Quantitative trading - страница 15
Вы упускаете торговые возможности:
- Бесплатные приложения для трейдинга
- 8 000+ сигналов для копирования
- Экономические новости для анализа финансовых рынков
Регистрация
Вход
Вы принимаете политику сайта и условия использования
Если у вас нет учетной записи, зарегистрируйтесь
Курс финансовой инженерии: Лекция 3/14, часть 2/2, (Структура HJM)
Курс финансовой инженерии: Лекция 3/14, часть 2/2, (Структура HJM)
В лекции основное внимание уделяется структуре HJM и ее предположениям для моделирования процентных ставок. Лектор начинает с обсуждения безарбитражных условий в рамках HJM, которые имеют решающее значение для любой модели процентной ставки в рамках этой структуры. Эти условия гарантируют, что каждый актив, дисконтированный с помощью денежного сберегательного счета, ведет себя как мартингейл. Применяя формулу Ито к облигациям с нулевым купоном и денежному сберегательному счету, можно получить динамику актива, деленного на денежный сберегательный счет, что приводит к знаменитой лемме HJM о безарбитражных условиях для мгновенных форвардных ставок.
Затем лектор исследует, как определяется дрейф мгновенных форвардных курсов в рамках HJM. Волатильность мгновенного форвардного курса играет ключевую роль в определении дрейфа, если кто-то хочет быть в нейтральном к риску и свободном от арбитража мире. Лектор объясняет, что для моделирования коротких курсов или мгновенных форвардных курсов необходимо указать волатильность для мгновенного форвардного курса. Как только это определено, становится известна динамика мгновенного форвардного курса, что обеспечивает среду без арбитража. Лекция также охватывает расчет динамики короткой ставки, который включает кривую погашения, постоянную детерминированную функцию и интеграл по отношению к частной производной волатильности.
В лекции также рассматриваются практические аспекты структуры HJM. Лектор обсуждает, как можно создать различные модели коротких ставок, указав волатильность в рамках структуры. Постоянная волатильность представлена как простейшая форма, позволяющая вычислить альфа-функцию при условии HJM. Затем можно получить динамику краткосрочной ставки, заменив заданные сигма и альфа в структуре, используя в качестве входных данных кривую облигаций с нулевым купоном. Важность кривой доходности, которая оценивается по рыночным инструментам, подчеркивается как ключевой компонент в ценообразовании процентных деривативов.
Особое внимание уделено модели Ули, которая относится к аффинному классу процессов и предлагает зависящие от времени параметры дрейфа и сигмы. Лектор объясняет, как эта модель позволяет рассчитывать облигации с нулевым купоном в экспоненциальной форме без необходимости вложенных симуляций Монте-Карло, тем самым экономя вычислительную мощность. Явно выражена связь между короткими ставками и известными детерминированными функциями в b, и упомянуто потенциальное использование алгоритма Лонгстаффа-Шварца для оценки ожиданий.
В лекции также подчеркивается важность представления моделей элегантным и простым способом. Структура HJM признана мощным инструментом для достижения этой цели. Эксперимент Python проводится, чтобы продемонстрировать, как можно использовать смоделированные пути для расчета облигаций с нулевым купоном, сравнивая их с входной доходностью. Подчеркивается, что структура HJM гарантирует, что смоделированные пути всегда дают те же облигации с нулевым купоном, что и те, которые включены во входные данные доходности.
Методы моделирования методом Монте-Карло в рамках HJM обсуждаются как средства построения кривых доходности. Лектор представляет подход, который включает определение кривой доходности, оценку кривой нулевого компонента и расчет параметров тета и сигма. Затем выполняется моделирование методом Монте-Карло, и полученные коэффициенты дисконтирования используются для построения кривых облигаций с нулевым купоном на основе модели и рынка. Лектор демонстрирует гибкость подхода к обработке изменений значений параметров и подчеркивает идеальное соответствие между входной и выходной доходностью.
Калибровка моделей в рамках HJM также рассматривается с упором на преимущество калибровки соответствующих продуктов без необходимости отдельной калибровки кривой доходности. Обсуждаются трудности, часто возникающие при калибровке кривой доходности, и подчеркиваются преимущества модели HJM в этом отношении. Объясняется вывод модели постоянной волатильности в моделях коротких ставок с использованием допущений HJM, демонстрируя упрощенную форму динамики коротких ставок, которая облегчает оценку модели.
Лекция завершается подведением итогов основных моментов и предоставлением студентам трех упражнений для применения изученных концепций и вычислений. Упражнения включают расчет динамики Ито,
Курс финансовой инженерии: Лекция 4/14, часть 1/2 (Динамика кривой доходности при короткой ставке)
Курс финансовой инженерии: Лекция 4/14, часть 1/2 (Динамика кривой доходности при короткой ставке)
Ведущий читает информативную лекцию о моделях коротких ставок и их связи с динамикой кривой доходности. Они начинают с введения концепции моделей коротких ставок и обсуждения их актуальности. Чтобы улучшить понимание, они расширяют обсуждение от однофакторной модели холодного белого до более полной многофакторной модели, проводя по ходу несколько симуляций.
Далее следует всестороннее введение в кривые доходности с исследованием различных форм кривых доходности и их связи с динамикой коротких ставок. Ведущий устанавливает связь этих концепций с реальными рыночными экспериментами, проливая свет на их практическое применение. Исследуя ограничения однофакторной модели, докладчик также представляет возможные решения, включая построение и моделирование двухфакторной модели.
В следующем сегменте инструктор фокусируется на процессах возврата к среднему и демонстрирует, как генерировать пути для этих процессов. Они представляют собой трехмерный график, демонстрирующий распределение процентных ставок во времени. Представляя преобразование под названием «yt», инструктор объясняет, как этот процесс извлекает часть, возвращающую среднее значение, из всей белой модели. Применяя лемму Ито к yt и подставляя динамику всей белой модели, они получают решение для распределения белой модели.
Динамика yt занимает центральное место, поскольку лектор подчеркивает ее независимость от стохастической составляющей, эффективно устраняя зависимость от rt и yt. Они переходят к поиску решения для процесса rt путем интеграции. Решение для всей модели скорости включает в себя константу масштабирования, функцию дрейфа, зависящую от времени, компонент волатильности с показателем степени и коэффициент затухания. Детерминированный характер выражения упрощает интегрирование зависящих от времени функций, а результирующий интеграл имеет нормальное распределение. Следовательно, rt следует нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией, где долгосрочное математическое ожидание сходится к тета-функции t. Также кратко обсуждается класс процессов аффинной диффузии.
Переходя к процессам скачкообразной диффузии, лектор углубляется в характеристики, характерные для модели Халла-Уайта и моделей процентных ставок. Они подчеркивают, что модель Халла-Уайта относится к классу процессов аффинной скачкообразной диффузии, что позволяет вывести характеристическую функцию для этого процесса и аналитические выражения для бескупонных связей. Подробно объясняется вывод характеристической функции и применение разложения модели Халла-Уайта. Параметры, зависящие от времени, идентифицируются как существенные факторы, влияющие на функции модели, с возможностью вывести их за пределы ожидаемого.
Профессор переходит к обсуждению решения модели и подчеркивает важность теоремы Дюпи-Даффи-Синглтона. Они объясняют, что решение принимает форму уравнения типа Риккати, а теорема облегчает вывод функций A и B. Значение этой теоремы состоит в том, что условное математическое ожидание выражается исключительно в терминах зависимости в конкретной точке Rt путей, таким образом улучшение симуляции. Эта функция оказывается особенно полезной для оценки портфеля, требующей нескольких вложенных симуляций Монте-Карло. Кроме того, закрытая форма и простота реализации функций A и B делают эти модели очень популярными в отрасли, позволяя избежать дорогостоящей повторной калибровки и эффективно калибруя динамику кривой доходности.
Преподаватель обращает внимание на мощное выражение, которое позволяет оценивать облигации с нулевым купоном, не прибегая к вложенным симуляциям Монте-Карло. Это выражение устраняет необходимость в дополнительном моделировании, значительно повышая эффективность ценовых свопов с длительным сроком погашения. Функции A и B, которые зависят от зрелости, играют ключевую роль в этом процессе и могут быть непосредственно оценены. Лектор приводит отношения в закрытой форме между облигациями с нулевым купоном и функциями A и B, включая тета-функцию, волатильность и минимальную версию спидометра. Более того, они демонстрируют два подхода к оценке облигаций с нулевым купоном из модели: с использованием аналитического выражения или без интегрирования.
В продолжение лекции инструктор объясняет, как рассчитать облигации с нулевым купоном в рамках полностью белой модели, используя более быстрый и эффективный метод, чем метод вложенного моделирования Монте-Карло. Они представляют выражение для облигации с нулевым купоном как функцию переменных a и b, а также самой короткой мгновенной форвардной ставки r0. Этот метод оказывается более выгодным с точки зрения скорости и эффективности по сравнению с предыдущим подходом к вложенному моделированию Монте-Карло. Также подчеркивается важность кривой доходности в определении текущей стоимости будущих денежных потоков. Кривая доходности служит важным инструментом для сопоставления котировок ликвидных инструментов с единой кривой, при этом различные сроки погашения облигаций с нулевым купоном используются для построения форвардных ставок. Основная цель кривой доходности состоит в том, чтобы обеспечить ожидание будущих ставок при различных сценариях.
В лекции также рассматривается важность выбора наиболее ликвидных инструментов при построении кривой доходности. Эти инструменты выбраны из-за их частого использования в хеджировании и ценообразовании экзотических деривативов. Обсуждается интерполяция точек на кривой доходности, поскольку она может оказать существенное влияние на общую кривую дисконта, используемую в расчетах. Кроме того, кривая доходности рассматривается как опережающий индикатор экономического направления страны, и на нее может влиять денежно-кредитная политика центральных банков. Объясняется сопоставление облигаций с нулевым купоном с доходностью, при этом доходность обычно выражается в виде эффективных ставок в единицах лет. Отмечается, что кривая доходности отражает не только ожидания по процентным ставкам, но и отношение инвесторов к риску и их предпочтение облигаций с разным сроком погашения.
Продолжая лекцию, лектор объясняет механику кривых доходности и их зависимость от спроса на краткосрочные облигации. Кривые доходности представлены набором узлов, каждый из которых связан с соответствующей парой. Эти пары используются для определения точек хребта на кривой, а сама кривая представляет собой функцию, которая отображает набор нулевых скоростей в действительные числа. Для определения точек стержня используются калибровочные инструменты, и метод интерполяции между этими точками может варьироваться в зависимости от рыночных соглашений или предпочтений отдельных трейдеров. Эта интерполяция необходима для получения значений связи между точками хребта. Также подробно обсуждаются сопоставление бескупонных облигаций с кривой доходности и построение кривой доходности.
