik ist nützlich, um Bilder mit schwer zu erklärenden Nuancen zu kennzeichnen und zu verstehen. Darüber hinaus kann der verborgene Raum zu einer Leinwand werden, auf die menschliche Erfahrungen projiziert werden können, wodurch Forscher Aspekte der menschlichen Wahrnehmung besser verstehen können, die ansonsten schwer zu formalisieren sind.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt spricht Sarah Schwettmann über ihre Erfahrungen in den Neurowissenschaften und wie ihr Interesse an der Schnittstelle zwischen ihr und der Welt entstand, insbesondere in Bereichen, in denen sich bildende Kunst und übergeordnete Aspekte der Kognition überschneiden. Sie beschreibt die visuelle Wahrnehmung als grundlegend konstruktiv und erfordert etwas Kreativität, um schlecht gestellte inverse Probleme zu lösen, und stellt fest, dass der hintere Teil des menschlichen Auges eine flache 2D-Leinwand ist, die aus einer Hierarchie von Zellen besteht, die eine 2D-Leinwand bilden, in die eingehende Bilddaten aufgenommen werden Konto und präsentiert Bilder. in Bezug auf Aktivierungsmuster über ein Mosaik von Zellen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt des Vortrags diskutiert Sarah Schwetmann das Problem, eine reichhaltige dreidimensionale Welt zu erleben, wenn man sie durch eine zweidimensionale Leinwand betrachtet. Während klassische Computer-Vision-Aufgaben die 3D-Struktur eines Objekts erkennen können, können sie die damit verbundenen Bedeutungen und Assoziationen nicht vermitteln. Unser Gehirn muss das umgekehrte Problem lösen, um von kleinen 2D-Informationen zu reichhaltigen 3D-Informationen zu gelangen, was eine falsche Aufgabe ist, da es unendlich viele Konfigurationen gibt, die dieselbe 2D-Projektion verursachen können. Wahrnehmung ist grundlegend konstruktiv und erfordert vom Gehirn, die eingehenden Informationen bestmöglich zu erklären und sie in einen Akt der Kreativität umzuwandeln. Eine beliebte Methode zur Lösung dieses Inferenzproblems ist die Verwendung von Weltmodellen wie Bayes'schen Ansätzen oder Deep-Learning-Ansätzen. Schwettmann gibt dann ein Beispiel für eine Live-Demonstration, bei der die visuellen Informationen auf eine einzelne Linie aus rotem Laserlicht beschränkt sind, wodurch das Publikum gezwungen wird, darauf zu schließen, was auf einem schwarzen Samttisch sitzt.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert Sarah Schwetmann, wie unsere mentalen Modelle über Formen unsere Wahrnehmung beeinflussen können. Es bietet ein Beispiel, bei dem eine einzelne Linie eines Laserstrahls über eine Oberfläche mit mehreren verschiedenen Formen wandert, und wie wir daraus ableiten können, was diese Formen sind, basierend darauf, wie das Licht die Oberfläche umhüllt. Dies führt zu einer Diskussion der intuitiven Physik und wie das Gehirn physikalische Eigenschaften wie Masse darstellt, die als Eingabe für eine abstrakte verallgemeinerte physikalische Modellierungsmaschine verwendet werden können. Schwettmann geht auch auf das Thema Modelle in der Kunst ein und erklärt, wie schwierig es ist, einen Computerformalismus für bestimmte Kunstwerke zu entwickeln, bei denen die zugrunde liegenden Dimensionen nicht klar sind.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt spricht Dr. Sarah Schwetmann über den Kurs „Vision in Art and Neuroscience“, der vom Massachusetts Institute of Technology angeboten wird. Dies ist ein ausführlicher Workshop zu den Prinzipien des Sehens anhand der Literatur zu Neurowissenschaften, Berechnung und künstlerischer Praxis. Schwettmann gibt Beispiele aus den Fotografien von Minor White und diskutiert, wie verschiedene Faktoren die glaubwürdige Wahrnehmung beeinflussen können. Der Kurs beinhaltet auch einen Atelierteil, in dem die Studierenden lernen, die Prinzipien des Sehens in einem künstlerischen Kontext zu verkörpern und zu visualisieren. Darüber hinaus gipfelt die Kursarbeit in der Schaffung einer Kunstausstellung, die den Studenten die einzigartige Gelegenheit bietet, ihre eigenen Arbeiten zu präsentieren.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt diskutiert Sarah Schwetmann ein Projekt darüber, wie tiefe generative Modelle verwendet werden können, um die Struktur menschlicher Kreativität zu verstehen. Das Metropolitan Museum of Art stellte einen Datensatz mit mehreren hunderttausend digitalen Bildern von Werken aus seiner Sammlung zur Verfügung. Die Forscher fragten, ob sie mit diesen Archiven verbundene tiefe generative Modelle erstellen könnten, die die geschaffene Arbeit in ihren kulturellen Kontext einfügen. Sie verwendeten die GAN-Inversion (Generative Adversarial Network), um jedes Bild im Datensatz in den Merkmalsraum des zugrunde liegenden Modells einzupassen. Dadurch konnten sie Unterräume dieser großen Modelle definieren, mit denen sie interagieren konnten, anstatt das Modell auf ihrem eigenen Datensatz neu zu trainieren. Das Projekt zielte darauf ab, mit Kulturgeschichte auf einer Zeitskala zu experimentieren, die eine schnelle Entwicklung in der Gegenwart zuließ.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt spricht Schwettmann über ein Projekt, an dem sie gearbeitet hat und an dem die Met Collection und BigGAN ImageNet beteiligt sind. Sie wählten Kategorien aus, die ihnen gemeinsam waren, und erstellten einen zweiteiligen Verlust, um die Ähnlichkeit zwischen dem Met-Bild und dem BigGAN-Bild auf Pixel- und semantischer Ebene zu maximieren. Sie waren in der Lage, individuelle Bindungen zu visualisieren und zwischen bestehenden Bildern auf einem Diagramm zu interpolieren, um hypothetische oder traumhafte Bilder zu erstellen, die zwischen den Räumen bestehender Werke in der Sammlung existieren. Das Projekt wurde auf der Met gelistet und eine Web-App-Version war verfügbar. Das Projekt entwickelt sich unter Verwendung von StyleGAN2-ADA für das Training mit kleinen Datensätzen weiter.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt spricht Schwettmann über ein Projekt, bei dem es darum geht, geschichtete Ölgemälde aus kurzen Spaziergängen in einem versteckten Raum zu erstellen, wobei ein Roboterkünstler verwendet wird, um die im Kurs beschriebene Handhabungsarbeit zu visualisieren. Dieses Projekt ist in der University of North Texas Modern Art Gallery ausgestellt. Sie spricht auch darüber, wie wichtig es ist, die Dimensionen zu verstehen und zu interpretieren, die generativen Modellen zugrunde liegen, die an Kunstwerken aus digitalen Museumssammlungen trainiert wurden, um alternative und imaginäre Kunstgeschichten zu schaffen, die um einzigartige versteckte Wege herum aufgebaut sind. Ziel ist es, die allgemeinen Aspekte der Bildsprache zu verstehen, die in ganz unterschiedlichen Kunstgattungen vorhanden sein können.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt diskutiert Schwettman die Schnittmenge von kreativer Modellierung und maschinellem Lernen, insbesondere in Bezug auf die Modellierung individueller Methoden und Stile des künstlerischen Schaffens. Sie stellt auch fest, dass generative Modelle, die an Kunstwerken trainiert werden, Einblicke in die Struktur hinter Kreativität geben und als kollaborative Werkzeuge verwendet werden können. Anschließend untersucht Schwettmann Möglichkeiten, wie Menschen mit generativen Modellen interagieren können, um mehr über das menschliche Sehen zu erfahren und ein gemeinsames Vokabular aufzubauen, beispielsweise beim Entwerfen von Experimenten, die eine Visualisierung und Interaktion mit latenten Spaziergängen ermöglichen. Die menschliche Interaktion in diesem Prozess umfasst die Auswahl repräsentativer Bilder für die Trainingsdatensätze und die Auswahl zufälliger latenter Weltraumspaziergänge, und der nächste Schritt besteht darin, eine systematischere Sprache für die verschiedenen Spaziergänge zu erstellen.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert Sarah Schwetmann die Verwendung menschlicher Interaktion, um verschiedene Passagen durch den latenten Raum zu bestimmen und auszuwählen, um die Entwicklung der Kunst zu nuancieren. Sie betont, wie wichtig es ist, direkt mit den Modellen zu interagieren, anstatt einen Vermittler zu verwenden, und verschiedene Personen in den Prozess einzubeziehen, damit sie ihr Wissen nutzen können, um eine einzigartige Synthese mit einem generativen Modell zu schaffen. Anschließend diskutiert Schwetmann ein Projekt, das darauf abzielt, ein Wörterbuch visueller Konzepte für einen beliebigen latenten GAN-Raum zu erstellen, bei dem der Raum signifikanter oder möglicher Transformationen abgetastet und diese Richtungsmuster als Projektionsfläche für menschliche Wahrnehmungsbeurteilungen verwendet werden. Das Ziel ist es, Konzepte in ein Vokabular offener kompositorischer visueller Konzepte zu unterteilen und ein gemeinsames Vokabular zwischen tiefen Merkmalen in der Modelldarstellung und Konzepten zu definieren, die für Menschen beim Verständnis einer visuellen Szene von Bedeutung sind.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt des Vortrags diskutiert Sarah Schwettmann, wie Menschen verwendet werden können, um einen Datensatz für ein Vokabular zu kennzeichnen, das sowohl vielfältig als auch spezifisch ist. Durch die Definition gegenseitig orthogonaler selektiver Schichtrichtungen, die Änderungen in der Merkmalsdarstellung auf jeder BigGAN-Schicht minimieren, kann Schwettmann gezielte Änderungen und Änderungen auf verschiedenen Abstraktionsebenen erfassen. Diese minimal signifikanten Transformationen werden dann von menschlichen Betrachtern beschriftet, die Schwettmann dann in ein Vokabular visueller Konzepte zerlegt, das aus einzelnen Richtungen besteht, die mit einzelnen Wörtern beschriftet sind. Es wurde festgestellt, dass mehr als 2.000 Konzepte vielen verschiedenen Arten von visuellen Änderungen entsprechen und Manipulationen wie Skalierung, Drehung, Farbänderungen und sogar Stimmungsänderungen ermöglichen. Durch diesen Prozess kann Schwettmann die Transformationen aufdecken, die den vom Betrachter ausgewählten Konzepten entsprechen, wie z. B. die Küche moderner gestalten, und diese Transformationen auf andere Bilder anwenden.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt diskutiert Sarah Schwettmann die zusammensetzbare und verallgemeinerbare Natur ihrer vorgeschlagenen Methode zum Auffinden von Dimensionen von visuellem Interesse, die für Menschen relevant sind, im latenten Raum eines Modells, das mit realen Bildern trainiert wurde. Sie führten eine Reihe von Verhaltensexperimenten durch, um den Erfolg ihrer Methode zu bewerten, und stellten fest, dass es möglich war, Konzepte, die in einer Kategorie gelernt wurden, einer anderen Kategorie hinzuzufügen. Das Verfahren ist modellunabhängig und kann auf andere Modelle angewendet werden, einschließlich derjenigen, die an Kunstbildarchiven geschult wurden. Es gibt auch verschiedene Methoden, die zum Abtasten des latenten Raums verwendet werden können, aber die Schichtauswahlmethode hat sich als die effektivste erwiesen, um bestimmte Veränderungen hervorzuheben. Für die Annotation ist immer noch menschliches Eingreifen erforderlich, aber zukünftige Arbeiten könnten das Training des Labelerstellers an einem größeren beschrifteten Datensatz oder die Verwendung von etwas wie CLIP für automatisierte Annotationen umfassen, während Experten weiterhin spezialisierte Modelle annotieren können.
  
