Steve Kroft gets a rare look inside the secretive world "high-frequency trading," a controversial technique the SEC is scrutinizing in which computers can ma...
然后，演讲者将更深入地探讨复合利率，尤其是一年期投资的利率。他们将使用指数函数解释复合利率的数学模型，其中一个货币单位乘以 e 的利率次方。此外，演讲者将描述这种数学表示如何与管理储蓄账户的微分方程相一致，从而确定用于贴现未来现金流量的乘数。然而，演讲者会注意到，实际上，利率并不是恒定的，而是随时间变化的，欧元和美元等货币的期限和价格等不同工具证明了这一点。
00:50:00 在本节中，演讲者讨论了一年期复合利率的概念。复合利率计算为 1 欧元乘以 e 的 r 次方。演讲者通过描述一个描述储蓄账户的微分方程来解释这是如何在数学上建模的。微分方程的解给出了乘数，用于对未来现金流进行贴现。然而，演讲者指出，实际上，利率不是恒定的，而是取决于时间的，欧洲和美元的期限和价格等各种工具都说明了这一点。
Computational Finance Lecture 1- Introduction and Overview of Asset Classes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathemati...
00:00:00 在本节中，讲师解释了交易信心、对冲以及将在课程中学习的模型的必要性等主题。他们详细介绍了如何为看跌期权定价和对冲的概念。讲师还介绍了随机过程以及如何为资产价格建模。他们介绍了 Ito 引理以及它如何用于求解随机微分方程。最后，讲师给出了一个培训策略示例，其中投资者希望保护他们的投资免受股票价值潜在下跌的影响。为此，他们可以购买保险，以确保在最坏的情况下至少有一定数额的资金。
01:25:00 在本节中，讲师讨论了不同资产类别中使用的各种随机过程之间的差异，例如几何布朗运动通常用于股票，因为股票不能为负并且通常经历指数增长。讲座还介绍了伊藤引理，这是一种金融工具，用于求解特定的随机微分方程。引理教导什么是过程的动力学，给定过程的函数，讲师解释了这如何能够手工求解许多微分方程。在处理 Ito 引理时要记住的主要元素是 Ito 表。
01:30:00 在本节中，演讲者讨论了使用 Ethos 表来查找给定过程的随机微分方程。 Ito 的引理是一个强大的工具，可以找到一个过程的动态，给定一个函数中的第二个过程，它想要应用，如果记住表格就可以很容易地应用它。演讲者举了一个股票过程的例子，用几何布朗运动和对数函数求动力学，通过表的应用，方程只剩下一个元素，用来求最终解。
Computational Finance Lecture 2- Stock, Options and Stochastics▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling...
本讲座还包括使用 Python 模拟几何布朗运动的路径。演讲者说明了如何固定随机种子以实现稳定的模拟，并介绍了 Black-Scholes 模型，该模型涉及带有漂移的随机微分方程以及用于对资产价格建模的 mu 和 sigma 等参数。演讲者强调，Black-Scholes 模型仍在金融业中广泛使用，尤其是在股票期权定价方面。他们讨论了现实世界衡量和风险中性衡量的概念，这有助于根据不同的结果概率为期权定价。
此外，讲座还探讨了 Python 中的期权定价和模拟。演讲者区分了现实世界的衡量标准，根据历史数据估计，没有假设套利或无风险条件，以及风险中性的衡量标准，这需要满足某些条件。他们提出了一种交易策略，涉及连续交易股票并调整期权头寸以捕捉标的股票的走势。演讲者使用 Ito 引理解释了投资组合的动态，并通过这种方法推导出期权价值的随机性。
00:00:00 在讲座的这一部分，讲师讨论了 Python 中的股票路径模拟和用于定价的 Black-Scholes 模型。他解释了通过套期保值和 mar 来推导期权无套利价格的两种方法，并演示了如何对 mar 进行编程和模拟。他还讨论了定价框架中偏微分方程 (PDE) 和蒙特卡洛模拟之间的关系，以及如何区分随机微分方程中的不同度量。本讲座以 Black-Scholes 模型的证明和如何使用 Python 进行定价的演示作为结尾。
00:05:00 在本节中，演讲者讨论如何使用欧拉离散化方法模拟和生成随机过程的图形。他们从上一课的一个简单过程开始，使用伊藤引理从 S 切换到 X，即 S 的对数。然后他们解释了欧拉离散化方法以及如何使用 Python 实现它。该方法涉及离散化连续函数并模拟漂移和布朗运动的增量。视频中显示的代码用于生成模拟路径的图形。
00:55:00 在本节中，讲师讨论股票价格是否是鞅。股票通常不是鞅，因为如果您预期未来投资的金额与您投资的金额相同，那么这将是一项糟糕的投资。但是，如果您考虑贴现股票流程并将未来现金流贴现到今天，您会期望公司的价值等于您今天看到的价值。讲师应用 Ito 引理并找出 s 在 m 上的动态，看看这个术语是否是一个鞅。应用随机积分过程定理可以确定其成立的条件。关于股票的一阶偏导数是 m 上的一阶导数，二阶导数是零，所以这一项是鞅。
01:00:00 在本节中，演讲者讨论了如何在度量之间切换，以便将动态从贴现库存过程转换为 Q 度量下的鞅，这是利息的度量。演讲者展示了如何将期望从可测量的 P 度量转换为 Q 度量，并解释说一旦我们有了过程和度量，我们就可以推导出度量转换。通过强制执行贴现股票过程应该是 Q 度量中的鞅的条件，说话者取消了领先的条款并推导出度量转换以在度量之间切换。
01:10:00 在本节中，演讲者解释了在风险中性措施下计算期望时，不允许考虑不在风险中性措施下的过程。这意味着用于期望的过程应该有 r 来打折。因此，在用于期望的过程中，漂移必须始终从m变为r。演讲者使用Python代码演示了如何检查一只股票是否是鞅，并介绍了使用账户中存入的钱来折现股票价值。他们还增加了模拟路径的数量以提高准确性，但出于性能原因警告不要绘制所有路径。
Computational Finance Lecture 3- Option Pricing and Simulation in Python▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical...
介绍了使用 Newton-Raphson 方法计算隐含波动率的迭代过程的概念。该过程需要多次迭代，直到函数 g 趋近于零，每个新步骤都基于前一步进行估计。讲师强调了初始猜测对于 Newton-Raphson 方法收敛的重要性。极端价外期权或接近于零的期权可能会带来挑战，因为函数变得平坦，导致阻碍收敛的小梯度。为了克服这个问题，从业者通常会定义一个初始猜测的网格。该算法使用其切线近似函数并计算 x 截距，梯度越陡，收敛速度越快。
00:30:00 在本节中，介绍了使用 Newton-Raphson 方法计算隐含波动率的迭代过程的概念。该过程涉及多次计算迭代，直到函数 g 足够接近零，每个新步骤都在前一个步骤上进行估计。然而，初始猜测是 Newton-Raphson 方法收敛的关键因素。如果期权价值极度虚值或太接近于零，则函数变得非常平坦，梯度变得太小而无法收敛。人们通常为初始猜测定义一个网格来克服初始猜测的问题。该算法通过其切线逼近函数并计算标准线中的 x 截距，梯度越陡收敛越快。
Computational Finance Lecture 4- Implied Volatility▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computa...
为了在包含跳跃和扩散过程的模型中推导函数“g”的动力学，讲座重点介绍了高扩散复杂性的行为和 Ito 引理的应用。 Ito 引理用于在模型复杂性增加的情况下处理交叉项，例如 dxpt 平方。一旦包括漂移、扩散和跳跃在内的所有元素组合在一起，就可以使用伊藤引理推导出“g”的动力学。还涉及到 Ito 表的扩展，强调了泊松过程和布朗运动之间的差异。本讲座最后概述了为包含跳跃和扩散过程的函数“g”推导动力学的过程。
接下来，讲座描述了在 Q 测度下获得具有跳跃和布朗运动的股票动态的过程。此过程涉及定义新变量并确定其动态，确保动态的期望为零。假设跳跃分量独立于所有其他过程，从而导致表达式包含漂移、波动和 J 减一的期望项。然后将该表达式代入 Q 度量的方程中，确保 ST 在货币储蓄账户上的动态是一个鞅。
然后讲座继续解释 e 的 j 次方的期望，它被分析计算为对数正态分布的期望。执行由 c 乘以 pi 乘以 dt 驱动的泊松增量的模拟，其中 z 表示正态分布的增量，j 表示跳跃幅度。跳跃扩散过程的动力学涉及偏微分方程和积分微分方程，其中积分部分表示跳跃大小的期望。定价方程可以通过投资组合构建或通过特征函数法推导出来，参数需要使用市场上的期权价格进行校准。
在投资组合构建的背景下，讲座描述了构建包含已售期权和标的股票对冲的投资组合的过程。通过确保投资组合的动态增长与储蓄账户的增长速度相同，可以推导出定价微分方程。为了达到理想的动力，股票除以储蓄账户必须是一个鞅。然后讲座推导出mu的条件，证明一旦建立了动力学，就可以推导出v的动力学。然后使用此信息来计算期望并推导 v 的动态。
讲师进一步探讨了关于时间的一阶导数方程，该方程也是关于 x 的一阶导数，并包括对合同在时间 t 的价值的期望，并带有跳跃。由于期望的存在，这会导致积分项，从而导致求解比纯 PDE 更具挑战性的偏积分微分方程 (PID)。解决方案涉及找到期望值的解析表达式，有时可以用无穷级数来表示。还讨论了边界条件的重要性以及将 PID 转换为对数转换以改进收敛性。
继续跳跃过程的讨论，本讲着重介绍PID情况下跳跃过程的改造和豪华选项下的PID。本讲座介绍了指定跳跃幅度的两种常用方法，即经典商人模型和非对称双指数。虽然随着 sigma j 和 mu j 的加入，模型的校准变得更加复杂，但实用性和行业接受度通常更倾向于参数较少的模型。该讲座还承认，随着跳跃过程的动力学变得更加复杂，实现收敛变得具有挑战性，需要先进的技术，如傅里叶空间或用于参数校准的分析解决方案。
00:15:00 本节介绍计算金融学中的第二个随机过程，是以计数过程为代表的跳跃过程。跳跃过程与布朗运动无关，并使用随机泊松过程建模。泊松过程初始值为零，并以泊松分布给定的概率独立递增。泊松过程的速率表示指定时间段内的平均跳跃量。然后使用泊松过程和小的 o dt 计算在小时间间隔内发生跳跃的概率。还讨论了发生零跳跃的概率。