Докладчик подчеркивает решающую роль интерполяции в расчете стоимости облигаций и подчеркивает ее влияние на эффективность хеджирования. Выбор метода интерполяции существенно влияет на чувствительность и риски, связанные с кривыми доходности. Кроме того, построение кривой доходности оказывает глубокое влияние на стратегии хеджирования. В лекции рассматриваются соглашения, касающиеся наименования кривых доходности и доходности, с конкретными примерами, такими как пятипроцентная доходность за пять лет, связанная с облигациями с нулевым купоном и точками перегиба на кривой доходности. Сессия завершается предзнаменованием следующего сегмента, в котором более подробно исследуется построение кривой доходности, рассматривается чувствительность инструментов, влияние различных методов интерполяции и влияние интерполяции на эффективность хеджирования.
В следующей части лекции докладчик подчеркивает важность точного расчета доходности и подчеркивает необходимость использования полного выражения вместо того, чтобы полагаться исключительно на ожидание одного термина. Это связано с тем, что интегральная и экспоненциальная функции не имеют эквивалентных математических ожиданий. Вводится динамика кривой доходности и исследуются различные формы кривых доходности, включая нормальную кривую доходности, которая указывает на здоровую экономику. Спикер также объясняет, как центральные банки используют количественное смягчение для снижения краткосрочных ставок, что, следовательно, влияет на форму кривой доходности.
Преподаватель обсуждает различные формы кривых доходности, включая плоскую кривую и перевернутую кривую доходности. Последнее обычно связано с рыночными кризисами или надвигающимися кризисами. Это представляет собой переход от нормальной кривой к перевернутой кривой и может привести к тому, что банки не будут выдавать больше кредитов, что приведет к ограниченному стимулированию экономики в целом. В лекции представлен график Казначейства США, показывающий динамику кривой доходности с течением времени, что дает представление о будущих экономических тенденциях. Также рассматривается параллельный сдвиг кривых доходности и его влияние на позиции в области процентных ставок.
Сместив акцент на динамику кривой доходности по коротким ставкам, лектор представляет видеодемонстрацию, демонстрирующую динамику кривой доходности. На видео синяя линия представляет собой эффективную ставку по федеральным фондам, которую можно считать короткой ставкой, поскольку она отражает ставки овернайт. Зеленая линия соответствует предполагаемой рынком доходности, представляющей рыночные ожидания. Видео иллюстрирует различные кризисы, такие как финансовый кризис 2008 года, когда кривая доходности стала плоской и перевернутой, что привело к тому, что инвесторы перешли с фондового рынка на казначейские облигации.
Лектор дает ссылку на видео, побуждая зрителей самостоятельно исследовать динамику кривой доходности. Понимание взаимосвязи между короткими ставками и движениями кривой доходности необходимо для эффективного управления рисками. Путем моделирования коротких ставок и построения кривых доходности для каждого пути с использованием формул, включающих облигации с нулевым купоном, можно получить представление о динамике и поведении кривых доходности.
Опираясь на это понимание, следующая часть лекции будет посвящена более реалистичной динамике кривой доходности, полученной на основе коротких ставок. Это исследование направлено на то, чтобы обеспечить всестороннее понимание взаимодействия между короткими ставками и кривыми доходности, что позволит лучше оценивать риски и управлять ими на финансовых рынках.
Курс финансовой инженерии: Лекция 4/14, часть 2/2 (Динамика кривой доходности при короткой ставке)
Курс финансовой инженерии: Лекция 4/14, часть 2/2 (Динамика кривой доходности при короткой ставке)
Преподаватель углубляется в тему моделирования моделей коротких ставок и их применения для измерения динамики кривых доходности. Кривые доходности отражают ожидания рынка относительно будущих доходностей и зависят от восприятия и ожиданий рынка. Чтобы проанализировать эту динамику, инструктор представляет эксперимент, который включает в себя наблюдение за непрерывно начисляемой процентной ставкой для каждой реализации короткой процентной ставки и построение кривых доходности для каждого сценария. Это моделирование помогает оценить реалистичность модели краткосрочной ставки и управляющей функции тета t. Реальные рыночные данные используются в этом эксперименте для повышения точности.
Лектор подчеркивает полезность моделирования коротких ставок для анализа рисков. Создавая кривые доходности для различных сценариев, становится возможным оценить текущую стоимость портфеля, состоящего из продуктов с процентной ставкой. Чтобы продемонстрировать это, лектор моделирует несколько путей для коротких ставок и вычисляет облигации с нулевым купоном для каждого пути. Интересно, что в лекции отмечается, что кривые доходности, построенные с использованием полностью белой модели, демонстрируют параллельный сдвиг, что на практике нереально. Лекция завершается демонстрацией кода Python, используемого для создания кривых доходности.
Продолжая обсуждение, подчеркивается важность наличия континуума в облигациях с нулевым купоном для расчета функции тета. В лекции подчеркивается важность интерполяции, в частности интерполяции самой скорости вместо показателя степени, для обеспечения числовой стабильности. Исследуются различные варианты интерполяции и количества точек для расчета облигаций. Кроме того, лекция посвящена моделированию и созданию облигаций с нулевым купоном и доходностью, подчеркивая важность последовательной и надежной реализации этих процессов. Наконец, в лекции представлена кривая доходности, построенная на основе рыночных данных, и смоделированные пути Монте-Карло мировой модели, показывающие здоровую, но удивительно низкую ставку.
Лекция переходит к рассмотрению ограничений полностью белой модели. Хотя модель позволяет откалибровать всю кривую доходности, она не позволяет откалибровать всю форвардную кривую, что является общим ограничением в большинстве моделей коротких ставок. Чтобы преодолеть это ограничение, лектор представляет модель рынка труда, которая хорошо подходит для работы с форвардной кривой и калибровкой кривой доходности. Кроме того, полностью белая модель сталкивается с проблемами с идеально коррелированными нулевыми компонентами, что еще больше снижает ее эффективность.
Далее обсуждаются ограничения однофакторной модели Халла-Уайта. Эти ограничения включают высокую корреляцию между облигациями с близкими сроками погашения и более низкую корреляцию для облигаций с отдаленными сроками погашения, что делает невозможным калибровку модели на всю временную структуру различных процентных ставок. Модель также считается непригодной для целей управления рисками, поскольку она предполагает корреляцию, равную единице, между облигациями с нулевым купоном и динамикой коротких ставок. Для решения этих проблем введено расширение двухфакторной модели Халла-Уайта. Однако это расширение в основном используется для управления рисками и анализа сценариев, а не для ценообразования. Объясняется динамика двухфакторной модели, где первый фактор представляет собой уровень кривой доходности, а второй фактор представляет собой асимметрию кривой доходности.
Лектор переходит к обсуждению гауссовской двухфакторной модели Халла-Уайта, которая является разновидностью однофакторной модели. Представлено сравнение между двумя моделями, подчеркнуто, что значения параметров могут различаться при переключении между ними. В лекции освещаются преимущества гауссовой двухфакторной модели Халла-Уайта с точки зрения моделирования процессов и ее эффективной реализации в симуляциях методом Монте-Карло. В лекции исследуется интегральная функция модели и ее применение в ценообразовании облигаций с нулевым купоном.
Затем объясняется моделирование кривых доходности для данных реализаций с использованием полностью белой двухфакторной модели. Облигация с нулевым купоном для этой модели имеет замкнутую аналитическую форму и включает систему гауссовых процессов. Моделирование двухфакторной модели Гаусса предполагает моделирование двух процессов возврата к среднему, которые соответствуют временной структуре, с использованием выражений для волатильности и коэффициентов корреляции. В лекции проводится различие между процессами X и Y, где X представляет собой уровень кривой доходности, а Y представляет собой крутизну или асимметрию кривой. Корреляция между двумя броуновскими движениями, связанными с этими процессами, является отрицательной, что указывает на ужесточение кривой.
В лекции также рассматривается корреляция между связями при применении того же метода к двухфакторной модели. В отличие от однофакторной модели корреляция между соответствующими доходами не равна единице в двухфакторной модели. Этот вывод подтверждает, что добавление дополнительного фактора в модель приводит к более реалистичной форме подразумеваемой волатильности, особенно при ценовых ограничениях. Однако важно отметить, что увеличение числа факторов в модели усложняет и затрудняет калибровку. Несмотря на это, двухфакторная модель постоянно генерирует одну и ту же кривую доходности, что делает ее основой AJM (безарбитражная совместная модель).
Далее в лекции обсуждаются ограничения включения большего количества факторов в модель Гаусса. Объясняется, что даже при большом количестве параметров гибкость в отношении подразумеваемой волатильности остается ограниченной из-за отсутствия стохастической волатильности. Затем лекция переходит к моделированию путей для двухфакторной модели, исследуя доходность кривой доходности, подразумеваемую полностью белой двухфакторной моделью с дополнительными коэффициентами корреляции. Результирующие выходы демонстрируют не только параллельный сдвиг, но также отражают влияние корреляций и динамики. Эта функция оказывается полезной для целей управления рисками. Лектор завершает этот раздел, рассказывая о коде Python, используемом для моделирования.
Подчеркивая важность выбора соответствующих методов интерполяции при моделировании кривых доходности, лектор подчеркивает, что выбор метода интерполяции может существенно повлиять на результаты. В следующих лекциях будут рассмотрены такие темы, как восстановление доходности, влияние различных интерполяций, типичные ошибки, которых следует избегать, и методы обеспечения реалистичной интерполяции. Кроме того, лекция вводит понятие сетки для облигаций с нулевым купоном. Проводится сравнение между облигациями с нулевым купоном, созданными на рынке, и облигациями, рассчитанными с использованием модели Халла-Уайта. Выполняется моделирование Монте-Карло, генерирующее кривые доходности как для однофакторной, так и для двухфакторной моделей за десятилетний период. Лекция завершается сравнением расчетов доходности, полученных по этим двум моделям.
Далее лекция посвящена представлению результатов моделирования для двухфакторной модели динамики кривой доходности. Эти результаты сравниваются с результатами однофакторной модели, а также с аналитическими результатами, полученными на рынке. Становится очевидным, что двухфакторная модель дает более реалистичное и полное представление динамики кривой доходности. Хотя общая волатильность в двухфакторной модели выше из-за дополнительного фактора волатильности, это существенно не меняет общую картину. Ключевым выводом является то, что включение дополнительного фактора в двухфакторную модель Гаусса приводит к гораздо более реалистичному описанию динамики доходности в моделировании Монте-Карло. Наконец, лектор резюмирует основные выводы из лекции, включая решение модели Халла-Уайта и связывание бескупонных облигаций с характеристической функцией, а также кратко знакомит с построением кривой доходности и ее ограничениями.
В заключение лекции обсуждаются ограничения модели Cool White. Эти ограничения в первую очередь связаны с корреляцией между облигациями с разными сроками погашения и невозможностью калибровки модели для широкого спектра инструментов на рынке из-за ее ограниченного набора параметров. Чтобы решить эти проблемы, в лекции предлагается расширить модель до двухфакторной структуры, что позволяет ослабить предположение об идеальной корреляции между облигациями с нулевым купоном. Лекция завершается тем, что в качестве домашнего задания даются два упражнения: одно включает ожидания в рамках t прямой меры, а другое — использование преобразований Лапласа для демонстрации определенных ожиданий.