  
• 00:55:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert Sarah Schwetmann den Prozess des Kommentierens eines Projekts und das Treffen der Entscheidungen, die in die Auswahl der Richtungen für das Rendering einfließen. Das Team sammelte mindestens zwei Anmerkungen für jede Richtung, um die Übereinstimmung zwischen den Subjekten zu messen, und verwendete BLEU- und BERTscores für die Übereinstimmung zwischen den Kommentatoren. Sie visualisierten 64 z pro Kategorie und eine Reihe verschiedener minimal signifikanter Richtungen für sie. Die Lösung war etwas zufällig, aber die verwendete Methode kann Wörterbücher mithilfe einer Anmerkungsbibliothek beliebiger Größe zuweisen. Jetzt entscheiden sie, ob sie hineinzoomen und mehr Anmerkungen sammeln, um Untertiteln beizubringen, Wegbeschreibungen automatisch zu kennzeichnen. In Bezug auf die Kennzeichnung gab es keine Standards für Annotatoren zur Wortwahl, was zu einem gewissen Rauschen in den Daten führte. Obwohl sie einen Testlauf durchführten und sich die Beispiele vor dem Kommentieren ansahen, basierte die Übereinstimmung zwischen den Kommentatoren ausschließlich auf dem rohen Wahrnehmungsfenster, das ihre Wortwahl bot.
  
  
• 01:00:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent seine Forschung zur Bewertung von Vokabeln, die zur Beschreibung von Veränderungen am Himmel verwendet werden. Sie stellten fest, dass die Verwendung von BERTscores zur Bewertung der semantischen Ähnlichkeit von Anmerkungen effizienter war, als nur die wortbasierte Übereinstimmung zu betrachten. Sie diskutieren auch die Idee, ähnliche Anmerkungen unter einem Dach zu kombinieren, um die Aussagekraft zu erhöhen, beachten aber die Schönheit der verschiedenen Wörter, die zur Beschreibung von Veränderungen verwendet werden. Der Sprecher und das Publikum diskutieren dann nicht-lineare Subraumwanderungen in latenten Räumen und die fehlende Normalisierung der visuellen Bedeutung, die Adjektiven entspricht. Abschließend spricht der Referent über die Beta-Methode zur Schaffung eines gemeinsamen Vokabulars zwischen Menschen und Modellen.
  
  
• 01:05:00 In diesem Abschnitt beschreibt Sarah Schwettmann ihr Experiment, visuelle Hinweise ohne den Einsatz von Sprache zu erfassen und zu lernen. Diese Methode ist von der "Handhabungsarbeit" inspiriert und ermöglicht es Menschen, die gewünschte Transformation rein visuell zu bestimmen, indem sie mit einer kleinen Gruppe von Bildern interagieren, die aus dem latenten oder Merkmalsraum ausgewählt wurden. Benutzer können Bilder in Richtung des spezifischen visuellen Merkmals sortieren, das sie definieren möchten, und diese Methode ist sympathisch handhabbar. Sie ermittelten die Transformation allein durch die Untersuchung der Hyperebene, die die verschiedenen Klassen von Bildern und Musterbildern vom latenten Raum trennt. Es ist möglich, diese Richtungen mit einem gewissen Maß an Sicherheit zu identifizieren, indem mehrere Bilder in jeder Kategorie verwendet werden, was es dem Benutzer erleichtert, mit solchen Systemen zu interagieren. Diese Methode ist nützlich, um Bilder mit schwer zu erklärenden Nuancen zu kennzeichnen und zu verstehen.
  
  
• 01:10:00 In diesem Abschnitt des Vortrags diskutiert Sarah Schwetmann den latenten Raum und wie er verwendet werden kann, um die Richtungen zu erforschen und ihnen Bedeutung zu verleihen, die in Modellen gefunden werden, die in menschlicher Kreativität trainiert wurden. Indem untersucht wird, wie das Modell visuelle Unterschiede zwischen Kategorien erlernt, können Forscher aussagekräftige Parameter lernen, z. B. die Erinnerung, die auf Szenen angewendet werden können, die über das hinausgehen, wofür das Modell trainiert wurde. Durch diesen Prozess kann der verborgene Raum zu einer Leinwand werden, auf die menschliche Erfahrungen projiziert werden können, wodurch Forscher Aspekte der menschlichen Wahrnehmung besser verstehen können, die ansonsten schwer zu formalisieren sind. Das Ergebnis ist eine Zusammenarbeit zwischen Mensch und Maschine, die exquisite Ergebnisse hervorbringen kann.
  
