Comercio Cuantitativo - página 18
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¿Cómo se relaciona la cuenta de ahorro de dinero con un bono cupón cero?
¿Cómo se relaciona la cuenta de ahorro de dinero con un bono cupón cero?
Bienvenido a la sesión de preguntas y respuestas de hoy sobre finanzas computacionales. En esta sesión, discutiremos la pregunta número dos, que se basa en el material cubierto en la lección número uno. Para una comprensión detallada, recomiendo volver a visitar la lección número uno. La pregunta de hoy se centra en la relación entre una cuenta de ahorro de dinero y un bono cupón cero, particularmente en el contexto de las tasas de interés.
Para comenzar, definamos una cuenta de ahorro de dinero. El valor temporal del dinero establece que si hoy tenemos un euro y nos interesa su valor futuro, considerando un tipo de interés simple, la cantidad que recibiremos en un año será un euro veces (1 + tipo de interés). Esta tasa de interés se expresa como un porcentaje. Este es un cálculo directo en el caso de tasas de interés deterministas.
Sin embargo, cuando introducimos tasas de interés estocásticas, la relación se vuelve más compleja e interesante. En tales casos, la diferencia entre administrar una cuenta de ahorro y un bono cupón cero se vuelve crucial. Definamos la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero para entender más claramente la diferencia.
La cuenta de ahorro de dinero (MSA) en el momento T se define como el valor inicial (que puede considerarse como uno por simplicidad) multiplicado por e^(RT), donde R representa la tasa de interés. Puede encontrar derivaciones detalladas del MSA en la lección número uno. En el caso de las tasas de interés estocásticas, la MSA se puede expresar como M(T) = M(0) * e^(∫[0 to T] R(s) ds), donde R(s) representa la tasa de interés estocástica y la integral da cuenta de la integración de la cantidad estocástica.
Ahora analicemos la definición de un bono de cupón cero. Un bono cupón cero es un contrato que paga un euro en un tiempo futuro T. El problema de fijación de precios asociado con un bono cupón cero es determinar su valor hoy. En otras palabras, queremos encontrar el valor presente del pago futuro. Este es un problema fundamental en las finanzas computacionales, ya que hoy siempre nos enfocamos en determinar el valor de los contratos para establecer su valor razonable.
En el caso de las tasas de interés estocásticas, el teorema fundamental de la fijación de precios establece que el valor de un contrato con un pago futuro en el momento T, descontado al día de hoy bajo la medida neutral al riesgo, puede expresarse como una expectativa. Específicamente, es la expectativa de la integral de tasas de interés. Esto puede verse como una extensión del concepto de MSA, donde la expectativa y el signo negativo lo diferencian del MSA. Entonces, el bono cupón cero se puede expresar como una expectativa de -∫[0 a T] R(s) ds.
Para resumir, la relación entre la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero se puede describir de la siguiente manera: M(T) = valor inicial * e^(∫[0 to T] R(s) ds) para la MSA, mientras que el bono cupón cero se define como la expectativa de -∫[0 a T] R(s) ds. En casos deterministas, la relación es más sencilla, siendo el bono cupón cero igual a 1 / M(T), donde M(T) es el valor de MSA en el momento T.
Comprender esta relación es esencial en las finanzas computacionales, especialmente cuando se trata de tasas de interés estocásticas. Desempeña un papel crucial en la ingeniería financiera y los problemas de fijación de precios. El concepto de cambio de medida, como se explica en este curso, es una herramienta poderosa que simplifica los pagos complejos y, a menudo, nos permite encontrar ecuaciones analíticas de precios. Si te interesa este tema, te recomiendo explorar el curso de ingeniería financiera disponible en este canal.
Espero que esta explicación aclare las diferencias entre la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero. La principal distinción radica en el término de expectativa, que se vuelve significativo cuando se trata de tasas de interés estocásticas. En ausencia de tipos de interés estocásticos, la relación entre la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero es más directa. En tales casos, si tenemos una tasa de interés constante, la expresión del bono cupón cero sería simplemente 1 / M(T), donde M(T) representa el valor de la cuenta de ahorro de dinero en el momento T.
Sin embargo, cuando se introducen las tasas de interés estocásticas, el término de expectativa se vuelve crucial. La integración de las tasas de interés estocásticas en el cálculo del bono cupón cero da cuenta de la incertidumbre y la variabilidad de las tasas de interés a lo largo del tiempo. Esto añade complejidad a la relación entre los dos instrumentos financieros.
