개념 캡슐의 주제를 탐구하고 옵션 값에 영향을 미치는 요소를 탐색해 봅시다. 이 주제는 FRM 프로그램뿐만 아니라 CFA 커리큘럼의 세 가지 수준 모두와 관련이 있습니다. 요인을 자세히 살펴보기 전에 옵션 표기법과 기본 옵션 보상 프로필을 요약해 보겠습니다.
옵션 이론에서 다루는 개념과 일치하는 옵션의 가치에 영향을 미치는 6가지 요소가 있습니다. 표기법을 검토해 봅시다. 현재 주가는 "S"로 표시됩니다. 행사 가격 또는 행사 가격은 "X" 또는 "K"로 표시됩니다. 두 표기법 중 하나를 사용할 수 있습니다. 옵션 만기까지의 시간은 "T"로 표시되며 옵션이 만기에 도달할 때까지 남은 시간을 나타냅니다. "R"은 평가 기간 동안 단기 무위험 비율을 나타냅니다. 마지막으로 "D"는 기본 주식 또는 자산과 관련된 배당금 또는 기타 혜택의 현재 가치를 나타냅니다.
이제 옵션의 정의와 다양한 보상 프로필을 간단히 요약해 보겠습니다. 옵션은 구매자에게 의무가 아닌 권리를 제공한다는 점에서 선도 또는 선물과 다릅니다. 옵션 구매자는 자신에게 가장 유리한 옵션에 따라 권리를 행사할지 여부를 선택할 수 있습니다. 옵션에는 콜 옵션과 풋 옵션의 두 가지 유형이 있습니다. 콜옵션은 기초자산을 살 수 있는 권리를, 풋옵션은 기초자산을 팔 수 있는 권리를 부여합니다. 이러한 관점은 롱 포지션에서 나온 반면 숏 포지션은 이러한 행동을 뒤집는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 짧은 콜은 기본 자산을 매도할 의무를 나타냅니다.
네 가지 옵션 지불 포지션은 롱 콜, 숏 콜, 롱 풋 및 숏 풋입니다. 콜 매수는 기본 자산을 매수할 수 있는 권리를 나타내며 일반적으로 자산 가격이 상승할 것으로 예상할 때 사용됩니다. 반대로 콜 매도는 기초 자산을 매도할 의무를 나타냅니다. 풋 매수의 경우 보유자는 기본 자산을 매도할 권리가 있으며 일반적으로 자산 가격이 하락할 것으로 예상할 때 사용됩니다. 풋 매도는 기본 자산을 매수할 의무를 나타냅니다.
이러한 옵션의 가치를 계산하기 위해 공식을 사용할 수 있습니다. 콜 매수의 공식은 최대값 0과 주가(ST)와 행사가격(K)의 차이입니다. 짧은 통화의 경우 수식은 긴 통화의 음수 값입니다. 풋 매수의 공식은 최대 0과 행사 가격(K)과 주가(ST)의 차이입니다. 마지막으로 짧은 풋은 긴 풋의 음수 값입니다.
미국식 옵션과 유럽식 옵션을 구분하는 것이 중요합니다. 미국식 옵션은 더 많은 유연성을 제공하여 보유자가 만기까지 언제든지 옵션을 행사할 수 있도록 합니다. 반면에 유럽 옵션은 보다 경직되어 만기 시에만 행사할 수 있습니다. 그러나 유럽 옵션은 여전히 만기 이전에 거래할 수 있으며 행사는 마지막 날에만 가능합니다. 우리의 분석에서는 주로 유럽 옵션에 미치는 영향을 고려합니다. 미국 옵션은 추가된 유연성으로 인해 더 비싼 경향이 있기 때문입니다.
옵션 값에 영향을 미치는 요소의 주요 주제로 이동하여 제공된 표를 살펴보겠습니다. 테이블에는 변수와 콜 및 풋 값에 미치는 영향이 표시됩니다. 이러한 요인의 증가가 미치는 영향을 분석하는 데 중점을 둘 것입니다.
먼저 주가(S)를 살펴보자. 주가가 상승하면 콜 가치도 상승합니다. 주가와 행사가격의 차이가 벌어져 콜옵션 가치가 높아지기 때문이다. 반대로, 풋 옵션 공식에서 주가와 관련된 음의 부호가 행사 가격과 주가 사이의 스프레드를 좁히기 때문에 주가가 상승하면 풋 가치가 감소합니다.
다음으로 행사가격(K) 상승의 영향에 대해 알아보겠습니다. 행사가(K)의 상승은 콜 가치와 반비례 관계에 있습니다. 행사가격이 오르면 주가와 행사가격의 차이가 좁아져 콜옵션 가치가 낮아진다. 반면에 행사 가격의 증가는 풋 가치의 증가로 이어집니다. 행사가격이 오르면 행사가격과 주가의 스프레드가 넓어져 풋옵션 가치가 높아진다.
만료 시간(T)으로 이동하면 이 요소의 증가는 콜 및 풋 값 모두에 긍정적인 영향을 미칩니다. 만기까지 남은 시간이 많을수록 기본 주가가 옵션 보유자에게 유리하게 움직일 확률이 높아집니다. 가격 변동 가능성이 높아져 옵션 가치가 높아집니다.
무위험수익률(R)이 옵션 가치에 미치는 영향은 어느 정도 직관적입니다. 무위험 이자율의 증가는 옵션과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치를 증가시킬 것입니다. 이것은 더 높은 콜 값과 더 낮은 풋 값으로 이어집니다.
배당금(D)도 옵션 가치에 영향을 미칩니다. 콜옵션의 경우 배당금이 증가하면 주식과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치가 감소하여 콜옵션 가치가 낮아집니다. 반대로 풋 옵션의 경우 배당금이 증가하면 주식과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치가 증가하여 풋 옵션 가치가 높아집니다.
마지막으로 기본 주식(σ)의 변동성은 콜 및 풋 값 모두에 긍정적인 영향을 미칩니다. 변동성이 높을수록 더 큰 가격 변동 가능성이 높아져 옵션이 내가격으로 끝날 가능성이 높아집니다. 결과적으로 콜옵션과 풋옵션의 가치는 주식 변동성이 높을수록 상승합니다.
이러한 요소가 옵션 가치에 미치는 영향은 다른 요소와 시장 조건에 따라 달라질 수 있다는 점에 유의해야 합니다. Black-Scholes 모델과 같은 옵션 가격 책정 모델은 이러한 요소를 고려하고 옵션 평가를 위한 보다 포괄적인 프레임워크를 제공합니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 요인을 이해하는 것은 옵션 가격 책정, 위험 관리 및 옵션과 관련된 투자 전략 개발에 매우 중요합니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 또 다른 중요한 요소는 기초자산(S)의 가격입니다. 콜 옵션의 경우, 기초 자산의 가격이 상승함에 따라 옵션 보유자는 더 낮은 행사가로 자산을 매수한 다음 더 높은 시장 가격으로 매도할 권리가 있기 때문에 옵션의 가치가 높아집니다. 이러한 이익 가능성은 더 높은 콜 옵션 가치로 이어집니다. 반면에 풋 옵션의 경우 기초 자산의 가격이 상승하면 옵션 보유자는 자산을 더 낮은 행사 가격으로 매도할 권리가 있고 시장 가격은 더 높기 때문에 옵션의 가치가 떨어집니다. 이러한 손실 가능성으로 인해 풋 옵션 값이 낮아집니다.
내재 변동성(IV)은 옵션 가치에 영향을 미치는 또 다른 중요한 요소입니다. 내재 변동성은 미래 변동성에 대한 시장의 기대치이며 옵션의 현재 가격에서 파생됩니다. 내재 변동성이 증가하면 기초 자산의 더 큰 가격 변동 가능성이 높기 때문에 옵션 가치가 상승하는 경향이 있습니다. 변동성이 증가하면 옵션이 내가격으로 마감될 확률이 높아져 옵션 가치가 높아집니다. 반대로 내재 변동성이 감소하면 옵션 가치가 하락하는 경향이 있습니다.
시장 공급 및 수요 역학도 옵션 가치에 영향을 미칠 수 있습니다. 옵션에 대한 수요가 높으면 구매 압력 증가로 인해 가격이 상승할 수 있습니다. 반대로 옵션에 대한 수요가 적으면 가격이 하락할 수 있습니다. 시장 상황, 투자자 정서 및 전반적인 시장 추세는 공급 및 수요 역학에 영향을 미쳐 옵션 가치에 영향을 미칠 수 있습니다.
여기에서 논의된 요소는 옵션 평가를 위한 이론적 프레임워크를 제공하는 Black-Scholes 모델과 같은 옵션 가격 책정 모델에서 일반적으로 사용된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 그러나 실제 옵션 가격은 시장 비효율성, 거래 비용, 유동성 및 기타 요인으로 인해 모델의 예측과 다를 수 있습니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 요인을 이해하는 것은 옵션 거래자와 투자자에게 매우 중요합니다. 이러한 요소를 고려하고 시장 상황을 분석함으로써 개인은 옵션 거래 전략, 위험 관리 및 포트폴리오 구성에 대해 더 많은 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
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안녕하세요, 환영합니다! 오늘, 우리는 주식 지수의 개념을 탐구하고 특히 주식 지수에 중점을 둔 다양한 가중치 방법을 탐구할 것입니다. 주식 지수는 널리 인식되고 뉴스에서 흔히 볼 수 있지만 지수가 주식 시장에만 국한되지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 고정 소득, 헤지 펀드, 통화 및 기타 여러 시장에 사용할 수 있는 지수가 있습니다.
지수는 기본적으로 특정 시장을 나타내는 것입니다. 투자자가 시장의 성과와 위험을 추적할 수 있는 도구 역할을 합니다. 또한 ETF(Exchange-Traded Funds)는 종종 이러한 지수를 벤치마크로 사용합니다. 지수에는 가격 수익률 지수와 총 수익률 지수의 두 가지 기본 버전이 있습니다.
가격 수익률 지수는 구성 증권의 가격만을 추적합니다. 지수의 종가와 시작가의 차이를 지수의 원래 가격 수준으로 나눈 값을 계산합니다. 본질적으로 가격 수익률 지수는 보유 기간 수익률의 개념과 유사합니다.
반면에 총 수익률 지수는 가격 변동을 추적할 뿐만 아니라 구성 증권과 관련된 소득 또는 분배도 고려합니다. 여기에는 배당금 또는 이자의 재투자가 포함됩니다. 총 수익률 지수를 계산하기 위해 가격 차이는 소득 수익률과 결합됩니다. 앞에서 언급한 공식을 사용하거나 BA II Plus 또는 HP 12C와 같은 계산기에서 사용할 수 있는 백분율 변경 기능을 활용할 수 있습니다.
다양한 유형의 주가 지수로 이동하여 가장 간단한 것인 가격 가중 지수부터 시작하겠습니다. 이 방법에서는 각 구성종목의 가격을 합산하여 평균값을 산출합니다. 모든 유가 증권의 한 단위를 구매한다고 가정합니다. 이 지수 유형은 일반적으로 Dow Jones Industrial Average 및 Nikkei와 같은 예에서 사용됩니다. 계산하기는 간단하지만 단점도 있습니다. 주식 분할 또는 통합이 있을 때마다 가격 변동에 영향을 받지 않도록 지수 수준을 조정해야 합니다.
또 다른 유형은 비가중 지수라고도 하는 동일 가중 지수입니다. 이 방식은 단위 수에 관계없이 각 유가 증권에 동일한 금액을 투자합니다. 이것은 많은 경우에 부분 공유로 이어집니다. 동일 가중 지수는 지수 주식의 산술 평균 수익률을 취하여 계산됩니다. 동일 가중 지수의 예로는 Value Line Composite Average 및 Financial Times 보통주 지수가 있습니다.
우리가 논의할 세 번째 유형은 가치 가중 방식으로도 알려진 시가 총액 가중 지수입니다. 각 구성종목의 가중치는 시가총액에 의해 결정됩니다. 시가총액은 발행주식수에 주가를 곱해 계산한다. 각 증권에 할당된 가중치는 해당 증권의 시가총액을 모든 증권의 총 시가총액으로 나누어 계산합니다. 이 방법은 지수의 전체 가치를 반영합니다. 시가 총액 가중 지수의 예는 S&P 500입니다.
이러한 개념을 설명하기 위해 각 인덱스 유형에 대한 숫자 예를 살펴보겠습니다. 주어진 가격, 주식 수 및 시가 총액을 기준으로 지수 수준과 수익률을 계산합니다.
결론적으로 주가 지수는 투자자가 다양한 시장의 성과와 위험을 추적하는 데 필수적인 도구 역할을 합니다. 가격 가중, 동일 가중 및 시가 총액 가중 지수와 같은 다양한 가중 방법을 이해하면 투자자는 투자 선호도 및 목표에 따라 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
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안녕하세요. Concept Capsules에 오신 것을 환영합니다! 오늘의 논의 주제는 배당할인모형(DDM)입니다. 이 논의는 주로 CFA 레벨 1 관점에서 DDM의 기본 사항에 초점을 맞추지만 CFA 레벨 2 DDM 장의 입문서 역할을 할 수도 있습니다.
배당 할인 모델은 주식의 가치를 평가하는 데 사용되는 평가 방법입니다. 이 방법에서는 미래 배당금과 종료 가치를 예측한 다음 이러한 현금 흐름을 현재 시간(시간 기간 0)으로 할인합니다. DDM은 우선주와 보통주 모두를 평가하는 데 사용할 수 있으며 보통주는 더 위험한 버전입니다.
DDM을 사용하여 우선주를 평가할 때 우리는 그것을 영구성으로 취급합니다. 우선주는 영구와 유사하게 고정된 배당금을 무기한으로 지급합니다. 우선주 평가 공식은 배당금(현금 흐름)을 우선주 비용(할인율)으로 나눈 영구성 공식에서 파생됩니다. 우선주의 할인율은 보통주에 사용되는 할인율보다 낮아야 한다는 점에 유의해야 합니다. 참여우선주, 전환우선주 등 특별한 범주의 우선주가 있는 경우 그에 따라 배당금 및 할인율을 조정해야 합니다.
우선주의 가치를 계산하는 간단한 예를 살펴보겠습니다. 할인율(k)이 10%이고 배당금(c)이 5라고 가정합니다. 영구성 공식을 적용하면 우선주의 가치는 50입니다.
보통주 가치 평가로 넘어가면 미래 현금 흐름의 규모와 시기가 불확실하기 때문에 더욱 어려워집니다. 또한 CAPM(Capital Asset Pricing Model)과 같은 모델이 일반적으로 사용되는 요구 수익률을 추정해야 합니다. 1년 보유 기간 모델로 시작한 다음 여러 해로 확장할 것입니다.
1년 보유 기간 모델에서는 투자자가 첫해 말에 주식을 매도할 것이라고 가정합니다. 그 해에 받은 배당금을 알고 연말 종료 가치를 추정해야 합니다. CAPM 공식을 사용하여 필요한 수익률을 계산합니다. 현금 흐름은 주식 가치를 결정하기 위해 기간 0으로 다시 할인됩니다.
이 모델은 각 연도의 각 배당금 및 종료 값을 통합하여 여러 해로 쉽게 확장할 수 있습니다. 우리는 새로운 공식을 외울 필요가 없습니다. 우리는 단순히 기간을 조정합니다. 예를 들어 보유 기간이 2년이면 현금 흐름을 2년 동안 할인하는 것입니다.
보유 기간이 3년인 질문에 이 개념을 적용해 보겠습니다. 향후 3년간 연간 배당금은 1유로, 1.5유로, 2유로가 될 것으로 예상됩니다. 3년 후 주가는 20유로로 추정됩니다. 10%의 요구 수익률로 현금 흐름을 기간 0으로 할인하여 주식 가치를 계산할 수 있습니다. 결과 값은 18.67유로입니다.
마지막으로 배당금이 영원히 "g" 비율로 지속적으로 증가한다고 가정하여 보유 기간이 무한하다는 시나리오를 고려합니다. 이 경우 공식은 D0 * (1 + g) / (ke - g)로 단순화됩니다. 여기서 D0는 기간 0의 배당금, ke는 자기자본 비용, g는 일정한 성장률입니다. 아래 첨자에 주의를 기울이고 배당 추정 및 평가 기간을 정확하게 일치시키는 것이 중요합니다.
