전산 금융에 관한 오늘의 Q&A 세션에 오신 것을 환영합니다. 이 세션에서는 첫 번째 강의에서 다룬 자료를 기반으로 한 두 번째 질문에 대해 논의할 것입니다. 자세한 이해를 위해 강의 1번을 다시 보는 것을 추천합니다. 오늘의 질문은 특히 이자율의 맥락에서 예금 계좌와 무이표 채권 사이의 관계에 초점을 맞춥니다.
시작하려면 저축 계좌를 정의해 봅시다. 돈의 시간가치란 우리가 오늘 1유로를 가지고 있고 미래 가치에 관심이 있다면 단순 이자율을 고려하면 1년 후에 받을 금액은 1유로 곱하기(1 + 이자율)가 될 것이라고 말합니다. 이 이자율은 백분율로 표시됩니다. 이것은 결정론적 이자율의 경우 간단한 계산입니다.
그러나 확률론적 이자율을 도입하면 관계가 더욱 복잡하고 흥미로워집니다. 이럴 때 저축예금과 무이표채의 차이가 중요해진다. 그 차이를 좀 더 명확하게 이해하기 위해 적금예금과 무이표채를 정의해 보자.
시간 T에서의 돈 저축 계정(MSA)은 e^(RT)를 곱한 초기 값(단순화를 위해 1로 간주될 수 있음)으로 정의됩니다. 여기서 R은 이자율을 나타냅니다. 첫 번째 강의에서 MSA의 자세한 파생물을 찾을 수 있습니다. 확률적 이자율의 경우 MSA는 M(T) = M(0) * e^(∫[0 to T] R(s) ds)로 표현될 수 있으며, 여기서 R(s)는 확률적 이자율을 나타냅니다. 적분은 확률적 양의 적분을 설명합니다.
이제 무이표채의 정의에 대해 논의해 봅시다. 무이표채는 미래 시간 T에 1유로를 지불하는 계약입니다. 무이표채와 관련된 가격 문제는 오늘 그 가치를 결정하는 것입니다. 즉, 미래 지불의 현재 가치를 찾고자 합니다. 우리는 공정한 가치를 확립하기 위해 오늘날 계약의 가치를 결정하는 데 항상 초점을 맞추기 때문에 이것은 전산 금융의 근본적인 문제입니다.
확률론적 이자율의 경우 기본 가격 책정 정리에 따르면 위험 중립 측정법에 따라 오늘로 할인된 T 시점의 미래 지급액이 있는 계약의 가치는 기대치로 표현될 수 있습니다. 구체적으로는 이자율의 적분에 대한 기대이다. 이는 MSA 개념의 확장으로 볼 수 있으며 기대와 음의 부호가 MSA와 구별됩니다. 따라서 무이표채는 -∫[0 to T] R(s) ds의 기대값으로 표현할 수 있습니다.
요약하면, 저축예금과 무이표채의 관계는 다음과 같이 설명할 수 있습니다. MSA의 경우 M(T) = 초기값 * e^(∫[0 to T] R(s) ds) 반면 제로 쿠폰 본드는 -∫[0 to T] R(s) ds의 기대값으로 정의됩니다. 결정론적 경우에는 제로 쿠폰 채권이 1 / M(T)과 같으므로 관계가 더 간단합니다. 여기서 M(T)는 시간 T의 MSA 값입니다.
이 관계를 이해하는 것은 전산 금융, 특히 확률론적 이자율을 다룰 때 필수적입니다. 금융 공학 및 가격 책정 문제에서 중요한 역할을 합니다. 이 과정에서 설명하는 측정 변경의 개념은 복잡한 보수를 단순화하고 종종 분석적 가격 책정 방정식을 찾을 수 있게 해주는 강력한 도구입니다. 이 주제에 관심이 있다면 이 채널에서 제공되는 금융 공학 과정을 살펴보는 것이 좋습니다.
이 설명으로 적금예금과 무이표본드의 차이점이 명확해졌으면 합니다. 주요 차이점은 확률론적 이자율을 다룰 때 중요해지는 기대 기간에 있습니다. 확률론적 이자율이 없는 상황에서 저축예금과 무이표채의 관계는 더 간단합니다. 이러한 경우, 이자율이 일정하다면 무이표채에 대한 표현은 단순히 1 / M(T)가 될 것입니다. 여기서 M(T)는 시간 T의 예금 계좌의 가치를 나타냅니다.
그러나 확률적 이자율이 도입되면 기대 기간이 중요해집니다. 무이표채 계산에 확률론적 이자율을 통합하면 시간 경과에 따른 이자율의 불확실성과 변동성이 고려됩니다. 이로 인해 두 금융 상품 간의 관계가 복잡해집니다.
전산금융 분야에서는 적금예금과 무이표채권의 역학과 관계를 이해하는 것이 필수적입니다. 이를 통해 다양한 금융 계약의 가치를 분석 및 평가하고 공정한 가격을 결정할 수 있습니다. 이 과정에서 다루는 측정 변경의 개념은 복잡한 보상을 단순화하고 가격 책정 방정식을 도출하기 위한 강력한 프레임워크를 제공합니다.
결론적으로 적금통장과 무이표채는 밀접한 관계가 있지만 수학적 공식이 다르다. 저축예금은 시간 경과에 따른 원금의 복리 가치를 나타내는 반면, 무이표채는 통합 이자율의 기대를 통해 미래 지급액의 현재 가치를 계산합니다. 이러한 구분은 확률적 이자율을 다룰 때 더욱 중요하고 흥미로워집니다. 이 관계를 이해함으로써 금융 전문가는 정보에 입각한 결정을 내리고 전산 금융의 세계를 효과적으로 탐색할 수 있습니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 2/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
전산금융학 과정을 기반으로 한 질의응답에 오신 것을 환영합니다. 오늘, 우리는 특히 Heston 모델의 맥락에서 내재 변동성 계산의 어려움과 관련된 세 번째 질문을 탐구할 것입니다.
내재 변동성을 논의할 때 별도로 명시하지 않는 한 일반적으로 Black-Scholes 내재 변동성을 언급합니다. 따라서 Heston 모델의 경우 내재 변동성을 도출하는 방법을 묻는 경우 장기 평균 또는 초기 분산에 대해서만 Heston 공식을 간단히 반전시킬 수 없습니다. Heston 모델의 내재 변동성에는 2단계 프로세스가 필요합니다. Heston 모델을 기반으로 가격을 계산한 다음 Black-Scholes 공식에서 이 가격을 반전에 활용하여 해당 시그마를 찾습니다.
Heston 모델은 분산에 대한 여러 매개변수를 도입하므로 계산이 복잡해집니다. 단일 매개변수가 있는 Black-Scholes 모델과 달리 Heston 모델의 다중 매개변수는 고유한 매개변수 집합을 얻기 위해 다시 역변환하는 것을 방지합니다.
내재 변동성은 주식의 현재 가치를 고려한 상대적인 비교를 가능하게 하므로 다양한 주식의 행동과 성과를 비교하는 데 유용한 도구입니다. 내재 변동성은 옵션 평가와 관련된 위험 및 불확실성을 평가하는 데 도움이 되는 불확실성을 통합합니다.
내재 변동성 개념은 수년 동안 사용되어 왔으며 Black-Scholes 모델이 단일 매개변수로 인해 가격 옵션에 적합하지 않다는 것이 명백해졌습니다. 실제로 다양한 행사가와 만기가 있는 다양한 옵션은 종종 다른 내재 변동성을 나타냅니다. 이러한 불일치는 일정한 변동성 가정이 모든 옵션의 가격을 동시에 책정하는 데 적합하지 않음을 시사합니다. 따라서 문제는 모델의 가격을 시장에서 관찰된 가격과 일치시키는 내재 변동성을 찾는 데 있습니다.
내재 변동성 계산에는 Black-Scholes 공식을 뒤집는 작업이 포함되며 이는 사소한 작업이 아닙니다. Newton의 방법이나 Brent의 방법과 같은 몇 가지 수치 루틴이 이러한 목적으로 일반적으로 사용됩니다. 이러한 방법은 모델의 Black-Scholes 가격과 옵션의 시장 가격을 동일시하는 방정식을 풀어 알려지지 않은 내재 변동성을 찾는 것을 목표로 합니다.
내재 변동성을 효율적으로 계산하는 것은 특히 고주파 거래에서 또는 모델을 시장 데이터로 보정할 때 매우 중요합니다. 계산 속도는 거래 전략이나 모델 보정의 효과에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다. 따라서 내재 변동성 계산을 위한 빠르고 정확한 수치 루틴을 개발하는 것이 매우 중요합니다.
콜 옵션 표면이 극도로 평평해지는 외가격 옵션을 다룰 때 문제가 더욱 심해집니다. 이러한 경우 반복 검색 알고리즘은 수렴하는 데 어려움을 겪거나 정확한 그래디언트가 없기 때문에 최적의 지점을 찾기 위해 많은 반복이 필요할 수 있습니다. 따라서 적절한 초기 추측을 결정하는 것은 계산의 효율성과 유효성을 보장하는 데 중요합니다.
내재 변동성은 주로 Black-Scholes 내재 변동성과 관련이 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 그러나 산술 브라운 운동 또는 이동된 로그 정규 분포와 같은 다른 모델을 기반으로 내재된 변동성을 가질 수 있습니다. 이 경우 계산에 사용된 모델을 명시적으로 명시하는 것이 필수적입니다.
