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16. Gestion de portefeuille
16. Gestion de portefeuille
La vidéo "Gestion de portefeuille" aborde un large éventail de sujets liés à la gestion de portefeuille, offrant une compréhension complète du sujet. L'instructeur adopte une approche pratique, reliant la théorie aux applications réelles et aux expériences personnelles dans l'industrie du côté achat. Plongeons-nous dans les différentes sections couvertes dans la vidéo :
Construction intuitive de portfolios : L'instructeur initie le cours en encourageant les étudiants à construire intuitivement des portfolios sur une page vierge. En décomposant les investissements en pourcentages, ils démontrent à quel point l'allocation d'actifs joue un rôle crucial dans la gestion de portefeuille. Les étudiants sont invités à réfléchir à la répartition de leurs investissements et à la manière d'utiliser leurs fonds dès le premier jour. Cet exercice aide les étudiants à saisir les principes fondamentaux de la construction d'un portefeuille et donne un aperçu des processus de prise de décision.
Théorie en lien avec la pratique : cette section met en évidence l'importance de l'observation en tant que première étape vers l'apprentissage de quelque chose d'utile. L'instructeur explique que les théories et les modèles sont construits sur la base de la collecte de données et de la reconnaissance de formes. Cependant, dans le domaine de l'économie, les schémas reproductibles ne sont pas toujours évidents. Pour valider les théories, les observations doivent être confirmées ou testées dans divers scénarios. Les étudiants sont encouragés à partager leurs constructions de portefeuille, favorisant la participation active et l'engagement.
Comprendre les objectifs de la gestion de portefeuille : l'instructeur insiste sur l'importance de comprendre les objectifs de la gestion de portefeuille avant d'aborder la manière de regrouper différents actifs ou expositions. Ils présentent un graphique illustrant les dépenses en fonction de l'âge, soulignant que les habitudes de dépenses de chacun sont uniques. Reconnaître sa situation est crucial pour établir efficacement des objectifs de gestion de portefeuille.
Équilibrer les dépenses et les gains : l'orateur introduit le concept de la courbe des dépenses et des gains, en soulignant l'inadéquation entre les deux. Pour combler l'écart, des investissements générant des flux de trésorerie sont nécessaires pour équilibrer les revenus et les dépenses. La section couvre également divers scénarios de planification financière, tels que la planification de la retraite, le remboursement des prêts étudiants, la gestion des fonds de pension et la gestion des dotations universitaires. Les défis de l'allocation de capital aux commerçants avec des stratégies et des paramètres différents sont discutés, le risque étant généralement mesuré par la variance ou l'écart type.
Rendement et écart type : Cette section se penche sur la relation entre le rendement et l'écart type. L'orateur explore les principes de la théorie moderne du portefeuille, en les illustrant à travers des cas particuliers. Les investissements tels que les espèces, les loteries, les tirages au sort, les obligations d'État, le financement par capital-risque et les actions sont positionnés sur un graphique de rendement par rapport à l'écart type, ce qui permet de mieux comprendre les concepts.
Choix d'investissement et frontière efficace : le conférencier se penche sur différents choix d'investissement et leur placement sur une carte illustrant les rendements et la volatilité. Ils introduisent le concept de frontière efficiente, qui maximise les rendements tout en minimisant l'écart-type. La section se concentre sur un cas particulier d'un portefeuille à deux actifs, expliquant comment calculer l'écart type et la variance. Cet aperçu permet aux téléspectateurs de comprendre comment la théorie du portefeuille peut éclairer les décisions d'investissement.
Avantages de la diversification et parité des risques : le conférencier étudie des scénarios de gestion de portefeuille, soulignant les avantages de la diversification. Ils discutent de trois cas : volatilité nulle et absence de corrélation, volatilités inégales et corrélation nulle, et corrélation positive ou négative parfaite. La diversification est soulignée comme une stratégie pour réduire efficacement l'écart type dans un portefeuille.
Tirer parti de la répartition du portefeuille : Cette section présente le concept de levier comme moyen d'augmenter les rendements attendus au-delà de la répartition à pondération égale. En tirant parti de la répartition obligations-actions, les investisseurs peuvent potentiellement obtenir des rendements attendus plus élevés. Le conférencier souligne l'importance d'équilibrer l'effet de levier pour optimiser le risque et le rendement.
Ratio de Sharpe et formule de Kelly : la vidéo se penche sur le ratio de Sharpe, également connu sous le nom de rendement pondéré en fonction des risques ou ajusté en fonction des risques, et la formule de Kelly. Alors que l'allocation d'actifs joue un rôle essentiel dans la gestion de portefeuille, la vidéo souligne qu'il ne suffit pas de se fier uniquement à la frontière efficiente. La section fournit un exemple de portefeuille 60-40 pour démontrer l'efficacité de l'allocation d'actifs mais aussi sa volatilité potentielle.
Tout au long de la vidéo, l'instructeur met l'accent sur l'interdépendance des individus sur le marché et sur l'importance de tenir compte de cet aspect lors de l'optimisation des portefeuilles. L'orateur souligne également le rôle de la théorie des jeux et la complexité de la finance par rapport à des problèmes bien définis en physique. Ils soulignent l'importance de l'observation active, des modèles basés sur les données et de l'adaptation pour relever efficacement les défis de la gestion de portefeuille. Enfin, le conférencier reconnaît le rôle essentiel de la direction au-delà des décisions d'investissement, en particulier dans des domaines tels que les ressources humaines et la gestion des talents.
En résumé, la vidéo offre une exploration complète des divers aspects de la gestion de portefeuille. Il couvre la construction intuitive de portefeuille, la relation entre risque et rendement, le concept de parité des risques, la frontière efficiente, le rôle de l'effet de levier et l'importance de la gestion des risques. Il se penche également sur les facteurs comportementaux, l'allocation d'actifs dynamique, l'investissement à long terme et le besoin d'apprentissage et d'adaptation continus. En comprenant ces principes et en mettant en œuvre de saines stratégies de gestion de portefeuille, les investisseurs peuvent s'efforcer d'atteindre leurs objectifs financiers tout en gérant efficacement le risque.
17. Processus stochastiques II
17. Processus stochastiques II
Dans cette section de la série vidéo, le concept de mouvement brownien est introduit comme solution à la difficulté de gérer la densité de probabilité d'un chemin dans un processus stochastique, en particulier dans le cas d'une variable continue. Le mouvement brownien est une distribution de probabilité sur l'ensemble des fonctions continues des réels positifs aux réels. Il a des propriétés qui en font un modèle raisonnable pour divers phénomènes, comme l'observation du mouvement du pollen dans l'eau ou la prédiction du comportement des cours boursiers.
De plus, la vidéo présente le concept de calcul d'Ito, qui est une extension du calcul classique au cadre des processus stochastiques. Le calcul traditionnel ne fonctionne pas avec le mouvement brownien et le calcul d'Ito fournit une solution pour modéliser la différence de centile dans les cours des actions. Le lemme d'Ito, dérivé du développement de Taylor, est un outil fondamental du calcul stochastique qui permet de calculer la différence d'une fonction sur une petite augmentation de temps en utilisant le mouvement brownien. Il enrichit la théorie du calcul et permet l'analyse des processus impliquant le mouvement brownien.
La vidéo traite également des propriétés du mouvement brownien, telles que le fait qu'il n'est différentiable nulle part et croise l'axe t infiniment souvent. Malgré ces caractéristiques, le mouvement brownien a des implications réelles et peut être utilisé comme modèle physique pour des quantités telles que les cours des actions. La limite d'une marche aléatoire simple est un mouvement brownien, et cette observation aide à comprendre son comportement.