00:20:00 在本节中，讲师解释了如何计算跳跃过程在给定间隔内的平均跳跃次数。计算涉及使用短符号 dxp 替换点 s 的跳跃次数加上 dt 和 x-ps 之间的差异。事件的期望值由期望值乘以事件发生的概率计算得出。此外，还引入了补偿泊松过程的定义，其中过程的期望值为零。最后，讲座提到随机变量的跳跃幅度与过程之间通常没有相关性，因此很难评估跳跃的幅度并定义跳跃发生的时间。
00:30:00 在本节中，将在计算金融的背景下介绍和解释跳跃过程的概念。术语“t-minus”被定义为一个过程中发生跳跃之前的时间，过程的动态是通过 ethos 引理和计算相对于时间的导数来探索的。讨论了跳跃的大小与函数 g 的调整结果之间的关系，并强调了这些概念在随机过程建模中的实际相关性。此外，强调了在对股票市场行为建模时考虑跳跃过程和扩散过程的独立性的重要性。
00:35:00 在这节课中，重点是在具有跳跃和扩散过程的模型中推导函数 g 的动力学。演讲者首先解释说，当模型的复杂性由于高扩散而增加时，解决方案的推导会变得更加困难。演讲者随后介绍了 Ito 引理，以讨论它在这种情况下的应用方式，尤其是在处理 dxpt 平方等交叉项时。演讲者随后解释说，一旦将所有元素（漂移、扩散和跳跃）放在一起，就可以使用伊藤引理推导出 g 的动力学。还谈到了 Ito 表的扩展，演讲者解释说泊松过程和布朗运动之间的区别变得很明显。最后，演讲者概述了为包含跳跃和扩散过程的函数 g 推导动力学的过程。
00:40:00 在本节中，演讲者描述了在 Q 度量下通过跳跃和布朗运动得出股票动态的过程。该过程涉及定义一个新变量并确定其动态，并确保对动态的期望为零。假定跳跃分量独立于所有其他过程，并且生成的表达式包括漂移和波动率以及 J 减一的期望。最后一步涉及将此过程代入 Q 度量的方程式，并确保 ST 在货币储蓄账户上的动态是一个鞅。
00:50:00 在计算金融讲座的这一部分中，演讲者解释了 e 的 j 次幂的期望，它通过分析计算作为对数正态分布的期望。然后，他们模拟由 c pi 乘以 dt 驱动的泊松增量，其中 z 作为正态分布的增量，j 作为跳跃幅度。跳跃扩散过程的动力学涉及偏微分方程和积分微分方程，其中积分部分代表跳跃大小的期望。定价方程可以通过投资组合构建或通过特征函数法推导出来，参数需要使用市场上的期权价格进行校准。
00:55:00 在本节中，讲座描述了构建一个投资组合的过程，该投资组合由已售出的期权和标的股票的对冲组成。通过确保投资组合的动态增长与储蓄账户的增长速度相同，可以推导出定价微分方程。讲课解释要实现股票和风险信息的动态化，股票除以存款账户必须是一个鞅。然后讲座推导出mu的条件，表明一旦建立了动力学，就可以推导出v的动力学。然后使用此信息来计算期望并推导 v 的动态。
01:00:00 在本节中，演讲者讨论了关于时间的一阶导数方程，即关于 x 的一阶导数，并包括对时间 t 的合同价值的期望跳。由于期望的存在，这导致积分项成为偏积分微分方程 (PID)，因为它包含积分项。演讲者解释说，正因为如此，PID 比 PDE 更难求解。解决方案涉及找到期望值的解析表达式，有时可以用无穷级数来表示。演讲者还讨论了边界条件的重要性以及将 PID 转换为对数转换以获得更好的收敛性。
01:05:00 本节讲者讨论了pid和deluxe选项下pid情况下跳转过程的改造。演讲者指出跳跃幅度 j 的规格由用户决定，但概述了两种常用方法：经典商人模型和非对称双指数。虽然模型的校准随着 sigma j 和 mu j 的添加变得更加复杂，但通常情况下，具有更少的参数在行业中更实用和可接受。演讲者指出，如果跳跃过程的动力学过于复杂，那么实现收敛就会出现问题，并且需要先进的技术，如傅里叶空间甚至解析解来校准这些参数。
Computational Finance Lecture 5- Jump Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling and Computation...
00:25:00 在本节中，讲师讨论了使用傅里叶变换进行密度恢复，这在欧式期权的定价中特别有用。傅里叶变换方法计算效率高，不局限于基于高斯的模型，因此它可以用于任何具有特征函数的随机变量。密度恢复过程涉及将随机过程的路径与给定时间 t 处观察到的密度相关联。讲师展示了几个图表，并讨论了信号频率的重要性以及过程方差与旋转次数之间的关系。
00:30:00 在本节中，演讲者讨论了傅里叶变换的技术方面及其在信号分析中的重要性。他们解释了傅立叶变换如何将货币函数转换为频域表示，并将特征函数定义为对 i 的指数的期望。密度是通过对 CDF 求导得到的，特征函数可以用来求变量的 k-th 矩。最后，他们强调了傅立叶变换的有用性质，包括特征函数的导数与第 k 个矩之间的关系。
00:35:00 在本节中，演讲者解释了定义为 Y 的对数的变量 X 与 U 的 log Y 的特征函数之间的关系。通过取对数，X 被转换，方程简化为积分0到无穷大，其中一个变量的对数校正函数可以计算股票的每一个时刻。只要所考虑的模型不涉及负库存，这种方法就更容易，负库存被认为是罕见的。演讲者还提到这对于分析计算 Black-Scholes 矩很有用。演讲者还介绍了 Black-Scholes 模型的特征函数。
00:45:00 在本节中，演讲者讨论如何使用 Duffy-Pan-Singleton 方法求解特征函数的偏微分方程。要找到解决方案，必须计算从 u 到 x 的变换的导数并将其代入 PDE。然后，演讲者利用边界条件求出a和b的常微分方程的解，代入特征函数的表达式，得到最终结果。此方法用于查找 Black-Scholes 模型的特征函数，该模型是具有已知解析解的平凡案例。
00:50:00 在本节中，演讲者解释了在仿射跳跃扩散过程中推导连通函数和查找 a 和 b 值的过程。校正函数需要检查解决方案是否可以应用于给定的 PDE，然后确定要求解的 ODE 的数量以找到 a 和 b。在 Black-Scholes 模型中，特征函数取决于股票价值的初始对数。存在可被视为仿射扩散过程的一类模型，使得特征函数具有 e^(a+bx) 的形式。演讲者还讨论了随机微分方程组满足给定特征函数形式所需的条件，包括根据 x 和布朗运动的数量将波动率结构表示为矩阵的需要。
00:55:00 在本节中，讲师解释了仿射跳跃扩散过程的条件。布朗运动的数量通常对应于模型中状态变量的数量，但没有严格的要求。这些过程的三个条件是只能线性依赖于 X 的漂移、利率条件和波动率结构条件。最关键和最困难的条件是波动率结构；乘以或平方波动率后得到的矩阵只能在X上是线性的。Black-Scholes模型不满足这个条件，但可以在对数变换下进行变换以满足条件。
01:05:00 在本节中，重点是仿射跳跃扩散过程的特征函数。通过查看贴现特征函数的方程式，可以注意到该项可以被排除在外，因为它是常数。本节还介绍了精细扩散和求解 A 和 B 的常微分方程的条件。重要的是选择可以解析求解的参数以避免耗时的计算。本节还讨论了使用多个维度，并给出了使用不相关的几何布朗运动过程对两只股票进行建模的示例。
01:10:00 在本节中，讲师讨论了二维仿射跳跃扩散设置的特征函数的计算。讲师解释说，随机微分方程组包括一个附加项 j 和一个多维泊松过程，这意味着跳跃现在包含在仿射跳跃扩散的框架中。讲师还解释说，特征函数的终端条件包括一个边界条件，其中 a 是常数项，与 x 没有任何依赖关系，b1 和 b2 分别对应于 x1 和 x2。最后，给出了 2d 特征函数的方程，其中我们有明确已知的 a、iu1 和 iu2。
01:20:00 在本节中，演讲者讨论了仿射跳跃扩散过程的输入和输出预测函数的维度。输出预测函数通常是一维的，表示股票对数的边际分布，并且取决于 u 的特征，包括方差和跳跃。输入预测函数的维数与随机微分方程的个数有关。然后演讲者通过推导随机微分方程和偏积分微分方程来演示仿射跳跃扩散模型的过程。他们发现模型不是仿射的，因为有平方项，但在进行对数变换后，他们得到一个只有一个独立随机变量 j 的基本微分方程。然后他们计算导数以获得特征函数的解，它是 j 的特征函数和 x 的函数的乘积。
01:25:00 本节讲师讨论仿射跳跃扩散过程微分方程的推导。这是通过用 x 取项，将它们设置为零，并收集所有其他项以放入 a 的导数来完成的。然后导出 a 的解，它与未使用仿射扩散假设的解相同。但是，其中包含一些常数参数，例如 p 侧的 a0 和 l0，表明跳跃的强度是常数而不是状态相关的。
Computational Finance Lecture 6- Affine Jump Diffusion Processes▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modelin...
该讲座还强调了股票市场波动率表面的重要性以及对适当模型的需求。如果波动率表面呈现陡峭的微笑，则通常首选包含跳跃或随机波动率的模型。讨论了用于定价期权的不同度量，包括 P 度量和风险中性度量。值得注意的是，虽然使利率随时间变化不会改善微笑或偏差，但引入随机或局部波动率可以帮助校准。还介绍了 Hassel 模型，它利用均值回归平方根过程来模拟波动率。
此外，讲师侧重于随机波动率模型中独立和相关布朗运动的构建和表示。虽然 Cholesky 分解是关联布朗运动的有用工具，但讲座指出，出于实际目的，它并不总是必要的。相反，可以应用 Ito 引理来有效地合并相关的布朗运动。本讲座提供了构建具有相关布朗运动的股票投资组合的示例，并演示了如何应用伊藤引理来确定涉及多个变量的多维函数的动态。
本讲座还介绍了使用鞅方法的 Heston 模型的定价偏微分方程 (PDE)。这种方法涉及确保称为 pi 的特定数量是一个鞅，它表示波动率与长期平均值的比率。通过应用Ethos Lemma，本讲座推导了鞅的方程，其中涉及导数和方差过程。定价 PDE 允许确定衍生合约的公平价格和在定价中使用风险中性度量。
01:05:00 在本节中，演讲者解释了随机波动率模型下衍生品定价的鞅方法。该方法涉及将数量定义为 pi，即 v 与 m 的比值，然后通过应用 Ethos Lemma 确保该数量是一个鞅。演讲者推导出鞅的方程，其中涉及简单导数，m dv 上的 1 减去 m dt 上的 rv。经济由资产、不可交易的波动性和货币储蓄账户组成。为了得到解决方案，演讲者应用泰勒级数并用伊藤微积分处理项，这很简单。然而，计算与方差过程和存量的乘积相关的项更为复杂。最终的解决方案涉及两个布朗运动和一个额外的项，该项取决于方差和股票之间的相关性。
Computational Finance Lecture 7- Stochastic Volatility Models▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematical Modeling a...