결론적으로, 내재 변동성을 계산하는 것은 특히 외가격 옵션을 다룰 때 속도와 관련된 문제를 제기합니다. 정확하고 빠른 계산을 위해서는 효율적인 수치 루틴과 초기 추측에 대한 신중한 고려가 필요합니다. 내재 변동성은 옵션 가격 책정, 위험 평가 및 모델 보정에서 중요한 역할을 하므로 전산 금융에서 계산 및 이해가 중요합니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 3/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 산술 브라운 운동을 사용하는 가격 옵션에 초점을 맞춘 4번입니다. 이 질문은 강의 2번에서 논의된 자료를 기반으로 합니다.
산술 브라운 운동은 이전에 본 기하학적 브라운 운동과 약간 다른 과정입니다. Black-Scholes 모델을 사용하는 것과 같은 가격 책정 옵션의 경우 주요 차이점은 변동성과 드리프트에 있습니다. 모델의 이 단순화된 버전에서는 변동성 항과 미분이 조정됩니다.
시장 시나리오에서 특정 행사 가격(K)과 만기일(T)을 고려해 봅시다. 우리는 옵션 가격(C1)을 관찰합니다. 우리의 지식을 바탕으로 기하학적 브라운 운동에 대한 내재된 변동성을 쉽게 찾을 수 있습니다. 마찬가지로 이 경우 시장에서 관찰된 옵션 가격과 완벽하게 일치하는 내재 변동성(시그마 물결표)을 찾을 수 있습니다. 그러나 두 모델이 동일하지 않다는 점에 유의해야 합니다. 그들 사이의 차이점은 그리스인으로도 알려진 민감성을 조사할 때 분명해집니다.
산술 브라운 운동은 재고 실현이 음수가 될 수 있다고 가정하며 이는 비현실적입니다. 대조적으로, 기하학적 브라운 운동은 양의 스톡 경로만을 가정합니다. 이 차이는 부정적인 주식 실현을 설명하기 위해 우리의 헤지 전략을 조정해야 하므로 산술 브라운 운동의 가정을 덜 현실적으로 만듭니다.
옵션 가격을 비교하면 약간의 통찰력을 얻을 수 있지만 모델이 충분한지 여부를 결정하는 것이 항상 최선의 기준은 아닙니다. 또한 기하 및 산술 브라운 운동 모델은 내재된 변동성 스마일 또는 왜곡으로 보정할 수 없습니다. 그러나 특정 옵션이 하나뿐인 시장을 고려하는 이 특정한 경우에는 두 모델을 쉽게 비교하고 어느 것이 더 적합한지 결정할 수 있습니다.
변동성 매개변수(시그마)가 고정된 OU 프로세스에 대해 유사한 고려 사항을 만들 수 있습니다. 그러나 OU 프로세스는 드리프트와 같은 추가적인 문제에 직면하는데, 이는 저금통장으로 주식을 나눈다는 측면에서 위험 중립 측정에서 잘 정의되지 않습니다. 따라서 가격 옵션에 대한 실행 가능한 프로세스가 아닙니다.
시각적인 예를 제공하기 위해 기하학적 브라운 운동, 산술 브라운 운동 및 OU 프로세스의 세 가지 확률적 미분 방정식에 대한 몇 가지 실현 경로를 준비했습니다. 시뮬레이션에서 동일한 브라운 운동이 사용되어 경로 간에 유사한 모양과 패턴이 생성됩니다.
요약하면, 산술적 브라운 운동을 사용하여 옵션 가격을 책정하는 것이 가능하지만 이것이 항상 가장 현명한 접근 방식은 아닐 수 있습니다. 모델의 적합성은 자산의 기본 가정과 역학이 시장의 물리적 속성을 반영하는지 여부에 따라 달라집니다. 이것이 고려해야 할 핵심 요소입니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 4/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 확률적 과정과 무작위 변수의 차이에 초점을 맞춘 다섯 번째 질문입니다. 이 질문은 강의 2번에서 논의된 자료를 기반으로 합니다.
확률적 프로세스는 기본적으로 시간에 대해 매개변수화되는 무작위 변수의 모음입니다. 공식적으로 우리는 확률적 과정을 X(t)로 나타낼 수 있습니다. 여기서 시간(t)과 확률 공간에 해당하는 오메가(Ω)라는 두 가지 인수가 있습니다. 대조적으로, 랜덤 변수는 이러한 시간 종속성이 없는 더 간단한 개념입니다. 예를 들어 동전을 던지고 "뒷면" 또는 "앞면"의 결과를 고려하는 경우 이는 임의 변수입니다. 그러나 방정식에 시간을 도입하고 시간이 지남에 따라 "꼬리" 또는 "머리"의 발생을 고려하면 확률적 프로세스가 됩니다.
산업계와 학계 모두 확률적 과정을 논의할 때 종종 두 번째 인수(오메가)를 무시합니다. 대신 확률적 프로세스의 완전한 정의를 제공하는 dX(t, Ω)가 아닌 X(t)로 프로세스를 참조합니다.
시뮬레이션된 Monte Carlo 경로와 시간 및 오메가와의 연결을 해석하는 방법을 이해하는 것도 중요합니다. 시간 경과에 따른 프로세스 X(t)의 값을 플로팅하면 여러 Monte Carlo 경로를 관찰할 수 있습니다. 각 경로는 프로세스의 가능한 실현을 나타냅니다. 특정 시간을 고정하면 t*라고 하고 해당 시점에서 모든 실현의 분포를 보면 주어진 시간에 다른 결과(오메가)를 고려하고 있습니다. 반면에 특정 실현(오메가)을 고정하고 시간이 지남에 따라 프로세스가 어떻게 진화하는지 관찰하여 결과적으로 단일 경로를 만들 수 있습니다. 따라서 고려해야 할 두 가지 차원이 있습니다. 결과 분포를 분석하기 위해 시간을 고정하거나 시간 경과에 따른 프로세스의 동작을 관찰하기 위해 실현을 고정하는 것입니다.
요약하면, 확률적 프로세스는 시간에 대해 매개변수화되는 무작위 변수의 모음입니다. 그것은 시간이 지남에 따라 시스템의 진화를 나타내며 Monte Carlo 경로를 통해 관찰할 수 있습니다. 반면 확률 변수는 시간에 의존하지 않는 단순한 개념입니다. 이러한 구분을 이해하는 것은 전산 금융을 공부할 때 매우 중요합니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 5/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 스톡 프로세스를 모델링하기 위해 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동을 사용할 때의 장점과 단점을 탐구하는 여섯 번째 질문입니다. 이 질문은 질문 2번을 기반으로 하며 산술 브라운 운동이 가격 옵션에 사용된 이전 세션에서 논의된 것과 유사합니다.
이 두 프로세스의 차이는 상대적으로 작습니다. 주로 양수 값과 음수 값을 모두 허용하는 자산을 고려하는지 또는 주식과 같은 양수 자산에만 집중하는지 여부와 관련됩니다. 오늘, 우리는 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동이 다양한 시나리오에서 특정 파생 상품의 가격을 책정하는 데 적합한지 여부를 결정하는 데 도움이 되는 측면을 탐구할 것입니다.
가격을 책정해야 하는 이국적인 파생 상품이 있는 경우를 생각해 봅시다. 이 파생물은 복잡하며 호출 가능성 기능을 포함할 수 있습니다. 산술적 또는 기하학적 브라운 운동이 가격 책정에 적합한지 평가하려면 특정 요인을 조사해야 합니다.
첫 번째 질문은 이 자산 클래스의 이국적인 파생 상품 시장이 풍부한지 여부입니다. 다른 이국적인 파생 상품이 있는 경우 이러한 시장 가격을 보정할 수 있는 모델을 고려해야 합니다. 그런 다음 가격을 이자 파생 상품으로 추정할 수 있습니다. 그러나 시장이 풍부하지 않다면 이국적인 파생 상품의 가격을 책정할 수 있지만 보정할 수 있는 추가 이국적인 파생 상품이 없다는 의미입니다.
후자의 경우 다음 단계로 이동하여 이 시장에 사용할 수 있는 옵션이 있는지 확인합니다. 옵션 시장이 있는 경우 먼저 모델을 이러한 옵션, 일반적으로 유동 상품으로 보정해야 합니다. 이 보정은 모델 매개변수를 결정하는 데 도움이 됩니다. 보정된 모델 매개변수가 있으면 이를 사용하여 이국적인 파생 상품의 가격을 책정할 수 있습니다.
시장에서 사용할 수 있는 콜 및 풋이 없는 경우 활용할 시장 수단이 없는 시나리오에 직면하게 됩니다. 그러한 경우, 예를 들어 콜 및 풋에 대한 내재 변동성이 없는 시장에서는 Black-Scholes 모델 또는 기하학적 브라운 운동이 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하는 데 적합하다고 생각할 수 있습니다. 그러나 이 상황에서는 시그마 매개변수의 보정이 충분해야 한다는 점에 유의해야 합니다. 콜 가능성과 같은 고급 기능을 갖춘 파생 상품에 대해 기본 콜 및 풋 옵션과 같은 헤징 수단이 없다면 해당 파생 상품을 거래하는 것이 바람직하지 않을 수 있다고 주장할 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고 순전히 이론적인 관점에서 볼 때 기하학적 브라운 운동은 제한된 시장 정보가 있는 시나리오에서 사용될 수 있습니다.
다른 이색 파생상품이나 콜 및 풋과 같이 시장에 더 많은 상품이 있는 경우 기하학적 브라운 운동을 사용하여 이색 파생상품의 가격을 책정하는 것은 적합하지 않다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 모델은 단 하나의 자유 매개변수만으로 내재된 변동성 미소와 스큐를 충분히 잘 보정할 수 없습니다.