일정한 수년 후에 성장률이 일정해지면 그 시점부터 Gordon Growth Model(GGM)을 사용할 수 있습니다. 그러나 주식의 가치는 분자에서 배당금이 취해진 연도의 이전 시점에 결정된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 이것은 우리가 the를 사용해야 함을 의미합니다.
GGM(Gordon Growth Model)의 적용을 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 회사가 내년에 주당 2달러의 배당금을 지급할 것으로 예상된다고 가정합니다. 배당금은 매년 5%의 일정한 비율로 무기한 성장할 것으로 예상됩니다. 요구 수익률(ke)은 10%입니다.
GGM 공식을 사용하여 주식 가치를 계산할 수 있습니다.
값 = D1 / (ke - g)
여기서 D1은 기간 1에 예상되는 배당금, ke는 요구 수익률, g는 일정 성장률입니다.
값을 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
가치 = $2 / (0.10 - 0.05) = $40
따라서 GGM에 따르면 주식의 가치는 $40입니다.
Gordon 성장 모델은 일정한 성장률을 가정하며 모든 경우에 해당되지 않을 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 안정적이고 예측 가능한 배당 성장률을 가진 성숙한 회사에 가장 적합합니다.
배당할인모형(DDM)은 주식을 평가하는 데 유용한 도구이지만 한계가 있습니다. 일정한 배당 성장률 및 미래 현금 흐름 추정치의 정확성과 같은 몇 가지 가정에 의존합니다. 시장 상황 및 기타 요인도 주가에 영향을 미칠 수 있으므로 미래 배당금 및 종료 가치를 정확하게 예측하기가 어렵습니다.
또한 DDM은 주로 배당금을 지급하는 회사에 적용됩니다. 배당금을 지급하지 않거나 배당 패턴이 일관되지 않은 회사의 경우 현금 흐름 할인(DCF) 분석과 같은 대체 평가 방법이 더 적합할 수 있습니다.
전반적으로 배당금 할인 모델은 예상 배당금과 미래 현금 흐름을 기반으로 주식 가치를 추정하기 위한 프레임워크를 제공합니다. 이는 회사 주식의 내재 가치를 결정하려는 재무 분석가 및 투자자에게 필수적인 개념입니다.
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이항 옵션 가격 책정 방법의 개념에 대해 살펴보겠습니다. 오늘은 CFA와 재무 커리큘럼 모두에서 다루는 이 주제를 살펴보겠습니다. 옵션의 가치를 계산하는 데 사용되는 두 가지 방법 중 하나이며 다른 하나는 Black-Scholes 모델입니다.
이항 방법은 옵션의 기본 가격이 주어진 시간 간격 내에서 두 가지 상태에만 있을 수 있다고 가정합니다. 이것이 모든 노드에서 가능한 두 가지 상태만 고려하기 때문에 이항이라고 하는 이유입니다. S0으로 표시된 현재 주가부터 시작합니다. 거기에서 우리는 자연의 두 가지 다른 상태인 업스테이트(S_u)와 다운스테이트(S_d)를 고려합니다. 업스테이트의 주가는 현재 주가(S0)에 "u"로 표시된 인수를 곱하여 확률 "p"로 결정합니다. 반대로 다운스테이트의 주가는 현재 주가(S0)에 "d"로 표시된 계수를 (1-p)의 확률로 곱하여 결정됩니다.
업스테이트 노드에 도달하면 위로 또는 아래로 이동할 수 있습니다. 확률은 동일한 p 및 (1-p) 값을 사용하여 트리 전체에서 동일하게 유지됩니다. 예를 들어 상향 이동 확률이 60%이고 하향 이동 확률이 40%인 경우 이러한 확률은 전체 트리에서 일정하게 유지됩니다. u와 d의 다양한 조합으로 표시된 것처럼 각 노드에서 다음 상태의 주가를 계산할 수 있습니다.
이 논의에서는 앞으로 한 기간만 고려한다는 의미인 1주기 방법에 초점을 맞출 것입니다. 우리는 이항 트리의 이 부분으로 제한할 것입니다. 이항 방법을 구현하기 위해 먼저 가능한 두 가지 다른 주가를 결정합니다. 그런 다음 두 노드에서 옵션의 보수를 계산하여 해당 기간 동안의 예상 값을 얻을 수 있습니다. 해당 기간에 대한 기대 가치를 얻은 후에는 DCF(현금 흐름 할인) 공식을 적용하여 기간 0으로 다시 할인합니다. 이 경우 확률이 관련되지 않은 기존 DCF 계산과 달리 DCF 공식의 확률을 사용한다는 점에 유의해야 합니다.
이제 콜 옵션 이항 트리로 이동하겠습니다. 주가 요인을 결정한 후 상승 및 하락의 크기와 확률을 계산합니다. 이들은 각각 "u"와 "d"로 표시됩니다. 다음으로 이항 트리를 그리고 모든 노드에서 옵션 보수를 계산합니다. 여기에는 최대 0 또는 주가(st)와 행사가(k)의 차이를 결정하는 것이 포함됩니다. 그런 다음 보수에 각각의 확률을 곱하고 전체 기간 동안 옵션의 예상 가치를 계산합니다. 마지막으로 이 예상 값을 다시 기간 0으로 할인하여 옵션의 현재 값을 결정합니다.
계산을 용이하게 하기 위해 다양한 표기법과 공식을 사용합니다. 상승 움직임의 위험 중립 확률은 "pi_u"로 표시되는 반면 하락 움직임의 위험 중립 확률은 "pi_d"로 표시됩니다. 이러한 확률은 보완적이므로 합이 100%가 됩니다. 무위험 수익률은 "rf"로 표시되며, "u"와 "d"는 각각 상승과 하락의 크기입니다. 또한 "d"는 1을 "u"로 나눈 값과 같습니다. 상승 움직임과 하락 움직임의 확률을 계산하기 위해 우리는 무위험 비율 "u" 및 "d"를 포함하는 공식을 사용합니다.
이러한 개념을 특정 예에 적용해 보겠습니다. 주식의 현재 가격이 $80이고 상승폭이 1.4이고 무위험 수익률이 다음과 같다고 가정합니다.
예상 보수를 얻은 후에는 옵션의 현재 가치를 얻기 위해 다시 기간 0으로 할인해야 합니다. 이를 위해 우리는 6%로 주어진 무위험 이자율을 사용합니다.
기대 보수를 할인하는 공식은 다음과 같습니다.
현재 옵션 가치 = 기대 보수 / (1 + 무위험 수익률)
값을 대체하면 다음과 같습니다.
현재 옵션 값 = (32 * 0.504 + 0 * 0.496) / (1 + 0.06)
방정식을 단순화하면 다음을 얻습니다.
현재 옵션 값 = (16.128 + 0) / 1.06
현재 옵션 값 ≈ 15.23
따라서 콜옵션의 현재 가치는 약 $15.23입니다.
이 예시는 1년 만기의 이항 옵션 가격 책정 방법을 사용하여 콜 옵션의 평가를 보여준다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 이 프로세스에는 위 요인과 아래 요인을 결정하고, 확률을 계산하고, 이항 트리를 구성하고, 각 노드에서 옵션 보수를 평가하고, 예상 보수를 계산하고, 최종적으로 이를 다시 현재 가치로 할인하는 작업이 포함됩니다.
이항 옵션 가격 책정 방법은 기본 자산의 가격 변동에 대해 단순화된 2가지 상태 모델을 가정하고 모든 실제 역학을 포착하지 못할 수 있음을 명심하십시오. 또한 이 방법은 만료 시에만 행사할 수 있는 유럽식 옵션에 일반적으로 사용됩니다. 미국식 옵션의 경우 최적의 운동 전략을 결정하기 위해 추가 고려 사항이 필요합니다.
이 설명이 이항 옵션 가격 책정 방법과 관련된 단계와 이 접근 방식을 사용하여 콜 옵션을 평가하는 방법을 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 추가 질문이 있으면 알려주세요!
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이 비디오 시리즈에서 James Forjan 교수는 FRM Part 2 - Book 2 - Quantitative Analysis에 포함된 장에 대한 포괄적인 내용을 제공합니다. 이 시리즈는 확률, 가설 테스트, 회귀 및 코퓰러를 비롯한 다양한 주제를 깊이 있게 탐구합니다. Forjan 교수는 각 개념을 자세히 탐구하고 이러한 주제에 대한 응시자의 이해력과 숙달을 향상시키는 것을 목표로 관련 질문 예제를 제공합니다. 이 비디오 시리즈에 참여함으로써 응시자는 양적 분석에 대한 이해를 강화하고 FRM 파트 2 시험을 효과적으로 준비할 수 있습니다.
양적 분석 시리즈의 2권 1장은 확률의 기본 원리와 재무 위험 관리에서의 확률 적용에 중점을 둡니다. 이 장의 목표는 재무 위험 관리자가 위험을 효과적으로 식별, 정량화 및 관리하는 데 도움을 주는 것입니다. 이러한 작업에서 확률을 고려하는 것의 중요성을 강조합니다.
이 장은 위험을 확률로 측정할 수 있는 결과의 불확실성과 가변성으로 정의하는 것으로 시작합니다. 이전 책과 비교하여 책 2의 양적 특성을 강조하고 장 전체에서 금융 및 일반 계산기의 사용을 언급합니다.
이 장의 학습 목표는 확률과 관련된 다양한 개념을 설명, 구별, 정의 및 계산하는 것입니다. 그러한 개념 중 하나는 골프장 스프링클러 시스템을 위해 두 명의 배관공 중 하나를 선택하는 예를 통해 설명되는 상호 배타적인 이벤트입니다. 상호 배타적 이벤트의 개념은 하나의 이벤트를 선택하면 다른 이벤트의 발생이 제외된다는 것입니다.
이 장에서는 또한 개별적인 장점에 따라 평가되고 다른 결과의 수락 또는 거부에 영향을 미치지 않는 독립적인 이벤트에 대해 설명합니다. 날씨와 주식 시장 수익률과 관련된 예를 제시하여 독립적인 이벤트와 잠재적인 관계를 보여줍니다.
조건부 확률은 다른 이벤트의 발생에 따라 달라지는 확률로 도입됩니다. 직업, 소득 수준, 결혼과 같은 다양한 요인에 따라 쌍둥이를 가질 확률과 같은 개인적인 경험에 비유합니다. 경제적 맥락에서 GDP와 이자율 간의 관계는 조건부 확률의 예로 사용됩니다.
이 장에서는 영국 통계학자 Thomas Bayes의 이름을 딴 Bayes 정리를 사용하여 조건부 확률을 계산하는 방법을 설명합니다. 베이즈 정리는 알려진 결과로 이어지는 일련의 사건을 예측할 수 있게 해줍니다. 새로운 정보를 기반으로 수정된 확률인 사후 확률의 개념을 소개합니다.
최근 시행된 감세에 따른 현직 대통령의 당적 확률이나 초과수익 창출에 따른 경영자 인증 확률을 판단하기 위해 베이즈 정리를 사용한 예를 제시하고 있다.
이 장은 논의된 공식의 요약표로 마무리되며, 독자가 예제를 통해 작업하고 개념을 암기하도록 권장합니다. 예측 및 의사 결정의 정확성을 향상시키기 위해 더 많은 정보를 얻는 것의 중요성을 강조합니다.
정량적 분석에서 확률의 기초에 관한 이 장에서는 재무 위험 관리자에게 위험을 이해하고 관리하기 위한 필수 도구를 제공합니다. 이것은 효과적인 위험 관리를 위한 포괄적인 프레임워크를 제공하면서 이전 책에서 논의된 위험 관리 원칙과 수학적 원리를 결합합니다.
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정량분석 1부 2권에는 확률변수에 대한 장이 있다. 저자는 1980년대 후반에 그들이 Excel이 된 Lotus 1-2-3을 배웠을 때의 경험을 회상합니다. 그들은 함수 마법사 내부의 난수 생성기와 난수 생성이 얼마나 매력적이었는지를 회상합니다. 이러한 값은 무작위로 생성되었지만 위험 관리 및 재무 연구에서 무작위 변수에 대한 연구는 주식 수익률, 채권 수익률, 파생 상품 증권 수익률, 포트폴리오 가치, 위험 가치 및 예상 부족분에 대한 더 깊은 이해를 제공합니다.
이 장을 연구하는 목적은 위험 관리에 적용할 수 있는 확률 변수에 대한 견고한 기반을 구축하는 것입니다. 학습 목표에는 PMF(확률 질량 함수), CDF(누적 분포 함수), 기대치, 분포 모멘트, 불연속 확률 변수와 연속 확률 변수의 구별과 같은 다양한 개념을 설명, 설명 및 특성화하는 것이 포함됩니다. 또한 이 장에서는 분포를 동일한 부분으로 나누는 분위수를 다루고 선형 변환에 대해 간략하게 다룹니다.
확률 변수는 예상되는 미래 값이 불확실한 수량으로 정의됩니다. 또한 가능한 값이 임의 현상의 결과인 변수로 설명될 수도 있습니다. 예를 들어, 주가나 신용 디폴트 스왑의 가치를 예측하려면 무작위 변수를 다루어야 합니다. 이러한 결과에는 특정 시나리오에 따라 달라지는 확률이 할당됩니다. 예를 들어, 주가가 1달러 상승하거나 하락할 확률은 999와 같이 훨씬 더 높은 값으로 상승하거나 0으로 하락할 확률보다 훨씬 더 높습니다.
무작위 변수를 효과적으로 분석하려면 잠재적 결과에 확률을 할당하고 이벤트를 특정 결과 또는 일련의 결과로 정의하는 것이 중요합니다. 랜덤 변수는 불연속형 또는 연속형으로 분류할 수 있습니다. 불연속 확률 변수에는 결과가 1에서 6인 주사위를 굴리는 것과 같이 가능한 값의 집합이 있습니다. 반면에 연속 확률 변수는 주어진 간격 내에서 어떤 값이든 취할 수 있으며 종종 다음과 같은 부드러운 곡선으로 표시됩니다. 마라톤을 뛰는 데 걸리는 시간.
확률 함수는 확률 변수의 가능한 값 간에 총 기회가 어떻게 분포되어 있는지에 대한 정보를 제공합니다. 확률 함수에는 불연속 확률 변수에 대한 확률 질량 함수(PMF)와 연속 확률 변수에 대한 확률 밀도 함수(PDF)의 두 가지 유형이 있습니다. PMF는 임의 변수가 특정 값을 가질 확률을 제공하는 반면 PDF는 임의 변수가 주어진 간격 내에 떨어질 확률을 설명합니다. 두 가지 유형의 함수 모두 확률 범위가 0과 1 사이이고 모든 확률의 합이 1이 되도록 하는 속성이 있습니다.
누적 분포 함수(CDF)는 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 제공합니다. 이산 확률 변수의 경우 CDF는 계단 모양의 그래프로 시각화할 수 있는 반면 연속 확률 변수의 경우 부드러운 곡선으로 나타납니다. 음의 무한대에서 특정 값으로 PDF를 통합하여 CDF를 계산할 수 있습니다.
무작위 변수 및 관련 기능을 이해하는 것은 위험 관리 및 재무 분석에 필수적입니다. 이러한 개념은 다양한 결과의 가능성을 평가하고 정보에 입각한 결정을 내리기 위한 프레임워크를 제공합니다.
확률질량함수(PMF)와 확률밀도함수(PDF)는 랜덤 변수의 분포에 대한 중요한 정보를 제공합니다. PMF는 불연속 확률 변수에 사용되며, 이 함수는 확률 변수가 특정 값을 가질 확률을 제공합니다. 반면 PDF는 연속 랜덤 변수에 사용되며 랜덤 변수가 특정 간격 내에 떨어질 확률을 제공합니다.
Bernoulli 확률 변수의 예를 살펴보겠습니다. 이 확률 변수는 0 또는 1의 두 값만 가질 수 있는 단순한 이산 확률 변수입니다. 농구에서 자유투의 결과를 나타내는 Bernoulli 확률 변수가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 변수의 PMF는 샷을 성공하거나 놓칠 확률을 보여줍니다. 슛을 성공시킬 확률이 0.7인 경우 PMF는 값 1(슛 성공)에 0.7의 확률을 할당하고 값 0(슛 실패)에 0.3의 확률을 할당합니다. 이러한 확률의 합은 항상 1이어야 합니다.