本讲座详细介绍了改变函数“g”的积分域以实现从“a”到“b”的有限支持范围的过程。演讲者解释了欧拉公式在简化表达式中的重要性，并展示了用“k pi 除以 ba”代替“u”如何导致涉及密度的更简单表达式。截断域用帽子符号表示，参数“a”和“b”的具体值根据要解决的问题选择。演讲者强调这是一种近似技术，在选择“a”和“b”的值时涉及启发式选择。
然后讲座重点总结了傅里叶余弦展开，即使项数很少也能达到很高的精度。进行了涉及正态概率密度函数 (PDF) 的数值实验，以检查基于项数的错误生成，包括时间测量。代码实验的结构是使用余弦法生成密度，将误差定义为使用余弦法恢复的密度与精确正态 PDF 之间的最大绝对差值。余弦方法只需要几行代码就可以使用特征函数恢复密度，这是该方法的核心。
00:00:00 在本节中，我们将了解期权定价的傅里叶变换。傅里叶变换技术用于计算属于精细扩散模型类的模型的密度和有效价格选项。该技术涉及计算实轴上的积分，这在计算上可能很昂贵。然而，通过使用反演引理，我们可以减少 u 的域并计算积分的实部，这有助于摆脱昂贵的计算。该块包括对使用快速傅里叶变换改进此表示的讨论，使实现更快、更高效。最后，会议以傅立叶变换方法和成本方法的比较以及这些技术的实施细节作为结束。
00:05:00 在本节中，讲师讨论了使用快速傅里叶变换进行期权定价的快速计算密度方法的第一步。第一步涉及将域一分为二并取实部，这是一种廉价操作。此外，讲师还讨论了除复数和取共轭，这样可以更有效地计算特征函数。本讲座还包括构建网格以获得每个 x 的密度，这涉及选择特定域和定义边界。
00:10:00 在讲座的这一部分，教授解释了如何使用傅立叶变换积分和 n 个网格点的网格来计算 x 的密度。他们澄清需要同时对多个 x 进行密度计算。一旦定义了网格，它们就会定义一个从 0 到无穷大的函数的新积分，名为 gamma，并根据离散积分确定梯形积分。教授举例说明了如何对具有等间距网格的函数进行梯形积分。
00:15:00 在讲座的这一部分，演讲者讨论了配置参数以定义傅立叶变换网格的过程。这些参数包括网格点的数量、u的最大值以及delta x和delta u之间的关系。一旦定义了这些参数，就可以代入积分和求和，并且可以获得每个 x 值的函数。演讲者提供了一个方程，其中包括梯形积分和在梯形边界节点处计算的特征函数。
00:40:00 在本节中，讲师讨论了有关期权定价的傅立叶变换中恢复密度函数的详细信息。转换中使用的点数为 n，必须足够大才能获得高精度密度。讲师将 i 定义为用于定义定义域和最大值的复数，其中 u max 由分布确定。讲师继续解释如何处理插值，在 fxi 点的网格 xi 处使用三次插值。这种插值是必要的，以确保即使对于不在网格中的输入也能准确计算输出密度函数。
00:50:00 在本节中，讲师讨论了泰勒级数与计算金融中使用的特征函数之间的关系。该系列与特征函数具有一对一的对应关系，允许直接关系而无需额外的积分。讲师接着介绍了期权定价的 cos 方法，该方法使用傅里叶余弦展开来表示零附近的偶函数。该方法涉及计算积分和系数，重要的是要记住展开式的第一项应始终乘以一半。
00:55:00 在本节中，演讲者讨论了需要更改函数 g 的积分域，以便获得从 a 到 b 的有限支持范围。他们解释了欧拉公式在简化表达式中的重要性，并展示了用 k pi 除以 ba 代替 u 如何导致涉及密度的更简单表达式。截断域用帽子表示，参数 a 和 b 的具体值根据要解决的问题选择。演讲者强调这是一种近似技术，并且在选择 a 和 b 的值时涉及启发式选择。
01:05:00 期权定价的傅里叶变换这节课，重点是傅里叶余弦展开的总结。即使对于存在的少数项，扩展也可以实现高精度，如涉及普通 PDF 的数值实验所示，其中根据项数检查错误生成，并测量时间。代码实验的结构是使用余弦法生成密度，并将误差定义为密度的最大绝对差值，使用余弦法恢复并与精确的正态 PDF 进行比较。余弦方法只需要几行代码就可以使用特征函数恢复密度，这是该方法的核心。
01:30:00 本节课讨论了期权定价的傅立叶变换的实现公式。它涉及向量化元素和矩阵操作。实施涉及将 k 作为向量并创建具有 nk 次罢工的矩阵。该公式涉及计算实部以处理复数。特征函数非常重要，因为它不依赖于 x，它在实现多次打击的有效实施方面起着关键作用。实施的准确性和收敛性取决于项的数量，并显示了示例比较。
01:35:00 在本节中，演讲者讨论了用于期权定价的傅里叶变换方法的代码，并解释了所涉及的不同变量。他们介绍了系数 a 和 b 范围的概念，并解释了跳跃扩散模型通常如何将其保持在 10 或 8。该代码还包括用于特征函数的 lambda 表达式，这是一个通用函数，可以适用于不同的模型。演讲者通过对同一实验进行多次迭代并取所有实验的平均时间来强调测量时间的重要性。最后，他们说明了成本法以及它如何使用积分范围来假设较大的波动性。
Computational Finance Lecture 8- Fourier Transformation for Option Pricing▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬This course is based on the book:"Mathematic...
华尔街：速度交易者
华尔街：速度交易者
许多人不知道美国的大部分股票交易不再由人类执行，而是由机器人计算机执行。这些超级计算机能够在眨眼间买卖数千种不同的证券。众所周知，高频交易近年来在华尔街盛行，并在去年春天道琼斯工业平均指数仅 15 分钟内暴跌 600 点的迷你市场崩盘中发挥了作用。
美国证券交易委员会和国会议员已经开始就通过计算机交易操纵市场的有用性、潜在危险和怀疑提出尖锐的问题。从人类交易员到机器交易员的转变改变了曾经是金融世界中心的纽约证券交易所的面貌。现在，只有不到 30% 的交易发生在交易所大厅，其余交易通过电子平台和替代交易系统进行。
由大银行和高频交易公司拥有的两家电子证券交易所 BATS 和 Direct Edge 已经出现，每天以惊人的速度交易超过 10 亿股股票。像 Tradeworks 这样的高频交易公司，由 Manoj Narang 和一个名为 quants（定量分析师）的数学家和科学家团队经营，从事这种做法。他们在几分之一秒内执行交易，旨在每笔交易赚取一美分或更少的利润。这些公司依靠编入计算机的复杂数学算法来分析实时数据并做出瞬间决策。
高频交易的一个关键方面是计算机不了解被交易的公司。他们不知道公司的价值、他们的管理或任何其他定性因素。交易决策完全基于量化因素、概率和统计分析。这种方法可以捕捉市场上稍纵即逝的机会，但忽视了基本面因素。
高频交易者大量投资于超级计算机和基础设施以获得速度优势。他们的计算机距离证券交易所的服务器越近，他们接收到关键市场信息的速度就越快。即使是几毫秒的优势也能带来可观的利润。批评者认为，高频交易者利用这一优势来提前执行订单、操纵股票并从市场中榨取资金，而没有增加任何实际价值。
虽然支持者声称高频交易增加了市场流动性、降低了交易成本并收紧了股票利差，但批评者认为它破坏了公平性和透明度。交易的高速性和算法的复杂性使监管机构难以监控和确保公平的竞争环境。 2010年的“闪崩”，道琼斯指数在几分钟内暴跌600点，暴露了高频交易和失控的潜在风险。
监管机构和立法者已开始提议改革，以解决与高频交易相关的问题。美国证券交易委员会正在考虑采取措施来跟踪和识别高频交易，并实施熔断机制以在价格剧烈波动的情况下停止交易。然而，需要进一步的改变来恢复对市场完整性的信心，并为那些认为该系统被操纵的普通投资者提供透明度。
近年来，高频交易员将他们的活动扩展到货币和商品市场，进一步引发了人们对其对金融市场影响的担忧。技术的发展速度已经超过了监管机构跟上的能力，人们越来越多地呼吁进行改革，以在创新和市场诚信之间取得平衡。
“金融中的数学建模和计算：通过练习以及 Python 和 MATLAB 计算机代码” ，作者 CW Oosterlee 和 LA Grzelak，世界科学出版社，2019 年。
“金融中的数学建模和计算：包括练习和 Python 和 MATLAB 计算机代码”是一本探索数学、金融和计算机科学交叉领域的宝贵书籍。它由该领域的专家撰写，为使用 Python 和 MATLAB 等流行编程语言理解和实施金融数学模型提供了全面的指南。
本书首先向读者介绍了金融数学建模的基本概念，包括概率论、随机微积分和优化技术。它强调建模和计算的实际方面，强调数值方法和模拟在解决现实世界金融问题中的重要性。
本书的突出特点之一是包含了大量的 Python 和 MATLAB 练习和计算机代码。这些练习使读者能够积极参与材料，加强他们对概念的理解，并发展他们的编程技能。通过练习和实现所提供的代码，读者可以获得将数学模型应用于金融的实践经验，并提高他们使用这些编程语言进行金融分析的熟练程度。
这本书涵盖了与金融相关的广泛主题，例如期权定价、投资组合优化、风险管理和资产配置。它深入探讨了波动率建模、利率建模和信用风险建模等高级主题，让读者全面了解金融建模中使用的数学技术。
在整本书中，作者在理论严谨性和实际应用之间取得了平衡。它们提供了对基础数学概念和算法的清晰解释，并附有真实世界的示例和案例研究。这种方法使读者能够掌握理论基础，同时深入了解如何应用这些模型来解决实际的财务问题。
此外，本书强调了不同建模方法的优点和局限性，使读者具备在现实场景中选择和实施模型时做出明智决策所需的批判性思维技能。
“金融中的数学建模和计算：包括练习和 Python 和 MATLAB 计算机代码”是金融领域希望加深对数学建模和计算方法的理解的学生、研究人员和从业者的绝佳资源。它结合了理论解释、实践练习和随时可用的计算机代码，使其成为任何有兴趣应用数学技术解决财务问题的人的必备伴侣。
https://github.com/LechGrzelak/Computational-Finance-Course
本课程计算金融基于以下书籍：“金融中的数学建模和计算：带有练习以及 Python 和 MATLAB 计算机代码”
计算金融：第 1/14 讲（资产类别的介绍和概述）
这个综合讲座介绍了计算金融和金融工程的迷人领域，涵盖了理解现代金融所必需的广泛主题。讲师强调了数学和计算金融学理论模型的重要性，这些理论模型被用来创建各种场景下衍生品定价的实用模型。