Comprender la dinámica y la relación entre la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero es fundamental en el campo de las finanzas computacionales. Nos permite analizar y evaluar los valores de varios contratos financieros y determinar sus precios justos. El concepto de cambio de medida, cubierto en este curso, proporciona un marco poderoso para simplificar pagos complejos y derivar ecuaciones de precios.
En conclusión, la cuenta de ahorro de dinero y el bono cupón cero están estrechamente relacionados, pero difieren en cuanto a su formulación matemática. La cuenta de ahorro de dinero representa un valor compuesto de un monto principal a lo largo del tiempo, mientras que el bono cupón cero calcula el valor presente de un pago futuro a través de una expectativa de tasas de interés integradas. Esta distinción se vuelve más significativa e intrigante cuando se trata de tasas de interés estocásticas. Al comprender esta relación, los profesionales financieros pueden tomar decisiones informadas y navegar de manera efectiva en el mundo de las finanzas computacionales.
¿Cuáles son los desafíos en el cálculo de las volatilidades implícitas?
¿Cuáles son los desafíos en el cálculo de las volatilidades implícitas?
Bienvenido a las preguntas y respuestas basadas en el curso de finanzas computacionales. Hoy profundizaremos en la pregunta número tres, que se relaciona con los desafíos en el cálculo de las volatilidades implícitas, específicamente en el contexto del modelo de Heston.
Cuando hablamos de volatilidades implícitas, generalmente nos referimos a las volatilidades implícitas de Black-Scholes, a menos que se indique lo contrario. Por lo tanto, para el modelo de Heston, si se nos pregunta cómo derivar la volatilidad implícita, no podemos simplemente invertir la fórmula de Heston únicamente para la media a largo plazo o la varianza inicial. La volatilidad implícita en el modelo de Heston requiere un proceso de dos pasos: calcular los precios según el modelo de Heston y luego utilizar estos precios en la fórmula de Black-Scholes para la inversión para encontrar el sigma correspondiente.
El modelo de Heston introduce múltiples parámetros para la varianza, lo que agrega complejidad al cálculo. A diferencia del modelo de Black-Scholes, donde tenemos un solo parámetro, los múltiples parámetros del modelo de Heston nos impiden volver a invertir para obtener un conjunto único de parámetros.
Las volatilidades implícitas son herramientas valiosas para comparar el comportamiento y el desempeño de diferentes acciones, ya que permiten comparaciones relativas que consideran el valor actual de la acción. La volatilidad implícita incorpora incertidumbre, lo que ayuda a evaluar el riesgo y la incertidumbre asociados con las valoraciones de opciones.
El concepto de volatilidad implícita ha existido durante muchos años y se hizo evidente que el modelo Black-Scholes no era adecuado para las opciones de precios debido a su único parámetro. En la práctica, las diferentes opciones con distintos strikes y vencimientos a menudo exhiben diferentes volatilidades implícitas. Esta discrepancia sugiere que una suposición de volatilidad constante no es apropiada para valorar todas las opciones simultáneamente. Así, el reto está en encontrar las volatilidades implícitas que alineen los precios del modelo con los precios observados en el mercado.
El cálculo de las volatilidades implícitas implica invertir la fórmula de Black-Scholes, que no es una tarea trivial. Varias rutinas numéricas, como el método de Newton o el método de Brent, se utilizan comúnmente para este propósito. Estos métodos tienen como objetivo encontrar la volatilidad implícita desconocida resolviendo una ecuación que iguala el precio de Black-Scholes del modelo con el precio de mercado de la opción.
El cálculo eficiente de las volatilidades implícitas es crucial, especialmente en operaciones de alta frecuencia o al calibrar modelos con datos de mercado. La velocidad de cálculo puede afectar significativamente las estrategias comerciales o la efectividad de la calibración del modelo. Por lo tanto, es de gran importancia desarrollar rutinas numéricas rápidas y precisas para los cálculos de volatilidad implícita.
El desafío se intensifica cuando se trata de opciones fuera del dinero, donde la superficie de la opción de compra se vuelve extremadamente plana. En tales casos, los algoritmos de búsqueda iterativa pueden tener dificultades para converger o pueden requerir una gran cantidad de iteraciones para encontrar el punto óptimo debido a la falta de gradientes precisos. Por lo tanto, determinar una conjetura inicial adecuada se vuelve crucial para garantizar la eficiencia y eficacia del cálculo.
Vale la pena señalar que las volatilidades implícitas se asocian principalmente con la volatilidad implícita de Black-Scholes. Sin embargo, es posible tener volatilidades implícitas basadas en otros modelos, como el movimiento browniano aritmético o distribuciones logarítmicas normales desplazadas. En tales casos, es esencial indicar explícitamente el modelo utilizado para los cálculos.