마라톤을 달리는 데 걸리는 시간과 같은 연속 무작위 변수의 경우 PDF를 사용합니다. PDF는 특정 간격 내에 속하는 랜덤 변수의 확률을 설명합니다. 마라톤 실행 시간의 예를 들어 PDF는 주어진 시간 범위에서 마라톤을 완주할 확률을 제공합니다. 이를 시각화하기 위해 가로축이 실행 시간을 나타내고 세로축이 확률 밀도를 나타내는 그래프를 상상할 수 있습니다. 특정 간격 내의 곡선 아래 영역은 해당 범위에 속하는 무작위 변수의 확률을 나타냅니다.
PMF 및 PDF는 확률 변수의 분포를 이해하는 데 중요한 도구입니다. 이를 통해 특정 값이나 간격에 확률을 할당하고 다양한 결과의 가능성에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다. 이러한 개념은 주식 수익률, 채권 수익률 및 포트폴리오 가치와 같은 다양한 금융 변수의 불확실성을 분석하고 정량화하는 데 도움이 되므로 위험 관리 및 금융 연구의 기본입니다.
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이 텍스트는 정량적 분석의 1부, 2권에서 가져온 것이며 일반적인 일변량 무작위 변수에 대한 장에 중점을 둡니다. 개인적으로 저는 이 장이 제가 박사 과정 동안 수학적 경제학과 계량 경제학 수업에서 배운 것을 연상시킵니다. 학습 목표를 살펴보고 그것이 우리에게 어떻게 적용되는지 봅시다.
첫 번째 학습 목표는 특히 중요합니다. 서로 다른 분포 사이에서 주요 속성을 구별해야 합니다. 다양한 분포를 분석하고 유사점과 차이점을 식별합니다. 마지막으로 혼합 분포의 개념도 살펴보겠습니다.
균등 분포부터 시작하겠습니다. 이 분포에서 모든 가능한 결과는 주어진 범위에서 동일한 가능성을 갖습니다. 균일 분포 그래프는 왼쪽의 0에서 시작하여 오른쪽의 X까지 확장됩니다. X로 표시된 랜덤 변수는 이 범위 내의 모든 값을 가질 수 있습니다. 특히 최소값을 알파라고 하고 최대값을 베타라고 합니다. 0과 알파 사이 또는 베타와 범위의 상한 사이에는 값이 없다는 점에 유의해야 합니다. 균일 분포의 전형적인 예는 공정한 6면체 주사위를 굴리는 것입니다. 1에서 6까지의 각 결과는 1/6의 동일한 확률을 갖습니다. 따라서 알파에서 베타까지의 값은 동일할 가능성이 있습니다. 텍스트는 균일 분포에 대한 확률 밀도 함수, 평균 및 분산 공식도 제공합니다.
논의된 또 다른 예는 고객이 포트폴리오 관리자를 만나기 위해 기다리는 시간으로, 0분에서 15분 사이에 균일하게 분배될 수 있습니다.
계속해서 더 흥미로운 Bernoulli 분포를 만납니다. 여기에는 종종 성공(1)과 실패(0)를 나타내는 두 가지 가능성에 값을 할당하는 작업이 포함됩니다. 제공된 예는 은행의 성공 또는 실패를 나타내지만 이러한 값은 더 폭넓은 해석을 가질 수 있습니다. Bernoulli 분포의 그래프 범위는 0에서 1까지이며 어떤 일이 발생할 확률은 100%여야 합니다. 주어진 예에서 P로 표시되는 성공 확률은 0.7입니다. 즉, 은행 10개 중 7개는 성공하고 10개 중 3개는 실패합니다. 이 텍스트는 Bernoulli 분포의 평균 및 표준 편차에 대한 공식을 제공합니다.
다양한 예는 생명 보험의 성공 또는 실패 또는 동일한 가능성으로 배당금을 지불하는 회사 또는 전혀 지불하지 않는 회사와 같은 Bernoulli 분포의 적용을 보여줍니다.
다음으로 고정 수입 분석 및 옵션 평가에서 유용성을 찾는 이항 분포를 만납니다. 여기에는 각각 P로 표시되는 동일한 성공 확률을 갖는 n개의 독립적이고 동일한 Bernoulli 시행의 시퀀스가 포함됩니다. 이러한 시행의 성공 수에 대한 공식은 계승 표기법을 사용하여 설명됩니다. 이항 분포의 평균 및 표준 편차도 제공됩니다. 본문은 생존 확률이 70%일 때 적어도 10개 은행 중 9개 은행이 현금 경색에서 살아남을 확률을 계산하는 예를 제시합니다.
그런 다음 푸아송 분포가 도입됩니다. 이벤트의 타이밍이 임의적이고 독립적이라고 가정하여 특정 시간 간격에서 발생하는 이벤트 수를 모델링합니다. 이벤트 사이의 평균 시간이 알려져 있으며 분포는 매개변수 람다(λ)로 특징지어집니다. 텍스트는 확률 밀도 함수를 제공하고 푸아송 분포의 평균과 분산이 모두 λ와 같다고 언급합니다. 포아송 분포의 예로는 은행에 도착한 고객 수, 축구팀이 득점한 골, 주별 또는 월별 보험 회사에 접수된 청구 건수가 있습니다. 한 달에 평균 2명의 고객이 주어진 자산 관리 회사가 1년에 정확히 30명의 고객을 받을 확률을 계산하는 예제 문제가 제시됩니다.
텍스트는 가우스 분포라고도 하는 정규 분포를 다시 살펴봅니다. 이 분포는 많은 바람직한 속성으로 인해 통계 분석 및 모델링에 널리 사용됩니다. 정규분포의 그래프는 대칭적이고 종 모양이며 평균값에 정점이 있습니다. μ로 표시되는 평균은 분포의 중심을 나타내고 σ로 표시되는 표준 편차는 데이터의 확산 또는 분산을 제어합니다. 텍스트는 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
정규 분포는 종종 금융 및 경제학에서 주식 수익률, 이자율 및 기타 경제 변수를 모델링하는 데 적용됩니다. 가설 테스트 및 신뢰 구간 추정에도 사용됩니다. 특정 임계값을 초과하는 주식 수익률을 계산하는 예제 문제가 제공됩니다.
계속해서 텍스트는 포아송 프로세스에서 이벤트 사이의 시간을 모델링하는 지수 분포를 소개합니다. 이벤트 발생률을 나타내는 매개변수 λ가 특징입니다. 지수 분포는 신뢰도 분석 및 큐잉 이론에서 널리 사용됩니다. 텍스트는 지수 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
주어진 평균 대기 시간을 기준으로 고객이 은행 대기열에서 특정 시간보다 적게 기다릴 확률을 계산하는 예제 문제가 제시됩니다.
마지막으로 텍스트는 정규 분포된 임의 변수의 지수를 취하여 정규 분포에서 파생되는 로그 정규 분포를 소개합니다. 로그 정규 분포는 일반적으로 주식 가격, 자산 수익률 및 양의 왜도와 이분산성을 나타내는 기타 변수를 모델링하는 데 사용됩니다. 텍스트는 로그 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
주어진 현재 가격과 변동성에서 주가가 미래에 특정 값을 초과할 확률을 계산하는 예제 문제가 제공됩니다.
일반적인 일변량 확률 변수에 대한 이 장에서는 정량 분석에 사용되는 다양한 중요 분포를 다룹니다. 이러한 분포와 그 속성을 이해하는 것은 재무, 경제 및 기타 분야에서 데이터를 분석하고 모델링하는 데 필수적입니다. 이러한 개념을 숙달함으로써 정보에 입각한 결정을 내리고 데이터에서 의미 있는 통찰력을 얻을 수 있습니다.
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다변량 확률 변수에 대한 이 장에서는 여러 확률 변수 간의 종속성 개념을 살펴봅니다. 무작위 변수에 대한 이전 장을 바탕으로 채권 가격과 만기 수익률 사이의 관계를 자세히 살펴보고 추가 요인이 채권 가격에 미치는 잠재적 영향을 강조합니다. 다변량 랜덤 변수의 개념을 소개하고 확률 질량 함수 및 확률 밀도 함수에 대한 이해를 확장하여 불연속 및 연속 랜덤 변수를 모두 분석합니다. 이 장은 추가 차원을 분석에 통합하여 지식을 확장하고 궁극적으로 포트폴리오 분석에 대한 이해를 높이는 것을 목표로 합니다. 이 장에서 다루는 주요 주제에는 확률 행렬, 함수의 기대치, 공분산, 상관관계, 변환, 포트폴리오 분석, 분산, 조건부 기대치, 동일하고 독립적으로 분포된 무작위 변수가 포함됩니다.
소개: 이 장은 둘 이상의 확률 변수 사이의 종속성을 설명하는 다변량 확률 변수의 개념을 강조하는 것으로 시작합니다. 채권 가격과 만기 수익률의 예를 통해 우리는 다양한 위험의 복잡성을 포착하기 위해 단일 변수에만 의존하는 것의 한계를 인식합니다. 우리는 채권 가격을 보다 포괄적으로 이해하기 위해 무역, 관세, 세금, 정부 규제 및 소비자 취향과 같은 추가 요소를 고려할 필요가 있음을 인정합니다. 분석을 다변량 랜덤 변수로 확장함으로써 다양한 요인 간의 상호 작용과 연구 변수에 미치는 영향을 설명하는 것을 목표로 합니다.
학습 목표: 이 장에서는 이전 장의 학습 목표와 일치하는 학습 목표를 설명합니다. 이러한 목표에는 확률 행렬 이해, 함수의 기대치 탐색, 무작위 변수 간의 관계 조사, 공분산 및 상관 관계 연구, 변형 분석, 포트폴리오 분석 통합, 분산 탐색, 조건부 기대치 조사, 동일하고 독립적으로 분포된 확률 변수에 대한 토론으로 결론 맺기 등이 포함됩니다. . 이러한 목표는 기존 지식을 기반으로 하며 이를 다변량 분석 영역으로 확장합니다.
다변량 확률 변수: 다변량 확률 변수는 여러 확률 변수 간의 종속성을 포착하는 변수로 도입되었습니다. 단일 변수 분석과 달리 다변량 분석을 통해 이러한 변수가 관심 변수에 어떻게 공동으로 영향을 미치는지 연구할 수 있습니다. 여러 무작위 변수가 연구하려는 변수에 동시에 영향을 미치는 시나리오를 고려합니다. 이 장에서는 다변량 분석이 복잡한 관계에 대한 이해를 어떻게 향상시키는지 보여주는 예를 제공합니다.
확률 분포: 이 장에서는 이전 장에서 소개한 확률질량함수(PMF)와 확률밀도함수(PDF)를 다시 살펴봅니다. 불연속 확률 변수는 PMF와 연관되어 있지만 연속 확률 변수는 확률 분포를 정확하게 나타내기 위해 PDF가 필요합니다. 누적 확률의 개념도 논의되어 구성 요소가 주어진 값보다 작거나 같은 확률을 결정할 수 있습니다. 이러한 도구를 활용하여 정규 분포, 지수 분포 및 균일 분포와 같은 다양한 분포를 기반으로 다양한 결과의 가능성을 평가할 수 있습니다.
이변량 이산 확률 변수 분포: 두 확률 변수 간의 결합 확률을 나타내는 이변량 이산 확률 변수 분포를 탐색합니다. 이 분포를 표 형식으로 시각화하면 변수 간의 관계를 보다 명확하게 이해할 수 있습니다. 조건부 및 주변 분포를 분석하여 특정 결과와 관련된 확률에 대한 통찰력을 얻습니다. 이 분석은 변수 간의 종속성을 확인하고 개별 및 결합된 영향을 평가하는 데 도움이 됩니다.
조건부 분포 및 기대치: 조건부 분포는 한 변수의 값을 알고 있을 때 무작위 변수 간의 관계를 조사하는 수단으로 도입되었습니다. 특정 변수 값에 대한 분석을 조건화하여 다른 변수의 조건부 기대치를 평가할 수 있습니다. 이 접근 방식을 사용하면 특정 조건에서 예상되는 결과를 추정할 수 있으므로 관심 변수에 대한 다양한 요인의 영향을 밝힐 수 있습니다. 조건부 기대치는 주변 확률 및 관련 조건부 확률 분포를 사용하여 계산할 수 있습니다.
무작위 변수 간의 관계 측정: 이 장에서는 무작위 변수 간의 관계 측정의 중요성을 강조하면서 결론을 내립니다. 공분산 및 상관 관계와 같은 다양한 통계 측정을 탐색하여 무작위 변수 간의 의존도를 정량화할 수 있습니다.
공분산은 한 변수의 변화가 다른 변수의 변화에 어떻게 대응하는지 평가하는 척도로 도입되었습니다. 관계의 방향(양수 또는 음수)과 변수가 함께 움직이는 정도를 포착합니다. 이 장에서는 불연속 확률 변수와 연속 확률 변수 모두에 대한 공분산을 계산하는 공식을 제공합니다.
반면에 상관 관계는 공분산을 변수의 표준 편차의 곱으로 나누어 표준화합니다. 이 정규화를 통해 변수 간 관계의 강도를 -1에서 1까지의 척도로 비교할 수 있습니다. 양의 상관관계는 직접적인 관계를 나타내고, 음의 상관관계는 역관계를 나타내며, 0에 가까운 상관관계는 약하거나 선형 관계가 없음을 나타냅니다.
임의 변수의 변환: 이 장에서는 관계 및 분포를 더 잘 분석하기 위해 임의 변수를 변환하는 개념을 탐구합니다. 변환에는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기와 같은 간단한 수학 연산이나 더 복잡한 함수가 포함될 수 있습니다. 적절한 변환을 적용하면 종종 분석을 단순화하고 변수의 동작에 대한 더 깊은 통찰력을 얻을 수 있습니다.
포트폴리오 분석: 이 장에서는 재무에서 다변량 분석을 적용한 포트폴리오 분석을 소개합니다. 수익으로 표시되는 서로 다른 자산 클래스 간의 관계를 다변량 기법을 사용하여 분석할 수 있는 방법을 살펴봅니다. 다양화의 개념이 강조되어 낮거나 음의 상관관계가 있는 자산을 결합하여 포트폴리오 위험을 줄이는 방법을 강조합니다. 포트폴리오 분산 및 공분산과 같은 다양한 척도에 대해 논의하여 포트폴리오 성과를 평가하고 자산 배분을 최적화합니다.
분산 및 공분산 행렬: 이 장에서는 분산의 개념을 자세히 살펴보고 이를 다변량 설정으로 확장합니다. 공분산 행렬이라고도 하는 분산-공분산 행렬은 여러 랜덤 변수 간의 분산 및 공분산을 포괄적으로 나타냅니다. 포트폴리오 분석 및 위험 관리의 핵심 도구 역할을 하여 포트폴리오 위험을 계산하고 최적의 자산 배분을 식별할 수 있습니다.
조건부 기대: 조건부 기대는 주어진 특정 조건에서 무작위 변수의 기대값을 추정하는 수단으로 탐구됩니다. 이 개념을 통해 추가 정보 또는 제약 조건을 분석에 통합하고 예측을 구체화할 수 있습니다. 이 장에서는 불연속 및 연속 확률 변수 모두에 대한 조건부 기대에 대해 논의하고 의사 결정 및 예측 문제에서의 유용성을 강조합니다.
동일하고 독립적으로 분포된 랜덤 변수: 이 장은 동일하고 독립적으로 분포된(iid) 랜덤 변수에 대한 논의로 결론을 내립니다. 무작위 변수 집합이 동일한 분포를 따르고 상호 독립적인 경우 iid라고 합니다. 이 개념은 다양한 통계 분석 및 모델에서 중요합니다. 이 장에서는 확률 이론과 통계적 추론에서의 관련성을 강조하면서 iid 확률 변수의 속성과 의미를 탐구합니다.