在计算金融学课程中，学生将深入研究对理解和应用实用金融方法至关重要的各种主题。在讲师 Leth Lag 的带领下，该课程将强调使用 Python 进行模拟和期权定价的高效编程技术的实施。这个综合计划专为对金融、量化金融和金融工程感兴趣的个人而设计。它将涵盖基本概念，例如隐含波动率、对冲策略和奇异衍生品的迷人领域。计算金融学是一个介于数学金融学和数值方法之间的交叉学科。其主要目标是开发可直接应用于经济分析的技术，将编程技能与理论模型相结合。另一方面，金融工程包括采用金融理论、工程方法、数学工具和编程实践的多学科方法。金融工程师在创建基于数学和计算金融学的实用模型方面发挥着关键作用，这些模型可用于为衍生品定价和有效处理复杂的金融合同。这些模型必须在理论上是合理的，并且能够适应不同的场景。
该课程将阐明在计算金融中交易的不同资产类别，包括股票、期权、利率、外汇、信贷市场、商品、能源和加密货币。尤其是加密货币提供了对各种资产类别的敞口，可用于对冲目的。每个资产类别都有其独特的合约，用于风险控制和对冲策略。具有多个交易对手的场外交易 (OTC) 市场呈现出额外的复杂性，需要加以了解。
讲师将探讨加密货币在金融中的作用，强调其不同的特征以及对特定方法、模型和定价假设的需求。此外，还将检查利率、外汇、股票、商品和信用违约掉期 (CDS) 等不同资产类别的市场份额。虽然期权在金融世界中所占比例相对较小，但它们提供了金融和计算分析的独特视角。
期权和投机的主题将得到深入讨论，强调期权如何通过允许个人以相对较小的资本投资来推测股票的未来方向来提供购买股票的替代方案。然而，期权有到期日，如果股价保持不变，期权可能会贬值，这使得时机成为投机的关键因素。本课程将介绍金融市场、资产类别以及金融工程师在驾驭这些复杂环境中的作用。股票作为最受欢迎的资产类别，将进行详细探讨，强调所有权的概念以及股票价值如何受到公司业绩和未来预期的影响。
本讲座将阐明市场股票行为的随机性，受供求、竞争对手和公司业绩等因素的影响。股票的预期价值可能与其实际价值不同，从而导致波动。波动性是建模和定价期权的关键因素，因为它决定了股票价格的未来波动。此外，讲座将区分两类投资者：对股息回报感兴趣的投资者和寻求增长机会的投资者。
将介绍股息和股息投资的概念，强调股息如何在公司定期向股东派息时提供稳定和确定的投资。然而，股息支付可能会有所不同，高股息收益率可能表明公司投资风险增加。本讲座将简要介绍利率和货币市场，并承认后续课程将更广泛地涵盖这些主题。
将讨论通货膨胀及其对利率的影响，阐明中央银行如何通过调整利率来控制通货膨胀。本讲座将探讨降低利率的短期利益和长期影响，以及现代货币理论或央行资产购买等替代策略。此外，还将解释市场参与者的不确定性在确定利率中的作用以及通货膨胀对公民的隐性税收影响。本讲座最后将深入探讨贷款风险管理这一主题。讲师将强调贷款人面临的潜在风险，例如借款人破产或拖欠贷款。为了减轻这些风险，贷方通常会收取风险溢价，以确保他们对任何潜在损失得到充分补偿。
展望未来，演讲者将把重点转移到利率及其在金融中的重要性上。他们将解释利率如何影响各种金融工具，包括储蓄账户、抵押贷款和贷款。将引入复利的概念，强调由于通货膨胀等因素，今天一单位货币的价值高于未来同一单位货币的价值。将讨论计算利率的两种主要方法，简单的和复利的，并详细解释它们的区别和实际例子。
然后，演讲者将更深入地探讨复合利率，尤其是一年期投资的利率。他们将使用指数函数解释复合利率的数学模型，其中一个货币单位乘以 e 的利率次方。此外，演讲者将描述这种数学表示如何与管理储蓄账户的微分方程相一致，从而确定用于贴现未来现金流量的乘数。然而，演讲者会注意到，实际上，利率并不是恒定的，而是随时间变化的，欧元和美元等货币的期限和价格等不同工具证明了这一点。
将讨论代表欧元区和美元的利率和市场流动性的图表。值得注意的是，欧元区目前的状况显示所有期限长达 30 年的债券的收益率均为负值，这意味着投资欧元区内的政府债券可能会导致资金损失。演讲者将建议个人可能更愿意将欧元换成美元并投资于美国债券，因为它们提供更高的收益率。然而，这种方法存在风险，包括因汇率波动而造成的潜在损失。演讲者将强调利率随时间变化并受市场动态影响。
讲师将阐明购买债券的概念，强调债券购买者支付的费用通常高于债券的实际价值。因此，投资于债券的货币价值可能会随着时间的推移而贬值，而通货膨胀会侵蚀投资的价值。债券的主要买家，如养老基金和中央银行，将被提及，强调他们在债券市场中的重要作用。此外，讲师将涉及波动率的概念，波动率衡量金融价格随时间的变化。波动率是使用方差等统计指标计算出来的，它提供了对市场或证券波动趋势的洞察力，从而引入了不确定性和风险。
然后，本课程将把注意力转移到资产回报和波动性上，这是计算金融中的两个重要概念。资产收益是指证券在特定时间段内的收益或损失，而波动率则衡量这些收益的方差。高度波动的市场表明短期内价格大幅波动，导致不确定性和风险增加。将推出衡量市场不确定性的工具 VIX 指数。它利用价外期权或看跌期权，通常被投资者用来在市场价值下跌时保护他们的资本。将强调计时和预测曝光时间的重要性，因为它们在实践中可能具有挑战性。
讲师将讨论分析各种指数波动性的复杂性，包括 VIX 指数。他们将承认由于市场环境和波动而对波动性进行数学建模的困难。此外，还将引入欧式期权，作为基于波动率的衍生品定价的基本组成部分。讲师将明确区分看涨期权和看跌期权，解释看涨期权赋予持有人以预定价格和日期购买资产的权利，而看跌期权赋予持有人以预定价格出售资产的权利和日期，本质上起到了保险的作用。
在建立期权的基础上，讲师将概述不同资产类别中的期权。他们将强调两种主要的期权类型：看涨期权和看跌期权。在看涨期权的情况下，买方有权在指定的到期日和行使价向卖方出售标的资产。这意味着在到期时，如果买方选择行使期权，卖方有义务以行使价购买股票。另一方面，看跌期权授予买方在指定的到期日和行使价向卖方出售标的资产的权利。到期时，如果买方行使期权，卖方必须以指定的行使价购买股票。
为了说明期权的潜在盈利能力，讲师展示了两个图形表示——一个用于看涨期权，另一个用于看跌期权。这些图表描述了基于标的股票价值的潜在利润或损失。通过检查图表，观众可以深入了解股票价值的变化如何影响期权的盈利能力。
在整个课程中，讲师将探索与计算金融相关的其他高级主题，包括衍生品建模、高效编程实施以及使用 Python 进行模拟和期权定价。他们将在会议期间现场直播，并与观众合作分析结果，提供亲身体验和实用见解。
该课程专为对金融、量化金融和金融工程感兴趣的个人设计。它旨在弥合数学金融和数值方法之间的差距，提供解决现实世界金融问题所需的跨学科知识和技能。还将涵盖隐含波动率、对冲策略和奇异衍生品的概念，提供对计算金融及其在金融行业中的应用的全面理解。
到课程结束时，参与者将在计算金融、金融工程和数值方法的实际应用方面打下坚实的基础。他们将具备开发和实施衍生品定价、风险管理和财务数据分析模型的工具和知识。本课程是那些寻求从事金融、定量分析或金融工程职业的人的垫脚石，使他们能够做出明智的决策并为不断发展的计算金融领域做出贡献。
计算金融：第 2/14 讲（股票、期权和随机指标）
计算金融：第 2/14 讲（股票、期权和随机指标）
讲师首先提供课程概述，强调理解交易信心、对冲和金融数学模型的必要性的重要性。他们深入探讨了定价看跌期权的主题并解释了对冲的概念。还介绍了随机过程和资产价格建模，并介绍了伊藤引理作为求解随机微分方程的工具。
为了说明这些概念的实际应用，讲师提供了一个培训策略示例，在该示例中，投资者试图保护他们的投资免受潜在股票价值下跌的影响。他们建议以看跌期权的形式购买保险，以确保在最坏的情况下有最少的资金。
接下来是期权交易，讲师重点介绍了使用看跌期权来防止股价下跌。然而，他们指出，购买看跌期权可能会很昂贵，尤其是当股票的波动性很高时，例如特斯拉。为了降低期权成本，可以降低行使价，但这意味着接受较低的股票价格。讲师提供了路透社的屏幕截图，展示了市场上可用的不同类型的期权，按到期日和行使价分类。他们还解释了看涨期权和看跌期权的执行价格与期权价格之间的关系。
引入隐含波动率作为衡量市场不确定性的指标。讲师解释说，较低的行使价与较高的隐含波动率相关。还引入了 Delta，它衡量期权对标的资产的价值依赖性。然后，该视频深入探讨了对冲的概念，以及如何建立一个比率来实现无风险的投资组合，尽管如果股票不增值，收益可能会受到限制。讨论了期权套期保值，强调其适合短期投资，但指出其在高波动时期的潜在成本。
期权交易被进一步探索作为对冲和降低风险的手段。讲师建议期权通常更适合具有明确期限的短期投资，因为它们对于长期投资而言可能成本高昂。引入了看涨期权对冲的概念，强调卖出期权如何帮助降低持有大量股票的投资者的风险。但是，建议不要卖出太多看涨期权，因为它会限制潜在的上行空间并始终带有一定程度的风险。
该视频随后深入探讨了大宗商品，解释说它们是原材料，由于其不可预测但通常是季节性的价格模式而被用作对冲通胀。商品交易主要在期货市场进行，交易是在未来某个日期买卖商品。强调了电力市场与其他商品之间的区别，电力由于无法完全储存以及对衍生产品的可预测性和价值的影响而构成独特的挑战。
讲师继续将货币交易作为一种资产类别进行讨论，通常称为外汇市场。与特定汇率的传统买卖不同，个人在货币之间交换金额。讲师强调了美元作为基础货币和储备货币的作用。他们还涉及中央银行操纵汇率以加强或削弱货币。此外，还提到了外汇衍生品在国际业务中对冲货币风险的小规模应用。
演讲者解释了银行和金融机构如何购买或出售针对汇率波动的保险以管理投资的不确定性。由于不同的货币强度和货币政策，投资于不同的国家可能会带来不确定性，从而导致不确定的回报。计算金融通过对不确定性建模并考虑各种因素，在管理和计算与此类投资相关的风险方面发挥着至关重要的作用。演讲者进一步指出，比特币可以被视为外汇汇率，并讨论了它们作为一种受监管商品的混合性质，其价值通过与美元的兑换来确定。比特币的波动性使其未来价值难以预测。
此外，演讲者探讨了风险中性定价的概念，这是期权定价的基本原则。风险中性定价假设在一个完全有效的市场中，期权的预期回报应等于无风险利率。这种方法通过考虑基于风险中性度量的不同结果的概率来简化定价过程，其中期权的预期回报以无风险利率贴现。