На протяжении всей лекции становится очевидной важность понимания и выбора подходящих моделей для анализа рисков и динамики кривой доходности. Хотя модель Халла-Уайта и ее вариации предлагают ценные идеи и инструменты, важно признать их ограничения и изучить альтернативные модели для решения конкретных задач.
Одной из таких альтернативных моделей, представленных в лекции, является Модель рынка труда, которая предлагает решение ограничения модели Халла-Уайта при калибровке всей форвардной кривой. Модель рынка труда позволяет выполнять более полную калибровку как форвардной кривой, так и кривой доходности, что делает ее подходящим выбором для определенных приложений управления рисками.
Кроме того, в лекции подчеркивается значение методов интерполяции в моделировании кривой доходности. Выбор правильного метода интерполяции имеет решающее значение для точного отражения поведения и формы кривой доходности. Лектор подчеркивает, что интерполяция — это не просто техническая деталь, а искусство, требующее тщательного рассмотрения и понимания лежащей в основе динамики. Чтобы проиллюстрировать влияние интерполяции, в лекции предлагается сравнение кривых доходности, построенных на основе рыночных данных, и кривых, рассчитанных с использованием модели Халла-Уайта. Лектор демонстрирует, как различные варианты интерполяции могут привести к различным формам и значениям кривой доходности. Этот анализ подчеркивает важность выбора метода интерполяции, который соответствует желаемым характеристикам и реалистичности кривой доходности.
По ходу лекции всплывает тема моделирования кривых доходности для различных сценариев. Моделирование методом Монте-Карло оказалось ценным инструментом для построения кривых доходности и оценки потенциальных рисков, связанных с процентными продуктами. Путем моделирования нескольких путей для коротких ставок и расчета бескупонных облигаций для каждого пути аналитики могут оценить текущую стоимость портфеля процентных продуктов при различных рыночных сценариях.
Лекция завершается демонстрацией кода Python, используемого для построения кривых доходности. Кодекс демонстрирует практическую реализацию концепций, обсуждаемых на протяжении всей лекции, предлагая учащимся практический опыт и укрепляя их понимание предмета.
Таким образом, лекция представляет собой углубленное исследование моделей коротких ставок, динамики кривой доходности и их значения для анализа рисков. В нем обсуждаются ограничения модели Халла-Уайта и вводятся альтернативные модели, такие как модель рынка труда и гауссовская двухфакторная модель Халла-Уайта. Подчеркивается важность выбора подходящих методов интерполяции и проведения моделирования методом Монте-Карло. С помощью примеров и практических демонстраций лекция вооружает слушателей знаниями и инструментами, необходимыми для эффективного моделирования и анализа кривых доходности в различных финансовых контекстах.
Курс финансовой инженерии: Лекция 5/14, часть 1/2 (Продукты процентной ставки)
Курс финансовой инженерии: Лекция 5/14, часть 1/2 (Продукты процентной ставки)
Лекция начинается с представления различных продуктов процентной ставки, таких как процентные свопы, соглашения о форвардных процентных ставках и векселя с плавающей процентной ставкой. Ценообразование этих продуктов зависит от волатильности, такой как этажлеты и куплеты. Лектор подчеркивает, что форвардная ставка LIBOR служит фундаментальным компонентом во всех процентных контрактах.
Обсуждаются линейные и нелинейные продукты, а в лекции рассматривается концепция простой сложной форвардной ставки LIBOR, которая широко используется в продуктах с различными процентными ставками, включая свопы и деривативы. Эта форвардная ставка помогает установить ожидания относительно периода процентной ставки. Важно отметить, что до даты сброса процентная ставка остается стохастической случайной величиной, но после даты сброса она становится фиксированной без какой-либо неопределенности.
Лектор исследует обмен форвардными курсами между двумя контрагентами, что приводит к соглашениям о форвардных курсах. Денежные потоки по этим соглашениям делятся на единицу плюс тау, умноженную на ставку LIBOR, для целей дисконтирования. Форвардная ставка LIBOR определяется на определенный период, и ее определение может относиться к облигациям с нулевым купоном. Ценообразование по соглашению включает использование нейтральной к риску меры и дисконтирования, при этом ключевую роль играют фиксированная ставка и период накопления.
Объясняется понятие торгуемых активов по нейтральной к риску мере, в том числе денежного сберегательного счета, являющихся мартингейлами. Лектор демонстрирует, что стоимость форварда может быть представлена как разница между двумя облигациями, и подчеркивает, что форварды торгуются по нулевой стоимости, подразумевая, что фиксированная ставка должна быть равна этой сумме. В лекции также рассматриваются ноты с плавающей процентной ставкой, которые активно торгуются процентными продуктами. Первоначально платежи по таким контрактам устанавливаются равными нулю, а затем корректируются с учетом удобства отсутствия необходимости платить что-либо при заключении контракта.
Лекция посвящена нотам с плавающей процентной ставкой (FRN), которые определяются на основе ставок LIBOR и включают купоны как доли условной номинальной стоимости, умноженные на периоды начисления. Поскольку ставка LIBOR является стохастической, FRN получает плавающую ставку. Стоимость контракта определяется путем суммирования всех платежей, которые индивидуально дисконтируются до приведенной стоимости с использованием ожиданий в нейтральной к риску мере. Мера для FRN меняется на форвардную меру TK, и для определения ожиданий требуется найти совместное распределение между порожней ставкой и ставкой LIBOR, что имеет решающее значение для расчетов платежей.
Лекция начинается с представления различных продуктов процентной ставки, таких как процентные свопы, соглашения о форвардных процентных ставках и векселя с плавающей процентной ставкой. Ценообразование этих продуктов зависит от волатильности, такой как этажлеты и куплеты. Лектор подчеркивает, что форвардная ставка LIBOR служит фундаментальным компонентом во всех процентных контрактах.
Обсуждаются линейные и нелинейные продукты, а в лекции рассматривается концепция простой сложной форвардной ставки LIBOR, которая широко используется в продуктах с различными процентными ставками, включая свопы и деривативы. Эта форвардная ставка помогает установить ожидания относительно периода процентной ставки. Важно отметить, что до даты сброса процентная ставка остается стохастической случайной величиной, но после даты сброса она становится фиксированной без какой-либо неопределенности.
Лектор исследует обмен форвардными курсами между двумя контрагентами, что приводит к соглашениям о форвардных курсах. Денежные потоки по этим соглашениям делятся на единицу плюс тау, умноженную на ставку LIBOR, для целей дисконтирования. Форвардная ставка LIBOR определяется на определенный период, и ее определение может относиться к облигациям с нулевым купоном. Ценообразование по соглашению включает использование нейтральной к риску меры и дисконтирования, при этом ключевую роль играют фиксированная ставка и период накопления.
Объясняется понятие торгуемых активов по нейтральной к риску мере, в том числе денежного сберегательного счета, являющихся мартингейлами. Лектор демонстрирует, что стоимость форварда может быть представлена как разница между двумя облигациями, и подчеркивает, что форварды торгуются по нулевой стоимости, подразумевая, что фиксированная ставка должна быть равна этой сумме. В лекции также рассматриваются ноты с плавающей процентной ставкой, которые активно торгуются процентными продуктами. Первоначально платежи по таким контрактам устанавливаются равными нулю, а затем корректируются с учетом удобства отсутствия необходимости платить что-либо при заключении контракта.
Лекция посвящена нотам с плавающей процентной ставкой (FRN), которые определяются на основе ставок LIBOR и включают купоны как доли условной номинальной стоимости, умноженные на периоды начисления. Поскольку ставка LIBOR является стохастической, FRN получает плавающую ставку. Стоимость контракта определяется путем суммирования всех платежей, которые индивидуально дисконтируются до приведенной стоимости с использованием ожиданий в нейтральной к риску мере. Мера для FRN меняется на форвардную меру TK, и для определения ожиданий требуется найти совместное распределение между порожней ставкой и ставкой LIBOR, что имеет решающее значение для расчетов платежей.
В лекции рассматривается несоответствие между датами платежа и датами измерения и подчеркивается необходимость правильной оценки. Мера соответствует числителю в графике платежей, и любые исправления или корректировки необходимы, если она не совпадает должным образом. Libor с выплатой в момент времени tk в соответствии с форвардной мерой tk представляет собой мартингейл, позволяющий оценивать облигации с плавающей процентной ставкой. Уравнение ценообразования включает в себя ожидание ставки Libor за определенный период, а контракт называется свопом, когда одна сторона получает платеж, а другая платит на основе фиксированных ставок.
Подробно обсуждаются своп-контракты, предполагающие обмен денежными потоками в течение определенного периода. Свопы обычно используются для хеджирования рисков на ипотечном рынке. Существует два варианта: плательщик свопа, когда физическое лицо платит фиксированную ставку, а получает плавающую, и получатель свопа, когда физическое лицо получает фиксированную ставку, а платит плавающую. Условная сумма может быть детерминированной, стохастической или затухающей во времени, а частота платежей может варьироваться. Фиксированная часть остается постоянной, а плавающая часть несет в себе неопределенность, связанную с динамикой ставки LIBOR.
В лекции подчеркивается важность хеджирования в финансовой инженерии, особенно в контрактах со стохастическими платежами. Хеджирование имеет решающее значение для компенсации потенциальных убытков из-за колебаний базовых активов, когда у финансового учреждения есть обязательства по получению платежей с фиксированной или плавающей процентной ставкой.
Лектор продолжает объяснять, как можно рассчитать стоимость своп-контракта, используя суммирование периодов накопления по облигациям с нулевым купоном и установив линейную зависимость между ставкой Libor и страйком. Этот расчет дает представление о стоимости свопа и подчеркивает роль облигаций с нулевым купоном в хеджировании.
Далее в лекции подчеркивается, что стоимость свопа зависит от первого и последнего платежей по облигации и может быть эффективно хеджирована с помощью первого и последнего нулевых купонных облигаций. Фактор аннуитета является важным компонентом при работе со свопами, поскольку он выступает в качестве торгуемого актива. Процентные свопы считаются идеальными инструментами, которые позволяют двум сторонам хеджировать свои конкретные риски, а банки могут использовать их для хеджирования кредитов от физических лиц, что приводит к значительно большим значениям стоимости.
Лекция смещает акцент конкретно на процентные свопы, отмечая, что они часто рассматриваются на уровне портфеля, а начальная стоимость обычно устанавливается равной нулю, что обеспечивает бесплатную сделку. Ставка свопа, то есть страйк, который делает значение свопа равным нулю, может быть выражена как взвешенная сумма ставок Libor. Базовые процентные свопы могут быть оценены без использования базовых допущений модели путем использования инструментов процентной ставки, доступных на рынке, и сопоставления их с кривой доходности. Построение кривой доходности на основе рыночных инструментов будет рассмотрено в следующей лекции.
Лектор углубляется в различные типы понятий в свопе, которые могут быть зависимыми от времени, определяемыми рыночными инструментами или случайными. Дополнительно объясняются условия, необходимые для мартингейла, в том числе использование торгуемых активов или их линейных комбинаций. Подчеркивается, что если используется нелинейная формула, такая как квадрат актива, связь между мерой и активом не может считаться мартингейлом. Применение леммы Ито к квадрату Libor показывает, что L в квадрате не является мартингалом при форвардной мере D из-за наличия эффекта дрейфа.