요약: 확률 변수의 다변량 분석 및 종속성에 관한 장은 여러 변수의 공동 동작을 고려하여 확률 및 통계에 대한 이해를 확장합니다. 추가 차원을 분석에 통합함으로써 변수 간의 복잡한 관계와 종속성을 더 잘 포착할 수 있습니다. 이 장에서는 확률 행렬, 함수의 기대치, 공분산, 상관 관계, 변환, 포트폴리오 분석, 분산-공분산 행렬, 조건부 기대치 및 iid 임의 변수를 포함한 다양한 주제를 다룹니다. 이러한 개념은 다변량 데이터를 분석하고, 정보에 입각한 결정을 내리고, 무작위 변수의 기본 역학에 대한 더 깊은 통찰력을 얻을 수 있는 도구를 제공합니다.
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Quantitative Analysis, Part 1, Book 2의 "Sample Moments"라는 제목의 장에서는 샘플과 샘플의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 내 비디오를 정기적으로 시청하는 시청자가 알고 있듯이, 나는 관련이 있을 뿐만 아니라 우리의 목적에 부합하는 흥미로운 예를 제시하는 것을 선호합니다. 어떤 사람들은 그것들이 어리석다고 생각할지 모르지만, 그것들은 우리 토론의 맥락에서 의미가 있습니다. 이 장을 시작하기 위해 저는 제가 개인적으로 가장 좋아하는 자몽을 중심으로 소개하는 예를 공유할 것입니다.
자몽 씨앗 탐색: 저는 자몽을 즐겨 먹을 뿐만 아니라 아이들을 위해 자몽을 자르는 즐거움도 얻습니다. 그들은 그 맛을 좋아하고 건강에 틀림없이 유익합니다. 그러나 우리가 자몽을 자르고 그 안에서 수많은 씨를 발견할 때 문제가 발생합니다. 우리가 자몽의 씨앗 수를 이해하는 데 관심이 있는 연구원이라고 가정해 보겠습니다. 이를 조사하기 위해 식품점에서 수천 개의 자몽을 조달하는 여정을 시작합니다. 집에 돌아오면 각 자몽을 세심하게 썰어서 다양한 양의 씨를 발견합니다. 일부 자몽에는 3~4개의 씨가 있는 반면 다른 자몽에는 6~7개의 씨가 있고 일부는 10~12개의 씨가 들어 있습니다.
샘플 데이터 기록: 수천 개의 자몽을 소유하고 있으므로 각 과일의 씨앗 수를 부지런히 기록합니다. 그러나 이 전체 샘플은 광범위한 정보를 제공하지 않을 수 있습니다. 대략적인 범위와 자몽을 자를 때 예상되는 일반적인 아이디어를 제공합니다. 더 깊이 파고들려면 장 제목의 두 번째 부분인 순간으로 초점을 옮겨야 합니다. 우리는 미래의 자몽 소비량과 예상되는 종자 수에 대해 알려줄 수 있는 이 샘플의 순간을 탐색하는 것을 목표로 합니다. 우리가 만나는 첫 순간은 평균 또는 평균입니다. 1,000개의 자몽에 있는 씨앗의 합계를 1,000개로 나누면 평균 5개의 씨앗에 도달할 수 있습니다.
여러 시점 고려: 그러나 새로운 자몽을 자를 때마다 정확히 5개의 씨앗을 얻지 못할 수도 있음을 인정해야 합니다. 씨앗 3개 또는 7개 또는 기타 수량을 검색할 수 있습니다. 따라서 다른 순간도 고려해야 합니다. 요약하면, 이 초기의 사소해 보이는 예에서 얻을 수 있는 중요한 점은 순간(이 장에서 4가지에 대해 논의할 예정임)이 샘플 분포에 대한 통찰력을 제공한다는 것입니다. 이 지식으로 무장하면 미래의 자몽 소비 및 예상 종자 수에 대해 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
학습 목표: 이제 이 장에 설명된 학습 목표로 관심을 옮겨 보겠습니다. 흥미롭게도 이러한 목표는 자몽을 명시적으로 언급하지 않으며 우리 모두가 그것에 대해 감사할 수 있다고 믿습니다. 그래서, 앞으로 무엇이 놓여 있습니까? 우리는 평균, 모집단 모멘트, 샘플 모멘트, 추정기 및 추정치를 포함하는 과다한 추정에 관여할 것입니다. 이러한 순간이 편견을 나타내는지 여부를 평가할 것입니다. 예를 들어, 자몽 샘플에서 자몽 3분의 1마다 50개의 씨앗이 포함되어 있다고 암시하는 순간을 발견한다면, 그것은 자몽 씨앗에 대한 우리의 합리적인 기대와는 거리가 멀고 가능성이 매우 희박해 보일 것입니다. 그러므로 우리는 편향된 순간을 조심해야 합니다. 또한 중심 극한 정리를 살펴보고 분포의 세 번째 및 네 번째 모멘트, 즉 왜도 및 첨도를 조사할 것입니다. 마지막으로 공변량, 상관관계, 공왜도 및 공첨도에 대해 자세히 살펴보며 이 슬라이드 데크를 즐겁고 통찰력 있는 경험으로 만들 것입니다.
결론: 랜덤 변수에 대한 연구는 개별 변수를 분석하는 것 이상입니다. 여기에는 여러 변수의 관계, 종속성 및 분포를 조사하는 것이 포함됩니다.
이러한 개념을 이해함으로써 연구원과 분석가는 복잡한 시스템의 동작과 상호 작용에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 이 장의 다음 섹션에서는 다양한 순간의 중요성과 통계 분석에서의 적용에 대해 자세히 살펴볼 것입니다.
중앙값 및 사분위수 범위: 당면한 주제는 특히 연구에서 중앙값과 그 중요성입니다. 금융계를 포함한 연구자들은 데이터를 네 부분으로 나누고 중간 부분에 집중하는 사분위수 범위를 조사하는 데 관심이 있습니다. 그러나 재무 위험 관리자로서 분포의 왼쪽 꼬리도 고려하는 것이 중요합니다. 여기에서 VaR(Value at Risk)의 개념이 작용하지만 나중에 자세히 살펴보겠습니다. 지금은 중앙값에 대해 논의하는 데 시간을 할애하겠습니다.
중앙값 계산: 중앙값 계산은 관찰 횟수에 따라 다르기 때문에 흥미롭습니다. 예를 들어 다양한 종자 수(3, 5, 7)를 가진 3개의 자몽이 있는 경우 중앙값은 중간 값인 5가 됩니다. 홀수 크기의 샘플에서 중앙값은 단순히 중간 관찰값입니다. 그러나 관측치가 짝수이면 두 중간 값의 평균을 취합니다. 종자 수가 5와 7인 두 자몽의 예에서 중앙값은 (5 + 7) / 2 = 6입니다.
중앙값의 견고성: 중앙값이 데이터 세트의 실제 관찰과 일치하지 않을 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 특히 균일한 크기의 샘플을 처리할 때 그렇습니다. 또한 중앙값은 극단값의 영향을 받지 않으므로 강력한 측정값이 됩니다. 또한 특히 큰 수의 경우 중간점 역할을 합니다.
개별 변수를 넘어 이동: 지금까지 우리는 분포의 순간에 초점을 맞추었습니다. 그러나 평균의 왼쪽과 오른쪽도 이해해야 합니다. 이는 임의 샘플의 동작에 대한 통찰력을 제공하는 중심 극한 정리로 이어집니다. 1,000개의 관측치와 같이 모집단에서 큰 표본을 추출할 때 표본 평균의 분포는 정규 분포에 가깝습니다. 표본 크기가 더 커질수록 표본 평균의 분포는 정규 분포에 더욱 가까워집니다. 우리의 경우 다양한 상점에서 수천 개의 관찰을 수행하여 샘플 평균을 계산하고 샘플링 분포를 근사화할 수 있습니다.
표본 분포 및 근사: 요약하면 표본이 정규 분포를 따른다면 표본 평균의 표본 분포도 정규 분포가 됩니다. 그러나 표본 모집단이 대략 대칭인 경우 특히 표본 크기가 작은 경우 표본 분포가 대략적으로 정상이 됩니다. 그러나 데이터에 왜도를 도입할 때 샘플링 분포가 거의 정상이 되려면 일반적으로 샘플 크기가 30 이상이어야 합니다.
실제 적용: 확률 추정: 이 개념을 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 평균 수명이 30,000km이고 표준 편차가 3,600km인 특정 브랜드의 타이어가 있다고 가정합니다. 81개 타이어의 평균 수명이 29,200km 미만일 확률을 확인하려고 합니다. 제공된 정보와 z-table을 사용하여 z-score를 계산하면 약 0.02275 또는 2.275%의 확률을 찾습니다. 이는 29,200km 미만의 평균 수명을 경험할 확률이 상대적으로 낮다는 것을 나타냅니다.
변수 간의 종속성과 관계: 지금까지 단일 랜덤 변수를 조사했습니다. 그러나 우리는 종종 금리와 인플레이션과 같은 두 변수 사이의 관계를 연구하는 데 관심이 있습니다. 이 두 변수는 임의적이며 높은 상관 관계를 나타낼 가능성이 높습니다. 이 관계를 평가하기 위해 시간 경과에 따른 두 무작위 변수의 결합 변동성을 측정하는 공분산을 사용합니다. 각 관측치의 차이와 두 변수에 대한 해당 평균을 곱하여 공분산을 계산할 수 있습니다.
공분산: 두 변수 X와 Y 사이의 공분산은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
여기서 X와 Y는 변수이고 μX와 μY는 각각의 평균이며 n은 관측치의 수입니다.
공분산의 부호는 변수 간의 관계 방향을 나타냅니다. 공분산이 양수이면 양의 관계를 시사합니다. 즉, 한 변수가 증가하면 다른 변수도 증가하는 경향이 있습니다. 반대로 음의 공분산은 음의 관계를 나타내며 한 변수가 증가하면 다른 변수는 감소하는 경향이 있습니다.
그러나 공분산의 크기만으로는 변수의 척도에 영향을 받기 때문에 변수 간의 관계 강도를 명확하게 측정할 수 없습니다. 이 한계를 극복하고 관계의 강도를 더 잘 이해하기 위해 상관 계수를 사용할 수 있습니다.
상관 계수: r로 표시되는 상관 계수는 두 변수 사이의 선형 관계의 강도와 방향을 측정합니다. -1에서 1 사이의 표준화된 측정값입니다.
상관 계수 계산 공식은 다음과 같습니다.
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
여기서 cov(X, Y)는 X와 Y 사이의 공분산이고, σX와 σY는 각각 X와 Y의 표준편차입니다.
상관 계수는 변수 간의 관계에 대한 귀중한 통찰력을 제공합니다. 상관 계수가 1 또는 -1에 가까우면 강한 선형 관계를 나타냅니다. 상관 계수 1은 완벽한 양의 선형 관계를 나타내고 -1은 완벽한 음의 선형 관계를 나타냅니다. 0에 가까운 상관 계수는 변수 간의 선형 관계가 약하거나 없음을 나타냅니다.
상관관계가 인과관계를 의미하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 두 변수의 상관관계가 높다고 해서 반드시 한 변수가 다른 변수를 변화시킨다는 의미는 아닙니다. 상관 관계는 단순히 두 변수가 함께 움직이는 정도를 정량화합니다.
공분산 및 상관관계 분석을 통해 변수 간의 관계를 이해하면 연구원과 분석가는 서로 다른 요인 간의 패턴, 종속성 및 잠재적인 예측력에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 이러한 척도는 변수 간의 관계를 연구하고 정보에 입각한 결정을 내리기 위해 금융, 경제, 사회 과학 및 기타 여러 분야를 포함한 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.
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양적 분석 과정의 Part 1, Book 2에는 가설 검정에 대한 장이 있습니다. 저자는 이 장에 학생들이 학부 통계 수업에서 기억할 수 있는 정보가 포함될 가능성이 높다고 언급합니다. 이 장에서는 표본 평균 및 표본 분산 이해, 신뢰 구간 구성 및 해석, 귀무 가설 및 대립 가설 작업, 단측 또는 양측 검정 수행, 결과 해석 등 다양한 학습 목표를 다룹니다.
이 장은 표본의 모든 값의 합을 관측치 수로 나눈 값으로 정의되는 표본 평균에 대한 논의로 시작합니다. 표본 평균의 계산이 주요 초점은 아니지만 모집단 평균에 대한 추론을 할 때 표본 평균의 사용을 이해하는 것이 중요합니다. 저자는 전체 모집단에서 데이터를 수집하는 것은 비실용적인 경우가 많기 때문에 평균에 대한 대략적인 샘플링 분포를 제공하는 중심 극한 정리를 기반으로 샘플을 선택하고 테스트를 수행한다고 강조합니다.
다음으로 저자는 일반적으로 모집단의 표준 편차를 알 수 없기 때문에 표본 표준 편차를 추정하는 것의 중요성을 강조합니다. 표본 평균의 표준 오차를 계산하기 위한 공식을 제공합니다. 평균은 $15.50, 표준 편차는 3.3, 표본 크기는 30인 계산을 설명하기 위해 예가 제공됩니다.
그런 다음 이 장에서는 평균에서 관측값의 분산을 측정하는 표본 분산에 대해 설명합니다. 저자는 분산이 높을수록 데이터의 위험이나 변동성이 더 크다는 것을 나타낸다고 설명합니다. 개별 관찰과 표본 평균 간의 차이를 포함하고 자유도로 나누는 표본 분산을 계산하기 위한 공식을 제공합니다.
신뢰 구간으로 이동하면서 저자는 신뢰 수준의 개념을 소개하고 신뢰 수준이 특정 비율의 결과가 떨어질 것으로 예상되는 범위를 제공하는 방법을 설명합니다. 95% 신뢰 수준이 일반적으로 사용되며, 이는 이러한 구간 실현의 95%에 매개변수 값이 포함됨을 의미합니다. 저자는 신뢰 구간을 구성하기 위한 일반 공식을 제시하는데, 이는 점 추정치(예: 표본 평균)에 표준 오차를 더하거나 뺀 값에 신뢰도 요인을 곱한 값을 포함합니다. 신뢰도 요인은 원하는 신뢰 수준과 모집단 분산이 알려졌는지 알려지지 않았는지에 따라 달라집니다.
저자는 원하는 신뢰 수준과 표본 크기에 따라 적절한 신뢰도 요인을 선택할 수 있는 표를 제공합니다. 또한 모집단 분산이 알려졌는지 알려지지 않았는지에 따라 z-점수와 t-점수의 사용에 대해 논의합니다. 샘플 평균과 표준 편차를 사용하여 시험 공부에 소요된 평균 시간에 대한 95% 신뢰 구간의 계산을 보여주는 예가 제공됩니다.
마지막으로 이 장에서는 모집단 특성에 대한 가정이나 주장을 하고 그 타당성을 평가하기 위한 테스트를 수행하는 것과 관련된 가설 테스트에 대해 간략하게 언급합니다. 저자는 가설 진술, 검정 통계량 선택, 유의 수준 지정, 결정 규칙 정의, 표본 통계량 계산 및 결정을 포함하여 가설 검정과 관련된 단계를 제시합니다.
전반적으로 이 장에서는 정량 분석의 중요한 개념에 대한 포괄적인 개요를 제공하며 특히 표본 평균, 표본 분산, 신뢰 구간 및 가설 검정에 중점을 둡니다. 이러한 주제는 통계 분석의 기본이며 데이터에서 추론하고 결론을 도출하기 위한 기초를 제공합니다.
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옵션 값에 영향을 미치는 요인(CFA® 및 FRM® 시험 계산)
옵션 값에 영향을 미치는 요인(CFA® 및 FRM® 시험 계산)
개념 캡슐의 주제를 탐구하고 옵션 값에 영향을 미치는 요소를 탐색해 봅시다. 이 주제는 FRM 프로그램뿐만 아니라 CFA 커리큘럼의 세 가지 수준 모두와 관련이 있습니다. 요인을 자세히 살펴보기 전에 옵션 표기법과 기본 옵션 보상 프로필을 요약해 보겠습니다.