요약하면 가격 책정 모델의 선택은 항상 우리가 가격을 책정하려는 파생 상품의 유형을 기반으로 합니다. 우리는 모델의 적합성을 판단하기 위해 시장 도구의 가용성을 고려해야 합니다. 사용 가능한 시장 도구가 있는 경우 기하학적 브라운 운동이나 간단한 블랙숄즈 모델과 같은 모델은 적합하지 않습니다. 그러나 내재 변동성 가격 책정의 경우 기하학적 브라운 운동이 여전히 적용 가능합니다. 그러나 이국적인 파생 상품 및 더 복잡한 자산의 가격을 책정하는 경우 선호되는 선택이 아닙니다.
장단점 측면에서 이러한 모델의 장점은 미미합니다. 그들은 시장이 양수 또는 음수 자산을 허용하는지 여부를 고려하는 물리적 표현을 허용합니다. 그러나 그들은 모델 보정에 대한 자유도가 제한되어 있어 이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 데 적합하지 않습니다.
이 설명이 스톡 프로세스 및 가격 파생 상품을 모델링하기 위해 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동을 사용하는 장점과 단점을 명확히 하기를 바랍니다. 다음에 만나요! 안녕히 가세요.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 6/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 모의 확률적 프로세스에 대해 수행할 수 있는 온전성 검사에 중점을 둔 일곱 번째 질문입니다. 이 질문은 가격 책정 목적을 위한 이산화된 확률적 미분 방정식의 시뮬레이션과 관련된 실제 연습과 관련이 있습니다. 구현이 올바른지 확인하고 결과의 유효성에 대한 확신을 얻으려면 특정 검사를 수행하는 것이 중요합니다.
이 질문을 해결하기 위해 수행할 수 있는 몇 가지 단계와 검사를 살펴보겠습니다. 첫째, 시뮬레이션되는 특정 자산 클래스를 고려하는 것이 중요합니다. 예를 들어 재고 프로세스를 시뮬레이션하는 경우 할인된 재고가 Martingale 속성을 따르는지 여부를 평가하는 간단한 확인이 있습니다. 오늘로 할인된 만기 주식의 기대치는 초기 주식 가치와 같아야 합니다. 실제로는 약간의 차이가 있을 수 있으며 시뮬레이션 경로의 수가 증가하거나 그리드 크기가 감소함에 따라 감소해야 합니다. 이 차이를 모니터링하고 최소화하면 시뮬레이션 정확도를 개선하는 데 도움이 될 수 있습니다.
확인해야 할 또 다른 측면은 가격이 책정되는 파생 상품을 단순화할 수 있는지 여부입니다. 예를 들어 행사 가격이 0인 콜 옵션을 선택하면 본질적으로 위에서 언급한 첫 번째 확인으로 축소됩니다. 파생 상품의 보상이 제대로 구현되었는지 확인하는 것이 중요합니다.
안정성은 또 다른 중요한 고려 사항입니다. 여기에는 Monte Carlo 경로 수 증가의 영향과 무작위 시드를 변경할 때 결과의 안정성을 평가하는 것이 포함됩니다. 시드가 다른 시뮬레이션이 상당히 다른 가격을 산출하는 경우 모델의 잠재적인 불안정성을 나타냅니다. 안정성을 보장하기 위해 드리프트 수정 또는 Martingale 수정 조건과 같은 조정이 필요할 수 있습니다.
또한 시간 간격의 이산화 단계 크기를 변경할 때 결과가 어떻게 달라지는지 관찰하는 것이 중요합니다. 이는 다양한 시간 해상도에 대한 시뮬레이션의 민감도를 평가하는 데 도움이 됩니다.
한 가지 중요한 점검은 시뮬레이션 프로세스가 시장 도구의 가격을 다시 책정할 수 있는지 여부입니다. 모델 매개변수가 옵션과 같은 시장 상품에 대해 보정되는 경우 모델의 가격을 시장 가격과 비교하는 것이 필수적입니다. 가격이 크게 다른 경우 모델이 제대로 작동하지 않으며 조정 또는 추가 보정이 필요할 수 있음을 나타냅니다.
다음은 시뮬레이션된 확률적 프로세스에 대해 수행할 수 있는 기본적인 온전성 검사 중 일부입니다. 특정 수표는 고려 중인 가격 책정 계약 유형에 따라 다를 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 행사 날짜가 있는 옵션의 경우 기본 사례 시나리오로 유럽 유형의 보수로 축소되도록 하는 것이 중요합니다.
이러한 검사를 수행하면 시뮬레이션을 검증하고 구현에서 잠재적인 문제나 버그를 식별하는 데 도움이 됩니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 7/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 Feynman-Katz 공식과 그 적용에 초점을 맞춘 강의 3번의 8번입니다. Feynman-Katz 공식은 편미분 방정식(PDE)과 확률적 프로세스 사이의 중요한 연결을 설정하여 임의 경로 시뮬레이션을 통해 특정 PDE를 해결하는 방법을 제공합니다. 이 강력한 기계를 통해 PDE를 확률적 프로세스와 결합하여 복잡한 문제를 해결할 수 있습니다.
공식 자체는 특정 형태의 편미분 방정식과 관련이 있습니다. 시간 미분 항(dt), 드리프트 항(μ), 1차 미분 항(dX), 변동성 항(σ²/2) 및 2차 미분 항(d²X)이 있는 PDE를 고려하십시오. PDE는 또한 값 V가 시간 T에서 결정적 함수 ETA(X)를 취하는 종료 조건을 포함합니다. 여기서 X는 상태 변수를 나타냅니다.
Feynman-Katz 정리에 따르면 이 PDE에 대한 해는 시간 T에서 평가된 결정론적 함수 ETA의 기대값으로 표현될 수 있으며 이를 확률적 과정의 함수로 간주할 수 있습니다. X(t)로 표시되는 확률 과정은 다음과 같이 정의될 수 있습니다. dX(t) = μ dt + σ dW(t), 여기서 dW(t)는 위너 과정(브라운 운동)을 나타냅니다. 드리프트 항 μ와 변동성 항 σ²는 PDE의 계수에 의해 결정됩니다.
최종 조건과 함께 dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0 형식의 PDE가 있는 경우 해를 X(t)에서 평가된 최종 조건의 기대값으로 표현할 수 있습니다. 시간 T에서 처리합니다.
PDE가 2차 미분 항과 종료 조건만 포함하는 간단한 예를 살펴보겠습니다. Feynman-Katz 정리를 적용하면 솔루션이 함수 ETA의 기대치(이 경우 x²)임을 알 수 있습니다. 따라서 솔루션은 X(t)²의 기대값으로 작성할 수 있습니다. 여기서 X(t)는 일부 초기 상태를 갖는 스케일링된 브라운 운동입니다. 기대치를 계산하면 Sigma²(Tt) + X²가 산출됩니다.
Feynman-Katz 공식은 금융, 특히 가격 옵션에서 강력한 도구입니다. 예를 들어 Black-Scholes 방정식에서 복제 포트폴리오로 시작하여 가격 책정 PDE로 이어집니다. 동일한 전략을 따르면 가격 책정 PDE는 확률적 프로세스를 기반으로 하는 말단 보수의 기대 시뮬레이션과 우아하게 관련될 수 있습니다. 기대치와 PDE 간의 이러한 연결은 옵션 가격 책정을 위한 포괄적인 프레임워크를 제공합니다. 여기에서 포트폴리오를 복제하고 가격 PDE를 도출한 다음 Monte Carlo 경로 또는 시뮬레이션된 확률적 프로세스를 통해 기대치를 시뮬레이션할 수 있습니다.
Feynman-Katz 공식을 이해하고 활용하는 것은 다양한 금융 응용 분야에서 필수적입니다. PDE를 풀기 위한 강력한 방법을 제공하고 확률적 과정과 편미분 방정식 간의 명확한 연결을 제공합니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 8/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 4번 강의에서 다룬 자료와 관련된 9번입니다. 문제는 "내재 변동성 기간 구조가 무엇입니까?"입니다. 이 질문은 시간에 따른 변동성이 Black-Scholes 모델에 미치는 영향과 이것이 내재된 변동성 스마일 또는 스큐를 생성할 수 있는지 여부를 논의할 때 종종 발생합니다. 불행하게도 시간에 따른 변동성이 웃음이나 왜곡을 일으킬 수 있다는 일반적인 대답은 잘못된 것입니다. 내재 변동성 기간 구조와 Black-Scholes 모델과의 연관성을 살펴보겠습니다.
내재 변동성을 이해하려면 Black-Scholes 모델의 맥락에서 어떻게 계산되고 그 의미가 무엇인지 알아야 합니다. 표준 Black-Scholes 프레임워크에서는 콜 옵션의 시장 가격이 주어지면 시장 가격과 Black-Scholes 가격의 차이를 0으로 만드는 내재 변동성(Sigma_imp)을 찾는 것을 목표로 합니다. 이 내재 변동성은 Black-Scholes 가격 방정식을 뒤집음으로써 도출됩니다.
모델에서 얻은 옵션 가격을 시장에서 관찰된 옵션 가격과 비교할 때 가격만으로 내재 변동성 스마일 또는 스큐의 존재를 판단하기는 어렵습니다. 대신 내재 변동성에 집중해야 합니다. 내재 변동성을 살펴보면 예상되는 행사 가격(k) 증가에 따라 시장 옵션 가격이 감소하는 것을 관찰할 수 있습니다. 그러나 내재 변동성의 동작은 크게 다를 수 있습니다. 어떤 경우에는 평평할 수도 있고 다른 경우에는 기울어질 수도 있습니다. 변동성 스마일 또는 왜곡의 존재를 정확하게 평가하려면 가격보다는 내재 변동성을 조사하는 것이 중요합니다.
내재 변동성은 시장 상황에 따라 스마일, 스큐 또는 하키 스틱 모양을 포함하여 다양한 형태를 취할 수 있습니다. 서로 다른 유형의 시장은 서로 다른 내재 변동성 패턴을 나타내므로 이러한 패턴을 일치시키기 위해서는 서로 다른 모델과 보정 절차가 필요합니다.
