Investment Choices and Efficient Frontier：演讲者深入研究了不同的投资选择及其在说明回报和波动性的地图上的位置。他们引入了有效边界的概念，即在最小化标准差的同时最大化回报。本节着重于双资产投资组合的特例，解释如何计算标准差和方差。此概述使观众能够了解投资组合理论如何为投资决策提供信息。
00:20:00 在本节中，演讲者讨论了回报与标准差之间的关系，理解标准差不能为负而回报可以低于零。他们回顾了 Harry Markowitz 现代投资组合理论，并提供特殊案例作为示例，以帮助更好地理解这些概念。演讲者还提供了某些投资（例如现金、彩票、抛硬币、政府债券、风险资本融资和购买股票）在回报率与标准差图表中下降的示例。
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此外，该视频还介绍了伊藤微积分的概念，它是经典微积分在随机过程设置中的延伸。传统微积分不适用于布朗运动，而 Ito 的微积分为股票价格的百分位数差异建模提供了解决方案。伊藤引理源自泰勒展开式，是随机微积分中的一个基本工具，它允许使用布朗运动计算函数在小时间增加内的差异。它丰富了微积分理论，使分析涉及布朗运动的过程成为可能。
该视频还讨论了布朗运动的属性，例如它无处可微并且无限频繁地穿过 t 轴这一事实。尽管有这些特征，布朗运动仍具有现实意义，可以用作股票价格等数量的物理模型。简单随机游走的极限是布朗运动，这种观察有助于理解其行为。
00:25:00 在本节中，演讲者解释了偏离布朗运动的曲线的一些特性，包括它无限频繁地穿过 t 轴的事实，不会偏离曲线 y=sqrt(t) 太多，并且无处可微。虽然这可能看起来令人惊讶甚至有问题，但它具有现实生活意义，并且可以使用称为伊藤微积分的微积分的修改版本来分析它。
00:30:00 在本节中，介绍了伊藤微积分的概念，作为经典微积分对随机过程设置的扩展。但是，由于时间限制，将只介绍它的基本属性和计算。在深入研究 Ito 的微积分之前，先讨论布朗运动的性质，特别是作为股票价格的模型。使用布朗运动作为模型计算股票价格的最小值和最大值的分布，结果表明对于所有 t，M(t) 大于 a 且正 a 的概率等于概率的 2 倍布朗运动大于 a。证明涉及使用停止时间来记录布朗运动第一次击中直线 a。
00:35:00 在本节中，演讲者讨论布朗运动在时间 t 之前撞到某条线 (a) 的概率以及之后发生的情况。如果运动在时间 t 之前到达直线，则它最终高于或低于 a 的概率是相同的，因为路径可以被反射。然后演讲者继续解释这个概率与时间 t 大于 a 的最大值有何关系。通过重新排列给定的概率，说话者表明在时间 t 大于 a 的概率等于布朗运动大于 a 的概率的两倍。
00:45:00 在本节中，演讲者讨论了布朗运动和二次变分的性质，这在 Ito 的微积分中很重要。演讲者解释说，如果布朗运动是可微分的，它应该一直在圆锥内直到某个点，但这不可能发生，因为在某个时间间隔内的最大值总是大于某个值。演讲者随后介绍了二次变分的概念，并解释了它在微积分中的重要性，在微积分中，一个函数在时间间隔内被分割成 n 个部分。
00:50:00 在本节中，演讲者讨论二次变分及其对布朗运动的影响。二次变差涉及取函数中连续点之间的差异并对其进行平方，然后在 n 趋于无穷大时将其求和。对于布朗运动，此和的极限为 T，但对于连续可微函数，二次方差为 0。布朗运动的不可微性具有重要意义，例如能够模拟股票价格和扩散过程。
00:55:00 在本节中，教授在探索布朗运动时讨论了随机变量之和的分布及其期望。他解释说，使用强大数定律，平均值为 T over n 的正态变量之和收敛于 T over n。然后他提到这适用于概率为 1 的所有布朗运动。
01:00:00 在本节中，演讲者谈论伊藤的微积分及其动机。他讨论了布朗运动如何不是一个糟糕的股票价格模型，但它并不理想，因为百分位数差异需要服从正态分布而不是差异。这意味着用于模拟股票价格百分位数差异的微分方程遵循布朗运动。然而，经典微积分在这种情况下不起作用，因为布朗运动不可微分。这需要其他东西，这就是 Ito 微积分的用武之地。演讲者还解释了 Ito 微积分如何可用于估计无穷小差异，以及它如何有助于为期权定价。
01:05:00 在本节中，演讲者讨论了金融衍生品的概念，这是一种应用于基础金融资产的功能。他解释说，理解价值差异相对于标的资产差异至关重要。但是，演讲者承认布朗运动很难微分，而是专注于计算dBt的微小差异，并用它来描述函数在f微分方面的变化。演讲者随后解释说微分无效，因为因子 dB 的平方等于 dt，他进一步解释了这一点。
01:10:00 在本节中，介绍了伊藤引理的概念，作为随机微积分的基本工具。伊藤引理源自泰勒展开式，允许使用布朗运动计算函数在小时间增加内的差异。引理被认为是重要的并且在研究论文中被高度引用，因为它使微积分具有布朗运动并且极大地丰富了微积分理论。本节强调 Ito 引理在随机微积分中的重要性。
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在这个关于伊藤微积分的综合视频中，涵盖了与随机过程和微积分相关的广泛主题。教授深入研究了 Ito 引理的复杂性，它是原始引理的更复杂版本，并详细解释了布朗运动的二次变分。探讨了随机过程中漂移的概念，以及如何应用 Ito 引理评估此类过程的实际演示。该视频还涉及积分以及积分、适应过程和鞅的黎曼求和类型描述。强调了练习基本计算练习以熟悉该主题的重要性。此外，视频最后预览了即将到来的主题，即 Girsanov 定理。
在视频的后续部分中，教授通过以稍微更一般的形式回顾和呈现 Ito 引理，继续讨论 Ito 微积分。通过使用泰勒展开式，教授分析了函数 f 在其第一个和第二个变量发生变化时的变化。教授利用布朗运动来评估 f(t, B_t)。通过结合布朗运动的二次变分和两个变量 t 和 x，该视频通过结合一个附加项解释了为什么伊藤微积分不同于经典微积分。接下来，视频重点介绍泰勒展开式中的二阶项，以偏导数表示。检查了关键项，即 del f over del t dt、del f over del x dx 和二阶项。通过重新排列这些项，推导出更复杂的 Ito 引理形式，其中包含一个附加项。该视频演示了涉及 dB_t 平方和 dt 乘以 dB_t 的项与涉及 f 相对于 x 的二阶导数的项相比微不足道，因为它由于与 dt 等价而幸存下来。这导致对伊藤微积分的深入理解。
该视频首先介绍了随机过程的概念，其中漂移项是在布朗运动中添加一个项而产生的。这种类型的过程成为主要研究对象，其中差异可以用漂移项和布朗运动项来表示。解释了 Ito 引理的一般形式，由于存在二次变分，它偏离了原始形式。此外，该视频还使用 Ito 引理来评估随机过程。二次方变化允许分离二阶导数项，从而能够推导复杂项。给出了一个涉及函数 f(x) = x^2 的示例，演示了如何在 B_t 处计算 f 的 d。 f关于t的一阶偏导数确定为0，而关于x的偏导数为2x，二阶导数在t，x处为2。
视频接着解释了在 t 的逗号 B 处计算 f 的 d。该公式包括部分 f over partial t dt、partial f over partial x dB_t 和 1/2 partial square f over partial x square of dB_t square，等于 dt。提供示例以帮助理解如何使用这些公式以及如何替换变量。还解释了公式中 sigma 和变量 sigma prime 之间的区别以及何时应用它们。布朗运动用作该公式的基础，因为它代表最简单的形式。
在随后的部分中，教授使用布朗运动解决了建议的股票价格模型，指出 S_t 不等于 e 乘以 t 的 sigma 乘以 B。尽管此表达式产生的预期值为 0，但它引入了漂移。为了解决这个问题，从表达式中减去 1/2 sigma square 乘以 dt 项，导致 t 的新模型 S 等于 e 等于 2 sigma square t 加上 sigma 乘以 B_t 的负 1。这表示没有漂移的几何布朗运动。教授进一步解释说，如果我们有一个样本路径B_t，我们可以通过每次取B_t的指数值来获得t的S对应的样本路径。
接下来，视频将焦点转移到集成的定义上。积分被描述为微分的倒数，定义有点“愚蠢”。问题是在给定 f 和 g 的情况下积分是否总是存在。然后，该视频探索了黎曼求和类型的积分描述，其中涉及将区间划分为非常精细的部分并对相应框的面积求和。黎曼和的极限被解释为函数随着 n 趋于无穷大而趋近于无穷大，提供了更详细的解释。
演讲者对伊藤演算中的自适应过程进行了直观的解释和定义。适应过程的特点是仅根据直到当前时间的过去信息做出决策，这是理论本身的一个事实。该视频使用示例说明了这一概念，例如仅依赖过去股价的股票策略。强调了伊藤演算框架中适应过程的相关性，特别是在只能在最左边的时间点做出决策且未来事件仍然未知的情况下。演讲者强调了理解适应过程的重要性，并提供了几个说明性示例，包括最小增量 t 策略。