옵션 이론에서 다루는 개념과 일치하는 옵션의 가치에 영향을 미치는 6가지 요소가 있습니다. 표기법을 검토해 봅시다. 현재 주가는 "S"로 표시됩니다. 행사 가격 또는 행사 가격은 "X" 또는 "K"로 표시됩니다. 두 표기법 중 하나를 사용할 수 있습니다. 옵션 만기까지의 시간은 "T"로 표시되며 옵션이 만기에 도달할 때까지 남은 시간을 나타냅니다. "R"은 평가 기간 동안 단기 무위험 비율을 나타냅니다. 마지막으로 "D"는 기본 주식 또는 자산과 관련된 배당금 또는 기타 혜택의 현재 가치를 나타냅니다.
이제 옵션의 정의와 다양한 보상 프로필을 간단히 요약해 보겠습니다. 옵션은 구매자에게 의무가 아닌 권리를 제공한다는 점에서 선도 또는 선물과 다릅니다. 옵션 구매자는 자신에게 가장 유리한 옵션에 따라 권리를 행사할지 여부를 선택할 수 있습니다. 옵션에는 콜 옵션과 풋 옵션의 두 가지 유형이 있습니다. 콜옵션은 기초자산을 살 수 있는 권리를, 풋옵션은 기초자산을 팔 수 있는 권리를 부여합니다. 이러한 관점은 롱 포지션에서 나온 반면 숏 포지션은 이러한 행동을 뒤집는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 짧은 콜은 기본 자산을 매도할 의무를 나타냅니다.
네 가지 옵션 지불 포지션은 롱 콜, 숏 콜, 롱 풋 및 숏 풋입니다. 콜 매수는 기본 자산을 매수할 수 있는 권리를 나타내며 일반적으로 자산 가격이 상승할 것으로 예상할 때 사용됩니다. 반대로 콜 매도는 기초 자산을 매도할 의무를 나타냅니다. 풋 매수의 경우 보유자는 기본 자산을 매도할 권리가 있으며 일반적으로 자산 가격이 하락할 것으로 예상할 때 사용됩니다. 풋 매도는 기본 자산을 매수할 의무를 나타냅니다.
이러한 옵션의 가치를 계산하기 위해 공식을 사용할 수 있습니다. 콜 매수의 공식은 최대값 0과 주가(ST)와 행사가격(K)의 차이입니다. 짧은 통화의 경우 수식은 긴 통화의 음수 값입니다. 풋 매수의 공식은 최대 0과 행사 가격(K)과 주가(ST)의 차이입니다. 마지막으로 짧은 풋은 긴 풋의 음수 값입니다.
미국식 옵션과 유럽식 옵션을 구분하는 것이 중요합니다. 미국식 옵션은 더 많은 유연성을 제공하여 보유자가 만기까지 언제든지 옵션을 행사할 수 있도록 합니다. 반면에 유럽 옵션은 보다 경직되어 만기 시에만 행사할 수 있습니다. 그러나 유럽 옵션은 여전히 만기 이전에 거래할 수 있으며 행사는 마지막 날에만 가능합니다. 우리의 분석에서는 주로 유럽 옵션에 미치는 영향을 고려합니다. 미국 옵션은 추가된 유연성으로 인해 더 비싼 경향이 있기 때문입니다.
옵션 값에 영향을 미치는 요소의 주요 주제로 이동하여 제공된 표를 살펴보겠습니다. 테이블에는 변수와 콜 및 풋 값에 미치는 영향이 표시됩니다. 이러한 요인의 증가가 미치는 영향을 분석하는 데 중점을 둘 것입니다.
먼저 주가(S)를 살펴보자. 주가가 상승하면 콜 가치도 상승합니다. 주가와 행사가격의 차이가 벌어져 콜옵션 가치가 높아지기 때문이다. 반대로, 풋 옵션 공식에서 주가와 관련된 음의 부호가 행사 가격과 주가 사이의 스프레드를 좁히기 때문에 주가가 상승하면 풋 가치가 감소합니다.
다음으로 행사가격(K) 상승의 영향에 대해 알아보겠습니다. 행사가(K)의 상승은 콜 가치와 반비례 관계에 있습니다. 행사가격이 오르면 주가와 행사가격의 차이가 좁아져 콜옵션 가치가 낮아진다. 반면에 행사 가격의 증가는 풋 가치의 증가로 이어집니다. 행사가격이 오르면 행사가격과 주가의 스프레드가 넓어져 풋옵션 가치가 높아진다.
만료 시간(T)으로 이동하면 이 요소의 증가는 콜 및 풋 값 모두에 긍정적인 영향을 미칩니다. 만기까지 남은 시간이 많을수록 기본 주가가 옵션 보유자에게 유리하게 움직일 확률이 높아집니다. 가격 변동 가능성이 높아져 옵션 가치가 높아집니다.
무위험수익률(R)이 옵션 가치에 미치는 영향은 어느 정도 직관적입니다. 무위험 이자율의 증가는 옵션과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치를 증가시킬 것입니다. 이것은 더 높은 콜 값과 더 낮은 풋 값으로 이어집니다.
배당금(D)도 옵션 가치에 영향을 미칩니다. 콜옵션의 경우 배당금이 증가하면 주식과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치가 감소하여 콜옵션 가치가 낮아집니다. 반대로 풋 옵션의 경우 배당금이 증가하면 주식과 관련된 미래 현금 흐름의 현재 가치가 증가하여 풋 옵션 가치가 높아집니다.
마지막으로 기본 주식(σ)의 변동성은 콜 및 풋 값 모두에 긍정적인 영향을 미칩니다. 변동성이 높을수록 더 큰 가격 변동 가능성이 높아져 옵션이 내가격으로 끝날 가능성이 높아집니다. 결과적으로 콜옵션과 풋옵션의 가치는 주식 변동성이 높을수록 상승합니다.
이러한 요소가 옵션 가치에 미치는 영향은 다른 요소와 시장 조건에 따라 달라질 수 있다는 점에 유의해야 합니다. Black-Scholes 모델과 같은 옵션 가격 책정 모델은 이러한 요소를 고려하고 옵션 평가를 위한 보다 포괄적인 프레임워크를 제공합니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 요인을 이해하는 것은 옵션 가격 책정, 위험 관리 및 옵션과 관련된 투자 전략 개발에 매우 중요합니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 또 다른 중요한 요소는 기초자산(S)의 가격입니다. 콜 옵션의 경우, 기초 자산의 가격이 상승함에 따라 옵션 보유자는 더 낮은 행사가로 자산을 매수한 다음 더 높은 시장 가격으로 매도할 권리가 있기 때문에 옵션의 가치가 높아집니다. 이러한 이익 가능성은 더 높은 콜 옵션 가치로 이어집니다. 반면에 풋 옵션의 경우 기초 자산의 가격이 상승하면 옵션 보유자는 자산을 더 낮은 행사 가격으로 매도할 권리가 있고 시장 가격은 더 높기 때문에 옵션의 가치가 떨어집니다. 이러한 손실 가능성으로 인해 풋 옵션 값이 낮아집니다.
내재 변동성(IV)은 옵션 가치에 영향을 미치는 또 다른 중요한 요소입니다. 내재 변동성은 미래 변동성에 대한 시장의 기대치이며 옵션의 현재 가격에서 파생됩니다. 내재 변동성이 증가하면 기초 자산의 더 큰 가격 변동 가능성이 높기 때문에 옵션 가치가 상승하는 경향이 있습니다. 변동성이 증가하면 옵션이 내가격으로 마감될 확률이 높아져 옵션 가치가 높아집니다. 반대로 내재 변동성이 감소하면 옵션 가치가 하락하는 경향이 있습니다.
시장 공급 및 수요 역학도 옵션 가치에 영향을 미칠 수 있습니다. 옵션에 대한 수요가 높으면 구매 압력 증가로 인해 가격이 상승할 수 있습니다. 반대로 옵션에 대한 수요가 적으면 가격이 하락할 수 있습니다. 시장 상황, 투자자 정서 및 전반적인 시장 추세는 공급 및 수요 역학에 영향을 미쳐 옵션 가치에 영향을 미칠 수 있습니다.
여기에서 논의된 요소는 옵션 평가를 위한 이론적 프레임워크를 제공하는 Black-Scholes 모델과 같은 옵션 가격 책정 모델에서 일반적으로 사용된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 그러나 실제 옵션 가격은 시장 비효율성, 거래 비용, 유동성 및 기타 요인으로 인해 모델의 예측과 다를 수 있습니다.
옵션 가치에 영향을 미치는 요인을 이해하는 것은 옵션 거래자와 투자자에게 매우 중요합니다. 이러한 요소를 고려하고 시장 상황을 분석함으로써 개인은 옵션 거래 전략, 위험 관리 및 포트폴리오 구성에 대해 더 많은 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
보안 시장 지수(CFA® 시험 계산)
보안 시장 지수(CFA® 시험 계산)
안녕하세요, 환영합니다! 오늘, 우리는 주식 지수의 개념을 탐구하고 특히 주식 지수에 중점을 둔 다양한 가중치 방법을 탐구할 것입니다. 주식 지수는 널리 인식되고 뉴스에서 흔히 볼 수 있지만 지수가 주식 시장에만 국한되지 않는다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 고정 소득, 헤지 펀드, 통화 및 기타 여러 시장에 사용할 수 있는 지수가 있습니다.
지수는 기본적으로 특정 시장을 나타내는 것입니다. 투자자가 시장의 성과와 위험을 추적할 수 있는 도구 역할을 합니다. 또한 ETF(Exchange-Traded Funds)는 종종 이러한 지수를 벤치마크로 사용합니다. 지수에는 가격 수익률 지수와 총 수익률 지수의 두 가지 기본 버전이 있습니다.
가격 수익률 지수는 구성 증권의 가격만을 추적합니다. 지수의 종가와 시작가의 차이를 지수의 원래 가격 수준으로 나눈 값을 계산합니다. 본질적으로 가격 수익률 지수는 보유 기간 수익률의 개념과 유사합니다.
반면에 총 수익률 지수는 가격 변동을 추적할 뿐만 아니라 구성 증권과 관련된 소득 또는 분배도 고려합니다. 여기에는 배당금 또는 이자의 재투자가 포함됩니다. 총 수익률 지수를 계산하기 위해 가격 차이는 소득 수익률과 결합됩니다. 앞에서 언급한 공식을 사용하거나 BA II Plus 또는 HP 12C와 같은 계산기에서 사용할 수 있는 백분율 변경 기능을 활용할 수 있습니다.
다양한 유형의 주가 지수로 이동하여 가장 간단한 것인 가격 가중 지수부터 시작하겠습니다. 이 방법에서는 각 구성종목의 가격을 합산하여 평균값을 산출합니다. 모든 유가 증권의 한 단위를 구매한다고 가정합니다. 이 지수 유형은 일반적으로 Dow Jones Industrial Average 및 Nikkei와 같은 예에서 사용됩니다. 계산하기는 간단하지만 단점도 있습니다. 주식 분할 또는 통합이 있을 때마다 가격 변동에 영향을 받지 않도록 지수 수준을 조정해야 합니다.
또 다른 유형은 비가중 지수라고도 하는 동일 가중 지수입니다. 이 방식은 단위 수에 관계없이 각 유가 증권에 동일한 금액을 투자합니다. 이것은 많은 경우에 부분 공유로 이어집니다. 동일 가중 지수는 지수 주식의 산술 평균 수익률을 취하여 계산됩니다. 동일 가중 지수의 예로는 Value Line Composite Average 및 Financial Times 보통주 지수가 있습니다.
우리가 논의할 세 번째 유형은 가치 가중 방식으로도 알려진 시가 총액 가중 지수입니다. 각 구성종목의 가중치는 시가총액에 의해 결정됩니다. 시가총액은 발행주식수에 주가를 곱해 계산한다. 각 증권에 할당된 가중치는 해당 증권의 시가총액을 모든 증권의 총 시가총액으로 나누어 계산합니다. 이 방법은 지수의 전체 가치를 반영합니다. 시가 총액 가중 지수의 예는 S&P 500입니다.
이러한 개념을 설명하기 위해 각 인덱스 유형에 대한 숫자 예를 살펴보겠습니다. 주어진 가격, 주식 수 및 시가 총액을 기준으로 지수 수준과 수익률을 계산합니다.
결론적으로 주가 지수는 투자자가 다양한 시장의 성과와 위험을 추적하는 데 필수적인 도구 역할을 합니다. 가격 가중, 동일 가중 및 시가 총액 가중 지수와 같은 다양한 가중 방법을 이해하면 투자자는 투자 선호도 및 목표에 따라 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
배당금 할인 모델(CFA® 시험 계산)
배당금 할인 모델(CFA® 시험 계산)
안녕하세요. Concept Capsules에 오신 것을 환영합니다! 오늘의 논의 주제는 배당할인모형(DDM)입니다. 이 논의는 주로 CFA 레벨 1 관점에서 DDM의 기본 사항에 초점을 맞추지만 CFA 레벨 2 DDM 장의 입문서 역할을 할 수도 있습니다.
배당 할인 모델은 주식의 가치를 평가하는 데 사용되는 평가 방법입니다. 이 방법에서는 미래 배당금과 종료 가치를 예측한 다음 이러한 현금 흐름을 현재 시간(시간 기간 0)으로 할인합니다. DDM은 우선주와 보통주 모두를 평가하는 데 사용할 수 있으며 보통주는 더 위험한 버전입니다.
DDM을 사용하여 우선주를 평가할 때 우리는 그것을 영구성으로 취급합니다. 우선주는 영구와 유사하게 고정된 배당금을 무기한으로 지급합니다. 우선주 평가 공식은 배당금(현금 흐름)을 우선주 비용(할인율)으로 나눈 영구성 공식에서 파생됩니다. 우선주의 할인율은 보통주에 사용되는 할인율보다 낮아야 한다는 점에 유의해야 합니다. 참여우선주, 전환우선주 등 특별한 범주의 우선주가 있는 경우 그에 따라 배당금 및 할인율을 조정해야 합니다.
우선주의 가치를 계산하는 간단한 예를 살펴보겠습니다. 할인율(k)이 10%이고 배당금(c)이 5라고 가정합니다. 영구성 공식을 적용하면 우선주의 가치는 50입니다.
보통주 가치 평가로 넘어가면 미래 현금 흐름의 규모와 시기가 불확실하기 때문에 더욱 어려워집니다. 또한 CAPM(Capital Asset Pricing Model)과 같은 모델이 일반적으로 사용되는 요구 수익률을 추정해야 합니다. 1년 보유 기간 모델로 시작한 다음 여러 해로 확장할 것입니다.
1년 보유 기간 모델에서는 투자자가 첫해 말에 주식을 매도할 것이라고 가정합니다. 그 해에 받은 배당금을 알고 연말 종료 가치를 추정해야 합니다. CAPM 공식을 사용하여 필요한 수익률을 계산합니다. 현금 흐름은 주식 가치를 결정하기 위해 기간 0으로 다시 할인됩니다.
이 모델은 각 연도의 각 배당금 및 종료 값을 통합하여 여러 해로 쉽게 확장할 수 있습니다. 우리는 새로운 공식을 외울 필요가 없습니다. 우리는 단순히 기간을 조정합니다. 예를 들어 보유 기간이 2년이면 현금 흐름을 2년 동안 할인하는 것입니다.
보유 기간이 3년인 질문에 이 개념을 적용해 보겠습니다. 향후 3년간 연간 배당금은 1유로, 1.5유로, 2유로가 될 것으로 예상됩니다. 3년 후 주가는 20유로로 추정됩니다. 10%의 요구 수익률로 현금 흐름을 기간 0으로 할인하여 주식 가치를 계산할 수 있습니다. 결과 값은 18.67유로입니다.
마지막으로 배당금이 영원히 "g" 비율로 지속적으로 증가한다고 가정하여 보유 기간이 무한하다는 시나리오를 고려합니다. 이 경우 공식은 D0 * (1 + g) / (ke - g)로 단순화됩니다. 여기서 D0는 기간 0의 배당금, ke는 자기자본 비용, g는 일정한 성장률입니다. 아래 첨자에 주의를 기울이고 배당 추정 및 평가 기간을 정확하게 일치시키는 것이 중요합니다.
일정한 수년 후에 성장률이 일정해지면 그 시점부터 Gordon Growth Model(GGM)을 사용할 수 있습니다. 그러나 주식의 가치는 분자에서 배당금이 취해진 연도의 이전 시점에 결정된다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 이것은 우리가 the를 사용해야 함을 의미합니다.