De plus, la vidéo explore la distribution d'une somme de variables aléatoires et son espérance dans le contexte du mouvement brownien. Il traite de la convergence de la somme des variables normales et l'applique aux mouvements browniens.
En résumé, cette section de la série de vidéos présente le mouvement brownien comme solution pour gérer la densité de probabilité d'un chemin dans un processus stochastique. Il explique les propriétés du mouvement brownien, son application dans la modélisation des cours boursiers et des dérivés financiers, et la nécessité pour le calcul d'Ito de fonctionner avec lui. La compréhension de ces concepts est essentielle pour analyser les processus stochastiques en temps continu et leurs applications dans divers domaines.
18. Calcul d'Itō
18. Calcul d'Itō
Dans cette vidéo complète sur le calcul d'Ito, un large éventail de sujets liés aux processus stochastiques et au calcul est couvert. Le professeur plonge dans les subtilités du lemme d'Ito, une version plus sophistiquée de l'original, et fournit une explication détaillée de la variation quadratique du mouvement brownien. Le concept de dérive dans un processus stochastique est exploré, ainsi que des démonstrations pratiques de la façon dont le lemme d'Ito peut être appliqué pour évaluer de tels processus. La vidéo aborde également l'intégration et la description de type somme riemannienne de l'intégration, les processus adaptés et les martingales. L'importance de pratiquer des exercices de calcul de base pour se familiariser avec le sujet est soulignée. De plus, la vidéo se termine en donnant un aperçu du sujet à venir, le théorème de Girsanov.
Dans la section suivante de la vidéo, le professeur poursuit la discussion sur le calcul d'Ito en passant en revue et en présentant le lemme d'Ito sous une forme légèrement plus générale. Grâce à l'utilisation du développement de Taylor, le professeur analyse les changements dans une fonction, f, lorsque ses première et deuxième variables varient. Le professeur exploite le mouvement brownien pour évaluer f(t, B_t). En incorporant la variation quadratique du mouvement brownien et les deux variables, t et x, la vidéo explique pourquoi le calcul d'Ito diffère du calcul classique en incorporant un terme supplémentaire. Ensuite, la vidéo se concentre sur le terme de second ordre dans le développement de Taylor, exprimé en termes de dérivées partielles. Les termes cruciaux, à savoir del f sur del t dt, del f sur del x dx, et les termes du second ordre, sont examinés. En réorganisant ces termes, une forme plus sophistiquée du lemme d'Ito est dérivée, incorporant un terme supplémentaire. La vidéo démontre que les termes impliquant dB_t carré et dt fois dB_t sont insignifiants par rapport au terme impliquant la dérivée seconde de f par rapport à x, car il survit en raison de son équivalence à dt. Cela conduit à une compréhension raffinée du calcul d'Ito.
La vidéo procède en introduisant le concept d'un processus stochastique avec un terme de dérive résultant de l'ajout d'un terme à un mouvement brownien. Ce type de processus devient le principal objet d'étude, où la différence peut être exprimée en termes de terme de dérive et de terme de mouvement brownien. La forme générale du lemme d'Ito est expliquée, qui s'écarte de la forme originale en raison de la présence d'une variation quadratique. De plus, la vidéo utilise le lemme d'Ito pour évaluer les processus stochastiques. La variation quadratique permet la séparation du terme dérivé second, permettant la dérivation de termes complexes. Un exemple impliquant la fonction f(x) = x^2 est présenté, démontrant comment calculer d de f à B_t. La première dérivée partielle de f par rapport à t est déterminée comme étant 0, tandis que la dérivée partielle par rapport à x est 2x, la seconde dérivée étant 2 à t, x.
La vidéo explique ensuite le calcul de d de f à t virgule B de t. La formule comprend des termes tels que f partiel sur t partiel dt, f partiel sur x partiel dB_t et 1/2 carré partiel f sur carré x partiel de dB_t carré, qui est égal à dt. Des exemples sont fournis pour aider à comprendre comment utiliser ces formules et comment substituer les variables. La distinction entre sigma et un sigma premier variable dans la formule et quand les appliquer est également expliquée. Le mouvement brownien est utilisé comme base pour cette formule, car il représente la forme la plus simple.
Dans la section suivante, le professeur aborde le modèle proposé pour le cours des actions en utilisant le mouvement brownien, indiquant que S_t n'est pas égal à e au sigma fois B de t. Bien que cette expression donne une valeur attendue de 0, elle introduit une dérive. Pour résoudre ce problème, le terme 1/2 de sigma carré multiplié par dt est soustrait de l'expression, ce qui donne le nouveau modèle S de t égal à e moins 1 sur 2 sigma carré t plus sigma multiplié par B_t. Cela représente un mouvement brownien géométrique sans dérive. Le professeur explique en outre que si nous avons un chemin d'échantillon B_t, nous pouvons obtenir un chemin d'échantillon correspondant pour S de t en prenant la valeur exponentielle de B_t à chaque instant.
Ensuite, la vidéo se concentre sur la définition de l'intégration. L'intégration est décrite comme l'inverse de la différenciation, avec une définition un peu "stupide". La question se pose de savoir si l'intégration existe toujours étant donné f et g. La vidéo explore ensuite la description de l'intégration de type somme riemannienne, qui consiste à diviser l'intervalle en morceaux très fins et à additionner les aires des boîtes correspondantes. La limite des sommes riemanniennes est expliquée lorsque la fonction se rapproche de l'infini lorsque n tend vers l'infini, fournissant une explication plus détaillée.
Une question intrigante concernant la relation entre l'intégrale d'Ito et la description du type somme riemannienne est abordée. La vidéo explique que l'intégrale Ito n'a pas la propriété de la somme riemannienne, où le choix du point dans l'intervalle n'a pas d'importance. De plus, la vidéo mentionne une version alternative du calcul Ito qui considère le point le plus à droite de chaque intervalle au lieu du point le plus à gauche. Cette version alternative, bien qu'équivalente au calcul d'Ito, incorpore des signes moins au lieu de signes plus dans le terme de second ordre. En fin de compte, la vidéo souligne que dans le monde réel, les décisions concernant les intervalles de temps doivent être prises en fonction du point le plus à gauche, car l'avenir ne peut pas être prédit.
L'orateur fournit une explication et une définition intuitives des processus adaptés dans le calcul d'Ito. Les processus adaptés se caractérisent par la prise de décisions uniquement basées sur des informations passées jusqu'à l'heure actuelle, un fait intégré à la théorie elle-même. La vidéo illustre ce concept à l'aide d'exemples tels qu'une stratégie boursière qui repose uniquement sur les cours boursiers passés. La pertinence des processus adaptés dans le cadre du calcul d'Ito est mise en évidence, en particulier dans les situations où les décisions ne peuvent être prises qu'au moment le plus à gauche et où les événements futurs restent inconnus. Le conférencier insiste sur l'importance de comprendre les processus adaptés et donne plusieurs exemples illustratifs, dont la stratégie delta t minimum.
Les propriétés de l'intégrale d'Ito dans le calcul d'Ito sont discutées dans la section suivante. Tout d'abord, il est mis en évidence que l'intégrale Ito d'un processus adapté suit une distribution normale à tout instant. Deuxièmement, le concept d'isométrie Ito est introduit, ce qui permet le calcul de la variance. L'isométrie Ito indique que la valeur attendue du carré de l'intégrale Ito d'un processus est égale à l'intégrale du carré du processus dans le temps. Pour faciliter la compréhension, une aide visuelle est utilisée pour élucider la notion d'isométrie Ito.