Лекция продолжается, чтобы объяснить, как оценить своп, используя кривую доходности и модель Хулюмента. Предоставляется спецификация кривой доходности, и с использованием этой модели генерируются свопы для различных страйков. Величина свопа изменяется линейно со страйком, а курс свопа определяется с помощью алгоритма Ньютона-Рафсона. В заключение лекции отмечается, что если номинал свопа равен 0,03808, то значение свопа близко к нулю, что указывает на то, что найден страйк, для которого значение свопа равно нулю.
В этом разделе лекции представлен всесторонний обзор продуктов процентной ставки с акцентом на процентные свопы. Он охватывает различные темы, включая ценообразование свопов, стратегии хеджирования, роль облигаций с нулевым купоном и оценку свопов с использованием кривых доходности. Понимая эти концепции, учащиеся получают ценную информацию о финансовом инжиниринге и расчете стоимости своп-контрактов.
Курс финансовой инженерии: Лекция 5/14, часть 2/2 (Продукты процентной ставки)
Курс финансовой инженерии: Лекция 5/14, часть 2/2 (Продукты процентной ставки)
В этой лекции основное внимание уделяется ценообразованию деривативов, связанных с волатильностью. Докладчик начинает с рассмотрения концепции изменения процентных ставок, особенно в контексте модели Халла-Уайта. Они выводят производную Родома/Ниходемуса и применяют теорему Гирсанова для вычисления изменений меры. Такое понимание изменений меры имеет решающее значение для ценообразования на продукты с процентной ставкой.
Далее в лекции исследуется динамика облигаций с нулевым купоном при различных показателях с использованием структуры AJM. Спикер обсуждает, как эта динамика связана с ценообразованием опционов на эти облигации. Они подчеркивают замену мгновенной форвардной ставки интегралом и dz в выражении для динамики бескупонной облигации, что дает производное окончательное выражение. В лекции также рассматривается динамика облигаций с нулевым купоном в рамках модели Халла-Уайта и T-форвардной меры. Подчеркивается важность изменения меры, особенно при стохастическом дисконтировании, чтобы избежать сложных вычислений.
Докладчик представляет производные Киризанова, Лефлера и Радона-Никодима как инструменты для переключения между различными мерами. Они объясняют, как найти динамику облигации и денежного сберегательного счета, применяя лемму Ито к производной Радона-Никодима. Это приводит к теореме Гирсанова, которая устанавливает связь между Т-форвардной мерой и нейтральной к риску мерой и подчеркивает дополнительный дрейф при переключении между мерами. Путем замены броуновского движения при нейтральной к риску мере на Т-форвардную меру получается динамика модели Халла-Уайта.
Затем в лекции представлена модель краткосрочной ставки, представленная лямбда-функцией и тета-функцией, зависящей от срока погашения. Они определяют mu theta с двумя аргументами, малым t и заглавным mt, и применяют теорему Гирсанова, чтобы изменить меру с нейтральной к риску на меру T-forward. Акцент смещается на варианты ценообразования по облигациям с нулевым купоном, что требует изменения показателя с нейтрального к риску на показатель с нулевым форвардом. Спикер обсуждает динамику облигации с нулевым купоном и ее распределение по Т-форвардной мере, предоставляя выражение для облигации и приспосабливая страйк к постоянной функции, зависящей от времени. Они также обсуждают распределение процесса r по этой мере.
Двигаясь вперед, лекция объясняет, как распределение r по T-форвардной мере может быть решено с использованием модели Блэка-Шоулза с скорректированными параметрами. Изменение меры позволяет проводить аналитическое ценообразование облигаций с нулевым купоном, используя нормальные кумулятивные функции распределения и решения в закрытой форме. Докладчик проводит эксперимент по определению цены облигации с нулевым купоном и сравнивает аналитическое выражение с моделированием методом Монте-Карло с использованием стандартной дискретизации Эйлера. Предоставляется код для моделирования и обсуждается расчет цен опционов для различных страйков.
В лекции особое внимание уделяется ценообразованию опционов европейского типа на облигации с нулевым купоном, подчеркивая их важность, поскольку они тесно связаны с ценообразованием опционов по форвардной ставке LIBOR. Объясняются два подхода к ценообразованию этих опционов: один основан на модели полного облегчения, а другой - путем прямого наложения распределения или стохастического процесса на ставку LIBOR. Приводится формула для определения цены европейских колл-опционов или куплетов, а также объясняется метод изменения показателя с нейтрального к риску на показатель Т-форвард. Основное внимание по-прежнему уделяется колл-опционам с упоминанием о том, что опцион пут или нижний предел по нему будут даны в качестве домашнего задания.
Дополнительно обсуждаются динамика и ценообразование ставок LIBOR. В лекции признается, что ставка LIBOR является мартингейлом по данной мере, что позволяет предположить бездрейфовую динамику. Однако использование логарифмически нормального распределения для представления ставок LIBOR создает проблемы, такие как возможность отрицательных ставок, особенно при оценке экзотических деривативов. Калибровка с учетом рыночных данных, в частности с использованием предельных и минимальных ставок, считается необходимой, а верхний предел процентной ставки описывается как средство обеспечения страховки для держателя ссуды с плавающей ставкой.
Лекция продолжается обсуждением ценообразования каплетов, которые можно разложить на базовые контракты, известные как куплеты. Спикер отмечает, что ценообразование каплетов с использованием логарифмически нормального распределения создает проблемы из-за возможности отрицательных процентных ставок. Чтобы решить эту проблему, вводится параметр сдвига, который накладывается на распределение. Затем объясняется ценообразование каплета с использованием базовой модели, которая тесно связана с ценообразованием опциона на облигацию с нулевым купоном. Заменив определение ставки LIBOR нулевыми компонентами, уравнение ценообразования упрощается, в результате чего цена колл-опциона на облигацию с нулевым купоном устанавливается с немного другим страйком. Лекция завершается кратким представлением кода ценообразования, включающего упрощенную кривую доходности.
Кроме того, спикер углубляется в оценку опционов пут на облигации с нулевым купоном, также известные как «двойки», и подчеркивает важность корректировки не только страйка, но и условного ценообразования. Они признают близкое соответствие между симуляцией Монте-Карло и теоретическим ценообразованием опционов на облигации с нулевым купоном и кривыми доходности. Однако они подчеркивают важность таких параметров модели рынка, как возврат к среднему и волатильность, в формировании поверхностей подразумеваемой волатильности. Они отмечают, что, хотя эти параметры могут иметь ограниченное влияние на модель Халла-Уайта, они не могут генерировать улыбку подразумеваемой волатильности, а только искажают ее. Наконец, спикер резюмирует два основных блока, рассмотренных в лекции, которые включают в себя простые процентные продукты и ценообразование простых опционов в контексте модели Халла-Уайта.
Ближе к концу лекции преподаватель сообщает студентам, что курс будет посвящен исключительно выплатам европейского типа, а более экзотические производные будут рассмотрены в последующем курсе. Назначается домашнее задание, в том числе определение цены опциона с минимальным значением и вывод формулы Блэка для нового варианта сдвинутого логарифмически-нормального распределения. Учащимся предлагается сравнить результаты, полученные по формуле Блэка, с их численными результатами и ввести сдвиг к логарифмически нормальному стохастическому дифференциальному уравнению, чтобы отразить необходимые корректировки.
Лекция представляет собой углубленное исследование ценообразования деривативов, связанных с волатильностью, с особым вниманием к динамике и ценообразованию облигаций с нулевым купоном, опционов на эти облигации и ставок LIBOR. Концепция изменения меры, использование производных Радона-Никодима и применение теоремы Гирсанова рассматриваются для облегчения этих расчетов ценообразования. В лекции подчеркивается важность корректировки показателей, цен исполнения и условных значений, а также подчеркивается влияние параметров модели рынка на поверхности подразумеваемой волатильности.
Курс финансовой инженерии: Лекция 6/14, часть 2/3 (Построение кривой доходности и мультикривых)
Курс финансовой инженерии: Лекция 6/14, часть 2/3 (Построение кривой доходности и мультикривых)
В лекции спикер углубляется в практические аспекты построения алгоритма построения кривой доходности. Они подчеркивают важность калибровки кривой и анализируют код Python, используемый для построения кривой доходности с использованием рыночных инструментов, таких как свопы. Также исследуется влияние различных методов интерполяции на хеджирование. Лектор объясняет процедуру итерации построения кривой доходности, которая включает в себя алгебраические вычисления с векторами и матрицами. Они демонстрируют, как оптимизировать кривую, установив следующую итерацию на ноль.
Далее инструктор объясняет процесс поиска оптимальных точек позвоночника для построения матрицы. Этот процесс влечет за собой итеративную корректировку векторных коэффициентов дисконтирования (dfs) до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. Корректировки основаны на матрице Якоби, а обратная матрица Якоби определяет корректировку дельты dfs. В лекции подчеркивается важность определения сетки (пар коэффициентов ti и дисконта) для построения кривой перед поиском оптимальных нулевых связей. Приводится практический пример построения кривой доходности для двухлетнего и пятилетнего процентного свопа, подчеркивающий сложность решения системы с большим количеством неизвестных, чем уравнений.
Обсуждаются проблемы построения кривой доходности с использованием своповых платежей для точек позвоночника из-за недостаточно определенной системы. Решение состоит в том, чтобы рассматривать только окончательный платеж как точку позвоночника и интерполировать точки между ними. Подчеркивается, что количество инструментов должно равняться количеству точек стержня, чтобы избежать путаницы. Объясняется процесс построения кривой доходности с использованием форвардного процентного соглашения и свопа с акцентом на численную реализацию.
В лекции подчеркивается важность построения кривой доходности и влияние рыночных котировок, которые обычно равны нулю. Обсуждается определение ставки LIDOR, а также выражение приведенной стоимости контракта (PV1) с точки зрения ставки LIDOR. PV1 зависит только от коэффициента дисконтирования (df1), который можно рассчитать с помощью первого набора уравнений. Второй набор уравнений включает своп с двумя датами платежа. В лекции объясняется использование нижней треугольной матрицы и эффективная инверсия для построения кривой, когда используются только свопы.
Исследуется процесс построения кривой доходности с использованием рыночных данных Министерства финансов США. Для построения кривой доходности используются котировки по ставкам LIBOR и свопам с различными сроками погашения. В лекции представлена многомерная функция Ньютона-Рафсона, используемая для калибровки кривой, и подчеркивается важность выбора правильного метода интерполяции. Также введена функция оценки своп-инструмента по вектору точек позвоночника.
Лекция посвящена построению кривых доходности и мультикривых. Процесс начинается с определения свопа, а затем переходит к построению кривой доходности с использованием набора инструментов и сроков погашения. Многомерный метод Ньютона используется для оптимизации кривой доходности в процессе строительства. Подчеркивается важность выбора значения допуска и подчеркивается проблема оптимизации с допуском 10 в степени 10. Лекция завершается акцентом на быстрой сходимости, достигаемой с помощью этого метода оптимизации.