GGM(Gordon Growth Model)의 적용을 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 회사가 내년에 주당 2달러의 배당금을 지급할 것으로 예상된다고 가정합니다. 배당금은 매년 5%의 일정한 비율로 무기한 성장할 것으로 예상됩니다. 요구 수익률(ke)은 10%입니다.
GGM 공식을 사용하여 주식 가치를 계산할 수 있습니다.
값 = D1 / (ke - g)
여기서 D1은 기간 1에 예상되는 배당금, ke는 요구 수익률, g는 일정 성장률입니다.
값을 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
가치 = $2 / (0.10 - 0.05) = $40
따라서 GGM에 따르면 주식의 가치는 $40입니다.
Gordon 성장 모델은 일정한 성장률을 가정하며 모든 경우에 해당되지 않을 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 안정적이고 예측 가능한 배당 성장률을 가진 성숙한 회사에 가장 적합합니다.
배당할인모형(DDM)은 주식을 평가하는 데 유용한 도구이지만 한계가 있습니다. 일정한 배당 성장률 및 미래 현금 흐름 추정치의 정확성과 같은 몇 가지 가정에 의존합니다. 시장 상황 및 기타 요인도 주가에 영향을 미칠 수 있으므로 미래 배당금 및 종료 가치를 정확하게 예측하기가 어렵습니다.
또한 DDM은 주로 배당금을 지급하는 회사에 적용됩니다. 배당금을 지급하지 않거나 배당 패턴이 일관되지 않은 회사의 경우 현금 흐름 할인(DCF) 분석과 같은 대체 평가 방법이 더 적합할 수 있습니다.
전반적으로 배당금 할인 모델은 예상 배당금과 미래 현금 흐름을 기반으로 주식 가치를 추정하기 위한 프레임워크를 제공합니다. 이는 회사 주식의 내재 가치를 결정하려는 재무 분석가 및 투자자에게 필수적인 개념입니다.
이항 옵션 가격 모델(CFA® 및 FRM® 시험 계산)
이항 옵션 가격 모델(CFA® 및 FRM® 시험 계산)
이항 옵션 가격 책정 방법의 개념에 대해 살펴보겠습니다. 오늘은 CFA와 재무 커리큘럼 모두에서 다루는 이 주제를 살펴보겠습니다. 옵션의 가치를 계산하는 데 사용되는 두 가지 방법 중 하나이며 다른 하나는 Black-Scholes 모델입니다.
이항 방법은 옵션의 기본 가격이 주어진 시간 간격 내에서 두 가지 상태에만 있을 수 있다고 가정합니다. 이것이 모든 노드에서 가능한 두 가지 상태만 고려하기 때문에 이항이라고 하는 이유입니다. S0으로 표시된 현재 주가부터 시작합니다. 거기에서 우리는 자연의 두 가지 다른 상태인 업스테이트(S_u)와 다운스테이트(S_d)를 고려합니다. 업스테이트의 주가는 현재 주가(S0)에 "u"로 표시된 인수를 곱하여 확률 "p"로 결정합니다. 반대로 다운스테이트의 주가는 현재 주가(S0)에 "d"로 표시된 계수를 (1-p)의 확률로 곱하여 결정됩니다.
업스테이트 노드에 도달하면 위로 또는 아래로 이동할 수 있습니다. 확률은 동일한 p 및 (1-p) 값을 사용하여 트리 전체에서 동일하게 유지됩니다. 예를 들어 상향 이동 확률이 60%이고 하향 이동 확률이 40%인 경우 이러한 확률은 전체 트리에서 일정하게 유지됩니다. u와 d의 다양한 조합으로 표시된 것처럼 각 노드에서 다음 상태의 주가를 계산할 수 있습니다.
이 논의에서는 앞으로 한 기간만 고려한다는 의미인 1주기 방법에 초점을 맞출 것입니다. 우리는 이항 트리의 이 부분으로 제한할 것입니다. 이항 방법을 구현하기 위해 먼저 가능한 두 가지 다른 주가를 결정합니다. 그런 다음 두 노드에서 옵션의 보수를 계산하여 해당 기간 동안의 예상 값을 얻을 수 있습니다. 해당 기간에 대한 기대 가치를 얻은 후에는 DCF(현금 흐름 할인) 공식을 적용하여 기간 0으로 다시 할인합니다. 이 경우 확률이 관련되지 않은 기존 DCF 계산과 달리 DCF 공식의 확률을 사용한다는 점에 유의해야 합니다.
이제 콜 옵션 이항 트리로 이동하겠습니다. 주가 요인을 결정한 후 상승 및 하락의 크기와 확률을 계산합니다. 이들은 각각 "u"와 "d"로 표시됩니다. 다음으로 이항 트리를 그리고 모든 노드에서 옵션 보수를 계산합니다. 여기에는 최대 0 또는 주가(st)와 행사가(k)의 차이를 결정하는 것이 포함됩니다. 그런 다음 보수에 각각의 확률을 곱하고 전체 기간 동안 옵션의 예상 가치를 계산합니다. 마지막으로 이 예상 값을 다시 기간 0으로 할인하여 옵션의 현재 값을 결정합니다.
계산을 용이하게 하기 위해 다양한 표기법과 공식을 사용합니다. 상승 움직임의 위험 중립 확률은 "pi_u"로 표시되는 반면 하락 움직임의 위험 중립 확률은 "pi_d"로 표시됩니다. 이러한 확률은 보완적이므로 합이 100%가 됩니다. 무위험 수익률은 "rf"로 표시되며, "u"와 "d"는 각각 상승과 하락의 크기입니다. 또한 "d"는 1을 "u"로 나눈 값과 같습니다. 상승 움직임과 하락 움직임의 확률을 계산하기 위해 우리는 무위험 비율 "u" 및 "d"를 포함하는 공식을 사용합니다.
이러한 개념을 특정 예에 적용해 보겠습니다. 주식의 현재 가격이 $80이고 상승폭이 1.4이고 무위험 수익률이 다음과 같다고 가정합니다.
예상 보수를 얻은 후에는 옵션의 현재 가치를 얻기 위해 다시 기간 0으로 할인해야 합니다. 이를 위해 우리는 6%로 주어진 무위험 이자율을 사용합니다.
기대 보수를 할인하는 공식은 다음과 같습니다.
현재 옵션 가치 = 기대 보수 / (1 + 무위험 수익률)
값을 대체하면 다음과 같습니다.
현재 옵션 값 = (32 * 0.504 + 0 * 0.496) / (1 + 0.06)
방정식을 단순화하면 다음을 얻습니다.
현재 옵션 값 = (16.128 + 0) / 1.06
현재 옵션 값 ≈ 15.23
따라서 콜옵션의 현재 가치는 약 $15.23입니다.
이 예시는 1년 만기의 이항 옵션 가격 책정 방법을 사용하여 콜 옵션의 평가를 보여준다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 이 프로세스에는 위 요인과 아래 요인을 결정하고, 확률을 계산하고, 이항 트리를 구성하고, 각 노드에서 옵션 보수를 평가하고, 예상 보수를 계산하고, 최종적으로 이를 다시 현재 가치로 할인하는 작업이 포함됩니다.
이항 옵션 가격 책정 방법은 기본 자산의 가격 변동에 대해 단순화된 2가지 상태 모델을 가정하고 모든 실제 역학을 포착하지 못할 수 있음을 명심하십시오. 또한 이 방법은 만료 시에만 행사할 수 있는 유럽식 옵션에 일반적으로 사용됩니다. 미국식 옵션의 경우 최적의 운동 전략을 결정하기 위해 추가 고려 사항이 필요합니다.
이 설명이 이항 옵션 가격 책정 방법과 관련된 단계와 이 접근 방식을 사용하여 콜 옵션을 평가하는 방법을 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 추가 질문이 있으면 알려주세요!
확률의 기초(FRM 1부 2023 – 2권 – 1장)
이 비디오 시리즈에서 James Forjan 교수는 FRM Part 2 - Book 2 - Quantitative Analysis에 포함된 장에 대한 포괄적인 내용을 제공합니다. 이 시리즈는 확률, 가설 테스트, 회귀 및 코퓰러를 비롯한 다양한 주제를 깊이 있게 탐구합니다. Forjan 교수는 각 개념을 자세히 탐구하고 이러한 주제에 대한 응시자의 이해력과 숙달을 향상시키는 것을 목표로 관련 질문 예제를 제공합니다. 이 비디오 시리즈에 참여함으로써 응시자는 양적 분석에 대한 이해를 강화하고 FRM 파트 2 시험을 효과적으로 준비할 수 있습니다.
확률의 기초(FRM 1부 2023 – 2권 – 1장)
양적 분석 시리즈의 2권 1장은 확률의 기본 원리와 재무 위험 관리에서의 확률 적용에 중점을 둡니다. 이 장의 목표는 재무 위험 관리자가 위험을 효과적으로 식별, 정량화 및 관리하는 데 도움을 주는 것입니다. 이러한 작업에서 확률을 고려하는 것의 중요성을 강조합니다.
이 장은 위험을 확률로 측정할 수 있는 결과의 불확실성과 가변성으로 정의하는 것으로 시작합니다. 이전 책과 비교하여 책 2의 양적 특성을 강조하고 장 전체에서 금융 및 일반 계산기의 사용을 언급합니다.
이 장의 학습 목표는 확률과 관련된 다양한 개념을 설명, 구별, 정의 및 계산하는 것입니다. 그러한 개념 중 하나는 골프장 스프링클러 시스템을 위해 두 명의 배관공 중 하나를 선택하는 예를 통해 설명되는 상호 배타적인 이벤트입니다. 상호 배타적 이벤트의 개념은 하나의 이벤트를 선택하면 다른 이벤트의 발생이 제외된다는 것입니다.
이 장에서는 또한 개별적인 장점에 따라 평가되고 다른 결과의 수락 또는 거부에 영향을 미치지 않는 독립적인 이벤트에 대해 설명합니다. 날씨와 주식 시장 수익률과 관련된 예를 제시하여 독립적인 이벤트와 잠재적인 관계를 보여줍니다.
조건부 확률은 다른 이벤트의 발생에 따라 달라지는 확률로 도입됩니다. 직업, 소득 수준, 결혼과 같은 다양한 요인에 따라 쌍둥이를 가질 확률과 같은 개인적인 경험에 비유합니다. 경제적 맥락에서 GDP와 이자율 간의 관계는 조건부 확률의 예로 사용됩니다.
이 장에서는 영국 통계학자 Thomas Bayes의 이름을 딴 Bayes 정리를 사용하여 조건부 확률을 계산하는 방법을 설명합니다. 베이즈 정리는 알려진 결과로 이어지는 일련의 사건을 예측할 수 있게 해줍니다. 새로운 정보를 기반으로 수정된 확률인 사후 확률의 개념을 소개합니다.
최근 시행된 감세에 따른 현직 대통령의 당적 확률이나 초과수익 창출에 따른 경영자 인증 확률을 판단하기 위해 베이즈 정리를 사용한 예를 제시하고 있다.
이 장은 논의된 공식의 요약표로 마무리되며, 독자가 예제를 통해 작업하고 개념을 암기하도록 권장합니다. 예측 및 의사 결정의 정확성을 향상시키기 위해 더 많은 정보를 얻는 것의 중요성을 강조합니다.
정량적 분석에서 확률의 기초에 관한 이 장에서는 재무 위험 관리자에게 위험을 이해하고 관리하기 위한 필수 도구를 제공합니다. 이것은 효과적인 위험 관리를 위한 포괄적인 프레임워크를 제공하면서 이전 책에서 논의된 위험 관리 원칙과 수학적 원리를 결합합니다.
랜덤 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 2장)
랜덤 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 2장)
정량분석 1부 2권에는 확률변수에 대한 장이 있다. 저자는 1980년대 후반에 그들이 Excel이 된 Lotus 1-2-3을 배웠을 때의 경험을 회상합니다. 그들은 함수 마법사 내부의 난수 생성기와 난수 생성이 얼마나 매력적이었는지를 회상합니다. 이러한 값은 무작위로 생성되었지만 위험 관리 및 재무 연구에서 무작위 변수에 대한 연구는 주식 수익률, 채권 수익률, 파생 상품 증권 수익률, 포트폴리오 가치, 위험 가치 및 예상 부족분에 대한 더 깊은 이해를 제공합니다.
이 장을 연구하는 목적은 위험 관리에 적용할 수 있는 확률 변수에 대한 견고한 기반을 구축하는 것입니다. 학습 목표에는 PMF(확률 질량 함수), CDF(누적 분포 함수), 기대치, 분포 모멘트, 불연속 확률 변수와 연속 확률 변수의 구별과 같은 다양한 개념을 설명, 설명 및 특성화하는 것이 포함됩니다. 또한 이 장에서는 분포를 동일한 부분으로 나누는 분위수를 다루고 선형 변환에 대해 간략하게 다룹니다.
확률 변수는 예상되는 미래 값이 불확실한 수량으로 정의됩니다. 또한 가능한 값이 임의 현상의 결과인 변수로 설명될 수도 있습니다. 예를 들어, 주가나 신용 디폴트 스왑의 가치를 예측하려면 무작위 변수를 다루어야 합니다. 이러한 결과에는 특정 시나리오에 따라 달라지는 확률이 할당됩니다. 예를 들어, 주가가 1달러 상승하거나 하락할 확률은 999와 같이 훨씬 더 높은 값으로 상승하거나 0으로 하락할 확률보다 훨씬 더 높습니다.
무작위 변수를 효과적으로 분석하려면 잠재적 결과에 확률을 할당하고 이벤트를 특정 결과 또는 일련의 결과로 정의하는 것이 중요합니다. 랜덤 변수는 불연속형 또는 연속형으로 분류할 수 있습니다. 불연속 확률 변수에는 결과가 1에서 6인 주사위를 굴리는 것과 같이 가능한 값의 집합이 있습니다. 반면에 연속 확률 변수는 주어진 간격 내에서 어떤 값이든 취할 수 있으며 종종 다음과 같은 부드러운 곡선으로 표시됩니다. 마라톤을 뛰는 데 걸리는 시간.
확률 함수는 확률 변수의 가능한 값 간에 총 기회가 어떻게 분포되어 있는지에 대한 정보를 제공합니다. 확률 함수에는 불연속 확률 변수에 대한 확률 질량 함수(PMF)와 연속 확률 변수에 대한 확률 밀도 함수(PDF)의 두 가지 유형이 있습니다. PMF는 임의 변수가 특정 값을 가질 확률을 제공하는 반면 PDF는 임의 변수가 주어진 간격 내에 떨어질 확률을 설명합니다. 두 가지 유형의 함수 모두 확률 범위가 0과 1 사이이고 모든 확률의 합이 1이 되도록 하는 속성이 있습니다.
누적 분포 함수(CDF)는 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률을 제공합니다. 이산 확률 변수의 경우 CDF는 계단 모양의 그래프로 시각화할 수 있는 반면 연속 확률 변수의 경우 부드러운 곡선으로 나타납니다. 음의 무한대에서 특정 값으로 PDF를 통합하여 CDF를 계산할 수 있습니다.
무작위 변수 및 관련 기능을 이해하는 것은 위험 관리 및 재무 분석에 필수적입니다. 이러한 개념은 다양한 결과의 가능성을 평가하고 정보에 입각한 결정을 내리기 위한 프레임워크를 제공합니다.
확률질량함수(PMF)와 확률밀도함수(PDF)는 랜덤 변수의 분포에 대한 중요한 정보를 제공합니다. PMF는 불연속 확률 변수에 사용되며, 이 함수는 확률 변수가 특정 값을 가질 확률을 제공합니다. 반면 PDF는 연속 랜덤 변수에 사용되며 랜덤 변수가 특정 간격 내에 떨어질 확률을 제공합니다.
Bernoulli 확률 변수의 예를 살펴보겠습니다. 이 확률 변수는 0 또는 1의 두 값만 가질 수 있는 단순한 이산 확률 변수입니다. 농구에서 자유투의 결과를 나타내는 Bernoulli 확률 변수가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 변수의 PMF는 샷을 성공하거나 놓칠 확률을 보여줍니다. 슛을 성공시킬 확률이 0.7인 경우 PMF는 값 1(슛 성공)에 0.7의 확률을 할당하고 값 0(슛 실패)에 0.3의 확률을 할당합니다. 이러한 확률의 합은 항상 1이어야 합니다.