演讲者随后介绍了 Black-Scholes-Merton (BSM) 模型，这是一种广泛用于期权定价的数学模型。 BSM模型综合了当前股票价格、行使价、到期时间、无风险利率、标的资产的波动性等多种因素。它假设标的资产遵循几何布朗运动并且市场是有效的。
演讲者解释了 BSM 模型的关键组成部分，包括计算欧式看涨期权或看跌期权价值的公式。他们强调波动性在期权定价中的重要性，因为较高的波动性会增加期权的价值，因为价格波动的可能性更大。演讲者还提到了隐含波动率的作用，即市场对期权价格隐含的未来波动率的预期。
接下来，讲座深入探讨了 delta 对冲的概念，这是一种通过维持标的资产的中性头寸来最小化风险的策略。 Delta 衡量期权价格对标的资产价格变化的敏感度。通过调整标的资产中持有的股份数量，投资者可以创建受价格变动影响较小的 delta 中性投资组合。
演讲者解释了使用 BSM 模型进行 delta 对冲的过程，并演示了它如何有效地降低风险。他们讨论了动态对冲的概念，即随着标的资产价格的变化不断调整对冲。这确保了投资组合保持 delta 中性，并将市场波动的风险降至最低。
除了 delta 对冲之外，讲座还涵盖其他风险管理技术，例如 gamma 对冲和 vega 对冲。 Gamma 衡量 delta 的变化率，而 vega 衡量期权价格对隐含波动率变化的敏感度。这些技术允许投资者根据不断变化的市场条件和风险来管理和调整他们的头寸。
在讲座快结束时，演讲者强调了 BSM 模型的局限性和假设。他们承认现实世界的市场可能会偏离模型的假设，例如存在交易成本、流动性限制以及市场摩擦的影响。演讲者鼓励采取谨慎的态度，并强调了解与期权定价模型相关的局限性和不确定性的重要性。
总体而言，本讲座全面概述了交易信心、对冲策略、期权定价模型和风险管理技术。它为学习者提供必要的知识和工具，以驾驭复杂的金融市场世界并在交易和投资活动中做出明智的决策。
计算金融：第 3/14 讲（Python 中的期权定价和模拟）
计算金融：第 3/14 讲（Python 中的期权定价和模拟）
在讲座中，讲师深入研究了 Python 中的股票路径模拟，并探索了定价期权的 Black-Scholes 模型。他们讨论了两种推导期权无套利价格的方法，即套期保值和鞅。演讲者演示了如何对鞅进行编程和模拟，强调了定价框架中偏微分方程 (PDE) 和蒙特卡洛模拟之间的联系。
使用欧拉离散化方法，演讲者解释了如何模拟和生成随机过程的图形。他们从一个简单的过程开始，使用 Ito 的引理从 S 切换到 X，即 S 的对数。然后讲师介绍了 Euler 离散化方法并演示了它在 Python 中的实现。该方法涉及离散化连续函数并模拟漂移和布朗运动的增量，从而生成模拟路径图。
演讲者从计算的角度讨论了期权定价模型的路径模拟。他们没有单独模拟每条路径，而是解释了执行时间切片和构建矩阵的效率，其中每一行代表一条特定路径。行数对应于路径数，而列数对应于时间步数。演讲者解释了使用标准正态随机变量的离散化过程的实现，并强调了标准化对于更好收敛的重要性。
本讲座还包括使用 Python 模拟几何布朗运动的路径。演讲者说明了如何固定随机种子以实现稳定的模拟，并介绍了 Black-Scholes 模型，该模型涉及带有漂移的随机微分方程以及用于对资产价格建模的 mu 和 sigma 等参数。演讲者强调，Black-Scholes 模型仍在金融业中广泛使用，尤其是在股票期权定价方面。他们讨论了现实世界衡量和风险中性衡量的概念，这有助于根据不同的结果概率为期权定价。
此外，讲座还探讨了 Python 中的期权定价和模拟。演讲者区分了现实世界的衡量标准，根据历史数据估计，没有假设套利或无风险条件，以及风险中性的衡量标准，这需要满足某些条件。他们提出了一种交易策略，涉及连续交易股票并调整期权头寸以捕捉标的股票的走势。演讲者使用 Ito 引理解释了投资组合的动态，并通过这种方法推导出期权价值的随机性。
演讲者还深入探讨了构建独立于布朗运动的对冲投资组合的技术。他们讨论选择一个 delta 来抵消涉及布朗运动的项，确保 delta 中性的投资组合。演讲者强调了投资组合产生与储蓄账户相同回报的重要性，并介绍了货币设置账户的概念。
此外，讲座还介绍了使用 Black-Scholes 模型推导期权估值的偏微分方程 (PDE)。由此产生的 PDE 是一个二阶导数，其边界条件决定了期权的公允价值。演讲者强调，Black-Scholes 模型的期权定价并不显着依赖于漂移参数 mu，该参数可以从校准或历史数据中获得。但是，该模型未考虑套期保值的交易成本。
该讲座涵盖了 Black-Scholes 模型和期权定价中的各种重要概念。它讨论了没有套利机会的假设，从而导致模型应用的无风险场景。演讲者解释了 delta 对冲的概念以及它如何消除投资组合中最大的随机成分。此外，演讲者介绍了伽马作为 delta 行为的衡量标准，并强调模型中的每个参数都可以对冲。最后，讲座探讨了期权价值的决定因素，例如时间、行使价、波动率和市场相关参数。
在讲座中，演讲者进一步探讨了 Black-Scholes 模型及其在期权定价中的应用。他们讨论了模型的假设和局限性，包括恒定波动和不存在交易成本的假设。尽管有这些局限性，Black-Scholes 模型仍然在金融行业广泛使用，因为它在欧洲看涨期权和看跌期权定价方面简单有效。
演讲者介绍了隐含波动率的概念，即市场根据当前期权价格得出的对未来波动率的预期。隐含波动率是 Black-Scholes 模型中的一个关键参数，因为它会影响期权的定价。演讲者解释了如何使用该模型从市场数据中获得隐含波动率，并讨论了它在期权交易策略中的重要性。
本讲座深入探讨各种期权交易策略，例如 Delta 对冲和 Gamma 交易。 Delta 对冲涉及不断调整投资组合的构成，以保持与标的资产价格变化相关的中性头寸。 Gamma 交易侧重于利用 gamma 的变化，它衡量 delta 相对于标的资产价格的变化情况。这些策略旨在管理风险并最大化期权交易的盈利能力。
演讲者还谈到影响期权价格的其他重要因素，包括时间衰减 (theta)、利率 (rho) 和股息收益率。他们解释了这些因素如何影响期权定价以及交易者如何利用它们做出明智的决定。
在整个讲座中，使用 Python 编程来演示各种期权定价模型和交易策略的实现。演讲者提供了代码示例并解释了如何利用库和函数来执行计算和模拟。
总之，本讲座使用 Black-Scholes 模型和相关概念全面概述了期权定价和模拟。它强调这些概念在 Python 编程中的实际应用，使其成为对量化金融和期权交易感兴趣的个人的宝贵资源。
计算金融：第 4/14 讲（隐含波动率）
计算金融：第 4/14 讲（隐含波动率）
在这个关于计算金融的综合讲座中，隐含波动率的概念占据了中心位置，阐明了它在期权定价计算中的重要性。虽然 Black-Scholes 模型是计算隐含波动率的基础，但其局限性和低效性也得到了充分强调。本讲座深入探讨了计算隐含波动率的各种方法，特别是迭代过程，例如 Newton-Raphson 方法。此外，讲师探讨了与期权价格建模相关的挑战，并强调了隐含波动率在反映市场预期方面的作用。在整个讲座中，理解期权定价的波动性和构建有效的对冲投资组合的至关重要性仍然是一个中心主题。
该讲座通过关注期权价格和隐含波动率之间的关系来扩展其探索，特别强调流动性价外看跌期权和看涨期权。它检查了不同类型的隐含波动率偏差，包括时间相关的波动率参数和时间相关性对隐含波动率微笑的影响。此外，讲座深入探讨了 Black-Scholes 模型的局限性和处理波动率模型的替代方法，包括局部波动率模型、跳跃模型和随机波动率模型。还阐明了期权到期日对波动率的影响，与到期日较长的期权相比，到期日较短的期权在货币水平上表现出更集中的分布，微笑效应变得不那么明显。
教授首先总结了前几节中涵盖的关键概念，特别是与期权定价和波动率建模相关的概念。引入了隐含波动率，强调了它根据市场数据的计算及其在衡量不确定性方面的作用。详细讨论了计算隐含波动率的算法。此外，还解决了 Black-Scholes 模型的局限性和效率，以及诸如合并时间相关波动率参数和生成隐含波动率表面等扩展。该讲座还谈到了仅依赖 Black-Scholes 模型的缺点，并介绍了局部波动率和随机波动率等替代模型。重点放在需要为或有债权定价指定适当的模型，以及构建由期权和股票组成的对冲组合以得出定价偏微分方程 (PDE) 的重要性。
演讲者继续探讨期望在求解偏微分方程时的应用，特别是在处理确定性利率时以及在风险中性措施下采用期望的必要性。欧式看涨期权和看跌期权的定价方程依赖于在 d1 点评估的初始股票正态累积分布函数 (CDF)，该函数取决于模型参数，以及涉及利率随到期时间变化的指数。讲座解释说这个公式可以很容易地在 Excel 中实现。
接下来，讲师详细介绍了Black-Scholes模型所需的参数，该模型用作估算期权价格的工具。这些参数包括到期时间、行使价、利率、当前股票价值，以及需要使用市场价格估算的波动率参数 sigma。讲师强调期权价格和波动率之间的一一对应关系，强调波动率的增加意味着期权价格的相应增加，反之亦然。然后讨论隐含波动率的概念，强调其基于中间价的计算及其在 Black-Scholes 模型中的重要性。
本讲座进一步探讨了从具有多个参数的模型中获取隐含波动率。需要注意的是，无论选择何种模型，都必须通过Black-Scholes模型的检验。然而，由于每次执行的隐含波动率不同，使用 Black-Scholes 模型同时为所有期权定价变得不切实际。该讲座还指出，隐含波动率往往会随着期权期限的延长而增加，这意味着更大的不确定性。提供了一个示例来演示使用市场数据和 100 股的标准看涨期权计算隐含波动率。
讲师进一步阐述了隐含波动率的概念。期权的历史数据用于使用 Black-Scholes 方程估计其波动率。然而，讲师强调，虽然这一估计为期权提供了一定的价格，但由于其前瞻性，市场可能对其定价不同，与后瞻性历史估计形成对比。尽管存在这种差异，这两种波动率之间的关系仍然被用于投资目的，尽管讲师建议谨慎不要纯粹依赖这种关系进行投机。然后讲座继续解释如何在给定市场价格和期权的其他规格的情况下使用 Black-Scholes 方程计算隐含波动率。然而，讲师承认隐含波动率的概念存在固有缺陷，因为没有明确的正确值，并且所使用的模型是近似值而不是期权定价的真实表示。