Poursuivant la discussion, la vidéo se penche sur les propriétés des intégrales Ito. On établit que la variance de l'intégrale Ito d'un processus adapté correspond à la variation quadratique du mouvement brownien, et celle-ci peut être calculée de manière simple. Le concept de martingales dans les processus stochastiques est introduit, expliquant comment la présence ou l'absence d'un terme de dérive dans une équation différentielle stochastique détermine si le processus est une martingale. L'orateur aborde également les applications des martingales dans la théorie des prix, soulignant l'importance de comprendre ces concepts dans le cadre du calcul Ito. Les téléspectateurs sont encouragés à s'engager dans des exercices de calcul de base pour améliorer leur familiarité avec le sujet. Enfin, l'orateur mentionne que le prochain sujet à traiter est le théorème de Girsanov.
Dans la section suivante, la vidéo se penche sur le théorème de Girsanov, qui consiste à transformer un processus stochastique avec dérive en un processus sans dérive, le transformant ainsi en martingale. Le théorème de Girsanov revêt une importance significative dans la théorie des prix et trouve des applications dans divers problèmes de jeu au sein de processus stochastiques discrets. Le conférencier invité introduit le concept de la distribution de probabilité sur les chemins et les processus gaussiens, ouvrant la voie à la compréhension du théorème. Finalement, une formule simple est fournie pour représenter la dérivée de Radon-Nikodym, qui joue un rôle crucial dans le théorème de Girsanov.
Enfin, la vidéo se termine en soulignant les implications plus larges du calcul Itō pour les processus stochastiques. Il souligne que la distribution de probabilité de la valeur d'un portefeuille dans le temps peut être mesurée selon une distribution de probabilité qui dépend d'un cours de bourse modélisé à l'aide du mouvement brownien avec dérive. Grâce aux outils et aux concepts du calcul Itō, ce problème peut être transformé en un problème impliquant un mouvement brownien sans dérive en calculant l'espérance dans un espace de probabilité différent. Cette transformation permet la conversion d'un processus non martingale en un processus martingale, qui a des interprétations significatives dans des scénarios du monde réel.
Pour saisir pleinement les subtilités du calcul Itō, la vidéo encourage les spectateurs à pratiquer des exercices de calcul de base et à se familiariser avec les concepts sous-jacents. Ce faisant, les individus peuvent développer une compréhension plus approfondie des processus stochastiques, de l'intégration stochastique et des applications du calcul Itō dans divers domaines.
En conclusion, cette vidéo complète sur le calcul Itō couvre un large éventail de sujets. Il commence par une exploration du lemme d'Ito, de la variation quadratique du mouvement brownien et du concept de dérive dans les processus stochastiques. Il se penche ensuite sur l'évaluation des processus stochastiques à l'aide du lemme d'Ito et discute de l'intégration et de la description de type somme riemannienne de l'intégration. La vidéo présente également les processus adaptés, les martingales et les propriétés des intégrales Ito. Enfin, il met en évidence le théorème de Girsanov et souligne les implications plus larges du calcul d'Itō pour comprendre et modéliser les processus stochastiques.
19. Formule de Black-Scholes, évaluation neutre au risque
19. Formule de Black-Scholes, évaluation neutre au risque
Dans cette vidéo informative, la formule Black-Scholes et l'évaluation neutre au risque sont discutées en profondeur, fournissant des informations précieuses sur leurs applications pratiques dans le domaine de la finance. La vidéo commence par illustrer le concept de tarification neutre au risque à travers un exemple pertinent d'un bookmaker acceptant des paris sur des courses de chevaux. En fixant des cotes basées sur le total des paris déjà placés, le bookmaker peut assurer un profit sans risque, quel que soit le résultat de la course. Cet exemple sert de base pour comprendre les contrats dérivés, qui sont des paiements formels liés à un instrument liquide sous-jacent.
La vidéo présente ensuite différents types de contrats en finance, notamment les contrats à terme, les options d'achat et les options de vente. Un contrat à terme est expliqué comme un accord entre deux parties pour acheter un actif à un prix prédéterminé dans le futur. Les options d'achat agissent comme une assurance contre le déclin de l'actif, offrant au détenteur de l'option le droit d'acheter l'actif à un prix convenu. À l'inverse, les options de vente permettent aux investisseurs de parier sur la baisse de l'actif, leur offrant la possibilité de vendre l'actif à un prix prédéterminé. Les calculs des paiements de ces contrats sont basés sur des hypothèses spécifiques telles que le prix actuel de l'actif sous-jacent et sa volatilité.
Le concept de neutralité au risque est ensuite introduit, soulignant que le prix d'une option, lorsque le paiement est fixe, dépend uniquement de la dynamique et de la volatilité de l'action. Les préférences de risque des acteurs du marché n'affectent pas le prix de l'option, ce qui souligne l'importance d'une tarification neutre au risque. Pour illustrer cela, un marché à deux périodes sans incertitude est présenté et les prix des options sont calculés à l'aide de la méthode d'évaluation neutre au risque, qui repose sur l'absence de probabilités réelles. L'exemple implique d'emprunter de l'argent pour acheter des actions et de fixer le prix à terme pour atteindre un prix d'option nul.
La vidéo se penche sur le concept de réplication de portefeuilles, en particulier dans le contexte des contrats à terme. En prenant une position courte dans un contrat à terme et en combinant des actions et des liquidités, un portefeuille de réplication est construit, garantissant une réplication exacte du gain final. L'objectif de la tarification neutre au risque est d'identifier les portefeuilles de réplication pour un dérivé donné, car le prix actuel du dérivé doit correspondre au prix du portefeuille de réplication.
Une exploration plus approfondie est consacrée à la tarification d'un gain général à l'aide de la formule Black-Scholes et d'une évaluation neutre au risque. Un portefeuille de réplication, composé d'une obligation et d'un certain nombre d'actions, est introduit comme moyen de répliquer la performance du dérivé à l'échéance, quelles que soient les probabilités réelles. La vidéo présente le concept de mesure neutre au risque ou mesure de martingale, qui existe indépendamment du monde réel et joue un rôle fondamental dans la tarification des produits dérivés. La dynamique du stock sous-jacent et l'importance de l'écart-type du mouvement brownien sont également discutées, la formule de Black-Scholes étant présentée comme une extension de la règle de Taylor.
La vidéo se penche ensuite sur la résolution de l'équation aux dérivées partielles du modèle Black-Scholes, qui relie le prix actuel des dérivés à sa stratégie de couverture et s'applique à tous les dérivés négociables basés sur la volatilité des actions. Les coefficients de réplication du portefeuille sont déterminés à tout moment, permettant la réplication parfaite de la performance d'un dérivé par l'achat d'actions et de liquidités. Cette couverture ne comporte aucun risque, permettant aux commerçants de percevoir une commission sur la transaction.
En outre, le conférencier explique comment l'équation de Black-Scholes peut être transformée en une équation de la chaleur, facilitant l'utilisation de méthodes numériques pour évaluer les dérivés avec des paiements ou des dynamiques complexes. La vidéo met en évidence l'importance d'aborder le problème d'un point de vue neutre au risque pour déterminer le prix du dérivé comme la valeur attendue du paiement actualisée par la probabilité neutre au risque à l'échéance. L'importance de la mesure neutre au risque, où la dérive du titre est égale au taux d'intérêt, est soulignée à travers un exemple binaire.