  
• 01:15:00 In diesem Abschnitt diskutiert Sarah Schwetmann die Idee der verborgenen Räume und die Beziehung zwischen unserer Vorstellungskraft und den von uns geschaffenen Modellen. Sie drückt ihre Wertschätzung für diese Beziehung aus und beendet das Video, indem sie alle verbleibenden Fragen des Publikums beantwortet.

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MIT 6.S192 - Vorlesung 22: Probabilistische Diffusionsmodelle, Jascha Sol-Dickstein

MIT 6.S192 - Vorlesung 22: Probabilistische Diffusionsmodelle, Jascha Sol-Dickstein

In diesem Vortrag diskutiert Jascha Sol-Dickstein Diffusionsmodelle, die verwendet werden, um Aufgaben getrennt von Trainingsdaten zu trainieren. Modelle sind probabilistisch und können zum Codieren oder Decodieren von Daten verwendet werden. Der Vorwärtsdiffusionsprozess ist ein fester Prozess und der umgekehrte Prozess ist ebenfalls wahr.

Dieser Vortrag befasst sich mit probabilistischen Diffusionsmodellen und erklärt, dass es trotz der Eins-zu-Eins-Übereinstimmung zwischen dem latenten Raum und dem Bildraum möglich ist, mit mehreren Klassen innerhalb desselben Modells zu arbeiten. Der Vortrag erklärt dann, wie man diese Modelle verwendet, um neue Bilder zu erstellen.

• 00:00:00 In diesem Vortrag diskutiert Jascha Sol-Dickstein Diffusionsmodelle, die zur Bilderzeugung in verschiedenen Disziplinen, einschließlich der Kunst, verwendet werden. Er teilt auch Beispiele dafür, wie Gussmuster in Verbindung mit Text verwendet werden, um bessere Bilder zu erstellen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Vortrag diskutiert Jascha Sol-Dickstein die physikalische Intuition hinter Diffusionsmodellen und zeigt, wie sie verwendet werden können, um Stichproben aus einer Datenverteilung zu generieren. Anschließend diskutiert er die Verbindungen zwischen Diffusionsmodellen und neuronalen ODEs.
  
  
• 00:10:00 In diesem Video diskutiert Professor Jascha Sol-Dickstein vom Department of Electrical Engineering am Massachusetts Institute of Technology Diffusionsmodelle, mit denen das Verhalten von Systemen über die Zeit untersucht wird. Einer der Hauptvorteile von Diffusionsmodellen besteht darin, dass sie verwendet werden können, um Beispieldaten zu erstellen, die ein System darstellen, während es sich im Laufe der Zeit verändert, ohne dass Informationen über die zugrunde liegende Struktur des Systems verloren gehen.
  
  
• 00:15:00 In diesem Vortrag erklärt Jascha Sol-Dickstein, wie Verkaufsmodelle funktionieren. Erstens zeigt es, wie ein eindimensionales Beispiel durch drei Millionen Dimensionen veranschaulicht wird. Anschließend wird erklärt, wie Ausbreitungsmodelle in 2D und 3D funktionieren. Schließlich wird gezeigt, wie Diffusionsmodelle verwendet werden können, um Funktionen zu untersuchen, die den Mittelwert und die Kovarianz einer Reihe von Gaußschen Funktionen beschreiben.
  
  
• 00:20:00 In diesem Vortrag spricht Jascha Sol-Dikshtein über die mathematischen Grundlagen von Diffusionsmodellen und erklärt, wie man sie mit einer Variationsgrenze trainiert. Außerdem wird die Jensensche Ungleichung erörtert und wie die Log-Wahrscheinlichkeit des Modells reduziert werden kann. Wenn sich die Vorwärts- und Rückwärtspfadverteilung genau überlappen, kann die Log-Likelihood als Summe der KL-Divergenzen geschrieben werden, wobei beide Verteilungen gaußförmig sind.
  
  
• 00:25:00 In diesem Vortrag beschreibt Dr. Sol-Dickstein die KL-Lücke zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen und erklärt ihre Bedeutung für überwachtes Lernen. Er fährt fort, dass KL normalerweise aus den Daten im Modell berechnet wird und mit der logarithmischen Wahrscheinlichkeit der Daten zusammenhängt. Er stellt auch fest, dass die Berechnung der KL-Divergenz in die entgegengesetzte Richtung schwierig sein kann.
  
  
• 00:30:00 In diesem Vortrag erklärt Jascha Sol-Dickstein, wie man stochastische Differentialgleichungen (SDE) verwendet, um die Rauschausbreitung in einer Datenverteilung zu modellieren. Es erklärt, wie man den Diffusionsprozess in eine stochastische Differentialgleichung transformiert und wie man den Gradienten des Log-Likelihood-Schätzers verwendet, um die Theta-Approximation an den Schätzer zu lernen.
  
  
• 00:35:00 Diese Präsentation behandelt den Diffusionsmodellierungsalgorithmus und seine Vorteile gegenüber anderen Modellierungsmethoden. Der Algorithmus wird in Form eines zeitdiskreten SDE mit einer Bewertungsfunktion beschrieben, und der Abtastprozess wird in Form eines neuronalen Netzwerks beschrieben. Der Kurs endet mit einer Demonstration einiger Probengenerierungsmethoden.
  
  
• 00:40:00 Dieser Vortrag erklärt den Unterschied zwischen stochastischen und deterministischen Modellen und wie man zwischen ihnen konvertiert. Der Vortrag diskutiert auch die Vor- und Nachteile der Verwendung von SDE gegenüber ODE für die Simulation.
  
  
• 00:45:00 In diesem Vortrag spricht Jascha Sol-Dickstein über die Theorie von Diffusionsmodellen und erklärt, wie sie sich von traditionellen linearen Modellen unterscheiden und wie sie für verschiedene Zwecke verwendet werden können, beispielsweise um die Erzeugung von Rauschproben unter kontrollierten Bedingungen zu steuern . Es erwähnt auch die Regel von Bayes, die verwendet werden kann, um den zweiten Term des Diffusionsmodells zu bilden, ohne vorherige Kenntnis der bedingten Verteilung zu erfordern.
  
  
• 00:50:00 In diesem Vortrag erklärt Jascha Sol-Dickstein, wie Diffusionsmuster verwendet werden können, um realistische Muster oder Farben in Bildern zu erzeugen. Er erwähnt auch, dass die Modellcodierung eindeutig identifizierbar ist, was gut oder schlecht ist, je nachdem, wie man es betrachtet. Schließlich zeigt es, wie das Modell verwendet werden kann, um neue Kunstwerke zu erstellen, ohne das Modell zu recyceln.
  
  
• 00:55:00 Diese Präsentation behandelt Broadcast-Modelle, die verwendet werden, um Aufgaben getrennt von Trainingsdaten zu trainieren. Modelle sind probabilistisch und können zum Codieren oder Decodieren von Daten verwendet werden. Der Vorwärtsdiffusionsprozess ist ein fester Prozess und der umgekehrte Prozess ist ebenfalls wahr.
  
  
• 01:00:00 Dieser Vortrag behandelt probabilistische Diffusionsmodelle und erklärt, dass es trotz der Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen latentem Raum und Bildraum möglich ist, mit mehreren Klassen innerhalb desselben Modells zu arbeiten.