마라톤을 달리는 데 걸리는 시간과 같은 연속 무작위 변수의 경우 PDF를 사용합니다. PDF는 특정 간격 내에 속하는 랜덤 변수의 확률을 설명합니다. 마라톤 실행 시간의 예를 들어 PDF는 주어진 시간 범위에서 마라톤을 완주할 확률을 제공합니다. 이를 시각화하기 위해 가로축이 실행 시간을 나타내고 세로축이 확률 밀도를 나타내는 그래프를 상상할 수 있습니다. 특정 간격 내의 곡선 아래 영역은 해당 범위에 속하는 무작위 변수의 확률을 나타냅니다.
PMF 및 PDF는 확률 변수의 분포를 이해하는 데 중요한 도구입니다. 이를 통해 특정 값이나 간격에 확률을 할당하고 다양한 결과의 가능성에 대한 통찰력을 제공할 수 있습니다. 이러한 개념은 주식 수익률, 채권 수익률 및 포트폴리오 가치와 같은 다양한 금융 변수의 불확실성을 분석하고 정량화하는 데 도움이 되므로 위험 관리 및 금융 연구의 기본입니다.
공통 일변량 랜덤 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 3장)
공통 일변량 랜덤 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 3장)
이 텍스트는 정량적 분석의 1부, 2권에서 가져온 것이며 일반적인 일변량 무작위 변수에 대한 장에 중점을 둡니다. 개인적으로 저는 이 장이 제가 박사 과정 동안 수학적 경제학과 계량 경제학 수업에서 배운 것을 연상시킵니다. 학습 목표를 살펴보고 그것이 우리에게 어떻게 적용되는지 봅시다.
첫 번째 학습 목표는 특히 중요합니다. 서로 다른 분포 사이에서 주요 속성을 구별해야 합니다. 다양한 분포를 분석하고 유사점과 차이점을 식별합니다. 마지막으로 혼합 분포의 개념도 살펴보겠습니다.
균등 분포부터 시작하겠습니다. 이 분포에서 모든 가능한 결과는 주어진 범위에서 동일한 가능성을 갖습니다. 균일 분포 그래프는 왼쪽의 0에서 시작하여 오른쪽의 X까지 확장됩니다. X로 표시된 랜덤 변수는 이 범위 내의 모든 값을 가질 수 있습니다. 특히 최소값을 알파라고 하고 최대값을 베타라고 합니다. 0과 알파 사이 또는 베타와 범위의 상한 사이에는 값이 없다는 점에 유의해야 합니다. 균일 분포의 전형적인 예는 공정한 6면체 주사위를 굴리는 것입니다. 1에서 6까지의 각 결과는 1/6의 동일한 확률을 갖습니다. 따라서 알파에서 베타까지의 값은 동일할 가능성이 있습니다. 텍스트는 균일 분포에 대한 확률 밀도 함수, 평균 및 분산 공식도 제공합니다.
논의된 또 다른 예는 고객이 포트폴리오 관리자를 만나기 위해 기다리는 시간으로, 0분에서 15분 사이에 균일하게 분배될 수 있습니다.
계속해서 더 흥미로운 Bernoulli 분포를 만납니다. 여기에는 종종 성공(1)과 실패(0)를 나타내는 두 가지 가능성에 값을 할당하는 작업이 포함됩니다. 제공된 예는 은행의 성공 또는 실패를 나타내지만 이러한 값은 더 폭넓은 해석을 가질 수 있습니다. Bernoulli 분포의 그래프 범위는 0에서 1까지이며 어떤 일이 발생할 확률은 100%여야 합니다. 주어진 예에서 P로 표시되는 성공 확률은 0.7입니다. 즉, 은행 10개 중 7개는 성공하고 10개 중 3개는 실패합니다. 이 텍스트는 Bernoulli 분포의 평균 및 표준 편차에 대한 공식을 제공합니다.
다양한 예는 생명 보험의 성공 또는 실패 또는 동일한 가능성으로 배당금을 지불하는 회사 또는 전혀 지불하지 않는 회사와 같은 Bernoulli 분포의 적용을 보여줍니다.
다음으로 고정 수입 분석 및 옵션 평가에서 유용성을 찾는 이항 분포를 만납니다. 여기에는 각각 P로 표시되는 동일한 성공 확률을 갖는 n개의 독립적이고 동일한 Bernoulli 시행의 시퀀스가 포함됩니다. 이러한 시행의 성공 수에 대한 공식은 계승 표기법을 사용하여 설명됩니다. 이항 분포의 평균 및 표준 편차도 제공됩니다. 본문은 생존 확률이 70%일 때 적어도 10개 은행 중 9개 은행이 현금 경색에서 살아남을 확률을 계산하는 예를 제시합니다.
그런 다음 푸아송 분포가 도입됩니다. 이벤트의 타이밍이 임의적이고 독립적이라고 가정하여 특정 시간 간격에서 발생하는 이벤트 수를 모델링합니다. 이벤트 사이의 평균 시간이 알려져 있으며 분포는 매개변수 람다(λ)로 특징지어집니다. 텍스트는 확률 밀도 함수를 제공하고 푸아송 분포의 평균과 분산이 모두 λ와 같다고 언급합니다. 포아송 분포의 예로는 은행에 도착한 고객 수, 축구팀이 득점한 골, 주별 또는 월별 보험 회사에 접수된 청구 건수가 있습니다. 한 달에 평균 2명의 고객이 주어진 자산 관리 회사가 1년에 정확히 30명의 고객을 받을 확률을 계산하는 예제 문제가 제시됩니다.
텍스트는 가우스 분포라고도 하는 정규 분포를 다시 살펴봅니다. 이 분포는 많은 바람직한 속성으로 인해 통계 분석 및 모델링에 널리 사용됩니다. 정규분포의 그래프는 대칭적이고 종 모양이며 평균값에 정점이 있습니다. μ로 표시되는 평균은 분포의 중심을 나타내고 σ로 표시되는 표준 편차는 데이터의 확산 또는 분산을 제어합니다. 텍스트는 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
정규 분포는 종종 금융 및 경제학에서 주식 수익률, 이자율 및 기타 경제 변수를 모델링하는 데 적용됩니다. 가설 테스트 및 신뢰 구간 추정에도 사용됩니다. 특정 임계값을 초과하는 주식 수익률을 계산하는 예제 문제가 제공됩니다.
계속해서 텍스트는 포아송 프로세스에서 이벤트 사이의 시간을 모델링하는 지수 분포를 소개합니다. 이벤트 발생률을 나타내는 매개변수 λ가 특징입니다. 지수 분포는 신뢰도 분석 및 큐잉 이론에서 널리 사용됩니다. 텍스트는 지수 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
주어진 평균 대기 시간을 기준으로 고객이 은행 대기열에서 특정 시간보다 적게 기다릴 확률을 계산하는 예제 문제가 제시됩니다.
마지막으로 텍스트는 정규 분포된 임의 변수의 지수를 취하여 정규 분포에서 파생되는 로그 정규 분포를 소개합니다. 로그 정규 분포는 일반적으로 주식 가격, 자산 수익률 및 양의 왜도와 이분산성을 나타내는 기타 변수를 모델링하는 데 사용됩니다. 텍스트는 로그 정규 분포에 대한 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 제공합니다.
주어진 현재 가격과 변동성에서 주가가 미래에 특정 값을 초과할 확률을 계산하는 예제 문제가 제공됩니다.
일반적인 일변량 확률 변수에 대한 이 장에서는 정량 분석에 사용되는 다양한 중요 분포를 다룹니다. 이러한 분포와 그 속성을 이해하는 것은 재무, 경제 및 기타 분야에서 데이터를 분석하고 모델링하는 데 필수적입니다. 이러한 개념을 숙달함으로써 정보에 입각한 결정을 내리고 데이터에서 의미 있는 통찰력을 얻을 수 있습니다.
다변량 임의 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 4장)
다변량 랜덤 변수(FRM 1부 2023 – 2권 – 4장)
다변량 확률 변수에 대한 이 장에서는 여러 확률 변수 간의 종속성 개념을 살펴봅니다. 무작위 변수에 대한 이전 장을 바탕으로 채권 가격과 만기 수익률 사이의 관계를 자세히 살펴보고 추가 요인이 채권 가격에 미치는 잠재적 영향을 강조합니다. 다변량 랜덤 변수의 개념을 소개하고 확률 질량 함수 및 확률 밀도 함수에 대한 이해를 확장하여 불연속 및 연속 랜덤 변수를 모두 분석합니다. 이 장은 추가 차원을 분석에 통합하여 지식을 확장하고 궁극적으로 포트폴리오 분석에 대한 이해를 높이는 것을 목표로 합니다. 이 장에서 다루는 주요 주제에는 확률 행렬, 함수의 기대치, 공분산, 상관관계, 변환, 포트폴리오 분석, 분산, 조건부 기대치, 동일하고 독립적으로 분포된 무작위 변수가 포함됩니다.
소개: 이 장은 둘 이상의 확률 변수 사이의 종속성을 설명하는 다변량 확률 변수의 개념을 강조하는 것으로 시작합니다. 채권 가격과 만기 수익률의 예를 통해 우리는 다양한 위험의 복잡성을 포착하기 위해 단일 변수에만 의존하는 것의 한계를 인식합니다. 우리는 채권 가격을 보다 포괄적으로 이해하기 위해 무역, 관세, 세금, 정부 규제 및 소비자 취향과 같은 추가 요소를 고려할 필요가 있음을 인정합니다. 분석을 다변량 랜덤 변수로 확장함으로써 다양한 요인 간의 상호 작용과 연구 변수에 미치는 영향을 설명하는 것을 목표로 합니다.
학습 목표: 이 장에서는 이전 장의 학습 목표와 일치하는 학습 목표를 설명합니다. 이러한 목표에는 확률 행렬 이해, 함수의 기대치 탐색, 무작위 변수 간의 관계 조사, 공분산 및 상관 관계 연구, 변형 분석, 포트폴리오 분석 통합, 분산 탐색, 조건부 기대치 조사, 동일하고 독립적으로 분포된 확률 변수에 대한 토론으로 결론 맺기 등이 포함됩니다. . 이러한 목표는 기존 지식을 기반으로 하며 이를 다변량 분석 영역으로 확장합니다.
다변량 확률 변수: 다변량 확률 변수는 여러 확률 변수 간의 종속성을 포착하는 변수로 도입되었습니다. 단일 변수 분석과 달리 다변량 분석을 통해 이러한 변수가 관심 변수에 어떻게 공동으로 영향을 미치는지 연구할 수 있습니다. 여러 무작위 변수가 연구하려는 변수에 동시에 영향을 미치는 시나리오를 고려합니다. 이 장에서는 다변량 분석이 복잡한 관계에 대한 이해를 어떻게 향상시키는지 보여주는 예를 제공합니다.
확률 분포: 이 장에서는 이전 장에서 소개한 확률질량함수(PMF)와 확률밀도함수(PDF)를 다시 살펴봅니다. 불연속 확률 변수는 PMF와 연관되어 있지만 연속 확률 변수는 확률 분포를 정확하게 나타내기 위해 PDF가 필요합니다. 누적 확률의 개념도 논의되어 구성 요소가 주어진 값보다 작거나 같은 확률을 결정할 수 있습니다. 이러한 도구를 활용하여 정규 분포, 지수 분포 및 균일 분포와 같은 다양한 분포를 기반으로 다양한 결과의 가능성을 평가할 수 있습니다.
이변량 이산 확률 변수 분포: 두 확률 변수 간의 결합 확률을 나타내는 이변량 이산 확률 변수 분포를 탐색합니다. 이 분포를 표 형식으로 시각화하면 변수 간의 관계를 보다 명확하게 이해할 수 있습니다. 조건부 및 주변 분포를 분석하여 특정 결과와 관련된 확률에 대한 통찰력을 얻습니다. 이 분석은 변수 간의 종속성을 확인하고 개별 및 결합된 영향을 평가하는 데 도움이 됩니다.
조건부 분포 및 기대치: 조건부 분포는 한 변수의 값을 알고 있을 때 무작위 변수 간의 관계를 조사하는 수단으로 도입되었습니다. 특정 변수 값에 대한 분석을 조건화하여 다른 변수의 조건부 기대치를 평가할 수 있습니다. 이 접근 방식을 사용하면 특정 조건에서 예상되는 결과를 추정할 수 있으므로 관심 변수에 대한 다양한 요인의 영향을 밝힐 수 있습니다. 조건부 기대치는 주변 확률 및 관련 조건부 확률 분포를 사용하여 계산할 수 있습니다.
무작위 변수 간의 관계 측정: 이 장에서는 무작위 변수 간의 관계 측정의 중요성을 강조하면서 결론을 내립니다. 공분산 및 상관 관계와 같은 다양한 통계 측정을 탐색하여 무작위 변수 간의 의존도를 정량화할 수 있습니다.
공분산은 한 변수의 변화가 다른 변수의 변화에 어떻게 대응하는지 평가하는 척도로 도입되었습니다. 관계의 방향(양수 또는 음수)과 변수가 함께 움직이는 정도를 포착합니다. 이 장에서는 불연속 확률 변수와 연속 확률 변수 모두에 대한 공분산을 계산하는 공식을 제공합니다.
반면에 상관 관계는 공분산을 변수의 표준 편차의 곱으로 나누어 표준화합니다. 이 정규화를 통해 변수 간 관계의 강도를 -1에서 1까지의 척도로 비교할 수 있습니다. 양의 상관관계는 직접적인 관계를 나타내고, 음의 상관관계는 역관계를 나타내며, 0에 가까운 상관관계는 약하거나 선형 관계가 없음을 나타냅니다.
임의 변수의 변환: 이 장에서는 관계 및 분포를 더 잘 분석하기 위해 임의 변수를 변환하는 개념을 탐구합니다. 변환에는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기와 같은 간단한 수학 연산이나 더 복잡한 함수가 포함될 수 있습니다. 적절한 변환을 적용하면 종종 분석을 단순화하고 변수의 동작에 대한 더 깊은 통찰력을 얻을 수 있습니다.
포트폴리오 분석: 이 장에서는 재무에서 다변량 분석을 적용한 포트폴리오 분석을 소개합니다. 수익으로 표시되는 서로 다른 자산 클래스 간의 관계를 다변량 기법을 사용하여 분석할 수 있는 방법을 살펴봅니다. 다양화의 개념이 강조되어 낮거나 음의 상관관계가 있는 자산을 결합하여 포트폴리오 위험을 줄이는 방법을 강조합니다. 포트폴리오 분산 및 공분산과 같은 다양한 척도에 대해 논의하여 포트폴리오 성과를 평가하고 자산 배분을 최적화합니다.
분산 및 공분산 행렬: 이 장에서는 분산의 개념을 자세히 살펴보고 이를 다변량 설정으로 확장합니다. 공분산 행렬이라고도 하는 분산-공분산 행렬은 여러 랜덤 변수 간의 분산 및 공분산을 포괄적으로 나타냅니다. 포트폴리오 분석 및 위험 관리의 핵심 도구 역할을 하여 포트폴리오 위험을 계산하고 최적의 자산 배분을 식별할 수 있습니다.
조건부 기대: 조건부 기대는 주어진 특정 조건에서 무작위 변수의 기대값을 추정하는 수단으로 탐구됩니다. 이 개념을 통해 추가 정보 또는 제약 조건을 분석에 통합하고 예측을 구체화할 수 있습니다. 이 장에서는 불연속 및 연속 확률 변수 모두에 대한 조건부 기대에 대해 논의하고 의사 결정 및 예측 문제에서의 유용성을 강조합니다.
동일하고 독립적으로 분포된 랜덤 변수: 이 장은 동일하고 독립적으로 분포된(iid) 랜덤 변수에 대한 논의로 결론을 내립니다. 무작위 변수 집합이 동일한 분포를 따르고 상호 독립적인 경우 iid라고 합니다. 이 개념은 다양한 통계 분석 및 모델에서 중요합니다. 이 장에서는 확률 이론과 통계적 추론에서의 관련성을 강조하면서 iid 확률 변수의 속성과 의미를 탐구합니다.