Pour les gains dérivés plus compliqués, tels que les gains américains, des simulations de Monte Carlo ou des méthodes de différences finies doivent être utilisées. La vidéo souligne la nécessité de ces approches lorsque l'hypothèse de volatilité constante, telle que supposée dans la formule Black-Scholes, n'est pas vraie dans les scénarios du monde réel.
La vidéo présente le concept de co-put parity, qui établit une relation entre le prix d'un call et le prix d'un put avec le même prix d'exercice. En construisant un portefeuille de réplication composé d'un appel, d'une vente et d'actions, les investisseurs peuvent garantir un paiement spécifique à la fin. L'orateur démontre en outre comment la parité Co-put peut être utilisée pour fixer le prix des contrats numériques, qui ont des paiements binaires selon que l'action se termine au-dessus ou en dessous du prix d'exercice. Ceci peut être réalisé en tirant parti de l'idée d'un portefeuille de réplication et des prix des appels.
Dans la section suivante, l'orateur développe la réplication de portefeuilles comme moyen de couvrir des dérivés complexes. À travers un exemple impliquant l'achat d'un appel avec un prix d'exercice K moins 1/2 et la vente d'un appel avec un prix d'exercice K plus 1/2, combinés pour créer un paiement, l'orateur montre comment ce paiement peut être amélioré en vendant à K moins 1/4 et K plus 1/4, résultant en un paiement avec la moitié de la pente. La vidéo met en évidence l'utilisation de petits epsilon, l'achat et la vente de plusieurs contrats, et la mise à l'échelle à un ratio de 2:1 pour se rapprocher du prix numérique. L'orateur explique comment la prise de dérivés du prix du Co par grève entraîne une rampe et donne un aperçu des pratiques réelles utilisées pour minimiser les risques.
Dans l'ensemble, cette vidéo fournit une couverture complète de la tarification neutre au risque, y compris la formule Black-Scholes, la parité Co-put et la réplication des portefeuilles. Il offre des informations précieuses sur la tarification et la couverture des dérivés complexes, tout en reconnaissant la nécessité de techniques plus avancées dans certains scénarios. En comprenant ces concepts, les individus peuvent acquérir une compréhension plus approfondie de la gestion des risques et de ses applications dans le domaine financier.
20. Prix de l'option et dualité de probabilité
20. Prix de l'option et dualité de probabilité
Dans cette section, le Dr Stephen Blythe se penche sur la relation entre les prix des options et les distributions de probabilité, mettant en lumière la formule de réplication de tout produit dérivé avec une fonction de paiement donnée. Il souligne que les options d'achat sont fondamentales et peuvent être utilisées pour reproduire n'importe quelle fonction continue, ce qui les rend essentielles dans le domaine financier. Blythe explore également les limites de l'utilisation des options d'achat seules pour déterminer le processus stochastique sous-jacent d'un cours d'action, suggérant que des bases alternatives de fonctions capables de couvrir des fonctions continues peuvent également être utilisées.
La vidéo prend une brève pause pendant que le Dr Blythe partage une anecdote historique intrigante liée aux Cambridge Mathematics Tripos. Cet examen, qui a testé les connaissances mathématiques de personnalités notables telles que Lord Kelvin, John Maynard Keynes et Karl Pearson, a joué un rôle important dans la formation du domaine des mathématiques appliquées.
Revenant au sujet principal, le Dr Blythe introduit le concept de prix d'option et de dualité de probabilité, soulignant la dualité naturelle entre ces deux aspects. Il explique que les produits dérivés compliqués peuvent être compris comme des distributions de probabilités et qu'en basculant entre les prix des options, les probabilités et les distributions, ils peuvent être discutés de manière plus accessible.
La vidéo poursuit avec l'introduction de la notation des prix des options et l'explication de la fonction de paiement d'une option d'achat. Le Dr Blythe construit un portefeuille composé de deux appels et utilise des limites pour trouver la dérivée partielle du prix de l'appel par rapport au prix d'exercice. Il introduit également le concept d'un écart d'appel, qui représente l'écart entre deux appels avec une fonction de paiement spécifique.
Le Dr Blythe se penche ensuite sur la dualité entre les prix des options et les probabilités, en se concentrant sur le théorème fondamental de l'évaluation des actifs (FTAP). Il explique que les prix des options sont les valeurs attendues des paiements futurs actualisés au présent, et que le paiement d'une option numérique est lié à la probabilité que le cours de l'action soit supérieur à un certain niveau à l'échéance. À l'aide de calculs, il démontre que la limite de l'écart d'appel tend vers l'option numérique et que le prix de l'option numérique est égal à la dérivée partielle du prix d'appel par rapport au prix d'exercice. L'orateur insiste sur la distinction théorique entre le prix d'exercice supérieur ou supérieur ou égal à, notant que cette distinction n'a aucune signification pratique.
Ensuite, l'orateur se penche sur le lien entre les prix des options et la probabilité en introduisant le théorème fondamental de l'évaluation des actifs. Ce théorème établit que le rapport de prix d'un dérivé à une obligation à coupon zéro est une martingale par rapport au cours de l'action sous la distribution neutre au risque. Le Dr Blythe explique comment ce théorème permet de passer de la densité de probabilité au prix de n'importe quel dérivé, permettant une analyse plus approfondie de la relation entre la probabilité et le prix des options.
La vidéo se poursuit pour discuter d'une méthode d'accès à la fonction de densité à travers un portefeuille d'options, en utilisant spécifiquement la stratégie d'appel papillon. Le Dr Blythe explique qu'un écart papillon d'appel, construit en mettant à l'échelle de manière appropriée la différence entre deux écarts d'appel, peut approximer la dérivée seconde nécessaire pour obtenir la fonction de densité. Bien qu'il ne soit pas possible de devenir infiniment petit dans le monde réel, le trading de papillons d'appel avec des prix d'exercice spécifiques fournit une approximation raisonnable de la probabilité que l'actif sous-jacent se situe dans un intervalle particulier.
S'appuyant sur cette idée, le Dr Blythe explique comment le portefeuille de propagation papillon peut être utilisé pour accéder à la dérivée seconde et obtenir la fonction de densité. En prenant des limites appropriées de la propagation papillon, il arrive à la fonction de densité f(x), qui sert de mesure de probabilité indépendante du modèle pour la variable aléatoire sous-jacente à maturité. Cette mesure de probabilité permet aux individus d'évaluer s'ils sont d'accord avec la probabilité impliquée par le prix du papillon et de prendre des décisions d'investissement éclairées. Le Dr Blythe souligne que ces relations sont indépendantes du modèle et qu'elles sont valables quel que soit le modèle spécifique utilisé pour la tarification des options.
Dans la section suivante, le Dr Stephen Blythe, chargé de cours en finance quantitative, élabore sur la relation entre les prix des options et les distributions de probabilité. Il explique que la distribution de probabilité d'un titre à un moment donné est conditionnée par son prix à l'instant présent, et la condition martingale est par rapport au même prix. Le Dr Blythe prend ensuite un moment pour partager une information historique intéressante sur le diplôme de Cambridge Mathematics, qui a joué un rôle central dans l'élaboration du programme des concentrateurs de mathématiques appliquées.
Pour aller de l'avant, l'orateur se penche sur le théorème fondamental des prix des actifs (FTAP). Ce théorème stipule que le ratio prix/zéro-coupon-obligation est une martingale par rapport au cours de l'action sous la distribution neutre au risque. Il fournit un cadre pour passer de la densité de probabilité au prix de tout dérivé. Le Dr Blythe souligne que la densité peut également être dérivée des prix des appels, et ces deux routes sont interconnectées par le théorème fondamental, permettant une analyse plus approfondie de la relation entre la probabilité et la tarification des options.