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GenRep: Generative Modelle als Datenquelle für das Lernen von Multiview-Repräsentationen in ICLR2022

Code: https://github.com/ali-design/GenRep

GenRep: Generative Modelle als Datenquelle für das Lernen von Multiview-Repräsentationen in ICLR2022

Die Referenten diskutieren das Konzept von Modellzoos, in denen vortrainierte generative Modelle ohne Zugriff auf die zugrunde liegenden Daten zugänglich gemacht werden. Durch die Verwendung von kontrastivem Lernen können Forscher verschiedene Ansichten desselben Objekts erstellen, die innerhalb des Darstellungsraums in dieselbe Nachbarschaft fallen. Sie fanden heraus, dass einfache Gaußsche Transformationen im latenten Raum effektiv waren und dass die Generierung von mehr Samples aus IGMs zu besseren Darstellungen führt. Experten-IGMs wie StyleGAN Car in bestimmten Bereichen können aus echten Daten gelernte Darstellungen übertreffen. Die Projektwebsite und der Github-Code stehen für weitere Erkundungen zur Verfügung.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt diskutieren die Referenten das Konzept von Modellzoos, in denen vortrainierte generative Modelle ohne Zugriff auf die zugrunde liegenden Daten zugänglich gemacht werden. Sie erklären weiter, wie implizite generative Modelle gesteuert werden können, um viele Transformationen von generierten Bildern anzubieten. Durch die Verwendung von kontrastivem Lernen können Forscher verschiedene Ansichten desselben Objekts erstellen, die innerhalb des Darstellungsraums in dieselbe Nachbarschaft fallen. Durch Verschieben im latenten Raum, Erstellen verschiedener Ansichten für den Anker und Kombinieren von Transformationen können Forscher Repräsentationen von diesen IGMs lernen. Diese Forschung hat gezeigt, dass, wenn beide Transformationen, die IGMs bieten, angewendet werden, sie der Leistung der realen Daten näher kommen und mit ihnen konkurrieren können. Die Ergebnisse waren im Fall von StyleGAN Car überraschend höher als die realen Daten.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erörtert der Sprecher die Verwendung von kontrastivem Lernen und Steuerbarkeit beim Erstellen unterschiedlicher Ansichten für das Repräsentationslernen. Sie fanden heraus, dass einfache Gaußsche Transformationen im latenten Raum effektiv waren und dass die Generierung von mehr Samples aus IGMs zu besseren Darstellungen führt. Sie fanden auch heraus, dass Experten-IGMs wie StyleGAN Car in bestimmten Bereichen Repräsentationen übertreffen können, die aus echten Daten gelernt wurden. Die Projektwebsite und der Github-Code stehen für weitere Erkundungen zur Verfügung.

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Ein Interview mit Gilbert Strang über das Lehren von Matrixmethoden in Datenanalyse, Signalverarbeitung und maschinellem Lernen

Ein Interview mit Gilbert Strang über das Lehren von Matrixmethoden in Datenanalyse, Signalverarbeitung und maschinellem Lernen

Gilbert Strang, ein renommierter Mathematiker, betont die Bedeutung von Projekten gegenüber Prüfungen beim Unterrichten von Deep Learning, einem entscheidenden Teil des maschinellen Lernens, der sich stark auf lineare Algebra stützt. Er glaubt, dass Projekte es den Schülern ermöglichen, zu verstehen, wie man Deep Learning in der realen Welt anwendet, und dass sie eine effektivere Art des Lernens sind. Strang betont auch, dass es beim Unterrichten um das Lernen und Arbeiten mit den Schülern geht und nicht nur darum, sie zu benoten. Er rät neuen Professoren, große Kreide zu verwenden und sich Zeit zu nehmen, um bei der Klasse zu bleiben, um erfolgreich zu unterrichten.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt erläutert Gilbert Strang, wie er zum Unterrichten von Deep Learning kam, einem wichtigen Teil des maschinellen Lernens, der stark von linearer Algebra abhängt. Er betont auch, dass Projekte weitaus besser sind als Prüfungen, da sie den Schülern eine Vorstellung davon vermitteln, wie Deep Learning in realen Situationen eingesetzt werden kann, und eine effektivere Art des Lernens darstellen. Indem die Schüler ihre eigenen Fragen stellen und ihre eigenen Programme schreiben, können sie Projekte erstellen, die interessant und einprägsam sind. Strang gibt jedoch zu, dass er keine Ahnung hatte, was ihn erwarten würde, als er anfing, den Kurs auf diese Weise zu unterrichten, und es dauerte einige Zeit, bis er die Logistik zur Durchführung der Projekte herausgefunden hatte.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt des Videos erläutert Gilbert Strang seine Philosophie bezüglich der Benotung der Arbeiten von Schülern. Er glaubt, dass seine Hauptaufgabe als Lehrer darin besteht, gemeinsam mit den Schülern zu lehren oder zu lernen, und nicht, sie zu benoten. Er erkennt an, dass die Benotung wichtig ist, aber es ist nicht sein Hauptanliegen. Er rät neuen Professoren, große Kreide zu verwenden und nicht zu hetzen, sondern bei der Klasse zu bleiben. Er glaubt, dass das Lehren der beste Job ist, den man sich vorstellen kann.

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MIT18.065. Matrixmethoden in Datenanalyse, Signalverarbeitung und maschinellem Lernen

Kurseinführung von Professor Strang

Professor Strang stellt seinen neuen Kurs 18.065 vor, der vier Schlüsselthemen abdeckt: Lineare Algebra, Deep Learning, Optimierung und Statistik. Der Kurs konzentriert sich auf die besten Matrizen, symmetrische und orthogonale Matrizen und ihre Beziehung zur linearen Algebra. Es wird auch Deep Learning behandeln, das die Grundlage der linearen Algebra bildet und komplexe Berechnungen beinhaltet, die den Einsatz von GPUs über Tage oder sogar Wochen erfordern können. Der Kurs behandelt Statistik, die eine Rolle dabei spielt, die Zahlen in der Lernfunktion in einem guten Bereich zu halten, und Optimierung und Wahrscheinlichkeitstheorie, die für Lernalgorithmen wichtig sind, und Differentialgleichungen, die eine Schlüsselrolle in naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen spielen . Der Kurs beinhaltet Übungen, Probleme und Diskussionen, um eine vollständige Präsentation des Themas zu ermöglichen.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt stellt Professor Strang seinen neuen Kurs 18.065 und das neue Lehrbuch über lineare Algebra und das Lernen aus Daten vor. Er erklärt, dass der Kurs zwei grundlegende und zwei ergänzende, aber wichtige mathematische Fächer umfasst. Das erste große Thema ist die lineare Algebra, die in der Praxis immer wichtiger wird, und Professor Strang konzentriert sich auf die besten Matrizen, symmetrische und orthogonale Matrizen und ihre Beziehung. Das zweite wichtige Thema ist Deep Learning, bei dem es darum geht, eine Lernfunktion zu erstellen, die Muster in Eingaben erkennt und Ausgaben erzeugt, indem sie Matrixmultiplikationen und eine sehr einfache nichtlineare Funktion verwendet. Der Kurs behandelt auch Optimierungs- und Wahrscheinlichkeitstheorie, die beim Lernen von Algorithmen wichtig sind, und Differentialgleichungen, die eine Schlüsselrolle in naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen spielen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt stellt Professor Strang vier Schlüsselthemen vor, die im Kurs behandelt werden: Lineare Algebra, Deep Learning, Optimierung und Statistik. Lineare Algebra ist grundlegend für das Verständnis von Deep Learning, das komplexe Berechnungen beinhaltet, die den Einsatz von GPUs über Tage oder sogar Wochen erfordern können. Der Kurs wird auch auf Statistik eingehen, die eine Rolle spielt, um die Zahlen in der Lernfunktion in einem guten Bereich zu halten. Obwohl sich dieser Kurs nicht auf Statistiken konzentriert, wird er im Kontext von Deep Learning verwendet. Der Kurs deckt eine breite Palette von Materialien ab, die über Videos hinausgehen, einschließlich Übungen, Probleme und Diskussionen, um eine vollständige Präsentation des Themas zu bieten.

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Vorlesung 1: Der Spaltenraum von A enthält alle Vektoren Ax