Ito 积分在 Ito 微积分中的性质将在后续部分讨论。首先，强调适应过程的 Ito 积分始终遵循正态分布。其次，引入了 Ito isometry 的概念，它允许计算方差。伊藤等距表示过程的伊藤积分平方的期望值等于过程平方随时间的积分。为了帮助理解，使用视觉辅助工具来阐明伊藤等距的概念。
继续讨论，视频深入研究了伊藤积分的性质。已确定适应过程的 Ito 积分的方差对应于布朗运动的二次方差，这可以直接计算。引入随机过程中鞅的概念，阐明随机微分方程中漂移项的存在与否如何决定过程是否为鞅。演讲者还谈到了鞅在定价理论中的应用，强调了在伊藤演算框架内理解这些概念的重要性。鼓励观众进行基本的计算练习，以提高他们对该主题的熟悉程度。最后，演讲者提到下一个要讨论的主题是 Girsanov 定理。
总之，这个关于伊藤微积分的综合视频涵盖了广泛的主题。它从探索 Ito 引理、布朗运动的二次变分以及随机过程中漂移的概念开始。然后使用 Ito 引理深入研究随机过程的评估，并讨论积分和黎曼求和型积分描述。该视频还介绍了自适应过程、鞅和伊藤积分的性质。最后，它强调了 Girsanov 定理，并强调了伊藤微积分对理解和建模随机过程的更广泛影响。
00:00:00 在本节中，教授通过回顾 Ito 引理并以稍微更一般的形式陈述它来继续讨论 Ito 微积分。教授用泰勒展开分析当第一和第二个变量变化时函数f如何变化，并用布朗运动评估函数f(t, B_t)上的信息。布朗运动的二次变分和两个变量 t 和 x 用来解释为什么伊藤微积分比经典微积分多了一个项。
00:05:00 在本节中，我们通过用偏导数写下它来了解泰勒展开式中的二阶项。然后我们关注重要的项，即 del f over del t dt 加上 del f over del x dx 加上二阶项。通过重新排列项，我们得到了包含附加项的更复杂形式的 Ito 引理。然后我们看到涉及 dB_t 平方和 dt 乘以 dB_t 的项与涉及偏 f 对偏 x 二阶导数的项相比微不足道，因为它等于 dt 而幸存下来。最终，这会导致对伊藤微积分有更精细的理解。
00:10:00 在本节中，教授介绍了具有漂移项的随机过程的概念，该漂移项是向布朗运动中添加一项所产生的。这种类型的过程将是主要的研究对象，其中的差异可以用漂移项和布朗运动项来表示。本节接着解释 Ito 引理的一般形式，它是原始形式的更复杂版本，由于二次变分而偏离原始形式。
00:20:00 在本节中，演讲者解释了如何计算 f 在 t 的逗号 B 处的 d。公式为 partial f over partial t dt plus partial f over partial x dB_t 加上 1/2 partial square f over partial x square of dB_t square，等于 dt。演讲者展示了示例，以帮助理解如何使用这些公式以及如何插入变量。他们还解释了公式中 sigma 和变量 sigma prime 之间的区别以及何时使用它们。该公式用于布朗运动，因为它是最简单的形式。
00:25:00 在本节中，教授解释了为什么 S_t 不等于 e 乘以 t 的 sigma 乘以 B，这是提出的使用布朗运动的股票价格模型。虽然这个表达式会给我们期望值 0，但它也会导致漂移。解决方案是从表达式中减去 1/2 sigma square 乘以 dt 的项，使 t 的新模型 S 等于 e 等于负 1 over 2 sigma square t 加上 sigma of B_t，一个没有漂移的几何布朗运动。教授接着解释说，如果我们有一个样本路径B_t，我们可以通过每次取B_t的指数值得到t的S对应的样本路径。
00:30:00 在本节中，视频讨论了整合的定义。该定义作为微分的逆函数给出，并被描述为“愚蠢”的定义。问题是积分是否总是存在给定的 f 和 g。然后视频继续讨论积分的黎曼求和类型描述，并描述了将区间切成非常精细的部分并对框的面积求和的过程。黎曼和的极限是函数的 n 趋于无穷大的极限，随后将对此进行更详细的解释。
00:40:00 在本节中，演讲者解释了伊藤演算中适应过程背后的直觉和定义。适应过程是一种只能根据过去的信息做出决策直到当前时间的过程，这一事实隐藏在理论本身中。例如，仅根据过去的股票价格做出决策的股票策略是一个适应过程。这一点很重要，因为伊藤演算在这种情况下效果很好，只能在最左边的时间点做出决定，看不到未来。演讲者提供了几个示例来说明自适应过程，包括最小 delta t 策略，并解释了它们与伊藤演算的相关性。
00:45:00 本节讨论伊藤微积分中伊藤积分的性质。第一个属性是适应过程的 Ito 积分始终服从正态分布。第二个属性称为 Ito 等距，可用于计算方差。 Ito 等距表明过程的 Ito 积分平方的期望值等于过程平方随时间的积分。视觉辅助工具用于解释伊藤等距的概念。
00:50:00 在本节中，演讲者讨论了伊藤积分的性质。适应过程的 Ito 积分的方差等于布朗运动的二次方差，可以用简单的方式计算。演讲者还解释了随机过程中鞅的概念，并讨论了 Ito 积分何时可以成为鞅。如果函数适应布朗运动并且是合理的函数，则积分是一个鞅。
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00:05:00在本节中，视频讨论了不同类型的金融合同，包括远期合同、看涨期权和看跌期权。远期合约是一种在未来以约定价格购买资产的义务。看涨期权就像针对资产下跌的保险，是一种以今天约定的价格购买资产的选择权。看涨期权的支付总是正的——s 减去 K 和零的最大值。另一方面，看跌期权是对资产下跌的押注，因此支出是 K 减去 s 和零的最大值。该视频还解释了如何根据某些假设确定这些合约的当前价格，例如标的资产的当前价格和波动性。
00:20:00在本节中，演讲者讨论了使用 Black-Scholes 公式和风险中性估值为一般收益 F 定价的过程。为此，演讲者介绍了由债券和一定数量的股票组成的复制投资组合的概念。他们解释说，复制投资组合旨在确保无论现实世界的概率如何，都可以在到期时准确复制收益。演讲者接着描述了独立于现实世界而存在的风险中性度量或鞅度量。所有衍生品的价值只是这些措施的吸引力的预期价值。此外，演讲者还谈到了股票下划线的动态以及布朗运动的标准差在 T 的平方根尺度上的重要性。他们提到布莱克-斯科尔斯公式只不过是泰勒规则加上一个由于布朗运动的标准差。
00:30:00在本节中，演讲者解释说，Black Scholes 方程可以转化为众所周知和理解的热方程，可以通过数值方法求解更复杂的支出或动力学。还讨论了看涨期权和看跌期权的最终支付条件和边界条件，演讲者指出，对于简单的动力学和 Black Scholes 动态对数正态动力学，可以精确地求解方程。演讲者还强调了从风险中性立场着手解决问题的重要性，即找到衍生品的价格作为支付的预期值按到期时的风险中性概率贴现。风险中性度量是这样的，即股票的漂移是利率，如二元示例中所示。
00:35:00在本节中，演讲者通过对数正态分布终端分布取 Colin 看跌期权支出的预期值来讨论 Black-Scholes 公式的计算。对于更复杂的收益，例如美式收益，必须实施蒙特卡洛模拟或有限差分。演讲者还给出了使用 IBM 股票期权复制投资组合的示例，并解释了当波动率不恒定时如何使用看跌期权平价来为看跌期权定价。讨论承认，恒定波动率的 Black-Scholes 公式假设在现实世界中并不总是适用，必须使用更复杂的方法来为某些期权定价。
00:45:00在本节中，演讲者解释了复制投资组合的概念，这是一种对冲复杂衍生品的方法。他们用一个例子来证明这一点，即买入行使价为 K 负 1/2 的看涨期权并卖出行使价为 K 加 1/2 的看涨期权，然后将它们组合起来产生支出。他们展示了如何通过以 K 减 1/4 和 K 加 1/4 的价格出售并将它们结合起来来提高这种支付，从而使支付的斜率减半。他们解释了如何通过使用小 epsilon、在重新调整为 2:1 的同时买卖多个合约来估算数字价格。他们展示了如何通过罢工获得钴价格的衍生品导致斜坡，并解释了所有这些在现实生活中是如何完成的以降低风险。
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01:00:00 在本节中，视频提出了有关金融市场和套利的深层经济问题。当长期资本 T 设定得很远时，如果套利失效，没有什么能阻止期权和复制投资组合的价格相互远离，这可能导致两个期权之间出现非常大的差异。根据经验，价格已被证明是相互远离的。演讲者提到哈佛捐赠基金是一个长期投资者，并探讨了为什么它不购买持有它 10 年的更便宜的期权来赚钱，但表示这是因为他们关心他们的年度和五年回报。此外，演讲者提出了一个数学理论，该理论指出任何连续函数都必须能够通过调用复制，无一例外。