Dans la section suivante, le Dr Blythe explique que les prix de toutes les options d'achat pour divers prix d'exercice jouent un rôle crucial dans la détermination du paiement pour une fonction dérivée donnée. Les options d'achat couvrent tous les prix des dérivés et sont considérées comme des prix européens des dérivés. L'orateur souligne qu'une fonction dérivée peut être reproduite en construisant un portefeuille d'options d'achat, et si le paiement du dérivé correspond à une combinaison linéaire d'options d'achat à l'échéance, elles auront la même valeur aujourd'hui. Ce concept est sous-tendu par l'hypothèse fondamentale de la finance, connue sous le nom de non-arbitrage, qui stipule que si deux choses valent la même valeur dans le futur, elles devraient avoir la même valeur aujourd'hui. Cependant, le Dr Blythe reconnaît que cette hypothèse a été remise en question en finance depuis la crise financière de 2008.
Poursuivant la discussion, la vidéo présente une question économique stimulante sur les marchés financiers et l'arbitrage. Lorsque l'échéance (capital T) est fixée loin dans le long terme, il est possible que les prix de l'option et du portefeuille de réplication divergent si l'arbitrage échoue. Cela peut entraîner une différence substantielle entre les deux options. Des preuves empiriques ont montré que les prix ont effectivement dévié les uns des autres. Le Dr Blythe mentionne que les investisseurs à long terme, tels que la dotation de Harvard, se concentrent sur leurs rendements annuels et sur cinq ans au lieu d'exploiter l'écart de prix sur une période de 10 ans. Il introduit ensuite une théorie mathématique qui affirme que toute fonction continue peut être répliquée par des appels sans exception, à la limite.
L'orateur discute ensuite de la formule de réplication d'un produit dérivé arbitraire avec une fonction de paiement donnée, notée g(x) ou g(S) à l'échéance. La formule fournit des instructions explicites sur la réplication du dérivé à l'aide de g (0) obligations à coupon zéro, g prime zéro de l'action et une combinaison linéaire d'options d'achat. Le Dr Blythe soutient cette formule en utilisant des valeurs attendues et met l'accent sur la dualité entre les prix des options et les probabilités, soulignant l'importance des options d'achat en tant qu'information fondamentale qui couvre tout le spectre. La formule pose également des questions intrigantes qui méritent une exploration plus approfondie.
Abordant un aspect important, le Dr Blythe explore s'il est possible de déterminer le processus stochastique du cours d'une action sur une période donnée en connaissant tous les prix des options d'achat pour différentes échéances et différents prix. Il soutient que la réponse est non, car le cours de l'action peut fluctuer instantanément sur un petit intervalle de temps, sans aucune contrainte sur la continuité du processus ni limitation mathématique. Cependant, si le stock suit un processus de diffusion, il devient possible de déterminer le processus, résultant en une solution élégante et pratique. En réalité, on ne peut connaître qu'un sous-ensemble fini d'options d'achat, ce qui souligne davantage les limites de la détermination complète du processus stochastique sous-jacent uniquement sur la base des prix des options d'achat.
Le Dr Blythe poursuit en expliquant que même avec l'accès à un grand nombre de prix d'options d'achat européennes, il peut toujours y avoir des produits dérivés complexes ou non standard dont les prix ne peuvent pas être déterminés de manière unique en ne connaissant que ces options. Il souligne que l'ensemble des options d'achat ne fournit pas à lui seul des informations complètes sur le processus stochastique sous-jacent, même si toutes les options d'achat sont connues. Pour surmonter cette limitation, le Dr Blythe suggère d'envisager des bases alternatives pour la durée de tous les paiements possibles. Il note que n'importe quel ensemble arbitraire de fonctions capables de couvrir une fonction continue peut être utilisé, bien que l'utilisation d'options d'appel offre souvent l'approche la plus élégante.
Poursuivant la discussion, le Dr Blythe élucide la relation entre les prix des options d'achat et les distributions terminales. Il affirme que la distribution des terminaux peut être uniquement déterminée par les prix des options d'achat. En considérant le rapport de Z sur thêta, une densité neutre au risque particulière pour chaque stock peut être obtenue. Cela met en évidence l'interdépendance entre les prix des options d'achat et la densité du cours de l'action sous-jacente à l'échéance, fournissant des informations précieuses sur les mesures de probabilité indépendantes du modèle.
Alors que la section tire à sa fin, le Dr Blythe réitère l'importance de comprendre les liens entre les prix des options et les distributions de probabilité en finance. Ces informations permettent aux analystes et aux traders de porter des jugements éclairés sur les probabilités implicites reflétées dans les prix des options et d'ajuster leurs décisions d'investissement en conséquence. Le Dr Blythe souligne que ces relations restent vraies quel que soit le modèle spécifique utilisé pour la tarification des options, soulignant davantage leur importance dans la finance quantitative.
En résumé, la présentation du Dr Stephen Blythe explore la relation complexe entre les prix des options et les distributions de probabilité. Il discute de l'essor de l'ingénierie financière et du cheminement de carrière des analystes quantitatifs, qui a été influencé par l'annulation du super collisionneur supraconducteur. Le Dr Blythe introduit le concept de prix d'option et de dualité de probabilité, en mettant l'accent sur la dualité naturelle entre les prix d'option et les distributions de probabilité. Il explore le théorème fondamental de l'évaluation des actifs et ses implications pour comprendre les prix des options et les approches probabilistes en finance. Le Dr Blythe fournit des exemples d'utilisation de spreads papillon et d'autres objets de trading pour accéder aux fonctions de densité et porter des jugements sur les probabilités implicites. La présentation comprend également des anecdotes historiques sur les Cambridge Mathematics Tripos, mettant en valeur l'implication de mathématiciens notables dans la finance. À travers ces discussions, le Dr Blythe met en lumière les liens profonds entre les prix des options, les probabilités et les principes fondamentaux de la tarification des actifs.
21. Équations différentielles stochastiques
21. Équations différentielles stochastiques
Cette vidéo fournit une exploration approfondie de diverses méthodes de résolution d'équations différentielles stochastiques (SDE). Le professeur commence par souligner le défi de trouver un processus stochastique qui satisfait une équation donnée. Cependant, ils rassurent le public sur le fait que, sous certaines conditions techniques, il existe une solution unique avec des conditions initiales spécifiées. Le conférencier présente la méthode des différences finies, la simulation de Monte Carlo et la méthode des arbres comme approches efficaces pour résoudre les SDE.
Le professeur se penche sur les conditions techniques nécessaires à la résolution des SDE et souligne que ces conditions sont généralement remplies, ce qui facilite la recherche de solutions. Ils présentent un exemple pratique de résolution d'un SDE simple en utilisant une forme exponentielle et en appliquant une approche de devinette avec des formules pertinentes. De plus, l'orateur illustre comment analyser les composants d'un SDE pour revenir en arrière et trouver la fonction correspondante. Ils présentent le processus d'Ornstein-Uhlenbeck comme un exemple de processus stochastique de retour à la moyenne, mettant en lumière ses termes de dérive et de bruit.
Passant aux méthodes de résolution spécifiques, le professeur explique comment la méthode des différences finies, couramment utilisée pour les équations aux dérivées ordinaires et partielles, peut être adaptée pour aborder les SDE. Ils décrivent le processus de décomposition de la SDE en petits intervalles et d'approximation de la solution à l'aide de la formule de Taylor. Le conférencier discute également des défis posés par l'incertitude inhérente au mouvement brownien dans la méthode des différences finies et présente une solution impliquant un chemin de mouvement brownien à échantillon fixe.