En conclusión, calcular las volatilidades implícitas plantea desafíos relacionados con la velocidad, especialmente cuando se trata de opciones fuera del dinero. Las rutinas numéricas eficientes y la consideración cuidadosa de las conjeturas iniciales son necesarias para cálculos precisos y rápidos. Las volatilidades implícitas desempeñan un papel vital en la valoración de opciones, la evaluación de riesgos y la calibración de modelos, lo que hace que su cálculo y comprensión sean cruciales en las finanzas computacionales.
¿Puede fijar el precio de las opciones utilizando el movimiento browniano aritmético?
¿Puede fijar el precio de las opciones utilizando el movimiento browniano aritmético?
¡Bienvenido a la sesión de preguntas y respuestas del curso Computational Finance!
La pregunta de hoy es la número cuatro, que se centra en las opciones de fijación de precios utilizando el movimiento browniano aritmético. Esta pregunta se basa en los materiales discutidos en la lección número dos.
El movimiento browniano aritmético es un proceso ligeramente diferente en comparación con el movimiento browniano geométrico, que hemos visto antes. Cuando se trata de opciones de precios, como usar el modelo Black-Scholes, la principal diferencia radica en la volatilidad y la deriva. En esta versión simplificada del modelo, se ajustan el término de volatilidad y la derivada.
En un escenario de mercado, consideremos un precio de ejercicio específico (K) y un vencimiento (T). Observamos un precio de opción (C1). Según nuestro conocimiento, podemos encontrar fácilmente la volatilidad implícita para el movimiento browniano geométrico. De igual forma, en este caso, podemos encontrar una volatilidad implícita (Sigma tilde) que casa perfectamente con el precio de la opción observado en el mercado. Sin embargo, es importante tener en cuenta que los dos modelos no son equivalentes. La diferencia entre ellos se hace evidente cuando examinamos las sensibilidades, también conocidas como las griegas.
El movimiento browniano aritmético asume que las realizaciones de acciones pueden volverse negativas, lo cual no es realista. Por el contrario, el movimiento browniano geométrico asume solo trayectorias de stock positivas. Esta diferencia requiere ajustar nuestra estrategia de cobertura para tener en cuenta las realizaciones de acciones negativas, lo que hace que la suposición del movimiento browniano aritmético sea menos realista.
Si bien la comparación de precios de opciones puede proporcionar algunas ideas, no siempre es el mejor criterio para determinar si un modelo es lo suficientemente bueno. Además, los modelos de movimiento browniano tanto geométrico como aritmético no pueden calibrarse con la sonrisa o el sesgo de la volatilidad implícita. Sin embargo, en este caso específico, donde consideramos un mercado con solo una opción en particular, podemos comparar fácilmente los dos modelos y determinar cuál es más adecuado.
Se pueden hacer consideraciones similares para el proceso de OU, donde el parámetro de volatilidad (Sigma) es fijo. Sin embargo, el proceso de OU enfrenta problemas adicionales, como la deriva, que no está bien definida bajo la medida neutral al riesgo en términos de acciones divididas por cuentas de ahorro de dinero. Por lo tanto, no es un proceso viable para las opciones de fijación de precios.
Para proporcionar ejemplos visuales, he preparado algunas rutas de realización para las tres ecuaciones diferenciales estocásticas: movimiento browniano geométrico, movimiento browniano aritmético y el proceso OU. En las simulaciones, se utiliza el mismo movimiento browniano, lo que da como resultado formas y patrones similares entre las trayectorias.
En resumen, si bien es posible fijar el precio de las opciones utilizando el movimiento browniano aritmético, puede que no siempre sea el enfoque más sensato. La idoneidad de un modelo depende de si los supuestos subyacentes y la dinámica del activo reflejan las propiedades físicas del mercado. Ese es el elemento clave a considerar.
¿Cuál es la diferencia entre un proceso estocástico y una variable aleatoria?
¿Cuál es la diferencia entre un proceso estocástico y una variable aleatoria?
¡Bienvenido a la sesión de preguntas y respuestas del curso Computational Finance!
La pregunta de hoy es la número cinco, que se centra en la diferencia entre un proceso estocástico y una variable aleatoria. Esta pregunta se basa en los materiales discutidos en la lección número dos.