이제 내재 변동성의 기간 구조에 대해 논의해 보겠습니다. 기간 구조에서는 행사 가격을 고정시키면서 옵션 만기를 다양화하는 데 중점을 둡니다. Black-Scholes 모델에 시간 종속 변동성을 도입하면(상수 시그마를 sigma(T)로 대체) 내재 변동성 기간 구조가 스마일이나 스큐를 생성하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 대신 시간이 지남에 따라 등가격 옵션의 내재 변동성이 어떻게 변하는지 보여줍니다. 용어 구조는 옵션 만기가 변경됨에 따라 내재 변동성의 진화를 설명합니다. 3D 도표에서 등가격 옵션의 경우 만기가 동일한 한(평평한 표면) 내재 변동성이 일정하게 유지된다는 것을 관찰했습니다. 그러나 옵션 만기를 변경함에 따라 내재 변동성이 변경되어 내재 변동성 기간 구조를 보여줍니다.
Black-Scholes 모델에 시간에 따른 변동성을 도입해도 함축된 변동성 미소나 왜곡이 발생하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 모델에는 여전히 스마일이나 스큐가 없지만 시간 경과에 따른 내재 변동성 측면에서 등가격 옵션에 대한 보정이 가능합니다. 제 책과 강의 4번에서는 시간 종속성을 시그마 스타로 알려진 상수 시그마로 압축하여 시간 종속 변동성을 사용하여 옵션 가격(콜 및 풋 모두)을 나타내는 방법에 대한 자료를 찾을 수 있습니다. 이렇게 하면 등가격 옵션과 관련된 기간 구조를 고려하면서 Black-Scholes 가격 책정 프레임워크를 재사용할 수 있습니다.
결론적으로 Black-Scholes 모델의 시간 종속적 변동성은 내재 변동성 스마일 또는 스큐를 생성하지 않습니다. 이는 등가격 옵션의 기간 구조와 관련된 내재 변동성에만 영향을 미칩니다. 스마일 또는 스큐의 존재를 평가하려면 항상 옵션 가격보다는 내재 변동성을 조사하십시오.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 9/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online course...
오늘의 질문은 4번 강의와 관련된 10번입니다. 문제는 "Black-Scholes 모델의 결함은 무엇이며 왜 여전히 사용됩니까?"입니다.
Black-Scholes 모델은 이 과정에서 논의된 바와 같이 파생 상품 가격 책정의 기본 모델입니다. 주가를 나타내는 기하학적 브라운 운동이 있는 단일 확률 미분 방정식(SDE)을 가정합니다. 그런 다음 이 간단한 프로세스를 사용하여 옵션 가격을 책정합니다. 그러나 우리는 모델의 가정이 현재 시장 조건에 적합하지 않다는 것을 배웠습니다.
Black-Scholes 모델의 주요 단점 중 하나는 변동성을 나타내는 단일 매개변수인 시그마에 의존한다는 것입니다. 이 단일 매개변수는 시장에서 관찰되는 내재 변동성 미소와 스큐의 복잡성을 포착하기에는 불충분합니다. 금리가 변동성에 비해 옵션 가격에 최소한의 영향을 미치긴 하지만 고정 금리에 대한 모델의 가정도 비현실적입니다.
Black-Scholes 모델의 또 다른 단점은 기하학적 브라운 운동에 의해 생성된 수익이 충분히 꼬리가 무겁지 않다는 것입니다. 이것은 확률이 매우 낮은 극단적인 사건이 적절하게 설명되지 않아 모델이 비현실적이라는 것을 의미합니다.
그렇다면 이러한 결함에도 불구하고 Black-Scholes 모델이 여전히 사용되는 이유는 무엇입니까? 대답은 다면적입니다. Black-Scholes 모델은 이국적인 파생 상품 가격 책정에는 적합하지 않지만 유럽 옵션 가격 책정에는 여전히 사용할 수 있습니다. 유러피안 옵션은 더 간단하고 더 유동적인 시장이 있어 바닐라 유러피언 옵션을 사용하여 더 쉽게 헤징할 수 있습니다. 따라서 사용할 수 있는 다른 시장 도구가 없는 경우 Black-Scholes 모델을 사용하여 이국적인 파생상품의 가격을 책정할 수 있습니다. 그러나 이 접근 방식은 이국적인 파생 상품을 효과적으로 헤지할 수 있는 능력이 부족하기 때문에 위험하다는 점에 유의해야 합니다.
또한 Black-Scholes 모델은 내재 변동성 계산에 널리 사용됩니다. 내재 변동성은 옵션 거래자에게 필수적인 도구이며 Black-Scholes 공식을 사용하여 파생됩니다. Heston 모델이나 점프가 있는 모델과 같은 더 복잡한 모델을 사용하는 경우에도 해당 모델과 관련된 내재 변동성은 여전히 Black-Scholes 공식을 사용하여 계산됩니다. 내재 변동성은 자산 수준과 독립적인 변동성을 측정하여 다양한 자산에 걸쳐 의미 있는 위험을 비교할 수 있기 때문에 선호됩니다.
이 과정에서는 Black-Scholes 프레임워크보다 개선된 확률적 변동성 모델 및 로컬 변동성 모델과 같은 Black-Scholes 모델에 대한 다양한 대안을 탐색했습니다. 이러한 대안에 대한 더 깊은 이해가 필요한 경우 강의를 다시 방문하는 것이 좋습니다.
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 10/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online cours...
전산 금융에 대한 질문과 답변 세션에 오신 것을 환영합니다. 오늘 우리는 5강에서 다룬 자료를 기반으로 한 11번 문제에 대해 논의할 것입니다. 문제는 Poisson 점프 프로세스를 포함할 때 Ethos 테이블이 어떻게 생겼습니까?
시작하려면 브라운 운동을 포함하는 프로세스에 Ethos 기본형을 적용하는 것을 상기해 봅시다. 우리는 프로세스 함수의 동역학을 찾기 위해 Taylor 확장을 포함하는 Ethos 보조 정리를 적용해야 한다는 것을 알고 있습니다. 브라운 운동에 대한 Ethos 테이블에는 dt, dw, dtdw 및 dwdw 항이 포함됩니다. dt에 dw 또는 dtdw를 곱한 교차 항이 있으면 대칭으로 인해 0으로 간주됩니다. 그리고 dwdw는 단순히 dt입니다.
이제 브라운 운동뿐만 아니라 그 과정의 동역학에 포아송 과정이 포함된 경우를 생각해 봅시다. 푸아송 점프 프로세스는 각 시점에서 발생하는 일련의 점프로 나타낼 수 있습니다. 프로세스를 이산화하면 유한한 간격으로 여러 번 점프할 수 있습니다. 그러나 무한히 작은 간격을 고려하면 단일 점프만 발생합니다. 왼쪽 한계와 점프 직전 프로세스의 값을 각각 나타내기 위해 표기법 xt- 및 xt를 도입합니다.
이제 함수 G(xt)에 초점을 맞추겠습니다. Poisson 점프가 있는 프로세스의 함수에 Ethos 보조 정리를 적용하면 드리프트 항, 점프 항 및 점프로 인한 G 증가를 포함하는 표현식을 얻습니다. 드리프트 항은 브라운 운동에 대한 Ethos 보조 정리의 것과 유사하지만 확산 부분이 없습니다. 점프 항은 포아송 프로세스에 따라 다르며 점프 크기와 점프 발생에 대한 표시 함수의 곱으로 구성됩니다.
요약하면, 푸아송 점프 프로세스에 대한 Ethos 테이블에는 브라운 운동에 대한 Ethos 테이블의 항과 푸아송 프로세스의 두 증분 곱에서 발생하는 추가 항이 포함됩니다. 이 추가 용어는 점프 프로세스에 Ethos 기본형을 적용하는 데 중요합니다.
Ethos 보조정리와 점프 프로세스에 대한 응용 프로그램을 이해하는 것이 중요합니다. 이는 확률적 프로세스 기능의 역학을 분석하기 위한 금융 분야의 강력한 도구이기 때문입니다. 이 주제에 대한 자세한 내용은 강의 5 및 관련 문헌에서 찾을 수 있습니다. 추가 질문이 있으면 언제든지 문의하십시오. 안녕히 가세요!
Computational Finance Q&A, Volume 1, Question 11/30▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬Materials discussed in this video are based on:1) FREE online cours...
제로쿠폰 본드와 돈 저축 계좌는 어떤 관련이 있습니까?
제로쿠폰 본드와 돈 저축 계좌는 어떤 관련이 있습니까?
전산 금융에 관한 오늘의 Q&A 세션에 오신 것을 환영합니다. 이 세션에서는 첫 번째 강의에서 다룬 자료를 기반으로 한 두 번째 질문에 대해 논의할 것입니다. 자세한 이해를 위해 강의 1번을 다시 보는 것을 추천합니다. 오늘의 질문은 특히 이자율의 맥락에서 예금 계좌와 무이표 채권 사이의 관계에 초점을 맞춥니다.
시작하려면 저축 계좌를 정의해 봅시다. 돈의 시간가치란 우리가 오늘 1유로를 가지고 있고 미래 가치에 관심이 있다면 단순 이자율을 고려하면 1년 후에 받을 금액은 1유로 곱하기(1 + 이자율)가 될 것이라고 말합니다. 이 이자율은 백분율로 표시됩니다. 이것은 결정론적 이자율의 경우 간단한 계산입니다.
그러나 확률론적 이자율을 도입하면 관계가 더욱 복잡하고 흥미로워집니다. 이럴 때 저축예금과 무이표채의 차이가 중요해진다. 그 차이를 좀 더 명확하게 이해하기 위해 적금예금과 무이표채를 정의해 보자.