01:05:00 在本节中，演讲者讨论了复制任意衍生产品的公式，其到期支付为 x 的 g 或 S 的 g。该公式明确解释了如何通过 g(0) 零息债券、股票的 g 素数零和调用的线性组合进行复制。演讲者通过采用期望值证明了该公式，并以不同方式讨论了期权价格和概率的二元性，强调了看涨期权作为原始信息的重要性以及它们如何涵盖一切。该公式还提出了有趣的问题以供进一步讨论。
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00:15:00 在本节中，演讲者讨论了如何通过对测试函数进行猜测并遵循与用于常微分方程或偏微分方程的分析类似的分析来求解随机微分方程。演讲者分享了对于这个过程，初始猜测将是 a(0) 等于 1，尽管他们承认没有真正的直觉或指导来得出这个猜测。通过使用链式法则进行微分，他们推导出一个素数 t 方程并将其重写为 X(t) 除以 a(t)，再加上 a(t) 乘以另一个方程的微分。这两项抵消，他们得出结论 a(t) 必须是 e 减去 alpha t。将其代入等式得到 b(t)，因此 t 的 X 是 e 到 0 的 x 的负 alpha*t 加上 0 到 t sigma e 到 alpha*s。
00:50:00 在本节中，视频讨论了热方程及其与正态分布的关系。热方程模拟了一个完全绝缘的系统，其中热量最初集中在一个点，然后根据正态分布随时间分布。这可以被认为是同时发生的一堆布朗运动。热方程的解由积分给出，允许所有 x 在时间 t 的显式解。然后可以使用此封闭形式的解来求解 Black-Scholes 方程。
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该视频还深入探讨了 Quanto 信用对冲策略，该策略需要使用由美元和欧元债券组成的投资组合来对冲信用风险。这些债券的估值取决于汇率和预期收益等因素。由于违约概率和跳跃大小的变化，该策略需要随着时间的推移进行动态再平衡。此外，讲座探讨了模型的扩展以纳入非零回收率，这增强了以外币计价的信用或有合约和信用违约掉期的定价和对冲能力。
演讲者承认在使用 Ito 引理时出现的复杂性，Ito 引理是一种处理随机微分方程的数学工具，特别是在涉及扩散和跳跃过程的情况下。建议使用蒙特卡洛模拟作为验证导出结果准确性的方法。人们注意到现实生活中的模型更为复杂，通常包含可以与其他因素（如外汇）相关的随机利率和风险率。该讲座强调了为各种市场设计的各种模型的存在，复杂性和所需的速度决定了它们的适用性。
00:00:00 在讲座的这一部分，摩根士丹利的 Stefan Andreev 教授解释说，金融学有两个关键领域需要量化技能：统计和预测，以及复杂工具的定价和对冲。 Andreev 教授专注于外汇、利率和信贷领域复杂产品的定价和对冲。他描述了使用价格已知的其他产品复制复杂产品收益并使用数学技术推导出复杂产品价格的过程。他还强调了使用跳跃过程来描述与新兴市场主权违约相关的某些价格行为的重要性，包括希腊违约情况下的欧元。
00:05:00 在本节中，我们将了解外汇以及如何在数学上将其描述为以美元计价的一单位外币的价格。即期汇率用 S 表示，是当前汇率。外汇远期合约是允许锁定有效美元利率的合约。外汇远期与外国利率有关，这可以通过了解外汇远期来推断。还讨论了套利的概念，解释了当一种货币的利率与另一种货币的利率不同时如何利用套利获利。此外，还介绍了无风险利率的定义及其在外汇流程中的使用。
00:10:00 在本节中，演讲者讨论了外汇货币的过程及其随机微分方程具有无套利条件的约束，这本质上是过程的漂移必须是利息差异费率。适用之前的套利条件，这意味着远期利率必须是即期利率乘以利率差。演讲者还介绍了 Black-Scholes FX 模型，这是工业上使用的标准基本动态 FX 模型，并讨论了 FX 的有趣特性以及其汇率不能为负的事实。但是，它可能会变得非常大并且没有上限，从而使分布偏斜。
00:15:00 在本节中，演讲者介绍了一个游戏，其中做出假设以简化系统，并要求参与者在两种收益 A 和 B 之间进行选择。两种收益在下注金额方面是对称的，参与者要么获得收益，要么获得收益。失去相同的数量，但一个比另一个更受欢迎。演讲者发现没有人愿意玩这个游戏，但提供了汇率为 1.25 或 0.75 的场景，他说明赌注 A 比赌注 B 好 25 美元。演讲者得出结论，赌注 A 是更好的交易，因为价值投注单位的数量取决于您是赢还是输。
00:25:00 在本节中，演讲者讨论了如何分析工具的收益以及如何编写外汇和信贷模型来为债券定价。给出的例子是两种零息债券，一种是美元，一种是欧元，期限相同，到期支付 100。他们使用套利策略卖出 100 倍 Ft 美元债券并买入 100 欧元债券，以零成本签订 100,000 欧元、到期日为 T 的外汇远期合约。外汇远期对收益进行套期保值，他们可以用债券的收益换取欧元债券。通过计算解释差异的模型，他们发现市场上的美元债券利差实际上较低，债券要么表现良好，要么表现不佳，并且处于违约状态。
00:30:00 在本节中，探讨了使用外汇远期和债券进行套期保值的概念。讨论了两种债券的情况，一种以美元发行，另一种以欧元发行，面值相同。从理论上讲，如果汇率设置得当，两种债券到期时的价值应该相同，投资者不会盈利或亏损。但是，当发生违约时，情况发生变化，债券可能价值不等，仅使用外汇远期和债券很难对冲。阿根廷 2001 年违约的案例展示了当 FX 远期裸露时它的样子。引入了数学模型作为解决方案，以帮助使用复制策略进行对冲，并进一步解释了没有对冲的定价，反之亦然。
00:35:00 在本节中，演讲者解释了对违约建模的基本信用模型，其中涉及将违约事件定义为具有强度率 h 的泊松过程。假设风险率恒定和零利率环境，演讲者解释了模型中的外汇动态，其中包括一个由 J*dN 表示的跳跃过程，其中 J 是外汇的贬值百分比，dN 是泊松过程。目标是实现恒定的无套利条件，其中外汇汇率的预期值等于初始值，这是通过将漂移 mu 设置为等于 h 乘以 e 的 J 次方（补偿项）来实现的。
00:40:00 在本节中，演讲者解释了如何推导泊松过程的补偿项的形式以及如何检查该形式是否满足期望条件。给出了 log S_t 的 d 的公式，并在指示函数和 J dN_t 的帮助下进行了整合。然后演讲者将 tau 大于或小于大写字母 T 的可能性分开，并说明 J 是一个常数，因此积分是 J 乘以 t 的 N。演讲者提到所有推导都张贴在注释中以供参考。
00:45:00 在本节中，演讲者解释了如何计算 S_T 的期望值以及如何对 tau 的概率分布进行积分。他首先擦除前面等式的第一行，并表明 S_T 对 S_0 的对数等于 h 乘以 tau 乘以 1 减去 e 到 J 如果 tau 小于 T 和 h 乘以大写 T 乘以 1 减去 e 到 J 乘以指标tau大于等于T的函数，如果tau大于T，他就对两边取幂，写出S的0到无穷大乘以tau乘以phi(0, tau) d tau的积分，计算出S_T的期望值。他将积分分为两部分，并解释了 tau 的第一项从 0 到大写 T 和第二项从大写 T 到无穷大。
00:50:00 在本节中，演讲者解释了使用跳跃过程和采取期望的过程。他演示了他的漂移猜测最初是如何使期望为零的。定义了默认跳跃 S 的对数动态并计算了概率密度。演讲者使用 Ito 引理推导 S 的动力学，并解释了如何从 S 的对数过程中找到 S 的过程。S 的最终结果显示为 h 乘以 1 减去 J，tau 小于比T、dT、加e到J减1、J减1、dN、dN_t。
00:55:00 在本节中，演讲者使用汇率模型和信用模型讨论了两种不同货币的零息债券的定价练习。定价是通过标准定价理论实现的，其中时间 T 的价格等于时间 t 的价格预期。演讲者计算 tau 大于 T 的概率，并使用累积概率函数来确定美元债券价格。通过比较两种债券的名义比率，演讲者建议了两种债券的对冲组合。
01:20:00 在本节中，演讲者解释了如何扩展 Quanto 信用对冲模型以包括非零回收率。他建议可以通过添加另一个项来进一步扩展模型，并解释说他在摩根士丹利的团队已经在研究这样的模型。扩展模型将允许交易者对以外币计价的信用或有合约和信用违约掉期进行定价，并提供更好的对冲比率。他指出，扩展模型使校准变得更加困难，但发现该项目对于寻求理解复杂数学模型的学生来说是一项值得的练习。
01:25:00 在本节中，演讲者讨论了使用 Ito 引理来解释扩散和跳跃过程时出现的复杂情况。他们建议使用蒙特卡洛模拟来验证计算结果的准确性。演讲者还解释说，现实生活中的模型更为复杂，通常包含随机利率和风险率，它们可能与外汇等其他因素相关。他们指出，根据市场的复杂性和所需速度，针对不同市场实施了一系列模型。最后，演讲者回答了一个问题，即意大利最初的哪个赌注更好，并解释说他们只能在他们的模型中回答这个问题，同时考虑到供求关系以及欧元和美元的流动性等因素。