Un proceso estocástico es esencialmente una colección de variables aleatorias que están parametrizadas con respecto al tiempo. Formalmente, podemos representar un proceso estocástico como X(t), donde tenemos dos argumentos: tiempo (t) y Omega (Ω), que corresponde al espacio de probabilidad. Por el contrario, una variable aleatoria es un concepto más simple que no tiene esta dependencia del tiempo. Por ejemplo, si estamos lanzando una moneda y considerando los resultados de "cruz" o "cara", es una variable aleatoria. Sin embargo, si introducimos el tiempo en la ecuación y consideramos las ocurrencias de "cruces" o "caras" a lo largo del tiempo, se convierte en un proceso estocástico.
Tanto en la industria como en la academia, a menudo descuidamos el segundo argumento (Omega) cuando hablamos de procesos estocásticos. En su lugar, nos referimos al proceso como X(t) en lugar de dX(t, Ω), lo que proporcionaría una definición completa de un proceso estocástico.
También es importante comprender cómo interpretar las rutas de Monte Carlo simuladas y su conexión con el tiempo y Omega. Si graficamos los valores del proceso X(t) a lo largo del tiempo, podemos observar múltiples caminos de Monte Carlo. Cada camino representa una posible realización del proceso. Si fijamos un tiempo específico, digamos t*, y observamos la distribución de todas las realizaciones en ese punto, estamos considerando diferentes resultados (Omegas) en un momento dado. Por otro lado, podemos fijar una realización específica (Omega) y observar cómo evoluciona el proceso en el tiempo, dando como resultado un único camino. Por lo tanto, tenemos dos dimensiones a considerar: fijar el tiempo para analizar distribuciones de resultados o fijar una realización para observar el comportamiento del proceso a lo largo del tiempo.
En resumen, un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias que están parametrizadas con respecto al tiempo. Representa la evolución de un sistema a lo largo del tiempo y se puede observar a través de caminos de Monte Carlo. Una variable aleatoria, por otro lado, es un concepto más simple que no depende del tiempo. Comprender esta distinción es crucial cuando se estudian las finanzas computacionales.
¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar ABM/GBM para modelar un proceso de almacenamiento?
¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar ABM/GBM para modelar un proceso de almacenamiento?
¡Bienvenido a la sesión de Preguntas y Respuestas sobre Finanzas Computacionales!
La pregunta de hoy es la número seis, que explora las ventajas y desventajas de usar el movimiento browniano aritmético o el movimiento browniano geométrico para modelar un proceso de stock. Esta pregunta se basa en la pregunta número dos y es similar a la discutida en una sesión anterior donde se utilizó el movimiento browniano aritmético para las opciones de precios.
La diferencia entre estos dos procesos es relativamente pequeña, principalmente con respecto a si consideramos un activo que permite valores tanto positivos como negativos o si nos enfocamos solo en activos positivos como acciones. Hoy profundizaremos en los aspectos que nos ayudan a determinar si el movimiento browniano aritmético o el movimiento browniano geométrico son adecuados para valorar un derivado particular en varios escenarios.
Consideremos un caso en el que tenemos un derivado exótico que necesitamos cotizar. Este derivado es complejo y posiblemente involucre funciones de callability. Para evaluar si el movimiento browniano aritmético o geométrico es adecuado para la fijación de precios, debemos examinar ciertos factores.
La primera pregunta que debe hacerse es si el mercado de derivados exóticos en esta clase de activos es rico. Si hay otros derivados exóticos disponibles, sugiere que deberíamos considerar un modelo que permita la calibración a estos precios de mercado. Entonces podemos extrapolar el precio a la derivada de interés. Sin embargo, si el mercado no es rico, significa que podemos cotizar el derivado exótico, pero no hay derivados exóticos adicionales disponibles para la calibración.
En este último caso, pasamos al siguiente paso y comprobamos si hay opciones disponibles para este mercado. Si hay un mercado de opciones, primero debemos calibrar nuestro modelo para estas opciones, normalmente instrumentos líquidos. Esta calibración ayuda a determinar los parámetros del modelo. Una vez que tenemos los parámetros del modelo calibrado, podemos usarlos para cotizar el derivado exótico.
Si no hay opciones de compra y venta disponibles en el mercado, nos encontramos con un escenario en el que no hay instrumentos de mercado para utilizar. En tales casos, por ejemplo, un mercado sin volatilidades implícitas para call y put, podemos considerar que el modelo de Black-Scholes o movimiento browniano geométrico es adecuado para fijar el precio del derivado exótico. Sin embargo, en esta situación, es esencial tener en cuenta que la calibración del parámetro Sigma debería ser suficiente. Se podría argumentar que si carecemos de instrumentos de cobertura, como opciones de compra y venta subyacentes, para un derivado con características avanzadas como la capacidad de pago, puede que no sea recomendable negociar ese derivado. Sin embargo, desde una perspectiva puramente teórica, el movimiento browniano geométrico se puede utilizar en tales escenarios con información de mercado limitada.