Vorlesung 1: Der Spaltenraum von A enthält alle Vektoren Ax

Diese Vorlesung konzentriert sich auf das Konzept des Spaltenraums einer Matrix, die eine Sammlung aller Vektoren ist, die durch Multiplikation der Matrix mit allen möglichen Vektoren erhalten werden können. Der Dozent erklärt, dass der Spaltenraum von der Matrix abhängt und der gesamte Raum von R3 oder eine kleinere Teilmenge davon sein könnte. Der Professor erörtert ferner die Konzepte von Zeilenabstand, Spaltenrang und Zeilenrang sowie die Beziehung zwischen diesen Rängen. Die Vorlesung berührt auch kurz den ersten großen Satz der linearen Algebra, der besagt, dass der Spaltenrang einer Matrix gleich dem Zeilenrang der Matrix ist. Darüber hinaus erläutert der Professor Methoden zur Matrixmultiplikation und die Anzahl der für den Prozess erforderlichen Multiplikationen. Insgesamt bietet die Vorlesung eine Einführung in die lineare Algebra und ihre Bedeutung für das Lernen aus Daten.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt stellt der Professor sich und den Kurs vor, der sich auf das Lernen aus Daten konzentriert und viel lineare Algebra beinhaltet. Er erwähnt eine öffentlich zugängliche Seite mit einem Inhaltsverzeichnis für das kommende Buch sowie die Tatsache, dass es keine Quizfragen geben wird, sondern nur Hausaufgaben, die sowohl Fragen der linearen Algebra als auch praktische Anwendungen wie das Erkennen von Handschriften und das Zusammenfügen von Bildern abdecken. Der Professor beginnt dann mit den Grundlagen der linearen Algebra, indem er zeigt, wie eine Matrix mit einem Vektor richtig multipliziert wird, und wird später die Multiplikation von Matrizen mit Matrizen untersuchen.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, wie wichtig es ist, sich eine Matrix als ganzes Objekt vorzustellen, das einen Vektor multipliziert, um einen anderen Vektor zu erhalten. Er führt das Konzept des Spaltenraums einer Matrix ein, die eine Sammlung aller Vektoren ist, die durch Multiplizieren der Matrix mit allen möglichen Vektoren erhalten werden können. Er erklärt, dass der Spaltenraum von der Matrix abhängt und der gesamte Raum von R3 oder eine kleinere Teilmenge davon sein könnte. Abschließend betont der Dozent, dass die lineare Algebra eine Möglichkeit bietet, Fragen zu Sammlungen von Vektoren zu beantworten, wie zum Beispiel dem Spaltenraum einer Matrix.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt erklärt der Dozent, dass der Spaltenraum einer zufälligen 3x3-Matrix nicht unbedingt alle unsere drei sein muss, sondern stattdessen eine Ebene oder sogar eine Linie sein könnte. Er gibt ein Beispiel für eine Matrix, deren Spaltenraum nur eine Linie ist, und ein weiteres Beispiel für eine Matrix, deren dritte Spalte eine Kombination der ersten beiden ist, wodurch ihr Spaltenraum eine Ebene anstelle des gesamten Raums wird. Anschließend führt er Rang-Eins-Matrizen ein, die Bausteine der linearen Algebra und der Datenwissenschaft sind, und zeigt, wie sie sich als Spalten-mal-Zeilen-Multiplikation vorstellen können.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt behandelt der Dozent den Spaltenraum einer Matrix, der die Menge aller möglichen Kombinationen ihrer Spalten ist. Er erklärt das Konzept unabhängiger Spalten und wie viele unabhängige Spalten eine Matrix hat, was als ihr Rang bekannt ist. Der Rang ist die Anzahl der unabhängigen Spalten, die den Raum füllen, und eine Basis besteht aus den unabhängigen Spalten. Der Dozent demonstriert, wie man auf natürliche Weise eine Basis für den Spaltenraum schafft, indem er nach Vektoren sucht, die keine Kombinationen der bereits gewählten sind. Er zeigt eine Matrix mit drei Säulen, von denen zwei unabhängig sind und die Basis für den Säulenraum bilden, während die dritte nicht unabhängig ist und nicht Teil der Basis sein kann.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Dozent den Prozess der Matrixfaktorisierung und stellt die erste Matrixfaktorisierung vor, die im Unterricht in der Nähe der Algebra berühmt ist. Der Prozess umfasst die Erstellung einer Matrix R, die dem Benutzer mitteilt, wie er die Spalten einer Matrix aus den Spalten einer anderen Matrix erhält. Die Form von R wird durch die ursprüngliche Matrix bestimmt, und der Kursleiter erklärt weiter, wie man die richtigen Zahlen eingibt, um die richtige Matrixfaktorisierung zu erhalten. Die Vorlesung berührt auch kurz den ersten großen Satz der linearen Algebra, der besagt, dass der Spaltenrang einer Matrix gleich dem Zeilenrang der Matrix ist.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt stellt der Dozent das Konzept des Zeilenraums und seine Beziehung zum Spaltenraum vor. Er erklärt, dass der Zeilenabstand einer Matrix die Kombination ihrer Zeilen ist, während der Spaltenabstand einer Matrix die Kombination ihrer Spalten ist. Er erklärt weiter, dass die Dimension des Zeilenraums der Zeilenrang der Matrix ist, der bestimmt werden kann, indem man eine Basis für den Zeilenraum findet. Der Dozent weist auf die Wichtigkeit dieser Tatsache hin und bietet einen Beweis an, der zeigt, dass die Zeilen einer Matrix eine Basis für ihren Zeilenraum bilden können.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung erklärt der Professor, wie man überprüft, ob zwei Vektoren eine Basis für den Zeilenraum sind, indem man überprüft, ob sie unabhängig sind und ob ihre Kombinationen alle Zeilen ergeben. Er demonstriert dies anhand eines Beispiels mit Matrixmultiplikation und zeigt, dass die Faktorisierung a = CR die Schlüsselidee beim Finden des Zeilenraums ist. Der Spaltenraum, auch als Bereich bekannt, wird ebenfalls diskutiert, wobei der Schwerpunkt auf verschiedenen Sprachen und verschiedenen Arten liegt, grundlegende mathematische Konzepte auszudrücken.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt erörtert der Dozent die Konzepte des Spaltenrangs und des Zeilenrangs, die die Anzahl der Spalten bzw. Zeilen in einer Matrix sind, die linear unabhängig sind, sowie die Beziehung zwischen diesen beiden Rängen. Er erklärt, dass es bei einer großen Matrix nicht praktikabel ist, alle Einträge zu untersuchen, und dass eine Zufallsstichprobe verwendet werden muss, indem beispielsweise ein Zufallsvektor X genommen und seine entsprechende Axt betrachtet wird. Der Dozent geht auch auf Faktorisierungen wie Spalten oder Zeilen einer Matrix und die zeilenreduzierte Stufenform einer Matrix ein.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt des Videos erklärt Professor Gilbert Strang, dass Probleme der linearen Algebra Teil der Hausaufgaben des Kurses sein werden. Das Besondere an diesem Kurs sind jedoch die anderen Online-Hausaufgaben, die mit MATLAB, Python oder Julia erledigt werden können. Er spricht darüber, wie die Konzepte des Kurses Professor Rao von der University of Michigan zugeschrieben werden, der zuvor Online-Hausaufgaben für einen erfolgreichen Kurs in EE in Michigan erstellt hatte. Professor Johnson, ein Teil dieses Kurses, gibt jedes Semester ein Tutorium zu Julia, an dem die Studenten teilnehmen können. Während MATLAB dem Deep Learning einen Aufschwung gegeben hat, wird Julia aufgrund ihrer Benutzerfreundlichkeit auch zu einer beliebten Sprache für Deep Learning.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt der Vorlesung behandelt der Dozent das Thema Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor. Während dies für viele einfach erscheinen mag, untersucht der Kursleiter einen tieferen Weg, um die Matrixmultiplikation zu verstehen, bei der es sich um eine Kombination von Spalten mal Zeilen handelt. Dieser Ansatz ist eine Verallgemeinerung der AX=B-Idee, wobei AB die Summe äußerer Produkte ist. Die Vorlesung geht kurz auf die Anzahl der einzelnen Multiplikationen ein, die für eine M-mal-N-Matrix multipliziert mit einer N-mal-P-Matrix erforderlich sind.
  
  
• 00:50:00 In diesem Abschnitt geht der Dozent auf die Anzahl der für die Matrizenmultiplikation erforderlichen Multiplikationen am Beispiel einer alten Methode und einer neuen Methode ein. Bei der alten Methode sind n Multiplikationen erforderlich, um ein Punktprodukt zu erhalten, und es gibt m und p Punktprodukte in der Antwort, was insgesamt zu m und p Multiplikationen führt. Das neue Verfahren erfordert jedoch mp Multiplikationen für jede Spalten- und Zeilenmultiplikation, und es gibt n davon, was zu mp mal n Multiplikationen führt. Trotz der unterschiedlichen Methoden führen beide Methoden zur gleichen Antwort, und der Dozent gibt an, dass er dies am Freitag weiter diskutieren wird.

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Vorlesung 2: Matrizen multiplizieren und faktorisieren

Vorlesung 2: Matrizen multiplizieren und faktorisieren

Diese Vorlesung behandelt die Grundlagen der Multiplikation und Faktorisierung von Matrizen. Der Autor erklärt, wie Matrizen sowohl im Zeilen- als auch im Spaltenraum Dimensionen haben und wie der Zeilenraum die Dimension R hat, während der Nullraum die Dimension M minus R hat. Die Vorlesung behandelt auch die Beziehung zwischen Zeilen und Lösungen einer Gleichung sowie die Orthogonalität von Vektoren im zweidimensionalen Raum. Abschließend erläutert der Autor den fundamentalen Satz der linearen Algebra, der besagt, dass die Dimensionen eines Raums richtig herauskommen, wenn die Geometrie ausgearbeitet wird.