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00:20:00 在本节中，演讲者讨论了伊藤引理，这是一个来自随机微积分的概念，在利率和信贷的 HJM 模型中起着至关重要的作用。演讲者首先指出，HJM 模型消除了等式中的漂移和风险，使期权定价变得容易。但是，理解 Ito 引理的推导对于理解模型的基本假设很重要。演讲者随后提供了 Ito 引理的简单推导，其中涉及将时间间隔分解为小间隔并检查股票价格波动中的对数正态动力学和随机性。伊藤引理的基石存在于期权价格方程的二阶导数项中。
00:25:00 在本节中，演讲者讨论了利率和信贷的 HJM 模型，并解释了如何简化所涉及的方程式。通过忽略比线性项小得多的随机项并对所有方程求和，说话者得出一个看似随机但在大 N 限制下变得确定性的项。这通过演示随机变量的总和如何变得更窄并在 N 趋于无穷大时以确定性方式表现来证明。演讲者推荐这个练习以更好地理解这个概念。
00:30:00 在本节中，演讲者讨论了利率和信贷的 HJM 模型以及它如何依赖于标准正态分布。通过计算正态变量的四次矩，可以确定概率分布函数在大N极限下变得确定，意味着期权定价是可能的。这是由于 Ito 引理，它在许多衍生书籍中未经证明就给出了，但却是衍生定价理论的基石。通过伊藤引理得到的方程类似于热方程，可以用标准方法求解。
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00:10:00 在本节中，演讲者介绍了恢复概率测度的概念，用 R 表示。该测度源自市场价格，捕捉市场对未来事件的信念。演讲者将 R 与概率度量 P 捕获的物理现实区分开来，考虑到市场可能出错的可能性。然而，一些相信市场效率的金融专业人士可能每次都将 R 设置为 P。演讲者指出 R 是以 Ross 的名字命名的，Ross 将恢复的概率测度称为自然概率测度，而将风险中性概率测度描述为非自然的。后一种措施提供了 Arrow-Debreu 证券的价格，其回报取决于某些事件发生的可能性。演讲者得出结论，有两种证券，一种在标准普尔 500 指数上涨时，一种在下跌时，只有在无套利的世界中，这些证券的价格才会等于事件发生的概率。
00:50:00 在本节中，视频解释了罗斯提出的恢复定理中所做的假设。第一个假设是两个变量 x 和 y 的函数 phi 具有特定形式，这有助于将搜索的维度降低为一个变量和标量 delta 的函数。一个变量的函数的经济意义是边际效用，它表示一个人从每增加一单位的消费中得到多少幸福。下降函数被认为对每个消费单位都是积极的，但随着消费单位的增加，带来的快乐越来越少。同时，delta 是一个正标量，它反映了货币的时间价值并与分子相关联。该视频补充说，这些发现旨在确定 U 素数与 y 的函数 c 的组合，而不是找到 U 素数作为 c 的函数。
00:55:00 在本节中，Peter Carr 讨论了 Ross Recovery Theorem，它提供了一种非参数方法来从市场价格中识别市场信念，而不需要捕捉市场风险规避的参数。罗斯的假设允许通过找到代表市场信念的 P 来确定市场信念。通过使用 Arrow-Debreu 证券价格，存在正解，并且使用定价内核 phi，即 A 与 P 的比率，允许非参数识别。在 Ross 的论文之前，研究人员假设了一个具有特定效用函数的代表性投资者，但 Ross 设法在不调用任何此类假设的情况下识别市场信念，从而更容易从市场价格推断出市场的信念。
01:10:00 在本节中，我们了解预期价格变化，即无风险利率乘以价格，以及它如何导致预期回报。该视频讨论了如何更改计量单位和衡量不同计量单位的资产价值。它继续解释说，美元/英镑汇率与 IBM 之间的协方差会影响银行余额的增长率，并且是投资 IBM 以及将收益投入美国银行或英国银行的关键点。
01:15:00 在本节中，演讲者讨论了寻找与股票相关的计价表的过程，该计价表将以 9% 的实际漂移率增长，而不是最初在风险中设定的 1%中性措施 Q。他们提到约翰·朗的计量投资组合，也称为增长最优投资组合，是将无风险增长率转换为现实世界增长率的计量。本节提出更多假设，例如时间同质性和样本路径的有界区间，以识别 John Long 的计量资产组合。
01:20:00 在本节中，演讲者解释了标准布朗运动的符号“W”如何与财富符号“W”发生冲突，从而导致维纳过程选择字母“Z”。此外，他还介绍了“Long 的计价投资组合”，以其发明者 John Long 的名字命名，尽管其头寸并不都是正面的。虽然我们知道 X 的风险中性漂移，即 b^Q(X)，扩散系数是 X 的 A，但我们不知道 Long 的计量投资组合的波动性，X 的 sigma_L，这对于了解现实世界的漂移。这个 sigma_L 也是 Long 的 numeraire portfolio 和 IBM 之间的协方差，它是了解协方差的关键，这才是相关的。
01:25:00 在本节中，Peter Carr 解释了如何找到波动率函数 sigma_L 以及 John Long 投资组合的价值是 X 和 D 的函数的假设。这导致未知的正函数分裂为未知的函数X 和时间的指数函数。 X 的未知函数求解 Sturm-Liouville 问题的微分方程，这表明只有一个唯一解可以提供正函数 pi 和标量 lambda，以便我们最终了解计量投资组合的波动性。 Carr 随后谈到了将这一理论扩展到无限区间的努力，并得出结论认为该理论对研究生开放，可以研究和解决。
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16.投资组合管理
16.投资组合管理
“投资组合管理”视频深入探讨了与投资组合管理相关的广泛主题，提供了对该主题的全面理解。讲师采用实用的方法，将理论与买方行业的实际应用和个人经验联系起来。让我们深入了解视频中涵盖的不同部分：
投资组合的直观构建：教师通过鼓励学生在空白页上直观地构建投资组合来启动课程。通过将投资分解为百分比，他们展示了资产配置如何在投资组合管理中发挥关键作用。从第一天开始，学生们就会被提示思考他们的投资分配以及如何使用他们的资金。这个练习帮助学生掌握投资组合构建的基础知识，并提供对决策过程的洞察力。
理论联系实践：本节强调观察作为学习有用知识的第一步的重要性。讲师解释说，理论和模型是建立在数据收集和模式识别的基础上的。然而，在经济学领域，可重复的模式并不总是显而易见的。为了验证理论，必须在各种情况下确认或测试观察结果。鼓励学生分享他们的投资组合结构，促进积极参与和参与。
了解投资组合管理目标：讲师强调在解决如何将不同资产或风险组合在一起之前了解投资组合管理目标的重要性。他们展示了一张图表，说明支出随年龄变化的情况，强调每个人的支出模式都是独一无二的。认清自己的处境对于有效地建立投资组合管理目标至关重要。
平衡支出和收入：演讲者介绍了支出和收入曲线的概念，强调了两者之间的不匹配。为了弥合差距，产生现金流的投资对于平衡收入和支出是必要的。该部分还涵盖了多种财务规划场景，例如退休规划、学生贷款偿还、养老基金管理和大学捐赠基金管理。讨论了将资金分配给具有不同策略和参数的交易者所面临的挑战，风险通常通过方差或标准差来衡量。
回报与标准差：本节深入探讨回报与标准差之间的关系。演讲者探讨了现代投资组合理论的原理，并通过特殊案例对其进行了举例说明。现金、彩票、掷硬币、政府债券、风险资本家融资和股票等投资被定位在回报率与标准差图表上，提供对概念的更清晰理解。
Investment Choices and Efficient Frontier：演讲者深入研究了不同的投资选择及其在说明回报和波动性的地图上的位置。他们引入了有效边界的概念，即在最小化标准差的同时最大化回报。本节着重于双资产投资组合的特例，解释如何计算标准差和方差。此概述使观众能够了解投资组合理论如何为投资决策提供信息。
多元化的好处和风险平价：演讲者调查了投资组合管理中的情景，强调了多元化的好处。他们讨论了三种情况：零波动率且无相关性、不等波动率和零相关性以及完全正相关或负相关。多元化被强调为有效降低投资组合标准差的策略。
杠杆投资组合分配：本节介绍杠杆的概念，作为增加预期回报的一种手段，超出等权重分配。通过利用债券对股票的配置，投资者有可能获得更高的预期回报。演讲者强调了平衡杠杆以优化风险和回报的重要性。
夏普比率和凯利公式：该视频深入探讨了夏普比率（也称为风险加权或风险调整回报）和凯利公式。虽然资产配置在投资组合管理中起着至关重要的作用，但该视频强调仅依靠有效边界是不够的。本节提供了一个 60-40 投资组合的示例，以证明资产配置的有效性及其潜在的波动性。