Es crucial comprender que si hay más instrumentos disponibles en el mercado, como otros derivados exóticos o opciones de compra y venta, no es adecuado fijar el precio del derivado exótico utilizando el movimiento browniano geométrico. El modelo no puede calibrar suficientemente bien la sonrisa y el sesgo de la volatilidad implícita con un solo parámetro libre.
En resumen, la elección de un modelo de fijación de precios siempre se basa en el tipo de derivado que pretendemos tasar. Necesitamos considerar la disponibilidad de instrumentos de mercado para juzgar la idoneidad de un modelo. Si hay instrumentos de mercado disponibles, los modelos como el movimiento browniano geométrico o los modelos simples de Black-Scholes no son adecuados. Sin embargo, para las volatilidades implícitas de precios, el movimiento browniano geométrico sigue siendo aplicable. Pero para cotizar derivados exóticos y activos más complejos, no es la opción preferida.
En términos de ventajas y desventajas, las ventajas de estos modelos son mínimas. Permiten una representación física que considera si el mercado permite activos positivos o negativos. Sin embargo, tienen grados de libertad limitados para la calibración del modelo, lo que los hace inadecuados para fijar precios de derivados exóticos.
Espero que esta explicación aclare las ventajas y desventajas de usar el movimiento browniano aritmético o el movimiento browniano geométrico para modelar procesos de acciones y precios de derivados. ¡Hasta la próxima! Adiós.
¿Qué comprobaciones de cordura puede realizar para un proceso de stock simulado?
¿Qué comprobaciones de cordura puede realizar para un proceso de stock simulado?
Bienvenido a la sesión de Preguntas y Respuestas basada en el curso Computational Finance.
La pregunta de hoy es la número siete, que se centra en las comprobaciones de cordura que se pueden realizar para un proceso estocástico simulado. Esta pregunta se relaciona con ejercicios prácticos que implican la simulación de una ecuación diferencial estocástica discretizada con fines de fijación de precios. Es fundamental realizar ciertas comprobaciones para asegurar que la implementación es correcta y ganar confianza en la validez de los resultados.
Para abordar esta pregunta, examinemos varios pasos y comprobaciones que se pueden realizar. En primer lugar, es importante tener en cuenta la clase de activos en particular que se está simulando. Por ejemplo, si simulamos un proceso de stock, una verificación simple es evaluar si el stock descontado sigue la propiedad Martingale. La expectativa de las acciones al vencimiento, descontadas al día de hoy, debe ser igual al valor inicial de las acciones. En realidad, puede haber una ligera diferencia, que debería disminuir a medida que aumenta el número de rutas de simulación o disminuye el tamaño de la cuadrícula. Supervisar y minimizar esta diferencia puede ayudar a mejorar la precisión de la simulación.
Otro aspecto a comprobar es si se puede simplificar el derivado cuyo precio se está cotizando. Por ejemplo, si se elige una opción de compra con un precio de ejercicio de cero, esencialmente se reduce al primer cheque mencionado anteriormente. Verificar la correcta implementación del pago del derivado es crucial.
La estabilidad es otra consideración importante. Implica evaluar el impacto de aumentar el número de rutas de Monte Carlo y la estabilidad de los resultados al cambiar las semillas aleatorias. Si las simulaciones con diferentes semillas arrojan precios significativamente diferentes, indica una inestabilidad potencial en el modelo. Es posible que se necesiten ajustes como la corrección de deriva o los términos de corrección de Martingala para garantizar la estabilidad.
Además, es valioso observar cómo varían los resultados al cambiar el tamaño del paso de discretización de los intervalos de tiempo. Esto ayuda a evaluar la sensibilidad de la simulación a diferentes resoluciones de tiempo.
Una verificación crítica es si el proceso simulado puede recuperar el precio de los instrumentos de mercado. Si los parámetros del modelo están calibrados para instrumentos de mercado como opciones, es esencial comparar los precios del modelo con los precios del mercado. Si los precios difieren significativamente, sugiere que el modelo no está funcionando bien y puede requerir ajustes o calibración adicional.
Estas son algunas de las comprobaciones de cordura básicas que se pueden realizar para procesos estocásticos simulados. Vale la pena señalar que los controles específicos pueden variar según el tipo de contrato de precios que se considere. Por ejemplo, para opciones con fechas de ejercicio, es importante asegurarse de que colapsen a pagos de tipo europeo como escenario de caso base.
Realizar estas comprobaciones ayuda a validar la simulación e identificar posibles problemas o errores en la implementación.