讲师继续解释使用牛顿-拉夫森法（一种迭代方法）求隐含波动率的过程。该方法涉及基于 Black-Scholes 方程和市场价格建立一个函数来求解隐含波动率 sigma。讲师强调使用泰勒级数展开来计算精确解和迭代之间的差异，目的是找到一个函数，其中 Black-Scholes 隐含波动率与市场隐含波动率相匹配。在毫秒内快速计算隐含波动率的能力对于做市商识别套利机会和产生利润至关重要。
介绍了使用 Newton-Raphson 方法计算隐含波动率的迭代过程的概念。该过程需要多次迭代，直到函数 g 趋近于零，每个新步骤都基于前一步进行估计。讲师强调了初始猜测对于 Newton-Raphson 方法收敛的重要性。极端价外期权或接近于零的期权可能会带来挑战，因为函数变得平坦，导致阻碍收敛的小梯度。为了克服这个问题，从业者通常会定义一个初始猜测的网格。该算法使用其切线近似函数并计算 x 截距，梯度越陡，收敛速度越快。
此外，讲师解释了用于计算期权隐含波动率的 Newton-Raphson 算法的实现。该算法依赖于 Black-Scholes 模型，输入参数包括市场价格、行使价、到期时间、利率、初始股票量和初始波动率参数。分析了算法的收敛性，确定了误差阈值。该代码使用 Python 进行演示，并利用 NumPy 和 SciPy 库提前准备了必要的方法和定义。
本讲座详细阐述了隐含波动率的计算，强调了该计算所需的输入，例如期权价值和看涨期权价格相对于波动率参数（称为 Vega）的导数。代码的核心涉及计算隐含波动率的分步过程，讲师对所涉及的各种参数及其意义进行了解释。本讲座最后简要演示了用于计算隐含波动率的迭代过程。
演讲者还讨论了计算隐含波动率时的错误以及它如何由迭代之间的差异确定的主题。输出图表显示了为看涨期权价格、行使价、到期日和其他参数获得的隐含波动率。演讲者说明了收敛性如何随着对波动率的不同初始猜测而变化，强调了这一过程在行业校准中的重要性。初始猜测必须接近模型的实际隐含波动率才能成功收敛。行业从业者通常会尝试不同的初始波动率，直到实现合适的收敛，然后选择特定的波动率值。
本讲座深入探讨了隐含波动率的解释。隐含波动率可以提供对市场预期和情绪的洞察。当隐含波动率较高时，表明市场参与者预期价格会出现大幅波动，这可能表明标的资产存在不确定性或感知风险。相反，低隐含波动率表明预期价格相对稳定。
该讲座强调隐含波动率不是衡量未来波动率的指标，而是市场定价的反映。隐含波动率受供需动态、市场情绪和市场参与者风险偏好等多种因素的影响。因此，在其他市场指标和基本面分析的背景下解释隐含波动率至关重要。
讲师还强调了隐含波动率表面或波动率微笑的概念。隐含波动率曲面代表隐含波动率与不同行使价和期限之间的关系。在某些市场条件下，价外期权的隐含波动率可能高于或低于平值期权。隐含波动率表面的这种曲率被称为波动率微笑或假笑。讲座解释说，波动率微笑表示市场参与者对极端价格变动可能性的看法，例如大的下行风险或意外的利好事件。
此外，讲座涵盖了隐含波动率期限结构的概念。隐含波动率期限结构描述了特定期权的隐含波动率与不同期限之间的关系。讲师解释说，隐含波动率期限结构可以呈现不同的形状，例如向上倾斜（正价差）、向下倾斜（逆价差）或平坦曲线。这些期限结构可以深入了解市场对不同时间范围内未来波动性的预期。
此外，讲座深入探讨了与隐含波动率相关的局限性和挑战。它强调隐含波动率源自期权价格，期权价格受各种因素和假设的影响，包括利率、股息收益率和有效市场假设。因此，隐含波动率可能并不总是准确反映真实的潜在波动率。
此外，讲座还讨论了历史波动率的概念及其与隐含波动率的比较。历史波动率是根据标的资产过去的价格变动计算的，而隐含波动率则来自期权价格。讲师指出，历史波动率是向后看的，可能无法完全反映未来的市场预期，而隐含波动率包含嵌入在期权价格中的前瞻性信息。
最后，讲座总结了所涵盖的要点。它强调理解隐含波动率、其计算方法及其在期权定价和市场预期背景下的解释的重要性。鉴于其在金融市场和投资决策中的重要性，讲师鼓励在该领域进行进一步的探索和研究。
其中波动性影响因不同长度的期权而异。该视频还展示了如何计算隐含波动率并生成具有随时间变化的波动率的路径，以及它如何影响 Black-Scholes 隐含波动率方程。该视频还展示了为两个不同期限的期权拟合不同波动率水平的示例。
计算金融学：第 5/14 讲（跳跃过程）
计算金融学：第 5/14 讲（跳跃过程）
讲座继续探索通过在库存过程中加入跳跃，从扩散模型过渡到跳跃-扩散模型来增强 Black-Scholes 模型的方法。讲师首先解释库存过程中包含跳跃并提供跳跃的定义。然后，他们演示了 Python 中跳跃过程的简单实现，强调需要处理股票随机过程中的跳跃，同时确保模型保持在 q 度量下。
此外，讲座还深入探讨了引入定价跳跃的含义以及它如何影响定价 PDE（偏微分方程），引入了额外的积分项。讨论扩展到不同跳跃分布对隐含波动率形状的影响，以及在处理复杂预期时使用诸如期望迭代期望、期望的塔属性和跳跃过程的特征函数等概念。
讲师强调跳跃过程在定价期权和校准模型中的实用性，强调它们的真实性和适应重尾的能力，以及控制锁和转向密度的峰度和不对称性。通过结合跳跃过程，可以更好地拟合隐含波动率微笑或隐含波动率倾斜，使跳跃过程成为 Black-Scholes 模型更有利的替代方案。
转移焦点，讲座介绍了以计数过程为代表的跳跃过程的概念，这与布朗运动无关。这些过程使用随机泊松过程建模，其特征是初始零值和服从泊松分布的独立增量。泊松过程的速率决定了指定时间段内的平均跳跃次数。本讲座解释了如何使用符号和期望计算跳跃过程在给定间隔内的平均跳跃次数。
在计算金融学中，讲师讨论了跳跃过程的模拟，指出跳跃幅度不会爆炸，并概述了与之相关的技术假设。该过程涉及定义矩阵和参数，以使用泊松分布为跳跃过程的每个增量模拟独立增量。本讲座还涵盖了在 Ethos 引理中使用泊松过程来扩展股票定价跳跃过程的动力学。在计算金融的背景下，本讲座介绍并解释了跳跃过程的概念。它将术语“t-minus”定义为过程中发生跳跃之前的时间，并通过 Ethos 引理和相对于时间的导数计算来探索过程的动态。讨论了跳跃大小与函数“g”的调整结果之间的关系，强调了这些概念在随机过程建模中的实际相关性。该讲座还强调了在模拟股票市场行为时考虑跳跃过程和扩散过程的独立性的重要性。
为了在包含跳跃和扩散过程的模型中推导函数“g”的动力学，讲座重点介绍了高扩散复杂性的行为和 Ito 引理的应用。 Ito 引理用于在模型复杂性增加的情况下处理交叉项，例如 dxpt 平方。一旦包括漂移、扩散和跳跃在内的所有元素组合在一起，就可以使用伊藤引理推导出“g”的动力学。还涉及到 Ito 表的扩展，强调了泊松过程和布朗运动之间的差异。本讲座最后概述了为包含跳跃和扩散过程的函数“g”推导动力学的过程。
接下来，讲座描述了在 Q 测度下获得具有跳跃和布朗运动的股票动态的过程。此过程涉及定义新变量并确定其动态，确保动态的期望为零。假设跳跃分量独立于所有其他过程，从而导致表达式包含漂移、波动和 J 减一的期望项。然后将该表达式代入 Q 度量的方程中，确保 ST 在货币储蓄账户上的动态是一个鞅。
讲师继续讨论如何导出同时具有扩散和跳跃的模型，并提供示例来说明具有两个组件的模型的路径：扩散和跳跃。扩散部分代表连续行为，而跳跃元素引入不连续性，允许表示在某些股票中观察到的跳跃模式。讲师还介绍了跳跃参数和布朗运动的波动率参数，以及股票和利率的初始值。为了进一步加强理解，讲师演示了如何对模拟进行编程并绘制生成的路径。
然后讲座继续解释 e 的 j 次方的期望，它被分析计算为对数正态分布的期望。执行由 c 乘以 pi 乘以 dt 驱动的泊松增量的模拟，其中 z 表示正态分布的增量，j 表示跳跃幅度。跳跃扩散过程的动力学涉及偏微分方程和积分微分方程，其中积分部分表示跳跃大小的期望。定价方程可以通过投资组合构建或通过特征函数法推导出来，参数需要使用市场上的期权价格进行校准。
在投资组合构建的背景下，讲座描述了构建包含已售期权和标的股票对冲的投资组合的过程。通过确保投资组合的动态增长与储蓄账户的增长速度相同，可以推导出定价微分方程。为了达到理想的动力，股票除以储蓄账户必须是一个鞅。然后讲座推导出mu的条件，证明一旦建立了动力学，就可以推导出v的动力学。然后使用此信息来计算期望并推导 v 的动态。
讲师进一步探讨了关于时间的一阶导数方程，该方程也是关于 x 的一阶导数，并包括对合同在时间 t 的价值的期望，并带有跳跃。由于期望的存在，这会导致积分项，从而导致求解比纯 PDE 更具挑战性的偏积分微分方程 (PID)。解决方案涉及找到期望值的解析表达式，有时可以用无穷级数来表示。还讨论了边界条件的重要性以及将 PID 转换为对数转换以改进收敛性。
继续跳跃过程的讨论，本讲着重介绍PID情况下跳跃过程的改造和豪华选项下的PID。本讲座介绍了指定跳跃幅度的两种常用方法，即经典商人模型和非对称双指数。虽然随着 sigma j 和 mu j 的加入，模型的校准变得更加复杂，但实用性和行业接受度通常更倾向于参数较少的模型。该讲座还承认，随着跳跃过程的动力学变得更加复杂，实现收敛变得具有挑战性，需要先进的技术，如傅里叶空间或用于参数校准的分析解决方案。
然后讲座继续解释使用蒙特卡洛模拟进行跳跃扩散过程的定价过程。定价涉及通过对现值进行贴现来计算对未来收益的期望。虽然 PID 和蒙特卡洛模拟等方法在模拟的计算复杂性方面表现良好，但由于引入跳跃时参数数量显着增加，它们可能不适合定价和模型校准。本讲座还深入探讨了跳跃和强度参数的分布及其对隐含波动率微笑和倾斜的影响。进行了模拟实验，改变参数，同时保持其他参数不变，以观察对跳跃和倾斜产生的影响。
为了分析波动率和跳跃强度对隐含波动率微笑形状和水平的影响，讲师讨论了它们之间的关系。增加跳跃的波动性会导致更高水平的波动，而跳跃的强度也会影响隐含波动率微笑的水平和形状。此信息对于了解期权价格的行为和根据实际市场数据校准模型至关重要。
然后讲座介绍了Tower Property 的概念及其在简化金融问题中的应用。通过以一个过程的路径为条件来计算另一个过程的期望或价格，可以简化随机微分方程中的多维问题。 Tower Property 也可以应用于具有波动率参数和核算过程的 Black-Scholes 方程中的问题，这些问题在处理跳跃积分时通常会变成求和。讲师强调需要对这些应用中的参数进行假设。