요약: 확률 변수의 다변량 분석 및 종속성에 관한 장은 여러 변수의 공동 동작을 고려하여 확률 및 통계에 대한 이해를 확장합니다. 추가 차원을 분석에 통합함으로써 변수 간의 복잡한 관계와 종속성을 더 잘 포착할 수 있습니다. 이 장에서는 확률 행렬, 함수의 기대치, 공분산, 상관 관계, 변환, 포트폴리오 분석, 분산-공분산 행렬, 조건부 기대치 및 iid 임의 변수를 포함한 다양한 주제를 다룹니다. 이러한 개념은 다변량 데이터를 분석하고, 정보에 입각한 결정을 내리고, 무작위 변수의 기본 역학에 대한 더 깊은 통찰력을 얻을 수 있는 도구를 제공합니다.
샘플 순간(FRM 1부 2023 – 2권 – 5장)
샘플 순간(FRM 1부 2023 – 2권 – 5장)
Quantitative Analysis, Part 1, Book 2의 "Sample Moments"라는 제목의 장에서는 샘플과 샘플의 개념에 대해 자세히 설명합니다. 내 비디오를 정기적으로 시청하는 시청자가 알고 있듯이, 나는 관련이 있을 뿐만 아니라 우리의 목적에 부합하는 흥미로운 예를 제시하는 것을 선호합니다. 어떤 사람들은 그것들이 어리석다고 생각할지 모르지만, 그것들은 우리 토론의 맥락에서 의미가 있습니다. 이 장을 시작하기 위해 저는 제가 개인적으로 가장 좋아하는 자몽을 중심으로 소개하는 예를 공유할 것입니다.
자몽 씨앗 탐색: 저는 자몽을 즐겨 먹을 뿐만 아니라 아이들을 위해 자몽을 자르는 즐거움도 얻습니다. 그들은 그 맛을 좋아하고 건강에 틀림없이 유익합니다. 그러나 우리가 자몽을 자르고 그 안에서 수많은 씨를 발견할 때 문제가 발생합니다. 우리가 자몽의 씨앗 수를 이해하는 데 관심이 있는 연구원이라고 가정해 보겠습니다. 이를 조사하기 위해 식품점에서 수천 개의 자몽을 조달하는 여정을 시작합니다. 집에 돌아오면 각 자몽을 세심하게 썰어서 다양한 양의 씨를 발견합니다. 일부 자몽에는 3~4개의 씨가 있는 반면 다른 자몽에는 6~7개의 씨가 있고 일부는 10~12개의 씨가 들어 있습니다.
샘플 데이터 기록: 수천 개의 자몽을 소유하고 있으므로 각 과일의 씨앗 수를 부지런히 기록합니다. 그러나 이 전체 샘플은 광범위한 정보를 제공하지 않을 수 있습니다. 대략적인 범위와 자몽을 자를 때 예상되는 일반적인 아이디어를 제공합니다. 더 깊이 파고들려면 장 제목의 두 번째 부분인 순간으로 초점을 옮겨야 합니다. 우리는 미래의 자몽 소비량과 예상되는 종자 수에 대해 알려줄 수 있는 이 샘플의 순간을 탐색하는 것을 목표로 합니다. 우리가 만나는 첫 순간은 평균 또는 평균입니다. 1,000개의 자몽에 있는 씨앗의 합계를 1,000개로 나누면 평균 5개의 씨앗에 도달할 수 있습니다.
여러 시점 고려: 그러나 새로운 자몽을 자를 때마다 정확히 5개의 씨앗을 얻지 못할 수도 있음을 인정해야 합니다. 씨앗 3개 또는 7개 또는 기타 수량을 검색할 수 있습니다. 따라서 다른 순간도 고려해야 합니다. 요약하면, 이 초기의 사소해 보이는 예에서 얻을 수 있는 중요한 점은 순간(이 장에서 4가지에 대해 논의할 예정임)이 샘플 분포에 대한 통찰력을 제공한다는 것입니다. 이 지식으로 무장하면 미래의 자몽 소비 및 예상 종자 수에 대해 정보에 입각한 결정을 내릴 수 있습니다.
학습 목표: 이제 이 장에 설명된 학습 목표로 관심을 옮겨 보겠습니다. 흥미롭게도 이러한 목표는 자몽을 명시적으로 언급하지 않으며 우리 모두가 그것에 대해 감사할 수 있다고 믿습니다. 그래서, 앞으로 무엇이 놓여 있습니까? 우리는 평균, 모집단 모멘트, 샘플 모멘트, 추정기 및 추정치를 포함하는 과다한 추정에 관여할 것입니다. 이러한 순간이 편견을 나타내는지 여부를 평가할 것입니다. 예를 들어, 자몽 샘플에서 자몽 3분의 1마다 50개의 씨앗이 포함되어 있다고 암시하는 순간을 발견한다면, 그것은 자몽 씨앗에 대한 우리의 합리적인 기대와는 거리가 멀고 가능성이 매우 희박해 보일 것입니다. 그러므로 우리는 편향된 순간을 조심해야 합니다. 또한 중심 극한 정리를 살펴보고 분포의 세 번째 및 네 번째 모멘트, 즉 왜도 및 첨도를 조사할 것입니다. 마지막으로 공변량, 상관관계, 공왜도 및 공첨도에 대해 자세히 살펴보며 이 슬라이드 데크를 즐겁고 통찰력 있는 경험으로 만들 것입니다.
결론: 랜덤 변수에 대한 연구는 개별 변수를 분석하는 것 이상입니다. 여기에는 여러 변수의 관계, 종속성 및 분포를 조사하는 것이 포함됩니다.
이러한 개념을 이해함으로써 연구원과 분석가는 복잡한 시스템의 동작과 상호 작용에 대한 귀중한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 이 장의 다음 섹션에서는 다양한 순간의 중요성과 통계 분석에서의 적용에 대해 자세히 살펴볼 것입니다.
중앙값 및 사분위수 범위: 당면한 주제는 특히 연구에서 중앙값과 그 중요성입니다. 금융계를 포함한 연구자들은 데이터를 네 부분으로 나누고 중간 부분에 집중하는 사분위수 범위를 조사하는 데 관심이 있습니다. 그러나 재무 위험 관리자로서 분포의 왼쪽 꼬리도 고려하는 것이 중요합니다. 여기에서 VaR(Value at Risk)의 개념이 작용하지만 나중에 자세히 살펴보겠습니다. 지금은 중앙값에 대해 논의하는 데 시간을 할애하겠습니다.
중앙값 계산: 중앙값 계산은 관찰 횟수에 따라 다르기 때문에 흥미롭습니다. 예를 들어 다양한 종자 수(3, 5, 7)를 가진 3개의 자몽이 있는 경우 중앙값은 중간 값인 5가 됩니다. 홀수 크기의 샘플에서 중앙값은 단순히 중간 관찰값입니다. 그러나 관측치가 짝수이면 두 중간 값의 평균을 취합니다. 종자 수가 5와 7인 두 자몽의 예에서 중앙값은 (5 + 7) / 2 = 6입니다.
중앙값의 견고성: 중앙값이 데이터 세트의 실제 관찰과 일치하지 않을 수 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 특히 균일한 크기의 샘플을 처리할 때 그렇습니다. 또한 중앙값은 극단값의 영향을 받지 않으므로 강력한 측정값이 됩니다. 또한 특히 큰 수의 경우 중간점 역할을 합니다.
개별 변수를 넘어 이동: 지금까지 우리는 분포의 순간에 초점을 맞추었습니다. 그러나 평균의 왼쪽과 오른쪽도 이해해야 합니다. 이는 임의 샘플의 동작에 대한 통찰력을 제공하는 중심 극한 정리로 이어집니다. 1,000개의 관측치와 같이 모집단에서 큰 표본을 추출할 때 표본 평균의 분포는 정규 분포에 가깝습니다. 표본 크기가 더 커질수록 표본 평균의 분포는 정규 분포에 더욱 가까워집니다. 우리의 경우 다양한 상점에서 수천 개의 관찰을 수행하여 샘플 평균을 계산하고 샘플링 분포를 근사화할 수 있습니다.
표본 분포 및 근사: 요약하면 표본이 정규 분포를 따른다면 표본 평균의 표본 분포도 정규 분포가 됩니다. 그러나 표본 모집단이 대략 대칭인 경우 특히 표본 크기가 작은 경우 표본 분포가 대략적으로 정상이 됩니다. 그러나 데이터에 왜도를 도입할 때 샘플링 분포가 거의 정상이 되려면 일반적으로 샘플 크기가 30 이상이어야 합니다.
실제 적용: 확률 추정: 이 개념을 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 평균 수명이 30,000km이고 표준 편차가 3,600km인 특정 브랜드의 타이어가 있다고 가정합니다. 81개 타이어의 평균 수명이 29,200km 미만일 확률을 확인하려고 합니다. 제공된 정보와 z-table을 사용하여 z-score를 계산하면 약 0.02275 또는 2.275%의 확률을 찾습니다. 이는 29,200km 미만의 평균 수명을 경험할 확률이 상대적으로 낮다는 것을 나타냅니다.
변수 간의 종속성과 관계: 지금까지 단일 랜덤 변수를 조사했습니다. 그러나 우리는 종종 금리와 인플레이션과 같은 두 변수 사이의 관계를 연구하는 데 관심이 있습니다. 이 두 변수는 임의적이며 높은 상관 관계를 나타낼 가능성이 높습니다. 이 관계를 평가하기 위해 시간 경과에 따른 두 무작위 변수의 결합 변동성을 측정하는 공분산을 사용합니다. 각 관측치의 차이와 두 변수에 대한 해당 평균을 곱하여 공분산을 계산할 수 있습니다.
공분산: 두 변수 X와 Y 사이의 공분산은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
cov(X, Y) = Σ((X - μX)(Y - μY)) / (n - 1)
여기서 X와 Y는 변수이고 μX와 μY는 각각의 평균이며 n은 관측치의 수입니다.
공분산의 부호는 변수 간의 관계 방향을 나타냅니다. 공분산이 양수이면 양의 관계를 시사합니다. 즉, 한 변수가 증가하면 다른 변수도 증가하는 경향이 있습니다. 반대로 음의 공분산은 음의 관계를 나타내며 한 변수가 증가하면 다른 변수는 감소하는 경향이 있습니다.
그러나 공분산의 크기만으로는 변수의 척도에 영향을 받기 때문에 변수 간의 관계 강도를 명확하게 측정할 수 없습니다. 이 한계를 극복하고 관계의 강도를 더 잘 이해하기 위해 상관 계수를 사용할 수 있습니다.
상관 계수: r로 표시되는 상관 계수는 두 변수 사이의 선형 관계의 강도와 방향을 측정합니다. -1에서 1 사이의 표준화된 측정값입니다.
상관 계수 계산 공식은 다음과 같습니다.
r = cov(X, Y) / (σX * σY)
여기서 cov(X, Y)는 X와 Y 사이의 공분산이고, σX와 σY는 각각 X와 Y의 표준편차입니다.
상관 계수는 변수 간의 관계에 대한 귀중한 통찰력을 제공합니다. 상관 계수가 1 또는 -1에 가까우면 강한 선형 관계를 나타냅니다. 상관 계수 1은 완벽한 양의 선형 관계를 나타내고 -1은 완벽한 음의 선형 관계를 나타냅니다. 0에 가까운 상관 계수는 변수 간의 선형 관계가 약하거나 없음을 나타냅니다.
상관관계가 인과관계를 의미하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 두 변수의 상관관계가 높다고 해서 반드시 한 변수가 다른 변수를 변화시킨다는 의미는 아닙니다. 상관 관계는 단순히 두 변수가 함께 움직이는 정도를 정량화합니다.
공분산 및 상관관계 분석을 통해 변수 간의 관계를 이해하면 연구원과 분석가는 서로 다른 요인 간의 패턴, 종속성 및 잠재적인 예측력에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다. 이러한 척도는 변수 간의 관계를 연구하고 정보에 입각한 결정을 내리기 위해 금융, 경제, 사회 과학 및 기타 여러 분야를 포함한 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.
가설 테스트(FRM 1부 2023 – 2권 – 6장)
가설 테스트(FRM 1부 2023 – 2권 – 6장)
양적 분석 과정의 Part 1, Book 2에는 가설 검정에 대한 장이 있습니다. 저자는 이 장에 학생들이 학부 통계 수업에서 기억할 수 있는 정보가 포함될 가능성이 높다고 언급합니다. 이 장에서는 표본 평균 및 표본 분산 이해, 신뢰 구간 구성 및 해석, 귀무 가설 및 대립 가설 작업, 단측 또는 양측 검정 수행, 결과 해석 등 다양한 학습 목표를 다룹니다.
이 장은 표본의 모든 값의 합을 관측치 수로 나눈 값으로 정의되는 표본 평균에 대한 논의로 시작합니다. 표본 평균의 계산이 주요 초점은 아니지만 모집단 평균에 대한 추론을 할 때 표본 평균의 사용을 이해하는 것이 중요합니다. 저자는 전체 모집단에서 데이터를 수집하는 것은 비실용적인 경우가 많기 때문에 평균에 대한 대략적인 샘플링 분포를 제공하는 중심 극한 정리를 기반으로 샘플을 선택하고 테스트를 수행한다고 강조합니다.
다음으로 저자는 일반적으로 모집단의 표준 편차를 알 수 없기 때문에 표본 표준 편차를 추정하는 것의 중요성을 강조합니다. 표본 평균의 표준 오차를 계산하기 위한 공식을 제공합니다. 평균은 $15.50, 표준 편차는 3.3, 표본 크기는 30인 계산을 설명하기 위해 예가 제공됩니다.
그런 다음 이 장에서는 평균에서 관측값의 분산을 측정하는 표본 분산에 대해 설명합니다. 저자는 분산이 높을수록 데이터의 위험이나 변동성이 더 크다는 것을 나타낸다고 설명합니다. 개별 관찰과 표본 평균 간의 차이를 포함하고 자유도로 나누는 표본 분산을 계산하기 위한 공식을 제공합니다.
신뢰 구간으로 이동하면서 저자는 신뢰 수준의 개념을 소개하고 신뢰 수준이 특정 비율의 결과가 떨어질 것으로 예상되는 범위를 제공하는 방법을 설명합니다. 95% 신뢰 수준이 일반적으로 사용되며, 이는 이러한 구간 실현의 95%에 매개변수 값이 포함됨을 의미합니다. 저자는 신뢰 구간을 구성하기 위한 일반 공식을 제시하는데, 이는 점 추정치(예: 표본 평균)에 표준 오차를 더하거나 뺀 값에 신뢰도 요인을 곱한 값을 포함합니다. 신뢰도 요인은 원하는 신뢰 수준과 모집단 분산이 알려졌는지 알려지지 않았는지에 따라 달라집니다.
저자는 원하는 신뢰 수준과 표본 크기에 따라 적절한 신뢰도 요인을 선택할 수 있는 표를 제공합니다. 또한 모집단 분산이 알려졌는지 알려지지 않았는지에 따라 z-점수와 t-점수의 사용에 대해 논의합니다. 샘플 평균과 표준 편차를 사용하여 시험 공부에 소요된 평균 시간에 대한 95% 신뢰 구간의 계산을 보여주는 예가 제공됩니다.
마지막으로 이 장에서는 모집단 특성에 대한 가정이나 주장을 하고 그 타당성을 평가하기 위한 테스트를 수행하는 것과 관련된 가설 테스트에 대해 간략하게 언급합니다. 저자는 가설 진술, 검정 통계량 선택, 유의 수준 지정, 결정 규칙 정의, 표본 통계량 계산 및 결정을 포함하여 가설 검정과 관련된 단계를 제시합니다.
전반적으로 이 장에서는 정량 분석의 중요한 개념에 대한 포괄적인 개요를 제공하며 특히 표본 평균, 표본 분산, 신뢰 구간 및 가설 검정에 중점을 둡니다. 이러한 주제는 통계 분석의 기본이며 데이터에서 추론하고 결론을 도출하기 위한 기초를 제공합니다.