시간 T에서의 돈 저축 계정(MSA)은 e^(RT)를 곱한 초기 값(단순화를 위해 1로 간주될 수 있음)으로 정의됩니다. 여기서 R은 이자율을 나타냅니다. 첫 번째 강의에서 MSA의 자세한 파생물을 찾을 수 있습니다. 확률적 이자율의 경우 MSA는 M(T) = M(0) * e^(∫[0 to T] R(s) ds)로 표현될 수 있으며, 여기서 R(s)는 확률적 이자율을 나타냅니다. 적분은 확률적 양의 적분을 설명합니다.
이제 무이표채의 정의에 대해 논의해 봅시다. 무이표채는 미래 시간 T에 1유로를 지불하는 계약입니다. 무이표채와 관련된 가격 문제는 오늘 그 가치를 결정하는 것입니다. 즉, 미래 지불의 현재 가치를 찾고자 합니다. 우리는 공정한 가치를 확립하기 위해 오늘날 계약의 가치를 결정하는 데 항상 초점을 맞추기 때문에 이것은 전산 금융의 근본적인 문제입니다.
확률론적 이자율의 경우 기본 가격 책정 정리에 따르면 위험 중립 측정법에 따라 오늘로 할인된 T 시점의 미래 지급액이 있는 계약의 가치는 기대치로 표현될 수 있습니다. 구체적으로는 이자율의 적분에 대한 기대이다. 이는 MSA 개념의 확장으로 볼 수 있으며 기대와 음의 부호가 MSA와 구별됩니다. 따라서 무이표채는 -∫[0 to T] R(s) ds의 기대값으로 표현할 수 있습니다.
요약하면, 저축예금과 무이표채의 관계는 다음과 같이 설명할 수 있습니다. MSA의 경우 M(T) = 초기값 * e^(∫[0 to T] R(s) ds) 반면 제로 쿠폰 본드는 -∫[0 to T] R(s) ds의 기대값으로 정의됩니다. 결정론적 경우에는 제로 쿠폰 채권이 1 / M(T)과 같으므로 관계가 더 간단합니다. 여기서 M(T)는 시간 T의 MSA 값입니다.
이 관계를 이해하는 것은 전산 금융, 특히 확률론적 이자율을 다룰 때 필수적입니다. 금융 공학 및 가격 책정 문제에서 중요한 역할을 합니다. 이 과정에서 설명하는 측정 변경의 개념은 복잡한 보수를 단순화하고 종종 분석적 가격 책정 방정식을 찾을 수 있게 해주는 강력한 도구입니다. 이 주제에 관심이 있다면 이 채널에서 제공되는 금융 공학 과정을 살펴보는 것이 좋습니다.
이 설명으로 적금예금과 무이표본드의 차이점이 명확해졌으면 합니다. 주요 차이점은 확률론적 이자율을 다룰 때 중요해지는 기대 기간에 있습니다. 확률론적 이자율이 없는 상황에서 저축예금과 무이표채의 관계는 더 간단합니다. 이러한 경우, 이자율이 일정하다면 무이표채에 대한 표현은 단순히 1 / M(T)가 될 것입니다. 여기서 M(T)는 시간 T의 예금 계좌의 가치를 나타냅니다.
그러나 확률적 이자율이 도입되면 기대 기간이 중요해집니다. 무이표채 계산에 확률론적 이자율을 통합하면 시간 경과에 따른 이자율의 불확실성과 변동성이 고려됩니다. 이로 인해 두 금융 상품 간의 관계가 복잡해집니다.
전산금융 분야에서는 적금예금과 무이표채권의 역학과 관계를 이해하는 것이 필수적입니다. 이를 통해 다양한 금융 계약의 가치를 분석 및 평가하고 공정한 가격을 결정할 수 있습니다. 이 과정에서 다루는 측정 변경의 개념은 복잡한 보상을 단순화하고 가격 책정 방정식을 도출하기 위한 강력한 프레임워크를 제공합니다.
결론적으로 적금통장과 무이표채는 밀접한 관계가 있지만 수학적 공식이 다르다. 저축예금은 시간 경과에 따른 원금의 복리 가치를 나타내는 반면, 무이표채는 통합 이자율의 기대를 통해 미래 지급액의 현재 가치를 계산합니다. 이러한 구분은 확률적 이자율을 다룰 때 더욱 중요하고 흥미로워집니다. 이 관계를 이해함으로써 금융 전문가는 정보에 입각한 결정을 내리고 전산 금융의 세계를 효과적으로 탐색할 수 있습니다.
내재 변동성을 계산할 때 어려운 점은 무엇입니까?
내재 변동성을 계산할 때 어려운 점은 무엇입니까?
전산금융학 과정을 기반으로 한 질의응답에 오신 것을 환영합니다. 오늘, 우리는 특히 Heston 모델의 맥락에서 내재 변동성 계산의 어려움과 관련된 세 번째 질문을 탐구할 것입니다.
내재 변동성을 논의할 때 별도로 명시하지 않는 한 일반적으로 Black-Scholes 내재 변동성을 언급합니다. 따라서 Heston 모델의 경우 내재 변동성을 도출하는 방법을 묻는 경우 장기 평균 또는 초기 분산에 대해서만 Heston 공식을 간단히 반전시킬 수 없습니다. Heston 모델의 내재 변동성에는 2단계 프로세스가 필요합니다. Heston 모델을 기반으로 가격을 계산한 다음 Black-Scholes 공식에서 이 가격을 반전에 활용하여 해당 시그마를 찾습니다.
Heston 모델은 분산에 대한 여러 매개변수를 도입하므로 계산이 복잡해집니다. 단일 매개변수가 있는 Black-Scholes 모델과 달리 Heston 모델의 다중 매개변수는 고유한 매개변수 집합을 얻기 위해 다시 역변환하는 것을 방지합니다.
내재 변동성은 주식의 현재 가치를 고려한 상대적인 비교를 가능하게 하므로 다양한 주식의 행동과 성과를 비교하는 데 유용한 도구입니다. 내재 변동성은 옵션 평가와 관련된 위험 및 불확실성을 평가하는 데 도움이 되는 불확실성을 통합합니다.
내재 변동성 개념은 수년 동안 사용되어 왔으며 Black-Scholes 모델이 단일 매개변수로 인해 가격 옵션에 적합하지 않다는 것이 명백해졌습니다. 실제로 다양한 행사가와 만기가 있는 다양한 옵션은 종종 다른 내재 변동성을 나타냅니다. 이러한 불일치는 일정한 변동성 가정이 모든 옵션의 가격을 동시에 책정하는 데 적합하지 않음을 시사합니다. 따라서 문제는 모델의 가격을 시장에서 관찰된 가격과 일치시키는 내재 변동성을 찾는 데 있습니다.
내재 변동성 계산에는 Black-Scholes 공식을 뒤집는 작업이 포함되며 이는 사소한 작업이 아닙니다. Newton의 방법이나 Brent의 방법과 같은 몇 가지 수치 루틴이 이러한 목적으로 일반적으로 사용됩니다. 이러한 방법은 모델의 Black-Scholes 가격과 옵션의 시장 가격을 동일시하는 방정식을 풀어 알려지지 않은 내재 변동성을 찾는 것을 목표로 합니다.
내재 변동성을 효율적으로 계산하는 것은 특히 고주파 거래에서 또는 모델을 시장 데이터로 보정할 때 매우 중요합니다. 계산 속도는 거래 전략이나 모델 보정의 효과에 상당한 영향을 미칠 수 있습니다. 따라서 내재 변동성 계산을 위한 빠르고 정확한 수치 루틴을 개발하는 것이 매우 중요합니다.
콜 옵션 표면이 극도로 평평해지는 외가격 옵션을 다룰 때 문제가 더욱 심해집니다. 이러한 경우 반복 검색 알고리즘은 수렴하는 데 어려움을 겪거나 정확한 그래디언트가 없기 때문에 최적의 지점을 찾기 위해 많은 반복이 필요할 수 있습니다. 따라서 적절한 초기 추측을 결정하는 것은 계산의 효율성과 유효성을 보장하는 데 중요합니다.
내재 변동성은 주로 Black-Scholes 내재 변동성과 관련이 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 그러나 산술 브라운 운동 또는 이동된 로그 정규 분포와 같은 다른 모델을 기반으로 내재된 변동성을 가질 수 있습니다. 이 경우 계산에 사용된 모델을 명시적으로 명시하는 것이 필수적입니다.
결론적으로, 내재 변동성을 계산하는 것은 특히 외가격 옵션을 다룰 때 속도와 관련된 문제를 제기합니다. 정확하고 빠른 계산을 위해서는 효율적인 수치 루틴과 초기 추측에 대한 신중한 고려가 필요합니다. 내재 변동성은 옵션 가격 책정, 위험 평가 및 모델 보정에서 중요한 역할을 하므로 전산 금융에서 계산 및 이해가 중요합니다.
산술 브라운 운동을 사용하여 옵션 가격을 책정할 수 있습니까?
산술 브라운 운동을 사용하여 옵션 가격을 책정할 수 있습니까?
전산 금융 과정 Q&A 세션에 오신 것을 환영합니다!
오늘의 질문은 산술 브라운 운동을 사용하는 가격 옵션에 초점을 맞춘 4번입니다. 이 질문은 강의 2번에서 논의된 자료를 기반으로 합니다.
산술 브라운 운동은 이전에 본 기하학적 브라운 운동과 약간 다른 과정입니다. Black-Scholes 모델을 사용하는 것과 같은 가격 책정 옵션의 경우 주요 차이점은 변동성과 드리프트에 있습니다. 모델의 이 단순화된 버전에서는 변동성 항과 미분이 조정됩니다.
