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Très instructif.
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http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000653/index.shtml
VARIATION D'UNE FONCTION
VARIATION FONCTIONNELLE, la première variation, est une généralisation de la notion de différentielle d'une fonction d'une variable, la partie linéaire principale de l'accroissement de la fonctionnelle le long d'une certaine direction ; elle est utilisée dans la théorie des problèmes extrêmes pour obtenir les conditions nécessaires et suffisantes d'un extremum. C'est la signification du terme "V. f.", à partir des travaux de J. Lagrange [1] (1760). J. Lagrange a considéré les fonctions prédominantes du calcul classique de la forme :
(1)
Si l'on remplace la fonction donnée x0(t) par x0(t) + αh(t) et qu'on la substitue dans l'expression de J(x), alors, en supposant la différentiabilité continue de l'intégrande L, l'équation suivante s'applique.
J(x0 + αh) = J(x0) + αJ1(x0)(h) + r(α), (2)
où |r(α)| → 0 lorsque α → 0. La fonction h(t) est souvent appelée la variation de la fonction x0(t) et est parfois dénotée par δx(t). L'expression J1(x0) (h), qui est une fonctionnelle par rapport aux variations de h, est appelée la première variation de la fonctionnelle J(x) et est notée δJ(x0, h). Appliquée à la fonction (1), l'expression de la première variation est la suivante
(3)
où
L'égalité à zéro de la première variation pour tout h est une condition nécessaire de l'extremum de la fonction J(x). Pour la fonctionnelle (1), l'équation d'Euler découle de cette condition nécessaire et du lemme principal du calcul des variations (voir lemme de Dubois-Reymond) :
De manière similaire à (2), les variations d'ordres supérieurs sont également définies (voir, par exemple, dans l'article Deuxième variation d'une fonctionnelle).
La définition générale de la première variation dans l'analyse en dimension infinie a été donnée par B. Gateaux en 1913 (voir variation Gato). En substance, la définition de Gateaux est identique à la définition de Lagrange. La première variation d'une fonctionnelle est une fonctionnelle homogène, mais pas nécessairement linéaire, V. f. sous l'hypothèse supplémentaire de linéarité et de continuité (sur h) de l'expression δJ(x0, h) est généralement appelée dérivée de Gato. Les termes "variation de Gato", "dérivée de Gato", "différentielle de Gato" sont plus couramment utilisés que V. f. ; le terme "V. f." n'est conservé que pour les fonctionnelles dans le calcul classique des variations (voir [3]).
Voir [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, Turin, 1762 ; [2] Gateaux R., 'Bull. Soc. Les maths. France", 1919, vol. 47, pp. 70-96 ; [3] Lavrent'ev M.A., Lusternik L.A., A course in calculus of variations, 2e édition, M.-L., 1950.
В. M. M. Tikhomirov.
Sources :
http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000879/index.shtml
DEUXIÈME VARIATION
LA SECONDE VARIATION est un cas particulier de la n-ième variation d'une fonctionnelle (voir aussi variation de Gato), généralisant la notion de dérivée seconde d'une fonction de plusieurs variables ; elle est utilisée dans le calcul des variations. Selon la définition générale de v. au point x0 de la fonction f(x) définie dans l'espace normalisé X, il existe
Si la première variation est nulle, la non-négativité de V. v. est nécessaire, et la positivité stricte
δ2 f(x0, h) ≥ α ||h||2, α > 0
sous certaines hypothèses, c'est une condition suffisante pour un minimum local de f(x) en x0.
Dans le problème le plus simple (vectoriel) du calcul variationnel classique, la V. v. de la fonctionnelle
(considéré sur des fonctions vectorielles de classe C1 avec des valeurs limites fixes x(t0) = x0, x(t1) = x1) a la forme :
(*)
où 〈⋅, ⋅〉' désigne le produit scalaire standard dans ℝn, et A(t), B(t), C(t) sont des matrices à coefficients respectivement (les dérivées sont calculées aux points de la courbe x0(t)). Il est opportun de considérer la fonctionnelle de h définie par la formule (*) non seulement dans l'espace C1, mais aussi dans l'espace plus large W12 des fonctions vectorielles absolument continues avec carré intégrable du module dérivé. Dans ce cas, la non-négativité et la stricte positivité de V. v. sont formulées en termes de non-négativité et de stricte positivité de la matrice A(t) (condition de Lejandre) et d'absence de points conjugués (condition de Jacobi), ce qui donne les conditions de minimum faible dans le calcul des variations.
Pour le calcul des variations en général, V. v. a été étudié pour des extrema qui ne donnent pas nécessairement un minimum (toujours, cependant, -lorsque la condition de Lejandre est satisfaite, voir [1]). Le résultat le plus important est la coïncidence de Morse entre l'indice V. v. et le nombre de points conjugués à t0 sur l'intervalle (t0, t1) (voir [2]).
Voir [1] Morse M., The calculus of variations in tne large, N. Y., 1934 ; [2] Milnor J., Morse theory, translated from English, M., 1965.
В. M. Tikhomirov.
Sources :
Un concours a débuté aujourd'hui, auquel j'ai également décidé de participer.
début 01.11.2018.
Terminé le 30.11.2018.
Je me suis fixé un objectif :
Pour augmenter de 100 fois le dépôt initial.
Et de préférence sans perdre de trades ;)Un concours a débuté aujourd'hui, auquel j'ai également décidé de participer.
début 01.11.2018.
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Et de préférence sans perdre de trades ;)ou vous pouvez parier :-)
y a-t-il un suivi ? au moins un concours impersonnel du top 10 - je vous soutiendrai...
ou vous pouvez parier :-)
Ouais. Ok. Merci.
Je vais devoir demander aux modérateurs quels sont les enjeux.
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Vous devrez demander aux modérateurs quels sont les enjeux.
oui, bien sûr, vous êtes le bienvenu...
demandez simplement - ne soyez pas comme les autres - si les choses ne marchent pas (et elles peuvent ne pas marcher la plupart du temps), traitez honnêtement les erreurs ici, en public.
ps/ ou peut-être que ça marchera
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Mais s'il vous plaît, ne soyez pas comme les autres - si les choses ne fonctionnent pas (et elles peuvent ne pas fonctionner la plupart du temps), abordez honnêtement les erreurs ici, en public.
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Je ferai des rapports quotidiens sur les progrès réalisés.
Est-ce que ça va marcher ?