¿Qué es la fórmula de Feynman-Kac?
¿Qué es la fórmula de Feynman-Kac?
Bienvenido a la sesión de preguntas y respuestas serias sobre finanzas computacionales.
La pregunta de hoy es la número ocho de la lección número tres, que se centra en la fórmula de Feynman-Katz y su aplicación. La fórmula de Feynman-Katz establece una conexión crucial entre las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y los procesos estocásticos, proporcionando un método para resolver PDE específicas a través de la simulación de rutas aleatorias. Esta poderosa maquinaria nos permite resolver problemas complejos combinando PDEs con procesos estocásticos.
La fórmula en sí se relaciona con una forma particular de una ecuación diferencial parcial. Considere una PDE con un término de derivada temporal (dt), un término de deriva (μ), un término de derivada de primer orden (dX), un término de volatilidad (σ²/2) y un término de derivada de segundo orden (d²X). La PDE también incluye una condición terminal, donde el valor V toma una función determinista ETA(X) en el tiempo T. Aquí, X representa una variable de estado.
El teorema de Feynman-Katz establece que la solución de esta EDP se puede expresar como la expectativa de la función determinista ETA evaluada en el tiempo T, considerándola como función de un proceso estocástico. El proceso estocástico, denotado por X(t), se puede definir de la siguiente manera: dX(t) = μ dt + σ dW(t), donde dW(t) representa un proceso de Wiener (movimiento browniano). El término de deriva μ y el término de volatilidad σ² están determinados por los coeficientes de la PDE.
Si tenemos una EDP en la forma de dt + μ dX + (σ²/2) d²X = 0, junto con una condición terminal, podemos expresar la solución como la expectativa de la condición terminal evaluada en X(t), el estocástico proceso en el tiempo T.
Consideremos un ejemplo simple donde la PDE solo incluye el término derivado de segundo orden y una condición terminal. Aplicando el teorema de Feynman-Katz sabemos que la solución será la esperanza de la función ETA, que en este caso es x². Por lo tanto, la solución se puede escribir como la expectativa de X(t)², donde X(t) es un movimiento browniano escalado con algún estado inicial. Calcular la expectativa da como resultado Sigma²(Tt) + X².
La fórmula de Feynman-Katz es una herramienta poderosa en finanzas, particularmente en opciones de precios. Por ejemplo, en la ecuación de Black-Scholes, comenzamos con una cartera replicante, lo que conduce a una PDE de precios. Siguiendo la misma estrategia, la PDE de fijación de precios se puede relacionar elegantemente con la simulación de la expectativa de pago terminal basada en el proceso estocástico. Esta conexión entre la expectativa y la PDE proporciona un marco integral para la valoración de opciones, donde podemos replicar la cartera, derivar la PDE de fijación de precios y luego simular la expectativa a través de rutas de Monte Carlo o procesos estocásticos simulados.
Comprender y utilizar la fórmula de Feynman-Katz es esencial en varias aplicaciones financieras. Ofrece un método poderoso para resolver PDE y proporciona un vínculo claro entre los procesos estocásticos y las ecuaciones diferenciales parciales.
¡Gracias y hasta la próxima!
¿Cuál es la estructura temporal de la volatilidad implícita?
¿Cuál es la estructura temporal de la volatilidad implícita?
Bienvenido a la sesión de Preguntas y Respuestas basada en conferencias sobre Finanzas Computacionales.
La pregunta de hoy es la número nueve, que está relacionada con el material cubierto en la lección número cuatro. La pregunta es: "¿Cuál es la estructura temporal de la volatilidad implícita?" Esta pregunta surge a menudo cuando se analiza el impacto de la volatilidad dependiente del tiempo en el modelo de Black-Scholes y si puede generar una sonrisa o un sesgo de volatilidad implícita. Desafortunadamente, la respuesta común que afirma que una volatilidad dependiente del tiempo puede producir una sonrisa o un sesgo es incorrecta. Exploremos la estructura temporal de la volatilidad implícita y su conexión con el modelo de Black-Scholes.
Para comprender la volatilidad implícita, necesitamos saber cómo se calcula y su significado en el contexto del modelo Black-Scholes. En el marco estándar de Black-Scholes, dado el precio de mercado de una opción de compra, nuestro objetivo es encontrar la volatilidad implícita (Sigma_imp) que hace que la diferencia entre el precio de mercado y el precio de Black-Scholes sea cero. Esta volatilidad implícita se obtiene invirtiendo la ecuación de precios de Black-Scholes.