시장 시나리오에서 특정 행사 가격(K)과 만기일(T)을 고려해 봅시다. 우리는 옵션 가격(C1)을 관찰합니다. 우리의 지식을 바탕으로 기하학적 브라운 운동에 대한 내재된 변동성을 쉽게 찾을 수 있습니다. 마찬가지로 이 경우 시장에서 관찰된 옵션 가격과 완벽하게 일치하는 내재 변동성(시그마 물결표)을 찾을 수 있습니다. 그러나 두 모델이 동일하지 않다는 점에 유의해야 합니다. 그들 사이의 차이점은 그리스인으로도 알려진 민감성을 조사할 때 분명해집니다.
산술 브라운 운동은 재고 실현이 음수가 될 수 있다고 가정하며 이는 비현실적입니다. 대조적으로, 기하학적 브라운 운동은 양의 스톡 경로만을 가정합니다. 이 차이는 부정적인 주식 실현을 설명하기 위해 우리의 헤지 전략을 조정해야 하므로 산술 브라운 운동의 가정을 덜 현실적으로 만듭니다.
옵션 가격을 비교하면 약간의 통찰력을 얻을 수 있지만 모델이 충분한지 여부를 결정하는 것이 항상 최선의 기준은 아닙니다. 또한 기하 및 산술 브라운 운동 모델은 내재된 변동성 스마일 또는 왜곡으로 보정할 수 없습니다. 그러나 특정 옵션이 하나뿐인 시장을 고려하는 이 특정한 경우에는 두 모델을 쉽게 비교하고 어느 것이 더 적합한지 결정할 수 있습니다.
변동성 매개변수(시그마)가 고정된 OU 프로세스에 대해 유사한 고려 사항을 만들 수 있습니다. 그러나 OU 프로세스는 드리프트와 같은 추가적인 문제에 직면하는데, 이는 저금통장으로 주식을 나눈다는 측면에서 위험 중립 측정에서 잘 정의되지 않습니다. 따라서 가격 옵션에 대한 실행 가능한 프로세스가 아닙니다.
시각적인 예를 제공하기 위해 기하학적 브라운 운동, 산술 브라운 운동 및 OU 프로세스의 세 가지 확률적 미분 방정식에 대한 몇 가지 실현 경로를 준비했습니다. 시뮬레이션에서 동일한 브라운 운동이 사용되어 경로 간에 유사한 모양과 패턴이 생성됩니다.
요약하면, 산술적 브라운 운동을 사용하여 옵션 가격을 책정하는 것이 가능하지만 이것이 항상 가장 현명한 접근 방식은 아닐 수 있습니다. 모델의 적합성은 자산의 기본 가정과 역학이 시장의 물리적 속성을 반영하는지 여부에 따라 달라집니다. 이것이 고려해야 할 핵심 요소입니다.
확률적 과정과 확률 변수의 차이점은 무엇입니까?
확률적 과정과 확률 변수의 차이점은 무엇입니까?
전산 금융 과정 Q&A 세션에 오신 것을 환영합니다!
오늘의 질문은 확률적 과정과 무작위 변수의 차이에 초점을 맞춘 다섯 번째 질문입니다. 이 질문은 강의 2번에서 논의된 자료를 기반으로 합니다.
확률적 프로세스는 기본적으로 시간에 대해 매개변수화되는 무작위 변수의 모음입니다. 공식적으로 우리는 확률적 과정을 X(t)로 나타낼 수 있습니다. 여기서 시간(t)과 확률 공간에 해당하는 오메가(Ω)라는 두 가지 인수가 있습니다. 대조적으로, 랜덤 변수는 이러한 시간 종속성이 없는 더 간단한 개념입니다. 예를 들어 동전을 던지고 "뒷면" 또는 "앞면"의 결과를 고려하는 경우 이는 임의 변수입니다. 그러나 방정식에 시간을 도입하고 시간이 지남에 따라 "꼬리" 또는 "머리"의 발생을 고려하면 확률적 프로세스가 됩니다.
산업계와 학계 모두 확률적 과정을 논의할 때 종종 두 번째 인수(오메가)를 무시합니다. 대신 확률적 프로세스의 완전한 정의를 제공하는 dX(t, Ω)가 아닌 X(t)로 프로세스를 참조합니다.
시뮬레이션된 Monte Carlo 경로와 시간 및 오메가와의 연결을 해석하는 방법을 이해하는 것도 중요합니다. 시간 경과에 따른 프로세스 X(t)의 값을 플로팅하면 여러 Monte Carlo 경로를 관찰할 수 있습니다. 각 경로는 프로세스의 가능한 실현을 나타냅니다. 특정 시간을 고정하면 t*라고 하고 해당 시점에서 모든 실현의 분포를 보면 주어진 시간에 다른 결과(오메가)를 고려하고 있습니다. 반면에 특정 실현(오메가)을 고정하고 시간이 지남에 따라 프로세스가 어떻게 진화하는지 관찰하여 결과적으로 단일 경로를 만들 수 있습니다. 따라서 고려해야 할 두 가지 차원이 있습니다. 결과 분포를 분석하기 위해 시간을 고정하거나 시간 경과에 따른 프로세스의 동작을 관찰하기 위해 실현을 고정하는 것입니다.
요약하면, 확률적 프로세스는 시간에 대해 매개변수화되는 무작위 변수의 모음입니다. 그것은 시간이 지남에 따라 시스템의 진화를 나타내며 Monte Carlo 경로를 통해 관찰할 수 있습니다. 반면 확률 변수는 시간에 의존하지 않는 단순한 개념입니다. 이러한 구분을 이해하는 것은 전산 금융을 공부할 때 매우 중요합니다.
스톡 프로세스 모델링에 ABM/GBM을 사용할 때의 장단점은 무엇입니까?
스톡 프로세스 모델링에 ABM/GBM을 사용할 때의 장단점은 무엇입니까?
전산 금융에 대한 질문과 답변 세션에 오신 것을 환영합니다!
오늘의 질문은 스톡 프로세스를 모델링하기 위해 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동을 사용할 때의 장점과 단점을 탐구하는 여섯 번째 질문입니다. 이 질문은 질문 2번을 기반으로 하며 산술 브라운 운동이 가격 옵션에 사용된 이전 세션에서 논의된 것과 유사합니다.
이 두 프로세스의 차이는 상대적으로 작습니다. 주로 양수 값과 음수 값을 모두 허용하는 자산을 고려하는지 또는 주식과 같은 양수 자산에만 집중하는지 여부와 관련됩니다. 오늘, 우리는 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동이 다양한 시나리오에서 특정 파생 상품의 가격을 책정하는 데 적합한지 여부를 결정하는 데 도움이 되는 측면을 탐구할 것입니다.
가격을 책정해야 하는 이국적인 파생 상품이 있는 경우를 생각해 봅시다. 이 파생물은 복잡하며 호출 가능성 기능을 포함할 수 있습니다. 산술적 또는 기하학적 브라운 운동이 가격 책정에 적합한지 평가하려면 특정 요인을 조사해야 합니다.
첫 번째 질문은 이 자산 클래스의 이국적인 파생 상품 시장이 풍부한지 여부입니다. 다른 이국적인 파생 상품이 있는 경우 이러한 시장 가격을 보정할 수 있는 모델을 고려해야 합니다. 그런 다음 가격을 이자 파생 상품으로 추정할 수 있습니다. 그러나 시장이 풍부하지 않다면 이국적인 파생 상품의 가격을 책정할 수 있지만 보정할 수 있는 추가 이국적인 파생 상품이 없다는 의미입니다.
후자의 경우 다음 단계로 이동하여 이 시장에 사용할 수 있는 옵션이 있는지 확인합니다. 옵션 시장이 있는 경우 먼저 모델을 이러한 옵션, 일반적으로 유동 상품으로 보정해야 합니다. 이 보정은 모델 매개변수를 결정하는 데 도움이 됩니다. 보정된 모델 매개변수가 있으면 이를 사용하여 이국적인 파생 상품의 가격을 책정할 수 있습니다.
시장에서 사용할 수 있는 콜 및 풋이 없는 경우 활용할 시장 수단이 없는 시나리오에 직면하게 됩니다. 그러한 경우, 예를 들어 콜 및 풋에 대한 내재 변동성이 없는 시장에서는 Black-Scholes 모델 또는 기하학적 브라운 운동이 이국적인 파생 상품의 가격을 책정하는 데 적합하다고 생각할 수 있습니다. 그러나 이 상황에서는 시그마 매개변수의 보정이 충분해야 한다는 점에 유의해야 합니다. 콜 가능성과 같은 고급 기능을 갖춘 파생 상품에 대해 기본 콜 및 풋 옵션과 같은 헤징 수단이 없다면 해당 파생 상품을 거래하는 것이 바람직하지 않을 수 있다고 주장할 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고 순전히 이론적인 관점에서 볼 때 기하학적 브라운 운동은 제한된 시장 정보가 있는 시나리오에서 사용될 수 있습니다.
다른 이색 파생상품이나 콜 및 풋과 같이 시장에 더 많은 상품이 있는 경우 기하학적 브라운 운동을 사용하여 이색 파생상품의 가격을 책정하는 것은 적합하지 않다는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 모델은 단 하나의 자유 매개변수만으로 내재된 변동성 미소와 스큐를 충분히 잘 보정할 수 없습니다.
요약하면 가격 책정 모델의 선택은 항상 우리가 가격을 책정하려는 파생 상품의 유형을 기반으로 합니다. 우리는 모델의 적합성을 판단하기 위해 시장 도구의 가용성을 고려해야 합니다. 사용 가능한 시장 도구가 있는 경우 기하학적 브라운 운동이나 간단한 블랙숄즈 모델과 같은 모델은 적합하지 않습니다. 그러나 내재 변동성 가격 책정의 경우 기하학적 브라운 운동이 여전히 적용 가능합니다. 그러나 이국적인 파생 상품 및 더 복잡한 자산의 가격을 책정하는 경우 선호되는 선택이 아닙니다.