• 00:00:00 In dieser Vorlesung erklärt Gilbert Strang, wie man Matrizen mit Spalte mal Zeile als Methode multipliziert. Sie erklärt auch die fünf wichtigsten Faktorisierungen von Matrizen und ihre Bedeutung in der Mathematik. Schließlich zeigt sie, wie man Matrizen erstellt und diskutiert ihre Bedeutung in der linearen Algebra.
  
  
• 00:05:00 In diesem Vortrag geht der Autor auf das Konzept orthogonaler Matrizen und deren Bedeutung ein. Anschließend erklärt er die Regel für die Matrizenmultiplikation und zeigt, wie sie an zwei einfachen Beispielen angewendet werden kann. Dann fährt er fort, den Rang einer Matrix zu diskutieren und wie er mit den Spalten und Zeilen der Matrix zusammenhängt. Abschließend demonstriert der Autor, wie man eine Matrix mit ihrer Diagonalmatrix multipliziert.
  
  
• 00:10:00 In dieser Vorlesung gibt Professor Gilbert Strang einen kurzen Überblick über das symmetrische Eigenwertproblem und seine verschiedenen Anwendungen. Anschließend demonstriert er, wie die Aufteilung einer Matrix in Rang-1-Teile die richtigen Eigenvektoren und Eigenwerte liefern kann.
  
  
• 00:15:00 In dieser Vorlesung behandelt Professor Gilbert Strang die grundlegenden Faktorisierungen von Matrizen, einschließlich der Singular Value Decomposition (SVD). Er diskutiert auch die Eliminierung und erklärt, wie sie durch L mal U ausgedrückt wird. Schließlich demonstriert er, wie dies auf eine invertierbare Matrix angewendet werden kann, und zeigt, wie es in unteres Dreieck mal oberes Dreieck einfließt.
  
  
• 00:20:00 In dieser Vorlesung erklärt Professor Gilbert Strang das Konzept der Elimination und wie es beim Lösen von Gleichungen verwendet wird. Anschließend zeigt er, wie die Eliminierung auf eine Zwei-mal-zwei-Matrix angewendet werden kann, und stellt ein Beispiel zur Veranschaulichung des Prozesses zur Verfügung.
  
  
• 00:25:00 Der fundamentale Satz der linearen Algebra besagt, dass es vier Unterräume einer Matrix gibt, jeder mit einer anderen Dimension. Die Unterräume sind der Zeilenraum, der Spaltenraum, der Vektorraum aller linearen Transformationen auf der Matrix und der Raum aller Matrizen.
  
  
• 00:30:00 Der Nullraum einer Matrix ist die Menge der Lösungen des Wortes "Null" (ein Vektor, dessen Komponenten alle gleich Null sind). Dieser Raum ist geschlossen, das heißt, er enthält keine Lösungen von „ax gleich Null“, die nicht auch Lösungen von „e“ sind. Außerdem ist der Nullraum einer Transponierten die Menge der Lösungen für das Wort "null", die auch Lösungen für "x transponieren y" sind.
  
  
• 00:35:00 Der fundamentale Satz der linearen Algebra besagt, dass es typischerweise unabhängige Lösungen für Gleichungen in einem System gibt, wenn die Dimensionen der beiden beteiligten Räume gleich sind. Dieser Satz wird häufig verwendet, um die Dimensionen eines Gleichungssystems zu bestimmen.
  
  
• 00:40:00 Die Vorlesung Multiplikation und Faktorisierung von Matrizen behandelt die Grundlagen der Multiplikation und Faktorisierung von Matrizen. Die Vorlesung erklärt, dass Matrizen sowohl im Zeilen- als auch im Spaltenraum Dimensionen haben und dass der Zeilenraum die Dimension R hat, während der Nullraum die Dimension M minus R hat. Der letzte Abschnitt der Vorlesung behandelt die Geometrie der Matrixräume und zeigt, wie man das macht Finden Sie Vektoren, die eine bestimmte Gleichung in einer Matrix lösen.
  
  
• 00:45:00 In diesem Vortrag erläutert der Autor die Beziehung zwischen Zeilen und Lösungen einer Gleichung sowie die Orthogonalität von Vektoren im zweidimensionalen Raum. Er diskutiert auch den fundamentalen Satz der linearen Algebra, der besagt, dass die Dimensionen eines Raums richtig herauskommen, wenn die Geometrie ausgearbeitet wird.

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Vorlesung 3. Orthonormale Säulen in Q Gebe Q'Q = I