在整个视频中，讲师强调了市场中个人的相互联系以及在优化投资组合时考虑这一方面的重要性。演讲者还强调了博弈论的作用以及与物理学中定义明确的问题相比金融的复杂性。他们强调了主动观察、数据驱动模型和适应有效应对投资组合管理挑战的重要性。最后，演讲者承认管理在投资决策之外的关键作用，特别是在人力资源和人才管理等领域。
总之，该视频提供了对投资组合管理各个方面的全面探索。它涵盖了直观的投资组合构建、风险与收益之间的关系、风险平价的概念、有效边界、杠杆的作用以及风险管理的重要性。它还深入研究了行为因素、动态资产配置、长期投资以及持续学习和适应的需求。通过了解这些原则并实施合理的投资组合管理策略，投资者可以在有效管理风险的同时努力实现其财务目标。
17. 随机过程 II
17. 随机过程 II
在视频系列的这一部分中，引入了布朗运动的概念，以解决处理随机过程中路径概率密度的困难，特别是在连续变量的情况下。布朗运动是从正实数到实数的连续函数集的概率分布。它具有的特性使其成为各种现象的合理模型，例如观察水中花粉的运动或预测股票价格的行为。
此外，该视频还介绍了伊藤微积分的概念，它是经典微积分在随机过程设置中的延伸。传统微积分不适用于布朗运动，而 Ito 的微积分为股票价格的百分位数差异建模提供了解决方案。伊藤引理源自泰勒展开式，是随机微积分中的一个基本工具，它允许使用布朗运动计算函数在小时间增加内的差异。它丰富了微积分理论，使分析涉及布朗运动的过程成为可能。
该视频还讨论了布朗运动的属性，例如它无处可微并且无限频繁地穿过 t 轴这一事实。尽管有这些特征，布朗运动仍具有现实意义，可以用作股票价格等数量的物理模型。简单随机游走的极限是布朗运动，这种观察有助于理解其行为。
此外，该视频探讨了随机变量总和的分布及其在布朗运动背景下的期望。它讨论了正态变量和的收敛性并将其应用于布朗运动。
总之，视频系列的这一部分介绍了布朗运动作为处理随机过程中路径概率密度的解决方案。它解释了布朗运动的属性、它在股票价格和金融衍生品建模中的应用，以及伊藤微积分对其进行处理的必要性。理解这些概念对于分析连续时间随机过程及其在各个领域的应用至关重要。
18.伊藤微积分
18.伊藤微积分
在这个关于伊藤微积分的综合视频中，涵盖了与随机过程和微积分相关的广泛主题。教授深入研究了 Ito 引理的复杂性，它是原始引理的更复杂版本，并详细解释了布朗运动的二次变分。探讨了随机过程中漂移的概念，以及如何应用 Ito 引理评估此类过程的实际演示。该视频还涉及积分以及积分、适应过程和鞅的黎曼求和类型描述。强调了练习基本计算练习以熟悉该主题的重要性。此外，视频最后预览了即将到来的主题，即 Girsanov 定理。
在视频的后续部分中，教授通过以稍微更一般的形式回顾和呈现 Ito 引理，继续讨论 Ito 微积分。通过使用泰勒展开式，教授分析了函数 f 在其第一个和第二个变量发生变化时的变化。教授利用布朗运动来评估 f(t, B_t)。通过结合布朗运动的二次变分和两个变量 t 和 x，该视频通过结合一个附加项解释了为什么伊藤微积分不同于经典微积分。接下来，视频重点介绍泰勒展开式中的二阶项，以偏导数表示。检查了关键项，即 del f over del t dt、del f over del x dx 和二阶项。通过重新排列这些项，推导出更复杂的 Ito 引理形式，其中包含一个附加项。该视频演示了涉及 dB_t 平方和 dt 乘以 dB_t 的项与涉及 f 相对于 x 的二阶导数的项相比微不足道，因为它由于与 dt 等价而幸存下来。这导致对伊藤微积分的深入理解。
该视频首先介绍了随机过程的概念，其中漂移项是在布朗运动中添加一个项而产生的。这种类型的过程成为主要研究对象，其中差异可以用漂移项和布朗运动项来表示。解释了 Ito 引理的一般形式，由于存在二次变分，它偏离了原始形式。此外，该视频还使用 Ito 引理来评估随机过程。二次方变化允许分离二阶导数项，从而能够推导复杂项。给出了一个涉及函数 f(x) = x^2 的示例，演示了如何在 B_t 处计算 f 的 d。 f关于t的一阶偏导数确定为0，而关于x的偏导数为2x，二阶导数在t，x处为2。
视频接着解释了在 t 的逗号 B 处计算 f 的 d。该公式包括部分 f over partial t dt、partial f over partial x dB_t 和 1/2 partial square f over partial x square of dB_t square，等于 dt。提供示例以帮助理解如何使用这些公式以及如何替换变量。还解释了公式中 sigma 和变量 sigma prime 之间的区别以及何时应用它们。布朗运动用作该公式的基础，因为它代表最简单的形式。
在随后的部分中，教授使用布朗运动解决了建议的股票价格模型，指出 S_t 不等于 e 乘以 t 的 sigma 乘以 B。尽管此表达式产生的预期值为 0，但它引入了漂移。为了解决这个问题，从表达式中减去 1/2 sigma square 乘以 dt 项，导致 t 的新模型 S 等于 e 等于 2 sigma square t 加上 sigma 乘以 B_t 的负 1。这表示没有漂移的几何布朗运动。教授进一步解释说，如果我们有一个样本路径B_t，我们可以通过每次取B_t的指数值来获得t的S对应的样本路径。
接下来，视频将焦点转移到集成的定义上。积分被描述为微分的倒数，定义有点“愚蠢”。问题是在给定 f 和 g 的情况下积分是否总是存在。然后，该视频探索了黎曼求和类型的积分描述，其中涉及将区间划分为非常精细的部分并对相应框的面积求和。黎曼和的极限被解释为函数随着 n 趋于无穷大而趋近于无穷大，提供了更详细的解释。
解决了一个关于伊藤积分与黎曼求和类型描述之间关系的有趣问题。该视频解释说，伊藤积分缺乏黎曼和的性质，其中区间内点的选择无关紧要。此外，该视频还提到了伊藤微积分的替代版本，它考虑每个区间的最右边点而不是最左边的点。这个替代版本虽然等同于伊藤微积分，但在二阶项中包含减号而不是加号。最后，视频强调，在现实世界中，时间间隔的决定必须基于最左边的点，因为未来无法预测。
演讲者对伊藤演算中的自适应过程进行了直观的解释和定义。适应过程的特点是仅根据直到当前时间的过去信息做出决策，这是理论本身的一个事实。该视频使用示例说明了这一概念，例如仅依赖过去股价的股票策略。强调了伊藤演算框架中适应过程的相关性，特别是在只能在最左边的时间点做出决策且未来事件仍然未知的情况下。演讲者强调了理解适应过程的重要性，并提供了几个说明性示例，包括最小增量 t 策略。
Ito 积分在 Ito 微积分中的性质将在后续部分讨论。首先，强调适应过程的 Ito 积分始终遵循正态分布。其次，引入了 Ito isometry 的概念，它允许计算方差。伊藤等距表示过程的伊藤积分平方的期望值等于过程平方随时间的积分。为了帮助理解，使用视觉辅助工具来阐明伊藤等距的概念。
继续讨论，视频深入研究了伊藤积分的性质。已确定适应过程的 Ito 积分的方差对应于布朗运动的二次方差，这可以直接计算。引入随机过程中鞅的概念，阐明随机微分方程中漂移项的存在与否如何决定过程是否为鞅。演讲者还谈到了鞅在定价理论中的应用，强调了在伊藤演算框架内理解这些概念的重要性。鼓励观众进行基本的计算练习，以提高他们对该主题的熟悉程度。最后，演讲者提到下一个要讨论的主题是 Girsanov 定理。
在随后的部分中，视频深入研究了 Girsanov 定理，该定理涉及将有漂移的随机过程转换为无漂移的过程，从而将其变成鞅。 Girsanov 定理在定价理论中具有重要意义，并在离散随机过程中的各种赌博问题中得到应用。演讲嘉宾介绍了路径概率分布和高斯过程的概念，为理解定理奠定了基础。最终，提供了一个简单的公式来表示 Radon-Nikodym 导数，它在 Girsanov 定理中起着至关重要的作用。
最后，视频最后强调了伊藤微积分对随机过程的更广泛影响。它强调，可以根据依赖于使用带漂移的布朗运动建模的股票价格的概率分布来衡量投资组合价值随时间变化的概率分布。通过伊藤微积分的工具和概念，通过计算不同概率空间中的期望，可以将这个问题转化为涉及布朗运动的无漂移问题。这种转换允许将非鞅过程转换为鞅过程，这在现实世界场景中具有有意义的解释。
为了充分掌握伊藤微积分的复杂性，该视频鼓励观众进行基本的计算练习并熟悉基本概念。通过这样做，个人可以更深入地了解随机过程、随机积分以及伊藤微积分在各个领域的应用。
总之，这个关于伊藤微积分的综合视频涵盖了广泛的主题。它从探索 Ito 引理、布朗运动的二次变分以及随机过程中漂移的概念开始。然后使用 Ito 引理深入研究随机过程的评估，并讨论积分和黎曼求和型积分描述。该视频还介绍了自适应过程、鞅和伊藤积分的性质。最后，它强调了 Girsanov 定理，并强调了伊藤微积分对理解和建模随机过程的更广泛影响。
19. Black-Scholes 公式，风险中性估值
19. Black-Scholes 公式，风险中性估值