Объясняется оценка инструментов с использованием точек стержня и методов интерполяции. Кривая доходности строится с использованием точек спина и метода интерполяции с последующей оценкой каждого свопа как функции облигаций с нулевым купоном на основе текущего состояния точек спина. Якобиан, представляющий чувствительность каждой отдельной приведенной стоимости (PV) ко всем точкам стержня, рассчитывается численно путем выполнения удара по каждой отдельной точке стержня и оценки всех свопов. В лекции рассказывается о компактной и эффективной функции для вычисления якобиана.
В лекции обсуждается процесс построения кривой доходности и мультикривых с использованием метода итераций Ньютона-Рафсона, матрицы Якоби и набора инструментов линейной алгебры numpy. После построения кривой доходности свопы оцениваются перед построением кривой. В лекции подчеркивается необходимость установить ограничение на количество вычислений, чтобы не перегружать код Python, и предлагается включить средства защиты для предотвращения этой проблемы. Кроме того, лекция демонстрирует, как рассчитать текущую стоимость (PV) свопов, используя как начальную кривую доходности, так и откалиброванную кривую доходности, полученную в процессе итераций с использованием точек позвоночника.
Далее профессор исследует процедуры оптимизации и калибровку кривой доходности для процентных свопов. Отмечается, что калибровка кривой доходности с использованием свопов дает очень точные результаты, даже когда встречаются значения ниже нуля. В лекции также освещаются области для улучшения, такие как использование аналитических расчетов чувствительности производных для повышения эффективности и точности вычислений.
Понятие «хеджирования» вводится в качестве темы для следующего раздела. Обсуждается влияние различных методов интерполяции на результаты хеджирования и исследуются различные методы интерполяции. Профессор рекомендует ознакомиться с существующей литературой, чтобы изучить дополнительные возможности интерполяции. Лекция завершается подчеркиванием важности проведения испытаний в небольших условиях и рассмотрением влияния процедур интерполяции на кривую доходности.
В лекции докладчик рассматривает различные процедуры интерполяции, используемые при построении кривой доходности, и их влияние на результаты. Подчеркиваются недостатки прямой интерполяции, такие как простая линейная интерполяция, особенно при использовании кривой доходности на основе модели. Объясняется, что поведение краткосрочной структуры процентной ставки может стать неустойчивым, если при интерполяции будут упущены мелкие детали, поскольку мгновенная форвардная процентная ставка зависит от логарифма бескупонной облигации. Для преодоления этих ограничений предлагается один из методов дифференциации по коэффициентам дисконтирования журналов.
В лекции также рассматривается локальная и глобальная интерполяция, подчеркивая важность локализации воздействия удара или изменения точки позвоночника, чтобы избежать воздействия на большое количество точек на кривой. Кроме того, лектор подчеркивает важность выбора метода интерполяции, учитывающего характеристики инструментов на кривой и их влияние на ее характеристики.
Построение кривых доходности и мультикривых обсуждается с точки зрения финансовой инженерии. Представлен эксперимент Python, демонстрирующий функцию, разработанную для калибровки кривой доходности путем небольших корректировок. Эксперимент включает построение набора инструментов как функцию и включение квадратичной и кубической интерполяции. Кроме того, ценообразование внерыночного свопа и анализ чувствительности свопа ко всем рыночным инструментам, использованным при построении кривой, демонстрируются посредством дифференциации и повторной калибровки кривой для каждого шокированного инструмента в наборе портфеля.
Докладчик объясняет, как построить кривую доходности и мультикривые с использованием шока и дельты. Процесс включает в себя повторение всей процедуры для каждого инструмента с шокированной фиксированной ставкой и переопределением дельты, которая представляет собой производную от свопа по отношению к каждому рыночному инструменту. Значения дельты аппроксимируются путем деления размера шока, восстановления кривой и оценки результирующего воздействия. С этими значениями дельты становится возможным определить необходимое использование каждого рыночного инструмента для построения кривой, что позволяет эффективно хеджировать фьючерсы. Линейная интерполяция используется для иллюстрации хеджирования четырехлетнего свопа с использованием инструментов со сроком погашения три и пять лет в соответствии с ожидаемыми результатами. Наконец, сравнение между линейной и кубической интерполяцией показывает, что кубическая интерполяция требует больших вычислительных ресурсов, но приводит к существенным различиям в результатах.
Спикер обсуждает построение кривых доходности и мультикривых в контексте финансовой инженерии. Проводится сравнение между кубической интерполяцией и линейной интерполяцией, при этом подчеркивается, что кубическая интерполяция является более сложной, но и более медленной. Рассматривается влияние интерполяции на хеджирование, при этом отмечается, что, хотя кубическая интерполяция может привести к более гладкой кривой, она может привести к увеличению расходов на хеджирование из-за чувствительности к продуктам со сроками погашения, намного превышающими сроки погашения свопов. Спикер предлагает рассмотреть в качестве альтернативы квадратичную интерполяцию и подчеркивает, что влияние интерполяции на хеджирование не следует упускать из виду.
В продолжение лекции спикер подробно останавливается на построении кривых доходности и мультикривых с использованием шока и дельты. Этот метод включает повторную калибровку всего процесса для каждого инструмента с фиксированной скоростью шока. Дельта, которая представляет собой производную свопа по каждому рыночному инструменту, переопределяется путем деления размера шока и аппроксимации результирующего воздействия на кривую. Анализируя значения дельты, становится возможным определить соответствующее распределение каждого рыночного инструмента для построения кривой, что позволяет эффективно хеджировать фьючерсы. Докладчик демонстрирует использование линейной интерполяции для иллюстрации хеджирования четырехлетнего свопа с использованием инструментов с трех- и пятилетним сроком погашения в соответствии с ожидаемыми результатами.
В лекции подчеркивается важность выбора правильного метода интерполяции, поскольку он существенно влияет на форму и поведение кривой доходности. Хотя кубическая интерполяция может давать более гладкую кривую, она часто влечет за собой большие расходы на хеджирование из-за ее чувствительности к продуктам со сроком погашения, значительно превышающим срок погашения свопов. Поэтому спикер предлагает изучить квадратичную интерполяцию как альтернативу, обеспечивающую баланс между точностью и вычислительной эффективностью.
Кроме того, в лекции подчеркивается необходимость учитывать характеристики инструментов, используемых при построении кривой, и их влияние на ее характеристики. Для разных инструментов могут потребоваться разные методы интерполяции или корректировки для обеспечения точного ценообразования и управления рисками. Важно тщательно анализировать и понимать поведение инструментов в контексте процесса построения кривой доходности.
Лекция завершается призывом к дальнейшим исследованиям и изучению вариантов интерполяции. Хотя кубическая интерполяция является более продвинутой и предлагает более гладкую кривую, она не всегда может быть оптимальным выбором. Финансовым специалистам и исследователям рекомендуется углубиться в существующую литературу и изучить различные процедуры интерполяции, чтобы определить наиболее подходящий подход для их конкретных потребностей.
Построение кривых доходности и мультикривых включает сочетание математических методов, методов калибровки и процедур интерполяции. Это сложный процесс, который требует тщательного рассмотрения различных факторов, таких как характеристики инструментов, вычислительная эффективность и последствия хеджирования. Используя правильные методы и понимая лежащие в их основе принципы, финансовые практики могут построить надежные кривые доходности, которые точно отражают рыночные условия и поддерживают эффективные стратегии управления рисками.Курс финансовой инженерии: Лекция 6/14, часть 3/3 (Построение кривой доходности и мультикривых)
Курс финансовой инженерии: Лекция 6/14, часть 3/3 (Построение кривой доходности и мультикривых)
В лекции вводится понятие мультикривых, которое включает в себя вероятности дефолта контрагентов при построении кривых доходности. Эта дополнительная информация учитывает частоту платежей и связанные с ними риски дефолта. Спикер подчеркивает, что кредитование контрагента на более длительный срок увеличивает риск по сравнению с краткосрочным кредитованием. Мультикривые появились как развитие финансовой математики после финансового кризиса 2008–2009 годов и по-прежнему широко распространены на современном рынке.
Лекция включает в себя реализацию мультикривых на языке Python и дает студентам домашнее задание, в котором им предлагается улучшить существующий код путем включения дополнительных инструментов для калибровки кривых и аспектов хеджирования.
Обсуждается построение кривых доходности и мультикривых в финансовой инженерии с акцентом на влияние частоты платежей на тип кривой и управление рисками. Более высокая частота платежей снижает потенциальные потери в случае дефолта контрагента, что делает его более безопасным выбором. Мотивация использования нескольких кривых проистекает из кризиса 2007–2009 годов, когда базисные спреды между разными тенорами стали значительными, что привело к множеству различий в базисных точках между различными частотными кривыми.
Докладчик объясняет, что разные инструменты имеют разные премии за ликвидность и кредитный риск, что влияет на их кривые доходности. До финансового кризиса ценообразование основывалось на единой кривой. Однако в посткризисный период необходимо учитывать дополнительные премии за риск для различных тенорных структур. Спикер иллюстрирует спред премии за риск между различными сроками, используя иллюстрацию мгновенных форвардных курсов. Рыночный консенсус состоит в том, чтобы дисконтировать будущие денежные потоки на основе наибольшей частоты пребывания в должности, а оптимальным выбором для дисконтирования является кривая с наименьшим кредитным риском, обычно связанная с 10 из одного дня.
В лекции рассматривается включение вероятностей дефолта в ценообразование и разработка основы для ценообразования деривативов в контексте множественных кривых. Обсуждаются такие кривые, как среднее значение индекса овернайт в евро и процентная ставка овернайт Федеральной резервной системы США. Практики сначала наблюдали за рынком, а позже была разработана теория, требующая включения вероятностей дефолта в структуру с несколькими кривыми. Определение библиотеки необходимо изменить, чтобы включить безрисковую кривую и вероятности дефолта контрагента. Докладчик подчеркивает необходимость в расширенных версиях ставки LIBOR и изменениях показателей, чтобы учесть эту модификацию. Включая вероятности дефолта и проверяя существование контрагента перед выполнением транзакций, специалисты-практики лучше понимают ценообразование деривативов в рамках многокривой.
Концепция вероятности дефолта объясняется в контексте ценообразования деривативов с кредитным риском. Вероятность дефолта представляет собой риск дефолта, происходящего в течение определенного периода, и обычно выводится из рыночных инструментов, таких как свопы кредитного дефолта. Когда рыночные инструменты недоступны, банки и финансовые учреждения определяют вероятность дефолта на основе ассоциации отраслевых рисков. Оценка деривативов с кредитным риском предполагает дисконтирование всех будущих денежных потоков и допущение независимости между процентными ставками и вероятностью дефолта. Затем рассчитывается ожидаемый выигрыш с использованием индикаторной функции вероятности дефолта.