3. Orthonormale Säulen in Q Geben Sie Q'Q = I

Dieser Abschnitt des Videos erklärt das Konzept orthogonaler Matrizen und ihre Bedeutung in der numerischen linearen Algebra. Der Sprecher beweist, dass die Länge zum Quadrat von QX gleich sein muss wie X transponiert QX, indem er die Tatsache verwendet, dass Q transponiert Q gleich der Identität ist. Das Video erläutert auch die Konstruktion orthogonaler Matrizen mit verschiedenen Methoden wie Gordan-Matrizen und Householder-Matrizen. Die Bedeutung und Konstruktion von Wavelets wird ebenfalls erklärt, zusammen mit dem Konzept der Verwendung orthogonaler Eigenvektoren in der Signalverarbeitung. Abschließend spricht der Referent darüber, wie man orthogonale Vektoren mit komplexen Zahlen testet und erwähnt, dass orthogonale Matrizen orthogonale Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten haben.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt geht es um Matrizen Q, die nach ihren orthonormalen Spalten benannt sind. Die Schlüsseltatsache in Matrizen Q ist, dass orthonormale Spalten in die einfache Tatsache übersetzt werden, dass Q transponiert Q gleich der Identitätsmatrix ist. Die Erklärung dafür ist, dass die quadrierte Länge jedes Vektors im normalen Teil der Matrix 1 ist, was zu einer Eins in der Identitätsmatrix führt. Der orthogonale Teil der Matrix hat Nullen, was eine einfache Identität erzeugt. Für quadratische Matrizen Q ist Q transponiert gleich der Einheitsmatrix, was Q zu einer orthogonalen Matrix macht. Wenn Q rechteckig ist, ist ein Beispiel für das Erhalten einer orthogonalen 2-mal-2-Matrix durch cos und sine theta. Die Matrix repräsentiert eine Drehung.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt des Videos erörtert der Sprecher die wichtige Eigenschaft orthogonaler Matrizen, nämlich dass sie die Länge von Vektoren nicht ändern. Diese Eigenschaft macht sie für numerische Algorithmen beliebt, da es bei der Multiplikation mit orthogonalen Matrizen niemals zu einem Unter- oder Überlauf kommt. Der Sprecher beweist, dass die Länge zum Quadrat von QX gleich sein muss wie X transponiert QX, indem er die Tatsache verwendet, dass Q transponiert Q gleich der Identität ist. Der Sprecher erwähnt auch, dass orthogonale Matrizen auch als orthonormale Matrizen bezeichnet werden, und stellt einige Beispiele für orthogonale Zwei-mal-zwei-Matrizen vor.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt erörtert der Sprecher das Konzept einer Reflexionsmatrix, die man erhält, wenn man eine Rotationsmatrix geringfügig ändert. Die resultierende Matrix ist symmetrisch und hat eine Determinante von -1. Bei Anwendung auf die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) spiegelt die Matrix diese über eine Linie bzw. senkrecht zur ersten Spalte wider. Der Sprecher erwähnt auch, dass größere Matrizen wie diese Householder-Reflexionen genannt werden.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt behandelt das Transkript das Konzept orthogonaler Matrizen und ihre Bedeutung in der numerischen linearen Algebra. Als wichtige orthogonale Matrix wird die Householder-Matrix eingeführt. Eine Householder-Matrix wird erstellt, indem man mit einem Einheitsvektor beginnt und zweimal das Produkt des Einheitsvektors und seiner Transponierten subtrahiert, was zu einer symmetrischen und orthogonalen Matrix führt. Das Transkript erklärt, dass diese Matrizen nützlich sind, um Dinge orthogonal zu machen, und stellt fest, dass sie besser sind als die Gram-Schmidt-Methode. Der Prozess der Überprüfung, ob die Householder-Matrix orthogonal ist, wird ebenfalls demonstriert, was zu dem Schluss führt, dass es sich um eine zuverlässige Familie symmetrischer orthogonaler Matrizen handelt.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt erörtert der Sprecher die Konstruktion orthogonaler Matrizen unter Verwendung des Konzepts der Gordan-Matrizen, bei denen es sich um Matrizen handelt, die nur aus Einsen und negativen Einsen bestehen. Er konstruiert herausfordernde Beispiele für Gordan-Matrizen, bei denen jede Spalte orthogonal zueinander ist. Der Sprecher merkt an, dass dieses Konzept in der Codierungstheorie nützlich sein kann und schlägt vor, dass es eine orthogonale 12x12-Matrix gibt, die aus Einsen und negativen Einsen besteht, was zu der Vermutung führt, dass jede Matrixgröße (außer 1x1 und 3x3) auf diese Weise konstruiert werden kann.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Sprecher die Vermutung darüber, ob es eine mögliche orthogonale Einsen- und Minus-Einsen-Matrix mit orthogonalen Spalten jeder Größe n gibt. Obwohl kein systematischer Weg gefunden wurde, um dies zu beweisen, wird vorgeschlagen, dass jedes Vielfache von vier eine Möglichkeit sein könnte. Der Redner erörtert auch die Bedeutung und Konstruktion von Wavelets, die einfache, aber signifikante Konstruktionen sind, die helfen, orthogonale Vektoren zu erzeugen, insbesondere für symmetrische Matrizen. Der Sprecher veranschaulicht dieses Konzept, indem er eine Vier-mal-Vier-Fallmatrix aus vier Quadranten zeichnet, die jeweils aus orthogonalen Vektoren bestehen, die einem Muster aus Einsen und Minuseinsen folgen.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent Wavelets und die Konstruktion der Haar-Wavelet-Matrix, die viele Jahre vor der Erfindung des Begriffs „Wavelets“ entwickelt wurde. Die Haar-Matrix hat sehr einfache Funktionen, die sie nutzbar machen, und sie besteht aus Einsen und Minus-Einsen, gefolgt von Nullen. Die Matrix hat den Vorteil, dass sie spärlich ist und daran beteiligt ist, den Durchschnitt und die Differenzen zwischen Werten auf verschiedenen Skalen zu nehmen. Wavelets wurden von Ingrid Dobashi weiterentwickelt, die Familien orthogonaler Matrizen mit guten Eigenschaften fand. Diese Diskussion führt zur nächsten Vorlesung über Eigenwerte, Eigenvektoren und positiv definite Matrizen.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt spricht der Sprecher über die Bedeutung orthogonaler Eigenvektoren. Eigenvektoren symmetrischer und orthogonaler Matrizen sind automatisch orthogonal, was die Suche nach orthogonalen Vektoren vereinfacht. Der wichtigste Eigenvektor ist die diskrete Fourier-Transformation, die in die schnelle Fourier-Transformation übergeht. Der Sprecher demonstriert, wie die Eigenvektoren von Q orthogonal sind, und wiederholt, dass die diskrete Fourier-Transformation bei der Signalverarbeitung immens nützlich ist, da sie beim Aufteilen von Vektoren in ihre Frequenzen hilft. Permutationsmatrizen sind eine Neuordnung der Identitätsmatrix, und ihre Spalten sind orthogonal, was sie zu Gewinnern macht. Der Redner schließt mit einem Hinweis darauf, wie sich die Diskussion am Mittwoch auf Eigenvektoren und Eigenwerte einer Warteschlange konzentrieren wird.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Sprecher orthogonale Matrizen, Drehungen, Spiegelungen und Eigenvektoren. Das Video erklärt, wie die Eigenvektoren von Permutationsmatrizen funktionieren und dass die erste Spalte orthogonal zur zweiten ist (oder in Frequenzbegriffen die nullte Spalte orthogonal zur ersten Spalte ist). Das Video zeigt weiter, wie jede der vier Spalten ein Eigenvektor der Permutation ist und wie sie orthogonal zueinander sind. Schließlich erwähnt das Video, dass dies dem diskreten Fourier-Zeug ähnelt, aber anstelle von e zu I, II zu IX gibt es Vektoren.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt des Videos spricht der Sprecher darüber, wie man orthogonale Vektoren mit komplexen Zahlen testet. Er erwähnt, dass die Einnahme des Punktprodukts ohne das komplexe Konjugat möglicherweise nicht genau ist, aber die Verwendung des komplexen Konjugats Orthogonalität zeigen kann. Der Referent erwähnt auch, dass die Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix mit unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal sein sollten.

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Vorlesung 4. Eigenwerte und Eigenvektoren

4. Eigenwerte und Eigenvektoren

Dieses Video erklärt das Konzept von Eigenwerten und Eigenvektoren und wie sie zur Berechnung linearer Transformationen verwendet werden können. Außerdem wird gezeigt, wie Eigenvektoren verwendet werden können, um lineare Gleichungen in einem System zu finden.

• 00:00:00 In diesem Video erklärt der Autor das Konzept von Eigenvektoren und Eigenwerten für quadratische Matrizen. Sie diskutieren auch die Nützlichkeit von Eigenvektoren und Eigenwerten für bestimmte Probleme. Abschließend diskutiert der Autor positiv definite symmetrische Matrizen und ihre Bedeutung.
  
  
• 00:05:00 Das Video behandelt das Konzept von Eigenwerten und Eigenvektoren und wie sie zur Berechnung linearer Transformationen verwendet werden können. Außerdem wird gezeigt, wie Eigenvektoren verwendet werden können, um lineare Gleichungen in einem System zu finden.
  
  
• 00:10:00 Dieses Video erklärt, wie Eigenwerte und Eigenvektoren verwendet werden können, um Differenzengleichungen schnell zu lösen. Die erste Verwendung für Eigenvektoren besteht darin, nach dem Hauptzweck zu lösen, für den sie erfunden wurden, nämlich nach Differenzen in Vektorgleichungen zu lösen. Außerdem erklärt das Video, wie ähnliche Matrizen die gleichen Eigenwerte haben.
  
  
• 00:15:00 Das Video erklärt, wie Eigenwerte berechnet werden und wie sie mit Eigenvektoren zusammenhängen. Außerdem wird erläutert, wie Eigenwerte erhalten bleiben, wenn Matrizen multipliziert werden.
  
  
• 00:20:00 In diesem Video erörtert der Moderator das Konzept von Eigenwerten und Eigenvektoren und erklärt, warum sie möglicherweise nicht identisch sind. Anschließend diskutiert er, wie sich zwei Matrizen mit gleichen Eigenwerten dennoch in ihren Eigenvektoren unterscheiden können.
  
  
• 00:25:00 In diesem Video spezialisiert sich der Autor auf symmetrische Matrizen, um zu diskutieren, was das Besondere an den Eigenwerten und Eigenvektoren ist. Er behauptet, dass eine antisymmetrische Matrix imaginäre Eigenwerte hat.
  
  
• 00:30:00 In diesem Video werden die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix erklärt. Es werden zwei schnelle Überprüfungen durchgeführt, um sicherzustellen, dass die Berechnung korrekt durchgeführt wurde, und dann wird die Spur einer Matrix angezeigt. Abschließend werden symmetrische und positiv definite Matrizen erklärt.
  
  
• 00:35:00 Das Video behandelt die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix. Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind wichtig, um die Struktur der Matrix zu verstehen, und es ist möglich, zu überprüfen, ob die Eigenwerte gleich bleiben. Außerdem erläutert das Video, wie man eine Diagonalmatrix erhält.
  
  
• 00:40:00 In diesem Video diagonalisiert der Autor eine Matrix, findet die Eigenwerte und findet ein M, sodass die Eigenvektoren ähnlich sind. Anschließend schreibt er diese Informationen in Matrixform und bestätigt deren Richtigkeit.
  
  
• 00:45:00 In diesem Video werden die Konzepte von Eigenwerten und Eigenvektoren und ihre Beziehung erläutert. Anschließend wird erklärt, wie eine symmetrische Matrix unterschiedliche Eigenvektor- und Eigenwertdarstellungen haben kann und wie diese Darstellungen mit dem Spektraltheorem berechnet werden.