Al comparar los precios de las opciones obtenidos del modelo con los observados en el mercado, es difícil determinar la presencia de una sonrisa o un sesgo de volatilidad implícita únicamente en función de los precios. En su lugar, deberíamos centrarnos en las volatilidades implícitas. Al observar las volatilidades implícitas, observamos que los precios de las opciones de mercado disminuyen al aumentar los precios de ejercicio (k), lo cual se espera. Sin embargo, el comportamiento de las volatilidades implícitas puede variar significativamente. En algunos casos, pueden ser planos, mientras que en otros, pueden presentar sesgos. Es crucial examinar las volatilidades implícitas en lugar de los precios para evaluar con precisión la presencia de volatilidad.
Las volatilidades implícitas pueden tomar varias formas, que incluyen una sonrisa, un sesgo o incluso una forma de palo de hockey, según las condiciones del mercado. Los diferentes tipos de mercados exhiben diferentes patrones de volatilidad implícita y, en consecuencia, se requieren diferentes modelos y procedimientos de calibración para igualar esos patrones.
Ahora, analicemos la estructura de plazos de la volatilidad implícita. En la estructura de plazos, nos enfocamos en variar el vencimiento de la opción mientras mantenemos fijo el precio de ejercicio. Si introducimos la volatilidad dependiente del tiempo en el modelo de Black-Scholes (reemplazando una constante Sigma con sigma(T)), encontramos que la estructura temporal de la volatilidad implícita no genera una sonrisa o un sesgo. En cambio, demuestra cómo cambian las volatilidades implícitas para las opciones at-the-money a lo largo del tiempo. La estructura de plazos describe la evolución de las volatilidades implícitas a medida que cambian los vencimientos de las opciones. En un gráfico 3D, observamos que para las opciones at-the-money, la volatilidad implícita permanece constante siempre que el vencimiento sea el mismo (superficie plana). Sin embargo, a medida que variamos el vencimiento de la opción, las volatilidades implícitas cambian, lo que ilustra la estructura temporal de la volatilidad implícita.
Es esencial tener en cuenta que la introducción de la volatilidad dependiente del tiempo en el modelo de Black-Scholes no genera una sonrisa o sesgo de volatilidad implícita. El modelo todavía carece de sonrisa o sesgo, pero permite la calibración de las opciones at-the-money en términos de sus volatilidades implícitas a lo largo del tiempo. En mi libro y la Conferencia número cuatro, encontrará materiales sobre cómo representar los precios de las opciones (tanto de compra como de venta) utilizando volatilidades dependientes del tiempo al comprimir la dependencia del tiempo en una Sigma constante, conocida como estrella Sigma. Esto le permite reutilizar el marco de precios de Black-Scholes mientras considera la estructura de plazos asociada con las opciones at-the-money.
En conclusión, la volatilidad dependiente del tiempo en el modelo de Black-Scholes no genera sonrisa o sesgo de volatilidad implícita. Afecta únicamente a las volatilidades implícitas asociadas con la estructura de plazos de las opciones at-the-money. Para evaluar la presencia de sonrisa o sesgo, siempre examine las volatilidades implícitas en lugar de los precios de las opciones.
Espero que esta explicación aclare el concepto. Nos vemos la próxima vez. ¡Adiós y gracias!
¿Cuáles son las deficiencias del modelo Black-Scholes? ¿Por qué se sigue utilizando el modelo de Black-Scholes?
¿Cuáles son las deficiencias del modelo Black-Scholes? ¿Por qué se sigue utilizando el modelo BS?
Bienvenido a la sesión de Preguntas y Respuestas basada en el curso Computational Finance.
La pregunta de hoy es la número 10, que está relacionada con la lección número cuatro. La pregunta es: "¿Cuáles son las deficiencias del modelo Black-Scholes y por qué se sigue utilizando?"
El modelo de Black-Scholes, como se analiza en este curso, es un modelo fundamental para la fijación de precios de derivados. Supone una única ecuación diferencial estocástica (SDE) con movimiento browniano geométrico para representar el precio de las acciones. Este proceso simple se utiliza luego para fijar el precio de las opciones. Sin embargo, hemos aprendido que los supuestos del modelo no son adecuados para las condiciones actuales del mercado.
Una desventaja importante del modelo Black-Scholes es su dependencia de un solo parámetro, Sigma, que representa la volatilidad. Este único parámetro es insuficiente para capturar la complejidad de las sonrisas y sesgos de volatilidad implícita observados en el mercado. La suposición del modelo de tasas de interés constantes tampoco es realista, aunque las tasas de interés tienen un impacto mínimo en el precio de las opciones en comparación con la volatilidad.