장단점 측면에서 이러한 모델의 장점은 미미합니다. 그들은 시장이 양수 또는 음수 자산을 허용하는지 여부를 고려하는 물리적 표현을 허용합니다. 그러나 그들은 모델 보정에 대한 자유도가 제한되어 있어 이국적인 파생상품의 가격을 책정하는 데 적합하지 않습니다.
이 설명이 스톡 프로세스 및 가격 파생 상품을 모델링하기 위해 산술 브라운 운동 또는 기하학적 브라운 운동을 사용하는 장점과 단점을 명확히 하기를 바랍니다. 다음에 만나요! 안녕히 가세요.
시뮬레이션된 재고 프로세스에 대해 어떤 온전성 검사를 수행할 수 있습니까?
시뮬레이션된 재고 프로세스에 대해 어떤 온전성 검사를 수행할 수 있습니까?
전산 금융 과정을 기반으로 하는 질의 응답 세션에 오신 것을 환영합니다.
오늘의 질문은 모의 확률적 프로세스에 대해 수행할 수 있는 온전성 검사에 중점을 둔 일곱 번째 질문입니다. 이 질문은 가격 책정 목적을 위한 이산화된 확률적 미분 방정식의 시뮬레이션과 관련된 실제 연습과 관련이 있습니다. 구현이 올바른지 확인하고 결과의 유효성에 대한 확신을 얻으려면 특정 검사를 수행하는 것이 중요합니다.
이 질문을 해결하기 위해 수행할 수 있는 몇 가지 단계와 검사를 살펴보겠습니다. 첫째, 시뮬레이션되는 특정 자산 클래스를 고려하는 것이 중요합니다. 예를 들어 재고 프로세스를 시뮬레이션하는 경우 할인된 재고가 Martingale 속성을 따르는지 여부를 평가하는 간단한 확인이 있습니다. 오늘로 할인된 만기 주식의 기대치는 초기 주식 가치와 같아야 합니다. 실제로는 약간의 차이가 있을 수 있으며 시뮬레이션 경로의 수가 증가하거나 그리드 크기가 감소함에 따라 감소해야 합니다. 이 차이를 모니터링하고 최소화하면 시뮬레이션 정확도를 개선하는 데 도움이 될 수 있습니다.
확인해야 할 또 다른 측면은 가격이 책정되는 파생 상품을 단순화할 수 있는지 여부입니다. 예를 들어 행사 가격이 0인 콜 옵션을 선택하면 본질적으로 위에서 언급한 첫 번째 확인으로 축소됩니다. 파생 상품의 보상이 제대로 구현되었는지 확인하는 것이 중요합니다.
안정성은 또 다른 중요한 고려 사항입니다. 여기에는 Monte Carlo 경로 수 증가의 영향과 무작위 시드를 변경할 때 결과의 안정성을 평가하는 것이 포함됩니다. 시드가 다른 시뮬레이션이 상당히 다른 가격을 산출하는 경우 모델의 잠재적인 불안정성을 나타냅니다. 안정성을 보장하기 위해 드리프트 수정 또는 Martingale 수정 조건과 같은 조정이 필요할 수 있습니다.
또한 시간 간격의 이산화 단계 크기를 변경할 때 결과가 어떻게 달라지는지 관찰하는 것이 중요합니다. 이는 다양한 시간 해상도에 대한 시뮬레이션의 민감도를 평가하는 데 도움이 됩니다.
한 가지 중요한 점검은 시뮬레이션 프로세스가 시장 도구의 가격을 다시 책정할 수 있는지 여부입니다. 모델 매개변수가 옵션과 같은 시장 상품에 대해 보정되는 경우 모델의 가격을 시장 가격과 비교하는 것이 필수적입니다. 가격이 크게 다른 경우 모델이 제대로 작동하지 않으며 조정 또는 추가 보정이 필요할 수 있음을 나타냅니다.
다음은 시뮬레이션된 확률적 프로세스에 대해 수행할 수 있는 기본적인 온전성 검사 중 일부입니다. 특정 수표는 고려 중인 가격 책정 계약 유형에 따라 다를 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 행사 날짜가 있는 옵션의 경우 기본 사례 시나리오로 유럽 유형의 보수로 축소되도록 하는 것이 중요합니다.
이러한 검사를 수행하면 시뮬레이션을 검증하고 구현에서 잠재적인 문제나 버그를 식별하는 데 도움이 됩니다.
Feynman-Kac 공식은 무엇입니까?
Feynman-Kac 공식은 무엇입니까?
전산 금융에 대한 진지한 질문과 답변 세션에 오신 것을 환영합니다.
오늘의 질문은 Feynman-Katz 공식과 그 적용에 초점을 맞춘 강의 3번의 8번입니다. Feynman-Katz 공식은 편미분 방정식(PDE)과 확률적 프로세스 사이의 중요한 연결을 설정하여 임의 경로 시뮬레이션을 통해 특정 PDE를 해결하는 방법을 제공합니다. 이 강력한 기계를 통해 PDE를 확률적 프로세스와 결합하여 복잡한 문제를 해결할 수 있습니다.
공식 자체는 특정 형태의 편미분 방정식과 관련이 있습니다. 시간 미분 항(dt), 드리프트 항(μ), 1차 미분 항(dX), 변동성 항(σ²/2) 및 2차 미분 항(d²X)이 있는 PDE를 고려하십시오. PDE는 또한 값 V가 시간 T에서 결정적 함수 ETA(X)를 취하는 종료 조건을 포함합니다. 여기서 X는 상태 변수를 나타냅니다.
Feynman-Katz 정리에 따르면 이 PDE에 대한 해는 시간 T에서 평가된 결정론적 함수 ETA의 기대값으로 표현될 수 있으며 이를 확률적 과정의 함수로 간주할 수 있습니다. X(t)로 표시되는 확률 과정은 다음과 같이 정의될 수 있습니다. dX(t) = μ dt + σ dW(t), 여기서 dW(t)는 위너 과정(브라운 운동)을 나타냅니다. 드리프트 항 μ와 변동성 항 σ²는 PDE의 계수에 의해 결정됩니다.
최종 조건과 함께 dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0 형식의 PDE가 있는 경우 해를 X(t)에서 평가된 최종 조건의 기대값으로 표현할 수 있습니다. 시간 T에서 처리합니다.
PDE가 2차 미분 항과 종료 조건만 포함하는 간단한 예를 살펴보겠습니다. Feynman-Katz 정리를 적용하면 솔루션이 함수 ETA의 기대치(이 경우 x²)임을 알 수 있습니다. 따라서 솔루션은 X(t)²의 기대값으로 작성할 수 있습니다. 여기서 X(t)는 일부 초기 상태를 갖는 스케일링된 브라운 운동입니다. 기대치를 계산하면 Sigma²(Tt) + X²가 산출됩니다.
Feynman-Katz 공식은 금융, 특히 가격 옵션에서 강력한 도구입니다. 예를 들어 Black-Scholes 방정식에서 복제 포트폴리오로 시작하여 가격 책정 PDE로 이어집니다. 동일한 전략을 따르면 가격 책정 PDE는 확률적 프로세스를 기반으로 하는 말단 보수의 기대 시뮬레이션과 우아하게 관련될 수 있습니다. 기대치와 PDE 간의 이러한 연결은 옵션 가격 책정을 위한 포괄적인 프레임워크를 제공합니다. 여기에서 포트폴리오를 복제하고 가격 PDE를 도출한 다음 Monte Carlo 경로 또는 시뮬레이션된 확률적 프로세스를 통해 기대치를 시뮬레이션할 수 있습니다.
Feynman-Katz 공식을 이해하고 활용하는 것은 다양한 금융 응용 분야에서 필수적입니다. PDE를 풀기 위한 강력한 방법을 제공하고 확률적 과정과 편미분 방정식 간의 명확한 연결을 제공합니다.
감사합니다. 다음에 또 뵙겠습니다!
내재 변동성 기간 구조는 무엇입니까?
내재 변동성 기간 구조는 무엇입니까?
전산 금융 강의를 기반으로 한 질의 응답 세션에 오신 것을 환영합니다.
오늘의 질문은 4번 강의에서 다룬 자료와 관련된 9번입니다. 문제는 "내재 변동성 기간 구조가 무엇입니까?"입니다. 이 질문은 시간에 따른 변동성이 Black-Scholes 모델에 미치는 영향과 이것이 내재된 변동성 스마일 또는 스큐를 생성할 수 있는지 여부를 논의할 때 종종 발생합니다. 불행하게도 시간에 따른 변동성이 웃음이나 왜곡을 일으킬 수 있다는 일반적인 대답은 잘못된 것입니다. 내재 변동성 기간 구조와 Black-Scholes 모델과의 연관성을 살펴보겠습니다.
내재 변동성을 이해하려면 Black-Scholes 모델의 맥락에서 어떻게 계산되고 그 의미가 무엇인지 알아야 합니다. 표준 Black-Scholes 프레임워크에서는 콜 옵션의 시장 가격이 주어지면 시장 가격과 Black-Scholes 가격의 차이를 0으로 만드는 내재 변동성(Sigma_imp)을 찾는 것을 목표로 합니다. 이 내재 변동성은 Black-Scholes 가격 방정식을 뒤집음으로써 도출됩니다.