在这段内容丰富的视频中，对布莱克-舒尔斯公式和风险中性估值进行了深入讨论，为它们在金融领域的实际应用提供了宝贵的见解。该视频首先通过一个博彩公司接受赛马赌注的相关示例来说明风险中性定价的概念。通过根据已经下的总赌注设置赔率，无论比赛结果如何，博彩公司都可以确保无风险获利。这个例子是理解衍生合约的基础，衍生合约是与基础流动性工具相关的正式支出。
视频接着介绍了金融领域的不同类型合约，包括远期合约、看涨期权和看跌期权。远期合约被解释为双方在未来以预定价格购买资产的协议。看涨期权作为资产下跌的保险，为期权持有人提供以约定价格购买资产的权利。相反，看跌期权允许投资者押注资产的下跌，授予他们以预定价格出售资产的选择权。这些合约的支出计算基于特定假设，例如标的资产的当前价格及其波动性。
然后引入风险中性的概念，强调当支出固定时，期权的价格仅取决于股票的动态和波动性。市场主体的风险偏好不影响期权价格，凸显了风险中性定价的重要性。为了说明这一点，提出了一个没有不确定性的两期市场，并使用风险中性估值方法计算期权价格，该方法依赖于现实世界概率的缺失。该示例涉及借入现金购买股票并设定远期价格以实现零期权价格。
该视频深入探讨了复制投资组合的概念，特别是在远期合约的背景下。通过在远期合约中做空并将股票和现金结合起来，构建了一个复制的投资组合，确保最终收益的精确复制。风险中性定价的目标是确定任何给定衍生品的复制投资组合，因为衍生品的当前价格应与复制投资组合的价格相匹配。
进一步探索致力于使用 Black-Scholes 公式和风险中性估值对一般收益进行定价。引入由债券和一定数量的股票组成的复制投资组合，作为复制衍生品到期时表现的一种手段，而不管现实世界的概率如何。该视频介绍了风险中性度量或鞅度量的概念，它独立于现实世界而存在，在衍生品定价中起着基础性作用。还讨论了标的股票的动态和布朗运动标准差的重要性，并以 Black-Scholes 公式作为泰勒规则的扩展。
然后视频深入研究了 Black-Scholes 模型的偏微分方程求解，该模型将当前衍生品价格与其对冲策略联系起来，适用于所有基于股票波动的可交易衍生品。复制投资组合系数是随时确定的，可以通过购买股票和现金完美复制衍生品的表现。这种对冲没有风险，允许交易者收取交易费用。
此外，演讲者还解释了如何将 Black-Scholes 方程转化为热方程，从而促进使用数值方法对具有复杂支出或动态的衍生品进行定价。该视频强调了从风险中性角度处理问题的重要性，以确定衍生品的价格为到期时风险中性概率贴现的支出预期值。通过一个二进制示例强调了风险中性度量的重要性，其中股票的漂移等于利率。
对于更复杂的衍生收益，例如美式收益，必须采用蒙特卡罗模拟或有限差分法。该视频强调了当 Black-Scholes 公式中假定的恒定波动率假设在现实世界场景中不成立时，这些方法的必要性。
该视频介绍了 Co-put parity 的概念，它在看涨期权的价格和具有相同行使价的看跌期权的价格之间建立了一种关系。通过构建一个由看涨期权、看跌期权和股票组成的复制投资组合，投资者可以保证最终获得特定的回报。演讲者进一步演示了如何利用 Co-put 平价来为数字合约定价，这些合约根据股票收盘价是高于还是低于执行价进行二元支付。这可以通过利用复制投资组合的想法和看涨期权的价格来实现。
在随后的部分中，演讲者详细阐述了复制投资组合作为对冲复杂衍生品的一种手段。通过一个涉及购买行使价为 K 负 1/2 的看涨期权和出售行使价为 K 加 1/2 的看涨期权的示例，结合起来产生支出，演讲者演示了如何通过在K 减去 1/4 和 K 加 1/4，导致支付斜率减半。该视频重点介绍了小 epsilon 的使用、买卖多个合约以及重新调整为 2:1 的比例以接近数字价格。演讲者解释了按行使价计算 Co 价格的衍生品如何导致上升，并提供了对用于将风险降至最低的现实实践的见解。
总体而言，该视频全面介绍了风险中性定价，包括 Black-Scholes 公式、Co-put 平价和复制投资组合。它为复杂衍生品的定价和对冲提供了宝贵的见解，同时承认在某些情况下需要更先进的技术。通过理解这些概念，个人可以更深入地了解风险管理及其在金融领域的应用。
20.期权价格和概率对偶
20.期权价格和概率对偶
在本节中，Stephen Blythe 博士深入研究了期权价格与概率分布之间的关系，阐明了复制具有给定支付函数的任何衍生产品的公式。他强调看涨期权是基本的，可以用来复制任何连续的功能，使它们在金融领域必不可少。 Blythe 还探讨了单独使用看涨期权来确定股票价格的潜在随机过程的局限性，表明也可以使用能够跨越连续函数的替代函数基。
视频有一个短暂的中场休息，Blythe 博士分享了一个与剑桥数学 Tripos 相关的耐人寻味的历史轶事。这项考试测试了开尔文勋爵、约翰梅纳德凯恩斯和卡尔皮尔逊等著名人物的数学知识，在塑造应用数学领域方面发挥了重要作用。
言归正传，Blythe 博士介绍了期权价格和概率二元性的概念，强调了这两个方面之间的天然二元性。他解释说，复杂的衍生产品可以理解为概率分布，通过在期权价格、概率和分布之间来回切换，可以更通俗易懂地讨论它们。
视频继续介绍期权价格的符号和看涨期权的支付函数的解释。 Blythe 博士构建了一个由两个看涨期权组成的投资组合，并使用限制求出看涨期权价格相对于行使价的偏导数。他还介绍了呼叫差价的概念，它代表具有特定支付函数的两个呼叫之间的差价。
Blythe 博士随后深入研究了期权价格和概率之间的对偶性，重点关注资产定价基本定理 (FTAP)。他解释说，期权价格是未来收益贴现到现在的预期值，而数字期权的收益与股票价格在到期时大于某个水平的概率有关。他利用微积分证明，看涨期权价差的极限趋向于数字期权，而数字期权的价格等于看涨期权价格对行使价的偏导数。发言人强调了行使价大于或大于或等于之间的理论区别，并指出这种区别没有实际意义。
接下来，演讲者通过介绍资产定价基本定理，深入探讨了期权价格与概率之间的联系。该定理表明，在风险中性分布下，衍生品与零息债券的价格比率是相对于股票价格的鞅。 Blythe 博士解释了该定理如何使人们能够从概率密度得出任何衍生品的价格，从而更深入地分析概率与期权定价之间的关系。
视频继续讨论通过期权组合访问密度函数的方法，特别是使用 call butterfly 策略。 Blythe 博士解释说，通过适当缩放两个看涨期权价差之间的差异构建的看涨期权蝶形价差可以近似获得密度函数所需的二阶导数。虽然在现实世界中无限小可能不可行，但具有特定行使价的交易看涨期权为标的资产在特定区间内的概率提供了合理的近似值。
基于这一想法，Blythe 博士解释了如何使用蝶形差价投资组合来获取二阶导数并获得密度函数。通过对蝶形差价进行适当的限制，他得出了密度函数 f(x)，该函数作为基础随机变量在到期时的独立于模型的概率度量。这种概率度量允许个人评估他们是否同意蝴蝶价格所隐含的概率，并做出明智的投资决策。 Blythe 博士强调这些关系与模型无关，并且无论用于期权定价的具体模型如何，它们都适用。
在下一节中，量化金融讲师Stephen Blythe博士详细阐述了期权价格与概率分布之间的关系。他解释说，特定时间证券的概率分布以其当前价格为条件，而鞅条件是针对相同价格的。 Blythe 博士随后花点时间分享了一个关于剑桥数学学位的有趣历史花絮，该学位在制定应用数学专业的教学大纲方面发挥了关键作用。
接下来，演讲者深入探讨了资产价格基本定理 (FTAP)。该定理指出，在风险中性分布下，价格与零息票债券的比率是相对于股票价格的鞅。它提供了一个从概率密度到任何衍生品价格的框架。 Blythe 博士强调，密度也可以从看涨期权价格推导出来，而这两条路线通过基本定理相互关联，可以更深入地分析概率与期权定价之间的关系。
在随后的部分中，Blythe 博士解释说，各种行使价的所有看涨期权的价格在确定任何给定衍生函数的支出方面起着至关重要的作用。看涨期权涵盖所有衍生品价格，它们被视为欧洲衍生品价格。演讲者强调，可以通过构建看涨期权组合来复制衍生函数，如果衍生品的收益与到期看涨期权的线性组合相匹配，那么它们在今天将具有相同的价值。这个概念得到了金融学基本假设的支持，即所谓的无套利，即如果两种事物在未来价值相同，那么它们今天也应该具有相同的价值。然而，布莱斯博士承认，自 2008 年金融危机以来，这一假设在金融领域受到了挑战。
继续讨论，视频提出了一个关于金融市场和套利的发人深省的经济问题。当到期时间（资本 T）被设定为长期远期时，如果套利失效，期权和复制投资组合的价格可能会背离。这可能导致两个选项之间存在实质性差异。经验证据表明，价格确实相互偏离。 Blythe 博士提到，哈佛捐赠基金等长期投资者关注的是年度和五年回报，而不是利用 10 年期间的价格差异。然后他介绍了一种数学理论，断言任何连续函数都可以通过调用无一例外地在极限内进行复制。