Ensuite, l'enseignant explore la méthode de simulation de Monte Carlo pour résoudre les SDE. Ils soulignent la nécessité de tirer de nombreux échantillons d'une distribution de probabilité, permettant de calculer X(0) pour chaque échantillon et d'obtenir une distribution de probabilité pour X(1). L'orateur note que contrairement à la méthode des différences finies, la simulation de Monte Carlo peut être utilisée une fois que le mouvement brownien a été fixé.
La méthode de l'arbre est présentée comme une autre approche de solution numérique pour les SDE, impliquant l'utilisation de marches aléatoires simples comme approximations pour tirer des échantillons de mouvements browniens. En calculant des valeurs de fonction sur une distribution de probabilité, une distribution approximative du mouvement brownien peut être réalisée. L'enseignant souligne l'importance de choisir une taille de pas appropriée (h) pour équilibrer la précision et le temps de calcul, car la qualité de l'approximation se détériore avec des tailles de pas plus petites.
Pendant le cours, le professeur et les étudiants s'engagent dans des discussions concernant les méthodes numériques de résolution des SDE, en se concentrant particulièrement sur les méthodes d'arbres pour les dérivées dépendantes du chemin. L'équation de la chaleur est également mentionnée, qui modélise la distribution de la chaleur dans le temps dans une barre infinie isolée. L'équation de la chaleur a une solution de forme fermée et est bien comprise, fournissant des informations précieuses sur la résolution des SDE. Sa relation avec la distribution normale est explorée, soulignant comment la distribution de la chaleur correspond à une multitude de mouvements browniens simultanés.
La vidéo se termine avec le professeur résumant les sujets abordés et mentionnant que le projet final consiste à effectuer les détails de la résolution des SDE. L'orateur indique également que les conférences à venir se concentreront sur les applications pratiques du matériel présenté jusqu'à présent, enrichissant davantage la compréhension des SDE dans des scénarios du monde réel.
23. Couverture de crédit Quanto
23. Couverture de crédit Quanto
Dans cette conférence complète, le professeur Stefan Andreev, un expert renommé de Morgan Stanley, plonge dans le monde fascinant de la tarification et de la couverture d'instruments financiers complexes dans les domaines du change, des taux d'intérêt et du crédit. La discussion porte principalement sur le concept de couverture de crédit, qui consiste à atténuer les risques associés à l'exposition au crédit.
Le professeur Andreev commence par élucider le processus de reproduction du gain d'un produit financier complexe en utilisant les prix connus d'autres instruments et en employant des techniques mathématiques sophistiquées pour dériver le prix du produit complexe. Il souligne l'importance d'incorporer des processus de saut, qui sont des phénomènes stochastiques qui capturent des mouvements de prix soudains et significatifs, pour décrire efficacement le comportement des prix liés aux défauts souverains sur les marchés émergents. Un exemple notable exploré est l'impact de la situation de défaut de la Grèce sur l'euro.
La conférence se penche sur divers aspects de la tarification théorique des obligations, en considérant des modèles mathématiques qui facilitent la couverture contre les défauts et les contrats de change (FX). Le modèle de crédit de base introduit implique l'utilisation de processus de Poisson caractérisés par un taux d'intensité, noté « h », et un terme compensateur pour obtenir une condition de non-arbitrage constante. Ce modèle fournit un cadre pour analyser et évaluer les obligations tout en tenant compte des risques de crédit.
La vidéo se penche également sur la stratégie Quanto Credit Hedging, qui consiste à utiliser un portefeuille composé à la fois d'obligations en dollars et en euros pour couvrir le risque de crédit. La valorisation de ces obligations repose sur des facteurs tels que le taux de change et le gain attendu. La stratégie nécessite un rééquilibrage dynamique au fil du temps en raison des changements dans la probabilité de défaut et de la taille des sauts. En outre, la conférence explore l'extension du modèle pour incorporer des recouvrements non nuls, ce qui améliore les capacités de tarification et de couverture des contrats conditionnels de crédit et des swaps sur défaillance de crédit libellés en devises étrangères.
L'orateur reconnaît les complexités qui surviennent lors de l'utilisation du lemme d'Ito, un outil mathématique pour gérer les équations différentielles stochastiques, en particulier dans les scénarios impliquant à la fois des processus de diffusion et de saut. Des simulations de Monte Carlo sont suggérées comme moyen de vérifier l'exactitude des résultats dérivés. On note que les modèles réels sont plus complexes, incorporant souvent des taux d'intérêt stochastiques et des taux de risque qui peuvent être corrélés avec d'autres facteurs comme le change. La conférence met en évidence l'existence d'une large gamme de modèles conçus pour divers marchés, la complexité et la rapidité requise déterminant leur adéquation.
L'estimation des taux de risque (h) et des tailles de saut (J) est discutée, le conférencier expliquant comment les prix des obligations peuvent être utilisés pour estimer ces paramètres. Les estimations de recouvrement après défaut sont explorées, les conventions fixant généralement des taux fixes à 25 % pour les nations souveraines et à 40 % pour les entreprises. Cependant, les taux de récupération peuvent varier considérablement en fonction des circonstances spécifiques. Les investisseurs font généralement des hypothèses sur les taux de récupération, et l'estimation peut être influencée par des facteurs macroéconomiques. La conférence se termine en abordant l'estimation des courbes de risque à l'aide des prix des obligations de référence et en reproduisant les processus pour estimer les prix dans des scénarios impliquant plusieurs devises.
Tout au long de la conférence, le professeur Andreev fournit de nombreux exemples, équations et idées pour approfondir la compréhension de l'auditoire sur la tarification et la couverture de produits financiers complexes. Les sujets abordés vont de l'analyse statistique et des prédictions aux subtilités de divers modèles mathématiques, fournissant finalement des connaissances précieuses aux personnes intéressées par ce domaine.
Le professeur Stefan Andreev présente le concept de tarification des obligations à l'aide de modèles mathématiques et l'importance de la couverture contre les défaillances et les fluctuations des taux de change. Il démontre le processus à travers des exemples et souligne la nécessité d'une estimation précise des taux de risque et des taux de récupération.
La conférence explore la stratégie Quanto Credit Hedging, qui consiste à construire un portefeuille d'obligations en dollars et en euros pour se couvrir contre le risque de crédit. La valeur des obligations est déterminée en tenant compte du taux de change et du gain attendu. Le modèle prend en compte la probabilité de défaut et la taille du saut, nécessitant un rééquilibrage dynamique du portefeuille au fil du temps.
La vidéo se penche sur la dérivation des prix des obligations en dollars et en euros pour la stratégie Quanto Credit Hedging. L'orateur explique les calculs nécessaires pour déterminer la probabilité que tau soit supérieur à T ou inférieur à T et la valeur attendue de S_T. En analysant les ratios des notionnels des deux obligations, une stratégie de portefeuille couverte est proposée.
Le conférencier étend encore le modèle de couverture de crédit Quanto pour incorporer des recouvrements non nuls. Cette extension permet aux traders de fixer le prix des contrats contingents de crédit et des swaps sur défaillance de crédit libellés en devises étrangères, fournissant des ratios de couverture plus précis. Bien que l'étalonnage devienne plus difficile avec le modèle étendu, le professeur Andreev souligne son importance dans la compréhension des modèles mathématiques complexes.