모델에서 얻은 옵션 가격을 시장에서 관찰된 옵션 가격과 비교할 때 가격만으로 내재 변동성 스마일 또는 스큐의 존재를 판단하기는 어렵습니다. 대신 내재 변동성에 집중해야 합니다. 내재 변동성을 살펴보면 예상되는 행사 가격(k) 증가에 따라 시장 옵션 가격이 감소하는 것을 관찰할 수 있습니다. 그러나 내재 변동성의 동작은 크게 다를 수 있습니다. 어떤 경우에는 평평할 수도 있고 다른 경우에는 기울어질 수도 있습니다. 변동성 스마일 또는 왜곡의 존재를 정확하게 평가하려면 가격보다는 내재 변동성을 조사하는 것이 중요합니다.
내재 변동성은 시장 상황에 따라 스마일, 스큐 또는 하키 스틱 모양을 포함하여 다양한 형태를 취할 수 있습니다. 서로 다른 유형의 시장은 서로 다른 내재 변동성 패턴을 나타내므로 이러한 패턴을 일치시키기 위해서는 서로 다른 모델과 보정 절차가 필요합니다.
이제 내재 변동성의 기간 구조에 대해 논의해 보겠습니다. 기간 구조에서는 행사 가격을 고정시키면서 옵션 만기를 다양화하는 데 중점을 둡니다. Black-Scholes 모델에 시간 종속 변동성을 도입하면(상수 시그마를 sigma(T)로 대체) 내재 변동성 기간 구조가 스마일이나 스큐를 생성하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 대신 시간이 지남에 따라 등가격 옵션의 내재 변동성이 어떻게 변하는지 보여줍니다. 용어 구조는 옵션 만기가 변경됨에 따라 내재 변동성의 진화를 설명합니다. 3D 도표에서 등가격 옵션의 경우 만기가 동일한 한(평평한 표면) 내재 변동성이 일정하게 유지된다는 것을 관찰했습니다. 그러나 옵션 만기를 변경함에 따라 내재 변동성이 변경되어 내재 변동성 기간 구조를 보여줍니다.
Black-Scholes 모델에 시간에 따른 변동성을 도입해도 함축된 변동성 미소나 왜곡이 발생하지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 모델에는 여전히 스마일이나 스큐가 없지만 시간 경과에 따른 내재 변동성 측면에서 등가격 옵션에 대한 보정이 가능합니다. 제 책과 강의 4번에서는 시간 종속성을 시그마 스타로 알려진 상수 시그마로 압축하여 시간 종속 변동성을 사용하여 옵션 가격(콜 및 풋 모두)을 나타내는 방법에 대한 자료를 찾을 수 있습니다. 이렇게 하면 등가격 옵션과 관련된 기간 구조를 고려하면서 Black-Scholes 가격 책정 프레임워크를 재사용할 수 있습니다.
결론적으로 Black-Scholes 모델의 시간 종속적 변동성은 내재 변동성 스마일 또는 스큐를 생성하지 않습니다. 이는 등가격 옵션의 기간 구조와 관련된 내재 변동성에만 영향을 미칩니다. 스마일 또는 스큐의 존재를 평가하려면 항상 옵션 가격보다는 내재 변동성을 조사하십시오.
이 설명으로 개념이 명확해지기를 바랍니다. 다음에 보자. 안녕, 그리고 고마워!
Black-Scholes 모델의 결함은 무엇입니까? Black-Scholes 모델이 여전히 사용되는 이유는 무엇입니까?
Black-Scholes 모델의 결함은 무엇입니까? BS 모델이 여전히 사용되는 이유는 무엇입니까?
전산 금융 과정을 기반으로 하는 질의 응답 세션에 오신 것을 환영합니다.
오늘의 질문은 4번 강의와 관련된 10번입니다. 문제는 "Black-Scholes 모델의 결함은 무엇이며 왜 여전히 사용됩니까?"입니다.
Black-Scholes 모델은 이 과정에서 논의된 바와 같이 파생 상품 가격 책정의 기본 모델입니다. 주가를 나타내는 기하학적 브라운 운동이 있는 단일 확률 미분 방정식(SDE)을 가정합니다. 그런 다음 이 간단한 프로세스를 사용하여 옵션 가격을 책정합니다. 그러나 우리는 모델의 가정이 현재 시장 조건에 적합하지 않다는 것을 배웠습니다.
Black-Scholes 모델의 주요 단점 중 하나는 변동성을 나타내는 단일 매개변수인 시그마에 의존한다는 것입니다. 이 단일 매개변수는 시장에서 관찰되는 내재 변동성 미소와 스큐의 복잡성을 포착하기에는 불충분합니다. 금리가 변동성에 비해 옵션 가격에 최소한의 영향을 미치긴 하지만 고정 금리에 대한 모델의 가정도 비현실적입니다.
Black-Scholes 모델의 또 다른 단점은 기하학적 브라운 운동에 의해 생성된 수익이 충분히 꼬리가 무겁지 않다는 것입니다. 이것은 확률이 매우 낮은 극단적인 사건이 적절하게 설명되지 않아 모델이 비현실적이라는 것을 의미합니다.
그렇다면 이러한 결함에도 불구하고 Black-Scholes 모델이 여전히 사용되는 이유는 무엇입니까? 대답은 다면적입니다. Black-Scholes 모델은 이국적인 파생 상품 가격 책정에는 적합하지 않지만 유럽 옵션 가격 책정에는 여전히 사용할 수 있습니다. 유러피안 옵션은 더 간단하고 더 유동적인 시장이 있어 바닐라 유러피언 옵션을 사용하여 더 쉽게 헤징할 수 있습니다. 따라서 사용할 수 있는 다른 시장 도구가 없는 경우 Black-Scholes 모델을 사용하여 이국적인 파생상품의 가격을 책정할 수 있습니다. 그러나 이 접근 방식은 이국적인 파생 상품을 효과적으로 헤지할 수 있는 능력이 부족하기 때문에 위험하다는 점에 유의해야 합니다.
또한 Black-Scholes 모델은 내재 변동성 계산에 널리 사용됩니다. 내재 변동성은 옵션 거래자에게 필수적인 도구이며 Black-Scholes 공식을 사용하여 파생됩니다. Heston 모델이나 점프가 있는 모델과 같은 더 복잡한 모델을 사용하는 경우에도 해당 모델과 관련된 내재 변동성은 여전히 Black-Scholes 공식을 사용하여 계산됩니다. 내재 변동성은 자산 수준과 독립적인 변동성을 측정하여 다양한 자산에 걸쳐 의미 있는 위험을 비교할 수 있기 때문에 선호됩니다.
이 과정에서는 Black-Scholes 프레임워크보다 개선된 확률적 변동성 모델 및 로컬 변동성 모델과 같은 Black-Scholes 모델에 대한 다양한 대안을 탐색했습니다. 이러한 대안에 대한 더 깊은 이해가 필요한 경우 강의를 다시 방문하는 것이 좋습니다.
감사합니다. 다음 세션을 기대하겠습니다.
포아송 점프 프로세스를 포함하면 Ito의 테이블은 어떻게 보일까요?
포아송 점프 프로세스를 포함하면 Ito의 테이블은 어떻게 보일까요?
전산 금융에 대한 질문과 답변 세션에 오신 것을 환영합니다. 오늘 우리는 5강에서 다룬 자료를 기반으로 한 11번 문제에 대해 논의할 것입니다. 문제는 Poisson 점프 프로세스를 포함할 때 Ethos 테이블이 어떻게 생겼습니까?
시작하려면 브라운 운동을 포함하는 프로세스에 Ethos 기본형을 적용하는 것을 상기해 봅시다. 우리는 프로세스 함수의 동역학을 찾기 위해 Taylor 확장을 포함하는 Ethos 보조 정리를 적용해야 한다는 것을 알고 있습니다. 브라운 운동에 대한 Ethos 테이블에는 dt, dw, dtdw 및 dwdw 항이 포함됩니다. dt에 dw 또는 dtdw를 곱한 교차 항이 있으면 대칭으로 인해 0으로 간주됩니다. 그리고 dwdw는 단순히 dt입니다.
이제 브라운 운동뿐만 아니라 그 과정의 동역학에 포아송 과정이 포함된 경우를 생각해 봅시다. 푸아송 점프 프로세스는 각 시점에서 발생하는 일련의 점프로 나타낼 수 있습니다. 프로세스를 이산화하면 유한한 간격으로 여러 번 점프할 수 있습니다. 그러나 무한히 작은 간격을 고려하면 단일 점프만 발생합니다. 왼쪽 한계와 점프 직전 프로세스의 값을 각각 나타내기 위해 표기법 xt- 및 xt를 도입합니다.
이제 함수 G(xt)에 초점을 맞추겠습니다. Poisson 점프가 있는 프로세스의 함수에 Ethos 보조 정리를 적용하면 드리프트 항, 점프 항 및 점프로 인한 G 증가를 포함하는 표현식을 얻습니다. 드리프트 항은 브라운 운동에 대한 Ethos 보조 정리의 것과 유사하지만 확산 부분이 없습니다. 점프 항은 포아송 프로세스에 따라 다르며 점프 크기와 점프 발생에 대한 표시 함수의 곱으로 구성됩니다.
요약하면, 푸아송 점프 프로세스에 대한 Ethos 테이블에는 브라운 운동에 대한 Ethos 테이블의 항과 푸아송 프로세스의 두 증분 곱에서 발생하는 추가 항이 포함됩니다. 이 추가 용어는 점프 프로세스에 Ethos 기본형을 적용하는 데 중요합니다.
Ethos 보조정리와 점프 프로세스에 대한 응용 프로그램을 이해하는 것이 중요합니다. 이는 확률적 프로세스 기능의 역학을 분석하기 위한 금융 분야의 강력한 도구이기 때문입니다. 이 주제에 대한 자세한 내용은 강의 5 및 관련 문헌에서 찾을 수 있습니다. 추가 질문이 있으면 언제든지 문의하십시오. 안녕히 가세요!