В лекции обсуждается, как вероятности невыполнения обязательств и коэффициенты улучшения соотносятся с вероятностями выживания и коэффициентами опасности. Свопы кредитного дефолта (CDX) вводятся в качестве торгуемых деривативов, используемых для оценки вероятности дефолта. Изучая рыночные котировки CDX, можно рассчитать премию за риск, что дает представление о вероятности дефолта. Кривая рискованной доходности включает вероятность дефолта и корректирует облигации с нулевым купоном с помощью поправок на риск. На практике D(t0, ti) обычно интерпретируется как коэффициент дисконтирования, что позволяет построить кривую доходности как совокупность коэффициентов дисконтирования облигаций с нулевым купоном.
В видео объясняется процесс определения справедливой цены необеспеченного обязательства, который учитывает вероятность дефолта путем построения кривой, соответствующей определенному условию, поверх кривой дисконта. Он демонстрирует расчет безрисковых облигаций с нулевым купоном и облигации с нулевым купоном с дополнительной премией за риск, представляющей поправочный коэффициент для кривой. В видео также рассказывается, как можно рассчитать цену процентного свопа в настройке с несколькими кривыми. Он сочетает в себе концепции рискованного обязательства и ставки индексного свопа овернайт, аппроксимируя ценообразование путем расчета ожидания форвардной ставки LIBOR при соответствующем мартингейле.
Лектор подчеркивает круговую зависимость между различными кривыми и построение кривых доходности на практике. Сначала обычно строится дисконтная кривая, а затем строятся трехмесячные и шестимесячные кривые на основе дисконтной кривой и дополнительных рыночных котировок. Однако при наличии разбросов возникают сложности, требующие калибровки всех кривых одновременно, а не по отдельности. Хотя это может быть более сложным, сохранение последовательности в хеджировании других рисков позволяет использовать неправильную процентную ставку в модели Блэка-Шоулза, чтобы она соответствовала рыночной котировке.
Видео содержит рекомендации по реализации нескольких кривых в Python для ценообразования и построения нескольких кривых доходности. Он основан на ранее разработанных кодах для одиночных кривых доходности и расширяет их для работы с несколькими кривыми. Расширение определения свопа введено для облегчения ценообразования в контексте с несколькими кривыми. В видео также подчеркивается важность проверки работоспособности, чтобы обеспечить согласованность между новым процентным свопом и настройкой одной кривой. Это достигается путем использования двух экземпляров одной и той же кривой для проверки того, что они дают одинаковое значение.
Докладчик обсуждает калибровку кривой доходности и вводит четыре свопа, соответствующие новой кривой с начальными предположениями, отличными от предыдущего случая. Целью остается приведение рыночных цен в соответствие с модельными ценами. Кривая дисконта основана на кривой начальной загрузки, а свопы определяются как лямбда-выражения форвардной кривой. Докладчик объясняет поиск облигаций с нулевым купоном или кривых доходности для свопов и оптимизацию значений, которые делают своп нулевым для конкретной цели доходности. Калибровка кривой дважды проверяется, и значения свопов наносятся на график. Проверка работоспособности подтверждает согласованность новой реализации подкачки, и, наконец, новая кривая загружается.
Спикер обсуждает результаты процесса калибровки и начальной загрузки, отмечая, что ценообразование возвращается к номиналу. Кривая дисконтирования и кривая прогнозирования строятся, иллюстрируя кривую спреда между ними. Спикер подчеркивает, что форвардная кривая ниже из-за ограниченного количества инструментов, что приводит к отсутствию плавного перехода между разными сроками погашения. Процесс калибровки выполняется относительно быстро и требует итераций оптимизации по сравнению с сервером для кривой дисконтирования. В заключение докладчик резюмирует ключевые понятия, затронутые в лекции, включая динамическую природу кривой доходности, математическую формулировку, постановку задачи, точки хребта, процедуру оптимизации и аналитические примеры.
Наконец, спикер обсуждает расширение существующего кода для начала кривой и включение дополнительных инструментов. Подчеркивается практическая важность разработки системы хеджирования для понимания влияния различных интерпретаций. Видео объясняет значение мультикривых и их связь с вероятностью дефолта и прогнозированием. В заключение демонстрируется код Python для реализации и расширения существующей инфраструктуры для обработки нескольких кривых. В качестве домашнего задания аудитории предлагается расширить существующий код для новой кривой и включить дополнительный слой форвардной кривой на основе шести месяцев, трех месяцев и доступных рыночных инструментов.
В видео объясняется, как рассчитать справедливую цену необеспеченного обязательства с учетом вероятности дефолта. Это включает в себя построение кривой, соответствующей определенному термину, поверх кривой дисконтирования. В видео демонстрируется расчет безрисковых облигаций с нулевым купоном и дополнительной облигации с нулевым купоном на основе премии за риск, что представляет собой поправочный коэффициент для кривой. Кроме того, обсуждается ценообразование процентного свопа, сочетающее концепции рискованного обязательства и ставки индексного свопа овернайт. Аппроксимация ценообразования включает в себя вычисление ожидаемой форвардной ставки LIBOR при соответствующей мартингальной мере.
В заключение лектор вновь подчеркивает важность построения кривой доходности, множественных кривых и их практического применения в финансовой инженерии. Лекция охватывает различные аспекты, такие как калибровка кривых, хеджирование, вероятность дефолта, ценообразование деривативов с кредитным риском и реализация мультикривых в Python. Расширяя существующий код и добавляя дополнительные инструменты, учащиеся должны углубить свое понимание работы с несколькими кривыми и получить практический опыт калибровки кривых и аспектов ценообразования в рамках системы с несколькими кривыми.
Курс финансовой инженерии: Лекция 7/14, часть 1/2 (Свопы и отрицательные процентные ставки)
Курс финансовой инженерии: Лекция 7/14, часть 1/2 (Свопы и отрицательные процентные ставки)
Лекция начинается с обзора предыдущих тем, включая свопы, процентные ставки, построение кривой доходности и ценообразование на основные продукты. Затем он переходит к более сложным темам: ценообразование свопов и ценообразование при отрицательных процентных ставках. Изучаются свопы, которые зависят от волатильности, а также варианты процентных ставок, такие как куплеты и процентные ставки.
Концепция каплета представлена как европейский вариант, который играет роль в калибровке модели Халла-Уайта. Caplets используются в моделях, зависящих от пути, и требуют калибровки для рыночных инструментов. Лектор обсуждает модель Блэка-76 для ценообразования каплетов и проводит различие между уравнениями Блэка-Шоулза и уравнениями Блэка для процентных форвардов. Поверхность подразумеваемой волатильности для процентных ставок и ценообразования экзотических деривативов кратко упоминается как тема для будущего курса.
В лекции рассматривается калибровка параметров полностью белой модели с использованием рыночных цен на муфты. Подразумеваемые волатильности с использованием модели Блэка вводятся и используются в процессе калибровки. Подчеркивается различие между подразумеваемой волатильностью Блэка и подразумеваемой волатильностью модели. В лекции рассматривается формула библиотеки, зависящая от двух нулевых связей, и ее замена в ценообразовании. Новый удар определяется для удаления постоянных или зависящих от времени компонентов за пределы ожидаемого, что позволяет исследовать динамику или распределения в рамках показателя ТЗ.
Ценообразование swaptions обсуждается в связи с ценообразованием облигаций с нулевым купоном в модели с нулевым купоном. Разница заключается в сроках выплат: по облигациям с нулевым купоном выплаты осуществляются в начале, а по свопам — в конце. Лекция знакомит с концепцией обработки сигнального поля и использованием определения счета денежного обслуживания для решения этой проблемы. Это приводит к выражению цены свопа как математического ожидания отношения двух счетов денежного обслуживания при форвардном показателе.
В лекции также исследуется взаимосвязь между каплетами, облигациями и опционами на облигации с нулевым купоном. Модель Блэка-Шоулза используется для расчета подразумеваемой волатильности с периодической калибровкой параметров модели. В лекции подчеркивается важность правильного выбора дат моделирования и сопоставления мер и ожиданий при оценке опционов.
Обсуждается создание улыбок подразумеваемой волатильности с использованием продуктов процентной ставки и вариантов ценообразования по облигациям с нулевым купоном. Код проверяется для обеспечения точных оценок, и проводится сравнение между рыночными и модельными облигациями с нулевой купонной кривой доходности. Рассмотрено ценообразование опционов на облигации с нулевым купоном, включая опционы пут, и проводятся эксперименты для анализа влияния волатильности и версий модели на ценообразование.
В лекции представлен итерационный процесс для нахождения подразумеваемой волатильности, которая удовлетворяет ограничению равной рыночной стоимости и цене Блэка 76 года для опциона. Сетки различных уровней волатильности определены и интерполированы как отправная точка для Ньютона-Рафсона. Обсуждается влияние параметра возврата к среднему значению на подразумеваемую волатильность с рекомендацией по его фиксации при калибровке параметра волатильности. Параметры, зависящие от времени, подчеркнуты для соображений XVA.
Устранены ограничения добавления стохастической волатильности в модель HJM при ценообразовании деривативов, включая влияние на перекос подразумеваемой волатильности и проблемы калибровки. В лекции освещается значение аннуитетной составляющей в свопах и необходимость ее учета при изменении меры. Понимание процентных свопов и улучшение моделей при сохранении эффективности вычислений имеет решающее значение из-за их распространенности в финансовых учреждениях.
Ценообразование свопов ориентировано на единую кривую. Величина свопа зависит от двух платежей, первоначального и конечного, и может быть представлена как разница двух нулевых составляющих со страйком, умноженная на аннуитет. Объясняется ценообразование по номинальной стоимости, когда выбирается страйк, чтобы сделать нулевую стоимость, что приводит к отсутствию денежных выплат. Волатильность необходима для ценообразования экзотических деривативов, требующих калибровки по рыночным инструментам.
Обсуждается использование свопционов в финансовой инженерии для измерения волатильности рынка. Свопы — это европейские деривативы, которые предоставляют держателю право, но не обязательство заключить своп в заранее определенную дату в будущем. Цена исполнения свопциона определяет, будет ли держатель плательщиком или получателем свопа. Путем подстановки определения свопа выводится уравнение оценки для свопов, и числитель уравнения идентифицируется как подходящий кандидат для изменения показателя. Это позволяет отменить компонент аннуитета и упростить уравнение.
Докладчик объясняет использование показателей аннуитета и геометрического броуновского движения для расчета цен свопов, предполагая, что ставки свопов не могут быть отрицательными. Аннуитетная мера считается подходящим выбором для измерения, и в соответствии с этой мерой своп должен быть мартингейлом. Уравнение Блэка-Шоулза вводится как модель ценообразования для свопционов. Однако спикер признает, что на практике свопы могут иметь отрицательные значения, что может создать проблемы для уравнения ценообразования. Они упоминают, что решение этого вопроса будет представлено позже в лекции. Конечная цель — определить цену по модели BlueWise, которая будет использоваться для моделирования в будущих лекциях.