接下来，讲师讨论了使用傅里叶技术求解计算金融中的定价方程。傅立叶技术依赖于特征函数，对于某些特殊情况，特征函数可以以解析形式找到。讲师通过一个使用默顿模型的示例，解释了如何找到该方程的特征函数。通过分离涉及独立部分的期望项，讲师演示了如何根据期望表达求和，从而确定特征函数。使用傅立叶技术的优势在于它们能够实现快速定价计算，这对于模型校准和实时评估至关重要。
接下来，讲师讨论了使用傅里叶技术求解计算金融中的定价方程。傅立叶技术依赖于特征函数，对于某些特殊情况，特征函数可以以解析形式找到。讲师通过一个使用默顿模型的示例，解释了如何找到该方程的特征函数。通过分离涉及独立部分的期望项，讲师演示了如何根据期望表达求和，从而确定特征函数。使用傅立叶技术的优势在于它们能够实现快速定价计算，这对于模型校准和实时评估至关重要。
在整个讲座中，讲师强调了理解跳跃过程并将其纳入计算金融模型的重要性。通过包含跳跃，模型可以更好地捕捉真实世界股票价格的行为，并提供更准确的定价和校准结果。该讲座还强调了与跳跃过程相关的挑战，例如求解积分微分方程的复杂性和仔细参数校准的需要。然而，通过适当的技术和方法，跳跃过程可以显着提高计算金融模型的准确性和真实性。
计算金融：第 6/14 讲（仿射跳跃扩散过程）
计算金融：第 6/14 讲（仿射跳跃扩散过程）
讲师提供了有关金融机构内部定价模型选择的见解，重点是前台和后台之间的区别。前台处理交易活动并发起交易，然后转移到后台进行交易维护和簿记。讲师强调在选择定价模型时需要考虑各种因素，包括校准、风险评估、定价准确性和计算效率。此外，特征函数和仿射跳跃扩散过程的概念被引入作为允许有效定价评估的模型类。这些模型能够进行快速定价计算，使其适合实时交易。讲座还深入探讨了货币功能推导、通过跳跃合并进行的框架扩展以及金融机构中定价和建模的工作流程等主题。
整个讲座强调了理解跳跃过程的重要性及其对定价准确性的影响，以及求解积分微分方程和校准模型参数所涉及的挑战。通过利用适当的技术和方法，可以增强计算金融模型以更好地反映现实世界的股票价格行为并改进定价和校准结果。
此外，演讲者强调了前台在金融机构中的作用，特别是在为客户设计和定价金融产品方面。前台负责为这些产品选择合适的定价模型，并确保正确记录交易。与后台部门的协作对于验证和实施所选模型至关重要，确保它们适合机构的风险和交易。前台的主要目标是在为客户提供有竞争力的价格和在可接受的范围内管理风险之间取得平衡，同时确保稳定的利润流。
演讲者概述了成功定价所涉及的基本步骤，从金融产品的规格和随机微分方程的公式开始，以捕捉潜在的风险因素。这些风险因素在确定定价模型和随后的价格计算中起着关键作用。对这些风险因素进行适当的规范和建模对于准确定价和风险管理至关重要。
在讲座中，讨论了不同的定价方法，包括精确和半精确解，以及蒙特卡罗模拟等数值技术。演讲者强调了模型校准的重要性，定价模型的参数会根据市场观察结果进行调整。引入傅里叶技术作为模型校准的更快替代方法，允许有效计算模型参数。
该讲座还比较了两种流行的计算金融定价方法：蒙特卡洛模拟和偏微分方程 (PDE)。蒙特卡洛模拟广泛用于高维定价问题，但其精度有限且容易出现抽样误差。另一方面，PDE 提供了一些优势，例如能够以低成本计算 delta、gamma 和 vega 等敏感度，并且在解中具有平滑性。演讲者提到基于傅里叶的方法将在未来的讲座中介绍，因为它们为简单的金融产品提供更快、更合适的定价方法。
引入特征函数的概念作为弥合具有已知分析概率密度函数的模型与不具有已知分析概率密度函数的模型之间差距的关键工具。通过使用特征函数，可以导出股票的概率密度函数，这对于定价和风险评估至关重要。
在整个讲座中，都强调了校准的重要性。液体工具被用作校准的参考，然后它们的参数被应用于更准确地为更复杂的衍生产品定价。讲师强调需要不断改进和完善定价模型和技术，以适应不断变化的市场条件并实现可靠的定价结果。
总而言之，本讲座深入探讨了金融机构选择定价模型的过程，重点关注前台的角色、模型校准以及对风险、效率和准确性的考虑。它还介绍了各种技术，例如蒙特卡罗模拟、偏微分方程和基于傅里叶的定价和模型校准方法。讨论了特征函数的概念及其在推导概率密度函数中的意义，以及模型改进和适应现实条件的挑战和重要性。
计算金融：第 7/14 讲（随机波动率模型）
计算金融：第 7/14 讲（随机波动率模型）
在讲座中，我们深入探讨了随机波动率模型的概念，作为 Black-Scholes 模型的替代方案，后者可能有其局限性。演讲者强调，随机波动率模型属于仿射扩散模型类，需要先进的技术才能有效地获得价格和隐含波动率。解释了纳入随机波动率背后的动机，并介绍了 Heston 的二维随机波动率模型。
涵盖的一个重要方面是模型对整个隐含波动率表面的校准，而不仅仅是一个点。这在处理依赖于路径的收益和走向方向依赖性时尤为重要。从业者通常将模型校准为流动性工具，例如看涨期权和看跌期权，然后推断出奇异衍生品的价格。随机波动率模型在市场上很受欢迎，因为尽管存在固有的局限性，但它们允许对整个波动率表面进行校准。
该讲座还强调了股票市场波动率表面的重要性以及对适当模型的需求。如果波动率表面呈现陡峭的微笑，则通常首选包含跳跃或随机波动率的模型。讨论了用于定价期权的不同度量，包括 P 度量和风险中性度量。值得注意的是，虽然使利率随时间变化不会改善微笑或偏差，但引入随机或局部波动率可以帮助校准。还介绍了 Hassel 模型，它利用均值回归平方根过程来模拟波动率。
本讲座详细探讨了随机波动率模型的概念。最初，使用正态过程和布朗运动来定义随机微分方程，但公认的是这种方法无法准确捕捉波动率，尤其是当它可能变为负值时。 Box Inverse Process（也称为 CIR 过程）的优势得到解释，因为它显示出肥尾并且保持非负值，使其成为适用于波动率的模型。引入了具有随机波动率结构的 Heston 模型，并显示方差 (VT) 遵循非中心卡方分布。明确了该分布是过渡分布，并提到 Feller 条件作为模型校准期间要检查的关键技术条件。
讨论了随机波动率模型避免路径为零的条件，称为 Feller 条件。当 kappa 参数与长期均值的乘积的两倍大于或等于 gamma 平方，即波动率的平方时，满足条件。当不满足条件时，路径会达到零并反弹，从而导致可达到的边界条件。解释了非中心卡方分布的特性及其与 CIR 过程的关系。提供了方差路径和密度图来说明满足或不满足 Feller 条件的影响。
强调了随机波动率模型中肥尾分布的重要性，因为它们通常在根据市场数据校准模型后观察到。需要注意的是，如果不满足模型的 Feller 条件，则蒙特卡洛路径可能会达到零并保持为零。解释了通过布朗运动在模型中包含相关性，并提到跳跃通常被认为是独立的。讲座以描绘 Feller 条件对密度影响的图表作为结尾。
讲座的重点是布朗运动的相关性和方差。演讲者解释说，在处理相关的布朗运动时，一定的关系必须成立，这同样适用于增量。引入 Cholesky 分解技术作为使用正定矩阵和两个下三角矩阵相乘关联两个布朗运动的方法。这种方法有助于制定本讲座后面讨论的两个过程。
讨论了具有独立布朗运动的下三角矩阵乘法的构造，得到包含独立过程和相关过程组合的向量。
此外，讲师解释说，Heston 模型的特征函数为高效快速定价提供了宝贵的见解。通过推导特征函数，很明显所有涉及的项都是显式的，无需复杂的分析或数值计算来求解常微分方程。这种简单性被认为是赫斯顿模型的显着优势之一，使其成为一种实用且强大的衍生品定价工具。
演讲者强调，了解赫斯顿模型中每个参数的特征和含义对于有效管理与波动相关的风险至关重要。 kappa、长期均值、波动率、相关性和方差过程的初始值等参数都对波动率动态和隐含波动率表面有明显影响。通过根据市场校准这些参数并分析它们的影响，从业者可以获得对隐含波动率微笑和偏斜的宝贵见解，从而实现更准确的定价和风险管理。
该讲座强调了将随机波动率模型校准到整个隐含波动率表面而不仅仅是单个点的重要性。依赖于路径的收益和行权方向依赖性需要一种全面的校准方法来捕获市场数据的全部复杂性。通常，从业者将模型校准为流动性工具，例如看涨期权和看跌期权，然后推断出奇异衍生品的价格。虽然随机波动率模型允许对整个波动率表面进行校准，但公认的是校准过程并不完美并且有其局限性。
为了进一步加深对随机波动率模型的理解，讲师深入研究了肥尾分布的概念，在根据市场数据校准模型时经常观察到这种情况。演讲者解释说，如果不满足模型的费勒条件，蒙特卡洛路径可能会达到零并保持为零，从而影响模型的准确性。此外，还讨论了在随机波动率模型中包含跳跃和独立考虑相关性。该讲座提供了有关这些因素如何影响波动动态和定价的见解。
本讲座最后将赫斯顿模型与布莱克-斯科尔斯模型进行了比较。虽然 Heston 模型在波动率建模方面提供了更大的灵活性和随机性，但 Black-Scholes 模型仍然是衍生品定价的基准。了解不同参数变化对隐含波动率微笑和偏斜的影响对于从业者选择适合其特定需求的模型至关重要。通过全面的校准和分析，Heston 等随机波动率模型可以为金融市场的定价和风险管理提供有价值的见解。
除了讨论 Heston 模型外，讲座还讨论了布朗运动中相关性和方差的重要性。演讲者解释说，在处理相关的布朗运动时，某些关系和条件必须成立，包括使用 Cholesky 分解。该技术允许使用正定矩阵和两个下三角矩阵的乘法来关联两个布朗运动。讲座强调，这种方法对于在多维案例中制定流程并实现所需的关联结构至关重要。
此外，讲师侧重于随机波动率模型中独立和相关布朗运动的构建和表示。虽然 Cholesky 分解是关联布朗运动的有用工具，但讲座指出，出于实际目的，它并不总是必要的。相反，可以应用 Ito 引理来有效地合并相关的布朗运动。本讲座提供了构建具有相关布朗运动的股票投资组合的示例，并演示了如何应用伊藤引理来确定涉及多个变量的多维函数的动态。
本讲座还介绍了使用鞅方法的 Heston 模型的定价偏微分方程 (PDE)。这种方法涉及确保称为 pi 的特定数量是一个鞅，它表示波动率与长期平均值的比率。通过应用Ethos Lemma，本讲座推导了鞅的方程，其中涉及导数和方差过程。定价 PDE 允许确定衍生合约的公平价格和在定价中使用风险中性度量。