Otra desventaja del modelo de Black-Scholes es que los retornos generados por el movimiento browniano geométrico no tienen colas lo suficientemente fuertes. Esto significa que los eventos extremos con probabilidades muy bajas no se tienen en cuenta adecuadamente, lo que hace que el modelo no sea realista.
Ahora bien, ¿por qué se sigue utilizando el modelo Black-Scholes a pesar de estas deficiencias? La respuesta es multifacética. Si bien el modelo Black-Scholes no es adecuado para cotizar derivados exóticos, aún puede usarse para cotizar opciones europeas. Las opciones europeas son más simples y tienen mercados más líquidos, lo que permite una cobertura más fácil utilizando opciones europeas estándar. Por lo tanto, si no hay otros instrumentos de mercado disponibles, el modelo de Black-Scholes puede usarse para cotizar derivados exóticos. Sin embargo, es importante tener en cuenta que este enfoque es arriesgado ya que carece de la capacidad de cubrir los derivados exóticos de manera efectiva.
Adicionalmente, el modelo Black-Scholes es ampliamente utilizado en el cálculo de volatilidades implícitas. Las volatilidades implícitas son una herramienta esencial para los comerciantes de opciones y se obtienen utilizando la fórmula de Black-Scholes. Incluso cuando se emplean modelos más complejos como el modelo de Heston o modelos con saltos, las volatilidades implícitas asociadas con esos modelos aún se calculan utilizando la fórmula de Black-Scholes. Se prefieren las volatilidades implícitas porque brindan una medida de volatilidad independiente del nivel del activo, lo que permite una comparación significativa del riesgo entre diferentes activos.
En este curso, hemos explorado varias alternativas al modelo de Black-Scholes, como los modelos de volatilidad estocástica y los modelos de volatilidad local, que ofrecen mejoras sobre el marco de Black-Scholes. Le animo a que vuelva a leer las conferencias si necesita una comprensión más profunda de estas alternativas.
Muchas gracias, y espero con ansias nuestra próxima sesión.
¿Cómo se ve la tabla de Ito si incluimos el proceso de salto de Poisson?
¿Cómo se ve la tabla de Ito si incluimos el proceso de salto de Poisson?
Bienvenido a la sesión de Preguntas y Respuestas sobre Finanzas Computacionales. Hoy discutiremos la pregunta número 11, que se basa en los materiales tratados en la lección cinco. La pregunta es: ¿Cómo se ve la tabla Ethos cuando incluimos el proceso de salto de Poisson?
Para comenzar, recordemos la aplicación del lema Ethos a procesos que involucran movimiento browniano. Sabemos que para encontrar la dinámica de una función de un proceso, necesitamos aplicar el lema de Ethos, que implica una expansión de Taylor. La tabla Ethos para el movimiento browniano incluye términos con dt, dw, dtdw y dwdw. Si tenemos términos cruzados con dt multiplicado por dw o dtdw, se consideran cero debido a la simetría. Y dwdw es simplemente dt.
Ahora, consideremos el caso en el que no solo tenemos movimiento browniano sino también un proceso de Poisson incluido en la dinámica del proceso. El proceso de salto de Poisson se puede representar como una serie de saltos que ocurren en cada punto en el tiempo. Si discretizamos el proceso, podemos tener múltiples saltos en un intervalo finito. Sin embargo, cuando se consideran intervalos infinitesimalmente pequeños, solo ocurre un solo salto. Introducimos la notación xt- y xt para representar el límite izquierdo y el valor del proceso justo antes del salto, respectivamente.
Ahora, concentrémonos en la función G(xt). Si aplicamos el lema de Ethos a una función de un proceso con salto de Poisson, obtenemos una expresión que incluye un término de deriva, un término de salto y el incremento de G debido al salto. El término de deriva es similar al del lema de Ethos para el movimiento browniano, pero sin la parte difusiva. El término de salto depende del proceso de Poisson y consiste en el producto del tamaño del salto y la función indicadora de la ocurrencia de un salto.
En resumen, la tabla Ethos para un proceso de salto de Poisson incluye los términos de la tabla Ethos para el movimiento browniano, así como un término adicional que surge del producto de dos incrementos del proceso de Poisson. Este término adicional es crucial en la aplicación del lema Ethos a los procesos de salto.
Es importante comprender el lema Ethos y su aplicación a procesos de salto, ya que es una poderosa herramienta en finanzas para analizar la dinámica de funciones de procesos estocásticos. Se pueden encontrar más detalles sobre este tema en la lección cinco y en la literatura relevante. Siéntase libre de hacer más preguntas. ¡Adiós!