Лектор обсуждает формулировку свопа с точки зрения облигаций с нулевым купоном и то, как его можно переопределить как единую сумму облигаций с нулевым купоном с разным весом. Такая формулировка оказывается удобной при поиске решения по ценообразованию вариантов под полностью белые динамики. В лекции рассматривается процесс изменения меры с нейтральной к риску на меру, связанную с облигацией с нулевым купоном, что помогает решить проблему определения цены свопа. Jambchidian Flick представлен как метод замены ожидания максимальной суммы суммой ожиданий, что является решающим шагом в поиске решения в закрытой форме для ценовых обменов. Этот метод помогает упростить процесс ценообразования и получить точные результаты.
Обсуждение инструктора подчеркивает важность понимания и эффективного ценообразования свопов, поскольку они предоставляют ценную информацию о волатильности рынка. Возможность точно оценить и оценить эти производные инструменты способствует принятию обоснованных решений и управлению рисками на финансовых рынках.
Лекция охватывает различные сложные темы, связанные с ценообразованием в контексте свопционов и отрицательных процентных ставок. В нем рассматриваются тонкости калибровки моделей, определения подразумеваемой волатильности и понимания нюансов различных подходов к ценообразованию. Лектор подчеркивает важность тщательного выбора параметров, сопоставления показателей и ожиданий, а также учета ограничений и проблем, связанных с ценообразованием деривативов в сложных финансовых условиях.
Курс финансовой инженерии: Лекция 7/14, часть 2/2 (Свопы и отрицательные процентные ставки)
Курс финансовой инженерии: Лекция 7/14, часть 2/2 (Свопы и отрицательные процентные ставки)
Видеолекция посвящена тонкостям ценообразования свопов в условиях отрицательной процентной ставки. Преподаватель знакомит с алгоритмом, предложенным Фаршидом Джамшидианом в 1989 году, который облегчает преобразование задачи вычисления максимума суммы в сумму конкретных максимумов при определенных условиях. Важнейшим требованием для этого подхода является то, что функция psi_k(x) должна быть монотонно возрастающей или убывающей для достижения точных вычислений. Лекция завершается заданием домашнего задания и предоставлением упражнения Python, посвященного методам численных вычислений.
Докладчик подчеркивает важность определения значения x_star, которое соответствует максимальной сумме psi, приравниваемой к нулю. Нахождение этого значения позволяет подставить размер суммирования k в уравнение. Затем докладчик исследует, как это условие, наряду с использованием монотонно возрастающих функций, позволяет устранить максимум от самой внешней до самой внутренней части уравнения. Кроме того, представлено упражнение, которое включает в себя вычисление ожидаемого максимума с использованием как грубой силы, так и методов полосы пересечения Джеймса.
Спикер продолжает делиться личным упражнением, включающим оценку суммирования всех членов psi_i для i в диапазоне от 0 до 14. Они также касаются использования моделирования Монте-Карло для ценообразования, используя прием Jump Diffusion для определения оптимального значения x. , что существенно влияет на результат суммирования. Спикер перебирает все термины для каждого удара, чтобы определить максимум, а затем применяет трюк Джамшидиана, беря ожидание максимума и суммируя максимальные значения. Однако важно признать определенные ограничения, связанные с этим методом, такие как его неприменимость к многомерным факторам и необходимость тщательного рассмотрения лежащих в его основе допущений.
Далее в лекции рассматривается уравнение ценообразования для решений, использующих полностью белую модель. Это включает в себя определение облигации с нулевым купоном в рамках всей белой модели с явными функциями A и B, выраженными в терминах параметров модели. Докладчик объясняет, как функция Theta может быть представлена в терминах облигаций с нулевым купоном, которые затем можно заменить форвардными ставками. Ключевым выводом является то, что по сравнению с уравнением Блэка-Шоулза, используемым для оценки свопционов в рамках показателя аннуитета, более выгодно перейти к показателю, связанному с дисконтированием, что требует моделирования процесса короткой ставки. Используя трюк Джамшида, становится возможным искать R_star и получать сумму, состоящую из двух компонентов: одного, относящегося к оптимизации, и другого, относящегося к бескупонным облигациям с определенными весами.
Лекция переходит к обсуждению ценообразования свопов с использованием трюка Джамшидиана, демонстрируя, как этот подход облегчает расчет подразумеваемой волатильности. Цена свопциона может быть выражена как взвешенная сумма опционов на облигации с нулевым купоном, где веса c_k представляют доли опционов, а опционы на облигации с нулевым купоном представляют собой скорректированные опционы пут. Ценообразование этих вариантов облигаций с нулевым купоном следует прямому процессу, основанному на ранее покрытом материале. Реализация этого подхода относительно проста, поскольку включает анализ монотонных функций при расчете подразумеваемой волатильности или ценообразовании свопционов.
Двигаясь вперед, лектор объясняет последовательность экономических событий, которые привели к отрицательным процентным ставкам, подчеркивая различие между реальными и номинальными процентными ставками. Они обсуждают, как отсутствие доверия и дефляционные явления могут повлиять на торговую деятельность и экономику в целом. Лектор отмечает интервенции, предпринятые центральными банками для стимулирования денежной массы и восстановления доверия во время Великой рецессии, включая снижение процентных ставок для поощрения инвестиций и экономической активности. Однако они также признают потенциальные недостатки и несправедливость, связанные с ситуацией, особенно с точки зрения покупательной способности, если инфляция превышает номинальные уровни.
В лекции рассматривается использование отрицательных процентных ставок в качестве нетрадиционной меры для стимулирования инвесторов занимать деньги и инвестировать в рынок. Цель состоит в том, чтобы стимулировать экономику путем поощрения крупных финансовых учреждений к покупке активов или участию в рыночной деятельности. Концепция отрицательных процентных ставок может эффективно работать при отсутствии инфляции. Однако, если инфляция превзойдет ожидания центральных банков, может потребоваться повышение ставок для компенсации. Это может представлять риск для компаний и инвесторов с низкой процентной ставкой долга, что может привести к банкротству. Эти события подчеркивают существование как длинных экономических циклов, охватывающих до 100 лет, так и более коротких циклов, длящихся около 10 лет. Лектор также затрагивает понятие инфляции и подчеркивает важность понимания того, как работает инфляционный рынок, чтобы быть готовым к любым явлениям, связанным с инфляцией.
Кроме того, инструктор углубляется в проблему отрицательных процентных ставок, которые стали более распространенными в текущих экономических условиях. Сравнение европейских ставок в период с 2008 по 2017 год показывает, что краткосрочные инвестиции теперь приносят отрицательную ставку, что не дает стимула для сбережений. Преподаватель также обсуждает проблемы, связанные с отрицательными процентными ставками, когда речь идет о расчете волатильности и работе с облигациями с плавающей процентной ставкой. Следовательно, существует потребность в новых и альтернативных моделях для эффективного решения этих проблем. Кроме того, инструктор упоминает, что банки часто пытаются смягчить неблагоприятные последствия отрицательных процентных ставок, устанавливая максимальные суммы или отказываясь от купонных выплат для клиентов.
Видеолекция продолжается изучением стратегий работы с отрицательными процентными ставками и определением подразумеваемой волатильности для вариантов ценообразования. Это очень важно, потому что в сценарии, когда процентные ставки становятся отрицательными, торговля деривативами может прекратиться. При использовании традиционной модели Блэка-Шоулза для расчета подразумеваемой волатильности вывод может быть «NaN» (не число). Одним из подходов к решению этой проблемы является использование смещенной подразумеваемой волатильности. Это включает в себя включение в модель Блэка-Шоулза дополнительного параметра сдвига для учета максимальной отрицательной процентной ставки. Однако важно внимательно следить за этим параметром сдвига. Если он приближается к отрицательному форварду, проблема возникает снова.
Докладчик далее обсуждает использование смещенного варианта LIBOR для ценообразования свопционов, подчеркивая, как он решает проблему отрицательных процентных ставок. Введение дополнительного параметра сдвига, даже если рассматриваемый страйк отрицательный, не влияет на результат ценообразования. Это связано с тем, что сдвинутая модель гарантирует, что ставки останутся выше отрицательного диапазона, учитывая логарифмически нормальный характер модели. Более того, крайне важно связать параметр сдвига со сроком действия и сроком действия базового актива. Чтобы проиллюстрировать эти концепции, спикер предоставляет визуальное представление логарифмически нормального распределения и демонстрирует цены опционов при различных параметрах сдвига.
Расширяя понятие сдвига в рамках формулы Блэка-Шоулза, лекция углубляется в влияние параметров сдвига на волатильность и формы распределения. Для ценообразования представлена реализация кода, использующая как моделирование методом Монте-Карло, так и аналитические выражения. Моделирование включает в себя создание траекторий для смещенного геометрического броуновского движения (GBM) и расчет средней цены. Код также корректирует начальные точки, генерирует плотности для локальной модели со сдвигом для тета и строит графики логарифмически нормальных плотностей для различных параметров сдвига. Подчеркивается важность сохранения параметра сдвига как можно ближе к нулю, поскольку более высокие параметры сдвига могут существенно повлиять на распределение и волатильность.
Профессор подчеркивает решающий аспект точного учета параметров сдвига при ценообразовании обменов, подчеркивая, что даже небольшая ошибка может привести к значительным ошибкам в ценообразовании. Лекция объединяет рассмотренные концепции, включая ценообразование каплетов и минимальных уровней, процентные свопы, ценообразование свопционов с использованием модели Блэка, отрицательные процентные ставки и применение уловки Джамшидиана в ценообразовании свопционов в рамках модели Халла-Уайта. В заключение профессор дает домашнее задание студентам, побуждая их применять концепции, изученные на лекции, для расчета подразумеваемой волатильности и ценовых опционов.
В заключительной части видео спикер обсуждает, как оценить опцион в рамках полнолинейной модели, объединив два блока вместе. Цель состоит в том, чтобы сравнить результаты с моделированием методом Монте-Карло, чтобы убедиться, что код не содержит ошибок и ошибок. Лекция завершается тем, что преподаватель побуждает студентов получать удовольствие от выполнения заданий и углубляться в затронутые темы.
В видеолекции представлено всестороннее исследование отрицательных процентных ставок, ценообразования свопов и применения различных математических методов и моделей. В нем подчеркивается важность понимания таких концепций, как прием Джамшидиана, смещенная подразумеваемая волатильность и влияние параметров сдвига на ценообразование и формы распределения. Вооружая студентов этими инструментами и идеями, лекция готовит их к тому, чтобы ориентироваться в сложностях финансового мира, принимать обоснованные решения и точно оценивать опционы и свопы в сложных рыночных условиях.
Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 1/4 (Ипотека и предоплата)
Курс финансовой инженерии: Лекция 8/14, часть 1/4 (Ипотека и предоплата)
В лекции подробно обсуждается концепция ценообразования по ипотечным кредитам, подчеркивая сложный характер этой задачи с точки зрения финансового инжиниринга. Основная проблема заключается в управлении рисками, связанными с предоплатой клиентов и дополнительными платежами, осуществляемыми сверх регулярных ежемесячных платежей. Особое внимание уделяется двум типам ипотеки: пулевой ипотеке и аннуитетной ипотеке.
Сплошная ипотека предполагает, что клиенты платят только процентную ставку и непогашенную условную сумму в конце договора, в то время как аннуитетная ипотека предполагает постепенное уменьшение условной суммы до тех пор, пока к моменту заключения договора не останется непогашенной условной суммы. В лекции также рассматриваются предоплата, риски трубопровода и включение поведения людей и стимулов в ценообразование финансовых контрактов.