演讲者继续讨论复制具有给定支付函数的任意衍生产品的公式，在到期时表示为 g(x) 或 g(S)。该公式提供了关于使用 g(0) 零息债券、股票的 g 素数零和看涨期权的线性组合复制衍生品的明确说明。 Blythe 博士通过使用预期值来支持这个公式，并强调期权价格和概率之间的二元性，强调看涨期权作为跨越整个范围的基本信息的重要性。该公式还提出了值得进一步探索的有趣问题。
Blythe 博士针对一个重要方面探讨了是否有可能通过了解各种期限和价格的所有看涨期权价格来确定给定时期内股票价格的随机过程。他认为答案是否定的，因为股票价格可以在一个小的时间间隔内瞬时波动，对过程的连续性或数学限制没有任何限制。但是，如果库存遵循扩散过程，则确定过程变得可行，从而产生优雅实用的解决方案。实际上，人们只能知道看涨期权的有限子集，进一步强调了仅根据看涨期权价格完全确定基础随机过程的局限性。
Blythe 博士继续解释说，即使可以获得大量欧式看涨期权价格，仍然可能存在复杂或非标准的衍生产品，其价格无法仅通过了解这些期权来唯一确定。他强调，即使所有看涨期权都是已知的，仅看涨期权集并不能提供有关基础随机过程的完整信息。为了克服这个限制，Blythe 博士建议考虑所有可能支出范围的替代基础。他指出，可以使用任意一组能够跨越连续函数的函数，尽管使用看涨期权通常是最优雅的方法。
Blythe 博士继续讨论，阐明了看涨期权价格与终端分配之间的关系。他断言终端分布可以唯一地由看涨期权的价格决定。通过考虑 Z 与 theta 的比率，可以获得每只股票的特定风险中性密度。这突出了看涨期权价格与到期时标的股票价格密度之间的相互联系，为模型无关的概率度量提供了有价值的见解。
在本节接近尾声时，Blythe 博士重申了理解期权价格与金融概率分布之间联系的重要性。这些见解使分析师和交易员能够对反映在期权价格中的隐含概率做出明智的判断，并相应地调整他们的投资决策。 Blythe 博士强调，无论用于期权定价的具体模型如何，这些关系都适用，进一步强调了它们在量化金融中的重要性。
总之，Stephen Blythe 博士的演讲探讨了期权价格和概率分布之间的复杂关系。他讨论了受超导超级对撞机取消影响的金融工程的兴起和量化分析师的职业道路。 Blythe 博士引入了期权价格和概率对偶性的概念，强调了期权价格和概率分布之间的自然对偶性。他探讨了资产定价基本定理及其对理解期权价格和金融概率方法的影响。 Blythe 博士提供了使用蝶式价差和其他交易对象访问密度函数并对隐含概率做出判断的示例。该演示文稿还包括有关剑桥数学 Tripos 的历史轶事，展示了著名数学家对金融的参与。通过这些讨论，Blythe 博士阐明了期权价格、概率和资产定价基本原则之间的深层联系。
21. 随机微分方程
21. 随机微分方程
该视频深入探讨了求解随机微分方程 (SDE) 的各种方法。教授首先强调了寻找满足给定方程的随机过程的挑战。然而，他们向听众保证，在某些技术条件下，存在具有指定初始条件的唯一解。讲师介绍了有限差分法、蒙特卡洛模拟和树法作为解决 SDE 的有效方法。
教授深入研究了解决 SDE 所需的技术条件，并强调这些条件通常成立，从而更容易找到解决方案。他们演示了一个使用指数形式并应用猜测方法和相关公式来求解简单 SDE 的实际示例。此外，演讲者还说明了如何分析 SDE 的组件以回溯并找到相应的函数。他们介绍了 Ornstein-Uhlenbeck 过程作为均值回归随机过程的示例，阐明了其漂移和噪声项。
接下来是具体的求解方法，教授解释了常用于常微分方程和偏微分方程的有限差分法如何适用于解决 SDE。他们描述了将 SDE 分解为小区间并使用泰勒公式逼近解的过程。讲师还讨论了有限差分法中布朗运动固有的不确定性带来的挑战，并提出了涉及固定样本布朗运动路径的解决方案。
接下来，讲师探讨了解决 SDE 的蒙特卡罗模拟方法。他们强调需要从概率分布中抽取大量样本，从而能够为每个样本计算 X(0) 并获得 X(1) 的概率分布。演讲者指出，与有限差分法不同，一旦布朗运动固定，就可以使用蒙特卡洛模拟。
引入树法作为 SDE 的另一种数值求解方法，涉及使用简单随机游走作为近似值从布朗运动中抽取样本。通过计算概率分布的函数值，可以实现布朗运动的近似分布。讲师强调了选择合适的步长 (h) 以平衡精度和计算时间的重要性，因为逼近质量会随着步长的减小而下降。
在讲座中，教授和学生就求解 SDE 的数值方法进行了讨论，尤其是路径相关导数的树方法。还提到了热方程，它模拟了绝缘无限棒中随时间变化的热量分布。热方程有一个封闭形式的解并且很好理解，为求解 SDE 提供了宝贵的见解。探讨了它与正态分布的关系，强调了热量分布如何对应于大量同时发生的布朗运动。
视频最后，教授总结了所涵盖的主题，并提到最终项目涉及执行解决 SDE 的细节。演讲者还表示，即将举行的讲座将侧重于迄今为止介绍的材料的实际应用，进一步丰富对现实世界场景中 SDE 的理解。
23. Quanto 信用对冲
23. Quanto 信用对冲
在这个内容丰富的讲座中，来自摩根士丹利的著名专家 Stefan Andreev 教授深入探讨了外汇、利率和信贷领域复杂金融工具的定价和对冲的迷人世界。讨论的主要焦点是信用对冲的概念，它涉及减轻与信用风险相关的风险。
Andreev 教授首先阐明了使用其他工具的已知价格复制复杂金融产品的收益并采用复杂的数学技术来推导出复杂产品的价格的过程。他强调了结合跳跃过程的重要性，跳跃过程是捕捉突然和显着价格变动的随机现象，以有效描述与新兴市场主权违约相关的价格行为。一个值得注意的例子是希腊违约情况对欧元的影响。
本讲座深入探讨了债券理论定价的各个方面，考虑了有助于对冲违约和外汇 (FX) 远期的数学模型。引入的基本信用模型涉及利用以强度率（表示为“h”）和补偿项为特征的泊松过程来实现恒定的无套利条件。该模型提供了一个在考虑信用风险的同时对债券进行分析和定价的框架。
该视频还深入探讨了 Quanto 信用对冲策略，该策略需要使用由美元和欧元债券组成的投资组合来对冲信用风险。这些债券的估值取决于汇率和预期收益等因素。由于违约概率和跳跃大小的变化，该策略需要随着时间的推移进行动态再平衡。此外，讲座探讨了模型的扩展以纳入非零回收率，这增强了以外币计价的信用或有合约和信用违约掉期的定价和对冲能力。
演讲者承认在使用 Ito 引理时出现的复杂性，Ito 引理是一种处理随机微分方程的数学工具，特别是在涉及扩散和跳跃过程的情况下。建议使用蒙特卡洛模拟作为验证导出结果准确性的方法。人们注意到现实生活中的模型更为复杂，通常包含可以与其他因素（如外汇）相关的随机利率和风险率。该讲座强调了为各种市场设计的各种模型的存在，复杂性和所需的速度决定了它们的适用性。
讨论了估计风险率 (h) 和跳跃大小 (J)，演讲者解释了如何使用债券价格来估计这些参数。探讨了违约后的恢复估计，惯例通常将主权国家的固定利率设定为 25%，将企业的固定利率设定为 40%。但是，根据具体情况，恢复率可能会有很大差异。投资者通常会对回收率做出假设，而估计会受到宏观经济因素的影响。本讲座最后介绍了使用基准债券价格和复制过程来估计涉及多种货币的情景中的价格的风险曲线估计。
在整个讲座中，Andreev 教授提供了大量示例、方程式和见解，以加深听众对复杂金融产品的定价和对冲的理解。涵盖的主题范围从统计分析和预测到各种数学模型的复杂性，最终为对该领域感兴趣的个人提供有价值的知识。
Stefan Andreev 教授介绍了使用数学模型为债券定价的概念以及对冲违约和外汇波动的重要性。他通过示例演示了该过程，并强调需要准确估计危险率和恢复率。
该讲座探讨了 Quanto 信用对冲策略，该策略涉及构建美元和欧元债券的投资组合以对冲信用风险。债券的价值是通过考虑汇率和预期收益来确定的。该模型考虑了违约概率和跳跃规模，需要随着时间的推移动态投资组合再平衡。
该视频深入探讨了为 Quanto Credit Hedging 策略推导美元和欧元债券的价格。演讲者解释了确定 tau 大于 T 或小于 T 的概率以及 S_T 的预期值所涉及的计算。通过分析两种债券名义价值的比率，提出了对冲组合策略。
演讲者进一步扩展了 Quanto 信用对冲模型以纳入非零回收率。此扩展允许交易者对以外币计价的信用或有合约和信用违约掉期进行定价，从而提供更准确的对冲比率。尽管扩展模型的校准变得更具挑战性，但 Andreev 教授强调了它在理解复杂数学模型方面的重要性。
该视频还讨论了使用 Ito 引理来解释扩散和跳跃过程时出现的复杂情况。演讲者建议采用蒙特卡洛模拟来验证计算结果的准确性。现实生活中的模型被认为更为复杂，通常包含与外汇等其他因素相关的随机利率和风险率。
此外，该讲座强调，违约后的恢复估计各不相同，通常设定为惯例，例如主权国家为 25%，企业为 40%。但是，这些值不是固定的，可能因特定公司而异。估计回收率涉及考虑宏观经济因素，尽管它仍然是一个主观概念，投资者通常依赖于假设。