此外，演讲者还讨论了不同参数对随机波动率模型中隐含波动率形状的影响。伽玛、相关性和均值回归速度 (kappa) 等参数显示会影响隐含波动率的曲率、偏度和期限结构。了解这些参数的影响有助于准确校准模型并捕获所需的波动动态。
在整个讲座中，演讲者强调了模型校准的重要性，尤其是对整个隐含波动率表面。校准液体仪器和外推奇异衍生物是从业者的常见做法。随机波动率模型（包括 Heston 模型）提供了针对整个波动率表面进行校准的灵活性，从而提高了定价和风险管理的准确性。然而，众所周知，模型校准并非没有局限性，应该仔细检查模型之间的细微差异，例如 Heston 和 Black-Scholes 模型，以确保适当的定价和风险评估。
本讲座全面概述了随机波动率模型，重点介绍了 Heston 模型、其参数含义、校准技术以及相关性和方差在布朗运动中的作用。通过理解并有效应用这些概念，从业者可以提高他们为衍生品定价、管理风险和驾驭金融市场复杂性的能力。
计算金融：第 8/14 讲（期权定价的傅里叶变换）
计算金融：第 8/14 讲（期权定价的傅里叶变换）
在关于期权定价的傅里叶变换的讲座中，讲师深入探讨了该技术的应用和各个方面。他们首先解释说，傅里叶变换用于计算属于精细扩散模型类别的模型的密度和有效定价选项。该技术涉及计算实轴上的积分，这在计算上可能很昂贵。然而，通过使用反演引理，教师阐明了如何减少“u”的域，从而能够计算积分的实部。这种方法有助于最大限度地减少与昂贵计算相关的计算负担。
讲师进一步讨论了使用快速傅立叶变换 (FFT) 对这种表示的改进，这显着提高了实现效率。通过利用 FFT 的特性，减少了计算工作量，使期权定价更高效、更快速。会议最后比较了傅里叶变换方法和成本方法，提供了对它们各自实施细节的见解。
接下来，讲师将深入探讨使用傅立叶变换推导出计算密度的快速方法的第一步。此步骤涉及将域一分为二并提取实部，这是一种计算成本低廉的操作。此外，讲师探讨了复数的除法和采用共轭的重要性，因为它有助于更有效地计算特征函数。还讨论了构建网格以获得每个“x”值的密度，突出了选择适当域和定义边界的重要性。
本讲座接着解释了使用傅里叶变换积分和包含“n”个网格点的网格来计算“x”的密度。讲师强调需要同时对多个“x”值进行密度计算。一旦定义了网格，就会引入一个新的积分，涉及一个名为“伽玛”的函数，并采用梯形积分来近似离散积分。为了说明这个过程，讲师提供了一个对具有等间距网格的函数执行梯形积分的示例。
然后，演讲者深入探讨了配置参数以定义傅立叶变换网格的过程。这些参数包括网格点的数量、“u”的最大值以及增量“x”和增量“u”之间的关系。一旦确定了这些参数，就可以代入积分和求和，从而为每个“x”值推导一个函数。该讲座包括一个包含梯形积分的方程和在梯形边界节点处计算的特征函数。
详细讨论了积分的表示以及在期权定价中采用快速傅立叶变换 (FFT) 的重要性。演讲者解释说，通过定义适合输入到 FFT 中的函数，从业者可以利用大多数库中已有的快速评估和实施功能。讲师继续解释计算此变换所涉及的步骤以及如何使用它来计算积分。总的来说，讲座强调了 FFT 在计算金融中的重要性及其在期权定价中的实用性。
除了上述主题外，讲座还探讨了与期权定价的傅里叶变换相关的各个方面。其中包括使用插值技术来确保对离散数量的点进行准确计算，泰勒级数与特征函数之间的关系，对偶函数应用余弦展开法，以及使用截断域来近似密度。本讲座还涵盖了密度的恢复、使用傅里叶展开获得的数值结果以及矩阵和向量形式的定价表示。
在整个讲座中，讲师强调了傅立叶变换方法的实际实施，讨论了不同参数的影响，并强调了该方法的优点和局限性。通过提供全面的解释和数值实验，该讲座为学习者提供了在实际场景中应用傅立叶变换进行期权定价所需的知识和工具。
讲师接着讨论了期权定价傅立叶变换中密度函数的恢复。他们强调在变换中选择足够多的点（表示为“n”）以实现高精度密度计算的重要性。讲师引入复数“i”来定义定义域和最大值，“u_max”由分布决定。此外，讲师解释了插值的必要性，特别是在网格点“x_i”处使用三次插值来确保输出密度函数的准确计算，即使对于不在网格上的输入也是如此。
演讲者进一步探讨了插值的好处及其与使用傅立叶变换的期权定价的相关性。虽然傅里叶变换有利于较大的网格，但在处理较大的数字时可能首选插值，因为它的计算成本比 FFT 相对较低。演讲者通过代码示例演示了插值的工作原理，强调通过调整参数，可以计算灵敏度并无需额外费用即可获得 Greeks。此功能使余弦扩展技术非常适合为壁垒期权和百慕大期权等更奇特的衍生品定价。
此外，讲师讨论了计算金融中泰勒级数与特征函数之间的关系。讲座展示了级数和特征函数之间的一对一对应关系，允许直接关系而不需要额外的积分。讲师随后介绍了期权定价的“cos 方法”，该方法使用傅里叶余弦展开来表示零附近的偶函数。此方法涉及计算积分和系数，关键注意展开式的第一项应始终乘以一半。
本讲座详细介绍了改变函数“g”的积分域以实现从“a”到“b”的有限支持范围的过程。演讲者解释了欧拉公式在简化表达式中的重要性，并展示了用“k pi 除以 ba”代替“u”如何导致涉及密度的更简单表达式。截断域用帽子符号表示，参数“a”和“b”的具体值根据要解决的问题选择。演讲者强调这是一种近似技术，在选择“a”和“b”的值时涉及启发式选择。
此外，讲座探讨了傅立叶展开与密度恢复之间的关系。通过取等式两边的实部，讲座演示了欧拉公式，该公式允许将密度的积分表示为特征函数的实部。这种优雅而快速的方法有助于利用特征函数的定义找到目标函数的积分与特征函数之间的关系。成本法旨在发现这些关系以计算膨胀系数并恢复密度。虽然该方法引入了无限求和和截断域的误差，但这些误差易于控制。
然后讲座重点总结了傅里叶余弦展开，即使项数很少也能达到很高的精度。进行了涉及正态概率密度函数 (PDF) 的数值实验，以检查基于项数的错误生成，包括时间测量。代码实验的结构是使用余弦法生成密度，将误差定义为使用余弦法恢复的密度与精确正态 PDF 之间的最大绝对差值。余弦方法只需要几行代码就可以使用特征函数恢复密度，这是该方法的核心。
此外，演讲者还讨论了傅里叶展开的数值结果，可以使用矩阵表示法高效地执行。误差随着扩展项数量的增加而减少，64 项的误差低至 10^-17。使用较少的项会导致振荡或拟合较差。演讲者指出，应该仔细调整扩展项的域和数量等参数，尤其是对于重尾分布。此外，讲座强调，对数正态密度也可以使用正态特征函数建模。
接下来，讲师深入研究了对数正态情况，并解释了它的密度与正态分布有何不同。由于对数正态分布，通常需要更多的扩展项。讲师强调了为特定类型的分布和域选择适当数量的术语的重要性。
讲座强调，成本法对于恢复密度特别有用，并且通常用于衍生品定价，例如只有在到期时支付的欧式期权。讲师继续解释定价是如何运作的，涉及在风险中性措施下整合密度和收益函数的乘积。
随着讲座的进行，演讲者讨论了更多奇异的选项，其中可以导出连接函数并可以使用余弦。引入了术语“过渡密度”，指的是描述从时间轴上的一个点到另一个点的过渡的分布。初始值根据随机变量的分布给出。该演示文稿进一步探讨了密度的截断，其中密度被限制在指定的区间内。解释了高斯求积法，它涉及对乘以某个指数的特征函数的实部求和进行积分。
本讲座介绍了调整后对数资产价格的概念，其定义为到期股票除以比例系数的对数。提供了收益的另一种表示，演讲者指出“v”的选择直接影响系数“h_n”。这种方法可用于评估多次行使价的收益，为同时以不同行使价对期权定价提供了一种方便的方法。
接下来，演讲者深入探讨了在期权定价的傅里叶变换中使用指数函数和余弦函数计算收益函数乘以密度的积分过程。提供了所涉及的两个积分的通用形式，并选择不同的系数来计算各种收益。演讲者强调了能够对多次罢工实施这种技术的重要性，允许一次对所有罢工进行定价，从而节省时间并减少计算费用。最后，定价表示以矩阵乘以向量的形式呈现。
讨论了期权定价中傅里叶变换的实现公式，涉及元素向量化和矩阵操作。本讲座解释了将“k”作为向量并创建具有“n_k”次击打的矩阵的过程。计算实部以处理复数。特征函数非常重要，因为它不依赖于“x”，并且在实现多次打击的有效实施方面起着关键作用。实施的准确性和收敛性取决于项的数量，并显示了示例比较。
此外，演讲者还深入研究了期权定价中傅立叶变换方法所使用的代码，并解释了所涉及的不同变量。他们引入了系数“a”和“b”的范围概念，对于跳跃扩散模型通常保持在 10 或 8。代码中包含了特征函数的 lambda 表达式，这是一个通用的函数，适用于不同的模型。演讲者通过对同一实验进行多次迭代并计算平均时间来强调测量时间的重要性。最后，他们说明了成本法及其如何利用积分范围来假设较大的波动性。
讲座接着解释了期权定价的傅里叶变换方法定义行使价和计算系数的过程。讲师强调，虽然调整模型参数可以带来更好的收敛性并且需要更少的评估项，但坚持使用标准模型参数通常是安全的。他们详细介绍了定义矩阵和执行矩阵乘法以获得折现行使价的步骤，并将所得误差与精确解的误差进行比较。该讲座强调，错误取决于术语的数量和选择的罢工范围。
然后，演讲者比较了不同的期权定价方法，包括快速傅里叶变换 (FFT) 方法和余弦方法。他们解释说，FFT 方法更适用于大量的网格点，而 Cosine 方法对于较少的网格点更有效。讲师演示了使用这两种方法计算期权价格并比较了结果。
此外，讲座涵盖了基于傅里叶的方法在其他金融领域的应用，例如风险管理和投资组合优化。讲师解释说，基于傅立叶的方法可用于估计风险度量，例如风险值 (VaR) 和条件风险值 (CVaR)。通过将傅立叶方法与优化技术相结合，可以找到最小化风险或最大化回报的最佳投资组合分配。
讲座最后总结了整个演讲中讨论的要点。傅立叶变换技术为期权定价和其他金融应用提供了强大的工具。余弦法通过利用特征函数和傅立叶展开，可以对期权进行高效准确的定价。参数的选择，例如项数和域，会影响方法的准确性和收敛性。此外，基于傅里叶的方法可以扩展到期权定价以外的各种金融问题。
总的来说，讲座全面概述了期权定价中的傅里叶变换技术，涵盖的主题包括密度恢复、插值、cos 方法、对数正态分布、多次执行、实施注意事项以及与其他定价方法的比较。讲师的解释和代码示例有助于说明这些技术在金融中的实际应用，并突出它们在准确性和效率方面的优势。