Подчеркивается, что риски, связанные с досрочным погашением, сведены к минимуму для ипотечных кредитов с плавающей процентной ставкой, поскольку у клиентов нет оптимальных стимулов для внесения досрочного погашения. Постоянная ставка предоплаты обсуждается в связи с управлением портфелем. Оценка профиля погашения ипотечного портфеля требует рассмотрения рисков досрочного погашения на основе общего профиля погашения, а не отдельных клиентов.
Лекция посвящена индексному амортизирующему свопу и тому, как его можно использовать для компенсации рисков досрочного погашения в рамках портфеля. Кроме того, исследуется поведенческий аспект предоплаты с учетом стимулов к рефинансированию и рационального или иррационального принятия решения отдельными лицами при принятии решения о выделении дополнительных средств на ипотеку.
Также подчеркиваются риски, с которыми сталкиваются банки и другие финансовые учреждения, особенно в отношении денежных потоков по ипотечным кредитам и связанная с ними неопределенность. Это включает в себя вероятность невыполнения обязательств клиентами и необходимость для банков перепродавать дома, иногда в убыток. В лекции подчеркивается важность ценообразования и управления рисками при выдаче ипотечных кредитов, в частности, при рассмотрении риска трубопровода и риска досрочного погашения. Риск трубопровода возникает из-за временной задержки между согласованием ипотеки и подписанием контракта, что оставляет возможность для изменения процентной ставки в течение этого периода.
Риски, связанные с ипотечными кредитами, такие как риск трубопровода и риск досрочного погашения, рассматриваются более подробно. Риск трубопровода относится к риску того, что клиент может выбрать более низкую процентную ставку, что происходит, когда у клиента есть возможность выполнить контракт по более низкой ставке. С другой стороны, риск досрочного погашения связан с желанием клиента изменить договор и связанным с ним риском досрочного погашения. Финансовые учреждения, заключающие контракты с клиентами, сталкиваются с незакрытыми позициями, которые вносят дополнительные риски в ценообразование деривативов. Ипотечные кредиты имеют встроенную опцию, которая позволяет залогодержателю погасить свою ипотеку быстрее согласованного графика, что приводит к риску досрочного погашения. В лекции подчеркивается, что для залогодержателя логично отдавать приоритет погашению своей ипотеки, а не хранить сбережения на счете с отрицательной процентной ставкой или без процентной ставки.
Хотя ценообразование ипотечных кредитов в рамках нейтральной к риску меры важно, в лекции подчеркивается, что потребительские стимулы брать или досрочно оплачивать ипотечные кредиты могут не быть обусловлены исключительно рыночными обстоятельствами. Такие факторы, как возраст или финансовая свобода, могут повлиять на стимулы к досрочному погашению ипотеки и уклонению от ежемесячных платежей. В лекции исследуется связь между ценообразованием в рамках нейтральной к риску меры и поведенческими аспектами, связанными с ценообразованием предоплаты. В нем также рассматриваются два типа графиков амортизации: аннуитетная ипотека и пулевая ипотека, которые гарантируют, что заемщики в конечном итоге погасят первоначальную сумму займа для покупки дома вместе с дополнительными суммами, представляющими расходы по кредиту.
Видео объясняет взаимосвязь между ипотекой, предоплатой и рисками, с которыми сталкиваются финансовые учреждения. Досрочные платежи заемщиков, превышающие их запланированные платежи, требуют от банка корректировки их хеджирования, что приводит к дополнительным расходам. Крупные предоплаты также могут уменьшить входящий денежный поток банка и срок действия контракта. Однако значительное количество внезапных досрочных платежей создает риск досрочного погашения, который необходимо проанализировать и смягчить. Чтобы управлять этими рисками, банки создают ипотечные портфели и используют свопы для погашения платежей с фиксированной процентной ставкой.
Лектор обсуждает риски и прибыль, связанные с ипотекой и предоплатой. Ипотечные кредиты оцениваются на уровне портфеля, а хеджирование состоит из значительно более крупных номиналов. Прибыльность банка при ипотеке зависит от таких факторов, как номинальная сумма, продолжительность кредита и процентная ставка. Предоплата, однако, представляет собой потенциальный убыток для банка. Другие риски, связанные с ипотекой, включают риск трубопровода, налоговый риск, риск дефолта и риск краха рынка жилья. В лекции подчеркивается, что выбранный план погашения ипотеки может повлиять на сумму начисленных процентов.
Лектор предоставляет подробное исследование различных типов ипотечных кредитов и связанных с ними графиков погашения. Одним из таких видов является пулевая ипотека, которая предполагает единовременный платеж в конце срока ипотеки. Хотя это упрощает платежные обязательства в течение срока действия, это сопряжено с риском существенного платежа, подлежащего уплате в конце. Лектор предполагает, что пулевая ипотека может подойти людям, у которых есть альтернативные инвестиционные возможности, например, сберегательный счет с более высокой процентной ставкой, чем по ипотеке. Лекция также предлагает обзор ежемесячных платежей и периодов начисления, обеспечивая всестороннее понимание структуры платежей по ипотечным кредитам.
Подробно обсуждаются постоянные ставки досрочного погашения, связанные с ипотекой. Эти ставки представляют собой фиксированные суммы, которые домовладельцы предпочитают досрочно выплачивать по своим ипотечным кредитам. Ставка досрочного погашения обычно оценивается на основе большого портфеля ипотечных кредитов и влияет на условную стоимость в течение периода амортизации. Также упоминаются юридические ограничения в отношении сумм предоплаты. Лектор рассчитывает общую сумму процентов, выплаченных по ипотечному кредиту, используя ставку досрочного погашения, и подчеркивает важность учета досрочного погашения при ценообразовании по ипотечному кредиту. Численные эксперименты и упражнения представлены для иллюстрации концепций, а график и код Python используются для эффективного анализа денежных потоков и графиков амортизации.
В лекции подчеркивается влияние ставок досрочного погашения на амортизацию ипотечного кредита с течением времени. В качестве примера приводится 10-летняя ипотека с фиксированной процентной ставкой и процентной ставкой 3%, которую банк должен хеджировать с помощью свопа. В эксперименте сравниваются сценарии с предоплатой и без нее, демонстрируя, как предоплата постепенно уменьшается с течением времени по мере уменьшения невыплаченной условной суммы. Результаты показывают, что предоплата может значительно снизить сумму выплачиваемых процентов, но в конце все равно требуется существенная единовременная выплата. Лектор также отмечает, что на практике ипотечные кредиты могут сочетаться со сберегательными счетами или деривативами, которые предлагают более высокую доходность, а также минимизируют налогообложение непогашенной условной суммы.
Кроме того, лекция посвящена построению графика погашения ипотечного кредита с использованием кода Python. Код позволяет рассчитывать графики платежей на основе заданных процентных ставок и ставок досрочного погашения. Он предоставляет матричный массив, который описывает необходимые платежи на протяжении всего срока действия ипотеки. Ставки досрочного погашения могут быть выражены в процентах, что удобно для анализа большого портфеля ипотечных кредитов. Введение предоплаты влияет на график платежей, демонстрируя гибкость и полезность кода Python для анализа структур платежей.
Спикер объясняет столбцы матрицы ипотечных платежей. В первом столбце представлено время, а во втором столбце следует незавершенное понятие. Предоплата, погашение и условная котировка определяются в последующих столбцах. В столбце предоплаты указана доля условной предоплаты, которая определяется постоянной ставкой предоплаты (CPR). Погашение в четвертом столбце означает уменьшение непогашенной суммы каждый месяц при регулярных платежах. В пятом столбце представлены процентные платежи, а в последнем столбце указаны требуемые ежемесячные платежи. Лектор демонстрирует модель на примере 30-летней ипотеки без предоплаты.
Таким образом, лекция представляет собой обширное исследование ипотечного ценообразования, рисков досрочного погашения и их влияния на финансовые учреждения. Он охватывает различные типы ипотечных кредитов, в том числе ипотечные кредиты и аннуитетные ипотечные кредиты, и подчеркивает важность учета поведения клиентов и стимулов при установлении цен на ипотечные кредиты. В лекции рассматриваются риски, с которыми сталкиваются финансовые учреждения, такие как риск трубопровода и риск досрочного погашения, и обсуждаются стратегии снижения этих рисков посредством управления портфелем и использования производных финансовых инструментов, таких как свопы. В лекции также подчеркивается неопределенность, связанная с ипотечными денежными потоками, в том числе возможность дефолта клиентов и необходимость для банков перепродавать дома с потенциальными убытками.
Кроме того, в лекции признается, что ценообразование ипотечных кредитов исключительно в рамках нейтральной к риску меры может не охватывать весь спектр потребительских стимулов и поведения. Такие факторы, как возраст, финансовая свобода и личные предпочтения, могут существенно повлиять на решения клиентов о досрочном погашении или рефинансировании своих ипотечных кредитов. Таким образом, в лекции подчеркивается важность интеграции поведенческих аспектов в модели ценообразования ипотечных кредитов с учетом мотивов и рациональных/иррациональных решений заемщиков.
Лектор исследует концепцию постоянных ставок предоплаты и их связь с управлением портфелем. Вместо анализа рисков досрочного погашения на уровне отдельного клиента в лекции подчеркивается необходимость оценки общего профиля погашения ипотечного портфеля. Принимая во внимание совокупное поведение досрочного погашения, банки могут лучше управлять сопутствующими рисками и использовать такие инструменты, как индексные амортизирующие свопы, для эффективного сопоставления и хеджирования рисков досрочного погашения.
Кроме того, лекция посвящена рискам, с которыми сталкиваются финансовые учреждения в связи с ипотекой и предоплатой. Когда заемщики делают значительные досрочные платежи, это требует корректировки стратегии хеджирования банка, что приводит к дополнительным расходам и потенциальным нарушениям движения денежных средств и срока действия контракта. Внезапная досрочная оплата значительного числа клиентов создает риск досрочной оплаты, который необходимо тщательно проанализировать и хеджировать, чтобы смягчить его влияние на портфель банка. Лектор подчеркивает, что банки создают ипотечные портфели и используют свопы для погашения платежей с фиксированной процентной ставкой, тем самым снижая риски.
Лекция завершается обсуждением оценки ипотечных ценных бумаг, отмечая, что она зависит от наблюдаемых на рынке величин. Хотя этот аспект кратко упоминается, лекция подразумевает, что более глубокое изучение этих величин будет рассмотрено в последующих частях курса.
Лекция дает всестороннее понимание ипотечного ценообразования, рисков досрочного погашения и их последствий для финансовых учреждений. В нем рассматриваются различные типы ипотечных кредитов, поведенческие аспекты, методы управления портфелем и стратегии снижения рисков. Рассматривая сложную динамику ипотечных денежных потоков, досрочных платежей и поведения клиентов, лекция дает зрителям знания и инструменты, необходимые для эффективного решения проблем ценообразования и управления ипотечными портфелями.