为了估计风险率 (h) 和 J，Andreev 教授解释了债券价格的使用。通过采用已知价格的基准债券，可以构建风险曲线。复制这些基准债券有助于估计每个债券价格的 h 值。当涉及多种货币时，过程变得更加复杂，需要复制多个过程来估算价格。在债券支付息票的情况下，必须考虑所有息票支付并计算它们的期望。
总的来说，Stefan Andreev 教授的讲座为外汇、利率和信贷等复杂产品的定价和对冲提供了宝贵的见解。通过详细的解释、示例和数学模型，他阐明了信贷对冲、债券定价以及风险率和恢复率估计的复杂性。
24. 利率和信贷的 HJM 模型
24. 利率和信贷的 HJM 模型
在本节中，摩根士丹利的金融专家丹尼斯·戈罗霍夫 (Denis Gorokhov) 讨论了 HJM 模型 (Heath-Jarrow-Morton) 及其在定价和对冲异国金融产品（包括信用衍生品和双范围应计）中的应用。 HJM 模型是一个强大的框架，被摩根士丹利和高盛等主要银行用来高效交易各种类型的奇异衍生品并满足客户需求。
戈罗霍夫将 HJM 模型与理论物理学进行了比较，强调它提供了可解决的模型和复杂的问题。它使银行能够准确地以数字方式为各种奇特的衍生品定价。他强调了市场的波动性和随机性，以及它们如何影响需要有效对冲策略的衍生品交易者。
本讲座介绍了从随机过程开始衍生定价模型的概念，并使用对数正态动力学作为股票价格变动的基本模型。该模型包含一个称为漂移的确定性成分和一个称为扩散的随机成分，后者捕捉随机性对股票价格的影响。使用这个模型，可以推导出 Black-Scholes 公式，允许计算给定时间股票的概率分布，并使衍生品的定价成为可能，收益取决于股票价格。
然后在利率和信贷的背景下专门讨论 HJM 模型。讲师将利率的动态解释为对数正态过程，确保股票价格不会为负。介绍了 HJM 模型中衍生品定价理论的基石 Ito 引理并解释了其推导。 Ito 引理有助于区分随机变量的函数，促进衍生品的建模和定价。
HJM 模型中使用的方程的格林函数被强调为类似于股票价格的概率分布函数。在风险中性空间中，所有资产的漂移都是利率，动态对冲变得至关重要，只有波动率参数影响期权定价。蒙特卡洛模拟用于模拟股票价格和其他金融变量，从而能够计算衍生品价格。这种模拟方法是适用于金融领域各个领域的强大工具。
讲座还深入探讨了贴现因子的概念及其在金融中的意义。解释了作为非增加贴现因子的方便参数化的远期利率。讨论了代表不同期限与相关利率之间关系的收益率曲线。通常，收益率曲线向上倾斜，表明长期借款的利率较高。
互换市场是作为不同期限的固定支付价值的提供者引入的。通过将这些付款相加，可以确定掉期利率。该利率有助于了解未来付款的现值或今天投资以支付未来固定利率付款的价值。
总之，讲座强调了风险中性定价在评估大型银行发行的奇异衍生品和证券价值时的重要性。它强调了 HJM 模型、蒙特卡罗模拟以及对利率、信贷和贴现因素在这些复杂金融工具的定价和对冲中的作用。
25.罗斯恢复定理
25.罗斯恢复定理
在本视频中，Peter Carr 深入探讨了罗斯恢复定理及其在从市场价格中提取市场信念方面的应用。该定理引入了三种概率测度：物理、风险中性和新引入的恢复概率测度。这些措施允许根据衍生品的市场价格识别与未来事件相关的自然概率。
Carr 首先解释了 Arrow-Debreu 证券的概念，这是一种基于标的资产的预定价格水平支付的数字期权。他深入研究了这些证券和二元期权的价格估算。然后重点转移到单变量扩散设置中的计量技术变化，该技术用于根据罗斯恢复定理得出结果。
演讲者强调了有助于从市场价格中提取市场信念的假设。他强调了罗斯在不依赖任何额外假设的情况下识别这些信念的成就，展示了恢复定理的力量。通过探索计量投资组合的概念，卡尔解释了增长最优投资组合与现实世界增长率之间的关系。
该视频进一步讨论了凯利准则、奇异期权和普通期权，以及数字期权与市场信念之间的联系。它涉及将理论扩展到无界状态空间所面临的挑战，以及在整个讨论过程中做出的各种假设。
卡尔最后详细研究了罗斯的恢复定理，强调了其确定市场信念的非参数方法，而不需要特定的市场风险规避参数。他强调罗斯有能力从市场价格中提取市场信念，而无需调用关于代表性投资者或其效用函数的假设。
总的来说，本视频全面探讨了罗斯恢复定理、其应用及其方法背后的假设。卡尔的解释为从市场价格中提取市场信念的理论及其实际意义提供了宝贵的见解。
26.交易对手信用风险简介
26.交易对手信用风险简介
这段综合视频深入探讨了交易对手信用风险 (CCR) 和信用价值调整 (CVA) 及其在衍生品定价中的重要性。演讲者强调将 CVA 纳入衍生品定价，因为它不仅会影响按市值计价的价值，还会引入因违约风险而异的投资组合效应。强调 CVA 的准确定价，重点关注非线性投资组合效应以及应收账款和负债不对称引起的复杂性。管理 CCR 的策略（例如抵押和企业级衍生品建模）被讨论为解决交易级模型未捕获的额外风险的方法。由于不同的方法要求和 CCR 对现金市场的影响，该视频还涉及建模投资组合的挑战。
为了进一步深入了解内容，该视频展示了一系列与交易对手信用风险建模相关的主题。其中包括 Schönbucher 的模型、鞅测试、重采样和插值，突出了企业级模型处理非线性投资组合效应和补充贸易级模型的必要性。演讲者详细阐述了寻找 CDS 票面利率或远期 CDS 票面利率的鞅测度，以及鞅测试、重采样和插值以确保满足鞅条件的重要性。探讨了改变概率度量或计量单位以一致地对整个收益率曲线建模的概念，并附有实用公式及其实施。该视频最后承认了对交易组合建模的复杂性，并提出了进一步研究的潜在研究课题。
此外，该视频阐述了 CCR 在场外衍生品交易中的重要性，强调违约事件可能导致预期应收账款的损失。引入 CVA 作为一种通过考虑交易对手信用风险来调整按市值计价的方法，类似于公司债券的风险。讨论了 CCR 对资本要求、估值和股本回报率的影响，并举例说明交易对手违约时交易估值如何从表观收益转变为亏损。审查了各种风险类别，例如利率风险和流动资金风险，并强调了管理 CCR 的策略，例如 CVA 和 CV Trading。
此外，视频还介绍了负债CVA的概念，重点关注应付方以及银行或专家违约的可能性。它强调了通过了解所有涉及的交易（包括非线性期权类收益）来准确定价 CVA 的重要性。交易对手信用风险和流动性融资风险带来的挑战通过卖出看跌期权的场景得到例证，沃伦巴菲特的交易作为案例研究。该视频还讨论了管理 CCR、探索信用挂钩票据的使用以及对信用利差和债券发行的影响。此外，它还深入探讨了与交易对手信用风险建模相关的困难以及对现金市场的影响，强调抵押作为一种替代方案，并建议从交易商处购买抵押信用保护作为一种可能的策略。强调企业级衍生品建模是理解交易对手信用风险的一个重要方面。
此外，还讨论了交易级衍生品模型的局限性，强调企业级模型需要捕捉额外的风险，例如非线性投资组合风险。解释了建模投资组合所涉及的复杂性，包括每笔交易的方法要求的变化。引入模拟、鞅测试和重采样作为解决数值不准确和确保满足鞅条件的技术。演讲者还探讨了远期掉期利率、远期外汇利率，以及它们与特定衡量标准和计价资产下的鞅的关系。展示了 Schönbucher 的模型，重点关注生存措施、鞅措施以及寻找 CDS 票面息票或远期 CDS 票面利率的鞅措施的复杂性。该视频解释了如何使用 Radon-Nikodym 导数定义生存概率度量，并强调需要单独考虑模型中违约的影响。
此外，演讲者还深入探讨了对手方信用风险建模的鞅测试、重采样和插值。 Martingale 测试涉及确保数值近似满足模型公式的条件。如果出现差异，则采用鞅重采样来纠正这些错误。另一方面，当模型需要一个未明确可用的期限结构时，将使用 Martingale 插值，允许在保持 Mar 关系的同时进行插值。演讲者提供了对插值和重采样过程的见解，以满足每个期限结构点的鞅条件。
该视频强调了适当的自变量对于插值的重要性，因为它保证了插值量自动满足鞅目标的所有条件。解释了鞅测度的识别，远期 LIBOR 作为远期测度中的鞅。演讲者指出了改变概率度量或计量单位以一致地模拟整个收益率曲线的重要性，这是通过直接改变计量单位来实现的。
此外，企业级模型的重要性在管理非线性投资组合效应和利用贸易级模型进行鞅测试、重采样和插值方面得到强调。这些模型对于有效处理交易对手信用风险以及与融资流动性和资本相关的风险至关重要。演讲者承认时间有限，但请感兴趣的观众参阅幻灯片的第 22 页以获取其他示例。教授们对学生在整个课程中的奉献精神和辛勤工作表示赞赏，同时将自己作为未来探究的资源，结束了讲座。他们还宣布该课程将在即将到来的秋季重修，并可能进行修改和改进，鼓励学生访问课程网站以获取更多信息。
总的来说，这段综合视频详细探讨了交易对手信用风险及其对衍生品定价的影响。它涵盖了 CCR、CVA、企业级模型、鞅测试、重采样和插值等关键概念。该视频提供了管理交易对手信用风险的实际示例和见解，强调了准确定价的重要性，并解决了交易层面模型之外的其他风险。