La vidéo traite également des complications qui surviennent lors de l'utilisation du lemme d'Ito pour tenir compte à la fois des processus de diffusion et de saut. Le conférencier suggère d'utiliser des simulations de Monte Carlo pour valider l'exactitude des résultats obtenus à partir des calculs. Les modèles de la vie réelle sont reconnus comme plus complexes, incorporant souvent des taux d'intérêt stochastiques et des taux de risque corrélés à d'autres facteurs tels que les taux de change.
En outre, la conférence souligne que les estimations de recouvrement en cas de défaut varient et sont généralement fixées à des conventions telles que 25 % pour les nations souveraines et 40 % pour les entreprises. Cependant, ces valeurs ne sont pas fixes et peuvent différer selon la société spécifique. L'estimation des taux de récupération implique la prise en compte de facteurs macroéconomiques, même si cela reste un concept subjectif où les investisseurs se fient généralement à des hypothèses.
Pour estimer les taux de risque (h) et J, le professeur Andreev explique l'utilisation des prix des obligations. En prenant des obligations de référence avec des prix connus, des courbes de risque peuvent être construites. La réplication de ces obligations de référence permet d'estimer la valeur h pour chaque prix d'obligation. Lorsque plusieurs devises sont impliquées, le processus devient plus complexe, nécessitant la réplication de plusieurs processus pour estimer les prix. Dans le cas d'obligations payant des coupons, tous les paiements de coupons doivent être pris en compte et leurs attentes calculées.
Dans l'ensemble, la conférence du professeur Stefan Andreev fournit des informations précieuses sur la tarification et la couverture de produits complexes en matière de change, de taux d'intérêt et de crédit. Grâce à des explications détaillées, des exemples et des modèles mathématiques, il met en lumière les subtilités de la couverture du crédit, la tarification des obligations et l'estimation des taux de risque et des recouvrements.
24. Modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit
24. Modèle HJM pour les taux d'intérêt et le crédit
Dans cette section, Denis Gorokhov, expert financier chez Morgan Stanley, discute du modèle HJM (Heath-Jarrow-Morton) et de son application dans la tarification et la couverture des produits financiers exotiques, y compris les dérivés de crédit et les double range accruals. Le modèle HJM est un cadre puissant utilisé par les grandes banques comme Morgan Stanley et Goldman Sachs pour négocier efficacement divers types de dérivés exotiques et répondre aux demandes des clients.
Gorokhov compare le modèle HJM à la physique théorique, soulignant qu'il offre à la fois des modèles solubles et des problèmes complexes. Il permet aux banques d'évaluer avec précision numériquement une large gamme de produits dérivés exotiques. Il met l'accent sur la volatilité et le caractère aléatoire des marchés et sur la manière dont ils peuvent avoir un impact sur les traders de produits dérivés qui ont besoin de stratégies de couverture efficaces.
La conférence introduit le concept de démarrage d'un modèle d'évaluation dérivé à partir d'un processus stochastique et utilise la dynamique log-normale comme modèle fondamental pour les mouvements des prix des actions. Le modèle intègre une composante déterministe appelée dérive et une composante aléatoire appelée diffusion, qui capture l'impact du caractère aléatoire sur les cours des actions. À l'aide de ce modèle, la formule de Black-Scholes peut être dérivée, permettant le calcul de la distribution de probabilité pour l'action à un moment donné et permettant la tarification des dérivés avec un gain dépendant du cours de l'action.
Le modèle HJM est ensuite discuté spécifiquement dans le contexte des taux d'intérêt et du crédit. Le conférencier explique la dynamique des taux d'intérêt comme un processus log-normal, garantissant que les cours des actions ne peuvent pas être négatifs. Le lemme d'Ito, pierre angulaire de la théorie des prix dérivés dans le modèle HJM, est présenté et sa dérivation est expliquée. Le lemme d'Ito aide à différencier la fonction d'une variable stochastique, facilitant la modélisation et la tarification des dérivés.
La fonction de Green de l'équation utilisée dans le modèle HJM est mise en évidence comme étant similaire à la fonction de distribution de probabilité pour les cours boursiers. Dans l'espace neutre au risque, où la dérive de tous les actifs est le taux d'intérêt, la couverture dynamique devient cruciale, seul le paramètre de volatilité affectant le prix des options. Les simulations de Monte Carlo sont utilisées pour simuler les cours des actions et d'autres variables financières, permettant le calcul des prix des dérivés. Cette méthode de simulation est un outil puissant qui s'applique à divers domaines de la finance.
La conférence approfondit également le concept de facteurs d'actualisation et leur importance en finance. Les taux à terme, qui servent de paramétrage pratique pour les facteurs d'actualisation non croissants, sont expliqués. La courbe des taux, représentant la relation entre les différentes échéances et les taux d'intérêt associés, est discutée. En règle générale, la courbe de rendement a une pente ascendante, ce qui indique des taux d'intérêt plus élevés pour les emprunts à plus long terme.
Le marché des swaps est introduit en tant que fournisseur de valeurs de paiement fixes pour différentes échéances. En additionnant ces paiements, le taux de swap peut être déterminé. Ce taux aide à comprendre la valeur actuelle des paiements futurs ou la valeur d'investir aujourd'hui pour couvrir les futurs paiements à taux fixe.
En conclusion, la conférence souligne l'importance de la tarification neutre au risque dans l'évaluation de la valeur des dérivés exotiques et des titres émis par les grandes banques. Il met en évidence le rôle du modèle HJM, des simulations de Monte Carlo et de la compréhension des facteurs de taux d'intérêt, de crédit et d'actualisation dans la tarification et la couverture de ces instruments financiers complexes.
25. Théorème de récupération de Ross
25. Théorème de récupération de Ross
Dans cette vidéo, Peter Carr plonge dans le théorème de récupération de Ross et son application pour extraire les croyances du marché à partir des prix du marché. Le théorème introduit trois mesures de probabilité : physique, neutre au risque et la mesure de probabilité récupérée nouvellement introduite. Ces mesures permettent d'identifier les probabilités naturelles associées à des événements futurs sur la base des prix de marché des dérivés.
Carr commence par expliquer le concept des titres Arrow-Debreu, qui sont des options numériques qui paient en fonction d'un niveau de prix prédéterminé d'un actif sous-jacent. Il se penche sur l'estimation des prix de ces titres et options binaires. L'accent est ensuite mis sur le changement de technique de numéraire dans un cadre de diffusion univariée, qui est utilisé pour dériver des résultats basés sur le théorème de récupération de Ross.
L'orateur insiste sur les hypothèses qui facilitent l'extraction des croyances du marché à partir des prix du marché. Il souligne la réussite de Ross dans l'identification de ces croyances sans s'appuyer sur des hypothèses supplémentaires, mettant en valeur la puissance du théorème de récupération. En explorant le concept de portefeuilles numéraires, Carr explique la relation entre le portefeuille optimal de croissance et le taux de croissance réel.
La vidéo aborde en outre le critère de Kelly, les options exotiques et vanille, et le lien entre les options numériques et les croyances du marché. Il aborde les défis rencontrés lors de l'extension de la théorie à des espaces d'états illimités et les diverses hypothèses formulées tout au long de la discussion.
Carr conclut en examinant en détail le théorème de récupération de Ross, en mettant l'accent sur son approche non paramétrique pour déterminer les croyances du marché sans exiger de paramètres spécifiques pour l'aversion au risque du marché. Il met l'accent sur la capacité de Ross à extraire les croyances du marché à partir des prix du marché sans invoquer d'hypothèses sur les investisseurs représentatifs ou leurs fonctions d'utilité.
Dans l'ensemble, cette vidéo fournit une exploration complète du théorème de récupération de Ross, de ses applications et des hypothèses sous-jacentes à sa méthodologie. Les explications de Carr offrent des informations précieuses sur la théorie et ses implications pratiques dans l'extraction des croyances du marché à partir des prix du marché.