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Vorlesung 5. Positiv definite und semidefinite Matrizen

5. Positiv definite und semidefinite Matrizen

In diesem Video fasst der Referent die Highlights aus den vorherigen Vorlesungen in linearer Algebra zusammen, einschließlich Eigenwerte, Determinanten und Pivots, die alle Tests für positiv definite Matrizen bieten. Anschließend erklärt der Referent die Beziehung zwischen positiv definiten und unbestimmten Matrizen, deren Verbindung zu Eigenwerten und Determinanten und wie man die Energie im Vektor X für eine Matrix berechnet. Der Referent diskutiert auch die Konzepte von Deep Learning, neuronalen Netzen, maschinellem Lernen und Energieminimierung. Sie berühren das Konzept einer konvexen Funktion und erklären, wie sie beim Deep Learning verwendet werden kann. Abschließend stellt der Referent Übungen zu positiv definiten und semidefiniten Matrizen vor und geht kurz auf das kommende Thema der Singulärwertzerlegung ein.

• 00:00:00 In diesem Abschnitt fasst der Referent die Höhepunkte der vorangegangenen fünf Vorlesungen in linearer Algebra zusammen, darunter Eigenwerte, Transponierte und Determinanten sowie Pivots, die alle Tests für positiv definite Matrizen bieten. Er erklärt, dass positiv definite Matrizen die besten der symmetrischen Matrizen sind und positive Eigenwerte haben, aber es gibt zusätzliche Tests über Eigenwerte hinaus. Der Sprecher demonstriert, wie man bestimmt, ob eine Zwei-mal-Zwei-Matrix positiv definit ist, indem er fragt, ob sie positive Eigenwerte, eine positive Determinante, positive Pivots hat oder ob sie auf eine bestimmte Weise faktorisiert werden kann.
  
  
• 00:05:00 In diesem Abschnitt diskutiert der Referent positiv definite und indefinite Matrizen und ihre Verbindung zu Eigenwerten und Determinanten. Die Determinante einer Matrix ist mit ihren Eigenwerten verbunden, da sie das Produkt der Eigenwerte sind, und wenn die Determinante negativ ist, dann gibt es mindestens einen negativen Eigenwert. Unbestimmte Matrizen können positiv bestimmt werden, indem die diagonalen Einträge angepasst werden, und die führenden Determinanten (Determinanten von Untermatrizen in der oberen linken Ecke) müssen Tests bestehen, um positive Bestimmtheit sicherzustellen. Der Sprecher verbindet auch Pivots mit Determinanten und Elimination. Letztendlich definiert der Sprecher positiv definite Matrizen als solche, die den Energietest bestehen.
  
  
• 00:10:00 In diesem Abschnitt demonstriert der Referent, wie die Energie im Vektor X für eine Matrix berechnet wird, und zeigt, dass die Energie einer positiv definiten Matrix größer als Null ist. Die Energie ist in diesem Fall eine rein quadratische Funktion, die eine Verlustfunktion sein könnte, die beim Deep Learning verwendet wird, um die Differenz zwischen Trainingsdaten und der erhaltenen Zahl zu minimieren. Die Diagonalzahlen der Matrix 3 & 6 ergeben die Diagonalstücke, und die Kreuzterme, die negativ werden können, ergeben 8 X Y.
  
  
• 00:15:00 In diesem Abschnitt erläutert der Referent die Beziehung zwischen Deep Learning, neuronalen Netzen, maschinellem Lernen und Minimierung einer Energie. Der Sprecher verwendet die Analogie einer Schale, um visuell zu demonstrieren, wie neuronale Netze funktionieren, um das kleinste Quadrat für ein Problem zu finden, und wie nichtlineare Terme das Problem komplizierter machen können. Anschließend erklären sie, dass das maschinelle Lernen bei großen Problemen über eine Woche dauern kann, um zu berechnen, da es die Minimierung komplizierter Funktionen beinhaltet, die mehr als 100.000 Variablen enthalten können. Der Referent geht auch auf die Idee einer konvexen Funktion ein und erklärt, wie sie beim Deep Learning verwendet werden kann.
  
  
• 00:20:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent das Konzept des Gradientenabstiegs, dem primären Algorithmus, der beim Deep Learning, bei neuronalen Netzen und beim maschinellen Lernen verwendet wird. Ausgehend von einem Anfangspunkt auf einer Oberfläche berechnet der Algorithmus die Ableitungen der Funktion, um die Richtung der steilsten Steigung oder Steigung zu bestimmen, und folgt dann diesem Pfad, bis er ein Minimum erreicht oder nach oben abbiegt. Der Algorithmus beinhaltet die Neuberechnung des Gradienten bei jedem Schritt, bis das gewünschte Genauigkeitsniveau erreicht ist.
  
  
• 00:25:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept des Gradientenabstiegs erläutert, das häufig beim maschinellen Lernen zur Optimierung verwendet wird. Es wird erwähnt, dass normalerweise nur erste Ableitungen zur Optimierung berechnet werden, da die Berechnung zweiter Ableitungen für eine große Anzahl von Variablen kompliziert sein kann. Der Gefälleabstieg hat jedoch Einschränkungen, z. B. wenn Sie ein enges Tal hinunterfahren. Positiv definite Matrizen sind wichtig, da sie eine schüsselartige Form für die Optimierung ergeben, aber wenn die Eigenwerte weit voneinander entfernt sind, kann dies zu Problemen führen. Schließlich verlagert sich das Gespräch in Richtung Hausaufgaben.
  
  
• 00:30:00 In diesem Abschnitt stellt der Referent Übungen zu positiv definiten und semidefiniten Matrizen vor. Der Sprecher gibt ein Beispiel für eine positiv definite Matrix S und eine positiv definite Matrix T und fragt, ob ihre Addition S + T positiv definit ist. Der Sprecher verwendet den Energietest, um diese Frage zu beantworten, indem er die Gleichung in zwei Teile trennt, um zu zeigen, dass sie tatsächlich positiv definit ist. Der Sprecher diskutiert auch die Positivität der Umkehrung der Sünde, indem er den ersten Test verwendet. Der Referent merkt an, dass eine Matrix symmetrisch sein muss, bevor sie reelle Eigenwerte hat und weiter hinterfragt werden kann.
  
  
• 00:35:00 In diesem Abschnitt erörtert der Referent das Konzept positiv definiter Matrizen und stellt die Idee semidefiniter Matrizen vor. Eine positiv definite Matrix ist eine symmetrische Matrix, bei der alle Eigenwerte positiv sind. Der Sprecher zeigt, wie eine orthogonale Matrix multipliziert mit ihrer Transponierten auf einer positiv definiten Matrix eine symmetrische Matrix ergibt. Sie erklären dann, warum ähnliche Matrizen dieselben Eigenwerte haben und dass diese neue symmetrische Matrix tatsächlich positiv definit ist. Der Referent führt dann das Konzept der semidefiniten Matrizen ein, die Eigenwerte haben, die größer oder gleich Null sind. Sie erklären, wie semidefinite Matrizen eine Determinante von Null haben und einen Null-Eigenwert haben können, aber ihr Spurwert eine positive Zahl ergibt.
  
  
• 00:40:00 In diesem Abschnitt wird das Konzept der positiv definiten Matrizen um positive semidefinite Matrizen erweitert, die am Rand der positiv definiten Matrizen liegen. Die Eigenwerte einer Matrix aus lauter Einsen werden als 3, 0 und 0 berechnet, was sie zu einer positiven semidefiniten Matrix macht. Die Tests für Eigenwerte und Energien, die größer oder gleich 0 sind, bleiben gleich, aber abhängige Spalten sind jetzt erlaubt. Die Matrix muss symmetrisch sein, und wenn ihr Rang nur 1 ist, dann kann sie nicht positiv definit sein, aber sie ist positiv semidefinit, wenn die Eigenwerte positiv sind.
  
  
• 00:45:00 In diesem Abschnitt erwähnt der Referent kurz, dass das Thema des nächsten Abschnitts die Singulärwertzerlegung (SVD) sein wird. Sie stellen auch fest, dass sie jetzt positiv definite und semidefinite Matrizen behandelt haben, was darauf hinweist, dass sie zu fortgeschritteneren Themen der linearen Algebra übergehen.