26. Introduction au risque de crédit de contrepartie
26. Introduction au risque de crédit de contrepartie
Cette vidéo complète fournit une exploration approfondie du risque de crédit de contrepartie (CCR) et de l'ajustement de la valeur de crédit (CVA) et de leur importance dans la tarification des dérivés. L'orateur insiste sur l'inclusion de la CVA dans la tarification des produits dérivés, car elle affecte non seulement les valeurs de marché, mais introduit également un effet de portefeuille qui varie en fonction du risque de défaut. La tarification précise de la CVA est soulignée, en mettant l'accent sur les effets de portefeuille non linéaires et les complexités découlant des asymétries des créances et des passifs. Les stratégies de gestion du CCR, telles que la constitution de garanties et la modélisation des produits dérivés au niveau de l'entreprise, sont examinées comme des moyens de faire face à des risques supplémentaires non pris en compte par les modèles au niveau commercial. La vidéo aborde également les défis de la modélisation des portefeuilles en raison des exigences méthodologiques variables et de l'impact du CCR sur le marché au comptant.
Pour approfondir le contenu, la vidéo présente une série de sujets liés à la modélisation du risque de crédit de contrepartie. Ceux-ci incluent le modèle de Schönbucher, les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation, soulignant la nécessité de modèles au niveau de l'entreprise pour gérer les effets de portefeuille non linéaires et compléter les modèles au niveau du commerce. L'orateur explique comment trouver la mesure de martingale d'un coupon par CDS ou d'un taux par CDS à terme, ainsi que l'importance du test, du rééchantillonnage et de l'interpolation de la martingale pour s'assurer que les conditions de la martingale sont remplies. Le concept de modification de la mesure de probabilité ou du numéraire pour modéliser de manière cohérente l'ensemble de la courbe de rendement est exploré, accompagné de formules pratiques et de leur mise en œuvre. La vidéo conclut en reconnaissant la complexité de la modélisation d'un portefeuille de métiers et en suggérant des sujets de recherche potentiels pour une étude plus approfondie.
En outre, la vidéo aborde l'importance du CCR dans le commerce des dérivés de gré à gré, soulignant que les événements de défaut peuvent entraîner la perte des créances attendues. Le CVA est introduit comme un moyen d'ajuster le prix du marché en tenant compte du risque de crédit de contrepartie, similaire au risque d'une obligation d'entreprise. L'impact du CCR sur les besoins en capital, l'évaluation et le rendement des capitaux propres est discuté, ainsi qu'un exemple montrant comment l'évaluation d'une transaction peut passer de gains apparents à des pertes lorsque la contrepartie fait défaut. Diverses catégories de risques, telles que le risque de taux d'intérêt et le risque de financement de liquidité, sont examinées, et les stratégies de gestion du CCR, telles que CVA et CV Trading, sont mises en évidence.
En outre, la vidéo présente le concept de responsabilité CVA, qui se concentre sur le côté payable et la probabilité de défaillance de la banque ou de l'expert. Il souligne l'importance d'une tarification précise de la CVA en comprenant toutes les transactions impliquées, y compris leurs gains non linéaires de type option. Les défis posés par le risque de crédit de contrepartie et le risque de financement de liquidité sont illustrés par le scénario de vente d'options de vente, la transaction de Warren Buffett servant d'étude de cas. La vidéo traite également de la gestion du CCR, de l'exploration de l'utilisation des billets liés au crédit et de l'impact sur les écarts de crédit et l'émission d'obligations. En outre, il se penche sur les difficultés associées à la modélisation du risque de crédit de contrepartie et les implications pour le marché au comptant, mettant en évidence la garantie comme alternative et suggérant l'achat d'une protection de crédit garantie auprès des concessionnaires comme stratégie possible. La modélisation des produits dérivés au niveau de l'entreprise est soulignée comme un aspect crucial de la compréhension du risque de crédit de contrepartie.
En outre, les limites des modèles de produits dérivés au niveau commercial sont discutées, soulignant la nécessité pour les modèles au niveau de l'entreprise de saisir des risques supplémentaires, tels que les risques de portefeuille non linéaires. Les complexités impliquées dans la modélisation des portefeuilles sont expliquées, y compris les variations dans les exigences méthodologiques pour chaque métier. La simulation, le test de martingale et le rééchantillonnage sont introduits en tant que techniques pour traiter les inexactitudes numériques et s'assurer que les conditions de martingale sont respectées. L'orateur explore également les taux de swap à terme, les taux de change à terme et leur relation avec les martingales sous des mesures spécifiques et des actifs numéraires. Le modèle de Schönbucher est présenté, en mettant l'accent sur les mesures de survie, les mesures de martingale et les subtilités de la recherche de la mesure de martingale d'un coupon par coupon CDS ou d'un taux par CDS à terme. La vidéo explique comment la mesure de la probabilité de survie est définie à l'aide de la dérivée de Radon-Nikodym et souligne la nécessité de considérer séparément l'impact du défaut dans le modèle.
En outre, le conférencier se penche sur les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation pour la modélisation du risque de crédit de contrepartie. Le test de martingale consiste à s'assurer que les approximations numériques satisfont aux conditions de la formule du modèle. Si des divergences surviennent, un rééchantillonnage martingale est utilisé pour corriger ces erreurs. L'interpolation de martingale, d'autre part, est utilisée lorsque le modèle nécessite une structure de terme qui n'est pas explicitement disponible, ce qui permet une interpolation tout en maintenant les relations de martingale. L'orateur donne un aperçu du processus d'interpolation et de rééchantillonnage pour satisfaire les conditions de martingale pour chaque point de structure de terme.
La vidéo met l'accent sur l'importance des variables indépendantes appropriées pour l'interpolation, car elle garantit que la quantité interpolée satisfait automatiquement toutes les conditions de la cible martingale. L'identification de la mesure de martingale est expliquée, le LIBOR à terme servant de martingale dans sa mesure à terme. L'orateur note l'importance de changer la mesure de probabilité ou le numéraire pour modéliser de manière cohérente l'ensemble de la courbe de rendement, grâce à un simple changement de numéraire.
De plus, l'importance des modèles au niveau de l'entreprise est mise en évidence dans la gestion des effets de portefeuille non linéaires et l'exploitation des modèles au niveau du commerce pour les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation. Ces modèles sont cruciaux pour gérer efficacement le risque de crédit de contrepartie, ainsi que les risques liés à la liquidité de financement et au capital. L'orateur reconnaît les contraintes de temps mais renvoie les téléspectateurs intéressés à la page 22 des diapositives pour un exemple supplémentaire. Les professeurs concluent la conférence en exprimant leur appréciation pour le dévouement et le travail acharné des étudiants tout au long du cours, tout en s'offrant comme ressource pour de futures enquêtes. Ils annoncent également que le cours sera répété à l'automne prochain, avec des modifications et des améliorations potentielles, encourageant les étudiants à visiter le site Web du cours pour plus d'informations.
Dans l'ensemble, cette vidéo complète fournit une exploration détaillée du risque de crédit de contrepartie et de son impact sur la tarification des dérivés. Il couvre des concepts clés tels que CCR, CVA, les modèles au niveau de l'entreprise, les tests de martingale, le rééchantillonnage et l'interpolation. La vidéo offre des exemples pratiques et des informations sur la gestion du risque de crédit de contrepartie, en soulignant l'importance d'une tarification précise et en abordant les risques supplémentaires au-delà des modèles au niveau commercial.